UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE AUDITORÍA DÉCIMO SEMESTRE SEMINARIO DE INTEGRACIÓN PROFESIONAL SALÓN 210 S-3, JORNADA: NOCTURNA LICENCIADO: WALTER AUGUSTO CABRERA AUILIAR: ALBA MONRO! CASTILLO
TRABAJO 17, SEGUNDA FASE ANUALIDADES
GUATEMALA, 2" DE FEBRERO DE 200#
INTEGRANTES
Nombres y Apellidos
Carné
M$%&'( R)&) V*+
00 .1 1 10 30
L/$ !)+$ G+ M'&)
20 0 01 " 2 3
D$&$ O&'($ V)+456) G$+)$&'
2 0 0 11 7 # 8
R'&% C$9)++$&' C$(($&$
20 011 8.
S6+$ A6)&$ U((69$ R$()
20 0 12 07 . 2
E+; D$/'<)(9' L=>) T?&@)
2 0 02 1 7 "2
L)<% ) +' A& A&/)+) )+) F6 F6)&9) G= G=)
2003 003180 80
D$(+)&) I;'&&) B'&++$ D6$(9)
20 0 31 73 0
Cordinadora:
D$(+)&) I;'&&) B'&++$ D6$(9)
Tesorera:
D$&$ O&'($ V)+456) G$+)$&'
INTEGRANTES
Nombres y Apellidos
Carné
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00 .1 1 10 30
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2 0 0 11 7 # 8
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Cordinadora:
D$(+)&) I;'&&) B'&++$ D6$(9)
Tesorera:
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INDICE Tema
Pág. No.
Introducción
i
CAPITULO I 1. GENERALIDADES DE LA ATEATICA
!1
1.1
CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA
0
1.
!"# SI$NI%ICA LA &ALA'RA MATEMÁTICA
0(
1.(
!"# ES LA MATEMÁTICA
0(
1.)
AL$"N*S &R*'LEMAS MATEMÁTIC*S.
0(
1.+
C,M* SE DA LA INN*-ACI,N EN LA MATEMÁTICA
0)
1.
LA NAT"RALE/A DE LAS MATEMÁTICAS
0+
1.
&A"TAS RELACI*NES
0
1.2 1.2
MATE MATEMÁ MÁTI TICA CAS3 S3 CIEN CIENCI CIA A TECN TECN*L *L*$ *$ÍA ÍA
02
1.4
LA IN-ESTI$ACI,N MATEMÁTICA
04
1.4.1 Abs5ra66i7n y represen5a6i7n simb7li6a
10
1.4. Manip8la6i7n de los en8n6iados ma5em95i6os
11
1.4.( Apli6a6i7n
1
1.10 DE%INICI,N DE MATEMÁTICA %INANCIERA 1.10.1 1.10.1 Con6ep5os Con6ep5os '9si6os '9si6os
1( 1)
1.10.1.1
%a65ibilidad E6on7mi6a
1)
1.10.1.
%a65ibilidad %inan6iera
1)
1.10.1.(
%a65ibilidad E6 E6on7mi6a :ers8s %a65ibilidad %inan6iera
1)
1.10.1.)
-alor E6on7mi6o A;re;ado
1+
1.10.1.+
&roye65o de In:ersi7n
1+
1.10. Rela6iones de la ma5em95i6a ma5em95i6a
1
INDICE Tema
Pág. No.
CAPITULO II "
GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES
"!
.1
DE%INICI,N DE AN"ALIDADES
1
.
*TRAS DE%INICI*NES IM&*RTANTES
(
..1 In5er:alo o &er=odo de &a;o
(
.. &la>o de la An8alidad
(
..( Ren5a
(
.(
&RINCI&ALES A&LICACI*NES DE LAS AN"ALIDADES
(
.)
#&*CAS DE -AL"ACI,N DE LAS AN"ALIDADES
(
.+
*'?ET* DE CÁLC"L* DE LAS AN"ALIDADES
+
.
ELEMENT*S !"E C*N%*RMAN LAS AN"ALIDADES
+
CAPITULO III #
CLASI$ICACI%N DE LAS ANUALIDADES
"&
(.1
AN"ALIDADES CIERTAS * A &LA/* %I?*
(.1.1 En <8n6i7n de la épo6a de pa;o de 6ada ren5a
(.1.1.1
-en6idas 8 ordinarias
(.1.1.
An5i6ipadas o inmedia5as
(.1.1.(
Di
2
(.1. A5endiendo la periodi6idad de los pa;os y la
a6iones de in5erés (.1..1
"n pa;o de ren5a en el a@o y 5asa de in5erés e
(.1..
4
-arios pa;os en el a@o y 5asa de in5erés e
(.1..)
4
"n pa;o de ren5a en el a@o y 5asa de in5erés nominal
(.1..(
4
4
-arios pa;os en el a@o y 5asa de in5erés nominal.
4
INDICE Tema
Pág. No. (.1..+
&a;os por per=odos mayores de 8n a@o y 5asa de in5erés e
(.1..
&a;os por per=odos mayores de 8n a@o y 5asa de in5erés nominal.
(.1.( A5endiendo la :ariabilidad de los pa;os de ren5a
(.
4 4 4
(.1.(.1
Cons5an5es
4
(.1.(.
-ariables
4
AN"ALIDADES A &LA/* INDE%INID*
4
(..1 Ren5as perpe58as
4
(.. Cos5o 6api5ali>ado
(0
(..( Cos5os e8i:alen5es
(0
(..) L=mi5e de ;as5os para alar;ar la :ida B5il de 8n a65i:o (.(
(0
AN"ALIDADES C*NTIN$ENTES * E-ENT"ALES
(0
(.(.1 Ren5as :i5ali6ias
(1
(.(. Do5e p8ra
(1
(.(.( Se;8ros de :ida
(1
CAPITULO I' (.
PRONTUARIO DE $ORULAS DE ANUALIDADES ).1
#"
AN"ALIDADES
((
).1.1 Mon5o
((
).1. -alor a658al
((
).1.( Ren5a en <8n6i7n del mon5o
()
).1.) Ren5a en <8n6i7n del :alor a658al
()
).1.+ Tiempo en <8n6i7n del mon5o
()
).1. Tiempo en <8n6i7n del :alor a658al
(+
INDICE Tema
Pág. No.
).
).(
).)
AN"ALIDADES &A$ADERAS CADA AF*S
(+
)..1 Mon5o
(
).. -alor a658al
(
)..( Ren5a en <8n6i7n del mon5o
(
)..) Ren5a en <8n6i7n del :alor a658al
(
)..+ Tiempo en <8n6i7n del mon5o
(
).. Tiempo en <8n6i7n del :alor a658al
(
AN"ALIDADES -ARIA'LES EN &R*$RESI,N ARITM#TICA
(2
).(.1 %a65or del mon5o G%MH
(2
).(. %a65or del :alor a658al G%-AH
(2
AN"ALIDADES -ARIA'LES EN &R*$RES ARITM#TICA CRECIENTES
).+
).
(4
).).1 Mon5o
(4
).). -alor a658al
(4
).).( &rimer pa;o en <8n6i7n del mon5o
)0
).).) &rimer pa;o en <8n6i7n del :alor a658al
)0
).).+ Di
)0
).). Di
)1
AN"ALIDADES -ARIA'LES EN &R*$RESI,N $E*M#TRICA CRECIENTES
)1
).+.1 Mon5o
)
).+. -alor a658al
)
).+.( &rimer pa;o par5iendo del mon5o
)(
).+.) &rimer pa;o par5iendo del :alor a658al
)(
AN"ALIDADES A &LA/* INDE%INID* RENTAS &ER&ET"AS
))
INDICE Tema
Pág. No. )..1 -alor a658al )..1.1
)+ &a;adera 6ada J a@os
).. Ren5as
)+
)...1
&a;adera 6ada J a@os
)...
