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MATEMATICAS~
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DISCRETA
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COM~~NArOR~
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Una introduccion con aplicaciones TER CERA EDI CI ON
RALPH
P.
GRIMALDI
Rose-Hulman Institute of Technology
..;.,
Addison-Wesley Argentina·
Me: dc o • 'P&rU:
Iberoamericana
:Es pa iia • Es tad os , Unfdos .Pue i1o Ri ci o• Ven ez uel a
Chile· • Colombia.
,
\I:ni6oenespaii6ldellloilraDiscrereandCombinotorill1MatIronatics.Anoppliedintroductior!, de RaIpb P . Grimaldi, publicada criginalmente en Ingles par Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts © 1994, por Addison-Wesley Company, Inc.
Esta edicidn en espaaol es IIIUn ica autorizada,
ADDISON·WESLEY
IBEROAMERlCANA 142S. Argentina S.. Iiajjo, Cbile
MalJIbia 2363-rG, Buems.Aire£ Cluz 1469 Dq>tQ 21 __
Apartado ~ 241-943 Santa fe de Bogod. Espal'" 3 bajo, Madrid 28014, ESpa;!a 1 Jocob Way, Readiog. Mass. 01867, E.U.A
Colombia
Apomdo """'" 22'()t2,.MOno.,D.F.1400 0,_ Esfe, n11m... 658, depto. D. Ur b. 'vmror:a Rossi. LJma 25. Pm:i Moate M aD r pise, Dficina 19 -8. Av e. Munoz Rivtnl. HaIo ReJ. 00918:. Puen:o Rico Hl:5()'A. Apartado Postal 51454, Cereces
Jr . S an AmoDio
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© 1997 per ADDISO N-WE SL EY IBE JtO AME lUC ANA, Wilmington, Delaware, B.UA
Imp reso en Bs tado s Un idos , Printed in U.S.A. ISBN 0-201-65376-1 123 4S 61891iJ-DOC-(ll 00999891
S. A.
A mia madre e alia memoria di mio padre con affetto e stima
Prefacio
L
avances.recnnlogices de los ultimos veinticincc ados han producido varies cambios en el currfcuhrm de Iicenciarura. Estes cambios han apoyado el desarrollo de muchos curses de uno 0 varies seme ssres en los que se presenta 10 sigui ente: OS
1. Metodos
discreroa que subrayan
)a aaruraleza
finita inherente
a muchos problemas
y estructeras: 2. La. combinatoria:
el algebra de la enumerscion
0
la s tecnices para contar;
3. La teorfa de grefcs CO D sus aplicaciones e interrelaciones turns de datos y los metodos de optimizaci6n; y,
con areas como las estruc-
4. Las estructures algebraicas finitas que surgen juntc con disciplinas como la teorfa de codigos, 10 . metodos de enumeracion, la s redes de puertas Y los di se nos combi nat or io s. Una de las principales razones para el estudio de las materias de cualquiera de coos cuatro grandes temas es la abundancia de aplicaciones que se encuentran en las ciencias de la computacicn; en particular, en las areas de las estructuras de datos, la leona de los leoguajes mgeniena
de computaci6n y eI analisis de algoritmos. Tambien existen aplicaciones en y en las ciencias ffsicas y biclogices. asr come en la estadfstica y las ciencias
sociales, En consecuencia, las me tema ucas di screta y comb inatoria
proporcionan
lioso material para los esrudiantes de otras kess, no 5610 para quienes matematicas oen-ciencias de Ia computacion,
un va-
se especiaiizan
en
EI propcsito principal de esta nueva edicicn es seguir ofreciendo una introducci6n a las matematicas discreta Y combinatoria. EI material mcluidc esta dirigido a .Jos principientes, por 10 que se ofrece Una gran cantidad de ejemplos con explkacinnes detalladas. (Los ejemplos se numeran per separado y so ha utilizado una lfnea gruesa para denotar el final de carla ejemplo.j Ademas, cuando se dan demostraciones, estes rambien se preseutan con el suficiente
detalle (pensando en los principiantes).
El texto tiene los siguientes
obietivos:
1. Presentar al estudiante de primer 0 segundo afio de Iiceaciatura, 0 de niveles previos, los temas y tecnicas de los metcdoe discretos y el razonamiento combinatoric. Los problemas del cceteo, 0 la enumeracion, neceaitan un analisis cuidadoso de la estrucrura (POl ejemp lo, el heche de que sea necesario 0 no &1or de n a la repe tici on ) y
Prefacio las posibilidades 16gicas. Incluso podria tratarse de una cuesticn de existencia en algunos casos. Al seguir ese analisis cuidadoso, veremos con frecuencia que la soluclon de un problema necesita tecnicas sencillas para comer los resultados posibles que surgen de la descomposicion del problema dado en subproblemas menores, 2. Ptesentar una amplia gama de aplicaciones, En este aspecto. donde se neceslten las esrructuras del algebra abstracta, s610 se desarrcllara la teorfa basica aecesaria para la aplicacirin. Ademas, las soluciones de algunas aplicaciones conducen por sf mismas a procedimientos iterativos que Ilevan a algoritrnos especificos. La aplicaci6n del enfoque algorttmico
ala soluci6n de los problemas es fundamental en la matematica discrelos estrechcs lazos entre esta disciplina y el area de ciencias
ta, edemas de que refuerza
de la computaci6n. 3. Desarrollar
13 madurez matematica
de] esrudiante
a traves del estudlo
de un area
muy diferente de 10 que tradicionalmente se inehrye en el celculo y las ecuaciones diferenciajes. Aquf, por ejemplo, se presenta la oportunidad de establecer resultados a] contar cierto grupc de objetos en mas de una forma. Esto prcporciona 10 que se conoce como identidades combinatorias; tambien se introduce una nueva tecnica de demcstracion, En esta edicidn, la naturalcza de fa demosrracion. junto con 10q ue constituye un argum ento valido, se desarrolla en el capitulo 2, que rambien incluye Ias'Ieyes de la logica
y las reglas de inferencia. Et analisis es en este case mas amplio que el de la segunda edicidn. Las demosrraciones por induccioa matemdtica (junto con las definicloaes recursivas) se preseraan en el capitulo 4 y despues se utilizan en todos los capuuios posredores. Respccrc a los tecremas y sus demostraciones, en muchos casas se ha intentado derivarlos a partir de la observacion de ejemplcs especfficos. Asf mismc, cuando una situacion finita da como resulrado alga que no es cierto en el case infinite, se ba beebe hincepie en ella para que se examine con atencicn. Se han omitido Lasd emcstracioncs demas.iado Iargas 0 muy especializadas: sin embargo, se proporcicnan referencias para el lector inreresado en reviser Ia validaci6n de los resultados de las escasas demostradepemlerade los objetivos de ciones omitidas. (E 1 enfasis puesto en las demostraciones cada profesor y de sus esrudiantes.) 4. Presentar un analisis adecuado de los remas para el estudiante de ciencias de lacomputacion, quien tomara cursos mas avanzados en areas como las de esrructuras de datos, teorfa de Ienguajes de computaci6n y anansls de algoriunos. E1 estudio de los grupos, anillos. cuerpos y algebras booleanas tambien proporcionara una imroduccion aplicada para los estudianres de la carrera de matematicas que .deseen contlnuar su estudio del algebra abstracta, El lector de este libro debe center, en primera instancia,
con una base solida en materna-
ticas de nrvel bacbillerato y un interes per abordar y resolver distintos tipos de problemas. Si bien no se requiere una capacidad particular para la programacion, en la obra aparecen varies segmentos de programas (presentados principalmente en Pascal), disefiados y explicados para refcrzar algunos ejemplos particulates. Respecto el calculo, mas adelanto en este prefacio mencionaremos su alcance en los capfrulos 9 y 10. Mi principal motivaci6n para escribir la primera y segunda ediciones de este libro fue el apoyo recibido, durante varies aaos, de mis alumnus y colegas, asf como de los eetumantes y profesores que usarun la primera edici6n del textc en diferentes universidadcs. Bsas dos ediciones reflejaban
mis lnteeeses y los de mis a1umnos, asf como Lasreccmcnda-
v ii
Prefacio
Clones de] Commiuee on the Undergraduate Program in Mathematics y de la Association of Computing Machinery. Bsta tercera edicion sigue la misma linea y refleja ahora las recomeudaciones utilizado 0
tanto de los protesoree
como, en particular.
de los eetudiantes
que han
ut iliza nd c 1. seg un do edicicn.
Caracteristlcas A continuaci6n se describen brcvemente algunas de las principales caracterfsticas de la nueva edicicn, las cua1es tienen por objeto ayudar al leceor (estudiante, profesur, etc.) a aprender los fundamentos de las matemancas discrete y combinatoria. Enfasis
aigoritmos y aplicaciones. En todo el texto se presenten err muchas areas. Per ejemplo:
el
caciones
algoritmos
y apii-
1. EI capitulo 1 Incluye '{arias situaciones paniculares en las que se necesiten los temas Inrroductorios de enumeracicn; en particular, un nuevo ejemplo estudia cl lema del re cue nt c ex ce si vo.
2.
La
seccidn 7 del capfrulo 5 proporciona- una introduccien a la complejidad
compuracicnal. Este materia] se usa despues en la seccioa 8 de dichc capitulo para analizar los uempos de ejecucion de algunos prcgramas elementales, uno de Losc ua-. les trata de la generaci6n
de los aemeros
de Fibonacci.
3. EI material delcapjtulc 6 estudia los Jenguajes y las maquinas de estados finites. Bsto introduce at lector a un area importante de Ias cteecias de la computacion: fa team de los Ienguajes de computacion. 4. Los capftulos de la ordenaci6n
profundidad
7 y 12 incluyen analisis de las aplicaciones y algoritmos que tratan topclogica y las tecnlces de besqueda conccidas comc busqueda ell
y bi isque da en an ch ur a.
5. En el capftulo .10 se analiza el tema de las relacionca de recurrencia; se tratan aplicaciones sobre (a) la ordenacion poc e1 metoda de I. burbuja, (b) la busqueda bmaria, (c) los numerus de Fibonacci, (d) Ia curva cepe de nieve de Koch. (e) las redes de resistencia lineal. (I) 1. estructura de datos Ilamada pila, y (g) los arboles binaries.
6. EI capitulo 16 presecta las propiedades fundamentales de I. estructura ajgebraica Ilamada grupo. Aquf se muestra como se usa esta estrucrura en el estudio de la leona algebraica de codigos y en los problemas de conteo que requieren el metodo de enumeraci6n de Polya, Explicaciones detaUadas. Ya sea en un ejemplo 0 en la demostraci6n de un teorema, las explicaciones pretenden ser cuidadosas y completes. L a presentacion busca principa lmen te qt Jeel lector qu e se mi cr a en el estudio de estas meteries Jas comprenda mejor, E,ierdcios.
El papel de los ejercicics
en cualquier texro de matematicas
es primordial.
La
ca nt ida d de tiempo inv ertida en ]05 ej er ci ci os .i nfl nye en gran medida en el ritmo del curse, El pr of es or podra com pr ob ar qu e el ne mp o de clos e ut ilizado en el an alisis de lo s ej er ci clos varera,
dependlendc
del mteres y los cnnocimientos
maremancos
de los alumnos.
iii
Prefado En los 17 capftulos hay IUs de 1700 ejercicios, Los que aparecen a1 final de cada seccloa siguen, por 10 general) el orden en que se desarrcltd el material de la seccion Estes ejercicios
estan disegados
(b) enlaaar las ideas presentadas
cccceptos
ediclonales
para (a) repasar los ccnceptos en las primeras seccioncs
relacionados
besicos
de la seccion;
y
del capltulc;
con los temas de la scccioe.
Algunos
(c) presentar
ejercicios
pi-
den el desarrollo de un algoritmo. 0 la escritura de un programa de ccmputador: con frecuencia, para resolver cierta particularizacion de un problema general. Nonnalrnente esto s610 requiere un mfnimc de experiencia en programacion. Carla capitulo concluye con un conjunto de ejercicios complementarios. Estes proporclonac un repaso adicional de las ideas presemadas en el capftulo 'I tambien urilizan material desarrcllado en capttulos anreriores. At final del texto se proporcionan cicios de mimero impar.
las soluciones
de casl rodas las panes
de los ejer-
Resiimenes de capitulo. La Ultima secclcc numerada de cada capitulo presenra un resumen y un.repaso hist6rico de las ideas principales de dicho capitulo. Esto riene per objero dar al lector un panorama del contenido del capitulo. asf como informacion para. un estudio mas profundo y sobre otras aplicaciones. Dicha profundizacion pucde basarse sin uingiln problema en la Iista de referencias proporcionada, En particular, los resumenes que aparecen al fina1 de los capuulos 1, 5 Y9 incluyen tables de las formulas de enumeracicn desarrolladas dentro de cada uno de estes capfrules. En algunos casos, estes tabtas incluyen resultados de capnulcs compararlos y mostrar la forma en que los nuevos resultados amphan
anteriores para los. enteriores
Organizaci6n son en cierta medida nuevas para el Las mas de matematicas discrete y ccmbinatoria curriculum de Iicenciatura, de modo que existen varies opciones acerca de los temas que deben estudiarse en los curses. Cada profesor y estudiame puede tener diferenres intereses. En ccnsecuencia, los aspectos que se abarcan en esta obra son bastante empties, como correspomle a un curse general. Aun asf siempre habra mas temas que algunos lectcres deseartan .incluir; asf-mismo, habra diferencias de opinion respectc a1 orden en que se pr esentan al gu no s tema s en es te tex to. En todo el textc se hace €nfasl$ en Ia naturaleza e importancia del enfoque algorrrmicn para la soluci6n de problemas. L as ideas y puntos de vista acerca de la resclucica de problemas se yen reforzados aun m as por las inrerrelaciones entre la enurneracicn y la estrucmra, dos de los ternas principales que proporcionan un enlace para el material desarrcllado en ellibro. EI material
se subdivide
man el micleo del librc
y
en cuatro areas principales.
presenraa los fundamentos
Los primeros
de {as matematicas
siete capuulcs discretas.Aqui
forse
presenta eJ material suficienre para un curso de matemducas discretas con duracion de un trimestre 0 un semestre. EI materia1 del capitulo 2 puede ser revisadc por los cstudiarnes que ya tengan ccnccimientus de 16giC?- Para los interesados en el desarrollo y escritura de demostraciones, este material debe examinarse COn cuidado. Un segundo curse, que haga hincapie en Ia cornbinaroria, debe incluir los capftulos 8. 9 Y 10 (y si el riempo 10 permite, las secciones 1. 2, 3, 9,10 y II del capitulo 16). En el capitulo 9 se usan algunos resultados del calculc; a saber, los fuedamentos de la diferenciacicn y la desccmposicion en fraccio-
ix
Prefacic
ues simples. Sin embarg-o, aquellos que deseen saltarse/este capitulo, podran csrudiar las secciones 1,2,3,6 Y7 del capitulo 10. A partir de 100ca pftulos 11,12 Y 13 puede desarroIlarse un corso que ponga el enfasis en Ia teona y Ias aplicaciones de los grafos finites. Bsos capftulos forman la tercera subdivision principal del texto. Para un cursu de algebra aplicada, los capltulcs 14, 15, 16 Y 17 (la cuana y Ultima subdivisi6n) versan sabre Las estructuras algebraicas (grupo, anillo, algebra booleana y cuerpo) e incluyen aplicaciones relatives a las funcicnes de conmuracloa, 1a teoria algebraica de codigos, y los disefios comblnatonos. Por Ultimo, un curse acerca del papel de las estrucruras discretas en la ciencla de lacomputacien puede d.esarrollarse con cl material de los capftulos 11, [2,13 Y 15, Y las scccicnes 1 a g del caprtulo 16. En esta parte hay aplicaciones acerca de las funciones de conmutacion y Ia teorfa algebraica de codigos, asi como una introduccicn a Ia teorfa de grates y los arboles, y su papel en Ia optimizaclon. Otros posibles cursos pueden desarrollarse con base en las siguientes relaciones de dependencla entre los capftulos. Capilull>
2
Dependeneia de capituJos anteriores Sin dependencia Sin dependencia (por 10t anto. un instructor
3
matemsucss discretas la enumeracion.) 1,2
1
4 5 6
9 10 11
1,2,3 1,2,3 1.2,3.5 4.2)
puede iniciar un cursu en
con el esrudio de la logica 0 con una introduccion
(La seccicn 6.1 tiene una dependencia
menor de las seccicnes
a
4.1,
1,2,3,5,6 menor de las secciones (La seccion 1.2 tiene una dependencia 4.1,4.2) 1, 3 (El ejemplc S.3 de la seccion 8.1 tiene una dependencia menor de la seccion 5.3) 1,3 1,3,4,5,9 I, 2, 3, 4, 5 (Aunque
algunas
ideas de la reorfa de grafos se mencionan
en
los capitulos 5, 6. 7, 8 y to, el material de este capitulo se desarrolla con independencia del material de teorfa de grafos dado en estes resultados 12 13 14
ameriores.) I, 2, 3, 4, 5, II 3,5,11, 12 2,3,4,5,7 (La funci6n phi de Euler ($) se usa en 10s eccioo 14.3. Esta funci6n se obtiene en ia seccion 8.1 pero el tesultadc puede usarse aqul, en el capitulo 14, sin estudfar el capitulo 8.)
15 16
2,3,5,7
17
2,3,4,5,7, 14
Ademas,
1,2. 3,4, 5,7
el Indice de marerias
se ha disefiadc
cuidadcsarnente
sea atin ma s flexible. Lo s termi nos se presentan con lisras principales
para haccr que e) rexto
y "arias listas secundarias. 'Iambien hay una buena cantidad de referencias cruzadas. Esta se h a heche COD el fin de ayudar al profesor q:ue desee modificar el orden-de presemacion y elegir uno propio.
'PretaclO
Cambios en la tercera edici6n Los carnbios a Ja tercera edicidn de Matesruuicas discreta y combinatoric varian de ]0 mcderado a 10 amplio, Sin embargo, el tono y el propositc del texto se manti en en. Sigue siendo un oojerivo de l autor pr opo rcion ar, de ane de estas pa gi na s, un a inr rod uc ci on solida, legible y comprensible a las matemauces discreta y combinatoria para el estudiarue que comienza, Coo base en los comentarios y crfticas de, los profesores y estudianres que usaron las dos primeras ediciones, se han hecho algunos cambios en la eercera edicion:
• Esta edici6n incluye Una introducci6n at usc de 13n otaci6n para la suma (sigma) en el caprmlo I, asi como para la notacioa del producto (pi) en el capitulo 4. Las ediciones
anreriores presuponfan que cl lcctor estaba farniliarizado con este material. • Se ha ampliado et tratamicnzo de la escr.tura de demostracicnes en eLcapfrulo 2. En particular, la nueva sccciou 2.5 incluye material acerca de las reglas de especificacion universal y generalizacion universal y su papel en la escrirura de demosrraciones. Esto continua luegc en 1a primera scccicn del capitulo 3, donde se aplica para dernostrar teoremas relatives a conjunros Y subconjuntos . ..E n la segunda edici6n, las definiciones recursivas se desartellaron en la scccion 4.1, donde S6 introdujo el concepto de inducci6n matemarica. Aqui hemos dedlcado la seccion 4.2 a1 desarrollo del concepto de definicion recursiva. Esto nos ha permitidc presentar los ndmercs de Fibonacci y Los mlrneros de Lucas relacionados con ellos antes (del capitulo 10). . • Los mlmeros arm6nicos do el estudio
aparecen
de los nnmcros
(pot primera
vez) en la seccion 4.1 y se ha arnplia-
de Catalan en la scccion
10.5.
• Se han incluido rres apendices como ayuda al lcctor: 105 des primeros son un repaso de las funciones exponencial y Iogantmica, y una intrcduccion a las matrices. El lector vera que (a exposicidn en esta pane es adecuada para comprender el material del texto dande surgen esos conceptos. EI ultimo apendice estudia los conjuntos numerables y no numerables, para los que quieren algo mas de coujuntos y funcicnes. es decir; quienes deseen ampliar las ideas presentadas en los capftulos 3 y 5. • Desde Ia publicacioa de la segunda edicion, el autor ha renido oportunidad de hablar con alwnnos que han estudiado las matemaricas en este Iibro. Estas charlas, junto can rcvlsiones de los profesores que han usado la segunda edicion, ban lIevado a aiiadir 87 nuevos ejemplos. El propesito de estes ejemplos es ayudar al estudiante donde, tal vez, sienta la eecesidad de otro ejempln . .. Hay m a s de ,1700 ejercicios en esta nueva edicion. Esto representa mas de 300 respecto de la segunda ediclcn.
en situaciones
un incremento
de
• Muchos de los resumenes y repasos hist6ricos que aparecen a J final de los capftulos han side ampliados, y la lista de referencias ba sido acrualizada. Ademas, cada resumen
y repaso hist6rico incluye ahara al menos una Hustracion del matematlco en el repaso.
mencionado
Preface
Agradecimientos Si el espacic 10p ermitiera. me gustarfa mcncionar a cede uno de los estudiames que me han ayudado y animado mientras escribfa las tres edicicnes de este libro. Sus sugerencias me sirvieron mucho para eliminar algunos errores y ambigeedades, y mejorar asf Ia expo-
sici6n. Lo s que ma s me -ayud aron en este aspe cto fueron Pa ul Gr iffith, Me redith va nnauk er, Paul Barlcon, Byron Bishop, Lee Beckham, Brett Hunsaker, Tom Vanderlaan, Michael Bryan, John Breitenbach, Dan Johnson, Brian Wilson, Allen Schneider, John Dowell, Charles Wilson, Richard Nichols, Charles Brads, Jonathan Atkins, Kenneth Schmidt, Donald Stanron,Mark. Stremler, Stephen Smalley, Anthony Hinrichs y Kevin O'Bryant, Agradezco a Larry Alldredge, Claude Anderson y Martin Rivers sus comentarios relativos al materia1 de ciencias de la computaci6n, y a Barry Farbrcther; Paul Hogan, Dennis Lewis, Charles Kyker, Keith Hoover y Jerome Wagner sUS instructivas observaciones 50bre algunes d.e las aplicaciones. Agradezco el emusiasruo y spoyo persistentes de] equipo de Addison-Wesley (tanto cr actual como el anterior); en particular. a Wayne Yuhasz, Thomas Taylor, Michael Payne, Charles Glaser, Mary Crittenden, Herb Merritt, Maria Szmauz, Adeline Ruggles, Stephanie Botvin, Jack Casteel y Deborah Schneider. Laurie Rosarone 'j Juliet Silveri merecen un reconocimieneo especial por so notable contribuci6n a esta tercera edicion. Tambien estoy en deuda con mis colegas John Kinney. Robert Lopez, Nacer Abrouk. Gary Sherman. George Berzsenyi y, particularmeate, Alfred Schmidt, pot su inreres y apoyo durante Ia elaboracion de esra obra y sus ediciones anteriores. Dey mi agradecimiento y reconoclmiento a los sigulentes revisores gunda y tercera ediciones Norma E. Abel Larry Alldredge Claude W. Anderson V . K. Balakrishnan Robert Barnhill Dale Bedgood
Digital Equipment
Corporation
Alsys.lnc. III
Jerry Beehler
K3 :tali n Benc sat h Allan Bishop Monte Boisen Samuel Councilman Robert Crawford Ellen Cunningham, SP Carl DeVito Carl Eckberg Robert Geitz James A. Glasenapp David S_H art Maryann Hastings
W M""kHill Richard ntis Akihiro Kanamori John Konvalina
de la primera.
Rose-Hulman Institute of Technology University of Maine at Orono University qf Utah East Texas State University Tri-State University Manhattan College Western: Illinois University Virginia Polytechnic Institute California State University at Long Beach.
