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MATEMÁTICAS Aplicación del estudio de funciones a la interpret interpretación ación y resolución de problemas de la Economía, las Ciencias Sociales y la Naturaleza.
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1.
DEFINICIÓN DEL CONCEPTO MATEMÁTICO DE FUNCIÓN
1.1.
DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICO S
1.2.
DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓ N
1.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
2.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE FUNCIONES A LAS CIENCIAS NA NATURALE TURALES
2.1.
LA VELOCIDAD VELOCIDAD DE UN MÓVI L
2.2.
LA ACELERACIÓ N
2.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA NATURALEZA
3.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE FUNCIONES EN PROBLEMAS DE ECONOMÍ A
3.1.
REPRESENTACIÓN REPRESENTA CIÓN DE RELACIONES ECONÓMICAS EN TÉRMINOS DE FUNCIONE S
3.2.
FUNCIONES LINEALE S
3.3.
FUNCIONES EXPONENCIALES �APLICACIÓN AL INTERÉS COMPUESTO�
3.4.
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓ N
4.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES A LAS CIENCIAS SOCIALES
4.1.
FUNCIÓN EXPONENCIAL EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONE S
4.2.
FUNCIÓN LOGÍSTICA EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONE S
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matemáticas
INTRODUCCIÓN
El concepto de función es una de las ideas básicas y fundamentales en matemáticas. Casi cualquier estudio que se reera a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos o
que se requiera al análisis de datos empíricos, emplea este concepto matemático. Una función expresa la idea de que una cierta cantidad depende o está determinada por otra. Los siguientes ejemplos permiten aclarar esta denición intuitiva, a la vez que constatar di versos campos en los que se aplica el concepto de función: el coste de producir un artículo,
depende del número de artículos producidos; las prestaciones otorgadas por el sistema de seguridad social de un país, dependen de su tasa de desempleo; el poder adquisitivo de la moneda depende del índice del coste de la vida; la cantidad de cierto artículo que el fabri -
cante ofrecerá, depende del precio que pueda lograr. El análisis matemático es la rama de la matemática que se dedica al estudio de las funciones. Proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia, de una magnitud respecto de otras.
De esta forma, el análisis proporciona a la Física y a la Tecnología y a otros muchos cam pos del saber, métodos poderosos para la resolución de problemas de muchas clases diferentes. Pero no sólo suministra métodos para resolver problemas especícos, también da métodos generales para la formulación matemática de las leyes cuantitativas de la Física,
la Química, la Biología, etc. Ejemplos de la aplicación de las funciones en estos campos de la ciencia son: encontrar el ritmo de variación de una magnitud cuando se conoce su dependencia respecto al tiempo, encontrar el área de las guras curvilíneas y los volúmenes
de los sólidos, etc. El cálculo integral permite determinar el trabajo realizado por un gas en expansión cuando la presión varía según una ley conocida, o calcular el potencial de un campo eléctrico pro -
ducido por un sistema dado de cargas, etc. Además, el análisis suministra un método para encontrar los valores máximos y mínimos de una variable bajo condiciones dadas. Así, con la ayuda del análisis es fácil determinar, por ejemplo, las dimensiones de una cisterna cilíndrica que para un volumen dado tenga una supercie mínima y que requiera por tanto, menos cantidad de material.
Igualmente importante y extensa, es la aplicación que de las funciones matemáticas encontramos en tres grandes campos del conocimiento y que son el objetivo de este tema, a
saber, las Ciencias Naturales, la Economía y las Ciencias Sociales. Pero antes de exponer las principales aplicaciones en estos campos, vamos a recordar una serie de conceptos bá sicos relacionados con el uso de las funciones: funciones, derivadas, integrales, máximos
y mínimos.
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1.1.
DEFINICIÓN DEFINICIÓ N DEL CONCEPTO MATEMÁ MATEMÁTICO TICO DE FUNCIÓN FUNCI ÓN
DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Una función es una relación entre dos conjuntos dados. En su acepción más ge dos conjuntos no vacíos, una función f de de X en en Y es una regla nérica, sean X e e Y dos que asigna a cada elemento x ∈ X , un y sólo un elemento y ∈ Y , perfectamente → Y , o también por X f → Y . determinado. Se denotará por f : X → De esta manera, la información relativa a un cierto fenómeno representado por x permite describir el comportamiento de una variable y, representativa de otro fenómeno, mediante el establecimiento de una relación funcional f entre entre ambos.