&a;adera an8almen5e o en per=odos menores de 8n a@o
)..( Tasa de in5erés )..(.1
&a;aderas 6ada J a@os
)..(.
&a;adera an8almen5e o en per=odos menores de 8n a@o
).
).2
)+ )+ )+ )+ )+
AN"ALIDADES A &LA/* INDE%INID* C*ST* CA&ITALI/AD*
)
)..1 Cos5o ini6ial y de reempla>o di
)
).. Cos5o ini6ial y de reempla>o i;8ales
)
AN"ALIDADES A &LA/* INDE%INID* K C*ST*SE!"I-ALENTES
).4
)+
)
LÍMITE DE $AST*S &ARA ALAR$AR LA -IDA TIL DE "N ACTI-*
)
).10 RENTAS -ITALICIAS
)2
).11 D*TE &"RA
)4
).1 SE$"R* DE -IDA
+0
CAPITULO ' )
E*EPLOS DE ANUALIDADES
)1
Con6l8siones
4
Re6omenda6iones
0
'iblio;ra<=a
1
INTRODUCCI+N La presen5e in:es5i;a6i7n es reali>ada 6on el 9nimo de 6ono6er las erramien5as ma5em95i6as para 5oma de de6isiones en las a65i:idades 6asos pr965i6os de an8alidades.
CAPÍTULO I
GENERALIDADES DE LA ATE,TICA En el presen5e 6ap=58lo se m8es5ran las ;eneralidades de la ma5em95i6a.
O-*ETI'OS Dar a 6ono6er la de
•
ma5em95i6a
•
. •
Es5able6er la rela6i7n 8e 5ienen la ma5em95i6a
1.1
CARACTERSTICAS DE LA ATE,TICA
La Ma5em95i6a posee :arias 6ara65er=s5i6as 8e la a6en di
•
La primera es 8e es m8y di<=6il de des6ribir o dearse. Es5o3 a8nado a 8na mad8re> ma5em95i6a o en5renamien5o ma5em95i6o le permi5e al ser 8mano asimilar 8na b8ena 6an5idad de ideas abs5ra65as. &or eemplo3 5ra5e 8s5ed de eOpli6arle a s8 sobrini5a pre;8n5ona 8é es la adi6i7n3 o de 8é se 5ra5a la $eome5r=a Anal=5i6a3 o 8é es 8n anillo. Re8erir93 desp8és de m86as eOpli6a6iones in58i5i:as3 es5able6er de
•
La se;8nda 6ara65er=s5i6a es 8e posee 8na l7;i6a per
•
La 5er6era es lo 6on6l8si:o de la Ma5em95i6a3 es5o es3 las di
•
La 68ar5a es s8 independen6ia3 es5o es3 no re8iere de e8ipos 6os5osos a di y papel3 o ni si8iera es5o. Ar8=medes dib8aba sobre la arena. Leray es6ribi7 s8
ma5em95i6a siendo prisionero de ;8erra. Apesar de los re;=menes pol=5i6os de 5oda =ndole3 la Ma5em95i6a 6on5inBa e:ol86ionando. Es in5eresan5e obser:ar 8e s8s biblio5e6as son menos ;randes 8e las de o5ras dis6iplinas.
1."
/U0 SIGNI$ICA LA PALA-RA ATE,TICA
Se;Bn Arri;o Coen3 Ma5ema si;niae. As= 8e en sen5ido impl=6i5o3 Ma5em95i6a si;ni
1.#
/U0 ES LA ATE,TICA
No eOis5e 8na de
1.(
ALGUNOS PRO-LEAS ATE,TICOS
Re68erden el H 8e di6e 8e la e68a6i7n On yn >n n8n6a 5iene sol86iones en5eras posi5i:as para 68al8ier en5ero posi5i:o n mayor 8e . EO6ep5o para n 3 es5as e68a6iones no 5ienen 8na in5erpre5a6i7n ;eomé5ri6a. Aparen5emen5e es5e problema no pare6iera 5ener m86a impor5an6ia3 sin
embar;o a 5enido 8na inos de m86os ma5em95i6os y es pre6isamen5e de es5os es<8er>os
8e se an 6reado n8e:as 5é6ni6as y 6on6ep5os3 los 68ales 5ienen in
1.)
C+O SE DA LA INNO'ACI+N EN LA ATE,TICA
A di
No se re8iere del des68brimien5o de an5i;8os do68men5os man8s6ri5os3 ni del 5rabao eOperimen5al o de la in5rod866i7n de n8e:a 5e6nolo;=a. La inno:a6i7n se da3 en5re o5ras 6osas3 por la 6rea6i7n de n8e:as 5é6ni6as. &or eemplo3 68ando $alois se dio 68en5a al 5rabaar en el problema de la insol8bilidad de la e68a6i7n polinomial ;eneral de ;rado al menos + 8e la 6la:e es5aba en las sime5r=as de las
6in6o sol86iones de la e68a6i7n3 pro:ey7 los <8ndamen5os de la 5eor=a ;eneral de la sime5r=a3 la 68al es 8na de las ramas m9s pro<8ndas y de amplio espe65ro de 5oda la Ma5em95i6a3 llamada Teor=a de $r8pos. También ay inno:a6i7n in5erna al 5ra5ar de dar 6oesi7n a 8na 5eor=a ma5em95i6a3 al reali>ar pre;8n5as ade68adas3 las 68ales re8ieren de m86a in58i6i7n y 6ompene5ra6i7n. También p8ede :enir de problemas de o5ras dis6iplinas. Se p8ede de6ir 8e ay pro;reso ma5em95i6o 68ando eOis5e 8na apli6a6i7n 6on5in8a de mé5odos 8s8ales in5er6alados espe65a68larmen5e 6on n8e:os 6on6ep5os y problemas.
1.&
LA NATURALEA DE LAS ATE,TICAS
Las ma5em95i6as dependen 5an5o de la l7;i6a 6omo de la 6rea5i:idad3 y es59n re;idas por di:ersos prop7si5os pr965i6os y por s8 in5erés in5r=nse6o. &ara al;8nas personas3 y no s7lo para los ma5em95i6os proa y en s8 re5o in5ele658al &ara o5ros3 in6l8idos m86os 6ien5=
a del pensamien5o ma5em95i6o y arse 6on las ideas y abilidades de es5a dis6iplina.
