PUBLICAÇÕES TÉCNICAS IBRACON
Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento
LOGOTIPO DOS PATROCINADORES E DAS EMPRESAS SÓCIAS DO IBRACON
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IBRACON Instituto Brasileiro do Concreto Fundado em 23 de junho de 1972 Lema: “Ciência e Tecnologia para o Desenvolvimento do Concreto e da Construção Civil”
Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento
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Autores: Fernando Rebouças Stucchi, Alio Ernesto Kimura, Antonio Bugan, Antonio Carlos Laranjeiras, Antranig Muradian, Arthur L. Pitta, Augusto Vasconcelos, Claudinei Pinheiro Machado, Daniel Domingues Loriggio, Eduardo Thomaz, Eugênio Cauduro, Fernando Fernandes Fontes, Francisco Graziano, Inês Laranjeira da Silva Battagin, João Bosco, João Carlos Della Bella, Joaquim Mota, José Augusto da Silva Gante, José Celso da Cunha, José Luiz Melges, José Martins Laginha, José Zamarion Ferreira Diniz, Lauro Modesto dos Santos, Leonardo de Araújo dos Santos, Libânio Miranda Pinheiro, Lídia Shehata, Luiz Aurélio Fortes da Silva, Luís Cholfe, Marcelo Waimberg, Marcio A. Ramalho, Marcio R. S. Correa, Mario Franco, Mauro Vasconcelos Real, Nelson Covas, Nílvea Bugno Zamboni, Paulo Roberto do Lago Helene, Ricardo Gaspar, Ricardo Leopoldo e Silva França, Roberto Buchaim, Ruy Nobhiro Oyamada, Sérgio Cifú, Sergio Hampshire, Sérgio Mangini, Sergio Stolovas, Túlio Nogueira Bittencourt, Waldemar dos Santos Jr., Wanda Vaz.
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Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento – São Paulo: IBRACON, 2006 268 páginas 21cm x 29,7cm ISBN Concreto armado; Exemplos; Normalização; Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento Direitos autorais do IBRACON Editora: IBRACON Rua Julieta do Espírito Santo Pinheiro, 68 – Jardim Olímpia São Paulo – SP – Brasil. 05542-120
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Fundado em 1972
Missão do Ibracon
Divulgar a tecnologia do concreto e desenvolver o seu mercado, articulando seus agentes, em benefício dos consumidores e da sociedade em geral, em harmonia com o meio ambiente.
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Diretoria Biênio 2005/2007 Diretor Presidente Paulo Roberto do Lago Helene Assessores da Presidência Alexandre Baumgart Augusto Carlos de Vasconcelos Jorge Batlouni Neto Martin Eugênio Sola Ruy Ohtake Diretor 1º Vice Presidente Claudio Sbrighi Neto Diretor 2º Vice Presidente Eduardo Serrano Diretor 3º Vice Presidente Mário William Esper Diretor 1º Secretário Antônio Domingues de Figueiredo Diretor 2º Secretário Sonia Regina Freitas Diretor 1º Tesoureiro Luiz Prado Vieira Júnior Diretor 2º Tesoureiro Laércio Amâncio de Lima Diretor de Eventos Luiz Rodolfo Araújo de Moraes Rêgo Diretor de Marketing Wagner Roberto Lopes Diretor Técnico Rubens Machado Bittencourt Diretor de Relações Institucionais Paulo Fernando Araújo da Silva Diretor de Publicações e Divulgação Técnica Ana Elisabete Paganelli Guimarães de Avila Jacintho Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento Túlio Nogueira Bittencourt Diretor de Cursos Juan Fernando Matias Martín Diretor de Informática Julio Timerman
Conselho Diretor Conselheiros Titulares Individuais Augusto Carlos de Vasconcelos Denise Carpena C. Dal Molin Túlio Nogueira Bittencourt Geraldo Cechella Isaia Cláudio Sbrighi Neto Rubens Machado Bittencourt Antônio Carlos Reis Laranjeiras Vladimir Antônio Paulon Luiz Prado Vieira Junior Ênio José Pazini Figueiredo Conselheiros Titulares Coletivos e Mantenedores ABCP – Associação Brasileira de Cimento Portland IPT – Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo FURNAS Centrais Elétricas S/A Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – PCC/USP DEGUSSA Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – PEF/USP Companhia Siderúrgica BELGO MINEIRA S/A Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS Escola de Engenharia de São Carlos – EESC – USP ABESC – Associação Brasileira de Serviços de Concretagem GERDAU S/A ? (não está no site) Conselheiros Permanentes Paulo Roberto do Lago Helene Eduardo Antonio Serrano Selmo Chapira Kuperman José Zamarion Ferreira Diniz Ronaldo Tartuce Simão Priszkulnik
Prefácio O Instituto Brasileiro de Concreto – IBRACON tem como uma de suas principais atividades, elaborar e divulgar trabalhos técnicos que induzam à melhor prática do uso do concreto. Com esse enfoque, diversos tipos de documentos são preparados pelos Comitês Técnicos do IBRACON, dentre os quais encontram-se as Práticas Recomendadas, que consistem em documentos didáticos, apresentando soluções tecnicamente corretas para o uso do concreto. Uma Prática Recomendada IBRACON pode ser abrangente ou específica, em função de seu objetivo e, como neste caso, pode ser elaborada no intuito de esclarecer procedimentos relativos à aplicação de uma Norma Técnica. Esta publicação foi elaborada pelo CT-301 – Concreto Estrutural, que tem por objetivo avaliar continuamente o estado de avanço tecnológico do concreto estrutural, estimulando a pesquisa em seus campos de aplicação, além de estudar problemas específicos e inovações ocorridas nesses campos e elaborar recomendações sobre projeto e execução de obras em concreto estrutural.
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Índice
Página
Prefácio
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Introdução
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Histórico
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Princípios básicos da nova NB-1 (NBR6118:2003)
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Tópicos novos da Norma
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Primeira Parte - Comentários Técnicos (Segunda Edição)
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C 1 Objetivo
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C 2 Documentos complementares
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C 3 Definições
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C 4 Simbologia
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C 5 Requisitos gerais da qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto
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C 6 Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto
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C 7 Critérios de projeto visando a durabilidade
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C 8 Propriedades dos materiais
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C 9 Comportamento conjunto dos materiais
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C 10 Segurança e estados limites
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C 11 Ações
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C 12 Resistências
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C 13 Limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras
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C 14 Análise estrutural
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C 15 Instabilidade e efeitos de segunda ordem
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C 16 Princípios gerais dimensionamento, verificação e detalhamento
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C 17 Dimensionamento e verificação de elementos lineares
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C 18 Detalhamento de elementos lineares
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C 19 Dimensionamento e verificação de lajes
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C 20 Detalhamento de lajes
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C 21 Regiões especiais
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C 22 Elementos especiais
79
C 23 Ações dinâmicas e fadiga
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C 24 Concreto simples
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C 25 Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção
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Bibliografia citada nos Comentários Técnicos
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Segunda Parte – Exemplos de Aplicação (Primeira Edição)
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Análise estrutural de edifício comercial incluindo cálculo das solicitações nos pilares e vigas do eixo 1 (exemplo de aplicação dos conceitos das seções 5, 6 e 11) Vigas de edifícios - Análise linear com redistribuição e análise plástica (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 14) Análise Elástica com redistribuição limitada de solicitações (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 14) Rigidez e rotação plástica de peças fletidas (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 14) Pilares (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 15)
91 119 133 140 155
Verificação de vigas sujeitas à força cortante (exemplos de aplicação dos conceitos da 197 seção 17) Estados limites de serviço em vigas de concreto armado (exemplos de aplicação dos 210 conceitos da seção 17) Lajes (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 19)
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Punção em lajes lisas (exemplos de aplicação dos conceitos da seção 19)
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Introdução Esta Prática Recomendada IBRACON foi elaborada com a finalidade de complementar e esclarecer alguns aspectos dos procedimentos estabelecidos de maneira muito concisa na NBR 6118:2003. Optou-se por esta iniciativa, tendo em vista ser esta Norma um documento de uso obrigatório (Norma técnica) que regulamenta de forma clara, mas muito ampla, os requisitos que devem necessariamente ser cumpridos no Projeto de Estruturas de Concreto e, seguindo os preceitos normativos, facilitar a correta compreensão desses procedimentos e detalhar a análise de exemplos de aplicação que facilitem a elaboração desses Projetos. O escopo da nova Norma, que é ao mesmo tempo conservador e arrojado, contempla o concreto estrutural de classe de resistência até C50 em seu mais amplo espectro de aplicações, incorporando as mais modernas tendências e conceitos mundiais relativos a Projeto de Estruturas aos avanços já obtidos pelo País por sua tradição em construções de concreto. No intuito de aliar os necessários esclarecimentos e informações sobre as questões tratadas na NBR 6118:2003 a uma apresentação didática, esta Prática Recomendada IBRACON aborda o Projeto Estrutural a partir de uma análise específica de alguns requisitos, finalizando com uma visão global da concepção estrutural de um edifício. Este trabalho é composto de duas partes: Ø Comentários Técnicos (primeira parte) Ø Exemplos de Aplicação (segunda parte) Cumpre esclarecer que os Comentários Técnicos foram publicados em primeira edição no documento a seguir referenciado, tendo sido atualizados nesta nova versão: INSTITUTO BRASILEIRO DO CONCRETO. Prática Recomendada IBRACON – Comentários Técnicos NBR 6118:2003.São Paulo, junho de 2003, 67p. Os capítulos desta publicação mantêm correspondência com as seções identificadas pelo mesmo número na Norma, porém, quando se trata de comentários, a numeração dos capítulos e itens desta publicação é precedida pela letra “C”, para facilitar a identificação de referências no texto a itens da Norma ou dos Comentários. Quando em um capítulo desta Prática Recomendada IBRACON, a numeração dos itens não for seqüencial, significa que não há comentários específicos a respeito dos itens faltantes. No caso dos exemplos de aplicação, fazse uma referência à principal seção da norma tratada no exemplo, antes de iniciar sua apresentação. As tabelas e figuras desta Prática Recomendada IBRACON não guardam nenhuma correlação direta com as tabelas e figuras da NB-1, mesmo que apresentem a mesma numeração. Apenas para facilitar a compreensão, pequenos trechos de itens da Norma foram reproduzidos na parte relativa aos Comentários e encontram-se destacados em itálico e recuados com relação ao alinhamento do texto corrente desta Prática Recomendada IBRACON.
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Histórico Uma breve retrospectiva na história do desenvolvimento brasileiro mostra a influência da construção de estruturas de concreto e aponta para a publicação das primeiras normas técnicas no Brasil. Efetivamente já nas décadas de 20 e 30, o Brasil experimentou expressivo crescimento na área da construção civil, com a implantação das primeiras fábricas de cimento no País, a criação da Associação Brasileira de Cimento Portland (ABCP, em 1936) e a criação da Associação Brasileira do Concreto (ABC, em 1930), reunindo profissionais do meio técnico nacional, que por influência da imigração européia dominavam técnicas de construção em concreto armado consideradas avançadas para a época. O interesse em conhecer e controlar a qualidade dos cimentos nacionais, de custo muito inferior ao importado, aliado à cultura já disseminada no meio técnico nacional na arte de construir, levou à realização de Reuniões dos Laboratórios Nacionais de Ensaio de Materiais, com o objetivo de tratar do estabelecimento de normas brasileiras para ensaios de materiais de construção. Todas as reuniões realizadas foram acompanhadas pela revista CONCRETO (publicada pela ABC), que detalhava as fases de preparativos e as conclusões de cada reunião. Esses eventos tiveram grande importância no fortalecimento da engenharia nacional, reunindo expressivo grupo de profissionais ligados à construção: construtores, projetistas, professores, pesquisadores, representantes de órgãos públicos. A primeira Reunião dos Laboratórios Nacionais de Ensaios de Materiais foi realizada no Rio de Janeiro, em 1937, organizada pelo Instituto Nacional de Tecnologia (INT), envolvendo diversos laboratórios do País e contando já com a participação ativa da Associação Brasileira de Cimento Portland e do Instituto de Pesquisas Tecnológicas. Na ocasião foram aprovadas as especificações e os métodos de ensaio para cimento Portland, cuja proposta fora apresentada pelo Engo. Ary Torres. Esses documentos foram oficializados por decreto do então Presidente Getúlio Vargas, tornando obrigatório seu uso em obras da iniciativa pública e posteriormente foram publicados como normas técnicas (EB-1 e MB-1) pela ABNT. Dando seqüência a esse trabalho, duas propostas inicialmente conflitantes deram origem à primeira norma brasileira de cálculo e execução de obras de concreto armado. O texto proposto pela ABC, então dirigida pelo Engo. José Furtado Simas, e a norma elaborada pelo Engo. Telêmaco Van Langendonck, para a ABCP, foram amplamente discutidos e divulgados, recebendo sugestões de renomados engenheiros. Na terceira Reunião dos Laboratórios Nacionais de Ensaios de Materiais foi aprovado o texto resultante da fusão dessas duas iniciativas, documento que recebeu a sigla NB-1, estabelecendo o início de atividades da Associação Brasileira de Normas Técnicas, em 1940. A revista CONCRETO publicou um número especial dedicado à norma, onde fez um enorme elogio ao trabalho realizado pela comissão (REVISTA CONCRETO, n. 33, edição especial, 1940): “ Detenham-se os leitores de CONCRETO em leitura minuciosa da Norma que acaba de ser aprovada e concluirão que estão de parabéns os técnicos brasileiros pela elaboração de tão valioso trabalho. A atual Norma Brasileira pode figurar entre as mais perfeitas do mundo inteiro e acompanha os resultados das mais modernas experiências realizadas sobre concreto armado. (...) Não se trata, assim, de uma tradução de regulamentos de outros países e sim de uma norma brasileira, elaborada por brasileiros. Fazemos questão de insistir neste ponto porque constitui um passo na realização da principal campanha de CONCRETO, iniciada desde seu 6
lançamento e que é a valorização de nossos empreendimentos em relação ao concreto armado.” Conforme resumiu o Engo. Lobo Carneiro, a NB-1:1940, embora ainda baseada no chamado “estádio II”, isto é, nas teorias elásticas e nos conceitos de tensão admissível, já incluía o cálculo na ruptura, no “estádio III”, para peças solicitadas à compressão axial e o admitia com restrições como alternativa para peças fletidas. O chamado “estádio III” já era nessa época objeto de debate entre os especialistas brasileiros e também de pesquisas em outros países, embora não figurasse em nenhuma norma oficial estrangeira. Ao acompanhar a evolução das normas estruturais brasileiras para concreto verifica-se que estas sistematicamente se anteciparam, de modo pioneiro, às normas de outros países, com a inclusão dos mais recentes avanços da tecnologia do concreto armado. Esse aspecto pioneiro das normas estruturais brasileiras se acentuou ainda mais com a visão da NB-1;1960, que além de adotar definitivamente como método principal o “cálculo de ruptura”, introduziu antes do CEB o conceito de “ resistência característica”, resultante da aplicação de critérios estatísticos aos ensaios de controle de qualidade de concreto. A partir de 1960 tornou-se mais ativa a participação brasileira nos trabalhos do CEB e da RILEM. Em conseqüência dessa interação, a NB-1:1978 é inteiramente coerente com as Recomendações Internacionais do CEB da mesma época. Nunca, no entanto, modificações tão abrangentes e significativas foram realizadas como nesta revisão de 2003, que tornou a Norma restrita ao Projeto de Estruturas de Concreto, permitindo a utilização integral de recursos de software de forma a permitir uma análise global do comportamento da estrutura, e referenciando outros documentos para a execução das estruturas. A nova versão da NB-1 exigiu mudanças expressivas em outros documentos normativos, de maneira a atender aos requisitos impostos, principalmente quanto aos aspectos relativos à durabilidade das estruturas. Tendo sido registrada em 1980 pelo INMETRO como NBR 6118, todas as referências à Norma passaram a respeitar essa nova denominação. Porém, por seu caráter pioneiro e sua importância para o meio técnico nacional, continuou a ser conhecida popularmente entre aqueles que a utilizam no dia-a-dia por NB-1, denominação que se decidiu utilizar nesta Prática Recomendada IBRACON.
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Princípios básicos da nova NB-1 (NBR6118:2003) Manteve-se a filosofia das anteriores NBR 6118:1978 Projeto e execução de obras de concreto armado - Procedimento e NBR 7197:1989 Projeto de estruturas de concreto protendido – Procedimento, de modo que, à NB-1, cabe definir os critérios gerais que regem o projeto das estruturas de concreto, sejam elas: edifícios, pontes, obras hidráulicas, portos ou aeroportos ou outros. Assim, ela deve ser complementada por outras normas que fixem critérios para estruturas específicas. Resolveu-se, também, separar as prescrições sobre execução, daí resultando a nova norma NBR 14931:2003 Execução de estruturas de concreto – Procedimento. Procurou-se privilegiar a visão da estrutura como um todo, dando ênfase a todas as etapas do projeto, da definição dos requisitos da qualidade, às ações, à análise estrutural, ao dimensionamento e ao detalhamento. Respeitou-se a experiência brasileira acumulada, sem no entanto desprezar as novas contribuições e a tendência à internacionalização das normas, da qual o Eurocode 2 é exemplo patente. Pelo seu escopo mais abrangente, concreto simples a protendido, esta Norma tende a ser mais complexa. Dentro deste panorama foi importante propor-se soluções simples e pragmáticas onde possível, para dar mais ênfase a pontos antes relegados a um segundo plano, como a durabilidade, a análise estrutural, e o detalhamento de regiões de descontinuidade. Os procedimentos mais complexos, que não poderiam ser estabelecidos em norma por serem específicos, encontram-se detalhados neste caderno de Práticas Recomendadas e serão objeto de trabalhos ainda em desenvolvimento pelo IBRACON, com exemplos práticos de aplicação da NB-1. Na nova Norma manteve-se quando possível as hipóteses básicas e os procedimentos atuais (caso das solicitações normais), de maneira a introduzir modificações só e onde realmente elas se fizeram necessárias, caso por exemplo do dimensionamento e verificação à punção. Para a ordenação dos capítulos adotou-se uma seqüência que procura acompanhar o processo de projeto, de modo que definem-se os materiais e os requisitos da qualidade, concebem-se as estruturas e seus métodos construtivos, definem-se as ações a considerar, suas combinações, para em seguida entrar na análise estrutural e no dimensionamento e detalhamento. Observe-se ainda que para cada tipo de elemento estrutural reuniram-se todos os critérios de dimensionamento (estados limites últimos e de serviço) segundo o tipo de solicitação, seguidos de regras de detalhamento, antes de passar para o próximo elemento estrutural típico. A NB-1 sinaliza como serão aplicados procedimentos mais complexos, pois nos próximos anos deverá ocorrer um desenvolvimento acelerado de software, que certamente começará a tratar de análises não lineares, uso corrente de elementos finitos, projeto de elementos especiais tais, como consolos, vigas-parede, sapatas, e outros.
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Tópicos novos da Norma Dentro da filosofia adotada, e também por exigência de modernidade, constam da nova NB-1 uma série de tópicos antes não abrangidos, entre eles podem ser citados: a) garantia da qualidade: explicitou-se quais são os requisitos de qualidade e como obtêlos; b) durabilidade: todas as normas mais recentes tratam com grande ênfase desta questão; o estado atual de nossas estruturas, quanto à durabilidade atesta o quanto é necessário um enfoque mais incisivo desta questão; c) limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras: procurou-se concentrar neste tópico todos os limites necessários, quer por razões construtivas, quer por limite de validade das teorias, quer por compatibilidade de funcionamento com outros elementos; d) análise estrutural: a NBR 6118:1978 tratava esta parte de maneira restrita, chamando-a de “esforços solicitantes”. O estágio atual de conhecimento exige uma distinção mais clara entre as várias formas possíveis de análise estrutural, assim como um alerta sobre o campo de validade e condições especiais para aplicação de cada uma delas; e) instabilidade e efeitos de segunda ordem: a NBR 6118:1978 tratava apenas dos efeitos locais de segunda ordem, no presente texto procura-se classificar com maior precisão os fenômenos envolvidos, assim como procedimentos adequados a cada situação; f) regiões e elementos especiais: seguindo também a tendência das normas mais atuais, procurou-se sinalizar princípios para o dimensionamento e detalhamento das regiões de descontinuidade (Regiões Especiais) e também de elementos especiais como consolos, vigas-parede, sapatas e blocos de fundação.
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Primeira Parte
Comentários Técnicos da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento
(Segunda Edição)
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C 1 Objetivo A nova NB-1 fixa as condições básicas exigíveis para o projeto de estruturas de concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, pesado ou outros especiais, estabelecendo os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto como um todo, bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de suas etapas. Em algumas dessas etapas devem ser atendidos requisitos que não se encontram estabelecidos nessa Norma, devendo ser procurados nas referências normativas (seção 2 da Norma) ou em práticas recomendadas. Essas etapas podem ser resumidas em: a) conhecimento do problema e definição dos requisitos gerais a serem atendidos; b) escolha dos materiais a serem utilizados e dos correspondentes requisitos de durabilidade; c) definição das ações a considerar; d) concepção da solução a ser adotada; e) análise estrutural ; f) verificação ou dimensionamento da estrutura; g) detalhamento das peças estruturais; h) produção dos documentos; i) controle de qualidade do produto final; j) assistência técnica à obra. Esta Prática Recomendada IBRACON contém comentários técnicos e exemplos de aplicação relativos a conceitos e requisitos estabelecidos na NB-1, de forma a esclarecer e facilitar sua aplicação. Em alguns casos, o cumprimento de um requisito de norma pode ser verificado de diversas maneiras. Um dos objetivos desta Prática recomendada IBRACON é exemplificar essa condição. C 2 Documentos complementares Para possibilitar o entendimento e a aplicação das orientações contidas nesta Prática Recomendada IBRACON é necessário dispor do texto completo da nova NB-1: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro. Primeira edição de março de 2003. Versão corrigida com errata de 31.03.2004 incorporada, 170p. Outros documentos, relacionados no Anexo desta publicação, podem facilitar o entendimento e a aplicação do conteúdo desta Prática Recomendada IBRACON. Como as normas técnicas estão em constante atualização, deve-se atentar para o uso das edições mais recentes. C 3 Definições Para os efeitos desta Prática Recomendada IBRACON aplicam-se as definições constantes da NB-1 e de suas referências normativas. C 4 Simbologia Nesta seção da NB-1 encontram-se os símbolos de aplicação geral e no primeiro item de cada seção da Norma, quando necessário, estão definidos os símbolos específicos ao tema tratado na seção. Os símbolos usados nesta Prática Recomendada IBRACON são os mesmos estabelecidos na NB-1. 11
C 5 Requisitos gerais da qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto A responsabilidade pela vida útil da estrutura é dividida entre todos os envolvidos no processo, sendo evidenciada na NB-1 a figura do contratante, que participa das decisões em conjunto com o profissional responsável pelo projeto estrutural como a seguir se destaca (cumpre ressaltar que essas condições devem constar de contrato entre as partes): a) em 5.1.1, definindo requisitos adicionais, quando existirem, que devam ser atendidos pela estrutura de concreto, além dos previstos na Norma: b) em 5.1.2.3, definindo, no início dos trabalhos de elaboração do projeto, quais as influências ambientais previstas que possam alterar a durabilidade da estrutura: c) em 5.2.1, tomando conhecimento e aceitando a qualidade da solução adotada no projeto estrutural de forma a considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, estruturais e de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, entre outros): d) em 5.2.2, tomando conhecimento e aceitando todas as condições impostas pela Norma ao projeto estrutural: e) em 5.3, requerendo e contratando a avaliação da conformidade do projeto: f)
em 25.4, contratando um profissional habilitado para preparar o manual de utilização, inspeção e manutenção da estrutura:
C 5.1 Requisitos da qualidade da estrutura C 5.1.1 Condições gerais As estruturas de concreto, durante sua construção e ao longo de toda a vida útil que lhe for prevista, devem comportar-se adequadamente, com nível apropriado de qualidade: a) quanto a todas influências ambientais e ações que produzam efeitos significativos na construção; b) em circunstâncias excepcionais, não apresentar ruptura frágil, ou falso alarme, ou ainda danos desproporcionais às causas de origem. C 5.1.2 Classificação dos requisitos da qualidade da estrutura Na NB-1, os requisitos da qualidade de uma estrutura de concreto são classificados em três grupos distintos: a) capacidade resistente; b) desempenho em serviço; c) durabilidade. Simplificadamente, as exigências do grupo (a) acima citado são identificadas como correspondentes à segurança à ruptura, as exigências do grupo (b) referem-se a danos como: fissuração excessiva, deformações inconvenientes e vibrações indesejáveis, e as exigências do grupo (c) têm como referência a conservação da estrutura, sem necessidade de reparos de alto custo, ao longo de sua vida útil.
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Para tipos especiais de estruturas, devem ser fixadas outras condições particulares, como por exemplo, a exigência de resistência ao fogo, à explosão, ao impacto ou mesmo aos sismos, ou ainda exigências relativas à estanqueidade, ao isolamento térmico ou acústico. Exigências suplementares podem também ser fixadas, como por exemplo, as referentes ao impacto ambiental e aos aspectos estéticos e econômicos. O atendimento aos requisitos da qualidade impostos às estruturas de concreto exige: a) a adoção de hipóteses, soluções e procedimentos apropriados, que estão disciplinados na NB-1 e em outras normas complementares e especiais; b) a adoção de medidas para a Garantia da Qualidade. As medidas de Garantia da Qualidade, ao contrário, estão ainda pouco normalizadas em âmbito internacional e nacional. Os itens 5.2 e 5.3 da NB-1 e os correspondentes comentários desta Prática Recomendada IBRACON (C 5.2 e C 5.3), propõem medidas elementares para garantia e controle da qualidade dos projetos estruturais. A confiabilidade e a segurança das estruturas pressupõem a possibilidade de se manter elevado o nível de garantia da qualidade através de todas as fases de projeto, construção e uso, caracterizado como segue: a) o projeto deve ser realizado por pessoal experimentado e com apropriada qualificação, e ser submetido ao controle interno de qualidade. Sendo desejável uma verificação por pessoal independente, selecionado por sua competência e experiência; b) os materiais e componentes da construção devem ser produzidos, ensaiados e utilizados conforme disciplinado em suas respectivas normas, procedimentos e recomendações; c) a construção deve ser executada por pessoal experiente e com qualificação apropriada, e ser submetida a um controle interno da qualidade; d) a estrutura deve ser utilizada, durante a vida útil que lhe é prevista, conforme estabelecido no projeto e sob manutenção adequada. As ações aqui descritas fazem parte de um Sistema de Gestão da Qualidade. C 5.2 Requisitos da Qualidade do Projeto Cerca de metade dos defeitos verificados nas construções tem sua origem na fase de projeto, conforme demonstram algumas estatísticas publicadas. É pois justificável que se dispendam maiores esforços para melhoria da qualidade dos mesmos. Uma das formas encontradas para conseguir esta melhoria é através da implantação de um Sistema de Garantia da Qualidade dos Projetos. A Garantia da Qualidade visa, através de ações planejadas e sistemáticas, garantir um nível de segurança em que o projeto satisfaça, de fato, aos requisitos da qualidade que forem fixados por condições arquitetônicas, construtivas, estruturais, funcionais, estéticas, de integração com os demais projetos e outras pertinentes. A Garantia da Qualidade compreende todas as medidas para atender a qualidade pré-definida e, em particular, para evitar ou identificar erros. A boa qualidade de um projeto estrutural é o resultado de um trabalho integrado e associado de todos que nele estão envolvidos - pessoal de projeto e pessoal de controle de qualidade, todos profissionais 13
competentes, honestos e de boa vontade. Portanto, a responsabilidade por se atingir esta boa qualidade é um compromisso e um objetivo a serem assumidos por todo o grupo e por cada participante, em particular. O Controle da Qualidade do projeto integra-se à Garantia da Qualidade, e refere-se, genericamente, às técnicas operacionais e atividades empregadas para verificar e demonstrar o atendimento aos requisitos da qualidade. Os requisitos da qualidade de um projeto estrutural referem-se a dois aspectos distintos da qualidade, a saber: a Qualidade da Solução Adotada e a Qualidade da Descrição da Solução. C 5.2.1 Qualidade da Solução Adotada Conforme estabelece a NB-1, a solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura. A qualidade da solução adotada deve ainda considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, estruturais, de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, etc.) e econômicas. C 5.2.2 Condições impostas ao projeto As condições impostas ao projeto são de várias naturezas e referem-se às condições relacionadas a seguir: a) as condições arquitetônicas impostas ao projeto estrutural são obviamente as constantes do projeto arquitetônico. No caso de inexistir o projeto arquitetônico - como é geralmente o caso das pontes, por exemplo - estas condições referem-se àquelas que devam reger tais projetos, como condições estéticas, de implantação, de drenagem, de impermeabilização e outras que forem igualmente aplicáveis; b) as condições funcionais referem-se às finalidades e ao uso previsto para a estrutura, e implicam a compatibilização das ações a adotar; dos vãos e gabaritos; da rigidez e da deformabilidade das peças; da estanqueidade; do isolamento térmico e acústico; das juntas de movimento, etc; c) as condições construtivas implicam na compatibilização do projeto estrutural com os métodos, procedimentos e etapas construtivas previstas; d) as condições estruturais referem-se basicamente à adequação das soluções estruturais adotadas em serviço e na ruptura, caracterizada pela escolha apropriada dos materiais – concreto armado, concreto protendido, aço, pré-moldados, características dos próprios materiais; pelo sistema estrutural escolhido para resistir às ações verticais e às ações horizontais; pelo tipo de fundação. Adicionalmente devem ser satisfeitas outras exigências em função do tipo da estrutura; e) as condições de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar condicionado, etc.) referem-se às necessidades de prever rebaixos, furos, shafts ou dispor as peças estruturais de modo a viabilizar e compatibilizar a coexistência da estrutura com os demais sistemas; f) as condições econômicas referem-se à necessidade de otimizar os custos de construção associados aos de manutenção da estrutura em uso, e de compatibilizar esses custos com os prazos desejados.
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As exigências técnicas de segurança e de durabilidade são as geralmente descritas nas normas específicas e atualizadas de projeto, e referem-se à necessidade da estrutura, com grau apropriado de confiabilidade, de: a) resistir a todas as ações e outras influências ambientais passíveis de ocorrer durante sua fase construtiva; b) comportar-se adequadamente sob as condições previstas de uso, durante determinado tempo de existência (vida útil). Esta qualidade fica caracterizada por segurança adequada contra riscos de ruptura; de instabilidade (perda de equilíbrio estático); de vibrações excessivas; de deformações inconvenientes e danosas à própria estrutura ou a outros elementos da construção; de fissuração excessiva com vistas à estética, estanqueidade e proteção da armadura. Esta confiabilidade deve ser complementada pelo atendimento às exigências que protejam e preservem a estrutura contra sua deterioração prematura, como por exemplo, as referentes a cobrimento das armaduras, drenagem, especificações de materiais adequados e de medidas adequadas à agressividade ambiente. A segurança e a durabilidade dependem ambas da qualidade dos detalhes das armaduras (emendas, dobramentos, ancoragens, nós de pórtico, furos, etc.), com vistas a evitar rupturas localizadas e a favorecer boas condições de adensamento do concreto. C 5.2.3 Documentação da solução adotada O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto. As especificações e critérios de projeto podem constar dos próprios desenhos ou constituir documento separado. No entanto, a documentação da solução adotada ou a qualidade da descrição da solução, para possibilitar a aplicação de critérios de conformidade, deve constituir-se, como mínimo, dos documentos de Referência da Qualidade a seguir relacionados: a) projeto arquitetônico; b) projetos dos outros sistemas : drenagem, elétrico, hidráulico, ar condicionado, mecânico, etc.; c) relatórios e perfis de sondagem; d) normas técnicas; e) pareceres ou diretrizes técnicas escritas especificamente para a obra e que sejam hierarquicamente superiores ao projeto estrutural; f) informações do mesmo projeto, constante de desenhos já examinados e em vigor. A solução estrutural adotada deve estar descrita nos desenhos e nas especificações, de modo a permitir a completa e perfeita execução da estrutura. Isto implica exigir que os desenhos e as especificações contenham informações completas, claras, corretas, consistentes entre si e consistentes com as exigências. Uma forma conveniente de obter a Qualidade do Projeto está em verificar as informações mais relevantes do projeto pelo menos com relação à sua ordem de grandeza, por procedimento independente e preferencialmente simples, orientado pela experiência e pelo bom senso, e tendo em mente que, na elaboração e no controle de um projeto, não se pode perder uma visão geral entre os resultados obtidos e os supostamente esperados.
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A utilização de listas auxiliares de verificações (check-lists), elaboradas pelo próprio Controle da Qualidade para cada projeto, favorecem o melhor desempenho nas verificações, pois ajudam a responder às indagações que decorrem das exigências de qualidade definidas. Chama-se entretanto a atenção de que as melhores listas têm sempre caráter e formato personalizados, de quem as elabora. Além disto, por não serem completas, não são rotinas que dispensem o esforço mental de análise consciente e competente do projeto. C 5.3 Avaliação da conformidade do projeto Com o objetivo de garantir a qualidade do projeto e reduzir as chances de encontrar erros nas verificações de controle da qualidade, ou na execução e operação da obra, medidas preventivas devem ser tomadas desde o início dos trabalhos. Essas medidas devem englobar a discussão e aprovação das decisões tomadas, a distribuição dessas e outras informações pelos elementos pertinentes da equipe e a programação coerente das atividades, respeitando as regras lógicas de precedência. De acordo com a NB-1, o Controle da Qualidade consiste, basicamente, em verificar se o projeto estrutural, conforme definido nos seus respectivos desenhos, especificações e critérios de projeto, atende às exigências de qualidade que lhe foram prefixadas (5.2). Para isto, as informações dos desenhos e das especificações devem ser analisadas, comparativamente, com os Documentos de Referência da Qualidade, previamente identificados e classificados. O Controle da Qualidade deve avaliar, paralelamente, se as informações dos desenhos e especificações são: a) completas; b) claras; c) em escalas apropriadas; d) consistentes (entre si); e) corretas. As informações serão completas, claras, em escalas apropriadas e consistentes com relação: a) à identificação do documento; b) às necessidades da administração e planejamento da obra; c) às exigências peculiares dos serviços relativos ao sistema de fôrmas (fôrmas e escoramento), concretagem, armação, etc. As informações serão corretas se compatíveis com as ações, esforços e materiais adotados. Em outras palavras, esta atividade indica a necessidade de verificar se os resultados consubstanciados nos desenhos e especificações são compatíveis com as hipóteses de projeto. O relatório do Controle da Qualidade identificará as informações e aspectos do projeto considerados em não-conformidade com as exigências de qualidades prefixadas e os Documentos de Referência da Qualidade, respectivos. Para atender Ao que estabelece a NB-1, os serviços de Controle da Qualidade de Projeto devem ser executados antes da fase de construção, e, de preferência, simultaneamente com a fase de projeto, como condição essencial para que seus resultados se tornem efetivos e conseqüentes.
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C 6 Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto C 6.1 Exigências de durabilidade Projetar para durabilidade implica em desacelerar o processo de deterioração das partes críticas da estrutura. Isto implica, normalmente, em uma estratégia de múltiplos estágios, os quais podem basear-se freqüentemente, em barreiras sucessivas que se opõem à deterioração. O conceito de vida útil conduz a um tratamento integralizado das seguintes fases: - planejamento; - projeto; - construção; - utilização ou operação; e - manutenção. Em conseqüência dessa integração, estão envolvidos na questão da durabilidade todos aqueles que participam de alguma das fases anteriormente mencionadas, assim, cada um deles têm uma parcela de responsabilidade, conforme já explicitado em C 5. Não é intenção da Norma, entretanto, impor obrigações legais a terceiros, mas, apenas, esclarecer o contexto geral de trabalho em que está inserido o projetista. C 6.2 Vida útil de projeto A vida útil de projeto pode também ser entendida como o período de tempo durante o qual a estrutura é capaz de desempenhar bem as funções para as quais foi projetada. Pode-se distinguir pelo menos três situações e suas correspondentes vidas úteis, apresentadas na figura C 6.1, que contempla o fenômeno da corrosão de armaduras por ser o mais freqüente, o mais importante e mais conhecido cientificamente, mas que como modelo conceitual aplica-se a todos os mecanismos de deterioração.
Figura C 6.1 - Conceituação de vida útil das estruturas de concreto tomando-se por referência o fenômeno de corrosão das armaduras A partir da figura C 6.1 podem ser definidas as seguintes vidas úteis 1), 2) : a) período de tempo que vai até a despassivação da armadura, normalmente denominado de período de iniciação. A esse período de tempo pode-se associar a chamada vida útil de projeto, que normalmente corresponde ao período de tempo necessário para que a frente 17
de carbonatação ou a frente de cloretos atinja a armadura. O fato da região carbonatada ou de um certo nível de cloretos atingir a armadura e teoricamente despassivá-la, não significa que necessariamente a partir desse momento haverá corrosão importante, embora usualmente isso ocorra. Esse período de tempo, no entanto, é o período que se recomenda seja ser adotado no projeto da estrutura, a favor da segurança; b) período de tempo que vai até o momento em que aparecem manchas na superfície do concreto, ou ocorrem fissuras no concreto de cobrimento, ou ainda quando há o destacamento do concreto de cobrimento. A esse período de tempo associa-se a chamada vida útil de serviço ou de utilização. É muito variável de caso a caso, pois em certos locais é inadmissível que uma estrutura de concreto apresente manchas de corrosão ou fissuras. Em outros casos somente o inicio da queda de pedaços de concreto, colocando em risco a integridade de pessoas e bens, pode definir o momento a partir do qual deve-se considerar terminada a vida útil de serviço. c) período de tempo que vai até a ruptura ou colapso parcial ou total da estrutura. A esse período de tempo associa-se a chamada vida útil última ou total. Corresponde ao período de tempo no qual há uma redução significativa da seção resistente da armadura ou uma perda importante da aderência armadura / concreto, acarretando o colapso parcial ou total da estrutura. d) nessa modelagem foi introduzido ainda o conceito de vida útil residual, que corresponde ao período de tempo em que a estrutura ainda será capaz de desempenhar suas funções, contado neste caso a partir da data, qualquer, de uma vistoria. Essa vistoria e correspondente diagnóstico pode ser efetuado a qualquer instante da vida em uso da estrutura. O prazo final, neste caso, tanto pode ser o limite de projeto, o limite das condições de serviço, quanto o limite de ruptura, dando origem a três “vidas úteis residuais”; uma mais curta contada até a despassivação da armadura, outra até o aparecimento de manchas, fissuras ou destacamento do concreto e outra longa, contada até a perda significativa da capacidade resistente do componente estrutural ou seu eventual colapso. É importante salientar que os custos de intervenção na estrutura para atingir um certo nível de durabilidade e proteção, crescem exponencialmente quanto mais tarde for essa intervenção. A evolução desse custo pode ser assimilado ao de uma progressão geométrica de razão 5, conhecida por lei dos 5 ou regra de Sitter, representada na figura C 6.2 3) .
Figura C 6.2 - Representação da evolução dos custos em função da fase da vida da estrutura em que a intervenção é feita O significado dessa “lei” pode ser assim exposto4), segundo a intervenção seja na: 18
a) fase de projeto: toda medida tomada a nível de projeto com o objetivo de aumentar a proteção e a durabilidade da estrutura, como por exemplo, aumentar o cobrimento da armadura, reduzir a relação água/cimento do concreto ou aumentar fck, especificar adição de sílica ativa, tratamentos protetores de superfície e outras tantas, implica num custo que pode ser associado ao número 1 (um); b) fase de execução: toda medida extra-projeto, tomada durante a fase de execução propriamente dita, implica num custo 5 (cinco) vezes superior ao custo que acarretaria tomar uma medida equivalente na fase de projeto, para obter-se o mesmo nível final de durabilidade ou vida útil da estrutura. Um exemplo típico é a decisão em obra de reduzir a relação água/cimento para aumentar a durabilidade. A mesma medida tomada na fase de projeto permitiria o redimensionamento automático da estrutura considerando um novo concreto de resistência à compressão mais elevada, de maior módulo de deformação e de menor fluência. Esses predicados permitiriam reduzir as dimensões dos componentes estruturais, reduzir as fôrmas e o volume de concreto, reduzir o peso próprio e reduzir as taxas de armadura. Essas medidas tomadas na execução, apesar de eficazes e oportunas do ponto de vista da vida útil, não mais podem propiciar economia e otimização da estrutura; c) fase de manutenção preventiva: as operações isoladas de manutenção do tipo: pinturas freqüentes, limpezas de fachada sem beirais e sem proteções, impermeabilizações de coberturas e reservatórios mal projetados, e outras, necessárias a assegurar as boas condições da estrutura durante o período da sua vida útil, podem custar até 25 vezes mais que medidas corretas tomadas na fase de projeto estrutural ou arquitetônico. Por outro lado podem ser cinco vezes mais econômicas que aguardar a estrutura apresentar problemas patológicos evidentes que requeiram uma manutenção corretiva; d) fase de manutenção corretiva: corresponde aos trabalhos de diagnóstico, reparo, reforço e proteção das estruturas que já perderam sua vida útil de projeto e apresentam manifestações patológicas evidentes. A estas atividades pode-se associar um custo 125 vezes superior ao custo das medidas que poderiam e deveriam ter sido tomadas na fase de projeto e que implicariam num mesmo nível de durabilidade que se estime dessa obra após essa intervenção corretiva. C 6.2.2 A vida útil da estrutura depende tanto do desempenho dos elementos e componentes estruturais propriamente ditos quanto dos demais componentes e partes da obra. Os demais elementos e componentes incorporados à estrutura, tais como drenos, juntas, aparelhos de apoio, instalações, pingadeiras, rufos, chapins, impermeabilizações, revestimentos e outros, possuem geralmente vida útil mais curta que a do concreto, o que exige previsões adequadas para suas substituições e manutenções, uma vez que ali estão para proteger a estrutura de concreto. C 6.2.3 Recomenda-se que todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e manutenção estabeleçam de forma conjunta e coerente a extensão da vida útil desejável para a estrutura, tendo como referência um patamar mínimo de 50 anos e, a partir da análise das condições de exposição, escolham detalhes que objetivem assegurar a vida útil prevista e defina medidas mínimas de inspeção, monitoramento e manutenção preventiva. Em obras de caráter provisório, transitório ou efêmero é tecnicamente recomendável adotar-se vida útil de projeto de pelo menos um ano. Para as pontes e outras obras de caráter permanente, podem ser adotados períodos de 50, 75 ou até mais de 100 anos5).
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C 6.3 Mecanismos de envelhecimento e deterioração C 6.3.1 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto a) lixiviação: por ação de águas puras, carbônicas agressivas e ácidas que dissolvem e carreiam os compostos hidratados da pasta de cimento. A sintomatologia básica é uma superfície arenosa ou com agregados expostos sem a pasta superficial, eflorescências de carbonato, elevada retenção de fuligem e risco de desenvolvimento de fungos, com conseqüente redução do pH do extrato aquoso dos poros superficiais; b) expansão: por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado. A sintomatologia básica é uma superfície com fissuras aleatórias, esfoliação e redução significativa da dureza e da resistência superficial do concreto, com conseqüente redução do pH do extrato aquoso dos poros superficiais. Do ponto de vista do concreto, os sulfatos presentes na água do mar, nas águas servidas, nas águas industriais e nos solos úmidos e gessíferos, podem acarretar reações deletérias de expansão com formação de compostos expansivos do tipo etringita e gesso secundário6). O teor de sulfato em um concreto depende do consumo de cimento e do teor de gesso primário no referido cimento. Assim, por exemplo, um concreto de massa específica 2 300 kg/m3, com 350 kg de cimento por metro cúbico, preparado com um cimento que contenha no máximo 3% de gesso, deve ter um teor máximo total de sulfatos de 0,46% sobre a massa de concreto. Se as quantidades encontradas forem superiores, significa que houve contaminação proveniente do exterior7); c) expansão: por ação das reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos. Dentre os agregados reativos pode-se destacar a opala, a calcedônia, as sílicas amorfas, certos calcários, que para conduzir a reações significativamente deletérias requerem estar em presença de elevada umidade. A sintomatologia básica é uma expansão geral da massa de concreto com fissuras superficiais e profundas; d) reações deletérias superficiais: de certos agregados decorrentes de transformações de produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica. Destaca-se como exemplo os problemas oriundos com agregados que contêm pirita que pode acarretar manchas, cavidades e protuberância na superfície dos concretos. C 6.3.2 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura a) despassivação por carbonatação, ou seja, por ação do gás carbônico da atmosfera que penetra por difusão e reage com os hidróxidos alcalinos da solução dos poros do concreto reduzindo o pH dessa solução. A despassivação deletéria só ocorre de maneira significativa em ambientes de umidade relativa abaixo de 98% e acima de 65%, ou em ambientes sujeitos a ciclos de molhagem e secagem, possibilitando a instalação da corrosão. O fenômeno não é perceptível a olho nu, não reduz a resistência do concreto e até aumenta sua dureza superficial. A identificação da frente ou profundidade de carbonatação requer ensaios específicos. Ao atingir a armadura, dependendo das condições de umidade ambiente pode promover séria corrosão com aparecimento de manchas, fissuras, destacamentos de pedaços de concreto e até perda da seção resistente e da aderência, promovendo o colapso da estrutura ou suas partes. b) despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto), ou seja, por penetração do cloreto através de processos de difusão, de impregnação ou de absorção capilar de águas contendo teores de cloreto, que ao superarem um certo limite em relação à concentração de hidroxilas na solução dos poros do concreto, despassivam a superfície do aço e instalam a corrosão. Eventualmente, esses teores elevados de cloreto podem ter sido introduzidos, inadvertidamente, durante o amassamento do concreto, geralmente através do excesso de aditivos aceleradores de endurecimento. O fenômeno não é perceptível a olho nu, não reduz 20
a resistência do concreto nem altera seu aspecto superficial. A identificação da frente ou da profundidade de penetração de certo teor crítico de cloreto requer ensaios específicos. Ao atingir a armadura pode promover séria corrosão com aparecimento de manchas, fissuras, destacamentos de pedaços de concreto e até perda da seção resistente e da aderência, promovendo o colapso da estrutura ou de suas partes. C 6.4 Agressividade do ambiente Uma classificação mais rigorosa do que a apresentada na NB-1, com base na concentração efetiva de certas substâncias agressivas no ambiente que envolve a estrutura ou suas partes pode também ser utilizada em casos especiais, recomendando-se os limites orientativos constantes da norma CETESB L 1.0078). No caso de agressividade ao concreto, avaliada através de determinações específicas de teores de substâncias agressivas, podem ser adotados os valores referenciais 9) apresentados na tabela C 6.1. Tabela C 6.1 - Classificação da agressividade do ambiente visando a durabilidade do concreto Classe de agressividad e I II III IV
CO2 agressivo mg/l
Amônia NH4+ mg/l
Magnésia Mg2+ mg/l
Sulfato SO42mg/l
Sólidos dissolvido s mg/l
> 5,9
< 20
< 100
< 150
< 400
> 150
5,9 – 5,0 5,0 – 4,5 < 4,5
20 – 30 30 – 100 > 100
100 – 150 150 – 250 > 250
150 – 250 250 – 500 > 500
400 – 700 700 – 1500 > 1500
150 – 50 < 50 < 50
pH
NOTAS: 1) No caso de solos a análise deve ser feita no extrato aquoso do solo. 2) Água em movimento, temperatura acima de 30ºC, ou solo agressivo muito permeável conduz a um aumento de um grau na classe de agressividade. 3) Ação física superficial tal como abrasão e cavitação aumentam a velocidade de ataque químico.
