10x 1/ 1/ x � x 6
&)
+ndi +ndica carr *erd *erdad ader ero o o ,als ,also o en las las sigu siguie ient ntes es alternati*as+. odos odos los conju conjunto nto igual iguales es son euipo euipoten tentes tes 0 rec1procamente. ++. ++. oda oda ,ami ,amili lia a de conj conjun unto tos s es conj conjun unto to de conjuntos 0 rec1procamente +++. +++. Dos Dos conj conjun unto tos s son son com compara para#l #les es'' si un conjunto pertenece a otro conjunto. A D
SOLUCIÓNADO Y EXPLICADO POR:
!elaci#n de $er%enencia e
2 x 5
x = 2' 3' "' 5
A = {!' {!' 3' 5' %}
"pta 1#$
%) Dado el conjunto: E 9 , 99 , 999 , 9999 , 99999 Determinarlo por comprensión:
10x 1/ x � x 6 10x 9 / x � x 5 x
1 1// x � x 6
x
1/ 1/ x � x 6
10
10
x10 1/ x � x 6
SOLUCI'N(
!pidamen !pida mente te deducir deduciremos emos "ue los elemento elementoss x son son de la #orma #orma 10 1 $ claro %x& 'a desde 1 (asta antes de 6 osea la respuesta es: +
+)
:i:i- A = {!' {!' 2' 3}' 3}' ;ua ;uant ntas as de las las sigu siguie ient ntes es proposiciones son *erdaderas< + ! A ++ { ! } A +++ A + A A {!' 2} A a ! # 2 c 3 d " e 5
SOLUCIÓ! ! A { ! } A A A A {!' 2} A
+ ++ +++ +
+ ,erdaderas "pta$
(empla)ando en 2x – 3 para cada *alor de x.
a) b) c) d) e)
odas son *alsas "pta$ D
BANCO CEPRU UNSAAC
SOLUCIÓ!
'()
II$ oda ,amilia de conjuntos es conjunto de co7 '() 8untos 0 rec1procamente. III$ Dos conjuntos son compara#les' si un conj.7 9nto pertenece a otro conjunto. '()
EO!IA DE CON"UNOS
Determinar el siguiente conjunto por extensión. A = {2x {2x – 3 / x N 2 x 5} Dar como respuesta la suma de los elementos de A. a !" # !5 c !$ d !% e !&
(ec1procamente
Universidad Nacional de Ingeniería-Lima
1)
4 6
SOLUCIÓ! I$ odos los conjuntos iguales son eipotentes 0
Ing. CHAKU GOMES MALDINI.
Incl&si#n Conjunto Potencia Operaciones entre Conjuntos Diagramas de venn Euler Diagramas de Lewis Carrol
!*%a.
-)
;u>nt ;u>ntas as de las prop proposi osicio cione nes s sigui siguient entes es son son *erdaderas<
n() = 0 = {} n{} = 1 {} { 0 } = { }
A 3
( ( ( ( (
) ) ) ) )
4 2
"
SOLUCIÓ! Por teoría: n() = 0 = {} n{} = 1 {} { 0 } = { }
(V) (F) (V) (V) (F)
D 5
6 !
Son verdaderas: 3 Rpta. #) :i- A = {' {}' {{}}' {{{}}}} +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ?A
0)
4 2
3
De- nA = ! nD = ! n = @ nD = @ +. ++. +++. + ( , ( "pta$
D 5
6 $
SOLUCIÓ! +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ? ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ? ?A
:i- A = {@ ! B–!C B@ ! –!C} ;u>ntas de las proposiciones siguientes son no *erdaderas< ?A {} ?B?AC {@ !} ?A { B–!C } ?A { { B–!C } } ?B?AC a !
# 2
c 3
d "
e 5
SOLUCIÓ!
?A ? {} ?B ?B?AC {@ !} ? ?A { B–!C } ? ?A { { B–!C } } ? B? B?AC
6(DAD6( 6(DAD6(+ 6(DAD6( AE: 6(DAD6(
:+- A = { { }' a' { a }} ;u>ntas proposiciones son ,alsas< +. . ?A A ++. A +. a { a } +++. { } A ++. ++. {{ a }} A +. { } A +++. {{ a }} ?A a !
# 2
c 3
d "
A A { } A { } A
1 *alsa "pta$ a ,
- verdaderas "pta$
1)
Determinar cuantas son *erdades si+ A A = { } ++ A – 4 4 – A = A 4 +++ A A = + A = A A 4 = A 4 a ! # 2 c 3 d "
e 5
+ ++ +++ +
A A = { } A – 4 4 – A = A 4 A A = A = A A 4 = A 4
11) +ndicar o
e odas
. ? ?A +. a { a } ++. ++. {{ a }} A +++. {{ a }} ? ?A
+. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ? ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B ?B?AC F (ecordar- odo lo ue inclu0e en A ?A
& ,erdaderas ,erdaderas "pta$
SOLUCIÓ! +. ++. +++. +.
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! 1 "pta$
/)
1#) :i- A = {2 { 2 } { }} ;u> ;u>nt ntas as de las las sigu siguie ient ntes es prop propos osic icio ione nes s son son *erdaderas< +. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B?AC a ! # 5 c 2 d 3 e "
odas "pta$
.)
e ++ 0 +
SOLUCIÓ!
;uantas proposiciones son *erdaderas< A odas odas
:ean- A = {@} 4 = { } = D = { } +ndiue la proposición ,alsa+. nA = n4 n = nD ++. nA = n4 n = nD +++. nA n4 n = nD +. +. nA nA = nD nD nA = n4 a + # ++ c +++ 0 + d +
+ A 4 = A 4 ++ A A = A +++ A – 9 = a # c
d
e
SOLUCIÓ! + ++
A 4 = A 4 ?or Gorgan- A 4 = A 4 AE: A A = A
=A +++ A – 9 =
AE:
Son verdaderas: 3 Rpta. #) :i- A = {' {}' {{}}' {{{}}}} +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ?A
0)
4 2
3
De- nA = ! nD = ! n = @ nD = @ +. ++. +++. + ( , ( "pta$
D 5
6 $
SOLUCIÓ! +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ? ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ? ?A
:i- A = {@ ! B–!C B@ ! –!C} ;u>ntas de las proposiciones siguientes son no *erdaderas< ?A {} ?B?AC {@ !} ?A { B–!C } ?A { { B–!C } } ?B?AC a !
# 2
c 3
d "
e 5
SOLUCIÓ!
?A ? {} ?B ?B?AC {@ !} ? ?A { B–!C } ? ?A { { B–!C } } ? B? B?AC
6(DAD6( 6(DAD6(+ 6(DAD6( AE: 6(DAD6(
:+- A = { { }' a' { a }} ;u>ntas proposiciones son ,alsas< +. . ?A A ++. A +. a { a } +++. { } A ++. ++. {{ a }} A +. { } A +++. {{ a }} ?A a !
# 2
c 3
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A A { } A { } A
1 *alsa "pta$ a ,
- verdaderas "pta$
1)
Determinar cuantas son *erdades si+ A A = { } ++ A – 4 4 – A = A 4 +++ A A = + A = A A 4 = A 4 a ! # 2 c 3 d "
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A A = { } A – 4 4 – A = A 4 A A = A = A A 4 = A 4
11) +ndicar o
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. ? ?A +. a { a } ++. ++. {{ a }} A +++. {{ a }} ? ?A
+. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ? ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B ?B?AC F (ecordar- odo lo ue inclu0e en A ?A
& ,erdaderas ,erdaderas "pta$
SOLUCIÓ! +. ++. +++. +.
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! 1 "pta$
/)
1#) :i- A = {2 { 2 } { }} ;u> ;u>nt ntas as de las las sigu siguie ient ntes es prop propos osic icio ione nes s son son *erdaderas< +. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B?AC a ! # 5 c 2 d 3 e "
odas "pta$
.)
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SOLUCIÓ!
