TÓPICOS DE MATEMÁTICA Olimpíadas – ITA – IME
Volume 01 Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades
Carlos A. Gomes José Maria Gomes
Os autores Carlos A. Gomes O professor Carlos A. Gomes é bacharel e mestrando em Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE, UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT-UFRN, além a sua larga experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, Curso, CEI, Hipócrates Colégio Colégio e Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado especializado nas olimpíadas de Matemática.
José Maria Gomes O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nível de ensino, em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando materiais didáticos para este propósito.
Apresentação Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no Brasil. A SBM – Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou a OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso país. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições. Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas. Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção “´TÓPICOS DE MATEMÁTICA – OLIMPÍADAS – ITA IME” que consiste numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados pelos autores. A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento num curto intervalo de tempo. Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber: Volume 01 – produtos notáveis, fatorações e desigualdades. Volume 02 – indução matemática e teoria elementar dos números . Volume 03 – geometria e trigometria. Volume 04 – funções, equações funcionais ,sequências e séries. Volume 05 – combinatória e probabilidade. Volume 06 – números complexos, polinômios e equações algébricas.
Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA. Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para críticas, sugestões bem para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email
[email protected] Carlos A. Gomes. José Maria Gomes.
Natal/RN, 04 de Fevereiro de 2010
Prefácio A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais e internacionais. Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo. Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores autodidatas. Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das médias. É de tirar o fôlego a cada página ! Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.
Prof. Renato Brito Fortaleza, 09 de Fevereiro de 2010
Dedicatória Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho (Paulinho)
Carlos A. Gomes José Maria Gomes
Índice
Capítulo 1.
Produtos notáveis e fatoração ...........................................................13
I Resumo teórico..........................................................................15 II Questões ...................................................................................15 Capítulo 2.
Desigualdades elementares ..............................................................27
I Resumo teórico..........................................................................29 II Questões ...................................................................................30 Capítulo 3.
Resoluções – Produtos notáveis e fatoração ...................................41
Capítulo 4.
Resoluções – Desigualdades ..........................................................111
Apêndice – Polinômios simétricos ...................................................................175 I II III IV
Polinômios simétricos ..............................................................177 Exemplos resolvidos................................................................178 Problemas Propostos ..............................................................183 Resoluções..............................................................................184
Apêndice – Demonstrações I II III IV V VI VII
Desigualdades elementares ...........................195
Desigualdade de Bernoulli.......................................................195 Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica .........196 Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica .........198 Desigualdade entre as médias aritmética e quadrática ..........199 Um lema poderoso ..................................................................200 Desigualdade de Cauchy-Schwarz .........................................202 Desigualdade de Young ..........................................................203
Bibliografia .........................................................................................................205
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
15
Produtos notáveis e fatoração . Resumo teórico
PRODUTOS NOTÁVEIS 2
a2 2ab b2
2
a2 2ab b2
a b a b
a b c
2
a2 b2 c 2 2 ab ac bc
3
a3 3a2 b 3ab2 b3
3
a3 3a2b 3ab2 b3
a b a b
FATORAÇÕES USUAIS a x a y a x y a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 Se D e E são raízes da equação ax 2 bx c a. x D x E .
ax 2 bx c 0 , então
Questões Propostas 01) Fatore: a) x2 – 7yx + 12y2 b) x2 – 3yx – 4x + 12y c) x4 – 20x2 + 4 d) x4 – 4y4 e) x4 + y4 f) xn – yn para n inteiro positivo g) xn + yn para n ímpar positivo 02) Qual o valor das somas S 267 455 337 733 267 545 663 733
16
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
03) Qual o valor de 1234562 123456 123457 ? 04) Qual o valor de 20082 20072 2006 2 2005 2 ... 22 12 ? 05) Qual o valor da expressão 20012 1999 2001 992 2 ? 06) Determine o valor das expressões abaixo: 5932 6001 69 a) 5932 6001 5931 20042 2010 20042 4008 3 2005 b) 2001 2003 2006 2007 07) (Eotvõs-1899) Mostre que 2903n 803n 464n 261n é sempre divisível por 1897. 08) a) Se a b c 0 mostre que a3 b3 c 3 3abc. 40113 20063 20053 b) Qual o valor de ? 4011 2006 2005 09) (AIME) Simplifique
5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7
10) Mostre que 1 x x 2 x 3 ... x1023 1 x 1 x 2 1 x 4 ... 1 x 256 1 x 512 11) (AIME-87) Calcule 104 324 224 324 34 4 324 464 324 58 4 324
44 324 16 4 324 28 4 324 404 324 524 324 12) Fatore: a) 3a2 2ab b2 b) a2 6a b2 2b 8
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
19
37) Calcule 1
2
1
2 8
1
2 2
1 2 ...