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C 7 Critérios de projeto visando a durabilidade C 7.1 Generalidades Para evitar envelhecimento prematuro e satisfazer as exigências de durabilidade devem ser observados os seguintes critérios do conjunto de projetos relativos à obra: a) prever drenagem eficiente; b) evitar formas arquitetônicas e estruturais inadequadas; c) garantir concreto de qualidade apropriada, particularmente nas regiões superficiais dos elementos estruturais; d) garantir cobrimentos de concreto apropriados para proteção às armaduras; e) detalhar adequadamente as armaduras; f) controlar a fissuração das peças; g) prever espessuras de sacrifício ou revestimento protetores em regiões sob condições de exposição ambiental muito agressivas; h) definir um plano de inspeção e manutenção preventiva C 7.2 Drenagem A água poluída e impregnada no concreto mantendo-o úmido é a condição mais favorável à deterioração precoce da estrutura. Devem ser criadas boas condições de drenagem evitando acúmulo sobre a estrutura e encaminhando-a para tubulações de drenagem adequadas, como estabelece a NB-1. C 7.4 Qualidade do concreto de cobrimento A qualidade potencial do concreto depende preponderantemente da relação água/cimento e do grau de hidratação. São esses os dois principais parâmetros que regem as propriedades de absorção capilar de água, de permeabilidade por gradiente de pressão de água ou de gases, de difusividade de água ou de gases, de migração de íons, assim como todas as propriedades mecânicas tais como, módulo de elasticidade, resistência à compressão, à tração, fluência, relaxação, abrasão, e outras. Assim, a NB-1 estabelece: 7.4.2 Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela 7.1. Tabela 7.1 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Concreto
Tipo
Classe de agressividade (tabela 6.1) I II III IV ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40
CA Relação água/cimento em massa CP CA Classe de concreto (NBR 8953) CP NOTAS: 1) O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na NBR 12655. 2) CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado. 3) CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
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É importante acrescentar nesta segunda edição desses comentários, que a recente revisão da NBR12655:2009 “Concreto de cimento Portland – preparo, controle e recebimento – Procedimento” acrescentou a essa tabela uma linha adicional relativa ao consumo mínimo de cimento como elemento adicional importante para melhorar a confiança em se obter um concreto com a durabilidade esperada. De fato, esse era um procedimento muito usado e testado em tempos passados, como elemento importante em ambientes agressivos, como ambiente marinho,por exemplo, mas que não havia sido contemplado na NB1 por falta de consenso e por se julgar que ficaria melhor na norma de preparo de concreto.. A NBR12655:2006 estabelece para as classes de agressividade I, II, III e IV, o consumo mínimo de 260, 280, 320, 360 kg de cimento por metro cúbico de concreto, seja ele armado ou protendido. 7.4.3 Os requisitos das tabelas 7.1 e 7.2 são válidos para concretos executados com cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das NBR 5732, NBR 5733, NBR 5735, NBR 5736, NBR 5737, NBR 11578, NBR 12989 ou NBR 13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com a NBR 12655. É importante ressaltar que a NBR 12655 não contempla o uso de adições não normalizadas no concreto 7.4.4 Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em estruturas de concreto armado ou protendido. 7.4.3 Os requisitos das tabelas 7.1 e 7.2 são válidos para concretos executados com cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das NBR 5732, NBR 5733, NBR 5735, NBR 5736, NBR 5737, NBR 11578, NBR 12989 ou NBR 13116, com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com a NBR 12655. 7.4.4 Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em estruturas de concreto armado ou protendido. A qualidade efetiva do concreto na obra deve ser assegurada por corretos procedimentos de mistura, transporte, lançamento, adensamento, cura e desmoldagem. Embora um concreto de resistência mais alta, seja, em princípio e sob certas circunstâncias, potencialmente mais durável do que um concreto de resistência mais baixa (de mesmos materiais)10), 11), a resistência à compressão não é, por si só, uma medida suficiente da durabilidade do concreto, pois esta depende das camadas superficiais do concreto da estrutura. Nessas camadas, a moldagem, o adensamento, a cura e a desmoldagem têm efeito muito importante nas propriedades de difusividade, permeabilidade e absorção capilar de água e gases. Apesar disso decidiu-se fazer referência às classes de concreto (ver NBR 8953) por ser esta a propriedade mais consagrada nos projetos estruturais. Convém dar preferência a certos tipos de cimento Portland mais adequados a resistir à agressividade ambiental, em função da natureza dessa agressividade. Do ponto de vista da maior resistência à lixiviação e para minimizar o risco de reações álcali-agregado são preferíveis os cimentos com adições tipo CP III e CP IV; para reduzir a taxa de carbonatação são preferíveis os cimentos tipo CP I e CP V e para reduzir a penetração de cloretos são preferíveis os cimentos com adições tipo CP III e CP IV. A tabela C 7.1 dá uma idéia de como varia a resistência do concreto com a mudança do tipo de cimento.
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Tabela C 7.1 – Resultados, em MPa, obtidos em ensaios realizados para determinação de resistência à compressão aos 28 dias de concretos, em função da relação a/c, para vários tipos de cimento Tipo de cimento
0,65
0,60
Relação a/c 0,55
0,50
0,45
28 32 37 41 47 CP I - 32 CP II - 32 24 28 31 35 39 CP II - 40 28 32 36 41 46 CP III - 32 23 27 31 36 41 CP III - 40 27 32 37 42 49 CP IV - 32 24 28 32 36 41 CP V 30 33 38 42 46 ARI/RS CP V - ARI 33 38 42 47 53 Notas: 1) Agregados de origem granítica. 2) Diâmetro máximo dos agregados de 25 mm. 3) Abatimento entre 50 mm e 70 mm. 4) Concretos com aditivo plastificante normal, ou seja, aqueles que não possuem ação superplastificante ou superfluidificante. 5) Não foi estabelecida a correlação em função do consumo de cimento por metro cúbico de concreto, cuja influência é expressiva, de acordo com a literatura técnica. A proteção das armaduras é fator preponderante na NB-1, destacando-se: 7.4.5 A proteção das armaduras ativas externas deve ser garantida pela bainha, completada por graute, calda de cimento Portland sem adições, ou graxa especialmente formulada para esse fim. 7.4.6 Atenção especial deve ser dedicada à proteção contra a corrosão das ancoragens das armaduras ativas. O ideal para proteção durável contra a corrosão das ancoragens das armaduras ativas parece ser o emprego de grautes de base cimento modificado com polímeros. 7.4.7 Para o cobrimento deve ser observado o prescrito em 7.4.7.1 a 7.4.7.7. 7.4.7.1 Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. 7.4.7.2 Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (c nom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 7.2, para ∆c = 10 mm. 7.4.7.3 Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. 7.4.7.4 Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm. 24
7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: a) c nom ≥ φ barra; b) c nom ≥ φ feixe = φn = φ n ; c) c nom ≥ 0,5 φ bainha. 7.4.7.6 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: dmáx ≤ 1,2 c nom Tabela 7.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c = 10mm
Tipo de estrutura
Componente ou elemento
Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1) I II III IV3) Cobrimento nominal mm 20 25 35 45 25 30 40 50 30 35 45 55
Laje2) Viga/Pilar Concreto protendido1) Todos 1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. Concreto armado
2)
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 3)
Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm. A qualidade efetiva do concreto superficial de cobrimento e proteção à armadura depende da adequabilidade da fôrma, do aditivo desmoldante e, preponderantemente da cura dessas superfícies. Em especial devem ser curadas as superfícies expostas precocemente, devido à desmoldagem, tais como fundos de lajes, laterais e fundos de vigas e faces de pilares e paredes. Uma diretriz geral, encontrada na literatura técnica, diz que a durabilidade da estrutura de concreto é determinada por quatro fatores identificados como regra dos 4C: - composição ou traço do concreto; - compactação ou adensamento efetivo do concreto na estrutura; - cura efetiva do concreto na estrutura; - cobrimento ou espessura do concreto de cobrimento das armaduras. Portanto a vida útil desejada para a estrutura pode ser alcançada através de uma combinação adequada e inteligente desses fatores, ou seja, ao empregar um concreto de melhor qualidade é possível reduzir o cobrimento mantendo a mesma vida útil de projeto, e vice-versa. Admitindo que o adensamento e a cura serão e deverão ser bem executados em quaisquer circunstâncias, fica um certo grau de liberdade entre a escolha da resistência (qualidade) do concreto e a espessura do cobrimento. Essa ainda não é a postura do CEB12), que não aconselha uma redução dos cobrimentos mínimos. Esse conceito pode ser exemplificado na 25
figura C 7.1 onde está apresentado um ábaco correspondente a uma estrutura sujeita a um ambiente agressivo no qual predomina a ação do gás carbônico, ou seja um fenômeno preponderante de carbonatação13). Como se pode observar qualitativamente (não tomar valores numéricos deste ábaco para projeto), uma mesma vida útil pode ser alcançada por diferentes pares cobrimentos / resistência de concreto. O ábaco indicado na figura C 7.1, é apenas conceitual e qualitativo, correlacionando vida útil de projeto com espessura de cobrimento das armaduras e com a qualidade do concreto (C10 a C50), em função do ambiente (neste caso zona urbana e industrial).
Figura C 7.1 – Correlações conceituais e qualitativas da carbonatação em faces externas dos componentes estruturais de concreto expostos à intempérie O mesmo raciocínio pode ser aplicado para uma situação considerada de extrema agressividade, ou seja, para a zona de respingos de maré, conforme apresentada na figura C 7.2. O ábaco indicado na figura C 7.2, também apenas conceitual e qualitativo, correlacionando vida útil de projeto com espessura de cobrimento das armaduras e com a qualidade do concreto (C 10 a C 50), em função do ambiente (neste caso zona de respingos de maré). Como se pode constatar em condições de extrema agressividade, sempre qualitativamente, somente os concretos de 45 MPa e 50 MPa com cobrimentos mínimos de 9 cm e 5 cm respectivamente, poderiam alcançar 50 anos de vida útil de projeto.
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Figura C 7.2 – Correlações conceituais da difusão de cloretos em faces externas de componentes estruturais de concreto expostos à zona de respingos de maré Esta nova visão da questão da durabilidade, expressa neste comentário aponta para uma mudança radical na forma de exigir requisitos de projeto. Atualmente, uma vez classificada a agressividade do ambiente o passo seguinte é escolher a qualidade do concreto e atender a uma certa espessura de cobrimento. Desse atendimento aos dois requisitos espera-se alcançar uma certa vida útil de projeto. Dentro da nova conceituação, após a classificação da agressividade do ambiente, o passo a tomar deve ser o de escolher uma vida útil de projeto e, a partir dela, com liberdade, combinar inteligentemente o cobrimento de concreto das armaduras com a qualidade (resistência) desse concreto. C 7.5 Detalhamento das armaduras O congestionamento das barras dificulta a moldagem, propicia a segregação dos componentes do concreto e impede um bom adensamento, ao dificultar a entrada do vibrador, comprometendo a compacidade final do concreto endurecido 14). C 7.6 Controle da fissuração A abertura máxima característica wk das fissuras, desde que não exceda valores da ordem de 0,3 mm a 0,4 mm, em elementos e componentes estruturais submetidos e projetados em conformidade com as demais exigências desta Norma (ver tabela 13.3), não têm importância significativa na evolução da corrosão das armaduras passivas15), 16), 17), 18), 19), 20). Assim, uma diferenciação mais detalhada entre aberturas limite de fissuras transversais à armadura principal não é necessária nas estruturas correntes de concreto armado. É de interesse, no entanto, fixar aberturas limite de fissuras mais restritas, no caso destas afetarem a funcionalidade da estrutura, como é o caso, por exemplo, da estanqueidade de reservatórios, assim como nos casos em que possam vir a causar desconforto psicológico nos usuários.
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Nos componentes e elementos estruturais sob classes de agressividade muito forte (IV), a limitação de abertura de fissuras em valores menores que 0,3 mm não se constitui medida suficiente para prevenir a deterioração da estrutura. A penetração de agentes agressivos ao concreto até atingir a armadura, se dá por outros mecanismos que não exclusivamente através de fissuras. C 7.7 Medidas especiais Em princípio podem ser utilizadas as seguintes medidas protetoras especiais 21): a) proteção das superfícies de concreto aparente com hidrofugantes (base silicone), com vernizes de base acrílico puro, com vernizes de base poliuretano alifático ou com sistemas duplos, renovados periodicamente a cada 3 a 5 anos; b) proteção das superfícies de concreto não aparente com chapisco, emboço, reboco e pintura ou revestimentos de pastilha, de cerâmica, de base asfalto, ou revestimentos reforçados com fibras de vidro ou de poliéster, de mantas de náilon, e similares, mantidos e renovados periodicamente; c) proteção da superfície da armadura com revestimentos de zinco tipo galvanizados. Cuidados especiais devem ser tomados no manuseio das barras para não comprometer a proteção superficial; d) proteção direta da superfície da armadura com revestimentos de base epóxi. Cuidados especiais devem ser tomados no manuseio das barras para não comprometer a proteção superficial; e) proteção da armadura contra a corrosão através de proteção catódica por corrente impressa, mantida periódica e sistematicamente. Na tradição brasileira tem sido aceito considerar que um revestimento da superfície da estrutura de concreto com chapisco, emboço e reboco de argamassa de cimento:cal:areia, com acabamento de pintura renovada periodicamente ou outro acabamento, tais como pastilha, cerâmica, e outros, desde que submetidos a uma manutenção periódica, atuaria como uma barreira extra e protetora da armadura contra a corrosão. Com esse raciocínio era permitido reduzir a espessura de cobrimento de 5 mm. Ao lado de obras com resultado positivo há uma série de outras catastróficas principalmente quando isso foi considerado motivo para relaxar a qualidade da execução e sempre que as cerâmicas, pastilhas, fachadas e pisos foram lavados com ácido muriático (ácido clorídrico comercial), que é altamente agressivo às armaduras. Portanto, em concordância com as demais normas internacionais sobre o assunto, apesar de viável em casos específicos, não se recomenda reduzir automaticamente os cobrimentos mínimos ou a qualidade do concreto de cobrimento.
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C 8 Propriedades dos materiais C 8.2.1 Classes Esta Norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, indicadas na NBR 8953, ou seja, até C50. A classe C20, ou superior, se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações, conforme NBR 6122, e em obras provisórias. O valor de 15 MPa pode ser eventualmente utilizado em obras de pequeno porte (até 4 pavimentos, com vãos inferiores a 4 m e sem lajes lisas ou cogumelo). C 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões A expressão foi desenvolvida para o estado duplo, aplicando-se ao caso multiaxial com grande margem de segurança. σ1 ≥ - fctk σ3 ≤ fck + 4 σ1 Em casos especiais, literatura específica pode ser usada para se obter valores mais realistas. Para consideração da tensão intermediária, o critério de ruptura indicado pelo MC90 CEB-FIP pode ser utilizado. C 8.2.8 Módulo de elasticidade A rigor o módulo de elasticidade inicial Eci está ligado ao valor médio da resistência à compressão do concreto, fcm. Como fcm não é conhecido na fase de projeto, apenas fck; Eci será calculado em função de fck. Na verdade, na verificação de elementos estruturais ou seções transversais, o valor da efetiva resistência do concreto pode ser da ordem de fck, daí ser prudente usar as expressões constantes de 8.2.8 em função de fck: O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522 . Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 d, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão : Eci = 5600 fck1/2 onde: Eci e fck são dados em megapascal. O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 d pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se fck por fckj. Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra.
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O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão : Ecs = 0,85 Eci Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs). Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial (Eci). A redução de 15% de Eci para Ecs, é importante porque em regiões localizadas as tensões podem ser da ordem de 40% a 50% de fck, até mais, reduzindo o valor efetivo de Ecs. Na avaliação do comportamento global da estrutura, permite-se adotar o módulo Eci por três razões principais: - para a estrutura toda é adequado avaliar a rigidez a partir de fcm; - existem significativas regiões da estrutura onde as tensões são baixas, abaixo de 30% de fck; - nessas análises uma parte das ações é usualmente dinâmica de curta duração, como o vento por exemplo, para as quais o concreto tem uma resposta mais rígida. Muitas são as variáveis que podem interferir no resultado do módulo de elasticidade do concreto. Dentre elas, pode-se citar: -
diferentes resistências à compressão do concreto; diferentes consistências do concreto fresco; diferentes volumes de pasta por metro cúbico de concreto; diferentes estados de umidade dos corpos-de-prova no momento do ensaio; diferentes velocidades de aplicação da carga ou da deformação; diferentes diâmetros nominais do agregado graúdo; diferentes dimensões dos corpos-de-prova; diferentes temperaturas de ensaio; diferentes naturezas do agregado graúdo; diferentes idades.
Por isso é muito difícil estabelecer um modelo único que forneça o módulo a partir da resistência à compressão, que é apenas uma das variáveis em jogo. Para exemplificar apresenta-se a seguir uma proposta de faixas possíveis de variação do módulo de elasticidade inicial. Eci = a1 . a2 . 5600 . fck onde: a1 e a2 podem ser obtidos nas tabelas 8.1 e 8.2.
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Tabela C 8.1 - Proposta de índices de correção do módulo de elasticidade do concreto em função da natureza do agregado
Natureza do agregado graúdo Basalto, diabásio e calcário sedimentar denso Granito e gnaisse Calcário metamórfico, e metasedimento Arenito
a1 1,1 a 1,2 1,0 0,9 0,7
Tabela C 8.2 - Proposta de índices de correção do módulo de elasticidade do concreto em função de sua consistência Consistência do concreto fresco1) a2 fluida 0,9 plástica 1,0 seca 1,1 1) Consistência obtida pela NBR NM 67 sem o uso de aditivos, especialmente superplastificantes. C 8.2.10 Diagramas tensão deformação Para análises não-lineares é importante a utilização de diagramas tensão-deformação mais realistas, (ver figura C 8.1) como o dado pelo MC 90 CEB-FIP. É importante que o valor do módulo de elasticidade secante para 0,4 fck coincida com o de 8.2.8.
Figura C 8.1 – Diagrama tensão –deformação mais realistas
C 8.3.9 Soldabilidade Para que um aço seja considerado soldável, sua composição deve obedecer aos limites estabelecidos na NBR 8965. A emenda de aço soldada deve ser ensaiada à tração segundo a NBR 8548. A carga de ruptura mínima, medida na barra soldada, deve satisfazer ao especificado na NBR 7480 e o alongamento sob carga deve ser tal que não comprometa a dutilidade da armadura. O alongamento total plástico medido na barra soldada deve atender a um mínimo de 2%.
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Informações sobre execução de solda podem ser obtidas na NBR 14931 – Execução de estruturas de concreto – Procedimento. C 8.4.1 Classificação Os valores de resistência característica à tração, diâmetro e área dos fios das cordoalhas, bem como a classificação quanto à relaxação, a serem adotados em projeto, são os nominais indicados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente. Para barras não existe norma de especificação. C 8.4.8 Relaxação A relaxação de fios e cordoalhas, após 1 000 h a 20ºC (Ψ1000) e para tensões variando de 0,5 fptk a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar os valores dados nas NBR 7482 e NBR 7483, respectivamente. Para efeito de projeto, os valores de Ψ1000 da tabela 8.3 podem ser adotados. Para barras não existe norma de especificação.
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C 9 Comportamento conjunto dos materiais C 9.2.2 Níveis de protensão Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da força de protensão que, por sua vez, são função da proporção de armadura ativa utilizada em relação à passiva (ver 3.1.4 e tabela 13.3). Em regiões localizadas como nos trechos junto às extremidades das peças com aderência inicial (armadura pré-tracionada, 3.1.7) a existência de tração em parte da seção transversal não caracteriza o nível de protensão. Esses esforços de tração podem ser resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as exigências referentes aos estados limites para as peças de concreto armado. Em casos de peças pré-fabricadas de acordo com a NBR 9062, pelo processo de extrusão ou do tipo fôrma deslizante com fios aderentes, a resistência à tração do concreto pode ser considerada desde que comprovada experimentalmente a segurança global do trecho. C 9.3 Verificação da aderência Para verificação do fendilhamento ver também: CEB-CM90 Bull 151/CEB - Bond Action and Bond Behaviour of Reinforcement Construções de Concreto - Leonhardt - Vol. 3. C 9.4 Ancoragem das armaduras C 9.4.1 Condições gerais Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos. A NB-1 entende que uma ancoragem deve garantir, com a segurança prevista nessa Norma: a) a integridade do concreto na região da ancoragem; b) a resistência e rigidez da barra aos esforços para os quais foi calculada no trecho em que está integralmente ancorada. Ponto A da figura C 9.1; c) a resistência das barras remanescentes, no trecho em que a barra ancorada foi suprimida. Ponto B figura C 9.1; d) ao longo do comprimento de ancoragem a resistência da barra ancorada pode ser considerada linearmente variável conforme mostra a figura C 9.1.
Figura C 9.1 - Variação da resistência de cálculo de um conjunto de três barras, quando uma delas é cortada (a barra 3, no ponto B)
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C 9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: l b,nec = α1l b
As ,calc As,ef
≥ l b ,min
onde: α1 = 1,0
para barras sem gancho;
α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 φ; lb é
calculado conforme 9.4.2.4;
l b,min
é o maior valor entre 0,3 l b , 10 φ e 100 mm.
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário. A NB-1 permite, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem, além do que estabelece na seção 9. Esses valores podem ser obtidos na tabela C 9.1, através de coeficientes α i, definidos a seguir: l b,nec = α1.α 2 .α 3 .α 4 .α 5 .l b
A s,calc A s,ef
≥ l b,min
onde: α 1 considera a eficiência do gancho; α 2 considera a eficiência de barras transversais soldadas; α 3 considera a eficiência de um bom cobrimento; α 4 considera a eficiência da armadura transversal não soldada, conforme a posição relativa à armadura ancorada. Ver coeficiente k na tabela C 9.2; α 5 considera a eficiência de pressão transversal à ancoragem. Observar que: 1) barras retas com cobrimento superior a φ permitem redução; 2) o cobrimento c d considerado deve respeitar as condições estabelecidas na tabela C 9.2; 3) ganchos com cobrimento lateral superior a 3φ também permitem redução. Nesse caso α 1 e α 3 se sobrepõem; 4) no caso do gancho o cobrimento deve ser medido no plano normal ao gancho (cobrimento lateral); 5) no caso de ancoragem de barras comprimidas só as reduções α 2 e α 5 são permitidas.
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Tabela C 9.1 – Coeficientes para os fatores redutores do comprimento de ancoragem Armadura Fator
Tipo de ancoragem
α1 Forma das barras
Barras retas, sem gancho Barras retas, com gancho ou laços
α2 Barras transversais soldadas α3 Cobrimento das armaduras α4 Barras transversais não soldadas α5 Pressão transversal p MPa
de Tração
de compressão
α1 = 1
α1 = 1
α1 = 0,7 p/ c d > 3φ α1 = 1 p/ c d ≤ 3φ
α1 = 1
Qualquer
α2 = 0,7
α2 = 0,7
Barras retas, sem gancho
α3 = 1 – 0,15(cd - φ)/φ 0,7 ≤ α3 ≤ 1 α3 = 1 – 0,15(cd 3φ)/φ 0,7 ≤ α3 ≤ 1
Barras retas, com gancho ou laços Qualquer
Qualquer
α4 = 1 - kλ 0,7 ≤ α4 ≤ 1 α5 = 1 – 0,04p 0,7 ≤ α5 ≤ 1
α3 = 1 α3 = 1 α4 = 1 α5 = 1
Tabela C 9.2 - Valores de cd, k e λ
C 9.4.2.6.2 Armadura transversal na ancoragem – barras com φ ≥ 32 mm Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de 35
fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5 φ (onde φ é o diâmetro da barra ancorada). As duas direções transversais citadas na NB-1 podem ser consideradas como indica a figura C 9.2.
Figura C 9.2 - Armadura transversal em zona de ancoragem de barras com φ ≥ 32mm C 10 Segurança e estados limites Como os critérios de segurança adotados na NB-1 baseiam-se no que estabelece a NBR 8681 e como essas Normas foram revisadas em conjunto, tendo sido publicadas em março/2003 e devendo vigorar após doze meses de sua publicação (a partir de 31/março/2004), atenta-se para a necessidade de utilizar a edição de 2003 de ambas. C 10.3 Estados limites últimos De forma a contemplar a norma recém publicada de estruturas de concreto em situação de incêndio é necessária a consideração do estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, em situação de incêndio, conforme a NBR 15200, o que na NBR 6118:2003 está contemplado de forma genérica em 10.3-f), cuja redação original está a seguir transcrita: f) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.
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C 11 Ações C 11.2 Ações a considerar Ações são definidas como causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas. As forças são chamadas de ações diretas e as deformações impostas de ações indiretas. C 11.3.2.3 Empuxos permanentes Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis. Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk.sup ou Fk.inf conforme a NBR 8681. No cálculo de Fk,inf, são considerados os valores otimistas dos parâmetros de resistência do terreno, correspondentes, em princípio, ao quantil 95% da distribuição de probabilidade desses parâmetros. No cálculo de Fk.sup, são considerados os valores pessimistas daqueles parâmetros, correspondentes, em princípio, ao quantil 5%. C 11.3.3.1 Retração do concreto Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado nesta Norma, o valor de εcs (t∞, t0) pode ser adotado igual a -15 x 10-5. Esse valor admite elementos estruturais de espessura equivalente, entre 10cm e 100cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%. Nos elementos estruturais permanentemente submetidos a diferentes condições de umidade em faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura do elemento estrutural, entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces. Nos elementos estruturais de concreto armado com taxas geométricas de armadura longitudinal inferiores a 0,5% ou 0,1%, o valor característico da retração deve ser alterado, respectivamente, para -20x10-5 ou -25 x 10-5. Para valores de umidade significativamente inferiores a 75% esses valores devem ser revistos. C 11.3.3.2 Fluência do concreto As deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A. Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: ϕ( t∞ , t 0 ) εc ( t ∞ , t 0 ) = σc (t0 ). 1 + Eci (t 0 ) E ci( 28)
onde: εc (t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞ ; σc (t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; ϕ(t∞, t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0.
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O valor de ϕ(t∞, t0) pode ser calculado por interpolação da tabela 8.1. Essa tabela fornece o valor característico superior de ϕ(t∞, t0) em algumas situações usuais (ver seção 8). O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo.
Quando Eci(t0) e Eci(28) são próximos, o que ocorre para t0 entre 10 dias e 100 dias, Eci(28) pode ser substituído por Eci(t0). A expressão simplificada apresentada é aplicável às obras em que as tensões no concreto que provocam fluência σc(t0), variam pouco ao longo do tempo e não ultrapassam 0,4 fck. Esse é o caso da maioria das obras de concreto armado ou protendido. Quando porém, em função de fases construtivas ou de protensão muito dispersas no tempo, essa tensão σc(t0) varia significativamente, recomenda-se o uso da expressão geral contida no Anexo A da NB-1 (Efeito do tempo no concreto estrutural). No caso particular das obras de concreto armado, o cálculo dos deslocamentos, provocados por flexão e majorados por fluência do concreto, pode ser feito pelo processo aproximado descrito na seção 15 da Norma. C 11.3.3.3 Deslocamentos de apoio O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do correspondente material de fundação. Como representativos desses deslocamentos devem ser considerados os valores característicos superiores, δksup, calculados com avaliação pessimista da rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil 5% da respectiva distribuição de probabilidade. Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. De acordo com a NB-1, os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida. Nesse caso se diz que a estrutura é sensível a recalques. Alternativamente ao que estabelece a Norma, os deslocamentos de apoio podem ser avaliados em modelos que levem em conta a interação solo-estrutura. Nesse caso devem ser consideradas duas situações de cálculo, uma com avaliação otimista da rigidez do terreno de fundação e outra com avaliação pessimista da mesma. Quando o material de fundação é adensável, o adensamento só deve ser considerado na avaliação pessimista da rigidez do material. C 11.3.3.4 Imperfeições geométricas De forma genérica, as construções de concreto são geometricamente imperfeitas. No caso das estruturas reticuladas, por exemplo, existem imperfeições na posição e na forma dos eixos dos elementos estruturais, na forma e dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, entre outras. Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, mas, as imperfeições do eixo das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas 38
porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Esses efeitos decorrem não só das solicitações diretamente atuantes, mas também da fluência e da sensibilidade a imperfeições das estruturas de concreto. Dessa forma a NB-1 estabelece que: Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. Essas imperfeições geométricas podem ser substituídas por conjuntos de cargas externas auto equilibradas equivalentes, como mostra a figura C 11.1. A distribuição de H0 pelos n pilares depende da distribuição das reações de apoio verticais.
Figura C 11.1 - Cargas externas equivalentes a imperfeições geométricas
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Os momentos M p1, M p2, M v correspondem à distribuição, para os dois lances de pilar e a viga, do momento total no nó Nlθ1 decorrente do desaprumo. C 11.3.3.5 Protensão A ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão. O valor da força de protensão deve ser calculado considerando a força inicial e as perdas de protensão conforme estabelecido em 9.6.3. Os esforços solicitantes gerados pela ação dessa protensão podem ser calculados diretamente a partir da excentricidade do cabo na seção transversal do elemento estrutural e da força de protensão ou através de um conjunto de cargas externas equivalentes, ou ainda através da introdução de deformações impostas correspondentes ao pré-alongamento das armaduras. Os esforços solicitantes gerados pela ação da protensão podem ser calculados diretamente a partir da excentricidade do cabo na seção transversal da peça e da força de protensão ou através de um conjunto de cargas externas equivalentes, ou ainda através da introdução de deformações impostas correspondentes ao pré-alongamento das armaduras. Esse conjunto de cargas externas equivalentes pode ser calculado com precisão considerando a força de protensão variável ao longo do cabo através das forças longitudinais de atrito e das forças transversais de curvatura dos cabos (ver figura C 11.2). Esse conjunto é auto-equilibrado e é formado de duas partes, uma aplicada ao concreto da peça e outra ao cabo de protensão da mesma. Quando se considera a peça completa, concreto mais cabo, nenhum carregamento deve a ela ser aplicado, as cargas equivalentes se auto-equilibram.
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Figura C 11.2 - Cargas externas equivalentes à protensão É em geral aceitável considerar uma solução simplificada que admite a força normal de protensão constante e igual ao seu valor médio ao longo do vão. As forças longitudinais são por conseqüência desprezadas. Já as transversais ao cabo são admitidas transversais ao eixo do elemento protendido, constantes e dadas pela seguinte expressão: pt =
8aP l
2
=
2Ptgα l
Sempre que a força normal de protensão for significativamente variável (caso de cabos longos ou de grande curvatura) ou o cabo não for parabólico (caso de cabos com inflexão) essa aproximação deve ser aplicada por partes. Cada parte deve corresponder a um trecho de cabo parabólico, com força aproximadamente constante.
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C 11.4.1.4 Ações variáveis durante a construção As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final. A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução. Entre essas cargas destacam-se: o peso próprio da parte da estrutura que está sendo executada nessa fase, o peso de equipamentos, de depósitos provisórios, de pessoal, etc. Desenhos de processos construtivos, úteis de uma maneira geral, são especialmente necessários nesses casos e devem descrever com clareza essas fases construtivas mais significativas, indicando inclusive as condicionantes impostas pelo projeto à execução. Deve ser levado em conta o disposto na NBR 12655, no que diz respeito às atribuições do responsável pelo projeto estrutural. C 11.4.2.2 Variações não uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. Esse é o caso de recipientes de fluidos aquecidos ou resfriados onde a falta de uniformidade depende da temperatura do fluido e do eventual isolamento térmico; é o caso também de lajes de cobertura de caixas d'água, de edifícios com instalação de ar condicionado ou das pontes ou passarelas. C 11.8 Combinações de ações C 11.8.2.4 Combinações últimas usuais Considerando a tabela 11.3 da NB-1 são dados os exemplos de aplicação a seguir.
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Tabela 11.3 – Combinações últimas Combinações Descrição últimas (ELU) Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado 1) Esgotamento da capacidade resistente Normais para elementos estruturais de concreto protendido
Cálculo das solicitações Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψ ojFqjk) + γεq ψ oε Fqk
Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfavorável e favorável, respectivamente, conforme definido na seção 9 S (Fsd) ≥ S (Fnd) Perda do equilíbrio Fsd = γgs Gsk + Rd como corpo rígido Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, onde: Qnk = Q1k + Σ ψ oj Qjk
Especiais ou de construção Fd = γg Fgk + γεg F εgk + γq (Fq1k + Σ ψ oj Fqjk) + γεq ψ oε Fεqk 2)
Excepcionais 2)
Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψ oj Fqjk + γεq ψ oε Fεqk
Onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última Fgk representa as ações permanentes diretas Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal γg, γεg, γq, γεq – ver tabela 11.1 ψ oj, ψ oε - ver tabela 11.2 Fsd representa as ações estabilizantes Fnd representa as ações não estabilizantes Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante m
Qnk = Q1k + ∑ ψ ojQ jk j =2
Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal ψ oj Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 1)
No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 2)
Quando Fg1k ou Fg1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de ocorrência muito baixa ψ 0j pode ser substituído por ψ 2j.
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Exemplos de definição das combinações últimas Exemplo 1: Estruturas usuais de edifícios residenciais e comerciais Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado (ver tabela 11.3). Nota – Não se aplica a indústrias, depósitos e congêneres. Devem ser verificadas pelo menos as duas combinações seguintes: Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + ψ 0Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk onde: Fgk representa as cargas permanentes; Fεgk representa os efeitos da retração; Fε qk representa os efeitos da temperatura. O coeficiente de majoração das ações permanentes γg pode ser reduzido para 1,3 no caso de ações permanentes de pequena variabilidade. Ver NBR 8681:2003. Combinação 1: Fq1k representa os efeitos do vento; Fq2k representa a carga acidental, com ψ 0 = 0,5. Combinação 2: Fq1k representa a carga acidental; Fq2k representa os efeitos do vento, com ψ 0 = 0,6. Nos edifícios com nós pouco deslocáveis ou fixos, isto é, em que os efeitos de 2ª ordem sejam desprezíveis, ou quando γz ≤ 1,1. Nesses casos permite-se substituir essas 2 combinações por apenas uma dada por: Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fqk + 0,8Fwk) + 1,2x0,6Fεgk onde: Fqk representa a carga acidental; Fwk representa os efeitos do vento. Observar ainda que: 1) Os efeitos das ações Fg e Fq devem levar em conta as imperfeições geométricas (ver 11.3.3.4) quando este for maior que o vento. Nesse caso Fwk = 0. 2) Os efeitos de Fq nos pilares e fundações podem levar em conta que a probabilidade de todos os andares estarem completamente carregados ao mesmo tempo é desprezível. 44
Isso pode ser feito como indica a NBR 6120 e reproduzido na tabela C 11.1. Tabela C 11.1 - Redução de cargas acidentais em edifícios residenciais e comerciais, para obtenção das forças normais nos pilares Numeração dos pisos a partir da cobertura 1o., 2o, 3 o. 4o. 5o. o 6 . em diante
Redução percentual das cargas acidentais 0 20% 40% 60%
Notar que a redução da tabela C 11.1 se sobrepõe a ψ 0 quando Fq não é ação principal. Para cálculo das fundações deve ser considerado o valor característico equivalente dessas combinações dado por: Feq = Fd/1,4. Exemplo 2: Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado (ver tabela 11.3). Pelo menos duas combinações devem ser verificadas: Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + 0,8Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk onde: Fgk representa as cargas permanentes; Fq1k representa os efeitos do vento; Fq2k representa a carga acidental; Fεqk representa os efeitos da temperatura. Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4(Fq1k + 0,6Fq2k) + 1,2x0,6Fεgk onde: Fq1k e Fq2k passam a representar a carga acidental e os efeitos do vento, respectivamente Exemplo 3: Elementos estruturais de concreto protendido em edifícios, com cabos nas zonas comprimidas e tracionadas Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações últimas normais de esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto protendido (ver tabela 11.3). Fd = 1,4Fgk + 1,2Fεgk + 1,4Fqk + 1,2Pkmáx + 0,9 Pkmín + 1,2x0,6Fεgk onde:
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Pkmáx representa a contribuição de cabo resultante em zona comprimida para verificação da resistência à compressão; Pkmín representa a contribuição do cabo para verificação da resistência à força cortante ou da resistência à flexão, se o cabo está na zona tracionada. Exemplo 4: Muros de arrimo Devem ser aplicadas as fórmulas estabelecidas para perda do equilíbrio como corpo rígido (ver tabela 11.3). S(1,0Gsk) ≥ S(1,4Gnk + 1,4Qnk - 1,0Qs,minδ) onde: δ representa o efeito, sobre as solicitações, da deslocabilidade do muro; Gsk representa a ação permanente estabilizante – peso do muro e do solo; Gnk representa a ação permanente instabilizante – empuxo do peso do solo; Qnk representa a ação variável instabilizante – empuxo das sobrecargas; Qs,min representa a ação variável estabilizante – resultante das sobrecargas; Devem ser considerados os valores característicos superiores dos empuxos Gnk e Qnk. Exemplo 5: Flutuação de estruturas submersas Devem ser aplicadas as fórmulas estabelecidas para perda do equilíbrio como corpo rígido (ver tabela 11.3). S(1,0Gsk) ≥ S(1,2Qnk) onde: Gsk representa o peso próprio da estrutura e do solo envolvido; Qnk representa o Empuxo de Arquimedes, calculado com o nível d'água característico superior, para a estrutura e o solo envolvido. Observação: Dependendo da precisão com que se conheçam os pesos envolvidos e o nível d’água, o coeficiente de ponderação 1,2 pode ser alterado.
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C 11.8.3.2 Combinações de serviço usuais Considerando a tabela 11.4 da NB-1 são dados os exemplos de aplicação a seguir para estruturas usuais de edifícios residenciais Tabela 11.4 – Combinações de serviço Combinações de serviço (ELS) Combinações quase permanentes de serviço (CQP)
Descrição
Cálculo das solicitações
Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são F = Σ Fgi,k + Σ ψ 2j Fqj,k consideradas com seus valores quase d, ser permanentes ψ 2 Fqk
Nas combinações freqüentes de serviço, a Combinações ação variável principal Fq1 é tomada com seu F = Σ Fgik + ψ 1 Fq1k + Σ ψ freqüentes de valor freqüente ψ 1 Fq1k e todas as demais d,ser 2j Fqjk serviço (CF) ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes ψ 2 Fqk Nas combinações raras de serviço, a ação Combinações variável principal Fq1 é tomada com seu valor F = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ 1j raras de característico Fq1k e todas as demais ações d,ser Fqjk serviço (CR) são tomadas com seus valores freqüentes Ψ1 Fqk Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas ψ 1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS ψ 2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS
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Exemplos de aplicação das combinações de serviço Exemplo 6: Verificação de deslocamentos excessivos. Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações quase permanentes de serviço (CQP) (ver tabela 11.4). Fd,ser = Fgk + 0,3Fqk + Fpk,inf Nos casos em que os deslocamentos excessivos da estrutura possam efetivamente provocar danos nos elementos de acabamento, deve-se considerar a combinação freqüente (CF) na verificação correspondente. Assim, para ação predominante da carga acidental, esta combinação freqüente é dada pela expressão: Fd,ser = Fgk + 0,4Fqk + Fpk,inf E, para ação predominante do vento: Fd,ser = Fgk + 0,3Fwk + 0,3Fqk + Fpk,inf Nos edifícios com nós pouco deslocáveis (fixos), isto é, onde os efeitos de 2º ordem sejam desprezíveis, ou quando γz ≤ 1,1, permite-se substituir essas duas combinações por apenas uma dada pela expressão: Fd,ser = Fgk + 0,4Fwk + 0,3Fqk + Fpk,inf Exemplo 7: Verificação da abertura das fissuras para peças de concreto armado Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações freqüentes (CF) (ver tabela 11.4). Fd,ser = Fgk + 0,4Fqk + Fpk,inf Exemplo 8: Verificação da formação de fissuras para protensão nível 3 (completa) Deve ser aplicada a fórmula estabelecida para combinações raras (CR) (ver tabela 11.4). Fd,ser = Fgk + Fqk + Fpk,inf onde: Fgk representa as cargas permanentes; Fqk representa a carga acidental; Fwk representa a carga de vento; Fpkinf representa a carga de protensão.
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C 12 Resistências C 12.4.1 Coeficiente de ponderação das resistências no estado limite último (ELU) Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de γc por 1,1. Ao admitir a minoração do valor de γc, dividindo-o por 1,1 no caso de testemunhos extraídos da estrutura, a NB-1 possibilita a correção do valor obtido no ensaio de determinação da resistência à compressão dos testemunhos, que pelo procedimento de extração são passíveis de apresentarem valores menores que os do concreto da estrutura.
C 13 Limites para dimensões, deslocamentos e abertura de fissuras C 13.4.2 Limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade Aplica-se o disposto em C 7.6.
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C 14 Análise estrutural C 14.3 Hipóteses básicas C 14.3.1 Condições de equilíbrio As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas. As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria indeformada da estrutura (teoria de primeira ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de segunda ordem, ver seção 15). A análise de esforços em pilares e outros elementos estruturais predominantemente comprimidos deve também obedecer às recomendações da seção 15. C 14.3.3 Carregamento monotômico Admite-se carregamento monotônico até o estado limite considerado, nas estruturas usuais, desde que a resposta a ciclos de carga e descarga, em serviço, não solicite o concreto a tensões de compressão acima de 0,5 fck. O comportamento não linear decorrente da fissuração do concreto tracionado não compromete essa hipótese. C 14.5 Tipos de análise estrutural C 14.5.2 Análise linear Mesmo quando for admitida análise linear, o cálculo da flecha de elementos lineares, deve levar em conta os efeitos da fissuração e da fluência. C 14.5.5 Análise não-linear C 14.5.5.1 Introdução Análises não-lineares podem ser utilizadas tanto para estados limites últimos como para estados limites de serviço, desde que sejam satisfeitas condições de equilíbrio e compatibilidade. Deslocamentos, deformações, esforços internos e tensões na estrutura devem ser calculados com base em valores médios das propriedades dos materiais (Ecm, fctm , etc.). Entretanto, devem ser adotados valores de cálculo para essas propriedades nas regiões críticas onde a resistência última precise ser calculada de acordo com os itens apropriados apresentados na NB-1. Quando há predominância de carregamentos estáticos, os efeitos de aplicação de carregamentos prévios podem, geralmente, ser ignorados, assumindo-se crescimento monotônico da intensidade das ações presentes. Antes da realização da análise não-linear é necessário fazer uma estimativa preliminar de disposição e quantidade de armaduras, que influenciam no seu desenvolvimento. 50
Isto pode ser feito mediante emprego de modelos simplificados, normalmente lineares. Após a realização da análise não-linear deve-se verificar a proximidade entre as armaduras encontradas e as armaduras previamente estimadas. Caso haja diferença significativa, adotamse os últimos resultados obtidos como estimativa preliminar e reinicia-se o processo até sua convergência. É importante ressaltar que toda a geometria da estrutura bem como todas suas armaduras precisam ser conhecidas para que a análise não linear possa ser efetuada, pois a resposta real da estrutura depende de como ela foi armada. C 14.5.5.2 Elementos lineares submetidos à flexão simples ou composta C 14.5.5.2.1 Procedimento refinado Elementos lineares podem ser analisados por métodos numéricos que admitem: a) um diagrama momento-curvatura de cálculo; b) na média, que as seções planas permaneçam planas. A curvatura de flexão pode ser determinada, de maneira aproximada, por: (1/r)m = (εsm - εc)/d onde : (1/r)m é a curvatura média na seção analisada; εsm é a deformação média na armadura tracionada, levando-se em conta a resistência do concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening); εc é a deformação na fibra mais comprimida, calculada desprezando-se a resistência do concreto tracionado entre fissuras. As relações tensão-deformação a serem adotadas para o concreto e o aço são as apresentadas na seção correspondente da NB-1. A contribuição do concreto tracionado entre fissuras pode ser estimada pela expressão a seguir: εsm = εsmr + σs/Es[1-β1β2(σsr/σs)2] onde: εsm é a deformação média na armadura tracionada, levando-se em conta a resistência do concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening); εsmr é a deformação na armadura tracionada, calculada para a seção não fissurada, e correspondente à carga que provoca o início da fissuração; σs é a tensão normal na armadura de tração, calculada para a seção fissurada, sob a carga atuante;
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σsr é a tensão normal na armadura de tração, calculada para a seção fissurada, correspondente à carga que provoca o início da fissuração; β1 é o coeficiente de conformação superficial do aço (β1=1 para barras com mossas e β1=0,5 para barras lisas); β2 é um coeficiente que leva em conta a duração e a natureza do carregamento (β2=1 para carregamentos de curta duração e β2=0,5 para carregamentos de longa duração ou com repetição freqüente). A expressão anterior é válida entre a carga de fissuração, sob a qual a máxima tensão de tração no concreto atinge o valor fctm , e a carga para a qual a armadura começa a escoar (ver figura C 14.1).
