2-hipotesis

En vez de estimar el valor de un  parámetro, a veces se dee decidir si una a!irmaci"n relativa a un parámetro es verdadera o !alsa# $ale decir, proar  decir,  proar  una %ip"tesis relativa a un parámetro# E&emplo I' Un !aricante de pintura de secado rápido a!irma (ue el tiempo de secado de la misma es de )* min# min# El comprador dise+a el siuiente e-perimento' pinta ./ taleros 0 decide rec%azar el producto si el promedio de tiempo de secado de los mismos supera los )*#12 min# Si por e-periencia σ3)#4 min, se preunta cuál es la proailidad de rec% rec%aazar la part artida a5n a5n  perteneciendo a una polaci"n con media de )* min#

P R  U E B A S D E H I P Ó T E S I S

6a proailidad de (ue el  promedio de las muestras e-ceda )*#12 min a causa del azar se calcula del siuiente modo'   

z

-−µ σ n

)*#12 − )* *#4

7#812 con esta ascisa, se calcula la  proailidad 9área %acia la derec%a:, resultando *#*.*4# ;rá!icamente'

Entonces, Entonces, la proailidad de rec%azar err"neamente la %ip" %ip"tes tesis is µ3)* min es de apro-imadamente *#*., o ien .<# Sup"nase a%ora (ue la media real del tiempo de secado es µ3)7 min# 6ueo, la proailidad de otener una media muestral menor o iual (ue )*#12 90 por lo tanto e(uivocarse en la aceptaci"n:: está dada por' aceptaci"n

Este Este rá!i rá!ico co está está %ec%o %ec%o sore sore valores valores reales, reales, no normali normalizado zados# s# Para los cálculo cálculo se usan estos 5ltimos 5ltimos cuando se traa&a con talas#

=omo resumen se da la siuiente tala'

lo (ue lleva a un área 9%acia la iz(uierda: de *#)//*# Es decir' la  proailidad de e(uivocarse al aceptar ace ptar µ3)* 9a pesar de ser µ3)7: es del )/#/<# ;rá!icamente' HIPÓTESIS >U6A ? PRUEBA DE SI;>I@I=A>=IA En el e&emplo se !ormul" la %ip" %ip"te tesi siss H com como una una Hip"tesis Simple del del pará paráme metr troo µ 9µ especi!icado por completo: puede %acerse para más de un valor de µ, 9por e&emplo, µ  )* min: esto es una Hip"tesis =ompuesta# =ompuesta# A menudo se !ormula una %ip"tesis opuesta a lo (ue se (uiere proar# Por  e&em e&empl plo, o, si se (uie (uiere re dete determ rmin inar ar el sistema de rieo de menor costo de dos, se !ormula la %ip"tesis de (ue los dos sean iualmente costosos# A esta %ip"tesis %ip"tesis se la llama Hip"t Hip"tesis esis >ula 0 se denota por Ho# Re!ormulemos el e&emplo de la  pintura' Se rec%aza la %ip"tesis µ 3 )* min 90 se acepta acepta la alterna alternativa tiva µ  )*min:, )*min:, si la media de ./ valores

7#812 con esta ascisa, se calcula la  proailidad 9área %acia la derec%a:, resultando *#*.*4# ;rá!icamente'

Entonces, Entonces, la proailidad de rec%azar err"neamente la %ip" %ip"tes tesis is µ3)* min es de apro-imadamente *#*., o ien .<# Sup"nase a%ora (ue la media real del tiempo de secado es µ3)7 min# 6ueo, la proailidad de otener una media muestral menor o iual (ue )*#12 90 por lo tanto e(uivocarse en la aceptaci"n:: está dada por' aceptaci"n

Este Este rá!i rá!ico co está está %ec%o %ec%o sore sore valores valores reales, reales, no normali normalizado zados# s# Para los cálculo cálculo se usan estos 5ltimos 5ltimos cuando se traa&a con talas#