Expressando a sua resposta na forma
ab c d
, com a, b, c e d
inteiros positivos. 38) Verifique que a2 b2 c 2 ab ac bc a b c
-2a b c d e 6 ° a 2b c d e 12 °° 39) (AIME) Resolva o sistema ® a b 2c d e 24 ° a b c 2d e 48 ° °¯ a b c d 2e 96 40) (Torneio das cidades) Calcule: 1 1
2
...
1
1
1
4
1
1
1
3
1
1
3
1 2005
1
4
...
1 2005
41) Determine a e b naturais tais que 22 a 32b 55 .
42) Sabendo que a b 6 , encontre o valor de a32 b32
a
2
2
b
a
4
b
4
a
8
8
b
a
16
16
b
12b
2
2
2
43) Se a e b são inteiro consecutivos, mostre que a + b + (ab) é um quadrado perfeito.
20
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
44) Qual o maior valor de n, n
para que n3 100 seja divisível por
`
n 10 . 45) Calcule o valor de A
1000000 1000001 1000002 1000003 1.
46) Se a, b e c são números reais tais que a2 2b 7 , b2 4c 7
e
c 2 6a 14 . Determine o valor de a2 b2 c 2 . 47) Se x e y são números reais tais que x y xy 10 e x 2 y 2 40 . Determine o valor de x + y. 48) I. Qual das frações abaixo é a maior ? a) c)
25.038.876.541 25.038.876.543
b)
25.038.876.545
d)
25.038.876.547
25.038.876.543 25.038.876.545 25.038.876.547 25.038.876.549
II. Qual das frações abaixo é a menor ? a) c)
250.386.765.412
b)
250.384.765.412 250.384.765.412
d)
250.383.765.412
250.386.765.412 250.385.765.412 250.385.765.412 250.384.765.412
49) Simplifique: 1 1 1 a) a b a c b a b c c a c b b)
a3
b3
c3
a b a c b a b c c a c b
50) Se 0 a b e a2 b2 6ab , determine o valor de 51) Simplifique a expressão A
ab . ab
4 43 2 3 4 4 43 2 3 4 .
22
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
S
1 xy z 1
1 yz x 1
1 zx y 1
.
60) Resolva o sistema
-x y z 3 ° 2 2 2 ®x y z 3 ° 3 3 3 ¯x y z 3 61) Se a, b, c e d são números reais mostre que
a2
2
2
b2 c 2 d2 ac bd ad bc
D, E e J são as raízes da equação x3 5x 8 0 determine o valor de D 3 E3 J 3 .
62) Se
63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que
-°a b c d e 8 ® 2 2 2 2 2 °¯a b c d e 16 Determine o valor mínimo de e. 64) Sejam x1, x 2 , ..., xn números inteiros tais que
1 d xii d 2 , i = 1, 2, 3,
19 e x12 x 22 ... xn2 99 . Sendo m e M os valores máximo e mínimo da expressão x13 x 23 ... xn3 , determine ..., n, x1 x 2 ... xn
o valor de
M m
.
65) Se x, y e z são números reais tais que x y z 1 , mostre que x2
y 2 z2 t
1 . 3
66) Resolva a equação x 5 x 7 x 6 x 4 504 . 67) Determine os racionais a, b e c tais que
3 3
2 1 3 a 3 b 3 c .
68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para x A
9 6x x 2 9 6x x 2
3 ?
24
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
80) Verifique que não existem números reais x, y e z tais que 1 1 1 xyz0 e 0. x y z 2003
81) (Harvard) Simplifique 2
2 11 3 5 4006 89 12 55 .
2
82) Se x 5 y 12 142 , determine o valor mínimo de x 2 y 2 . 83) Se a, b e c são números reais não nulos tais que a
1 b
b
1 c
c
1 a
,
mostre que abc 1 . 84) Quantas raízes negativas possui a equação x 4 5x3 4x 2 7x 4 0
85) (Harvard)
Mostre
que
1 3 6
é
uma
raiz
da
equação
x3 3x 2 3x 7 0 .
