Programación de aula Unidad
11 Elementos
geométricos
En esta primera unidad de geometría plana se estudian los ángulos, la circunferencia y algunos tipos de rectas. Conviene empezar recordando que el punto es el elemento básico de la geometría y que da lugar a los otros: rectas y planos; es necesario insistir en el concepto de ángulo para que no se identifique sólo con el arco que lo representa en el dibujo, y repasar las unidades de medida de ángulos y sus operaciones básicas. Es importante que los alumnos aprendan los nuevos conceptos: de tipos de ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice, de lados paralelos, inscritos, centrales, circunferencia, círculo, figuras circulares, y los de mediatriz y bisectriz, y que los identifiquen en los dibujos y en la realidad. También deben adquirir destrezas para trazar mediatrices, bisectrices, rectas paralelas y perpendiculares, así como para dibujar y medir ángulos.
OBJETIVOS
1.
Identificar y establecer relaciones entre ángulos que permiten calcular unos a partir de otros conocidos.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1
1.2
2.1 2.
Conocer y manejar la unidad de medida de ángulos.
2.2 2.3
3.
4.
Comprender la relación existente entre circunferencia y círculo, y describir con precisión sus elementos.
Conocer y saber dibujar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
3.1
3.2
4.1
COMPETENCIAS BÁSICAS
Reconocer y calcular ángulos complementarios y suplementarios. Establecer relaciones de igualdad entre ángulos opuestos por el vértice o de lados paralelos. Expresar ángulos dados en forma compleja e incompleja. Sumar y restar ángulos. Producto y división de un ángulo por un número natural.
Reconocer y calcular ángulos inscritos y centrales en una circunferencia. Identificar las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia.
• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender
Identificar y trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
CONTENIDOS • Puntos y rectas • Semirrectas y segmentos • Posición relativa de dos rectas en el plano • Ángulos. Vértice y lados • Ángulo recto • Ángulo agudo y ángulo llano • Ángulo convexo y ángulo cóncavo • Ángulos complementarios y ángulos suplementarios • Medida de ángulos • Forma compleja y forma incompleja • Suma y resta de ángulos
2
Unidad 11
Elementos geométricos
• Producto de un ángulo por un número natural • División de un ángulo por un número natural • Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos de lados paralelos • Circunferencia. Elementos • Ángulo central y ángulo inscrito en una circunferencia • Círculo • Posiciones de recta y circunferencia • Mediatriz de un segmento • Bisectriz de un ángulo
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Los únicos conocimientos previos imprescindibles son el manejo de los instrumentos de dibujo: compás, escuadra y cartabón, y la utilización del transportador para medir ángulos. 2.
Previsión de dificultades
La mayoría de los contenidos de esta unidad ya han sido trabajados e n cursos anteriores, por este motivo no han de presentar ninguna dificultad. Entre los contenidos nuevos puede presentar una mayor dificultad el cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales en una circunferencia. 3.
Vinculación con otras áreas
Los contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con el estudio de las figuras planas, que se realiza en Educación Plástica y Visual. 4.
Esquema general de la unidad
El bloque de geometría plana se inicia con una mención de los puntos y las rectas como elementos básicos para construir la geometría y con el estudio de las posiciones relativas de rectas en el plano. A continuación se define como ángulo cada una de las cuaELEMENTOS GEOMÉTRICOS tro regiones en que dos rectas secantes dividen el plano. Partiendo del concepto de ángulo recto, se realiza la clasificación de ángulos y se estudia la relación entre ellos, definiendo ángulos complementarios, suplementarios y Rectas Ángulos Circunferencia opuestos por el vértice. En el epígrafe 3 se describe el sistema sexagesimal para Mediatriz Clasificación Ángulos en la la medida de ángulos y se indica cómo sumar y restar ángucircunferencia los y cómo multiplicar y dividir un ángulo por un número natural. Posiciones Medida de Para finalizar con el estudio de los ángulos, se analiza la relativas ángulos Posición relativa igualdad de ángulos en los casos en que estos son opuesrecta y tos por el vértice o de lados paralelos. circunferencia Operaciones Después se distingue entre circunferencia y círculo, deficon ángulos niendo los elementos y los ángulos asociados a una circunferencia, centrales e inscritos, estableciendo la relación de medida que existe entre ellos. Posteriormente se estuBisectriz dian las posiciones de una recta y una circunferencia. Todos los conocimientos anteriores permiten introducir dos tipos de rectas: la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, para estudiar sus propiedades y su construcción. 5.