Al conjunto X se se le denomina conjunto inicial o dominio de denición de la función, y al elemento x tal que x ∈ X , se le denomina variable independiente . El conjunto Y será será también el conjunto nal, rango o conjunto imagen . A los elementos y ∈ Y , se les llama variables dependientes . Dada una función f , el conjun x, y) tal que y = f ( x x), se puede representar sobre un sistema to de pares ordenados ( x de coordenadas cartesianas. La representación de todos los puntos congura la denominada gráca de la función f función f . Los grácos tienen un gran impacto visual, pues maniestan información que puede no ser evidente evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Ejemplo: sea el crecimiento de los activos de una empresa una función del tiempo. Aquí el dominio de denición es un conjunto de valores del tiempo, y el rango de la función es el conjunto de valores de los activos (digamos valorados en euros).
A lo largo del desarrollo de este tema trataremos funciones cuyo dominio de denición e imagen se encuentran dentro del conjunto de los números reales. De niéndolo formalmente: una función se llama real cuando los valores de su varia ble dependiente pertenecen al cuerpo de de los números reales. Si Si además el conjunto donde varía la variable independiente también está contenido en ( X X ⊂ ), la función se dice real de variable real. Las funciones de una variable real a veces no son sucientes para reejar la com plejidad de numerosos fenómenos que tienen varias causas explicativas simultá neas. Ante ello, es preciso ampliar el campo del análisis y utilizar instrumentos
matemáticos más potentes. Si en lugar de considerar como dominio un único conjunto X , consideramos los conjuntos X 1, X 2, ..., X n no vacíos y no necesariamente distintos uno del otro, y x1, x2, ..., xn) tal que xi ∈ X i, ∀i = 1, 2, ..., n, se dene la función de n sea la n-upla ( x variables independientes de la forma:
→ → Y f : ( X X 1 x x X X 2 x ... x X n) ( x ( x x1, x2, ..., xn) → f ( x1, x2, ..., xn) = y
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1.2.
DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN Fueron las necesidades de los físicos del siglo XVII, las que constituyeron la inspiración original para estos dos conceptos fundamentales del cálculo. Así el cálculo de derivadas es un método para encontrar la velocidad de un objeto cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado; la velocidad instantánea de un punto, tasa instantánea de crecimiento, velocidad instantánea de reacción, etc. x) continua en un cierto intervalo I , y consideremos un valor Sea una función y = f ( x x0 de dicho intervalo y un incremento ∆ x0 que nos conduce a otro valor ( x0 + ∆ x0)
del mismo intervalo. x0) el valor de la función en x0, y sea y0 + ∆ y0 = f ( x x0 + ∆ x0) el que toma Sea y0 = f ( x x0 + ∆ x0). Al incremento ∆ x0, dado x0, corresponde en la función el incremento en ( x ∆ y0 f ( x x0 + ∆ x0) – f ( x x0) (ver dibujo explicativo), y el cociente de ambos:
∆ y 0 f (x0 + ∆x0) − f ( x 0) = ∆ x 0 ∆ x 0 que se llama cociente incremental, está completamente determinado para cada valor de ∆ x0 (puesto que x0 es ja), y mide la variación media de la función en el intervalo ( x0, x0 + ∆ x0). x) en el punto x0, al límite, si existe, del Se llama derivada de la función y = f ( x cociente incremental cuando ∆ x0 tiende a 0. Se designa con las relaciones:
f ( x0 + ∆x0) − f ( x 0) ∆y 0 l im = ∆ x →0 ∆ x 0 ∆x →0 ∆ x 0
y′ = f ′(x 0) = lim 0
0
El uso básico del concepto de integral lo encontramos en el cálculo de áreas de determinadas regiones: aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las ver ticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráca de una función f . Se denotará por ( f , a, b) y recibirá el nombre de integral de f sobre ( a, b).
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1.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS x) denida en el intervalo [ a, b] se dice que tiene un máximo local Una función f ( x x) para cada x lo sucientemente próximo a c. o relativo en c, si f (c) > f ( x x) para todo x en [a, b], entonces se dice que es un máximo absoluto. Si f (c) > f ( x
x) se dice que tiene un mínimo local o relativo en c, si f (c) < f ( x x) La función f ( x x) para todo x en [a, b], para cada x sucientemente cerca de c. Además si f (c) < f ( x entonces se dice que es un mínimo absoluto.
Si f (c) existe y es tal que f ’(c) = 0, entonces c es un punto crítico (máximo o mínimo). Por tanto, para calcular los máximos y mínimos de una función f ( x x) bastará calcular su derivada y a continuación resolver la ecuación f ’( x x) = 0, esto es, los máximos y mínimos de una función se encuentran entre las raíces de su derivada. Por último, se aplica el criterio de la segunda derivada:
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c es un máximo de f si si f ’(c) = 0 y f ’’(c) < 0.
c es un mínimo de f si si f ’(c) = 0 y f ’’(c) > 0.