86) Determine todos os primos da forma n3 1. 87) Determine o número de soluções de
1 1 1 com x y 1998
x
e
y
inteiros
positivos. 88) Mostre que não existe um número natural de cinco algarismos abcde que seja igual a soma dos cubos dos seus dígitos. 89) Calcule os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro equações - x 7y 3v 5u 16
°8x 4y 6v 2u 16 ° ® °2x 6y 4v 8u 16 °¯5x 3y 7v u 16
90) Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de cumpre a seguinte igualdade
n
que
Capítulo 2
Desigualdades elementares
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
29
Desigualdades elementares Resumo teórico Desigualdades das médias.
Sejam x1, x2, ... xn números reais positivos, definimos: x12 x 22 ... xn2
MQ
MA MG MH
n x1 x 2 ... xn n n
x1x 2 ... xn n
1 1 1 ... x1 x 2 xN
(MQ = Média Quadrática)
(MA = Média Aritmética) (MG = Média Geométrica)
(MH = Média Harmônica)
No capítulo 6 (Apêndice), demonstraremos que MH d MG d MA d MQ , onde a igualdade ocorre se, e somente se x1 x 2 ... xn .
Consequência da desigualdade MG d MA i. Se o produto de n números positivos for constante, a soma será mínima se todos os números forem iguais. ii. Se a soma de n números for constante, o produto será máximo quando todos forem iguais.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam x1, x2, ..., xn , y1, y2, ... yn números reais, então 2 x1y1 x2 y2 ... xn yn d x12 x22 ... xn2 y12 y22 ... yn2
valendo a igualdade se, somente se,
x1 y1
x2 y2
...
xn yn
.
30
2 - Desigualdades elementares
Lema poderoso
Se a, b, x e y são números reais e x > 0 e y > 0, então
a b
2
d
x y
a2 x
b2 y
Observação:
O poderoso lema acima pode ser estendido. Se a1, a2 , ..., an b1, b2 , ..., bn
\
\
e
, então é válida a desigualdade
a1 a2 ... an
2
b1 b2 ... bn
d
a12 b1
a2 2 b2
Ocorrendo a igualdade se, e somente se
...
a1
b1
a2 b2
an2 bn
...
an bn
.
Questões Propostas
01) Se x \ e x > 0, prove que x
1 t 2. x
02) Para todos os valores as variáveis x, y, z e w, reais positivas. Qual é o x y z w menor valor da expressão f x, y, z, w ? y z w x 03) Para x > 0. Qual o valor mínimo de y x 2
1 . x
4
§ x y · 04) (ITA/2002) Mostre que ¨ 2 ¸ ! C(8, 4) . x ¹ © y 05) Qual o valor mínimo da expressão f x 6x
06) Se x, y e z > 0 prove que
2 xy
2 yz
2 zx
t
24 x
2
, quando x > 0 ? 9
xyz
.
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
31
07) Se x, y e z são números positivos. Qual o valor mínimo de § 1 1 1· x y z¨ ¸ ? ©x y z¹ 08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e z tais que xyz = 48? 09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição a b c 3 prove que abc é um cubo de um inteiro. b c a 10) Sejam x, y, z números reais tais que x · y · z = 32. Qual o menor valor da expressão x 2 4xy 4y 2 2z2 ? 11) Prove que
a2 3 2
a 2
t 2.
12) (Baltic-way) Prove que se a, b ,c e d são números reais positivos, então temos: a c b d c a d b t4 ab b c c d da 13) Qual o valor mínimo de f x, y
12 x
18 y
xy?
14) Se x e y são positivos e x > y. Qual o menor valor de 8 f(x, y) x y(x y) 15) Encontre o menor valor da função definida pela lei f(x, y,z)
x 2y 4z 12 y z x
onde x, y e z são números reais positivos. 16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei f(x,y)
onde x e y são reais positivos.
50 20 xy x y
32
2 - Desigualdades elementares
17) Encontre o menor valor da função definida pela lei f(x)
(x 10) (x 2) x 1
18) Encontre o valor máximo da função definida pela lei f(x,y)
12(xy 4x 3y) 2 3
x y
,
onde x e y são reais positivos. 19) Qual o valor máximo do produto x y (72 3x 4y). Para todo x e y positivo? 20) Encontre o valor máximo de 54x 2 y 3 (1 x y) . 9x 2 sen2 x 4 21) (AIME-83) Encontre o valor mínimo de f(x) , com x senx 0 x S.