=omo resumen se da la siuiente tala'

lo (ue lleva a un área 9%acia la iz(uierda: de *#)//*# Es decir' la  proailidad de e(uivocarse al aceptar ace ptar µ3)* 9a pesar de ser µ3)7: es del )/#/<# ;rá!icamente' HIPÓTESIS >U6A ? PRUEBA DE SI;>I@I=A>=IA En el e&emplo se !ormul" la %ip" %ip"te tesi siss H com como una una Hip"tesis Simple del del pará paráme metr troo µ 9µ especi!icado por completo: puede %acerse para más de un valor de µ, 9por e&emplo, µ  )* min: esto es una Hip"tesis =ompuesta# =ompuesta# A menudo se !ormula una %ip"tesis opuesta a lo (ue se (uiere proar# Por  e&em e&empl plo, o, si se (uie (uiere re dete determ rmin inar ar el sistema de rieo de menor costo de dos, se !ormula la %ip"tesis de (ue los dos sean iualmente costosos# A esta %ip"tesis %ip"tesis se la llama Hip"t Hip"tesis esis >ula 0 se denota por Ho# Re!ormulemos el e&emplo de la  pintura' Se rec%aza la %ip"tesis µ 3 )* min 90 se acepta acepta la alterna alternativa tiva µ  )*min:, )*min:, si la media de ./ valores

muestrales muestrales e-cede )*#12 min, de lo contrario nos reservamos la decisi"n# decisi"n# A(uC A( uC no %a0 posi po sii ililida dadd de Error de tipo II 9por lo de reservar la decisi"n:# El criterio anterior puede ser  descrito mu0 ien como una pruea de si es sini!icativ sini!icativamente amente más rande (ue donde µ 3 )* min, don sini!icativamente más rande sini!ica (ue la discrepancia entre 0 µ 3 )* min es tal (ue razonalemente  puede atriuirse al azar# a zar# A esta clase de  prueas se las conoce como Prueas Sini!icativas# Sini!icativas # Para la resoluci"n de prolemas en !orma sistemática se siuen los preceptos'

E&emplo' E&emplo' Un !aricante de utensilios utensilios está considerando la conveniencia de ad(uirir una nueva má(uina para raar  las piezas de lámina metálica# Si µo es el n5mero promedio de piezas de uena calid calidad ad raa raadas das por %ora %ora en su má(uina actual 0 si µ  es el promedio correspondiente a la nueva má(uina, el !aricante !aricante (uiere proar la %ip"tesis %ip"tesis nula µ= µo cont contra ra una alter alternat nativ ivaa adecuada# G=uál serCa la %ip"tesis si' a: >o (uiere comprar una nueva má(uina a menos (ue sea más  productiva (ue a(uella con la (ue traa&a actualmente#  : uiere comprar la má(uina nueva 9la cual o!rece alunas otras caracterCsticas atractivas: a menos (ue sea menos productiva (ue la (ue tiene actualmente Soluci"n' a: Hip"tesis alterna µ > µo 9unilateral, 9unilateral, cola derec%a: 0 ad(uirirá ad(uirirá

1 – Se formula una Hipótesis Hipótesis  Nula  simple y una Hipótesis Alterna apropi apropiada ada que se acepta acepta cuando cuando la  Hipótesis Nula debe ser rechazada.

En el e&emplo de la pintura, la %ip"tesis nula es µ 3 )* min 0 la alternativa µ  )* min# Esta clase de alternativa se llama Unilateral Unilateral## Un caso de pruea alternativa Bilateral serCa el de un !raccionador de ca!F (ue desea veri!icar si en cada !rasco de 7** r %a0 en realidad 7** r# 6a alternativa ilateral es # Al !racci !racciona onador dor no le convi conviene ene menos nos de 7** 7** r  r por( por(ue ue pue p uede de per p erde der r  mercad mer cadoo ni más de 7** r por la  pFrdida econ"mica# s"lo s"lo si la %ip"tes %ip"tesis is nula nula puede puede ser  rec% rec%az azad ada# a# : %ip" %ip"te tesi siss alte altern rnaa µ < µo 9unilat 9unilateral eral,, cola cola iz(uier iz(uierda: da: 0 ad(uirirá a menos (ue la %ip"tesis nula  pueda ser rec%azada# rec%a zada# 2 - Se especifica la probabilidad de un  rror de !ipo " si es posible# con$eni con$enient entee o necesar necesario# io# se puede puede especificar tambi%n las probabilidades de rrores rrores !ipo ""# para alternati$as  particulares.

6a proailidad de un Error  Tipo Tipo I se denom denomina ina  >ivel de Sini!icaci"n 0 se !i&a comunmente en α3*#*2 " α3*#*7# >o conviene mu0 c%ico α por(ue β se %ace mu0 rande# & – 'on base en la distribución muestral de un estad(stico apropiado#  se construye un criterio c riterio para probar la  Hipótesis Nula contra la alternati$a determinada.

) – Se calcula# a partir de los datos# el $alor del estad(stico sobre el cual  se basa la decisión.

contra

la %ip"tesis alternativa µ <> 1600  %oras con un nivel de sini!icaci"n de *#*2#

* - Se decide rechazar la Hipótesis  Nula# aceptarla o abstenerse de tomar una decisión.

