tema
28
MATEMÁTICAS Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación representación gráfica de funciones.
3 1 0 2 8 3 1 4 2
tema 28
matemáticas
1. 1.1.
1.2.
2.
ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE Y = F�X� 1.1.1.
Dominio
1.1.2.
Puntos de corte con los eje s
1.1.3.
Simetrías
1.1.4.
Periodicidad
1.1.5.
Ramas infinitas. Asíntotas
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE LAS SUCESIVAS DERIVADAS DE = F � X � Y = 1.2.1.
Monotonía y extremos
1.2.2.
Concavidad y convexidad
1.2.3.
Puntos de inflexión
APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRÁFICAS DE FUNCIONES
3
tema 28
matemáticas
INTRODUCCIÓN
Denición: Dados dos conjuntos A y B se llama aplicación a toda correspondencia entre A y B tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
Si A y B son conjuntos numéricos, la aplicación recibe el nombre de función. Y si A, B ⊂ , entonces se llama función real de variable real: a cada número real x de A le hacemos x), y corresponder un único número real y de B, que depende de x. Por eso se escribe y = f ( x lo expresamos: f : A ⊂ → B ⊂ x → y = f ( x x)
donde x decimos que es la variable independiente e y la variable dependiente. X
Clasificación de las funciones
Funciones empíricas
Son las determinadas por una tabla de valores que se obtiene al realizar un experimento.
Funciones analíticas
Son funciones determinadas por una fórmula matemática. Hay dos formas de dar una función analítica: − En forma explícita: si la variable dependiente se halla despejada en función de x: y = 3 x – 1.
− En forma implícita: si la variable dependiente no está despejada en función de x: x · y = 3.
En lo que sigue supondremos que las funciones están dadas en forma explícita. X
Tipos
Funciones algebraicas
Son aquellas en las que la variable independiente x está sometida a operaciones alge braicas racionales e irracionales: suma, resta, resta, producto, cociente, potencias o raíces. − Funciones polinómicas: f ( x x) = a0 xn + a1 xn –1+ ... + an x + an+1, ai ∈ , i = 1, ..., n, n+1
− Funciones racionales: f ( x) =
P ( x) Q ( x)
x) y Q( x x) son funciones polinómicas donde P( x
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tema 28 matemáticas
− Funciones irracionales: aparecen raíces. Por ejemplo: f ( x) =
g ( x ) , g ( x ) función polinómica o racional
f ( x) = a x + b x 2 + 1
Funciones transcendentes
Son funciones analíticas no algebraicas. − Funciones exponenciales: la variable independiente aparece en el exponente. Por ejemplo, f ejemplo, f ( x x) = ag( x x), con g( x x) función algebraica, a > 0.
− Funciones logarítmicas: la variable independiente viene afectada por un logaritmo. Por ejemplo, f ( x x) = ln g( x x), con g( x x) función algebraica. circulares es o trigonométricas: aparecen seno, coseno, tangente o sus in− Funciones circular
versas, arcocoseno o arcotangente. − Funciones hiperbólicas: aparecen senos, cosenos o tangente hiperbólicos o sus inversas. X
Gráfica de una función x) al lugar geométrico de los puntos del plano Se llama gráca de una función y = f ( x cuyas ordenadas satisfacen la ecuación y = f ( x x), es decir, son los puntos ( x x, f ( x x)), y se denota por G( f ): f ): G( f f ) = {( x x, y) ∈ 2 | y = f ( x x)} ⊂ 2
Ejemplos:
6
tema 28
matemáticas
No son grácas de funciones:
7
tema 28 matemáticas
1
1.1.
1.1.1.
ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE Y = F�X� Dominio de f ( x), de f ( x), Se llama dominio de f x), conjunto de denición o campo de existencia de f x), al conjunto de valores que puede tomar la variable x, y se denota por Dom f . x)} Dom f = = { x ∈ / ∃ x ∈ con y = f ( x
Ejemplos: x) = a0 xn + a1 xn –1+ ... + an 1. f ( x
2. g ( x) =
P( x) Q( x )
Dom f = =
x) y Q( x x) son funciones polinómicas. donde P( x
x) = 0} Dom g = – { x ∈ | Q( x 1.1.2.
Puntos de corte con los ejes
1.1.3.
x) = 0, entonces son de la Con el eje OX: si existen soluciones de la ecuación f ( x x) = 0. forma (a, 0), con a solución de f ( x
Con el eje OY: si eje OY: (0, f (0)). (0)).
0 ∈ Dom f , entonces existe un único punto de corte con el
Simetrías x) = f (– si ∀ x ∈ Dom f : f ( x (– x), y entonces la gráca de f es es simétrica respecto del eje OY.
f es par
f es impar si ∀ x ∈ Dom f : f (– x), y entonces la gráca de f es (– x) = – f ( x es simétrica
respecto origen.
Función par
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Función impar
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matemáticas
1.1.4.
Periodicidad x + T 0) = f ( x x) ∀ x ∈ Dom f y Una función es periódica si ∃ T 0 ∈ / f ( x y a de f . llama período de f
T 0 se
le
Si T 0 es un período de f , también lo son 2T 0, 3T 0, ..., nT 0, ... Al menor período positivo que verica f ( x x + T ) = f ( x x) se le llama período principal. Una función períodica es suciente estudiarla en un intervalo de longitud T = = período principal, que esté contenido en el dominio de f , ya que en el resto de la gráca de la función será igual que en el primero. intervalos de longitud T la 1.1.5.
Ramas infinitas. Asíntotas
Sea I un un intervalo abierto del tipo (a, b), (– ∞, a), (a, +∞), (– ∞, +∞) con a, b ∈ , (luego x0 = a ∈ ó x0 = ±∞ ó x0 = b ∈ ). a < b. Llamamos x0 a un extremo de I (luego Denición
Sea f : I → una función continua en I . Diremos que la función f presenta presenta una rama innita en x0 si:
lim ( x, f ( x) ) = lim
x → x0
x → x0
x
2
+ [ f ( x) ]2 = +∞
es decir, el módulo del vector que une el origen de coordenadas con el punto de la curva y = f ( x x) tiende a +∞ cuando x → x0. Denición presenta una rama innita en x0. Sea f : I → → continua en I y y supongamos que f presenta Diremos que existe dirección asintótica de asintótica de la rama innita en x0 si:
lim
x → x0
x x 2 + f 2 ( x)
,
= (a, b) 2 2 x + f ( x) f ( x)
El vector (a, b) es el vector director de la dirección asintótica. Observación:
Como el módulo de un vector es una función continua y
es un vector de módulo 1, tendremos que el módulo , 2 2 2 2 x + f ( x) x + f ( x ) del vector (a, b), cuando exista, es 1. En particular ha de ser (a, b) ≠ (0, 0). x
f ( x )
Denición presenta una rama innita en x0. → continua en I y Sea f : I → y supongamos que f presenta x)) Diremos que una recta r es es asíntota a la rama innita si la distancia de ( x, f ( x x, f ( x x)) a la recta r tiende tiende a 0 cuando x → x0, es decir, la paralela a r trazada trazada por ( x tiende a r cuando cuando x → x0.
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tema 28 matemáticas
Observaciones: Intuitivamente una asíntota es una recta a la que se acerca la curva en el innito.
Se puede demostrar que la dirección de la recta r es es la dirección asintótica. Y así, la asíntota, si existe es única.
X
Búsqueda de una asíntota
Hallar los puntos x0 en los cuales hay rama innita.
1.
