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MATEMÁTICAS Sucesiones. Término general y forma recurr recurrente. ente. Progresiones aritméticas y Progresiones geométricas. Aplicaciones.
3 1 0 0 8 3 1 4 2
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matemáticas
1.
SUCESIONES: CONCEPTO Y EJEMPLOS
2.
TÉRMINO GENERAL Y FORMA RECURRENT E
2.1.
CONCEPTO DE TÉRMINO GENERA L
2.2.
CONCEPTO DE TÉRMINO RECURRENTE DE ORDEN K
2.3.
SUCESIONES SIN TÉRMINO GENERAL NI LEY DE RECURRENCIA
3. 3.1.
3.2.
PROGRESIONES ARITMÉTICA S
PROGRESIONES ARITMÉTICAS ORDINARIA S 3.1.1.
Formas de definir una progresión aritmética
3.1.2.
Interpolación aritmética
3.1.3.
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión aritmétic a
PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIO R 3.2.1.
4. 4.1.
5.
Diferencias finitas
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 4.1.1.
Formas de definir una progresión geométrica
4.1.2.
Interpolación geométrica
4.1.3.
Producto de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométric a
4.1.4.
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométric a
OTRAS PROGRESIONES
5.1.
PROGRESIONES ARITMÉTICO�GEOMÉTRICAS
5.2.
PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS
6.
APLICACIONE S
6.1.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
6.2.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
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matemáticas
INTRODUCCIÓN
Suponemos conocido el conjunto de los números reales así como el concepto de función, y vamos a estudiar en este tema un tipo de funciones reales cuyo dominio de denición es * = – {0}. Son las llamadas sucesiones de números reales. Esto va a permitir enumerar y ordenar un conjunto de innitos números reales, que no tienen que ser necesariamente
todos distintos. En nuestro desarrollo centraremos la atención en dos tipos particulares de sucesiones: las progresiones aritméticas progresiones aritméti cas y geométricas, resaltando un cierto paralelismo que existe entre ellas (lo que se expresa en términos de adición en las aritméticas, se traduce en multiplica ción en las geométricas).
Citaremos también las aplicaciones de las progresiones entre estas cabe destacar las aplicaciones en las matemáticas comerciales, aunque explicaremos también sus aplicaciones en otros varios campos.
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SUCESIONES: CONCEPTO Y EJEMPLOS
Se llaman sucesiones las series de números siguientes: a) 1, 3, 5, 7, ... (los números naturales impares). b) 1, 4, 9, 16, ... (los cuadrados cuadrados perfectos). Son cadenas de números, ordenados unos tras otros. Pueden prolongarse indeni damente o no. Cada uno de los elementos de la sucesión se llama término. A los términos de una sucesión se les designa del siguiente modo: a1, a2, a3, ..., son los términos primero, segundo, tercero...
A l nú núm mero an se le llama término n-é n-ésimo y toda la sucesión se representa por ∞ simpl plem emente {an}. {an}n=1 o sim En denitiva, una sucesión es una colección de números ( , , , , ), a cada uno de los cuales se les ha puesto una etiqueta, que indica el lugar que ocupa. La forma de etiquetarlos es asignándoles un número natural. Por eso damos la siguiente denición:
(donde H puede ser , , , , ) Definición: Una sucesión de elementos de H (donde
es una aplicación de * en H: f : * → H n
→
f ( n)
La notación que se utiliza es an = f (n).
Dependiendo del conjunto H (, , , , ) la sucesión recibe el nombre de
sucesión de números naturales, de números enteros, de números racionales, de números reales o números complejos, respectivamente. Nota:Supondremos a lo largo del tema que las sucesiones son de números reales, H = . Nota:Supondremos
Así, las sucesiones del ejemplo anterior pueden describirse del siguiente modo 1. a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., o simplemente an = 2n+1 ∀n∈* y {an} representa la sucesión de números impares. 2. b1 = 1, b2 = 4, b3 = 9, ..., o simplemente {bn}= {n2} que representa la sucesión de números cuadrados perfectos.
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2.1.
TÉRMINO GENERAL Y FORMA RECURRENTE
CONCEPTO DE TÉRMINO GENERAL Hay sucesiones, como la del ejemplo de los cuadrados perfectos 1, 4, 9, 16, 25, ..., para las que se puede obtener la e x presión de un término cualquiera cualquiera an en función del lugar que ocupa, n. De este modo se pueden obtener términos sin necesidad de
conocer los anteriores. En el ejemplo 1, 4, 9, 16, ..., an = n2. Así: a10 = 102 = 100 ó a95 = 952. A la fórmula o expresión matemática que nos permite obtener cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa se le llama término general. Por ejemplo,
n
∀ ∈*
2.2.
1 si n es primo 0 si n no es primo
an =
CONCEPTO DE TÉRMINO RECURRENTE DE ORDEN K Otras sucesiones, vienen dadas por una ley de recurrencia que permite, conoci dos el primer o los primeros términos, obtener otro término cualquiera a partir de
conocer el anterior o los anteriores. Formalmente: Una sucesión es recurrente de orden k si si conocemos los k primeros primeros términos a1, a2, ..., ak , y cada término siguiente viene dado en función de los k anteriores: Defnición:
an = f (an-1, an-2, ..., an−k ) ∀n>k
Esta ecuación se llama ecuación de recurrencia de orden k . Ejemplos: 1.
La famosa sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, ... es una sucesión recurrente recurrente de orden 2 puesto que viene dada por la expresión:
F1 = F2 2.
= 1,
Fn
= Fn−1 + Fn−2 si n ≥ 3
Otros ejemplos de sucesiones sucesiones recurrentes son las llamadas progresiones, que estudiaremos posteriormente con más detalle.