1.2
PAUTAS 3 RELACIONES
Las ma5em95i6as son la 6ien6ia de las pa85as y las rela6iones. Como dis6iplina 5e7ri6a3 eOploran las posibles rela6iones en5re abs5ra66iones3 sin impor5ar si és5as 5ienen om7lo;os en el m8ndo real. Las abs5ra66iones p8eden ser 68al8ier 6osa3 desde se68en6ias de nBmeros as5a an en par5i68lar 68ando des68bren 8e par5es de esa 6ien6ia sin rela6i7n pre:ia p8eden ser deri:ables en5re si o a par5ir de 8na 5eor=a m9s ;eneral. &ar5e del sen5ido de belle>a 8e m86as personas an per6ibido en es5a 6ien6ia no radi6a en allar la m9s ;rande per en la represen5a6i7n y la 6omproba6i7n. A medida 8e las ma5em95i6as a:an>an3 se an en6on5rado m9s y m9s rela6iones en5re par5es 8e
se ab=an desarrollado por separado por eemplo3 en5re las represen5a6iones simb7li6as del 9l;ebra y las represen5a6iones espa6iales de la ;eome5r=a. Es5as in5er6oneOiones a6en posible 8e s8ran in58i6iones 8e deben desarrollarse en las di:ersas par5es de la dis6iplinaX 8n5as3
Las ma5em95i6as son 5ambién 8na 6ien6ia apli6ada. M86os ma5em95i6os dedi6an s8s ener;=as a resol:er problemas 8e se ori;inan en el m8ndo de la eOperien6ia. De i;8al manera3 b8s6an pa85as y rela6ionesX en el pro6eso 85ili>an 5é6ni6as similares a las 8e se emplean en es5a 6ien6ia p8ramen5e 5e7ri6a. La diar 6ond8o al 6ono6imien5o 8e m9s 5arde i>o posible meorar el dise@o de los eOperimen5os en las 6ien6ias na58rales y so6iales. &or el 6on5rario3 al 5ra5ar de sol86ionar el problema del 6obro 8s5o a los 8s8arios del 5elé
1.4
ATE,TICAS5 CIENCIA 3 TECNOLOGA
Debido a s8 abs5ra66i7n3 las ma5em95i6as son 8ni:ersales en 8n sen5ido en 8e no lo son o5ros 6ampos del pensamien5o 8mano. Tienen apli6a6iones B5iles en los ne;o6ios3 la ind8s5ria3 la mBsi6a3 la is5oria3 la pol=5i6a3 los depor5es3 la medi6ina3 la a;ri68l58ra3 la in;enier=a y las 6ien6ias na58rales y so6iales. Es m8y amplia la
rela6i7n en5re las ma5em95i6as y los o5ros 6ampos de la 6ien6ia b9si6a y apli6ada. Ello obede6e a :arias ra>ones3 in6l8idas las si;8ien5esP
•
La rela6i7n en5re la 6ien6ia y las ma5em95i6as 5iene 8na lar;a is5oria3 8e da5a de m86os si;los. La 6ien6ia le o
•
Las ma5em95i6as son el prin6ipal len;8ae de la 6ien6ia. El len;8ae simb7li6o ma5em95i6o a res8l5ado ser en eO5remo :alioso para eOpresar las ideas 6ien5=a 8e se le apli8e y de s8 masaX sino 8e es 8n en8n6iado pre6iso de la rela6i7n 68an5i5a5i:a en5re esas :ariables. M9s impor5an5e aBn3 las ma5em95i6as propor6ionan la ;ram95i6a de la 6ien6ia las re;las para el an9lisis ri;8roso de ideas 6ien5=
•
Las ma5em95i6as y la 6ien6ia 5ienen m86as 6ara65er=s5i6as en 6omBn. Es5as in6l8yen la 6reen6ia en 8n orden 6omprensibleX 8na in5era66i7n de ima;ina6i7n y l7;i6a ri;8rosaX ideales de ones5idad y aX la impor5an6ia de6isi:a de la 6r=5i6a de los 6ompa@erosX el :alor a5rib8ido a ser el primero en a6er 8n des68brimien5o 6la:eX abar6ar el 9mbi5o in5erna6ionalX e in6l8so3 6on el desarrollo de poderosas 6omp85adoras ele65r7ni6as3 ser 6apa> de 85ili>ar la 5e6nolo;=a para abrir n8e:os 6ampos de in:es5i;a6i7n.
•
Las ma5em95i6as y la 5e6nolo;=a 5ambién an desarrollado 8na rela6i7n prod865i:a m858a. Las ma5em95i6as de las rela6iones y 6adenas l7;i6as3 por eemplo3 an 6on5rib8ido 6onsiderablemen5e al dise@o del ard[are 6omp85a6ional y a las 5é6ni6as de pro;rama6i7n. Las ma5em95i6as 5ambién ay8dan de manera impor5an5e a la in;enier=a3 6omo en la des6rip6i7n de sis5emas 6ompleos 68yo 6ompor5amien5o p8ede ser sim8lado por la 6omp85adora. En 5ales sim8la6iones3 p8eden :ariarse las 6ara65er=s5i6as del dise@o y las 6ondi6iones de opera6i7n 6omo 8n medio para en6on5rar dise@os 7p5imos. &or s8 par5e3 la 5e6nolo;=a 6omp85a6ional a abier5o 9reas 5o5almen5e n8e:as en las ma5em95i6as3 a8n en la misma na58rale>a de la 6omproba6i7n3 y 5ambién 6on5inBa ay8dando a resol:er problemas an5eriormen5e a5emori>an5es.
1.6
LA IN'ESTIGACI+N ATE,TICA
El 8so de las ma5em95i6as para eOpresar ideas o resol:er problemas 6omprende por lo menos 5res
1.6.1 A78tracción 9 re:re8entación 8im7ó;ica El pensamien5o ma5em95i6o 6omien>a 6on
eOpandenX la le5ra A p8ede ser 8na abs5ra66i7n para el 9rea de obe5os de 68al8ier anas o naranas3 oras o millas por ora. las abs5ra66iones no se a6en s7lo a par5ir de obe5os o pro6esos 6on6re5osX 5ambién p8eden reali>arse 6on base en o5ras abs5ra66iones3 6omo las 6lases de nBmeros Glos nBmeros pares3 por eemploH. Tal abs5ra66i7n permi5e a los ma5em95i6os 6on6en5rarse en 6ier5as 6ara65er=s5i6as de los obe5os3 adem9s de 8e les e:i5a la ne6esidad de ;8ardar 6on5in8amen5e o5ras en s8 men5e. En lo 8e a las ma5em95i6as se reo res8l5an5e es m8y B5il siempre y 68ando al a6er la abs5ra66i7n se pon;a 68idado en no soslayar las 6ara65er=s5i6as 8e 8e;an 8n papel impor5an5e en la de5ermina6i7n de los res8l5ados de los s86esos 8e se es59n es58diando.
1.6." ani:u;ación de ;o8 enunciado8 matemático8 "na :e> 8e se an e6o las abs5ra66iones y se an sele66ionado las represen5a6iones simb7li6as de ellas3 los s=mbolos se p8eden 6ombinar y re6ombinar de di:ersas maneras de a68erdo 6on re;las de
Es 6omBn 8e el 6on8n5o de s=mbolos se 6ombine en en8n6iados 8e eOpresan ideas o proposi6iones. &or eemplo3 el s=mbolo A para el 9rea de 68al8ier 68adrado se p8ede 6ombinar 6on la le5ra s 8e represen5a la lon;i58d del lado del 68adrado3 para ar3 en5on6es3 para des68brir 8e si se d8pli6a la lon;i58d de los lados de 8n 68adrado3 el 9rea de és5e se 68adr8pli6a. En s=3 es5e 6ono6imien5o a6e posible 8e se des68bra lo 8e le s86ede al 9rea de 8n 68adrado sin impor5ar 689n5o :ar=e la lon;i58d de s8s lados y3 por el 6on5rario3 67mo 68al8ier 6ambio en el 9rea aaron en la eOperien6ia 6on6re5a de 6on5ar y medir3 an e:ol86ionado a 5ra:és de m86as e5apas de abs5ra66i7n y aora dependen m86o m9s de la l7;i6a in5erna 8e de la demos5ra6i7n me69ni6a. En5on6es3 en 6ier5o sen5ido3 la manip8la6i7n de las abs5ra66iones es 6asi 8n 8e;oP 6omen>ar
6on
al;8nas re;las b9si6as3 desp8és a6er 68al8ier
mo:imien5o 8e las 68mpla el 68al in6l8ye la in:en6i7n de re;las adi6ionales y en6on5rar n8e:as rela6iones en5re las an5i;8as. La pr8eba para :alidar las ideas n8e:as 6onsis5e en 8e sean 6on;r8en5es y se rela6ionen l7;i6amen5e 6on las dem9s.