Figura C 14.1 - Validade da equação de ε sm (R-Y') Além do ponto Y' da figura C 14.1, em que a armadura atinge o valor de cálculo da tensão de escoamento, a seção transversal pode ser admitida como uma rótula plástica submetida a um momento fletor constante, independente da curvatura ou da rotação até atingir a máxima rotação plástica permitida, apresentada em 14.6.5 da NB-1. Esta aproximação é razoável desde que o acréscimo de momento além do ponto Y' seja desprezível, o que ocorre normalmente nos casos práticos. C 14.5.5.2.2 Procedimento simplificado Ao se fazer o cálculo da rotação de rótulas plásticas por integração de curvaturas entre rótulas, é, em geral, suficiente utilizar-se um diagrama momento-curvatura linear simplificado. 52
Este diagrama pode ser definido por uma linha reta da origem até o ponto de coordenadas [(1/r)m, M yk] onde M yk é o momento que produz a tensão normal fyk na armadura tracionada, calculado para a seção fissurada e (1/r)m é a curvatura correspondente a M yk e calculada com a consideração da resistência do concreto tracionado entre fissuras. O valor de (1/r)m pode ser determinado de maneira aproximada por : (1/r)m = (1/r)r εsym / ε sy onde: (1/r)r é a curvatura calculada para a seção fissurada; εsy é o alongamento específico da armadura no escoamento (ε sy = fyk / Es ); εsym é o alongamento específico da armadura para (σs = fyk ∼ fym), considerando-se a resistência do concreto tracionado entre fissuras. O valor limite da rotação plástica, dado pelo diagrama de 14.6.5 deve ser considerado para o momento M yd, correspondendo, na rótula considerada, à armadura atingindo a tensão fyd. C 14.5.5.2.3 Elementos lineares com protensão Em uma análise não-linear os esforços internos e a resistência dos elementos lineares com protensão devem ser determinados levando-se em conta o comportamento não-linear do concreto, das armaduras ativas e das armaduras passivas. Como o comportamento no estado limite último é relativamente pouco influenciado pelos efeitos da protensão, a análise estrutural pode ser realizada utilizando-se γp = 1. C 14.5.5.3 Elementos de placa fletidos Em geral os procedimentos descritos para os elementos lineares se aplicam em uma análise não-linear de elementos de placa. Quando são utilizados métodos numéricos, tais como diferenças finitas, elementos finitos, e outros, a fissuração pode ser considerada difusa ou concentrada em elementos ortotrópicos. O diagrama momento-curvatura pode ser determinado como no caso dos elementos lineares. Para o tratamento bidimensional do elemento de placa, a partir de um único diagrama momento curvatura unidimensional, pode-se trabalhar com o momento efetivo M ef e com a curvatura efetiva (1/r)ef, dados, em sistema cartesiano ortogonal xy, por: M ef = [(M x)2 + (M y)2 - M xM y + (M xy)2]1/2 (1/r)ef = [(1/rx)2 + (1/ry)2 - (1/rx)(1/ry) + (1/rxy)2]1/2 C 14.5.5.4 Elementos de chapa Métodos de análise não-linear podem ser utilizados para verificação de estados limites últimos e de utilização, baseados em relações constitutivas apropriadas ao estado limite considerado. A contribuição do concreto tracionado entre fissuras deve ser levada em conta. 53
A estimativa preliminar de disposição e quantidade de armaduras pode ser feita mediante emprego do modelo biela-tirante, apresentado no item 14.8.1. C 14.5.6 Análise através de modelos físicos Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança mecânica. A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser justificada por modelo teórico do equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados. Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as margens de segurança prescritas nesta Norma, conforme as seções 11 e 12. Caso contrário, quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança as variabilidades avaliadas por outros meios. Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estados limites últimos e de serviço a serem empregados na análise da estrutura. Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios. Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão fora do escopo desta Norma. Para o caso de provas de carga, devem ser atendidas as prescrições da seção 25. Para análises através de modelos físicos recomenda-se ainda a consulta ao CEB-FIP MC 90. A simulação das condições de trabalho da estrutura nos ensaios deve ser a mais completa possível. As limitações físicas, práticas e de tempo podem ser superadas via modelos teóricos pertinentes e previstos nas normas vigentes. A título de exemplo, esse é o caso da consideração dos efeitos diferidos numa peça protendida, quando através de modelos teóricos são extrapolados os resultados obtidos nos ensaios, que consideram, portanto, apenas uma parte desses efeitos. C 14.6 Estruturas de elementos lineares C 14.6.2.4 Vãos efetivos de vigas O vão efetivo pode ser calculado por: l ef = l 0 + a1 + a2
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h), conforme figura 14.5. 54
A consideração do vão efetivo, menor que o vão entre eixos de apoio, só se aplica ao cálculo da viga em si. A análise dos pilares e do equilíbrio do conjunto deve considerar que as cargas sejam transportadas até o eixo dos apoios. C 14.6.4.3 Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões. Devido ao comportamento não linear do concreto estrutural, os esforços obtidos em análise linear não são os reais e portanto mesmo quando se utilizam esses esforços para o dimensionamento deve-se garantir uma dutilidade mínima que pode ser caracterizada pela condição (x/d)máx. C 14.6.7 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas C 14.6.7.2 Grelhas e pórticos espaciais De maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos espaciais, pode-se reduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração utilizando-se 15% da rigidez elástica, exceto para os elementos estruturais com protensão limitada ou completa (níveis 2 ou 3). Perfis abertos de parede fina podem ser modelados considerando o disposto em 17.5. Em peças curtas torcidas, a torção pode não ser desprezível, mesmo que se reduza sua rigidez por efeito da fissuração. C 14.7.7 Lajes nervuradas Nas lajes nervuradas, atuando numa só direção, é importante que existam nervuras transversais convenientemente distribuídas nos seguintes casos: − existência de cargas concentradas; − necessidade de suavização da variação das flechas ao longo da direção transversal às nervuras principais; − necessidade de minimização dos danos na interface entre elementos de concreto e inertes decorrentes de variações volumétricas diversas.
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C 14.7.8 Lajes lisas e cogumelo Devem ser cuidadosamente estudadas as ligações das lajes com os pilares, com especial atenção aos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da laje em relação ao apoio. Obrigatoriamente devem ser considerados os momentos de ligação entre laje e pilares extremos. A punção deve ser verificada de acordo com 19.5. No cálculo elástico aproximado por pórticos múltiplos, especial atenção deve ser dada à redução da rigidez com que os pilares restringem a rotação da laje nos apoios, função da sua pequena largura em relação à largura da faixa da laje. Uma sugestão pode ser o critério do ACI 318.
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C 15 Instabilidade e efeitos de segunda ordem C 15.4 Definições e classificação das estruturas C 15.4.3 Contraventamento Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados. As sub-estruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis, de acordo com as definições de 15.4.2. As caixas de elevadores e escadas, bem como os pilares-parede de concreto armado, constituem exemplos de sub-estruturas de contraventamento. Por outro lado, mesmo elementos de pequena rigidez podem, em seu conjunto, contribuir de maneira significativa na rigidez a ações horizontais, devendo então ser incluídos na subestrutura de contraventamento. C 15.5 Dispensa da consideração dos esforços globais de 2 a ordem C 15.5.2 Parâmetro de instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1, conforme a expressão: α = Htot Nk /(EcsI c )
onde: α1 = 0,2+ 0,1n α1 = 0,6
se: n ≤ 3 se: n ≥ 4
onde: n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot), com seu valor característico; EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão EcsIc de um pilar equivalente de seção constante. O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos 57
associados a pilares-parede. Pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido para α1 = 0,5 quando só houver pórticos. Ao utilizar modelos com pórticos espaciais contendo todos os elementos da estrutura, automaticamente os elementos e pórticos de menor rigidez absorvem menor parcela das ações horizontais. O parâmetro de instabilidade não se aplica a estruturas significativamente assimétricas, ou que apresentem deslocamentos horizontais apreciáveis sob ação das cargas verticais. A utilização do parâmetro γz em estruturas com menos de quatro pavimentos não é recomendada devido à possibilidade de se terem casos reais com valores de rigidez menores que os recomendados . Neste caso sugere-se a utilização do parâmetro α para avaliação do efeito de 2 a ordem global. C 15.7 Análise de estruturas de nós móveis C 15.7.2 Análise não-linear com 2ª ordem Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2a ordem consiste na avaliação dos esforços finais (1 a ordem + 2a ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3. A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da estrutura e, através de modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-linearidade física do material (ver 15.3). Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade geométrica, o emprego do processo P - ∆ (também conhecido como N - a), tomando-se, para levar em conta a não-linearidade física, os valores estabelecidos em C 15.7.3. C 15.7.3 Consideração aproximada da não linearidade física Para a análise dos esforços globais de 2a ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: - lajes:
(EI)sec = 0,3EciIc
- vigas:
(EI)sec = 0,4EciIc para As’ ≠ As e (EI)sec = 0,5 EciIc para As’ = As
- pilares:
(EI)sec =0,8EciIc
Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: (EI)sec = 0,7 EciIc Os valores de rigidez adotados nesta subseção são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2 a ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. 58
Os valores acima só podem ser utilizados em estruturas não muito esbeltas (γz menor que 1,3). Nas estruturas mais esbeltas deve-se obrigatoriamente utilizar as curvas momento-normalcurvatura, como dado em 15.3.1. C 16 Princípios gerais dimensionamento, verificação e detalhamento Esta seção da NB-1 esclarece quanto à aplicação prática dos conceitos estabelecidos até a seção 15 nas etapas de dimensionamento, verificação e detalhamento, definidas a partir da seção 17 da Norma.
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C 17 Dimensionamento e verificação de elementos lineares C 17.2 Elementos lineares sujeitos a solicitações normais - Estado limite último C 17.2.2 Hipótese básicas e) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábolaretângulo, definido em 8.2.10, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão: − 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; − 0,80 fcd no caso contrário. As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. O coeficiente 0,85 que reduz a resistência de cálculo do concreto fcd, leva em conta a superposição de três fatores, cuja ordem de grandeza é dada a seguir: −
perda de resistência sob carga mantida (efeito Rüsch), da ordem de 0,72;
−
ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da estrutura (para cimento tipo CP I), da ordem de 1,23;
−
coeficiente que corrige a influência da forma do corpo-de-prova padrão 15 cm x 30 cm com relação à resistência na estrutura, da ordem de 0,96.
Esse coeficiente, que está explícito neste item está também implícito em todos os outros valores de σRcd e τRd constantes da NB-1. C 17.2.3 Dutilidade em vigas Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), respeitando-se os limites de 14.6.4.3. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. A introdução de armadura de compressão para garantir o atendimento de posições de linha neutra (x) menores, não conduz a peças super armadas (com ruptura frágil). A ruptura frágil está associada às posições de linha neutra no domínio 4, com ou sem armaduras de compressão, ver C 14.6.4.3.
60
C 17.2.4.2 Protensão Na verificação do ELU devem ser considerados, além do efeito de outras ações, apenas os esforços solicitantes hiperestáticos de protensão. Os isostáticos de protensão não devem ser incluídos. Como aqui se considera o elemento estrutural de concreto com o cabo de protensão, os esforços isostáticos de protensão se auto equilibram e desaparecem. C 17.3 Elementos lineares sujeitos a solicitações normais - Estados limites de serviço C 17.3.2 Estado limite de deformação A verificação dos valores limites estabelecidos na tabela 13.2 para a deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme seção 11, deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos a seguir prescritos. Na avaliação das flechas é importante levar em conta sua dependência com relação às condições e do processo construtivo e às propriedades dos materiais no momento da sua efetiva solicitação. C 17.3.2.1 Avaliação aproximada da flecha em vigas O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no estádio II, em caso contrário. Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na seção 8, sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. Para vãos de vigas contínuas, quando for necessária maior precisão, pode-se adotar, para a rigidez equivalente, o valor ponderado com o critério estabelecido na figura C 17.1.
61
(EI ) eq =
[
1 (EI )eq,1.a1 + (EI )eq,v .a v + (EI )eq,2 .a 2 l
]
onde: (EI)eq,1 é o produto de inércia equivalente no trecho 1; (EI)eq,v é o produto de inércia equivalente no trecho de momentos positivos; (EI)eq,2 é o produto de inércia equivalente no trecho 2. Figura C 17.1 – Vigas contínuas Em cada trecho o produto de inércia equivalente deve ser calculada com EI II considerando as armaduras existentes e com M a igual a M 1, M v e M 2 respectivamente. Pode-se adotar a1/l e a2/l aproximadamente iguais a 0,15. O valor de ρ’ para cálculo da flecha diferida pode ser ponderado no vão de maneira análoga ao cálculo de (EI)eq. C 17.3.3.3 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras A tabela a seguir transcrita é uma aproximação entre o que determina a NBR 6118:2003 e o que estabelece o Eurocode 2 em sua última edição. Algumas alterações, tornando menos restritivos alguns dos valores de espaçamentos de barras de alta aderência em função de seu diâmetro são coerentes com a prática nacional e serão objeto de modificação na norma brasileira em sua próxima revisão. Tabela 17.2 – Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência Valores Máximos Tensão na barra Concreto sem armaduras ativas
62
Concreto com armaduras ativas
σs MPa
φmax mm
smax cm
φmax mm
smax cm
160
32
30
25
20
200
25
25
16
15
240
20
20
12.5
10
280
16
15
8
5
320
12.5
10
6
-
360
10
5
-
-
400
8
-
-
-
C 17.3.5 Armaduras longitudinais máximas e mínimas C 17.3.5.1 Princípios básicos A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup., devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3. Existem situações onde os esforços decorrentes de deformações impostas, ou diferidas no tempo, induzem esforços onde a armadura prevista em 17.3.5.1 pode ser insuficiente para controlar a fissuração. C 17.4 Elementos lineares sujeitos à força cortante - Estado Limite Último C 17.4.1 Hipóteses básicas C 17.4.1.1 Considerações gerais A armadura destinada a resistir aos esforços de tração transversal deve ser adequadamente ancorada, de forma a garantir essa resistência e proporcionar apoio eficiente às diagonais de concreto comprimidas, na ligação com a armadura longitudinal. 17.4.1.1.5 O ângulo de inclinação α das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. C 17.4.1.1.5 No caso da utilização de armadura transversal inclinada deve-se atentar para a possibilidade da inversão do sentido da força cortante. C 17.4.1.2 Condições relativas aos esforços solicitantes As vigas de altura variável, usualmente, têm eixo não horizontal e são armadas com estribos verticais, não perpendiculares ao eixo. Nesses casos, mesmo que se tenha calculado os esforços considerando o eixo real, sugere-se verificar o cisalhamento para forças verticais atuantes em seções verticais, paralelas aos estribos. As expressões desta seção da NB-1 valem para este caso. Quando se desejar considerar as seções transversais reais as expressões desta seção só valem se os estribos forem normais ao eixo. Esse é o caso usual dos arcos. C 17.5 Elementos lineares sujeitos à torção - Estado limite último C 17.5.1.1 Generalidades As condições fixadas por esta Norma pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°. A armadura destinada a resistir aos esforços de tração transversal deve ser adequadamente ancorada, de forma a garantir essa resistência e proporcionar apoio eficiente às diagonais de concreto comprimidas, na ligação com a armadura longitudinal. 63
Ancoragem adequada também deve ser dada à armadura longitudinal de torção nas extremidades do elemento estrutural, de forma a garantir o apoio das diagonais de concreto. C 17.5.1.4 Geometria da seção resistente C 17.5.1.4.1 Seções poligonais convexas cheias A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por: he ≤
A u
he ≥ 2 c 1 onde: A é a área da seção cheia; u é o perímetro da seção cheia; c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. Caso A/u resulte menor que 2c1, isso significa que a seção não é adequada para a torção. A solução ideal é alterar a forma. Se isso não for possível, sugere-se adotar he = A/u e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras de canto (respeitado o cobrimento exigido nos estribos). C 17.7.2 Torção e força cortante 17.7.2.3 A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd. A soma das armaduras necessárias deve respeitar a armadura transversal mínima conforme definido nos itens 17.4.1.1 e 17.5.1.2. Esses dois itens reproduzem a mesma equação que define a armadura transversal mínima.
64
C 18 Detalhamento de elementos lineares O detalhamento de elementos lineares, escopo da seção 18 da NB-1, é complementado sobretudo pelas prescrições da seção 9, relativa ao comportamento conjunto dos materiais, mas também pelas seções 6 e 7 nos aspectos ligados à durabilidade e pela seção 13 no que se refere aos limites para as dimensões das peças. C 18.2 Disposições gerais relativas às armaduras Estabelece as disposições de caráter geral, aplicáveis aos diversos tipos de elementos estruturais. Os itens subseqüentes tratam das disposições particulares a elementos estruturais lineares solicitados preponderantemente a flexão, simples ou composta, combinada ou não com torção — tratados na Norma como vigas, e elementos estruturais solicitados preponderantemente a compressão — tratados como pilares e pilares parede. C 18.2.1 Arranjo das armaduras O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural. No estudo do arranjo das armaduras sugere-se considerar as informações do livro “Técnicas de armar estruturas de concreto”; Fusco, P., B., Editora Pini, 1996. C 18.2.2 Barras curvadas Quando houver possibilidade de fissuração do concreto no plano da barra dobrada, ocasionada por tensões de tração normais a esse plano, deve ser colocada armadura transversal ou aumentado o diâmetro da curvatura da barra. Esse é em geral o caso, quando o cobrimento normal ao plano da curva é pequeno, menor que 7φ. C 18.3 Vigas C 18.3.2 Armadura longitudinal C 18.3.2.2 Distribuição transversal O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) na direção horizontal (ah): − 20 mm; − diâmetro da barra, do feixe ou da luva; − 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado. b) na direção vertical (av): − 20 mm; − diâmetro da barra, do feixe ou da luva; − 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.
65
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: φn = φ n . Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. Em qualquer caso deve ser observado o disposto em 18.2.1. Conforme 18.2.1. o arranjo de armaduras na seção transversal deve permitir a introdução do vibrador e uma eficiente vibração de todo o concreto. Para garantir esse objetivo sugere-se considerar para cada posição de vibração um raio de ação de 30cm e a possibilidade do vibrador penetrar até a 1ª camada se existirem mais de duas camadas de armadura. Além disso a abertura deixada para cada posição de vibração deve ter largura igual ou maior que (φvibr + 2)cm (ver figura C 18.1).
Figura C 18.1 - Arranjo transversal da armadura C 18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração no apoio Nos casos em que o cobrimento do gancho, medido nominalmente ao seu plano, for pelo menos 70 mm, a desconsideração do lb,nec conforme 9.4.2.5 só é aceitável para ações variáveis de pouca variação no tempo, de forma que o valor máximo não ocorra com freqüência. Por conseqüência, esse critério não deve ser aplicado às pontes, sejam rodoviárias, sejam ferroviárias ou sejam ainda as pontes rolantes. C.18.4 Pilares C.18.4.3 Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. Essa armadura deve ser calculada para: a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; 66
b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais; c) resistir aos esforços de tração decorrentes de: - mudanças de direção dos esforços; - efeitos de bloco parcialmente carregado (ver seção 21); - força cortante (nas seções em que Vd>Vco) e de momentos torsores aplicados (ver seção 17); d) para confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dútil. A armadura transversal (estribos) deve ser obrigatoriamente colocada na região comum ao pilar e à viga. C 18.6 Cabos de protensão C 18.6.2 Arranjo transversal C 18.6.2.1 Bainhas C 18.6.2.1.3 Protensão externa As bainhas podem ser de material plástico resistente às intempéries e com proteção adequada da armadura. A proteção da armadura no caso da protensão externa corresponde no mínimo a bainhas individualizadas. Em casos especiais, onde a agressividade do meio e a responsabilidade da peça, exigirem uma maior proteção, pode ser necessária bainha abrangendo todo o cabo, constituído do conjunto de cordoalhas individualmente embainhadas.
67
C 19 Dimensionamento e verificação de lajes C 19.3 Dimensionamento e verificação de lajes - Estados limites de serviço C 19.3.1 Estado limite de deformação Devem ser usados os critérios dados em 17.3.2, considerando a possibilidade de fissuração (estádio II). Em lajes esbeltas é possível existirem regiões fissuradas (estadio II) e portanto o cálculo das deformações deve levar em conta esse fato. C 19.4.1 Lajes sem armadura para força cortante A equação que fornece VRd1, a seguir transcrita, consiste em um critério bom e especialmente indicado para lajes vazadas protendidas e lajes alveolares. VRd1 = [τRd k (1,2 +40ρ1) + 0,15 σcp] bw d No entanto, para lajes maciças de concreto armado sob elevadas cargas, recomenda-se a seguinte formulação, que corresponde ao critério estabelecido pela antiga NBR 7197:1989 “Projeto de estruturas de concreto protendido – Procedimento” que foi utilizado nos últimos 15 anos, com pequeno ajuste no sentido da segurança. Esse critério corresponde também à formulação do item 11.2.1 da “Prática Recomendada IBRACON para Estruturas de Edifícios de Nível 1 – Estruturas de Pequeno Porte”: a)
Caso de Flexão Simples
Pode-se prescindir da armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante quando a tensão convencional de cisalhamento VSd ≤ τ Rd1 bw d
em que: VSd é a força cortante de cálculo, considerados os efeitos decorrentes da variação de altura doa peça; τRd1 =
3f
ck
(1 + 50 ? l ) (1,6 - d) α q ≤ 1,0 MPa
com: αq = coeficiente que depende do tipo e da natureza de carregamento, como segue: αq = 0,097 para cargas lineares paralelas ao apoio, admitindo-se a redução, na proporção a/3d, da parcela de força cortante decorrente de cargas diretas cujo afastamento a do eixo do apoio seja inferior ao triplo da altura útil d; αq = 0,14 / (1 – 3d/L) para cargas distribuídas, podendo-se adotar αq = 0,17 quando d ≤ L/20, sendo L o menor vão teórico das lajes apoiadas ou o dobro do comprimento teórico do balanço;
68
(1,6 - d) ≥ 1, sendo d a altura útil da peça expressa em metros; (1 + 50 ρl) ≤ 2, em que ρl é a taxa geométrica de armadura longitudinal aderente a uma distância 2d da face do apoio, considerando-se as barras do vão efetivamente ancoradas no apoio. b) Lajes submetidas à flexo-tração Aplicam-se os limites anteriores calculados com (1,6 - d) = 1, não se levando em conta a influência de espessura da peça. c) Lajes submetidas à flexo-compressão Aplicam-se os limites da alínea a), majorados pelo fator: 1+
Mo ≤ 2 M d,máx
onde M o e M d,máx são determinados conforme 11.1.3 . C 19.5 Dimensionamento de lajes à punção Punção é o estado limite último determinado por cisalhamento no entorno de forças concentradas. A punção é diferente do estado limite último determinado por cisalhamento em seções planas solicitadas à força cortante (ver item 19.4). C 19.5.1 Modelo de cálculo O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento. Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou carga concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento, no contorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal. Na verificação da compressão diagonal foi adotado o mesmo limite de vigas, o que fica a favor da segurança, uma vez que se despreza o estado múltiplo de compressão no local. Na verificação da tração diagonal, adota-se modelo empírico que corresponde a limitar a tensão convencional de cisalhamento num perímetro C’. Esse perímetro é definido a 2d da face do pilar porque a fissura que determina o ELU é inclinada de 1:2 22) (ver figura C 19.1).
69
Figura C 19.1 - Ruptura por punção C 19.5 Dimensionamento de lajes à punção C 19.5.2 Definição da tensão solicitante nas superfícies críticas C e C´ C 19.5.2.2 Pilar interno, com efeito de momento Para o caso da força aplicada apresentar excentricidade segundo duas direções, pode-se adotar:
FSd K1M Sd1 K 2M Sd 2 + + ud W p1d W p 2d
τ Sd =
No caso geral, como solução alternativa a favor da segurança, é possível fazer a verificação: τSd(FSd, M Sd) ≤ τRd1 com τSd calculado elasticamente, usando, por exemplo, o Método dos Elementos Finitos. No caso geral, é conveniente que a malha de elementos finitos seja definida de forma coerente com os perímetros críticos a estudar. C 19.5.2.3 Pilares de borda a) quando não agir momento no plano paralelo à borda livre: τSd =
FSd u *d
+
K 1 MSd1 Wp1 d
b) quando agir momento no plano paralelo à borda livre: τSd =
FSd K 1 MSd1 K 2 MSd2 + + u *d Wp1 d Wp2 d
As expressões para a determinação de WP1, WP2 e M Sd*, referentes a pilares de borda, são: Com relação a WP1:
W p1 =
C12 C1C2 + + 2C 2 d + 8d 2 + πdC1 2 2
Com relação a WP2: 70
W2=
C22 + C1C 2 + 4C1d + 8d 2 + πdC2 4
Com relação a M Sd*, tem-se que: M Sd* = FSd . e* u*
e* =
∫ e dl 0 u*
∫ dl
=
C1a − a 2 +
C1C2 + 2dC2 + πdC1 + 8d 2 2 2a + C2 + 2πd
0
onde: e* é a excentricidade do perímetro crítico reduzido (ver figura C 19.2).
a ≤ 1,5 d ou 0,5 C 1
Figura C 19.2 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido C 19.5.2.4 Pilares de canto Aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à borda. Na figura C 19.3 é mostrada a notação utilizada para o cálculo dos parâmetros e* e WP1, referentes a pilares de canto. Nesta notação, C1 deve sempre ser considerado como o lado do pilar perpendicular à borda livre adotada. e* =
C1a1 − a12 + C1a 2 + 4a 2 d + πC1d + 8d2 2(a1 + a 2 + πd)
71
W p1 =
C12 C1C2 C πd + + 2C2 d + 4d 2 + 1 4 2 2
Nesse caso não é necessário superpor o efeito das duas componentes dos momentos porque seus picos de tensão ocorrem em pontos diferentes e não se sobrepõem.
a1 ≤ 1,5 d ou 0,5 C1 a2 ≤ 1,5 d ou 0,5 C2 Figura C 19.3 - Esquema para cálculo de WP1 e e* C 19.5.2.5 Capitel O critério estabelecido na NB-1 é adequado para definir o capitel mínimo de forma a não usar armadura. Determina-se inicialmente C2’ tal que “d” passe sem armadura, definindo-se o início do capitel 2d para dentro do contorno C2’. A seguir determina-se o mínimo valor para “dc” tal que no contorno C1’ a distância da passe sem armadura. O perímetro C deve sempre ser verificado à compressão diagonal. Quando o capitel for maior que o mínimo esse critério pode ficar exageradamente seguro. Dessa forma, sugere-se determinar sempre o mínimo pois, quando o capitel for maior que o mínimo, com certeza atenderá a esse critério. Caso o capitel tenha que ser menor que o mínimo, não será possível evitar armadura transversal, no capitel ou na laje, conforme da ou d não passem sem armadura, respectivamente.
72
C 19.5.3 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C’ e C” C 19.5.3.1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C Essa verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas a punção, com ou sem armadura. τSd ≤ τRd2 = 0,27αv fcd Essa verificação visa quantificar a máxima resistência que uma ligação, protendida ou não, pode atingir. C 19.5.3.2 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção A tensão resistente crítica C´ deve ser calculada como segue: τSd ≤ τRd1 = 0,13 (1 + 20 / d )(100 ρ fck )1/ 3
Essa verificação deve ser feita no contorno crítico C' ou em C1' e C2', no caso de existir capitel. As expressões dos itens 19.5.3.2 e 19.5.3.3 da NB-1 apresentam coeficientes ligeiramente superiores aos do CEB-90 porque o coeficiente de ponderação da resistência do concreto γc foi reduzido de 1,5 para 1,4 para manter coerência com a seção 12 da Norma. C 19.5.3.3 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais ou trechos com armadura de punção A tensão resistente resistente C´ deve ser calculada como segue: τSd ≤ τRd3 = 0,10 (1+ 20 / d ) (100 ρ fck )1/ 3 + 1,5
d As w fywd sen α sr ud
onde: fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados conforme estabelece 19.4.2. Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão correspondente. O valor limite de 250 MPa para fywd, no caso de uso de estribos, pressupõe contato metálico entre as barras longitudinais e os cantos dos estribos. Com relação aos pilares de canto e de borda, recomenda-se a utilização da armadura mostrada na figura C 19.4. Observar que uma parte da armadura não é computada no cálculo. (Ver também as figuras C 19.5, C 19.6 e C 19.7).
73
Figura C 19.4 - Armadura de punção para pilares de borda e de canto
Figura C 19.5 - Ancoragem da armadura de punção
Figura C 19.6 - Detalhe dos conectores
74
Figura C 19.7 - Disposição da armadura Asw C 19.5.4 Colapso progressivo Para garantir a dutilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar suficientemente ancorada além do contorno C', conforme figura 19.10, e deve ser tal que: As fyd ≥ FSd O critério estabelecido pela NB-1 pressupõe que a armadura inferior, de flexão, embora dobrada, seja capaz de suportar a laje, após ruptura por punção (ver figura C 19.8). Essa hipótese foi comprovada por ensaios.
Figura C 19.8 - Armadura contra colapso progressivo
75
C 20 Detalhamento de lajes Lajes apoiadas em vigas Na ausência de determinação das distribuições de momentos, desde que as vigas de apoio sejam suficientemente rígidas (ou seja, não vale para “vigas chatas”) e que não seja necessário considerar a alternância de carga, pode-se dispor as armaduras de acordo com os arranjos mostrados nas figuras nas figuras C 20.1, C 20.2, C 20.3, C 20.4 e 20.5.
Figura C 20.1 – Armadura positiva – laje sobre vigas (disposição 1)
76
Figura C 20.2 – Armadura positiva – laje sobre vigas (disposição 2)
Figura C 20.3 – Armadura negativa – Apoios contínuos
77
Figura C 20.4 – Armadura negativa – Apoios extremos
Figura C 20.5 – Armadura negativa de balanços
78
C 20.3 Lajes sem vigas C 20.3.2 Lajes protendidas C 20.3.2.6 Armaduras passivas e ativas Deve-se dispor convenientemente junto às ancoragens passivas e ativas, armaduras de fretagem que assegurem o bom desempenho das seções contra o fendilhamento. Além disso, deve ser analisado o problema de introdução da protensão em planta, especialmente quando haja forte assimetria. Cuidados especiais devem ser tomados para garantir o alojamento das armaduras passivas e ativas nas regiões da laje onde haja sobreposição de vários níveis de armadura, especialmente no cinzamento das mesmas. Nas lajes protendidas por monocordoalhas não aderentes as ancoragens ativas devem ser, preferencialmente, dispostas no baricentro da seção transversal da laje, mantendo o cabo reto e paralelo ao plano médio da laje, nos seus primeiros 50 cm. Deve-se dar preferência a desenvolvimentos em que a elevação da geometria dos cabos siga uma lei parabólica do 2º grau.
79
C 21 Regiões especiais C 21.1 Introdução Esta seção da Norma trata de forma qualitativa de regiões especiais em estruturas de concreto, como por exemplo aquelas em que existam tensões elevadas em conseqüência de introdução de cargas concentradas, de aberturas ou de ligações entre peças estruturais. São abordadas zonas de introdução de cargas concentradas, como é o caso de regiões de pressão localizada, articulações e regiões de introdução da protensão. As aberturas em paredes, lajes e vigas, por introduzirem tensões elevadas, são também consideradas regiões especiais. Outras regiões especiais são ligações de peças pré-moldadas, nós de pórticos, ligações entre paredes. Esses casos não são cobertos pelos modelos anteriormente descritos, como para a flexão ou cisalhamento. Essa dificuldade decorre da não validade, nessas regiões, da hipótese da seção plana. As regiões especiais devem ser calculadas e detalhadas com base em modelos empíricos encontrados na literatura técnica e corroborados por ensaios específicos. C 21.2 Regiões de introdução de cargas concentradas Atenção especial deve ser dada ao detalhamento dessas regiões, de modo a garantir um desempenho compatível com o modelo adotado. Essas regiões têm normalmente uma grande responsabilidade em relação ao conjunto da estrutura, podendo representar um elo fraco que comprometa o todo. C 21.2.1 Pressão de contato em área reduzida Visando esclarecer a terminologia usada nas normas internacionais redigidas em inglês foram utilizadas as seguintes correspondências com as expressões em português: −
fendilhamento anelar - bursting
−
fendilhamento em plano preferencial interno - splitting
−
fendilhamento em um plano próximo à superfície lateral da peça - spalling
−
esmagamento - crushing
C 21.2.2 Articulações de concreto Essas articulações, conhecidas como Freyssinet, não equilibram esforços de tração, momento fletor ou de torção, mesmo se alguma barra de aço for projetada para atravessá-la longitudinalmente. Caso seja importante absorver alguma componente de força cortante, maior que a decorrente da inclinação 1/8 da força resultante, recomenda-se buscar comprovação técnica experimental a partir de resultados obtidos em laboratórios especializados em engenharia de estruturas. C 21.2.3 Região de introdução da protensão É importante ressaltar que nessas regiões, e até a uma certa distância delas, as deformações não obedecem à hipótese das seções planas, tratando-se portando de zonas especiais.
80
Na verificação da compressão localizada atrás da ancoragem não se aplicam os critérios definidos em 21.2.1, prevalecendo os ensaios de certificação do sistema de ancoragem utilizado. C 21.3 Furos e aberturas Em 21.3, a NB-1 trata apenas de aberturas em vigas, pilares-parede, vigas-parede e lajes. No entanto, toda a abertura em estruturas de concreto deve ser analisada de tal forma que a armação calculada e convenientemente disposta equilibre os esforços de tração que se desenvolvem nessas regiões. O detalhamento da armadura dessas peças deve levar em conta os esforços de tração determinados nos modelos de cálculo, não prescindindo de armadura complementar disposta no contorno e nos cantos das aberturas. C 21.4 Nós de pórticos e ligações entre paredes Em decorrência da mudança de direção dos elementos da estrutura, a resistência do conjunto depende da resistência à tração do concreto e da disposição da armadura, que devem ser consideradas no dimensionamento. A resistência da região dos nós pode ser significativamente inferior à de outras regiões da peça, conforme o detalhe de armadura adotado 23).
81
C 22 Elementos especiais C 22.1 Introdução Esta seção da NB-1 trata de forma qualitativa alguns elementos especiais de concreto estrutural. Esses elementos se caracterizam por um comportamento que não respeita a hipótese das seções planas, isto é, eles não são suficientemente longos para que se dissipem as perturbações localizadas. Vigas-parede, consolos e dentes Gerber, bem como sapatas e blocos, são elementos desse tipo. Eles exigem critérios especiais de cálculo, dimensionamento e detalhamento. Como referência bibliográfica mais completa, abrangente e próxima das normas e hábitos brasileiros sugere-se adotar a Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el proyeto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado" – 1991. Decidiu-se reduzir esse capítulo a aspectos qualitativos, deixando para a bibliografia, como acima citada, a necessária quantificação, por algumas razões: a) o texto deveria se basear na moderna visão dos modelos biela-tirante como proposto por Schlaich-Schäfer e aceito pelo CEB; b) esses modelos deveriam representar adequadamente os ensaios de laboratório, em cada um dos elementos especiais; c) os resultados não devem, por outro lado, se afastar demais do que tem sido feito em muitos casos no Brasil. Ocorre que existe uma grande dificuldade em satisfazer esses 3 itens. Para os blocos, por exemplo, onde estamos habituados a usar os modelos de Blevot para seu dimensionamento, percebemos que existe dificuldade em compatibilizar as novas bielas, mais largas e com tensões resistentes menores dos modelos do CEB, com as de Blevot, mais estreitas mas aceitando tensões resistentes maiores. É preciso esperar que pesquisas e textos amadureçam esse assunto. No caso dos consolos, por outro lado, existem dificuldades com a própria interpretação dos ensaios. Na tentativa de estudar a tensão de cisalhamento resistente τRd, juntaram-se muitos ensaios para dar maior significação ao resultado. Ocorre que nesse conjunto de ensaios existe uma quantidade muito grande de casos em que a ruptura ocorreu com alongamento muito grande da armadura (de 3% a 10%). A ruptura acaba realmente ocorrendo após esgotamento da biela, cuja resistência nesses casos foi muito reduzida em conseqüência do alongamento da armadura. Em princípio esses casos tiveram ruína definida pelo tirante e não pela biela. Essas questões precisam ser revistas e amadurecidas. Nessas circunstâncias decidiu-se dar ao capítulo a forma atual e sugerir bibliografia usual, normalmente internacional, para o dimensionamento e detalhamento. Espera-se que em futuro breve seja possível mudar de posição.
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Em tese recente, Machado (ver C 22.3.1.3) apresenta novas propostas de modelos e critérios para o projeto de consolos curtos e muito curtos, inclusive com uma proposta de normalização no final do trabalho. Para consolos curtos adota um modelo de treliça para uma faixa mais ampla do que a definida em 22.3.1.1 e para consolos muito curtos um modelo de atrito-cisalhamento modificado linear com coesão aparente, que considera inclusive a influência da variação da resistência do concreto, o que habitualmente não é considerado nas normas. C 22.2 Vigas-parede C 22.2.2 Comportamento estrutural O comportamento estrutural das vigas-parede tem algumas características específicas, destacando-se: a) a ineficiência para resistir à flexão devida a um braço de alavanca pequeno em relação à altura da seção transversal. Usar braços de alavanca das vigas usuais em vigas-parede reduz sua segurança e sobretudo compromete seu comportamento em serviço; b) a ineficiência para resistir ao cisalhamento, provocada pela concentração das tensões de cisalhamento próximo à face inferior, junto ao apoio. Se traduz numa redução significativa da tensão resistente de cisalhamento, uniformizada na seção bwd, em relação às vigas usuais; c) instabilidade como corpo rígido e, às vezes, estabilidade elástica. Enrijecedores de apoio ou travamentos são quase sempre necessários; É necessário ainda tratar com cuidado as perturbações geradas por cargas concentradas, aberturas ou engrossamentos. Essas perturbações podem influir significativamente no comportamento e resistência da peça. C 22.2.3 Modelo de cálculo Para cálculo e dimensionamento de vigas-parede são permitidos modelos planos elásticos ou não lineares e modelos biela-tirante. Qualquer que seja o modelo escolhido, ele deve contemplar adequadamente os aspectos descritos em 22.2.2. Recomenda-se utilizar os modelos de cálculo consagrados na literatura, como os descritos em: −
Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el Proyeto y la Ejecución de Obras de Hormigón en Masa o Armado" – 1991;
−
CEB - Bull 139 - "Complement to CEB-FIP Model Code"- 1978;
−
Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência;
−
Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall
−
Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995.
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C 22.3 Consolos e dentes Gerber C 22.3.1 Consolos C 22.3.1.3 Modelo de cálculo Para cálculo e dimensionamento de consolos podem ser usados modelos planos lineares ou não (não planos no caso da torção), modelos biela-tirante ou modelos atritocisalhamento, respeitando em cada caso o seu campo de aplicação. Qualquer que seja o modelo adotado, ele deve contemplar os aspectos fundamentais descritos em 22.3.1.2 e possuir apoio experimental ou ser derivado de modelo básico já amplamente comprovado por ensaios. Recomenda-se utilizar os modelos de cálculo consagrados na literatura, como os descritos em: −
NBR 9062:2001 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – Procedimento;
−
Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el proyeto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado" – 1991;
−
Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall;
−
Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência;
−
Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995;
−
Machado, C.P. - “Consolos Curtos e Muito Curtos de Concreto Armado”- Tese de Doutorado, São Paulo, Escola Politécnica da USP, 1999.
C 22.3.2 Dentes Gerber C 22.3.2.3 Modelo de cálculo Para cálculo e dimensionamento, podem ser usados os mesmos princípios estabelecidos para os consolos, desde que sejam feitas as correções necessárias para contemplar as diferenças levantadas em 22.3.2.2. Valem os comentários de C 22.3.1.3. C 22.4 Sapatas C 22.4.3 Modelo de cálculo Para cálculo e dimensionamento de sapatas, podem ser utilizados modelos tridimensionais lineares ou não e modelos biela-tirante tridimensionais. Esses modelos devem contemplar os aspectos descritos em 22.4.2. Só excepcionalmente os modelos de cálculo precisam contemplar a interação solo estrutura. Recomenda-se utilizar os modelos consagrados na literatura como os descritos em : −
Norma Espanhola, EH-91 - "Instrucción para el Proyeto y la Ejecución de Obras de Hormigón en Masa o Armado" – 1991;
−
CEB - Bull 139 - "Complement to CEB-FIP Model Code"- 1978;
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−
Leonhardt, F. - "Construções de Concreto - volumes 2 e 3"- E. Interciência;
−
Mac Gregor, J.G. - "Reinforced Concrete" - Prentice Hall;
−
Fusco, P.B - "Técnica de Armar as Estruturas de Concreto"- PINI – 1995.
C 22.4.4 Detalhamento C 22.4.4.1 Sapatas rígidas C 22.4.4.1.1 Armadura de flexão A armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, estendendo-se integralmente de face a face da mesma e terminando em gancho nas duas extremidades. Para sapatas rígidas muito alongadas em relação ao pilar deve ser revista a distribuição da armadura. C 22.4.4.1.3 Casos especiais Devem ser atendidos os requisitos relativos a lajes e a punção (ver seções 19 e 20). Cuidados especiais devem ser tomados no cálculo e detalhamento de sapatas com cargas muito excêntricas. C 22.5 Blocos sobre estacas C 22.5.2 Comportamento estrutural O comportamento estrutural dos blocos, eliminada a complexidade da interação solo-estrutura através da hipótese de 22.5.1, pode ser descrito separando blocos rígidos e flexíveis. C 22.5.3 Modelo de cálculo Para cálculo e dimensionamento dos blocos são aceitos modelos tridimensionais lineares ou não e modelos biela-tirante tridimensionais, sendo esses últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de esforços pelos tirantes. Esses modelos devem contemplar adequadamente os aspectos descritos em 22.5.2. Sempre que houver esforços horizontais significativos ou forte assimetria, o modelo deve contemplar a interação solo-estrutura. Valem os comentários de C 22.4.3. C 22.5.4 Detalhamento C 22.5.4.1 Blocos rígidos Casos especiais Cuidados especiais devem ser tomados no cálculo e detalhamento de blocos com cargas muito excêntricas, especialmente quando há tração nas estacas. No caso de blocos de grande volume deve ser dada atenção aos esforços provenientes de retração térmica e às providências para neutralizá-los. 85
C 23 Ações dinâmicas e fadiga C 23.3 Estado limite de vibrações excessivas As vibrações podem ser causadas por diversas ações variáveis, a saber: −
movimento rítmico feito por pessoas tais como andar, correr, pular e dançar;
−
máquinas;
−
ondas devidas a vento e água;
−
tráfego ferroviário e rodoviário;
−
trabalhos de construção, por exemplo, cravação de estacas-prancha, compressão do solo por meio de vibração e trabalhos de explosão.
C 23.5 Estado limite último de fadiga Não são tratadas nesta Norma as ações de fadiga de alta intensidade, capazes de provocar danos com menos de 20 000 repetições. As ações de fadiga de média e baixa intensidade e número de repetições até 2 000 000 de ciclos são consideradas nas disposições estabelecidas nesta seção. Para a consideração do espectro de ações, admite-se que podem ser excluídas aquelas de veículos com carga total até 30 kN, para o caso de pontes rodoviárias. A NB-1 não considera as ações dinâmicas de alta intensidade e baixo número de ciclos oriundos, principalmente, de sismos e rajadas de vento. De acordo com indicações da literatura o limite é fixado em 20 000 repetições. O número de ciclos de 2x106 é o estabelecido para determinar o limite dos materiais. Os valores limites para o intervalo de tensões (característicos) vão a 108 ciclos.
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C 24 Concreto simples C 24.2 Campo de aplicação São considerados como elementos estruturais de concreto simples, os elementos estruturais de concreto sem armadura, ou com uma pequena armadura disposta geralmente em forma de malha junto as faces, que tem a função de reduzir os efeitos da fissuração. Os elementos de concreto que tem uma taxa geométrica igual ou superior à da armadura mínima são elementos de concreto armado. Como a integridade estrutural das peças de concreto simples depende somente das propriedades do concreto, o uso de concreto simples estrutural está limitado a peças preponderantemente solicitadas à compressão, peças cuja fissuração não afeta sua integridade estrutural e peças nas quais a dutilidade não è uma condição essencial do dimensionamento. A tensão de tração do concreto pode ser considerada no projeto de peças de concreto simples sempre que sejam levados em conta os efeitos de retração, temperatura e fluência. O concreto simples pode ser usado em peças de vedação ou ornamentação, como blocos para revestimento de piso, meios-fios, bocas de lobo, muretas, gradil, cerca, elementos decorativos, estátuas, painéis de arte ou de exposição. O concreto simples estrutural só pode ser usado em peças pré-moldadas ou moldadas no local, com função estrutural como arcos, pilares, paredes, pedestais, tubos, blocos, estacas ou assemelhados. Outros exemplos de estruturas de concreto simples são os seguintes: muros de edifícios e fundações geralmente com malhas de aço nas duas faces, sapatas corridas ou individuais de fundações, muros de contenção de terra de pequena altura, painéis, monumentos, canais, túneis em rocha, barragens. C 24.3 Materiais e propriedades Devem ser atendidas as exigências para concreto constantes da seção 8, podendo ser utilizado concreto a partir da classe C10 (NBR 8953). Os elementos de concreto simples são, por razões construtivas, normalmente muito mais espessos que os de concreto armado. Resulta antieconômico o uso de concretos de resistência de projeto superior a 30 MPa. Nos elementos estruturais de grande espessura deve-se considerar o aquecimento e posterior resfriamento gerado pela hidratação do cimento, fato que determina ocasionalmente a necessidade de uso de cimento de endurecimento lento ou de água ou agregados resfriados. C 24.4 Juntas e disposições construtivas As juntas são um elemento de primordial importância nas estruturas de concreto simples. A função da junta é a de eliminar ou diminuir as tensões de tração no concreto provocadas por variação de temperatura, retração ou fluência. Em muitos casos é de grande importância a escolha da hora apropriada do dia para o inicio da concretagem, devendo ser evitadas as horas da tarde em dias quentes.
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C 24.5 Projeto estrutural C 24.5.1 Generalidades A hipótese básica para o projeto de elementos de concreto simples é que as tensões últimas sejam suficientemente reduzidas para garantir que a seção não fissure com as cargas de projeto e que os elementos estruturais resistam às tensões de tração, sem a consideração da armadura eventualmente presente, para todas as condições de carregamento. No caso em que as tensões ultrapassam as tensões últimas do concreto, ou se aumenta a seção, ou a resistência do concreto, ou se dimensiona a peça em concreto armado. Lembrar que o aumento de seção de concreto tem efeito prejudicial uma vez a que aumentam as tensões devidas à retração, temperatura e fluência. Os elementos de concreto simples apresentam geralmente ruptura frágil. C 24.5.3 Dimensionamento Peças de concreto com armadura menor que a mínima, devem ser dimensionadas como de concreto simples, com a resistência baseada somente na resistência do concreto. Isto não se aplica para a armadura usada para transferir esforços externos a elementos de concreto simples. No cálculo de tensões devidas à flexão, flexão composta e esforços tangenciais, deve ser considerada a seção transversal total do elemento, exceto no caso de concreto lançado contra o solo, onde a altura total h a ser considerada deve ser 5 cm menor que a real. A redução da altura total h no concreto lançado contra o solo tem a finalidade de compensar as irregularidades de escavação e a contaminação do concreto em contato com o solo. C 24.5.5 Tensões de cisalhamento C 24.5.5.1 As tensões de cisalhamento no concreto simples pressupõem seção não fissurada. No cálculo da tensão de cisalhamento para uma seção qualquer pode-se usar: τwd=VdS/(bI) onde: Vd é a força de cisalhamento majorada; S é o momento estático da parte da seção considerada situada acima (ou abaixo) do ponto em estudo em relação ao centro de gravidade da seção; b é largura da seção no ponto onde a tensão está sendo calculada; I é o momento de inércia da seção total. C 24.5.7.2 Cálculo simplificado de seções comprimidas No caso de ser a seção eficaz de difícil determinação geométrica, é possível sua substituição por uma seção aproximada, cujo centro de gravidade coincide com o ponto de aplicação virtual G1.