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APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE FUNCIONES A LAS CIENCIAS NATURALES La historia del análisis, tanto en sus orígenes como en su evolución, se ha encon trado muy relacionada con los avances y necesidades de las Ciencias naturales. Así, los estudios realizados para el desarrollo del análisis, por matemáticos tan importantes como Newton y Leibnitz, tienen una base u origen práctico, surgien-
do siempre a partir de temas físicos, mecánicos, etc. La denominada 2.ª Ley de Newton es reejo de ello: «La variación de la cantidad de movimiento es propor cional a la fuerza actuante» (con más precisión: el ritmo de variación del impulso es proporcional a la fuerza).
Por consiguiente, el análisis es absolutamente necesario para el desarrollo de la mecánica, en la formulación de cuyas leyes se encuentran los conceptos analíticos en forma latente. Las aplicaciones que veremos en este campo (C. Naturales), no se remiten estric -
tamente al concepto de función, sino que surgen importantes conceptos matemáticos asociados a las mismas como es el de derivada e integral de una función, junto
con el cálculo de máximos y mínimos. En este capítulo se tratan algunos de los principales problemas que aparecen en este campo, los más característicos de los cuales son los relacionados con la cinemática. 2.1.
LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL Consideremos el movimiento de un automóvil en una carretera, y sea s = f (t ) la función que expresa la dependencia de la distancia s recorrida por el automóvil respecto del tiempo t . Si a partir de un instante t 0 consideramos un incremento de tiempo ∆t , es decir, consideramos el intervalo de tiempo [ t 0, t 0 + h], h ≠ 0; en este intervalo, el correspondiente incremento de espacio ∆s (es decir, la distancia que recorrerá el automóvil) vendrá dada por, ∆s = f (t 0 + h) – f (t 0). Entonces la veloci dad media del móvil en dicho intervalo de tiempo es:
v m =
∆s f (t0 + h) − f (t 0) = ∆t h
El movimiento se dice uniforme cuando este cociente es constante. Si el movi miento no es uniforme, este cociente varía, y al límite:
∆ s ∆ s = lim = v ∆t→0 ∆t h→0 h li m
se le llama velocidad del movimiento en el instante t , y es por tanto, la derivada del espacio respecto al tiempo. Vemos pues que el espacio depende del tiempo y que la velocidad es la derivada
del espacio respecto al tiempo.
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2.2.
LA ACELERACIÓN Sabemos que cuando un cuerpo aumenta rápidamente de velocidad al moverse,
se dice que tiene una fuerte aceleración. Análogamente a lo hecho en el caso de la velocidad, podemos establecer un cociente incremental entre la velocidad y el tiempo, obteniendo:
∆v ∆t →0 ∆t lim
A este límite se le denomina aceleración y es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. También puede decirse que la aceleración es la derivada 2.ª del espacio respecto
del tiempo. En general, para cualquier fenómeno cuyos estados se puedan medir por números y que dependan del tiempo, y = f (t ) (ejemplo: movimiento de rotación de un sólido, temperatura de un cuerpo, altura de un avión, etc.), se puede denir la
f (t) − f (t 0 ) , y por tanto, estos conceptos físicos t→t 0 t − t 0
velocidad de variación como lim
tienen su denición correcta mediante la noción de derivada.
Existen muchos ejemplos de procesos que se desarrollan en el tiempo y que pueden describirse por una o más funciones de t . En cada caso puede darse una de nición correspondiente a la tasa de cambio de la cantidad apropiada respecto del tiempo. 2.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA NATURALEZA En la naturaleza se presentan de modo natural los máximos y mínimos. Así, las hojas de las plantas tratan de obtener la máxima cantidad de luz l uz solar, y las raíces
de captar el máximo de sales minerales. Asimismo, los animales tratan de obtener el máximo de alimentación y la mínima susceptibilidad a las enfermedades. El cientíco, y de un modo consciente, estudia constantemente los problemas de
dieta óptima, de coste mínimo de material de transporte, de tiempo mínimo para realizar una tarea, de dosis óptima para curar una enfermedad, de hora óptima para emitir propaganda por televisión, etc. En forma similar, una compañía ferroviaria puede requerir conocer la velocidad promedio que sus trenes deberán desarrollar desarrollar con objeto de minimizar el coste por km; o un economista puede necesitar conocer el nivel de impuestos en un país que promoverá la tasa de crecimiento máximo de la economía. economía.