7  K 

H I P Ó T E S I S

H i  p " t e s i s

R  E 6 A T I $ A

 > u l a

A

7 / * *

U  > A J E D I A E&emplo I' 6a duraci"n media de una muestra de 7** tuos !luorescentes  producidos por una compa+Ca resulta ser de 721* %oras, con una desviaci"n tCpica de 7)* %oras# Si µ  es la duraci"n media de todos los tuos producidos por la compa+Ca, comproar la %ip"tesis µ 3 7/**

µ 3

% r  # ) L  > i v e l d

Hip"tesis Alternativa µ  7/** %r# 9ilateral:

e

α

s i  n i !  i c a n c i a '

3 * # * 2 # . L Para traa&ar con talas normalizadas, se usa z en luar de '   

z

-−µ σ n

anterior, se producirá la aceptaci"n o rec%azo# Por otro lado,

será tal (ue

el área a&o la normal a su derec%a sea αM) 0 será tal (ue el área  a&o la normal a su iz(uierda sea αM)# Estos dos valores de!inen las zonas de aceptaci"n 0 rec%azo de la Hip"tesis >ula# Se5n donde caia el valor de z calculado por la e-presi"n 4 K =álculos' z

721* − 7/** 7) * 7* *

−)#2 2L Dado (ue K)#2  Lz*#*)2 se Rec%aza la Hip"tesis >ula, lueo la duraci"n media de los tuos es sini!icativamente menor (ue 7/** %oras# =omo se puede apreciar en el siuiente rá!ico, la media muestral cae !uera de la zona de aceptaci"n'

l i z a r  s o   r  e u n a

En eneral, el siuiente cuadro resume las distintas prueas de %ip"tesis nulas

µ

m e d i a '

3

µ o ( u e s e  p u e d e n r  e a

E&emplo II' Una empresa de transportes descon!Ca de la a!irmaci"n de (ue la vida 5til promedio de ciertos neumáticos es al menos de )8***# Para veri!icar se colocan 4* neumáticos en camiones 0 se otiene una vida 5til  promedio de )14/. con una s37.48# GuF se puede concluir con ese dato si la proailidad de Error Tipo I es a lo sumo * # * 7  # 7K Hip"tesis >ula µ  )8***

Hip"tesis Alternativa µ  )8*** 9unilateral: )L >ivel de sini!icancia' α 3 *#*7# .L Para traa&ar con talas normalizadas' 4 K =álculos' z

  

z

-−µ s n

además' zα 3 )#.. )14/. − )8*** 7.48 4*

−)#2) 2L Dado (ue K)#2)  Lz*#*7 se Rec%aza la Hip"tesis >ula, lueo la vida 5til de los neumáticos es sini!icativamente menor (ue )8***# =omo se puede apreciar en el siuiente rá!ico, la media muestral cae !uera de la zona de aceptaci"n'

s i s  > u l a

µ 3 7 7 ) * Si el tama+o de la muestra es  pe(ue+o , se desconoce σ  0 proviene de una polaci"n normal, se dee utilizar el estadCstico tLStudent con  ν3nL7 rados de liertad# E&emplo III' 6a duraci"n media de las omillas  producidas por una compa+Ca %an sido en el pasado de 77)* %oras con una desviaci"n tCpica de 7)2 %oras# Una muestra de 8 omillas de la  producci"n actual dio una duraci"n media de 7*1* %oras# Ensa0ar la %ip"tesis µ377)* %oras contra la %ip"tesis alternativa µ77)* %oras mediante un nivel de sini!icancia de α3*#*2# 7  K  H i  p " t e

% s # Hip"tesis Alternativa µ  77)* %s# 9unilateral: ) L  > i v e l d e s i  n i !  i c a n

c o n

c i a '

t a   l a s

α 3 * # * 2 # 4 L

n o r  m a l i z a d a s '

P a r  a t r  a   a  & a r 

  

t

-−µ s n

con ν3 nL738L731 rados de liertad# Además' tα 3 L7#8N2 9 ν31:# 4 K =álculos' 7*1* − 77)* t

7)2

−7#7.7

8

2L Dado (ue K7#7.7  Lt*#*2 se Acepta la Hip"tesis >ula, lueo la vida 5til de los neumáticos es sini!icativamente iual a 77)* %oras# =omo se puede apreciar en el siuiente rá!ico, la media muestral cae dentro de la zona de aceptaci"n'