West er n:Ken tu ck y Uni ve rs ity Saint Mary-of"the-Woods College. Naval Postgraduate School San Diego State University Oberlin College Rochester Institute a/Technology Rochester Institute a/Technology Marymounr CJ/lege Worcester Stale College Willanterte University Boston University University of Nebraska at Omaha
se-
x ii
Preface Rochelle Leibowitz lames T~Le wis Y-HsinLiu Hugh Montgomery Ricbard
Orr
Wheaton College University of RIwde Island University of Nebraska at Omaha University of Michigan Roc he st er In st it ut e ojTechnoJogy Baylor University
Edwin P. Oxford SoilnRa use n
N ew Jersey In suu ae oJ Te c. :l mol og y
Martin Rivers
Lexmark
Sam e. R Schm erl
Uniyersity of Connecticut Eastern Kentucky University Unwersity of Wisconsin at Green Bay
Paul S. Schnare
De bra Dl ny Scott Di' I!t on Tarwater
Harvard
W . L Terwilliger
Bowling
W . D. W al lis
University
Green State University Pepperdine University
Roch est er In st itute of'Iechnology Southern Illinois University Virginia Commonwealth University University of Nebraskaat Omaha
Larry West
YIXicZhang Agradezcc
Inc,
Te- xas Tech Univ ers it y
Jeff Iecosky-Felduran Donald Thompson Thomas Upson
lntemational,
particularmente
a Douglas
Shier de Clemson
University
el extraordinario
tra-
bajo que rcalizd rcvisando los manuscriros de las -tres ediciones. La traduccion de la dcdicatoria es de Ia Dra. 'Yvonne Panaro de Northern Virgin a Community College. Gracias Yvonne. y gracias a Patter {Patricia 'Wickes Thurston) per su labor para conseguir la traducci6n. Un texto de esta magnitud requlere el uso de muchas referencias. Los miembrcs del pcrsoeal de Ia bibliutcca del Rose-Hulman Institute of Technology siempre estuvieron disponib1es cuando se necesiraban libros y artjculos. esrque debo expresar mi aprecio por el esfucrzo de John Robson. Sondra Nelson y en especial Margaret Ymg. Por ultimo. y con seguridad, la III
exclusive
del actor.
KEG, Te rr e Hau se , Ind ian a
Contenido
PARTE
1
Fundamento$ de las matematicas discretas Prineipiosfundam entales del contee
3
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Las reglas de la suma y del producto 3 Permutaciones 6 Combinaciones: EI teorema del binomio 19 Combinaciones con repeticion: Distribuciones 33 Una aplicaci6n a las ciencias flsicas (Opcional) 43
1.6
Resumen
2
Fundamentos de logica
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Conectivas basicas y tablas de verdad 51 Equivaiencia Iogica: Las leyes de la 16gica 61 Implicaci6n 16gica: Reglas de inferencia 77 El uso de cuamificadores 98 Cuantificadores, definiciones y la demostracion de teoremas Resumen y repaso historico 137
3
Teoriade coniuntos
3.1
Conjuntos y subconjunros
3.2 3.3 3.4 3.5
Operaciones de conjuntos y las leyes de la teorfa de conjuntos Tecnicas de conteo y diagramas de Venn 169 Unas palabras en cuanto ala probabilidad 172 Resumen y repaso bist6rico 176
4
PrDpieciadesde los enteros: Indued6n matematica
y repaso
hist6rico
44 S 1
121
143
143 156
183
4.1 4.2 4.3
El principio del buen orden: Inducci6n matematica 183 Definicinnes recursivas 201 EI algoritmo de la division: NUmeros primos 213 4.4 El maximo comdn divisor: EI aigoritmo de Euclides 225 4.5 EI teorema fundamental de Ia aritmetica 232 4.6 Resumen y repaso hlst6rico 238 xiii
dv
Contenido
5
Relaciones y funciones
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Productos Funciones:
5.8 5.9
Analisis de algoritmos 297 Resumen y repaso historico 308
6
lenguajes:
6.1 6.2 6.3 6.4
Lenguaje:
7
Relationes:
7. J
Repaso
7.2 7.3 7.4 7.5
Reconocimiento per camputador: Matrices cere-uno Ordenes parciales: Diagramas de Hasse 371
7.6
PARTE
245 246 251
cartesianos y relaciones en ge ner al e inyectivas
Funciones sobreyectivas: Niimeros Punciones espeeiales 267 EI principia del palomar 275 Composicion Complejidad
de funciones computacional
Maquinas
La teorfa
de Stirling
y funciones
del segundo
Inversas
de estados
de conjuntos
de esrado finite:
Resumen y repa so hi stcr ico La segunda
de relacioncs:
280
finitos
315
de las cadenas
Un segundo
encuentro
316 327 335
343 vuelta
Propiedades
349
de las relaciones
349
y grafos dirigidos
Relaciones de equivalencia y particiones 382 Maquinas de esrado finito: EI proceso de minirnizacicn 394 Resumen y repasc hist6rico
2
Tamas adicicnalas de conteo
401
8
EI principio de inclusion y exclusion
8.1 8.2 8.3
El principia de inclusion y exclusion Generalizaciones del principio 413
Desordenes: Nada est! en el lugar correcto
8.4
Polinomios
8.5 8.6
C O D po sici on es Disposiciones pr oh ibi da s Resumen y repaso historico 428
9
Funciones generatrices
9.1 9.2 9.3
Ejemplos introductorios 433 Definiciones y ejemplos: Teceices de calculo Particlcnes de enteros 445
de torre
403 403
418
420
424
433
9.4
La funci 6n ge ner at ri z exponencial
9.5 9.6
EI operador
d. sum. 454 Resumen y "'paso hist6rico
260
293
Maquinas de estado finite: Un primer encuentro Maquinas
tipo
456
449
436
388
357
Contenido
Relatione.
10
de recurrentia
461
10.1 La relaci6n de recurrencia tineal de primer orden 461 10.2 La relacidn de recurrencia lineal homogen ea de segundo orden can coeficientes constantes 471 10.3 La relaci6n de recurrencia no homogenea 482 10.4 EI metoda de las funciones generatrices 493 10.5 Un tipo especial de relacion de recurrencia no lineal (Opcional) 499 10.6 Algoritmos divide y venceras (Opcional) 511 10.7 Resumen PARTE
y repaso
hlstonco
521
3
leona de grafos y aplicadone.s 527
11
Una introduceion
a la teoria de grafos
11.1 11.2 11.3 11.4
Definicion es y ejemplos 529 Subgrafos, comp leme ntos e isomorfismos de grafos ·537 Grado de un vertice: recorridos y circuitos eulerianos 550 Grafos planes 560
529
11.5 Carninos y ciclos hamiltonianos 578 11.6 Coloraci6n de grafos y polinomios cromaticos 11.7 Resumen y repaso historico 598 12
Arboles
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
Definiciones, propiedades y ejemplos 607 Arboles con rafz 614 Arboles y ordenaciones 634 Arboles ponderados y codigos prefijo 638 Componentes blconexas y puntos de articulacion Resumen y repaso hist6rico 650
,3
Optimi2acion yemparejamiento
588
607
644
657
13.1 Algoritmo del camino m a s corto de Dijkstra 657 13.2 Amole, recubridores minirnales: Los algoritmos de Kruskal y Prim 665 13.3 Redes de transporte: EI teorema de flujo maximo y corte minimo 671 13A Teorfa de emparejamiento 683 13.5 Resumen y repaso historico 694 PARTE
gebra
4
modema aplicada 14
699
Anillo. y aritmetica modular
701
14.1 La estructura de aniBo: defmici6n y ejemplos 701 14.2 Propiedades Ys ubestrucruras de un anillo 709
Contenido
143 Los enteros modulo n 717 14.4 Homomorfismos e isomorfismos de aniUo 722 14.5 Resumen y repaso histcricc 730 15
Algebra booleana
y fundones
de conmutaeien
735
15.] Funciones de intercambio: Formas normales disjuntiva y conjuntiva 15.2 Redes de puertas: Suma minimal de productos y mapas de Kamaugh 15.3 Aplicaciones adicionales: Condiciones de indiferencia 756 15.4 La estructura de un algebra booleana (Opcional) 15.5 Resumen y repaso histcrico 772
762
16
Grupos, teoria de la codificaci6n y metodo de enumeraci6n
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
Deflnlciones, ejemplos y propiedades elementales 777 Homomortlsmos, isomorfismos y grupos cfclicos 784 Oases laterales y teorema de Lagrange 791 Elementos de I. reorfa de la codificaci6n 793 La metrica de Hamming 798 La verificacicn de paridad y matrices generadoras 801 Codigos de grupo: Decodificacion con Iideres de close 806 Matrices de Hamming 810
16.9 16.10 16.11 16.12
Enumeraci6n y equlvaleecia: Teorema de Burnside 812 EI indice de ciclo 820 EI inventario de patrones: Metoda de enurneracion de Poly. Resumen y repaso hist6rico 829
17
Cuerpos finitos y diseiios combinatorios
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
Anillos de polinomios 835 Polinomios irreducibles: Cuerpos finites Cuadrados latinos 853 Geometrias finitas y planos afines 859 Disefios de bloques y planes proyectivos Resumen y repaso historico 871
824
865
Fun~iones exponenciales
Apendice
2
Matrices, operaciones
con matrices
Apendice 3
Conjuntos
y no numerables
Soluciones
5-1 1-1
777
843
1
indice de materia.
de Polya
835
Apendice
numerables
735 745
y logaritmicas
A-l
y deten-ninantes A-27
A-13
PARTE
1 FUNDAMENTOS DE lAS MATEMATICAS DISCRETAS
1 Principias fundamentales del canteo*
L
a enumeracien, 0 conreo, puede parecer un prcceso obvio q ue un estudiante aprend~ al estudiar aritmetica por primeca vez. Pero luego, segnn parece, se presta poca atencion en 10 que se reficre a un desarrollo mas amplio del conteo conforme el estudiame pasa a areas "mas dificiles" de las matemaricas, como el algebra, la geometrfa, la trigonometrfa y el calculo. En consecuencia, este primer capitulo debera servir como advertencia acerca de la seriedad y dificultad del "mero" conteo. La enumeraci6n notenuina con la aritmetica. Tambien tiene aplicaciones en areas como lateorfa de c6digos, la probabilidad y estadfstica (en matemaricas). y el analisis de algoritrrtos (en ciencias de Ia compuracion). Los capitulcs posteriores mostraran algunos ejemplos especfficos de estes aplicaciones. A medida que vayamos entrance en este fascinanre campo de las matematicas, nos encoetraremos con mucbos problemas que se pueden eaunciar en forma sencilla pero que son "duros" de resolver. As(~asegurese de aprender y cumprender las formulas bastcas. pero no confte demasiado en ellas, ya que, sin el analisis de cada problema, el rnero conocimienro de las formulas es casi unitil. En vez de ello, acepte eI rete de resolver problemas poco usuales 0 diferentes de los problemas que ha visto en cl pas-ado. Busque soluciones con base en su propio analisis sin importer si es exactamente la que proporciona el actor. Can frecuencia existen varias vias para resolver un problema dado.
1.1 _Reglas de la suma y del producto Nuestro esrudio de las matematicas discrete y combinaroria comicnza con dos principios bdsicos de} conteo: las reglas de la suma y del picducto. Los enunciados }"a plicaciones iniciales de estas reglas parecen sencillos. AI analizar problemas m a s complejos. a rnenudo podemos descomponerlos en panes que pueden resolverse mediante estos principles basicos. Queremos desarrollar la capacidad de "descomponer" dichos problemas y acomodar ... ED este teste
se han uiiH:zado
coU1lting~(N. dt.l T.)
'los ttrminos
"ccereo",
"recuemo"
y "center'
para traducir
el termiao
Capitulo 1 Principios fundamenta!es
del contec
nuestras soluciones parciales para lleger a la respuesta 'final. Una buena forma de hacerlo ccnsiste en analizar y resolver muchos problemas distintos de enumeracion, romando nota. todoel tiempo, de los principios utilizados en la sotucion. Este es el metoda que seguiremos. Nuestro primer principio del conteo puede expresarse de la forma siguiente:
Observe que cuando decimos que una ocurrencia particular, como una primera tarea, puede realizarse de m formas, se supone que estas m formes son distintas, a menos que se indique 10 contrerio. Bstc sera a sf a 10l argo de todo el texto.
La biblioteca de una universidad tiene 40 Iibros de textc de sociologfa y 50 de amropologfa. Por la regia de la suma, un estudiante de este universidad puede elegir entre 40 + 50;;;;;; 90 Iibros de texto para aprender
acerca de alguno de estes dos temas
La regla puede ampljarse a mas de dos tareas, siempre que ninguna pareja de tareaa pueda ocurrir en forma simultanea. Por ejemplo, un instructor de ciencias de Lacompuracion que tiene, digamos, cinco Iibros de nivel introductcrio acerca de.A PL, BASIC, FORTRAN Y Pascal puede reccmendar cualquiera de estos 20 libros a un cstudiaere interesado en aprender un primer lengueje de prograruacion,
El instructor de ciencias de la computaci6n de-le jemplc 1.2 ticne des cole gas. Uno de ellos . tiene tres Iibrcs de textc acerca del analisis de algorirmes y el otrc cuenta con cinco libros. Si n denora el numero maximo pedirles prestados, entonces mismo Iibro (0 libros).
E1 siguieme
ejemplo
de libros diferentes
sobre cl tema que el instructor
5 :S n S 8, ya que ambos profesorespodrian
presenta
AI tratar de tomar una decision
nuestro segundo
principia
ecerca de la arnpiiaci6n
puede
tener capias del
de coateo.
de una planta,
uo administredor
organiza a 12 de sus empleados en dos comites. El comite A esta formado por 5 mierrrbros y esta encargado de investigar L os resultados favorables posibles de dicha arnpliacion. Los otros siete empleados, del comite B. revisaran todas las posibles repercusicnes desfavcrables. Si el adminlstrador decide hablar s610 con un comite antes de tamar su decision, entonces, por Ia regIa de 1a suma, cxistiran 12 empleados a los que puede Hamar. Sin embargo. para tener menor sesgo, antes de tomar una decisicn, decide hablar con un miem-
1.1 Reqlasde la suma y del producta bro del ccmite A ellunes y cl manes COD un miembro del comite B. Mediante eI siguiente principio, vemos que puede elegir a esos dos empleados de 5 X 7 = 35 formes.
..
-..
--
--
-
.-
_-
.
- -
-;
- ~ -.
- = ~'.
~
~ ~ : ; ~
• •
.-
.
-
-
-
-
-
. -
~
I .
Esta regla se conoce tambien
--
-
-
•
como el principia
'-
- -
~-
-
_~~~-~r.'
-
~.
-
--:: -
-~.
-
.
: . .
-
_
'_
....:,~~
....
de eleccion:
El club de teatro de la Universidad Central realiza ensayos para una obra que se montara en primavera. Si seis hombres y echo nrujeres ensayan para los papeles principales (masculino y femenino), por la regia del producto, el directcrpuede elegit a,l a pareja principal de 6x
8
=
48 formes.
Ahora ejemplificaremos verias extensiones de la regla, examinando la fabricacioa cas de autom6vil que constcn de. dos tetras seguidas por cuatro djgitos.
a) Si ninguna tetra
0
de pla-
digito se puede repetir, habra 26 x 25 x 10 X 9 x 8 x 7 =
3,276,000 placas pesibles diferentes. b) Si so permite repetir las letras y losdf gitos, sera posible tener 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 6,760,000 plac as diferente s. c)
Si se permiten las repedciones, come en Ia parte (b).l.cu3.ntas places tendran mente vocales (A, E, I. 0, U) y digitos pares? (0 es un entero par.)
En Ia memoria
principal
de un computador,
la informaci6n
se almacena
501a-
en celdas de me-
moria. Para identificar las celdas de memoria principal del cumputador, cada celda tiene asignado un nombre unico conocido como su direcci6n.. En algunos cornputadores, una direccicu se represecta mediante una lista crdenada de echo srmbclos, en la que cada stmbolo es uno de los bits (de binary digits, drgitos binaries) 00]. Esta lista de ocho bits se denomina byte. Mediante la regla del prcducto, vemos que existen 2 X 2 x 2 x 2 X 2 X 2 x 2 X 2;;;;2 ~ 256 de bytes. Por lo tanto. teneincs 256 direcciones para las celdes
=
coos
de memoria en las cuales ea poslbie almecenar informacion, ' Algunas maquinas (incluyendo Ia familia de la PDP 11 t utilizan direcciones de dos bytes. Tal direcci6n se forma con dos bytes consecurivos, 016 bits consecutivos, de modo quees posible almecenar hasta 25·6 x 256 = 211X 21;;;;2 10f0 = 65,536 piezas de inforrhacion. Otros computadores
(induyendo
el IBM PC/RI:j:) utilizan sistemas
=
de direcctonemienro
=
de cuatro byres. En este caso, so dispone de basta 2' x 2' x 2' x 2' 2'" 4,294,967,299 direcciones pant almacenar informacion en las celdas de memoria de 13 maquina.~ ~
-, t~ ,LiI El
familia. de ecmcutadores POP-Lt es preeesadcr IB M PCJJrr MIti fabricado
WI
producto de Digital EquipmeDt Corporation. pot hl ,tema tion al . Bu sine ss M< tCb ines .
Capitulo 1 Prlncipios fundamentales
del conteo
A veces es necesaric combinar varios tipos diferentes de principles de con teo en la soluci6n de un problema. Aquf veremos que neceshemos ambas reglas, la de Ia suma y la del producto, para obtener el resultado. En algunas de las primeras versiones dellenguaje de programacion BAS]C~ el nombre de una variable consta de una sola letra (A, B, C,; ...) 0 una sola letra seguida de un solo digito. Como el ccmputador no distingue entre las letras mayusculas y minuscules, a y A se consideran del prcducto,
como el mismo nombre de variable. as! como tambien E7 y e7. Por la regla existen 26 x 10 260 nombres de variables que constan de una letra segul-
=
da por un dfgito: y como hay 26 nombres de variables que constan de una sola letra, por la regle de la suma existen 260 + 26 = 286 nombres de variables en este lenguaje de programaclon.
1.2 Permutaciones Para seguir can el analisis de las aplicaciones de la regla del producto, ccntaremos ahora disposiciones lineales de objetos. tambien conocidas comb permutaciones cuando los objews SOn distintos, Desarrollaremos algunos metodos slsremaucos para el estudio de las disposiclones lineales, partiendc de un ejemplo bastante comnn.
En un grupo de 10 esrudiantes, se escogera a cinco y se les sentara ~Cuantas disposiciones lineales son posibles?
en fila para una foto.
La palabra clave aquf cedisposicton. que indica la importanciadelorden. S:iA, B, C, '''' 1, J denoraa a los 10 estudlantes, entonces BCEB, CEFIa y ABCFG son tres disposiciones diferentes, aunque las cos primeras estan formadas por los mismos cinco estudiantes. Para responder la pregnnta, analizamos Ias posiciones y cl numero posible de estudianres que podernos elegir para ocupar cada posicion. La ocupacidn de una posicion es una etapa de nuestro procedimiento. .
X
X
x
X
7
.1 0 prim.<;'f3
segunda
posio::i6n
posicion
1~' pO $id6n
cuarta posicion
6 qUInta
posici6n
Cua1quiera de los 10 estudiantea puede OCUpaI" la primera posicion de Ia fila. Puesto que aqui no son pcsibles las repeticiones, s610 podemos elegit a uno de los demas estudiantes para que cccpe hi segunda posicion. Continuando de esta manera, SOlO[enemas sets estudianres de donde elegir para que ocupen la quinta y ultima posicion. Esto produce un total de 30,240 disposiciones posibles de cinco estudiantes selecclonados del grupo de 10 Se obtiene exactamente 13 misma respuesta si las posiciones se ocupan en el ordcn inverse (6 x 7 x 8 x 9 X 10). Si el ordcn seguido es 3", 1",4 "J 5" y 2" (es decir, se ocupa primero Ia tercera posici6n, luego la primera, luego la cuarta, fuego la quinta y por ultimo lasegunda),
entonces larespuesta
es 9 x 6 X 10 x 8 X 7.
1.2 Permutaciones Como en el ejemplo 1.9, con frccucncia et producto de ciertos entercs positives consecutivos interviene en los problemas de enumeracicn. En consecuencia, Las iguiente nomci6n resultara uti! al trabajar con dichcs problemas, ya que a rnenudo nos pcrmima expresar las respuestas
Definicion
1.1
en forma
m as
Para un entero n ~ O. n factorial
convenlenre.
(que se denota con n!) se define como
O!= 1. n!
= (n)(n -I)(n - 2)·· ·(3)(2)(1),
para
n;::
1.
Ast, l!" , 2! = 2, 3! =6, 4!;;;; 24 y 5! = 120, Adernas, para cada » ~ 0, " '
(n
+ I)! =
(n + I) (n!l
Debemcs tamar nota de la rapidez con que crecen los valores de n!. Asl que. antes de proseguir, intenraremos tener una idea mas clara de fa velocidad con que crece Il!. Podemcs calcular que 10! ;;;;3,628,800, y cstc es preclsameme el mirnero de segundos que hay en seis semanas. En consecuencia, II! es superior al mtmero de segundos ano, 12! supera eJ numero que hay en 12 afios. y 13! sobrepasa la cantidad que tiene un siglo. Y ahara, st utilizamosla puede expresar
1.2
X
7 X 6 = 10 X 9 X gx7x6x5x4x3x2
5X4x3x2xl
Dada una coleccidn de n cbjetos distintos, se denomina permumcion de Ia coleccien.
Si partimcs
veremos que la respuesta
del ejemplo
1.9 se
en forma mas compacta:
10x 9x 8
Definicion
notacion factorial,
que tiene un de segundos
cualquier
de Jas letras a. b, c. veremos
disposicidn
x 115°!! .
(lineal)
de estes cbjetos
que hay scis fO(JT1as de disponerlas,
0 pennu-
tarlas: abc. acb, bac, bca. cab. cba. Si solo estamos interesados en colocar dos lerras a la vez; habra seis.permutaciones de tamafio des para la cOleccion:" ab o ba, ac, ca, be, ch.
ED ge~
si existenn objelos disnntos, que se denotan entero, con i s r :s n, eareeces, pot la regia del produeto, de l3mafio r BglI'3.1os n o b jetes es
n pri~ poSi6Qn
X
(n-I)
x (n-2)
s.egundil ~n
~ici6n
~en
X ...
X
-1)(n
- 2)--.
(II -
el
numero
y res un
de permutaeiones
(n-r+ 1.)= r-eslma
P'O'Sk£6n
(n- rXn- r -1)' (11)("
COD al.02; _. , ~~.'
_.(3)(2)(1)
n!
r + 1) X (n _ r)(n _ r -1)' _..(3)(2)(1) = (n _ r)! .
8
Capitulo 1 Principios fundarnentales
del ccnteo
Denotamos este nemero con P(n, r). Para r = 0, P(I'l. 0) "" 1 = nU(71- O)!, de modo que Pen,r) =n!l(n -r)!, donde O:s r$ n. Un caso particular de este resultado es el ejemplo 1.9. donde n = 10, r= 5 y P(10, 5)= 30,240. Cuando perrmuamos los n objetos de 1.coleccion, tenemos r=, n'J vemos q_ueP(n.n)=n~/O! = n!. Observe, por ejemplo, que si n ~ 2, entouces P(n~2) = n!l(n - 2)! ; n(n - 1). Cuando
(.x.
n > 3, se tienequeP(n,n- 3)= .!/[. - (. - 3)]! = n!13! =
-I)(n -2)··(5)(4). EI numerc de permutacioues de camano r, donde 0 :s r :s n. de una coleccicn de n objetos es Ptn, r) =n!/(n - r)!. (Recuerde que pen, r) cuenta disposiciones (lineales} en las que los objetos no pueden repetirse.) Sin embargo, si se permiten las repeticicnes, entonr ces, pOT la regla de! productc, existen n disposiciones posibles, con r 2: O.
El mimero de permutaciones en 1ap alebra COMPUTER es 8!. Si s610 se utilizan cuarro de las lerras, el mimero de permutaciones (de tamafic cuatro) esP(8. 4);;;;;;8!/(8 _4)1 ;;;;;;!f4! = 1680. Si se permiten repeticiones Ietras es 812 :: 6.872 X 10;!).t
A diferencia
del ejemplo
de las leu-as. el numero
1.]0. el mlmero de disposiciones
de secoencles
(lineales)
posibles
de 12
de-las cuatro letras de
Ia palabra BALL es 12. no 4!, 024. La razdn es que no tenemos que. ordenar cuatro letras distintas. Para obrener las 12 disposiciones, podemos enumerarlas como se muestra en Ia tabla l.l(a). Si las dos letras L se distiuguen como Lt. L~, entonces podemos utilizer nuestras ideas anteriores relatives a las permutacicnes de objetos disuntos; con los cuatro simbolos distintos B, A, Lh ~, tenemcs 4! = 24 perrnutaciones. Estas se enumeran en Ia tabla 1.1( b).