2. Hallar las direcciones asintóticas de estos puntos de rama innita: si no hay
dirección asintótica, no habrá asíntota. 3.
Sea (a, b) el vector unitario de la dirección asintótica hallada. Trazamos por el x, f ( x x)) la recta de dirección (a, b), que designamos por r M . punto M ( ( x cuando x → x0, la recta r es es la asíntota de la rama. − Si r M tiene un límite r cuando − Si r M no tiene límite cuando x → x0, la rama no tiene asíntota.
Casos: donde existe una rama innita: Supongamos que x0 es un extremo de I donde
x → +∞ lim x 2 + f 2 ( x) = +∞ ⇔ o x → x f ( x) → +∞ 0
1.
lim x = +∞ ⇒ x0 = ±∞
x → x0
lim f ( x) = b ∈
x → x0
Es fácil ver que la dirección asintótica es el vector (1, 0): la asíntota, si la hay, es paralela al eje de abcisas OX: r M ≡ y = f ( x x)
y − f ( x) = 0
y = b es la asíntota (se llama asíntota horizontal) y − b = 0 ↓ x → x0
2.
lim x = x0 ∈
x → x0
lim
f ( x)
x → x0
= +∞
La dirección asintótica en este caso en (0, 1) la asíntota, si la hay, es paralela al eje de ordenadas OY: r M ≡ X = = x
−x=0 x = x es la asíntota (se llama asíntota vertical) ↓ x → x 0 X − x0 = 0 X
0
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matemáticas
3.
lim
x → x0
f ( x )
= +∞
lim x = +∞ ⇒ x0 ± ∞
x → x0
Al buscar la dirección asintótica hay que calcular el límite:
x → x lim 0
f ( x) x f ( x) 1 x = , lim , 2 2 x→ x x 2 + f 2 ( x) x 2 + f 2 ( x ) f x f x ( ) ( ) 1+ x 1 + x 0
Analizamos los siguientes subcasos: f ( x) lim = 0 entonces la dirección asintótica es (1, 0). La recta r M es y – f ( x x) = 0. x → x
0
x
Como lim f ( x) = +∞, x → x0
r M no tiene límite nito ⇒ No hay asíntota. Se dice que
la rama innita es parabólica.
lim
x → x0
f ( x) x
= ∞ entonces la dirección asintótica es (0, 1). La recta r M es X – – x = 0.
x → x0 → ∞, Como x
r M no tiene límite nito
⇒ No hay asíntota. Se dice que
la rama innita es parabólica.
lim
x → x0
f ( x) x
= a ∈ − {0} 1 a , // (1, a) 2 2 a a 1 1 + +
La dirección asintótica es
La recta r M es: Y – – f ( x – x) x) = a ( X X – = aX +( +( f r M : Y = f ( x x) – ax) La ordenada en el origen es f ( x x) – ax − Si
lim ( f ( x) − ax ) = +∞,
x → x0
r M no tiene límite nito ⇒ No hay asíntota. Tam-
bién diremos que la rama innita es parabólica.
− Si
lim ( f ( x ) − ax ) = b ∈ , entonces: r M ≡ Y = f ( x) − ax + aX ↓ x → x y = b + aX
x → x0
0
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tema 28 matemáticas
Y así, la asíntota es la recta y = ax + b. Como a ≠ 0, la asíntota se llama oblicua. Como a Resumen de los casos
Hay tres tipos de asíntotas. 1. Si lim f ( x) = b ∈ ⇒ en y = b hay una asíntota horizontal. x →±∞
Ejemplos:
2.
A.H. cuando x
Si lim f ( x) = ∞, a ∈ ⇒ en x = a hay una asíntota vertical. x →a
Ejemplos:
3.
→ + ∞
A.V. cuando x = a+
Si f ( x)
= a ∈ − {0} x →∞ x hay una asíntota oblicua. lim ( f ( x) − ax ) = b ∈ x →∞ lim
Ejemplos:
12
A.O. cuando x → +∞
tema 28
matemáticas
1.2.
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE LAS SUCESIVAS SUCE SIVAS DERIVADAS DE Y = F�X� es un intervalo con innitos puntos de . A partir de aquí supondremos que I es
1.2.1.
Monotonía y extremos
Se dice que una función f ( x x) es creciente en el punto x0 cuando en un cierto entorno de este punto se verica que f ( x a la x0) es mayor o igual que los valores de f a izquierda de x0, y menor o igual que los valores que toma f a a la derecha de x0. Si por el contrario, f ( x x0) es menor o igual que los valores de f ( x x) a la izquierda x0, y mayor o igual que los que toma a la derecha, diremos que la función es decreciente en el punto x0. En otros términos: x0 – δ, x0 + δ), La función es creciente en x0 si existe un intervalo abierto ( x δ > 0, tal que: f ( x x) ≤ f ( x x0) f ( x x) ≥ f ( x x0)
si si
x ∈ ( x x0 – δ, x0) x ∈ ( x x0, x0 + δ)
x0 – δ, x0 + δ), La función es decreciente en x0 si existe un intervalo abierto ( x δ > 0, tal que: f ( x x) ≥ f ( x x0) f ( x x) ≤ f ( x x0)
si si
x ∈ ( x x0 – δ, x0) x ∈ ( x x0, x0 + δ)
Nota: Hay que distinguir entre función creciente en (a, b) y creciente en un punto.
Cuando en las condiciones anteriores se descarta la igualdad, diremos que el crecimiento o decrecimiento es estricto.
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Proposición 1
f ′( x0 ) > 0 la función es estrictamente Si f ′( x0 ) < 0
crecien ente creci en ese punto. decreci decrecien en te
Demostración: Supongamos, para jar ideas, que f ′( x x0) > 0. Entonces, en un entorno de x0 el co-
ciente de incrementos
f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x0)), es decir, positivo, lo cual imserá del mismo signo que su límite (que es f ′( x plica f ( x x) > f ( x x0) f ( x x) < f ( x x0)
para para
x > x0 x < x0
como queríamos demostrar demostrar.. Análogamente, se ve que si f ′( x x0) < 0 la función es decreciente en el punto x0. La condición no es necesaria, ya que, por ejemplo, la función y = x3 es creciente en x = 0, y, sin embargo, y′(0) = 0. Grácamente:
Proposición 2
Sea f una una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Se verica:
f ′ > 0 Si en (a, b), entonces f es es estrictamente ′ 0 < f
crecien ente creci en [a, b] decreci decrecien en te
Demostración:
Este es uno de los resultados fundamentales del cálculo. Recordemos que f es creciente estrictamente si para cualquier par de puntos en el intervalo, x1 < x2, se x1) < f ( x x2). El enunciado del teorema es razonable, ya que si la tiene f ( x l a tangente se inclina hacia arriba en cualquier punto, la curva se levanta.
14
tema 28
matemáticas
Veamos ahora una demostración rigurosa: sean a ≤ x1 < x2 ≤ b, y supongamos que f ′ > 0 en ( a, b). Por el teorema del valor medio existe un punto ξ ∈ ( x1, x2), tal que: f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1
= f ′( ξ )
de donde, por ser f ′ > 0, se sigue que: f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1
>0
x2) – f ( x x1) > 0 ⇒ f ( x x2) > f ( x x1). y puesto que x2 – x1 > 0, ha de vericarse f ( x
Análogamente se prueba que si f ′ < 0 en (a, b), entonces f es es estrictamente decreciente en [a, b]. Proposición 3
Sea f una una función en [a, b] y derivable en (a, b). Se verica: Si f ′ ≥ 0 en (a, b), entonces f es es creciente en [a, b] y si f ′ ≤ 0 en (a, b), entonces f es es decreciente en [a, b]. (La demostración es análoga a la anterior.) Proposición 4 x) = 0 para todo x perteSea f continua continua en [a, b] y derivable en (a, b), y tal que f ′( x neciente al intervalo abierto (a, b), entonces f es es constante en [a, b].