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C 24.5.8 Estabilidade global Em toda a estrutura deve ser verificada a estabilidade global. É necessário verificar a estabilidade para as condições de: a) flutuação; b) deslizamento; c) tombamento; d) tensões na fundação. C 24.6.1 Pilares-parede Pilares-parede de concreto simples são comumente usados para fundações de construções residenciais e construções comerciais leves em áreas não sísmicas. As prescrições contidas neste item são aplicáveis somente a pilares-parede de concreto simples contraventados lateralmente no topo e na base de forma a impedir deslocamentos laterais. A NB-1 não abrange pilares-parede onde tal impedimento não existir, sendo neste caso necessário projetá-las em concreto armado. Pilares-parede de concreto simples devem ser projetados para resistir a todas as solicitações a que estão sujeitos, inclusive carga axial excêntrica e forças laterais. O método de projeto empírico conforme a fórmula apresentada na Norma é aplicável somente a pilares-parede de seção retangular cheia. No caso em que a resultante das cargas passe pelo terço central (núcleo central do pilarparede), pode usar-se a expressão apresentada em 24.6.1. Cargas excêntricas e forças laterais devem ser usadas para calcular a excentricidade total da força majorada Nd. Para o caso de grande excentricidade ou de seções de outro tipo, adotar os critérios de 24.5. Em casos particulares é necessário verificar a resistência dos pilares-parede a esforços de cisalhamento. C 24.6.2 Blocos de fundação A área da base de blocos de fundação deve ser determinada a partir da tensão admissível do solo para cargas não majoradas. A espessura média do bloco não deve ser menor do que 20 cm. A espessura dos blocos de concreto simples é determinada geralmente em função de sua resistência à flexão. A tensão na fibra extrema será menor que σctRd . A tensão de cisalhamento é poucas vezes a determinante. Nos blocos concretados contra o solo é considerada a altura h conforme 24.5.3, tanto para flexão como para cisalhamento.
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C 25 Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção C 25.1 Aceitação do projeto Cabe ao contratante proceder ao recebimento do projeto, quando cumpridas as exigências desta Norma, em particular aquelas prescritas na seção 5. É recomendável que a verificação do projeto seja efetuada por profissional independente ao qual cabe examinar os pontos básicos da concepção estrutural e a conformidade com as disposições das Normas Brasileiras. Sugere-se a verificação do projeto especialmente em estruturas não usuais e naquelas destinadas a grandes concentrações de público. C 25.4 Manual de utilização, inspeção e manutenção Dependendo do porte da construção e da agressividade do meio e de posse das informações dos projetos, dos materiais e produtos utilizados e da execução da obra, deve ser produzido por profissional habilitado, devidamente contratado pelo contratante, um manual de utilização, inspeção e manutenção. Esse manual deve especificar de forma clara e sucinta, os requisitos básicos para a utilização e a manutenção preventiva, necessárias para garantir a vida útil prevista para a estrutura, conforme indicado na NBR 5674 É importante que o profissional encarregado desse Manual disponha das informações dos projetos, dos materiais e produtos utilizados e da execução.
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Bibliografia citada nos Comentários Técnicos 1) TUUTI, Kyosti. Corrosion of Steel in Concrete. Stockholm, Swedish Cement and Concrete Research Institute, 1982. 2) HELENE, Paulo R.L. Contribuição ao Estudo da Corrosão em Armaduras de Concreto Armado. São Paulo, Departamento de Engenharia de Construção Civil - PCC, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - EPUSP, fev. 1993. 231p. (tese de livre docência). 3) SITTER, W.R. Costs for Service Life Optimization. The "Law of Fives". In: CEB-RILEM Durability of Concrete Structures. Proceedings of the International Workshop held in Copenhagen, 18-20 May 1983. Copenhagen, CEB, 1984. (Workshop Reported by Steen Rostam). 4) HELENE, Paulo R.L. Manual para Reparo, Reforço e Proteção de Estruturas de Concreto. 2. ed. São Paulo, PINI, 1992. p. 24-5. 5) BRITISH STANDARD INSTITUTION. Guide to Durability of Buildings and Building Element, Products and Components BS 7543. London, BSI, Mar. 1992. 43p. 6) COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Durable Concrete Structures CEB Design Guide. Lausanne, CEB, June 1989. (Bulletin D'Information, 182) & Printed Edition Thomas Telford, 1992. 120p. (Bulletin D'Information, 183). 7) ANDRADE, Carmem. Manual para Diagnóstico de Obras Deterioradas por Corrosão de Armaduras. Trad. Antonio Carmona & Paulo Helene, São Paulo, PINI, nov. 1992. 104p. 8) CETESB L 1007 9) COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP Model Code 1990. Design Code. Lausanne, CEB, May 1993. 437p. (Bulletin D'Information, 213-214). 10) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building Code Requeriments for Reinforced Concrete: reported by ACI Committee 318. In: ACI Manual of Concrete Practice. Detroit, 1992. v.3. 11) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Corrosion of Metals in Concrete: reported by ACI Committee 222, In: ACI Manual of Concrete Practice. Detroit, 1991. v.1. Guide to Durable Concrete: reported by ACI Committee 201. ACI Materials Journal, v.88, n.5, p. 544- 82, Sep./Oct. 1991. 12) COMITE EURO-INTERNACIONAL DU BETON. High Performance Concrete. Recommended Extensions to the Model Code 90. Research Needs. Lausanne, CEB, July 1995. 55p. (Bulettin D’Information, 228). 13) HELENE, Paulo R.L. Durabilidade das Estruturas de Concreto Armado. Anais do III Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, PEF / EPUSP, São Paulo, 1 a 3 dez. 1993. p. 37. 14) FUSCO, Péricles B. Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. 15) AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Debate: Crack Width, Cover and Corrosion: reported by ACI Committee 222/224. Concrete Internacional, p. 20-35, May 1985.
91
16) BEEBY, A. W. Corrosion of Reinforcement and Cracks Width. In: Proceedings of the International Symposium on Ofshore Structures, Rio de Janeiro, 1979. London, Pentech Press, 1979. p.147-59. 17) CONCRETE IN THE OCEANS. Cracking and Corrosion.Wexham Springs, CIRIA/CCA,1978 (Technical Report 1). 18) BURMAN, Israel. Fissuração no Concreto Armado: Natureza do Fenômeno e sua Interferência no Comportamento e Durabilidade das Estruturas. São Paulo, Escola Politécnica, Universidade de São Paulo 1981. (dissertação de mestrado). 19) CARMONA FILHO, Antonio & HELENE, Paulo R.L. Fissuração das Peças de Concreto Armado e Corrosão das Armaduras. In: Anais do Seminário Nacional de Corrosão na Construção Civil, 2., Rio de Janeiro, set. 1986. Rio de Janeiro, ABRACO, 1986. p. 172-95. 20) SCHIESSL, P.& RAUPACH, M. Untersuchungen zum Mechanismus der Bewehrungskorrosion im Bereich von Rissen. In: Baustofftechnische Einflusse auf Konstruktionen. Berlin, Ernst & Sohn, Zum 60. Geburtstag von Hubert Hilsdorf, 1990. p. 583-99. 21) OLIVEIRA, Paulo S. F. Proteção e Manutenção das Estruturas de Concreto. São Paulo, Engenharia, n. 485, p. 11-26, nov. dez. 1991. 22) Fusco, P. Brasiliense - “Estruturas de Concreto - Solicitações Tangenciais”- EPUSP-1982 23) Leonhardt, F. - “Construções de Concreto”, vol. 2 - Editora Interciência ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: ABNT NBR 5674:1999 – Manutenção de edificações – Procedimento ABNT NBR 5732:1991 – Cimento Portland comum – Especificação ABNT NBR 5733:1991 – Cimento Portland de alta resistência inicial – Especificação ABNT NBR 5735:1991 – Cimento Portland de alto-forno – Especificação ABNT NBR 5736:1991 – Cimento Portland pozolânico – Especificação ABNT NBR 5737:1992 – Cimento Portland resistente a sulfatos – Especificação ABNT NBR 6120:1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – Procedimento ABNT NBR 6122:1996 – Projeto e execução de fundações – Procedimento ABNT NBR 7480:1996 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação ABNT NBR 7482:1991 – Fios de aço para concreto protendido – Requisitos ABNT NBR 7483:2004 – Cordoalhas de aço para concreto protendido – Requisitos ABNT NBR 7484:1991 – Fios, barras e cordoalhas de aço destinados a armaduras de protensão – Ensaios de relaxação isotérmica – Método de ensaio
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ABNT NBR 8522:2003– Concreto – Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e de deformação e da curva tensão-deformação ABNT NBR 8548:1984 – Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda mecânica ou por solda – Determinação da resistência à tração – Método de ensaio ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento ABNT NBR 8953:1992 – Concreto para fins estruturais - Classificação por grupos de resistência – Classificação ABNT NBR 8965:1985 – Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade destinadas a armaduras para concreto armado – Especificação ABNT NBR 9062:2001 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – Procedimento ABNT NBR 11578:1991 – Cimento Portland composto – Especificação ABNT NBR 12655:1996 – Concreto - Preparo, controle e recebimento – Procedimento ABNT NBR 12989:1993 – Cimento Portland branco – Especificação ABNT NBR 13116:1994 – Cimento Portland de baixo calor de hidratação - Especificação ABNT NBR 14859-2 – Laje pré-fabricada – Requisitos. Parte 2: Lajes bidirecionais ABNT NBR 14931:2003 – Execução de estruturas de concreto –– Procedimento ABNT NBR NM 67:1998 – Concreto – Determinação da consistência pelo abatimento do tronco de cone
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Segunda Parte
Exemplos de Aplicação da NB-1 NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento
(Primeira Edição)
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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DAS SEÇÕES 5, 6 e 11
ANÁLISE ESTRUTURAL DE EDIFÍCIO COMERCIAL INCLUINDO CALCULO DAS SOLICITAÇÕES NOS PILARES E VIGAS DO EIXO 1 Autor: Engo. Marcelo Waimberg (1) Revisora:
Enga. Nílvea Zamboni (2) (1) Engenheiro Civil - Sócio-Engenheiro da EGT Engenharia Ltda E-mail: egt@egtengenharia.com.br (2) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. E-mail: nilvea@projnet.com.br
1. Dados Planta e elevação do edifício comercial
Figura 1 – Planta do Edifício Comercial
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Figura 2 – Elevação Esquemática 1.2 Informações gerais De acordo com o item 5.1 da NBR 6118, a estrutura e o projeto devem atender a requisitos mínimos de qualidade - capacidade resistente (verificação de Estados Limites Últimos), desempenho em serviço (Estados Limites de Serviço) e durabilidade. Para garantir a durabilidade adequada à obra ao longo de sua vida útil, deve ser atendido o disposto nas seções 6 e 7 da Norma. Para classificação da agressividade ambiental, utilizar tabela 6.1. Em função da agressividade ambiental, definem-se a qualidade mínima do concreto estrutural (item 7.4) e o cobrimento mínimo das armaduras (item 7.4.7). Deve ser dada atenção também ao detalhamento da armadura e controle de fissuração (verificação dos respectivos Estados Limites de Serviço). Da tabela 6.1, se considerarmos a obra situada em ambiente industrial, portanto de agressividade forte (classe de agressividade ambiental III), temos um grande risco de deterioração da estrutura.
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Em função desse risco, de acordo com a tabela 7.1, deve-se adotar para estrutura de concreto armado, no mínimo, concreto classe C30 e relação a/c ≤ 0,55, em massa. Da tabela 7.2, devemos ter os seguintes cobrimentos mínimos: § §
lajes: 35mm vigas/pilares: 40mm
Para os cálculos a seguir, adotaremos: § § §
Revestimento: 1,5 kN/m² Carga acidental nos pavimentos: 2,0 kN/m² fck = 30 MPa
De acordo com o item 8.2.8, quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade por: Eci = 5 600 fck1/2 E o módulo secante por: Ecs = 0,85 Eci ≅ 26 000 MPa 2. Ações na estrutura (no pórtico do eixo 1) Ações permanentes (item 11.3) §
Peso próprio (γ = 25 kN/m³) (item 11.3.2.1) P1/P4: 0,3 x 0,4 x 25 = 3,0 kN/m P2/P3: 0,3 x 0,6 x 25 = 4,5 kN/m V1: 0,3 x 0,55 x 25
= 4,1 kN/m
L1/L3: 0,13 x 25 = 3,3 kN/m² – efeito em V1 ? 5,6 kN/m L2: §
0,08 x 25 = 2,0 kN/m² – efeito em V1 ? 2,0 kN/m
Revestimento nas lajes (item 11.3.2.2) L1/L2/L3: 1,5 kN/m² – efeito em V1 ? 2,5 kN/m (L1/L3) e 1,5 kN/m (L2)
§
Alvenarias (γ = 16 kN/m³, espessura = 25 cm) (item 11.3.2.2) V1 (tipo):
0,25 x (2,8 – 0,55 ) x 16 = 9,0 kN/m
V1 (térreo) : 0,25 x (3,5 – 0,55) x 16 = 11,8 kN/m) §
Retração do concreto (item 11.3.3.1) εcs = – 1,5 x 10-4 (∆t equivalente = – 15ºC)
97
§
Deslocamento de apoio (item 11.3.3.3) P1 : δvert = – 1,0 cm
§
Imperfeições geométricas (item 11.3.3.4) ?
globais (11.3.3.4.1): θ1 =
1 100 H
θ a = θ1
=
1 100 23,8
= 2,05‰rad < θ1mín =
1 = 2,5‰rad 400
1+ 1 1+ 1 n = 2,5‰ 4 = 2,0‰rad 2 2
onde: H é a altura total da edificação; n é o número de prumadas de pilares; θ1mín = 1/400 para estruturas de nós fixos; θ1mín = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; θ1máx = 1/200 ?
local (em um lance de pilar) (11.3.3.4.2): θ1mín = 1 > θ1 ⇒ adotar 3,3‰ rad 300 M 1d min = Nd (0,015 + 0,03h) = Nd (0,015 + 0,03 x 0,3) = 0,024 Nd Se o momento de cálculo nos pilares for superior a este valor mínimo, não é necessário acrescentar o efeito de imperfeições locais. Essas podem ser substituídas pela consideração desse momento mínimo.
2.2 Ações Variáveis (item 11.4) §
Carga acidental prevista para o uso (item 11.4.1.1) L1/L2/L3 : 2,0kN/m² – efeito em V1 ? 3,3kN/m (L1/L3) e 2,0kN/m (L2)
§
Vento (item 11.4.1.2) A ação do vento deve ser considerada em todas as construções, com exceção de estruturas de pequeno porte, nível 1 (ver PRÁTICA RECOMENDADA IBRACON PARA ESTRUTURAS DE EDIFÍCIO DE NÍVEL 1). Os esforços devidos à ação do vento devem ser determinados de acordo com a NBR 6123.
98
Como simplificação, vamos admitir uma pressão uniforme de 80 kgf/m², 70% em barlavento e 30% em sotavento. Considerando que o edifício é aproximadamente simétrico em relação a um eixo paralelo a 1, podemos carregar o pórtico no eixo 1 com uma força distribuída de 0,8 x 3 = 2,4 kN/m (1,68 kN/m em P1 e 0,72 kN/m em P2, por exemplo). §
Variação Uniforme de Temperatura (item 11.4.2.1) ∆t = ± 15°C
2.3 Considerações adicionais a) Desaprumo global x vento De acordo com o item 11.3.3.4.1, não é necessário superpor o efeito do desaprumo global ao carregamento de vento. Entre os dois, considerar apenas o mais desfavorável. §
Efeito de vento na fundação: (pórtico no eixo 1) 20,3 Mv = 2,4 ⋅ 20,3 ⋅ + 3,5 = 665kNm 2
§
Efeito de desaprumo global A carga vertical total no pórtico vale: Q = 3 983 kN Admitindo a resultante aplicada aproximadamente à meia altura do prédio, temos: M Q = 3983 ⋅
23,8 2 ⋅ = 95 kNm < Mv 2 1000
Portanto, não é preciso considerar o desaprumo global. b) Efeitos globais de 2 a ordem (item 15.5) b.1) Parâmetro α (item 15.5.2) α = H tot ⋅
Nk E csI c
onde: Htot é a altura total da estrutura medida a partir do topo da fundação; Nk é a resultante das cargas verticais atuantes ao longo de Htot, com seu valor característico; EcsIc é a rigidez de um pilar de seção constante, equivalente à estrutura na direção considerada.
99
Vamos admitir que a proporção entre cargas verticais e rigidez do pórtico seja a mesma da estrutura como um todo (uma vez que o efeito de 2a ordem global deve ser verificado para toda a estrutura). Htot = 23, m
Ecs = Eci = 5600 fck = 30670MPa (adotar o módulo de deformação tangente inicial) Ic inércia equivalente do pórtico = 1,071 m4 (determinada em modelo de barras, conforme esquema a seguir) Nk = 3 93 kN Esquema do pórtico para obtenção de Ic:
Ic =
3 F.Htot 3.Ecs.δ
Figura 3 - Esquema do pórtico para obtenção de Ic: Ic =
3 F.H tot 3.Ecs.δ
⇒ α = 23,8 ⋅
3983 = 0,26 30670000 ⋅ 1,071
Para que a estrutura possa ser considerada de nós fixos, dispensando a consideração dos esforços globais de 2 a ordem, é necessário termos α < α1, onde:
100
α1 = 0,2 + 0,1n , se n ≤ 3, ou α1 = 0,6 , se n ≥ 4. n é o número de andares acima da fundação. Como n = 8, α1 = 0,6 > α. b.2) Coeficiente γz (item 15.5.3) Para estruturas reticuladas de, no mínimo, 4 andares, podemos avaliar a importância dos esforços de segunda ordem global através de: γz = 1−
1 ∆M tot,d M1,tot ,d
onde: M 1,tot,d = momento de tombamento = M vd = 1,4 x 665 = 931kNm ∆M tot,d é a soma dos produtos das forças verticais de cálculo pelo deslocamento horizontal de seu ponto de aplicação. Para obtenção de ∆M tot,d é necessário o cálculo do pórtico, adotando-se rigidezes equivalentes reduzidas, de modo a levar em conta de maneira aproximada a não linearidade física da estrutura. Do item 15.7.3, temos: V1: I’ = 0,4I P1/2/3/4: I’= 0,8I ∆M tot,d = 69 kNm ⇒
γz = 1,08 < γz lim
Portanto, a estrutura pode ser considerada de nós fixos (γz ≤ 1,1), não sendo necessário considerar efeitos globais de 2 a ordem. Nota: Para 1,1< γz ≤ 1,3, o efeito aproximado dos esforços globais de 2a ordem pode ser obtido majorando-se os esforços horizontais na combinação de carregamentos considerada por 0,95γz. 3
Solicitações
3.1 Esquema de cargas no pórtico do eixo 1 (kN/m) §
Ações permanentes diretas (Fg) (item 11.3.2)
101
Figura 4 - Esquema de cargas permanentes diretas §
Ações permanentes indiretas (item 11.3.3) ∆tcs = – 15ºC (retração) (Fε cs)
§
Ações variáveis diretas (Fq) (item 11.4.1) Cargas acidentais de uso em cada piso (item 11.4.1.1):
102
Figura 5 - Cargas acidentais de uso em cada piso (item 11.4.1.1) §
Ação do Vento (Fv) (item 11.4.1.2):
§
Ações variáveis indiretas (item 11.4.2) Temperatura (Ft) (item 11.4.2.1): ∆t = ±15ºC
3.2 Combinações normais para verificação do ELU (item 11.8.2.1) 3.2.1 CB1 – A carga acidental de uso é a principal ação variável
Fd = 1,4 ⋅ Fgk + 1,2Fεgk + 1,4 ⋅ Fqk + 1,4 ⋅ Ψ0v ⋅ Fvk + 1,2 ⋅ Ψ0ε ⋅ Fεqk Ψ0 v = 0,6
Ψ0 ε = 0,6
(tabela 11.2)
A seguir os diagramas de esforços solicitantes para força normal, cortante e momento fletor. Estes diagramas não incluem o efeito do recalque de apoio, que deve ser acrescido e está representado no final. De acordo com a NBR 6120, devido à baixa probabilidade de ocorrência simultânea das cargas acidentais em todos os pisos com seu valor característico, pode-se aplicar uma redução em seu valor no cálculo de pilares e fundações, de acordo com a tabela a seguir:
103
Tabela – Redução das cargas acidentais em função do número de pisos No de pisos que atuam sobre o elemento 1, 2 e 3 4 5 6 ou mais
Redução das cargas acidentais (%) 0 20 40 60
Nos pilares P1 e P4, o acréscimo normal devido à carga móvel em cada piso é de 11 kN e em P2 e P3, de 19,2 kN. Como a redução a ser feita é de 20% no 4º piso a partir da cobertura, 40% no 5º e 60% nos demais, temos:
Figura 7 - Diagrama de esforço solicitante para força normal Iniciou-se a redução de cargas a partir do 3º piso a partir da cobertura, pois, neste exemplo, a cobertura é tratada como um piso típico, com a mesma carga móvel dos demais. * NOTA : Para aplicação desta redução, a norma não faz distinção entre edifícios residenciais e comerciais. Como o uso da edificação é bastante distinto nesses casos, seria razoável esperar que a probabilidade de ocorrência das cargas acidentais com valores próximos ao característico em vários pavimentos simultaneamente fosse maior em edifícios comerciais. Assim, propõe-se que aqueles coeficiente sejam adotados com parcimônia. 104
Uma possibilidade seria a utilização de valores reduzidos para as edificações comerciais, por exemplo à metade dos valores propostos. 3.2.2
CB2 – O vento é a principal ação variável
Fd = 1,4 ⋅ Fgk + 1,2Fεgk + 1,4 ⋅ Ψ0q ⋅ Fqk + 1,4 ⋅ Fvk + 1,2 ⋅ Ψ0ε ⋅ Fεqk Ψ0q = 0,7
Ψ0 ε = 0,6
(tabela 11.2)
Valem as mesmas notas do item anterior. 3.3. Diagramas de esforços solicitantes
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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14
VIGAS DE EDIFÍCIOS ANÁLISE LINEAR COM REDISTRIBUIÇÃO E ANÁLISE PLÁSTICA Autores: Fernando Fernandes Fontes (1); Libânio Miranda Pinheiro (2) Revisor:
Fernando Rebouças Stucchi (3)
(1) Mestre em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo E-mail: fff@digizap.com.br (2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo E-mail: libanio@sc.usp.br (3) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações USP, Escola Politécnica E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br
1. Introdução A análise de uma estrutura consiste em determinar os seus esforços solicitantes e deslocamentos, por meio de modelos matemáticos, após a idealização de diversos fatores, como o comportamento das ações, do material constituinte, das ligações entre os diversos elementos em que a estrutura pode ser dividida, e da resposta desses elementos frente às ações. Segundo a NBR 6118, o objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). A NBR 6118:2003 trouxe inovações significativas para o projeto de estruturas de concreto, inclusive na análise estrutural. Houve um avanço do conhecimento sobre redistribuição de esforços, seja via análise linear com redistribuição ou via análise plástica, e sobre nãolinearidades do comportamento dos materiais e das estruturas, como no caso do cálculo dos deslocamentos, em que se utiliza uma rigidez equivalente no cálculo das flechas, para considerar a fissuração do concreto. A NBR 6118:2003 traz indicações acerca dessas análises mais requintadas, bem como fornece diretrizes sobre o campo de validade e as condições especiais para aplicação de cada uma delas. Portanto, é importante conhecer os diferentes tipos de análise, com relação ao comportamento admitido para os materiais da estrutura, principalmente os que permitem o cálculo analítico, situação que corresponde à mais usual, na prática de projetos. Além disso, conceitos como o de largura colaborante das lajes junto às vigas, quando associado com análises do tipo linear, linear com redistribuição e plástica, são muito úteis na concepção de projetos.
123
2. Tipos de análise estrutural A NBR 6118:2003 permite cinco tipos de análise, quanto ao comportamento do concreto estrutural, e exige que o projeto apresente conformidade com pelo menos um deles. A seguir são apresentados alguns aspectos da análise linear com redistribuição e da análise plástica, bem como comentários acerca dos vários tipos de análise permitidos. 2.1 Análise linear com redistri buição Uma vez realizada a análise linear de uma estrutura, pode-se proceder a uma redistribuição dos esforços calculados, decorrente da variação de rigidez dos elementos estruturais. A fissuração, e a conseqüente entrada no estádio II, de determinadas seções transversais, provoca um remanejamento dos esforços solicitantes, para regiões de maior rigidez. Segundo PRADO & GIONGO (1997), essa fissuração pode diminuir de 20% a 70% a rigidez à flexão da seção de concreto, dependendo da taxa de armadura. Em suma, a análise linear com redistribuição promove a redução de momentos fletores sobre os apoios de vigas contínuas, e o respectivo aumento dos momentos nos vãos. A redistribuição se dá pela multiplicação dos momentos nos apoios por um coeficiente de redistribuição δ, e posterior correção dos momentos nos vãos (ver Figura 1).
Figura 1 - Redistribuição de momentos fletores em viga contínua
A NBR 6118:2003 permite, para elementos lineares, redução de até 25% (δ = 0,75) para estruturas de nós fixos, e de até 10% (δ = 0,90) para estruturas de nós móveis, dependendo de x/d e de fck, como indicado nas equações 1 e 2: δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa
(Equação 1)
δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa
(Equação 2)
Quanto menor o valor de x/d calculado no ELU, menor a área de concreto comprimido, e mais o aço, material mais dúctil que o concreto, passa a ser o limitante da resistência da seção. A NBR 6118:2003 limita o valor de x/d, nos apoios e nas regiões de ligação entre elementos estruturais lineares, mesmo que não sejam realizadas redistribuições de esforços solicitantes, aos seguintes valores: 124
x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa
(Equação 3)
x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa
(Equação 4)
Em pilares, consolos e elementos lineares com preponderância de compressão, a redistribuição de esforços só deve ser feita se ela for conseqüência de redistribuições em vigas ligadas a eles, uma vez que essas peças comprimidas não apresentam grande dutilidade. A NBR 6118:2003 prescreve ainda que não é desejável que haja redistribuição de esforços em serviço, e que as verificações de estados limites de serviço podem ser baseadas na análise linear. No caso de vigas T, o efeito da redistribuição é ainda mais benéfico, já que nos vãos a área de concreto comprimido é maior, pois conta com a mesa da seção T. LEONHARDT & MÖNNIG (1979) mostram que é possível reduzir em até 50% os momentos nos apoios, em vigas com a largura da mesa em torno de três vezes a largura da alma, e com isso aumentar a capacidade de carga da viga. PARK & PAULAY (1975) citam, como vantagens da redistribuição de momentos, o fato do projetista poder selecionar distribuições de momentos que evitem congestionamentos de armadura nos apoios, e a possibilidade de reduzir os picos do diagrama de momentos fletores, para as diferentes situações de carregamento acidental (envoltória). Com bons ajustes de momentos máximos, quanto maior a relação entre a ação variável e a permanente, maior a economia de armadura. 2.2 Análise plástica A propriedade do material de guardar deformações residuais é chamada de plasticidade. As principais teorias envolvidas em projetos, que permitem que elementos estruturais sofram certas deformações permanentes, são a teoria das rótulas plásticas, para elementos lineares, e a teoria das charneiras plásticas, para elementos de superfície que trabalhem como placas. Ao se aumentar continuamente o carregamento de uma viga, por exemplo, um ou mais pontos críticos de momento máximo poderão entrar em escoamento, dando origem a articulações, ou rótulas plásticas. A rótula plástica é caracterizada por um aumento plástico da curvatura, que pode ter o seu valor de duas a três vezes superior àquele calculado elasticamente. Esse efeito restringe-se a um comprimento de plastificação, em torno dos pontos de momento máximo, nos quais o momento fletor não aumenta mais e passa a ser chamado de momento totalmente plástico, M p. A mínima carga capaz de provocar na estrutura um escoamento sem contenção, ou responsável pela formação de um determinado número de rótulas plásticas, que torne a estrutura, ou parte dela, em um sistema hipostático, dá origem a um mecanismo de colapso, e é chamada de carga limite. Em estruturas hiperestáticas, existe uma reserva de capacidade resistente, visto que, geralmente, é necessária a formação de mais de uma rótula plástica, para que se forme um mecanismo de colapso. No caso do concreto armado, o momento de plastificação pode ser considerado como aquele que provoca o aparecimento do estado limite último (εc = – 0,35% ou εs = 1%). Por ser um material de natureza frágil, para a ocorrência de um tal número de rótulas plásticas, até que se forme um mecanismo de colapso, é necessária a verificação da capacidade de rotação. A rotação necessária de uma rótula plástica pode ser quantificada pela diferença entre a sua rotação total no colapso e aquela que dá início à sua plastificação. A NBR 6118:2003 traz a consideração de que, quanto menor for a posição relativa da linha neutra x/d, maior a capacidade de rotação do elemento estrutural. Em função desse parâmetro, 125
é fornecido um gráfico (ver Figura 2) de capacidade de rotação da rótula plástica, θpl. Esse gráfico é válido para uma relação a/d igual a 6 (a é a distância entre pontos de momento nulo, da região que contém a seção plastificada). Para outras relações a/d, deve-se multiplicar os valores extraídos do gráfico por (a / d ) / 6 . A rotação necessária à rótula plástica deve ser menor ou igual à capacidade de rotação dada pela Norma.
θpl(x10 -3) 30 20 10 0
aço CA-60 (curva 1)
2
demais aços (curva 2) 1 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x/d
Curva 1: θpl = 0,2% d/x p/ x/d ≥ 0,17 Curva 2: θpl = 0,35% d/x p/ x/d ≥ 0,15 Figura 2 - Capacidade de rotação de rótulas plásticas (Adaptada da NBR 6118:2003) A plastificação em concreto armado se dá pelo escoamento da armadura, elevando a linha neutra e aumentando o braço de alavanca obtido em regime elástico. No entanto, o momento resistente permanece praticamente constante até a ruptura, pois o aumento do braço de alavanca apenas compensa a diminuição da zona de concreto comprimido. A partir dessas considerações, MORETTO (1970) observa que o diagrama momento curvatura do concreto armado pode, simplificadamente, ser aproximado para duas retas, como no aço, com o momento de plastificação igual ao momento último. A redistribuição de esforços pode ser feita com maior intensidade que na análise linear com redistribuição, desde que as rótulas plásticas apresentem as devidas capacidades de rotação plástica. Nota-se que o cálculo plástico tem boa aplicabilidade nas estruturas simples de elementos lineares, em que se conhece previamente a posição preferencial de formação das rótulas plásticas (essa posição pode ser imposta pela disposição da armadura). A análise plástica de estruturas reticuladas não é permitida quando se consideram os efeitos de segunda ordem globais. Na análise plástica, preocupa-se com o estado limite último e não se conhece o comportamento em serviço. A verificação de ELS deve ser efetuada com uma análise linear ou não-linear.
2.3 Comentários sobre a aplicação dos tipos de análise estrutural Deve-se ter em mente que cada estrutura merece um estudo individual, ao qual se deve aplicar as teorias que mais lhe convierem para a sua resolução. Buscas por análises mais realistas devem estar sempre presentes nos projetos estruturais, tomando-se sempre precauções quanto à segurança. A utilização de uma análise plástica, ou linear com redistribuição, só deve ser realizada se amparada pelo amplo domínio do assunto. A Tabela 1 mostra os vários tipos de análise estrutural, permitidos pela NBR 6118:2003, e indica a que verificação se destina cada um deles, quanto aos estados limites.
126
Tabela 1 - Tipos de análise estrutural e suas aplicações Análise Verificação Linear ELU* e ELS Linear com Redistribuição ELU Plástica ELU Não-Linear ELU e ELS Através de Modelos Físicos ELU e ELS * se garantida a dutilidade dos elementos estruturais
Não ocorrem plastificações para o carregamento de serviço. Portanto, para verificar o ELS-DEF e o ELS-W, devem ser utilizados outros tipos de análise que não sejam a linear com redistribuição e a plástica. Todavia, a armadura a ser considerada nessas verificações é aquela encontrada para ELU, com as análises supracitadas, como será visto no exemplo a seguir. 3.
Exemplo de viga
3.1 Condições gerais e dados Há um especial interesse na combinação de seções T em vigas com a redistribuição de momentos, uma vez que, com a transferência para os vãos, de parte dos momentos localizados nos apoios, a seção T é melhor aproveitada e proporciona uma economia de armadura. Será analisada a viga V2 do pavimento da Figura 3, com análise linear e seção retangular, com análise linear e seção T, com análise linear com redistribuição e seção T, e com análise plástica e seção T.
Figura 3 - Pavimento ao qual pertence a viga V2 127
Considera-se que a viga V2 está localizada em ambiente interno (Classe de Agressividade Ambiental I para ambientes urbanos), participa de uma estrutura de nós fixos, com concreto C25, aço CA-50 para a armadura longitudinal e CA-60 para a armadura transversal. O cobrimento é de 2,5 cm e a distância d’, do centro de gravidade da armadura longitudinal à borda mais próxima, foi inicialmente admitida igual a 4 cm. Considerou-se na laje uma carga de uso de 2,0 kN/m² e revestimento de 1,0 kN/m², pé-direito de 2,80 m e alvenaria sobre as vigas com 2,5 kN/m² de parede pronta. Na Figura 4 tem-se o esquema estático para a viga V2, no qual será analisada somente a combinação última de carregamentos 1,4(g + q), em que g = 72,28 kN/m e q = 31,70 kN/m. As seções 4 e 5 são as do primeiro e do segundo vão, respectivamente, em que o momento positivo é máximo.
Figura 4 - Esquema estático da V2 3.2 Estratégia de resolução Neste exemplo adota-se uma estratégia de resolução em que será imposta a redistribuição desejada e, caso a armadura simples não seja suficiente para se ter o valor de x/d necessário, será utilizada armadura dupla, a fim de diminuir a distância da linha neutra, conforme os passos a seguir: a) Define-se o valor de x/d necessário e com ele calcula-se o valor limite de kc para armadura simples (limite entre os domínios 3 e 4) e os valores de ks, ks2 e k’s: 1
k c lim = 0,68 fcd
ks =
x 1 − 0,4 d
1 x 1 − 0,4 f yd d
k s2 =
k' s =
x d
1 f yd
1 s 's
(Equação 5)
(Equação 6)
(Equação 7)
(Equação 8)
b) Considera-se a armadura tracionada com tensão de escoamento fyd, porém a armadura comprimida pode ter uma tensão (σ’s) menor que a de escoamento. Se (ε’s Es) ≥ fyd ⇒ σ’s = fyd Se (ε’s Es) < fyd ⇒ σ’s = ε’s Es
128
c) O valor da deformação da armadura comprimida, ε’s, depende do domínio em que se encontra a seção. Para que haja a possibilidade de redistribuição, o domínio deve ser o 2 ou o 3, até certo valor de x/d.
x Se 0 ≤ d
x d' 0,010 − x d d ≤ ⇒ e' s = x d 2,3 1 − d
x x x Se ≤ ≤ ⇒ e' s = d 2,3 d d 3,4
x d' 0,0035 − d d x d
d) Calculam-se então as parcelas do momento solicitante M d, denominadas M 1 e M 2, cuja soma será resistida pela armadura tracionada, com tensão de escoamento, enquanto a armadura comprimida resiste à parcela M 2, com tensão σ’s: M1 =
b d inf 2 k c lim
M2 = Md – M1
(Equação 9) (Equação10)
e) As armaduras tracionada e comprimida são, então, dadas respectivamente pelas equações 11 e 12. As =
k s M1 k s2 M 2 + d d − d'
(Equação 11)
A' s =
k' s M 2 d − d'
(Equação 12)
3.3 Análise linear – Seção retangular Para análise linear, os diagramas de esforços de cálculo são indicados nas Figuras 5 e 6.
Figura 5 - Momentos fletores de cálculo para a análise linear (kN.m)
129
Figura 6 – Esforços cortantes de cálculo para a análise linear (kN) a) Flexão Ressalta-se a importância de, no cálculo da armadura de flexão da seção 2, limitar o valor de x/d a no máximo 0,500, como prescreve a NBR 6118:2003, para apoios. M 2d = 454,93 kN.m; x/d = 0,500; As = 26,90 cm2 (6 φ 25); A’s = 10,84 cm² (4 φ 20); M 4d = M 5d = 255,88 kN.m; x/d = 0,497; As = 15,97 cm2 (4 φ 25). b) Cisalhamento § § §
Trechos de 183 cm: VSd,min = 134,66 kN à asw/s = 1,28 cm²/m à φ 6,3 c/ 24 Trechos de 95 cm: VSd = 224,90 kN à asw/s = 3,79 cm²/m à φ 6,3 c/ 8 Trecho de 444cm: VSd = 385,04 kN à asw/s = 8,24 cm²/m à φ 10 c/ 9
c) Estados limites de serviço § § §
ELS-F (combinação rara): Na seção 2 tem-se um momento de 32495 kN.cm, maior, portanto, que o momento de fissuração M r = 2805 kN.cm, calculado com o fctk,inf. Portanto, há a formação de fissuras. ELS-DEF (combinação quase-permanente): A flecha final, calculada com a inércia equivalente de Branson e a consideração simplificada da fluência, é at = 1,75 cm (< l/250 = 2,00 cm). ELS-W (combinação freqüente): Na seção 2 tem-se uma abertura de fissura w = 0,18 mm (< wlim = 0,40mm).
3.4 Análise linear - seção T A definição da seção T (ver item 14.6.2.2 da NBR 6118:2003) é feita para o tramo da viga que fornece a menor largura colaborante. No caso da viga V2, pode ser qualquer um dos dois tramos, já que são simétricos. Os diagramas de esforços solicitantes são os mesmos apresentados para a seção retangular, na Figura 5 e na Figura 6. Portanto, a distância “a” entre os pontos de momento nulo, em um dos tramos da viga, é igual a 3,75 m. A largura colaborante bf é dada pela Equação 13. bf = bw + 2(0,10a) = 25 + 2(0,10x375) = 100 cm
(Equação 13)
Considera-se a viga V1 (igual à viga V3) servindo de apoio à viga V2, e com momentos em ambas as extremidades, por estar apoiada em pilares. Portanto, ela pode ter a sua distância “a” estimada por 0,60 l, ou seja, 600 cm. Sua largura colaborante é calculada na Equação 14. 130
bf = bw + 1(0,10a) = 25 + 1(0,10x600) = 85 cm
(Equação 14)
Com a largura colaborante da viga V1, podem ser realizadas as demais verificações relativas à geometria, exigidas pela Norma, para a viga V2, indicadas na Figura 7 e nas equações 15 e 16.
Figura 7 - Verificações exigidas pela NBR 6118:2003 (b1,v1 = 0,60 m) < (b2/2 = 2,375 m) → ok (b1,v2 = 0,375 m) < (b2/2 = 2,375 m) → ok
(Equação 15) (Equação 16)
Dessa maneira, tem-se a seção T da Figura 8, que se fará notar, para análise linear, no cálculo da armadura positiva nos vãos, com maior área de contribuição de concreto comprimido, e na verificação do ELS-DEF, com a contribuição de maior inércia à flexão.
Figura 8 - Seção T da viga V2 com largura colaborante da laje No dimensionamento das seções 4 e 5 tem-se: M d = 255,88 kN.m; x/d = 0,104; As = 13,35 cm2 (5 φ 20) Nessas seções, a linha neutra passa pela mesa da seção. Portanto, pode-se considerar, no cálculo, uma seção retangular de 100 cm x 50 cm. No cálculo da armadura de flexão da seção 2 e da armadura transversal, tem-se a seção retangular de 25 cm x 50 cm. Portanto, os resultados são os mesmos da análise linear com seção retangular. Considera-se ainda, neste exemplo, que a armadura de flexão das lajes vizinhas à viga V2, que corta a mesa, é suficiente para atender às especificações de armadura de ligação mesa-alma, de 18.3.7 da NBR 6118:2003. Essa armadura de ligação deve ter no mínimo 1,5 cm²/m. 3.5 Análise linear com redistribuição – Seção T Como se pode ver no diagrama de momentos fletores da Figura 5, o momento de apoio da seção 2 é bem maior que os momentos máximos nos vãos. Além disso, há o interesse em se aproveitar ao máximo a seção T, e por isso será utilizada a máxima redistribuição permitida pela análise linear com redistribuição, para estruturas de nós fixos, ou seja, δ igual a 0,75. Para tal, o valor de x/d necessário é dado pelas equações 17 e 18. 131
δ ≥ 0,44 + 1,25 (x/d) x/d = (0,75 - 0,44) / 1,25 = 0,250
(Equação 17) (Equação 18)
Na Figura 9 tem-se o diagrama de momentos redistribuídos, com o momento negativo reduzido e os momentos positivos corrigidos por meio da análise dos tramos isolados. Os esforços cortantes também são modificados, com a redistribuição de momentos, como mostra a Figura 10. A distância “a” entre pontos de momento nulo no tramo, para o cálculo da largura bf da seção T, muda com a redistribuição. Porém, pode-se manter o valor previamente calculado de bf = 100cm (a favor da segurança).
Figura 9 – Momentos fletores de cálculo para a análise linear com redistribuição
Figura 10 – Esforços cortantes de cálculo para a análise linear com redistribuição a) Seção 2 (25x50) M d = 341,20k N.m; x/d = 0,250; As = 18,80 cm2 (4 φ 25); A’s = 10,77 cm² (4 φ 20) b) Seção 4 = Seção 5 (100x50) M d = 300,29kN.m; x/d = 0,123 (linha neutra na mesa); As = 15,79 cm2 (4 φ 25)
132
Lembra-se, aqui, que os estados limites de serviço foram verificados com as combinações rara (ELS-F), quase-permanente (ELS-DEF) e freqüente (ELS-W), sem redistribuição (ver Tabela 4). 3.6 Análise plástica – Seção T A análise plástica pode ser aplicada como uma análise linear com redistribuição, apenas com uma modificação no tipo de verificação a ser feita com o valor de x/d, e tendo o cuidado de conhecer em quais seções formam-se as rótulas plásticas. Na viga em questão, será reduzido o momento do apoio da seção 2, onde passa a ser necessária a verificação da capacidade de rotação. Uma vez reduzido o valor de M 2, tem-se o valor de M 2p, que será atingido com a formação da primeira rótula, e permanecerá constante até a formação da segunda rótula. M 2p = δM 2
(Equação 19)
Para a viga em questão, em que l = 5m e pd é o valor de cálculo do carregamento (145,57kN/m), a ação distribuída responsável pela formação da primeira rótula, e o seu acréscimo, responsável pela formação da segunda rótula, são dados pelas equações 20 e 21, respectivamente. p1r =
8 M 2p
(Equação 20)
l2
∆p2r = pd – p1r
(Equação 21)
Isolando um dos tramos, aplica-se o carregamento total pd (p1r + ∆p2r) ao longo da barra e o momento M 2p junto ao apoio, para obter os seguintes momentos plásticos para as seções 4 e 5, quando se formam as segundas rótulas plásticas: 2 p l 2 M 2p M 2p M 4p = M 5p = − + 8 2 2 p l2
(Equação 22)
A rotação necessária do apoio da seção 2, para a formação do mecanismo de colapso, é calculada com o acréscimo de carregamento ∆p2r, pois ela é a diferença entre a rotação total no colapso e a rotação quando tem início a plastificação. Devido à primeira rótula plástica, consideram-se os dois tramos biapoiados e calcula-se a rotação à esquerda e à direita da seção 2. Para ações uniformemente distribuídas, tem-se: ?p l3 2r ? 2p = ?2pe + ? 2pd = 2 24 EI
(Equação 23)
Considerou-se o produto de inércia EI no estádio II, uma vez que na iminência da plastificação a seção encontra-se fissurada. Essa medida está a favor da segurança, uma vez que a inércia seria melhor representada com a consideração da contribuição do concreto entre fissuras, de acordo com BUCHAIM (2001) por exemplo. Portanto, EI depende da armadura calculada para a seção 2. Já a armadura depende do valor fixado de x/d e do valor de M 2p. A capacidade de rotação, θpl, depende também do valor de x/d e da distância “a” entre pontos de momento nulo, da região que contém a seção 2. Deve-se tomar cuidado para não confundi-la com a distância “a” entre pontos de momento nulo no tramo, utilizada no cálculo da largura bf da seção T, que será mantida igual a 100 cm. A altura útil da seção será mantida igual a 46 cm. a=
4 M 2p
(Equação 24)
pl
?p l = 0,0035
d x
(a / d ) 6
(Equação 25)
133
A Tabela 5.2 traz combinações de resultados para valores pré-fixados de x/d, a partir dos quais se procura o mínimo valor possível de δ (maior redistribuição possível), sem que θ2p ultrapasse θpl. O valor de x/d igual a 0,150, para o aço CA-50, é o que garante a maior capacidade de rotação plástica, de acordo com a Figura 2. No entanto, pode não ser o mais econômico. Tabela 2 - Combinações de valores de x/d e δ x/d – Seção 2 δ p1r (kN/m) ∆p2r (kN/m) M2p (kN.m) As (cm2) – Seção 2 A’s (cm2) – Seção 2 M4p (kN.m) As (cm2) – Seção 4 Soma das áreas de armaduras (cm2) a (m) θ2p (x10-3 rad) θpl (x10-3 rad)
0,150 0,170 0,190 0,210 0,230 0,250 0,270 0,290 0,310 0,330 0,350 0,56 0,60 0,63 0,65 0,67 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 81,52 87,34 91,71 94,62 97,53 100,44 103,35 104,81 106,27 107,72 109,18 64,05 58,23 53,86 50,95 48,04 45,13 42,22 40,76 39,30 37,85 36,39 -254,75 -272,94 -286,59 -295,69 -304,79 -313,89 -322,98 -327,53 -332,08 -336,63 -341,18
13,81 14,83 15,62 16,17 16,73 17,30 25,10 19,40 15,49 12,53 20,42 9,27
17,89 9,22
18,23 8,92
18,59 8,63
18,96 8,36
19,34 8,10
336,45 328,67 322,90 319,07 315,28 311,50 307,75 305,88 304,02 302,16 300,31
17,81 17,37 17,05 16,84 16,62 16,41
16,21
16,10
16,00
15,89
15,79
56,72 51,60 48,16 45,54 43,76 42,98
43,32
43,25
43,22
43,21
43,22
1,40 1,50 1,58 1,63 1,68 1,73 16,60 14,65 13,31 12,50 11,67 10,79 16,62 15,18 13,92 12,79 11,85 11,07
1,78 9,86 10,40
1,80 9,41 9,75
1,83 8,97 9,18
1,85 8,54 8,68
1,88 8,12 8,24
3.7 Consumo de aço O consumo de aço, obtido para os diversos tipos de análise aqui considerados, encontra-se indicado na Tabela 3, onde se têm também as diferenças em relação ao consumo relativo a seção retangular e análise linear. Tabela 3 - Consumo de aço Tipo de análise
Seção transversal
Análise linear Análise linear Análise linear com redistribuição (δ = 0,75) Análise plástica (δ = 0,69) Análise plástica (δ = 0,75)
Retangular T T T T
Consumo de aço (kg) 278,2 259,7 241,5 242,9 237,0
Diferença em relação à análise linear com seção retangular (%) 0 – 6,7 – 13,2 – 12,7 – 14,8
3.8 Conclusões Vê-se que, para estruturas simples como a do exemplo ora indicado, as análises linear com redistribuição e plástica têm fácil aplicação. No caso de se utilizarem modelos estruturais como pórticos planos ou espaciais, são necessários programas computacionais. De acordo com FONTES (2005), a redistribuição realizada em vigas de seção retangular pode apresentar uma irrisória economia de armadura, restando como vantagem apenas a possibilidade de melhorar a distribuição das armaduras, evitando assim o acúmulo de barras em uma mesma seção. Já a utilização conjunta da seção T com uma análise que permita a redistribuição de momentos, seja a análise linear com redistribuição, seja a análise plástica, trouxe uma economia considerável (12 a 15%), em relação à análise linear com seção retangular. Somente a utilização da seção T junto à análise linear já traz uma certa economia, próxima de 7%. Por meio da Tabela 2, vê-se que a menor área de armadura é dada para x/d = 0,25 e δ = 0,69. No entanto, apesar da pequena diferença, a análise plástica com δ = 0,75 apresentou um menor consumo de armadura, pois exige uma menor área de armadura nos vãos, que, devido à necessidade de sua ancoragem nos apoios, acaba por ter maior comprimento e 134
influencia o consumo total de aço de maneira mais incisiva. Alerta-se, portanto, para a necessidade de estudar, caso a caso, qual par de valores de x/d e de δ fornece o menor consumo de armadura. A análise linear com redistribuição permite menores redistribuições do que a análise plástica, porém sua utilização é mais simples. Com a redistribuição, as flechas passam a ser menores (ver Tabela 4), pois continuam sendo verificadas com os esforços da combinação quase-permanente, e a armadura nos vãos aumenta com a transferência de momentos. Por outro lado, a importância da verificação da abertura de fissuras nos apoios passa a ser maior, já que é verificada ainda com a combinação freqüente, e nesses pontos a armadura diminui. Tabela 4 - Flechas e aberturas de fissuras (diferenças em relação à análise linear e seção retangular)
Tipo de análise Análise linear Análise linear Análise linear com redistribuição(δ = 0,75) Análise plástica (δ = 0,69) Análise plástica (δ = 0,75)
Seção transversal
Flecha na seção 4 ou 5 (cm)
Diferença (%)
Retangular T
1,66 1,43
0 – 13,9
Abertura de fissuras na seção 2 (mm) 0,18 0,18
T
1,24
– 25,3
0,24
33,3
T T
1,20 1,24
– 27,7 – 25,3
0,26 0,23
44,4 27,8
Diferença (%) 0 0
Agradecimentos Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador. Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. BUCHAIM R. (2001). A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez à flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado). São Paulo, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Universidade de São Paulo. FONTES F.F. (2005). Análise estrutural de elementos lineares segundo a NBR 6118:2003. Dissertação (Mestrado). São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1979). Construções de concreto, volume 4: verificação da capacidade de utilização. Rio de Janeiro, Interciência. MORETTO, O. (1970). Curso de hormigón armado. 2.ed. Buenos Aires, Libreria “EL ATENEO”. PARK, R.; PAULAY, T. (1975). Reinforced concrete structures. New York, John Wiley & Sons. PRADO, J.F.M.A.; GIONGO, J.S. (1997). Redistribuição de momentos fletores em vigas de edifícios. In: Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural, 28, São Carlos, 1-5 set. Anais. p. 1555-1564.