22) Dada a equação 3x 2 4x k 0 , com raízes reais. Qual o valor de k para qual o produto das raízes da equação é máximo. 23) Sejam a, b, c e d reais positivos prove que 1 1 4 16 64 t a b c d a b c d 24) Qual o valor máximo que pode assumir a expressão f(T) 3 sen T 4cos T onde 0 d T d 2S
25) Para valores positivos de x, qual o menor valor de f(x) 5x
16 21 x
26) Qual o maior valor de f(x) 2x 12 x 2 para todos os valores de x > 0? 27) Qual o número positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior quantidade possível?
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
33
28) Encontre o número positivo que excede seu cubo da maior quantidade possível. 29) Qual o menor valor de x 2 12y 10xy 2 para valores positivos de x e y satisfazendo a condição x y 6 . 30) Se a, b, x e y são números reais não negativos a5 b5 d 1 e x5 y5 d 1 prove que a2 x3 b2 y3 d 1 .
4
31) Se a e b são positivos prove que 8 a4 b 4 t a b . 2
32) Encontre o maior valor de x y se x e y são números reais positivos satisfazendo a equação 6x 5y 45 . 33) Qual o valor mínimo de f(x) x 2
16 para todos os valores positivos x
de x? 34) Se a e b são números reais quaisquer verifique que
a b t 2. b a
35) (Turquia-2000) Se a t 0, b t 0 e c t 0 prove que
a 3b) (b 4c c 2a t 60abc 36) Prove que: a) Se a t 0, b t 0 e c t 0 , então b c) (c a a b t 8abc b) Se a t 0, b t 0, c t 0 e a b c 1, então
§1 · §1 · §1 · ¨ a 1¸ ¨ b 1¸ ¨ c 1¸ t 8 . © ¹ © ¹ © ¹ 37) Se x t 0, y t 0 e z t 0 prove que x2
y2
z2
x y x z y z y x z x z y
t
3 4
34
2 - Desigualdades elementares
38) Se x t 0, y t 0 e z t 0 prove que x x 2y 3z
y y 2z 3x
z z 2x 3y
t
1 2
39) Se a, b, x, y e z são números reais positivos, prove que x ay bz
y az bx
z ax by
t
3 ab
40) Se x e y são tais que 3x y 20 , qual o menor valor de
x2 y2 ?
41) (Bielorussia-99) Se a, b e c são números reais positivos e 1 1 1 3 a2 b2 c 2 3 prove que t . 1 ab 1 bc 1 ac 2 42) (China-90) Quantos pontos (x, y) satisfazem a equação abaixo?
§ ©
log ¨ x 3
1 3
y3
1·
log x log y ¸ 9¹
43) Se a e b são números reais positivos determine o menor valor possível 1 de f(a,b) a . b a b 44) Para todo numero real positivo x e y, Prove que (x y) (xy 1) t 4 xy .
45) (República Tcheca-00) Sejam a, b e c números reais positivos prove que a b c t1 b 2c c 2a a 2b 46) Se a, b, c e d são números reais positivos cuja soma vale 1. Prove que a2 b2 c2 d2 1 t . Com a igualdade se verificando se e ab b c c d da 2 1 somente se a b c d . 4
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47) (Rússia-02) Se x, y e z são números reais positivos cuja soma vale 3. Prove: x y z t xy yz zx . 48) (Novo México) Encontre o termo mínimo da sequência 7 6
96 7
8 6
96 8
9 6
96 95 , ..., 9 6
96 95
49) Prove que a, b e c são números reais positivos então (a2 1) (b2 1) (c 2 1) t 8 abc 50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde D é um dos ângulos. Vale a relação tg D cotg D t 2 . 51) (IMO-95) Se a, b e c são números reais positivos e a · b · c = 1 prove 1 1 1 3 3 3 t . que 3 a (b c) b (c a) c (a b) 2 52) Prove que se a + b = 1, onde a e b são números positivos 2
2
1· 1· 25 § § a b t ¨ ¸ ¨ ¸ a¹ b¹ 2 © ©
53) Resolva o sistema:
ª 2 x 2y « x « 2 « y 2z « y « 2 « z 2x «¬ z a3 b 6 54) Prove que se a t 0 , então t 3ab2 4 . 2
55) Demonstrar que x 2 y 2 z2 t 12 se x y z 6 . 3
2
56) O volume de um paralelepípedo e 216cm e sua área total é 216cm . Prove que o paralelepípedo é cubo. +
57) Mostre que todo valor arbitrário a, b, c e d \ temos:
36
2 - Desigualdades elementares
(a2 a 1) (b2 b 1) (c 2 c 1) (d2 d 1) t 81 a b c d +
58) Mostre que para todo a, b e c \ vale a desigualdade: 1 1 a
1 1 b
1 1 c
t
9 3abc
59) Mostre que 2x + 4y = 1 para todo x, y \ então x 2 y 2 t
1 . 20
60) Mostre que para números reais x, y, z temos: 2
2
2
2
x y z §x y z· d ¨2 3 6¸ 2 3 6 © ¹
+
61) Mostre que para qualquer valor de a, b e c \ . ab(a b) bc(b c) ac(a c) t 6 abc
62) Se x e y são tais que 3x – y = 20, qual o menor valor de 63) Se a1 > a2 > 0, ..., an > 0 mostre que: a1 a2 a2 a3 ... an
a3 a4 ... an a1
...
