‚ Formula fundamental˘a a trigonometriei: sin2 x ` cos2 x “ 1 @x P R ‚ Funct¸iile sin ¸si cos sunt m˘arginite: ´1 ď sin x ď 1
¸si
´1 ď cos x ď 1 @x P R
‚ Funct¸ia sin este impar˘a, iar funct¸ia cos este par˘a: sin p´xq “ ´ sin x
¸si
cos p´xq “ cos x
@x P R
‚ Funct¸iile sin ¸si cos sunt periodice, avˆand perioada principal˘a 2π: sin px ` 2kπq “ sin x
¸si
cos px ` 2kπq “ cos x @x P R, @k P Z
‚ Semnul funct¸iilor sin ¸si cos : sin x ą 0 ðñ x P CI Y CII cos x ą 0 ðñ x P CI Y CIV
¸si ¸si
sin x ă 0 ðñ x P CIII Y CIV cos x ă 0 ðñ x P CII Y CIII
‚ Trecerea de la sin la cos ¸si invers: sin
´π 2
¯ ´ x “ cos x
Teorie pentru clasa a IX-a Geometrie ¸si trigonometrie: 1. Trigonometrie
¸si
cos
´1´
´π 2
¯ ´ x “ sin x
@x P R
Profesor Marius Damian, Br˘ aila
2. Funct¸iile trigonometrice tangent˘ a ¸si cotangent˘ a
‚ Definit¸ii: " tg : Rz
ˇ * p2k ` 1qπ ˇˇ ˇ k P Z Ñ R, 2
ctg : Rz tkπ| k P Zu Ñ R, ‚ Funct¸iile tg ¸si ctg sunt impare: tg p´xq “ ´ tg x
tg x “
ctg x “ ¸si
sin x cos x
cos x sin x
ctg p´xq “ ´ ctg x
‚ Funct¸iile tg ¸si ctg sunt periodice avˆand perioada principal˘a π: tg px ` kπq “ tg x ‚ Trecerea de la tg la ctg ¸si invers: tg
¸si ´π 2
ctg px ` kπq “ ctg x
¯ ´ x “ ctg x
¸si
ctg
kPZ ´π 2
¯ ´ x “ tg x
3. Valori remarcabile ale funct¸iilor trigonometrice t
0
sin t
0
cos t
1
tg t
0
ctg t
E
Teorie pentru clasa a IX-a Geometrie ¸si trigonometrie: 1. Trigonometrie
π 6 1 ?2 3 2 1 ? 3 ? 3
π ?4 2 ?2 2 2
π ?3 3 2 1 2 ? 3
1
1 ? 3
1
´2´
π 2
π
3π 2
1
0
´1
0
´1
0
E
0
E
0
E
0
Profesor Marius Damian, Br˘ aila
4. Formule de reducere la primul cadran sin pπ ´ xq “ sin x
sin pπ ` xq “ ´ sin x
sin p2π ´ xq “ ´ sin x
cos pπ ´ xq “ ´ cos x
cos pπ ` xq “ ´ cos x
cos p2π ´ xq “ cos x
5. Funct¸ii trigonometrice pentru sume/diferent¸e de unghiuri sin pa ` bq “ sin a cos b ` sin b cos a
tg a ` tg b 1 ´ tg atg b tg a ´ tg b tg pa ´ bq “ 1 ` tg atg b
tg pa ` bq “
sin pa ´ bq “ sin a cos b ´ sin b cos a cos pa ` bq “ cos a cos b ´ sin a sin b cos pa ´ bq “ cos a cos b ` sin a sin b
6. Formule pentru jum˘ atatea, dublul ¸si triplul unui unghi sin 2x “ 2 sin x cos x # cos 2x “ cos2 x ´ sin2 x ùñ 2tg x 1 ´ tg2 x x 2tg 2 sin x “ x 1 ` tg2 2
tg 2x “
2
cos 2x “ 1 ´ 2 sin x cos 2x “ 2 cos2 x ´ 1
x sin x “ 2 1 ` cos x x 1 ´ tg2 2 cos x “ 2 x 1 ` tg 2
$ 1 ´ cos 2x ’ & sin2 x “ 2 ùñ ’ % cos2 x “ 1 ` cos 2x 2
tg
sin 3x “ 3 sin x ´ 4 sin3 x
x 2 tg x “ x 1 ´ tg2 2 2tg
cos 3x “ 4 cos3 x ´ 3 cos x
7. Transformarea sumei ˆın produs x`y x´y cos 2 2 x´y x`y sin x ´ sin y “ 2 sin cos 2 2
x`y x´y cos 2 2 x`y x´y cos x ´ cos y “ ´2 sin sin 2 2
sin x ` sin y “ 2 sin
cos x ` cos y “ 2 cos
8. Transformarea produsului ˆın sum˘ a 1 rsin px ´ yq ` sin px ` yqs 2 1 sin x sin y “ rcos px ´ yq ´ cos px ` yqs 2 1 cos x cos y “ rcos px ´ yq ` cos px ` yqs 2 sin x cos y “
Teorie pentru clasa a IX-a Geometrie ¸si trigonometrie: 1. Trigonometrie