Demostración:
Sea x tal que a < x ≤ b. Por el teorema del valor medio, aplicado a f en en el intervalo cerrado [a, b], existe un punto ξ ∈ (a, x), tal que: f ( x) − f ( a) x − a
= f ′( ξ )
de donde, por ser f ′ = 0 en (a, b), se sigue: f ( x x) – f (a) = 0 ⇒ f ( x x) = f (a)
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tema 28 matemáticas
x) = f (a) ⇒ f toma Entonces, si ∀ x ∈ (a, b) es f ( x toma el valor f (a) en todo [a, b], es decir, f es es constantemente igual a f (a) en [a, b]. X
Definiciones de máximos y mínimos relativos
máximo
relativo (o local) en un punto x0 si Se dice que una función f tiene tiene un mínimo existe un intervalo ( x x0 – δ, x0 + δ) tal que ∀ x ∈ ( x x0 – δ, x0 + δ), se verica:
f ( x) < f ( x0 ) f ( x) > f ( x ) 0
x0) es el En otras palabras, si f ( x torno de x0.
mayor de todos los valores que toma f en en un en menor
Los máximos y mínimos reciben el nombre de extremos. No debe confundirse un máximo relativo con el extremo superior accesible, al que también se le llama máximo absoluto. El primero informa sobre el comportamiento de la función en el entorno de un punto, es una propiedad local, mientras que el segundo se reere al comportamiento de la función en todo el campo en que esté denida, es decir, constituye una propiedad global.
Obsérvese también que si el extremo superior accesible o máximo absoluto de una función no es alcanzado por ésta en un punto interior x0, no hay máximo relativo en dicho punto ya que para armar l a existencia de éste hay que considerar puntos a la izquierda y a la derecha de x0, y para ello resulta esencial que x0 sea interior. Así, por ejemplo, una función monótona denida en un intervalo cerrado alcanza
el máximo absoluto en uno de los extremos del intervalo, pero en este punto no existe un máximo relativo. Proposición 5 una función denid sobre un intervalo abierto ( a, b). Si x0 es un máximo Sea f una x0) = 0. (Obsér(o un mínimo) para f sobre sobre (a, b), y f es es derivable en x0, entonces f ′( x vese que no suponemos la derivabilidad, ni siquiera la continuidad, de f en en otros puntos.) Demostración:
Consideremos el caso en que f tiene un máximo en x0. [La gura a) ilustra la idea sencilla del razonamiento; las secantes trazadas por puntos a la izquierda de ( x0, f ( x x0)) tienen pendientes ≥ 0, y las secantes trazadas por puntos a la derecha de ( x0, f ( x x0)) tienen pendienes ≤ 0.] Analíticamente, el razonamiento es como sigue: x0) ≥ f ( x x0 + h) Si h es un número cualquiera tal que x0 + h está en (a, b), entonces f ( x puesto que f tiene tiene un máximo sobre (a, b) en x0.
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tema 28
matemáticas
Esto signica que: f ( x x0 + h) – f ( x x0) ≤ 0
Así pues, si h > 0 tenemos y, en consecuencia, xlim → 0+
f ( x0
h
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
Por otra parte, si h < 0 tenemos de modo que lim−
+ h) − f ( x0 )
≤ 0.
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
x →0
≤ 0,
h
≥ 0,
≥ 0.
Por hipótesis, f es es derivable en x0, de modo que estos dos límites límit es deben ser iguales x0). Esto signica que: entre sí e iguales a f ′( x f ′( x x0) ≤ 0
y
f ′( x x0) ≥ 0
x0) = 0. de lo cual se sigue que f ′( x
El caso en que f tiene tiene un mínimo en x0 es totalmente análogo. Observemos [gu ra b)] que no podemos sustituir ( a, b) por [a, b] a no ser que añadamos a la hipótesis la condición de que x0 está en (a, b). x0) depende solamente de los valores de f cerca Como f ′( x cerca de x0, resulta casi evidente como obtener una versión más fuerte de la Proposición 5.
Denición:
Sea f una una función y A un conjunto de números contenido en el dominio de f . Un punto x0 de A es un punto máximo (mínimo) local de f sobre sobre A si existe algún δ > x0 – δ, x0 + δ). 0 tal que x0 es un punto máximo (mínimo) local de f sobre sobre A ∩ ( x x0) sea 0 aunque x0 El recíproco de la proposición 5 no es cierto; es posible que f ′( x no sea un punto máximo o mínimo local de f .
El ejemplo más sencillo nos lo da la función f ( x x) = x3; en este caso f ′(0) = 0, pero no tiene máximo ni mínimo local en ningún punto. f no Precisamente por esta razón, se ha adoptado una terminología especial para describir dichos números x0 que satisfacen f ′( x x0) = 0.
17
tema 28 matemáticas
Denición:
Se llama punto singular de una función f a a todo número x0 tal que f ′( x x0) = 0. El número f ( x x0) recibe el nombre de valor singular de f . Proposición 6
Sea f una una función continua no constante en el intervalo compacto [a, b]. Entre dos máximos locales de f , existe siempre un mínimo local. Demostración:
Si los máximos locales de f se presentan en los puntos x1, x2 con x1 < x2, por x1, x2] tal que f ( ξ) ≤ f ( x x), ∀ x ∈ [ x x1, x2]. el teorema de Weierstrass, existe ξ ∈ [ x x1, x2), la función f presenta Si ξ ∈ ( x presenta en ξ un mínimo local. Veamos que los casos ξ = x1 o ξ = x2 no pueden darse, porque de lo contrario llegaríamos a que f es es constante, en contra de la hipótesis. En el caso en que x1 = ξ (análogamente se razonaría si x2 = ξ), como f presenta presenta x1 – δ1, x1 + δ1) se tiene que en x, un máximo local, ∃δ1 > 0 tal que ∀ x ∈ [a, b] ∩ ( x f ( x x) ≤ f ( x x1). x1 – δ2, Como f presenta presenta en x1 un mínimo local, ∃ δ2 > 0 tal que ∀ x ∈ [ a, b] ∩ [ x x1 + δ2] se verica f ( x x) ≥ f ( x x1). Si δ = min (δ1, δ2) y x ∈ [a, b] ∩ [ x x1, – δ, x1 + δ) se x) ≤ f ( x x1) = f ( ξ) ≤ f ( x x) ⇒ f es x1, – δ, x1 + δ). tiene que f ( x es constante en [a, b] ∩ ( x X
Determinación de máximos y mínimos x) tenga en x0 un Ya hemos visto que es condición necesaria para que la función f ( x x0) = 0, lo cual también se obtiene del desarrollo máximo o un mínimo es que f ′( x x0 + h) por la fórmula de Taylor, de f ( x Taylor, como vamos a ver:
f ( x0 + h) = f ( x0 ) +
h
1!
f ′( x0 ) +
h2
2!
f ′ ( x0 ) + +
hn n!
f
(n
( x0 + θ h) con 0 < θ < 1
n ′ h h −1 ( n ′ f ( x0 + h) − f ( x0 ) = h f ( x 0 ) + f ( x0 ) + + f ( x0 + θ h) 2! n!
para |h| sucientemente pequeño el signo del segundo miembro es igual al de f ′( x x0), con lo cual se tiene:
f ( x0 + h) − f ( x0 ) > 0 f ( x − h) − f ( x ) < 0 0 0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) < 0 f ′( x0 ) < 0 f ( x0 − h) − f ( x0 ) > 0 f ′( x0 ) > 0
18
Función creciente
Función decreciente
tema 28
matemáticas
x0 + h) – f ( x x0) y Para que haya máximo o mínimo en x0 es preciso que f ( x f ( x x0 – h) – f ( x x0) tengan el mismo signo y en virtud de lo anterior se deduce f ′( x x0) = 0.