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Puntos, rectas. 2.ª Ángulos. 3.ª Medidas de ángulos. Operaciones. 4.ª Ángulos iguales. Circunferencia y círculo. 5.ª Ángulos en una circunferencia. Posiciones relativas de circunferencia y recta. 6.ª Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo. 7.ª Actividades de repaso y consolidación. 8.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Elementos geométricos
Unidad 11
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Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetenciascomunicación oral y comunicación escrita.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.
Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetencia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.
Competencia cultural y artística El estudio de los elementos geométricos permite desarrollar las subcompetencias sensibilidad artística y expresión artística.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.
Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del conocimiento.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al al umno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.
4
Unidad 11
Elementos geométricos
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
SUBCOMPETENCIA
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
1. nivel de concreción
2.º nivel de concreción
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
er
er
Escuchar textos orales como fuente de conocimiento y entretenimiento. Comunicación oral.
Argumentar con espíritu crítico y constructivo, así como saber aceptar las críticas de los demás.
Lingüística
Comunicación escrita.
Matemática
Interacción con el mundo físico
Razonamiento y argumentación.
Comprender y elaborar una cadena de argumentaciones matemáticas identificando ideas fundamentales.
Resolución de problemas.
Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad mediante medidas matemáticas.
Uso de elementos y herramientas matemáticos.
Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.
Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
Sensibilidad artística.
Cultivar el sentido de la trascendencia y una actitud abierta, respetuosa y crítica hacia la diversidad de expresiones artísticas y culturales.
Cultural y artística Expresión artística.
Tratamiento de la información y competencia digital
Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.
Obtención, transformación y comunicación de la información.
Realizar representaciones artísticas de forma individual y cooperativa.
– Realiza exposiciones orales en clase. – Extrae información de las exposiciones realizadas por los compañeros.
Desarrolla tus competencias – Extrae información matemática de un texto y lo aplica a la defensa de una posición determinada.
Desarrolla tus competencias Problemas – Calcula medidas de ángulos.
En toda la unidad – Aplica propiedades métricas a la resolución de problemas.
En toda la unidad – Opera con soltura en el sistema sexagesimal.
En toda la unidad – Valora la utilización de las propiedades de la reflexión al servicio de la técnica y la sociedad.
Desarrolla tus competencias – Distingue imágenes reales de imaginarias.
Pon a prueba tus competencias: I – Utiliza el libro de espejos para crear figuras.
Pon a prueba tus competencias: I – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
En la red Desarrolla tus competencias – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades.
Actividades 10 y 18
Aprender a aprender
Construcción del conocimiento.
Admitir diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar diferentes enfoques metodológicos para solventarlo.
– Resuelve problemas realizando una lluvia de ideas.
Actividad 67
Elementos geométricos
Unidad 11
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Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores : • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar laeducación para la convivencia y la educación en comunicación.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuaderno de Matemáticas básicas. – Unidad 4. Rectas y ángulos. Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso s o c i f á r g o i l b i B
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO. – Unidad 5. Geometría. SM
• Cuadernos de Matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”. – Unidad I: Elementos geométricos del plano. – Unidad III: Circunferencias y círculos. • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO. – Volantes de coches. • Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.° de ESO. – Unidad 5: Historia de las medidas.
SM t e n r e t n I
www.smconectados.com www.librosvivos.net
Páginas del CIDEAD sobre elementos geométricos: Otros
www.e-sm.net/1esomatprd21
Página del proyecto Descartes sobre ángulos: www.e-sm.net/1esomatprd22
s e s l a o i r r t e O t a m
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Unidad 11
• Instrumentos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos. • El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones geométricas.