Nos centraremos en las sucesiones recurrentes de orden k , an = f (an-1, an-2, ..., an−k ), en las que la función f es es lineal, esto es, las de la forma an
= α1an−1 + α 2an−2 + + α k an −k ∀n > k
con α i ∈ y a1 , , ak conocidos. Vamos a ver cómo resolver esta ecuación de recurrencia, lo que signica determi nar el término general de dicha sucesión. La clave está en lo siguiente:
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Consideremos la sucesión r n, con r un número a determinar (real o complejo) que obtendremos imponiendo que {r n} satisfaga la ley de recurrencia anterior. Tenemos que:
∀n > k un = α1un−1 + α 2un−2 + + α k un −k ⇔ r n = α1r n−1 + α 2r n−2 + + α k r n−k ⇔ r n − α1r n−1 − α 2r n−2 − − αk r n−k = 0 ⇔ r n−k ( r k − α1r k −1 − α 2 rk −2 − − αk ) = 0 Por tanto,o r = 0, o r es una solución de la ecuación r k − α1r k −1 − α 2 r k −2 − − α k = 0 llamada ecuación característica. con coecientes reales, tendrá r soluPor ser un ecuación polinómica de grado r con soluciones (reales o complejas conjugadas dos a dos, simples o múltiples). Se puede xpresarse esarse como una combi combinanademostrar entonces que nuestra sucesión an puede expr i n ción lineal de términos de la forma n r con i =0,… =0,…,,m−1 siendo m la multiplicidad de r , y con r variando variando en el conjunto de la soluciones de la ecuación característica. Los coecientes, reales o complejos conjugados, de dicha combinación lineal se obtendrán a partir de los a1 , , ak conocidos.
Ejemplos: 1.
Consideremos la sucesión de Fibonacci {F n } vista en un ejemplo anterior. Su ecución de recurrencia puede escribirse an − an−1− an−2= 0 y, por tanto, su ecuación característica es r 2 − r − 1 = 0, cuyas soluciones, simples, son: r 1 =
1+ 5 2
y
r 2
=
1− 5 2
n n x e y se determinan imponiendo Así podemos escribir Fn = xr1 + yr2 donde que F 1=F 2=1.
Resolviendo este sistema, obtenido al sustituir n por 1 y 2, obtenemos: x =
1 , 5
y=−
1 5
de donde el término general de la sucesión de Fibonacci es: n
n
1 1 + 5 1 1 − 5 F n = − 5 2 5 2 2.
Consideremos la sucesión a1 = 1, a2 = 3, an = 6an-1 − 10an-2 si n ≥ 3. Su ecuación característica es
r 2 − 6r + 10 = 0, cuyas soluciones son: r1
= 3 + i,
r2
= 3− i
x e y se determinan imponiendo que Entonces an = xr1n + yr2n donde a2=3.
a1=1
Resolviendo el sistema obtenemos: an
8
= 1 ( 3 − i ) ( 3 + i )n + 1 ( 3 + i ) ( 3 − i )n = 1 ( ( 3 + i )n−1 + (3 − i )n−1 ) 20
20
2
y
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Se observa que x e y debían ser complejos conjugados puesto que, para cual real y r 1 y r 2 complejos conjugados. quier n, an es un número rea
3.
Consideremos la sucesión a1 = 0, a2 = 1, a3 = −1, an = an-1 + an-2 − an-3 si n ≥ 4. Su ecuación característica es r3 − r 2 − r + 1 = 0, cuyas soluciones son: r 1 = 1(doble)
r 2 = −1 (simple)
y
n n n x, y y z se se determinan determinan para que se Entonces an = xr1 + ynr1 + zr2 donde
verifique que: a1 = 0, a2 = 1, a3 = −1
5 4
1 2
Resolviendo obtenemos x = , y = − , z =
3 4
5 − 2n + 3(−1)n Por tanto: an = 4
2.3.
SUCESIONES SIN TÉRMINO GENERAL NI LEY DE RECURRENCIA Hay algunas sucesiones, por ejemplo la sucesión de los números primos, para las que no se puede encontrar un término general ni ley de recurrencia que permita encontrar cualquier término de la sucesión aunque esté perfectamente denida
como por por ejem ejempl plo o tambi bién én la sucesi cesión ón a : 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, ... donde an es el n-ésimo decimal del número π.
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3
3.1.
PROGRESIONES PROGRESIO NES ARITMÉTICAS
PROGRESIONES ARITMÉTICAS ORDINARIAS Defnición:
progresión ón aritm ari tméti ética ca de números rea reales a toda sucesi sión ón de números Llamamos progresi reales en la reales la que que cada cada térmi rmino, no, excepto el pri prim mero, se obtiene del anteri rior or sumánsumándole una constante llamada diferencia. A sí pues, en toda toda progresi progresión ón ari aritm tmética ética {an} se verifica: an + 1 – an = d , ∀n ∈ *
Se cumple que toda progresión aritmética {an} es una sucesi sucesión ón recurrente recurrente de segundo orden, puesto que an +2 – an + 1 =an +1 – an ∀n ∈ * por tanto: an + 2 = 2an + 1 – an ∀n ∈ *
A sí sí,, la l a ecu ecuación ación caracte caracterí rísti stica ca de cua cuallquier progresión aritm aritmét étiica es (r – – 1) 1)2 =0 que es independiente de la diferencia, d . Resolviendo la ecuación de recurrencia anterior, como hiciéramos anteriormente, obtenemos que an= a1 + d(n–1) ∀n ∈ *. Por ello: X
Teorema (caracterización de las progresiones aritméticas) Toda progresión aritmética {an} puede escribirse de la forma an =dn +b con d y
b números reales fijos y viceversa. Demostración:
Como acabamos de ver, si {an} es una progresión aritmética de diferencia d enton-
ces an= a1 + d(n–1) = dn + (a1–d). Supongamos ahora que {an} es una sucesi sucesión ón cuyo término general tiene la forma an =dn +b ∀n ∈ *. Entonces an +1 – an =d (n +1 – n) +b – b =d.
