MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
PROBLEMAS RESUEL TOS TO S RESUELTO
1.-
Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña ubica do a 540 km, km, si el bus ma rcha a razó n de 45 km/h?
e A = v At eB
Solución:
=
= v Bt =
40t 60t
OBSERVACI BSERVACIÓ ÓN Tiemp o de Encuent Encuent ro: tE =
d = vt t
⇒
e v A + vB
540 = 45t
De la figura:
= 12 h o ra s
2000 = e A + e B
NOTA
2 000 = 40t
Antes de realizar cualquier operación es necesario homog enizar el sistema sistema de unida des, si si fuese necesario. necesario. 2.-
e : espac espaciio de separ separac aciión inicial
Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y efect úa un d isparo saliendo la ba la con 85 m/s (velo(velocidad consta nte), ¿después de q ue tiempo hará impacto la bala?
t
4.-
+ 60 t
⇒
2 000 = 100 t
= 20 s
Dos auto s se mueven en el mismo sentido con velocivelocida des con sta ntes d e 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de q ue tiempo uno de ellos alcanza a l otro? ver figura. figura.
Solución:
Solución: e A = v At d = vt t
3.-
⇒
170 = 85t
eB
=
60t
= v Bt =
40t
= 2s
Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocida locida des consta ntes. ¿Después ¿Después de q ue tiempo se encuentran si inicial inicialmente mente estab an separado s 2 000 000 m? (velocída d d e los a utos ut os 40 m/s m/s y 60 m/s). Solución:
De la figura: e A = eB 60t t
+ 200
= 40 40 t + 20 200
= 10 s
⇒
20 t
= 20 200
2.-
OBSERVACIÓN
Tres móviles pasa n simultán ea ment e por los punto s A, A, B, C con velocida des de s de d e 10, 15 15 y 13 m/s. m/s. Si Si la d istancia ista ncia entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de q ué tiempo la d istancia ent re los los móviles serán iguales, si en ese instante instante guardan el mismo mismo ordenamiento.
Tiemp o de Alcance: t AL =
e : espaci espacio o de separ separaci ación ón ini inici cial al
e v A − vB
v A > vB
Solución: 5.-
Un móvil “A” q ue se de splaza co n una ve locidad de 30 m/s, se encuen tra det rás d e un móvil “B” a una distancia d e 50 m, sabiendo q ue los móviles móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. m/s. ¿Calcular ¿Calcular despué s de q ué t iempo, “A” estará 50 m dela nte de “B”? Solución:
De la figura: 8 + 32 + e 3 = e 1 + 2x 40 + v 3t
=
40 + 13 13t
= 10 t + 2 x
40 + 3t e A = v At eB
=
De la figura:
t
2x
............ (1)
2x
e 2 = e1 + x − 8
= v B t = 20t
30t
+
Ta mb ién: ién :
30t
e A = 50 + e B
=
v1t
v 2t
= v1t +
x− 8
15t
= 10 t +
x−8
+ 50
= 50 + 20 t + 50
5t ⇒
10 t =10 1 00
x−8
=
............ (2)
De (1) y (2):
= 10 s
t
24 =
s
7
1.-
3.-
Un muchacho pa ra ba jar por una esca lera lera emp leó 30 s. ¿Cuánt ¿Cuánt o d emoraría en subir la misma escalera si lo hace con el triple triple de velocidad ?
Un barco na vega rumbo a l Norte Norte recorriendo recorriendo 540 540 m. Lueg o va ha cia el Este Este recorriendo 720 m. Determinar el espacio y d ista ista ncia q ue recorrió recorrió el ba rco (en (en m). Solución:
Solución:
Cuando el muchacho baja
b g
L = v 30
..... (1)
Cuando el muchacho sube
b g
L = 3v t
Espacio = ?
..... (2)
Distanci Distanciaa = ?
e = OA + AB
d = OB
e = 540 540 + 720 720
d=
e
d = 900 m
260 0m = 1 26
Cuando el muchacho baja
De (1) y (2): 2
b540g b720g +
2
t
= 10 s
Cuando el muchacho sube
4.-
Una persona sale tod os los días de su casa a la misma hora y llega a su t raba jo a las 9:00 9:00 a.m. Un día se t raslaraslada al doble de la velocidad velocidad a costumbrada costumbrada y llega llega a su trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa?
6.-
Un tren d e pa sajeros viaja a razó n de 36 km/ km/h, h, al ingresar a un t únel de 200 200 m de long itud dem ora 50 s en salir de él ¿Cuál ¿Cuál es la long itud d el tren? Solución:
Solución:
De la fig (1):
fig (1)
d = vt ..... (α)
De la fig (2): d = 2v bt
fig (2)
De (α) y (β): vt t
La d istancia q ue recorre recorre el tren es el mismo q ue recorre el punt o A.
− 1g .... (β)
d = vt
200 + L = 10b50g
= 2v bt − 1g
=
L = 300 m
2h
7.-
7:00 a.m. Rpta : Sale de su casa a las 7:00 5.-
Dos móviles A y B situados en un mismo punto a 200 m de un árbol, parten simultáneamente en la misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos móviles equidistan del árbo l? (v (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s). m/s).
De Lima Lima a Huacho Huacho hay a proximada proximada mente 160 160 km; km; de Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con velocida velocida d consta nte saliendo a las 8 a.m. y lleg lleg a a Barranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho? Solución:
Solución:
Lima a Barranca: Barranca: d = vt 200 = v b 4g
De la figura:
dB = d A + 2x
v Bt 6t t
Lima a Huacho:
= v At + 2x
= 4t + 2x
Dat o: velocida velocida d consta nte = 50 km/h
⇒ 2t = 2x
d = vT
= x ............ (1) 160 = 50 T
d A + x = 200 4t
4t
+ t = 200
= 40 s
⇒ T= 3, 2h
Huacho a las 11.2 11.2 a.m. ó 11h 12 12m a.m. Rpta : Pasó por Huacho
+ x = 200 ............ (2)
(1) en (2): (2):
t
⇒ v = 50 km /h
8.-
Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si viaja a 60 km/ km/h h llega rá una hora a ntes, pero si viaja viaja a 40 km/ km/h h llega rá una hora d espués. Si Si en amb os casos la hora de partida es la misma, encontrar dicha hora de partida.
Solución:
Sabemo s q ue el tren (1) (1) se mueve con velocidad de 15 m/s y el tre n (2) (2) con velocida veloc ida d d e 20 m/s, m/s, pero en sentido co ntrario. Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él, q ue t iene el t ren (2) (2)?. La respue sta es (15 (15 + 20) 20) es decir 35 m/s, y est o e s lóg ico pues el pa sajero verá moverse al tren (2) con mayor rapidez. Visto est o, pod emo s supone r al tren (1) (1) en repo so, pero el tren (2) tend rá una velocidad de 35 m/s.
fig . (1) (1)
fig . (2) (2)
fig . (3) (3)
Tren (2) (2) a punt o d e pa sar po r el pasa jero, jero,
De la figura (1):
d = vt
De la figura (2):
d = 60b t
− 1g ............ (b)
De la figura (3):
d = 40bt
+ 1g ............ (c)
........................ (a)
De (b) y (c): 60bt
− 1g = 40bt + 1g ⇒
t
= 5h Tren (2) (2) ya pa só po r complet o a l pasa jero jero .
las 2:00 2:00 p.m. Rpta : La hora de partid a será las 9.-
Dos trenes corren en sentido cont rario rario con velocidades de v1 = 15 m/s y v 2 = 20 m/s. Un pa sajero d el primer tren (el de v 1) not a q ue el tren 2 demo ra en pasar por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (Se (Se supone q ue el pasa jero jero est á inmóvil miranmirando a través de la la ventana ). Solución:
Suponga mos q ue el pasajero pasajero se encuentra en la parte d elantera d el tren (1) (1) Para el pasa jero: jero:
e = vt
⇒ L = 35b6g
L = 210m
10.-
Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras que se cruzan cruzan en 90° 90° simul simultáne táne amente del punto d e cruce con velocida velocida des v 1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carret eras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la distancia d e separación ent re móviles móviles es de 90 m?
Solución:
Al formar el trián g ulo DFE, se tiene: L=
Por motivos didácticos tomaremos parte d e las carreteras los lad os AB y CD de un pa ralelepíped o.
2
b2t g b 4t g +
2
L = 2 5t
Ahora , en el t riáng ulo DEB: 90 90
2
2
2 2 = L + 10
=
d2
2
5t
8 100 = 20 t 8 0 00 = 20t t
2
t
=
i
2
+ 10
2
+ 100
2
400
= 20 s
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Dos móviles parten d e un punt o A en direcciones perpendiculares con velocida des co nstant es de 6 m/s y 8 m/s respectivament e. ¿Determinar al cab o d e q ue tiempo se encont rarán separado s 100 m?
Rpta.
6.-
Una moto y un a uto se encuentran a una d istancia de 1 000 m. Si parten simultánea mente en la misma dirección y con velocida de s de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En que tiempo se produce el encuentro?
10 s
Rpta. 2.-
Un móv il q ue va con M.R.U. inicia su movimien to en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = + 28 m, hallar su velocidad.
Rpta. 3.-
5 m/s
Javier un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual emite un grito y cronómetro en ma no, comprueba q ue el eco lo escucha luego d e 3 s. ¿Cuál es esa distancia en me tros? (vsonido = 340 m/s).
Rpta.
7.-
Dos móviles con velocidades constantes de 40 y 25 m/s part en d e un mismo punt o, y se mueven en la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cua nto t iempo esta rán separad os 13 km?
Rpta. 8.-
510 m
Dos at letas pa rten juntos en la misma dirección y sentid o co n velocid ad es de 4 m/s y 6 m/s, de spués d e 1 minuto. ¿Qué distancia los separa?
Rpta. 5.-
9.-
120 m
Hallar el espacio q ue recorre una lieb re en 10 s. Si en un q uinto de minuto recorre 40 m más. 200 m
100 km/h
Dos móviles se mueven en línea recta con velocida des const an tes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente sepa rados por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para q ue el segund o después d e a lcanzar al primero se aleje 15 m?
Rpta. 10.-
Rpta.
200 s
Un móvil deb e recorrer 300 km en 5 h, pero a la m ita d del camino sufre una avería q ue lo det iene 1 h, ¿con que velocidad debe continuar su viaje para llegar a tiempo a su destino?
Rpta. 4.-
25 s
3s
Dos móviles con velocidades constant es part en simultá nea y p aralelamente d e un mismo punto. Si la d ife-
rencia d e sus velocid ad es d e 108 km/h. Hallar la d ista ncia que los separa d espués de 30 s.
Rpta.