Elementos geométricos
Sugerencias didácticas Entrada
2. Ángulos
La reflexión de la luz es un claro ejemplo de la aplicación de las matemáticas, en concreto de la geometría, para describir los fenómenos físicos. Además, los alumnos verán lo útil que es la reflexión de la luz para resolver problemas tan importantes como el que tenía la ciudad de Viganella. De hecho, podemos comentarles que tras el éxito de la iluminación natural de Viganella, muchos pueblos y ciudades de los Alpes y Canadá están construyendo espejos similares. Podemos hacer ver a los alumnos que la luz que recibe la ciudad de Viganella varía a lo largo del día, ya que el ángulo de incidencia de los rayos del sol en el espejo varía en función del movimiento de la Tierra. Para que prueben ellos mismos esta experiencia, podemos pedirles que traigan al aula espejos pequeños y linternas, a ser posible con haz de luz de diámetro pequeño. Un alumno sujetará el espejo a una altura aproximada de 1 metro, y otro, situado a un metro del primero, apuntará con una linterna, situada a 1,5 metros del suelo, al espejo. Los demás tratarán de buscar en el aula el punto de luz que se refleja. Una vez que lo tengan localizado, el alumno que tenga la linterna la moverá, variando el ángulo de incidencia sobre el espejo, y así podrán comprobar cómo ha cambiado de posición la luz reflejada.
• Es importante recordar el concepto de ángulo, ya que tienden a asociarlo con el arco que lo representa en el dibujo y tienen cierta dificultad para comprender que se trata de una región del plano. • Distinguen fácilmente un ángulo agudo y un ángulo obtuso, pero no les resulta tan sencillo comprender los conceptos de convexo y cóncavo. Por eso es recomendable poner varios ejemplos, haciendo que sean ellos los que aprendan a distinguir ángulos convexos y cóncavos. Son dos conceptos nuevos que les cuesta aprender porque los confunden entre sí. Dedicando más tiempo a aprender y afianzar uno de ellos e introduciendo el otro después, se minimiza la posibilidad de confusión. Además, les costará asimilar que un ángulo convexo puede ser tanto agudo como obtuso. • Los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios pueden ser nuevos para muchos alumnos, por eso hay que dedicarles una atención especial y más tiempo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
4 y 34
Medio
5 43 y 71
Alto
Desarrolla tus competencias I. Con el experimento descrito en el apartado anterior, los alumnos no tendrán problemas para responder a esta pregunta. II. La propiedad de reflexión de la luz también la podremos comprobar con el experimento anterior, aunque los alumnos lo hayan comprobado previamente en casa. III y IV. Con estas actividades desarrollaremos la competencia lingüística, concretamente las subcompetencias escrita y oral, ya que los alumnos deberán sacar de artículos encontrados en internet la información necesaria para estudiar y comprender el funcionamiento de las antenas parabólicas y posteriormente explicarlo a sus compañeros. Además, volverán a ver un ejemplo de la relación que hay entre las matemáticas y el mundo que nos rodea.
3. Medida de ángulos. Operaciones • Los alumnos ya han visto en primaria el sistema sexagesimal. No costará mucho recordarlo, teniendo además tan recientes los sistemas de medida, vistos en la unidad anterior. • A la hora de explicar la suma de ángulos y el producto de un ángulo por un número, debemos hacer muchos ejemplos en los que los segundos o minutos del resultado sobrepasen los 60. • Para explicar la resta, cuando el primer término no es mayor que el segundo en alguna unidad, podríamos seguir el siguiente esquema.