=U R$AS =ARA=TEROSTI=A

69µ: será la proailidad de aceptar la Hip"tesis >ula 9 µ  µo, cola derec%a:, a5n siendo la media µ3)7, para distintos valores de µ# Rescatando el e&emplo de la  pintura, en (ue µo 3 )*, σ  3 )#4 0 n3./ 0 la lCnea divisoria del criterio en 3 )*#12 min, se veri!ica'

S DE PERA=IÓ> A>A6ISIS PARA =6A DERE=HA Hasta el momento no se %an atendido a los Errores Tipo II# 6a elecci"n de µ3)7 min en el tiempo de secado !ue aritraria# $eremos (uF sucede con otros valores de µ #

)*#2* )*#12 )7#** )7#)2 )7#2* )7#12 ))#**

*#/)2 * L*#/)2 L7#)2 L7#812 L)#2 L.#7)2

ue rá!icamente (ueda'

0 asC siuiendo# AsC se puede construir una tala como la siuiente Q $alor de µ

Q $alor de

7N#2* 7N#12 )*#** )*#)2

.#7)2 )#2 7#812 7#)2

Si la %ip"tesis alterna !uese la contraria 9 µ  µo, cola iz(uierda: con los datos  para µ37N#2* − 7N#12

z *#4

7N#2*

A>A6ISIS PARA =6A IUIERDA µo 3 )* , σ 3 )#4, n3./, 0 la lCnea divisoria de criterio en 3 7N#)2, se veri!ica'

−*#/)2

* * * * * * *#

6(µ)

*#1.

0 asC siuiendo# Esto lleva a la siuiente tala'

Q $alor de µ

Q $alor de z

78#2* 78#12 7N#** 7N#)2 7N#2* 7N#12 )*#** )*#)2 )*#2*

L7#812 L7#)2 L*#/)2 * *#/)2 7#)2 7#812 )#2 .#7)2

0 al siuiente rá!ico 9punteado:, se de&a el anterior para comparaci"n# Se puede apreciar (ue los mismos son la imaen del espe&o uno de otro# A>A6ISIS PARA DS =6AS Si la %ip"tesis alterna !uese µ  µo, ilateral, o de dos colas, con los datos µo 3 )* , σ 3 )#4, n3./, 0 las lCnea divisorias del criterio entre 3 7N#)2 min 0 3 )*#12 min, se veri!ica'

 para µ37N

z7

7N#)2 − 7N *#4

*#/)2

z)

)*#12 − 7N *#4

Proa Acept * * * * * * * *#

4#.12 6

( µ

)

* # ) 1

e s t o l l e v a a l a

s i  u i e n t e t a   l a '

Q $alor de µ

Q $alor de z

78#2* 78#12 7N#** 7N#)2 7N#2*

7#812 7#)2 *#/)2 * L*#/)2

7N#12 )*#** )*#)2 )*#2* )*#12 )7#** )7#)2 )7#2*

L7#)2 L7#812 L*#/)2 * *#/)2 7#)2 7#812 7#812

Proailidad de Aceptar la Ho 69µ) *#*. *#77 *#)1 *#2 *#1. 0 asC siuiendo# Esto lleva a la siuiente tala' Q $alor de µ

Q $alor de z

78#2* 78#12 7N#** 7N#)2 7N#2* 7N#12 )*#** )*#)2 )*#2*

L7#812 L7#)2 L*#/)2 * *#/)2 7#)2 7#812 )#2 .#7)2

0 al siuiente rá!ico 9punteado:, se de&a el anterior para comparaci"n#

Proa Acept * * * * * * * *#

Se puede apreciar (ue los mismos son la imaen del espe&o uno de otro#

 para µ37N#0* − 7N

z

7N#)2

Si la %ip"tesis alterna !uese µ  µo, ilateral, o de dos colas, con los datos µo 3 )* , σ 3 )#4, n3./, 0 las lCnea divisorias del criterio entre 3 7N#)2 min 0 3 )*#12 min, se veri!ica' *#/)2

6(µ)

*#)1

*#4

t e t a   l a '

e s t o l l e v a a l a s i  u i e n

Q $alor de µ

$alor de z7

$alor de z)