Recibe el nombre de progresión aritmé aritmética li limitada a una parte de la progresión formada por los n-primeros términos: {a1, a2, ..., an}. 3.1.1.
Formas de definir una progresión aritmética Sabemos que toda progresión aritmética, por ser una sucesión, está denida si
conocemos su término general. Pero, debido a sus características, una progresión aritm ari tméti ética ca tam tambi bién én queda defini definida da conoci conociend endo: o: 1.
Un término cualquiera ak y la diferencia d . En efecto:
Sea an = dn + b el término general de la progresión aritmética. Si ak = dk + + b es un término conocido de la progresión aritmética de diferencia conocida d , entonces: an – ak = dn + b – dk – – b = d (n – k ) ⇒ an = ak + d (n – k )
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En particular, si conocemos a1 y d tenemos: tenemos: an = a1 + d (n – 1) como hemos visto anteriormente. Podemos recor recordar dar esto fácilmente escribiéndolo así: an – ak = d (n – k )
∀k , n ∈ *
p ≠ q) de dicha progresión aritmética. 2. Dos términos cualesquiera a p y aq ( p
En efecto: p – q) de aquí obtenemos d y Como a p – aq = d ( p y ya estamos en el caso anterior.
Resumiendo, una progresión aritmética está
defnida
conociendo:
− El término general an. − Un término cualquiera ak y la diferencia d . p ≠ q). − Dos términos cualquiera a p y aq ( p 3.1.2.
Interpolación aritmética Los problemas de interpolación aritmética suelen tener un enunciado parecido al siguiente: Interpolar m medios aritméticos o diferenciales entre dos números
reales conocidos a y b.
La solución consiste en hallar m números reales x1, ..., xm tales que al intercalarlos entre a y b la sucesión resultante {a, x1, ..., xm, b} sea una progresión aritmética limitada. Para resolver este problema basta denir a1= a , a2 = x1, ..., am+1 = xm, am+2 = b, y puesto que conocemos dos términos (el primero y el último) de esta progresión aritmética limitada ya podemos obtener el término general an y por ende los xi dando valores a n = 2, …, m +1. 3.1.3.
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión aritmética
Vamos a sumar n términos consecutivos de una progresión aritmética. Por comodidad dida d en la la notaci ción ón vamos a ef efectuar la l a suma de los n primeros términos, ya que el proceso a seguir sirve para sumar n términos consecutivos cualesquiera de la progresión aritmética. Si a1, ..., an son n términos consecutivos de la progresión aritmética, tenemos:
= a1 + a2 + + an−1 + an Sn = an + an−1 + + a2 + a1 sumando 2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + + (an−1 + a2 ) + (an + a1 ) Sn
(1 1 ≤ k ≤ n). Veamos que a1 +an =a2 +an – 1 =... =a1 +k +an – k ( Observemos que la sum Observem suma de los subíndi subíndices ces de de los los tér términos que consti constituyen tuyen las igualdades anteriores vale 1 +n =2 +n – 1 =... =1 +k +n – k , por tanto, veamos la siguiente proposición más general que afirma que la suma de los términos equidistante di stantes delos extr xtrem emos es constanteen toda progr rogresi esión ón aritmé aritméti tica ca lilimitada.
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Proposición:
Sea {an} una progresión aritmética y p, q, s, t ∈ *. Si p +q = s +t, entonces a p +aq = a s +at . Demostración: Si p + q = s + t, entonces p – s = t – p – s) = d (t – – q por tanto a p – as = d ( p – q) = at – aq
Volviendo a nuestra cuestión, tenemos:
2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ) = n (a1 + an ) ⇒ S n =
a1 + an n
2
En general, la suma de los términos comprendidos entre ap y aq ( p < q) más dichos términos ap y aq en una progresión aritmética viene dada por la fórmula:
S
= a p + a p+1 + + aq −1 + aq =
a p
+ aq 2
( q − p + 1)
Observación: Las dotes matemáticas de Gauss se manifestaron desde pequeño; se cuenta de él que un día, a la edad de 9 años, cuando llegó a la cl ase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de s umar todos
uno por uno, resolvió el problema en pocos minutos de la siguiente manera: 1 + 2 + ... + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050
es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los n términos consecutivos de una progresión aritmética ordinaria.
3.2.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR sucesión ón Acabamos de ver que una progresión aritmética ordinaria { an} es una sucesi cuyo término general viene dado por un polinomio de primer grado en n. Por extesión, se llama progresión aritm a toda sucesión cuyo aritméti tica ca ordinari ordinaria a de orden k a término general viene dado por un polinomio de grado k e en n, es decir, si
= α k n k + α k −1n k −1 + + α1n + α 0 ∀n ∈ * , α i ∈
an
Observemos que las progresiones aritméticas ordinarias son entonces progresio nes aritméticas de primer orden.
Ejemplo: 1.
1)} cuyos primeros términos son 0, Consideremos la sucesión {an} = {(n+2)(n – 1)
4, 10, 18, 28, 40, 54, … Se trata de una progresión aritmética de segundo orden puesto pue sto que que su término término gener general al an = n2 + n – 2 viene dado por un polinomio de segundo grado en n. Con el n de obtener el término general de una progresión aritmética de orden superior , es decir, no ordinaria, es necesario introducir el concepto de diferen-
.
cias fnitas
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3.2.1.