1. Puntos y rectas • Los conceptos aquí estudiados son ya conocidos por los alumnos. Sin embargo, hay que insistir en que dos puntos determinan una recta. Se les puede dar tres puntos no alineados y pedirles que dibujen todas las rectas posibles que pasen por ellos. • Las rectas coincidentes hay que explicarlas bien para que los alumnos no piensen que es una sola recta, sino dos. • Es conveniente que sean capaces de trazar con destreza rectas paralelas y secantes a una dada. Para este fin, se les puede recordar cómo utilizar la escuadra y el cartabón. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico Alto
2, 3 y 32 33
−
13° 14° 5° 8°
71’ 72’ 12’ 43’ 28’
60’
60”
93” 33” 52” 41”
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
7, 35, 36, 38 y 54
Alto
8, 9, 37 y 39 a 41
4. Ángulos iguales • El concepto de igualdad de ángulos es fácil de entender y tampoco resulta difícil que entiendan qué son y que reconozcan ángulos opuestos por el vértice. • Pero los ángulos de lados paralelos sí presentan dificultad, por eso conviene hacer muchos ejemplos y que construyan ángulos con los lados paralelos a los de un ángulo determinado y los midan. Elementos geométricos
Unidad 11
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Sugerencias didácticas
• Conviene proponer a los alumnos que dibujen y recorten un ángulo cualquiera y que, ayudándose del mismo (puesto que pueden cambiarlo de posición), busquen entre varios los que tienen los lados paralelos a él con la misma medida. • De igual forma, pueden encontrar el suplementario de lados paralelos con solo ponerlo junto a él y comprobar que forman un ángulo llano.
7. Mediatriz de un segmento • Utilizar el plegado como se muestra en la página para que dibujen la mediatriz de un segmento. • Es interesante que aprendan la propiedad de la mediatriz de que todos sus puntos están situados a la misma distancia de los extremos del segmento. Por ello conviene que lo comprueben en cada ejercicio midiendo la distancia desde varios puntos de la misma a los extremos.
ACTIVIDADES POR NIVEL ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
12
Medio
13
5. Circunferencia y círculo • Es preciso volver a insistir en la diferencia entre la circunferencia y el círculo, pues a estas alturas hay alumnos que confunden ambos conceptos. • Es tan importante el concepto de ángulo central como calcular su medida, puesto que se utiliza después para el cálculo de ángulos inscritos y en los polígonos regulares. • Pedir que, una vez calculado, comprueben con el transportador de ángulos que el resultado es correcto. • Si alguna vez se les olvida cómo calcularlo, se pueden ayudar del transportador para que, a partir de la solución, deduzcan las operaciones que han de hacer para llegar a ella y las escriban. Pero este instrumento debe ser utilizado sólo para este objetivo, y no como forma de resolver el ejercicio. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
46 a 50 y 60
Medio
14 a 17, 51, 61 a 62 y 65
Alto
52, 53, 68 a 70, 72 y 73
6. Posiciones de una recta y una circunferencia • Son conceptos sencillos, pero como las rectas secantes se cortan en un punto, a veces, cuando la recta es tangente a una circunferencia, la consideran secante. • Conviene hacerles notar la diferencia antes de que cometan el error, e indicarles que la palabra “secante” tiene que ver con el hecho de que se “corten”, y no con el de tener un punto común. • Podemos aprovechar la definición de recta tangente para que vean cómo en el lenguaje habitual existen expresiones que hacen referencia a las matemáticas, tales como “salirse por la tangente”. ACTIVIDADES POR NIVEL
8
Básico
21 a 24, 44 y 45
Medio
64
Unidad 11
Elementos geométricos
67.
Básico
25 y 26
Medio
27, 56 y 58
Alto
59, 66 y 67
Esta actividad la podemos resolver conjuntamente en la clase. Para ello dividiremos a los alumnos en cinco grupos y nombraremos en cada grupo a un portavoz. Pediremos a cada grupo que trate de encontrar la ubicación del transformador, realizando una lluvia de ideas. En el grupo deberán debatir hasta decidir cuál de las soluciones de cada uno de sus miembros es la adecuada. Una vez que cada grupo tenga su solución, los portavoces deberán defenderla ante el resto de la clase. Cuando ya se hayan expuesto todas las posibles soluciones, se establecerá una votación para que los alumnos decidan cuál es la idónea.