x2 y2 .
an a1 a2 ... an 1
!
n n 1
64) Se a > 0, b > 0, c > 0 e d > 0, prove que: a b c d 4 t b c d a c d a b d a b c 3 65) (Cone Sul) Se a > 0, b > 0 e c > 0 prove que: a b c 3 t bc ac ab 2 66) Sejam x e y números positivos e x y = 1 calcule o valor mínimo de 1 1 . 4 4 x 4.y 67) Sabendo que x, y e z são números reais mostre que x 2 y 2 x 2 z2 y 2 z 2
t x 2 yz xy 2z xyz 2 .
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37
a4 9 4 68) Mostre que se a > 0 então ! . 10a 5 1 · § 1 ¸ t 4. ac bd © ¹
+
69) Se a, b, c e d \ mostre que ab cd ¨
70) Se a, b \ mostre que 2b(1 a2 ) 4a(1 b2 ) t 12ab. +
+
71) Se a e b \ mostre que a2 b a b (a ab 4a) t 0 . 72) Se x, y e z, são números reais positivos e x + y + z = 1. Determine o 1 4 9 valor mínimo de . x y z +
73) Mostre que se a \ então
2a2 1
! 1.
2
4a 1
74) (Gazeta Matemática) Se a, b e c são números reais positivos e abc = 1 prove que: bc c a a b t a b c 3 a b c 75) Prove que se a, b e c são números reais tais que a > 1, b > 1 e c > 1, então 9 § logc b loga c logb a · t 2 ¨ ¸ c a a b ¹ a b c © bc 76) Se x, y e z são números reais positivos. Prove que:
§x ¨ ¨y ©
2
· §y z x ¸ ¨ ¨ z 3 xyz 3 xyz ¸ ¹ ©
2
· §z y ¸ ¨ ¸ ¨x 3 xyz ¹ ©
2
· ¸ t 12 ¸ ¹
77) Mostre que para a, b e c reais positivos temos que
a b 2
b2 c c 2a ab2 bc 2 ca2 t 9 a2b2 c 2
78) Se 0 < x < 1 qual o valor máximo de f(x) x 1 x 2 .
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39
D, E, J e T sabendo que são as raízes da equação D E J T 4x 4 ax3 bx 2 cx 5 0 e que 1.
91) (Ibero) Determine
2
92) Supondo que
n
4
5
8
é natural mostre que nn ! 1 3 5 7 ... 2n 1 .
93) Se a, b, c e d são números reais positivos de soma 1, prove que S
4a 1 4b 1 4c 1 4d 1 6
94) Encontre todas as soluções em números reais positivos do sistema: -a b c d 12
® ¯abcd 27 ab ac ad bc bd cd
95) Se a, b e c são inteiros que satisfazem a condição Prove que
abc
a b c b c a
3.
é o cubo de um inteiro. n
§ n 1· 96) Para n natural, com n t 2 , mostre que n! ¨ ¸ . 2 © ¹ 97) Usando MA t MG, mostre que a desigualdade de Bernoulli n 1 x t 1 nx , com n natural, é válida para x > 0.
98) (Desigualdade de Young) Se p e q são números racionais positivos 1 1 tais que p q
xp 1, então para x e y positivos tem-se p
yq q
t xy .