Diferencias finitas
Dada una sucesión {an}, llamaremos sucesión de las diferencias de primer orden an ∀n ∈ * de {an} a otra sucesión {Δan} definida como: Δan = an+1 – a Si repetimos el proceso ahora con {Δan} obtendremos la sucesión de las diferencias
de segundo orden orden de {an} que denot notaremos aremos {Δ2an} con Δ2an =Δan+1 –Δan ∀n ∈ *. De forma análoga se obtiene la sucesión de las diferencias de orden k de de {an} que k k k-1 k-1 denotaremos {Δ an} donde Δ an =Δ an+1 –Δ an ∀n ∈ *. Por convenio definimos Δ0an = an Veamos ahora ahora cómo obtener an a partir del primer término de las n sucesiones de diferencias {Δk an} k =0, …, n–1 X
Propiedad 1
n − 1 k = ∑ Δ a1 = (1 + Δ )n−1 a1 k =0 k n −1
an
donde en la última igualdad utilizamos una notación formal de
Δ como operador. Demostración:
Por inducción inducción sobre n. Para n = 1 el sumator atoriio sereduce a Δ0a1 = a1 por de 1.. Veamos que es cierto para n + 1. finición. Supongamos que es cierto para n ≥ 1 Te T enemos: an +1
= an + Δan = (1 + Δ ) a n = (1 + Δ) (1 + Δ )n−1 a1 = (1 + Δ )n a1
como queríamos demostrar. X
Propiedad 2
Si {an} es una progresión aritmética de orden k entonces las sucesiones de diferen cias nitas de orden superior a k son exactamente nulas.
Demostración: Por inducción sobre k .
Si k = = 1 entonces entoncesan =d · n +b, por tanto Δan = d y Δ pan = 0 ∀ p p>k >k Supongamos la propiedad cierta para k ≥1 y probemos que es cierta para k + 1.
aritméti tica ca de orden k+ 1, por tanto an = P (n) si sie endo Sea Se a {an} una progresión ari P(n) un polinom polinomio degrado k +1 en n. Entonces Δan grado k en en n.
= an+1 − an = P (n + 1) − P (n ) = Q (n ) con Q(n) un polinomio de
progresi esión ón aritmé aritméti tica ca de orden k, y por Se sigue, por tanto, que {Δan} es una progr p p hipótesis de inducción {Δ Δan }≡ 0 ∀ p p>k >k , es decir, {Δ an }≡ 0 ∀ p p>k+ >k+ 1 c.q.d. Estas dos propiedades nos permiten obtener el término general de una progresión aritmética de cualquier orden como muestra el ejemplo siguiente:
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tema 8 matemáticas
Ejemplo: 1. Hallar el término general de la sucesión 4, 15, 32, 55, 84, 119, 160, 207, 260,
319,… Solución: Para ello formaremos las distintas sucesiones de las diferencias nitas
De orden 0: 4, 15, 32, 55, 84, 119, 160, 207, 260, 319 De orden 1: 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59 De orden 2: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 De orden 3 o superior: 0, …, 0 Así, la sucesión dada {an} es una progresión aritmética de orden 2. Por la propiedad 1 su término general es:
n − 1 n − 1 2 = (1 + Δ)n−1 a1 = a1 + Δ + a 1 2 Δ a1 = 1 (n − 1)(n − 2) = 4 + (n − 1) ⋅11 + ⋅ 6 = 3n 2 + 2n − 1 an
2
Resolveremos por último el problema de sumar un número nito de términos con secutivos de una progresión aritmética de orden k en la siguiente proposición. Nota: Por comodidad trabajaremos con los n primeros términos de la sucesión.
X
Propiedad 3
n = ∑ ai = ∑ Δ i a1 i =1 i = 0 i + 1 n
Sn
n −1
Demostración:
Por inducción sobre n. Para n = 1 la igualdad anterior se reduce a
a1 = a1 , que es
cierta. Supongamos que es cierta para n. Entonces: n +1
∑
n
ai
i =1
= ∑ ai + an +1 = i =1
n n −1 n n n i n i n = ∑ Δ a1 + ∑ Δ a1 = ∑ + Δ i a1 + Δ n a1 = i = 0 i + 1 i = 0 i i = 0 i + 1 i n n −1 n n + 1 i n + 1 n n + 1 i Δ = = ∑ Δ + a a 1 n + 1 1 ∑ i + 1 Δ a1 + 1 i i = 0 i = 0 n −1
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Ejemplo: 2. Hallar la fórmula para sumar los n-primeros términos de la progresión aritmé -
tica de segundo orden del ejemplo anterior. Solución: Por la propiedad 3 tenemos: 2 n i n i n n n 2 5 2 1 3 Δ = Δ = + Δ + S n = ∑ ai = ∑ a a a a ∑ 1 1 1 1 Δ a1 = n + n + n 2 2 i =1 i = 0 i + 1 i = 0 i + 1 1 2 3 n
n −1
Nota: No es casualidad lo del ejemplo anterior sino una propiedad general que dice que Nota: No si una progresión aritmética es de orden k entonces la sucesión de sus sumas parciales +1. es una progresión aritmética de orden k +1.
Aplicaciones: Supongamos que queremos hallar la suma S n = 1 3 + 2 3 + … + n3. Esto es lo mismo que calcular la suma de los n primeros términos de la progresión arit mética de orden 3 cuyo término general es el polinomio n3.
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4
4.1.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Defnición:
progresión ón geométri étrica ca de números rea reales a toda sucesión sucesión de números Llamamos progresi reales en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del anterior multiplicándolo por una constante llamada razón. A sí pues, en todaprogres progresiión ari aritm tmét étiica {g {gn} se verifica: g n +1 =r gn, ∀n ∈ * L uego una progresi progresión ón geométri étrica ca es es una sucesió sucesión n recurrente recurrente de pri prim mer orden. Nota: Supondremos a lo largo de este epígrafe que trabajamos con progresiones geomé tricas de razón y primer término no nulos. Otros autores simplemente no consideran que estas sean progresiones geométricas. De esta forma g n ≠ 0 ∀n ∈ *.
X
Teorema (caracterización de las progresiones geométricas) Toda progresión geométrica {gn} puede escribirse de la forma gn =a r n con a y r
números reales fijos y viceversa.