8. Bisectriz de un ángulo • La utilización del plegado para construir bisectrices tal y como se muestra en la página es muy práctica, ya que si no doblan bien, el ángulo no queda dividido en dos iguales. • Es importante que aprendan la propiedad de que los puntos de la bisectriz se encuentran a la misma distancia de los lados del ángulo (aunque para que lo hagan bien es necesario explicarles que la distancia hay que medirla de forma perpendicular a la recta). Y por ello conviene que se les pida comprobarlo en algunos ejercicios. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
28 a 30
Medio
31, 55 y 57
Organiza tus ideas Hay que procurar que el alumno note la importancia de los esquemas haciéndole preguntas referidas a la unidad que debe resolver ayudándose sólo de la información de esta hoja. Es interesante que ellos elaboren sus propios esquemas, pero como puede resultar difícil, para empezar, se les puede pedir que copien y completen en su cuaderno el que aparece en esta página. Se realiza uno de los apartados en clase de forma dirigida y ellos elaboran los demás en casa. Para completar el primer apartado, realizar los siguientes pasos:
Sugerencias didácticas
1. Buscar en la unidad los epígrafes correspondientes a los tipos de rectas que hay en el esquema. 2. Observar lo que no está anotado y que puede ser importante para resolver ejercicios. 3. Anotar debajo de cada tipo de recta lo que se les ocurrió en el paso anterior.
Es importante enseñarles a escribir las cosas utilizando, siempre que se pueda, el lenguaje matemático. Así observan cómo se pueden expresar las frases del lenguaje habitual de forma simplificada y lo aprenden poco a poco.
Pon a prueba tus competencias EL LIBRO DE ESPEJOS
Al finalizar las actividades de consolidación indicaremos a los alumnos el material necesario que deben traer para poder construir el libro de espejos. Para realizar esta actividad dividiremos la clase en grupos de dos personas, de tal manera que cada grupo fabrique un libro de espejos. En la actividad 1 se describe paso a paso cómo construir un libro de espejos, así que no tendrán problemas a la hora de construirlo. En las actividades 2, 3, 4 y 5 deberán ir cerrando el ángulo del libro de espejos para i r formando el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y el heptágono regular. Una vez completada la tabla deberán poder calcular el ángulo central de cualquier polígono regular en función del número de lados.
La última actividad permitirá establecer un debate en clase sobre los pros y los contras de las campañas publicitarias. REBOTE × REBOTE = REBOTE2
Deberemos orientar a los alumnos para la realización de la actividad dándoles la pista de que lo primero que tienen que hacer es buscar el punto B’ , simétrico de B. Una vez obtenido el punto B’ bastará trazar la recta que pasa por A’ y B’ y así obtener los puntos de las bandas donde rebotará la bola. Podemos realizar en la pizarra un dibujo explicando la trayectoria y marcando todas las rectas necesarias y pedir a los alumnos que localicen ángulos iguales, indicando el motivo. A los alumnos más aventajados les podemos proponer que calculen la trayectoria de A, pero chocando además con la banda de la derecha. ¿GIRA O NO GIRA?
Para seguir un razonamiento análogo en todas las cadenas de ruedas, podemos empezar suponiendo que la rueda verde gira en el sentido de las agujas del reloj y marcar el sentido de giro de las demás ruedas en función de este primer giro. Completaríamos cada cadena hasta llegar a la rueda situada a la izquierda de la verde y comprobaríamos si el sentido de giro que tiene permitiría mover la verde en el sentido de las agujas del reloj. Para que los alumnos identifiquen correctamente los diferentes tamaños de ruedas, les indicaremos que previamente identifiquen cada uno de los tres tamaños relacionándolos con su color.