1.-
Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con velocida d const ant e a razón d e 30 km/h, pensand o cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h de a delanto?
Rpta. 4.-
5.-
15 s
Dos m óviles est án en “A” y “B” en la misma rect a. El primero part e d e “A” hacia “B” a las 7 a.m. a ra zón de 90 km/h, el segu nd o p art e d e “B” hacia “A” a las 12 m. Si se encuen tran a las 3 p.m. Hallar AB, sab iendo ad emás que el espacio del primero es al del segundo como 2 es a 1.
Rpta.
8.-
1 080 km
120 m
1 190 m
Un avión desciende con velocidad constante d e 100 km/h ba jo un áng ulo de 16° con el ho rizonte. ¿Qué tiempo tardará su sombra en llegar a t ocar un objeto q ue se en cuent ra a 4 km? (cos 16° = 24/25).
Rpta. 10.-
=2
v1
Un alpinista se encuentra ent re dos monta ñas y emite un grito. Si reg istra los ecos d espués de 3 s y 4 s d e hab er emitido el grito. ¿Cuál será la d istancia q ue separa las montañas? velocidad del sonido en el aire, con siderar 340 m/s.
Rpta. 9.-
v2
Dos auto s separados a una d ista ncia, parten simultáne ament e con velocidad es constante s de 30 m/s y 20 m/s en el mismo sentido para luego encont rarse en un punt o “P”. Si el segund o a uto pa rtiese 2 s después, el encuentro de los autos sería “x” m antes de “P ”, calc ula r “x”.
Rpta.
600 m
Dos móviles se desplazan en la misma pista con velocidad es const ant es. Lueg o de 10 s el móvil “A” gira 180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo emplean hast a encon trarse desde las posiciones indicadas?
Rpta.
7.-
15 s
“A” y “B” rea lizan una carrera d e 300 m, con velocida des co nsta nte s en mó dulo de 5 m/s y 10 m/s. Al lleg ar “B” a la m et a reg resa d ond e “A” y luego así sucesivamente hasta q ue “A” llega a la meta . ¿Qué espacio t ota l recorrió “B”?
Un alumno sale de su ca sa t odo s los días a las 7:00 y se dirige al colegio a velocidad constante v 1 llegando siempre a las 8:00. Si el alumno un d ía sale d e su casa a las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a tiempo por lo q ue aumenta su velocidad a v 2 (cte), llega ndo finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.
Rpta.
50 km/h
Un tren de p asa jeros viaja a razón d e 72 km/h y tiene una long itud de 100 m. ¿Qué tiempo demo rará el tren en cruzar un túnel d e 200 m?
Rpta. 3.-
900 m
Rpta. 2.-
6.-
150 s
Dos trenes de long itudes diferentes van a l encuentro por vías paralelas con velocida des v 1 y v 2 demorand o en cruza rse 20 s. Si van a l encuentro co n velocidades v 1 y (8/5)v2 respectivament e demo ran en cruzarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si viajan en la misma dirección con velocida des v 1 y v2 respectivamente.
Rpta.
180 s
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Un móvil aume nta su velocida d d e 10 m/s a 20 m/s acelerando uniformemente a razón de 5 m/s 2. ¿Qué distancia logró aumentar en dicha operación? Solución:
4.-
2
2
v F = v o ± 2a d
Solución:
Nota mos q ue el movimiento es acelerado. 2
Un avión pa rte de reposo con M.R.U.V. y ca mb ia su velocida d a razón d e 8 m/s2, logrando despegar lueg o d e recorrer 1 600 m. ¿Con q ué velocida d e n m/s despega?
2
v F = v o + 2a d
b20g = b10g 2
2
bg
+2 5 d
d = 30 m
2.-
Un aut omó vil corre a ra zón d e 108 km/h y luego frena, de tal modo q ue se logra d etener por completo en 6 s. ¿Cuál es su a celeración?
2
2
v F = v o ± 2a e
Nota mos q ue el movimiento es acelerado.
Solución:
2
2
v F = v o + 2a d 2
b gb
v F = 0 + 2 8 1 600
g
v F = 160 m /s
5.-
v o = 108 km /h = 60 m /s
a
=
vF − v o
⇒
a =
t
Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera uniformemente a razón d e 2 m/s2 durante 5 segunto dos. ¿Qué distancia recorrió en el 5 segundo de su movimiento? Solución:
0 − 60 6
Movimiento retarda do 3.-
Una pa rtícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si al pa rtir tenía una velocida d d e 4 m/s. ¿Que velocidad tuvo a l término del recorrido?
Dista ncia recorrida hasta los 5 segund os
Solución:
d=
F G v H
o + vF
2
I J t K
⇒
30 =
F G 4 + v I J 5 H 2 K F
Dista ncia recorrida hasta los 4 segund os
La d istancia recorrida en el 5to segundo será: x = d 5 − d 4
d = v ot +
d =0+
1 2
1
a t
2
2
b 4gb8g
2
d = 128 m
L MN b g
x = vo 5 +
L MN b g
x = 20 5 +
1 a
2
1
1 L 2O 2O b5g P − Mv o b 4g + a b 4g P 2 Q N Q
2.-
1 O L O b gP − M20b 4g + × 2× b16g P 2 Q N Q
× 2× 25
2
Solución:
x = 29 m
1.-
Un tren q ue lleva una velocida d d e 216 km/h, aplica los frenos y prod uce un retarda miento d e 4 m/s en cad a segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que recorrió en el último segundo d e su movimiento.
216 km /h = 60 m /s
Un móvil que pa rte d el reposo, recorre en el décimo segund o de su movimiento 20 metros más q ue lo recorrido en el quinto segundo; determinar el espacio recorrido desde q ue inicio el movimiento hasta el final del octavo segundo de su movimiento. Calculando el tiempo que d emora en de tenerse . Solución:
v F = v o ± a t
Espacio recorrido en e l quinto seg undo.
0 = 60 − 4t
⇒
t = 15 s
x = d5 − d4 0 8
Reposo:
d = v ot +
d=
1
a t
1
a t
2
2
2
2 x=
1 a
2 x=
b5g
25 a
2
−
1
b 4g
2
a
2
− 8a
2
..................... (1) El espacio q ue recorrió en el último seg undo.
Espacio recorrido en el décimo seg undo.
x = d15 − d14
x + 20 = d10 − d 9 x + 20 =
1
2
a
2
b10g
x + 20 = 50a −
1
a
L MN b g
2
b9g
x = v o 15 −
a
2
81 2
De (1) y (2):
−
............ (2)
a = 4 m /s
L MN b g
x = 60 15 −
2
1 a
2 1 2
1 L 2O 2O b15g P − Mv o b14 g − b14g P 2 Q N Q a
1 L 2O 2O b g P − M60b14g − × 4 × b14g P 2 Q N Q
× 4 × 15
x=2m
Nos piden e l espacio recorrido de sde el inicio de l movimiento hasta el final del octavo segundo. 3.-
Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan 10 s en cruzarse. Los espa cios recorrido s por est os mó viles está n en la relación d e 4 a 5. Calcular las a celeraciones de dichos móviles.
Solución:
5.-
Un automóvil está e sperando en reposo q ue la luz del semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a verde, el auto móvil aumenta su velocida d uniformemente con una aceleración de 2 m/s 2 durante 6 segund os, después de los cuales se mueve con velocida d uniforme. En el insta nte q ue el auto móvil empezó a moverse después del camb io de luz, un camión lo sobrepasa en la misma d irección, con el mo vimiento uniforme a razón d e 10 m/s. ¿Cuánt o t iempo y cuán lejos de l semáforo el auto móvil y el camión volverán a esta r juntos?
Distancia total: Solución: 180 = 5x + 4 x x = 20
Con e l móvil (1): d = v o b10g +
1 2
b10g
a 1
2
b5gb20g = 0 + 21 b100g a
1
⇒
1=
a
2 m /s
2
Con e l móvil (2): d = v o b10g +
1 a
2
2
b10g
2
b4gb20g = 0 + 21 b100g a
4.-
2
⇒
2 = 1, 6
a
m /s
2
Un autom óvil q ue parte d el reposo a razón d e 2 m/s2 se encuentra a 20 m det rás de un ómnibus que marcha con velocidad consta nte d e 8 m/s. ¿Después de cuanto tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja d e 64 m? Solución:
Con el camión: e = x + y = 10T .......................... (1)
Con el auto móvil: Entre A y B : v F = v o
+ a t
v B = 0 + 2b6g v B = 12 m /s
Entre A y C : y
x
x+y=
1 2
b2gb6g
2
+ vB
b T− 6g
Con el aut o (vo = 0) d = vot
1 +
2
a t
x + y = 36 + 12b T− 6g .............. (2)
2
20 + x + 64 = 0 +
84 + x = t
2
1 2
b2gt 2
...... (1)
Con el camión (v = 8 m/s = cte) x = vt x = 8t
(1) = (2) 10 T= 36 + 12b T− 6g 10 T= 36 + 12T− 72 T= 18 s
Finalmente: .............. (2)
De (1) y (2):
t
= 14 s
e = x + y = 10T= 10b18g e = 180 m
6.-
Entre B y C :
Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en vías pa ralelas en sent idos opuestos y cuando se encuentran, sus velocida des son 12 y 18 m/s y sus aceleracio nes consta ntes son iguales a 3 m/s 2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.
2
2
b g
0 = 20
b g
2
− 2a 44
88a = 400
Solución:
Cuand o los trenes está n a punto d e cruzarse
(mov. reta rdad o)
v F = v o − 2a e BC
8.-
⇒
a
= 4, 55 m /s
2
Dos moviles A y B se encuen tran inicialment e sepa rado s una d istan cia “d” (B det rás d e A). Si ambo s se mueven en el mismo sentido “B” con velocidad constant e de 10 m/s y “A” partiend o d el reposo con a = 2 m/s2. Después de q ue tiempo d e iniciado el movimiento la distancia de separación es mínima. (Ambos móviles no se e ncuentran). Solución:
Momento en q ue “A” cruza a “B” completament e. e A = 600 = v o t + 600 = 30t +
1 2
1
b6gt 2
a t
2
2
b
eB = d + e A − x
2
.............. (1)
De donde:
t + 10t − 200 = 0 t = 10 s
7.-
g
Un conductor viaja por una autopista recta con una velocida d inicial de 20 m/s. Un venad o sa le a la pista 50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justam ente a ntes de g olpear al venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?
e A = vot +
2
2
1
e A = 0t + eA = t
1
2
a t
2
⋅ 2⋅ t
2
.............. (2)
e B = v Bt
e B = 10t .............. (3)
Solución:
(2) y (3) en (1):
e
2
10t = d + t − x
j
2
10t = t − x + d 2
x = t − 10t + d
b
Antes que el conductor reaccione su velocidad sigue siendo constante
b
g
b
g
x= t −5
2
+ d − 25
Para q ue x sea mínimo: t − 5 = 0
g
e AB = v 0 ,30 = 20 0, 30
t = 5s
e AB = 6 m
Cuand o el conduct or reacciona, éste presiona los frenos y el m ovimient o p asa a ser M.R.U.V. cuya velocida d final es cero (para no at ropellar al venad o). e BC = 50 − 6 = 44 m
9.-
Un pasajero desea sub ir a un microbús que se encuentra det enido y corre tras él con una velocida d uniforme de 5 m/s y cuando esta ba a 6 m del microbús, éste pa rte con a celeración const ant e de 2 m/s 2. Hallar el tiempo q ue dem ora el pasa jero en a lcanzar al microbús. (Si lo alcanza ).