1.6.# A:;icación Los pro6esos ma5em95i6os p8eden lle:ar a 8n 5ipo de modelo de 8na 6osa3 a par5ir de los 68ales se ob5endr=an pro<8ndi>a6iones de la 6osa misma. C8al8ier rela6i7n ma5em95i6a 8e se ob5en;a por medio de la manip8la6i7n de en8n6iados abs5ra65os p8ede o no 5ransmi5ir al;o :erdadero sobre el obe5o 8e se es59 modelando. &or eemplo3 si a dos 5a>as de a;8a se a;re;an o5ras 5res3 y la
opera6i7n ma5em95i6a abs5ra65a ( + se 85ili>a para 6al68lar el 5o5al3 la resp8es5a 6orre65a es 6in6o 5a>as de a;8a. No obs5an5e3 si a dos 5a>as de a>B6ar se a@aden 5res 5a>as de 5é 6alien5e y se reali>a la misma opera6i7n3 6in6o es 8na resp8es5a in6orre65a3 p8es esa s8ma da por res8l5ado s7lo 8n po6o m9s de 68a5ro 5a>as de 5é m8y d8l6e. La simple s8ma de :olBmenes es apropiada para la primera si58a6i7n3 pero no para la se;8nda lo 8e podr=a aberse predi6o s7lo 6ono6iendo al;o sobre las diar e in5erpre5ar bien las ma5em95i6as3 es ne6esario es5ar in5eresado en al;o m9s 8e la :alide> ma5em95i6a de las opera6iones abs5ra65as3 as= 6omo 5omar en 6onsidera6i7n 8é 5an bien se 6orresponden 6on las propiedades de las 6osas 8e represen5an. Al;8nas :e6es3 el sen5ido 6omBn es s8ar la resp8es5a simple de U5asa por 5iempoU de .1( m 6omo m8y improbable3 y diri;irse a al;Bn o5ro modelo
ma5em95i6o3 6omo las 68r:as 8e aproOiman :alores res5ri65i:os. Sin embar;o3 en o6asiones3 p8ede ser di<=6il saber 8é 5an 6orre65os son los res8l5ados ma5em95i6os por eemplo3 al 5ra5ar de prede6ir los pre6ios en la bolsa de :alores3 o los 5erremo5os. Con onamien5o ma5em95i6o no prod86e 6on6l8siones sa5iso la represen5a6i7n o en las mismas opera6iones. De e6o3 se dan sal5os en5re pasos a6ia adelan5e y a6ia a5r9s y no ay re;las 8e de5erminen 67mo se debe pro6eder. El pro6eso a:an>a 5=pi6amen5e a emp8ones3 6on m86as :8el5as err7neas y 6alleones sin salida. Es5e pro6eso 6on5inBa as5a 8e los res8l5ados son s8
&ero3 V8é ;rado de eOa65i58d es el s8ar el res8l5ado3 las 6onse68en6ias del error3 y el posible 6os5o de modelar y es5imar 8na resp8es5a m9s pre6isa. &or eemplo3 8n error de 1\ al 6al68lar la 6an5idad de a>B6ar en 8na re6e5a para pas5el podr=a ser insi;ni
DE%INICI,N DE MATEM ,TICA $INANCIERA
La Ma5em95i6a %inan6iera es 8na deri:a6i7n de la ma5em95i6a apli6ada 8e es58dia el :alor del dinero en el 5iempo3 6ombinando el 6api5al3 la 5asa y el 5iempo
para ob5ener 8n rendimien5o o in5erés3 a 5ra:és de mé5odos de e:al8a6i7n 8e permi5en 5omar de6isiones de in:ersi7n. Llamada 5ambién an9lisis de in:ersiones3 adminis5ra6i7n de in:ersiones o in;enier=a e6on7mi6a. En es5e 5eO5o debe 6omprenderse las Ma5em95i6as ar 68an5i5a5i:amen5e la :iabilidad o
%a65ibilidad E6on7mi6a
La
<8en5e de es5os re68rsos. En es5a a la de6isi7n de in:ersi7n independien5e del d8e@o del proye65o3 se ena Bni6amen5e en los re68rsos 6omprome5idos en la empresa3 eO6l8yendo el ori;en de es5os. 1.10.1.
%a65ibilidad %inan6iera
En la
%a65ibilidad E6on7mi6a :ers8s %a65ibilidad %inan6iera
En el 9mbi5o de la e:al8a6i7n de proye65o es de :i5al impor5an6ia 6omprender 8e a 6ada de6isi7n de in:ersi7n3 6orresponde 8na de6isi7n de
men6iono3 5iene 8e :er 6on la es5r8658ra opera5i:a de la empresa y 6on 8na de las <8n6iones de la Adminis5ra6i7n ando la me5a
1.10.1.)
-alor E6on7mi6o A;re;ado
Solamen5e3 68ando la ren5abilidad de la in:ersi7n s8pere el 6os5o de 6api5al promedio ponderado3 se ;enerara :alor e6on7mi6o para los propie5arios de la empresa. ni6amen5e en es5e e:en5o los in:ersionis5as es59n sa5isando s8s obe5i:os
&roye65o de In:ersi7n
*por58nidad de e
re68perar o 68brir los ;as5os opera6ionales y adem9s ob5ener 8na ren5abilidad deseada por los d8e@os del proye65o3 de a68erdo a los ni:eles del ries;o de es5e. El ries;o del proye65o se des6ribe 6omo la posibilidad de 8e 8n res8l5ado esperado no se prod8>6a. C8an5o m9s al5o sea el ni:el de ries;o3 5an5o mayor ser9 la 5asa de rendimien5o y :i6e:ersa3 de es5e ni:el de ries;o se desprende la na58rale>a s8be5i:a de es5e 5ipo de es5ima6iones.
1.1!." Re;acione8 de ;a matemática +$$ 56) )96$ )+ ;$+'( )+ &)(' )& )+ 9)>', $+ '<&$( )+))&9' 6&$)&9$+) $>9$+, 9$$, 9)>' >$($ '&)/6( 6& ()&)&9' ' &9)(*, $+ <(&$(+) @)(($)&9$ % *9'' 56) >)(9$& 9'$( +$ )=& 4 '(()9$ $ +$ @'($ ) 6&$ &;)(=&
Con5abilidadP Es el pro6eso median5e el 68al se iden5ia6i7n o empresa3 6on el onada3 en base a re;is5ros 5é6ni6os3 de las opera6iones reali>adas por 8n en5e
pri:ado p8bli6o3 8e permi5an 5omar la de6isi7n mas a6er5ada en el momen5o de reali>ar 8na in:ersi7n. Dere6oP Es el 6on8n5o de leyes3 pre6ep5os y re;las3 a los 8e es59n some5idos los ombres 8e :i:en en 5oda so6iedad 6i:il. El dere6o posee di
•
Dere6o Mer6an5ilP es el 6on8n5o de leyes rela5i:as al 6omer6io y a las 5ransa66iones reali>adas en los ne;o6ios.
•
Rela6i7nP En s8s leyes se en68en5ran ar5=68los 8e re;8lan las :en5as3 los ins5r8men5os as.
•
Dere6o Ci:ilP es el 6on8n5o de normas e ins5i586iones des5inadas a la pro5e66i7n y de
Rela6i7nP Re;8la la propiedad de los bienes3 la a6i7n y 6ons8mo de bienes y ser:i6iosX es de6ir3 es58dia la ri8e>a para sa5is
Cien6ia pol=5i6aP es 8na dis6iplina 8e es58dia el es58dio sis5em95i6o del ;obierno en s8 sen5ido m9s amplio. Abar6a el ori;en de los re;=menes pol=5i6os3 s8s es5r8658ras3 <8n6iones e ins5i586iones3 las
manos de los ;obiernos. Las ma5em95i6as ado 6on es58dio3 eOperien6ia y pra65i6a3 se apli6a a la 85ili>a6i7n e de los ma5eriales y las <8er>as de la na58rale>a. Rela6i7nP Es5a dis6iplina 6on5rola 6os5os de prod866i7n en el pro6eso ar pro6edimien5os man8ales 8e es5én rela6ionados 6on mo:imien5os e6on7mi6os3 in:ersiones y ne;o6ia6iones.