78#2* 78#12 7N#** 7N#)2 7N#2* 7N#12 )*#** )*#)2

7#812 7#)2 *#/)2 * L*#/)2 L7#)2 L7#812 L)#2

2#/)2 2 4#.12 .#12 .#7)2 )#2 7#812 7#)2

)*#2* )*#12 )7#** )7#)2 )7#2*

L.#7)2 L.#12 L4#.12 L2 L2#/)2

ue rá!icamente (ueda'

 para µ37N

z7

7N#)2 − 7N *#4

Proailidad de Aceptar la Ho 69µ) *#*. *#7*/ *#)1 *#2 *#1.. *#88 *#N.N *#88

A>A6ISIS PARA JUESTRAS DE JA?R TAJA $olviendo al caso testio de las pinturas, se analizará (uF ocurre con 69µ: cuando la muestra es más rande, como por e&emplo n32* 9antes n3./:, con los datos µo 3 )* , σ 3 )#4, 0 las lCnea divisorias del criterio 3 )*#12 min, se veri!ica'

*#/)2

z)

)*#12 − 7N *#4

4#.12 6(µ)

)*#** )*#)2 )*#2* )*#12 )7#** )7#)2 )7#2* )7#12 ))#**

*#)1

0 asC siuiendo# Esto lleva a la siuiente tala' Q $alor de µ

Q $alor de

7N#2* 7N#12

.#/8. )#N4/

ue rá!icamente (ueda' Se pretende ra!icar el error tipo II en su !orma más eneral para un nivel de sini!icaci"n α 3 *#*2 0  pruea de cola derec%a'

A6;RITJ PARA E6 TRAAD DE 6AS =UR$AS DE PERA=IÓ> del es(uema se ve (ue'

  

-

  

- − µ*

zα

σ n

zβ

− µ σ n

Restando miemro a miemro, 0 siendo zα 3 7#/2 9ascisa (ue de&a a la derec%a un área α3*#*2:, (ueda' 7#/2 − zβ

µ − µ* ⋅ σ

n

6lamando d a una variale dada  por'

d

µ − µ* σ

resulta' 7#/2 − d ⋅ n

z β 9d:

@inalmente, el error tipo II es' )

⌠ 

7#/2−d ⋅ n 7

)#)7 7#41. *#1.1 * L*#1.1 L7#41. L)#)7 L)#N4/ L.#/8.

*# * *# * *# * *# *#

β 9d , n:

*#2 + 

 ⌡*

) ⋅π

⋅e-p ( −*#2 ⋅-

) d-

El siuiente semento de  prorama en Jatla permite trazar las curvas de operaci"n para tres tama+os muestrales' 7, 2 0 7*' !unction curvasope < Esta !uncion permite trazar las curvas de operacion para < un nivel de sini!icacion de *#*2 en  prueas de una cola < para distintos valores de tama+o muestral# < E-presion de la !uncion densidad normal @3inline97Ms(rt9)Vpi:Ve-p9L*#2V-#W)::X < ; e n e r  a c i o n d e l a c u r  v a  p a r  a n 3 7

n 3 7 X i 3 7 X !or d3*'*#7'. J79i:3*#2Y(uadl9@,*,7#/2L dVs(rt9n::Xi3iY7X end < ; e n e r  a c i o n d e l a c u r  v a  p a r  a n 3 2 n 3 2 X i 3 7 X !or d3*'*#7'.

J)9i:3*#2Y(uadl9@,*,7#/2L dVs(rt9n::Xi3iY7X end <

i L 7 X

; e n e r  a c i o n

i 3 7 ' a X  p l o t 9 i , J 7 ,  r   , i , J ) ,     , i , J . ,  Z   :

d e l a c u r  v a  p a r  a n 3 7 * n 3 7 * X i 3 7 X !or d3*'*#7'. J.9i:3*#2Y(uadl9@,*,7#/2L dVs(rt9n::Xi3iY7X e n d a 3

0 mediante la e&ecuci"n del comando' ++ cur$as,ope

 permite otener el siuiente rá!ico, siendo la lCnea superior la correspondiente a n37, la central n32 0 la in!erior n37*#

eneralizar: se usa como ascisa el valor asoluto de d, sirviendo entonces el &ueo de curvas para amas prueas# Para prueas de dos colas'

Para prueas de cola iz(uierda, los rá!icos son la [imaen del espe&o[ de los anteriores, con lo cual 9para ⌠ 

7 7#N/−d⋅

n

β 9 d , n: :=   ⌡*

Se puede veri!icar (ue el error tipo II, en este caso, siue la siuiente !unci"n 9considerando como siempre α3*#*2 0  por lo tanto αM)3*#*)2, con zα37#N/:' −) 7#N/−d⌠  ⋅ n

) ⋅π

)