;uantas proposiciones son *erdaderas< A odas odas
:ean- A = {@} 4 = { } = D = { } +ndiue la proposición ,alsa+. nA = n4 n = nD ++. nA = n4 n = nD +++. nA n4 n = nD +. +. nA nA = nD nD nA = n4 a + # ++ c +++ 0 + d +
+ A 4 = A 4 ++ A A = A +++ A – 9 = a # c
d
e
SOLUCIÓ! + ++
A 4 = A 4 ?or Gorgan- A 4 = A 4 AE: A A = A
=A +++ A – 9 =
AE:
=
6(DAD6(
((, "pta 1%) Ea expresión- BA 4 4 AC A 4
es eui*alente a A A 4
4 A
4 D 4 A
6 4 A A
A 4 4 A A 4
A–B
4 A ?or Gorgan4 A
B B–A
+gualando 2aH#72 = $
A 4
e piden- %a87 5 / "pta$3
A 4 = 2 3 "pta$
1&)
?ara dos conjuntos compara#les donde uno de ellos tiene 3 elementos m>s ue el otro' se cumple ue la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia potencia es 5%$. 5%$. ;u>ntos ;u>ntos su#conju su#conjuntos ntos propios propios tiene la unión de ellos<
A 5!! 5!!
4 !5
3!
D !@%
6 255
:e tienen los conjuntos compara#les- A 4 DondeA n4 = x nA = x H 3 B
B A
A A 4 = A
nB?AC H nB?4C = 5%$
"empla4ando! ( )
2n( B ) 576
n A
2
X 3
:i los conjuntos 0 D son iguales = {2x H ! 2"2} D = {30 – ! !@25} Kallar la suma de los elementos de6 = {n/n N 0 L n L x} A 23 4 2" 3@ D 22 6 3!
SOLUCIÓ!
De donde Mn es- $ % & I 6 = {$ % & I} 6lementos es- $ H % H & H I = & "pta$ 1#) :ean los conjuntos igualesA = {a2 H !' I@} 4 = {a H #' 2$} 6l *alor de # – 5a es-
Dato!
2
1-)
Eos elementos del conjunto conjunto 0 D son 2"2 0 !@25 al igualar con*enientemente. 6ntonces se cumple 2x H ! = !@25 = 2 !@ H ! x = !@ 30 – ! = 2"2 = 3 5 – ! 0=5 Euego reempla)ando en el conjunto 66 = {n/n N 5 L n L !@}
SOLUCIÓ!
4
2 X 576
actori)ando x
2
(2
3
a) 80
1) 576
2
x
2
576
x
64
2 � 6
x
d) 60
e) 65
1.)
6
:i- 9 = {x/x N x !@} A 4 = {3' $} A = {$' "} 4 = {!' 2} A 4 = 6ntonces el conjunto A es-
Donde! n4 = $
c) 55
:i son iguales los respecti*os elementos. a2 H ! = 2$ a H # = I@ De donde- a = 5 # = &5 ?iden- &5 – 25 = # "pta$
9 2
b) 45
SOLUCIÓ!
( 9 ) 576
x
6 3
:i A es unitario se cumpleaH# = 2aH# – 2 = $
A 4
4 – A
A – 4
"pta$ 2
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! ?or propiedad de Gorgan-
6s- -11 Su7conjuntos Su7conjuntos Propios$ 1+) :i- A es unitario. A = aH# $ 2aH# 7 2 Kallar- 2a H # A $ 4 & " D 5
nA = I
Piden! NJmero de su#conj. propios de A 4 nA 4 = n'2) 5 0 elementos A
B
# {3' "' $} e {"' 5' $' %}
c {3' $' 2' I}
SOLUCIÓ!
1
3 Entonces! nA nB?A 4C 2 =2 6
2I = 45!2 :u#conjuntos
6m$ de su7conj$ propios de 2 29 1 C
a {!' 2' 3' "' $} d {!' 3' "' $}
512 1
6mero de su7conjuntos propios de '2
Ora,icando datos am#iPn sa#es 4 = 4Gorgan omo- 4 = {!' 2} Del gr>,ico-
3)
2 5 91: %: &: +: #; "pta$
1/)
:i A 0 4 son conjuntos no *ac1os' simpli,icar ! A 4 A 4
a A – 4 d A 4
c A 4
# 4 – A e N.A.
SOLUCIÓ! 2nA = 2" nA = " 2n4 = 23 n4 = 3 2nA 4 = 25 nA 4 = 5 Ora,icando-
SOLUCIÓ!
A= 4 A
Solución gráfica:
B
B=3
4–x x
Piden: 2n(A B) = 22 = 4 Rpta.
2 3 "pta$
%&) ?ara dos conjuntos A 0 4 se cumple ue-
10)
Dado los conjuntos A 0 4' sinA 4 = 35 0 nA H n4 = "& ;u>ntos elementos tiene A 4< # !5
c 2!
d 23
e 22
– A tiene !$ su#conjuntos – 4 tiene & su#conjuntos – A 4 tiene 32 su#conjuntos ;u>ntos su#conjuntos tiene A 4< a 2
SOLUCIÓ! Nos damos cuenta ue- A 0 4 no son disjuntos. 6ntoncesnA 4 = nA H n4 – nA 4 35 = "& – nA 4 Donde- nA 4 = "& – 35 nA 4 = !3 :a#emos ue A 4 = A 4 – A 4 A 4 = 35 – !3 A 4 = 22 nB A 4 < 5 %% elementos
%% "pta$
%)
:i MN signi,ica el nJmero de elementos' siendo MA 0 M4 dos conjuntos tales uenA 9 4 = 3@ nA – 4 = !2 0 n4 – A = & Kallar- nA – n4 A 3 4 5 % D " 6 2
SOLUCIÓ! nA 9 4 = 3@ nA – 4 = !2 n4 – A = &
n(A)=22 2 12 10
nA
n(B)=18 2 8
– n4 = 22 – !& = + "pta.
%1)
;u>ntos su#conjuntos se ,ormaran con $ elementos< a $2
# $3
c $"
d $5
e %@
SOLUCIÓ! nB?AC = 2$ = #+ "pta$
%%)
Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A B) tiene 32 subconjuntos ¿Cuántos subconjuntos tiene (A B)?
4 2
# "
c &
d !$
e 32
SOLUCIÓ! – Nro de :u#conj. de A = !$ = 2" nA = " – Nro de :u#conj. de 4 = & = 23 n4 = 3 – Nro de :u#conj. de A4 = 32 = 25 nA 4 = 5 am#iPn- nA 4 = nA H n4 – nA 4 (empla)ando- 5 = " H 3 – nA 4 nA 4 = % – 5 nA 4 = 2 Nro. De :u#conj. = 22 = + Rpta.
%+)
?ara dos conjuntos- A 0 4 se cumple uenA 4 = !!. Adem>s- nB?AC H nB?4C = !I2 Kallar- nB?A 4C A & 4 !$ 32 D " 6 –"
SOLUCIÓ! De-
n!P(A)" 26
n!P(B)" 2
�n( A) 6 �n(B)
1#2 �
Adem>s- nA 4 = nA H n4 – nA 4 !! = $ H % – nA 4 2 = nA 4 ?iden- nB?A 4C = 22 = " "pta$
%-) Dado el conjuntoa /a Q' # +N @ a L " ! # L 3} # ;u>ntos su#conjuntos propios tiene A<
A = {
a $3
# 3!
c !5
d !2%
e 225
SOLUCIÓ! 1jate so#rinoa- a = @' !' 2' 3 # = !' 2
nB?AC = 2nA
A @
A 4
3
( !") (" !) =
a 2@
"–xH3=5 2= x
"
D !$
6 32
@ @ ! ! 2 2 3 3 # ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 Eos elementos se toman sin repetirse! 3 Donde- A = {@' !' ' 2' 3' } nA = $ 2 2 6ntoncesNJmeros su#conjuntos propios = 2 $ – !
orma-
a
#& su7conjuntos propios "pta$
%#)
9n conjunto tiene !@2" su#conjuntos en total ;u>ntos su#conjuntos de $ elementos tendr><
A !@!% !@@@
4 2!@ 6 "%@
5@@
D
a 32 # 25 c 2$ d 3!
SOLUCIÓ! – 1jate Migre- :ea Mn el nJmero de elementos del conjunto A – Dato- n?A 2n = !@2" 2n = 2!@ +gualando 4ases n = !@ – Donde el nJmero de su#conjuntos de $ elementos es- aplicando propiedad elemental de com#inación R(ecuerdaS T
6l conjunto potencia de G tiene 2& su#conjuntos #inarios. ;u>ntos su#conjuntos terciarios m>s ue #inarios tienen el conjunto G< 4 2!