Tabla 1.1
ABLL ALBL ALLB BALL BLAL BLLA LABL LALB LBAL LBLA LLAB LLBA 10)
A B L,k A L, B 1" AL , kB B A L,L, B L,A L, B L, 1" A L, AB1" L, A L, B L, B AI., L, B L, A L, L,AB L, L,BA (b l
+ E1 stmbclc ~ = = " se lee "es.eprcxlmadememe
igual a
TT •
A B 1" L, A 1" B L, A 1" L, B
B
A A 1" L, L, B 1" B L, L, A 1" A B L, 1" A L, B I., B A L, I., B L,A I., L,A B L,L, B A
I
1.2 Perrnutecicnes
9
La tabla Ll revela que a cada disposicicn en la que las letras L son Indistinguibles correspomle una pareja de permu-aciones con letras L distintas. En consecuencia,
Ie
2
X
(Ndmero
de dispcsiciones
de las lerras B, A, L, L) ~ (Ndmero de permutacicnes
de los sfmbolos B, A, L1 , L]),
y la respuesta al problema original de encontrar todas las disposiciones
=
que hay en BALL es 4!12
Con la idea desarrollada
de las cuatro lerras
12.
en el ejemplo
1.11, aealizaremos
ahora las disposiciones
de las
seis letr as de PEPPER. Existen 3~ = 6 disposiciones con las. letras P distinguidas para cada disposicion en las. que las Jetras P no se distinguen. Por ejemplo, P~EP1P~R. PIEP3P2ER. P2EPIP~ER, P1EP)P1ER, P3 EP1 P,ER y P~EP~PJER corrcsponden a PEPPER cuando eliminamos los subindices de las letras P.A demas, a la disposicidn P1EP2P,ER Ie corresportde ta pareja de permutaciones P1E1P.P~R. PIEc.P2P,E1R, cuando se distinguea las letras h. En ccnsecuencia, (2!)(3!)(Numero
de dispcsiciones ::=
de las lerras de PEPPER)
(Nrlmerc de permutaciones
de los srmbolos
p~E , 1. Ps, PJ, E~, R).
de L a s seis lerras de PEPPER es 6!1(2! 3!) = 60.
de modo que el ndmero de disposiciones
Ames de enunciar un principio general para dispcsaciones con srmbclos repctidos, observe. que en los dos ejemplos previos rcsolvimcs un nuevo tipo de problema relacionando10 con los principios de. enumeracicn antericres. Esta practica es com tin en las. matematicas ·en general y aparece con frecuencia en la deducci6n de formulas discretas y combinatorias.
de.un r-€si:mo
ow. donde
nr ~
+ ... + -
11:2.
cioDes (Lineales) de.los a ebjetcsdados,
n, = n. entooces.existen
~
n!
disposi-
tfel miSmo tipo ;;:J~diSti~gu.ibles.)
(Losobjeios
La MASSASAUGA es una serpiente vcnenosa matron y blanca cnginaria de America Norte. AI ordenar todas las letras de MASSASAUGA, vemos que existen
__
1 _ .0 _ !
4!3 ! 1!1 ! 1! disposiciones
posibles.
~ 25 200
•
Entre elias, hay
3! I! 7! I'll U ~ 840
de I
10
Capitulo 1 Prlncipics fundamentales
del contec
en las que csrau juntas las cuatrc letras A. Para obtener mos todas las disposiciones de los siete simbolosAAAA
este ultimo resultado, considera(un sfrnbolo), S, S, S, M, U. G.
Determine e1n umero de trayectorias (escalonadas) del planoxyde {2, I) a (7) 4)~ cada trayectoria esra formada por escalones individuales que van una unidad hacia la dcrecha (R) o UD.3 unidad bacia arriba (U). Las llncas azules de la figura 1.1 muestran dos de estas trayecrorias. Debejo de cada trayectoria lapane(a),la
movemos
de Ia figura 1. 'I enumeramos
Iista R. U, R~R, U,
R.R
cada escalon.
Por ejemplo.
en
U indica que a partir del punto (2. I), primero nos
una unidad hacia la derecha [a (3, 1)1. Iuego una unidad bacia arriba [a (3, 2»),
luego dos unidades a la derecha {a(5, 2)], etc., basta alcanzar el punto (7,4). La trayectoria
a la derecha y 3 letras U para los mcvimientos
consta de j letras R para los movimientos hacia arriba.
y
I
I
I
I
j
I
I
II I
I
I (0)
(b)
R,U,R,R,U,R.R.U
U.R.R,R,U.U.R,R
Figura- 1.1 La trayectoria de la parte (b) de ,1&igura tambien esta fcrmada por 5 letras R y 3 letras U. En general, el recorrido de (2. 1) a (7, 4) necesita de 7 - 2 = 5 mcvimienros horizontales ala deeecba y 4-1 = 3 movimienros verticales hacia arriba. En consecuencia, cada trayecLoria corresponde a una lista de 5 tetras R y 3 letras U, y la solucicn para cl mimero de trayectcrias resulta ser el ntimern de disposiclones de estas lerras, que es 8!/(5! 3!) = 56.
Haremos ahora aJga mas abstracto y demcsrraremcs que si 1 1 y tc son enreros positi vas con n = 2k, entcnces n!/2t es un entero. Como nuestro argumento se basa en Ia enumeraci6n, es un ejemplo demostraciosi combinatoric. Consideremos 10s n suebolos XIt.x1> Xli x~•... , XI.'. x~. El numcro de formas en que pedernos ordenar estes n = 2k simbolos es un entero igual a
de
n!
n!
2!2!·· -2! ='1-
~
k tactores de 2!
1.2 Permutadcnes
11
Por ultimo, aplicaremos siciones
10d esarrol1ado
hasra ahora a una situaci6n
en la que las dispo-
no son Lineales.
Si scis personas, designadas como A, B, ...• F, se aientan en torno de una mesa redonda, l.cuantas dispcsiciones circulates diferentes son posibles, sl las disposicicnes se consideran iguales cuando una puede obtenerse de otra mediante una rotaci6n? {En la figura 1.12, las dispcsiciones (a) y (b) se consideran identicas, mientras que (b), (c) y (d) son rres disposiciones
distintas.)
A
C
A
D
'0' '0' '0' '0 E
E
F
A
c
(b)
F
F
B
(a)
C
C
B
(d)
(< )
Figura 1.2 Como en muchas circunstancias nuevas. hemos intentadc relacionar este problema con otros ameriores con 10:;q ue ya nos hernos topado. Partiendc de las figuras 1.2 (a) y (b). desde la parte superior de la circunferencia y movicndonos en el sentido de las manecillas del relej, enumeramos las disposiciones lineales difcrenres ABEFCD y CDABEF. que corresponden ala misma disposicion circular. Adcmes de esras des, otras cuatro disposiciones lineales (BEFCDA, DABEFC, EFCDAB y FCDABE) tambien correspcnden ala misrna disposicirin circular, como en (a) y (b). Asi, puesto que cada disposicicn circular corresponde a.seis disposicioncs lineales, renemos 6 x (Numero de dispcsicicnes circulares de A, B, , F) ~ (Namero de disposiciones lineales de A, B, , F) 6'_
=
En consecuencia,
existen 6!16 ""5!:;; 120disposiciones
de A, B, ..., Fen tome a la mesa
redonda.
Supongemos
ahora que las sets personas del ejemplo
l.l6
son tres parejas casadas
y que
A, Bye son las mujeres. Deseamos colccar a las seis personas en torno a la mesa redonda de modo que los sexes se altcrnen. (De nuevo, las disposiciones se consideran identlcas si una se puede obtener de la otra mediante una rcracion.) Antes de ocupamos de estc problema, resclveremos el ejemplo J _l6 mediante un metedo alternative, el cual nos ayudara en le sclucion de nuestro problema actual. Si colocamos a.Aen la mesa como se muestra en Ia figura 1_3(a), faltan por llenar cinco lugares (en el senndo de las manecillas del reloj a partir de A)_ E] heche de ccupar estos lugares con B. C. ... , F, es el problema de permurar B. C, ..., F de manera lineal, y esto puede hacerse de 5! ~ 120 fcrmas.
12
Capitulo 1 Principles fundamentales
del ccnteo
5 0 1 M30Ml A
4
A
2
F3
F2
M2 (a)
(b ) Figura
1.3
Para resolver el nuevo problema de alteroar los sexes, consideremos el metodo que se muestra en la flgura 1.3(b). A (una mujer) se coloca como antes. La siguiente posicion, en el sentido de las manecillas del reloj a partir de A, se marca como Ml (hombre 1) y puede ocuparse de tres fortnas. Si cnntinuamos en ra rnisma direccion • a partir de A. la posicion F2 (mujer 2) puede ocuparse de dos formes. Siguiendo de esta forma y. per la regla del producto, existen 3 X 2 x 2 x I xl;;;;;;] 2 formas en las que estas seis personas pueden ordenerse sin que dos hombres 0 dos mujeres se slentea juntos.
EJERCICIOS 1.1 Y1.2
1. Durante una cempena local, ochc candidates republicsnos '/ cinco demdcraras se nomlnan pa ra pr es ide nt es del co ns ej o es co la r, a) Si el . presidenre va a ser alguno de estes candidates, (.cuomtas posibilidades hay para cl posible ganador? b) i,Cmintas posibilidades bay para que una pareja de candidates (uno de cada partido) se opongan entre sf en la elecciou final? c) tQue principio del conteo se ... 0 en Ia parte (a)? ten la pane (b)? 2. Responda la parte (c) del ejemplo 1.6. 3. Los automdviles Buick se fabrican en 4 modelos, 12 colores, 3 tamanos de motor y 2 ripos de transmision.
a) l,CUmtlm:Buick distintos se pueden fabricar? b) Siu no d e los colores disponibles esel azul, i,cuantOSBuickazules diferenres sepueden fabricar? 4. a) El consejo directive de una empresa Iarmaceutica tiene 10 miembros. Se ha programadc una proxima reunion de accionistas para aprobar una nueva Iista de ejecurivos (elegidcs entre los 10 miembros del consejo). lCufntas Iistas diferentes, formadas per un presideme, un vicepresidente, un secreradc y un tesorero, puede presentar el consejo a los accionistas para su aprobacidn? b) ires miembros del consejo de directores (de la pane a) SO n medicos. i,CUanlas listas de Ia pane (a) tienen i) un medico nominadc para la presidencia? ii) exactamente un medico en Ja lista? iii) al m enos un m edico en Ja Iista? 5.
Un sabado, cuando m an de compras. Juana y'Ieresa v ieron a dos homb res alejarse en aurcmc vii de [a fachada de una joyerfa, justc antes de que sonara una alarma centra robes. Aunque todo ocurrid muy rapido, cuando fueron interrogadas las dosjovenes, pudieron dar a Ia pollcfa
13 si gu ieme
inf or mac ion
acerca de la pleca (que consraba de dos letras seguidas de cuatrc
1.2
Permutaciones
13
dfgitos) del auromovil que huyo. Teresa esteba segura de que Lasegunda Ietra de la placa era una 0 0 u n a Q. y que el ultirno dfgitc era un 3 0un 8. Juanadijc que la primera letra de la place era una Co una G 'I que el primer dfgitc era definitivarnente un 7. .i,Cuantas placas diferemes tendra que verificar la pclicfa? 6. Con ~1f in de.juntar fondos para. una nueva alberca municipal.Ia camera de comercio de cierta ciudad pauocina una cerrera, Cada participame pega una CUOlade inscripcidn de $5 y tiene la p robabilid ad de ganar uno de los trofecs de d isrinrc [am m o que se entregaran a los p rim eros ocho corredores que lleguen a la meta. a) Si 30 personas entran a 13 carrera, ,:.de cuantas formes sera posible entregar lo s trofeos? b) Si Roberta y Clara son des de los pamcipantes en la carrera, "de cuantas formes SI;: pueden otorgar los trofeos de modo que ellas queden entre los tres primeros lugares? 7. Un anuncio de hamburguesas indica que un cliente puede ordener su hamburguesa con algunc. con ninguno de los stguiemes ingrediemes 0 con rodos: catsup. mostaza, mayonesa, lechuga, tcmate, cebolla, pepinillos, queso 0 champincnes. iCuamas crdenes diferentes de hamburguesa 56 pueden servir? 8. Matias trabaja como operedcr de computador en una pequena uuiversidad. Una tarde. t':1ve Que durante el dfa se han enviado 12 prcgramas para su prccesarruento por JOles. "De cuantas for mas pu ed eo rde na r Mat fas e! procesamiento de es tes pr ogr amas si: (a ) no exl sren resr ri cci cnes? (b) el considera que cuatro de los prcgramas tienen pnoridad score los otro echo y desea procesarlos antes! (c) p rime rc sep ara 10:s.p rcgrama s en los cuarro de ma xima p riorid ad, cinco de menor prioridad y Ires de mfnimaprioridad, y desea procesar los 12 programas de modo que 1»5 d e m axim a prioridad se procesen prim ero y los rres program as de m fnim a prioridad se prucesen a1 final? 9. La cafeteria Paty tiene echo npos diferentes de pasreles y sets ttpos diferentes de belles Ademas de re s piezas de pastelerta, es posable adquinr vases pequenos, medianos 0 grandee de las siguientes bebidas: cafe (negro. CD n crema, con azricar, 0 con crema y azncar), te {solo, con crema, con azucar, can crema y azucar, con limon. 0con limen y azticarj, chocolate caliente y juga de naranja. Cuando Carolina va a Ia cafererfa Paty, i.de cuanras formas puede ordenar a) una pieza de pasrelerfa y una bebida mediana para ella? b) una pieza de pastelerfa y un vasa de cafe para ella. y un bello y un YaSO de b~para su jefe, lase-nora Duefias? . c) una pieza de pasrelerfa y un vase de te para ella, unbcllo y un vaso de jugo de naranja para la senora D uenas y una pieza de pasteleria y un vaso de cafe para ceca un o de sus asisrenres. el senor To rres y Ia seiiora Oi l? 10. Pamela tieae l5libros disrintos. i,De cuantas fcrmas puede colocar sus libros en des repisas de modo que haya al menos un libro en cada una? (Tenga en cueme que los libros, en cualquier estan ordenaccs uno junto a DUO, y el primer libra de cada repisa queda en el lade disposicicn. izquierdo de la misma.j 11. Tres pueblos, designados como A, B y C, eSI;1n intercomunicadce pot un sistema de carrereras de doble sentido, com o se muestra en la figura 1.4. a) i.De cuantas formes puede Elena ir del pueblo A al pueblo C? b) lCuamos trayectos puede hacer Elena del pueblo A at pueblo C y de regreso a .l pueblo A? c) i,Cu1mos de los trayectos completes de la pane (b) son [ales que el vieje de regresc (del pueblo C al pueblo A) es difereme, al menos parcialmente. de [a rura que rome Elena del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Elena viaja del pueblo A al pueblo C per las carreteras R , y ~. para regresar podrfa tcmar las carrereras R~y R), 0las carreteras R~y R5'O la R1 y Ia R2,D l.aR~, entre ctras posibilidades. perono viajando por las carrereras R . i
yR,.)
14
Figural 1014·
"l~, 9 i) ,vCci ltmf as.- pe mI~ tad'Mes b) 'iCu aw tas q lCuootas
ex Jj,sten pa m, las
OC~D
]ett;~,·a'l' c, f, g!, i,:;,
'W'
1:. 7 '
de , ,las :pemmUi~cj,o,nes, e ]a pw e ita) co mi en zaa con . 'ID~ ,etra. t? de las, ,pelmlU!t~eil~HteS'd ie ~ :a ~pmrte. (a,l comli.renzml COli.lar letra ~ y
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Ietra e,'?, '114.
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cac.io1il i'
se usa un alfaibeb,,- de. ·4 0
SlBd;~)~0S., l,Cu:bltos m m saj! e.s; .di Sti__nlO S (Ii.sEa. d e sbnbo]os} de 25 SrmooI,os puede.· generarel kaJJsmlsolM si Io s $trnJbDlos se puooen repeoI' en , e l !lle':Ilsaje1 t'Cumto~", SI "fO d e lo s 4.0 .sCm bQl os, " '1 1 [ .A I '. . , " " ,1 .... - .'_ .... d b. - .. SOI JiQllsuen apa :recer Cil)fil(lf~] pnm~a 0,er 'w~mo Simw\ .'0 et :OU :: 'M :aj e.. OJe n , am ,' a.S·p@($]Cti(me:s; ~ ':1. vez, los resltm~~· 30. sim .O Ol OS jpu ed en 3!p 'W'e ce r en [~ua1qui~ pme~Y':IDasl repetieioaes de c:
'110 ;". ... ]
'~
•
. • .•
.
1,
10-OOS..
ruos sfm bo·r n·Q&:. es.dn
:p .er m ji £;i (i as:1'
'11,., '.En u~ a implem,enlaci6n del mengu;~j e de lU'iog4E'-amacitin Pascal, un iden~d:icad~r' onsta de una s~le!ftetra] 01 de: 1m:;;ll.. sela letra se,guida! ·de· b~t~· siete srmiboIDo;t~ que p~tdefllserIetras o d~gir~s_, (Srum ,p .l .ngam '0,s·· que.. d. orunpu~C'E: o;'Qi disilili!llgl!lle,' eQmre ~s. l:e'kb ma~;stUla;s. y m lQi !1I Dscu:b s; 'bay . 261ett,~ ,' 1 ID Odlig~'ros:). S"im..,e:mllargo(. ,ci :enas pa) ,m m scI D ,;a,. e 'e$t ai u :rese nadl as. par a m a s comsn'dO&; en Ic-onSJetn\en~ia? eseas 'pa:l aJbras ClaW.·'iRflI! pu oo en us ar se c'Qmo wdentjfi,QCiQ!t'!es., Si i es ta [iiefie ],6. IF" 'f1I~Jlab;ras resesvadas, .~;lcll3n'lm~d,e.niliDcadoJes d~fereDtes·so~ 'nn$JiiJ~es ]mlll:~em;enmc.~6:n .- . en esta VeT.s~,Qn de.' :Pascal? ~.r
•
It'Y
de: cllatro ¢i 1t a,it'""mU$ •. H av~ ' seis Uneas d·eensamde.'Wl8 mlal'l~a.lC·o~
181. La 'p:rodueci6n.. de.D :rull . ~eza r .
19.. Un.. pr of es er .' ci ene ias de la CDl1ipotati6~ld~lie~rrre Imo.$, de p[Q~ati~ aiferenres. emiIJ una e&lanterla Ire~ ,de los 'miblOS S9~.lde FOBlRAN~ Ios-otroseuann de BASi(! ...1.JOe ICUruwtas f~li;" (b) ;s~.~os ~eDiiJllajes. se m~e'llerle Qidenu el·~ofeso[.es:tos. hbro',$: (a) s~ ~Qlhay·restricdQnes.1
15
1,2 Parmutadcnes
deben altemar'l, (c) sl rodos los Iibros de FORTRAN deben estar juntos? (d) si rcdos los Iibros de FORTRAN deben estar juntos y los Librosde BASIC tambien? 20. i.~nQmbre deestado unplica mas disposiciones de las letras de su nombre; PENNSYLVAN_[A o MASSACHUSETIS' 21. a) tOe cuaetas m aneras se puedeu colocar las lerras de VISmNG? b) Para las. disposiciones d e la parte (a). i,cumtas de ellas tienen 1M tres
letras
I juntas?
22. i,De cuanras fonnas se pueden cojocar las tetras de lapalabra POLY1JNSA'TURATED de modo que se mantenga el orden en que aparecen las vccales? 23. a) lCwintas disposlclones bay de todas las tetras de la palabra SOCIOLOGICAL? b) ,En cuantas de las disposiciones de 13p arte (a) esran juntas la Ay 1130? c) iEn cuantas de las disposiciones de 1;3.parte (a) estanjuntas todas las vccales? 24_ i,Cu4ntosenteros positives n se pueden form ar con los digircs 3, 4, 4, 5, 5, 6. 7 si queremos que n sea mayor que 5.000,0001 25. Dcce platillcs (con forma identica) se ordenan en cuatro columo as ve rticales, como se m uestra en la flgura 1.5. Ha y cua tro de color rojc eo la pnm era colum na. rres d e color azul en la segunda colum na. des gri-
ses en la tercera columna y Ires blanccs en la cuarta, Para enrrar et equipo de tiro de su universidad, Dora debe romper ]OS 12 platillos (con su pistole y $6]0 12 b a las) y, para esto. siempre debe romper el platillo que queda en Ia parte inferior de la columna. En estes condiciones, i,de cuaeras formes puede disparar (y romper)
Figura .1.5
10 5 12 pl at iUo s.?
26. Muestre que, para cualquier pareja de euteros n. r ~ 0, st n -+ - 1 > r -entonces
P(n+1,r)~
n+ 1 ) P(n,r) 1 (n . + +r
27. Deterrmne el valor (0 los valores) dell en cada uno de los siguientes caws: (a)P(n, P(n, 3)
=
3p(n,
2) =90. {b)
2), y [n] 2P(n, 2) + 50 ~ P(2n, 2).
28. LCulillUStrayectorias distintas hay de (0. 0) a (7. 7) en cl plano.ry si una trayectoria sc consrru)'e paso apaso, yendo ya sea un espacio a 13derecha (R) '0 un espacio hacia arriba (U)? i.Cuinlas d e estes trayectorias bay de{2, 7) a (9.14)1 i.Puede hecerse un enunciadc genera] que incorpore estes des resultados? 29, a) l"Ctcl.ntas trayectones diferentes hay de (-I, 2, 0) a (I, 3, 7) en el espacio euclrdeo tridimensional si cada movimienro es de uno de los siguientes ripos? (H): (x,Y,z)_ (x + l,y, z); (A): (x,y,z)-(x,y,z + 1).
M: (x,y,z)
b) Generalice i,Cuantas delos estes trayectorias O.5 ) a (8,1. 7)? c) resultados de [asexisten partes de (a)(I.y (b)
(x,y
+ 1,z);
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k : = 15 d!ow:nt 0 8 ; do
FlO r
lIf"riteln.
(( 1. ,~ Ij,)*It,) ;.
Uat a serie de letras de Ia fomxa, ,a'bcba en ~.a,qne la ex,reSii6n no CW i'ilbi a a1 :mve rtlI Si llcfde:n -:es ll
'UJl·ejemi'Io de.~QI~~Jt,'G(m~,~ cinec ].elJQS). :a } Si olllllaJ :~eri:a·puede.~eCs.:rm4s, ~~ ~3. '~e: :l ::t'i.oir ara: nws. p;~ltl1o.m o$;. den:~n c!i ) Ietras se pueden ;t.... Trt"I~ ..." ~ ..:II"", (.1l,:II,,","
.W!U.L.LLUlalIJ,.
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'b,~ .:Rleph,la pMte ·~)-cqn la condiCi6n 3
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de ,que)~~gmw.leU'a, ~p'are~caJ,mn3s,
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("'ll) e'] 11.iimeK" de. - e;nJft err otSde seis mr1t o&. -(~eue D Olcomt.ei tl~]' ID. con. ~ . iOew., ).e n lo s ~Ipe ~ :s~pu~ l~tmr.;. J(b) se, puedea ,fiepetir' :ruos digil[ ,@ rS. Res po od a ,~a sP, air.tes,( a j, y (b ) ,CIOn la oott m dict o' n ·8. drc~onaID, e. que, el eDteIO de :seis digj;to.s S:e3 O) pa r; (0) di:', is]bl e emre 5:;. irui) divm sib1 c entre 4~
al ' Deter m ine min:gtin,
-.
:-
~g~m
I
:3) :Prom.t')reione ·!lliI!R.·:argumento e.mnJb~m.i~o,riOf. pa:ta!:~m.OStl'.H' I~ ~ue 'si r-~. . Ir,z·= 31: ;f !;Hl ontes. , n U(.3 ~)it; es W, ellf,ero,.
'b) (J~eraJioe eJlres~t~t1itd: Ja :pa~ ,ai)
tOe.IDllOOi~s;
·form.e: puooe
'v'l S~~,
fl.. I
enl . e:rfDs
'p,
'
os~[iv{o(l;;con
fa).
'U D es:6m li :ar nre respbnd-let·
U Jl ex~mM de ill 0 pregillI[[t~. d te verdade-
ro:.faloo,1 ,j")
el e·smdiUie resp}nde.r ~cll ex~en ~' deresp'Ue5~.~q~~I''IIoc)ldl;ai? tai S fbr mas :plm!ede: Ia parte. (i!3il si es posible ~De. cuan Ulll,~p.I~~lta",$iD. :~e;s;p~,¢s~m ;ar:a e·wtar· 'q;oe S e penalice dej~r
36l.,
i.. CUiutos ent-er.6s,' 8?
37.