⋅e-p ( −*#2 ⋅- ) d- −   ⌡*

7 ) ⋅π

⋅e-p ( −*#2 ⋅- ) d-

En la literatura, se %an %ec%o rá!icos para calcular mediante ellos el error tipo II para distintos valores de d, usando el tama+o muestral 9n: como  parámetro 0 con valores de nivel de !  u n c t i o n   e t a 3 e r  r  o r   T  I I 9 c o l a , a l !  a , m u * , m u , s i  m a

sini!icancia de *#*7 0 *#*2, para muestras de una cola 0 de dos colas# El siuiente semento de  prorama en Jatla permite el mismo cálculo (ue el (ue se %arCa con los rá!icos# , n :

< Esta !uncion permite calcular el Error de Tipo II para un < un nivel de sini!icacion dado, en  pruea de una o dos colas# < Entradas' cola, 7 9una cola: ) 9) colas: < al!a, *#*2 o *#*7, nivel de sini!icacion < mu*, real, media de la %ipotesis nula < mu, real, media para la (ue se (uiere calcular  < el Error tipo II < sima, real, desviacion estandar  < n, entero, tama+o de la muestra < Salida' eta, real, Error tipo II correspondiente# < E-presion de la !uncion densidad normal @3inline97Ms(rt9)Vpi:Ve-p9L*#2V-#W)::X < = a l c u l o d e d d 3 a   s

9 m u L m u * : M s i  m a X < =alculo del Error tipo II i! cola337, i! al!a33*#*2,zal!a37#/42X   e t a 3 * # 2 Y ( u a d l 9 @ , * , z  T  a l !  a L d V s ( r  t 9 n : :

end i! al!a33*#*7,zal!a3)#.)/X

  e t a 3 * # 2 Y ( u a d l 9 @ , * , z  T  a l !  a L d V s ( r  t 9 n : :

e n d e n d i! cola33), i! al!a33*#*2,zal!a37#N/X  eta3(uadl9@,*,zal!aLdVs(rt9n::L (uadl9@,*,Lzal!aLdVs(rt9n:: end i! al!a33*#*7,zal!a3)#21/X  eta3(uadl9@,*,zal!aLdVs(rt9n::L (uadl9@,*,Lzal!aLdVs(rt9n:: e n d e n d

E&emplo' Suponer (ue se desea investiar la a!irmaci"n de (ue la intensidad de sonido de ciertas aspiradoras es una variale aleatorias (ue tiene una distriuci"n normal con una media de 12#) d, con una desviaci"n estándar de .#/ d# EspecC!icamente, se (uiere proar la %ip"tesis nula µο312#) contra la %ip"tesis alternativa µ  12#) en ase a la medici"n de la intensidad del sonido ce n372 de tales má(uinas# Si la  proailidad de cometer un error tipo I es α 3 *#*2 G=uál es la proailidad de cometer un error tipo II para µ 3 11#d# Esto se puede visualizar  entrando en el rá!ico de =urvas =aracterCsticas de peraci"n correspondiente a pruea de una cola con α3*#*2 0 entrando con la ascisa d3*#2'

HIPÓTESIS RE6ATI$A A DS JEDIAS =onsidFrese el caso de discusi"n acerca de dos mFtodos soldadura de rieles !erroviarios, toman muestras 0 se decide cuál ellos es el me&or comparando

la de se de las

De acuerdo a lo anterior, con los datos del prolema, se e&ecuta' ++ error,ii1#.*#/*.2#//#&.0#1*

donde el primer arumento indica (ue es una pruea de una cola 97:, el seundo es α  9*#*2:, el tercero µο 912#):, el cuarto µ  912#):, el (uinto σ 9.#/: 0 el se-to el tama+o muestral, n 972:# Resultando' beta  .&3/&

medias de sus resistencias en prueas mecánicas# Se consideran dos polaciones con medias µ7 0 µ) 0 varianzas σ7) 0 σ))# Se (uiere proar la %ip"tesis nula µ7Lµ)3 δ, siendo δ  una constante, (ue se determina en  ase a muestras aleatorias independient es de tama+os n7 0 n)# =omo siempre, se %arán prueas de la %ip"tesis nula contra las alternas µ7Lµ) δ, µ7Lµ) δ o µ7Lµ) δ #6a  pruea dependerá de las di!erencias entre las media muestrales 0 si amas provienen de  polaciones normales, se de!ine el estadCstico'

donde

es la desviaci"n

estándar de la distriuci"n muestral de la di!erencia entre las medias muestrales# Si las distriuciones de dos variales aleatorias independientes tienen las medias µ7 0 µ) 0 las varianzas σ7) 0 σ)), entonces la distriuci"n de su suma 9o di!erencia: tiene la media µ7 Y µ) 9o µ7 L µ): 0 la varianza σ7) Y σ))# Se sae (ue'

e s d e c i r  '

l u e  o '