Por tanto, para buscar los máximos y mínimos de una función comenzaremos por x) = 0, que se llaman puntos críticos o singulares. hallar los puntos x, tales que f ′( x En cada uno de ellos la tangente es horizontal y «puede haber» máximo o mínimo. Para ver de cuál de ellos se trata, se tienen los siguientes criterios:
Variación de la función
Si x0 es un punto crítico, sustituyamos en la función x = x0 + h, si para h sucientemente pequeño es f ( x x) > f ( x x0) resulta mínimo; si es f ( x x) < f ( x x0) resulta máximo; si hay cambio de signo, y en un semientorno se verica una de estas
desigualdades, y al contrario en el otro, no hay extremo.
Variación de la derivación primera
Supongamsos que f tenga tenga derivada f ′ en un entorno de x0. Teorema: Si de x0) de:
al crecer x, pasando por x0, la derivada f ′( x x) pasa (en un entorno
Negativa a positiva, hay mínimo en el punto x = x0. b) Positiva a negativa, hay máximo en el punto punto x = x0. c) Positiva a positiva o negativa a negativa, no hay extremos. extremos. a)
Demostración:
Consideremos el caso a). En un cierto entorno, interior al considerado en el enunciado, completado con sus extremos, por el teorema de Weierstrass, hay un mínimo (pues f disminuye disminuye a la izquierda de x0 y crece a su derecha). Como este mínimo no puede estar a la izquierda de x0 (por ser f ( x x) decreciente allí), x) creciente), dicho mínimo absoluto en ese ni tampoco a la derecha (por ser f ( x x), es precisamente f ( x x0). entorno, o sea mínimo local de f ( x Análogamente se considera el caso b), en el caso c) no puede haber extremo, pues la función es monótona en un entorno de x0 (creciente o decreciente, res pectivamente).
Mediante la derivada segunda x0 – δ, x0 + δ). Se verica que si: Sea f una una función derivable en ( x f ′( x x0)= 0 y
mínimo local f ′′( x0 ) > 0 f x entonces tiene tiene en un máximo local f ′′( x ) < 0 0 0
′′( x ′′( x x0) = 0 y f ′′ x0) < 0. Por ser f ′′ x0) < 0, según En efecto, supongamos primero f ′( x la primera proposición dada, la función f ′ es estrictamente decreciente en x0, es x0 – δ, x0 + decir, que existe un intervalo abierto ( x x0 – r , x0 + r ) contenido en ( x δ), tal que: f ′( x x) > f ′( x x0) = 0 para todo x ∈ ( x x0 – r , x0) f ′( x x) < f ′( x x0) = 0 para todo x ∈ ( x x0, x0 + r )
} y 19
tema 28 matemáticas
lo que implica, según vimos en la segunda proposición: x0 – r , x0) es estrictamente creciente en ( x x0, x0 + r ) y es estrictamente decreciente en ( x
f f
}
de donde: f ( x x) < f ( x x0), para todo x ∈ ( x x0 – r , x0 + r )
lo que nos dice que x0 es un máximo local de f . X
Aplicación: Problemas de optimización
Muchas veces se plantean problemas que se pueden resolver optimizando (haciendo máxima o mínima) una función que podemos escribir a partir del enunciado del problema, sujeta a unas restricciones de igualdad que también se deducen del enunciado. Aunque no hay ninguna regla ja para resolverlos, es conveniente realizar los
siguientes pasos: 1. Denir las incógnitas del problema, y si es posible, realizar un dibujo que re -
presente a éste.
X
2.
Plantear una función de lo que queremos optimizar (hacer máximo o mínimo).
3.
Buscar una o varias ecuaciones ecuaciones que nos relacionen las incógnitas incógnitas del problema (si es que hay más de una variable), para poder expresar la función en una única variable.
Funciones monótonas a trozos Una función denida en un intervalo [ a, b] se dice monótona a trozos si [a, b] se puede dividir en un número nito de subintervalos, de tal modo que en cada uno de ellos la función es monótona. Por ejemplo, la función cuya gráca es:
Teorema denida en el intervalo [ a, b] tiene derivada continua f ′, y f ′ posee Si una función f denida sólo un número nito de raíces, entonces f es es monótona a trozos.
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tema 28
matemáticas
Demostración:
Por el teorema del valor medio (por ser f ′ continua se le puede aplicar) entre dos puntos, en los cuales f ′( x x) toma valores de distinto signo, hay una raíz de la derivada. Tenemos, Tenemos, entonces, que entre dos raíces sucesivas de la derivada, la derivada es siempre positiva o siempre negativa. Por lo tanto, aplicando la segunda propo x) es creciente o decreciente entre dos raíces sucesivas de sición tenemos que f ( x f ′( x x). Corolario:
Las funciones polinómicas, racionales y radicales son monótonas a trozos. Ahora bien, no toda función continua es monótona a trozos.
Teniendo en cuenta que toda función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza en él, el máximo y el mínimo (absolutos), es fácil probar que: (x) es una función denida en un intervalo cerrado de la recta real, monótona a Si f (x) trozos y continua en dicho intervalo, tiene un máximo y un mínimo absoluto.
α, β], se ve claEn efecto, si f es es continua y monótona en el intervalo cerrado [ α ramente que f toma sus valores, máximos y mínimos en los extremos α y β. Si f es es continua y monótona a trozos en [a, b], hay un número nito de puntos α1, α2, ..., αk , tales que: a < α1 < α2 < ... < αk < b
y f es es monótona en cada uno de los intervalos [a, α1], [ α1, α2], ..., [ αk , b]. Por tanto, el máximo valor de f es es igual al mayor de los números: f (a), f ( α1), f ( α2), ..., f ( αk ), f (b)
y el mínimo valor de f es es el menor de estos números. Teorema
Si f es es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y se supone que f no no presenta ni máximo ni mínimos locales en ningún punto interior de (a, b), entonces f es monótona en [a, b].