Solución:
10.-
Suponiendo q ue lo alcanza: Para ello en el instant e de a lcance la velocida d d el microbús no deb erá ser mayo r que la d el pasa jero (5 m/s).
Sale un tren ha cia el nort e con velocidad de 30 km/h, luego de 10 minutos sale otro ta mbién hacia el norte y con la m isma velocidad. ¿Con q ué velocidad en km/h consta nte venía un tren desd e el norte, si se cruzó con el primer tren en cierto instant e y luego d e 4 minutos con el segundo tren? Solución:
e H − eM = 6
F GH
1
5t − v o t +
F GH
5t − 0t +
t
2
a t
2
2 1
⋅ 2t
2
I = 6 J K
2
I = 6 J K
5t − t
⇒
2
=6
− 5t + 6 = 0
De donde:
Cálculo del t iempo d e encuent ro entre “B” y “C”
t = 2s ó t = 3s
t=
t = 2s
⇒
x
=
60
Analizando: Si:
4
............ (1)
v + 30
De la figura:
v M = v o + a t
b gb g
F GH
vM = 0 + 2 2
x = 30t − 30 t −
v M = 4 m /s < 5 m /s
I J 60 K
10
x = 5 km
Si:
t = 3s
⇒
b g
vM = 0 + 2 3
v M = 6 m /s > 5 m /s
Finalmente:
(2) en (1):
(no cum ple)
t = 2s
4 60
5
=
v + 30
v = 45 km /h
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Un cuerpo pa rte d el reposo con M.R.U.V. y ava nza 50 m en 5 s. ¿Cuál es su a celeración en m /s 2? Rpta.
2.-
4 m/s 2
Una ga cela pa sa por do s puntos con velocida d d e 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V.Si dichos punt os está n separa do s 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? Rpta.
3.-
10 s
Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración d e 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tend rá luego de 5 s? Rpta.
4.-
40 m/s
Un móvil que se d esplaza a razó n de 10 m/s ve incrementa da su velocidad por una a celeración de 5 m/s 2. ¿Qué distancia ha brá logrado avanzar durante los 2 primeros segund os de est e movimiento variad o? Rpta.
30 m
5.-
Un auto al pasar por dos punto s separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocida d d e 20 m/s. Dete rminar con qué velocida d pa sa por el segun do punt o (en m/s). Rpta.
6.-
7.-
9.-
1.-
– 4 m/s2
Lo at rapa a 1 m del ag ujero
Un aut o q ue se mue ve de scribiendo un M.R.U.V. en cierto insta nte, pasó con una rapidez d e 15 m/s por un punto “A” situado entre do s mont aña s como se muest ra. Si en este instante toca el claxón, con que aceleración deberá moverse a partir de ese instante, para escuchar los ecos simultánea ment e (v sonido = 320 m/s).
Rpta. 8.-
Durante que segundo de movimiento, un móvil que part e d el reposo y t iene M.R.U.V. recorrerá e l triple del espacio recorrido en e l quinto segund o.
9.-
8 m/s
Dos móviles que part en del reposo en la misma d irección y sentido, está n sepa rados 200 m, si se ob serva que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos. Determinar sus aceleraciones si esta s están en la relación de 3 a 1. Rpta.
2 =
a
2 m/s2 ; a 1 = 6 m/s2
2
6 m/s
Dos móviles se encuentran en una recta , inicialmente en reposo, separad os por una distancia d e 400 m. Si parten al mismo instante acercándose mutuamente con a celeraciones d e 3 m/s 2 y 5 m/s2. Calcular de spués de qué tiempo vuelven a estar separados por segunda vez una distancia de 200 m. Rpta.
10.-
10 m/s
Una zorra trata de at rapar una liebre q ue se encuentra en reposo. Cuand o la zorra se encuentra a 9 m de la liebre, ésta ace lera a 2 m/s2. Calcular la velocidad mínima constante de la zorra d e ta l modo q ue pueda atrap ar a la liebre ¿y comérsela? Rpta.
N = 14avo segundo
Un auto corre una pista horizontal con una aceleración d e 2 m/s2, después de 5 s d e pa sar por el punto A, posee una velocid ad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuand o le faltab a 9 m para llegar a A? Rpta.
3.-
Un rat ón d e regreso a su a gujero, a la velocidad consta nte de 1 m/s, pasa a l lad o de un g at o, despertá ndo2 lo, si el g at o a celera a razó n de 0,5 m/s y el agujero está a 5 m. ¿Atrapa el ga to al ratón?. Si lo a trapa , ¿a q ué distancia de l agujero lo hace? Rpta.
7.-
18 s ; 180 m
6s
Rpta. 2.-
x = 96 m
10 m
2
Durante el 6to segundo de su desplazamiento una pelota logró a vanzar 6 m, si su velocidad al inicio era de 28 m/s. ¿Con q ué a celeración retardó uniformemente su movimiento? Rpta.
6.-
602,08 m
Un bote inicialmente en reposo a celera a razón de 2 m/s durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad constant e.En el instant e que el bote pa rte, una lancha q ue se mueve en la misma d irección y sentido con velocidad constant e de 10 m/s lo pasa . ¿Después de qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente? Rpta.
Un auto se mueve con ve locidad de 45 m/s, desacelerando constan tement e. Si luego d e 3 s su velocida d se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo m ás deb e transcurrir para log rar detenerse? Rpta.
10.-
5.-
Una pa rtícula pa rte del repo so co n M.R.U.V., y en 5 s recorre 50 m. Calcular el espacio q ue recorre en el te rcer segund o de su movimiento. Rpta.
Un tren va frenando y lleva un mo vimiento uniformemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego 30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilómetro. Hallar el espacio q ue recorrerá a ntes d e pa rarse. Rpta.
e = 3 600 m
Un móvil parte d el reposo con una a celeración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes. Rpta.
8.-
25 m/s
Un móvil parte d el reposo con una a celeración consta nte. Si su velocida d a umenta a razón d e 10 m/s cada 5 s.Calcular el espa cio q ue ha brá reco rrido en 1 minuto (en metro). Rpta.
4.-
13,10 s
Una partícula parte de l origen ha cia la de recha con una velocida d d e 10 m/s y con una ace leración de 1 m/s 2 hacia la izq uierda . ¿Cuáles son los instantes e n q ue su distancia de sde el orige n es 1 m? Rpta.
t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s
CAÍDA LIBRE
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con velocida d d e 80 m/s. Calcular el tiemp o q ue de mora en a lcanzar su máxima altura (g = 10 m/s2).
02 = b10g
Solución:
h=5m
Entre A y B vo
b) Entre A y B vF = v o
vF = 0
t
t AB = t = ?
c)
± gt
vF = v o − g t
Entre B y C
5 = b0gt + ⇒
t = 8s t
Una piedra es lanzad a verticalmente hacia arriba co n una ve locida d d e 10 m/s. Se pide: a) b) c) d) e)
Calcular la altura que subirá. El tiempo que demora en subir. El tiempo que demora en bajar. El tiempo que demora en regresar al lugar de partida. La velocidad de llegada.
(Considerar g = 10 m/s 2).
Solución:
1 2
b10gt 2
= 1s
Nótese que el t iempo d e subid a es igua l al t iempo d e bajada.
d)
Tiempo total = t su bid a
−
2g h
(Mov. retardado)
+ t b a ja d a
t total = 1 + 1
t total = 2 s
e) Entre B y C vF = v o
+ gt (Mov. acelerado)
1 v c = 0 + 10b g
a) Entre A y B v F2 = v2o
= 1s
1 h = v o t + g t 2 (Mov. acelerado) 2
El cuerpo sub e:
2.-
− gt (Mov.retardado)
0 = 10 − 10t
g = 10 m /s 2
0 = 80 −10t
b10gh
−2
20h = 100
= 80 m /s
vF = v o
2
⇒
v c = 10 m /s
Nótese que la velocidad de subida esigual a la velocidad de llegada al mi smo n ivel.
3.-
Solución:
Se dispara un proyectil verticalmente ha cía arriba con una ve locidad de 50 m/s. Al cabo de q ue tiemp o la velocida d es d e 10 m/s por primera vez y a q ue altura se encuen tra (g = 10 m/s2).
Entre A y B
Solución:
1 h = v o t + gt 2 2
Entre A y B
125 = 0 +
vo
= 50
m /s
1
10gt 2 b 2
t 2 = 25
v F = 10 m /s
t = 5s
g = 10 m /s 2
Calculando la velocidad final
t = ? vF = vo
vF = v o
− gt (sube)
+ gt
v F = 0 + 10b5g
10 = 50 − 10t
v F = 50 m /s
⇒
t = 4s
Calculando la altura entre A y B
F vF + v o I J t H 2 K F 10 + 50 I J 4 h=G H 2 K h=G
1.-
Un cuerpo es d ejado ca er en el vacío sin velocidad inicial. Si en el último segundo recorre 25 m; calcular la altura d esde el cual fue abando nado.
Solución:
h = 120m Entre B y C
4.-
1 h = v o t + gt 2 2 1 2 25 = vB b1g + b10gb1g 2
¿Qué velocidad inicial debe dá rsele a un cuerpo para q ue caig a 980 m en 10 s; y cual será su velocida d a l cab o de 10 s.
Solución:
25 = v B + 5
Entre A y B vo
=
v B = 20 m /s
?
Entre A y B
h = 980 m t
= 10 s
=v
2
=0+2
vB
2 + o
2g h
b10gbH − 25g
g = 9, 8 m /s 2
b20g2 = 20bH − 25g
1 h = v o t + g t 2 (baja) 2
H − 25 = 20
980 = v o b10g +
1 2
b9, 8gb10g2
v o = 49 m /s Calculando la velocidad final vF = vo
+ gt (baja)
v F = 49 + 9, 8b10g v F = 147 m /s
5.-
2
vF
Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de 125 m de a ltura. Calcular cuánto t arda rá en ca er y con q ue velocidad llega rá al suelo (g = 10 m/s2).