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Todos estos ejemplos, ponen de maniesto la importancia de los problemas de máximos y mínimos, llamados también de optimización (en el lenguaje matemá tico, el término utilizado para designar los conceptos de máximo y mínimo es el de óptimo, para signicar simplemente un valor extremo). Tales óptimos se pue -
den representar geométricamente como los puntos más altos y más bajos en una gráca de una función. La resolución de problemas de optimización con frecuencia es una de las tareas más difíciles del cálculo diferencial. La principal dicultad surge cuando es nece -
sario escribir el problema dado en palabras, en ecuaciones algebraicas. Una vez que las ecuaciones se han construido, por lo regular es rutinario comple tar el problema. No es posible dar rápidas reglas para resolver estos problemas, pero existen algunos principios directores que conviene tener tener en cuenta.
Paso 1. Identique todas las variables involucradas en el problema y denote cada una de ellas mediante un símbolo ( x x, y, z, ...). Paso 2. Destaque la variable que ha de ser maximizada o minimizada y exprésela en términos de las otras variables del problema. Paso 3. Determine todas las relaciones entre las variables. Exprese estas relacio-
nes matemáticamente. Paso 4. Exprese la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las otras variables. Con objeto de hacer esto, se utilizan las relaciones obtenidas en el paso 3, a n de eliminar todas excepto una de las variables. Paso 5. Una vez que se ha expresado la cantidad requerida como una función de una variable, determine sus puntos críticos e investigue si son máximos
o mínimos locales. Veamos una aplicación típica de los máximos y mínimos: X
Problema de la conservación óptima Un ecólogo cultiva peces en un lago. Cuantos más peces introduzca, habrá más competencia por el alimento disponible y el pez ganará peso en forma más lenta. De hecho, se sabe por experimentos previos, que cuando hay n peces por unidad
de área, la cantidad promedio en peso que gana durante una temporada está dada por w = (600 – 30n) gramos. Determinemos el valor de n que conduce a la producción total máxima en el peso de los peces. La ganancia en peso de cada temporada es w = 600 – 30n. Puesto que hay n peces por unidad de área, la producción total por unidad, P, es igual a nw. Por consiguiente P = n(600 – 30n) = 600n – 30n2.
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P es 0 cuando n es cero dado que en ese momento no hay peces. A medida que n aumenta, P se incrementa hasta un valor máximo, luego decrece hasta cero otra vez cuando n = 20. Si n sigue creciendo, P decrece porque para valores grandes de n los peces ganarán muy poco peso y algunos de ellos morirán, de modo que la producción total será pequeña. Con objeto de encontrar el valor de n para P máximo, se deriva igualando a 0 la ecuación resultante, obteniendo en este caso n = 10.
Así que la densidad de 10 peces por unidad de área es máxima. El valor máximo de P es: P = 3.000, es decir, 3.000 gramos por unidad de área. Es obvio este resul tado si nos jamos en la gráca de P. Además, y dado que la segunda derivada es negativa, el valor crítico de n = 10 corresponde a un máximo de P. Otro problema típico es el del cálculo de volúmenes máximos y mínimos. Así, sea una plancha cuadrada de estaño de lado a, con ella se construye una caja rec-
tangular abierta. Si de las esquinas del cuadrado original se separan cuadrados de lado x, se obtiene una caja de volumen V = = x(a – 2 x)2. El problema de máximos se plantea en este caso si se quiere quiere encontrar el valor de de x para el cual el volumen de la caja es máximo en el intervalo:
0, a 2 Existen otras muchas parcelas dentro de las ciencias naturales que hacen uso del concepto matemático de función; así en mecánica (energía, trabajo, potencia), estudio de los diferentes estados, calorimetría, termodinámica, acústica, magnetismo, óptica, astronomía, termodinámica de la atmósfera, etc.
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3.1.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE FUNCIONES EN PROBLEMAS DE ECONOMÍA
REPRESENTACIÓN DE RELACIONES ECONÓMICAS EN TÉRMINOS DE FUNCIONES Anteriormente se ha hecho referencia al hecho de que la cantidad demandada (por un período de tiempo) de un bien estaba relacionada solamente con su precio. Ahora estamos en situación de examinar la representación matemática de esta relación económica entre la cantidad demandada y el precio de un bien. Esta representación matemática vendrá dada por una función en la que aparecerán: Q = cantidad demandada. P = precio por unidad.
siendo ambas cantidades variables, obteniendo la función: Qd = f (P)
(1)
que indica que «para cada precio del bien en consideración corresponderá una úni ca cantidad demandada del bien». En términos económicos leeremos «la demanda está en función del precio».