%inan>asP Es el 5ermino apli6ado a la 6ompraK:en5a de ins5r8men5os le;ales 68yos propie5arios 5ienen 6ier5os dere6os para per6ibir3 en el <858ro3 8na de5erminada 6an5idad mone5aria. Rela6i7nP es5a dis6iplina 5rabaa 6on a65i:os
So6iolo;=aP es la 6ien6ia 8e es58dia el desarrollo3 la es5r8658ra y la <8n6i7n de la so6iedad. Es5a anali>a las 6an m9s y meores bene
CAPÍTULO II
GENERALIDADES DE LAS ANUALIDADES En el presen5e 6ap=58lo se m8es5ran al;8nas de las ;eneralidades m9s impor5an5es de las an8alidades.
O-*ETI'OS •
Dar a 6ono6er la de
•
Es5able6er los 6on6ep5os rela6ionados en el desarrollo de las an8alidades3 s8 apli6a6i7n3 las épo6as de :al8a6i7n de las an8alidades y el obe5o de 69l68lo de és5as.
•
Mos5rar los di
".1
DE$INICI+N DE ANUALIDADES
Se 6ono6e 6omo an8alidades a 8na serie de pa;os i;8ales y peri7di6os. También se di6e 8e 8na an8alidad es 8n pa;o o in;reso deri:ado de
•
"na an8alidad 68yos pa;os peri7di6os se reali>an al
K 1 a@o K +00
•
K 1 a@o K +00
K 1 a@o K +00
+00
"na an8alidad 68yos pa;os peri7di6os de !. 1+0.00 se reali>an al
K meses K 1+0
•
K meses K 1+0
K meses K 1+0
1+0
"na an8alidad 68yos pa;os peri7di6os de !. 3+00.00 se reali>an al
K a@os K
K a@os K
K a@os K
3+00
3+00
K a@os K 3+00
3+00
En 5odos los 6asos an5eriores se 68mplen las 6ondi6iones de las an8alidades3 pa;os de i;8al :alor por per=odos re;8lares3 no ne6esariamen5e de 8n a@o3 en los Bl5imos dos 6asos. En al;8nas o6asiones3 se debe 5ener 68idado de di
•
Dos an8alidades en las 8e los pa;os se es59n a6iendo al
K 1.+ a@os K
K 1.+ a@os K
200
200
K 1.+ a@os K 3200
1
•
3200
"
Dos an8alidades en las 8e 5odos los pa;os son de !. 200.00 6ada 8no3 pero 8na es pa;adera 6ada meses y la o5ra 6ada a@o. K meses K
K meses K
200
K meses K
200
1
200
K 1 a@o K
K 1 a@o K 200
"
200
"."
OTRAS DE$INICIONES IPORTANTES
".".1 Inter=a;o o Per>odo de Pago Es el 5iempo 8e 5rans68rre en5re 8n pa;o y o5ro de la an8alidad.
EOis5en
an8alidades 6on per=odos de pa;o i;8ales a 8n a@o3 menores de 8n a@o y 6on per=odos de pa;o mayores a 8n a@o.
"."." P;a?o de ;a Anua;idad Es el 5iempo 8e 5rans68rre desde el ini6io del primer per=odo de pa;o y el
".".# Renta Es el pa;o peri7di6o de la an8alidad.
".#
PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES
Las an8alidades son 85ili>adas en dis5in5as opera6iones a6iones de las :i:iendas 6ompradas a pla>os3 las amor5i>a6iones de 6rédi5os o5or;ados3 las 6ompras al 6rédi5o de :e=68los median5e amor5i>a6iones i;8ales 6ada 6ier5o 5iempo3 en5re o5ros.
".(
0POCAS DE 'ALUACI+N DE LAS ANUALIDADES
Dependiendo lo 8e se desea 6ono6er de la an8alidad se :alBa al ini6io o al o. Si se desea 6ono6er el :alor a658al se debe reali>ar la :al8a6i7n al ini6io del pla>o.
Si lo 8e se 8iere 6ono6er es s8 mon5o3 la :al8a6i7n debe reali>arse al ar a esa a al ini6io y al
•
-alor A658al
Mon5o
A
S
Ini6io
%inal
•
C8ando la :al8a6i7n se reali>a en per=odos in5ermedios. Si se 8iere 6ono6er lo a68m8lado a la
•
A68m8la6i7n &ar6ial
C8ando la :al8a6i7n se reali>a en per=odos in5ermedios. Si se 8iere 6ono6er lo 8e es59 pendien5e de amor5i>ar a la ar
%inal
".)
O-*ETO DE C,LCULO DE LAS ANUALIDADES
'9si6amen5e se 85ili>an para 6rear ar de8das3 median5e los abonos peri7di6os por :alores i;8ales o 68o5as ni:eladas.
".&
ELEENTOS /UE CON$ORAN LAS ANUALIDADES ELEMENT*
SÍM'*L*
Mon5o -alor A658al Ren5a Tiempo No. de pa;os en el a@o Tasa ea6iones en el a@o &er=odo de di
S A R n & i m y
CAPÍTULO IiI
CLASI$ICACI+N DE LAS ANUALIDADES A 6on5in8a6i7n se la 6lasi
O-*ETI'OS •
Cono6er las di
•
Es5able6er las prin6ipales di
•
Aprender a iden5i
#.1
ANUALIDADES CIERTAS O A PLAO $I*O
Son a8ellas en las 68ales se 6ono6e 68ando se ini6ian y 68ando an los pa;os y si 5ienen pla>o inde
#.1.1 En
-en6idas 8 ordinarias
C8ando la ren5a se e
R
(.1.1.
R
R
R
An5i6ipadas o inmedia5as
C8ando la ren5a se e
R
R
(.1.1.(
R
R
Di
C8ando la serie de pa;os no se ini6ia de inmedia5o3 sino 8e se dea pasar 8n per=odo sin 8e se ea6i7n al;8na. Es5as an8alidades di3 di
Di
En es5os per=odos no se a6en pa;os. &er=odo de di
R
R
Di
En es5os per=odos no se a6en pa;os. &er=odo de di
R
R
El per=odo de di
#.1." Atendiendo ;a :eriodicidad de ;o8 :ago8 9 ;a
"n pa;o de ren5a en el a@o y 5asa de in5erés e
(.1..
"n pa;o de ren5a en el a@o y 5asa de in5erés nominal
(.1..(
-arios pa;os en el a@o y 5asa de in5erés e
(.1..)
-arios pa;os en el a@o y 5asa de in5erés nominal.
(.1..+
&a;os por per=odos mayores de 8n a@o y 5asa de in5erés e
(.1..
&a;os por per=odos mayores de 8n a@o y 5asa de in5erés nominal.
#.1.# Atendiendo ;a =aria7i;idad de ;o8 :ago8 de renta (.1.(.1
Cons5an5es
Son 6ons5an5es 68ando el :alor de la ren5a siempre es el mismo. (.1.(.
-ariables
C8ando el :alor de la ren5a :ar=a a5endiendo leyes ma5em95i6as3 por lo 8e p8eden ser en pro;resi7n ari5mé5i6a y en pro;resi7n ;eomé5ri6a3 en ambos 6asos p8eden presen5arse de
#." ANUALIDADES A PLAO INDE$INIDO #.".1 Renta8 :er:etua8 Es 8na serie de pa;os 68yo pla>o es inde5erminado o sea 8e el 5iempo es ina6i7n de la serie de pa;os.
#."." Co8to ca:ita;i?ado Se le denomina as= a la in:ersi7n ne6esaria para ad8irir 8n a65i:o y al mismo 5iempo es5ar en 6ondi6i7n de reempla>arlo 6ada de5erminado per=odo de a@os en
&ara in5erpre5ar los res8l5ados de dos
al5erna5i:as a ele;ir se deber9 6onsiderar la 8e presen5e el menor 6os5o 6api5ali>ado.