2.-
⇒
H = 45 m
Un cuerpo cae libremente d esde e l reposo. La m itad de su caída se realiza en el último seg undo, calcular el tiempo t ota l en segundos (g = 10 m/s2).
Solución: Entre A y B h = v o bt −1g +
1 2
g bt − 1g
2
1 2 h = 0 + g bt − 1g 2 1 2 h = g bt − 1g ............ (1) 2
Solución:
Entre A y C 1 2h = g t 2 ............ (2) 2
Dato: 2t 1 + t 2 = 4 s ....... (1)
Reemplazando (1)en (2) 1 2 ⋅ g bt 2 2bt − 1g
g2 = 1 gt 2
vF = v o
2
0 = v − 10t 1
−1
2
Entre A y B
=t
2
v
t1 =
t = d2 + 2 i s
10
− gt
(sube)
................ (2)
Entre C y D
3.-
Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocida d const ant e de 5 m/s; cuando se encuentra a una altura de 360 m, se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre (g = 10 m/s2).
vF = v o
(baja)
3v = v + 10t 2 t2 =
v 5
................ (3)
(2) y (3) en (1)
Solución:
F v I J + v = 4 H 10 K 5
2G
Entre A y B vF = v o
+ gt
− g t (sube)
2v
0 = 5 −10t
5
⇒
v = 10 m /s
Nuevamente entre A y B
t = 0 ,5 s
F vF + v o I J t H 2 K 1 F 0 + 10 I J F G 10 I J h=G H 2 K H 10 K h=G
Entre B y C t = 0 ,5 s
(Ya q ue el tiem po de subida es igual al tiempo de b ajada) v c = 5 m /s (A y C tiene el mismo nivel). Entre C y D 1 h = v o t + g t 2 (baja) 2 360 = 5t +
=4
1 2
5.-
=
5m
Una esfera se deja caer desd e 80 m de altura y al rebotar en el piso se eleva siempre la cuarta parte de la altura ant erior.¿Qué tiempo ha transcurrido ha sta que se prod uce el tercer impact o? (g = 10 m/s2).
Solución:
b10gt 2
T= t AB + 2bt BC g + 2bt DEg ................ (1)
360 = 5 t + 5t 2 t 2 + t − 72 = 0
h
⇒
bt + 9gbt − 8g = 0
t = 8s
Finalmente: Ttotal = t AB
+ t BC + t CD
Ttotal = 0, 5 + 0, 5 + 8 T total
4.-
=
9s
Un cuerpo se lanza verticalmente ha cía arriba desde una venta na y luego de 4 segund os triplica su velocida d. Hallar la má xima a ltura a lcanzada por el cuerpo respecto al lugar d e lanzamiento (g = 10 m/s2).
Entre A y B 1 h = g t 2AB 2 80 = 5t 2AB
⇒
t AB = 4 s
Entre C y D h = v o t CD
+
(3) en (4): 1 2
20 = 0b t CD g + t CD
=
2s
2 g t CD
5t 12 = 340b51 − t 1g
1
t 1 = 34 s
2
⇒
b10gt 2CD t BC = 2 s
En (2): h = b340gb17g
Entre E y F h = v o t EF + 5 = 0bt EFg + t EF = 1 s
1 2
2 g t EF
1 2
7.-
b10gt EF2
⇒
t DE = 1 s
⇒
h = 5 780 m
Un ingeniero situad o a 105 pies de altura, en la venta na del décimo octavo piso ve pasar un objeto raro hacia a rriba y 4 s d espués lo ve de reg reso, hallar con q ué velocidad fue lanzad o el objeto desde el piso. (g = 32 pies/s2).
Solución:
En (1):
Datos:
T= 4 + 2b2g + 2b g 1 = 10
t BC + t CD = 4 s
T= 10 s
6.-
t 2 = 17 s
Luego:
t BC
En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha el sonido del impacto luego d e 51 segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).
= t CD = 2 s
Entre B y C vF = v o
− g t BC
0 = v B − 32b2g
Solución:
v B = 64 pies /s Entre A y B vF
2
=v
2 − 2g h o
2
=v
2 − 2g A
vB
b105g
b64g2 = v A2 − 2b32gb105g v A = 104 pies /s
Con el cuerpo: 1 2 1 2 h = g t 1 = b10gt 1 2 2 2
h = 5t 1
8.-
Se suelta una piedra d e un edificio llegand o a l piso en 2 segundos. ¿Con qué velocidad mínima se d ebe a rrojar la piedra hacia a rriba pa ra alcanzar la a ltura del ed ificio? (g = 10 m/s2).
............... (1)
Solución:
Con el sonido: er
h = vt 2 = 340t 2 h = 340t 2 ............ (2)
Dato: t 1 + t 2 = 51
t 2 = 51− t 1 ............ (3) (1) = (2) 5t 12 = 340t 2 ......... (4)
1 Caso:
H = vo t +
1 2
gt2
t = 2s
Reemplazando:
H= 0× t + H = 20 m
1 2
b2g 2
× 10
10.-
do
2 Caso:
La velocidad de pa rtida será mínima siempre y cuando la piedra llegue a la cima del edificio con velocidad cero. 2
vF
=v
2 − 2gH o
Desde el borde de la azotea de un edificio se suelta una esferita y en ese mismo instant e un muchacho d e 1,70 m de estatura, parado a 10 m del punto de impact o d e la esferita , parte a celerad o con 1,25 m/s2. Si al llegar a dicho punto, la esferita da en la cabeza del mucha cho. ¿Qué altura tiene e l edificio? (g = 10 m/s2).
Solución:
2
0 = v min − 2 × 10 × 20 v min = 20 m /s
9.-
Un trozo de ma dera se suelta a un metro de distancia de la superficie libre de un estanq ue lleno d e ag ua, si el ag ua produce una desa celeración de 4 m/s 2 sobre la mad era. ¿Qué profundidad má xima a lcanza la madera en el esta nq ue? (g = 10 m/s2). Con el muchacho (M.R.U.V.) 1 e = v o t + a t 2 2
Solución: En el a ire: (mov. ace lerado ) v F2 =
v2o +
10 = 0t
2g H
= 0 + 2 × 10
v
2
= 20
−
x = 0× 4 +
b1, 25gt 2
1 2
Finalmente:
2a h
0 = v 2 − 2a h 0 = 20 − 2 × 4h
2
⇒
t=4s
⇒
x = 80 m
1 x = vot + g t 2 2
En el ag ua: (mov. reta rdad o) v F2 = v 2o
1
Con la esferita
b g1
v
2
+
10b 4g
2
H = x + 170 ,
H = 80 + 170 , ⇒
h = 2, 5 m
H = 8170 , m
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Un cuerpo se lanza verticalmente hacia a ba jo con una velocida d de 20 m/s. Lueg o de q ue tiempo su velocida d será de 80 m/s (g = 10 m/s2). Rpta.
2.-
6s
Se deja caer un ob jeto desde una a ltura d e 45 m,calcular con q ue velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2). Rpta.
3.-
30 m/s
Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo comprobán dose q ue de sciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue la velocida d inicial del lanzamiento? Rpta.
4.-
10 m/s
Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10 s. Hallar su a ltura má xima (g = 10 m/s2). Rpta.
125 m
5.-
Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar el tiempo q ue tarda en llega r al piso (g = 10 m/s2). Rpta.
3.-
Un cuerpo es lanzad o verticalmente ha cia arriba y vuelve a tierra al cab o d e 5 s. ¿Qué altura hab rá recorrido en el último seg undo de su movimiento ? (g = 10 m/s2).
5s Rpta.
6.-
Hallar la velocidad ad q uirida y la altura recorrida po r un móvil que t arda 10 s en caer libremente. Rpta.
7.-
8.-
Rpta.
5.-
6.-
6s
Se tiene un pozo vacío cuya profundida d es d e 170 m. Una persona en la parte superior lanza una piedra verticalmente hacia ab ajo con una velocidad d e (125/3) m/s. ¿Lueg o d e q ue t iempo escucha el eco ? (v sonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2). Rpta.
8.-
3,5 s
9.-
1.-
Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectil hacia arriba si ésta se reduce a la tercera pa rte cuand o a sub ido 40 m (g = 10 m/s2). Rpta.
2.-
30 m/s
Desde lo alto de un ed ificio se lanza un cuerpo verticalment e hacia a rriba con una velocida d d e 30 m/s lleg ando al piso luego de 8 s. Hallar la altura d el edificio (g = 10 m/s2). Rpta.
–25 m
Una plataforma se desplaza en línea recta y manteniendo una velocidad de 7 m/s. Si de ésta se tira una piedra verticalmente hacia arriba y retorna luego de hab er recorrido 70 m la plata forma. ¿Con q ué velocida d se lanzó la piedra? (g = 10 m/s2). Rpta.
30 m/s
Si lanzamo s un cuerpo verticalmente h acia a rriba con una velo cidad de 20 m/s. ¿A q ué dista ncia de l punto de lanzamiento dicho cuerpo tend rá una velocidad d e 30 m/s? (g = 10 m/s2). Rpta.
10.-
8s
Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea de un edificio. Después de 4 s otro objeto se deja caer libremente y 4 s después choca con el primero. ¿Con q ué velocida d se lanzó el primero? (g = 10 m/s2). Rpta.
7.-
2 2 m /s
Un globo aerostá tico sube verticalmente con una velocidad de 30 m/s. El pilot o d el glob o a l encont rarse a una altura 240 m con respecto a l suelo, lanza verticalmente ha cia aba jo un toma te, con una velocida d respecto a su ma no d e 20 m/s. Al cabo de q ue tiempo e l toma te t ocará el suelo? (g = 10 m/s2). Rpta.
80 m
Un globo aerostá tico asciende verticalmente con una velocida d ct e. de 10 m/s. Una persona situad a en el globo suelta una pelotita justo cuando el globo se encuen tra a 120 m de alt ura respect o al suelo. ¿Lueg o de qué tiempo la pelotita impacta en el suelo? (g = 10 m/s2).
Un arbitro de fútbol lanza una moneda hacía arriba con velocidad “v” la cua l toca e l césped con velocidad 2v, considerando que la mano del árbitro suelta la moned a a 1,2 m sobre le césped halle v en m/s (g = 10 m/s2). Rpta.
45 m
Dos esferita s macizas se lanza n verticalmente y simultánea mente desde A y B tal como se muestra. ¿Qué distancia las separa 2 s ant es de cruzarse, si inicialmente estab an separada s 160 m? (g = 10 m/s2). Rpta.