A este respecto, se deberá notar que la expresión (1) no es sólo una representación matemática de una relación económica, sino que también es una representación matemática del «comportamiento» del consumidor. La función (1) puede representarse grácamente si suponemos, por ejemplo, Qd = f ( p p) = 10 – 2 p, y dando valores obtenemos el denominado diagrama de de manda:
Un básico análisis de esta función proporciona la siguiente información acerca de la demanda del consumidor:
Cuando el precio es gratis, se demandan 10 unidades.
Cuando el precio está entre 0 y 5, la demanda desciende.
Cuando el precio es 5, la cantidad demandada es de 0 unidades.
Este sencillo ejemplo demuestra la importancia de las funciones como medio de representación de relaciones económicas. Por consiguiente, en los modelos económicos en general, se usan frecuentemente funciones para representar distintas formas de conducta.
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Sin embargo, el concepto de función se puede extender fácilmente a tratar el caso de más de una variable independiente. Funciones de dos variables independientes
se emplean a menudo en modelos de demanda del consumidor, donde la cantidad demandada Qd depende del precio del bien P y además del ingreso del consumidor Y . En este caso la función demanda es de la forma: Qd = g(P, Y )
Continuando con el razonamiento, podríamos llegar a una función demanda con un número cualquiera de variables independientes: i ndependientes: Qd = g(P1, P2, ..., Pn)
3.2.
FUNCIONES LINEALES En general diremos que una función lineal es una función cuyo valor cambia a ritmo constante con respecto a su variable dependiente x, y su gráca asociada es
una línea recta. Una de las aplicaciones clásicas de estas funciones en el ámbito de la economía es la Función de Coste. Así, el coste total de un fabricante está formado por unos gastos generales (200 euros) más el coste de producción (50 euros por unidad). Se expresa el coste total como una función del número de unidades producidas de la siguiente manera: x C ( x x)
= número de unidades producidas producidas = correspondiente coste total
Coste total = (coste (coste por unidad) · (n.º unidades) + gastos generales Coste unidad = 50 n.º unidades = x Gastos generales = 200 Función resultante: C ( x x) = 50 x + 200 La gráca es:
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El coste total aumenta a ritmo constante de 50 euros por unidad. Como resultado, su gráca es una recta, aumentando 50 unidades en altura por cada unidad de aumento en x.
3.3.
FUNCIONES EXPONENCIALES �APLICACIÓN AL INTERÉS COMPUESTO� Una función exponencial es una función cuya variable independiente aparece en x) = a x (donde a es denoel papel de exponente y se puede representar por y = f ( x minado base). Una de las funciones exponenciales con mayor aplicación aplicaci ón es aquella donde la base es el número irracional e. El número e es uno de los números más importantes y más útiles en matemáticas. Las funciones que involucran potencias de e juegan un papel central en matemáticas aplicadas. Se usan en arqueología para fechar objetos antiguos; en nanzas, para calcular el valor de las inversiones, en psicología, para estudiar fenómenos de aprendizaje, etc.
En economía, una de las principales aplicaciones de estas funciones la encontramos en el cálculo del interés compuesto: Supongamos que se invierte una cantidad de dinero P a una tasa de interés R por ciento anual. El interés del primer año es:
R P 100 de modo que el valor de la inversión después de un año será:
R P = P 1+ R = P (1+ i ) donde i = R 100 100 100
P +
Un razonamiento análogo nos lleva a determinar que el valor de la inversión des pués de dos años será:
R P (1+ i ) = P(1+ i ) 1+ R = P (1+ i )2 100 100
P (1+ i ) +
Se observa que cada año el valor de la inversión se multiplica por el factor (1 + i) del valor del año previo. Después de n años, el valor está dado por la fórmula:
R 100
P(1 + i)n con i =
Esta fórmula es equivalente a la función exponencial ( y = a x), con base a = 1 + i, y exponente x = n. La expresión (1 + i)n puede evaluarse para algunos valores de i y de n.
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3.4.
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN La producción total del producto de una empresa depende de un gran número de factores, ante los cuales la empresa puede tener cierta capacidad de modicación. Se dene la función de producción como la relación matemática que nos dice la
cantidad máxima de producto que podemos obtener con todas y cada una de las combinaciones de factores productivos especícos (capital invertido, maquinaria, edicios, mano de obra, etc.). La expresión matemática de una función de produc ción que relaciona todas estas variables será: y = f ( x x1, x2, ..., xn), donde y representa la cantidad de un determinado producto y las variables x1, x2, ..., xn son los factores productivos utilizados.