135
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14
ANÁLISE ELÁSTICA COM REDISTRIBUIÇÃO LIMITADA DE SOLICITAÇÕES Autor: Roberto Buchaim (1)
Revisor: Wanda Vaz (2) (1) Professor Doutor, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas Universidade Estadual de Londrina, PR E-mail: robbuch@uel.br (2) Eng. Civil, Labore Consultoria E-mail: labore@terra.com.br
1. Introdução A análise linear, seguida de redistribuição limitada das solicitações, consiste em reduzir nas seções críticas – geralmente nos apoios de continuidade, onde se dão os maiores momentos elásticos, e a influência favorável da força cortante sobre a capacidade de rotação plástica é maior do que no vão – os momentos fletores elásticos, multiplicando-os pelo seguinte coeficiente de redistribuição δ , conforme 14.6.4.3 (elementos lineares) e 14.7.3.2 (placas ou lajes) da NBR 6118:2003: x d x δ ≥ 0,56 + 1,25 d
com fck ≤ 35 MPa e aços de ductilidade alta e muito alta
δ ≥ 0,44 + 1,25
com fck > 35 MPa e aços de ductilidade alta e muito alta
(1) (2)
observando-se os limites: 0,75 ≤ δ ≤ 1 nas lajes, nas vigas contínuas e nas vigas de pórticos indeslocáveis, para aços de ductilidade alta e muito alta 0,90 ≤ δ ≤ 1 em pórticos deslocáveis, para aços de ductilidade alta e muito alta.
A classificação anterior para aços de ductilidade alta e muito alta é do MC-90, ficando implícito, na NBR 6118, que os aços nacionais CA-60 e CA-50 preenchem, nessa ordem, essa classificação. Obedecidas às condições do coeficiente δ, é arbitrária a escolha de quais momentos das seções críticas serão reduzidos, assim como é arbitrário o valor dessa redução. Feita a redução dos momentos, refaz-se a análise para garantir o equilíbrio. Essas são as condições de ductilidade, que substituem as de compatibilidade e, com isso, é dispensável a comprovação da capacidade de rotação plástica. Outros valores do coeficiente δ são possíveis, desde que se comprove que a demanda de rotação plástica seja inferior à capacidade de rotação plástica do elemento estrutural em questão. Este cálculo é feito através da análise elasto-plástica, considerando-se na rigidez à flexão os fenômenos da fissuração e do enrijecimento da armadura tracionada, advindo das tensões de aderência despertadas entre a armadura e o concreto circundante, entre duas fissuras sucessivas. O coeficiente de redistribuição é associado à capacidade de rotação plástica, que por sua vez é associada à profundidade relativa da linha neutra no ELU por flexão, para facilitar o trabalho do 136
calculista. Quanto maior for a redistribuição de solicitações, menores são os valores de δ e de x/d, e maior deve ser a capacidade de rotação plástica. Enfatiza-se que na solução elástica (δ = 1) esta capacidade não é nula, embora possa ser pequena. Da mesma forma, também não é nula a demanda de rotação plástica, mesmo que isto não seja apontado na análise elástica. Observe-se que, na análise linear, com ou sem redistribuição, não mais se permite escolher, por economia, x/d na fronteira dos domínios 3 e 4, pois para tal valor (igual a 0,628 para o CA50) a capacidade de rotação plástica é baixa, e não há em absoluto a garantia de que a suposta distribuição de solicitações no ELU seja atingida. Observe-se que os limites da profundidade relativa da linha neutra (LN), em função do coeficiente δ, impostos em 14.6.4.3 (elementos lineares) e 14.7.3.2 (elementos de placas ou lajes) da NB-1, são obtidos fazendo-se δ = 1 (análise elástica, sem redistribuição) em (1) e (2), donde: x ≤ (1 − 0,44) / 1,25 ≅ 0,45 se fck ≤ 35 MPa (3) d x ≤ (1 − 0,56) / 1,25 ≅ 0,35 se fck > 35 MPa (4) d x Se ξ = = 0,5 , a seção estaria no domínio 3 e o correspondente alongamento do aço seria d
igual ao encurtamento limite do concreto, donde: ε yd ,CA − 50 = 2,07 ‰ ε s = 3,5 ‰ > ε yd ,CA − 60 = 2,48 ‰
Assim, se os aços CA-50 e CA-60, comumente usados em lajes, estão em escoamento para o limite ξ =
x = 0,5 , com maior razão, estão também para os limites 0,45 e 0,35, dados pelas d
inequações (3) e (4). No caso de seção retangular, em flexão simples com armadura simples, pela igualdade das forças internas, a altura relativa do bloco retangular de tensões é igual à força relativa no concreto, ?c = escoamento, ωd =
Rc , e, também, igual à taxa mecânica da armadura em b d 0,85fcd
As f yd . Observando que o braço de alavanca relativo das forças b d 0,85fcd
internas é (1 − 0,5ωd ) , resulta o momento relativo em função da taxa mecânica, e vice-versa. µd = ωd =
Md 2
b d 0,85f cd As f yd bd 0,85f cd
= ω d (1 − 0,5ω d ) = 1 − 1 − 2µ d
(5a) (5b)
Logo, em correspondência aos valores máximos da profundidade relativa da LN, resultam os limites: x ≤ 0,8 × 0,45 = 0,36 e µ d ≤ 0,36 (1 − 0,18) ≅ 0,30 , se fck ≤ 35 MPa d x ω d = 0,8 ≤ 0,8 × 0,35 = 0,28 e µ d ≤ 0,28 (1 − 0,14) ≅ 0,24 , se fck > 35 MPa d ω d = 0,8
(6) e (7) (8) e (9)
Como se vê, é possível controlar a profundidade relativa da LN (da análise elástica sem redistribuição) e o escoamento das armaduras através do valor máximo do momento relativo, ou da taxa mecânica, conforme seja a resistência característica do concreto. E na análise elástica com redistribuição, usando-se aços CA-50 ou CA-60 e sendo δ < 1, é desnecessário comprovar o escoamento da armadura, se forem atendidas as inequações (1) e (2).
137
2. Exemplo de aplicação em laje de edifício 2.1 Condições gerais e dados Dimensionar a armadura da seção do apoio central de uma laje contínua de dois vãos iguais, armada em uma só direção, onde: §
l = 3,75 m
§
h / d / d’ = 110 / 85 / 25 mm
§
fck = 20 MPa
§
aços CA-50 ou CA-60
§
cargas de cálculo: ?
gd = 1,4 x 3,88 = 5,43 kN/m2
?
qd = 1,4 x 1,5 = 2,1 kN/m2
2.2 Dimensionamento por análise elástica linear, sem redistribuição de solicitações Para as dadas cargas de cálculo, obtém-se na seção do apoio central o seguinte momento fletor (ver Figura 1): md = 7,53
3,75 2 kNm = 13,24 8 m
Figura 1 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – Solução elástica sem redistribuição Note-se que este momento é calculado por unidade de comprimento. Portanto, pode-se expressá-lo no dimensionamento como um momento M d dividido pela largura b da laje. Logo: md =
Md kNm Nmm = 13,24 = 13,24 × 10 3 b m mm
Assim:
138
Md
µd =
bd 2 0,85fcd
=
md d 2 0,85fcd
=
13,24 × 10 3 85 2 × 12,14
= 0,151 < 0,32
Portanto: ωd = 1 − 1 − 2µ d = 1 − 1 − 2 × 0,151 = 0,164
Logo, a área da armadura, as, por unidade de comprimento da laje, vale: as =
0,85fcd 12,14 mm 2 mm 2 mm 2 As d = 0,164 85 = 0,389 = ωd = 0,389 −3 = 389 435 mm m b fyd 10 m
Escolhendo-se barras com diâmetro de 8 mm (φ 8), cuja área da seção é igual a π
82 = 50 mm 2 , o espaçamento s dessas barras é: 4
s=
50 = 0,129m ≅ 125 mm . 389
Se for adotado aço CA-60, tem-se: f yd =
N 600 = 521,7 1,15 mm 2
A área da armadura será igual a: a s2 =
As 2 12,14 mm 2 mm 2 = 0,164 85 = 0,324 = 324 b 521,7 mm m
Escolhendo-se barras com diâmetro de 5 mm (φ 5), de área 20 mm2, com o que resulta para um par de barras justapostas com espaçamento s =
2 × 20 = 0,123 m ≅ 120 mm . 324
2.3 Dimensionamento por análise elástica seguida de redistribuição das solicitações A inequação (1|) do coeficiente de redistribuição, para fck = 20 MPa, pode ser expressa da seguinte forma: ξ=
x ≤ 0,8(δ − 0,44) , para fck ≤ 35 MPa d
Como se vê, escolhido o coeficiente de redistribuição entre os limites 0,75 e 1,00, tem-se imediatamente o limite superior da profundidade relativa da LN. Para a laje do exemplo, os momentos do vão e do apoio são iguais se δ = 0,686. Isto significa que, enquanto o percentual da redistribuição não ultrapassar (1 – 0,686) = 31,4%, o momento do apoio central superará o momento do vão, sendo, portanto, determinante no dimensionamento da laje. Há na solução deste problema várias alternativas. Duas delas são: a) Escolhe-se o coeficiente de redistribuição, mantém-se a altura útil da laje, e em relação à solução para δ = 1 , dada em 2.2, alteram-se apenas as armaduras, reduzindo-se a armadura do apoio e aumentando-se a armadura do vão. Com a diminuição da área de aço no apoio, consegue-se eventualmente um arranjo mais favorável da armadura, facilitando a concretagem nessa região. 139
b) Escolhe-se o coeficiente de redistribuição e escolhe-se a profundidade relativa da LN igual ao limite superior dado pela expressão anterior. Por exemplo, se for decidido reduzir o momento do apoio em 20%, tem-se δ = 0,8, portanto: ξ=
x ≤ 0,8(δ − 0,44) = 0,8(0,8-0,44) = 0,288 d
Com esta variável assim fixada, é possível liberar outra, que será a altura útil d. Isto porque, dada a profundidade relativa da LN, o momento relativo fica conhecido, podendo-se obter d de sua equação. Estas duas alternativas são examinadas a seguir: Análise da alternativa a: Conforme a Figura 1, o momento de cálculo do apoio de continuidade vale m d = 13,24 kNm/m. Decide-se reduzi-lo em 20%, donde δ = 0,8. O momento solicitante de cálculo no apoio B passa, então, a ser m d = 10,60 kNm/m conforme a Figura 2:
Figura 2 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – Solução com redistribuição de 20% do momento elástico do apoio central Simultaneamente, como mostra a Figura 2, aumentam a reação do apoio A e o momento máximo no vão, que vale: m d,vão = 8,47 kNm/m Este novo momento é 14% maior que o anterior, a saber, 7,45 kNm/m, conforme Figura 1. Agora os momentos extremos, do vão e do apoio, estão mais próximos. Esta aproximação dos momentos das seções críticas é um dos objetivos da redistribuição, resultando em economia de material. O dimensionamento da seção do apoio B considera o momento m d = momento relativo:
140
Md kNm = 10,60 , e o b m
µd =
Md b d 2 0,85f cd
=
md d 2 0,85f cd
=
10,60 × 103 85 2 × 12,14
= 0,121
Como há escoamento da armadura no apoio, tanto mais que o momento fletor é agora menor, a taxa da armadura, conforme a expressão (5b), é: ωd = 1 − 1 − 2µ d = 1 − 1 − 2 × 0,121 = 0,129 x = 1,25ω d = 1,25 × 0,129 = 0,161 . Este valor, evidentemente, d x verifica a desigualdade (1) para δ = 0,8, isto é, ≤ 0,288 . d
A profundidade relativa da LN vale
Logo, usando-se aço CA-50, a área da armadura, por unidade de comprimento da laje, é igual a: as =
As 0,85f cd 12,14 mm 2 mm 2 = ωd d = 0,129 85 = 0,306 = 306 b f yd 435 mm m
O valor anterior obtido para as era 389 mm2. 82 Escolhe-se φ 8, donde o espaçamento s = 4 = 0,162 m ≅ 160 mm . 306 π
Escolhendo-se barras com diâmetro de 8 mm, cuja área da seção é igual a 50 mm2, o espaçamento s é: s=
50 = 0,162m ≅ 160 mm 306
O dimensionamento da armadura do vão, feito de forma análoga, resulta na área 240 mm2/m, contra 210 mm2/m anteriores. Comparando-se o volume de aço das duas soluções, tem-se para a laje de dois vãos iguais, desconsiderando-se a influência da força cortante e o comprimento de ancoragem: Solução sem redistribuição (ver 2.2), com momentos negativos em 0,35 l por vão: Vol = 2 × l × 210 + 2 × 0,35 × l × 389 = 692l
Solução atual, com momento negativos em 0,28 l por vão: Vol = 2 × l × 240 + 2 × 0,28 × l × 306 = 651l
Logo, há na atual solução um consumo ligeiramente menor e a seção do apoio será mais dúctil do que antes. A extensão da armadura superior foi obtida com a sobrecarga apenas em um dos vãos, mantendo-se o mesmo momento do apoio central usado no dimensionamento, em qualquer alternativa. A Figura 3 exemplifica o procedimento. No vão carregado só com a carga permanente, obtém-se a extensão da região de momento negativo igual a 1,04 m, donde a fração do vão 1,04/3,75 = 0,28. O mesmo foi feito para a solução elástica sem redistribuição, cuja fração obtida é maior e igual a 1,30/3,75 = 0,35.
141
Figura 3 – Viga contínua no ELU – Momentos fletores para uma faixa de largura de 1m – Distribuição de momentos com carga total num vão e carga permanente noutro Análise da alternativa b: Neste caso decide-se alterar a altura útil da laje. Fixando-se novamente δ = 0,8 ≥ 0,75, o diagrama de momento fletor, após a redistribuição de 20% do momento do apoio central, conforme a Figura 2, permanece o mesmo da alternativa “a” (desconsiderada a redução no peso próprio da laje). Escolhendo-se o limite superior da profundidade relativa da LN, resulta, como se mostrou, ξ =
x = 0,288 . Desta escolha decorre a menor altura útil possível dentro das d
condições do problema. O momento relativo de cálculo é determinado após calcular-se a força relativa do concreto, igual à taxa mecânica da armadura em escoamento, que vale: ωd =
y x = 0,8 = 0,8 × 0,288 = 0,230 d d
donde: µd =
md 2
d 0,85f cd
= ω d (1 −
ωd ) = 0,204 < 0,30 , conforme a expressão (7). 2
Sendo m d = 10,60 Nmm/mm e 0,85 fcd = 12,14 N/mm2, o valor da altura útil é igual a: d =
md = µ d 0,85f cd
10,60 × 103 ≅ 65 mm 0,204 × 12,14
Logo, a área da armadura é igual a: a s2 =
142
0,85fcd d As 2 12,14 × 65 mm 2 mm 2 = ω 2d = 0,230 = 0,420 = 420 b f yd 435 mm m
Pode-se optar por 1 φ 8 CA-50, com espaçamento s = 120 mm. Além disso, a altura total da laje agora passa a ser h = d + d’ = 65 + 25 = 90 mm. Como se vê, em relação à solução para δ = 1 de 2.2, há uma significativa redução (18%) no consumo de concreto, embora haja um pequeno aumento no consumo de aço. Chama-se a atenção para o fato de haver outros estados limites que também devem ser atendidos no projeto. Ao reduzir-se muito a espessura, a laje poderá não atender às exigências de norma para flechas, ou para aberturas de fissuras, ou mesmo para vibração excessiva.
143
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 14
RIGIDEZ E ROTAÇÃO PLÁSTICA DE PEÇAS FLETIDAS Autor: Roberto Buchaim (1)
Revisor: Wanda Vaz (2) (1) Professor Doutor, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas Universidade Estadual de Londrina, Pr E-mail: robbuch@uol.br (2) Eng. Civil, Labore Consultoria E-mail: labore@terra.com.br 1. Introdução Dentre os vários tipos de análise estrutural, descritos no item 14.5 da NBR 6118: 2003, três deles não exigem comprovação de deformações no Estado Limite Último (ELU): (a) análise linear; (b) análise linear com redistribuição das solicitações; (c) análise plástica com materiais rígido-plásticos. Nas duas primeiras basta usar as rigidezes das seções íntegras (Estádio I) e efetuar, na segunda, a redistribuição, respeitando-se em ambas e na terceira os limites da profundidade relativa da linha neutra (LN). Um quarto tipo – a análise elasto-plástica – introduz a verificação das deformações nos materiais, através da capacidade de rotação plástica. Nela, as zonas plastificadas da estrutura são representadas por rótulas plásticas, concentradas nas seções críticas correspondentes, interligadas por barras elásticas e de rigidez do Estádio II, onde houver fissuração, e do Estádio I, nos trechos sem fissuras. Com isto, são consideradas a plastificação dos materiais, a fissuração e a colaboração do concreto entre fissuras no enrijecimento da armadura do banzo tracionado. Assim, o último tipo de análise pressupõe, nas peças fletidas, um quadro de fissuração estabilizado e coloca dois problemas ocultos nos três primeiros tipos de análise, a saber: (a) a determinação da rigidez de peças estruturais fissuradas e não fissuradas e, (b) a comprovação da capacidade de rotação plástica. Com isto, pode-se determinar corretamente a capacidade portante da estrutura, limitando a demanda de rotação plástica à capacidade de rotação plástica, com o que são respeitados os limites de deformação no aço e no concreto. No que segue dá-se indicações sobre estas duas questões e, por último, mostra-se a aplicação da teoria a um exemplo. Para efeito de projeto, a redistribuição dos esforços solicitantes da análise elástica usualmente fica em torno de 15% a 30%. Redistribuição maior deve fazer com que as condições dos Estados Limites de Serviço (ELS) sejam preponderantes. Como na combinação rara das ações atua uma carga (1 – 1/γf) = (1 – 0,71) ≅ 30% menor, os momentos das seções críticas do ELU (com a redistribuição de 30% ) e do ELS (elástico e sem a redistribuição) resultam muito próximos. Isto obriga a um aumento da armadura para evitar seu escoamento, abertura exagerada da fissura e flecha excessiva.
144
2. Classificação dos aços conforme a ductilidade A deformabilidade das peças fletidas tem sua maior influência localizada na deformabilidade do banzo tracionado. Isto porque a profundidade da linha neutra, confinada no intervalo [0, d/2], decresce relativamente pouco até o ELU. Com isto, a curvatura média da peça, dada por esm 1 , depende em grande parte do alongamento médio da armadura, ε sm. Por m ≅ r d −x
conseqüência, quanto mais dúctil for o aço tanto mais dúctil poderá ser a peça. A capacidade de uma barra de aço em dissipar energia por deformações plásticas, em caso de descarga ou ruptura, representa a sua ductilidade. A energia dissipável por unidade de volume da barra de aço é dada pela área sob a curva tensão-deformação, σs(εs), até a ruptura da barra ensaiada, descontada a parcela elástica (recuperável). A Tabela 2.1 mostra as condições exigidas para os aços de ductilidade muito alta (S), alta (A ou H) e normal (B ou N), conforme o EC-2, o MC-90 e a referência [10]. A Tabela 2.2 mostra as condições análogas para os aços nacionais, e refere-se à deformação residual medida em uma distância igual a 10 diâmetros da barra após a ruptura. Tabela 2.1 – Condições exigidas para os aços de alta ductilidade, conforme referências internacionais EC2 Classe
MC-90 εsuk
(ft/fy)k
S A ou H B ou N
‰
> 1,08 > 1,05
> 50 > 25
(ft/fy)k ≥ 1,15 ≥1,08 ≥1,05
εsuk ‰
≥ 60 ≥ 50 ≥ 25
Sigrist e Marti [10] εsuk (ft/fy)k ‰
1,20 1,08 1,05
100 50 25
Onde: (ft/fy)k é o valor característico, relativo ao quantil de 5%, da relação entre as resistências à ruptura por tração e do início do escoamento. ε suk é o valor característico, relativo ao quantil de 5%, do alongamento último de ruptura por tração, correspondente a ftk.
Tabela 2.2 – Condições exigidas para os aços nacionais de alta ductilidade NBR 7480:1996 Categoria (ft/fy)k CA-25 CA-50 CA-60
≥ 1,20 ≥ 1,10 ≥ 1,05
εs,10φ ‰
≥ 1,80 ≥ 80 ≥ 50
NBR 6118:2003 Características εsuk de ductilidade, ‰ item 8.3.7 Alta ≥ 181,5 Alta ≥ 82,75 Normal ≥ 53,15
Onde: ε s,10φ é o alongamento residual medido em 10 diâmetros. f yk f ε suk = ( t )k + es,10 φ é o alongamento último de ruptura por tração, calculado com Es = 200 GPa. fy Es
145
3. Capacidade de rotação plástica As deformações limites do concreto, εc,lim , e do aço, εsuk, podem ser respeitadas através da rotação plástica obtida na viga equivalente da Figura 3.1, destacada da viga contínua correspondente.
Figura 3.1 – Viga equivalente A viga equivalente representa o segmento que contém a seção crítica onde ocorrem as deformações plásticas. Seu comprimento pode ser tomado igual à distância entre pontos de momentos nulos junto ao apoio de continuidade para as cargas de cálculo, qd, e admitido o mesmo para as cargas últimas qu e do início do escoamento, qy. Os carregamentos qu e qy correspondem, respectivamente, a uma deformação última ou limite em um dos dois materiais e à deformação do início do escoamento da armadura tracionada na seção crítica. Ao acréscimo (qu – qy) da carga, corresponde a máxima rotação plástica possível nessa seção, a qual vem a ser a capacidade de rotação plástica. A deformabilidade da peça é considerada no projeto através das leis constitutivas do concreto (parábola-retângulo), com tensão do patamar igual à resistência que se espera encontrar na estrutura (valor médio, fcm, quantil de 50% ), e do aço (bilinear com encruamento) com resistências características, fyk e ftk. Como referência, o valor médio da resistência do concreto é dado pela seguinte expressão do MC-90: fcm = fck + 8, em MPa
(3.1)
Tendo em vista que as múltiplas influências na rotação plástica da viga equivalente dificultam a obtenção de uma função ao mesmo tempo geral e segura, procura-se estimar a capacidade de rotação plástica de maneira mais simples, para o caso comum de seção retangular em flexão simples e armadura simples. Isto é conseguido definindo-se o comprimento equivalente da zona plastificada igual à altura útil d da seção transversal. Com esta aproximação, reduz-se a análise da viga equivalente (ou da estrutura) meramente à análise da seção transversal. Ver o Anexo 2. Como a distribuição de curvaturas ao longo da viga equivalente é admitida linear, a zona plastificada é um triângulo de extensão (base) 2d, e altura igual à diferença de curvaturas máxima (correspondente a uma deformação última no aço ou limite no concreto) e do início do escoamento da armadura. A área desse triângulo, igual à do retângulo equivalente, de lado d e mesma altura, é a capacidade de rotação plástica, donde: 10 3 θ pl =
10 3 θ pl =
onde 146
ε sym ε sum − x x 1 − u 1− y d d ε sym ε cum − xu xy 1− d d
ruptura do aço (ramo ascendente)
esmagamento do concreto (ramo descendente)
(3.2)
(3.3)
ε = 10 3 ε ;
εsum é a deformação média da armadura associada à deformação última (ε suk = 50 ‰ na Figura 3.2); εsym é a deformação média da armadura associada à deformação do início do escoamento (εsyk = 2,5 ‰ na mesma figura); εcum é o encurtamento médio do concreto (nestas simplificações, igualado a ε c,lim = 3,5‰ , também na Figura 3.2); xu e xy são as profundidades da LN correspondentes aos dois estados de deformação admitidos, o último e o do início do escoamento. A lei tensão-deformação média do banzo tracionado, associada à deformação do aço na fissura, é a dada no MC-90, item 3.2.3. Ver também [6]. Enfatiza-se que estas rotações resultam de leis tensão-deformação dos materiais com resistências fcm para o concreto e fyk e ftk para o aço no ramo plastificado, embora as curvas da rotação plástica sejam usualmente dadas em função da profundidade relativa da LN no ELU – Flexão Simples, obtida com as resistências de cálculo (minoradas) dos materiais, o que pode x d
gerar confusão. Para evitá-la, basta perceber que a cada ponto da curva θpl ( ) corresponde uma única área As e, portanto, uma única taxa mecânica da armadura ωd =
As f yd , com a bd 0,85fcd
x d
qual se obtém a profundidade relativa da LN ( ) no ELU.
Seção retangular b / h / d = 540 / 270 / 270 mm, armadura simples. Aço CA-50, fyk / ftk = 500 / 540 MPa, ε suk = 50 ‰ , boa aderência. Concreto: diagrama parábola-retângulo, ε c,lim = 3,5‰ , γc = 1,5. Curva 2 da NBR 6118:
x d
•
ramo ascendente 103θ pl = 7,34 + 106,6( ) ;
•
3 ramo descendente 10 θ pl =
3,5 . (x / d )
Figura 3.2 – Capacidade de rotação plástica em função da profundidade relativa da linha neutra no ELU – Flexão simples 147
Na obtenção dos resultados mostrados na Figura 3.2, com a finalidade de compará-los com a curva 2 da NBR 6118: 2003, procurou-se ficar do lado da segurança, adotando-se os valores (ft/fy)k = 1,08, ε suk = 50 ‰ , ambos dados na Tabela 2.1, ao invés de (ft /fy)k = 1,10, ε suk = 80 ‰ , conforme a Tabela 2.2. Pela mesma razão, tomou-se γc = 1,5, ao invés de γc = 1,4. A figura evidencia que a curva 2, adotada para o aço CA-50, é, na maioria dos casos, mais conservadora que a solução descrita. Ver a bibliografia específica para a consideração de outras influências. 4. Rigidez à flexão nos Estádios I e II A rigidez à flexão de uma peça estrutural pode ser considerada a partir de suas rigidezes do Estádio I, nos segmentos sem fissuras, e do Estádio II, nos segmentos fissurados, conforme as expressões descritas a seguir. No Estádio I tem-se: (EI )I = E ciII se M ≤ M cr = W 2 f ct,fl
(4.1)
onde: E ci = 5600 f ck , em MPa é o módulo de elasticidade do concreto na origem da curva σc (ε c),
conforme o item 8.2.8 da NBR 6118; II é o momento de inércia considerada);
da seção bruta de concreto, ou da seção ideal (armadura
W2 é o módulo de resistência da fibra tracionada; fct,fl é a resistência à tração na flexão, conforme o item 8.2.5 ( f ct,fl =
1 f ct , tomando-se para a 0,7
resistência à tração direta o valor médio); Mcr é o momento de fissuração, e seu conhecimento possibilita separar os segmentos da peça nos Estádios I e II. Tendo em vista que, para as seções usuais (retangular e mesmo circular), o segmento do diagrama momento-curvatura correspondente ao Estádio II puro (tensões de tração desprezadas) é também próximo de uma reta que passa pela origem, pode-se aproximar a rigidez à flexão (EI) II pelo produto do módulo de elasticidade secante do concreto, dado no mesmo item da NBR 6118 por Ecs = 0,85 Eci, pelo momento de inércia da seção fissurada, supondo materiais elásticos. Em [8] está descrita, para o presente caso de seção retangular com armadura simples, a obtenção do diagrama momento-curvatura (sem necessidade de iteração), confirmando a quase linearidade mencionada. Também é possível comparar favoravelmente a rigidez assim obtida com as deduzidas de soluções não-lineares. A consideração do enrijecimento da armadura tracionada, decorrente da aderência com deslizamento entre as barras da armadura e o concreto circundante, entre duas fissuras sucessivas, é feita através de um terceiro fator, deduzido em [6], a saber: ε syk ε sym
=
1 ≥1 0,18 τ bm 1− ρ s,ef f yk
(4.2)
onde: 2/ 3 2/ 3 τ bm = 0,675 f ck para cargas de curta duração e τ bm = 0,425 fck para cargas de longa duração
ou repetidas, com fckem MPa; ρ s,ef =
As a (vigas) e ρ s,ef = s (laje) é a taxa geométrica efetiva do banzo tracionado, com b hef hef
hef = 2,5(h − d ) ≤ h −
148
x x para vigas de seção retangular e hef = 2,5( c + 0,5φ s ) ≤ h − em lajes, 3 3
sendo as = área da armadura por unidade de comprimento, c = cobrimento e φ s = diâmetro da barra longitudinal tracionada. Este fator situa-se geralmente na faixa 1,05 e 1,15, sendo 1,1 um valor que se pode adotar com pouco erro em cálculos mais aproximados. O momento de inércia da seção fissurada (conforme calculado no Anexo 1) é dado pelas seguintes expressões, onde α s = geométrica da armadura e ξ =
Es E cs
é o coeficiente de equivalência, ρ s =
As é a taxa bd
x a profundidade relativa da LN. d
Seção retangular com armadura simples: III =
bd3 α sρ s (1 − ξ )(3 − ξ ) 3
ξ = α s ρs ( 1 +
(4.3)
2 − 1) α sρ s
(4.4)
Seção retangular com armadura dupla: ( As1 , ρ s1 =
As1 d A e o cobrimento relativo δ′1 = 1 no banzo comprimido, As2 e ρ s 2 = s2 bd d bd
no
banzo tracionado): bd3 α s [ρ s1 (ξ − δ′1 )( ξ − 3δ′1 ) + ρ s2 (1 − ξ )(3 − ξ )] 3
(4.5)
ξ = −α s (ρ s1 + ρs 2 ) + [ α s (ρ s1 + ρ s2 )]2 + 2α s (ρ s1δ′1 + ρs 2 )
(4.6)
III =
Seção T com armadura simples: Sendo bfl a largura da flange comprimida, bw, a largura da alma, hfl a altura da flange (ou espessura da laje), d a altura útil, ρ s = III =
As a taxa geométrica referida à alma, tem-se bw d
bw d 3 b h h h h {4α s ρ s (1 − ξ )(3 − ξ ) + ( fl − 1) fl [( 2ξ − fl )(2ξ − 3 fl ) + ( fl ) 2 ]} 12 bw d d d d
(4.7)
onde a profundidade relativa da LN decorre da seguinte equação do 2º grau: ξ 2 + 2[ α s ρ s + (
b fl h b h − 1) fl ]ξ − [2α sρ s + ( fl − 1)( fl ) 2 ] = 0 bw d bw d
(4.8)
x h fl ≥ . Se esta condição não ocorrer, o cálculo é feito como seção d d retangular de largura bw = bfl .
válida somente se ξ =
Assim, a rigidez à flexão no Estádio II é igual ao produto dos três fatores mencionados: (EI )II = E cs III
ε syk ε sym
(4.9)
As expressões dadas cobrem casos freqüentes da prática (fluência do concreto excluída). Se for necessária maior precisão, deve-se usar para o concreto uma lei constitutiva curva (por exemplo, a lei de Grasser) que contenha o módulo de elasticidade tangente na origem, Eci, 149
dado no item 8.2.8 da NBR 6118. Se o momento de fissuração for pequeno em relação ao momento máximo atuante na seção crítica, basta usar a rigidez do Estádio II.
5. Exemplo 5.1 Dados Dada uma viga contínua de 2 vãos iguais, de comprimento l = 8 m, sujeita à carga uniforme de valor característico gk + qk = 5 + 5 = 10 kN/m e valor freqüente gk + ψ 1qk = 5 + 2 = 7 kN/m, pede-se: (a) determinar a armadura longitudinal e (b) comprovar a capacidade de rotação plástica para uma redistribuição do momento fletor do apoio central (B) arbitrada em 30% . Dados adicionais: § seção transversal: b / h / d = 200 / 500 / 435 mm § concreto: fck = 20MPa, τbm = 0,425 fck2/3 = 3,13 MPa, E cs = 0,85 × 5600 20 = 21 287,4 MPa § aço CA-50: fyk = 500 MPa, Es = 210 000 MPa 5.2 Solução 5.2.1 Determinação dos momentos fletores para o coeficiente de redistribuição δ = 0,7 No ELU, com a carga de cálculo γf(gk+qk)=1,4x10=14 kN/m aplicada nos dois vãos da viga, resultam após a redistribuição: § Momento fletor no apoio de continuidade: δMB,d = δγ f (g k + q k )
§
l2 = 0,7 × 14 × 8 = 78,4 kNm 8
Momento fletor máximo no vão: M vão,d = γ f (g k + q k )
5.2.2
l2 δ 1 − 8 4
2
= 14 × 8 × 0,825 2 = 76,23 kNm
Dimensionamento das seções críticas
Sendo a taxa mecânica da armadura igual a ωd = relativo é dado por µ d = µd =
Md 0,85 fcd b d 2
As f yd = 1 − 1 − 2µ d , onde o momento bd 0,85f cd
, obtém-se para a seção do apoio central:
78,4 × 10 6 = 0,171, ωd = 1 − 1 − 2 × 0,171 = 0,188 e AsB = 457,6 mm 2 . 20 0,85 × × 200 × 4352 1,4
Analogamente para o vão, determina-se As,vão = 443,5 mm2. Adota-se a área As = 4φ12,5 = 500 mm2 no apoio interno e também no vão, mas o cálculo continuará a ser feito com as áreas originais. Note-se que a extensão da armadura superior deve ser obtida considerando-se um dos vãos com carga total, o outro sem sobrecarga, e um momento no apoio B igual a δM b,d = 78,4 kNm. 5.2.3
Cálculo da rigidez à flexão
No que segue, desconsideram-se o momento de fissuração e a armadura comprimida. Como as áreas adotadas nos vãos e no apoio interno são iguais, tem-se uma só rigidez a calcular. Com a taxa geométrica efetiva do banzo tracionado igual a: ρ s,ef =
As 443,5 = = 0,0136 b hef 200 × 2,5 × (500 − 435)
decorre da equação (4.2): 150
ε syk ε sym
=
1 1 = = 1,09 0,18 3,31 0,18 τ bm 1 − × 1− 0,0136 500 ρ s,ef f yk
De (4.4), com α s =
Es 210000 = = 9,865 , E cs 21287,4
ρs =
As 443,5 = = 0,51% , e bd 200 × 435
α s ρ s = 0,0503 ,
resulta a profundidade da LN do Estádio II, para efeito da rigidez (não confundir com a LN do ELU): ξ = α sρ s ( 1 +
2 2 − 1) = 0,0503( 1 + − 1) = 0,2708 0,0503 αs ρ s
De (4.3) vem: III =
200 × 4353 bd 3 αsρs (1 − ξ)(3 − ξ) = 0,0503(1 − 0,2708 )(3 − 0,2708 ) = 549,186 × 106 mm 4 3 3
Portanto, de (4.9) decorre a rigidez à flexão do Estádio II: (EI )II = E cs I II
ε syk ε sym
= 21287,4 × 549,186 × 10 6 × 1,09 = 1274,3 × 1010 Nmm 2
5.2.4 Determinação da rotação plástica no apoio central A equação de compatibilidade que permite obter a rotação plástica no apoio central se escreve (momento positivo traciona a borda inferior): δ10 + δ11M Bd = θ (pl1) Nesta equação os coeficientes são dados por δ10 = 2 momento em B é negativo, sendo M B,d = −δ
γ f (g k + qk )l 3 l , δ11 = 2 . O 24(EI )II 3(EI )II
γ f ( g k + q k )l 2 . Com estes dados, pode-se 8
escrever: 2l γ f (g k + q k )l 2 (1 − δ) = θ (pl1) 3(EI )II 8 θ (pl1) =
2 × 8 × 10 3 3 × 1274,3 × 10
10
112 × 10 6 × (1 − 0,7 ) = 14,1× 10 −3 rad
ou
θ (pl1) = 14,1 mrad
Note-se, de passagem, que a dada equação de compatibilidade contém a solução elástica ( δ = 1), quando então resulta nula a rotação plástica no apoio central. Entretanto, na presente análise elasto-plástica, a rigidez da peça depende do coeficiente de redistribuição δ . No exemplo, para δ = 1, resultam os momentos da distribuição elástica iguais a M Bd = -112 2 kNm e M vão,d = 63 kNm, os quais levam às áreas de armadura AsB = 690 mm e As,vão = 360 mm2, e às rigidezes (EI)II,apoio = 1742,8 x 1010 Nmm2 (nos 2 m próximos ao apoio central) e (EI)II,vão = 1189,4 x 1010 Nmm2 (nos 6 m restantes do vão). Com estes valores obtém-se a rotação plástica no apoio central igual a θ (pl1) = 5,1 mrad , em contraposição ao valor nulo da solução elástica. Este cálculo esclarece porque a LN no ELU, na análise elástica sem x redistribuição, fica limitada a ξ = ≤ 0,5 , conforme o item 14.6.4.3 da NBR 6118, e não mais d 3,5 em 0,628 para o CA-50, pois θ (pl1) = 5,1 mrad é inferior a θ (pl2) = = 7 mrad , conforme a curva 0,5 2 da Figura 3.2, mesmo sem a correção da esbeltez, mostrada a seguir. 151
5.2.5 Comprovação da capacidade de rotação plástica Aplica-se a equação da curva 2 da NBR 6118, conforme se vê na Figura 3.2 deste texto. No apoio central, tem-se a profundidade relativa da LN no ELU igual a: ξ = 1,25ω d = 1,25 × 0,1883 = 0,235 Logo: 10 3 θ (pl2 ) =
3,5 3,5 = = 14,9 rad 0,235 ξ
ou
θ (pl2 ) = 14,9 mrad
Esta rotação corresponde a uma esbeltez da viga equivalente l ve / d = 6 , e deve ser corrigida l ve . No exemplo, tem-se a distância entre pontos de momentos nulos 6d δ 0,7 próximos do apoio central igual a l ve = l = 8 × = 2,8 m , donde: 2 2 2,8 θ (pl2 ) = 14,9 = 15,4 mrad > θ (pl1) = 14,1 mrad 6 × 0,435 com o que fica comprovada a capacidade de rotação plástica da viga. multiplicando-a por
O presente cálculo garante apenas o ELU – Flexão Simples, e deve ser completado para atender outros estados limites. Importância maior adquirem as condições de serviço em face de redistribuição elevada, devendo-se evitar nas seções críticas o escoamento da armadura na combinação rara das ações, controlando-se ainda a abertura da fissura nessas seções, assim como a flecha, particularmente na combinação freqüente das ações. No exemplo em questão, para uma análise elástica com o mesmo valor da rigidez do Estádio II usado no ELU, ( EI ) II , útil na verificação das flechas imediatas em serviço, obtém-se as seguintes tensões na armadura tracionada da seção central: (a) σ s ≅ 405 MPa na combinação rara das ações. Este valor cai para 375 MPa ≤ 0,8 fyk = 400 MPa, se forem considerados o arredondamento do diagrama de momento fletor devido a uma largura do apoio interno igual a 200 mm e uma redistribuição de 5% dos momentos em serviço (uma vez que, havendo fissuração, alguma redistribuição existe), e (b) σ s ≅ 260 MPa na combinação freqüente das ações. A flecha imediata máxima na viga, para cargas gk+ψ 1qk=5+2=7 kN/m num vão e gk=5 kN/m noutro, é igual a 14,5 mm = l 551. Estes resultados devem ser confrontados com as exigências de norma, o que poderá levar a um aumento da armadura longitudinal. Assim, como se disse na introdução, é possível, conforme seja o grau de redistribuição escolhido, que as condições de serviço sejam preponderantes sobre as do ELU – Flexão, com o que a estrutura seria ainda mais segura contra o colapso. 6. Conclusão Conclui-se o presente trabalho destacando os seguintes pontos: (a) A verificação de deformações limites nos materiais, no ELU – Flexão, pode ser feita de modo relativamente simples, limitando-se a demanda de rotação plástica à capacidade de rotação plástica da peça. 152
(b) Para determinar a primeira são fornecidas expressões da rigidez à flexão, com enrijecimento da armadura tracionada, as quais podem ser adotadas tanto na análise elasto-plástica do ELU quanto na verificação de deslocamentos imediatos em serviço. (c) A curva 2 da NBR 6118: 2003 referente à capacidade de rotação plástica (Figura 3.2) é muito próxima daquela obtida simplificadamente da análise da seção crítica, e decorrente do produto da altura útil pela diferença de curvaturas última (εsuk=50 ‰ no aço ou ε c,lim =3,5 ‰ no concreto) e do início do escoamento da armadura. (d) A distribuição de esforços solicitantes, decorrente da análise elástica, exige uma capacidade de rotação plástica não nula, razão pela qual é menor o limite da profundidade relativa da LN no ELU atualmente permitido por norma. Deve-se notar, ainda, que todas as análises estruturais estão interrelacionadas e supõem, implícita ou explicitamente, suficiente ductilidade da estrutura, através das vigas e lajes, para que a pretendida distribuição de esforços solicitantes seja alcançada, antes de haver ruptura material na seção mais crítica. (e) Uma redistribuição muito elevada de esforços solicitantes no projeto deve acarretar preponderância das condições de serviço. Com isto, uma tal redistribuição seria neutralizada, e a estrutura seria desnecessariamente mais segura no ELU – Flexão. (f) A presente verificação deve ser completada pela comprovação dos demais estados limites, últimos e de serviço.
153
ANEXO 1 DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ NO ESTÁDIO II Seja a seção T da Figura A1, com armadura dupla, sujeita a um momento fletor maior do que o de fissuração.