#.".# Co8to8 eui=a;ente8 Consis5e en de5erminar el pre6io el pre6io 8e se p8ede pa;ar por 8n bien 8e debe ser reempla>ado 6ada per=odo de a@os de manera 8e di6o desembolso en per=odos ino di
#.".( L>mite de ga8to8 :ara a;argar ;a =ida Bti; de un acti=o Cons5i58ye 8n indi6ador
Es a8ella ero;a6i7n 8e
8s5iado. Nos permi5e de5erminar de s8s5i58irlo.
#.# ANUALIDADES CONTINGENTES O E'ENTUALES Son a8ellas 68yo ini6io o a6i7n depende de 8n s86eso 68ya reali>a6i7n no p8ede a3 6omo por eemplo la s8per:i:en6ia o la m8er5e de 8na persona. Se apli6a en las ren5as :i5ali6ias y los se;8ros de :ida.
#.#.1 Renta8 =ita;icia8 Serie de pa;os 8e me ea la obli;a6i7n de pa;ar las ren5as.
#.#." Dote :ura Toma es5e nombre 8na 6an5idad de dinero 8e se pa;ar9 al 6abo de n a@os a 8na persona de edad a658al O a 6ondi6i7n3 de 8e es5é en5on6es 6on :ida.
Se 5ra5a de 8n 6api5al 68yo pa;o es 8n e:en5o alea5orio por8e es59 6ondi6ionado a 8e la persona de edad O 68mpla O n a@os para re6ibirlo3 por 5an5o el pre6io 8s5o es59 dado por la esperan>a ma5em95i6a o dep7si5o 8e el indi:id8o en 68es5i7n debe e
#.#.# Seguro8 de =ida Los pa;os de la prima del se;8ro se reali>an si el ase;8rado se en68en5ra 6on :ida para a6erlos3 y al o68rrir s8 m8er5e se a6e e
PRONTUARIO DE $+RULAS DE ANUALIDADES En el presen5e 6ap=58lo se dan a 6ono6er las diar para resol:er las an8alidades.
O-*ETI'OS •
CAPÍTULO iV
Cono6er las di
•
Es5able6er la <7rm8la ne6esaria para resol:er 6ada 5ipo de an8alidad 8e se presen5e.
(.1
ANUALIDADES
Simbolo;=a Mon5o -alor A658al Ren5a Tiempo No. de pa;os en el a@o Tasa ea6iones en el a@o &er=odo de di
S A R n & i m y
(.1.1 onto
S
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
mn G1 YmH K
1
mYp G1 YmH K
1
mYp G1YmH
R
(.1. (.1."" 'a;o 'a;orr ac actu tua; a;
1 A
K
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT* DI%ERIMIENT*
K mn G1 YmH
R mYp G1 YmH K
mYp 1
K
my
(.1. (. 1.## Re Rent nta a en
mYp S ] G1 YmH K 1 ^ R
mn G1 YmH K
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
K mYp G1YmH
1
(.1.( (.1 .( Renta Renta en
mYp A ] G1 YmH K 1 ^ R
1
K
Kmn G 1 YmH
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT* DI%ERIMIENT*
K mYp G1YmH
G 1 Y mH
my
(.1.) (.1 .) Tiem: Tiem:o o en
_ %ACT*R DE ANTICI&ACI,N
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mYp
1
G1YmH
R_ n m Lo; G1 YmH
(.1.& (.1 .& Tiem: Tiem:o o en
_ _ %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT* DI%ERIMIENT*
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my
mY mYp
R__ n m Lo; G 1 Y mH
(." (."
ANUA NUALIDA LIDADE DES S PAGA PAGADE DERA RAS S CADA CADA A AFO FOS S
Simbolo;=a
K
Mon5o -alor A658al Ren5a Tiempo No. de a@os para 6ada pa;o Tasa nominal de in5erés No. de 6api5ali>a6iones en el a@o &er=odo de di
S A ` n J m y
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S
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_ _ %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
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my
mJ
K
(.#
ANUALIDADES 'ARIA-LES EN PROGRESI+N ARIT0TICA
Simbolo;=a Mon5o -alor A658al &rimer pa;o Dia6iones en el a@o &er=odo de di
(.#.1 $actor de; monto $H mn G1 YmH K 1 S p ┐n j(m)
mYp G1 YmH K 1
(.#." $actor de; =a;or actua; $'AH
1 A p ┐n j(m)
K
K mn G1 YmH
mYp G1 YmH K
1
S A ' d n p m y
(.(
ANUALIDADES
'ARIA-LES
EN
PROGRESI+N
ARIT0TICA
CRECIENTES En las si;8ien5es <7rm8las para 8e se 6on:ier5an en De6re6ien5es se le 6ambia de si;no a la di
(.(.1 onto %ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S ' S p ┐n j(m) d
S p ┐n j(m)
K np
mYp G1YmH
mYp G1 YmH K
(.(." 'a;or actua;
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
K mn YmH A ' Ap ┐n j(m) d
Ap ┐n j(m) K
np G1
mYp
K
my
En las si;8ien5es <7rm8las el
(.(.# Primer :ago en
FM K np
S K d '
mYp G1YmH
mYp G1 YmH K
1
FM
(.(.( Primer :ago en
K mn FVA K np G1 YmH
A Kd
mYp G1 YmH K
mYp G1YmH
1
K my G 1 Y mH
Se 6olo6an 6omo denominador de
(.(.) Di
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S K ' GFM H d
FM
K
np
mYp G1 YmH K 1
mYp G1YmH
(.(.& Di
A K ' GFVAH d
Kmn FVA K np G1YmH
mYp G1YmH
Se 6olo6an 6omo denominador de
mYp G1 YmH K 1
(.)
ANUALIDADES
'ARIA-LES
EN
PROGRESI+N
CRECIENTES Simbolo;=a Mon5o -alor A658al &rimer pa;o Ra>7n Tiempo No. de pa;os en 8n a@o Tasa nominal de in5erés No. de 6api5ali>a6iones en el a@o &er=odo de di
(.).1 onto
K my G 1 Y mH
S A ' r n p m y
GEO0TRICA
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
np mn GrH K G 1 YmH S
r
Si
mYp G1YmH
'
mp
y
mYp K G 1 YmH
r G1 YmH3 no es apli6able es5a <7rm8la3 en s8 l8;ar se
apli6a la si;8ien5eP
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S
mn K 1 ' n p G 1 YmH
mYp G1YmH
(.)." 'a;or actua;
np
Kmn G1 YmH
GrH 1 A
K
mYp
' mYp
Si
mp
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
y
K
my
r G1 YmH3 no es apli6able es5a <7rm8la3 en s8 l8;ar se
apli6a la si;8ien5eP %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
K1 S
' n p G 1 YmH
mYp
K
my
(.).# Primer :ago :artiendo de; monto
r '
mYp K G 1 YmH
S np mn GrH K G 1 YmH
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
K mYp G1YmH
Si
mp
y
r G1 YmH3 no es apli6able es5a <7rm8la3 en s8 l8;ar se
apli6a la si;8ien5eP
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S '
K mYp G1YmH
mn 1 n p G 1 YmH
(.).( Primer :ago :artiendo de; =a;or actua;
r '
mYp K G 1 YmH
S np Kmn GrH K G 1 YmH K
Si
mp
y
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
K mYp G1YmH
my G 1 Y mH
r G1 YmH3 no es apli6able es5a <7rm8la3 en s8 l8;ar se
apli6a la si;8ien5eP
A G 1 YmH '
(.&
np
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
K mYp G1YmH
my G 1 Y mH
ANUALIDADES A PLAO INDE$INIDO RENTAS PERPETUAS
Simbolo;=a
-alor A658al Ren5a para per=odos menores a 8n a@o Ren5a para per=odos mayores a 8n a@o Tiempo No. de pa;os en 8n a@o &er=odos de pa;o mayores de 1 a@o Tasa nominal de in5erés No. de 6api5ali>a6iones en el a@o &er=odo de di
A R ` n p J m y
(.&.1 'a;or actua; (..1.1
&a;adera 6ada J a@os %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
` A mJ G1 YmH K
(..1.
mJ 1
K
my
&a;adera an8almen5e o en per=odos menores de 8n a@o %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
R A mYp G1 YmH K
mYp 1
K
my
(.&." Renta8 (...1
`
&a;adera 6ada J a@os
mJ A G 1 Ym H K 1
%ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
K mJ G1YmH
my G 1 Y mH
(...