99) Prove que se a1, a2 , a3 , ..., an \ e a1 a2 a3 ... an 1 então nestas condições verdade que 1 a1 1 a2 1 a3 ... 1 an t 2n . 100) (Desigualdade de Carlson) Mostre que 2 a1 a2 ... a2 d Cn a 21c 21 a22c 22 ... a2nc 2n
onde Cn é uma constante. 2
101) Mostre que a1 a2 ... a2
S2
a 6
2 1
22 a22 32 a32 ... n2an2 .
Apêndice
Polinômios Simétricos Desigualdades Elementares
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
177
5 - Apêndice
POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares, na resolução de algumas equações irracionais são as funções polinomiais simétricas, que apesar de seu grande poder algébrico são pouco divulgadas entre os nossos alunos. A finalidade deste breve artigo é exibir de modo sucinto como estas ferramentas podem ser úteis na resolução de alguns problemas olímpicos.
I.
Polinômios Simétricos
Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quando f(x, y) = f(y, x) para todos os valores x, y.
Exemplos: a) V1 = x + y e V 2 = x · y, são evidentemente polinômios simétricos (chamados polinômios simétricos elementares). n
n
b) Os polinômios da forma S n = x + y , com n
`
também são
simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em função de V1 e V2. Vejamos: n
n
Se Sn = x + y , n `, (n t 2), então: n
n
0
0
n–1
n–1
Sn = x + y = (x + y) (x + y ) – xy(x = V1 · Sn–1 – V2 · Sn–2 (n t 2)
n–2
n–2
+y
)
Mas, S0 = x + y = 1 + 1 = 2 1 1 S1 = x + y = x + y = V1 Assim temos que: S0 = 2 S1 = V1 2
S2 = V1 · S1 – V2· S0 = V1 · V1 – V2 · 2 = V1 – 2V2
178
5 - Apêndice – Polinômios Simétricos 2
3
S3 = V1 · S2 – V2· S1 = V1 (V1 – 2V2) – V2 · V1 = V1 – 3V1 · V2 E daí usando a lei de recorrência S n = V1 Sn–1 – V2 Sn–2 (n t 2) podemos determinar Sn em função de V1 e V2 para qualquer número natural n. Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em V1 e V2 observemos o seguinte fato: K K Num polinômio simétrico f(x, y) para os termos da forma a · x · y não K K K K temos nenhum problema pois a · x · y = a(x · y) = a · 2 . Agora com os i K termos da forma b · x · y , com i < k devemos observar o seguinte fato: i k Como, por hipótese, f(x, y) é simétrico se b · x · y , com i < k estiver k i presente em f(x, y) temos que b · x · y também deve estar presente em f(x, y), visto que deve ser satisfeita a condição f(x, y) = f(y, x). Assim se i k k i agruparmos os termos b · x · y + b · x · y (i < k) temos que:
b · xi · yk + b · xk · yi = b · xi · yi (xk–i + yk–i) = b · V2i · Sk–i, mas como já mostramos anteriormente S k–i pode ser escrito como um polinômio em V1 e V2, pois k – i `, visto que i < k.
II.
Exemplos Resolvidos
01. (Funções simétricas elementares a 3 variáveis) Definido: =x+y+z V2 = xy + xz + yz V3 = x · y · z n n n Sn = x + y + z , com n V1
`
(n t 2).