2&
D 35
6 N.A
SOLUCI'N( :u#conjuntos #inarios n+ n * = 2& +n )+ = 2&
{a}' {e}' {i}' {o}' {u} 0 el conjunto *ac1o 9nitarios
"pta$
&)
9n ,erretero o,rece mati)ados de pintura en o,erta' si se com#inan las pinturas de di,erente color' el cliente se #ene,icia con descuentos. 9n seWor compra pinturas ue resulta de mati)ar com#inar dos clases di,erentes' si el ,erretero tiene 2@ colores di,erentes. ;u>ntos Mtonos distintos de pintura o#tu*o<
A) 2$
B) %$
C) 12$
&) 1#$
') %$$
SOLUCIÓ! i*in+i+ente e- .eeteo tiene e- conjunto P de /intu+s0 A- +ti+ dos co-oes, obteneos subconjunciones bin+i+s: 2$
C2
– ?ero- nS = n – 2S n – !n – 6ntonces- n – ! n = 5$ n = & :u# conjuntos terciarios-
%/)
Entonces se anular?!
2$ ?or lo menos 2 personas
%.)
*
conjunto de 5 auxiliares 6m$$ de su7conj$$ = 25 32 :u#conjuntos. 32 euipos en total. ?ero como de#en Va#er como m1nimo 2 personas.
Donde! 32 – $ una persona = 2$
10+ 10+ 10 = *6 10 6)+6+ = -+6+ 10 � 9 � . � � 6+ 10 *6 = - � � � 1 � 6+ = %1 "pta$
. =
A = {a' e' i' o' u}
n+
n
e 2"
SOLUCIÓ
* = n )+ +
n = !@ U = $ (empla)ando-
A !"
& H % – 3 = 1% "pta$ %0) 6n el la#oratorio de u1mica' el je,e dispone ue se de#e ,ormar' de una lista de 5 auxiliares ,ormar un euipo integrado de por lo menos 2 personas. ;u>ntas posi#ilidades se tienen >
2$ 2 �18
2$(1# )18 2(18 )
= 1#$ Rpta.
&1)
.+ = 5$ + 5+ Nos piden- 5$ – 2& = %/ "pta$
:i nA = 3
Donde- 4 = n ?A = :u#conj. ?ropio de A D = :u#conj. De 2 elementos de A
Dados dos su#conjunto- A 0 4 se de,ine A 4 = {x/x A 4 x A 4} :i- 9 = {x/x QH x L !@} A = {x/x 9 x es di*isor de !2} 4 = {x/x 9 x es impar} Kalle el nJmero de su#conjuntos propios de A 4 a 2 # & c ! d 5 e %
SOLUCIÓ!
Kallar- 4 H – D a &
# 3
c !!
d !2
e !"
SOLUCIÓ! Soluci=n! :i nA = 3 3 4 = n ?A 2
8 subconjuntos
= :u#conj. ?ropio = & – ! = % D = :u#conj. De 2 elementos = 32 = 6ntonces4 H – D
3S !.2S
= 3
9 = {!' 2' 3' "' 5' $' %' &' I} A = {!' 2' 3' "' $} 4 = {!' 3' 5' %' I} A 4 = {2' "' $' 5' %' I} Donde- A 4 = {!' 3' &} nB A 4 C = 3 NJmero de su#conjuntos propios-
/
23 – ! = . su7conjunto propios "pta$ &%) ?ara los conjuntos! ! ! ? = {2 3 } X = { /x N' x 2} 3 2 x Kallar- ? X X = < a {!/2} d {! !/3}
# {!/2 !} e
!
A = {2a/a N a 5} 2# ! ={ /# 4} 3
La sua de !os e!eentos de conjunto C es" a &
# 5
c !2
d !@
e 3
SOLUCIÓ Donde- 9 = {@'!' 2' 3' "' 5}
!
!
/x N' x 2} 3 2 x Donde- x = @' !' 2 ! ! ! ! ormax @ ! 2 +ndeterminado ! X = {!' } 2 Donde- ? X X ! ! ! {!' 2' ' 3' } {!' !/2} = {!' } "pta$ 3 2 2 3
9 = {Naturales} a" 4={ /a A} 2
c {!/2 !/2}
SOLUCIÓ! ? = {2
&-) :ean los conjuntos-
} X = {
orma do#le- A = {@' 2' "' $' &' !@} orma-
a "
4 2 2 " " " $ " & " !@ " 4= 2 2 2 2 2
6ntonces- 4 = {2' 3' "' 5' $' %} 2# ! % I !! !3 !5 orma4 = 3
3 3 3
3
3
omo - U 5 aturalesC = {3' 5}
3 H 5 = / "pta$
&#)
Dados los conjuntos' 6l cardinal- nA 4' esn 16 2
&&)
:i A
x x N' ! x 5 x 4 Σ � x x N' 3
/n Q @ L n 5} n% 4 = {2x H ! / x Q ! x L $} A I 4 !! 5 D % A = {
&
Kallar el nJmero de elementos de A 4. A 3
4 "
5
D $
SOLUCIÓ! ?rimero calculas el conjunto A por extensión-
6 %
A x x N' ! x 5 = !' 2' 3' "' 5
A = {
x 4 Σ � x & = 3' "' 5' $' %' & x N' 3
&+)
:i-
"pta$
9 = {x Q / ! x &} A = {x Q / 2 x 5} 4 = {x Q / ! x L $} Kallar- ?BA 4 C
a !2&
# !53
c 5&3
d !2"
e $"
SOLUCIÓ! De- 9 = {!' 2' 3' "' 5' $' %' &} A = {2' 3' "' 5} 4 = {!' 2' 3' "' 5}
B 1 3
2 5
4A
Donde- A 4 = A 4 – A 4 A 4 = { ! } am#iPn- A 4 = {2' 3' "' 5' $' %' &} 6lementos = % 6ntonces- ?BA 4 C = 2% = 1%/su#conjunt. o partes Rpta.
0
n %
/n Q @ L n 5}
(n %)( n % ) (n % )
/n Q @ L n 5} erdadero *alor
F 6n la indeterminación Va0 ue le*antarla' sino le sale un elemento menos A = {n H " / n Q' @ L n 5} F alores de n Q- !' 2' 3' "' 5 F alores- n H "- 5' $' %' &' I F 6ntonces- A = {5' $' %' &' I} F AVora calculemos el conjunto 4 4 = {2x H ! / x Q ! x L $} F alores de x Q- !' 2' 3' "' 5 F alores 2x H !- 3' 5' %' I' !! F 6ntonces- 4 = {3' 5' %' I' !!} Donde entonces pidenAB = 3, 4, 6, , 8, #, 115 n (A B) = 7 Rpta.
A 4 = !' 2' $' %' & nA 4 = -
n 16 2
A = {
SOLUCIÓ!
6 !3
&.)
:e tiene- 9 = {x/x Q @ x L !@}
A 4 = {@ ' $ ' I} A 4 = {! ' 2 ' %} A – 4 = {3 ' 5} Kallar la suma de todos los elementos de- 4 – A a !3 # !" c $ d 5 e !2
SOLUCIÓ! 9 = {@' !' 2' 3' "' 5' $' %' &' I}
DondeA 4 = {@' $' I} A 4 = {!' 2' %} A – 4 = {3' 5} F R1jateS De- A 4 9 – A 4 = {@' $' I} :e deduce- A 4 = {!' 2' 3' "' 5' %' &} #ser*amos- 4 – A = {"' &}
6lementos = " H & = 1% "pta$
&/)
:i- 9 = {x/x N x !@} A 4 = {3' $} A = {$' "} 4 = {!' 2} A 4 = 6ntonces el conjunto A esa {!' 2' 3' "' $} d {!' 3' "' $}
& = 10 2
# {3' "' $} e {"' 5' $' %}
6
c {3' $' 2' I}
A
B 1
3 6
2 4
C
&0) A
una reunión asistieron 3!5 peruanos VispanoVa#lantes' de los cuales !@@ Va#lan inglPs' !"5 Va#lan ,rancPs 0 !23 solo castellano. ;u>ntos Va#lan sólo dos idiomas< 53
D !%$ 6 !3I
SOLUCIÓ! % = 315 # = 100 a = 47 23 so!o caste!!ano
x b = 92 $ = 145
!@@ H # H !23 = 3!5 # = I2 ,rancPs' castellano !"5 H a H !23 = 3!5 a = "% inglPs' castellano DondeI2 H x H "% H !23 = 3!5 a H # = "% H I2 a H # = 1&0 @a7lan s=lo dos idiomas Rpta.
