1 a
2 . Lista de exercícios – (Barbetta, ( Barbetta, capítulo7) - Modelos Probabilísticos
1) Numa Numa urna com 10 bolas numerada numeradass de 1 a 10, extrai extrair, r, aleatori aleatoriame amente nte,, uma bola e observar o seu número. a) Construa um modelo probabilístico; b) Liste os resultados contidos nos eventos; A = número par; B = número ímpar; e C = número menor que 3; c) Atribua probabilidades aos eventos do item (b) 2) Numa sala sala com 10 homens homens e 20 mulhere mulheres, s, sorteia-se sorteia-se um indiví indivíduo, duo, observando observando o sexo sexo (masculino ou feminino). Construa um modelo probabilístico. 3) Numa Numa eleição eleição para prefeitu prefeitura ra de uma cidade cidade,, 30% dos eleitores eleitores pretende pretendem m votar no candidato A, 50% no candidato B, e 20% em branco ou nulo. Sorteia-se um eleitor na cidade e verifica-se o candidato de sua preferência. a) Apresente um modelo probabilístico; b) Qual a probabilidade de o eleitor sorteado votar num dos dois candidatos? 4) Seja Seja uma família família sortead sorteadaa de uma populaç população ão de 120 famíl famílias ias,, as qua quais is se distribu distribuem em conforme a seguinte tabela: USO DE GRAU DE INSTRUÇÃO DO CHEFE DA CASA TOTAL PROGRAMAS Nenhum Primeiro Grau Segundo Grau Si m 31 22 25 78 Não 7 16 19 42 Total 38 38 44 120
Calcule a probabilidade de a família sorteada ser: a) Usuária de programas de alimentação popular; b) Tal que o chefe da casa tenha o segundo seg undo grau; c) Tal que o chefe da casa não tenha o segundo grau; d) Usuária de de pr programas de de al alimentação po popular e o ch chefe da da ca casa te ter o segundo grau; e) Usuária de de pr programas de de al alimentação po popular e o ch chefe da da ca casa nã não ter o segundo grau; f) Usuária de d e pr programas de al alimentação pop popular, co considerando qu q ue o sorteio tenha sido restrito às famílias cujo chefe da casa tenha o segundo grau; g) Tal qu que o chefe da da ca casa te tenha o se segundo gr grau, co considerando qu que o sorteio tenha sido restrito às famílias usuárias de programas de alimentação popular. 5) Seja a população população descrita descrita no Exercício Exercício 4. Seleciona Seleciona-se, -se, aleatoriamen aleatoriamente, te, duas famílias, famílias, sendo uma após a outra, repondo a primeira família selecionada antes de proceder a segunda seleção (amostragem com reposição). Qual a probabilidade de que ambas as famílias sejam usuárias de programas de alimentação popular? 6) Dos Dos exp exper erim imen ento toss abaix abaixo, o, veri verifi ficar car quai quaiss são são bino binomi miai ais, s, iden identi tifi fica cando ndo,, qu quand andoo possível, os valores dos parâmetros n e π. Para aqueles que não são binomiais, b inomiais, apontar as razões.
2
a) b) c) d) e) f) g)
De uma sala com cinco mulheres e três homens, selecionar, aleatoriamente e com reposição, três pessoas. A variável aleatória de interesse é o número de mulheres selecionadas; Idem (a), mas considerando amostragem sem reposição; De uma população de milhares de pessoas, selecionar aleatoriamente e sem reposição, vinte pessoas. O interesse está no número de mulheres da amostra; Selecionar uma amostra aleatória de 500 pessoas no Estado de Santa Catarina. O interesse está no número de favoráveis à mudança da capital do município de Florianópolis para o município de Curitibanos; Selecionar, aleatoriamente, um morador de cada município de Santa Catarina. A variável aleatória de interesse é a mesma do item anterior; Observar uma a mostra aleatória simples de 100 crianças recémnascidas em Santa Catarina. O interesse é verificar quantas nasceram com menos de 2 kg; Observar uma amostra aleatória simples de 100 crianças recémnascidas em Santa Catarina. A variável aleatória em questão é o peso, em kg, de cada criança da amostra.
7) Lançar, de forma imparcial, uma moeda perfeitamente equilibrada, cinco vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer 60% ou mais de caras, ou seja, P(x ≥ 3) 8) Considere o experimento do exercício anterior, porém com dez lançamentos. Qual a probabilidade de se obter 60% ou mais de caras? Intuitivamente você esperava que esta probabilidade fosse menor do que a do exercício 7? Por quê? 9) Considerando o exemplo 7.7b: observar o número x de respostas afirmativas, numa amostra aleatória de moradores, indagados a respeito de um projeto municipal, dentre uma grande população de pessoas, onde 40% delas são favoráveis e 60% contrária ao projeto. Admita que todas as pessoas dessa população responderiam sim ou não à indagação. Apresente a distribuição de probabilidades de x = número de favoráveis numa amostra aleatória de n = 5 moradores. 10) Construa um gráfico para a distribuição de probabilidades do exercício anterior. 11) Com respeito ao Exercício 9, calcule: a) Probabilidade de a amostra acusar dois ou mais favoráveis, ou seja, P(x ≥ 2); b) Probabilidade de a amostra acusar menos de dois favoráveis, ou seja, P(x<2); c) Probabilidade de a amostra acusar mais de 50% de favoráveis. 12) Considerando o Exercício 9, construa a distribuição de probabilidades da variável P=proporção de indivíduos favoráveis na amostra de tamanho 5. 13) Sob a hipótese de que um certo programa de treinamento melhora o rendimento de 80% das pessoas a ele submetidas, qual a probabilidade de, numa amostra de sete pessoas que sejam submetidas a este programa de treinamento, menos da metade melhorar de rendimento?