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en torao.a 'Una mit'Sa Ic::i rc'ol.ar? ...... · • .•. -'b:~i ? UifsposlcHme-s s:o:n posluies':
8'"00 . :a I ._ ._ . ~ :, 1 ' ,S ; i~e'.as per:SQWLS.lUlSIsre~en .s ~t ltme~l oot ai S ' ~~mnu,
a) ilDe. cldn'ms 'fQOOL~8 se ,plled~e;Iil! sentar ,oofu!l) P,e.l:['SOf'las'r ,A " B, ,....- ,0" 3!illre~.of die ]a mesa 'iigl:lrue'$ Jpero ,cuaw:a'~ de '[l~:.figtlf{l ·1.6, dqntfe ]:ais,' 'fj~T~' 'I .,I6(a) y 1.)(b) se CQ,m;jdelf,am, diStiHtas, dela figll(3J~ .L6I1c:). b) Si. dc'S 'de:las odho personas, lrupmOS.. A. ,:y: JB,. 0,0, S~ levan biea, i,·CIl3nitH, disposici.ijifles. dr fer ent es en 1m, ,qu e A :y B n os e 'si~n'l;e1IlJ jl l; m bJ' S. '5 10ft poobles"l c) i.~C'am~d~ las disPC?&~cjol!tes'd~~ 'paae 1(Ii) ievilan ,que A : Y'R se :si:eJ] ren .'~rn o fre;~:M;I~ al ~tt:o?
1. 2 Per mut ac icn es
A
17
-
B
G
,
D
F
H
E
F
B
D
G
D
A
C
C
"0' '0" '0" Co)
(b )
C e)
"
Figura 1.6
39. Una implementaci6n particular del sistema operative UNIXt proporcicna Lae structura de archives que se modele en Ja figura 1.7. En este case, ef i~llododel archive contiene, entre otras infortnacicnes, los permisos de acceso para el archive. Esto va seguidc de datos que ccntienen informacion acerca de Ja posicion de] archive en: el dispositive de almacenamiento. Las pnmeras 10 esuradas son las cirecciones de ]00 bloques donde se almacenan los datos reales del archive. Si un bloque contiene 512 bytes de informacion, estes 10 bloques directos pueden almacenar hasra 512 x 10 =' 5120 bytes de daIOS. Cuando el tamasc del archive es mayor que los 10 blcques, el dato ndmerc II proporciona el ecceso. 0 apunta. a un bloque indlrecto. Bste bloque Jndirecto contiene las direccicnes de oteos 128 bloq_uesdo nde se guardan los datos. Si se usa este bloque indirecto. el tamano del archive puede ser de hasza 10 + 128 = 138 bloques y contener basta 512 x 138 = 70,656 bytes de informacion. a} Se necesita una entrada ntimero 12 si hay que utilizer mas de 138 bloques para el archivo. Bsra entrada contiene la direccirin de un bloque doblemente indirectc que. a su vez, contiene las cirecciones de 128 -b kques indirectos. C om o ya se sefialo, cads uno de estes blcques indirectos contiene las direcciones d e 128 bloques donde se almaceaan los datos. Si un archive usa 12 entradas en 51.1-nodo.lcua! es su tamanc maximo en terminos de blcques y bytes? b) Si el archive debe ser mayor q ue el espacio proporcionado per 12 entradas, se necesira una entrada numero 13. Esta proporciona Ia direccion de un blcque triplemenre indirecto que apunta a 128 bloques doblemente indirectcs, como se muesrra en la figure '1.7. Determine el ta:mai'io maximo de archive, en terminos de bloques y bytes. para la implantaci6n de este si st ema op er at ive ~1X en es tas co nd ici on es . 40. Escriba un programa
(0
desarrolle un algoritmo) para calcular n! para cualquier entero n ;::::o .
41. Escriba
(0
desarrclle un algorirmo) para calcular
lin programa
P(n. r}
para cualquier pareja de:
eeteros n. r ~ o .
42. Escr:iba un programs (0 desarmlle un algoritmo) para determiner si existe un enrero de Ires dfgiros abc ( = lOOa - + - lO b + c) donde abc = a! + b! + c!
t UNIX es un a ma rca reg isr rad a
de
L.fl>.IlX Sofu\.1Ut: Laboratory.
18
Capltutc
1
Prindcics p fundamentales del conteo of
Rgura 1.7
19
La b~ jla. BOnn:ru eonsta di e 5 "2 ~ , OO"IDl, eu at ro p3l lro s:: t! r: ~b D li es1 diamantes, [~)or~:z;ol)e~,)t -' ,. ..1,. . " t';~" '113:L'[" CQI.lI.~" as . .s: ':l~ Ir"Ii ~i.(O espo>ll~s,.,· IC'" a.-0. 2a,p~o !I..o:t:!l.e rewna J f my.. '7' :t.' ~ >:>vtJ~ Si n,os "pmden saear '[res, cattas,· de. una 'baraj~, 'l},omh;alji una tras etta y sin sustitnitlas; entonces 'PJJI la resla de] '~T'\i'1AfuctO: exissen -.
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~ -
~
3 para, las 52,caltas !
un 'pm bI D ,em ,a. de ,c.o~lleo~ ~e1)emQ~ pregumamos en le 1 pro: o' iem a& Cuand~eID, orden es necesano, pensa'" - ~ o,es y en ,1I )JI",.JI -.......;! C' . '!, m . l,a, [:eg~;f,~, I~l y ·d.[SjpO sicto: pr.wtl.ctOl., ':'.'uandlo e~ , C\Ild.eD 'D Q sea, neeessrio, las cQ:mmniaoio.ID6s·podrian, te~~ un :papelli imp ortar nT hJte en '~a$,O'rnu:. , l - a., (.' ~;;;t. ]u!l iilJ,e.;II I'"pro 'h,r,[ lJ}em
~Un bue'D. COltlisejo,1 euan(h~1se aeerca de :b,lm! POmncl ra dcl OIrOO.m, mos. le n ttmI!l DOS' 'd ,'}e pemI~.rq:tC:!tomes .r
?
•
ttB[,~,d e
Capitulo 1 Prindplos fundarrentafes
del conteo
Miriam quiere dar una fiesta para algunos miembros de su comite de caridad, Debido el tamafio de su casa, 5610 puede inviter a 11 de los 20 miembros de su comhe. El orden no es Jraporsame. de modo quepuedeinvilaralo, -U atortunaoos"
a)
Un estudiante que realize un examen de bistoria recibc la instrucci6n de responder siete de 10 preguntas. Aquf DO importa el ordcn. per 10 que el estudiante puede responder d examen de
10) = ~= ( 7 7!3!
10 x9x8 3x 2x 1
=
120 formes,
b) Si et estudiante debe responder tres preguntas de las primeras cinco y cuatro de las tlltimas cinco, pnede elegir tres preguntas de las primeras cinco de (5) ;;;;;10 tonnas,
y elegir las otras cuatro preguntas de (l)=5 tormas. De modo que, ,por I. regle del producto, et esmdiante puede realizer el examen (n(~) = 10 X 5 = 50 forrnas. c)
Por ulr rm o, si L a s indicaciones del examen dicen que debe responder siete de las 10 preguntas, de las cuales. al menos ttes debcran sec de las prim eras cinco, bay tres casas por considerar: i) E1 esrudiante responde tres de las primeras cinco preguntas y cuatro de las rlltimas cinco: por ta regia del producto. esto puede ocurrir de (n(l) = 10 x 5 = 50 formes, como en I. apar te (b). ill El estudiante elige cuatro de las primeras cinco preguntas y rres de las ukimas cinco: esto puede becerse de (~)G) 5 x 10 = 50 formes, de nuevo, usando Ia regla del producto. iii) EI estudiaete decide responder las cinco primeras preguntas y dos de las rilti-
=
mas cinco: la regla del producto
indica que este dlnmocaso
puede ocurrir (~)(~)
= 1 x 10 = [0 form as.
•
Si comtdnamos los resultados de los casos (i), (ii) y (iii), pm la regia de Ia suma tenemos que el esnrdiante puede hacer (ll(lH' Cllm + mal = 50 + 51) + 10 = 110 se lecciones de siete (de 10) preguntas, cada una de las cuales incluye al menos Ires de las primeras cinco preguntas.
a)
b)
En una escuela secundana, la maestra de gimnasia debe elegir a nueve esrudlantes de segundo y tercer ana para el eqriipo de voleibol femeaino. Si bay 28 jovenes en segundo y 25 en tercerc, ella puede bacer la eleccion de (~) = 4,431,613,550 Si dos esnidiantes de segundo y una de tercero son las mejores rematedoras estar en e1 equipo, enronces el resro del equipc
formes.
•
fonnas.
y deben
podra elegirse de (~) = i5,890.7f;lO
2 .1
e1 .Pam:a cierto tomeol,ell. equjpo ..debe t~D,'~]F' CU$O esbldiantes de segunl!l~ :'llCiooo, d e , 'La 'meS!ll 'a nuooIe de 'deoir euattllO e'stJl.uibmte~ setO'I!UldD de eft) 'fmmas lterobo a .~. ,,:1 '_ ' - - - :.- ., 1~ -;-~ , ~-':.-'~"74,,,,,,~:_!~,I':~:,~ c.>"~.' ,I ,,'>'!' d,~:,--;.I>,~ I':,i:,-,_,I'~' -. .~.~i~. d' '.1 1 ,., 'nl" m) J:' A..... 1 ~. '1: P-ma .~, UFtll8 •• e.estas SeJiOOCIODeS,. ·e:ua, b.en.e rs;' rermas e e,gn; a JJ as -, CU1C O esta'r.
I~'
m eq~iPJ
di alm J~es, de;, i~roeE.~. :[P!OIJ(:J' t:ai~JI.o"'~~ fa :r~g1adel :P-I'OOmC®OI:;: :p,uede e,~egir' (~~) _ ;;;;;;1. ~! ,QB, ~ 1 J8;3'~150f:01llli\S, ·:p,aat··ege: tomee :pmi~-Dlar~
¢IDe;,
.AJ01I~~,(}S' -.~oblema:s ,00, ;n.u.ed.e n~n.mizar diesde, [el'lilhUIiID~o, d e, vi~m d e ~as, dis'~icion,es. 'I). de Jle.p~Iaonna. en' qr ue se [~~e las c~ilt;ilQ1teS,;_ la o sim.aci6n:. HI ej(~Qmo:
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IC'Q,H frecu re: rilJcia~{ ebe mos iIi£; ner!CUli .da do oon el ,ree;~e~t'Q' ,~c,e$,illl.oI~, rSit -m 3cion Iqlie,'paroc'e :swgir.' e n prol d-em ;$s decl@fltetl' :aparem~em.eut~$enciUcl$" 'B I ~;igllien,reejempil(i deimuesfr~Ja .f,'~.A ,. '!I '.' terma en q u e paeee surrgu" e w , OO Cil il .en.W , excesi V@.
24 · .
a) SUl~o.njga.mos,e Elena saea dnco cartas de una bm-aja e,s;ra~ de $2 cartas, l~ crwilitM. fermas p a ed e resu~UI r q.me su semecc~6g ,mJQ tce:n,ga~ uleboles'? Aqui estamos .miteresados en o~,n.~ tedas la s s~ll~cciolDes de einco cartes COUlD 'i ,) ssde oa~O D. eSt 'tre s de ,e~pad~.;c.uaU',;q. d e' espadas, seis de dmamalml~leS y la ~oUJ: Ide, ,~mtW !~I ~s. .. D.l CiOClO de.espadas, sietede espadas, die:z de espadas, sle~ede diam:~rrtes, y el rey d e· d~ammtes:, Hi) dos de diamantes Des: d e .dimn,m.tes seis de diamantes, diez de .diamantes y la seta de diaro~·~es., ,S i amaJilzamos esto oms· de ce rca , veremos qu e El en a, de;be e.l e.g« sus cinco cartas de la s ,~.?cartas de Ia 'b~la que no sum ueboles~En . co ns ecu enci a, pu ed' e ha ce r su se le. cc i6n de . @ ) for mas .. 'b) S' u:pomg am os atJo m, ifjlDe qruer-eID:OS CO:D~ar el :nJlij.mer.o, de. selecciones q.l,e hace Elena a,,:' -c :..... '~i I SO n preclsan:u~.!n:te .[3.15. setecee Cl.nC'rO canas que coo tmeB ill!e t1J ,~.al .. m.e ~M· un Tcevo,ll~ ~tas .;0 !1 1•
cio.n1es·que.00
~
11 1
s.e·lctnlil~Qti. en '8 p· ad e; (a) ~ 'y ,C()ID;O existen
(Sf)' manes
posibles
die'
cinco cartas en ~@l tal·i~lte~05 que :.~: 2: )"... .(··3, ·. inl):' '. S9 8,': ;'~ 9 60 2 '"1023 (. ~ .,. ~ S,.,.1 5 ~.'151 '.. .= '~ :.~ 2f.Kj 5 ,.. -I " 5,7 ./ ~ '2 .,"". 0"
de 'Ladas las. mallO-s de ci nc o ee rtas 'lqJu e;C;Q,RtW nen ,3 1 meoo~ tin riboL ,~~ l.Pb de mos 'o 'bte ll,er ~~ .f~sulta;.d9, d e l~.parte (b) de oua. ID ,ofl .er; a? P ot Icj'e.m .:p,lc'!. comb EleDa, desea tener ,al menos un trelud en la ·~_o de cinco csrtas, b~gamos que.e n a , se lecc io ae :~ m~]) O UD .rtfe~,oL Esto puede haCeI~se de l'~f)or mas , 'Y' ,~lhora ella 60 tiene que ,preo.cU!palSe. p o r 1 0 que le Hlg' a: en ~ a s o.[~ <;:uatto eanas.. Asi" d:e'SpJlis de eliminar el H. 6i bo tele~: _ de sn tma ja. wi lo nn .a l. pU10 0e seleecioner las ot ras ,c :ua tto canes de v(~~) fO'OO$· P~r" 10tan l,a ..por la o regl a, del ..p,fooucto~.m . ,D.Umc·[O .~ s. eleo ci on es·· es ,
I("l~:1)(' ,.' .'1,4')-1 '
"""U 00 '. . x' 2 4.'9.~ !:IOO.~ .c "3,248 '. -'..'.~1:,".~
,i A~go .ag.m esta. defi rnli M i'v,amen~ ,e mal!. :Esm
(WI., can wt ida\ ( m es mayof' qne la de la parte un error-en ·~a.parte (b)? iO halY ,~lllgu
pe r ma s d e UD.lnjl~lo:n de malmlJOs· l.'Cometimos
:i ncorrecto en, RueS'ITO ·r.a:.lcmami.eD~o
el cinco de. tte\bol,es~ e~.fey de tteb().~e8i,!. el siete ,d e ceeazones ·wJ .·
la sota d_e es pada s .. ..
,
1.3
el ill,es de 'b"e holes . 'rey de. mebo.r es~. el sie~l~de. corazenes y Ia seta de.espadas, ,l,es esta se lo cc~ oD re ru ment 6 dif er er ite de Ia anterior? POI' desgraeia, ~.n.c~Y··e~. C3SIQ' en q ue ella elige pflmeta
!....1 ~
'~~c;
~~~~
'd "
•~
1 9' ~
:7'd:Il;":",,·:te~. ~
~ ~ .
~
-I
6.'1·' . C1DCO ~~· !fij;:e tre.....I ...' es, eJ .s ie te . de cor az one s Y s., ra seta ue'espiiwn3S~Il ··~I
.....
no es distinto de. la s at t:a'S dO lE"liJ! .....eleecinnes mencionadas .
~~
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d. ) ,Pe,ro ex iste ot ra fOml ;aJ .-dl le. I1lfi-gal1l" a, lao respaesta de: laparte (b)? [Sf! Camo las. manes de cinco ,cart.a$·deben ~OD!~ene.[·:al enes un 11I-e[bO'rndebemos oonsidemr ci 11100 cases., Es,tns apiucoo.D en Ia :tibb J I..3. ,'A ,padi:r de I e s 'resultadog, d e ~~a ta:blla vemos, .·PQ [' ej'e.mplQ~,ue 'rna~ manos 'd e cinco canas q~ Iconti~neDexactame me do s 'a'6- · boles. S(~, estarmos inr~eFesa'dos e ~ t:en,er e:xacl am ,e. t te tres mr¢lbc":J:es en Is mano, enhlllces Jos :res~d(ad'ps de I,a tab~aindican. Iqne hay (~)e:)de 'WtS nltifiOS. l
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Capitulo 1 Prindpios Iundamentales
26
del corrteo
Puesto que ninguna pareja de los casos de ta tabla 1.3 tiene una mana de cinco cartas en comun, el nnmero dcmanos que Elena puede seleccionar ccn al menos uu trebol es
(1:)e:)
+ (1:)(3;) +
(~)e;)
+ (~)(3;) +
c:)e;)~
~(l:)V~ )
~ (13)(82,251)+ (78)(9139) + (286)(741)+ (715)(39)+ (1287)(1) ~ 2,023,203. Cerraremos
esta secci6n con tres resultados
relatives
al concepto
de combinaciones.
Primero observemos que para Ii, r enteros con n 2 :: r 2: (4 e) = (lI':')' Estc puede establecerse algebraicamente a partir de la f6rrnula para (~)~p erc preferimos hacer notar que, al analizar una seleccion de tamaiio T de una coleccion de n objetos distintos, el procesc de seleccion deja atras n - r objetos. En consecuencia, e) :. (~~; )afirma [a existcncia de una correspondencia entre las selecciones de tamaiio r (los objetos elegidos] y las selecciones de tamaiic n - r (los objetos dejados de .lado). Un ejemplo de esta correspondencia aparece en la tabla 1.4, donde n :;;;-, r"" 2 y los objetos distintos SOn 1,2, 3, 4 Y 5. Este tipo de correspondencia se definira mas fcrmalmente en el capitulo 5 ':! se usara en otros cases de conteo. ' 1.4
Tabla
SdecciOMS
de tamaDo r ,=:2
SeLecciones
(ebjeecs e1egidOlS)
1. 2. 3. 4. 5.
1,2 1.3 1,4 1,5 2,3
de tamaiitJo
(objetos "jado:s
""'"
7. 8. 9. 10.
1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,2,3
Nuestro segundo resultado es un teorema relative a nuestra experiencia
TEOREMA
1.1
(El reOrema del binomio)
Sj x y y son variables
prim~
factor
entonces
un caso particular.
Si n
= 4,
el
+ y)(x + y)(x + y)
segundO
factor
es el mlmerc de fonnas en que podemos esta disponible en cada factor. (Aunque
anterior en algebra.
y n es un entero positive,
Antes de reviser la demoscactoa general, analizaremos coeficiente de x2y.2 en e) desarrollo del producto
(x + y)(x
3
6. 1,3,5
1. 3,4,5 2.2,4,5 3. 2,3,5 4. 2,3,4 5. 1,4,5
6.2.4 7. 2,5 8. 3,4 9.3,5 10. 4,5
If -
de bdo)
tercer
cceno
teeter
tecror
sclcccionar dos de las cuatro x, una de las cualcs las x son iguales en apariencia, Ias.distinguimos
27
~f~Dad. .para Jt.
Faotli)Jiej;,
(1): (2 ) (3)
Pia(:t:Q~s~~'jouim : P "j
12 1 .. ,3 14
(1)
Z~4
(3) (4) .
2,3 1·4 I3
(4)
z.s
.(5) (6:)
24 ,-~'_
('5)'
3.,4
(6)
'.
-
-
3',,4
(2)
6
'1.,.
t
i.z
En consecaeaeia, 'e ~c:oefi cieD lu e de: #n . e ,d esai r r oUo de (x '+ )'fy4 es fj):==: ,6 el uu:mero d~ ferma s de elegir dei, Q~bJe~,os. istimtoo·de Una co~ .ee~r n.16. n..e; cuabo IQ'bJet'qs, distintos, .AhoJapasa remes ala dem:osB1lcioo de~~aso ~~!'e:neralL. . ~. "
D.emo.suaGi6n:
.-
E n le i desm' oUo
dlel: prOOncto,
(x + . "~lex' . + ,y}(x- .+ y) ,.'.~, X ' + y) ~~imer siegundo· t'en:~~r :ac~hil' '"acror 'factor
W :i ,. ~im o.
f~dOif
e Ico.efi c.m em 1l!; t:de .e.. ff, '). ot' i _ -,!. donde formas dis;ul!1lta's e n que. podemos 0 :S - It ~ ni l' es el n~ero·lde. ,elep k.lle·tms. x (y le u eonsecuencia l,n- Ii) lett$. y) de los. n facmres disponibles, (For de los prianeros k fsctores yy de' los 1ilt~mol5n ,-,Ii; 'f~~lor:e~L) ~jempIo"!1una formaes ,e1legl['x
La caJudad. total de' seleecioaes de ~~amaio'' de uaa 'oQilec-cwD -de, 1 0 19 ,ne: e sigu e el teorema del. binomio
de tamano~ es C~n;-k:) = (~)~
l .•
Ell vi sta, de e,SM reo.yema:f (1:) S6,conoce co n :fre~QeD$. DOmo coefieienee binomial, que 't a m lbi .eri. es p(ls;~bJ)eexpres3l£ ei re.s~Itado de~ teorema L .. como
se ..sigU!e que el cooficiemm:d!ex5y~ ,611. ;e ~d\esarroJ:rnode (x .+.y)? \ .~ (1)' ,_ 2.''] e~;~ (1 \:S,) _ , .~2 .- ,_'='" E[ ooofiete:m~e ded'/r en el desar.ro1JQ (28 -30)' es (~'~(2.)5(~3)i~Obte~emO.ses:~:oe< t·~ma. de 'bji ID ~ :rnri o'~ OQD, x ;;;;;;. a y y =:. ·~3\b';;
a) De l ~e om ma .d le,1. bisomio
1»
O'bs.ellve
COROlLARIO
' 11 . ,·
DemO$Jba,d'OD:' La,pmle _(:a)'sc sigee del ~eorema Y 'y. = I,e',d bf iene la parte I(~).
del 'bit lm nil?'.Cl!i
Ian do ,x
=,~
:I ~ Cu an do ,r ~ ~ l
T E O R E M A ' ..2
,'. de e~ ,:.........,If; -:,. . " ..--' ._- .-', '0 " <::, e s tDln,l~e.ro con" ~ ;~ d , ,om,e
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~ n , PH3, . "
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se denomimaJ,
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,muttino,Mfal.,
Eft ,e ~desatroUo de (x - + y +i'l~ se sigue. ,del toorema Dl'ultinonrial que. ,e ) coeficiente de!~; ,};l. i! es (!lJ) ~ 2 a~~! ; ~21o! 'mie ll'km; ,qMe el coeficie~re de,xy:t es (.I.:J ~'42 y el de'r;t,~ (i~)':',~_~~,!"= 3\5. b) Suponga.os- 'qlU'e; '~ie'oea neeesidad de oon,o~.er el cooficienle de , ,blc 2 : Id~ en e:rn a con V',~2h ,000 w~,-3'cCOlli 'dle~n9 de .{ a + 2b,~:3,c'i'-,;2d,+ 5)1;6, , Si:,e.elDplazmnos x - 2fJ ClQQ, J Y s : con ,4;'1 entonces podemos, (apti~, ~j teorem,a ,m u liilM u lm lal·.a OJ'" + W + 'x : +,' -i-'ZJ E6 , J dletermi:~':el, c,ce:6ciemte dre'v2~:r't',t' comOll.J.~5:4):= ,30Q ""7' D i, ,4t l~ ,ferrOi (1.~!~.!l) a)~(2b1)'~(-~ ~Jj:(2d)f'('5l' =, (~.a!2~~,.J(Y:(2J~(=-:l)~(2~(5iY(dl ) ,J 2 - d") :~ AI '':lH!li: ;i.:~ f.l1...Jj o'9'1Id,,~.i~ ~ [iIIf,~lJ,rOI.._ ~iiif:~'e:,wu ur- ~~ le-' a.