3
B = 10
De un grupo de $@ alumnos- 2@ gustan de matem>tica solamente' " gustan de matem>tica 0 ,1sica pero no de u1mica' !2 gustan de ,1sica pero no de matem>tica' uno gusta de los 3 cursos' !& gustan de u1mica pero no de ,1sica. ;u>ntos no gustan de alguno de estos 3 cursos< a % # I c !! d 5 e &
SOLUCIÓ! Ora,icandoDel gr>,ico2@ H !2 H !& H " H ! H x = $@ x = $@ – 55
+%)
Ka0 3 estaciones de radio- A' 4 0 ue pueden ser reci#idas por 3@@@ ,amilias' se o#tu*o la siguiente in,ormación – !&@@ ,amilias escucVan la estación A – !%@@ ,amilias escucVan la estación 4 – !2@@ ,amilias escucVan la estación – !25@ ,amilias escucVan las estaciones A 0 4 – %@@ ,amilias escucVan las estaciones A 0 – $@@ ,amilias escucVan las estaciones 4 0 – 2@@ ,amilias escucVan las estaciones A' 4 0 ;u>l es el nJmero de ,amilias ue no escucVan A pero escucVan 4 ó < a !2@@ # $@@ c $5@ d "@@ e 55@
SOLUCIÓ!
9sando los diagramas de enn–6uler F +ntroduciendo datos en el gr>,ico1250 A = 1800
la Jltima limpiada de Gatem>tica donde participa#an !@@ estudiantes' se reali)aron !@ prue#as matem>ticas 0 en la premiación notP ue – 3 ganaron medallas de oro' plata 0 #ronce. – 5 ganaron medallas de oro 0 plata. – $ ganaron medallas de oro 0 #ronce. – " ganaron medallas de plata 0 #ronce. ;u>ntos no ganaron< %5
4
+1)
+) 6n
4 $2
1
A 5 - "pta$
#ser*Pis *osotros el gr>,ico-
A $@
3
x
2 5 91: %: &: +: #; "pta$
4 !%"@
Del gr>,icoxH2H2H$H"H " = !@@ x = /% "pta$
4 3
Ora,icando datos am#iPn sa#es 4 = 4 Gorgan omo- 4 = {!' 2} Del gr>,ico-
A !3@
' = 10 2
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ!5
D &2 6 I@
B = 1700
a = 50
1050
b = 50
200 500 700
400 600
c = 100
C = 1200
– Del gr>,ico' ,amilias ue no escucVan A pero escucVan 4 ó – Del diagrama, entonces escuchan B ó C, pero no A. !@@ H "@@ H 5@ = -- "pta$
+&)
6n una po#lación- 5@Y toma lecVe' el "@Y come carne' adem>s sólo los ue comen carne o sólo los ue toman lecVe son el 5"Y' ;u>l es el Y de los ue no toman lecVe ni comen carne<
a 25Y # 3@Y
c 2&Y
d "5Y
e 2"Y
1
2@ eran mudos 0 3@ eran cantantes callejeros. ;u>ntos de los ue no son cantantes callejeros' no eran mudos ni ciegos<
SOLUCIÓ! L= 50
a) 0
b) 5 c) -0 d) -5 e) 60 ! SOLUCIÓ *ompletemos los espacios "ue "ueden 'ac2os con 'ariables apropiadas, $ lue3o analicemos el 3r!#ico4
C= 40
50 – n
40 – n
n
x
:e *e- 5@ – nY H "@ – nY = 5"Y n = !&Y on el total5@ – !&Y H !&Y H "@ – !&Y H x = !@@Y De un grupo de 32 personas – " damas tiene ojos negros – !% damas no tienen ojos negros. – !@ damas no tiene ojos a)ules. – & *arones no tiene ojos a)ules o negros ;u>ntos *arones tienen ojos negros o a)ules< a " # % c $ d 5 e 3
SOLUCIÓ!
4
60. 6/ a 0
x 90 50
/0. 6/ b 0 c x 10 -0 x 1/0 x
x
+.)
8
Au!es b
+-) De un grupo de %@ estudiantes en la M9N:AA' se sa#e lo siguiente – !@ ,uman pero no *an a la #i#lioteca – 25 *an a la #i#lioteca pero no tienen !% aWos. – !$ ue no *an a la #i#lioteca no ,uman 0 tienen !% aWos. – 5 *an a la #i#lioteca' tienen !% aWos pero no ,uman – 2 ,uman' *an a la #i#lioteca 0 tienen !% aWos.
Cuntos estud*antes no t*enen 17 a+os, no -uan, n* .an a !a b*b!*oteca/ c !"
d !5
e !$
SOLUCIÓ! :egJn los datos Diagrama de arroll
$uan
o -uan 25
B*b!*oteca
o b*b!*oteca
0
"pta$
Del gr>,ico- $ H " H !! H a H # H & = 32 2I H a H # = 32 a 8 7 5 & "pta$
# !3
00 00 00
a
11
17
2
5
10
16
Durante un examen se o#ser*ó en un aula' ue !5 alumnos mira#an al tecVo 0 no usa#an lentes' !@ usa#an lentes 0 resol*1an el examen. 6l nJmero de alumnos ue usa#an lentes 0 mira#an al tecVo era el do#le de los ue resol*1an el examen 0 no usa#an lentes. :i en el salón Va#1a &5 alumnos. ;u>ntos resol*1an el examen<
a) 0
b) 5
SOLUCI'N(
c) -
Miran al ec3o
d) 0
e) 6
!es&elven E4amen U
Len%es
15
.5
a a
10
Del 3r!#ico: 15 a 10 a .5 5 a .5 a 60 a 0 or consi3uiente los "ue resol'2an el examen ser!n: 10 a 10 0 0
!*%a.
x 70 a!unos
De la ,igura- !@ H 25 H 2 H 5 H !$ H x = %@ 5& H x = %@ A 5 1% "pta$ De una muestra recogida a 2@@ transeJntes se determinó lo siguiente- $@ eran mudos %@ eran cantantes callejeros 0 I@ eran ciegos de estos Jltimos'
2
Del 3r!#ico:
0
c Ciegos 90
6
+#)
0
eos
10
a !2
b
a
A 5 %/ "pta$
++)
60 Can%an 0 U 00
M&dos
+/) En una #iesta, donde (ab2a 0 personas, 10
eran (ombres "ue no les 3ustaba la msica *78; 0 eran mujeres "ue 3ustaban de esta msica4
a) 10
b) 0
c) 0
d) -0
e) 5
A 5 %/B "pta$
-1)
SOLUCI'N(
Hom7res
M&8eres
U
Criolla
a
0
0
a
10
6l siguiente gra,ico representa a A A – 4 4 – A A 4 A – 4 9 – A – 4 DA 4 6A 4
B
%
SOLUCIÓ!
Del 3r!#ico:
A
10 a 0 a 0 0 -a 0 -a -0 a 10 (ora 3ustan de la msica criolla: a 0 0 +0) Se+n A, B, C t+- 7ue: n() = #3 n(A) = n(B) = %1 n(C) = %6 n!(A B) 9 C" = # n!(B C) 9 A" = n!A 9 (B C)" = 180 +--+ n(A B C) A) 4 B) C) 1 &) #
B
%
A – 4 4 – A = 2
3
"pta$
!*%a.
-%)
:i A 0 4 son dos conjuntos incluidos en el 9 tales ue- nA = !2 n4 = !$ nA 4 = % alcular- nA 4 A !& 4 2@ 23 D !% 6 !$
') 2
SOLUCIÓ! ?or propiedad se cumple- A �4 =A74 6ntonces- nA 4 = nA – 4 = % Ora,icando-
SOLUCIÓ: ; 18 < # < # < 26 = #3
n(A) = (12)
A = %1
(B) = 16
B = %1 #
18
7
+
5
11
> c
A– B C = 26
b
nA 4 = % H !! = 1/ "pta$
+ = 26 Ao+: n(B) = %1 > < + < # < = %1
-&) una reunión asistieron 6. turistas de los x = 5 Rpta.