Los dos factores más importantes son la cantidad de mano de obra empleada por la empresa y el capital invertido. Denotamos por L = n.º de unidades de mano de obra empleadas por la empresa, expresadas en horas/hombre por año o en euros el capital invertido en la planta productiva gastados en salarios por año, y sea K el de la empresa. Entonces la producción total P (medida en número de unidades de un determinado producto producidas al mes), es una función de L y K , y se escribe P = f ( L L, K ). ). En ciertos casos, los cambios en L y K no no son independientes entre sí. Por ejem plo, si la empresa compra una máquina extra, también debe contratar mano de obra adicional con objeto de operarla. Por otra parte, K y y L a menudo son varia bles independientes en el contexto de la estrategia de producción de la empresa. Por ejemplo, la empresa puede invertir una gran cantidad de capital en una planta altamente automatizada y de esta manera emplear relativamente poca mano de obra, o por otro lado, puede decidir utilizar maquinaria menos sosticada y más
mano de obra. En general K y y L pueden considerarse variables independientes. La derivada parcial
dP se denomina Productividad Marginal de la mano de obra dL
y mide el incremento en la producción por incremento unitario en la cantidad de mano de obra empleada cuando el capital invertido K se se derivada
mantiene constante. La
dP recibe el nombre de Productividad Marginal del capital y mide el dK
incremento en la producción por incremento unitario en el capital inv ertido cuando la mano de obra empleada se mantiene ja.
Supongamos la siguiente función de producción para una cierta empresa, P = 5 L + + 2 L2 + 3 LK + + 8K + + 3K 2 donde L es el consumo de mano de obra medido es el capital invertido medido en euros en miles de horas/hombre por semana, K es por semana y P es la producción semanal en miles de artículos. Para L = 5 y K = = 12, se tienen las siguientes productividades marginales:
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dP dL
= 5+ 4L + 3K = 61
dP dK
= 3L + 8+ 6K = 95
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Esto signica que si se emplean 5.000 horas/hombre por semana y el capital inver tido es de 12.000 a la semana, entonces P se incrementa en 61 por cada incremento unitario en L y P se incremente en 95 por cada incremento unitario en K .
Por tanto, la producción se incrementa en 6.100 artículos por semana por cada se mantiene jo, y la 100 h/H adicionales de mano de obra empleada cuando K se producción se incrementa en 9.500 artículos por semana por cada 1.000 € adicionales de incremento en el monto semanal de capital invertido cuando L se mantiene constante.
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4.1.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES A LAS CIENCIAS SOCIALES
FUNCIÓN EXPONENCIAL EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONES Consideremos una cierta ciudad con una población en un momento dado de 1 millón de habitantes, en la cual el crecimiento de la población sigue una tasa anual del 10%. Después de 1 año, la población habrá crecido a 1,1 millones. Durante el 2.º año, el incremento de población será del 10% del tamaño al inicio del año, esto es, el 10% de 1,1 millones. Por tanto, el tamaño de la población después de 2 años será: 1,1 + 0,1 · 1,1 = 1,1 2 = 1,21 millones. Durante el tercer año, el incremento será del 10% de 1,21 millones, lo que da una población total al término del tercer año igual a: 1,21 + 0,1 · 1,21 = 1,1 3 = 1,331 millones. Continuando de esta forma, advertimos que el tamaño de la población después de n años será igual a 1,1n millones. La gráca de la función será:
en la cual los valores de 1,1 n se aprecian como puntos para n = 0, 1, 2, ..., 10.
La fórmula 1,1n puede usarse con el propósito de calcular el tamaño de la población en millones de fracciones de un año. Por ejemplo, después de 6 meses, el tamaño de la población es 1,11/2 = 1,049 millones. Después de 2 años y 3 meses, el tamaño es 1,19/4 = 1,239 millones, etc. Así pues, se aprecia que podríamos representar este crecimiento mediante la función exponencial y = a x, en donde la base a sería 1,1 y cuya gráca fuera:
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Un ejemplo concreto para la resolución de este tipo de problemas sería el siguiente: la población de cierta nación desarrollada, está dada (en millones de habi tantes) por la fórmula: P = 15e0,02t donde t = = n.º de años transcurridos a partir de 1960. Para determinar la población en 1990 y la proyectada para el año 2020, suponiendo que la fórmula tiene validez hasta entonces, se realizan los siguientes cálculos:
En 1990 la población sería de t = = 30, así P = 15e0,02 · 30 = 15e0,6 = 27,3. Después de 30 años más, t = = 60, P = 15e0,02 · 60 = 15e1,2 = 49,8 que es la proyección proyectada para el año 2020. 4.2.