Demostración: Sea {gn} una progresión geométrica de razón r . Entonces g n =rg n−1 = r 2gn−2 = … = r n−1g1 g Basta tomar a = 1 para escribir gn =a r n r
Recíprocamente, si {gn} es una sucesión cuyo término general es ces
gn = a r n enton-
∀n ∈ * rg n = rar n = ar n+1 = gn+1
por tanto {gn} es una progresión geométrica. Recibe el nombre de progresión geométrica limitada a una parte de la progresión formada por los n-primeros términos: {g1, g2, ..., gn}. 4.1.1.
Formas de definir una progresión geométrica Sabemos que toda progresión geométrica, por ser una sucesión, está denida si
bido do a sus caracte caracterí rísti sticas cas,, unaprogres progresiión al.. Pero, debi conocemos su términogeneral geomé ge ométri trica ca tambi bién én queda defini definida da conociend conociendo o: 1.
Un término cualquiera gk y la razón r . En efecto:
Sea gn = ar n el término general de la progresión geométrica.
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Si gk = ar k es un término conocido de la progresión geométrica de diferencia conocida r , entonces: gn g k
=
ar n k
ar
= r n−k ⇒ g n = gk r n−k
En particular, si conocemos g1 y r tenemos: tenemos: gn = g1 r n-1
como hemos visto anteriormente. p ≠ q) de dicha progresión geométrica. 2. Dos términos cualesquiera g p y gq ( p
En efecto: Como g p / gq = r p – q de aquí obtenemos r y y ya estamos en el caso anterior. Resumiendo, una progresión geométrica está
defnida
conociendo:
− El término general gn. − Un término cualquiera gk y la razón r . p ≠ q). − Dos términos cualquiera g p y gq ( p 4.1.2.
Interpolación geométrica
Estos problemas consisten en intercalar m medios geométricos o proporcionales x 1, ..., x m entre dos números reales conocidos a y b de forma que la sucesión resultante {a, x 1, ..., x m, b} sea una progresión geométrica limitada. Para resolver el problema basta definir g 1= a, g 2 = x 1, ..., g m+1 = x m, g m+2 = b, y puesto que conocemos dos términos (el primero y el último) de esta progresión geométri étrica ca li limitada ya podem podemos obtener obtener el término general general g n y así los x i dando valores a n =2, …, m +1. 4.1.3.
Producto de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica
Vamos a multiplicar n términos consecutivos de una progresión geométrica. Por comodidad en la notación vamos a efectuar el producto de los n primeros términos, ya que el proceso a seguir sirve para multiplicar n términos consecutivos cualesquiera de la progresión geométrica.
Si g1, ..., gn son n términos consecutivos de la progresión geométrica, tenemos:
= g1g 2 g n−1g n Pn = g n g n −1 g 2 g1 multiplicando Pn2 = ( g1g n )( g 2 g n−1 ) ( g n−1g 2 )( g n g1 ) Pn
Veamos que g1 gn = g2 gn – 1 = ... = g1 + k gn – k (1 ≤ k ≤ n).
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Observemos que la suma de los subíndices de los términos que constituyen las igualdades anteriores vale 1 + n = 2 + n – 1 = ... = 1 + k + + n – k , por tanto, veamos la siguiente proposición más general que arma que el producto de dos términos equidistantes de los l os extremos es igual al producto de los extremos en toda toda progre progresión geométrica limitada.
Proposición:
Sea { gn} una progresión geométrica y p, q, s, t ∈*. Si p +q = s +t , entonces g p gq = g s gt . Demostración: Si p + q = s + t, entonces p – s = t – – q por tanto g p / gs = r p – s = r t – – q = gt / gq
Volviendo a nuestra cuestión, tenemos: Pn2
= ( g1gn )( g 2 g n−1 ) (g n−1g 2 )(g n g1 ) = (g1g n )n ⇒ Pn =
(g1g n )n
En general, el producto de los términos comprendidos entre g p y g q ( p p
inclusive en una progresión geométrica viene dada por la fórmula: P = g p g p+1 g q −1g q
=
( g p g q )q − p +1
Como se puede apreciar, las propiedades estudiadas hasta ahora para las progresiones geométricas se corresponden con las estudiadas en las aritméticas (ordi narias) simplemente elevando el nivel de las operaciones de sumas a productos,
de diferencias a cocientes, de multiplicaciones a potencias y de divisiones a radicales. No obstante, la siguiente propiedad de las progresiones geométricas no se corresponde con ninguna de las aritméticas. 4.1.4.
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica
Por comodidad en la notación vamos a efectuar la suma de los n primeros términos de una progresi progresión ón geomé geométri trica, ca, es deci cir: r: S n = g1 + g2 + ... + gn – 1 + gn Multiplicando por r los los dos miembros de la igualdad anterior: r S r S n = g2 + g3 + ... + gn + gn r
Restando las dos igualdades anteriores, Sn − rSn
− g n r 1 − r
= g1 − g nr ⇒ (1 − r )Sn = g1 − g nr ⇒ Sn = g1
Por tanto, la suma de los primeros términos de una progresión geométrica es igual al primero menos el último por la razón dividido por uno menos la razón. Veamos qué casos se presentan atendiendo el valor de la razón.
a) r |r| = 1 = 1, todos los términos de la progresión geométrica limitada son iguales, Si r = entonces: S n = g1 + g1 + ... + g1 = n g1
=– 1, los términos consecutivos son opuestos; es decir: {g1, – g1, ... ± g1} Si r =–
18
tema 8
matemáticas
prim meros térmi términos vendrá vendrá dada por: La suma de los n-pri Sn b) r |r|
0 si n es par = g1 − g1 + ± g1 = g1 si n es impar
>1
En este caso los términos de la progresión crecen indenidamente en valor valor absoluto, y la suma de los n-términos consecutivos vendrá dada por:
S n c) r |r|
=
g1 − g nr
1 − r
1 − r n = g1 1 − r
<1
Si |r | < 1 y escribimos S n en la forma: S n = se sigue que, como el valor de
g1
g1
(1 − r n ) 1 − r
es constante y el de r n se hace tan pequeño
1 − r
como queramos, el valor de S n tiende a
g1
a medida que n crece.