-)
6n una po#lación- 5@Y toma lecVe' el "@Y come carne' adem>s sólo los ue comen carne o sólo los ue toman lecVe son el 5"Y' ;u>l es el porcentaje de los ue no toman lecVe ni comen carne< a 25Y # 3@Y c 2&Y d "5Y e 2"Y
SOLUCIÓ:
L = 50
cuales: 0 *onocen ?acna $ *usco: El nmero de turistas "ue conocen *usco es el doble de los "ue conocen sólo ?acna El nmero de los conocen ?acna es i3ual al nmero de los "ue no conocen ni ?acna ni *usco4 =*u!ntos turistas conocen sólo *usco> a) 1 b) c) d) e) 5
SOLUCI'N:
C = 40
50 – n
n
b
C
a U 6.
40 – n
a x
:e o#ser*a- 5@ – nY H "@ – nY = 5"Y n = !&Y on el total5@ – !&Y H !&Y H "@ – !&Y H x = !@@Y
Del 3r!#ico:
0
x b
56
a 0 a 0
a
(A B)
a 0 x b 6. 0 a 0 a 0 6. -a -. a 1
@inalmente: x x
a 0 1 0
N9ME!OS ENE!OS : �) N9ME!OS NAU!ALES : ) N9ME!OS !ACIONALES : �
!*%a.
x -
-+) En una batalla donde inter'inieron 100 (ombres4 - #ueron (eridos en la cabeAa4 - en el braAo4 en la pierna4 5 en la cabeAa $ braAo4 . en el braAo $ la pierna4 6 en la pierna $ en la cabeAa4 =*u!ntos #ueron (eridos en la cabeAa, pierna $ braAo a la 'eA> a) 1 b) c) d) e) 5
SOLUCI'N(
C
-
5
a
d x
6
Del 3r!#ico:
(C &) (A B) 9 (C &) !*%a.
$
#
;
;ANCO CE$!U UNSAAC $!O;LEMA 5
En el sistema de los nmeros enteros, indicar la 'erdad C) $ #alsedad @) de las si3uientes proposiciones: 7) a , + a / a a) F 0 77) a G 0 bH0 a bH0 777) a G b a cGb c, cG0 7C)a sustracción cumple con la propiedad de clausura4 ) @@CC D) @C@C
b e
.
c
- U 100
)
b
I) C@C@ E) @CC@
*) C@@C
SOLUCIÓN:
7)
a
, +a
/ a Ja) F 0
. #
- 5 6 -- -- -. B a d x # b e c 100 - . - # 100 10- # 100 - # @inalmente: # x 6 - x 6
x
!*%a.
--)
+ e*i@n sobe+d+ est+ d+do /o: +) (C &) (A B) b) (A B) 9 (C &) C c) (A 9 B) (C &) d) (A B) 9 (C &) e) (A B) 9 (C &)
A
+.ic+ndo:
A
777) a G b
B C
a4c G b4c , c G 0 a 4c G b 4 c ,
c G 0 , (aciendo c
1 1) G 1) 1 G como veras es falso)
7C) a sustracción cumple con la propiedad de clausura4
$!O;LEMA +
De las si3uientes proposiciones: 55
B
&
=ALSO )
Ejemplo práctico: sumiendo 'alores m2nimos
en 4 aGb F 1 1G
&
SOLUCIÓ!
77) a G 0 bH0 a4bH0 =ALSO ) Ejemplo: sencillo $ pr!ctico: sumiendo 'alores m2nimos en � ; *umplir! para cual"uier 'alor "ue cumpla:
7) os reales "ue no son racionales son los nmeros irracionales4 77)
*omo * � ; * H 0, en e#ecto pues al restar el ma$or %a& menos un menor & b & enteros positi'os da un * � ; cumple la condición4 777) b a F * b a H 0 b H a =ALSO) *omo * � ; * H 0, en e#ecto pues al restar el menor %b& menos el ma$or % a & enteros positi'os da un * � ; no cumple la condición S#lo II Rpta4
=*u!ntas proposiciones son #alsas>
De las proposiciones: 7) a �, + 0 � / a 0 F 0 a F a ; admite la existencia del elemento del elemento identidad o neutro aditi'o4 77)
) <ólo 77 D) 77 $ 7C
I) 7 $ 77 E) 77, 777, 7C
SOLUCIÓN:
*) <ólo 7C
I> os reales "ue no son racionales son los nmeros irracionales4 : II> III> 7 K F ; 7 K F donde 7, K, $ si3ni#ican los conjuntos de los nmeros irracionales, racionales, reales $ el conjunto 'ac2o, respecti'amente4 : I<> a H b # a H b a G b :=ALSO> a conjunción % & L) lo (ace #alsa; debe ser la dis$unción % &o); %o& es la ra2A positi'a %o& es la ra2A ne3ati'a pero no la intersección4 II ? I< Rpta.
$!O;LEMA ,
Dados los nmeros enteros positi'os a $ b, para la relación a H b, existe un nico entero positi'o c, tal "ue: 7) a c F b 77) a b F c 777) b a Fc
SOLUCIÓN:
*omo a H b $ c H 0 I> a c F b c F b a H 0 b H a =ALSO) ropiedad de ?ricotom2a); si la condición dice: a H b � , %a& no puede ser i3ual a %b& $ an adicionado con %c&4 En la propiedad de tricotom2a se cumple exactamente uno de los si3uientes casos: aGb ; aFb ó aHb 77) a b F c
a b H0 aHb
$!O;LEMA
) 7 $ 77 D) <ólo 77
I) 77 $ 777 E) 7, 77 $ 7C
*) 777 $ 7C
SOLUCIÓN: 7)
a , +0 / a 0 F 0 a F a; admite la existencia del elemento del elemento identidad o neutro aditi'o4 I@ II ? I< Rpta.
$!O;LEMA ara todo a, b $ c N, de las si3uientes proposiciones: 7) a G b a c G b c 77) a G b c G 0 a c H b c 777)a c G b c a G b 7C)a c G b c c H 0 a G b
SOLUCIÓN:
5+
:=ALSO> 7) a G b a c G b c $!O;LEMA 0 *omo a, b $ c �, no cumple si: * F 0 De las si3uientes proposiciones: Ceamos: eemplaAando 'alores m2nimos en 7) El elemento neutro en la multiplicación es la � En #orma similar al ejercicio anterior: *omo * G 0; (aciendo * F 1 SOLUCIÓN: a G b c G 0 a c H b c eemplaAando Calores m2nimos en �4 I> El elemento neutro en la multiplicación es la O *umplir! con cual"uier 'alor en �como pide $ unidad4 satis#a3a la condición del enunciado4 otros 'alores solución pr!ctica $ sencilla si no te II> El elemento neutro para la adición es nico4 acuerdas las propiedades)4 Veamos: :<> a Gb cG0 a c H b c III>a di'isión no cumple la propiedad de la G c G 0 1) H 1) �4 cerradura en H :<> *omo podr!s obser'ar si cumple la condición) Ning&na es alsa. !*%a. 777) a c G b c a G b :=ALSO> $!O;LEMA 1 *omo a , b $ c �, no cumple si: * F 0 Determine la 'erdad o #alsedad de: En #orma similar al ejercicio anterior: a c G b c aGb 7) ! a N, se tiene a F a a 0) G 0) 0 G 0 77) ! a, b, c N, si a $ b F a $ c, entonces b F c *omo podr!s obser'ar esto es absurdo) 777) ! a N, existe un nico b N 7C) a c G b c c H 0 a G b : Donde: a $ b F a En #orma similar al ejercicio anterior: ) @@C I) @@@ *) CC@ D) C@@ E) CCC *omo * H 0 ; (aciendo * F 1 SOLUCIÓN: eemplaAando Calores m2nimos en �4 ?odas son #alsas, considere para cada caso a F 0 a c G b c c H 0 a G b :=> 7) 0/0 es indeterminado 1) G 1) c H 0 G 77) 0 $ F 0 $ - no se cumple: F - :=> G :=> 777)0 $ F 0 pero tambiPn 0 $ 5 F 0 *omo podr!s obser'ar si cumple la condición) === !*%a. II ? I< Rpta.