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tema 28 matemáticas
Demostración:
El máximo y el mínimo, que existen por el Teorema Teorema de Weierstrass, Weierstrass, deben ser alcanzados en los extremos. Además f (a) ≠ f (b) ya que en caso contrario la función será constante. Supongamos que f (a) < f (b) y veamos que f es es monótona creciente en [a, b] (si f (a) > f (b), entonces f es es monótona decreciente). Razonemos por reducción al absurdo suponiendo que existen s, t ∈ [a, b], s < t y y f (s) > f (t ). ). Se tiene s ≠ a, ya que si s = a, entonces f (s) = f (a) > f (t ) y t no no es mínimo de f en en [a, b]. En el intervalo [a, t ] la función f presenta presenta un máximo y como s ∈ (a, t ), x) ≤ f ( ξ), ∀ x ∈ (a, t ) ), f (s) > f (t ) ≥ f (a), existe entonces ξ ∈ (a, t ) tal que f ( x y ξ es máximo local de f lo lo que es absurdo por hipótesis. Teorema
Si una función f es es inyectiva y continua en [a, b], es estrictamente monótona en dicho intervalo. Demostración:
Como f es es inyectiva, se tiene que f (a) < f (b) o f (a) > f (b). Supongamos que f (a) < f (b); veamos que en este caso f es estrictamente creciente en [a, b]. (Si f (a) > f (b), f es es estrictamente decreciente.) Veamos en primer lugar que f (a) < f (t ), ), ∀t ∈ [a, b]. Si ocurriera lo contrario, ), f (b)] y por la propiedad de f (a) > f (t ) para algún t ∈ ( a, b), entonces f (a) ∈ [ f f (t ), Darboux, existe s ∈ (t , b) tal que f (a) = f (s) lo que es absurdo por ser f inyectiva. inyectiva. De modo análogo demostraremos que f (b) > f (t ) para cada t ∈ [a, b]. Sean s, t ∈ [a, b] con s < t . Si se supone que f (s) > f (t ), ), entonces f (t ) ∈ [ f f (a), f (s)] y ∃ ξ ∈ [a, s] tal que f (t ) = f ( ξ) lo cual es absurdo por la inyectividad de f . Entonces f (s) ≤ f (t ) y por la misma razón de inyectividad f (s) < f (t ), ), y el teorema queda demostrado. 1.2.2.
Concavidad y convexidad Aunque la gráca de una función puede trazarse con bastante exactitud sobre la
base de la información que suministra la derivada, hay algunos aspectos sutiles de la misma para cuya aclaración hace falta examinar la derivada segunda. Denición 1 x) es cóncava hacia el eje Y positivo Se dice que una función f ( x positivo en un intervalo, si para todo a, b de dicho intervalo, el segmento rectilíneo que une los puntos (a, f (a)) con (b, f (b)) queda por encima de la gráca de f ( x x).
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tema 28
matemáticas
La condición geométrica que aparece en la denición se puede expresar de mane -
ra analítica, que algunas veces resulta más útil en las demostraciones. Veamos cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (a)). x − a b−a
Es decir: y =
=
y − f (a ) f (b) − f (a)
f (b) − f (a) b−a
f (b) − f (a) b−a
⋅ ( x − a)
⋅ ( x − a) + f (a) que podemos poner en la forma:
f (b) − f (a)
g ( x) =
⇒ y − f (a) =
b−a
⋅ ( x − a) + f (a). (Ecuación de la recta AB .)
Hemos dicho anteriormente que dicha recta cuando está por encima de la curva signica que ésa es cóncava. Por lo tanto si g( x x) > f ( x x), es decir si: f (b) − f (a) b−a
operando:
f (b) − f (a)
f (b) − f (a) b−a
b−a
>
⋅ ( x − a) + f (a) > f ( x)
⋅ ( x − a) > f ( x) − f (a) o bien:
f ( x) − f ( a) x − a
que es una denición equivalente.
Denición 2 x) es cóncava hacia el eje Y positivo Una función f ( x positivo en un intervalo, si para a, x, b de dicho intervalo, con a < x < b se verica:
f ( x) − f ( a) x − a
<
f (b) − f ( a) b−a
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tema 28 matemáticas
Nota. Si
se sustituye la palabra «encima» por «debajo» en la definición 1 o, de modo
equivalente, si la desigualdad de la definición 2 se sustituye por f ( x) − f (a ) > f (b ) − f (a ) x − a b−a se obtiene la definición de función cóncava hacia el eje Y negativo. negativo.
No es difícil ver que las funciones cóncavas hacia el eje Y negativo negativo son precisamente las de la forma – f , donde f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. En la gráca observamos algunas tangentes de una función cóncava hacia el eje Y
positivo, y dos cosas parecen verse claramente ya:
a) La gráca de f queda queda por encima de la tangente en (a, f (a)) excepto en el punto (a, f (a)) mismo (este punto recibe el nombre de punto de tangencia).
b)
Si a < b, entonces la pendiente de la tangente en (a, f (a)) es menor que la pendiente de la tangente en (b, f (b)); es decir, f ′ es creciente.
Pues bien, una vez dicho esto vamos a ver una serie de teoremas interesantes sobre funciones cóncavas hacia el eje Y positivo. positivo. Teorema 1 a) Sea f una x) es derivable en un una función cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. Si f ( x punto a, entonces la gráca de la función queda por encima de la tangente tra zada por el punto (a, f (a)) excepto en el propio (a, f (a)) (que se llama punto de
contacto de la tangente). b)
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Si a < b y f es es derivable en a y en b, entonces f ′(a) < f ′(b).
tema 28
matemáticas
Demostración: Apliquemos la denición de función cóncava hacia el eje Y positivo positivo a los puntos (a, f (a)) y (a + h1, f (a + h1)) y (a + h2, f (a + h2)) de la gura.
Supongamos que 0 < h1 < h2 Entonces:
f (a + h1 ) − f (a) a + h1 − a
f (a + h1 ) − f (a) h1
<
<
f ( a + h2 ) − f ( a) a + h2 − a
f ( a + h2 ) − f ( a) h2
, es decir,
que es el enunciado de la denición 2 que
hemos visto anteriormente. La desigualdad anterior nos dice que el cociente
f (a + h) − f (a)
en el intervalo (a + h1, a + h2) a medida que h → 0+. Por lo tanto f ′(a) <
f (a + h) − f ( a ) h
h
es decreciene
para h > 0.
(De hecho, f ′(a) es la cota inferior máxima de todos estos números.) Es decir, para h > 0 la secante que pasa por (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)) tiene mayor pendiente que la tangente lo cual implica que (a + h, f (a + h)) queda por encima de la tangente. Una situación parecida se presenta para h < 0: Si h2 < h1 < 0, entonces: f (a + h1 ) − f (a) a + h1 − a
>
f ( a + h2 ) − f ( a) a + h2 − a
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tema 28 matemáticas
Esto indica que la pendiente de la tangente es mayor que f (a + h) − f (a) , para h < 0 h
(De hecho, f ′(a) es la cota superior mínima de todos estos números) de modo que f (a + h) queda por encima de la tangente si h < 0. Esto demuestra la primera parte del teorema. Supongamos ahora que a < b. Entonces, según hemos visto: f ′(a) <
f [a + (b − a )] − f (a ) b−a
= ( por ser b − a > 0) =
f (b) − f (a ) b−a
y f ′(b) >
f [b + (a − b)] − f (b) a −b
= ( por ser a − b < 0) =
f (a) − f (b) a−b
=
f (b) − f (a) b−a
Proposición
Sea f una una función derivable y con f ′ creciente. Si a < f ( x x) < f (a) = f (b) para a < x < b.
b
y f (a) = f (b), entonces
Demostración:
Lo demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos primero que f ( x x) > f (a) = f (b) para algún x de (a, b). Entonces el máximo de f sobre sobre [a, b] se presenta en algún punto x0 de (a, b) con f ( x x0) > f (a) y, por supuesto, f ′( x x0) = 0 como puede verse en la gura.