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(~:j;y veririqlll~ su t;es J~l ta ,enum~r:tmdo:pLI!ede~, haeer 00'0 lasletras a, b, ~~ J ! , e :1f:
1'.'Calcule 2,,,
ide [ammo, dO's q ue se
bJda$, las seleceiones
debe :haccr '00 riaj~" de '~I en flUtoWs" de ~o 'h ~ cinco :relli'SitaiS ide W, 12 q ue s u her.mua A~na., :Marfa puede Dianla' ba9'U su se~ecci,6n,? fOoml13S
a
IC~.ODj~~a,
3 . , Ey .alde cada un o de: los
e~e~~ tJeqi(fe,
de ad!q Djf ir ~ ~
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&i ;pi em:n. t,e: s 1!taSQiS... b)~ (~f)
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c) : C.(i4,~12)
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4. E n : ,d,. s~s;tema.B,:{:3ri'Ue" 111), figTh:OO~o.,., oomG' una len :mir mmcula .. un s~gm.o ,de p'IlBtu:acio,n" un ,ail;, '.en~s uno de Ios pU1Dt~~S., d e lia,~dli$po$j,ci6n de ,s.e_~s pitBr(i,tm ~ufijo.~et c. " se eSlC ri ll e~ resal~
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5,~ a) i:Omootas. ,pe:r:mlIlacwnes: 00 'b) BlumeJ re. todas , 'mas oombin:a'c'~~ 6., Si. n, es
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pnnducir~eroa las letas RI " :17.. a, f y '1t116i resultaa 1 0 0 Ias letrns m, r~ail f,Y
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7,. U'n coBb!: de 12 pedOO~S" se:d: elegid9 ensre m ,o'h~mbFes,:y 1,[0 mllj'eres~ ~De ouarntas 'ronn.'se ~)I d~be,baOOr seis 'b,OJPbre,s ,mo;ooe 'ba rer Fa s.e.iec.cl,6;n s, j ( a ) :nfl h,y' :res~c.ci~n.e.s? y seis mnjemu jetes que hOMbres,?' (e ) ,lies? (C:)I debe '~er Uil: :m;fimero :' pM de 'm:uj~res?[(d.) dere ,ba:ber debe :I m bel" al me/HM, oehe :hombres.?'
m as
8 .. G,Pe ou~w
f1o~ '[p:l!Iede U~ jrugadtc'r ,f;;X1tfael"cinc o ca rras de ~M 'lbaJFajacomw 'Y ' obt' enel f [{ ,a} 'pllor1' ~b).·cl:!ai~@1 ases,1 (l?) cnatt'Cl IC3Itas de ] mm smo tipo ? cOmOI, (ancO [cartas del ·(d) tres ases y des sotu11 (e) tres ases y DO :pa .r? {:~ un 'rnIP (unalema y un:p.ar:)? (g), UrnID3J, ~l1a1 ·(I'~) e. 0'''; p;~t'6!t'r? ::.:L I! '.~ (_ 'itiIJIl.r•• al.
'1.1m
:mtsmo
9., ilCuD.liOS. 'b~ ICiOn'r~lleooD [(a) ,exacta.ent.e, dos DOS? i{b }exacmmw.te! '.ent e. : se is 'WlOS,? ,(d]; :am.. m .e: il :Q SSel'S. U~Os.,,!' 11ft
,~:ne ~tas B
'bmes, updlores,7
:~onnas, se. un , ~n~,. de ' 'balo~w.! I: 1IlDlooe: Mrm .rar I lr. '" ~,l"':lr-'Io!" It-Ieu_tas opeiones hl(:'lIW;)'1en, ailj~ pcm~ r :~ =-
,OO8!tto,UlIOS' (fl, le'xas:ia~
de c:iilii.eo, 'jII' iP'D .lOlflaiS C.OIl 12 , INMOi= lr-.;o"~ 'de'bil :Y ' al m as f~el!te,?' ,~ .
30
Capitulo 1 PrindpJos fundementefes
del ccnteo
11. Un esrudiante debe responder siete de las 10 pregunras de un examen. (.De cuantas formas pnede bacer su seleccion 5i (a) D O hay restricciones? (b) debe contestar las dos primeras preguntas? (c) debe responder al mencs cuarro de las primeras sets preguntas? 12. AI ordenar Lacomida del dia, un cliente puede elegir entre ires entradas y dos de sers verduras disponibles. :a ) ",Cuiml3s ccmidas diferentes puede clegir si (i) debe seleccionar des verduras diterentes? (ii) se le perrmte tener des portiones de 121 misma verdura? b) Responda las partes (i) y (ii) de la pane (a) si tambien puede elegir entre jugc de tamale, juga de narenja 0sopa de lentejas como apermvo. 13. loDe mantas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro nines de modo que (a) cada nino reciba tres Iibros? (b) los des nifios mayores reciban cuatrc Iibros cada uno y los dus menores reciban dos libros cada uno? 14. En la pizzeria de Pedro, las pizzas se slrven en cuarro tamanos: pequena, mediana. grande y colcsal. Un clieme puede ordenar una pizza sencilla de que.so 0pedir cualquier combinacicn de, los siguienres siere ingredienres adicionales: anchoas, pepinillos, champinones. aceinmas, cebolla, pepperoni y salchicha, Determine Lacantidad de pizzas diferentes (a) de. tamano mediane y que tengan exactamenre dos lngredientes adicionales; (b) exactamente con dos ingredientes adicionales: (c) grandes 0 cclosales y exactamente con (res ingredienres adicionales. 15. <.Cudnlas disposiciones de las tetras de MISSISSIPPI no tie~en tetras S consecurivas? 16. Un entrenador debe elegir 11 esrudiantes de tercer ajo para juga! en un equipo de futbcl. Si puede elegir entre 12,316 formas, icu!ntos estudiantes de tercerc SOIl. elegibles? 17. a) En un plano se tlenen quince punros, d e los cuales no hay tres que esren alineados. .Cuantas rectas dererminan? b) Se tienen veimlncincopuutos en el espacio, de formaqee cuatrode elias no son coplanares. i.,.Cu;1nrosriangulos determinan? i,CutntQS planes? i.Cuantos tetraedros (solidos piramidales con cua trc caras triangul ares)?
18. Determine
el valor de cada una de las sumas stgutentes.
.
a) ,~(i' + 1)
b)
,~,u'-
.
1)
2;(3'-2')
d)
ej
/-1)
c)
"
2;[1+(-1/] i-I)
,_2 :, (-I)'
M
f)
,-_L (-1),*,
donde n es un enrero posirivo impar.
19. Exprese 10siguiente mediante Ia notacidn de suma (0 sigma). En las panes (b). (e), denote un emerc pcsirivo. 1
a)
1
1
1
1
1
1
1
b) 2!"+3!'+4i+"'+;;!' c) 1+ 4+9+ d) 13-_2' e)
1
g)
+ 3'
2
1 1l2::2
16+ 25+36+49 _43
+ "~1i+
7j
n
3
+1
+ + ;- ... + n
f)
1
1+2 + 3 +4 +5 +6"+"'+17
n+l n+1
"+2 n+2
21
41
2n
2n n+--+- +- +· ·+n _ (! !..::.!) + (n+ Z )_ (n+ 3 )+ ... +(_lr(.2!. .) 2!
n+3
6'
4!
(2n)1
6!
(2n)1
(f)
y (g). n
,
,21Lt
'tl.~
Para. 't~, tademas·de. :~o~~.d ~.Od~; eje~plol :[.2,3·,., ,i,.owmt.u; :tr es ldose s' ?; (b }. 1 a i, ~eae~; ,00111) ·~~]lOS:?;' IC ) ,~P 4 ? '
(a) cuatro ceres, tres u.~~ y
2.1. 'Co nsitlm la
QOlc:oci.Wll ,d e i~ooas la s ead eaa s de lWlgitlld, 1.0 'Qrlre 's e .f o. m taD . 00]] e1 aJIfa;be,to' 0, ~" :2 tien'm' ne~~ eese .~ ;.'. ieaem' ,r~'"I "! I" 41;Cumnas, '~ IP'~~ .,p,air" :t'''W '" 3 ,;c".;:a:I~'~tas, Y "3, .. ~'CtRmras de ·es:w cadenas, nelmB f:ViSO I.
'Q .- _ " .
. . . .
.
. .
_
.
ii.!Il·.··
. '- -
f~
22 ~ En las eu a: tto rl ?m :: e.s de 13 ; 'f:i:~1m1 '9 i se 'hm ~do oCk(jl~·m.tos ,r... ··U ':ll ~i!l~ ilnjl Tm tiim $lf;anlt es. sob re :~a : irKun:f~n.cia, de' un clrcnlodad.a., ia) Psra las. p~ l(aJ'Y (1b) de ~a firma 1.9; ene.mos· lOOs 'lJIiiWploOS ,difereDr tes.· I(,aufilque' OOtll~, .gIVeftt1e&} medl~mrt~ sus vfl'tices)' s'P(g~, d~ Q(};S Estos d)os 'rrbimpl o:s (.qUe" se dimngoeB. se lee ei on es de :·t ama ful b' es de lo s 'v61ic , es ,A 81;1 D~B, F ~ G 'n; lCoUtO! bUn~[ns, t·
:l,~
~"II'
I
I~
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. .1 i~ :,.c.. ( 'II ~ ,w~'crenres. :icong ~t :e. ~H il,.OO i ',"Ii ¥~ D1 J'S' ~n ·b'·n r A.....it: ee esta ~.G1.'1Ba>en,~. .••,'1·;0C1l00I1m;0?: 'rI !""'L., .l!: ; ... ,' t) ....:... I-b) 1 . ., ii:: ._,. ,. "" .t ... .;:r ",~ '. .. i.~ilia!Uro-S; lwe; es 'm~:a,51_0Sue , ,11.3, p~ ',:p ,S OD ]J~S, ~' e) 1 .i~ U~iOOS ,cuadtil~s d~fer.em;teS, ,potlemus msc-riro,i~ e '~ciocllb)1 us&ndlD los v:ertiees t~:? (U:no ,die m 1_K~S·cnadriti'tem:S8pal'tOOe' e n , Ia pam (e) de la, figura 1.'9.) ,~;I:I.
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~s: de la s, tu ar lJ ri Ja re -ms de la parte (Ie)
A'lll~· m. .. ( .' B. ~' S. ;no
mar-
A
A,
1fiI) lCu3nt
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,StJl]1 O1l~dmd.OiS:~' i!~l:1iDtos
de e.D0S
5,00 tee~-
)1
~) .Eo .la :patte· (d). d e la :fi,l\1fa 1 ~'91 ~e oomo s un :P.eutagOno :~~scrtloll nu estro cf ireu ~o· "6:C'Jij'nlQs, pem~,gGnos, poiI emosi nsc" dhir. en el cirC8~O dado 'USand\o1 los , v6fU oes - marcad(lllt? :Q ,~, Cn&t os ,~ onO $ dimrem.tles. "de: ·tmes. (f'mas lados s, podemos in '5Ci ib ir en , el cir.wl o da do " 1!Il5~"d(}1 tres ,0 miis de:lns 'v~ioos :m~dOs 11 :2 3 · . ·(.;C~ros 'IriiwlJpID.os.qnoo' lr n dJe i~aoos :por lQ $ v&Uoes d e l un po Ug on o fiegu] aI de R ~ados7· .LCUW DOOS ~. :•• .00 de Ios. ados. del P'QUgQ(HD debe.ser lUl_bdo de ~guniJ Id e 'lOiS' nianglliosi :14,,,
T ',
a) En, el,~l~,o ,cnmp:~etode'(ll + ,bl'T C + d)(;6 +-1+',8' + h}(,u +V + W + ,x + - Z)i' 9l~ten~mos; ~uninos b,smna com(rasW":~ ,C/X J' agv'. ,,,CuOIOS de esos 'temD:n. o. s.p~eo. en e.s-re: d~lo' 'co.,li"t~)i1. ' 'Ii..\ ., , liill 'Ii ..;I~-~ t' '\'1JI C ' lUl d 11 ...~:.... 1.. :1' .. s.1.gm,e:~s ~alPMle I!j,_litj.',.' ~li1l' atpMteGen.M.e.uesMrOlwo oom,~eto:~ U1 i~"U'm~ 'J~:,IO!S~"""lI:uJI.OS. I~'
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per 12 si mbol os [~i fer .enms y s e v aa ttansmitir ,8 [raves ~·.e ro'Canal d.e -, roM !Um ic aei O n., Adem Wi de. los ,2,,sfmoolos~, e 1 ; 'trammISiOI tambiin enviara un tom:ru de 45 espaciosen 'bl~nco e:nJme Ius s:imbolos!, usan,d~a t ·m e np s tres espaeies entre cada par de simiooius cORs-ecu~tivos. ,iDe ,cuaU'ms :fio,OIDl$ puede eI transmisor env~ar'es e mensaje? Hay 12~formas de' co.'Woc~ los 1 2, sfm:d!~ol(}s m fer~nte-5 y ,p. ~. cual q1, miem de es;ias dispo-
'Un,meos aj e es ta fotmado
emre ].08 1.2 s.fmbo:~.~\& ebldo a, que debe'l.l.~lbe~'aJJ1 menos tres ha:y ],1. posicioces ·es p,a cio 'S efa H~ 10.5 sllnbomos COi Q,Sec ut iVO' S-=it zz amos b3$~.3:· de ~·os 4:5 espac ios .y disr"ri= bmmos,lo'S j2 . espaJ,CIDQ.IS lILe"stmues~Esta es entooces Dna: seleccion, 'CQ~, epeticion, d e ta m 3.,~j~,WUDe::S'
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aho ra 'qu ~ " rC) !Ue il?e uw, o - s,o;niar el m6m,em, de. composieiones para, el nu.1)' Sup 9n g" aR tOS. ' E ' n este caso n o' qliIDere:Emu~'s: [enumer;ar tosas ,.;;a ~ "I ',.....1...,'"' ii,ras pqsl~l'·IIl,.·:II·',.!lIl~ qu~: I" ri!,.~'Ii mero '1r.[!IJJ] ll~es-, Ili :.. ~:u~'[emJ . 1~; 6 '+·l ~ I + 6; 5 .. 2;. " + 2. := - 4 "2: + 4 + 1 y 3 - + 1 -t 2 :f-' 1. P,.,3. CORmr toda s es ee s
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Aqui 'U_SaIelnl'J'S ei sigui~1ue segment\) de ~Pfl(Jgrama en Pascal para obtener 'Ulna fOm1~.iia 'nar,s '13 SUDlLa~ En ,esre sezmento ~dce ]p'i£omramIa,., ., variables, ,t.J~~." 'W ' co'm~ueirscrll, variables It'" eDllel1$.~ Hemos sJupoesnQ, que ·1e.D '1L.!W 3., soocru6u. anterior ~,ellprograma, Ie]. useario proporci:o-, .ru$'On en .te' ror.:pos .i' b,'Y 'O ~ este dl Jto e~lUlb~ec.~. tt. valor de ,itw 1!Ir'
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Es te 're suLt ad o ra mbi 6n " ede eb te ne as e. eo mo si ge e; ,cuaindo.i'~·= I"j varia de' m a m . y '0") se ejeca ta 'un a , ve z; ,~r o 1md o i .recibe el va];u[ de 2", en ton ee s j",aia.:de 1 ,a.·.2" y (*) se c
do s ' eces.; jvartade 1 a 31 cuando. i liene el ·Va].01·~3-y (~) se ejecuta ttres veces; ~ ,D general, para. 1 :~: k < "i~:uaado i : =.k; il!.m~oltces.lv,ma de ] a . t l'@ :) se ejecuta k veces ..En. eotal, Iav,arifl;DWe co:~nt,e'(r se -iaci"eme'!Uu :['y tat propos.icion (*') se e] ecata] 1 ,+ 2 +..3 .+ ~.. " + n
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entr e, dnoo~ nino"s..
3~ D etenm ne Wa sfopnas e n :q~e. ~Je:p:'J~en e1egii!lr 20 .·' oo .eaas.~e cuatto gramd es' recipi enses qu e ~n rtie: EJlell. m ~)!nw .as. de ·dIfe,,~\e. deonmJ , acion., (Cad~.· -ecipiie.nte cO'lilftie~e~~ so]oti:P9 de' m o-
neda.) 4m
Una tlenda de :t.ie]ad~5~~ene di:s.poro:ib~es J 1.sab@['es; de. fue~ado.. i.D~ cuaiatas forma s .e'pu edl e o(rdie.IlM u.a dacena d e cenas ~e: b,ruadol si {a ~ :0 0 (_[tH!;n:;m.QS dtiti_o SB:'oo([' :m::is de un a "!fe.z? (~) TIll "Sabot puede ordenarse basta 12 veces? {c ) un saCo.r ~9 pee deor de na rse n~ s de' J I. veoe:s?
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1',5., l.D'e: GU:3nt'aS fqrm,as.p'u~e coloear Betn 2 :Iibri?s difere'lles en cuatro repisas de n ode- que haifa ail l me-nos UJ ] U bJ7'® 1en Catc!a 'fe.pin?'· (~malq,n!"em, de. est as di s; 'pos :ici O 'ne: !~l c. cl?!'ls,idere qee en cada repi sa los' :'[ibr.osdeben sercolocades UnQ junto ~l~tro~ y el :primer libra ala I 2: Qu"ietqa., '1 1 ,E L ,{. Pr u: "a ue ~e ]] .tero po sitive
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m m s ionnai es
.pBsTh bk dl~:stri ,blIDll ru na me neda .d e 25 eesta -o8.,.otra d e : I n . ott-a de S ,:",' 5 :mD .\ i)S (a) .s~m. resmccrones:? (0'\ . I. de modo :- ... qne el IIiQ O ' mj.
'd e nn c£: t'W tv, o 'entre eince gr:andle reelba 20 0:25 , 00 tav06?
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2'0[. ,a ) ,~:Cumms Sloludo,oe~ecn;t~~ :00 neg~ \~~ bene t~,p~eja di e ecuacioaes XI. +.I;1 ,Xl' 'T.x,. ,~, '37~ Xl .-t-. X :~ +-..'lr.!i = 6:' 1b] .,Cutjillrt~s d e las wluc;;io:nes, de '13: ,pane (a) '.~en en Xl" ~:!!l' x.r- :> 01 "T
,.Ii. .,••
1
21.
i..cUat nlflS ~'~. se ej ec u~a la p.mposicitiH W;ril.eln e n , el si,gur ien le segme mo ~e p m grn.m:a: eJJ_l ~caI? 1(E;n este Ca$O- i""j.,, k:Yl m son variables enteras.) FlOr 1 . : =1
For'
'tOI
20 do
,j: ~ = 1o i . ' 0 F'ow':It ::~ 1 ,o .j do.
.For.. III :: =1 to :~ do: '~r',iteln ({i j). -
(,k *. m));
Capitulo 1 Principios fundamsntales del ccntec .22. ED el siguiente segmento de programs en PiI.SCal.i,j,k Y counter sou variables enteras. Determine el valor de counter despues de ejecutarse el segmeeto de programa. counter : = 10; Far i := lto 15 do For j ~t to 15 do Foc k : - j to 15 do = counter counter:
+
1;
sum cespues d e ejecutarse el siguieme segrnento de programs 23. en Determine el valor la variable Pascal. (En este de case, i, J , 1.:,. increment y sum son variables eoreras.)
increment : = 0: sum .= 0: For i := 1 to 10 do For j := 1 ·to i do
For k : = 1 to Begin
j
do
increment
+ 1:
t = inorement
sum: = sum
+
increment
End:
24. Considers el siguienre segmentode P!:Qg.r,0:m4 e n Pascal, dondei,j, k,n y counter SOD variables enteras. En una parte anterior del programa, el usuaric ha.dado el entero positive queestablece el valor de It para esa ejecucion particular del progeama counter : = 0; For L ~= 1 ton do Fa I'" j ; = 1 to i do For k : - 1 to j do = counter counter:
Determinaremos, de des modes distintos, el mimero
de veces que la proposici6n
counter- ~= counter se ejWJ ta.
(E ste es tamb ien el valor de cQunter~6;
+ 1~
+ 1
de la ejecucion
del segm entc
de progral )
A partir del resultado del ejemplo 1.37. sabemos que Ia proposicicn se ejecuta ("+r = (";2) veces, Para un valor fijo dei, Ios ciclos Forrelativos aJy k producen e'tl) ejecuciones de
ma.)
Is: proposicion resultado
25.
donde se incrementa
para deducir una f6rm ula
counter, En consecuencie,
{"t:l.)
= 2:;=I('t~}
para la sum a de 12 + 2l + 3 ' + ... +
Use las ideas. del ejemplo 1.38 y eLejercicic 24 para expUcar per q ue ( b) Use el resnltado de la parte fa) para obtener una f6nnula para 1a suma a)
L:~_P-
n .l ~
2 ::
r 3)=
lt
.
Use este
1
(Jt2).
26. Muestre que el numero de formes de colocar n objetos distintos en T recipientes diferernes, con los ob jet os or de na do s en cad ar ec ipi en re, es p(,. + n - 1. r- "I). 27.
a) Dadcs
m, n enreros
cbjetos identicos m.-n)=C(m-
positives en
n
con m;;: n, muestre
recipientes
i.II-1)
que el mimero
distinros • sin q ue quede lin
de formes de distribuir
recipiente
m
vacio, es C(m - I,
1.5
Una epjicecicn
0 las dendas
flsicas
43
(opcional)
b) Muestre que el nrimeru d e distnburiones de la parte (a), donde cada reclpiente condene al menos r cbieros (m;:: n.r). es C(m - 1 + (1- r)i'I, 1'1-1). 28 .
E scnba
un programa
(0 desarrolle
29. Escriba un pmgrama
(0
30 .
(0 de sar rol le
E S C Iiba un programa
un algoritmo )
pa ra calcul ar
las soluciones
enteras de
desarrolle un algoritmo) para calcular las sclucicnes enteras de
un al go ri tmo)
XJ+X2+x,+:c.:=4,
para calcular
las
sol uc icn es
en ree as d e
-2:S;.:tj, 1.sis4.
1.5 Una aplicaci6n a las ciencias f.fsicas (opcional) En esta secci6n analizaremos
una aplicaci6n
de las tecnicas
para center desarrolladas
en
este capitulo. Esta aplicacion surge en mecanica estadistica y rermodinamica estadfstica. Enestas areas. nos hemos iereresedo enel mbnerode fortnas en querpartfculassubat6micas pueden distribuirse entre n estados de energfa distintos. En 01m odele de Maxwell-Boltzmann se supone que las partfculas son distintas y que cuelquier cantidad de elIas puede estar en cua1quier estado de energfa. Obtenemos n' disrribu.ciones posibies debido a que existen n estados de energfa posibles pam cada una de las rpartfculas. (La teorfa modema de mecanica cuantica ha demostrado que este modelo no es adecuado para las particu1as subaI6micas conocidas haste el momento.) Otros dos modelos con m a s exho son los de Bose-Eiastein y Fermi-Dirac, que se basaron en un principia en los mementos angulares intrfnseoos de las partfcules. El modele de Bose-Einstein requiere que las r panjculas sean identicas, y cualquier cantidad de elias puede estar en eualquier estado de energia. EI numero de distribuciones diferentes en este caso es el numero de solucionesenteras no negatives de x, +X2 + ... +x" = r, igual a C(n + r-l, r). Las panCculas con espfn entero (en unidades de (hJ2a:J. dondeh es la coestante de Planck) siguen este modele. Dicbas parnculas.Ilamadas bcrenes, incluyen a los fotones, los mesones pi y las parejas de electrones de conduccion en el material superconductor. como el plomo 0 el estado. Para las partfculas con espfn semfenrero, como los protones, electrones y neurrcnes. el modele de, Fenni-Dirac es raas adeccado. ''1 las partfculas se conocee comofermion~s. En este modele, la s T pertfculas son de nuevo identicas, pero un estado de energfa puede conrener at menos una partfcula En consecuencia, en este caso T :S n y el mlmero de distribuciones posibles es C'). (Este modele es bastante titil en el estudio de la leona de bandas
semiconductoras.)