Elementos geométricos
Unidad 11
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Actividades de refuerzo Unidad
11 Elementos
geométricos
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es importante que los alumnos aprendan los conceptos básicos de mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice. Tienen que manejar con soltura las unidades de medidas de ángulos y operar correctamente en el sistema sexagesimal. También deben establecer relaciones entre ángulos en una circunferencia y estudiar posiciones relativas de rectas y circunferencias. • Intentar que los nuevos nombres sean sencillos de recordar y asociar a los nuevos conceptos con pequeños trucos: media-triz (por la mitad), bi-sectriz (en dos), ins-crito (dibujado dentro)… • Empezar por la construcción de cada elemento y, a partir del dibujo, mediante observación y preguntas orientadas, estudiar sus propiedades o las relaciones entre ellos. • Habituar a los alumnos a representar gráficamente los ejercicios indicando los datos y lo desconocido. • Comprobar siempre las soluciones obtenidas con el transportador de ángulos y la regla graduada. • Utilizar materiales alternativos: plegado, recortables, programas de ordenador, páginas web…
ACTIVIDAD DE GRUPO Construye tus materiales
Propondremos a los alumnos la construcción de herramientas que les permitirán estudiar los conceptos de forma activa. Para ello se dividirán en grupos de tres o cuatro personas y les repartiremos distintas actividades: • Los componentes de un grupo dibujarán y recortarán ángulos de 18°, 72° y 162°; 40°, 50° y 140°… es decir, ángulos complementarios y suplementarios a los que pondrán su medida. Una vez recortados, tienen que colocarlos por p are jas con un lado común y estudiar si forman un ángulo recto o un ángulo llano, indicando en cada caso si son complementarios o suplementarios. • Unos dibujarán circunferencias de distinto tamaño en una cartulina. Mientras, otros dibujarán ángulos de 10°, 20°, 40° y 80°; 30°, 60° y 120°… con los lados suficientemente grandes para que se puedan inscribir en las ci rcunferencias y en los que escribirán su medida. Luego recortarán los ángulos dibujados. Deben colocar los ángulos sobre las circunferencias de modo que uno sea central, y otro, inscrito, emparejando los que abarcan el mismo ángulo. De esta forma comprueban la relación doble-mitad que existe entre ellos. • Otro grupo se ocupará de dibujar circunferencias de tamaños diferentes en una cartulina, indicando la medida de sus radios, y de dibujar y recortar rectas. Los alumnos deben colocar las rectas respecto de las circunferencias en respuesta a preguntas del tipo: “Coloca la recta a 5 cm del centro de cada circunferencia e indica la posición que tiene respecto a ella”, que serán elaboradas por el profesor. Una vez elaborados los materiales, cada grupo pasará a realizar las actividades preparadas por los demás. Siempre habrán de anotar en su cuaderno los resultados obtenidos.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
ˆ y Bˆ son agudos, con Aˆ < Bˆ y A ˆ < Bˆ = 90°. Una solua) A ción es: Aˆ = 20° y Bˆ = 70°. ˆ el doble de Bˆ . Una solución es: b) Bˆ es agudo, y es A ˆ = 50° y Aˆ = 100°. B ˆ = Bˆ por ser opuestos por el vértice, y A ˆ es obtuso. c) A Una solución es: Aˆ = Bˆ = 140°. ˆ es obtuso, y Bˆ, agudo, y Aˆ + Bˆ = 180°. Una solud) A ˆ = 80°. ción es: Bˆ = 100° y A
2.
a) Un punto.
b) Menor que 3 cm.
3.
17° 22’ 15” + 2° 47’ 48” = 20° 10’ 3” 43° 12” − 21° 12’ = 21° 48’ 12” 23567” = 6° 32’ 47”
4.
r no
es perpendicular a AB, y t no pasa por el punto medio. La mediatriz es s.
ˆ= 5. A
45°; Bˆ = 140°; Cˆ = 25°
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
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Unidad 11
Elementos geométricos
c) Exterior.
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
11 Elementos
geométricos
ˆ y Bˆ, siguientes: Pon una medida a cada uno de los ángulos A a)
b) ^
c) ^
A
B
d)
^
A
^
^
A
^
^
B
A
B
^
B
2.
Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y luego dibuja una recta tangente a ella, otra secante y otra exterior. Observa el dibujo, utiliza la regla para medir si lo necesitas y responde a las siguientes preguntas marcando una
X
en el recuadro que corresponda:
a) La recta que está a 3 cm de distancia del centro de la circunferencia toca a esta en: Dos puntos
Un punto
Ningún punto
b) La recta secante está a una distancia del centro de la circunferencia: Mayor que 3 cm
Igual a 3 cm
Menor que 3 cm
c) La recta que se encuentra a una distancia mayor que 3 cm del centro de la circunferencia es: Tangente
3.
4.