9.-
v = 100 m/s h = 500 m
Una piedra es aban dona da y ca e libremente ¿Qué distancia logra descender en el 5° segundo de su movimiento ? (g = 10 m/s2). Rpta.
4.-
20 m
80 m
Una alumna d esea comproba r las leyes de caída libre, para lo cual se deja caer de sde la pa rte superior de un edificio de 256 pies de altura. Un segundo más t arde aparece superman para lanzarse inmediatamente y salvar a la a lumna justo cuand o está por chocar al suelo. Hallar la velocidad con q ue se lanza superman en caída libre (g = 32 pies /s2). Rpta.
10.-
50 m/s
37,3 pies/s
Un ascensor present a una v = cte d e –10 m/s, en cierto instant e del techo d el mismo se desprende un perno; e impa ct a e n el piso lueg o d e (4/7) s. ¿Qué altura tiene la ca bina del ascensor? (considere g = 9,8 m/s2). Rpta.
1,6 m
GRÁFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTO
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Un móvil se d esplaza con M.R.U. seg ún el g ráfico. Calcular el espacio recorrido al cab o d e 10 segund os.
3.-
Solución:
Un auto pa rte del reposo y describe el gráfico ad junto. Determinar la velocidad a l cab o de 5 segundo s.
Solución:
e = A= b5gb10g e = 50 m
2.-
Una p art ícula part e d el reposo con M.R.U.V. Cuand o t = 2 s, su velocida d es 4 m/s mant eniéndo la consta nte. Calcular el espacio recorrido po r el móvil hasta los 6 segundo s.
a
4.-
F v I H 5 J K
= tan θ = 2 = G
⇒ v = 10 m /s
Una pa rtícula po see el siguiente g ráfico d e su movimient o (v vs t). Represent ar el g ráfico (e vs t).
Solución:
Solución:
Ent re A y B (mov. acelera do )
A = A1 + A2
A=
Luego:
b2gb 4g 2
+ b6 − 2gb 4g = 20
e = 20 m
t
=0 ⇒ e =0
t
= 3 ⇒ e = A1 = 18
Entre B y C (mov. ret ard ad o) t = 3 ⇒ e = A1 = 18
t = 6 ⇒ e = A1 − A2 e = 18 −18 e =0
(Ya q ue el mó vil cambia de sentido) Solución:
Finalmente:
v o = 0 , ya que tan 0° = 0
x = vot +
1
t
a
2
2
(mov. reta rdad o)
Para x = 4 cm 4 = 0b2g +
5.-
El gráfico v = f (t) nos muestra el movimiento de d os mó viles “M” y “N”. Si “M” parte 3 s desp ués q ue “N”. ¿Al cabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igual velocida d, si “M” acelera a 2,3 m/s2 y “N” inicia su mo vimiento a 8,6 m/s?
1 a
2
b2g
2
⇒
a =
2 cm /s
Para: t = 1 s a =
2 cm /s
2
v o = 0
;
v F = v o + a t
;
v F = 0 + b2gb g 1 v F = 2 cm /s
vF = ?
2.-
El gráfico representa e l movimiento de un móvil en línea recta. Hallar el desplazamiento y espacio recorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 8 s. (radio = 2 m).
Solución:
Para N: a =
3 4
a =
m /s
tan37°
2
v o = 8 ,6 m /s
;
v F = v o + a t
;
v = 8, 6 +
3 4
t
.............. (1) Solución:
Para M: a = 2 , 3
m /s
v o = 0
2
;
v F = v o + a T
;
v = 0 + 2, 3bt − 3g ......... (2)
(1) = (2): t = 10 s
1.-
Una part ícula se mueve a lo largo de la horizontal de acue rdo a la g ráfica (x – t) most rada . ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t = 1 s?
2
2
A1 = A2 =
πR
2
=
2
b g
π 2
2
= 2π
d = desplazamiento d = A1 − A2
=0 ⇒
Finalmente: d =0
Espa cio recorrido: e = A1 e
3.-
+ A2
= 2π +2π
⇒
e = 4π m
Dado el siguiente gráfico, determine la posición del móvil en el instan te t = 2 s. 5.-
El diagrama corresponde al movimiento de dos partículas que inicialment e está n separado s por 200 m. ¿Qué tiempo ta rda el móvil “A” para e ncont rar al m óvil “B”?
Solución:
ta n θ =
30 6
Solución:
=5
Con el mó vil “A” (M.R.U.): v = 35 m/s
En el triáng ulo sombreado : ta n θ =
x 6−2
⇒
5=
x
Con el móvil “B” (M.R.U.): v = 15 m/s
4
Interpretando el problema:
x = 20
Analizando el problema: 4.-
x = − 20 m
Construir la g ráfica (v – t)para un m óvil cuya posición respecto al tiempo se indica en el g ráfico.
F e I H v A + v B J K
Nos piden el tiempo de encuentro: t = G t
F 200 I H 35 + 15 J K
=G
⇒ t = 4s
NOTA A continuación se explicará o tro mét odo para la resolución del presente prob lema.
Solución:
Entre O y A: Como la parábola es cóncava ha cia aba jo el movimient o es reta rdado (M.R.U.V.). Nót ese q ue cuando el móvil llega al punto “A” ya no se mueve: vF = 0
F v o + 0 I 10 H 2 J K
+ A2
200 = 35t
F v o + v F I t e=G H 2 J K 100 = G
e = A1
t
⇒ v o = 20 m /s
= 4s
+ 15t
6.-
Un móvil en t = 0 está en xo = −50 m. Hallar la p osición en t = 15 s. Si la sig uiente g ráfica (v – t) le correspo nde .
Solución:
Transforma nd o el g rafico (a - t) a (v - t)
Solución:
En el triángulo sombreado (inferior): ta n α =
10
=5
2
En el triángulo sombreado (superior): ta n α = 5 =
A1 =
A2 =
1 2
v 7−2
ta n α =
ta n β =
2
e
b7 − 2gb25g = 62,5
2
v
bt 2 − t 1g
= 6 ............ (2)
t 2 = 3t 1
2
1 800 = 6t 1
Finalmente:
+ A4
d = − 10 + 62, 5 + 75 + 93, 75
2
+
1 800 = b12t 1g
b15 − 10g = 93,75 J K
d = − A1 + A2 + A3
vt 1
v bt 2
− t 1g
2
Nót ese: v = 12t1
F 12,5 + 25 I H
= 12 ..................... (1)
= 1800 = A1 + A2
1800 =
=G
t1
De (1) y (2):
b2gb10g = 10
1
v
⇒ v = 25m /s
A3 = b10 − 7gb 25g = 75 A4
⇒ d = 221, 25
Interpretando el problema:
8.-
t1 2
+
b12t 1gb3t 1 − t 1g
+ 12t 12
2
⇒ t 1 = 10 s
t 2 = 3b10g
⇒ t 2 = 30 s
En el diag rama , ¿qué tiempo tarda el móvil “B” para alcanzar al móvil “A”?
Solución: x = d − 50
x = 221, 25 − 50
7.-
⇒ x = 171,25m
El gráfico corresponde a un mó vil q ue parte del reposo y lueg o d e recorrer 1 800 m se de tiene. ¿Qué tiempo ta rda en recorrer dicha distancia?
El punto d e intersección que muestra el g ráfico, es cuando el mó vil “B” alcanza en velocida d a l de “A”. Hasta ese momento sólo han pasado 3 segundo s. Esto significa q ue el mó vil“B” alcanza rá a l móvil “A” después d e superar la velocida d d e 9 m/s (como es lógico).
El problema nos d ice que “B” alca nza a “A” ya q ue amba s parten a l mismo tiempo.
tan37° = 3
AA = AB
9t =
1 2
ta n θ =
3
=3=
Finalmente:
v f = 3t .............. (2)
e = 63 + 14 ⇒
2
9.-
v f = 5 m /s
AB = b9 − 5gb 2g +
t
1
⇒
4
Traba jaremos sólo con va lor absoluto, ya q ue el signo nega tivo tan sólo nos indica el sentido d el movimiento.
vf
(2) en (1): 9t = t b3t g
9−5
vf − 2
4
t bv f g ...... (1) 9
=
vf − 2
t = 6s
1 2
b9 − 5gb3g
⇒
AB = 14
e = AA + AB ⇒
e = 77 m
Interpretando el problema:
Dos automóviles presentan movimientos donde sus velocidades varían con el tiempo tal como indica la figura. Si inicialmente se encontraban juntos, ¿qué separación existe ent re ellos en t = 9 s?
10.-
En el movimiento linea l del grá fico: vo = −12,5 m/s. ¿En q ue instante “t” la velocidad es cero?
Solución:
Las velocidades tienen signos diferentes, esto nos indica que los automóviles se van alejando: nos piden la sepa ración para t = 9 s.Tenemos q ue calcular la suma d e espacios hasta t = 9 s.
4 3
=
NOTA
En un movimiento do nde la aceleración varía uniformemente respecto a l tiempo, el área bajo la recta d el gráfico (a – t) representa el camb io de velocidad ent re dos puntos.
Con el m óvil “A”: tan53° =
Solución:
vF − 1 9
vF − 1 9
v f = 13
AA = b1gb 9g +
A= v F − v o
1 2
b9gb12g
Con el m óvil “B”:
⇒
AA = 63
En nuestro caso: A= 1 2 1 2
1 2
bt − 2g
bt − 2g
2
bt − 2g
t =7s
2
2
= vf − vo
b
g
= 0 − −12, 5
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil entre los 10 y los 20 segund os?
Rpta. Rpta.
0
6.-
2.-
Seg ún el gráfico, det erminar el espacio recorrido, hasta el quinto segundo a partir de t = 0
El gráfico pertenece a un móvil que se mueve a lo largo del eje x. Si recorre 120 m en los primeros siete segundos, determinar el valor de su velocidad en el quinto segundo.
Rpta. Rpta.
Un aut o viaja a 40 m/s y frena, desace lerand o uniformemente de a cuerdo al gráfico de su movimiento. Hallar el espacio recorrido entre t = 7 s y t = 10 s.
¿Cuál es la aceleración del mó vil seg ún el g ráfico? Rpta. Rpta.
En el gráfico adjunto. ¿Cuál es la posición del móvil cuando t = 10 s?
El gráfico representa el movimiento de un móvil en una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio recorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 10 s Rpta.
9.-
Rpta.
5.-
35 m
– 5 m/s2 8.-
4.-
20 m/s
30 m
7.-
3.-
10
Desplazamiento = 25 m Espacio = 35 m
La velocida d de tres part ículas 1, 2 y 3 en función d el tiempo son mostrados en la figura. Calcular la razón entre las a celeraciones mayo r y menor.