1,,6 Re.sumenl y'if'lepaSa
ihi:,s'tori:COi
:E n I~s.le ·prime.r c3tpil1u~:ol pl:'eseotamOs. )o s fooaameIl:t'os del COOleD' de IcomhiD_acione~t .Jle1D1buta;cioFte·s de lo s "1 ' disposiciones len ,nlllChos· tipos de :pro&lemas~ L a descom:posllChin problemas 1M compenentes ''l;lre reqgiereu f6aoulu :~guates 0. diifierentes para s. o solutii6.n, • J:. .:iI1 11:._ d . . ...e~..,,:, .uiscreta 'ii 'II.. • • pro'pof.-CIO~ii iUl.B 3ceIeanueoto 'y ' COJFJlul:na10n,a C.JJl3iwe a ..was' di-em; , . e maTem-.ml.!Icas . II '. . • Este-es sim". ar al enfoq,~ ducendeiiJ~,.p8la e:~.desmono d e aJgflritmos en un Ienguaj:e. de preg:ramacid:1I 'e8lt1t1Ctomda eemo Pascal E D , es.!ecaso, S iC desmoUa el al ,g o~t bDo :,am re.. . aDd o,11.::1dme:r.oot m.gumos solver lUH1J ~ pil llQbJem a di ftci l :a.Jb~: ",rd sabprobl.ema8 q U e de:pri.mc~palesi ( ,;111-. 'b..!l~i··":'f '·....11 b .eo IeSO.Im.v~ ... ;Ub;SPUe.s,. esees SU1Ji Jl :Pl "0I JJ, \I .! e, m u se ·~M·nn !'i!;1'~"~~ tse SlI: ··w.Vlu:en e n tar ea s ee p ro ..· ti'""I'... ...1 I .. , '. "m ! . .:1 '~ ', • . idad ,. . . ". . 1 grawac.,~o6u mas, maneJ aJbi.rn.~)., '~]iJilve,~. ,tJI .e~ .refi im l.m tl i: eJn:to· mCJom Ia c art _I,~.' ,pr.eC.ISIOU J ,e,1 robje1tii.vo del 31go. riitnlOl ~ has, la. q!Ue. se .pllooe 1l»dnCH fac: ihneD iEe .3 1 ,c6di g' o del. le:sgu:aje de .' .- -. .~,."'': (Ual!..!l'- ......,, . .iI:-i'o ...:It.... 1 1 .- · ... iI·' ~,..,.,..,.'. :. ··....... 1 1 1 -.... ,-' - . pro,g!l:a:rnaC;IOO~ IIl:Jl.~MU!emro:S mas UY. LOS ~gonjll.llIDO.s, en ~P l~W I! !I J,S po;st:enOresl~. La tabla.l~:S: Ies~e :las.·principa1es basta ab~ra. 5 n, fonn·~tas..,am,.coifltar·desarroDadas eSl te ea so uti1 iza ml (lSi UI lI.'" oolec~idil de n . rQQjet,os "dtistinrIDQs~ Las fOnuulias. cu;e.·ntaD, el nWB. eto Id e fonnas :para. ,se1:eeeion;u', u ,t!Jmeuoc-, con n simi liepe1i~GirQn=" ,1'" d e estes ,11: o·~jletos,". Los 'reswlme~es Ole, os c;~itll[OS S y9 . '~n(:'lul1eJl, Otral$, ttiblas sio.~iilm'es l!'!ilUle ~!~c:eJciD. )oonforme· wayamoS! ,a. nq? tiudo · .nue stro , eS "Ll ld ~ode otros.metodoo. de. Ic~~te:o'., 'irIi"",:;'"
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1.6 Resumen y repasc hist6rico
45
estudia algc del material analizado en este capitulo fue An Conjectandi, del matcmatico suizo Jakob Bernoulli (1654-1705). uno de los echo destacados matematicos de Ia familia Bernoulli. El texto fue publicado en forma p6stwna, en 1713. y contiene una reimpresicn del primer rratado formal de probabilidad. Est. tratado fue escrrto en. 1657 por Chrisriaan Huygens (1629-1695). fisico, matematico 'i astronomo holandes que descubrio los anillos deSatumo.
EI teorema binomial para. 11·"" 2 aparece en la ohm de Euclides (300 aC.); no obstante. el t~rmino "coeficiente binomial" fue introducido en realidad por Michel Slifer (14861567) e n el siglo XVI. En 5D Arirhmetica Integra (1544), Stifer da los coeflciemes binomiales basta el ordeu Ii "" 17.), En sus investigaciones acerce de la probabilidad, Blaise Pascal (1623-1662) publico, en Iadecada de 1650, un tratado acerca de las relaciones entre los coeficientes binomiales, las cornbinaciones y los pelinomios. Estes resultados fueron utilizadcs por Jakob Bernoulli para demostrar la forma general del teorema del binnmio, en una forma similar a la presentada en este capftulo. EI uso del sfmbolo (~) se Iniclc en el siglo XIX.c uando foe utilizado par Andreas von Ertinghausen (1796-
1878).
Brai.e Pascal (1623-1662)
Sin embargo. solo en eJ siglo xx, cop. el adveuimiento de los computadores, fue posible el analisis sistematico de los procesos y algoritmos utilizados para generar perrnutaclones y ccmbinaciones. En la seccion 10.1 examinaremos uno de esos algoritmos. EI primer libro de texto que trata amphamente los temas de combinaciones y permutaciones fue escrieo por W.A. Whitworth [1O}.El material de oeste capjmlo rambien se analiza en 01 capitulo 2 de, D. Cohen [2], el capitulo 1 de C. L. Liu (4). el capitulo 2 d e , F. S. Roberts [6], .1 capitulo 4 de K. H. 'Rosen m, el.capftulo 1 de H. J. Ryser [8] y el capitulo
5 deA. Tucker [9J. Para
tica y rcrmodinamlca
estadfstica,
m as
informaci6n
acerca de las ideas de mecanica
esradfs-
consulre el libro de texro de R. Reed y R. Roy [5].
46 ,O!
IBIBUOGRAFfA I,. Biggs,
L, I~~e RQots,
~·-O~
qfCo.m.bm~'O·ria;":,
Ma[l~"t~~ti'Ca:·6.
,HisJ.:oi'ia
lnigs\L
197\9.,
100,=;·
m3'~L
2. . Co he n, Da.cll~ A .. 1J:as.it
l"e:cmiqzre:s
of Co.:m bina·tori'a I Th.e:ory"
197.8~
Wlley, ·Nueva. Y~r.\·,
3 ,. "e.ft!ili~Tho. IS'Lltt]e·. ,A,. Hi~~'oty/ GF e:e t; MCdh e11Wti cs~! "lot m " reimpr esrn 6~ •.e bl' emci6n m,192l, '~rne~ yort. Docver' hbHcmQ;ns~ 1981. ·4~ :L;'u, C U I L.~ .1)ilr.atJucli(ln·.~O'
Mal hemi t!ics :, ': ueva Yoi~.M'cGraw-HEU,
Coml!ind'1lin.ai
5.. R, eoo Robert D, y It. :R. , RQy~S{;aJis:tival Ph}~tk'$;' fo r Stude.n(
6, .. Robe- m~F:~d
s.,,
Appl i~ d COlfi b/ JUJt o. rics, Bng!ewo£1id
1 ;·
J. ~Caml)iR(it'On.a.JUl:uJu:nw11e$~
pll bID~car lo,' par Ja :Mramematr~
'1'958.
.gn'fi En:gJn'eerin,g"
,. P.refi'ticie~HaJ[ru.. ai«$~:-.
:H~~,Dis'C.~~eMathematics uwl.'ells Applicalit)ns.,"2 ett N ue
1~ 'ROSi~ ~h .Hilll, 1.99 J:; 8,.. Ry"OOt,H~
of Scielu;::e'
de.
r!l8
19'84-~
York, M,cGr.a:w-
A:S~cIDMii9n
~f.America
Yo[k~ VfiIf~~ .~963...
N:I1¢\{,8;
I~t,Tucl "e t"" A.l a1o J~ ,App,~iedCqmh~w;o,rics",2* ed., ·Nttre.-v,a. Yook" and Ch~e 10. ·\ \, 1h itvt ,or tl 1.r.· V, ~ ,A~,~hoIce. . . '
Wiley:~ ll9,I;S5'.
re~re.si6Fl! de: ]a :00ici6nde; ~ 001 ",:~uev, a~Yor: k .Hafner, .
:['9615~
1 ~ 'ED. Ia fabrica.c:DiO,n d e aenQ' Ij_pC 'd e ,a tL()m61VU~ JllJilede~ ·,apare.Ur oum-Ol upos de d.efeot!os ,,~yo:res y."s.~ete 'lipos de defeetos 'WenOf¢$;., ~.l3!s s~gac:wne8 ·Ias ~e re.em:e fiDlil!las.se pre sear au ]05,de fec tos , ,~d e c~ ms' 'pllede .Jilaber ~l d!o b]. e:de de.fectos meaores. que de may'ates? Ii
en
2:~ Una a1q~~na. ti.e ,e : aueve ctiferen es ' ,.seos, Gada.~n cinc o .p .:n mnW iOli 'efi(_i i et ad. o$ c;ODiJ.J o .~ .1 2!!' .3 ,)14~ a) ~Jl)e' "Q,:m.tas. fonnrus. se pu ede n co :nfi~m tod as 1~$,
CUD
J
til
cisoos de.l a " 'i\'Cj;'Il I ma,'? Si 10'3. uueve discos ~ e o.rdle'n~ e W la, !mea, eo. Iii. p,an,~SlIl3Jperi'or. de J:8) fi aqUt ft" ..1. ,Cll ;811t aS de las. CO{ITfigumd9J.1i1m 'illa '~~rum:00 ~leae d o s ·d~sooo ad yo oe ml es co n el r "smopru-ametro? ;;,C _c~J1l)OO de los ~panim ~ttotS,de Ia p:aIte (b J solO tiD> ]j:im] 'O·~ J 2 ,4 1 come pu4me tros ,'eJ } :hls'di$;cos?"'
de
e
3:~ B ..~ft.~· 'p.~ pIiOCaamientor·de ~bnu ·IM cien:o iniC'ioc'cmpl1~a:dQ rpermite ~cbivos Cl!yos nombees lrul,gan de ' _no 'a,e cho caracteres ..C.da c. am. Cl er . ' ,ed\e ser ,a],gunOi de. Ius 3 6' 'c~cre.f.es a1fau~cos, (26, leu,a\S,}.t 10 d~ gi tQ: s) 0
l,?ualq1l.h~:r~ de orielS. lS sf rmf fij~ ;I,o oet em· na dos · .. (Parca.;w$;
:nom:bre~ de a:rc: ivo· e el ,COl lIput ad. or :[ 00 '~\ OO~S as Ietra s co mo :ma,yuscnIas, .sin :imI,p
'm··";:""
·"~ n . . .!f'"J.u
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ru\<:i!...:'ft~n~l.r;;.
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de ! arcbrn'v.n. i
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I{l) TAXI (2) PRESPTO.! (l),Al3B41~n. (4) IN 6RES.O.87~ (~" ,) C 1l~ 1 Ii:-'11''II1i.l!1 !:'· 5 .~. = :y ("6) I':::' 'P12 1 iii:;'" ~l \- " , \.:. Z"::i ';)J .•:' re: JIi..Aj·s 'Y;!lhJlit! ID S ; tre s 'eJ emp i ~I.S tl1izatt.la ~xtenst6n de=a.oc.fu.ivc O'pd,cnal~ :a) l.,Cumtos.·,ombres de ardJiv.o um:ili.~. solamente los .36., ,caractereii a:lfafDDm edo~ s,. sin extea.-smon?, bl)1 ,~Cujnj*OS de los nomd~~-es d~'arc'hlvo de Ia parte .a} 00'0, do s let ra 5,A? roftefJ:!~n ~) . ~OI 3 ml litQL S "ombre,s d e : archf fiv:o ~san. exm]iJ!~iones, (iOn tres caraeteres aifmwlu~ricOs', e actamen~,e?~ I
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.
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4L La direC!mO!ta de un eero _debe el.e~ seis :b"j mnes P~r:a ,d ,Si~\"iciQ,'re:ligi-iOtSq ~ri.i.m.ic;al. [ie~~lre:; libtos de: 'himnils I' cadi?! U,DO· de 10,$ ensles oontiene :2 5 liru:mnJ()$l (en. ~iOtaJI]· haJji" 7'5' ·h "'as·
mrua
r
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is. l:l:!i!e :Cllb~S funnasi es po $jble' ,cQl oc ar :ZS' banderas d ~ ~ fe'f.eD;tes. e m . m o :3:St~: DlllliMer.adcals s i el orden de ~as ballnLOOraS en un asea (a) i.o.' es sj~lficai.tivo? (b) ,sf ](U~S.?'c ) si es ;sllgnj~,
fioo:vo Y'~ <;.;adarasta ondea_~ rnenos una. bmdera1
47 6. Una :~O,!l!1e.d:a, se Iasza 60 veees, dand~;como reseltsio 4 S . CalI !aJ S ,. '15 crueea, i,De cua,Hta:s :~onn~sp",drfCl, haber oc.umlfo.: esto de. Modo q ue ao hubiera cr uc es cOi l1sec ~ti ~ ii)~E"9
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WOND:ERlNG les,
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see:haee m e, ieW ando seis corn~pu6s de 'qj.ue W IDprimer com-
.Pi es [[ M H qui dQ :s ld!iie;~Qle.spu -es.tose vi ette en un !fec~piem,e...los. 8 Jkg:mN m Wl Dl.o:men, 'p,~'denniDadom ,If·.......
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ldemti oompues10t$, se Se 'pm.ebim. ~od~s·lo.s
po,sib1~,.para.:detenniQU·e-], major ~ultadol.
esmdilOtes deuna llm iru'! tef m d~ dfuneiona d' cl ! ..seiiD.f· :M' or s' es La easa tiene tres pises, eada lIm.O de l~cuaifes: est! (ijv~d~doen cnatm seccio.DeS ..EJ .IJro xfi Mw'-a fi~ ) . e:~. seno:r' 'MLoI'des ~dta · ID.2 : esltUdjanleS·
I(unll':para eada Q9a-d.e-.~~ ID2. Sa;ClO-['e,S). dimlieij, bay c. :a at ij), d~ remEr ~\Qi (Dame.m" "f.ni 'Ol . (Los [~ ur IGS oobo es mdi an tes s· e: rin die O'EonQ y se de si gn en ce mo de primer
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b,
__
•
S(553)?
b) ~-:::CumlO$ de los 90'00' enite:fOOi de cuatro d'i~hofS. '" ... il l (lJ().O'1 l0 0 1'I 1 . 002.. ..... , 999'8, 9999 tie.l:m.e~ cuaJt{fJ' !d(gftcO;~ 'que son ~o de;, &re ci Gft. te s(c pm.o .. eo :]147 12~6.,y ' .... ,,8,) o no creelemes I.C~.O' e,]] 64: 21 . 6~22 Y 988 1) 1
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~,L Ell
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]!(IFS 9000 'eJJIrerCl$; d\e [oo a_: rr:o dlgito,s 1 000 ~ (Irn~ lIlrom: 9998,~9999 tienen .cuatro d£g:it~'s.di :fer en le- s ~ ue· son ereciemes ·C<.t m o ell. 1~~47':' 1 167:~9) o de,creeie.rites (cOmo. em 64_ 1 Y
ami. de pld$tioo~ ~goiwl
e~ dos {QQmiis:1 (p{f£ejemP.JJO'~. el bloque p.::equefi,~!, 'roi()~ de ·.p,kl:stico~ hex(Jg~al es' 'WiL.'Ol de esos bloq es.)
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mja,. Ide mtill£rn~" cuad.w;ado.',eD ex~actairQeDlc·mIa. fo-ga? l{r-nr eje:.pl c~, ellibmo~ue. Cut.li1r.-adU pequeiW" rqjoty de.p".tieo~ es mO de~ ses
b W o .q ]l1 !le s ..)
·e n e:1 ICUrs0,
dJO~,)1 i,De'c'itiI~jntas
Tona ~debe;see asignsde 2. un 'piso qee q . ede ,arrrj:ba d.e~ ;;t1 dg na do a Hug'~;? 'e:~' n~[el· Fema~oo :'1 Hug o de b- e! fl~· se r as~gmid'(~s3 1 . pises d feremtes?
.loom tftli~emm .:a)1 del 'bW.oque,eq~~,.
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(~, qu¢ii _jJ~ ·m.e(i ooJO· gr[tm.~·
s Ori ta n,g 1!l l~ar., cua dr ndi o!, .re·cirian, gulK .. tlexago, na] ,0000 0ona l,. c:b' ,cW]ar)•. i.Cl!ll'an'tos de IDDS' bruo~s d~ este conse~$,.(cana
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re~?
'''ill
. ¥1 ien e e~ aJ gu na de 'tres ; :UrrtJaiio\S,
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11i, Ds.wid tiene un co~ju~tode tE O bmOq~es, dlslillro~,. heeho de Mitde:ra [0 . :piIastico mlU de estes bloqDes,
~j)
:PJll[ede:
Entr.e los,
Femaado, Ii:li,llg,o 'Y
12 'eS:1Il .d~am nes sl ...3) D(IFh.~y ieS{m[ooi.oailDes.?' b) D~l'U' 'F~manoo de,ben ser as:g_'adn: ~ ji m n[os al .priimer pi.oo ? [cjt Hug p' _ "Uono Idebe.D. se r asignadosa pl so s di fe re n-
enas ~EI. necesanasr
:1!'I I1'!I iIi ;:o,1:. . ...~ ..
f,lOl;e
161. Unacasa :pan b.ajQI 'mats¢,isioillilJ.
.Ionnas
'11. '(In disolvtm~ o~oo
'6i1~
~a se'I..occ.ion de mo do [que; el :P[ C~ cro die lo s ceatro 'mimeeada se a 'positirvo y 0) .~O$·iliiulm.e:ros sean dis:tin'tos1 (i~)i nUIDero ~uoo~. e'~e!irse iittst.a. C~3J~O' ~ec.e.~f! fwi~i) cada nl1Jj~ pueda !~le~ mere cuar.u:llo l ~iJjl:tCfi]:o [res veces? {b, Respondala. parte (a:). cumd:o.el producm de lo s euetre mume.. res es .neg ·aidWI~
:IUS
'18.,
IDe te.rmi lne el co efici ent e de xit'Z~: e n e.~. d)esaT.r:o~]e de [(~/2) =3 z ]~ ' .' b l.CtJ .bt os. ~ri rmin o. s ·d] st ini 1i! QIS;· ·~ay . el desm:r.oUo de co.mpl~OO]I 31)
T','
l.:D~enan~,
·fo~. :puoom . pintarse 10 0 UJ:cl b.m 1os· de ]10 'CaRIIsel. de mo db q~e. tres de elles sea n. m atres bl;meD S Y lcumtro negros;:?
~fiilioos, ~
'14::. :lDe c.umt~ f~; hr os::di [eren~ es·d e'cien cla
di's'lriibuil:' un maestro l2, li=· em re 16 , estil!ldi antes· ,dl~.od D qn e .. ~.3)Dini iUiI il es w91am~ tooiba m4ts d~.um:m. illiJbro? (p): re i lem u:~· diipnite de·~, edad. rec~b~ d:os Ubi;~ perc. ningtm otiolle,~m-, oF
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,l,CU: ruJ e s bi ~W II. {i. Qle. 'l tKI.o:s· sa:ITC~UOIco.mp lato?
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se:ll.t:tt 1 . 0 per'so~ B" .....• .. y~I.. eD . 'fomo de ii,
i'De CiI!i Ilm t.as fomms· s-e pueden.
denoud~, co m. Q ~
m~ ti l :mcl' mglil '.a r· q:u~. se ':truJ.l'estra. reD.a fi gp :ra . rn - 1 c t, ti,i la s fi~ l ~1O{~lY ' m ... 1O( b} se · oo ns mde. ran :' 1911,a/~s ,entre ":sf. peR) d.i.ter.entes de:La tigura l..UJI'(c)?
Capitulo 1 Principios fundamentales del contec
48
a
A
F
H
G
I
J
D
D
I
G
B
E
C
J
F
C
'0 ' '0 " " 0 ' G
f
B
(a)
A
E
(b)
D
(c )
Figura 1.1'0
b)
~En mantas de las dispostctones de la pane (a) que-
23. Sea. n un mimero impar. ,Decu~ntas
dan A YB senrados en los jades mas largos de Ia rnesa, uno enfrentc del ctro?
ordenar n uncs y r ceres CQnu na fila (lista de sfmbclos consecurivos identicos) de exactamente k unos, conk S n < 2k?
20. a) Determine el nrlmcro de soluciones enteras no negativas de la pareja de ecuaciones
II
+.r2
+x] = 6,
Xl
Xj20,
b)
+ X:;;: + ... +Xs
= 15.
24. Dados n cbjetcs distintcs. determine de cuantas formas es posible ordenar r de estes objeros en un cfrculc: des disposicienes se consideran iguales si una se puede obteeer de la otra mediante una rotacion. 25. Para cualquier enterc positive n, rnuestre que
1:5;:5>5.
Responde la parte (a), reemplazandc
formas podcmos
las des
ecuaciones por las des desigualdades 26. a)
UNUSUAL?
S6,
.%)
X 1 +X +, I l
X,' ii::
i,De cuantes formas se pueden crdenar las ietras de
0,
+.t:z_+
···+x5::;;;15,
1.:o;;,j::::::5.
21. tDe cuanras formas es posible distribuir una docena de manzanas entre cinco nifios de modo que rungdn nifio tenga ma s. de siete ma nzanas?
22. E n cualquier set de un romeo de tenia, el oponerue A puede veneer a B de siete formas diferentes. (En 6-6 juegan a mcerte subita.) El primer oponente en ganar tres sets gana el torneo. (a) i.De cuanras formas se pueden registrar los marcadores en que A gana en cinco sets? (b) iDe cuantas formas pueden regisrrarse marcadores en que el romeo necesite al mencs cuatro sets?
b) Para las disposiciones de 1a parte (a). icuamos de ellos tfenen las tres letras U juntas? c) .:,Culintas de las dispcsiciones de 13 pane (a) no rienen lerras U consecutivas? 27. Francisca tiene 20 Hbros diferentes perc en la repisa de su dormitorio solo caben 12 de cllos. a) " D e cuantas formes puede colocar Franctsca 12 de estes libros en la repisa? b) "l.Cuant3S de las dispcsicicnes de la pane (a) incluyell LosIres Hbros de tenis de Prancisca? 28. Determine el valor de la variable entera counUr desputs de la ejecuci6n del siguiente segmenro de programa de Pascal. (En este case, i, j, k, I, m y Ii son variables enteras Las variables 1 " ; S Y1 !ambien son variables enteras; sus VOl]O-
·.49
re s "r-
,~ l ,~s ~. 5 ,',it":"2 7) Sf: han
,as,jP-~do.,m~
d e . L a ,ej:eeo.cffion
Ide;esm e;segW il!l eJil lt~ d.e:prltr~a.)
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a). ,pe: CJ:[ anit as ,for m as
es posible eseribir 17
'~,"'''iClji ~ ~ '" ,! m; 1 . ~ .
_.
-
b)R.esp-Oll1d:~l b l, pa«e·(a.)
St n y" rson emeros ~LDdo~~ de~e
patra 1 .8
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de 1'1.
po,s~·ti¥lns ~con. ' 2: r~ ,ic~m:rm!1
c-O']]lai(j
es u n eruero posili","()" pM,a 1 ~ i' -< r 1 ' pooible eseribir 00, entere p.tI~lti·v,~~: cQ!m ,o, h'f suma d e r SU01:ln'dooenteros :pu!Sit]V!!O~r('~ ,< ,¥,,' :< n.) si el iDl(d'e:o: d: ~ los" 'siu{m 3li lt dO s,es., Xi
(Jle' c:uiant~,formas es
de los ~i~'e.a~
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ia la..p~'(~)
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C'~~w, de:estas fiay'ectoJw!3!s
fuiay de (O ~.3) a (1' 2:)
'con estes :~[th;ciQ]1~? b) L ;~ 'fl;guroLS/'ru ll(c), y . r .t Udl de~u.es:rmn ]ia :S[gJlillle~;.-' :1lei~ea aceeea de : ']:;u, 1trar}"ecitQ~as;.de las parnes. Ita: ."1' a,
t,e~etd'value'n~el(b~~e la-:'£1\2;lll!fal-. Ctl~dQr .....- una tr;a~· . ~ ~t:' 1,e'Ctooi, d e (J))" .3 ) a,(7:~ 2) toe a ,0 cnJ_,Z~, lel eJe' X ,. h;a,y m1I:a Itmyectod~ra.on:e.s"p~ndier~'[t; d !e (ft_...,3) a (7~2. ) '(Mbt em dat al TeJ1~ia.fI'" d st,gtne];!!(O 1nicltd 'db la tray, ec $, .oFi a M t~5- £:I~ ,q:~.e: roqlE~: JC~I Cmce ,e'ru 1~1e x - '[i,se L.. .£' . de " . 11 'd'l --
se.puede m(nr,~runa !pati1~tI1Ia:, em :~ .p loo j) zy d:esde el {nig~Q, al ]fUIll1\b (1'~4) ~i:Ips mi(I'wmr[~131M'~erm[[jdos son O le lei, forma . '\~
,
,2}..
el :pl~ ~1 es de ~gu:~.