Exterior
Secante
Relaciona con flechas cada operación con su resultado. grados
minutos
segundos
17° 22’ 15” + 2° 47’ 48”
20°
32’
12”
43° 12” − 21° 12’
6°
48’
3”
Pasa a compleja 23567”
21°
10’
47”
En los siguientes segmentos se han trazado distintas rectas. Explica en cuál de ellos se ha dibujado la mediatriz y en cuáles no. s
r
M
A
5.
B
C
r
M
D
M
E
F
En los siguientes dibujos se ha trazado la bisectriz de cada ángulo con línea discontinua, y debajo de ˆ Bˆ y Cˆ . Une con una flecha cada ánguellos están desordenadas las medidas en grados de los ángulos A lo con su medida correspondiente.
e l b a i p o c o t o f
^
C
^
B
70° 25°
^
A
140°
25°
a n i g á P
45° Elementos geométricos
Unidad 11
11
Actividades de ampliación Unidad
11 Elementos
geométricos
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Nuestros alumnos ya dominan todos los conceptos básicos de la unidad, por eso hay que proponerles actividades que les permitan descubrir nuevas propiedades de estos elementos geométricos. También podemos aprovechar para que observen la realidad con ojos matemáticos , buscando la geometría en los elementos que les rodean. Así, entre otras muchas posibilidades, podemos: • Orientarles para que con las herramientas básicas vistas hasta el momento obtengan resultados más complejos e interesantes. • Guiarles para que en los problemas comprendan la utilidad de los elementos estudiados y distingan claramente cada uno de los pasos necesarios para realizarlos. • Incitarles a que busquen los elementos geométricos en su entorno inmediato: centro de estudios, vivienda, lugar de residencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes.
ACTIVIDAD DE GRUPO A la caza del ángulo obtuso
En los edificios que nos rodean es muy fácil encontrar segmentos, rectas paralelas, secantes, perpendiculares… Algo más complicado es encontrar ángulos agudos, aunque lo que resulta más difícil, pero no imposible, es encontrar ángulos obtusos; esa es la actividad que se propone. En grupos de tres o cuatro personas deben localizar en su entorno situaciones que ilustren el concepto elegido (ángulos obtusos, en este caso). Cuando ya tengan buscados unos cuantos (por ejemplo, 5), se analizarán en conjunto y se decidirá qué fotos son las que se van realizar y entregar posteriormente. Para esta actividad resulta conveniente recoger por escrito las ideas surgidas en la puesta en común de manera que toda la clase disponga de ellas. También resulta de gran ayuda, para la búsqueda de situaciones, entregarles una ficha en la que tengan que anotar: – ¿Qué busco? – Descripción gráfica de la situación elegida. – Descripción con palabras. – Posibles títulos de la futura foto.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
2.
ˆ y 25°, que miden 25°, y Gˆ y Opuestos por el vértice: A ˆ, que miden 155°. H ˆ y 40°, que Lados paralelos: Cˆ y 115°, que miden 115°, y E miden 40°.
6.
Cˆ
ˆI 7.
a) Son iguales. b) Son paralelas si son ángulos iguales, y perpendiculares si son suplementarios.
3.
No es posible porque solamente tiene sentido trazar mediatrices de segmentos.
4.
a) 22° 53’ 48”
5.
ˆ a) A
Bˆ
=
=
=
ˆ F ˆ E Lˆ
=
Gˆ
=
=
ˆ D
=
=
ˆ H ˆ J
=
=
125° ˆ 55° K =
35°
Las doce menos veinte, las seis y diez, las seis menos veinte, las dos, las dos y media, las ocho o las ocho y media.
8.
^
=
25°
b) 115° 13’ 15” Bˆ
=
65°
ˆ b) A
=
A
^
C
30°
^
B
Son iguales
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
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Unidad 11
Elementos geométricos
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.
11 Elementos
geométricos
En la siguiente figura hay ángulos opuestos por el vértice y ángulos de lados paralelos. Indica cuáles son y cuánto miden. ^
G 40°
25°
^
C
2.
^
115° E
^
^
A
H
Mediante un dibujo, estudia cómo son las bisectrices de: a) Dos ángulos opuestos por el vértice.
b) Dos ángulos de lados paralelos.
3.