$!O;LEMA /
De las si3uientes proposiciones: 7) El nmero cero es un nmero irracional4 77) a suma cumple con la propiedad de clausura en 7M4 777)a sustracción no cumple la propiedad de la cerradura, est! de#inida parcialmente en 7M4 =*u!ntas proposiciones son 'erdaderas> )
SOLUCIÓN:
I> El nmero cero es un nmero irracional4 :=> II> a suma cumple con la propiedad de clausura4 :<> III> a sustracción no cumple la propiedad4 de la cerradura, est! de#inida parcialmente en 7M4 :<> II ? III Rpta4 5,
$!O;LEMA 2
=*u!ntas de las expresiones si3uientes son #alsas> 7) ?odo nmero natural es racional 77) El nmero 11 no es un nmero racional 777) 15 es un nmero racional 7C) Mo existe una #racción con denominador cero4 C) Entre nmeros racionales existe otro racional4 ) 1 I) *) D) E) 5
SOLUCIÓN:
a nica #alsa es: 11 no es un nmero racional4 5 !*%a4
$!O;LEMA 56
De las si3uientes proposiciones: 7) a operación de la adición est! totalmente de#inida en el sistema de los nmeros enteros4
77) Entre los nmeros a $ a1, existe otro entero4 777)En el sistema de los nmeros enteros, la operación de la di'isión cumple con la propiedad de la clausura4 7C)En el sistema de los nmeros enteros, el elemento neutro aditi'o es nico4
774J a,b �, si a G b entonces a4c4 H b4c, c H0 7774J a,b �, se cumple: a F b a H b a G b 7C4J a,b,c �: si a G b entonces a c G b c ) 7 $ 777 I) 7 $ 77 *) 77 $ 7C D) 77 $ 777 E) 7 $ 7C
SOLUCIÓN:
74J CEDDE<8 7774J @<8
774J @<8 7C4J CEDDE8 <==< !*%a.
SOLUCIÓN:
De las si3uientes proposiciones: 7) a operación de la adición est! totalmente de#inida en el sistema de los nmeros enteros4
CUA!O O$E!ACIONES
;ANCO CE$!U UNSAAC 1)
$!O;LEMA 55
De las si3uientes proposiciones: 7) os nmeros eales son %Densos& pero no son continuos4 77) os nmeros acionales son %Densos& $ continuos4 777)En el sistema de los nmeros Maturales existen %opuestos aditi'os& e %in'ersos Qultiplicati'os4 os respecti'os 'alores de 'erdad son: ) @@@ I) C@C *) C@@ D) @CC E) @@C
A H 4 H H.TTH 6 = : Mn nJmeros : H A H 4 H H.TTH 6 = %S Dos *eces la suma Mn nJmeros
%)
"pta$
Ea di,erencia de dos nJmeros es 3@5. :i al ma0or le uitamos 2@ 0 al menor le aumentamos &5. Ea nue*a di,erencia es A 2@@ 4 !5@ !@@ D 3@@ 6 N.A.
SOLUCI'N:
7) =ALSO: os nmeros eales son %Densos& $ continuos4 77) =ALSO: os nmeros acionales son %Densos& pero no son continuos4 777) =ALSO: En el sistema de los nmeros Maturales no existen %opuestos aditi'os ni in'ersos Qultiplicati'os&4 === !*%a. De las si3uientes proposiciones, las 'erdaderas son: 74J a � 0 ,existe a 1 �tal "ue a4a 1 1
:i una *e) o#tenida la suma de Mn nJmeros' se *uel*e a sumar inclu0endo la suma Vallada' la nue*a suma esa Dos *eces la suma # 9no de los sumandos c res *eces la suma d Ea misma suma e Ea mitad de la suma
SOLUCI'N:
SOLUCIÓN:
$!O;LEMA 5+
Adici#n S&s%racci#n Com*lemen%o Ari%mB%ico M&l%i*licaci#n Divisi#n
:ean los nJmeros A 0 4 am#iPn- A – 4 = D A – 4 = 3@5
Del enunciando aplicando propiedadA – 2@ – 4 – &5 = 3@5 – 2@ – &5 A – 2@ – 4 – &5 = 3@5 – !@5 A – 2@ – 4 – &5 = 2@@ Ea nue*a di,erencia es 2@@ "pta$
&)
Ea suma de los tres tPrminos de una sustracción es !I"5$ 0 el sustraendo es la cuarta parte del minuendo. Kallar el sustraendo. A 2"32 4 2"3@ 2"33 D 2"3! 6 N.A.
5
SOLUCI'N:
SOLUCI'N:
6n enunciado- G H : H D = !I"5$ T+ :a#emos- G – : = D Donde- G = : H D
:ea el nJmero de 3 ci,ras- a#c Del enunciado' o#tenemos.A. a#c – a#c = 2&$
G H : H D = !I"5$
!@@@ – a#c – a#c = 2&$ %!" = 2 a#c
G H G = !I"5$ 2G = !I"5$ G = I%2&
Del dato- : =
1 G -
.)
:=
+)
a#c 5 &-. "pta$
1 I%2& -
: = 2"32 "pta$
A 2@
R1jateS' si en una sustracción' al sustraendo le adicionas !"@ 0 le restas el cu>druple de la suma del sustraendo mas la di,erencia. #teniPndose como resultado el minuendo. :a#iendo ue el sustraendo es el ma0or nJmero posi#le cu0a suma de ci,ras es 3 0 ue la di,erencia es un nJmero no negati*o di,erente de cero. alla la suma de los # $@
c $5
d
%$1-�+b - = !@@@ – 2 Ac+b+ en %
/)
6l do#le de un nJmero de 3 ci,ras excede al triple de su .A. en 3&@. Vallar el nJmero. D $%$
6 523
0)
6l .A. de un nJmero es %3. :i el do#le del nJmero le agregamos su .A. resulta !IIIII2%. Kallar la ci,ra del segundo orden. A ! 4 2 3 D " 6 5
SOLUCI'N:
.A. ab = !@@ – ab .A. ab = !@@ – ba Del enunciado- !@@ – ab H !@@ – ba = %I !@@ – !@a–#H!@@–!@#–a = %I 2@@ – %I = !!a H !!#
11 a b 11 a 8 7 5 11 "pta$
5
$%@
6 !!
SOLUCI'N:
#)
4 $%%
:ea el nJmero de 3 ci,ras- abc Del enunciado del pro#lema' o#tenemos2 abc – 3B.A. abcC = 3&@ 2 abc – 3B!@@@ – abcC = 3&@ 5 abc = 33&@ abc = #.# "pta$
"pta$
allar! a 8 7$
4 $3 II D &I
Nos piden- 2! H 3$ = % "pta$
SOLUCI'N:
Coo " a:o ;os*b!e (sua de c*-as es 3) =<
:i la suma de los .A. de ab 0 ba es %I.
A !$
nnn R Ac+b+ en %
+b = !$% a = ! # = $
3@ H !"@ = 5G G = 3" – 6ntonces' piden- :uma tPrminos de la sustracción GH:HD
-)
6 3@
AVora- !@@@ – 2 $ +b = $$$
A $%5
G H G = 2G 23" = #/
D !I
!@@@ – +b – +b = nnn
SOLUCI'N:
: H !"@ – " G = G – (empla)ando: H !"@ = 5G
I
1- - nnn +b Dato- CA(+b)
e$I
– #ser*aDe- G – : = D Prminos de la sustracción – Del enunciado: H !"@ – ": H D = G
4 !&
SOLUCI'N:
trminos de dic@a sustracci=n a $&
:i el complemento aritmPtico de +b es igual a nnn +b . Kallar 2aH 3#
6l nJmero de tres ci,ras ue restado de su complemento aritmPtico da 2&$ esa "25 # !2! c 225 d 25% e 35%
:ea MN el nJmero 0 Mn su cantidad de ci,ras. ?ero ANN = !@ n – N = %3 T+ n Del dato- 2N!@ – N = !IIIII2% T++ (estando- ++ – +2N H !@n – N = !IIIII2% – !@n H N = –%3 2N = !IIIII2% – %3 N = IIIII %%
Identi*icandola ci*ra de segundo orden es ! % "pta$
1)
Kallar- a H # H c :i- A = a#c a 5a !# 2 a !@ # !2 c !5 d !%
SOLUCI'N:
e !I
SOLUCI'N:
I aI # !@ c a 5 a !# 2
De- a#cd $ "3 !Z ?roducto parcial = 3 a#cd
omparandoI – a = a H 5 a = 2 I – # = a H ! # = $ !@ – c = # H 2 c = 2
2Z ?roducto parcial = " a#cd :umando los productos parciales% a#cd = TT55"3 rdenando-
a H # H c = 1 "pta$ * "a '
11):i- A Ba#c =!5 C ( 3 %=$#=2c =!5 )
Kallar- a H # H c a !! # !3
SOLUCI'N:
&
c !2
d !5
a#cd $ % .....55"3
e !$
9tili)ando la regla pr>ctica !" a!" #!5 c !5 "a 3 "2 – 3a = "a "2 = %a a=$ !" – a =
!5 – c = 2c !5 = 3c c=5
?iden- a H # H c = 1& "pta$
1%)
6l producto de dos nJmeros enteros es igual a ""232' al disminuir el multiplicador en !!' el nue*o producto es "!%2". 6l do#le del multiplicador es-
A ""$
4 3&&
2$I D 35&
Ea suma de dos nJmeros es %%$ 0 el cociente !2' siendo su residuo "&. Kallar el nJmero ma0or. a &!5
6l producto de 2 nJmeros es %2@. si se aumenta $ unidades a uno de los ,actores' el nue*o producto es &!$ el *alor del otro ,actor' es -
(1er.Ex.CEPRU) a !"