µ 7

L

µ )

3 este estadCstico es a5n válido para muestras randes 9n7 0 n) ma0ores (ue .*: sustitu0endo σ7 0 σ) por s7 0 s)# 6as reiones crCticas para proar la %ip"tesis nula µ7Lµ)3 δ son  para polaciones normales con σ7 0 σ) conocidas o randes muestras# Hip"tesis Alterna µ7 L µ) δ µ7 L µ) δ µ7Lµ) δ Si ien δ puede ser  cual(uier valor, eneralmente se %ace * 9%ip"tesis nula

* : # E&emplo I' Para proar la a!irmaci"n de (ue la resistencia de un conductor  elFctrico  puede reducirse en más de *#*2* o%ms mediante aleaciones, .) valores otenidos de alamre ordinario  produ&eron 3 *#7./ o%ms 0 s7 3 *#**4 o%ms 0 .) valores otenidos con alamre !aricado en ase a aleaciones produ&eron 3 *#*8. o%ms 0 s) 3 *#**2 o%ms# GSe apo0a la a!irmaci"n con un nivel de sini!icaci"n de *#*2 7  K 

 n i !  i c a n c i a '

H i  p " t e s i s  > u l a

α

µ

3 * # * 2 # z

7

− µ )

3

α

* # * 2 *

3

) L  > i v e l d e s i

Hip"tesis Alternativa µ7 − µ)  *#*2* 9unilateral:

7 # / 2 2 L P a r  a t r  a   a  & a r 

c o n t a   l a s

= á l c u l o s '

n o r  m a l i z a d a s '

2L Dado (ue )#/2  z*#*2 se Rec%aza la Hip"tesis >ula, por lo tanto se acepta la Hip"tesis Alternativa, esto es se re!renda la a!irmaci"n µ7 − µ)  *#*2*# $ale decir, la aleaci"n reduce sini!icativamente en más de *#*2* o%ms la resistencia del conductor 

4  K 

de 7#/81 mts con desviaci"n estándar  de *#*1 mts# Ensa0ar la %ip"tesis de (ue los estudiantes (ue participan en  prueas atlFticas son más altos (ue los otros, con un nivel de sini!icancia de *#*2# 7K Hip"tesis >ula µ7 − µ) 3 *, no %a0 di!erencia entre las estaturas medias Hip"tesis Alternativa µ7 − µ)  * 9unilateral:, la estatura media del primer rupo es

E&emplo II' 6a estatura media de 2* estudiantes de un coleio (ue tomaan  parte en las prueas atlFticas !ue de 7#1* mts con desviaci"n estándar de *#*/)2 mts, mientras (ue 2* estudiantes (ue no mostraan interFs en tal participaci"n tenCan una estatura media sini!icativamente ma0or (ue la del seundo# ) L  > i v e l d e

s i  n i !  i c a n c i a '

  a  & a r  c o n t a   l a s

3

n o r  m a l i z a d a s ' 1 L

7 # / 2 / L

4

α 3 * # * 2 # z α

P a r  a t r  a

 K  = á l c u l o

s '

*#N8

7#1* − 7#/81 z *#*/)2

)

2*

+

* # * * 1 )

2 * 2L Dado (ue *#N8  z*#*2 se Acepta la Hip"tesis >ula µ7 − µ) 3 *# $ale decir, los estudiantes (ue participan en  prueas atlFticas no son sini!ica ti vamente más alt os (ue los otros

7

)

)

+

Si se deen correr riesos de Error Tipo II, en los cuales las  proailidades dependen de las di!erencias alternas reales δ\=µ7 − µ) , se pueden usar las curvas caracterCstica de operaci"n con '

σ

δ

)

−

)

δ ]

d

(

(

)

E&emplo III' =on respecto al e&emplo anterior G=uál es la proailidad de cometer un Error Tipo II para δ\3*#*) mts#

σ

* − )*#*) d ) 9*#*/)2: + 9*#*1: dado (ue α 3 *#*2 0 n 3 2*, traa&ando con la tala correspondiente o e&ecutando la !unci"n error_II de Jatla de!inida  previamente'

*#)7.