R
&a;adera an8almen5e o en per=odos menores de 8n a@o %ACT*RES DE ANTICI&ACI,N DI%ERIMIENT*
mYp A G 1 Ym H K 1
K mYp G1YmH
my G 1 Y mH
(.&.# Ta8a de inter@8 (..(.1
&a;aderas 6ada J a@os
(..(.
(.2
1YmJ m G`YA 1H K1
&a;adera an8almen5e o en per=odos menores de 8n a@o
pYm m GRYA 1H K1
ANUALIDADES A PLAO INDE$INIDO J COSTO CAPITALIADO
Simbolo;=a Cos5o 6api5ali>ado Cos5o de reempla>o Cos5o ini6ial del a65i:o No. de a@os de :ida B5il Tasa de in5erés NBmero de 6api5ali>a6iones
C ` % J m
(.2.1 Co8to inicia; 9 de reem:;a?o di
` C %
`
mJ G1 YmH K
% C K 1
mJ G1 YmH K
1
(.2." Co8to inicia; 9 de reem:;a?o igua;e8
% C 1
(.4
KmJ K G1 YmH
%
C
K mJ 1 K G 1 YmH
ANUALIDADES A PLAO INDE$INIDO J COSTOS E/UI'ALENTES
Simbolo;=a Cos5o e8i:alen5e del bien 8e desea ob5ener Cos5o ini6ial y de reempla>o del bien base -ida B5il es5imada del bien base -ida B5il del bien 8e se 8iere ad8irir o 6omparar s8 6os5o Tasa de in5erés NBmero de 6api5ali>a6iones al a@o
%c
1
Km5 K G1 YmH
1
KmJ K G1 YmH
%
%c % J 5 m
(.6
LITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA 'IDA KTIL DE UN ACTI'O
Simbolo;=a -alor de la meora o 6an5idad m9Oima a in:er5ir Cos5o ini6ial del a65i:o -ida B5il del a65i:o A@os 8e se p8ede prolon;ar la :ida B5il de 8n a65i:o Tasa de in5erés NBmero de 6api5ali>a6iones
1 O
Kmb K G1 YmH
% KmJ G1 YmH
K
1
(.1! RENTAS 'ITALICIAS Simbolo;=a -alor a658al de 8na ren5a :i5ali6ia Edad de la persona 8e ad8iere la ren5a :i5ali6ia &er=odo de dio 5emporal de 8na ren5a :i5ali6ia Ren5a o 6an5idad a re6ibir en
NO 1 AO
R DO
AO O m n R
O % J b m
m AO R
NO m
1
DO
(.11 DOTE PURA Simbolo;=a -alor a658al de 8na do5e p8ra Can5idad de la do5e Edad a658al de la persona Tiempo o pla>o para re6ibir la do5e
DO n nEO
DO
nEO DO n DO
nEO J O n
(.1" SEGURO DE 'IDA Simbolo;=a Edad de la persona ase;8rada &la>o del se;8ro $as5os ales $as5os :ariables &or6en5ae Can5idad ase;8rada
&T
&O
1
K
O n J
CAPÍTULO V
E*EPLOS DE ANUALIDADES En el presen5e 6ap=58lo se dan a 6ono6er eemplos de al;8nas an8alidades 8e se 85ili>an
O-*ETI'OS •
•
Apli6ar las <7rm8las es5able6idas en el 6ap=58lo an5erior. Desarrollar de manera 6orre65a los di
).1
E*EPLO No. 1 J ANUALIDADES EN GENERAL
a6e ( a@os el se@or C8lebro Del;ado re6ibi7 8n prés5amo3 6on el 6ompromiso de 6an6elarlo en + a@os3 median5e pa;os mens8ales de !.(00.00 6ada 8no3 di6o prés5amo se 6on6edi7 6on 8na 5asa de in5erés del 10\ an8al3 6api5ali>able semes5ralmen5eX el d=a de oy le an no5iable 5rimes5ralmen5e. VC89l debe ser la n8e:a ren5a 6onsiderando 8e el pla>o del prés5amo no se modi
1
(
)
+
O 3
DAT*S R
!. (00.00 G:en6idasH
n
+
p
1
0.10
m
K
mn
K 10
1 A
K
G1 YmH
R
1 A
G1 0.0+H
(00
mYp
A
K
/. 1(5 14).6( PR0STAO ORIGINAL
Y1
DAT*S R
!. (00.00 G:en6idasH
n
p
1
0.10
m
K
mn
1 1
A
K
G1 YmH
A
(00
R
Y1 G1 0.0+H K
mYp
A
M
/. &5 )1(.("
K
K) G1 0.0+H 1
'ALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA NUE'A RENTA
DAT*S A
!. 3+1).)
n
p
1
0.1
m
)
mYp A ] G1 YmH K 1 ^ R
R 1
R
M
)Y1 +1).) ] G1 0.0(H K 1 ^
K
Kmn G 1 YmH
/. #!&."6
1
K
K2 G 1 0.0(H
LAS NUE'AS RENTAS
)."
E*EPLO No. " J ANUALIDADES EN GENERAL
"na lo5iable semes5ralmen5e. VC89l ser9 el pre6io de 6on5ado de 6ada lo5eW
O 3
3000
+3000
120 Y 1 1+ a@os
1 a@os
DAT*S n
1+ a@os
R
!. 2)0.00 G:en6idasH
0.1
m
p
1
y
a@os de di
1 A
K
K mn G1 YmH
R mYp G1 YmH K
1
%ACT*R DE DI%ERIMIENT*
K my G 1 Y mH
1 A
K
%ACT*R DE DI%ERIMIENT*
K (0 G1 0.02H
2)0 Y1 G1 0.02H K
K) G 1 0.02H
1
A
G2)0H G4.)+)1H G0.(+042+H
A
M
/.
(#5 !2(.(!
DAT*S DEL REST* DEL EN$ANCE G!. +3000.00H S
!. +3000.00
0.1
m
n
K mn
&
P
S
M
ENGANCE
G1 Ym H
/.
K )
#5&2).1) /.
"5!!!.!!
A
(#5!2(.(!
P
#5&2).1) /.
(452(6.))
PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE
).#
E*EPLO No. # J ANUALIDADES EN GENERAL
"n prés5amo re6ibido a6e a@os <8e 6an6elado median5e pa;os de !. 00.00 al able semes5ralmen5e d8ran5e los primeros ( a@os y por el res5o del 5iempo el ban6o 6obr7 8na 5asa de in5erés del 10\ an8al 6api5ali>able semes5ralmen5e. VC89l <8e el :alor ori;inal de di6o prés5amoW a@os
O 3
1
(
1
(
DAT*S No. 1
DAT*S No.
0.02
0.10
R
!. 00.00
R
00.00
m
m
p
1
p
1
n
n
)
y
(
1 A
K
K mn G1 YmH
R mYp G1 YmH K
1
K 1 A1
K
G1.0)H
00 Y1 G1.0)H K
1
)
%ACT*R DE DI%ERIMIENT*
K my G 1 Y mH
A1
A
K
G1.0+H
00 Y1 G1.0+H K
A"
/.
M
/.