~J)~i:tu;lri~, fQ~!3J~
(V-' ,~),~ ·~tU"'ri.,. 1!Ic-I\I~:J" \. 3 . ;< ,;',1 :
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rtli tm d.'t.m ,:y)'] : soneateros,
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Idle doses : to treses ~ ~.v e t erden de los (0 no, es S'ru~ific:a:lill'li'~" (i~Jgle~.~~goifl:-'
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R'S ru:ra 1~" :2 ,
~aaerse, IDS; 'VcOt0S, de la urna, de llmo- en 'Uiitll~, de mo do nilE·'s.ltm~ bays, m a s - voros ,eu, :farv,Ot. de [t;~~ ,. .. Ca:tw:ajn:al~ Esk' es 'D, case n~TiIt'itu1nde'no 'It'''.nroble- . Idm
',
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ma g~g ;e:fa: 1Hamn ad n ,e n forma :adecuada~ei pTobID~ '~~ , d, e '~a,Qma.. Este pr Qbl em a· fue resu e,:'ho pO I .j o~p' h Lo
2 fun.damentos
d e 1 6g ica
E Esta
n el ejemplo 1.38 (seccien lA) del primer capitulo obrcvimos una formula para la suma. f6nnu1a se obtuvo contando la misma cojeccion de objetos (las proposicicnes que ejecutamos en cicrto segmento deprograma) de dos formes distintas e igualandc luego los
resultados. En ccesecuencia, decimos que la formula file establecida mediante una demosrracidn combinatoria. Esta es una de las multiples teenicas para obteeer una demostracion con las que trabajeremos en redo el texto, En este capitulo daremos un vistazo a 10 que es un argumento valido y una demostracion mas convencional. Cuando un matematico desea ofrecer una demostracion de una situacloe dada, debe utilizar un sistema de ldgica. Esto tambien es cierto para un cientffico de la computaci6n que desarrolla los aIgoritmos neceserios para un programa 0sistema de programas. La lcgica de las matemaricas se aplica para decidir si una proposicion se sigue. o es consecuencia logica de una 0 m a s proposiciones, Algunas de las reglas que rigen este proceso se describen en este capitulo. Usaremos despues estas reglas en Jas demostraciones (propcrcionedas en el textc y solicitadas en los ejercicios} que eperccen en los siguientes capirulos. Sin embargo, en ningdn momenta hemos pensado llegar a un punta en el que apliquemos la s reglas de modo automatico. Como ha ocurrido ceo la aplicaci6n de las ideas de la enumeraci6n analizadas en el capftulu 1, siempre deberemos analizar y tratar de comprender Ia situacion dada Estc pide atributos que no podemos aprender en un Iibro, como la inspiraci6n 0 la creatividad. El solo heche de aplicar las formulas 0 utilizer las reglas no DOS permitira avanzar en la demostracion de resultados (como es el caso de Iosteoremas) ni resolver problemas de enumeraci6n.
2.1 Conectivas basieas y tablas de verdad En el desarrollo de cualquier teona, se hacen afinnaciones eo fonna de oraciones. Tales afirmaciones, Uamadas enunciados (0 prcpostciones). son oraciones dedarativas Que son verdaderae Q falsas (perone ambas). Por ejemplo. las siguientes son proposiciones ,/, para representadas, utilizar-emos las .letras minusculas (como p, q Y r). 51
52
Cepltulc 2 Furtdamentos de lcqica p:
La combinaloria
es un curse obligatorio
para
el segundo
afio
de bachillerato.
q:
Margaret
r:
2+3=5.
escribi6 1.0 qu e el viento se tlevo.
Mitchell
Por otro 'lado, no consideramos
como prcposiciones
algo como Ia exclamecion
iQU~ bonita tarde!
o eJ ma nda tot Levantate
y haz
tus
ejercicios.
Las proposiciones anreriures, representadas per las tetras p, q y 1; se considcran proposicioncs primitivas, ya que no h ay forma de descornponerlas en alg c ma s scncillo. Es posible obtener nuevas proposici.ones, a partir de otras existentes, de dos maeeras. 1) Transformando
una proposicicn se lee como "no p".
p en la proposicion
-'P, que denota su negaci6n y
Para la proposici6n anterior P. =p es la proposicion "La combinatoria no es un curse obligatorio para el segundo ana de bacbillerato". (No conslderamos la negaci6n de una proposici6n primitiva como una proposici6n primitiva.) . 2) Combinando siguientes
a)
b)
dos
0 mas
conectivas
proposiciones
en una propostcion
compuesta
mediante
las
logicas.
Conjuncion.La conjuncion de dos proposiciones P. q se denote como p 1\ q, que se lee como "p y rl', En nuestro ejemplo, la proposici6n compuesta p " q se lee como 'La combinatoria es un curso obligatorio para el segundo afic de bacbillerato y Margaret Mitchell escribic L o que el viemo se Revo", Disyuncion: L a cxpecsioa p V q denota I> disyuncion de cualquier par de proposiciones P. q Y se lee como "p 0 q". Por lo tanto, curso obligatorio para el segundo anD de bacbillerato cribio 1.0 que et viemo se llevo" es Ia traducci6n
"La combinatcna 0
Margaret
es un Mitchell es-
verbal de p V q cuando P. q
son las propusiciones ya mencionadas, Usamos la palabra "c" en el scntidc inclusive. En consccueecla.p V q es verdadero si una 0 (a orra o.ambasPJQpOsiciones p, q son veedaderas.
En espaaol, a veces se escribe "y/o" para subrayar
exclusive se denota como py__q. este heche. La La proposicion compuesta son verdaderas. p xq es verdadera si una u otra, perc no ambas proposlciones Una fonna de expresar P :l q para este ejemplo es "La combinatoria es un curse obligatoriu para el segundo aDo de bechillerato 0 Margaret Mitchell escribi6 Lo que el viemo se llevo, pe rc no -ambo s", Implicacidn: Declmos que " p implica q" y cscribanos p .....q para designar la proposici6n que es Ia impliClJCwn de q par P + En forma alternative, podemos dear (i) Si p, entonces q; {ii) pes suficiente para q; (ill) p es una condicien suficiente para q; (iv) p 56]0 si q; (v) q es necesario para p; y (vi) q es una co nd ici on ne ce sa ri a para p. Unatradnccicn verbal de p ~ q usando nuestro ejemplo es "Si la combinatoria es un curse obbgatorio para el segundo arlo de bachillerato, entcoces Margaret Mitchell escribio zc que et viento se llevo", La "0"
c)
tEl
rermino
ccmmamftambi6n
se traduce
como "comaado".
(N
E_)
2.1 Conectivas basices y tablas de verdad
S3
proposicirin p se conoce como la hip 6te .s is de la implicacion, y q como la CQnCuando se ccmbinan las propcsiciones de esta forma. no es neceseno que haya una relaci6n causal entre 'las proposicioues para que 1a implicecicn sea verdadera,
ciusion:
d)
Por ultimo, la bicondictonat de dos proposicicnes P. q se denoq. 10 cual se lee como "p si Y s610 si q'\ 0 "p es necesario y suficiente para q". Para las proposiclcnes p. q d,a~ en el ejemplo, "La combtnaroria es un curso obligatorio para el segundo aiio de bachilleratc, si y 5610 S1Margaret Mitchell escribi6Loque el viento se llevo" tiene el significado Bicondictnnal: ta como p~
de p
q, A veces abreviamos"p
H
En nuestro aruilisis posterior
si y 8610 si q" como"p
de 16gica debemos
tener presente
sii q".
que un enunciado
como
EJ mimero x es uu entem no es una proposicien
ya que su vaiorde
verdad (verdedero
0 falso)
no puede determinar-
se si DO se asigna un valor numericc ax. Si asignamcs ax el valor de 7, cl resuhado serfa una proposicinn verdadera, Sin embargo. si a x le asignamos valcres como Ih. 0 Jr. tendrfamos una proposiclon falsa. En las secciones 2.4 y 2.5 de este capitulo encontraremos de nuevo esre tipo de situaci6n.
J2
En el anslisis
anterior, mencionamos
en
las circunstancias
las cuales las prcposiciones
compuestas p V q, pY. q se consideran verdaderas, COn base en Laverdad de sus componentes p. q. Esta idea de que la verdad 0 falsedad de una proposicion compuesta s610 depende de los valorcs de verdad de sus compcnentes requiere un estudio mas profundo. L as ublas 2.1 y 2.2 resumen los valores de verdad de la negacion de los diferentes tipos de proposicicnes compuestas, COD base en los valoecs de verdad de sus componentes. AI construir estas tablas de verdad, hemos usedo el "0" para falso y ef "!,~ara verdadero.
tabla 2.2
, 0 0
00 1
1 0 1 1
pA, PVq
0
a
1
I'Yq
0
0
1
1 1
1
1
a
p-q 1 1
p"', 1
0
a a
1
1
L as cuatro asignaciones pcsibles de verdad para PI q pueden enumerarse en cualquier orden. El orden particular que presentamos en este case sera util en nuestro rrabajo posterior. Vemos que las columnas de los valores de verdad de p Y " "p son opuestas entre si. L a proposicien p A q es verdadera s610 cuando p, q son verdaderas, mientras que p V q es falsa solamenrc cuando las des proposiciones compcnenres son falsae. Como ya habremcs observado, p Y . q es verdadera exactamente cuando una de las dos es verdadera. Para Ja implicacion p ~.q" el tesultado es verdadero en todos los caws, excepto cuandop es verdadero y q es false. No qu eremo s qu e un a pr cp os icion ve rda de ra nOS co nd uz .ca a pe ns ar en al ga qu e es fal se. S in emba rg o, con ss der emos como ver dade ra s las pr cp os ici on es "S i 2 + 3~6, entcnces 2 + 4 ~ T'. aunque la s prcposicioees ''2 + 3 :: 6'~ y "2 + 4 ~ 7" sean ambas falsas. Porutumo.Ia bicondicicnal pH qes verdadera cuando las propnsiciones p~q tienen eL mismo valor de verdad, y falsa en los demas cases.
54
capitulo
de l6grca
2 Fundamentcs
Ahora que he-mos preseutado algunos conceptos, estudiaremos COn mas detalle estes ideas iniciales acerca de las conectivas, Nuestros primeros dos ejemplos seran ritiles para nuestro estudio.
Sean s, r y u las siguientes
proposiciones
primirivas:
s:
Felipe sale a dar un paseo.
t:
La luna esta brillando.
u:
Esta nevendo.
Las siguientes oractones ofrecen algunas traducciones compuestas simbolicas dadas. a)
(t
A --'u) ~
S~ Si
la luna esra brillando
y
11 0
pcsibles
para Las proposiciones
csta nevando, emonces
Felipe sale a dar
un paseo. b)
t....o? (...,u ~ s): Si la luna esta brillando, entonces si no esta nevando, Felipe sale a dar un paseo. [Asi, =u -+ s se enriende como (""u) ~ s Y no como ""(u ~ 5).)
c)
......s ~ (u V z)}: No ccurre que Felipe salga a dar un paseo si o la luna esta brillando. .
y $610 si esta nevandc
la noraclcn
Iogica (o simbclica)
Ahara trabajaremos para las siguientes
en orden inverse y examinaremcs
tres frases:
d) "Felipe saldra a dar un pasco si y solo si 1. luna csta brillando''. Aquf, las palabras "si y solo si" indican que estamcs trabajando COnu na bicondicional, En forma simb6Lica, esto se convierte en 5 H. e)
o
"Si csra nevando y la luna DO esta brillando, entonces pasco". Esta proposiciou compuesta es una implicaci6n, S U vez una proposici6n compuesta, Podriamos expresar sunbotica como (u A --.t) ---t ....,S.
Felipe no saldra a dar un en la que la hipotesis es a esta proposicion en forma
"Este nevando perc, aun asf, Felipe saldra a dar un paseo". Ahora nos encontramcs con una nueva ccnectiva: pero. En nuestro estudio de la logica, seguiremos Lac onvencicn de que las conecdvas pero e y tienen e l mismo significado. En consecuenIt
cia, esta frase puede representarse
como
A s.
Ahora regresemos a los resultados de la tab1a 2.2~ en particular. la sexta columna. Porque SIe s esta la primera vez que eLlector se encuentracon la tablade verdad de la implicacidn
p -+ q, entonces podria ser dffici1 que acepte 10s datos de dicha tabla, particularmente
los resultados de los dos primeros cases (donde p tiene cl valor de verded 0). EI siguiente ejemplo puede ayudarle a comprender y aceptar estas asignaciones de valcres de verdad,
Consideremos Penelope
ira
la siguiente
situacion.
Estamos
a casi una semana
a varias fiestas en esta semana. Como esta preocupada
do no pesarse basta el dfa despues
de Navidad.
Pensando
antes de Navidad
y
por su peso, ha decidi-
en las consecuencias
que esas
2.1 Conectivas basicas y ta~la'i deverdad
55
m as
de
Consideraremos los valores de verdad de este ejemplo particular de p ~ q respecto las filas de la tabla 2.2; en primer lugar, los casos mas sencillos, las files 4 y 3.
a
fiestas podnan
tener con su figara, ha decidldc 10s iguiente para el ilia 26: "Si peso entoeces me mscribire en una clasc de educacion ffsica". Aquf barcmos que p y q deeoren las proposiciones (primitivas)
6p . kilogramos,
Entonces
la posicion
p:
Peso mas de 60 kg.
q:
Me inscriblre
de Penelope
en la clase de educaci6n
(una implicacicn)
fisica.
esta dada par P ---) q.
• Fila 4: p y q dene eI valor de verdad 1. EI 26 de diciembre, Penelope pesa mas de 60 kilogramos y se inscribe rapidamente en la clare de educacidn ffsica, justo como ]0 babia dicho, Aquf p -+ q es verdadera y se le asigna cl valor de verdad I. • Fila 3: p tiene el valor de verdad I, q tiene el valor de verdad O. EI 26 de diciembre, Penelope pesa mas de 60 kilogramos, perc decide no entrar al curse de cducacion fisica. En este case, vemos que Penelope haroto su promesa;. en otras palabras, la implicacidn p - - > q e. fal sa (y tiene el valor de verdad O J . .
Los casos de las fllas 1 y 2 podrian no coincidlr inmediatamente perc el ejemplc nos ayudara a aceptar los resultados.
con nuesrra intuicidu,
• Fila I: p y q tienen el valor de verdad O.E I26 de diciembre Penelope tiene un peso menor 0 igual que 60 kilogramas y no se inscribe en cl curse de educaci6n ffsica. EUa no ha violado su resolucicn: consideramos entocces que la proposici6np -----j- q es verdadera y le asignsmos el valor de verdad I. • Fila 2: p tiene el valor de verdad 0, q tiene el valor de verdad 1. En este ultimo case, Penelope pesa 60 kllngramos 0 menos e126 de diciembre, pew arin as! se inscribe en e1 curse. Es probable que pese 59 0 60 kilos y siente que esto es demasiado. 0 bien, es probable que desee inscrib1rse porque piensa que es bueno pam SU salud. Sin importer la razon. ella no va en contra de su resoluci6n p ---t q. Una vez mas, aceptamos esta proposici6n compuesta como verdadera, y le asignamos el valor de verdad 1.
fa
Nuestro siguiente ejempIo analiza un concepto relacionado con 10a nterior: de decision (0 sel.ecci6n) en la programacinn de computadores.
Ia estructu-
aparecen las estructuras de decision si-enronces y sientonces-o en tenguajes como BASIC y Pascal. La hipotesis pes con frecuencia una expresion relacional como x > 2.Esta expresion se convierte entcnces en una proposicien (logica) que neee el valor de verdad. 0 0 I, segtin cl valor de la variable x en ese.punto del programa, La condusi6n q podria ser un "enunciado ejecutable" para que el programa tome ctra direcci6n 0 para una impresion. (Asf q no es una de las proposiciones logicas que hernos estado anaJizando.) AI trabajar con "Si p entonces q", en este contexte, el
En las ciencias de Ia computacion,
56
Capftulo 2 Fundementos
de 16gica
computador ejecuta q s610 en el caso de que p sea verdadero, Si p es false, el computador pasa a la sigutente instruccicn en Ia secuencia del programa. En el case de la estructura de decision "Si p entonces q. 0 r", q se ejecura cuando p es verdadera, y r se ejecuta cuando pes false,
Antes de. continuar, una advertencia: tenga cuidado at usar los sfmbolos ~ y H La implicacion y la bicondicional no SO D iguales, como 10m uestran las dlrimas dos columnas de la tabla 2.2. Sin embargo, en el Ienguaje cotidiano, con trecuencta se utiliza una nnplicacion COD Ia intencidn real de una biconditional. Per ejemplo, considerernos las siguientes implicaciones que un padre dirige a su hijo. $"""
t --;
t: s:
Si haces to tarea, enronces iras al juego de beisbol. Ires al juego de beisbol s610 si baces 13 tarea.
• Caso 1; La implicacion s -) t. Cuando el padre le dice al hijo "Si baces tc tarea, entonces iras al juego de beisbol", intenta darle un punto de vista positive hacienda hincapie en la diversion de ver un juego de beisbol. . • Case 2: L a implicaclon t ~ s. Aqui enconrramos el punta de vista negative y el padre que advierte a 1 hijo al decir "Iras al juegc de beisbol 5610 si haces Ia tarea". Esre padre pone enfasls en eLcastigc (carencia
de diversion)
en que se puede incurrir,
Sin embargo, en ambos cases, el padre desea que su irnplicacicn. ya sea s ----)ot ~ s, se entienda com-o Ia bicondicional 5 H.Ya que en el primer caso, el padre da indicics del casngo a le vez que promete un premio; en el case 2, en cl que se utiliza el castigo (tal vez para amenazar), si el chico realmente hare la tarea, entonces definitivamente teedra la oportunidad de disfrutar el juegc de beisbcl. En los escritos ciennficos. debemcs hacer eI maximo esfuerzo para no ser ambiguc: cuando se da una implicacion. generalmente no puede, ni debe, inrerpretarse come una bicondicional. Las definiciones son una notable excepcidn que analizaremos en la seccton 2.S. Antes de conrinuar daremos
uu paso atras.Af resumir el material
que produjo las tablas
2.1 y 2.2. tal vez no pusimos suficiente enfasis en que los resultados son clertos para P. q. Y no s610 para proposiciones cualquier par de prcposiciones primitives P, q Los ejemplos 2.4 a 2.6 nos ayudaran a reforzar eseo.
Examinemos la tabla de verdad de la proposiclon compuesra: "Margaret Mitchell escribio es un curso obligatorio La que ei viauo se llev6 y si 2 + 3 ;# S, entonces Ia combinatcria para ei segundo ano de bachilleraro". En notacion simbclica, esta proposicion se escnbe como q 1\ (~r-) pl. donde P. q Y r representan las proposiciones priminvas que imrcdujimos al principia de esta seccion. La ultima columna de la tabla 2.3 comlene los val ores de verdad de este resultado. Obtuvimos estes valores de verdad recurricndo a1 heche de que la conjuncidn de dos proposiciones es verdadera si y s610 si ambas proposiciones son verdaderas. Esto es 10qu e dijimos antes. en la tabla 2.2; ahora una de nuestras proposicio-
2.1 Conectivas baskes y tables de verd~d nes {la implicacicn
57
....r -+ p) es definitivamente
una proposicion
compuesta
y no una
primitiva, Las columnas 4) 5 Y6 de esta tabla muestran Ia forma de construir la tabla de verdad, considerando partes mas pequeiias de la proposicion compuesta y usando los resultados de las tablas 2.1 y 2.2. Tabla 2.3
p
q
,
0 0
0 0
0 1
01
0 0
1 1
0
I
0
1
0
1 1 1 1
0
0
1
1
0
1 1 1 1 1
a 1 1
En la tabla 2.4 desarrcllamos
(q"
-'T-p
.."
0
1
1
0
q/\("~P
•
0 a
0 I
a
1
0 0 1 1
las tablas de verdad de las proposiciones
compuestas
p V
V q) /I. r(columna 7).
r)(columna5)y(p Tabla 2.4 . p
q
r
ql\,
0
0 0
0
0
1
0
1 1
a
0
1
1
1
1 1
0
0
]
a
0
1
1
1
1 1
0
0 0
1
1
0 0 0
1
PV(ql\,)
PVq
(pVq)l\r
a
0
0
0
0
a
0
1 1 1 1 1 1
0
1 1
1
0 1
0 1
Como los valores de vcrdad de las columnas 5 y 7 difieren (en las fi1as 5 y 7), debernos evitar escribir una proposicion compuesta como p V q A r. Si no disponemos de los parentesis que indiquen cum de las conectivas logicas 1\ u V debe aplicarse primero, DQ tendremos idea de si estamos rrabajando conp V (q A r) o con (p V q_)A r.
EI ultimo ejemplo
de esta seccioe ilustra dos tipos particulares
de proposiciones,
Los resultados de las columnas 4 y 7 de la tabla 2.5 muestran quo la proposicionp .... (p V g) es verdadera y que la proposicion p A (""p A q) es falsa en el case de todas las asignaciones de valores de verdad p3.(3 las proposiciones
componentes
p. q.
capitulo
58
2 Iundarnentcs
de logica
"labia 2.5 p
q
0
0 1
0 1
0
1 1
0 1 1
Definici6n 2.1
Una proposici6n
PVf
1
compuesta
p-(pVq)
"p
1 1 1 1
-,pAq
p/\(-,p/\q)
1 1
0
a
1
0 0
0
0 0 0
0
es UDa tautologta
si es verdadera para todas las asignacicnes ccmponenres. 5j una proposici6n compuesta entonces es una conirodiccion,
de valorcs de verda.d para sus propcsiciones
es false para todas estas asignaciones,
En este ceprnno usaremcs el sfmbolo T(I para denotar una tautologra y el sfrabolo F para denotar una coneadiccion. Podemas usar las ideas de tautologfa e implicaciou para describir 10 que enteudemcs por un argumento valido. Estc tendra un interes primordial para nosotros en la seccion 2.3. y nos ayudara a desarrollar la capacidad necesaria para demostrar teoremas metemancos. En general, un argumento comienza con una lista de proposicionessaces llamadaspremisa.5 y una proposici6n que se conoce Como la conclusion del argumento. Debemos examinar estas preuusas, Ph P 2. P ~ • •.• , P I!! e inrentar demostrar que Ia conclusion q se sigue logicamente de estas proposiciones dadas; es decir, .intentamos demostrar que si carla 'Una de Las Q
premisas Ph /'7.. P '5 ' ..• ~ P IC es una proposici6n verdadera, emonces la proposicion bi~n es verdadera. Una forma de heccr estc consiste en analizar la implicaci6n
q
tarn-
(PI I\p,/\p,/\ ... /\P.)t- q, doade la hip6tesis es la conjunci6n de las n premisas. Si cuajquiera de las premisas PI' Pl. entonces no importa el valor de verded de q, pues, en este caso, Ia . • P .. es falsa, implicacidn (PI A p ,_ A PJ 1\ ... A pJ ---t q es verdadera. En consecuencla, si partimos de
P J I'
las premises P l. p-, Pl•...• P n (cada una con valor de verdad 1) y vemcs clrcunstancias q tambien tiene el valor 1, entonces Laim plicacicn
es una tasuologia
:JERCICIOS
2.1
que en esras
y tenemos un ar gume .mo vd iido .
1. De termi ne caales d e las siguientes oraciones sen propcsiciones. a) En 1990. George Bush era el presidente d e Estadcs Unidos. b) x + 3 es un entero positive. e) jS i todas las mananas fueran tan soleadas y despejadas como estal
t
.E n este momento, ]a coujunci6n
s610 aabajamos
PI "P2 It. p, . A. ..
vet da de. :a An. al iz aI emo s coo
CO D la conjunci6n
de dos proposiciooes,
a s! que debemos
se na lar ~
A P. d e - n proposiciones es veroadera si y s6lo s :i ceda p;. I:S i :S . II. es de' ta lL eesta cOlIjunci6n ge ne ra lize da eo eI ej em pl o 4,14 de L a se cc icn 4. 2.
2.1 Ccnectivas basicas y tables de verdad II) Qu ince
es un num erc
59
par;
e) S i Josefina tarda en Heger a L a fiesta.su prime Zacarias podrfa enojarse. J) i.Que hora es? g) De la corte de Moctezuma a las playas de Tripoli. b) Basta el 30 dejunio de 1986, Christine Marie Evert habra ganado el ablerto de Francia siete veces.
2. ldentiiique las proposiciones primitivas en el ejercicic 1. 3. Sean P. q proposiciones primitivas para las que la implicacicn valores de verdad de a) pAq
4. Sean
0)
b) 'PVq
p
4
q
es falsa. Determine los
q .... .p
q, r, s Ias siguientes proposicicees: p: Termino de escribir mi programa de com putacton antes de la com ida; o : Jugare rents en la tarde; r: EI sol es m brillando; s: La hum edad es baja. Escriba 10si guieere en forma simbolica. a) Si el sol esta brillando.jugare teni s esre tarde . b) Tttminardeescribir:mi pmgrama antes d e laccmidaes necesario paraqaejuegue tenis este tarde. c) La bumedad baja y el 501 brillante son suflcienres para que juegue tenis esta tarde. P.
5_ Sean p, q. r las siguientes proposicicnes acerca d e un triangulo ABC particular. p: El triangulc A BC es Isosceles: q: El t:riangulo,ABC es equilarerc; rt El rriangulc A BC e$ equiangular. 'Iracuzca cada una de las siguientes proposiciones en una frase en espenol. b) =o+>« e) T-P
a) q_p d) p Iv-vq
c) q_r
6. Determine el valor de verdad de cada una de las siguienres implicaciones. a) 5i 3 + 4 = 12.entoDces3 +2=6. b) Si 3 +3=6.entonces3+6=9. c) Si3+3:=6,emonces3+4=9. d) Si Thomas. Jefferson file el tercer presidente de Estados Unidos, enronces 2 7.