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matemáticas
Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio al intervalo [a, x0], encontramos que existe x1 con a < x1 < x0 y f ′( x1 ) =
f ( x0 ) − f ( a) x0 − a
>0
en contradicción con el hecho de ser f ′ creciente. Esto demuestra que f ( x x) ≤ f (a) = f (b) para a < x < b, y sólo nos queda por demostrar que f ( x x) = f (a) es también imposible para x en (a, b). x) = f (a) para algún x de (a, b). Sabemos que f no Supongamos que f ( x no es constante sobre [a, x] (si lo fuera, f ′ no sería creciente sobre [a, x]), de modo que existe,
como puede verse en la gura,
algún x1 con a < x1 < x y
f ( x x1) < f (a).
x1, x] deducimos Aplicando el teorema del valor medio a [ x f ( x) − f ( x1 ) >0 x2) = que existe x2 con x1 < x2 < x y f ′( x
x − x1
x) = 0, puesto que hay un máximo local en x, y por tanto tenemos Por otra parte, f ′( x una contradicción con la hipótesis de ser f ′ creciente.
Teorema 2
Si f es es derivable y f ′ es creciente, entonces f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. Demostración:
Sea a < b. Denimos la función g por: g ( x) = f ( x ) −
f (b) − f (a) b−a
⋅ ( x − a).
Fácilmente puede verse que g′ es creciente: además g(a) = g(b) = f (a).
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tema 28 matemáticas
Aplicando la proposición anterior a la función g deducimos que g( x x) < f (a), si a < x < b
en otras palabras, si a < x < b, entonces: f ( x) −
f (b) − f (a) b−a
f ( x) − f ( a) x − a
<
⋅ ( x − a) < f (a), o bien
f (b) − f ( a) b−a
; luego f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo.
X Teorema 3
es derivable y la gráca de f queda Si una función f es queda por encima de cada tangente excepto en el punto de contacto, entonces f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. Demostración:
Sea a < b. De la gura deducimos que si (b, f (b)) queda por encima de la tangente en (a, f (a)) y (a, f (a)) queda por encima de la tangente en (b, f (b)), entonces la pendiente de la tangente en (b, f (b)) debe ser mayor que la pendiente de la tangente en (a, f (a)).
En efecto, como la tangente en (a, f (a)) es la gráfica de la función g( x x) = f ′(a) ( x x – a) + f (a), y como el punto (b, f (b)) queda por encima de la tangente tenemos: f (b) > f ′(a) (b – a) + f (a)
Análogamente, como la tangente en (b, f (b)) es la gráca de h( x x) = f ′(b) ( x x – b) + f (b),
y (a, f (a)) queda por encima de la tangente en (b, f (b)), tenemos f (a) > f ′(b) (a – b) + f (b)
Luego f ′(a) < f ′(b), y f es es cóncava hacia el eje Y positivo positivo según el teorema 2. 1.2.3.
Puntos de inflexión x), se El estudio que hicimos, relativo a los máximos y mínimos de una función f ( x x) respecto de una reducía a estudiar la posición de la curva representativa de f ( x tangente paralela al eje OX en en un entorno del punto de contacto.
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tema 28
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Vamos a generalizar este estudio al caso en que la tangente ya no sea paralela al eje OX . Entonces, si designamos por x0 la abscisa del punto de contacto, puede x0) sea nita y distinta de cero o innita. ocurrir que f ′( x a)
x0) ≠ 0 y nita, y supongamos que en un en Situémonos en el primer caso, f ′( x torno de x0 la función f admite admite derivadas continuas hasta el orden n, de forma (n que f para n > 1 es la primera que no se anula en dicho punto.
Entonces, la fórmula de Taylor nos da: f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) h + +
f ( x0 + θ h) (n
n!
h , 0 < θ < 1 n
x0)) es y como la ecuación de la tangente en ( x0, f ( x
y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ( x − x0 ) ⇒ y = f ( x0 ) + f ′( x0 ) h
resulta que la diferencia yc – yt entre la ordenada de la curva yc y la de la tangente yt para puntos de la misma abscisa vale: f ( ( x0 + θ h) n
yc
− yt =
n!
h
n
Tomando |h| sucienemente pequeño, f (n( x x0 + θh) tendrá el mismo signo que n es f (n( x x0), en virtud de la continuidad de la función f (n. Por consiguiente, si n es par, yc (n x0), tanto si h es positivo como negativo; cuando – yt tiene el mismo signo que f ( x ( n n f ( x x0) > 0 la curva queda por encima de la tangente, y se dice que la curva es cóncava hacia las Y positivas positivas (o simplemente cóncava).
En el caso de n = 2, f ′′( x x0) > 0 es condición suciente para que f ′( x x) sea creciente, como se ve en la gura, f ′( x x) pasa de negativa por cero a positiva. Si f ( n n < 0, y c – y t es siempre negativo y la curva permanece por debajo de la 0, y – y tangente, y se dice que la curva es cóncava hacia las Y negativas. negativas.
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tema 28 matemáticas
x0) < 0 es condición suciente para que f ′ sea decrecienEn el caso de n = 2, f ′′( x te; como se ve en la gura, f ′( x x) pasa de positiva por cero a negativa.
es impar, yc – yt toma signos distintos, según que h sea mayor o menor Si n n es que cero, entonces la curva atraviesa la tangente y se dice que en el punto de x0)) es un punto donde la curva abscisa x0 hay una inexión, es decir, ( x0, f ( x pasa de cóncava a convexa o viceversa, viceversa, ha de ser, ser, pues, f ′′( x x0) = 0.
En resumen: Si la primera derivada que no se anula en el punto x0 (aparte de la de primer orden) es de orden impar, la curva tiene una inexión en dicho punto; para ello x0) = 0. Si tal derivada es de orden par, la curva es cóncava se necesita que f ′′( x hacia las Y positivas positivas cuando dicha derivada es positiva, y cóncava hacia las Y
negativas si es negativa. b)
x) tiende a ∞ Supongamos ahora ahora que la función f es es continua y su derivada f ′( x x0 – ε, cuando x → x0, pero manteniendo el signo en cada uno de los intervalos ( x x0) y ( x x0, x0 + ε), ε > 0 y sucientemente pequeño. x) tenga el mismo signo en ambos intervalos, en Entonces, puede ocurrir que f ′( x cuyo caso la función es estrictamente creciente o decreciente y x0 es un punto
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matemáticas
de inexión de la curva con tangente paralela al eje OY ; o bien que el signo de f ′( x x) en dichos intervalos sea distinto, y entonces x0 es un punto de retroceso con una semitangente paralela al eje OY .
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2
APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRÁFICAS DE FUNCIONES Para hacer la representación gráca de una función es conveniente determinar las
propiedades dadas en el apartado anterior, anterior, aunque no es necesario hacer todos los puntos. Ejemplos 1. «La bruja de Agnesi» nombre adaptado por la curva porque al traducir al inglés el libro sobre el cálculo diferencial «Instituzioni Analitik», de la matemática italiana María Gaetana de Agnesí (Milán, 1718-1799), confundieron la palabra latina versoria (que signifca campana) con la también latina versiera (que signifca bruja). f ( x ) =
a 3 x 2
+
a2
Supongamos a > 0:
Dom f = = .
Puntos de corte con los ejes: OX : y = 0 :
a3 x 2
+ a2
OY : x = 0 : f (0) =
Simetría. f (− x) =
≠ 0 ⇒ No hay a3 a2
a
= a ⇒ (0, a)
3
(− x) 2 + a 2
=
a x
2
3
+ a2
= f ( x) ⇒
f
es par ⇒
la gráca es simétrica respecto de OY .
Asíntotas. x ) = f (a ) ∀ a ∈ ⇒ No hay asíntota vertical lim f ( x →a
x
lim f ( x) = 0 ⇒ y = 0 ⇒ Es la asíntota horizontal →+∞ →+∞
x
Monotonía y puntos extremos.