SOLUCIÓ:
# !&
c !$
d !%
e !5
– :a#emos del productoG x m = %2@ – DatoGH$ m = &!$ – 6,ectuando-
%2@H$m = &!$ $m = &!$ – %2@ I$ m= m 5 1# "pta$ $ 1+) Kallar la suma de las ci,ras de un nJmero de cuatro ci,ras' sa#iendo ue' al ser multiplicado por "3 se o#tiene como suma de sus productos parciales un nJmero ue termina en 55"3. a 2@ # 25 c 2" d 22 e 23
# %2@
c 53@
d $55
e 35@
SOLUCI'N:
SOLUCI'N:
1&)
$
1-)
6 35!
:ean- G = multiplicando m = multiplicador :a#emos- G $ m = ? Datos- G $ m = ""232 T + Gm – !! = "!%2" perandoG $ m – !!G = "!%2" T ++ (empla)ando- + 0 ++""232 – !!G = "!%2" ""232 – "!%2" = !!G 25@& = !!G G = 22& Gultiplicando De +- G $ m = ""232 22& $ m = ""232 m = !I" Gultiplicador 6l do#le de m = 2!I" = &// "pta$
a#cd % .....55"3
Gultiplicando en ,orma ordenada% $ d = 3 d = I % $ c H $ = " c = " % $ # H 3 = 5 # = $ % $ a H " = 5 a = 3 6ntonces- a#cd 3$"I :uma de ci,ras- 3 H $ H " H I = %% "pta$
* "a ' ( %$#2c )3& !5
!" – # = $# !" = %# #=2
3$"I
Del dato- A H 4 = %%$ A = %%$ – 4 T+ Del enunciado A 4 "& !2 A = !24 H "& T++ (empla)ando + en ++%%$ – 4 = !24 H "& %2& = !34 4 = 5$ (empla)ando en +- A = %%$ – 5$ A = .% 'n6mero maor) "pta$
1#)
6l residuo de la di*isión de cierto nJmero entre !3' es !! pero dicVo nJmero si se di*ide entre !!' el cociente aumenta en ! 0 el residuo anterior disminu0e en !. ;u>l es el nJmero< a !2 # &$ c %$ d "5 e 3$
SOLUCI'N: :ea A el nJmero Del enunciado A = !3 H !! T + A = !! H ! H !@ T++ +gualando + 0 ++ !3 H !! = !! H ! H !@ =5 Euego- A = !35 H !! = .# "pta$ 1.) Ea suma de dos nJmeros es 323. Al di*idir el ma0or de los nJmeros por el otro' se tiene !$ de cociente 0 residuo m>ximo. 6l nJmero ma0or es A 3@2 4 23" 3@5 D 3@" 6 2"3
SOLUCI'N:
5/
– :ean los nJmeros- N 0 323 7 N 323 E E – ondición- (n 1) 1 6
el di*idendoa !2@@ # !2I$
– ?or el algoritmo de la di*isión- 323 – N = !$N H N – ! 323 – N = !$N H N – ! N = !& F ?iden- 323 – !& = 3@5 "pta$ :* d*.*des un enteo, cu:o d*.*so es 35 :
obt*enes 8 de coc*ente : su es*duo ;o exceso es 5 a!!a !a sua de! d*.*dendo s e! coc*ente> da coo es;uesta !a sua de c*-as a !!
# !2
c !@
d !5
e !3
SOLUCI'N: Reamos S – :ea MN el nJmero entero – Donde- Dato N 35 5 & 6xceso F ¡No mencionan ue & es cociente por excesoS F 6ntonces se asume ue & es cociente por de,ecto – 6ntoncesDato N 35
Di*isión por exceso
5 & H ! N = 35I – 5 6xceso N = 3!@ – ?iden- suma del di*idendo H cocientede,ecto 3!@ H & = 3!& F :uma de ci,ras- 3 H ! H & = 1% "pta$
10)
Al di*idir dos nJmeros por de,ecto 0 por exceso' se o#tu*o como residuos- 3! 0 2! respecti*amente. :i la suma del di*idendo' di*isor 0 cociente es I&". Kallar el Di*idendo A I@2 4 I3" I@5 D I@" 6 I!5
SOLUCI'N: – Del enunciado
(empla)ando"
?or de,ectoD n 2"
?or excesoD
+
n !$
n
n&
%1)
Kallar la suma de todos los nJmeros enteros ue al ser di*ididos entre 25 originan un cociente ue es el triple del residuo ! a 223$! # 22&@@ c 3$"5! d %%&@@ e "@@I$
SOLUCI'N: D
25
D = 253( H ( ( 3( D = %$( ( L 25 ?ropiedad Donde el residuo es un *alor no ilimitado en una di*isión inexacta omo D = %$(' la suma de sus posi#les *alores ser>(ecuerda- (min = ! (max = 2" :uma D = %$ $ ! H %$ $ 2 H T H %$ $ 2" %$! H 2 H 3 H T H 2" = %%/ "pta$
%%)
de coc*ente : un esto x*o Cuntos n?eos cu;!en con d*c@a cond*c*n/ Al di*idir +bc
entre !% se o#tiene
4 2"2 0 "I& solo "2& 6 "2"' 2"2 0 &"I
RigreS :a#es- Desto ,á>i,o diFiso 1 +bc
1
16
bc
,á>i,o
a#c = !% #c H !$ !@@a H #c = !% #c H !$
!@@a = !$ #c H !$
r de, r exc di*isor
52 H 3! H 52 H = I&" 53 = I@! = !% – 6ntonces D- 6n +- D = d $ H r de, D = 52 $ !% H 3! D 5 01- "pta$ %) 9na di*isión se e,ectJa por de,ecto 0 por exceso' encontr>ndose ue- el resto por de,ecto' el resto por exceso' el cociente por de,ecto 0 el di*isor' ,orman una progresión aritmPtica de ra)ón &. Kallar
bc
SOLUCI'N:
D d r exc H ! D = d H ! – r exc T++
d $ H r de, H d H = I&"
++
r de, H r exc = Di*isor ?ropiedad n H n H & = n H 2" 2n – n = 2" – & n = !$ 6n- + ?or de,ecto D = d $ H r de, D = n H 2"n H !$ H n D = "@ $ 32 H !$ D = 1%0# "pta$
F Por eAceso
– (empla)ando- 3! H 2! = di*isor = 52 D H d H = I&" T++
n 2"
De(empla)ando-
D d r de, D = d $ H r de, T+
50
e !"23
r de, = n r exc = n H & = n H !$ di* = n H 2"
A "2" 0 &"I D :olo &"I
F Por de*ecto
– DatosF r de, = 3! F r exc = 2!
d !35@
SOLUCI'N:
Desiduo ,á>
1/)
c !3@@
25a = " #c H " 25a = " #c H !
#ser*a cViuitoaMa de#e contener a "' 0a ue 25 no lo contiene' entonces a = " 25 = bc H ! bc = 2"
a=&
+bc = +%+
5@ = bc H ! +bc = /+0 bc = "I
6ntonces- +%+ /+0 "pta$ GO7servaH Ma 0a no puede tomar el *alor !2' Ma es de una ci,ra.
%&)
+--+ “c” en -+ si*uiente su+: +%b 4b+2 c+ bb+68
++ A @
4 2
"
D $
6l cociente de dos nJmeros irracionales es un nJmero irracional. +++ oda operación reali)ada con un par de nJmeros racionales genera otro nJmero racional.