1 − r
19
tema 8 matemáticas
5
5.1.
OTRAS PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICO ARITMÉTICO�GEOMÉTRICAS �GEOMÉTRICAS Defnición:
progresión ón ari aritm tméti éticoco-geom geométri étrica ca de números reales reales a toda sucesi sucesión ón Llamamos progresi de núm números rea reales cuyo término término general puede expr xpresa esarse de la la for form maa g como n n geométr triica {gn}. Diremos que producto de una progresión aritmética {an} y una geomé dicha di cha progresión progresión es de orden orden p si lo es {an}. Veamos cómo sumar los l os n primeros términos Sn = a g + a g + …+ a g n n 1 1 2 2 Supondrem Supondr emos que {an} es de orden p y { g n} es de raz razón ón r . Entonces tenemos:
= a1g1 + a2 g 2 + + an g n rSn = a1 g 2 + an−1g n + an g nr restando Sn (1 − r ) = a1 g1 + (a2 − a1 ) g2 + + (an − an−1 )g n − a n g nr = a1g1 + Δa + + Δan − an g nr gn −1 1 g 2 Sn
′ os de una sumaa de los n−1 primero primeross termin terminos ′ aritmetico-geometrica ′ progresion progresion e′tico-geometrica de orden p-1
Así sucesivamente iremos reduciendo el problema hasta llegar una progresión aritmético-geométrica de primer orden. Supongamos que este fuese ya el caso de partida, es decir, que {an} fuese una progresión aritmética de diferencia d . Enton-
ces:
= a1g1 + a2 g 2 + + an g n rSn = a1 g 2 + an −1g n + an g nr restando Sn (1 − r ) = a1 g1 + (a2 − a1 ) g2 + + (an − an−1 )g n − a n g nr g 2 − g nr = a1g1 + d ( g 2 + + g n ) − an g nr = a1 g1 + d 1 − r − an g nr Sn
= a1g1 + d ( g1 − g n ) de donde: S n
r
1 − r
− an g nr
− an g nr d ( g1 − g n )r + 2 1 − r (1 − r )
= a1g1
Más que con la fórmula, fácilmente olvidable, cabe quedarse con el método a se guir para obtenerla pues es así como habría que proceder ante un caso práctico.
20
tema 8
matemáticas
Ejemplo: 1.
Sumar 1 ⋅1, 4 ⋅ 3, 9 ⋅ 9, , n 2 ⋅ 3n−1 Se trata de una progresión aritmético-geométrica de segundo orden.
Procedamos:
= 1 ⋅1 + 4 ⋅ 3 + + n 2 ⋅ 3n−1 3Sn = 1 ⋅ 3 + (n − 1) 2 ⋅ 3n−1 + n 2 ⋅ 3n restando S n (1 − 3) = 1 ⋅1 + (4 − 1) ⋅ 3 + + (n 2 − (n − 1)2 ) ⋅ 3n−1 − n2 ⋅ 3n Sn
n −1 2 2 Sea S = (4 − 1) ⋅ 3 + + (n − (n − 1) ) ⋅ 3 , suma de los n – 1 primeros tér -
minos de la progresión aritmético-geométrica ordinaria de término general
(2n + 1) ⋅ 3n
Procedemos nuevamente:
= 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 32 + + (2n − 1) ⋅ 3n−1 3S = 3 ⋅ 32 + + (2n − 3) ⋅ 3n−1 + (2 n − 1) ⋅ 3n resttando tando S (1 − 3) = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ (32 + + 3n−1 ) − (2 n − 1) ⋅ 3n 32 − 3n = 9 + 2⋅ − (2n − 1) ⋅ 3n = 2 ⋅ 3n (1 − n) 1− 3 3n (n2 − n + 1) 1 n − Luego S = 3 (n − 1) . Llevando esto a S obtenemos S n = S
2
n
5.2.
2
PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS Defnición:
progresión ón hiperge hipergeomé ométri trica ca de números reales reales a toda sucesi sucesión ón {un} Llamamos progresi
de núm números reales reales en la la cual cual el coci cocien ente te entre entre dos térmi términos consecutivos es una expresión de la forma: un+1 α n + β un
=
α n + γ
con α , β , γ ∈ sin más restricción que no se anulen simultáneamente ni α y β ni α y γ .
= 0 obtenemos una progresión geométrica. Nota: Cuando α =
Veamos cómo sumar los n primeros términos S n = u1 +
u2 + …+ un .
De la expresión anterior obtenemos
un (α n + β ) = un +1 (α n + γ )
21
tema 8 matemáticas
y dando valores a n se tiene:
+ β ) = u2 (α + γ ) u2 ( 2α + β ) = u3 (2α + γ ) u1 (α
un−1 ((n − 1)α
+ β ) = un ((n − 1)α + γ ) un (nα + β ) = un+1 (nα + γ )
Sumando miembro a miembro y suprimiendo los términos
u2α , 2u3α ,, (n − 1)u nα en ambos miembros resulta:
+ β )(u1 + + un ) = γ (u2 + + un+1 ) + nα un+1 ⇓ (α + β )(u1 + + un ) = γ (u1 + u2 + + un ) + nα un+1 + γ (un+1 − u1 ) ⇓ (α + β ) Sn = γ Sn + un+1 (nα + γ ) − u1γ ⇓ u (γ + nα ) − u1γ S n = n+1 α + β − γ (α
Ejemplo:
2. Sumar Sn = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + + n(n + 1) Solución:
Se trata de la suma de los primeros términos de la sucesión un = n(n+1) que se trata de una progresión hipergeométrica puesto que
un+1 un
=
( n + 1)(n + 2) n(n + 1)
=
n+2 n
=
1⋅ n + 2 1⋅ n + 0
con α = 1, β = 2, γ = 0 Obtenemos así que:
S n
22
=
+ nα ) − u1γ ( n + 1)(n + 2)(0 + n ⋅1) − 2 ⋅ 0 n (n + 1)(n + 2) = = 1+ 2 − 0 3 α + β − γ
un+1 (γ
tema 8
matemáticas
6
6.1.
APLICACIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Veamos sus aplicaciones: 1. Aplicación a la matemática comercial Interés simple. Cuando se deposita un capital en un banco, durante un tiempo, este paga unos intereses. Si estos se retiran periódicamente el interés se llama simple.
Supongamos que depositamos un capital de 1000€ a un interés compuesto
anual del 2%. Esto signica signica que que al al nal del primer primer año, estos han producido unos intereses de 20€. Si se retiran, al comienzo del segundo año dispondremos de un capital de 1000€ que al nal del segundo año volverán a producir 20€ de interés y así
sucesivamente. El capital nal C t al
años a un interés simple anual al tanto por uno r cabo de t años es una progresión aritmética de de un capital inicial C i es Ct = Ci (1 + t r ) que diferencia rC i
2. Cuadrados mágicos Como es conocido conocido por todos, las matemáticas en China tuvieron un valor no -
table. Como curiosidad cabe destacar la elaboración de los famosos cuadrados mágicos:
4 9 2 3 5 7 8 1 6
7 17 3 5 9 13 15 1 11
Este tipo de cuadrados está formado formado por los primeros términos de una progre sión aritmética limitada. Por ejemplo, el primero está formado por los primeros
enteros positivos y el segundo por los primeros números naturales impares. Si observamos detenidamente ambos cuadrados mágicos tienen la siguiente
estructura:
a + 3d
a + 8d
a+d
a + 2d
a + 4d
a + 6d
a + 7d
a
a + 5d
siendo a el primer término de una progresión aritmética y d su su diferencia. Haciendo c = a + 4d podemos escribir: c−d
c + 4d
c − 3d
c − 2d
c
c + 2d
c + 3d
c − 4d
c+d
donde se aprecia aprecia mejor porqué la suma de cualquier la, columna columna o diagonal es constante e igual al triple del valor central, es decir, 3c.
23
tema 8 matemáticas
6.2.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Veamos sus aplicaciones: 1. Para calcular las fracciones generatrices generatrices de los números números decimales periódicos: a) Decimal
periódico puro.
Calcular la fracción generatriz del decimal periódico puro
7, 23
Para ello lo expresamos de la siguiente forma:
7, 23 23 = 7 + 0, 23 23 + 0, 00 0023 + 0, 00 000023 + = 7 +
23 + 23 + 23 + 100 10000 1000000
23 1 1 23 1 00 = 7 + 23 100 = 7 + (1 + + + ) = 7 + = 7 + 23 100 100 10000 100 1 − 1 100 99 99 100
Por tanto 7, 23 =
7(100 − 1) + 23 723 − 7 716 = = 99 99 99
b) Decimal periódico mixto.
Calcular la fracción generatriz del decimal periódico mixto
1, 4523
Para ello lo expresamos de la siguiente forma:
1, 45 4523 = 1 + 0, 45 4 5 + 0, 00 0 0 23 = 1 +
Por tanto 1, 4523 =
45 + 0, 23 : 100 = 1 + 45 + 23 100 100 9900
14523 − 145 14378 = 9900 9900
2. Aplicación a la matemática matemática comercial comercial a) Interés compuesto Cuando se deposita un capital en un un banco, banco, durante un tiempo, este paga unos intereses. Si estos no se retiran periódicamente el interés se llama compuesto.
Supongamos que depositamos un capital de 1000€ a un interés compuesto anual del 2%. Esto signica que al nal del primer año, estos han producido unos intereses de 20€. Si no se retiran, al comienzo del segundo año dispondremos de un capital de 1020€ que al nal del segundo año producirán unos intereses de 20,40€ y así años a un interés compuessucesivamente. Así el capital nal C t al cabo de t años to anual al tanto por uno r de de un capital inicial C i es Ct = Ci (1 + r )t que es una progresión geométrica de razón 1+ r .
b) Anualidades de capitalización Las anualidades de capitalización son unos pagos fjos que se hacen al prin cipio de cada año, de ahí su nombre, para reunir con ellos y sus intereses compuestos un capital.
24
tema 8
matemáticas
Supongamos que queremos calcular las anualidades a para reunir un capital C que se habrá formado al cabo de t años siendo r el tanto por uno. Como el capital nal Cf que se obtiene a partir de un capital inicial C i al cabo t de t años a un tanto por uno r viene dado por la fórmula C f = Ci (1 + r ) ,
tenemos:
Anu ali dad
Capi tal aña did o
Que finalmente se convertirá en
Primera
a
a (1 + r )t
Segunda
a
a(1 + r )t −1
…
…
…
Última
a
a(1 + r )
El capital nal C será será
C
t −1
= a (1 + r ) + + a(1+ r ) + a (1+ r ) = a
Así: a=
t
(1 + r ) − (1 + r )t +1
1 − (1 + r )
Cr
(1 + r ) (1 + r )t − 1
3. Aplicación a la música música
La escala temperada Es una escala musical que consta consta de 12 notas, notas, Do, Do#, Re, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si. Hay que asignarle una frecuencia a cada nota de forma que de una octava a la siguiente dicha frecuencia se duplique. Esto equivale a realizar una interpola ción geométrica de 11 términos entre 1 y 2. Aplicando la teoría vista en el apartado 4.1.2 de este tema, se sigue que la = 12 2 , que es la constante por la que hay que razón de esta progresión será r =
multiplicar la frecuencia de una nota para pasar a la de la siguiente. Falta ahora establecer una nota de referencia y su frecuencia. Históricamente se eligió la nota LA de la 4ª octava que tiene una frecuencia de 440 Hz y a partir de es ta se dedujo una tabla de frecuencias para todas las demás.