+
3 = 5.
veelva a escribir ceda una de las sigulenres prcposiciones como unaimplicacion de 13 fo rm a sl-entonces. a) La pracnca diana de Sll servicic es una condici6n suficiente para que Daniela tenga una buena posibilidad de ganar el rorneo de rents. b) Arregle rni eire acondicionadc 0 00 pagare la renta. c) Marfa puede subir a la morocicleta de Luis sdlo si usa el casco.
8. Ccnstruya una tabla de verdad para ceda de las signientes proposiciones compuestas; p, q. denoten proposicicnes primirivas. a)
,(pV,q)-,p
b)
d)
(p_q)_(q
g)
q"('PV-.q)
p~(q_r)
e) [pA(p .....q)]_q b) [(p-q)A(q-r)l-(p-r)
.....p)
c)
(p-q)
r
..... r
f) (pAq)_p
9. i,CuaJ.esde las proposiricnes compuestas del ejercicio 8 son teurologfas? 10. Verifique que
[p ~
(q ~
r)] --i' ((p ~
q) -4 (p ~
r)J es una tautologfa.
11_ a) iCu;inoo fibs se necesitan para la tabla de verdad de la proposicion compuesta (p V -.q) H [(-.r A s) -4 II, dondep. q. r, s y r son propesiciones primiti vas? b) Seanpl,P2 •... ,p. proposiciones primitives. Seap una propcstcion compuesta que conriene al menos una ocurrencia de cada P i. para 1 :.; i :s n (1p no contiene otra proposicicn primitival.j.Cuantas fllas se necesitan para ccnsrrurr L a tabla de verdad de p? 12. Determme todas Las asigna cicoes de valcres de verdad, si es que existen, para las propcstciones prirnitivasp, Q. r, S.! que hacen que 100as las siguieates proposicicnes compuesras seanfalsas . .a) b)
[(pAq)Ar] .....$Vt) [pA(qAr)]_(s" t)
60
cap ftulo
de logica
2 Fund ame rrtns
13. a) Si 1 3 proposicidn q delle el valor d e verdad 1. determine todas las asignaciones de valores de ve rda d para. las pr cpo sici on es pr imi tiva s p. J' Y s para las que el v alor de v erdad de [a proposicirin
es igual a L b} Respcnda 10 parte ra) si qtiene el va lor < I< verdad O . 14. Al Inicic de cieno programa en Pascal. la variable entera R recibe el valor de '7. Determine el valor de Ii despues de enconrrar rada uno de los siguientes emmciados. sucesivos durante L a [En n despues de Ia ejecucton de'lenundado de ejecucidn caso, la ~ (a)delse programa.. convterte en cleste valor de el n valor pi!Ia eldeencnciado de la parte (b). etcetera, hasta el enunciadc d e Ia parte (e). Laoperacion Dtv en Pascal devuelve Iaparte entera de un cociente: PO' ejemptc, 6 Di" 2 = 3,7 Div 2 = 3 y 8 Thv 3 = 2.) 8) If' 0>5 'then n := n+2; b) H' «n+2=8) or 1a.-3=B)) then tI:"" 2.n+l;
e) It' {{n~3=16) e) If
{(Il
en
and.
d) If {{n<>211 and
Div 6=1))
(n-7=15))
Div 5""2)
thea. D.:=
1l.+3;
then n := D-4;
or (n+l=20))
the-n n :=1l+1;
, S. L as v ariables ecteres m y n reciben los ve lcr es de 3 y 8, respectlv ame nte, durante 1 3 ejecucion de ciertoprograma en Pa sca l. Du ran te le ejecucion del programa. se eecueecaa los siguientes enunciados sucesivos. [Aquf, ]05 Valores de in-. n despots. de la ejecucicn del enunciado de la parte {a) secouviertenee 105 valores d em. ~ para el enunciado de la:parte'{b). eeeera. hasta el enunciadc d e la parte (g).] lCu oU es son tOS va lcres de m," despOOi. de eecontrar eeda uno de es te s en unc ia dos ? a .) b)
If
n-II.",:,5
If
((2*III=n)
c)
If ((n<8)
D := n-2;
then
InD,iv4=1))
and
or
tb:enn:=
2=2n then n r
\IIDi,,"
4.111-3}·
=
~*.II
efee II := 2-D;
16 .
d)
If 111II<:20} and (n Div
e)
If
((0.-2*41)
Of
f)
I t I In DiY :3=31
g)
If" lrI*n
<>
35
6=1))
'then 11:=
(.n Div 2=511 a.a.d:
tban
(lli Diy
then
lI-n-5;
_ := :11+2;
3 <> 1) J
then _ ~= n:
n ~= g"m+7;
de un programa en Pa scal. i.i. m y n son v ariables eeteras. E Lus uario En el s.i guie nte seg mento propordona los v alores de m y n en una parte anterior de la ejecncicn (total) de l pr og ra maFor i :- 1 to II do For j ~1 t-o n do
It
i
-c»
"riteln
j
then ('7h-e S\LII. of i and: j is
", i
+
LCuMtas. veces apareceel emmciadc Writcln en cl segmentc ejecotado(b) m = 20,. = 20; (0)m = 10," = 20;~~)m ='20, n = to? 17. Parael sfguienre programa en 8ASlC linea 40?
i.~tas
j);
cuando (a)m = = lq.n"'" 10;
veces seejecuta la proposicics PRINT de la
10.X=10 20 FOR 1=1
30
TO7
FOR J"" 1 TO 1+3
IF ((X>S)
<10 50
NEXT J"
60
X-X-l
NEXT :I 60 E:IID
70
O~ (1)5 AND0<10))
'fI$IPlUN'l'
X
2.2
E quivalencia
61
16 gi1A : las leyes de la logica
18. Un segmento de un programs forma siguiente:
en Pascal conoeee
U J1
ciclo Repeat-Until esrructurado de la
Repeat
Until
((x
<> 0) and \y>On
Dr (not
(\ .. :>0) and (t=;,}));
En el casc d e cada una de las siguientes asignacionespara termina
0 no
las variahles x. y,
11 '
y r, determine si
el ciclo. b) %~O.y~2,w~-3.t~1 d) x=1,y=-1,w=l,r=3
a) r~7,y~2,w~5,t~3 c) x=O,y=-1.w=1,t=3
19. Despces de homear un pastel para sus des schrinas y des sobrinos que vienen a visitarla, Ia tIa Natalia deja el pastel en Ia mesa de la cocina para que se enfrfe. Leego, ella va at centre comercial para cerrar su tienda durante el resro del dis. Al regresar; deecubrc que atguien se ha eomido una cuarta parte del pastel (e incluso hJVO el zesceo de dejar 5U plato sucic junco al resto del pastel), Pu esro que nactie estuvo en sn casa ese dfa (excepto los cuatro visitantesj.Ja da Natalia se pregunta emil d e sus sobrinos se comerfa esa parte del pastel. Los CI,I..$ro ....sospechos os=J e
Carlos: Delia: Jimeoa: Tofio:
di cen
]0
siguiente:
Jimeaa se collli6 el trozo d e pastel. Yo no w e 10 eoml Tbtlo selc
corniO.
Jimena minti6 cuando dijo que yo me habra oemido el pastel.
Si 56100una de estas proposiciones es verdadera y s610 uno de ellos coeenc el terrible crimen. lquien es el culpable at q ue la u a Natalia debe castigar severamente?
2.2 Equivalencia 16gica: Las I.eyes de la 16gica En todas las areas de las merematicas, necesnamos saber cuando las entidades que estudiamos SOD iguales 0 esencialmeere las mismas. Por ejemplo. en aritmetica y algebra sabemos que dos nnmeros reales distintos de cera son iguales cuando tienen Ia misma magnitud y signo algebraico, Per 10 tanto, para dos mimeros reeles cualesquierax y, distintos de
=
cere, teaemos que r ~ y si I % I ~ I y I y xy > 0, y viceversa (es decir, si x y, entonces 1 % I = I y I y xy > 0). Cuando analizamos rrilingulos e n geometna, surge el concepto de ccngrueucia, En este caso, el triangulc ABC y el triangulo DliF son congruentes si, por ejemplc, sus lados correspondientes son iguales (es decir.Ia longitud delladoAB es igua1 a la longitud delladoDE, 10longitud dell.doBCes igual a I. delladoEF; y ladel lado Ca es igual a Ia del !ado FD). Nu estro estudio de 1a 16gica se concce con frecuencia como algebra de proposiciones < e n opcsicien a l algebra de los mimetus reales). Aquiutilizaremos las rablas de verdad de los enunciados, 0 prcposiciones. para desarrollar una idea acerca de cuando las des entidades son esencialmente la misma. Comencemos con un ejemplo.
Para
las prcposiciones primiti vasp r q. 10tabla 2.6 proporeiona Ias tablas de verdad d. las .
proposiciones compuestas """Ip V q Y P ~ q . Aquf vemos que las tables de verdad correspcndientes de las des proposiciones " " P V q Y P ~ q son exactamenre iguales,
62
capitulo
2 Fundamentos
de 16gfca Tabla 2.6
Esta situacion
D
p
q
0 0
0
I
0
I
1
1
,p
"'pVq
1 1
1
0 0
p-q
1
1 1
0
0
I
1
nos lleva a Ia idea siguiente.
eqnivalentes. Dos proposlclones 510 s~ son /6gicamenM y escribimos .r l < = > prcpcsicien Sl es verdadera (respectivamente, falsa) si y solo si la proposic-cn dcra (respectivamente, falsa).
Observe
que cuando s.
¢:::) S2.
las proposiciones
51
Sl. cuando S2es
13 verda-
Y $2 dan lugar a las mismas tablas de
verdad ya que s., S 2 tiencn los mismos velores de verdad'para todas las opciones de valores de verdad de sus componentes primitives. Como resultado de esre concepto, vemos que podemos
expresar
la conectiva
para la
irnplicacicn {de proposiciones primitivas} en rerminos de Lane gaci6n y la disyuncidn; es decir, (p ~q) <= > ......p V q. De la misma manera, e) rcsultado de la tabla2_7 indica que (p ... q) '"'" (p .... q) 1\ (q ....p); esto ayuda a validar el uso del termino bicondicional. Si usamos la equivalencia lcgica de la tabla 2.61 vemos que tambjen podemos escribir (p of-:! q) ¢::}
s i as t lo q u e re mo s . p o d e mo s e limi n a r la s c o n e c riv a s Y He las proposiciunes compcesees. Si examinamos la tabla 2.8, tenemos que Ia negaci6n y las conectivas 1\ y V son todo 10 que necesitamos para reemplazar Ia conectiva 0 exclusive, y. D e hecbo, podrfamos Incluso climinar una de las conectivas /\ y V. Sin embargo, para las aplicaciones relacionadas con este tema y que queremos estudiar mas adelanto en este rexto, necesitaremos tanto A y V como ~ane gacion. (-'p V q) f\. {""q V p). En c o n s e c u e n c ia ,
~
Tabl.2.7 p
q
0 0
0 1 0 1
1 1
(p-q)lI(q_p)
r=«
1
1
0 0
0 0 1
p-q
q-p
1 1
0
1 0 1
1
I
1
T<>bl.2.8 p
q
0 0
0 1
1
0
1
1
p:t.q
0 1 1
0
pVq
pllq
0 1
0
1 1
0
0 I
-,(pllq)
1 1 1 0
(pVq)II-,(p!lq)
0 1 1
0
63
2.2
Ahora usaremos la idea de equivalencia 16gica para exami na r algun as de La s propiedade s impo rt ant es que se cu mp len en eI al gebr a de la s pro pos ic io nes . Para cualquier par de mimeros reales a, b, .. bemos que -(a + b) ~ (-a)+ (-b). i.E.;, te un tesultado
similar para las proposicion
En la tabla 2.9 hemos construido
=e. ....p
""p V
es primitives
p, q?
las tablas de verdad para las proposiciones
V q} y ""p A -'q. donde p, q so n proposiciones
primitives.
~(p
f\ q),
Las co lumnas
l:iIbl.2.9
I'
q
0
0
0
1
1
0 1
1
pAq
-'(I'Ag)
-'1'
0 0 0
1 1
1 1
1
1
a
0 0
'9
-'pV-,q
1
0 1 0
PV'I
-'(I'Vq)
-"1 \-,,
1 1 1
()
1
1
1
0
0
1
()
0
0
1
0
()
4 Y 7 mu estran que ~(p f\ q).,. ~p V -q; las columnas 9 y IOmuestran
que -(p V q)"'" se conocen como las [eyes de De Morgan. Son similares a la pr op ied ad correspondiente de los nl 1me ros reales,
"" p A =q- Bstosresultados
co no ci da
-(a +b)=(-a)+(-b), ya comentada, q ue mue stra q ue el negative de un a suma es igua l a la suma d e los negativos, Si n emb ar go . aquf sur ge una diferencia cr uci al : la negacion d e fa cunjunci6n de des proposiciones primitivas p. q pr od uc e la disyuncion d e sus neg aci one s = » . -'q, rnientras q u e la negacicn d e ladisyunci6n de las mis mas prop os ic io nes p, q es logicamente equivalente a la conjuncion de las negaciones =p, -'q.
Au nq ue en el ej empl o ant er ior P. q eran propcstcicnes primitives, pronto veremos q u e la s leyes de De Mo rgan son vcllidas pam cualquier par de proposiciones.
E n la aritmetica
de los ni ime ros realest la s opereciones
re1ac ion ad as por la Ham ada propiedad
a.
b. c
son mimeros
reales,
a X (b
distributiva
+ c) ~ (a X
de soma y multip1icaci6u
de la multiplicaci6n
esren
scbee la suma; si
b) + (a "c).
El siguiente ejemplc mue stra un a propiedad similar para las proposiciones primitivas, existe otta le y relacienada c on esro (para la s proposiciones prhnitrvas) q u e QO.
Tambien
tiene su contr apar ti da en fa arienenca
de lo s ndmeros
reales.
La tabla 2.10 conriene las tablas de verdad de las proposiciones p " (q V r), (p f\ q) V (p f\ r~ p V (q 1\ r) y (p V q) f\ (p V r). De I. tabla so sigue que para P. q Y r proposicicnes primitivas,
4
Capitulo 2 Fundamentos
de logica
pt\(qvr)¢'>(pAq)V{p
Ar)
PV(q t\r)¢'>(PVtj)t\(pvr)
La propiedad
distributiva
de " sabre
V
La propledad
distribuuva
de v sobrc
1\
labl.2.10
p
q
r
0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1
]
0
1 0 0
]
0
1
0
1
1
La segunda
pV(qA,)
pll(qV')
(pllq)V(pA,)
0
0 0 0 0
0
0 1 1 1
]
0 0 0 1 1
1 1 1
1 1 1
0
0 0 0
1
1 1 I
ley distributive
(I'Vq)lI(pvr)
0 0 ]
no tiene su connapartida
en 13 aritm etica
de los mh ncros
reales.
E s decir, Does cieec que para tcdos lcs numeros reelesc, by C,o+ (b X c) ""(a +b) x (a+ c). Por ejemplo, para e eZ, b = 3 y c= 5, a + (b x c) 17 pero (a... b) x (a + c) 35.
=
=
Antes de prcseguir, observe-mas que, en general. si s" S2 son proposiciones y S:i ~ 51 es una tautologra, entonces r, 'I s2debeo tener los mismos valores de verdad correspondientes (es decir, para cada asignacion de valores de verdad a las proposiciones primitives en Sl Y $2. SI es verda.derasi y s61,? sl $2 es verdadera y 51 es falsa si y s610 si r, es faIsa) y $1 52Cuando s, Y SL son proposicioaes lcgicamente equivelentes (es decir; 51 {;;} 52), entonces la proposiclon ccmpuesta En este caso, tambien es cierto que 9.H $1es una tautologfa.
=-
< = > ""S2 Y ""SI H ...,s~ sontautologies. Sis., ~l y 51 sonproposicionestalesques,¢;;:;o
""SI
SlY $1 ¢::> S,3..
entcncess, ~
proposiciones podemos escribir 51 y ~ no Son 16gicamente equivalentes, signar esta slmecioe. Con los conceptos de equivalencia logica, tautologfa 'I contradiccion, siguiente lista de propiedades del algebra de proposiciones.
S }. $,
Cuandodos
¢ 5~p ara
de-
enunciamos
la
Las J .,. de Ia I6gica Pl II lI ~ 00IIIl3dicci6n
proposiciooes
primiIi¥3S
F..
p. q. r. coaIquier tauIOkIgia T. Y cuaJqoje< .
1) '"1p¢'.>P
2) 3) 4)
'(PVq)¢'>-,pt\~q ,(p t\q)e-=.p V""lfl pVq¢'>qVp .pt\q@qt\p PV(qVry¢'>(PVq)vrt p I\(q Ar)@(pt\q)t\r
t Observemos que, debidc a la s Ieyes esoclauvas, no bay ambiguedad en las propcstcicnes de la forma pVqVropl\qllr.
2.2
E q uiv afen da
1 6g ica: las leyes de la 1 6g ica
65
S) PV(ql\T)~(PVq)I\(PVr) p/\(qV~~(J!/\q)v(p/\r) 6) PVp¢!>p p/\p¢;>p 7) PVJf,~p 1!1',r,,~p 8) PV--.p~1;, pl\,p~F. ') pvTo~1;, pI\Fo~Jf, 141) PV(pl\q)~p p/\(PVq)~p
Abora vamos a demcstrar
todas estas propiedades.
AI hacerlo
nOS
deremos
cuenta
que simple mente podrfamos construir las tablas de verdad y comparar los resultados valores de verdad correspondientes en cede case, como 10 hiclmos en los ejemplos 2.9. Sin embargo, antes de comeezar a escribir, revisemos de nuevo este lista de 19 las cuales. excepto per Ia ley de la doble negacion, se agrupaa oatur.a1mente por Bsta idea de] apareamientc nos ayudara despues de analizar el slguiente concepto,
Iiefiniei6n
2.3
Seal unaproposicion. S i s no contienc coeectivas dual de s, que se denota como s', es la proposicicn ocurrencia de A y V con V e ". respectivamente, T o . respectivamente.
de
de Jos 2.8 y leyes, pares.
logices distintas de 1\ y V, entonces el que se obtiene de s at reemplazar cada
y cada ccurrencia
de T o y F o con Fo Y
Si p es una proposicion primitiva, entonces II es igual a p; es decir, el dual de una proposicicn primiriva es simplemente Ia misma propcsidon primitiva Y (""'PY es igual a -'p. Las proposiciones p V = P Y P A -'p son duales una de otra euando p es primitive; por 10 tanto. tambien 10 son las prcposiciones • p V To YP A F 0Dadas las proposiciones primitivas p, q, r y Ia proposici6n compuesta
s:
(p/\--.q)V(r/\T,),
s':
(p
vemos q1le el dual de.s es
(Observe
que ~q no cambia al pasar
Abora estableceremos capitulo 15 jusrificaremns
TEOREMA2.1
V--.q)/\ (rvFo).
de s a s'.)
y utilizaremcs un teorema sin demostrario. el resuttado que aparece aqui,
(£I principia de dualidad) Sean s y r proposiciones Si s <:=} t, entcnces s 4 <=:> F .
como las descritas
Sin embargo,
en
en el
ladefinicidn 2.3.
Como resultado, las propiodades 2 • !O de nuestra lista puedcn ser establecidas mediante Ia demostraci6n de una de las propiedades de cada par y recurriendo luego a este principia.
Capitulo 2 Fundamentos
de l6gica
Tambitn vemos que es posiblc obtener mochas otras equivalencies logicas, Por ejemprimitives, los resultados de las cclumnas 5 y '7 de la tabla 2.11 no s mu esrran que plo, si q) ;(, S SOD proposiciones
(7 1\.)-> q~,(,
I\s) V q
o que [(r A s} - - > q) <- > [~(, A s) V q) es una tautologta, Sin embargo. en vez de construir carla vez mas tablas de verdad (y. por desgracia, cada vez mas grandes) serfa buena idea lObi. 2.11
q
7
0
0 0
0 0 0
1 1
recorder
0
1 0
0 0
1 0
1 1
1
I
0 1 1 1 1
0 1
1
a
0
1
1
1
el ejemplo
proposici6n
0
,(,1\,)
(r!\s)-q
rA,
0 0
0
1 1 1 1
,
2-.7, en el cual se establece
..,(rA')Vq
1
1
1 1
1 1 0
0 1
1
1
1 1
1 1
0
que para q.P proposiciones
primitivas,
la
compuesta
(p-->q)<->(,pVq) es una teutologta, proposici6n
carla ocurrencia de esta proposicidn
Si reemplazamos
compuesta
r A s. entonces
obtendrfamos
Ia tautclogta
primitiva p par ]a
anterior
[(,1\.)_ q]++ [0(, !\s)V q].
Lo que ha ocurrido
aquf muestra
Ia primera de las siguientes
regtas de susriruci6n:
1) Suponga que la proposici6n compuesta P es una tautologfa, Si p es una proposickm primitiva que aparece en P y reemplazamos cada ccurrencia de p par lamisma pwposicion q, entcnces la proposici6n compuesta resultante PI tambien es una tautologia. 2) Sea Puna proposici6n compuesta donde p es una proposici6n arbitraria que aparece en P, y sea q una proposici6n tal que q ~ p. Supongamos que en P reemplazamos una 0 mas ocurrencias de ppm q. Entonces esre reemplazo produce la proposicion compuesta PI. En ese caso, PI <;;;;- P. Estes reglas se ilustran en los siguiente.s dos ejemplos.
a)
De Ia primera de las leyes de D e Morgan, sebemos que para cuajesquiera ciones primitivas
P. q, Ia proposici6n
1 ': es una tautologfa.
proposi-
ccmpuesta
"'(PVq)<->(..,pl\..,q)
Cuando reemplazamos
panic de la primera regJa de sustitucron,
cada ocurrencia que
P,: ..,[(rl\s)vq]-[,(rl\s)!\,q]
dep por r A s, se sigue, a
2.2 Equwaencie
67
16grca: las leyes de la l6gica
tambien es una tautologfa. reemplazar esta ocurrencia ahora la tautologfa
S1 extendemos un poco mas este resnltadc, podemcs de q por t ~ u. La misma regia de sustiruci6n produce
..,[(r /\S) V (1-->u») .... [. .,(r As) /\..,(1- u)),
P,:
y~por 10 tanto, por las observaciones 2.9, la equivalencia logica
que aparecen
un poco despues
del ejemplo
..,[(rAs) V (1- u )]¢}[o(r /\s) A ",(1--> u»). b) la segunda ley de dominacion propcsictoe compueste
indica que. para cualquier
P:
proposicion
primitiva p, Ia
(p/\Fo)-Fo
es una tautclogfa. Si reemplazamos mlsma primers regla de sustituci6n
p por la prcpcsicidn [(q V r) ~ s ), entonces produce Ia nueva tautologfa
la
P,: ([(qvr)-s]/\Fo)-Fo , y poe ~o tanto la equivalencia
16gica
[( q vr)--+s)/\F,~ 1\,. c)
Para las proposiciones
p, q. vimos en la Ultima columna
priaiitivas
de latabla
2.12
que la proposicion ccmpuesta [p A (p ~ q)] 44 es una tautologfa. En consecuencia. si r, s, r, u son cualesquiera prcposiciones arbitrarias, entonces, por la primers regla de sustituci6n obtenemos la nueva tautologta
[(r-s) cuandoreernplazamos
/\[(r--> s) -> (,IV
cadaaparici6n
U
Hl- (o/V u)
dep por r~.!
y cada aparicicn de qpor
-n V
u,
lobi.2.12 p
q
p-q
0 0
0
I
1
1
1 1
0
0
1
1
a) Como aplicacion ·ta(p .... q)_
pf\(p_q)
[P!\(p-d]-q
0 0
0 1
de la segunda regla de sustitucion,
r. Como (p .... q)
<=>
~p V q(como
1 1 1 1
sea P la prcposicion
compues-
se rcuestra en el ejemplo
2.7 y en
tr. entonces
P.
PI ~ ta tabla 2.6)7 si Pl denota la prcposicion compuesra (~p V q) (Tambien tenemos que [(p ....q) .... r] .... [( =p V q) .... r] es una tautologfa.)
b) Ahora see Pta proposici6n ccmpuesta (en realidad, es una tauto!ogia)p - - > (p V q). Como ...........~ p.Ia propoaicicn compuestaPl:p4 (-'-'P V q) se obtiene de Pal reemplazar Unicamente la segundo oparicion (perono la primera}dep pOt -. -'p. La segunda reglade sustituci6n todavia implica que P, ~ P. [Observe queP~:.., ..... "-7