2 x ⋅ a 3 − = 0 ⇔ x = 0 f ′( x) = 2 ( x + a 2 ) 2
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tema 28
matemáticas
Curvatura y puntos de inexión.
f ′′( x) = −2a
a 2 − 3x 2
3
⋅
( x 2 + a 2 ) 2 − 2 ⋅ (x 2 + a 2 ) ⋅ 2 x ⋅ x ( x 2 + a 2 ) 4
= 0 ⇒x =±
3
= −2a 3 ⋅
a2
− 3x 2 =0⇔ ( x 2 + a 2 )3
a
3
1
2. f ( x ) = = x ⋅⋅ e
x
= – {0}. − Dom f = − Asíntotas: 1 x x ⋅ e = 0 ⋅ e −∞ = 0 xlim − →0 1 1 x lim x ⋅ e x = 0 ⋅ ∞ = lim e = ∞ = lim + 1 x→0+ x →0 ∞ x→0+ x
1 x
e
1 ⋅ − x 2
−
1
= +∞
x 2
tiene una discontinuidad inevitable de salto innito y x = 0 es una En x = 0, f tiene asíntota vertical por la derecha.
Asíntota oblicua: y = ax + b 1
a = lim x →∞
f ( x) x
= lim x →∞
x ⋅ e
x
x
= e0 = 1
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tema 28 matemáticas
x1 x1 b = lim [ f ( x) − ax] = lim x ⋅ e − x = lim x ⋅ e − 1 = ∞ ⋅ 0 = x →∞ x →∞ x→∞ 1 1
lim
x →∞
e x
1
x
e
= xli→m∞
x
1 ⋅ − x 2 = 1, luego la asíntota oblicua es y = x + 1.
−
1
x 2 L’Hopital
− Puntos de corte con los ejes:
0 ∉ Dom f ⇒ No hay punto de corte con el eje OY . f ( x x) ≠ 0 ∀ x ∈ Dom f ⇒ No hay punto de corte con el eje OX . − Monotonía y puntos extremos: 1
f ′( x ) = e
x
1 1 1 x 1 x −1 + x ⋅ e ⋅ − 2 = e ⋅ 1 − = e x ⋅ 3 = 0 ⇔ x = 1 x x x e ≠0 1 x
1
x
− Puntos de inexión: f ′′( x) = e
1
x
1 x − 1 1x 1 1x − x − 1 1 ⋅ − 2 ⋅ + e ⋅ 2 = e ⋅ 3 + 2 = x x x x x 1
=e
x
34
− x + 1 + x 1x 1 ⋅ =e ⋅ 3 ≠ 0⇒ x x3
No hay P.I.
tema 28
matemáticas
3. f ( x ) =
x Lx
= (0, 1) ∪ (1, +∞) − Dom f = − Asíntotas:
lim
x →∞
x
lim+
x → 0
= ∞ No hay A.H.
Lx x Lx
= 0− x = 0+ A. A.V V.
= −∞ x →1 Lx x = 1 A.V A. V. x = +∞ lim x →1+ Lx lim+
x
− Monotonía y puntos extremos:
1
Lx − x ⋅ x f ′( x) = 2 ( Lx)
x = e f (e) =
e Le
=
Lx − 1
( Lx) 2
= 0 ⇔ Lx = 1 ⇔ x = e
= e ⇔ (e, e) MÍN
− Curvatura y puntos de inexión.
1 f ′′( x) = x
⋅ ( Lx)2 − ( Lx − 1) ⋅ 2Lx ⋅ ( Lx)4
1 x
=
Lx − 2 Lx + 2 x( Lx )3
= 0 ⇔ 2 − Lx = 0 ⇔
⇔ Lx = 2 ⇒ x = e 2
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tema 28 matemáticas
f (e
2
)=
e2 Le2
2 e 2 = ⇔ e , P.I. 2 2 e2
x) = cos2 x x · 4. f ( x) · sen 2 x f ( x x) = cos2 x · 2 sen x · cos x f ( x x) = 2 sen x · cos3 x
= − Dom f = − Periodicidad:
sen ( x + π ) = −sen x ⇒ f ( x + π ) = f ( x) ∀x ∈ cos ( x + π ) = − cos x La función es periódica, y su período mínimo es π. − Simetría: f (– x) ⇒ f impar (– x) = 2 sen (– x) · cos3 (– x) = –2 sen x · cos3 x = – f ( x impar f es es simétrica respecto del
origen de coordenadas.
En lo que sigue sólo estudiaremos la gráca en [0, π/2], ya que por simetría
se puede completar a [– π/2, π/2] y por periodicidad la podremos dibujar en todo . − Monotonía y extremos: f ′( x x) = 2 (cos x · cos3 x + sen x · 3 cos2 x · (sen x)) = f ′( x x) = 2 cos2 x (cos2 x – 3 sen2 x) = 0 ⇔
cos 2 x = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x =
π
2 cos2 x ≠ 0 cos 2 x − 3 sen 2 x = 0 ⇒ 3 sen 2 x = cos 2 x →
1 tg x = ⇒ tg 3 2
36
π
1 en 0, 2 π →x = x=± 3 6
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3
1 1 3 3 π π π 2 π 0, 65 ⇒ , 0, 65 = 2 ⋅ ⋅ = f = 2 sen ⋅ cos 6 6 2 3 6 6 8 π π π 3 π , 0 = 0 ⇒ f = 2 sen ⋅ cos 2 2 2 2 P.I.
MÁX
− Curvatura y puntos de inexión: f ′( x x) = 2 (cos4 x – 3 (1 – cos2 x) · cos2 x) = f ′( x x) = 2 (cos4 x – 3 cos2 x + 3 cos4 x) = 2 (4 cos2 x – 3 cos2 x)
′′( x f ′′ x) = 2 (16 cos3 x · (sen x) – 6 cos x (sen x)) = ′′( x f ′′ x) = 2 · 2 · sen x · cos x · (–8 cos2 x + 3) = 0 sen x = 0 ⇒ x = 0 P.I. en (0, 0) π cos x = 0 ⇒ x = π P. , 0 P.II. en 2 2 3 8
−8 cos 2 x + 3 = 0 ⇒ cos 2 x = ⇒ cos x = ⇒ x = ar cos
⇔
con tg horizontal 6 ⇒ 4
6 0, 91 ⇒ (0, 91, 0, 36) 4
⇒
Por simetría
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tema 28 matemáticas
Y por periodicidad:
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matemáticas
BIBLIOGRAFÍA APOSTOL, T. M.: Análisis Matemático, 2002. Calculus ( Vol. I). Ed. Reverté. FERNÁNDEZ VIÑA, J. A.: Análisis Matemático. Ed. Tecnos, 1992. LINES, E.: Análisis Matemático I. Ed. Reverté, 2001. SPIVAK, M.: Calculus ( Vol. I). Ed. Reverté, 1995.
39
tema 28
matemáticas
RESUMEN
Estudio global de funciones. Aplicaciones a la repr representación esentación gráfica de funciones.
1. 1
1.1.
1.1.1.
ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN FU NCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE Y = F�X� Dominio x)} Dom f = = { x ∈ / ∃ x ∈ con y = f ( x
1.1.2.
Puntos de corte con los ejes
1.1.3.
Simetrías
f es par si
(– x), y entonces la gráca de f es es simétrica respecto ∀ x ∈ Dom f : f ( x x) = f (–
del eje OY. f es impar si ∀ x ∈ Dom f : f (– (– x) = – f ( x es simétrica respecto x), y entonces la gráca de f es origen. 1.1.4.