16514#.4"
%ACT*R DE DI%ERIMIENT*
K2 1
M
K G 1.02H
1
1452&4.1&
A1
/. 16514#.4"
A"
/. 1452&4.1& /. #256)1.64 'ALOR ORIGINAL DEL PR0STAO
).(
E*EPLO No. (
J
ANUALIDAD 'ARIA-LE EN PROGRESI+N
ARIT0TICA DECRECIENTE ANTICIPADA
"n es58dian5e ini6i7 el d=a de oy 8na serie de dep7si5os semes5rales para 6omprar 8n :e=68lo al able semes5ralmen5e. VC89n5o podr9 a68m8lar al oW O 3
000
+000
DAT*S '
!. 3000.00
d
!. +00
p
0.10
m
n
+ mn G1 YmH K 1
S p ┐n j(m)
10 G1.0+H K
S p ┐n j(m) M
S p ┐n j(m)
mYp G1 YmH K 1
1
Y G1.0+H K 1
1".)2246")(
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S ' S p ┐n j(m) K d
S p ┐n j(m)
mYp G1 YmH K
K np
mYp G 1 Y m H 1
%ACT*R DE ANTICI&ACI,N
S 000(12.57789254) K+00
12.57789254
G 1.0+ H G1.0+H
S
M
/.
).)
E*EPLO No. )
K 10
)"512".4)
J
K
1
ONTO ACUULADO AL $INAL DEL PLAO
ANUALIDAD 'ARIA-LE EN PROGRESI+N
ARIT0TICA CRECIENTE 'ENCIDA
La empresa $anadores3 S. A.3 5ermin7 el d=a de oy de 6an6elar 8n prés5amo ob5enido a6e + a@os3 por !. +03000.003 el 68al <8e 6an6elado median5e pa;os al able semes5ralmen5e. Se desea saber Ven 8é 6an5idad :ariaron los pa;os peri7di6osW A +03000
O 3
000
DAT*S n
+
A
!. +03000.00
p
'
!. 3000.00
0.0
m
1 A p ┐n j(m)
K
10 1
mYp K
1
&.1(()&21!&
A K ' GFVAH d
K
G1 YmH
A p ┐n j(m) M
K mn G1 YmH
Kmn FVA K np G1YmH mYp G1 YmH K 1
A p ┐n j(m)
K
G1.10H
+03000 K 3000 G6.144567106 H d
d
M
K10 6.144567106 K 10 G1.10H
/.
)2#.&6
CANTIDAD EN LA /UE AUENTARON LOS PAGOS PERI%DICOS
).&
E*EPLO No. &
J
ANUALIDAD 'ARIA-LE EN PROGRESI+N
GEO0TRICA CRECIENTE 'ENCIDA "n a65i:o
!. 1+3000.003 se apli6a 8na 5asa de in5erés del 12\ an8al 6api5ali>able 5rimes5ralmen5e. VC89l es el :alor ori;inal del a65i:o
' 1+3000
DAT*S n
)
p
r
1.1+
'
!. 1+3000.00
0.12
m
) np GrH
1 A
Kmn G1 YmH
K
' mYp
2 K1 G1.1+H G1.0)+H A
K 1
1+000 1.1+ K G1.0)+H
A
M
/.
1#"5&"(.#1 'ALOR ORIGINAL DEL ACTI'O
).2
E*EPLO No. 2 J RENTA PERPETUA 'ENCIDA
"na empresa deposi57 6ier5a 6an5idad de dinero para 8e al able 5rimes5ralmen5e. V!8é 6an5idad
de dinero deposi57 la empresa para 8e la aso6ia6i7n re6iba los
!.
103000.00 a perpe58idadW DAT*S R
!. 103000.00
p
1
0.12
m
)
R A mYp G1 YmH K
1
103000 A ) G1.0)+H
A
M
/.
K
)156(#.!#
1
ES LA CANTIDAD DE DINERO /UE DEPOSIT+ LA EPRESA.
).4
E*EPLO No. 4 J COSTO CAPITALIADO
"na empresa 5iene las si;8ien5es o
•
"na m98ina 8e 5iene 8n 6os5o ini6ial de !. +3000.00 y debe reempla>arse 6ada 2 a@os por o5ra 68yo 6os5o es de !. (03000.00.
"na m98ina 8e 5iene 8n 6os5o ini6ial de !. 23000.00 y debe
•
reempla>arse 6ada 10 a@os por o5ra a 8n 6os5o de !. (03000.00. Considerando 8na 5asa de in5erés del 10\ an8al3 6api5ali>able 5rimes5ralmen5e. VC89l de las dos al5erna5i:as es la m9s 6on:enien5e desde el p8n5o de :is5a
DAT*S No.
%
!. +3000.00
%
!. 23000.00
J
2
J
10
`
!. (03000.00
`
!. (03000.00
0.10
0.10
m
)
m
)
M
/.
C %
`
mJ G1 YmH K
(03000 C1
+3000
C1
( G1.+H
K
1
(03000 C
23000 )0 G1.+H
K
1
1
(65 6"1.62
C"
M
/.
()54!#.(4
LA SEGUNDA ALTERNATI'A ES LA ,S CON'ENIENTE PUESTO /UE EL COSTO CAPITALIADO ES ENOR /UE EL PRIERO.
).6
E*EPLO No. 6 J COSTOS E/UI'ALENTES
"na 6ons5r865ora 5iene e8ipo 6on 8n 6os5o de !. 1003000.003 debe ser reempla>ado 6ada 10 a@os al mismo 6os5o. "n o de !. 1+3000.003 debe ser reempla>ado 6ada 1 a@os. El ;eren5e de la 6ons5r865ora desea saber V689l de los e8ipos res8l5a m9s e6on7mi6o y 689n5o p8ede pa;ar por el se;8ndo para 8e s8 6os5o res8l5e
e8i:alen5e al del primeroW Considere el 12\ an8al de in5erés 6api5ali>able 5rimes5ralmen5e. DAT*S No. 1
DAT*S No.
%
!. 1003000.00
%
!. 1+3000.00
J
10
J
1
0.12
0.12
m
)
m
)
C1
M
/.
1"!52&".))
C"
M
/.
1("516!.)1
% C 1
1003000 C1
KmJ K G1 YmH
K)0 1
K G1.0)+H
1+3000 C K)2 1
K G1.0)+H
DAT*S %
!. 1003000.00
J
10
5
1
0.12
m
)
%c
1
Km5 K G1 YmH
1
KmJ K G1 YmH
%
K)2 1
K G1.0)+H
1
K G1.0)+H
%c 1003000 K)0
$
M
/.
1!&51&".&# PARA /UE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA E/UI'ALENTE AL DEL PRIERO.
).1! E*EPLO No. 1! J LITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA 'IDA KTIL DE UN ACTI'O "na empresa posee 6ier5o e8ipo 8e 5iene 8n 6os5o de !. +03000.003 y debe reempla>arse 6ada 10 a@os3 el pro:eedor de di6o e8ipo oable 5rimes5ralmen5eW
DAT*S %
!. +03000.00
J
10
b
)
0.1
m
)
1 O
Kmb K G1 YmH
% KmJ G1 YmH
K
1
K1 1
K
G1.0(H
O +03000 K )0 G 1.0( H
M
/.
K
45#"6.)!
1
ES LO ,S /UE SE PUEDE PAGAR POR EL CA-IO DE COPONENTES
CONCLUSIONES
1. Las an8alidades son ar de8das3 median5e los abonos peri7di6os por :alores i;8ales o 68o5as ni:eladas.
. Las an8alidades son 85ili>adas en el mer6ado ar 8n an9lisis al mer6ado lo6al3 se p8ede :is8ali>ar 8na serie de prod865os 8e es5as en5idades o
RECOENDACIONES
1. La apli6a6i7n de erramien5as
-I-LIOGRA$>A