Mostre que: a) Sn = V1 · Sn–1 – V2 · Sn–2 + V3 · Sn–3 (n t 3, com n
`)
3
b) S3 = V1 – 3V1V2 + 3V3
Resolução: Observe inicialmente que: n
n
n
n–1
n–1
n–1
x + y + z = (x + y + z) (x + y + z ) – (xy + xz + yz) (x n–2 n–3 n–3 n–3 z ) + xyz (x + y + z )
n–2
n–2
+y
+
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME 3
3
3
181
3
03) Fatore (x + y + z) – (x + y + z ). Resolução: 3
3
3
3
3
(x + y + z) – (x + y + z ) = V1 – S3 3
Mas, no exemplo anterior vimos que S 3 = V1 – 3V1V2 + 3V3 e daí 3
3
3
3
3
3
(x + y + z) – (x + y + z ) = V1 – (V1 – 3V1V2 + 3V3) = 3(V1V2 – V3) = 3 · [(x + y + z) (xy + xz + yz) – xyz] 2 2 2 2 2 2 = 3(x y + x z + xyz + xy + xyz + y z + xyz + xz + yz – xyz) = 3 · [xy(x + y) + xz(x + y) + yz(y + z) + xz(y + z)] = 3 · [(x + y)(xy + xz) + (y + z)(yz + xz)] = 3 · [(x + y) · x(y + z) + (y + z) · z(x + y)] = 3(x + y)(y + z)(x + z) 2
04) Se x1 e x 2 são as raízes da equação x – 6x + 1 = 0 determine o valor 5 5 de x1 + x2 . Resolução:
Fazendo Sn = x1 + x2 , n n
n
`,
5
queremos determinar S 5 = x1 + x2
Temos que:
V1 = x1 + x2 = 6 V2 = x1 · x2 = 1 0
0
S0 = x1 + x2 = 1 + 1 = 2 S1 = x1 + x2 = 6 Sn = V1 · Sn–1 – V2 · Sn–2 = 6Sn–1 – Sn–2, S2 = 6 · S1 – S0 = 6 · 6 – 2 = 34 S3 = 6 · S2 – S1 = 6 · 34 – 6 = 198 S4 = 6 · S3 – S2 = 6 · 198 – 34 = 1.154 S5 = 6 · S4 – S3 = 6 · 1.154 – 198 = 6.726 5
e daí:
5
Assim: x1 + x2 = 6.726 05) Determine todas as soluções reais do sistema xyz 1 -° ® 3 3 3 4 4 4 °¯ x y z xyz x y z 1 Resolução:
5
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
Por outro lado, se
183
-y z 6 V2 = 8 ® y = 2 e z = 4 ou z = 2 e y = 4 y z 8 ¯
Assim concluímos que: y = 2 x = 16 y = 4 x = 256 Logo as raízes reais da equação são 16 e 256.
III. Problemas Propostos 3
2
01) Se D,E e J são as raízes da equação x + 3x – 7x + 1 = 0. Determine o valor de
D3 E 3 J 3 D 4 E4 J 4 .
- xy a ° 3 02) Mostre que se o sistema ® x 2 y2 b tem solução, então a – 3ab + 2c = 0. ° 3 3 °¯ x y c 03) Sejam a,b,c R , sabendo que a b c mostre que a >0 , b >0 e c >0.
! 0 , a b c ! 0 e abc ! 0
04) Se x + y + z = 0, verifique que, para n = 0, 1, 2, ... vale a relação: x n 3
1
2 x2 y2 z2 xn 1 yn 1 zn 1
yn3 zn3 xyz xn yn zn
05) Determine as raízes reais da equação
4
97 x
4
x
5.
06) a) Definindo:
Mostre que
-V1 ° ®V 2 °V ¯ 3 V3 V1.V2
a b c ab ac bc abc a b ou
a c ou b c .
184
5 - Apêndice – Polinômios Simétricos
b) Sejam a, b e c números reais tal que 1
a
2011
1
b
2011
1 c
2011
1 a
1
a b c
2011
1
1
b
c
1 abc
. Mostre que
.
07) Sejam a, b e c números reais positivos tais que: loga b logb c logc a 3
Determine o valor de loga b
0
3
3
logb c logc a
08) Se D, E e J são números complexos tais que:
-D E J 1 ° 2 2 2 ®D E J 3 ° 3 3 3 °¯D E J 7 Determine o valor de
D 21 E21 J 21.
IV. Resoluções 01)
Se
D, E e J
Determine o valor de
3
2
são as raízes da equação x + 3x – 7x + 1 = 0.
D 3 E 3 J 3 D 4 E4 J 4 .
Resolução: Para uma equação polinomial do 3°grau ax3 bx 2 cx d 0 com raízes D ,E e J são bastante conhecidas as relações de Girard, b V D E J ° 1 a ° c ° V DE DJ EJ ® 2 a ° ° d V DEJ ° 3 a ¯
194
6 - Apêndice – Demonstrações -Desigualdades Elementares
6 - DEMONSTRAÇÕES
Desigualdades Elementares
A intenção deste apêndice é reunir num mesmo lugar várias demonstrações das principais desigualdades elementares clássicas, coisa que em geral, só se consegue após consultar diversas obras. Assim estará facilitado o trabalho do leitor, que num mesmo lugar poderá encontrar as demonstrações detalhadas destas importantes ferramentas Matemáticas.
I.