Figura A1 – Seção T, com armadura dupla, Estádio II A dedução, dada a seguir, permite obter as equações (4.3) a (4.8), e tem as seguintes hipóteses como base: (a) a flexão é simples; (b) a linha neutra atinge a alma, x ≥ h fl ; (c) o concreto à tração é desprezado na seção (mas é considerado no enrijecimento da armadura tracionada); (d) os materiais seguem a lei de Hooke; (e) na área de concreto comprimida não se desconta a área da armadura; (f) as grandezas são todas positivas. As deformações que interessam ao problema relacionam-se com a curvatura da seção como segue: ε ε ε − ε c3 ε s1 1 ε c1 = = = c3 = s2 = c1 r x x − d1′ x − hfl d − x hfl
(A1)
Como duas grandezas definem o estado de deformação, bastam as duas equações de equilíbrio para determiná-lo. A igualdade das forças de compressão e de tração se escreve: bw x h E cs ε c 1 + (bfl − bw )h flE cs ε c 3 + (bfl − bw ) fl E cs (ε c1 − ε c 3 ) 2 2 Es Introduz-se, nesta equação, o coeficiente de equivalência α s = , e substitui-se, através de Ecs (A1), cada uma das deformações em função da curvatura e da profundidade da LN. Após cancelar a curvatura, obtém-se a equação do segundo grau que dá a profundidade da LN: As 2 E s ε s 2 = A s1E s ε s1 +
154
hfl2 2 2 ′ x + [α s A s2 + α s As1 + (b fl − b w )hfl ]x − [α s A s2 d + α s As1d 1 + (bfl − b w ) ] = 0 bw bw 2 2
Esta equação dividida por d 2 permite introduzir as taxas de armaduras, ρ s1 =
(A2 a) As1 bw d
e
As2 d′ , o cobrimento relativo δ′1 = 1 da armadura do banzo comprimido, bem como a bw d d x profundidade relativa da LN, ξ = . Resulta, então: d ρ s2 =
ξ 2 + 2[α s (ρ s1 + ρ s2 ) + (
bfl h b h − 1) fl ]ξ − [2α s (ρ s1δ1′ + ρ s2 ) + ( fl − 1)( fl ) 2 ] = 0 bw d bw d
(A2b)
O momento das forças de compressão, em relação ao banzo tracionado, leva à seguinte equação: M=
bw x h (b − b w ) h x E cs ε c1(d − ) + (bfl − b w )hfl E cs ε c 3 (d − fl ) + + fl hfl E cs (ε c1 − ε c3 )(d − fl ) + As1E s ε s1(d − d1′ ) 2 3 2 2 3
Usando (A1) novamente, obtém-se a equação que determina a segunda incógnita do problema (1/r se M for conhecido, ou vice-versa): M = E csIII
III =
1 r
bw x 2 x h h h (d − ) + ( bfl − b w )hfl [( x − hfl )(d − fl ) + fl (d − fl )] + α s As1( x − d1′ )(d − d 1′ ) 2 3 2 2 3
(A3)
(A4a)
Esta última equação é o momento de inércia da seção fissurada, no Estádio II. Introduzindo os adimensionais resulta: III =
bw d 3 b h h h h {4α s [ρ s2 (1 − ξ)(3 − ξ) + ρ s1(ξ − δ′1 )( ξ − 3δ′1 )] + ( fl − 1) fl [(2ξ − fl )(2ξ − 3 fl ) + ( fl ) 2 (A4b) 12 bw d d d d
Seção retangular com armadura simples: faz-se b fl = b w e ρ s1 = 0 em (A2b) e (A4b) para obter (4.3) e (4.4). Seção retangular com armadura dupla: faz-se b fl = b w em (A2b) e (A4b) para obter (4.5) e (4.6). Seção T com armadura simples: faz-se ρ s1 = 0 em (A2b) e (A4b) para obter (4.7) e (4.8). Se a x h condição ξ = ≥ fl não ocorrer, refaz-se o cálculo com b w = b fl , alterando-se inclusive a taxa d d geométrica da armadura. A dedução dada usou as equações de equilíbrio na determinação da relação momentocurvatura no Estádio II. Entretanto, chega-se ao mesmo resultado através das conhecidas propriedades das figuras planas, pois é válida a lei de Hooke para ambos os materiais. Assim, a profundidade da LN é determinada igualando-se os momentos estáticos das áreas comprimidas e tracionada em relação à LN, ou seja: 155
bw x 2 h + (bfl − bw )h fl ( x − fl ) + α s As1( x − d1′ ) = α s As2 (d − x ) 2 2
(A2c)
Esta equação é idêntica à (A2a), como é fácil comprovar. O momento de inércia da seção fissurada em relação à LN é igual a:
III =
bw x 3 h h3 + (b fl − b w )hfl ( x − fl )2 + (bfl − bw ) fl + α s As1( x − d 1′ )2 + α s As2 (d − x ) 2 3 2 12
Para chegar à Equação (A4b), tira-se termo de (A4c), igual a (
156
(A4c)
bw x 2 de (A2c), substitui-se o resultado no primeiro 2
bw x 2 2x ) , e, em seguida, introduzem-se os adimensionais. 2 3
ANEXO 2 DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA Considere-se a viga equivalente da Figura A2, a qual atinge, para a carga Qu , uma deformação última na seção central, no aço ou no concreto.
Figura A2 – Viga equivalente Uma vez definidos o comprimento, a seção transversal, a armadura, as resistências e as deformações últimas dos materiais, esta carga é uma propriedade da viga equivalente. Admitida a hipótese sobre a extensão da zona plastificada, de comprimento igual ao dobro da altura útil da seção, obtém-se a capacidade de rotação plástica através da área hachurada da Figura A2b: 1 1 θ pl = d [( )um − ( ) ym ] (A5) r r O valor médio da curvatura última da seção central, conforme a equação (A1), vale: ε 1 ( )um = sum (A6a) r d − xu se o aço atingir sua deformação última na seção crítica antes do concreto, ou, em caso contrário: ε 1 ( )um = cum (A6b) r xu A curvatura média correspondente ao início do escoamento da armadura, na mesma seção, vem a ser: ε sym 1 ( ) ym = (A6c) r d − xy Inserindo (A6a), (A6b) e (A6c) em (A5), obtém-se as equações (3.2) e (3.3), após simplificações. Note-se que a área total da Figura A2b é a rotação relativa entre as seções extremas da viga equivalente, igual à soma das parcelas elástica e plástica.
157
Estas equações são, como se disse, uma aplicação da lei tensão-deformação média do banzo tracionado, associada à deformação do aço na fissura, dada no MC-90, item 3.2.3, e explicada em [6]. 7 Bibliografia [1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de concreto – Procedimento: NBR 6118: 2003. Rio de Janeiro, 2003. [2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado: NBR 7480. Rio de Janeiro, fev. 1996. [3] EUROCODE 2: Projecto de estruturas de betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para edifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez. 1991. [4] COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. London: Thomas Telford, 1993. [5] BUCHAIM, R. Análise plástica de vigas contínuas de concreto armado. IBRACON, São Paulo, n. 17, p. 32-38, fev./jun. 1997.
Revista
[6] BUCHAIM, R. A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez à flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2001. (www.uel.br/ctu/dtru). [7] BUCHAIM, R. Flexão simples e flexão composta normal: dimensionamento e verificação. Concreto Estrutural. CTU – Departamento de Estruturas. Universidade Estadual de Londrina. Londrina. Pr, 2002. (http://www.uel.br/ctu/dtru/DISCIPLINAS/3tru024/3tru024.html). [8] BUCHAIM, R. Estádios I, II e III no Concreto Armado. Diagrama Momento – Curvatura. Concreto Estrutural. CTU – Departamento de Estruturas. Universidade Estadual de Londrina. Londrina. Pr, 2004. (http://www.uel.br/ctu/dtru/DISCIPLINAS/3tru024/3tru024.html). [9] BUCHAIM, R.; PATRÃO, F. J. Lajes pré-fabricadas: otimização do comportamento estrutural. 46º Congresso Brasileiro do Concreto. IBRACON. Florianópolis, 2004. [10] SIGRIST, V.; MARTI, P. Ductility of structural concrete: a contribution. Zürich: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, Okt. 1994. (IBK Sonderdruck, n. 3). [11] SIGRIST, V. Zum Verformungsvermögen von Stahlbetonträgern. Zürich: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, Jul. 1995. IBK Bericht n. 210. [12] BUCHAIM, R.; VIEIRA Jr., L. C. M. Rigidez Equivalente de Pilares. 46º Congresso Brasileiro do Concreto. IBRACON. Florianópolis, 2004. [13] BRANSON, D. E. Deformation of Concrete Structures. Vol. 1. McGraw-Hill, Inc., 1977. [14] ARTHUR, P. D.; RAMAKRISHNAN, V. Ultimate Strength Design for Concrete. London: Sir Isaac Pitman and Sons, Ltd. 1969.
158
Structural
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 15
PILARES Autores: Alio Ernesto Kimura (1); Leonardo de Araujo dos Santos (2); Ricardo Leopoldo e Silva França (3) Revisor:
Fernando Rebouças Stucchi (4) (1) Engenheiro Civil – Sócio da TQS Informática (2) Engenheiro Civil – Diretor da JNDS Construtora (3) Engenheiro Civil - Diretor Presidente da França & Associados (4) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações USP, Escola Politécnica E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br
1. Introdução Os comentários desta seção visam esclarecer alguns itens relativos ao dimensionamento de pilar presentes na NBR 6118:2003, principalmente no que se refere a consideração do momento mínimo de primeira ordem (M 1d,mín) e a formulação do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. 2. Consideração do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) A NBR6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições geométricas locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem, cujo valor é obtido pela seguinte fórmula: M 1d,mín = NSd .(0,015 + 0,03 h )
sendo: NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção na direção analisada, em metros. No mesmo item, define-se ainda que os efeitos de 2ª ordem, quando calculados, devem ser acrescidos a este momento mínimo. De acordo com o exposto, para um pilar de seção retangular submetido a uma força normal NSd, pode-se definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança, pela expressão dada na Figura 2.1:
159
Figura 2.1 – Envoltória mínima de 1ª. Ordem Desta forma, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem (Figura 2.72).
Figura 2.2 – Envoltória resistente aos momentos de 1ª. ordem Por sua vez, quando há a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem (Figura 2.3).
Figura 2.3 – Envoltória resistente aos momentos de 2ª. ordem A consideração destas envoltórias mínimas pode ser realizada através de duas análises à flexão composta normal, calculadas de forma independente dos momentos fletores de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar, como mostra a Figura 2.4.
160
Figura 2.4 – Modelo de cálculo para consideração das envoltórias mínimas 3. Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada – Formulação para cálculo direto sem a necessidade de iterações A NBR6118:2003, em seu item 15.8.3.3.3, permite que o método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada seja adotado na análise de pilares retangulares com λ = 90, com armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. Segundo a formulação apresentada, o cálculo do momento total máximo M Sd,tot deve ser realizado de forma iterativa em função da rigidez adimensional κ, de acordo com as seguintes fórmulas: M Sd,tot =
α b M S1d,A
(1)
λ2 1− 120 κ/ν
M S d,tot κ = 32 1 + 5 h Nd
ν
(2)
Substituindo a equação (2) em (1) e considerando M S1d = αb M S1d,A , obtém-se: A = 5h N .I 2 A.(M Sd,tot )2 + B.MSd,tot + C = 0 , onde: B = h.N Sd − Sd e − 5h.MS1d 320 C = − N Sd .h 2 .M S1d
M Sd,tot =
− B + B 2 − 4.A.C 2.A
sendo: h a altura da seção na direção analisada; le o comprimento equivalente do lance do pilar; NSd a força normal solicitante com seu valor de cálculo; M S1d o momento solicitante de 1ª ordem na seção considerada com o seu valor de cálculo. Trata-se de uma formulação que possibilita o cálculo direto sem a necessidade de iterações, cujo resultado deve ser idêntico ao obtido pelo processo iterativo. 161
4. Exemplos 4.1 Informações sobre os exemplos A seguir, uma série de exemplos serão resolvidos. Em todos eles, a geometria da seção transversal, o comprimento equivalente, a resistência característica à compressão do concreto e a força normal de cálculo atuante no pilar serão constantes, de tal forma que é possível fazer as seguintes considerações iniciais:
Figura 4.1.1 – Dados gerais b = 20 cm e h = 60 cm le 300 = 12. = 17,3 60 h l 300 λ y = 12. e = 12. = 52,0 20 b λ x = 12.
• • •
Segundo 13.2.3 da norma, o coeficiente adicional γn=1,0. Segundo 15.8.3.3.3, pode-se adotar o método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. Segundo 15.8.3.1, não é necessário considerar a fluência.
Serão analisados 12 exemplos com diferentes formas de diagrama de momento fletor, sendo nove exemplos de análise à flexão composta normal (FCN) e três exemplos de análise à flexão composta oblíqua (FCO), agrupados da seguinte forma (Figuras 4.1.2 a 4.1.5): Nota – Em todos os exemplos, os momentos fletores seguem a notação vetorial.
Figura 4.1.2 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.3 a 4.5) 162
Figura 4.1.3 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.6 a 4.8)
Figura 4.1.4 – Exemplos de análise à flexão composta normal (itens 4.9 a 4.11)
163
Figura 4.1.5 – Exemplos de análise à flexão composta oblíqua (itens 4.12 a 4.14) 4.2 Verificação do momento mínimo de 1ª ordem Como a geometria do pilar e a força normal são constantes em todos exemplos que serão analisados, a verificação do momento mínimo de 1ª ordem pode ser previamente realizada, pois independe dos momentos fletores a que o pilar estará submetido. São duas análises à flexão composta normal. A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín M 1dx ,mín = 210.(0,015 + 0,03.h ) = 210.(0,015 + 0,03.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m
α bx = 1,0
λ1x
e1x,mín 25 + 12,5. h = α bx
M 1dx,mín / N Sd 25 + 12,5. h = α bx
6,93 / 210 25 + 12,5. 0,6 = = 25,7 < 35 ⇒ λ1x = 35,0 1,0
Como λ x = 17,3 < λ1x = 35,0 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. B. Flexão normal com atuação de M1dy,mín M 1dy,min = 210 (0,015+0,03b) = 210 (0,015+0,03.0,2 = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m α by = 1,0
164
e1y,mín 25 + 12,5. b λ1y = α by
/ NSd M 4,41 / 210 25 + 12,5. 1dx,mín 25 + 12,5. b 0,2 = 26,3 < 35 ⇒ λ = 35,0 = = 1y 1,0 αby
Como λ y = 52,0 > λ 1y = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: M S1d = M 1dy ,mín = 4,41 tf .m = 44,1 kN.m
A = 5.b = 5.0,2 = 1,0
B = b 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.b.M S1d = 0,2 2.210 − − 5.0,2.4,41 = −1,9 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.4,41 = −37,0 M Sdy ,tot =
2 − B + B 2 − 4.A.C 1,9 + − 1,9 − 4.1,0. − 37,0 = = 7,12 tf.m = 71,2 kN.m 2.A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas de 15.8.3.3.3: N Sd = b.h.fcd
210 = 0,817 3000 0,2.0,6. 1,4 M sdy ,tot .ν = 32. 1 + 5. 7,12 .0,817 = 48,3 κ y = 32. 1 + 5. 0,2.210 b.N sd M S1d 4,41 M Sdy ,tot = = = 7,1 ⇒ OK! 2 λy 52,0 2 1− 1− 120.48,3 / 0,817 120.κ y / ν ν=
C. Esforços mínimos para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (NRd, M Rdx, M Rdy) atenda as condições mínimas de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ x , µ y ) calculados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sdx = M 1dx, min = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m ⇒ µ x =
M Sdy = 0,0 tf.m = 0,0 kN.m ⇒ µ y =
M Sdy 2
b.h .f cd
=
M Sdx 2
b.h .f cd
=
6,93 = 0,0449 3000 0,2.0,6 2. 1,4
0,0 0,2 2.0,6.
3000 1,4
= 0,0
C.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 0,0 tf.m = 0,0 kN.m ⇒ µ x = 0,0 M Sdy = 7,12 tf.m = 71,2 kN.m ⇒ µ y = 0,1384 165
D. Envoltórias mínimas De acordo com os esforços calculados anteriormente, as seguintes envoltórias mínimas ficam então definidas (Figura 4.2):
Figura 4.2 – Envoltórias mínimas 4.3 Exemplo FCN-1a
Figura 4.3 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M 1d,mín M S1d,A = 3,5 tf.m = 35 kN.m M S1d,B = − 3,5 tf.m = −35 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A < M 1d,mín , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda os esforços mínimos calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem.
166
4.4 Exemplo FCN-1b
Figura 4.4 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M 1d,mín M S1d,A = 3,5 tf.m = 35 kN.m M S1d,B = 0,0 tf .m = 0 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A < M 1d,mín , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda os esforços mínimos calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. 4.5 Exemplo FCN-1c
Figura 4.5 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A < M 1d,mín M S1d,A = 3,5 tf.m = 35 kN.m M S1d,B = 3,5 tf.m = 35 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A < M 1d,mín , a armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda os esforços mínimos calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem.
167
4.6 Exemplo FCN-2a
Figura 4.6 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M 1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 10 tf.m = 100 kN.m M S1d,B = − 3,5 tf.m = −35 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A > M 1d,mín : αb = 0,6 + 0,4.
MS1d,B MS1d,A
= 0,6 + 0,4.
M S1d,A / NSd e 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b b = λ1 = αb αb
− 3,5 = 0,46 10
25 + 12,5. 10 / 210 = 0,2 = 60,8 0,46
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52,0 < λ1 = 69,9 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. C.2 Flexão normal no topo do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = 3,5 tf.m = 35 kN.m ⇒ ⇒ µ = 0,0681 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -10,0 tf.m = -100 kN.m ⇒ ⇒ µ = −0,1944 168
4.7 Exemplo FCN-2b
Figura 4.7 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M 1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 10 tf.m = 100 kN.m M S1d,B = 0,0 tf .m = 0 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A > M 1d,mín : α b = 0,6 + 0,4.
M S1d,B M S1d, A
= 0,6 + 0,4.
0 = 0,6 10
M S1d, A / N Sd e 25 + 12,5. 10 / 210 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b 0,2 = 46,6 = b = λ1 = 0,6 αb αb
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52, 0 > λ1 = 46,6 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: M S1d = αb .M S1d,A = 0,6.10,0 = 6,0 tf.m = 60 kN.m A = 5b = 5.0,2 = 1,0 B = b2.NSd −
NSd .le2 210.32 − 5.b.MS1d = 0,22.210 − − 5.0,2.6,0 = −3,5 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.6,0 = −50,4 M Sd,tot =
3,5 + − 3,5 2 − 4.1,0. − 50,4 − B + B 2 − 4.A.C = = 9,07 tf.m = 90,7 kN.m 2 .A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sd,tot 9,07 .ν = 32.1 + 5. κ = 32.1 + 5. .0,817 = 54,4 b.N Sd 0,2.210 M S1d 6,0 M Sd,tot = = = 9,1 ⇒ OK! 2 λ 52,0 2 1− 1− 120.κ / ν 120.54,4 / 0,817
169
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. C.2 Flexão normal no topo do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = 0,0 tf.m = 0 kN.m ⇒ ⇒ µ = 0,0 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -10,0 tf.m = -100 kN.m ⇒ µ = −0,1944 C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -9,07 tf.m = -90,7 kN.m ⇒ µ = −0,1764
170
4.8 Exemplo FCN-2c
Figura 4.8 – Pilar submetido à flexão composta normal com MS1d,A > M 1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 10 tf.m = 100 kN.m M S1d,B = 7,0 tf.m = 70 kN.m M 1d,mín = 210.(0,015 + 0,03.b) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1d,A > M 1d,mín : α b = 0,6 + 0,4.
M S1d,B M S1d,A
M S1d,A / N Sd e 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b b = λ1 = αb αb
= 0,6 + 0,4.
7 = 0,88 10
10 / 210 25 + 12,5. 0,2 = = 31,8 < 35 ⇒ λ1 = 35,0 0,88
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52,0 > λ1 = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: M S1d = αb .M S1d,A = 0,88.10,0 = 8,8 tf.m = 88 kN.m A = 5b = 5.0,2 = 1,0 B = b2.NSd −
NSd .l e2 210.32 − 5.b.MS1d = 0,22.210 − − 5.0,2.8,8 = −6,3 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.8,8 = −73,9
M Sd,tot =
6,3 + − 6,3 2 − 4.1,0. − 73,9 − B + B 2 − 4.A.C = = 12,3 tf.m = 123 kN.m 2 .A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
171
M Sd,tot κ = 32.1 + 5. b.N Sd M Sd,tot =
12,31 .ν = 32.1 + 5. .0,817 = 64,5 0,2.210
MS1d 2
λ 1− 120.κ / ν
=
8,8 52,0 2 1− 120.64,5 / 0,817
= 12,3 ⇒ OK!
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem.
C.2 Flexão normal no topo do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -7,0 tf.m = -70 kN.m ⇒ ⇒ µ = −0,1361 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -10,0 tf.m = -100 kN.m ⇒ µ = −0,1944 C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf = 2 100 kN ⇒ ν = 0,817 M Sd = -12,31 tf.m = -123,1 kN.m ⇒ µ = −0,2394
172
4.9 Exemplo FCN-3a
Figura 4.9 – Pilar submetido à flexão composta normal com α b.MS1d,A < M1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m M S1d,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m M S1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m Como M S1d,A > M S1d,mun: α b = 0,6 + 0,4.
M S1d,B M S1d,A
M S1d,A / N Sd e 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b b = λ1 = αb αb
= 0,6 + 0,4.
−4 = 0,24 < 0,4 ⇒ α b = 0,4 4,5
4,5 / 210 25 + 12,5. 0,2 = = 65,9 0,4
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52,0 < λ1 = 65,9 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. C.2 Flexão normal no topo do pilar M S1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = 4,0 tf.m = 40 kN.m ⇒ µ = 0,0778 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m ⇒ µ = −0,0875 173
4.10 Exemplo FCN-3b
Figura 4.10 – Pilar submetido à flexão composta normal com α b MS1d,A < M1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m M S1d,B = 0,0 tf.m = 0 kN.m M S1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m Como M S1d,A > M S1d,mun: α b = 0,6 + 0,4.
M S1d,B M S1d,A
M S1d,A / N Sd e 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b b = λ1 = αb αb
= 0,6 + 0,4.
0 = 0,6 4,5
4,5 / 210 25 + 12,5. 0,2 = = 43,9 0,6
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52,0 > λ1 = 43,9 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: M S1d = αb M S1d,A = 0,6.4,5 = 2,7 tf.m = 27,0 kN.m A = 5b = 5.0,2 = 1,0 B = b 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.b.M S1d = 0,2 2.210 − − 5.0,2.2,7 = −0,2 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.2,7 = −22,7
M Sd,tot =
0,2 + − 0,2 2 − 4.1,0. − 22,7 − B + B 2 − 4.A.C = = 4,87 tf.m = 48,7 kN.m 2 .A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sd,tot κ = 32.1 + 5. b.N Sd
174
4,87 .ν = 32.1 + 5. .0,817 = 41,3 0 , 2.210
M Sd,tot =
M S1d 2
λ 1− 120.κ / ν
=
2,7 52,0 2 1− 120.41,3 / 0,817
= 4,9 ⇒ OK!
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem.
C.2 Flexão normal no topo do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = 0,0 tf.m = 0 kN.m ⇒ µ = 0,0 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m ⇒ µ = −0,0875 C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 4,8 tf.m = – 48 kN.m ⇒ µ = −0,0947
175
4.11 Exemplo FCN-3c
Figura 4.11 – Pilar submetido à flexão composta normal com α b MS1d,A < M1d,mín A. Cálculos iniciais M S1d,A = 4,5 tf.m = 45 kN.m M S1d,B = 4,0 tf.m = 40 kN.m M S1d,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m Como M S1d,A > M S1d,mun: α b = 0,6 + 0,4.
M S1d,B M S1d,A
M S1d,A / N Sd e 25 + 12,5. 1 25 + 12,5. b b = λ1 = αb αb
= 0,6 + 0,4.
4 = 0,96 4,5
4,5 / 210 25 + 12,5. 0,2 = = 27,6 < 35 ⇒ λ 1 = 35,0 0,96
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ = 52,0 > λ1 = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: M S1d = αb M S1d,A = 0,96.4,5 = 4,3 tf.m = 43,0 kN.m A = 5b = 5.0,2 = 1,0 B = b 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.b.MS1d = 0,2 2 .210 − − 5.0,2.4,3 = −1,8 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.4,3 = −36,1
M Sd,tot =
2 − B + B 2 − 4.A.C 1,8 + − 1,8 − 4.1,0 − 36,1 = = 6,98 tf.m = 69,8 kN.m 2 .A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
176
M Sd,tot 6,98 .ν = 32.1 + 5. κ = 32.1 + 5. .0,817 = 47,9 b.N Sd 0,2.210 M S1d 4,3 M Sd,tot = = = 7,0 ⇒ OK! 2 52,0 2 λ 1− 1− 120.47,9 / 0,817 120.κ / ν
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais (ν , µ ) apresentados podem ser utilizados em ábacos para o dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. C.2 Flexão normal no topo do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m ⇒ µ = −0,0778 C.3 Flexão normal na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 4,5 tf.m = – 45 kN.m ⇒ µ = −0,0875 C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sd = – 6,98 tf.m = – 69,8 kN.m ⇒ µ = −0,1357
177
4.12 Exemplo FCO-1a
Figura 4.12.1 – Dimensionamento de pilar submetido à flexão composta oblíqua A. Cálculos iniciais A.1 Cálculo em x M S1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m M S1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m M 1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m Como M S1dx,A > M 1dx ,mín : α bx = 0,6 + 0,4.
λ1x
e 25 + 12,5. 1x h = α bx
M S1dx,B M S1dx,A
M S1dx,A / N Sd 25 + 12,5. h = α bx
= 0,6 + 0,4.
−4 = 0,37 < 0,4 ⇒ α bx = 0,4 7
7 / 210 25 + 12,5. 0,6 = = 64,2 0,4
A.2 Cálculo em y M S1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m M S1dy,B = – 5,0 tf.m = – 50 kN.m M 1dy,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m Como M S1dy,A > M 1dy ,mín : α by = 0,6 + 0,4. e1y 25 + 12,5. b λ1y = α by
M S1dy,B M S1dy,A
= 0,6 + 0,4.
−5 = 0,27 < 0,4 ⇒ α by = 0,4 6
M S1dy,A / N Sd 25 + 12,5. 6 / 210 25 + 12,5. b 0,2 = = = 67,0 α by 0,4
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Como λ x = 17,3 < λ1x = 64,2 e λ y = 52,0 < λ 1y = 67,0 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem em nenhuma das direções. C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais
(ν , µ x , µ y )
apresentados
dimensionamento desta armadura. 178
podem
ser
utilizados
em
ábacos
para
o
C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m ⇒ µ x = 0,0454 M Sdy = 5,0 tf.m = 50 kN.m ⇒ µ y = 0,0972 C.3 Flexão oblíqua na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m ⇒ µ x = −0,0259 M Sdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m ⇒ µ y = −0,1167 D. Dimensionamento de armadura Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 10 barras de 20 mm (As = 31,4cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, conforme mostra Figura 4.12.2:
Figura 4.12.2 – Atendimento às solicitações
179
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:
Figura 4.12.3 – Resposta – Método Geral
180
4.13 Exemplo FCO-1b
Figura 4.13.1 – Dimensionamento de pilar submetido à flexão composta oblíqua A. Cálculos iniciais A.1 Cálculo em x M S1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m M S1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m M 1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m Como M S1dx,A > M 1dx ,mín : α bx = 0,6 + 0,4.
λ1x
e 25 + 12,5. 1x h = α bx
M S1dx,B M S1dx,A
M S1dx,A / N Sd 25 + 12,5. h = α bx
= 0,6 + 0,4.
−4 = 0,37 < 0,4 ⇒ α bx = 0,4 7
7 / 210 25 + 12,5. 0,6 = = 64,2 0,4
A.2 Cálculo em y M S1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m M S1dy,B = 0,0 tf.m = 0 kN.m M 1dy,min = 210 (0,015 +0,03b)= 210 (0,015+0,03.02) = 4,41 tf.m = 44,1 kN.m Como M S1dy,A > M 1dy ,mín : α by = 0,6 + 0,4. e1y 25 + 12,5. b λ1y = α by
M S1dy,B M S1dy,A
= 0,6 + 0,4.
0 = 0,6 6
M S1dy,A / N Sd 25 + 12,5. 6 / 210 25 + 12,5. b 0,2 = = = 44,6 α by 0,6
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção, isto é, λ x = 17,3 < λ 1x = 64,2 e λ y = 52,0 > λ 1y = 44,6 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem tanto em x como em y. B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar a) Cálculo em x Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 181
M S1dx = α bx M S1dx ,A = 0,4.7,0 = 2,8 tf .m = 28 kN.m
A = 5 h = 5.0,6 = 3,0
B = h 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.h.M S1dx = 0,6 2 .210 − − 5.0,6.2,8 = 61,3 320 320
C = −N Sd .h 2 .M S1dx = −210.0,6 2.2,8 = −211,7 M Sdx ,tot =
− 61,3 + 61,3 2 − 4.3,0. − 211,7 − B + B 2 − 4.A.C = = 3,01 tf.m = 30,1kN.m 2.A 2.3,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sdx ,tot κ x = 32. 1 + 5. h.N Sd
3,01 .ν = 32.1 + 5. .0,817 = 29,3 0 , 6 .210
M S1dx
M Sdx ,tot = 1−
=
λ2x 120.κ x / ν
2,8 17,3 2 1− 120.29,3 / 0,817
= 3,0 ⇒ OK!
b) Cálculo em y M S1dy = α by .M S1dy ,A = 0,6.6,0 = 3,6 tf.m = 36,0 kN.m
A = 5.b = 5.0,2 = 1,0
B = b 2 .N Sd −
N Sd .l 2e 210.3 2 − 5.b.MS1dy = 0,2 2.210 − − 5.0,2.3,6 = −1,1 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.3,6 = −30,2 M Sd,tot =
2 − B + B 2 − 4.A.C 1,1 + − 1,1 − 4.1,0 − 30,2 = = 6,08 tf.m = 60,8 kN.m 2.A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sdy ,tot κ y = 32. 1 + 5. b.N Sd
.ν = 32.1 + 5. 6,08 .0,817 = 45,1 0,2.210
M S1dy
M Sdy ,tot = 1−
λ2y
=
120.κ y / ν
3,6 52,0 2 1− 120.45,1 / 0,817
= 6,1 ⇒ OK!
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais
(ν , µ x , µ y )
apresentados
podem
ser
utilizados
em
ábacos
para
o
dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem. 182
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m ⇒ µ x = 0,0454 M Sdy = 0,0 tf.m = 0 kN.m ⇒ µ y = 0,0 C.3 Flexão oblíqua na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m ⇒ µ x = −0,0259 M Sdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m ⇒ µ y = −0,1167 C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 3,01 tf.m = 30,1 kN.m ⇒ µ x = 0,0195 M Sdy = – 6,08 tf.m = – 60,8 kN.m ⇒ µ y = −0,1182 D. Dimensionamento de armadura Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 10 barras de 20 mm (As = 31,4cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a Figura 4.13.2:
Figura 4.13.2 – Atendimento às solicitações 183
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:
Figura 4.13.3 – Resposta – Método Geral
184
4.14 Exemplo FCO-1c
Figura 4.14.1 – Pilar submetido à flexão composta oblíqua A. Cálculos iniciais A.1 Cálculo em x M S1dx,A = 7,0 tf.m = 70 kN.m M S1dx,B = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m M 1dx,min = 210 (0,015+0,3h) = 210 (0,015+0,3.0,6) = 6,93 tf.m = 69,3 kN.m Como M S1dx,A > M 1dx ,mín : α bx = 0,6 + 0,4.
λ1x
e 25 + 12,5. 1x h = α bx
M S1dx,B M S1dx,A
M S1dx,A / N Sd 25 + 12,5. h = α bx
= 0,6 + 0,4.
−4 = 0,37 < 0,4 ⇒ α bx = 0,4 7
7 / 210 25 + 12,5. 0,6 = = 64,2 0,4
A.2 Cálculo em y M S1dy,A = 6,0 tf.m = 60 kN.m M S1dy,B = 5,0 tf.m = 50 kN.m M 1dy ,mín = 210.(0,015 + 0,03.b ) = 210.(0,015 + 0,03.0,2) = 4,41 tf.m = 44,1kN.m
Como M S1dy,A > M 1dy ,mín : α by = 0,6 + 0,4. e1y 25 + 12,5. b λ1y = α by
M S1dy ,B M S1dy ,A
= 0,6 + 0,4.
5 = 0,93 6
M S1dy,A / N Sd 25 + 12,5. 6 / 210 25 + 12,5. b 0,2 = = = 28,8 < 35 ⇒ λ 1y = 35,0 α by 0,93
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção, isto é, λ x = 17,3 < λ 1x = 64,2 e λ y = 52,0 > λ 1y = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem tanto em x como em y. B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar a) Cálculo em x Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, tem-se: 185
M S1dx = α bx M S1dx ,A = 0,4.7,0 = 2,8 tf .m = 28 kN.m
A = 5 h = 5.0,6 = 3,0
B = h 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.h.M S1dx = 0,6 2 .210 − − 5.0,6.2,8 = 61,3 320 320
C = −N Sd .h 2 .M S1dx = −210.0,6 2.2,8 = −211,7 M Sdx ,tot =
− 61,3 + 61,3 2 − 4.3,0. − 211,7 − B + B 2 − 4.A.C = = 3,01 tf.m = 30,1kN.m 2.A 2.3,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sdx ,tot κ x = 32. 1 + 5. h.N Sd
3,01 .ν = 32.1 + 5. .0,817 = 29,3 0 , 6 .210
M S1dx
M Sdx ,tot = 1−
λ2x
=
120.κ x / ν
2,8 17,3 2 1− 120.29,3 / 0,817
= 3,0 ⇒ OK!
b) Cálculo em y M S1dy = α by .M S1dy,A = 0,93.6,0 = 5,6 tf.m = 56,0 kN.m
A = 5.b = 5.0,2 = 1,0
B = b 2 .N Sd −
N Sd .l e2 210.3 2 − 5.b.M S1dy = 0,2 2 .210 − − 5.0,2.5,6 = −3,1 320 320
C = −N Sd .b 2 .M S1d = −210.0,2 2.5,6 = −47,0 M Sdy ,tot =
2 − B + B 2 − 4.A.C 3,1 + − 3,1 − 4.1,0 − 47,0 = = 8,59 tf.m = 85,9 kN.m 2.A 2.1,0
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3: M Sdy ,tot .ν = 32.1 + 5. 8,59 .0,817 = 52,9 κ y = 32. 1 + 5. 0,2.210 b.N Sd M S1dy 5,6 M Sdy ,tot = = = 8,6 ⇒ OK! 2 λy 52,0 2 1− 1− 120.52,9 / 0,817 120.κ y / ν
C. Esforços finais para dimensionamento A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência (N Rd , M Rdx , M Rdy ) atenda as condições de solicitação listadas a seguir. Os valores dos esforços adimensionais
(ν , µ x , µ y )
apresentados
podem
ser
utilizados
em
ábacos
para
o
dimensionamento desta armadura. C.1 Esforços mínimos São os mesmos esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do momento mínimo de 1ª ordem.
186
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 7,0 tf.m = 70 kN.m ⇒ µ x = 0,0454 M Sdy = – 5,0 tf.m = – 50 kN.m ⇒ µ y = 0,0972 C.3 Flexão oblíqua na base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = – 4,0 tf.m = – 40 kN.m ⇒ µ x = −0,0259 M Sdy = – 6,0 tf.m = – 60 kN.m ⇒ µ y = −0,1167 C.5 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar NSd = 210 tf.m = 2100 kN.m ⇒ ν = 0,817 M Sdx = 3,01 tf.m = 30,1 kN.m ⇒ µ x = 0,0195 M Sdy = – 8,59 tf.m = – 85,9 kN.m ⇒ µ y = −0,1670 D. Dimensionamento de armadura Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal composta por 14 barras de 20 mm (As = 44,0cm2), aço CA50, na qual todas as condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a Figura 4.14.2:
Figura 4.14.2 – Atendimento às solicitações 187
Utilizando um Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real em diversas seções ao longo do pilar e a não-linearidade geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:
Figura 4.14.3 – Resposta – Método Geral
188
5. Exemplo com vários processos para verificação de pilar esbelto, biapoiado, com flexão composta obliqua (FCO) Seja o pilar abaixo submetido à flexão composta oblíqua, e com momentos fletores no topo e na base dados a seguir. Deseja-se saber se a segurança é adequada.
Figura 5 – Pilar submetido à flexão composta oblíqua Esta verificação será feita por três processos aproximados diferentes, descritos nos itens 5.4, 5.5 e 5.6, sendo o mais preciso entre eles, o do item 5.4.
5.1 Determinação da capacidade resistente da seção transversal para a força normal solicitante NSd = 869kN Como a armadura e a força normal solicitante são conhecidas, pode-se determinar a capacidade resistente à flexão composta isolada segundo a direção x e segundo a direção y.
Figura 5.1 – Capacidade resistente à flexão composta Para obter os pares resistentes à flexão composta oblíqua para NRd = NSd = 869kN, pode-se adotar o processo aproximado do item 17.2.5.2 da NBR 6118:2003: M Rdx M Rdxx
1,2
M Rdy + M Rdyy
1,2
=1
(para obter pontos da curva de interação de momentos resistentes M Rdx e MRdy) 189
Ou em uma verificação, deve-se ter: M Sdx M Rdxx
1,2
M Sdy + M Rdyy
1,2
(para checar se um par solicitante M Sdx;M Sdy é possível, isto é, ≤ 1 se a seção resiste adequadamente este esforço)
5.2 Cálculo dos valores de rigidez aproximados Para a análise dos efeitos de segunda ordem pelo modelo mais geral, é necessário conhecer as curvaturas 1/ r x e 1/ r y para cada par solicitante ao longo do pilar, e isto só pode ser feito de maneira factível por computador. É possível, no entanto, adotar valores de rigidez aproximados para cada direção a partir das expressões dadas nos itens 15.3.1 e 15.8.3.3.3 da NBR 118:2003: e κ xx ≅ 32.ν. 1 + 5. totx ax
EI x = 3 a y a x fcd
e toty κ yy ≅ 32.ν. 1 + 5. ay
EI y = a a 3f x y cd
Estas expressões foram deduzidas a partir dos ábacos da tese de doutoramento “Contribuição ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto armado”, FRANÇA, R.L.S. (1991). Para etotx e etoty, tem-se: M Rdxx 87 = = 0,100m NSd 869 M Rdyy 132 e toty = = = 0,152m NSd 869 N Sd 869 ν= = = 0,6 20000 a x .a y .fcd 0,26.0,39. 1,4 Assim: 0,100 κ xx ≅ 32.0,60.1 + 5. = 56,2 0,26 e totx =
0,152 κ yy ≅ 32.0,60.1 + 5. = 56,6 0,39 E, portanto, o valor da rigidez aproximado nas direções x e y é dado por:
EI x = κ xx a y a x 3 fcd = 56,2.0,39.0,26 3.20000 / 1,4 = 5499kN.m 2 EI y = κ yya x a y 3 fcd = 56,6.0,26.0,39 3.20000 / 1,4 = 12466kN.m 2 A rigor, estes valores de rigidez secante EIx e EIy só poderiam ser usados em verificações isoladas de flexão composta normal, isto é, só segundo a direção x ou só segundo a direção y. Pode-se demonstrar que o erro decorrente do uso destes valores na flexão composta obliqua é
190
pequeno, podendo-se analisar cada direção isoladamente e compor os momentos obtidos em cada seção ao longo do pilar. 5.3 Verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) A verificação do momento mínimo de 1ª ordem será realizada de acordo com os comentários apresentados logo no início da resolução dos exemplos. São duas análises à flexão composta normal.
Figura 5.3.1 – Verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín) A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín l 650 λ x = 12. e = 12 . = 86,6 26 h M 1dx ,mín = 869.(0,015 + 0,03.a x ) = 869.( 0,015 + 0,03.0,26) = 19,8kN.m α bx = 1,0
λ 1x
e1x ,mín 25 + 12,5. ax = α bx
/ N Sd M 25 + 12,5. 1dx,mín 25 + 12,5. 19,8 / 869 a x = = 0,26 = 26,1 < 35 ⇒ λ = 35,0 1x 1,0 α bx
Como λ x = 86,6 > λ1x = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando o método do pilar-padrão com a rigidez κxx aproximada calculada no item anterior, tem-se: M1dx ,mín
M Sdx ,tot = 1−
λ2x 120.κ xx / ν
=
19,8 86,6 2 1− 120.56,2 / 0,6
= 59,5
B. Flexão normal com atuação de M 1dy,mín λ y = 12.
le 650 = 12 . = 57,7 ay 39
M1dy,mín = 869.(0,015 + 0,03.a y ) = 869.(0,015 + 0,03.0,39) = 23,2kN.m α by = 1,0
191
λ 1y
e1y,mín 25 + 12,5. ay = α by
M 1dy,mín / N Sd 23,2 / 869 25 + 12,5. 25 + 12,5. a y 0,39 = 25,9 < 35 ⇒ λ 1y = 35,0 = = 1,0 α by
Como λ y = 57,7 > λ1y = 35,0 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem. Utilizando o método do pilar-padrão com a rigidez κyy aproximada calculada no item anterior, tem-se: M1dy,mín
M Sdy ,tot = 1−
λ2y 120.κ yy / ν
=
23,2 57,7 2 1− 120.56,6 / 0,6
= 32,9
D. Envoltória mínima A resistência obtida pelo dimensionamento adotado atende a envoltória mínima de esforços.
Figura 5.3.2 – A envoltória resistente atende a envoltória de esforços solicitantes
192
5.4 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com λ x e λ y menores que 90, baseado na verificação em quatro seções criticas, com valores de rigidez secante aproximados Este processo consiste na verificação da capacidade portante às trincas solicitantes NSd, M Sdx, M Sdy em 4 seções ao longo da altura do pilar: -
seção do topo, sem 2ª ordem local; seção da base, sem 2ª ordem local; seção C, a 0,4.le da base, com 2ª ordem local; seção D, a 0,6.le da base, com 2ª ordem local.
A. Verificação da capacidade portante no topo e na base do pilar biapoiado Para determinar se os pares solicitantes do topo e base estão dentro da “curva resistente”, é necessário verificar as seguintes desigualdades: No topo: M Sdx = – 20,0 kN e M Sdy = 80,0 kN − 20,0 87
1,2
+ 80,0 + 132
1,2
= 0,17 + 0,55 = 0,72 < 1 ⇒ OK!
Na base: M Sdx = 40,0 kN e M Sdy = – 40,0 kN − 40,0 87
1,2
40,0 + 132
1,2
= 0,39 + 0,24 = 0,63 < 1 ⇒ OK!
Pode-se dizer que a seção está adequada para resistir os esforços no topo e na base. B. Cálculo aproximado dos momentos de 2ª ordem nas direções x e y As seções críticas em um pilar biapoiado sem carga transversal são usualmente as seções C e D, respectivamente a 0,4.le e 0,6.le da base. Serão estas as seções analisadas. O cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem nestas seções será feito de maneira aproximada, utilizando-se o processo do pilar-padrão com rigidez aproximada e com uma adaptação ao item 15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003. Denominar-se-á M A, o maior momento fletor no topo ou base, em módulo, e M B, o menor momento, com sinal positivo se tracionar na mesma face que M A e negativo em caso contrário. Deve-se verificar, nas direções x e y, se o diagrama de momento fletor é tal, que o menor momento (M B) seja menor que a metade do maior momento (M A), e esteja tracionando o lado oposto a este, ou seja, M B < −0,5.M A . Esta recomendação equivale a tomar α b = 0,6 + 0,4
MB ≥ 0,4 . MA
Assim, por exemplo, se tivermos em uma direção, os momentos dados a seguir:
193
Figura 5.4.1 – Diagrama de momentos fletores No problema que está sendo analisado, tem-se: - na direção x: M Ax = + 40 kN.m e M Bx = – 20 kN.m - na direção y: M Ay = + 80 kN.m e M By = – 40 kNm O cálculo de αbx e αby, portanto, é dado por: α bx = 0,60 + 0,40. α by
(− 20) = 0,40 ≤ 0,40 ⇒ α
bx = 0,40 40 (− 40) = 0,40 ≤ 0,40 ⇒ α = 0,40 = 0,60 + 0,40. by 80
Os momentos fletores de 1ª ordem nas seções C e D são calculados a seguir:
M Ddx = 0, 4.M Basex + 0,6.M Topox = 0, 4. 40 + 0,6.(− 20 ) = 4kN .m M Cdx = 0,6.M Basex + 0, 4.M Topox = 0,6. 40 + 0, 4.(− 20) = 16kN .m M Ddy = 0,4.M Basey + 0,6.M Topoy = 0, 4.(− 40 ) + 0,6.80 = 32kN .m M Cdy = 0, 6.M Basey + 0, 4.M Topoy = 0, 6.(− 40) + 0, 4.80 = 8kN .m Figura 5.4.2 – Momentos fletores de 1ª ordem nas seções C e D Os momentos de 2ª ordem locais, M 2x e M 2y, serão obtidos de maneira aproximada pelo pilarpadrão com os valores de rigidez EIx e EIy calculados anteriormente. M 2x ≅
194
M ox N d .l 2e 1− 10.γ f 3 .EI x
− M ox ; sendo M ox o maior valor entre M Ddx e M Cdx
M 2y ≅
M oy N d .l 2e 1− 10.γ f 3 .EI y
− M oy ; sendo M oy o maior valor entre M Ddy e M Cdy
As duas fórmulas acima representam exatamente as mesmas expressões definidas no item 15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003, porém com a inclusão do coeficiente γf3. Pode-se adotar γf3 = 1,1 ou γf3 = 1,0. Neste exemplo, será adotado γf3 = 1,0. Assim sendo: M ox = máx (4; 16) = 16 kN.m M oy = max (32; 8) = 32 kN.m M 2x ≅
M 2y ≅
16 869.6,5 2 1− 10.1,0.5499 32
− 16 = 32,2kN.m
869.6,5 2 1− 10.1,0.12466
− 32 = 13,4kN.m
Os momentos totais (1ª + 2ª ordem) nas seções C e D serão dados por: Na seção C: M Cd,totx = M Cdx + M 2 x = 16,0 + 32,2 = 48,2kN.m
M Cd,toty = M Cdy + M 2y = 8,0 + 13,4 = 21,4kN.m 48,2 Verificação da capacidade resistente: 87
1,2
21,4 + 132
1,2
= 0,61 < 1 ⇒ OK!
Na seção D: M Dd,totx = M Ddx + M 2 x = 4,0 + 32,2 = 36,2kN.m
MDd,toty = MDdy + M 2y = 32,0 + 13,4 = 45,4kN.m 36,2 Verificação da capacidade resistente: 87
1,2
45,4 + 132
1,2
= 0,63 < 1 ⇒ OK!
Pode-se dizer que o pilar está adequado a este conjunto de esforços (seções C e D). Se o problema fosse de dimensionamento da armadura, este poderia ser feito por tentativas, arbitrando-se em cada passo a armadura total As,tot e seu arranjo, seguindo-se seqüência de verificação análoga. É interessante a visualização destes esforços solicitantes ao longo do pilar, e a comparação com a curva que define a capacidade resistente da seção para a força normal solicitante dada, conforme mostra a figura a seguir.
195
Figura 5.4.3 – Esforços solicitantes ao longo do pilar e capacidade resistente da seção
196
5.5 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com λ x e λ y menores que 90, baseado na verificação em três seções criticas, com os valores de rigidez secante aproximados e processo do pilar-padrão Este processo é mais simplificado e menos preciso que o anterior, e consiste na verificação de uma só seção central, além do topo e da base do pilar. Esta seção central tem seus momentos solicitantes dados por: 1
M Exd ,tot = α bx M Ax ⋅ 1−
λ2x 120.κ x / ν 1
M Eyd,tot = α by M Ay ⋅ 1−
λ2y 120.κ y / ν
Sendo: M Ax o maior momento entre M xd,Topo e M xd,Base M Ay o maior momento entre M yd,Topo e M yd,Base λ x = 12.
le l N Sd ; λ y = 12 ⋅ e ; ν = e κx e κy avaliados como no exemplo anterior. ax ay a x .a y .fcd
α bx = 0,60 + 0,40.