++ mu4mu.24si5masqrt.02*62 7./624n*4error,""1#.*#mu#m u#si5ma#n

se otiene'

Si n7 es distinto de n) , el valor de n (ue se dee utilizar 9el rá!ico o el aloritmo: se calcula como'

ans  .**)8

6ueo el valor del Error tipo II  para este caso es β3*#224N# n

( σ 7)

)

( σ 7) + ( σ ))

)

(

)

n7

+

σ )

) )

n )

=uando n7 , n) o amos son  pe(ue+os 0 se desconocen las vari anzas de las polaciones, se puede !undamentar la %ip"tesis nula µ7Lµ) 3 δ  en un estadCstico adecuado t, con tal de suponer a amas polaciones normales con σ73 σ) 93σ:# En estas condiciones'

∑

(

-7

)

 n7  

con σ) estimado por  ponderaci"n de las sumas de los cuadrados con respecto a las media muestrales'

  

)

n)

-7 i −

+

∑

 

   -) − i

σ

)

(  i=7

i=7

-)



)

)

)

( n7 − 7) ⋅( s7) + ( n) − 7) ⋅( s))



)

n7 + n ) − ) n7 + n ) − )

%aciendo las sustituciones correspondientes, se llea a la llamada  pruea t imuestral' t

⋅

 ( -7 − -)) − δ )

( n7 − 7) ⋅( s7) + (n) − 7) ) ⋅( s))

n7 ⋅n) ⋅( n7 + n)

  

− )) n7

+

n)

c o n

 ν 3 n 7

Y n )

L ) # E&emplo' En una estaci"n arCcola se deseaa ensa0ar el e!ecto de un determinado !ertilizante sore la 7K Hip"tesis >ula µ7 − µ) 3 *, la di!erencia se dee al azar  Hip"tesis Alternativa µ7 > µ) 9unilateral:, el !ertilizante incrementa

 producci"n de trio# Para ello se eliieron )4  parcelas de terreno de iual super!icieX la mitad de ellas !ueron tratadas con el !ertilizante 0 la otra mitad no 9rupo control:# Todas las demás condiciones !ueron las mismas# 6a media de trio conseuida !ue de *#)/4 m. con una desviaci"n estándar  de *#*) m., mientras (ue la media en las parcelas tratadas !ue de *#)8 m. con una desviaci"n estándar de *#*)) m.# GPuede decirse (ue %a0 un incremento sini!icativo en la  producci"n de trio por el emple o del !ertiliz ante al nivel de sini!i caci"n del 2< sini!icativamente la  producci"n# )L >ivel de sini!icancia' α 3*#*2# tα 3 7#171 con ν3)) rados de liertad# .L Para traa&ar con talas normalizadas'   

 ( -7 − -)) − δ

t

⋅

n7 ⋅ n) ⋅ ( n7

+ n)

− ))

)

( n7 − 7) ⋅( s7) + (n) − 7) ) ⋅ ( s) )

n7

+

n)

^9*#)8 − *#)/4: − *_

t

97) − 7: ⋅*#*))

)

2L Dado (ue 7#84N  t*#*2 9t0.05 3 7#171: se Rec%aza la Hip"tesis >ula µ7 − µ) 3 *# $ale decir, %a0 un incremento sini!icativo en la producci"n de trio  por el empleo del !ertilizante# Al aplicar la pruea tLimuestral se deen viilar (ue las muestras sean independientes# Por e&emplo, no puede utilizarse cuando se traa&a con datos de antes 0 despuFs, para ese caso se utiliza la di!erencia de los datos apareados 9con su sino:# E&emplo' 6os siuientes datos son las %orasL%omre (ue se pierden semanalmente en promedio por  accidentes en 7* plantas industriales antes 0 despuFs de implantar un cierto prorama de seuridad' 42 0 ./ 21 0 27

1. 0 /* 8. 0 11

4/ 0 44 .4 0 )N

2 + )N++ /7.- + ) + 2 − )7 + / + / +

  

4 K =álculos' 7) ⋅7)⋅97) + 7) − ): ⋅ + 7) )+ 97) − 7:7) ⋅9*#*):

utilizar el nivel de sini!icaci"n de *#*2  para proar si el sistema de seuridad es e!icaz# 7K Hip"tesis >ula µ 3 *, la media de la polaci"n de di!erencia es nula Hip"tesis Alternativa µ > 0  9unilateral:, el sistema de seuridad es e!icaz )L >ivel de sini!icancia' α 3*#*2# tα 3 7#8.. con ν37*L73N rados de lied# .L Para traa&ar con talas normalizadas'   

t

(

-−µ s n

4 K =álculos' Se calcula primero la media 0 la desviaci"n estándar de la muestra de di!erencias' 2#)

*

N  ` 7.

7#84N

+) +2

+) +/

+/ +2 +)

) s

)

)

  ` /    7*2#) ) ) )

)

) N

)

)

)