FUNCIÓN LOGÍSTICA EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONES Se ha visto al estudiar el crecimiento de poblaciones, que una función exponencial
creciente puede usarse en el caso de poblaciones que crecen sin límite y sin restricciones de su medio ambiente. Sin embargo, cuando el hábitat impone limitaciones sobre el crecimiento, éste no puede continuar indenidamente, pues es evidente que en la naturaleza todos los procesos son nitos. Es decir, decir, a la larga, larga, el tamaño de la población se estabilizará.
La función que más se usa con el propósito de modelar un crecimiento restringido de este tipo se denomina modelo logístico. Éste se basa en la suposición de que el tamaño de la población está dado por la siguiente función:
y =
y m 1+ ce− kt
(2)
en donde también está presente la función exponencial con exponente negativo. Aquí y es el tamaño de la población en el instante t , e ym, c y k son son tres constantes positivas. Una gráca típica de esta función logística es:
kt Nótese que cuando t se se hace muy grande, e – kt se hace muy pequeño, de modo que el denominador de la función (2) se acerca cada vez más a 1. Por tanto, y tiende crece. Esto se hace evidente al observar la gráca de la fun a ym a medida que t crece. ción, la cual se estabiliza y se aproxima a la línea horizontal y = ym al tender t al al
innito.
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= 0, el valor de y se denota por y0. Sustituyendo t = Cuando t = = 0 en la función, tendremos que:
y 0 =
y m 1+ ce− k 0
=
y m 1+ c
Si el valor inicial y0 de y es mucho más pequeño que ym, el tamaño de la población presenta un período de crecimiento para pequeños valores de t que aproximadamente es exponencial. Después, sin embargo, el crecimiento se suaviza y por último se estabiliza, acercándose a ym cuanto t se se hace muy grande. La ecuación logística se utiliza en muchas situaciones aparte del crecimiento de poblaciones. Las propiedades cualitativas esenciales de la función logística son que para valores pequeños de t recuerda recuerda a la función exponencial, mientras que en el caso de valores grandes de t se se estabiliza aproximándose cada vez más a cierto límite. Estas características son comunes a varios fenómenos y explican la amplia
aplicación de esta función. Otro ejemplo de la aplicación de estas funciones aparece en la difusión de la información a través de una población. Digamos que la información sea un fragmento de una noticia, un rumor o el conocimiento de un nuevo producto que acaba de lanzarse al mercado. Si P representa la proporción de la población que está enterada de la información, para valores pequeños de t , P es pequeña, y por lo regular crece en forma exponencial. Sin embargo, P no puede exceder de 1 y a medida que t se se hace más grande, P se aproxima cada vez más a este valor, cuando la infor mación se difunde a través de la población entera. Usando la ecuación logística, modelaríamos P por medio de la expresión:
P
=
1 1+ ce− kt
Un ejemplo concreto sería el siguiente:
Al tiempo t = = 0, el 10% de todos los corredores de bolsa han oído algo acerca del inminente colapso nanciero de una gran aerolínea. Dos horas más tarde, el 25%
de ellos lo han oído. Para saber el tiempo que transcurrirá antes de que el 75% se haya enterado se realizan los siguientes cálculos:
Si t = = 0, encontramos que: P
=
1 1+ ce− k 0
=
1 1+ c
= 0,1
Por lo tanto, 1 + c = 10 ⇒ c = 9. = 2, tenemos: Cuando t =
P
20
=
1 1+ ce− k 2
=
1 1+ 9e−2k
= 0, 25
tema 32
matemáticas
En consecuencia:
1 + 9e –2k = 4 9e –2k = 3 e –2k =
1 3
Tomando logaritmos naturales en ambos lados, 1 1 –2k = = Ln = Ln3. = – Ln3, y así k =
3
2
Ya que encontramos los valores de k y y c, conocemos la forma precisa de P como función de t . Para encontrar el valor de t para para el cual P = 0,75:
P
=
1 1+ 9e− kt
1+ 9e− kt =
4 3
1 3 1 27
9e− kt =
e− kt =
De nuevo, tomando logaritmos naturales en ambos lados obtendremos:
Ln27 Ln27 1 27 2Ln33 L n t 2 7 , l ue go −kt = Ln = − = = = =6 27 1 k Ln 3 Ln3 2
En consecuencia, deben transcurrir 6 horas antes de que el 75% de los corredores de bolsa hayan escuchado algo acerca del colapso de las aerolíneas.