6 &
SOLUCIÓN:
A%"# H 5#a2 c%a ##a$&
&e -os i--+es --eFo G1H b=1 'n -+s unid+des: 1 < 2 < + = 8 + = 4 'n -+s decen+s: % < 4 < = 16 (--eFo G1H) 'n -+s centen+s: 1<<1
Los es;ect*.os .a!oes de .edad son" a
#
SOLUCI'N:
c
d
e
+
odo nJmero ,raccionario es racional pero no todo racional es un nJmero ,raccionario. 6jemplo- :on nJmeros racionales@ !2 !3 I 3 ! ' ' "' ' ' ' . I 3 ! % " !@
De los nJmeros racionales son solamente ,racciones racionales-
I 3 ! ' ' % " !@
(ecuerda ue toda ,racción racional-
%+)
9na #otella pesa "25gr 0 llena de agua pesa !!%5gr ;u>ntas #otellas semejantes ser>n necesarias para *aciar en ellas el contenido de un #arril de 225 litros<
A 2@@
4 3@@
!@@
D "@@
@
a Q' a @' a # ' # QH ++
de Nmeros Sis%ema !acionales : �> Nmeros =raccionarios Nmeros Avales =racciones Decimales O*eraciones( =racci#n Genera%ri
%-)
6l gasto de una casa Va ascendido desde el !ro de enero Vasta el !% de octu#re inclusi*e' a :/. !3@5@@. ;6n cu>nto Va0 ue disminuir el gasto diario para ue Pste al ,inal del aWo' sea :/. !53@@@< !5@
D !%@
6 2@@
SOLUCI'N: Del !ro de enero al !% de octu#re se tiene 2I@ d1as 6ntonces cada d1a gasta-
10500 = :/. "5@ 90
Euego6l !& de octu#re el gasto diario disminu0e en"5@ – 3@@ = S$ 1- "pta$
un
$!O;LEMA 5.
Dada las si3uientes proposiciones: 7) a suma de dos #racciones irreductibles es otra #racción irreductible4 77) ?odo nmero #raccionario es un nmero racional $ rec2procamente4 777)?oda #racción impropia es menor "ue la unidad4 os respecti'os 'alores de 'erdad son: ) @@@ I)C@C *) C@@ D) @CC E) @@C a c ad bc b d bd
7)
500 = :/. 3@@ 5
Dada las siguiente proposiciones ! odo nJmero ,raccionario es racional 0 rec1procamente.
;ANCO CE$!U UNSAAC
SOLUCIÓN:
?ara concluir el aWo- 3$5 – 2I@ = %5 d1as ?ara estos %5 d1as se gastó!53@@@ – !3@5@@ = :/. 225@@ ada d1a gasta de los %5
+
N9ME!OS !ACIONALES : �>
:e desea *aciar 225 litros 225 @@@g 224$$$ V = V = 3@@ #otellas "pta$ 4$
%#)
= ! (acional
((( "pta$
P2 = %&@g
4 !"@
2
No conta#an con tu astuciaS
Del enunciado: ?#otella = "25g ?#otella H P2 = !!%5g
A !2@
2
+++ 6jemplo- 2!/2 = +rracional
6 5@@
SOLUCI'N:
6jemplo-
a #
nJmero
51
9 ,
De los racionales son #racciones racionales: 1 , - 10 ecuerda "ue toda #racción racional:
a b
$!O;LEMA +.
Dada las si3uientes proposiciones: 7) ?odo nmero #raccionario es un nmero racional $ rec2procamente4 77) El cociente de dos nmeros irracionales es un nmero irracional4 777)?oda operación realiAada con un par de nmeros racionales 3enera otro nmero racional4 os respecti'os 'alores de 'erdad son: ) @@@ I) C@C *) C@@ D) @CC E) @@C
SOLUCIÓN:
7) ?odo nmero #raccionario es racional pero no todo racional es un nmero #raccionario4 Ejemplo:
=) ===
=) Rpta.
$!O;LEMA ,.
Dado los nmeros decimales periódicos mixtos: A F 1, x $ B F 1, y x ; se obtiene A+B = 2, . Sallar: el 'alor x + y ) . I) 5 *) D) 9 E) 11
SOLUCIÓN:
– A F 1, x $ 1 x$ x F 90 x$ x) 90 90 90 10x $ x 90 9x $ F F TT7) 90 90 – B F 1, y x 1 $x x F 90 $x $) 90 90 90 10$ x $ 90 9$ x I F I F TT77) 90 90 A + B = 2, . TT4447)77) Dato :
52
90 9x $ TT7) 90
I F
90 9$ x TT77) 90
90 9x $ 90 9$ x 90 . 1.0 10x 10$ 1.0 10x 10$ 2, . F F 9 90 90 6 x 90 1.0 F 10x$) 9 60 1.0 F10x$) .0 F 10x$); El 'alor x + y Donde : x $ F 1 !*%a4
IF
o a N, a 0, a b , b N =) 777) ?oda #racción impropia es menor "ue la unidad =) === Rpta4
77) Ejemplo:
F
$!O;LEMA .
Entre /- $ -/5, =*u!ntas #racciones irreducibles existen, tales "ue la di#erencia de sus tPrminos sea 5> ) I) *) D) 5 E) 6
SOLUCIÓN: Dato: Di#erencia de los tPrminos, 54 Donde: $ - 5 Dando comn denominador: 5 - 15 16 $ $ - 5 5 0 0 15 a 16 *ondición: G G 0 a 5 0 1er: do: 15a 5 G 0a 0a G 16a .0 5 G 5a -a G .0 15 G a a G 0 15 G a G 0 a F R16, 1, 1., 19B *uatro #racciones irreductibles, #orma: 16 1 1. 19 a ; ; ; 1 a 5 racciones irred&c%i7les !*%a4
$!O;LEMA . 1. ori3ina un nmero decimal - inexacto periódico puro =*u!l es la ltima ci#ra del per2odo>
) D) 5
SOLUCIÓN:
I) E) 6
*) -
or consi3uiente: n F / Rpta4
Sallar una #racción e"ui'alente a /5 cu$o denominador sea 654
$!O;LEMA /.
l simpli#icar la expresión( 1,6 0, ) ) ) 0, 1,6 ,6 ) 10/ D)
I) 11/5 E) 5
) 6/56 D) 56/6
SOLUCIÓN: 5
*) 1/
1,6 0, ) ) ) 0, 1,6 ,6 6 1 9 9 6 6 1 9 9 9 1 9 5 5 . - 11 11 5 5
SOLUCIÓN:
I) / E)
*) 1
SOLUCIÓN 1 6
x
1 Rpta.
$!O;LEMA 1. 9 =*u!nto le #alta a la #racción para ser i3ual a la #racción decimal 1,111TT> 9 1 10 1 ) I) *) D) E) 99 99 99
SOLUCIÓN:
Dato: Di#erencia de estos tPrminos sea 54 Donde: - $ 5 Dando comn denominador: 5 - 15 16 $ $ - 5 5 0 0 15 a 16 *ondición: 0 G a 5 G 0 1er: do: 15a 5 G 0a 0a G 16a .0 5 G 5a -a G .0 15 G a a G 0 15 G a G 0 a F R16, 1, 1., 19B *uatro #racciones irreductibles, #orma: 16 1 1. 19 a ; ; ; a 5 1 Rpta4 - #racciones irreductibles
*u!nto le sobra a / para ser i3ual a la di#erencia entre 1/ $ 1/4
x
n 5n
Entre /- $ -/5, =*u!ntas #racciones irreducibles existen, tales "ue la di#erencia de sus tPrminos sea 5> ) I) *) D) 5 E) 6
$!O;LEMA 0.
1 1
*) 65/6
$!O;LEMA 56.
Rpta4
x
I) 6/65 E) 6/6
Del dato( Denominador es 65 5n 65 n 1 eemplaAando: n 1) 6 la #raccion Rpta. 5n 51) 65
SOLUCIÓN:
) 1/ D) 1/-
$!O;LEMA 2.
$!O;LEMA 55.
El 'alor de la expresión: E F 45 04 04. 9 -45 5 ) 041 I) *) D) 1 -5 6
SOLUCIÓN:
E)
1
@2jate sobrinoa)4 Sallas las #racciones 3eneratrices: 5 5 10 45 F 10 04 9 . . 5 04. 90 F 90 -5 5 -45 - 10 F 10 – (ora: VreemplaAa+ 5 0 5 5 5 10 9 90 90 -5 10 EF F 9 9 -5 10 –
+6