Si el móvil part e con v o = 2 m/s ¿ Cuál es su velocida d al cabo d e 6 s ?
Rpta.
10.-
32 m
3 m/s
En la gráfica a – t, determinar la velocidad en el 5to s de m ovimiento si el móvil parte del reposo.
3.-
Rpta.
2 m/s
Un cohet e pa rte, con velocida d inicial de 8 m/s y su aceleración viene dada por la gráfica mostrada en la figura. ¿Cuál es su velocida d en t = 8 s? sugerencia: a = vf − vo
Rpta.
1.-
36 m/s
Del diagram a v – t de la figura. Deducir el diagram a x – t, si la posición inicial x o = 0 4.-
De la g ráfica v – t de la figura d educir las g ráficas x – t y a – t; considere q ue el móvil parte del origen d e coordenadas.
Rpta.
Rpta.
2.-
Del diagrama a – t de la figura ded ucir el diag rama v – t si se sab e q ue la posición y la velocida d inicial es 0.
5.-
La g ráfica (v – t) muestra el movimiento horizontal de un móvil, si para t = 1 s el móvil se encuentra a 3 m a la izquierda d el ob servador. Hallar la po sición de l móvil para t = 11 s.
Rpta. Rpta. 6.-
9 m a la derecha d el observado r
El movimiento de una pa rtícula viene da do p or la gráfica x – t, det erminar la g ráfica v – t correspondiente a dicho movimiento.
8.-
El gráfico representa la velocidad en función del t iempo d e do s móviles M y Nq ue parten de un mismo punto sobre la misma recta. Si N parte 5 s después de M, calcular en q ué instante N alcanza a M.
Rpta.
9.-
25 s
La figura nos indica d iagrama s velocidad tiempo de d os móviles A y B que se mueven sobre la misma recta, y que parten de una misma posición inicial. Al cabo de q ué tiempo, en segundo s, se encont rarán los móviles.
Rpta.
Rpta.
10.7.-
Hallar la velocidad instantá nea en t = 10 s; x = posición, t = tiempo
Rpta.
1 m/s
18 s
El gráfico describe e l movimiento d e un a uto y un ca mión q ue pasan por un mismo punto en t = 0. Calcular el instant e en el cual volverán a estar juntos.
Rpta.
18 s
MOVIMIENTO COMPUES TO
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Ent re A y C (M.R.U.): e = ?
Un nada do r cuya velocidad es de 30 m/s en ag uas tranquilas decide cruzar un río de 300 m de a ncho, cuyas ag uas tienen una velocida d d e 40 m/s, para t al efecto se lanza perpendicularmente a la orilla del río. Calcular el espacio recorrido por el nad ad or.
e = vt e = 50b10g
2.-
Solución:
Entre A y B (M.R.U.): e = vt 300 = 30t
⇒
t = 10 s
e = 500 m
Una lancha a motor parte desde la o rilla d e un río de 120 m de a ncho con una velocidad constante d e 30 m/s perpend icular a él; las ag uas d el río tienen una velocida d d e 15 m/s. ¿Qué tiempo ta rda la la ncha en llega r a la otra o rilla?
Solución:
Aplicaremos el principio de independencia de los movimientos.
⇒
Aplicaremos el principio de independencia de los movimientos.
5.-
Entre A y B (M.R.U.):
a) b) c)
e = vt 120 = 30t
3.-
⇒
Una pelota fue lanzada con una velocidad inicial de 10 m/s, forma ndo con el horizont e un áng ulo de 40°, hallar.
t=4s
Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25 m de a ltura; si cae al suelo en un punt o situad o a 1,5 m del pie d e la mesa . ¿Qué velocidad tenía la pelota al salir de la mesa? (g = 10 m/s2).
¿Cuanto tiempo se encontró en movimiento? ¿Hasta que altura subió la pelota? ¿Aqué distancia del punto de lanzamiento cayó la pelota ?
sen 40° = 0,642 8 ; cos 40° = 0,766 0 ; g = 10 m/s2
Solución:
Solución: Vertica lment e: (caida libre) v o = 0
1 h = gt2 2 1 1,25 = b10gt 2 2
a) Entre A y B (verticalmente):
t = 0 ,5 s
vF = v o
Horizontalmente (M.R.U.):
(sube)
0 = 10 sen 40° − 10t
e = vt 1,5 = vb0,5g
4.-
− gt
⇒
⇒
t
= sen 40°
t = 0,6428 s
v = 3m /s
Ttotal = t AB + t BC = 0 , 6428 + 0 , 6428
Un avión q ue vuela horizonta lmente a razón d e 90 m/s, deja caer una b omba desde una altura d e 1 000 m ¿Con qué velocidad aproximada llega la bo mba a t ierra? (g = 10 m/s2).
Ttotal = 12856 , s
b) Entre A y B (verticalmente):
F vF + v o I J t H 2 K
h=G
Solución:
F 0 + 10 sen 40° I J 0,642 8 H K 2
h=G
h = b 5 × 0 ,6428gb0, 6428g
⇒
h = 2, 07 m
c) Ent re A y C (horizont alment e): M.R.U. e = vt
x = b10 cos 40°gbTtotalg
Vertica lment e (caida libre) v F2 = v2o
+ 2g h
v B2 = 0 + 2b10gb1000g
v B2 = 20 000
1.-
2 2 2 vR = v + vB 2 vR = b90g
2
x = b10 × 0,766 0gb1,285 6g
(baja)
+ 20 000
2 vR = 8 100 + 20 000
⇒
VR = 167 m /s
⇒
x = 9, 85m
Una pelota lanzada ho rizontalmente choca con una pared que se encuentra a 5 m de distancia del sitio desde la cual se lanzó. La altura del punto en que la pelota choca con la pared es un metro más bajo q ue la altura desde el cual fue lanzada . Determinar con q ué velocida d inicial fue lanzad a la pelota .
Solución:
3.-
Vert icalment e (entre A y B) : v o = 0
Desde el descansillo de una esca lera se lanza una bola con velocidad de 3 m/s. Si el alto y ancho de ca da escalón e s de 0,25 m c/u. ¿En q ué esca lón ca erán p or primera vez la b ola? (g = 10 m/s2).
Solución: 2
g = 9 ,8 m /s
Vertica lment e:
h = 1m
1 h = v ot + g t 2 2
1
h = vo t + g t 2 2 1 1 = 0bt g + b9, 8gt 2 2 1 t= s 4 ,9
h=
2
× 10t
2
h = 5t 2 ....... (a)
Horizontalmente:
Horizontalmente (M.R.U.):
e = vt = 3t
e = vt
e = 3t ....... (b)
5= v ×
2.-
1
1
⇒
4,9
(a) = (b) ya que: e = h
v = 1107 , m /s
3t = 5t 2
Determinar el áng ulo de lanzamiento de una partícula de ta l modo q ue su alcance horizonta l sea el triple de su altura máxima.
t
⇒
=
3 5
s
En (b):
F 3 I J H 5K
Solución:
4.-
e = 3G
⇒
N° Escalón
≅
e = 1,8 m
1, 80
≅
0,25
7, 2
≅
8°
Un automó vil se mueve horizonta lmente con una velocida d d e 20 m/s. ¿Qué velocida d se le da rá a un pro yectil, disparado verticalmente hacia arriba desde el auto, para q ue regrese nuevamente sob re él, después q ue el auto haya recorrido 80 m? (g = 10 m/s2).
Solución:
Vert icalmente (A y B):
F v f + v o I J t H 2 K
h=G
F 0 + vsen θ I J t H 2 K F vsen θ I ............... (1) h=G H 2 J K t
h=G
Horizont almen te (A y C) :
T= 2t
Con el proyectil (verticalmente): = vo −
e = v ht
vf
3h = bv cos θgb2t g ............ (2)
0 = v − 10t
(1) : (2) 1 3
=
ta n θ 4
gt
t=
⇒
v 10
Con el proyectil (horizontalmente) ⇒
θ = 53°
e = v h T= v h b2t g 80 = 20 ×
2v 10
⇒
v = 20 m /s
5.-
Con el proyectil (horizontalmente):
Un jugador de fútbol patea una pelota, que sale disparad a a razón de 15 m/s y haciendo un á ngulo de 37° con la horizontal. Pedro, un jugador se encuentra a 27 m de dista ncia y delant e de l primero, corre a recoger la pelot a. ¿Con qué velocidad deb e correr este último para recoger la pelota justo en el momento en q ue ésta llega a t ierra? (g = 10 m/s2).
e = v Hb Tg = 50 2 b 2t g
x = 50 2 d2 × 5 2 i
⇒
x = 1 000 m
Con el tanque: e = v bTg = v b2t g
Solución:
y = 4 × 2× 5 2
y = 56,6 m
⇒
Finalmente: d=x+y d = 1 000 + 56, 6
7. Con la pelota (verticalmente): vf
= vo − g t
0 = 9 − 10t
⇒
t = 0 ,9 s
⇒
d = 1 056, 6 m
En la figura, la plataforma se desplaza a razón consta nte d e 6 m/s. ¿Con q ué velocida d respecto a la plataforma debe el hombre correr sobre la plataforma para sa lir horizonta lmente del bo rde y lleg ar justo a l ot ro extremo? (g = 10 m/s2). Desprecie la altura de la plataforma.
Con la pelota (horizontalmente): x = vT= v b2t g x = 12b 2 × 0, 9g
Con Pedro:
⇒
x = 21,6 cm
y = 27 − x = 5, 4 m
y = vT= v b2t g 5, 4 = v b2 × 0, 9g
6.-
⇒
v = 3 m /s
Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un tan q ue ava nza, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad de 4 m/s, sob re un te rreno ho rizont al. ¿Cuál es la d istancia entre el tanque y el mortero en el instante del dispa ro, si hace b lanco ? (g = 10 m/s2).
Solución:
Solución: Ent re A y B (vertica lment e): vo = 0 1 h = vo t + g t 2 2 1, 25 = 0 × t +
Ilustrando:
Con el proyectil (verticalmente de subida): vf
= vo −
gt
0 = 50 2 − 10t
⇒
t =5 2s
1 2
× 10t
2
⇒
t = 0 ,5 s
Solución:
Entre A y B (horizontalmente) M.R.U. e = bv totalgt
Horizontalmente:
4 = v totalb0, 5g
Pero:
x = vt
v total = 8 m /s
4
v total = v P + v h
8 = 6 + vh
8.-
⇒
vh
⇒
5
= 2 m /s
L = b10gt
t=
Un apache d esea clavar perpendicularmente una flecha en la pradera, lanzándola con un ángulo de 53° con la ho rizonta l. Det erminar la razó n x/y.