¿Se puede trazar la mediatriz de la mediatriz de una recta? ¿Por qué?
4.
Calcula la medida de los siguientes ángulos. a) El complementario del suplementario de un ángulo de 112° 53’ 48”. b) El suplementario del complementario de un ángulo de 25° 13’ 15”.
5.
Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras. a)
b) °
60 ^
A
^
^
2 A
B 65
6.
°
^
A
ˆ mide 55°. ¿Cuánto miden los demás ángulos de la figura? El ángulo A J I
B
C
F
A
D
E
G H L K
7.
¿Qué hora tendrá un reloj cuando el ángulo formado par las manecillas tenga los lados pa ralelos al formado cuando son las doce y diez?
8.
ˆ y que sea suplementario de él, y otro de lados perpendicuConstruye un ángulo de lados paralelos a A ˆ? lares. ¿Qué relación tiene este último con A
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
^
A
Elementos geométricos
Unidad 11
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PROPUESTA de EVALUACIÓN 11 Elementos
Unidad
geométricos
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
CURSO:
GRUPO:
1.
ˆ Calcula el complementario y el suplementario de los ángulos ˆ y Bˆ , siendo A
2.
Las siguientes circunferencias se han dividido en partes iguales. Halla el valor del ángulo ˆ en cada caso. a)
68° y Bˆ
=
85° 40’.
b) ^
^
A
3.
=
A
Indica los ángulos que son opuestos por el vértice. ^
^
D
C ^
^
B
E
^
A
^
F
^
G
4.
Observa los siguientes ángulos y responde a las preguntas: 145° ^
D
^
B ^
C
^
G
^
F
^
H ^
E
a) ¿Cuáles tienen los lados paralelos? b) ¿Cuánto miden? 5.
Realiza las siguientes operaciones. a) 45° 56’ 57” + 123° 34’ 25”
e l b a i p o c o t o f
c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14
d) (129° 45’)
:
18
6.
Dibuja dos segmentos de 4 centímetros de longitud que formen un ángulo de 130° y traza después las mediatrices de cada segmento y la bisectriz del ángulo que forman.
7.
La mediatriz de un segmento ha dividido este en dos partes, una de las cuales mide 4,5 centímetros. ¿Cuál es la longitud del segmento?
8.
Una recta está situada a 5 centímetros de distancia del centro de una circunferencia de 10 centímetros de diámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?
a n i g á P
14
b) 100° 1” − 93° 15’
Unidad 11
Elementos geométricos
Propuesta de evaluación Unidad
11 Elementos
geométricos
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.
Complementario de 68°: 90° − 68° = 22° Suplementario de 68° = 180° − 68° = 112° Complementario de 85° 40’: 90° − 85° 40’ = 4° 20’ Suplementario de 85° 40’: 180 − 85° 40’ = 94° 20’
2.
a) La circunferencia se ha dividido en 10 partes:
360° 10
=
36° .
El ángulo central abarca cuatro partes: 36 ⋅ 4 = 144°. Luego el ángulo Aˆ mide 144°. b) La circunferencia se ha dividido en ocho partes:
360° 8
=
45° .
El ángulo central correspondiente abarca tres partes: 45° ⋅ 3 = 135°. 135° = 67° 30’. Luego el ángulo inscrito Aˆ mide 2 ˆ 3. A 4.
ˆ, Dˆ y Gˆ. y E
a) Todos.
ˆ = Bˆ = F ˆ = Hˆ = 35° b) D ˆ = Gˆ = Bˆ =145° E 5.
a) 45° 56’ 57”
+
123° 34’ 25” = 169° 31’ 22”
b) 100° 1” − 93° 15’ = 6° 45’ 1” c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14 = 339° 14’ 50” d) (129° 45’) : 18 = 7° 12’ 30”
6.
t
s
r
C
N
130° M
A
7.
B
4 cm
La longitud del segmento es la suma de las dos partes en las que ha quedado dividido: 4,5 + 4,5 = 9 cm
8.
Como la distancia entre la recta y la circunferencia coincide con el radio, la recta es tangente a la circunferencia.
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Elementos geométricos
Unidad 11
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