Periodicidad
Una función es periódica si ∃ T 0 ∈ / f ( x x +
T 0) = f ( x x)
∀ x ∈ Dom f y y a T 0 se le llama
período de f . Al menor período positivo que verica f ( x x + T ) = f ( x x) se le llama período principal. 1.1.5.
Ramas infinitas. Asíntotas Denición
Sea f : I → presenta una rama in → una función continua en I . Diremos que la función f presenta nita en x0 si: lim ( x, f ( x )) = xl→imx
x → x0
2
x 2 + [ f ( x )]
= +∞
0
Denición presenta una rama innita en x0. Diremos Sea f : I → y supongamos que f presenta → continua en I y que existe dirección asintótica de asintótica de la rama innita en x0 si:
lim x → x 0
x x 2
+
f 2 ( x)
,
= (a, b) x 2 + f 2 ( x) f ( x)
El vector (a, b) es el vector director de la dirección asintótica. Denición presenta una rama innita en x0. Diremos Sea f : I → y supongamos que f presenta → continua en I y que una recta r es es asíntota a la rama innita si la distancia de ( x, f ( x tiende a x)) a la recta r tiende 0 cuando x → x0, es decir, la paralela a r trazada trazada por ( x cuando x → x0. x, f ( x x)) tiende a r cuando
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tema 28 matemáticas
X
Resumen de los casos
Hay tres tipos de asíntotas. im f ( x ) = b ∈ ⇒ en y = b hay una asíntota horizontal. 1. Si xl→±∞ 2. Si xli→ma f ( x ) = ∞, a ∈ ⇒ en x = a hay una asíntota vertical. 3. Si f ( x) = a ∈ − {0} lim x →∞ x hay una asíntota oblicua. f x ax b − = ∈ lim ( ( ) ) x →∞ 1.2.
1.2.1.
PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN F UNCIÓN OBTENIDAS A PARTIR DE LAS SUCESIVAS SUCESI VAS DERIVADAS DE Y = F�X� Monotonía y extremos x0 – δ, x0 + δ), δ > 0, tal que: La función es creciente en x0 si existe un intervalo abierto ( x f ( x) ≤ f ( x x0)
f ( x x) ≥ f ( x0)
si x ∈ ( x x0 – δ, x0)
si x ∈ ( x x0, x0 + δ)
La función es decreciente en x0 si existe un intervalo abierto ( x0 – δ, x0 + δ), δ > 0, tal que: f ( x) ≥ f ( x x0)
f ( x x) ≤ f ( x0)
si x ∈ ( x x0 – δ, x0)
si x ∈ ( x x0, x0 + δ)
Cuando se descarta la igualdad, el crecimiento o decrecimiento es estricto. Proposición 1
f ′( x ) > 0 Si 0 la función es estrictamente f ′( x0 ) < 0
creciente en ese punto. decreci ente creciente
Proposición 2
f ′ > 0 Si ′ en (a, b), entonces f es es estrictamente f < 0
creciente en [a, b] decreci ente creciente
Proposición 3
Sea f una una función en [a, b] y derivable en (a, b). Se verica: Si f ′ ≥ 0 en (a, b), entonces f es es creciente en [ a, b] y si f ′ ≤ 0 en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. Proposición 4 x) = 0 para todo x perteneciente Sea f continua continua en [a, b] y derivable en (a, b), y tal que f ′( x al intervalo abierto (a, b), entonces f es es constante en [a, b]. X
Definiciones de máximos y mínimos relativos
máximo
relativo (o local) en un punto x0 si existe un intervalo Una función f tiene tiene un mínimo ∈ ( x x0 – δ, x0 + δ), se verica: ( x x0 – δ, x0 + δ) tal que ∀ x
f ( x) < f ( x0 ) f ( x) > f ( x ) 0
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tema 28
matemáticas
Proposición 5 una función denid sobre un intervalo abierto ( a, b). Si x0 es un máximo (o un míniSea f una x0) = 0. mo) para f sobre sobre (a, b), y f es es derivable en x0, entonces f ′( x Proposición 6
Sea f una una función continua no constante en el intervalo compacto [a, b]. Entre dos máximos locales de f , existe siempre un mínimo local. Los puntos x, tales que f ′( x x) = 0, que se llaman puntos críticos o singulares. X
Criterios para la determinación de máximos y mínimos
X
Variación de la función Variación de la derivación primera Mediante la derivada segunda
Funciones monótonas a trozos Una función denida en un intervalo [ a, b] se dice monótona a trozos si [ a, b] se puede dividir en un número nito de subintervalos, de tal modo que en cada uno de ellos la fun
-
ción es monótona. Teorema
Si f es es una función continua en el intervalo cerrado [ a, b] y se supone que f no no presenta ni máximo ni mínimos locales en ningún punto interior de ( a, b), entonces f es es monótona en [a, b]. 1.2.2.
Concavidad y convexidad Denición
Se dice que una función f ( x positivo en un intervalo, si para todo t odo x) es cóncava hacia el eje Y positivo a, b de dicho intervalo, el segmento rectilíneo que une los puntos (a, f (a)) con (b, f (b)) queda por encima de la gráca de f ( x x). Operando:
f (b) − f (a ) b−a
⋅ ( x − a) > f ( x) − f (a) o bien: f (b) − f (a ) > f ( x ) − f (a ) b−a x − a
Si se sustituye la palabra «encima» por «debajo» en la denición o, la desigualdad se
sustituye por:
f ( x ) − f (a ) x − a
>
f (b ) − f (a ) b−a
se obtiene la denición de función cóncava hacia el eje Y negativo. negativo. Teorema 1 a)
Sea f una una función cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. Si f ( x x) es derivable en un punto a, entonces la gráca de la función queda por encima de la tangente trazada por el punto
(a, f (a)) excepto en el propio (a, f (a)) (que se llama punto de contacto de la tangente). b)
Si a < b y f es es derivable en a y en b, entonces f ′(a) < f ′(b).
Teorema 2
Si f es es derivable y f ′ es creciente, entonces f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo. Teorema 3 es derivable y la gráca de f queda Si una función f es queda por encima de cada tangente excepto en el punto de contacto, entonces f es es cóncava hacia el eje Y positivo. positivo.
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tema 28 matemáticas
1.2.3.
Puntos de inflexión
Sea f ′( x admite deri x0) ≠ 0 y nita, y supongamos que en un entorno de x0 la función f admite (n vadas continuas hasta el orden n, de forma que f para n > 1 es la primera que no se anula en dicho punto. entonces: Si n es par, tenemos dos cosas: − Cuando f (n( x0) > 0 la curva queda por encima de la tangente , y se dice que la curva es cóncava hacia las Y positivas. positivas. − Cuando f (n < 0, yc – yt , la curva permanece por debajo de la tangente , y se dice que la curva es cóncava hacia las Y negativas. negativas. Si n es impar, se dice que en el punto de abscisa x hay una inexión, es decir, un 0 punto donde la curva pasa de cóncava cóncava a convexa o viceversa. es continua y su derivada f ′( x b) Si en cambio la función f es x) tiende a ∞ cuando x → x0, puede ocurrir que x0 es un punto de inexión; o bien que sea un punto de retroceso con una semitangente paralela al eje OY . a)
2. 2
APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRÁFICAS DE FUNCIONES
Ejemplos 1. f ( x ) =
a 3 x 2 + a 2 1
2. f ( x ) = x ⋅ e x 3. f ( x ) =
x Lx
4. f ( x) = cos2 x · sen 2 x
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