3
14) Um certo processo industrial pode, no máximo, produzir 10% de itens defeituosos. Uma amostra aleatória de 10 itens acusou 3 defeituosos. Calcule a probabilidade de ocorrerem, numa amostra de tamanho n =10, três ou mais itens defeituosos, quando o processo estiver sob controle (digamos, com π = 0,10, onde π é a probabilidade de cada particular item sair defeituoso). 15) Refazer o Exercício 9, sem usar a tabela da distribuição binomial. 16) Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos: a) Exatamente duas pessoas estejam vivas; b) Todas as pessoas estejam vivas; c) Pelo menos três pessoas estejam vivas; Indique as suposições necessárias para aplicação do modelo binomial. 17) Dentre sessenta alunos do Curso de Ciências da Computação da UFSC, observamos que quatro estavam plenamente satisfeitos com o curso que estavam realizando (anexo do capítulo 2). Se selecionarmos, aleatoriamente e com reposição, cinco alunos desta população, qual a probabilidade destas respostas: a) Nenhuma das cinco acusa “plenamente satisfeito”; b) A maioria acusa “plenamente satisfeito”; c) Pelo menos uma indica “plenamente satisfeito”. 18) De uma sala com 4 homens e 2 mulheres, seleciona, ao acaso e sem reposição, 2 pessoas. Qual a probabilidade de se obter exatamente uma mulher? 19) Uma sala contém 20 mulheres e 80 homens. Se forem escolhidas, aleatoriamente e com reposição, 6 pessoas, qual é a probabilidade de que: a) Cinco ou mais sejam homens; b) Haja exatamente 2 mulheres; c) Haja pelo menos uma mulher? 20) Numa população onde 32% dos indivíduos têm alguma descendência indígena, retirase uma amostra aleatória de 6 pessoas. Qual a probabilidade de se encontrar: a) Exatamente 2 pessoas com descendência indígena? b) Mais de uma pessoa com descendência indígena? 21) Suponha que 10% dos clientes que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente as suas contas (prestações). Ser num particular dia, a loja vende a crédito para 10 pessoas, qual a probabilidade de que mais de 20% delas deixam de pagar regularmente as contas? Admita que as 10 pessoas que fizeram crediário nesse dia, corresponda a uma amostra aleatória de clientes potenciais desta loja. 22) Admitamos igualdade de probabilidade para o nascimento de menino e menina. De todas as famílias com 6 filhos: a) Que proporção tem 3 meninos e 3 meninas? b) Que proporção tem 4 ou mais meninas?
4
23) Um exame de múltipla escolha consiste em 10 questões, cada uma com 4 possibilidades de escolha. A aprovação exige no mínimo 50% de acertos. Qual a chance de aprovação se o candidato comparece ao exame sem saber absolutamente nada, apelando apenas para o palpite?
5 RESPOSTAS - Capítulo 7 (Barbetta) - Modelos Probabilísticos
1. a) Resultados 1 2 3 4 Probabilidades 0,1 0,1 0,1 0,1 b) A = {2,4,6,8,10} B ={1,3,5,7,9}; C = {1,2} c) P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/2 ; P(C) = 1/5 2. Resultados Probabilidades
5 0,1
6 0,1
Homem 1/3
3. a) Resultados Probabilidades
A 0,30
7 0,1
8 0,1
Mulher 2/3 B 0,50
9 0,1
10 0,1
Branco ou Nulo 0,20
b)0,80 4. a) 78/120 b) 44/120 c) 76/120 d) 25/120 e) 53/120 f)25/44 g) 25/78 5. 0,4225 6. a) É binomial com n = 3 e π = 5/8; b) Não é binomial. Os ensaios não são independentes; c) É binomial com n = 20 e π = proporção de mulheres na população, na época da pesquisa; d) É binomial com n = 500 e π = proporção de favoráveis, em SC, na época da pesquisa; e) Não é binomial, o parâmetro π não é constante ao longo dos ensaios; f) É binomial com n = 100 e π = proporção de recém-nascidos em SC com menos de 2kg, na época da pesquisa; g) Não é binomial.A característica em estudo não pode ser identificada em apenas dois resultados, em cada ensaio. 7. 0,50 8. 0,3770 9. Binomial com n = 5 e π = 0,40; ou seja: x 0 1 2 3 4 5 P(x) 0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102 10. P(X) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
1
2
3
4
5
x
11. a) 0,663 b) 0,337 12. Resultados 0,0 Probabilidades 0,0778 13. 0,0334 14. 0,0702 15. Idem ao exercício 9. 16. a) 0,1646 b) 0,1317 17. a) 0,7082 b) 0,0027 18. 8/15 19. a) 0,6553 b) 0,2458 20. a) 0,3284 b) 0,6219 21. 0,0702 22. a) 0,3125 b) 0,34375 23) 0,0781
c)0,3174 0,2 0,2592
c) 0,7901 c) 0,2918 c) 0,7379
0,4 0,3456
0,6 0,2304
0,8 0,0768
1,0 0,0102