4. Aplicación a la física física
Caída libre y sucesivos rebotes Cuando una pelota se deja caer sobre sobre un plano horizontal desde una altura inicial h, la altura máxima h n que alcanza tras el n-ésimo rebote es igual a hn = e 2 n h , siendo e el coeciente de restitución que depende de la elasticidad
y es un número comprendido entre 0 y 1.
25
tema 8 matemáticas
BIBLIOGRAFÍA DÍAZ HERNANDO: Cálculo. Ed. Tébar Flores. Madrid, 1991. FERNÁNDEZ VIÑA: Análisis Matemático. Matemático. T.1. T.1. Ed. Tecnos. Madrid, 1994. FRANCO: Lecciones de Cálculo Infinitesimal I. Ed. Universidad de Murcia. Murcia, 1994. GUZMÁN, RUBIO: Análisis Matemático. Ed. Pirámide. Pirámide. Madrid, 1998
REY PASTOR: Análisis Algebraico. Ed. Biblioteca Matemática. Madrid, 1966.
26
tema 8
matemáticas
RESUMEN
Sucesiones. Término general y forma recurrente. recurrente. Progresiones Progr esiones aritméticas y geométricas. Aplicaciones.
1. 1
SUCESIONES: CONCEPTO Y EJEMPLOS
Concepto de sucesión sucesión de Una sucesión de elementos de H (donde (donde H puede ser , , , , ) es una aplicación
de * en H: A l número número an se le llama término n-ésimo.
2. 2
2.1.
TÉRMINO GENERAL Y FORMA RECURRENTE
CONCEPTO DE TÉRMINO GENERAL GENER AL Es la fórmula o expresión matemática que nos permite obtener cualquier término de una sucesión en función del lugar que ocupa.
2.2.
CONCEPTO DE TÉRMINO RECURRENTE RECURR ENTE DE ORDEN K Otras sucesiones, vienen dadas por una ley de recurrencia que permite, conocidos el primer o los primeros términos, obtener otro término cualquiera.
Concepto de ecuación característica de una relación de recurrencia. 2.3.
SUCESIONES SIN TÉRMINO GENERAL NI LEY DE RECURRENCIA Son aquellas para las que no se s e puede encontrar un término general ni ley de recurrencia que permita encontr encontrar ar cualquier cualquier término término de de la sucesión sucesión aunque esté perfectam perfectamente ente denida. denida.
3. 3
3.1.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
PROGRESIONES PROGRESION ES ARITMÉTICAS ORDINARIAS Llamamos progresi progresión ón aritmé aritméti tica ca de números reales reales a toda sucesión sucesión de números reales reales en la que cada térmi rmino, no, excepto el pri prim mero, se obtiene del an anteri terior or sumán ándol dole e una constante llamada difere diferencia.
27
tema 8 matemáticas
3.1.1.
Formas de definir una progresión aritmética Si bien por tratarse de una sucesión ésta queda denida si conocemos su término general resulta que, debido a sus características, también queda denida conociendo un término
cualquiera y la diferencia o dos términos cualesquiera. 3.1.2.
Interpolación aritmética Problemas de interpolación aritmética y cómo resuelverlos.
3.1.3.
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión aritmética Expresión para hallar la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética: S n =
3.2.
a1 + an
2
n
PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR Se llama progresión aritmética ordinaria de orden k a toda sucesión cuyo término general viene dado por un polinomio de grado k e en n. Con el n de obtener el término general de una progresión aritmética de orden superior se se introduce el concepto de diferencias nitas.
3.2.1.
4. 4
4.1.
Diferencias finitas
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Llamamos progresi progresión ón geométri étrica ca de números rea reales atoda sucesión sucesión de números rea reales en la que cada término, excepto el primero, se obtiene del anterior multiplicándolo por una constante llamada razó razón. n.
4.1.1.
Formas de definir una progresión geométrica Además de poder denirla mediante su término general, también queda denida conocien -
do: un término cualquiera y su razón o dos términos cualesquiera. 4.1.2.
Interpolación geométrica Problemas de interpolación geométrica y cómo resolverlos.
4.1.3.
Producto de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica Expresión para hallar el producto de n términos consecutivos de una progresión aritmé -
tica: P = g p g p +1 g q−1g q 4.1.4.
(g p g q )
q − p +1
Suma de un número finito de términos consecutivos de una progresión geométrica S n
28
=
= g1 − g nr 1 − r
tema 8
matemáticas
5. 5
5.1.
OTRAS PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICO�GEOMÉTRICAS Llamamos progresi progresión ón aritmé aritméti ticoco-geom geométri étrica ca de números reales reales a toda sucesi sucesión ón de números rea reales cuyo término término general puede expresarse de la for forma maa g como producto producto de una n n progresión aritmética {an} y una geométri étrica ca {gn}. Di Direm remos os que di dicha cha progresión es de orden p si lo es {an}. Cálculo de la suma de los n primeros términos.
5.2.
PROGRESIONES PROGRESION ES HIPERGEOMÉTRIC HIPERGEOMÉTRICAS AS Llamamos progresi progresión ón hipergeom hipergeométri étrica ca de números rea reales a toda sucesi sión ón {un} de números rea reales en la la cual el coci cociente ente entre dos térmi rminos nos consecuti cutivos vos es una una expresi xpresión ón de la la forma: un+1 un
=α
n + β
α n + γ
Cálculo de la suma de los n primeros términos.
6. 6
6.1.
APLICACIONES
PROGRESIONES PROGRESION ES ARITMÉTICAS Aplicaciones a la matemática comercial y a los cuadrados mágicos.
6.2.
PROGRESIONES PROGRESION ES GEOMÉTRICAS Aplicaciones para calcular las fracciones generatrices de los números decimales periódicos, en la matemátic ática a comerci rcial, al, en la músi úsica ca y en la físi sica. ca.
29