21
tema 32 matemáticas
BIBLIOGRAFÍA Teoría y 5.000 problemas resueltos. McGraw-Hill. AYRES, F.: Matemáticas Financieras. Teoría
DORNBUSCH, R., y FISCHER, S.: Macroeconomía. McGraw-Hill McGraw-Hill,, 1991. Enciclopedia ACTA 2000. Rialp.
GRAFE, J.: Matemáticas para economistas. McGraw-Hill, 1990. MUÑOZ, A., y SANTOS, J.: Matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Universitas, 2002. RÍOS, S.: Matemática Aplicada. Paraninfo, 1975. SAMUELSON, P. A.: Economía. McGraw-Hill, 1990.
22
tema 32
matemáticas
RESUMEN
Aplicación del estudio de funciones a la interpretación y resolución de problemas probl emas de la Economía, E conomía, las Ciencias Sociales y la Naturaleza.
1. 1
1.1.
DEFINICIÓN DEL CONCEPTO MATEMÁTICO DE FUNCIÓN
DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Una función f : X asigna a cada x ∈ X un un y sólo un y ∈ Y . → Y asigna X → X = conjunto inicial o dominio de denición. Y = conjunto nal, rango o conjunto imagen. x = variable independiente, y = variable dependiente.
Gráca de 1.2.
f
= {( x, y ) : x ∈ X , y = f ( x)}
DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN ∆ y
Cociente incremental = ∆ x0 = 0 Derivada =
f '( x0 ) =
lim
f ( x0
∆ x0 →0
f ( x0
+ ∆x0 ) − f ( x0 ) ∆ x0
+ ∆x0 ) − f ( x0 ) ∆ x0
Integral de f sobre sobre (a, b) = área comprendida entre gráca, eje OX, x = a, x = b. 1.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS Máximo local o relativo en c si f (c) > f ( x) para cada x sucientemente próximo a c. Máxi-
mo absoluto en c si f (c) > f ( x) para cada x ∈ [a, b]. Análogo mínimos. Si existe f (c) y f ‘ (c) = 0 ⇒ c es un punto crítico.
2. 2
2.1.
APLICACIONES DEL ESTUDIO DE FUNCIONES A LAS CIENCIAS NATURALES
LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL Si s = f (t ) representa la distancia recorrida s en función del tiempo t Velocidad media = ⇒
vm =
∆s ∆t
∆s Velocida elocidadd = v = ∆li→m0 ∆t = s ' . t
2.2.
LA ACELERACIÓN a=
∆v v s = ' = '' . ∆t →0 ∆t lim
23
tema 32 matemáticas
2.3.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA NATURALEZA Hojas de las plantas intentan conseguir la máxima cantidad de luz, las raíces la máxima
cantidad de sales minerales, los animales quieren el máximo alimento y la mínima susceptibilidad a enfermedades... Problemas de optimización en la naturaleza.
3. 3
3.1.
APLICACIONES DEL ESTUDIO DE FUNCIONES EN PROBLEMAS DE ECONOMÍA
REPRESENTACIÓN DE RELACIONES ECONÓMICAS EN TÉRMINOS DE FUNCIONES (P) con Q = cantidad demandada de un producto, P = precio por unidad. Q = f (
3.2.
FUNCIONES LINEALES Función de coste: y
= C ( x x) (lineal) con x =número de unidades producidas, y = coste
total. 3.3.
FUNCIONES EXPONENCIALES �APLICACIÓN AL INTERÉS COMPUESTO� Si P = cantidad de dinero invertido, R = porcentaje de interés, el valor de la inversión después de n años será: n
R 100 .
P 1 +
3.4.
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Es la relación matemática que nos dice la cantidad máxima de producto que podemos obtener con todas y cada una de las combinaciones de factores productivos especícos (capital invertido, maquinaria, edicios, mano de obra...). y = f ( x1 , ..., xn )
L = número de unidades de mano de obra, K = capital invertido, P = producción total. dP dL
4. 4
4.1.
= productividad marginal de la mano de obra,
dP dK
= productividad marginal del capital.
APLICACIÓN DEL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES A LAS CIENCIAS SOCIALES
FUNCIÓN EXPONENCIAL EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONES El tamaño de una población después de n años viene dada por una función exponencial.
4.2.
FUNCIÓN LOGÍSTICA EN EL CRECIMIENTO DE POBLACIONES En la realidad, el crecimiento de una población (o de muchos otros fenómenos) tiene limi y taciones y sigue el modelo logístico y = 1 + ce− con y = tamaño de la población, t = = tiempo, ym , c, k = constantes. m
kt
24