M By M Bx ≥ 0,40 e α by = 0,60 + 0,40. ≥ 0,40 M Ax M Ay
A verificação especificada na norma de M Exd,tot > M Axd e M Eyd,tot > M Ayd, não será feita, pois os momentos no topo e na base serão verificados diretamente. Assim, no problema em questão, tem-se:
M Ax = máx ( − 20 ; + 40 ) = 40kN.m e M Bx = −20kN.m M Ay = máx ( + 80 ; − 40 ) = 80kN.m e MBy = −40kN.m α bx = 0,60 + 0,40.
(− 20) = 0,40
e κ x = κ xx = 56,2 (ver item 2)
α by = 0,60 + 0,40.
(− 40 ) = 0,40
e κ y = κ yy = 56,6 (ver item 2)
40
80
Logo, tem-se: M Exd ,tot = 0,40.40
M Eyd,tot = 0,40.80
1 86,6 2 1− 120.56,2 / 0,6 1 57,7 2 1− 120.56,6 / 0,6
= 48,1kN.m
= 45,3kN.m
197
Como se pode notar, este processo é semelhante ao do item 5.4 e considera os maiores momentos entre as seções C e D para a seção fictícia E. A verificação da capacidade resistente nas três seções críticas se faz como exposto no item 5.1: No topo: M Sdx = – 20,0 kN e M Sdy = 80,0 kN − 20,0 87
1,2
+ 80,0 + 132
1,2
= 0,17 + 0,55 = 0,72 < 1 ⇒ OK!
No meio: M Exd,tot = 48,1 kN e M Eyd,tot = 45,3 kN 48,1 87
1,2
45,3 + 132
1,2
= 0,49 + 0,28 = 0,77 < 1 ⇒ OK!
Na base: M Sdx = 40,0 kN e M Sdy = – 40,0 kN − 40,0 87
1,2
40,0 + 132
1,2
= 0,39 + 0,24 = 0,63 < 1 ⇒ OK!
Segundo este processo, pode-se dizer que o pilar está adequado a este conjunto de esforços (topo, base e seção central E).
198
5.6 Processo aproximado de verificação de pilares biapoiados esbeltos com FCO e com λ x e λ y menores que 90, baseado na verificação em três seções criticas, com os valores de curvatura aproximados e processo do pilar-padrão Este processo é ainda mais aproximado que o anterior, e consiste na verificação de uma só seção central, além do topo e base do pilar. Nesta seção central, os momentos solicitantes são dados por uma adaptação do processo descrito no item 15.8.3.3.2 da NBR 6118:2003 para FCO. l2 1 M Exd ,tot ≅ α bx .M Ax + N sd . e . 10 r x M Eyd,tot ≅ α by .M Ay
l 2e 1 + N sd . . 10 r y
Sendo ν, αbx, αby, M Ax, M Ay com as mesmas definições do item 5.5.
1 0,005 1 = = 0,0175 r x 0,26.(0,6 + 0,5) m 1 0,005 1 = = 0,0117 r y 0,39.(0,6 + 0,5 ) m E os momentos da seção fictícia E, dados por: 6,5 2 M Exd ,tot = 0,4.40 + 869. .0,0175 = 80,2kN.m 10 6,5 2 M Eyd,tot = 0,4.80 + 869. .0,0117 = 74,8kN.m 10 A verificação da capacidade portante na seção central é dada por: No meio: M Exd,tot = 80,2 kN e M Eyd,tot = 74,8 kN 80,2 87
1,2
74,8 + 132
1,2
= 0,91 + 0,51 = 1,42 > 1 ⇒ A seção não resiste ao esforço!
Por este processo, teríamos que aumentar a seção ou a armadura da peça. Lembrando que isto não é necessário, pois o processo apresentado no item 5.4, mais preciso, demonstrou que a seção resiste aos esforços solicitantes adequadamente.
199
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 17 VERIFICAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS À FORÇA CORTANTE Autores: Túlio Bittencourt (1) e João Carlos Della Bella (2) Revisor: Ruy Nobhiro Oyamada (3) (1) Engenheiro Civil - Professor Associado da USP, Escola Politécnica (2) Engenheiro Civil - Diretor Técnico da Intentu Engenharia (3) Engenheiro Civil - Diretor Sócio da Outec Engenharia
1 Exemplo 1 1.1 Dados Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na Figura 1, sabendo que P = 65 kN, concreto de classe C 25, aço CA-50, Classe de Agressividade Ambiental I, c = 2,5 cm e admitir d = 46 cm para a altura útil da seção.
(I)
(II)
(III) Figura 1 – Viga
1.2 Verificação da seção de concreto Utilizando o modelo de cálculo I (α = 90o e θ = 45o) dado em 17.4.2.2-a da NB-1 para verificação da compressão diagonal do concreto: VSd = γf V = 1,4 x 65 = 91 kN f α v 2 = 1 − ck = 250
25 1 − = 0,9 250
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 0,27 x 0,9 x 1,78 x 12 x 46 = 238,76 kN Portanto: VSd < VRd2
200
1.3 Cálculo dos estribos De acordo com 8.2.5 da NB-1:
f ct,m = 0,3(fck )2 / 3 = 0,3(25)2 / 3 = 2,56 MPa
f ctk,inf = 0,7 f ctm = 0,7x 2,56 = 1,80 MPa
Conforme 17.4.2.2-b da NB-1 tem-se: Vc = 0,6 fctd bw d = 0,6x 0,128x12x 46 = 42,39 kN
Em 17.4.1.1.1: ρ w min = 0,2
f ctm 2,56 = 0,2 = 0,10% 500 f ywk
Asw s
= bw ρ w min = 12x0,10% = 0,012 cm2 / cm = 1,2 cm2 / m (Trecho II) min − Vc = 91 − 42,4 = 48,6 kN
Portanto:
V sw = V Sd A V sw = sw s
0,9 d f ywd
Segundo a NB-1, deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. Portanto: Asw s
= 2,7cm2 / m (Trechos I e III)
Conforme 18.3.3.2 da NB-1: § o diâmetro dos estribos (φt) deve ser: 5,0 mm ≤ φ t ≤
bw = 12 mm 10
§ para o espaçamento (s) entre estribos: 7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30 cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) 0,6 d = 0,6x46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm). As bitolas usuais de armaduras para estribos são as seguintes: φ 5 6,3 8 10 12,5 mm As1 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 cm2 onde As1 = área da seção transversal de uma barra. a) Trechos I e III Asw s
Para
= 2,7cm2 / m e adotando-se estribos de dois ramos (Asw = 2 As1), tem-se:
φ mm
As1 cm2
Asw = 2 As1
s cm
5
0,2
0,4
14
A distância da face interna do apoio até a carga é de 144 cm (150 - 6 = 144 cm). 201
Portanto, tem-se 144/14 = 10,3, portanto 11 estribos nos trechos I e III. b) Trecho II (entre as cargas concentradas) (V = 0) Asw s
= 1,2 cm2 / m min
φ mm
As1 cm2
Asw = 2 As1
s cm
5
0,2
0,4
33 > ssmax = 27
Deve-se adotar, então, φ 5 c/ 27. O comprimento do trecho é de 160 cm. Portanto, tem-se 160/27 = 5,9, portanto 6 estribos neste trecho. c) Arranjo dos estribos A Figura 2 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento mínimo da armadura de 2,5 cm.
C = 2(45 + 7) + 2 G = 122 28 φ 5 com C = 122 Nota – Conforme 9.4.6.1 da NB-1, o gancho do estribo não deve ser inferior a 7cm para α = 90o Figura 2 – Detalhamento dos estribos
202
2 Exemplo 2 2.1 Dados Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na Figura 3, sabendo que fck = 25 MPa, aço CA-50, c = 2,5 cm e admitindo d = 46 cm para a altura útil da seção.
Figura 3 – Viga esquematizada, carregamentos e diagrama de esforços cortantes de cálculo 2.2 Verificação da seção de concreto Como a seção da viga é constante, basta verificar a resistência do concreto para a força cortante de cálculo máxima VSd = 158,4 kN junto aos apoios internos. f 25 α v 2 = 1 − ck = 1 − = 0,9 250 250
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 0,27x 0,9 x 1,78 x 15 x 46 = 298,45kN
203
Assim, verifica-se que: VSd < VRd2 2.3 Cálculo de VRd* Para determinar a armadura mínima de cisalhamento deve ser determinado primeiramente o valor de VRd*, como a seguir: Vc = 0,6 fctd bw d = 0,6x 0,128x15x 46 = 53 kN
f ct,m = 0,3 (fck )2 / 3 = 0,3(25 )2 / 3 = 2,56 MPa ρ w min = 0,2
f ct,m f ywk
= 0,2
2,56 = 0,10% 500
Logo: Asw s
= 15x0,10% = 0,015 cm2 / cm = 1,5 cm2 / m min A VRd* = VSd * = Vc + sw 0,9 d f ywd = 53 + 0,015x0,9 x46x 43,5 = 80 kN s min
A Figura 4 mostra o diagrama de esforços cortantes de cálculo com VSd.
Figura 4 – Diagrama de esforço cortante de cálculo com VSd* 2.4 Cálculo dos estribos a) Trecho I VSw = VSd – Vc = 100,6 – 53 = 47,6 kN Segundo 17.4.1.2.1 da NB-1, o valor de VSd pode ser considerado o da seção situada à d/2 da face de apoio. Portanto:
204
Figura 5 – Seção situada a d/2 do apoio V sw
A = sw s
.0,9 d f ywd
Portanto: Asw s
= 2,64 cm 2 / m
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67 VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 5
As1 cm2 0,2
Asw = 2 As1 0,4
s cm 15
Deve-se adotar, então, φ 5 c/15. O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de 54,5 – 10 = 44,5 cm. Portanto, tem-se: 44,5 / 15 = 2,9 → 3 estribos neste trecho. Em complementação ao primeiro trecho utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd*. Asw s
= 1,5 cm2 / m min
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 5
As1 cm2 0,2
Asw = 2 As1 0,4
s cm 33 > smax = 27
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de 267,5 – 54,5 = 213 cm. Portanto, tem-se: 213 / 27 = 7,9 → 8 estribos neste trecho.
205
b) Trecho II Vsw = VSd – Vc = 158,4 – 53 = 105,4 kN A V sw = sw 0,9 d f ywd s
Portanto: Asw s
= 5,85 cm2 / m
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 6,3
As1 cm2 0,315
Asw = 2 As1 0,63
s cm 10
Deve-se adotar, então, φ 6,3 c/10. O comprimento do trecho medido a partir da face interna do apoio é de
222 – 25 = 197 cm.
Portanto, tem-se: 197 / 10 = 19,7 → 20 estribos neste trecho. Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd*. Asw s
= 1,5 cm2 / m min
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 5
As1 cm2 0,2
Asw = 2 As1 0,4
s cm 33 > smax = 27
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. O comprimento do trecho é de 267,5 – 222 = 45,5 cm. Portanto, tem-se: 45,5 / 27 = 1,68 → 2 estribos neste trecho. c) Trecho III Vsw = VSd – Vc = 123,3 – 53 = 70,3 kN A V sw = sw 0,9 d f ywd s
Portanto: Asw s
= 3,90 cm2 / m
7 cm ≤ s ≤ 0,6d ou 30cm (sendo que VSd < 0,67VRd2) (conforme 18.3.3.2 da NB-1) 0,6d = 0,6 x 46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) 206
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 5,0
As1 cm2 0,2
Asw = 2 As1 0,4
s cm 10
Deve-se adotar, então, φ 5,0 c/10. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 114 – 25 = 89 cm. Portanto, tem-se: 89 / 10 = 8,9 → 9 estribos neste trecho. Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd*. Asw s
= 1,5 cm2 / m min
Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção: φ mm 5,0
As1 cm2 0,2
Asw = 2 As1 0,4
s cm 33 > smax = 27
Deve-se adotar, então, φ 5 c/27. O comprimento do trecho é de 482,5 – 114 – 7,5 = 361 cm. Portanto, tem-se: 361 / 27 = 13,4 → 14 estribos neste trecho. 2.5 Arranjo dos estribos A Figura 7.6 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento mínimo da armadura de 2,5 cm.
207
C = 2(45+10) +2G = 120 cm Nota – Conforme 9.4.6.1 da NB-1, o gancho do estribo não deve ser inferior a 7cm para α = 90o Figura 6 – Detalhamento dos estribos
208
3 Exemplo 3 Considerando a viga da Figura 7, determinar as armaduras e verificar a seção de concreto, sabendo que fck = 25 MPa e aço CA50.
Figura 7 – Esquema e diagramas da viga 3.1 Cortante VSd = 1,4 x 81 = 113,4 kN VSd = VRd2 f α v 2 = 1 − ck = 0,90 250
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d = 795,9 kN 3.2 Armadura VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw fctd = fctk inf / γc = 1,28 MPa fct, m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) = 2,56 MPa fctk, inf = 0,7 fct, m = 1,79 MPa Vc = 0,6 fctd bw d = 141,3 kN > VSd 3.3 Armadura mínima ρ sw = 0,2
f ctm = 0,001 = 0,1% f ywk
Asw/s = bw ρw = 40 x 0,1% = 0,04 cm2/cm = 4 cm2/m Para estribos de dois ramos → cada ramo: 2 cm2/m. 209
3.4 Flexão M = 121,5 kN.m
M d = 17 010 kN.cm
Md x = 1,25 d 1 − 1 − 0,425 b w fcd d 2
= 8,23cm
x34 = 0,5d = 23 cm (conforme 14.6.4.3 da NB-1: limitar x/d a 0,5) x23 = 0,254d = 11,9 cm domínio 2 → σSd = fyd = 43,5 kN/cm2 As =
Md 17 010 = = 9,16cm2 (5φ 16mm) f yd (d − 0,4x ) 43,5(46 − 0,4.8,23 )
3.5 Torção TSd = 21 x 1,4 = 29,4 kN.m = 2 940 kN.cm TRd2 = 0,5 αv2 fcd Ae he (conforme 17.5.1.5 da NB-1) he = A/u
e
he = 2c1
A = 40 x 50 = 2 000cm2 u = 2 x 40 + 2 x 50 = 180 cm he = 2 000 / 180 = 11,1 cm c1 = 4,0 cm 2c1 = 8,0 cm he = 10 cm Ae = 30 x 40 = 1 200 cm2 TRd2 = 0,5 x 0,9 x 1,78 x 1 200 x 10 x sen 90o = 9 612 kN VSd T + Sd ≤ 1 VRd 2 TRd 2
→
113,4 2940 + = 0,45 ≤ 1 → Cumpre com 17.7.2.2 da NB-1. 795,9 9612
3.6 Estribos TSd = TRd3 TRd 3 = ( A90 / s )f ywd 2 Ae cot gθ (conforme 17.5.1.6 da NB-1)
( A90 / s ) =
T Sd = 2,8 cm2 / m f ywd 2Ae
(A90/s) = 0 + 2,8 = 2,8 cm2 (resiste à cortante e torção!) Pode-se utilizar por exemplo: φ10 c/ 16cm.
210
3.7 Armaduras longitudinais TSd = TRd4 (conforme 17.5.1.6 da NB-1) TRd4 = (Asl /ue) fywd 2Ae tg θ ( As l / u e ) =
TSd = 2,8 cm2 / m f ywd 2 Ae
ue = 2x30 + 2x40 = 140 cm = 1,4 m Logo: Asl = 1,4x2,8 = 3,92 cm2 3.8 Detalhamento
40
φ 10 c/16
50
2φ12,5
5 φ16 Figura 8 – Detalhamento
211
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 17
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Autor: Libânio Miranda Pinheiro (1)
Revisor: José Martins Laginha (2) (1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas USP, Escola de Engenharia de São Carlos E-mail: libanio@sc.usp.br (2) Eng. Civil, GTP Grupo Técnico de Projetos E-mail: projeto@gtp.com.br 1. Dados iniciais Apresenta-se a verificação dos estados limites de serviço para a viga biapoiada de um edifício residencial, indicada na Figura 1, com seção 22cm x 40cm, vão equivalente l = 410cm, concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4φ20 (12,60cm2), d = 35,9cm, classe II de agressividade ambiental (c = 2,5cm, ∆c = 5mm, conforme 7.4.7.4, tabela 7.2). Os itens e as tabelas aqui indicadas referem-se à NBR 6118:2003. Serão admitidos os valores característicos das ações: gk = 40 kN/m, qk = 10 kN/m, pk = gk +qk = 50 kN/m
Figura 1 – Viga biapoiada
2. Momento de fissuração O cálculo do momento de fissuração é indicado no item 17.3.1: Mr =
α ⋅ fct ⋅ I c yt
(1)
α = 1,5 (seção retangular) b ⋅ h3 22 ⋅ 403 = = 117 333 cm4 12 12 h 40 yt = h − x = = = 20 cm 2 2
Ic =
(2) (3)
2.1 Formação de fissuras No estado limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1, deve ser usado o fck,inf (8.2.5 da norma): 2/ 3 f ct = fctk ,inf = 0,7 ⋅ 0,3 ⋅ fck = 0,21 ⋅ 25 2 / 3 = 1,795 MPa = 0,1795 kN / cm2
212
(4)
Mr =
1,5 ⋅ 0,1795 ⋅ 117333 = 1580 kN.cm = 15,8 kN.m 20
(5)
Na verificação do ELS-F, pode ser necessária a consideração de combinação freqüente ou de combinação rara (11.8.3.1.b e 11.8.3.1.c, respectivamente). Neste exemplo, o valor de M r será comparado com o momento fletor relativo à combinação rara: M d,rara =
pk ⋅ l 2 50 ⋅ 4,10 2 = = 105,1 kN.m 8 8
(6)
M d,rara = 105,1 kN.m > M r = 15,8 kN.m ? há formação de fissuras 2.2 Deformação excessiva No estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m (8.2.5 da norma): 2/3 f ct = fctm = 0,3 f ck = 0,3.25 2 / 3 = 2,565 MPa = 0,2565 kN / cm 2
Mr =
1,5 ⋅ 0,2565 ⋅ 117333 = 2257 kN.cm ≅ 22,6 kN.m 20
(7)
(8)
3. Cálculo em serviço para seção fissurada Como M d,rara > M r = 15,8 kN.m, é necessário calcular a posição da linha neutra (xII) e o momento de inércia ( III) no estádio II. 3.1 Linha neutra Para seção retangular com armadura simples, xII é obtido com a equação: b 2 x + α e As x − α e As d = 0 2
(9)
Es = 210 GPa = 21 000 MPa (conforme 8.3.5)
(10)
Ec = Ecs = 0,85 Eci = 0,85.5600 fck1/2 = 4760 fck1/2 (conforme 8.2.8) Ecs = 4760 fck1/2 = 4760.251/2 = 23 800 MPa αe =
Es 210 000 = = 8,82 (conforme 17.3.2.1.1) E cs 23 800
(11) (12)
22 2 x + 8,82.12.60x − 8,82.12,60.35.9 = 0 2
x2 = 10,10x – 362,69 = 0 xII = 14,66 cm (a raiz negativa é ignorada)
(13)
3.2 Momento de inércia 213
Para seção retangular com armadura simples, III é dado por: III =
III =
b xII3 3
+ α e As (d − xII ) 2
22.14,66 3 3
(14)
+ 8,82.12,60 (35,9 − 14,66) 2 ⇒ I II = 73 240 cm 4
(15)
4. Estado limite de deformação excessiva No ELS – DEF, pode ser considerada combinação quase permanente e momento de inércia equivalente (11.8.3.1e 17.3.2.1.1 da norma, respectivamente). 4.1 Combinação quase permanente Para edifícios residenciais, ψ 2 = 0,3 (conforme 11.7.1, tabela 11.2). Para combinação quase permanente, como neste exemplo, a única ação variável é a carga de uso, tem-se: p = pd,ser = g k + ψ 2 ⋅ qk = 40 + 0,3 ⋅ 10 = 43 kN / m =
43 kN cm 100
(16)
4.2 Momento de inércia equivalente Com base em 17.3.2.1.1: I = I eq
M = r Ma
3 M ⋅ I c + 1 − r M a
3
⋅ I II
(17)
São conhecidos os valores: M r = 22,6 kN.m (ELS - DEF) (equação 8.8) M a = M d,rara = 105,1 kN.m
(equação 8.6)
I = 117 333 cm4
(equação 8.2)
III = 73 240 cm4
(equação 8.15)
Resulta: 3 22,6 3 22,6 4 I = I eq = 117 333 + 1 − 73 240 = 73 679 cm 105,1 105,1
(18)
4.3 Flecha imediata Para viga biapoiada, a flecha imediata (elástica) é dada pela expressão: ai =
5 p ⋅ l4 ⋅ 384 E ⋅ I
E = Ecs = 23 800 MPa = 2380 kN/cm2 (equação 8.11)
(19) (20)
Substituindo, na equação 19, l = 410 cm, os valores obtidos nas equações 16, 18 e 20, resulta: ai =
214
5 43 410 4 ⋅ ⋅ ⇒ ai = 0,90 cm 384 100 2380.73679
(21)
4.4 Flecha diferida De acordo com 7.3.2.1.2: αf =
∆ξ 1 + 50 ⋅ ρ'
t ≥ 70 meses t 0 = 1 mês
(22) ∆ξ = 2 − 0,68 = 1,32
(tabela 17.1)
(23)
ρ’=0 (armadura simples) αf =
1,32 = 1,32 1
af = αf . ai = 1,32 . 0,90 ⇒ af = 1,19 cm
(24) (25)
4.5 Flecha total A flecha total pode ser obtida conforme indicado no final em 17.3.2.1.2: at = ai (1+αf) = 0,90 (1+1,32) ⇒ at = 2,09 cm
(26)
4.6 Flecha limite Para aceitabilidade visual, da maneira indicada em 13.3, tabela 13.2: alim =
410 l = = 1,64 cm 250 250
(27)
Há necessidade de contraflecha, pois: at = 2,09 cm > alim=1,64 cm 4.7 Contraflecha Pode ser adotada uma contaflecha da ordem da flecha imediata acrescida da metade da flecha diferida, conforme a equação: a 1,19 α ac = ai 1 + f = ai + f = 0,90 + = 1,49 cm 2 2 2
(28)
Porém, segundo a tabela 13.2, a contraflecha não pode ultrapassar o valor: l 410 = = 1,17 cm 350 350
Como é usual adotar um valor múltiplo de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 1,0 cm, menor que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 1,09 cm, menor que alim = 1,64 cm. 4.8 Outras providências Quando forem necessárias, outras providências que podem ser adotadas para diminuir as deformações. As mais comuns são: aumentar a seção transversal (b ou h), aumentar As ou adotar armadura de compressão A’s.
215
5 Abertura de fissuras A verificação do estado limite de fissuração (ELS-W) pode ser feita conforme 17.3.3.2 da norma. 5.1 Dados iniciais φ = 20 mm η = 2,25 (Barras nervuradas, CA-50, 9.3.2.1) Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2 (equação 10)
As = 12,60 cm2 (4φ20) fct,m = 0,2565 kN/cm2 (equação 7) 5.2 Taxa de armadura Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de envolvimento Acr (Figura 2). Para b = 22cm, c = 2,5cm, φt = 0,63 cm e φl = 2 cm, resulta: Acr = b(d’ + 7,5 φl) = 22(4,1 + 7.5 . 2) = 420,2 cm2 ρr =
As 12,60 = = 0,030 = 3,0% Acr 420,2
Figura 2 - Área Acr 5.3 Momento fletor Na verificação de abertura de fissuras, deve ser considerada combinação freqüente (conforme 13.4.2, tabela 13.3). Sendo a carga de uso a única ação variável e ψ 1 = 0,4 (tabela 11.2, edifícios residenciais), obtêm-se (tabela 11.4): M d,ser = M d,freq = M gk + ψ 1 ⋅ M qk
M gk = M qk = M d,freq
216
(29)
40 ⋅ 4,10 2 = 84,1 kN.m 8 10 ⋅ 4,10 2 = 21,0 kN.m 8 = 84,1 + 0,4 ⋅ 21,0 = 92,5 kN.m
(30)
5.4 Cálculo de σ s no estádio II com α e = 15 a) Linha neutra b 2 x + α e As x − α e As d = 0 (equação 8.9) 2 22 2 x + 15.12,60x − 15.12,60.35,9 = 0 2
x2 + 17,18x – 616,82 = 0 xII = 17,69 cm (a raiz negativa é ignorada) b) Momento de inércia III = III =
b xII3 3
+ α e As (d − xII ) 2 (equação 8.14)
22.17,69 3 3
+ 15.1260 ( 35,9 − 17,69) 2 ⇒ I II = 103 269 cm4
c) Valor de σ s para α e = 15 (conforme 17.3.3.2) σs =
α e M d,freq (d − x 2 ) I2
=
15.9250.(35,9 − 17,69) = 24,47 kN / cm 2 103 269
5.5 Cálculo de σ s no estádio II com α e = Es/Ec = 8,82 Para comparar os resultados, será considerado αe = Es/Ec = 8,82 (equação 12). Nessas condições tem-se: xII = 14,66 (equação 13) e III = 73 240 (equação 15). Resulta: σs =
α e M d,freq (d − x 2 ) I2
=
8,82.9250.(35,9 − 14,66) = 23,66 kN / cm2 73 240
Como este valor é muito próximo do obtido no item anterior, parece não haver diferença significativa em se considerar αe = Es/Ec = 8,82, em vez de αe = 15, como preconiza a Norma. 5.6 Cálculo aproximado de σ s No estádio II, um valor aproximado de σs pode ser obtido com a expressão: σs =
M d,freq 0,80 d As
=
9250 = 25,56 kN / cm2 0,80.35,9.12,60
(31) Nota-se que este valor de σs é muito próximo dos obtidos nos itens anteriores. Portanto, em geral, a verificação pode ser feita com a tensão obtida com este cálculo aproximado.
217
5.7 Cálculo de w k Com as expressões indicadas em 17.3.3.2, fctm dado pela equação 7 e com os demais valores obtidos nos itens anteriores, obtêm-se: σ si 3 ⋅ σ si φi w 1 = 12,5 ⋅ η ⋅ E ⋅ f 1 si ctm wk ≤ φi σ 4 w = ⋅ si ⋅ + 45 2 12,5 ⋅ η1 E si ρri 20 25,56 3 ⋅ 25,56 w1 = ⋅ ⋅ = 0,26 mm 12,5 ⋅ 2,25 21000 0,2565
w2 =
20 25,56 4 ⋅ ⋅ + 45 = 0,15 mm 12,5 ⋅ 2,25 21000 0,030
Como se considera o menor valor entre w1 e w2, resulta: Wk = 0,15 mm 5.8 Verificação da abertura limite A abertura limite é dada na tabela 13.3 (item 13.4.2). Para concreto armado e classe de agressividade ambiental II, tem-se: wlim = 0,3 mm. Portanto: Wk = 0,15 mm < Wlim = 0,3 mm ⇒ OK! 5.9 Controle da fissuração sem verificar abertura de fissuras Com base em 17.3.3.3, admitindo-se σs = 240 MPa, φ = 20 mm (valor máximo permitido para essa tensão) e smáx < 20 cm, de acordo com a tabela 17.2, é atendido o ELS-W, sem necessidade da avaliação da abertura de fissuras. Na tabela 17.2 da NBR 6118:2003, para os valores de σs indicados a seguir, os limites corretos de φmáx são: σs = 240 MPa, φmáx = 20 mm σs = 280 MPa, φmáx = 16 mm σs = 320 MPa, φmáx = 12,5 mm σs = 360 MPa, φmáx = 10 mm 5.10 Providências Caso a verificação de ELS-W não seja atendida, as principais providências são: § § §
218
diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração (respeitando-se As,nec); aumentar a quantidade de armadura (diminuir σs); aumentar a seção transversal (b ou h).
Agradecimentos À colaboração de:
Ana Maria da Silva Brandão, Anastácio Cantisani de Carvalho (UFAM), Lezzir Ferreira Rodrigues, Marcos Vinícius Natal Moreira e Sandro Pinheiro Santos.
Referência ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro. 170p.
219
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 19
LAJES Autores: Túlio Bittencourt (1); João Carlos Della Bella (2) Revisora: Nilvea Bugno Zamboni (3)
(1) Engenheiro Civil - Professor Associado da USP, Escola Politécnica (2) Engenheiro Civil - Diretor Técnico da Intentu Engenharia (3) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. E-mail: nilvea@projnet.com.br
1. Exemplo 1: Lajes armadas em uma direção Calcular e detalhar as lajes da figura.
fck=25 MPa (C25) CA50 h = 10 cm (todas as lajes) g = 3,5 kN/m2 q = 2,0 kN/m2 vigas de bw = 12 cm Figura 1 – Laje armada em uma direção Definiu-se a classe de agressividade de acordo com a Tabela 6.1 da NBR 6118, como classe CAAI e o cobrimento nominal de acordo com a Tabela 7.2 da NBR 6118, onde se levando em consideração o revestimento, temos: Na face superior: Na face inferior:
c no min al ≥ φ c no min al ≥ 1,5cm
c no min al = c i = 2,0cm
Adotado inicialmente φ = 10 mm 220
c no min al = c s = 1,5cm
1.1. Laje L1 a) determinação das cargas § peso próprio= 0,10 . 25 = 2,5 kN/m2 § revestimento = 1,0 kN/m2 § g (carga permanente) = 3,5 kN/m2 § q (carga acidental) = 2,0 kN/m2 § p (carga total) = g + q = 5,5 kN/m2 b) Momento fletor principal (Mx)
pl 2 5,5.4 2 = = 11,0kNm / m 8 8 b = 100 cm d = dx = h – ci – Ø/2 = 10 – 2 – 0,5 = 7,5cm MX =
Msdx = γf M x = 1,4.11,0 = 15,4 kN.m/m = 1 540 kN.cm/m
M sdx 1540 = 1,25 ⋅ 7,5 1 − 1 − x = 1,25 d 1 − 1 − = 1,88 cm 2 2 0,425.b.d f cd 0,425 ⋅ 100 ⋅ 7,5 ⋅ 2,5 / 1,4 (x ≤ x34 = 0,628.7,5 = 4,7cm, peça subarmada). Armadura: As =
Msdx 1540 = = 5,24 cm2 / m fyd(d − 0,4 .x ) 43,48 ⋅ (7,5 − 0,4 ⋅ 1,88 )
As > Asmin = ρx,min.b.h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m, (Tabela 19.1- NBR 6118) Portanto: As > 5,24 cm2/m. Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm Recomendável smin = 8 cm smáx φ20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm. Assim, pode-se adotar φ8c/10 (barras de 8 mm a cada 10 cm) ou φ10c/15, conforme mostra a tabela seguinte: φ mm 6,3 8 10 12,5
As1 cm2 0,315 0,5 0,8 1,25
n = Asx/As1 16,4 10,5 6,6 4,2
s = 100/n cm 6,10< smin 9,5 15 24
A barra de 6,3 mm conduz a um espaçamento menor do que o mínimo recomendado de 8 cm (o mesmo acontecerá para as bitolas 4mm e 5mm, não apresentadas na tabela) e a bitola de 12,5 mm ultrapassa o espaçamento máximo recomendado de 20 cm.
221
c) Momento fletor secundário (My) Supondo para Asy que φ = 5,0mm e para Asx que φ = 8,0mm: M y = νM x = 0,2.11,0 = 2,2 kN.m/m b = 100 cm; d = dy = h – ci – 0,8 – 0,5/2= 10 – 2,0 - 0,8 – 0,5/2 ≅ 6,95 cm Msdy = γf M y = 1,4. 2,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m
M sdy 308 = 1,25 ⋅ 6,95 ⋅ 1 − 1 − x = 1,25.d.1 − 1 − = 0,37cm 0,425.b.d 2 .fcd 0,425 ⋅ 100 ⋅ 6,95 2 ⋅ 2,5 / 1,4 (x ≤ x34 = 0,628.6,95 = 4,36 cm, peça subarmada) A peça deve ser verificada para M dmin. M dmin = 0,8 w0. fctk,sup (Item 17.3.5.2.1 – NBR 6118) Esta condição pode ser considerada atendida se forem respeitadas as armaduras mínimas de acordo com a Tabela 19.1 da NBR 6118 Neste exemplo todas as armaduras mínimas foram determinadas de acordo com a tabela referida anteriormente. As =
M sdy fyd (d − 0,4.x )
=
308 = 1,04 cm 2 / m 43,48 ⋅ ( 6,95 − 0,4 ⋅ 0,37 )
Asmin ≥ 20%. Asx = 0,2. 5,24 = 1,05 cm2/m, 0,9 cm2/m ρ s ≥ 0,5.ρmin
Portanto, Asy ≅ Asmin Asy > 1,05 cm2/m. Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm Recomendável smin = 8 cm smáx φ 20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm Assim, pode-se adotar φ5c/20 (barras de 5 mm a cada 20 cm) ou φ4c/12, conforme mostra a tabela seguinte:
222
φ? ? mm? 4 5 6,3
As1 cm2 0,125 0,2 0,315
n = Asx/As1 7,76 4,85 3,0
s = 100/n cm 13 20 32
A barra de 6,3 mm conduz a um espaçamento maior que o máximo recomendado de 20 cm (o mesmo acontece para as bitolas maiores). 1.2. Lajes L2 = L3 a) Momentos fletores principais (Mx) no vão M x = 6,96 kN.m/m b = 100 cm
d = dx ≅ h – ci – 0,5 = 10 – 2 – 0,5 = 7,5 cm.
Msdx = γf M x = 1,4.6,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m
M sdx 974 1 , 25 7 , 5 1 1 x = 1,25d 1 − 1 − = ⋅ ⋅ − − = 1,14cm (x ≤ 0,425.b.d 2 .fcd 0,425 ⋅ 100 ⋅ 7,5 2 ⋅ 2,5 / 1,4 x34 = 0,628 . 7,5 = 4,7 cm, peça subarmada) A peça deve ser verificada para M dmin. M dmin = 0,8 w0. fctk,sup (Item 17.3.5.2.1 – NBR 6118) Esta condição pode ser considerada atendida se forem respeitadas as armaduras mínimas de acordo com a Tabela 17.3 da NBR 6118. Neste exemplo todas as armaduras mínimas foram determinadas de acordo com a tabela referida anteriormente. Asx =
M sd 974 = = 3,18cm 2 / m f yd (d − 0,4.x ) 43,48 ⋅ (7,5 − 0,4 ⋅ 1,14 )
Asx > Asmin = ρx,min..b . h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m, (Tabela 19.1- NBR 6118) Portanto, Asx > Asmin Asx = 3,18 cm2/m. Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mm Recomendável smin = 8 cm smáxφ 20 cm (na armadura principal limitar a 2 h) = 20 cm Assim, pode-se adotar φ6,3c/10 (barras de 6,3 mm a cada 10 cm) ou φ8c/16, conforme mostra a tabela seguinte: φ? ? mm? 6,3 8 10
As1 cm2 0,315 0,5 0,8
n = Asx/As1 10 6,4 4
s = 100/n cm 10 16 25 223
b) Momento fletores principal (Mx23) no apoio interno M x23 = -11 kN.m/m O dimensionamento desta seção conduz à mesma armadura do meio do vão da laje L1 (φ8c/16 ou φ10c/25); contudo, esta armadura deve ser posicionada junto à borda superior que é tracionada pelo momento fletor solicitante. c) Momentos fletores secundários (My) Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1 (φ5c/20). d) Detalhamento das armaduras As armaduras obtidas para os momentos de vão (também chamadas de armaduras de momentos positivos), são usualmente estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da laje. As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (também chamadas de armaduras “negativas”) são estendidas de modo à “cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de lx / 4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade (quando as lajes adjacentes têm vãos não muito diferentes entre si, pode-se adotar o maior destes vãos para a definição do comprimento da barra). Nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extensão lx / 5, visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar suficiente, a As,borda correspondente à ρmin de flexão simples, não menor do que 1,5 cm2/m e restringindo o espaçamento entre as barras a 2h (ρmin = 0,15% para o aço CA50, e 0,25% para o CA25). Assim: As,borda = 0,0015.b.h = 0,0015.100.10 = 1,5 cm2/m que pode ser conseguido com φ5c/13 ou φ6,3c/20. O detalhamento destas armaduras está indicado na Figura 2.
412 5
cm
Menor que 30 cm
ø
n
1
6,3
80
94
75,20
2
8
39
420
163,80
3
5
60
406
243,60
4
8
39
212
82,68
5
8
50
412
103
6
5
18
396
71,28
Lx/5
6 N2 - 39 Ø 8 C/10 C= 420
224
400
N3 - 20 Ø 5 C/20 C= 408
h-c - sc = 10 - 1,5 – 2 = 6,5C/20 C= 94 N1 - 20 Ø 6.3 C/20 N1 - 20 Ø 6.3
398
Menor que 25 φ
m
Tipo
ø
C Unit C Tot
C tot (m) Peso (kg)
6 5
314,88
51
6,3
75,2
19
8
349,48
140
5 Total Figura 2 – Detalhamento da laje armada em uma direção
210
1.3. Verificação ao cisalhamento (Estado Limite Último - ELU) (Item 19.4 da NBR 6118:2003) A verificação ao cisalhamento nas lajes é feita da seguinte maneira: VSd ≤ VRd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: VRd1 = [τRd .k .(1,2 + 40.ρ1) + 0,15. σcp] bw.d onde: τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa (Item 8.25 da NBR 6118) fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7. 2,565 = 1,795 MPa fct,m = 0,3.fck
2/3
= 0,3.252/3 = 2,565 MPa
ρ1 = Asx /bw.d = 5,25 /(100 . 7,5) = 0,7% (não maior que 0,02) k = [1,6 – d] [m] = 1,6 – 0,075 = 1,525 > 1,0 Para a Laje L1, temos: Asx = 5,25 cm2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); σcp = NSd / Ac = 0 NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim: VRd1 = [τRd.k (1,2 + 40 .ρ1) + 0,15. σcp] bw.d = [0,032.1,525(1,2 + 40.0,007) + 0]100.7,5 VRd1 = 54,2 kN/m VSd = px . γf = 5,5.4/2 .1,4 = 15,4 kN/m VRd1 = 54,2 > 15,4 = VSd Não há a necessidade de estribos NOTA: Quando se tratar de lajes maciças em concreto armado, sujeita a elevadas cargas acidentais, é possível chegar a valores críticos com a utilização desta formulação. Neste caso pode-se utilizar a formulação descrita no comentário C19.4.1.
225
1.4. Verificação da flecha (Estado Limite de Serviço - ELS) O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário. Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido abaixo, sendo obrigatória à consideração do efeito da fluência. O cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no Estádio I de comportamento do concreto (seção não fissurada) com:
E cs = 0,85.5600.f ck
1/ 2
(MPa). (Item 8.2 da NBR 6118:2003)
O efeito da deformação lenta sobre a flecha proveniente da carga permanente pode ser considerado, de modo aproximado, dobrando-se a flecha imediata. Desta forma, deve-se verificar: aq+g ≤ lx / 250
e
aq ≤ lx / 350 onde aq+g = flecha proveniente da carga total aq = flecha devido às cargas acidentais. a) Cálculo do Momento de Fissuração (Item 17.3.1 da NBR 6118) §
Laje L1 da Figura 1
M r = (α.fct. Ic)/yt = (1,5.1795.8,34.10-5) / 0,05 = 4,5 kN.m (formação de fissuras) onde: α = 1,5 para seção retangular; fct = fctk,inf no estado limite de formação de fissuras ou fct,m no estado limite de deformação excessiva; Ic = bh3/12 (seção retangular) momento de inércia da seção de base 100cm – Estádio I; yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Assim: §
se M x < M r – ESTÁDIO I (EI é calculado multiplicando o Ecs por Ic)
§
se M a ≥ M r – ESTÁDIO II (EI é calculado como EI eq pela formula de Branson)
M r = 4,5 kN.m M d,rara= 4². 5,5/8= 11 kN.m > M r - (fissuras) Calcula-se pela fórmula de Branson o EI fissurada.
eq
b) Cálculo do Momento Equivalente
(EI ) eq =
226
M 3 E cs r Ic + 1 − Ma
Mr Ma
3 III ≤ E cs I c
para considerar a perda da rigidez na seção
Ec = 0,85 . 5600.fck1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2; Es = 210 000 MPa αe = 8,8 III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II; Calculando xII para o ESTÁDIO II com αe = Es/Ecs , temos: b 2 xII + (α e )As xII − (α e ) As d = 0 2
xII = 0,0221 m Temos:
I II =
b.x II3 + (α e ).As .(d − x II ) 2 3
III = 1,65 E10-5 m4 c) Cálculo do momento de inércia equivalente Considerando combinação quase permanente (CQP), e ψ 2 = 0,3, temos: M a = 4². (3,5+0,3.2,0)/8 = 8,2 kN.m M r = (α.fct. Ic)/yt = (1,5.2565.8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m (deformação excessiva) Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente. EI eq = Ec[(M r/M a)3. Ic + [1- (M r/M a)3] III] EI eq = 23,8.106[(6,4/8,2)3 . 8,34.10-5 + [1-(6,4/8,2)3] 1,5.10-5] = 1131,61 kN m2 d) Flecha imediata ai = (b.p.lx4) / 12. EI eq . α2 = (1. 4,1.4 4) / 12 .1131,61.21,4 = 0,0023 m onde: α2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/l x = 1,00) (Foram utilizadas as Tabelas de CZERNY para o cálculo de ai) p = g + α2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (α2 = 0,3 para edifícios residenciais); (Tabela 11.4 NBR 6118:2003)
227
e) Flecha diferida no tempo Considerando: t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) ξ(t ) = 0,68(0,996 t ).t 0,32 para t > 70 meses ∆ξ = ξ(t ) − ξ(t 0 ) ξ(t ) = 2 para t ≤ 70 meses
ξ = 2 – 0,6773 = 1,3227 Estes valores podem ser obtidos na Tabela 17.1 da NBR 6118:2003. ρ? = 0 (não existe armadura negativa) ∆ξ 1 + 50.ρ' α f = 1,3227 αf =
af =?ai .αf?= 0,0023 .1,3227 = 0,003 m (flecha diferida) f) Flecha total Se levado em consideração que a estrutura esteja em ESTÁDIO I, temos: aT = a0 (1+ϕ), onde ϕ (t, t0) é encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118:2003. Se for levado em consideração que a estrutura esteja no ESTÁDIO II, como neste caso, temos: aT = ? ai? (1+? α ? f)?= 0,0023(1 + 1,3227) = 0,00534 m Verificando os limites para deslocamentos: aq+g ≤ lx / 250 = 4/250 = 0,016 m (Atende o limite). As flechas nas lajes L2 e L3 são menores que a da laje L1 estando, portanto, em situação mais favorável.
228
229
1.5. Verificação da fissuração (Estado Limite de Serviço - ELS) O cálculo da fissuração é feito no Estádio II e a verificação da abertura máxima da fissura é feita, conforme a NBR 6118:2003.
7,5φ
7,5φ 7,5φ Ac
7,5φ c < 7,5φ
a 7,5φ 7,5φ (a < 15 φ)
Figura 4 – Área de influência para a consideração da abertura de fissuras O atendimento aos limites de aberturas de fissuras pode ser expresso como:
φ1 σ 4 . si + 45 w 1 = 12,5.η1 E si ρri w≤ 2 3.σ si φ1 w 2 = 12,5.η . E .f 1 si ctm Onde: Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada (φi); φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri); σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)
Acrit
7,5 φ c 7,5 φ
7,5 φ
Figura 5 – Área crítica da abertura de fissuras segundo NBR 6118:2003
230
Para a Laje L1: Acri = 15φ(c+7,5φ ) , onde 15φ < espaçamento 15φ =15.0,8 = 12 cm > 10 cm Acri = 10. (7,5.0,8+,5.0,8+2) = 84 ρ cri =
As 5,25 = = 0,0625 = 6,3% 84 Acri
σ si =
Md 860 = = 27,3 kN / cm 2 0,8.d .As 0,8.7,5.5,25
E si = 21000 kN / cm 2 fctm = 0,2565 kN / cm 2 w1 =
8 27,30 4 . + 45 = 0,04 mm 12,5.2,25 21000 0,063
w2 =
8 3.27,30 2 = 0,118 mm . 12,5 .2,25 21000 .0,256
w = 0,038 mm < wklim (Tabela 13.3da NBR 6118) w < 0,4 mm Verificado.
231
2. Exemplo 2: Lajes armadas nas 2 direções Calcular e detalhar as lajes esquematizadas na Figura. 6 Dados: fck = 25 MPa (C25) Aço CA50 cs = 1,5 cm (cobrimento superior das armaduras das lajes) ci = 2,0 cm (cobrimento inferior das armaduras das lajes) q = 2,0 kN/m2 (carga acidental) h = 10 cm vigas: bw = 12 cm
ly2=ly4=400cm
lx1=lx2=350cm
ly1=ly3=400cm
mx1
my1
L1
L2
h=10
h=10
my1
mx3 my3 mx3
lx3=lx=350cm
mx1
m12
L3
L4
h=10
h=10
my3 m34
L5
Figura 6 – Exemplo 2 232
L6
a) determinação das cargas § § § § §
peso próprio = 0,10.25 = 2,5 kN/m2 revestimento = 1,0 kN/m2 g (carga permanente) = 3,5 kN/m2 q (carga acidental) = 2,0 kN/m2 p (carga total) = g + q = 5,5 kN/m2
b) Momentos fletores b.1) lajes isoladas Tem-se L1 = L2 e L3 = L4 = L5 = L6.
Laje L1 L3
Tipo 3 5B
lx 3,5 3,5
ly 4,0 4,0
ly/lx 1,14 1,14
p 5,5 5,5
αx 28,0 32,0
αy 33,9 47,1
− βx − βy 12,0 13,3 14,2 17,6
mx 2,4 2,1
my 2,0 1,4
m'x -5,6 -4,7
m’y -5,1 -3,8
b.2)nos apoios contínuos m’esq m’y= – 5,1 m’x= – 5,6 m’y= – 3,8 m’y= – 4,7
Apoio L1-L2 L1-L3 L3-L4 L3-L5
m’dir m’y= – 5,1 m’x= – 4,7 m’y= – 3,8 m’x= – 4,7
0,8m’maior – 4,1 – 4,5 – 3,0 –
m’médio – 5,1 – 5,2 – 3,8 –
m’ij m’12 = – 5,1 m’13 = – 5,2 m’34 = – 3,8 m’35 = – 4,7
b.3) armaduras de flexão As armaduras mínimas foram calculadas com base na Tabela 19.1 da NBR 6118:2003. c) Arranjo das armaduras Laje
L1 e L2
d
m
md
x
As
8,0
m x = 240
336
0,35
0,98
7,5
m y = 200
280
0,34
0,87
8,0
m’12 = 510
714
0,76
2,13
ρmin %
Asmin
0,10
1,00
1,00
L3 L4 L5 e L6
m’13 = 520
728
0,78
2,18
8,0
m x = 210
294
0,3
0,86
m y = 140
196
0,22
0,7
8,0
m’34 = 380
532
0,56
1,57
m’35 = 470
658
0,70
1,96
2,13
φ6,3c/15
2,18
φ5c/16
1,00
φ5c/20
1,00
0,15 8,0
φ5c/20
1,50
1,00 0,10
7,5
Escolha
1,00
0,15 8,0
Asf
1,50
φ5c/12
1,96
φ6,3c/16
1,50
As armaduras estão esquematizadas na Figura 7.