2 25
L ............ (1)
Vert icalment e: 1 y = gt2 2
⇒
3
1 L = g t 2 ............ (2) 5 2
(1) en (2): 3
L=
5
10.-
1 2
F 2 LI J 2 H 25 K
b10gG
⇒
L = 18,75m
Una partícula es lanzada desde la venta na d e un edificio ubicado a 100 m de altura, con una velocidad de 50 m/s y formando un áng ulo de 37° con la horizontal. Determinar el tiempo que tarda en impactar con la colina (g = 10 m/s2).
Solución: Nótese que la f lecha por t ener velocidad solo horizon- ta l en B”, se encuentra en el pu nt o de alt ura máxim a. Vert icalment e (ent re A y B): v 2f = v o2 0 = bvsen 53°g y=
2
v 2sen2 53°
− 2g y
− 2g y
............ (1)
2g
Además:
Solución: vf
= v o − gt
Horizonta lment e (entre A y C):
0 = vsen 53° − g t t
vsen 53°
=
e = vt
................... (2)
4
g
5
Horizont almen te (ent re A y B)
L = 40t
L = 50t ...... (1)
x = bv cos53°gt ............. (3)
(2) en (3): x = bv cos53°g
bvsen 53°g
............. (4)
g
Vert icalme nt e (ent re A y C): 1 y = vot − gt 2 2
Dividiendo (4) entre (1): x y
9.-
=
2cos 53° sen 53°
⇒
x y
=
3 2
Desde la pa rte superior de un plano inclinado 37° con la horizont al, se lanza horizonta lmente una esfera con una v elocida d inicial de 10 m/s. Det erminar el alca nce “x” de la e sfera a lo largo d el plano inclinado.
F G 3L − 100I J = 30t − 1 g t2..... (2) H 5 K 2
⇒
(1) en (2): 3 5
50t − 100 = 30t −
10 2
t2
⇒
t
=2
5s
Recomendación: Investigar méto do vecto rial para problemas de caída libre.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Un avión vuela a 1 470 m de altura con una velocida d de 144 km/h. ¿A q ué dista ncia a nte s de est ar sob re el blanco deberá soltar la bo mba? Rpta.
2.-
Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una alt ura d e 36 m co n velocid ad de 45 m/s. Calcula: El tiempo que dura el proyectil en el aire y el alcance horizont al de l proyectil (g = 10 m/s2). Rpta.
3.-
40 294 m
t
=
6 5 5
s ; x = 54 5 m
Rpta. 9.-
En q ué relación deb en esta r las velocida des de lanza miento de la partícula si se desea que caiga en los punt os A y B.
Rpta.
Un avión vuela horizontalmente y suelta una bomba al pasar justo sobre un camión enemigo que se desplaza a 120 km/h y log ra de struirlo 500 m má s ad elante. ¿Desde que altura se soltó la bomb a? Rpta.
10.-
v A 2 =
vB
3
1.-
En la figura tenemos una porción de la trayectoria de un movimiento parabólico, si la velocidad en el punt o “A” es 40 2 m/s. Hallar la a ltura q ue ha y ent re 3 “A” y “B” si: α = 45° = θ , (g = 10 m /s2 ). 4
960 m
Rpta.
160 m
8,1 m
Se arroja una piedra a un pozo con áng ulo de 60° respecto a la horizontal con velocidad de 10 3 m/s. Si en 4 s llega a l fondo d el pozo. ¿Qué altura te ndrá d icho po zo? (g = 10 m/s2). Rpta.
8.-
Un cañón d ispara una bala con una velocidad de 91 m/s. Cuand o el áng ulo de eleva ción es de 45° ; el alcance es de 820 m. ¿Cuánto disminuye el alcance la resistencia de l aire? Rpta.
7.-
2 3s
Un cañón d ispara un proyectil con una velocida d inicial de 100 m/s y a un a inclinación d e 37° co n respecto a l horizonte. Calcular a q ué distancia llega. Rpta.
6.-
35 m
Una piedra es lanzad a con un inclinación d e 60° co n la horizonta l y una velocid ad inicial de 40 m/s. ¿Al cabo de q ué tiempo se encontrará nuevamente en el suelo? Rpta.
5.-
1 102,5 m
Un partícula es lanzad a desde “A” con una velocida d de 50 m/s. ¿Det erminar e l valor d e “H”? (g = 10 m/s2).
Rpta. 4.-
20 m/s
20 m
Calcular la mínima velocida d q ue deb e tener un móvil para pa sar un obstá culo, como en la figura most rada (g = 10 m/s2).
2.-
La pelota mostrad a se impulsa a 3 2 m/s con á ng ulo de tiro de 45°. Al impactar sobre la ventana lo hace a 5 m/s. Hallar “x” (g = 10 m/s2). Rpta.
2,10 m
3.-
Un mortero dispara un proyectil bajo un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 100 m/s. Un ta nq ue ava nza, dirigiéndose hacia el mortero con una velocidad de 4 m/s; sob re un te rreno horizont al. ¿Cuál es la distancia entre el tanque y el mortero en el instante del disparo si ha ce bla nco? (g = 10 m/s2). Rpta.
4.-
Caerá en el 2do escalón
Rpta.
9.-
45°
Si“A” y “B” se impulsan simultá neam ente y cho can al cabo de 6 s, en el instante en que “B” logra su máxima altura. Hallar la distancia de separación vertical entre los punto s de lanzamiento si “A” se lanzó con 160 pies/s.
Si, caerá d entro d el túnel
Se lanzan a l mismo instante dos piedras, una con velocidad “v1” que hace 30° con la horizontal y la otra “v 2” que forma 53° con la horizontal, si el tiempo q ue demo ró caer a Tierra la q ue t iene “v1”, es 5 veces lo q ue demo ró en ca er a Tierra la q ue tiene “v 2”. Hallar: v1/v2 (g = 10 m/s2). Rpta.
7.-
2i m
Un ciclista q ue va a una ve locidad de 108 km/h, entra a un túnel de 20 m de largo, y al momento d e entrar al túnel deja caer su gorra desde una altura de 1,65 m del suelo ¿La g orra caerá d entro d el túnel?
Rpta.
6.-
Dos cuerpos lanzados simultáneamente de los punto s “A” y “B” chocan en el pun to “P ” tal como se muestra. ¿Cuánto vale “α” ? (g = 10 m/s2).
Una pelota sale roda ndo d el borde de una escalera con una velocida d ho rizont al de 1,08 m/s, si los esca lones tienen 18 cm de a ltura y 18 cm de a ncho. ¿Cuál será el primer escalón que to q ue la pelota? Rpta.
5.-
d = 40d25 +
8.-
8
Rpta.
10.-
384 pies
Un proyect il se lanza de sde e l punto “A” con una velocidad de 25 m/s como se indica, choca elásticamente en el punto “B” para finalmente impact ar en el punto “C”. Det ermine a q ué distancia desd e el punto de lanzamiento impacta en “C”, y con qué velocida d llega .
Sobre una pista lisa inclinad a, tal como se muestra, se lanza una bolita con una velocidad d e 50 m/s y un ángulo d e 53°. ¿Cuál es el alcance horizonta l de la b olita? (g = 10 m/s2).
Rpta.
400 m
Rpta.
20 m, 25 m/s
MOVIMIENTO CIRCULAR
PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS
1.-
Una pa rtícula d escribe una circunferencia de radio igual a 30 cm y da 4 vuelta s en 20 segundo s; calcular: a) b) c)
3.-
En un reloj de ag ujas, determinar la velocida d a ngular de l horario y minut ero, en rad /h.
Solución:
El pe río do La frecuencia La velocidad angular
Velocidad ang ular del ho rario
Solución:
Áng ulo recorrido Tiempo em plea do
ω=
Tiempo tot al a) T= # devueltas 20 T= 4
f=
4 20
ω=
2π T
ω=
2.-
⇒
T= 5 s
2π 5
⇒
f = 0, 2 Hz 4.-
⇒
π
6
ω=
2π rad 12 h
rad /h
Velocida d ang ular del minutero
# de vueltas Tiempo to ta l
b) f =
c)
ω=
⇒
ω = 0, 4π
rad /s
ω=
Áng ulo recorrido Tiempo em plea do
ω=
2π ra d /h
⇒
ω=
2π rad 1h
Un auto va a 80 km/h, el diámet ro de la llanta es de 33 cm. Calcular la velocida d a ng ular.
Solución:
Considerand o q ue el período d e la Luna a lreded or de la Tierra e s 28 día s. Det erminar la velocid ad ang ular de la Luna respect o d e la Tierra e n rad /h.
v = 80 km /h =
200 m /s 9
Cálculo de la velocida d a ngular: v = ωR
Solución: TLuna = 28 días
⇒
TLuna
200 = ω b0,33g 9
24 h = 28 días × 1día
ω=
TLuna = 672 h Calculando la velocidad a ng ular: ω=
2π 672
⇒
ω=
π
336
rad /h
ω=
2π T
5.-
200 rad /s 297
Una rueda d urante su recorrido necesita 3 s para girar un ángulo de 234 radianes; su velocidad angular al cab o d e este tiempo es de 108 rad/s. Determinar su aceleración angular constante.
Solución:
2.-
Un cono gira con período de 4 s. ¿En qué relación está n las velocida des lineales de los puntos P y Q?
Datos: t = 3s
ω F = 108 rad /s
θ = 234rad
α=?
Calculando la velocida d a ngular inicial: θ=
F ω o + ωF I t GH J K 2 F ω o + 108 I 3 H 2 J K
234 = G
⇒
ω o = 48 rad /s
Solución:
Calculando la aceleración a ngular (α): α=
Relación de radios:
ωF − ω o
t α=
3
108 − 48
α = 20 rad /s
⇒
3
=
18
2
RP
⇒
RQ
RP
=
RQ
1 6
Dato s: T= 4 s
1.-
Como P y Q giran en torno a un mismo eje, sus velocida des an gulares son igua les.
ωP = ω Q
Un disco rota uniformemente alrededor de su eje, v 1 es la velocidad del punt o “1” y v2 es la velocida d de l punt o “2”. Los p unt os “1” y “2” dista n d e “O” 1,5 y 2 cm respectivament e. Calcular la relación entre velocidades: v 2/v 1.
vP
=
RP vP
⇒
RQ =
vQ 3.-
vQ
vP vQ
=
RP
=
1
RQ
6
1 6
Una part ícula gira en un círculo de 3 m de diámet ro a una velocidad de 6 m/s, tres segund os d espués su velocida d es 9 m/s. Calcular el número de vue ltas q ue ha dad o al cabo de 6 s. Solución:
Solución:
Como se ve rá: Los punt os (1) y (2) g iran e n to rno a un mismo centro: ω1 = ω 2 = ω
U | v F = 9 m /s | | V | t = 3s 2 | = ? (m /s ) | W v o = 6 m /s
a
Velocida des ta nge nciales:
v o = 6 m /s t = 6s
v1 = ω b1,5g ......... (1)
a =
v 2 = ωb2,0 g ......... (2)
S = ? (m)
(2) : (1)
2 v2 v1
=
1 3 2
⇒
v2 v1
=
4 3
1 m /s
2
S = 54 m R = 1, 5 m θ=?