Desigualdade de Bernoulli Para todo x
\, x > –1 e n
` tem-se (1 + x)
n
t1
+ nx.
Demonstração: Inicialmente vamos usar o método da indução sobre n.
1º modo: para n = 1 1
1
(1 + x) t 1 + 1·x é verdadeira pois (1 + x) = 1 + x e evidentemente 1 + x t 1 + x. Suponhamos que a desigualdade seja verdadeira para n = k, isto é, para x > –1, k (1 + x) t 1 + kx Agora vamos verificar que a desigualdade é válida para n = k + 1. De fato, como estamos supondo que x > –1 segue que 1 + x > 0. Assim k podemos multiplicar ambos os membros da desigualdade (1 + x) t 1 + kx por 1 + x, sem que seja alterado o sinal da desigualdade. Assim k
1 x
t
k
1 kx 1 x 1 x t 1 kx 1 x 1 x kx kx2 t 1 k 1 x k+1
ou seja, (1 + x) t 1 + (k + 1)x, o que verifica que a desigualdade é válida para todo n natural.
Tópicos de Matemática – Olimpíadas – ITA – IME
195
2° modo: Uma outra maneira de chegarmos ao resultado é verificar que se bn an n 1 0 < a < b e n `, n t 1, então na d . ba E fato, bn
a
n
ba
Portanto na
n 1
bn 1 bn 2 a ... an 1
d
t
an 1 an 1 ... an 1
nan 1
bn an ; ba
Tomando b = x + 1 e a = 1, e lembrando que 1 + x > 0 segue que nan 1
d
bn an ba
n
n
1 x 1 1 x n 1 n 1 d nd x 1 x 1
1
n
1 x
t
1 nx
II. Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica Sejam x1, x2, ..., xn números reais positivos. Então n
x1x 2 ... x n
d
x1 x 2
...
xn
n
A igualdade ocorrendo se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn. Para demonstrarmos este conhecido e importante resultado vamos demonstrar inicialmente um resultado auxiliar: Sejam x1, x 2, ..., xn números reais positivos tais que x 1 · x 2 · ... · xn = 1, então x1 x 2 ... xn t n , valendo a igualdade se, e somente se, x1
x2
... xn
1.
Faremos novamente uma demonstração por indução sobre n.
Para n = 1: Temos x1 = 1 e portanto x1
t 1,
o que torna o resultado verdadeiro.
196
6 - Apêndice – Demonstrações -Desigualdades Elementares
Suponhamos que o resultado seja válido para n = k, ou seja, x1 x 2 ... xk
1
x1 x 2
...
xn
t
k
Agora vamos verificar que o resultado é válido para n = k + 1. De fato, sejam x1, x 2 ,..., xk , xk 1 números reais positivos tais que x1 x 2 ... xk xk 1 1 . Assim dois casos podem se apresentar: i.
Todos x1
x2
os
números
... xk
x k 1 .
x1 x 2 ... xk xk 1
1
x1, x 2 ,..., xk , xk 1 Como
são
iguais,
estamos
ou
supondo
seja, que
segue que neste caso todos eles têm de ser
iguais a 1 e portanto x1 x 2 ... xk xk 1 k 1 . O resultado vale, neste caso, para n = k + 1, visto que a igualdade é verificada quando cada um dos números é igual a 1. ii.
Nem todos os números são iguais, ou seja, há entre os números um deles que é menor que 1 e outro que é maior que 1, pois não podemos ter todos os números menores que 1 nem todos os números maiores que 1, visto que o produto de todos eles deve ser igual a 1. Sem perda de generalidade podemos supor que x 1 < 1 e que xk 1 ! 1. Fazendo x1 xk 1
b1 segue que
x x 2 ... xk xk 1
1
b1 x 2 ... xk
Pela hipótese de indução segue que b1 x 2 x1 x 2
...
xk
x k 1
...
xk
b1 x 2 ... xk x1 b1 xk 1
1
t
k . Assim,
tk
x1
b1 x k 1
tk
Para finalizar devemos verificar que x1 b1 xk 1 De fato, lembrando que x1 xk 1
x1 b1 xk 1
t 1.
b1 segue que
x1 x1xk 1 xk 1
Assim, x1 b1 xk 1
x1 1 xk 1 xk 1 1 1
x1 x1xk 1 xk 1
x1 1 xk 1 1 xk 1 1
1 xk 1 x1 1 1
204
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