(rad )
U | || V | | |W U || V | |W
a =
vF − v o t
a =
9−6 3
a =
1 m /s2
S = vot +
1
S = 6b6g +
1 2
S = 54 m
S = θR 54 = θb1, 5g θ = 36rad
t2
a
2
2
b1gb6g
Finalmente:
2π rad 36 rad
1 vuelta x
ω = 2πf = 2π ω=
b200g
400 π rad /s
e = vt
Con el proyectil:
x = 5,73 vueltas
2 = vt ........... (1) 4.-
Un ventilador gira con velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 R.P.M. al descon ect arlo, su movimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta q ue se detiene por completo d espués de da r 75 vuelta s. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se d esconecta el ventilador hasta que se detiene por completo?
Ahora pa ra q ue el proyectil penetre un sólo ag ujero, el cascarón deb erá da r media vuelta. Luego:
Solución:
En (1):
Dato:
fo
T ; siendo: T= período de revolución 2
t=
= 900
2= v
rev 1 min rev × = 15 min 60 s s
1 T ; pero: T= f 2
F 1 I H 2 × 200 J K
2 = vG
fF = 0 Aplicando:
ω = 2πf
U | ωF = 0 || V t = ? | | #de vueltas = 75 |W ω o = 30 π rad /s
6.2π rad
1 vuelta
θ =
75 vueltas
?
⇒
v = 800 m /s
Tres rueda s A, B y C, se encu ent ran e n con ta ct o t al como muestra el g ráfico. Siendo la velocida d a ngular de “B” 200 rad/s. Hallar la velocida d an g ular d e “A” y “C” en ra d/s si los radios son ig uales a 20, 10 y 15 cm respectivamente.
θ = 150 π rad
Luego: θ=
F ωF + ω o I t GH J 2 K F 30π + 0 I t H 2 J K
150π = G 5.-
⇒
t = 10 s
Se tiene un cascarón esférico q ue gira con velocidad ang ular constant e a razón de 200 rev/s respecto a un eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente de tal modo que pasa por el centro del cascarón. Determinar la velocidad angular del cascarón sabiendo que su radio es igual a 1 m. Determinar también la máxima velocida d del proyectil de ta l mod o q ue atraviesa el cascarón haciendo un solo ag ujero.
Solución:
v A = vB = v C ω ARA = ω BRB = ω CRC
b20g = 200b10g
ωA
ω A = 100
Solución:
rad /s
ω BRB = ω CRC
b200gb10g = ω c b15g ω c = 133, 33
7.-
rad /s
La rueda “A” presenta una velocidad ang ular constante d e 40 rad /s. ¿Cuál es el valor de la velocida d a ng ular de la rueda “D”?
Solución:
v A = vB
Analizando el movimiento de rotación del
disco.
ω ARA = ω BRB
b 40gb3rg = ωB b2rg
⇒
Para q ue el móvil regrese al mismo hueco, el tiempo de rota ción de dicho hueco, deb e ser ta mbién 2,4 s.
ωB = 60 rad /s
ω B = ω C = 60 rad /s
vC = 60 rC vC = 60 r
⇒
v C = 60r
v C = vD 60r = ωDRD 60r = ωD b5rg
8.-
⇒
ω D = 12 rad /s
Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hueco a cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pa sa po r el mismo hueco. ¿Cuál es la velocida d a ng ular del disco en (rad/s)? (conside re: g = 10 m/s2).
Se tiene: ω=
ω=
9.-
θ = 180° = π rad
θ
t π
2, 4
⇒
ω = 1, 31 rad /s
Una b olita está peg ad a sobre un d isco liso de rad io “R”, a una distancia 0,6R de su eje de giro. Si el disco está girando a 8 rev/min y bruscament e se despeg a la b olita . ¿Después de cuant o tiempo sa ldrá despedida del disco?
Solución:
Solución: Analizando el movimiento parabólico (verti-
calmente)
v F = v o − gt (cuando el móvil sube) 0 = 12 − 10t
⇒
Ttotal = 2t = 2b1, 2g
f =8
ω = 2πf = 2π
t = 1, 2 s ⇒
Ttotal = 2, 4 s
rev min × min 60 s
F 2 I GH J 15 K
2 rev /s 15
⇒
f=
⇒
ω=
4π rad /s 15
Calculando la velocidad d e la bolita.
Se tiene: ωo = 0
v = ωr v=
4π b0,6Rg 15
v=
⇒
4 πR ........... (1) 25
80π = 0 + αb5g
8 R ........... (2) 10
θ2 = ?
s
ω o =
;
α = 16π rad /s
2
⇒
θ2 = 32π
rad
Calculando el ángulo θ recorrido ha sta los 3 segundos θ 3 = ?(rad )
;
ω o =
t = 3s
;
α = 16π rad /s
θ3 = 0 × 3 +
0
1 2 b16πgb3g 2
2
⇒
θ 3 = 72π
rad
El áng ulo recorrido en el 3° seg undo será:
Solución:
θ = θ3 − θ 2
rev rev 1 min fF = 2 400 = 2 400 × min min 60
⇒
θ=
40π rad
El número de vueltas en e l 3° segund o:
fF = 40 rev /s
2
0
;
1 2 αt 2 1 2 θ2 = b0gb2g + b16 πgb 2g 2
Las paleta s de un ventilad or que part e del reposo durante 5 segundos giran experimentando cambios de rapidez a razón constant e alcanzand o así una frecuencia d e 2 400 R.P.M. ¿Cuánta s vuelta s realizó d urant e el tercer seg undo d e su rota ción?
α = 16 π rad /s
θ = ωo t +
8 4 R = πRt 10 25
10.-
(rad )
t = 2s
(1) y (2) en (3):
π
⇒
Calculando el ángulo θ recorrido ha sta los 2 segundos
x = vt ................ (3)
5
; t = 5s
ωF = ω o + αt
Finalmente:
t=
ω F = 80 π rad /s
Calculando la a celeración ang ular (α)
En el triángulo ACB:
x=
;
#de vueltas =
b 40g
ωF = 2πfF = 2π
40π rad 2π rad
=
20
#de vueltas = 20
ωF = 80π rad /s
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-
Un cuerpo q ue po see M.C.U. gira a razón de 10 rad /s. Si el móvil recorre 20 m en 5 s. Calcular el rad io de g iro. Rpta.
3.-
A las do ce del d ía, las a gujas d e un reloj están superpuestas ¿Al cabo de cuánto s minutos, el minutero y el horario formarán un áng ulo de 30° por primera vez?
0,4 m Rpta.
2.-
Un disco A gira razón de 120 R.P.M. y un punto P se encuentra a 30 cm del centro d e rota ción. Otro disco B gira A razón de 90 R.P.M y un pun to Q se encuen tra a 40 cm de l centro de rot ación. ¿Cuál de los punt os (P o Q) tiene m ayor velocidad lineal? Rpta.
Tienen ig ual velocid ad linea l = 120 cm/s
4.-
5,45 minuto s
Los punto s periféricos de un disco q ue g ira uniformement e, se mueven a 40 cm/s. Si los punt os q ue se encuent ran a 2 cm de la periféria g iran a 30 cm/s. ¿Qué diámet ro tiene el disco? Rpta.
16 cm
5.-
En la figura , si la rued a ma yor gira a razón de 3 rad /s. Calcular la velocidad ang ular de la rueda m enor.
1.-
Rpta.
6.-
9 rad/s
Si la ace leración t ang encial d e “A” es 3 m/s2. calcular la aceleración an g ular de “C” en rad /s 2. (RA = 2 cm, RB = 8 cm, RC = 6 cm).
Rpta.
8.-
9.-
3.-
α = −10π rad/s2
; n = 50 vueltas
Hallar la velocidad lineal con q ue giran los puntos d e la superficie terrestre que se encuentra a latitud 60° Nort e (radio de la Tierra = 6 370 km).
Rpta.
10.-
60π rad
Rpta.
4.-
1 668 km/h
3 vuelta s
Los radios de las ruedas de la bicicleta q ue se mueve en la trayectoria circular mostrada en la figura, están en la relación de 5 a 1, determinar en q ué relación estarán el número de vueltas que dió cada llanta, si se sabe que el ciclista dió la vuelta completa a la pista en 120 s y R = (20/π ) m. Rpta.
5.-
198
Un cuerpo q ue parte d el reposo po see una aceleración angular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria circular un desplazamiento angular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el segundo punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de revoluciones ent re el primer punto y el punto de pa rtida. Rpta.
834 km/h
¿Con q ué velocida d d eberá volar un avión en el Ecuador, de Este a Oeste, para q ue sus pasa jeros les parezca q ue el sol está fijo en el firmamento ? (rad io d e la Tierra = 6 370 km).
Un tocadisco gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente la fricción ha ce que e l tocadisco se frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3 s gira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en seg undo s, ta rda el tocadisco para detenerse? Rpta.
La velocida d a ng ular de un mo tor q ue gira a 1 800 R.P.M., en 2 segundos desciende uniformemente hasta 1 200 R.P.M.¿Cuál es la a celeración angular? Y¿Cuántas vueltas dió el motor en dicho tiempo?. Rpta.
150 rad/s
0,5 rad/s2
Una rueda gira con velocidad de 2 rev/s y se de tiene en 0,5 minutos. Si la desaceleración es uniforme, calcular el áng ulo descrito. Rpta.
La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entre ellas, de radio r1 = 0,3 m y r2 = 0,2 m y una tercera polea de ra dio r = 0,4 m. El cuerpo F de sciende co n aceleración constante a = 8 m/s2 partiendo d el reposo. Calcule la velocidad ang ular de la polea de rad io r en un insta nte t = 5 s. Si se sabe q ue no hay de slizamiento ent re las poleas.
Rpta.
2.-
7.-
5a1
En el sistem a d e tra nsmisión d e la figura: rA = 0,3 m; rB = 0,5 m y rC = 0,2 m. Si la rued a A acelera a razón d e 10 rad/s2, ¿Qué velocidad adquirirá el bloq ue P a los 15 s de iniciado su movimien to? (en m/s). Rpta.
18 m/s