233
6
400
L1
L2
h=10
h=10 175
N5 - 20 Ø 5 C/20 C= 364
6
6
408
6
16
74
N6 - 25 Ø 6.3 C/16 C= 187
6
N2 - 18 Ø 5 C/20 C= 414
6
L3
L4
h=10
h=10 175
6
175
N3 - 18 Ø 6.3 C/20 C= 96
> 10ø
10ø > 10cm
358
350
N1 - 23 Ø 6.3 C/15 C= 187
408
6
74 16
6
6
175
N3 - 18 Ø 6.3 C/20 C= 96
N6 - 25 Ø 6.3 C/16 C= 187
6
N2 - 18 Ø 5 C/20 C= 414
N5 - 20 Ø 5 C/20 C= 358
358
350
6
N4 - 28 Ø 5 C/12 C= 187
L5
Figura 7 - Armaduras
234
L6
6
2.1. Verificação ao cisalhamento (Estado Limite Último - ELU) (Item 19.4 da NBR 6118:2003) A verificação ao cisalhamento nas lajes é feita da seguinte maneira: VSd ≤ VRd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: VRd1 = [τRd .k (1,2 + 40. ρ1) + 0,15.σcp] bw.d onde: τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa (Item 8.25 da NBR 6118) fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7. 2,565 = 1,795 MPa fctm = 0,3.fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa ρ1 = Asx /bw. d = 1 /100 . 7,5 = 0,133% (não maior que 0,02) k = [1,6 – d] [m] = 1,6 – 0,075 = 1,525 > 1,0 onde: Asx = 1 cm2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. σcp = NSd / Ac = 0 Assim, VRd1 = [τRd .k (1,2 + 40. ρ1) + 0,15.σcp] bw.d = [0,032.1,525(1,2 + 40.0,00133)+ 0]100.7,5 VRd1 = 45,86 kN/m VSd = p x . γf = 4,82 .1,4 = 6,7 kN/m VRd1 = 45,86 > 6,7 = VSd Não há a necessidade de estribos NOTA: Quando se tratar de lajes maciças em concreto armado, sujeita a elevadas cargas acidentais, é possível chegar a valores críticos, com a utilização desta formulação. Neste caso pode-se utilizar a formulação descrita no comentário C19.4.1.
235
2.2. Verificação da flecha (Estado Limite de Serviço - ELS) – Laje L1 (CQP) a) Cálculo do Momento de Fissuração M r = (α.fct,m . Ic)/yt = (1,5 . 1795.8,34.10-5) / 0,05 = 4,5 kN.m onde: α = 1,5 para seção retangular; fct = fctk,inf para no estado limite de formação de fissuras; ou fct,m no limite de deformação excessiva Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I; yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Como: M r = 4,5 kN.m > M a = 1,79 kN.m Não se faz necessário o cálculo da flecha no ESTÁDIO II. b) Flecha imediata ai = (b.p.lx4) / 12.E.I0 . α2 = (1.4,1.3,5 4) / 12.1983,34.31,7 = 0,000 815 m onde: α2 = 31,7 (laje tipo 1 com ly/l x = 1,00) (Foram utilizadas as Tabelas de CZERNY para o cálculo de ai) p = g + α2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente para edifícios residenciais).
(α2 = 0,3
c) Flecha diferida no tempo Considerando a umidade relativa do ar em 40%, a espessura fictícia da peça em 20 cm e um período de 60 dias, ϕ(60, t0) = 3 é encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118:2003. af = ? ai. ϕ (t, t0)? = 0,000 815.3,0 = 0,002 445 m d) Flecha total Como está sendo levado em consideração que a estrutura esteja no ESTÁDIO I, tem-se: aT = a0 (1+ϕ) aT = 0,000 815 (1+3) = 0,003 26 mm e) Verificando os limites para deslocamentos aq+g ≤ lx / 250 = 3,5/250 = 0,014 m (Atende o Limite)
236
2.3. Verificação da fissuração (Estado Limite de Serviço - ELS) O cálculo da fissuração é feito no Estádio II e a verificação da abertura máxima da fissura é feita, conforme a NBR 6118:2003.
7,5 φ
7,5 7,5φ φ Ac
7,5φ c < 7,5φ 7,5φ a 7,5φ (a < 15 φ) Figura 8 – Área de influência para a consideração da abertura de fissuras
φ1 σ 4 . si + 45 w 1 = 12,5.η1 E si ρri w≤ 2 3.σ si φ1 w 2 = 12,5.η . E .f 1 si ctm onde: Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi; Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada (φi); φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri); σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)
Acrit
7,5 φ c 7,5 φ
7,5 φ
Figura 9 – Área crítica da abertura de fissuras segundo NBR 6118
237
ρ cri =
As 1 = = 0,0254 = 2,54% Acrit 39,38
σ si =
Md 188 = = 29,37 kN / cm 2 0,8.d.As 0,8.8.1
E si = 21000 kN / cm 2 fctm = 0,2565 kN / cm 2 w1 =
5 29,37 4 . + 45 = 0,05 mm 12,5.2,25 21000 0,0254
3.29,37 2 5 = 0,086 mm . w2 = 12,5.2,25 21000.0,256
w = 0,05 mm < wklim (Tabela 13.3 – NBR 6118) w < 0,4 mm (verificado).
238
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DOS CONCEITOS DA SEÇÃO 19
PUNÇÃO EM LAJES LISAS: EXEMPLOS DE CÁLCULO Autores: José Luiz P. Melges (1); Libânio M. Pinheiro (2); Fernando R. Stucchi
(3)
Revisora: Nilvea Bugno Zamboni (4)
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil UNESP, Faculdade de Engenharia Civil de Ilha Solteira E-mail: jlmelges@dec.feis.unesp.br (2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas USP, Escola de Engenharia de São Carlos E-mail: libanio@sc.usp.br (3) Professor Livre-Docente, Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações USP, Escola Politécnica E-mail: fernando.stucchi@poli.usp.br (4) Eng. Civil, Diretora da ProjNet Engenharia Ltda. E-mail: nilvea@projnet.com.br
1. Introdução O sistema estrutural conhecido como lajes lisas, no qual as lajes estão diretamente apoiadas nos pilares, pode oferecer diversas vantagens técnicas com relação ao sistema convencional de lajes, vigas e pilares, sendo mais econômico em muitos casos. Uma das grandes desvantagens das lajes lisas, protendidas ou não, é a possibilidade da punção da laje pelo pilar. A punção é um tipo de ruína que pode ocorrer quando forças concentradas, ou atuando em pequenas áreas, são aplicadas diretamente nas lajes, causando a sua perfuração. Como exemplo desta situação, tem-se a reação do pilar ao carregamento aplicado na laje, quando esta se apóia diretamente no pilar. É importante destacar que, no caso de edifícios de vários pavimentos, a ação concentrada que irá provocar a punção de uma determinada laje está relacionada aos carregamentos aplicados nesta laje, e não diretamente à força normal que atua no pilar. Um outro ponto importante é que a NBR 6118: 2003 leva em consideração o efeito de momentos fletores transferidos do pilar para a laje, na resistência da ligação. A punção está associada a esforços de cisalhamento e provoca uma separação completa entre a laje e o pilar. Como este tipo de ruína é frágil, deve-se, como diretriz de projeto, garantir que, caso a ruína ocorra, ela não se dê por punção, mas sim por flexão.
239
2. Punção A superfície de ruína para pilares internos, com lajes e carregamento simétricos (casos simétricos), apresenta uma forma troncônica ou tronco-piramidal, partindo do contorno da área carregada e se estendendo até a outra face, com uma inclinação entre 30° a 35°, em relação ao plano médio da laje (figura 1).
a) Planta
b) Corte A-A
c) Perspectiva
Figura 1 – Superfície de ruína para casos simétricos Para pilares de borda e de canto (casos assimétricos), mostrados nas figuras 2 e 3, respectivamente, a superfície de ruína se altera junto às bordas livres, permanecendo, no entanto, com a mesma forma dos casos simétricos, junto ao canto interno dos pilares de canto e junto à face interna dos pilares de borda. Esta modificação na superfície de ruína se deve, principalmente, à presença de momentos torçores e fletores, nestes tipos de ligações.
Perspectiva Figura 2 – Superfície de ruína para pilares de borda
240
Perspectiva Figura 3 – Superfície de ruína para pilares de canto Nos casos em que é necessário aumentar a resistência da ligação laje-pilar, soluções comuns como capitéis e “drop panels” podem ser indesejáveis do ponto de vista arquitetônico ou construtivo. Sendo assim, o uso de armaduras de cisalhamento para o combate à punção, ou, simplesmente, armaduras de punção, é uma alternativa vantajosa do ponto de vista estrutural, uma vez que este tipo de reforço, além de aumentar a resistência, aumenta também a ductilidade da ligação, contribuindo para a mudança do tipo de ruína frágil para dúctil. Conforme estudos realizados por REGAN (1985) e GOMES (1991), a superfície de ruína pode ser alterada se houver, na laje, a presença de armaduras de punção. Embora a ruptura por cisalhamento também seja possível, considerando-se a laje como sendo uma viga de grande largura, ela é pouco provável no caso das lajes lisas. Deste modo, desde que algumas condições sejam respeitadas, existem basicamente três possibilidades de ruptura: na primeira, a superfície de ruína atravessa a região armada; na segunda, com o aumento da quantidade de armadura nessa região, a superfície de ruína transfere-se para outra, localizada além da região armada, e, na terceira, quando se tem uma extensa região com armadura de punção, suficiente para se evitar a primeira possibilidade de ruína mencionada, a superfície de ruína transfere-se para a região localizada entre a face do pilar e a primeira linha de armadura de punção (figura 4). Fissura “costurada” pela armadura de punção
b) Além da região armada
a) Atravessando a região armada Fissuras “costuradas” armadura de punção
pela
c) Entre o pilar e a armadura de punção Figura 4 – Posições das superfícies de ruína para lajes com armadura de punção 241
A Norma menciona que, como armadura de punção, podem ser usados estribos ou conectores tipo pino, mostrados nas figuras 5 e 6, respectivamente. Ela menciona que, no caso de estribos, pressupõe-se o contato metálico entre as barras longitudinais e os cantos dos estribos. É de vital importância que a armadura esteja devidamente ancorada, pois, caso contrário, será considerada uma resistência adicional na ligação que, na realidade, não existe. Não deve haver folga na região de contato da armadura de flexão com os ganchos dos estribos e, no caso dos conectores tipo pino, deve-se garantir que a armadura de flexão negativa esteja abaixo da chapa de ancoragem superior do conector (figura 7).
Figura 5 – Estribos
Figura 6 – Conectores tipo pino
a) ganchos
b) conectores tipo pino Figura 7 - Ancoragem
A Norma menciona ainda que a disposição dessa armadura em relação ao pilar pode assumir os seguintes formatos: disposição em cruz (figura 8) e disposição radial (figura 9). Embora 242
uma disposição de conectores uniformemente distribuídos na região próxima ao pilar também seja possível, um estudo realizado por MELGES & PINHEIRO (2004) mostra que ela pode exigir um consumo maior de armadura, quando comparada com as outras opções mencionadas (figura 10).
(DILGER, 1990)
Figura 8 – Disposição em cruz
(MOTA, 2004) Figura 9 – Disposição radial
Figura 10 – Disposição uniforme de armadura de punção
243
Outro ponto de destaque é o problema do colapso progressivo. Em um edifício, a ruína localizada de uma ligação aumenta a força e a excentricidade nos pilares próximos, podendo desencadear a ruína generalizada de um pavimento e, até, de uma estrutura, se os painéis de laje caírem uns por cima dos outros. Essa sucessão de ruínas dos painéis é chamada de colapso progressivo, e ocorre devido à capacidade inadequada de uma ligação de absorver as tensões residuais de cisalhamento, relacionadas ao comportamento pós-punção. A principal medida para se evitar o colapso progressivo é garantir a ductilidade da ligação lajepilar. As armaduras negativas, posicionadas na parte superior da laje, podem até aumentar a resistência da ligação, mas não a sua ductilidade. Quando tem início o fenômeno da punção, elas tendem a romper o cobrimento superior, no ponto em que a fissuração começou, deformando consideravelmente a laje (figura 11a). As armaduras de punção até proporcionam um certo aumento de ductilidade, porém, muitas vezes são insuficientes para evitar o colapso progressivo. A solução que vem demonstrando melhores resultados é a utilização de barras na face inferior da laje (armadura positiva), passando pelos pilares ou ancoradas neles. Essa disposição é bastante efetiva na absorção das tensões residuais de cisalhamento, contribuindo para a melhoria do comportamento pós-punção, principalmente pelo chamado efeito pino (dowel action, Figura 11b). Para isso, é essencial que a ancoragem das barras esteja além do “cone” de punção. Essa solução foi estudada por MELO (1994), que comprovou experimentalmente sua eficiência, desde que a armadura seja corretamente detalhada.
Figura 11 – Comportamento da ligação laje-pilar após a ruína por punção (LIMA, 2001)
244
3. Método das Bielas e Tirantes Para melhor compreender as recomendações da NBR 6118:2003, pode-se representar o comportamento estrutural da laje por meio do Método das Bielas e Tirantes. Neste método, considera-se o comportamento da estrutura de concreto armado semelhante ao comportamento de uma estrutura composta por barras comprimidas e tracionadas, ligadas entre si por meio de nós. As barras comprimidas (ou bielas) representam os campos de compressão a serem resistidos pelo concreto. Já as barras tracionadas (ou tirantes) representam os campos de tração a serem absorvidos pela armadura. Em alguns casos específicos, os campos de tração também podem ser absorvidos pelo concreto, como, por exemplo, no caso das lajes (figura 12). Detalhes a respeito da aplicação deste método ao comportamento das lajes podem ser encontrados na FIP/99. No caso da punção, para que a estrutura não entre em colapso, deve-se verificar a possibilidade do esmagamento da biela, cuja resistência está relacionada à resistência do concreto à compressão, bem como a possibilidade da ruína do tirante inclinado, cuja resistência está relacionada à resistência do concreto à tração (figura 13). De modo a simplificar essas verificações, ao invés de se trabalhar com tensões em bielas e em tirantes, comparam-se determinadas tensões de cisalhamento com parâmetros de resistência.
Figura 12 – Esquema de bielas e tirantes para uma laje (figura adaptada da FIP/99)
a) Biela comprimida
b) Tirante inclinado
Figura 13 – Situações possíveis: esmagamento da biela comprimida ou ruína do tirante inclinado
245
4. Recomendações Normativas A NBR 6118:2003 tem como base de suas verificações o método da superfície crítica. Neste método, calcula-se uma tensão solicitante uniforme de cisalhamento em uma determinada superfície crítica, perpendicular ao plano médio da laje, localizada a uma determinada distância da face do pilar ou da área carregada (figura 14), e compara-se o valor obtido com uma determinada tensão resistente.
Figura 14 - Superfície crítica
As superfícies críticas são definidas como sendo o produto de perímetros críticos pela altura útil da laje. Na figura 15 estão mostrados os perímetros críticos usados para a verificação da punção em pilares internos, de borda e de canto, para ligações sem e com armadura de punção. Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser feitas: - verificação da compressão do concreto, no contorno C ( τ Rd 2 ≥ τ sd ) - verificação da punção, no contorno C’ ( τ Rd1 ≥ τ sd ) Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas: - verificação da compressão do concreto, no contorno C ( τ Rd 2 ≥ τ sd ) - verificação da punção, no contorno C’ ( τ Rd3 ≥ τ sd ) - verificação da punção, no contorno C” ( τ Rd1 ≥ τ sd ) C, C’ e C” são os perímetros críticos, respectivamente, na face do pilar, à distância 2d da face do pilar e à distância 2d da última linha de armaduras. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C’ e C” varia de acordo com a posição do pilar na estrutura (figura 15).
246
Figura 15 - Perímetros críticos para pilares internos, de borda e de canto (GUARDA et al., 2000) 4.1 Cálculo das Tensões Resistentes Para o cálculo das tensões resistentes, são utilizadas as expressões indicadas a seguir. 4.1.1 Na face do pilar (contorno C) τ Rd 2 = 0,27 ⋅ α v ⋅ f cd sendo:
(Equação 1)
f αv - coeficiente de efetividade do concreto, dado por α v = 1 − ck , fck em MPa; 250 fck - resistência característica à compressão do concreto; fcd - resistência de cálculo à compressão do concreto.
4.1.2 A 2d da face do pilar (contorno C’), em lajes sem armadura, ou a 2d da última linha de conectores (contorno C”), em lajes armadas 1 20 τ Rd 1 = 0,13 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ ρ ⋅ fck ) 3 (Equação 2) d sendo: fck - resistência característica à compressão do concreto, em MPa; dx + dy d - altura útil da laje no contorno crítico estudado, em centímetros, dada por d = , 2 como indicado na figura 16; ρ - taxa geométrica de armadura longitudinal, dada por ρ = ρ x ⋅ ρ y . Para o cálculo de ρ x e ρ y, que representam as taxas de armaduras ortogonais, nas direções x e y, respectivamente, deverá ser considerada uma faixa de largura igual à dimensão do pilar, mais 3d para cada lado, ou até a borda, se for mais próxima (figura 16).
247
Figura 16 - Altura útil (d) da laje e seção para o cálculo da taxa de armadura (ρ)
4.1.3 A 2d da face do pilar (contorno C’), em lajes armadas 1 20 d A sw ⋅ f ywd ⋅ sen α τ Rd 3 = 0,10 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ ρ ⋅ fck ) 3 + 1,5 ⋅ ⋅ d sr u⋅d sendo:
(Equação 3)
Asw - área da armadura de punção num contorno paralelo a C’ (figura 17); fywd - resistência de cálculo da armadura de punção, em MPa; O valor de fywd não poderá ser superior a 300 MPa (para conectores) para lajes de altura até 15 cm. Se essa altura for superior a 35 cm, fywd poderá chegar a 435 MPa. Para valores intermediários da altura da laje, permite-se fazer interpolação linear. α - inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; sr - espaçamento radial entre linhas de conectores; u - perímetro crítico do contorno C’, que varia de acordo com a posição do pilar.
Figura 17 - Contorno paralelo a C’ com armadura total Asw 4.2
Cálculo das Tensões Solicitantes
As tensões solicitantes variam de acordo com a posição dos pilares e, é claro, com o tipo de carregamento a que eles estiverem submetidos.
248
4.2.1 Pilar interno, com carregamento simétrico F τsd = sd u⋅d
(Equação 4)
sendo: FSd - força normal de cálculo, dada por FSd = N 2 d − N1d (figura 18). A NBR 6118:2003 permite também uma redução da reação do pilar para a verificação da punção, de valor igual ao da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do perímetro crítico;
a) Esquema dos esforços na ligação laje-pilar
b) Distribuição de tensões na superfície de controle devida a um momento de transferência da laje ao pilar
Figura 18 – Determinação de FSd e MSd (STUCCHI & KNAPP, 1993) d - altura útil da laje no contorno crítico estudado; u - perímetro crítico do contorno estudado (tabela 1); c1 e c2 - dimensões do pilar; p - distância da face do pilar até a última linha de conectores. Tabela 1 – Perímetros críticos para pilares internos Contorno Crítico
Perímetro Crítico u
C
u = 2 ⋅ (c 1 + c 2 )
C’
u = 2 ⋅ ( c1 + c2 ) + 4 ⋅ π ⋅ d
C”
u : depende da distribuição de armadura adotada. No caso da figura 15, tendo-se uma distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a seguinte expressão: u = 2 ⋅ (c 1 + c 2 ) + 4 ⋅ π ⋅ d + 2 ⋅ π ⋅ p
249
4.2.2
Pilar interno, com momento em uma direção FSd K ⋅ M Sd = + u⋅d Wp ⋅ d
τ sd
(Equação 5)
sendo: K - coeficiente que fornece a parcela de momento que é transmitida ao pilar por cisalhamento, c e depende da relação 1 entre as dimensões do pilar (figura 19); c2 Tabela 2 - Valores do coeficiente K c1/c2 K
0,5 0,45
1 0,60
2 0,70
3 0,80
c1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade; c2 - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade;
Figura 19 – Dimensões de c1 e c2 M Sd - momento desbalanceado de cálculo, dado por M Sd = M 2 d + M 1d (figura 18); u
Wp - módulo de resistência plástica do perímetro crítico (tabela 3), dado por Wp = ∫ e ⋅ dl , 0
onde dl é o comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua M Sd. Tabela 3 - Valores de Wp para pilares internos Contorno Wp Crítico C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico. 2
C’
C”
c1 + c1c 2 + 4c 2 d + 16d 2 + 2πdc1 2 W p : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição Wp =
radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: 2
c1 + c1c 2 + 4c 2 d + 16d 2 + 2πdc1 + 2c 2 p + 16dp + 4 p 2 + πc1p 2 Observação: os valores de Wp, u e d, em cada verificação, correspondem ao contorno estudado. W p1 = W p 2 =
4.2.3 Pilar interno, com momentos nas duas direções F K ⋅ M Sd1 K 2 ⋅ M Sd 2 τ sd = S d + 1 + u ⋅d W p1 ⋅ d Wp 2 ⋅ d 250
(Equação 6)
sendo: M Sd1 e MSd2 - momentos desbalanceados de cálculo; K1 e K2 - coeficientes dados pela tabela 2. Valem as mesmas definições anteriores. Observa-se que, para o cálculo das grandezas de cada uma das parcelas dos momentos, as dimensões c1 e c 2 se invertem (figura 20).
M sd1
c2 c1
c1 c2
M sd2 Figura 20 - Dimensões c1 e c2 para pilares internos com momentos nas duas direções
4.2.4
Pilar de borda, sem momento paralelo à borda livre
FSd K ⋅ M Sd + 1 u * ⋅d Wp 1 ⋅ d sendo: τ sd =
(Equação 7)
u* - perímetro crítico reduzido do contorno estudado (figura 21 e tabela 4).
Figura 21 - Perímetro crítico reduzido para o contorno C’ em pilares de borda
251
Tabela 4 - Perímetros críticos reduzidos para pilares de borda Contorno Crítico C C’
Perímetro Crítico Reduzido u* u* = 2 ⋅ a + c 2 u* = 2 ⋅ a + c2 + 2 ⋅ π ⋅ d
u * : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para C”
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: u* = 2 ⋅ a + c2 + 2 ⋅ π ⋅ d + π ⋅ p
a - menor valor entre 1,5 d e 0,5 c1; M Sd - momento de cálculo resultante, dado pela expressão M Sd = (M Sd 1 − M Sd *) ≥ 0 ; M Sd1 - momento no plano perpendicular à borda livre; M Sd* - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, M Sd * = FSd ⋅ e * ; e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (figura 22 e tabela 5), dada por: u*
e* =
∫
e ⋅ dl
0 u*
∫
dl
0
b
a
2d
a ≤ 1,5d ou 0,5c 2d c1 / 2
e*
c2 2d
Borda livre da laje c1
2d
Perímetro crítico reduzido u*
Figura 22 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno C’ em pilares de borda
252
Tabela 5 - Excentricidades dos perímetros críticos reduzidos para pilares de borda Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico c ⋅c c1 ⋅ a − a 2 + 1 2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c 1 C’ 2 e* = 2 ⋅ a + c2 + 2 ⋅ π ⋅ d e*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão:
C”
c ⋅c c1 ⋅ a − a 2 + 1 2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c1 + 2 π ⋅ p ⋅ c1 + c2 ⋅ p + 8 ⋅ d ⋅ p + + 2 ⋅ p2 2 e* = 2 ⋅ a + c2 + 2 ⋅ π ⋅ d + π ⋅ p
Wp1 - módulo de resistência plástica na direção perpendicular à borda livre (tabela 6) Tabela 6 - Valores de Wp1 para pilares de borda Contorno Crítico C
Wp1 Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 2
c1 c ⋅c + 1 2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c1 2 2 W p1 : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para W p1 =
C’
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: C” 2
W p1 = 4.2.5 τ sd =
c1 c ⋅c π ⋅ p ⋅ c1 + 1 2 + 2 ⋅ c 2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c1 + c 2 ⋅ p + 8 ⋅ d ⋅ p + + 2 ⋅ p2 2 2 2
Pilar de borda, com momento paralelo à borda livre FSd K ⋅ M Sd K 2 ⋅ M Sd 2 + 1 + u * ⋅d W p1 ⋅ d W p2 ⋅ d
(Equação 8)
onde valem as mesmas definições anteriores, e mais: M Sd2 - momento no plano paralelo à borda livre; Wp2 - módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre (tabela 7);
253
Tabela 7 - Valores de Wp2 para pilares de borda Contorno Crítico C
Wp2 Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 2
C’
c2 + c1 ⋅ c 2 + 4 ⋅ c1 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c 2 4 Wp 2 : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: W p2 =
C” 2
W p2 =
c2 π ⋅ p ⋅ c2 + c1 ⋅ c 2 + 4 ⋅ c1 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c 2 + 2 ⋅ c1 ⋅ p + 8 ⋅ d ⋅ p + + 2 ⋅ p2 4 2
K2 - coeficiente dado pela tabela 2, mas que depende da relação 4.2.6
c2 . 2 ⋅ c1
Pilar de canto
As verificações são realizadas, separadamente, para cada uma das direções, sendo que, para cada borda adotada, deverá ser considerado o momento no plano perpendicular a ela (figura 23). Assim, valem as disposições para pilares de borda, sem momento no plano paralelo à borda livre.
Figura 23 - Situações para verificação de pilares de canto O coeficiente K1 é obtido normalmente de acordo com a tabela 2, sendo c1 sempre o lado perpendicular à borda adotada (figura 23). O perímetro crítico reduzido u* (figura 24) tem os valores indicados na tabela 8. A excentricidade do perímetro crítico e* (figura 25) tem os valores indicados na tabela 9. O módulo de resistência plástica Wp1 tem os valores dados na tabela 10.
254
Bordas livres da laje
2d Perímetro crítico u
c
a ≤ 1,5d ou 0,5c
2d
2d 2d Perímetro crítico reduzido u*
Figura 24 - Perímetro crítico reduzido para o contorno C’, em pilares de canto
Figura 25 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido para o contorno C’, em pilares de canto Tabela 8 - Perímetros críticos reduzidos para pilares de canto Contorno Crítico C C’
C”
Perímetro Crítico Reduzido u* u * = a1 + a 2 u * = a1 + a2 + π ⋅ d u*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: π⋅ p u * = a1 + a2 + π ⋅ d + 2
255
Tabela 9 - Excentricidades dos perímetros críticos reduzidos para pilares de canto Contorno Excentricidade do perímetro crítico e* Crítico C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro crítico 2
C’
C”
c1 ⋅ a1 − a1 + a2 ⋅ c1 + 4 ⋅ a2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c1 2 ⋅ (a1 + a2 + π ⋅ d ) e*: depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: c1 ⋅ a1 − a12 + a2 ⋅ c1 + 4 ⋅ a 2 ⋅ d + 8 ⋅ d 2 + π ⋅ d ⋅ c1 π ⋅ p ⋅ c1 + 2 ⋅ a2 ⋅ p + 8 ⋅ d ⋅ p + + 2 ⋅ p2 2 e* = π⋅ p 2 ⋅ a1 + a2 + π ⋅ d + 2 e* =
Tabela 10 - Valores de Wp1 para pilares de canto Contorno Crítico
Wp1
C
O conceito de Wp1 não se aplica a este contorno crítico pois, na verificação
C’
W p1 =
deste perímetro crítico, não se considera a influência do momento fletor 2
c1 c ⋅c π ⋅ d ⋅ c1 + 1 2 + 2 ⋅ c2 ⋅ d + 4 ⋅ d 2 + 4 2 2 Wp1 : depende da distribuição de armadura. No caso da figura 15, para
distribuição radial em relação aos cantos do pilar, tem-se a expressão: C”
2
W p1
4.3
c c ⋅c π ⋅ d ⋅ c1 π ⋅ p ⋅ c1 = 1 + 1 2 + 2 ⋅ c2 ⋅ d + 4 ⋅ d 2 + + c2 ⋅ p + 4 ⋅ d ⋅ p + + p2 4 2 2 4
Disposições Construtivas
A armadura de punção deve ser constituída de pelo menos três linhas de conectores tipo pino, dispostas, por exemplo, como indicado nas figuras 15 e 26. Para os pilares de borda e canto, recomenda-se dispor os conectores além do perímetro crítico reduzido, apesar dessa área de aço não ser computada na verificação.
Figura 26 - Disposições das armaduras de punção Para garantir a absorção das tensões cisalhantes, há necessidade de se atenderem aos espaçamentos máximos indicados na figura 27: sr ≤ 0,75d (entre duas linhas de conectores), 256
so ≤ 0,5d (entre a face do pilar e a primeira linha de conectores) e se ≤ 2d (entre os conectores mais afastados do pilar). Se este último limite não puder ser respeitado, parte do perímetro a ser usado na verificação do contorno C” deverá ser desprezada.
Figura 27 – Espaçamentos das armaduras de punção As extremidades dos conectores devem estar ancoradas fora do plano da armadura de flexão da laje e as placas de ancoragem (superior e inferior), devem atender aos limites mínimos, indicados na figura 28.
Figura 28 – Detalhes dos conectores Para a proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão positiva, mostrada na figura 28, que atravessa o contorno C, deve estar ancorada além do perímetro C’ e deve satisfazer à condição:
A s ⋅ fyd ≥ Fsd sendo: As - soma das áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar fyd - valor de cálculo da resistência do aço. 257
5. Exemplos São apresentados exemplos adaptados de GUARDA et al. (2000). 5.1
Dados Iniciais
Para o pavimento mostrado na figura 29, serão estudadas as regiões dos pilares P1, P2 e P6.
Figura 29 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) 5.2
Esforços
Os esforços nas ligações laje-pilar, mostrados na tabela 11, foram obtidos pelo processo dos pórticos equivalentes conforme recomendações do ACI 318 (1999). Em função da dupla simetria, foram definidas apenas duas faixas de projeto. Tabela 11 – Esforços nas ligações laje-pilar Dimensões Esforço Pilar (cm x cm) N (kN) Mx (kN.m) My (kN.m) P1 30 x 30 40,4 12,63 12,63 P2 40 x 30 123,9 28,39 28,56 P6 40 x 40 252,7 42,38 42,38 5.3
Armadura de flexão
O dimensionamento e o detalhamento da laje foram feitos de acordo com as recomendações da NBR 6118:2003. Os detalhamentos das armaduras positiva e negativa, dispostas na direção x, estão indicados nas figuras 30 e 31. Destaca-se que a edificação apresenta simetria com relação às duas direções, x e y.
258
Figura 30 - Armadura positiva, simétrica nas duas direções
Figura 31 - Armadura negativa, simétrica nas duas direções
Deste ponto em diante, exceto onde indicado, os itens referem-se à NBR 6118:2003. Considerando-se uma classe de agressividade ambiental II (ambiente urbano, tabela 6.1 da Norma) e uma tolerância de execução em obras correntes (∆c) igual a 10 mm (item 7.4.7.3), o cobrimento da armadura deveria ser igual a 25 mm (tabela 7.2 da Norma). No entanto, para ambientes internos secos, é possível admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima), conforme a tabela 6.1 da Norma. Sendo assim, adotou-se o cobrimento (c) da armadura como sendo igual a 20 mm. As alturas úteis, nas direções x e y, são calculadas pelas expressões: d x = h − c − φ / 2 = 18 − 2 − 1,0 / 2 = 15,5 cm
d y = d x − φ = 15,5 − 1 = 14,5 cm d=
d x + dy
= 15 cm 2 Observação: para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, a NBR 6118:2003 permite que as exigências da tabela 7.2 sejam substituídas pelas recomendações dadas no item 7.4.7.5, respeitando-se um cobrimento nominal maior ou igual a 15 mm. Portanto, a altura útil considerada para esta laje será:
A resistência característica à compressão do concreto (fck) adotada foi de 30 MPa. Sendo assim, a resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) é dada pela expressão:
fcd =
30 = 21,4 MPa 1,4
259
5.4
Pilar P6 (Pilar Interno)
Esforços atuantes na ligação: § FSd = 1,4 ⋅ 252,7 = 353,8 kN §
M Sd1 (direção x) = M Sd 2 (dir . y) = 1,4 ⋅ 42,38 = 59,33 kN. m = 5 933 kN⋅ cm
5.4.1 Verificação do contorno C (face do pilar, item 19.5.3.1) 30 § Tensão resistente (Equação 1): τRd2 = 0,27 ⋅ 1 − ⋅ 21,43 = 5,09 MPa 250 § Tensão solicitante: para este perímetro crítico, não se considera a influência do momento fletor. A determinação da tensão solicitante deverá ser feita por meio da equação 4: F τ Sd = Sd , onde o perímetro do pilar interno é: u = 2 (40+40) = 160 cm u⋅d 353,8 kN ∴ τ Sd = = 0,147 = 1,47 MPa 160 ⋅ 15 cm2 •
Verificação:
τ Rd 2 ( = 5,09 MPa) ≥ τ Sd ( = 1,47 MPa) ⇒ OK
Observação: o valor de τ Rd 2 poderia ter sido ampliado de 20%, uma vez que os vãos que chegam a este pilar interno não diferem mais de 50% e não existem aberturas junto ao pilar (item 19.5.3.1). 5.4.2 §
Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar)
Tensão resistente (Equação 2, item 19.5.3.2)
De acordo com as figuras 31 e 32, tem-se que: Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento Espaçamento entre as barras: φ10 cd 18 + φ10 cd 18 = φ10 cd 9 cm ∴ q=
3 ⋅ 15 + 40 + 3 ⋅ 15 = 14,4 ≈ 14 barras (a favor da segurança, arredondar para menos) 9
14 ⋅ 0,8 = 0,005558 15,5 ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 15 + 40) 14 ⋅ 0,8 ρy = = 0,005942 14,5 ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 15 + 40) ρx =
ρ = ρ x ⋅ ρ y = 0,005558 ⋅ 0,005942 = 0,005747
Figura 32 – Seção para o cálculo de ρ
13 20 τ Rd1 = 0,13 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,005747 ⋅ 30 ) = 0,72 MPa 15
§ Tensão solicitante (Equação 6, tabelas 1 e 3, item 19.5.2.2): u = 2 ⋅ ( 40 + 40 ) + 4 ⋅ π ⋅ 15 = 348,5 cm 260
K 1 = K 2 = 0,6 (coeficiente tabelado)
40 2 + 40 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅ 15 + 16 ⋅ 15 2 + 2 ⋅ π ⋅ 15 ⋅ 40 = 12 170 cm2 2 0,6 ⋅ 5933 kN 353,8 = 0,0677 + 0,0390 = 0,107 = + 2 ⋅ = 1,07 MPa 348,5 ⋅ 15 cm 2 12 170 ⋅ 15
Wp 1 = Wp 2 = τ Sd
§ Verificação: τ Rd1 (= 0,72 MPa) < τ sd (= 1,07 MPa) ⇒ Não OK! Armadura de punção! Respeitando os espaçamentos mínimos, verificar a possibilidade de adotar armadura de punção de conectores tipo pino φ 6,3 mm, aço CA-50, distribuídos em três linhas, num arranjo como o da figura 33.
Figura 33 – Arranjo de conectores tipo pino para o pilar P6 Para conectores de aço CA-50, sendo 18 cm a espessura da laje:
435 − 300 435 − fywd = 35 − 15 35 − 18
⇒
f ywd = 320 MPa
A área de aço total em cada linha é dada por: Asw = 16 ⋅ 0,32 = 5,12 cm2 E assim, a nova tensão resistente, agora da região armada (item 19.5.3.3), é dada pela Equação 3. 13 20 15 5,12 ⋅ 320 ⋅ 1 τ Rd 3 = 0,10 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,005747 ⋅ 30) + 1,5 ⋅ ⋅ = 0,557 + 0,705 = 1,26 MPa 15 10 348,5 ⋅ 15 §
Nova verificação:
5.4.3
τ Rd 3 ( = 1,26 MPa) > τ Sd ( = 1,07 MPa)
⇒
OK
Verificação do contorno C” (a 2d da região armada, item 19.5.3.2)
§
Tensão resistente (Equação 2): τ Rd1 = 0,72 MPa
§
Tensão solicitante (Equação 6):
(calculada no item anterior)
Com base na figura 34 e utilizando as tabelas 1 e 3, tem-se:
261
Figura 34 – Perímetro crítico além da região armada p = 7 + 10 + 10 = 27 cm u = 2 ⋅ ( 40 + 40 ) + 4 ⋅ π ⋅ 15 + 2 ⋅ π ⋅ 27 = 518,1 cm Wp 1 =
40 2 + 40 ⋅ 40 + 4 ⋅ 40 ⋅ 15 + 16 ⋅ 15 2 + 2 ⋅ π ⋅ 15 ⋅ 40 + 2 ⋅ 40 ⋅ 27 + 16 ⋅ 15 ⋅ 27 + 4 ⋅ 27 2 + π ⋅ 40 ⋅ 27 = 27 119 cm 2
Wp 2 = Wp1 = 27 119 cm2 (pilar é quadrado) Portanto: §
Verificação: τ Rd1 (= 0,72 MPa) > τ Sd ( = 0,63 MPa) ⇒ OK
5.4.4 Verificação do Colapso Progressivo (item 19.5.4) Cada face do pilar é atravessada por 3 φ 10 mm (figura 30). As = 12 ⋅ 0,8 = 9,6 cm2 50 As ⋅ f yd = 9,6 ⋅ = 417,4 kN 1,15 As ⋅ f yd ≥ FS d ⇒ 417,4 ≥ 353,8 ⇒ OK
262
5.5 Pilar P2 (Pilar de Borda) Esforços atuantes na ligação: FSd = 1,4 ⋅ 123,9 = 173,5 kN M Sdx = 1,4 ⋅ 28,39 = 39,75 kN . m = 3975 kN⋅ cm M sdy = 1,4 ⋅ 28,56 = 39,98 kN .m = 3998 kN⋅ cm
M Sd1 = MSdy (perpendicular à borda livre) M Sd 2 = M Sdx (paralelo à borda livre) c1 = 30 cm (perpendicular à borda livre) c 2 = 40 cm (paralelo à borda livre)
5.5.1 Verificação do contorno C (face do pilar, item 19.5.3.1) §
Tensão resistente:
§
Tensão solicitante:
τ Rd 2 = 5,09 MPa (já calculada no item 5.4.1 deste texto)
Utiliza-se a equação 7, desprezando-se o efeito do momento fletor: τ Sd = Pela tabela 4:
FSd u*⋅d
1,5 ⋅ d = 1,5 ⋅ 15 = 22,5 cm a≤ 0,5 ⋅ c1 = 0,5 ⋅ 30 = 15 cm a = 15 cm
u * = 2 ⋅ 15 + 40 = 70 cm
Portanto: τ Sd =
173,5 kN = 0,165 = 1,65 MPa 70 ⋅ 15 cm2
§ Verificação: τ Rd 2 ( = 5,09 MPa ) ≥ τ Sd ( = 1,65 MPa )
⇒
OK
5.5.2 Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar) §
Tensão resistente (Equação 2):
Com base nas figuras 16 e 31, tem-se: a) Direção x Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento Espaçamento entre as barras: φ10 cd 16 + φ10 cd 16 = φ10 cd 8 cm 3 ⋅ 15 + 30 − 2 = 9,1 ≈ 9 barras (a favor da segurança, arredondar para menos) 8 9 ⋅ 0,8 ρx = = 0,005465 15,5 ⋅ (3 ⋅ 15 + 40) qx =
b) Direção y Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento Espaçamento entre as barras: φ 6,3 cd 11 cm 263
qy =
3 ⋅ 15 ⋅ 2 + 40 = 11,8 ≈ 11 barras (a favor da segurança, arredondar para menos) 11
ρy =
11⋅ 0,32 = 0,001867 14,5 ⋅ (2 ⋅ 3 ⋅ 15 + 40)
c) Taxa de armadura: ρ = ρ x ⋅ ρ y = 0,005465 ⋅ 0,001867 = 0,003195 Portanto: §
13 20 τ Rd1 = 0,13 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,003195 ⋅ 30 ) = 0,60 MPa 15
Tensão solicitante (Equação 8):
Pelas tabelas 4 e 5, respectivamente: u * = 2 ⋅ 15 + 40 + 2 ⋅ π ⋅ 15 = 164,2 cm
e* =
30 ⋅ 15 − 15 2 +
30 ⋅ 40 + 2 ⋅ 40 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 30 2 = 31,9 cm 2 ⋅ 15 + 40 + 2 ⋅ π ⋅ 15
M Sd * = FSd ⋅ e* = 173,5 ⋅ 31,9 = 5535 kN⋅ cm M Sd = (M Sd1 − M Sd *) = (3998 − 5535) = −1537 kN⋅ cm ≤ 0
⇒
M Sd = 0
Pelas tabelas 6 e 7, respectivamente:
Wp 1 =
30 2 30 ⋅ 40 + + 2 ⋅ 40 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 30 = 5464 cm2 2 2
Wp 2 =
40 2 + 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 30 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 40 = 7085 cm2 4
Os valores de K1 e K2 são: K1 (coeficiente tabelado em função da relação C1/C2 = 30 / 40 = 0,75) = 0,525 K2 (coeficiente tabelado em função da relação C2 / (2 C1) = 40 / 60 = 0,67) = 0,5
τ Sd = •
kN 173,5 0,525 ⋅ 0 0,5 ⋅ 3975 + + = 0,0704 + 0 + 0,0187 = 0,0891 = 0,89 MPa 164,2 ⋅ 15 5464 ⋅ 15 7085 ⋅ 15 cm 2
Verificação: τ Rd1 (= 0,60 MPa) < τ Sd ( = 0,89 MPa) ⇒ Não OK! Armadura de punção!
Respeitando-se os espaçamentos mínimos, será adotada novamente uma armadura de punção constituída por conectores tipo pino, com φ 6,3 mm, aço CA-50, distribuídos em três linhas, conforme arranjo mostrado na figura 35. A área de aço total em cada linha é dada por: Asw = 9 ⋅ 0,32 = 2,88 cm2 264
E assim, a nova tensão resistente, agora da região armada, é dada pela Equação 3. 13 20 15 2,88 ⋅ 320 ⋅ 1 τ Rd 3 = 0,10 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,003195 ⋅ 30) + 1,5 ⋅ ⋅ = 0,458 + 0,842 ≈ 1,30 MPa 15 10 164,2 ⋅ 15 so = 7,0 cm sr = 10 cm se = 20,66 cm
a = 15 cm 7,0 cm 10 cm 10 cm
Figura 35 - Arranjo de conectores tipo pino para o pilar P2 •
Nova verificação:
τ Rd 3 ( = 1,30 MPa) > τ Sd ( = 0,89 MPa)
⇒
OK
Verificação do contorno C” (a 2d da região armada) §
Tensão resistente (Equação 2): τ Rd1 = 0,60 MPa
§
Tensão solicitante (Equação 8):
(calculada no item anterior)
Com base na figura 36 e utilizando-se as tabelas 4 e 5, tem-se: p = 7 + 10 + 10 = 27 cm
u * = 2 ⋅ 15 + 40 + 2 ⋅ π ⋅ 15 + π ⋅ 27 = 249,1 cm
30 ⋅ 40 2 + 2 ⋅ 40 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 30 + 30 ⋅ 15 − 15 + 2 π ⋅ 27 ⋅ 30 + 40 ⋅ 27 + 8 ⋅ 15 ⋅ 27 + + 2 ⋅ 27 2 2 e* = 2 ⋅ 15 + 40 + 2 ⋅ π ⋅ 15 + π ⋅ 27
e* = 49,3 cm M Sd * = FSd ⋅ e* = 173,5 ⋅ 49,3 = 8554 kN⋅ cm M Sd = (M Sd1 − M Sd *) = (3998 − 8554) = −4556 kN⋅ cm ≤ 0 ⇒
Figura 36 – Perímetro crítico além da região armada M Sd = 0
Pelas tabelas 6 e 7, respectivamente:
Wp 1 =
30 2 30 ⋅ 40 π ⋅ 27 ⋅ 30 + + 2 ⋅ 40 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 30 + 40 ⋅ 27 + 8 ⋅ 15 ⋅ 27 + + 2 ⋅ 27 2 = 12 514 cm 2 2 2 265
W p2 = τ Sd =
40 2 π ⋅ 27 ⋅ 40 + 30 ⋅ 40 + 4 ⋅ 30 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 40 + 2 ⋅ 30 ⋅ 27 + 8 ⋅ 15 ⋅ 27 + + 2 ⋅ 27 2 = 15 099 cm 4 2
173,5 0,525 ⋅ 0 0,5 ⋅ 3975 kN + + = 0,0464 + 0 + 0,00878 = 0,0552 249,1⋅ 15 12 514 ⋅ 15 15 099 ⋅ 15 cm2
= 0,55 MPa
Verificação: τ Rd1 (= 0,60 MPa) > τ Sd (= 0,55 MPa) ⇒ OK
•
5.5.4 Verificação do Colapso Progressivo Cada face perpendicular à borda livre é atravessada por 3 φ 8 mm. Já a face paralela à borda livre é atravessada por 3 φ 10 mm (figura 30).
As = 6 ⋅ 0,5 + 3 ⋅ 0,8 = 5,4 cm2 50 As ⋅ f yd = 5,4 ⋅ = 234,8 kN 1,15 As ⋅ f yd ≥ FSd ⇒ 234,8 ≥ 173,5 ⇒ OK
266
5.6
Pilar P1 (pilar de canto)
Esforços atuantes na ligação: FSd = 1,4 ⋅ 40,4 = 56,6 kN M Sdx = MSdy = 1,4 ⋅ 12,63 = 17,68 kN . m = 1768 kN⋅ cm
5.6.1
Verificação do Contorno C (face do pilar)
§
Tensão resistente (Equação 1): τ Rd 2 = 5,09 MPa (calculada no item anterior 5.4.1)
§
Tensão solicitante:
Utiliza-se a equação 7, desprezando-se o efeito do momento fletor: τ Sd =
FSd u*⋅d
1,5 ⋅ d = 1,5 ⋅ 15 = 22,5 cm Pela tabela 8, tem-se que: a1 = a2 ≤ 0,5 ⋅ c1 = 0,5 ⋅ 30 = 15 cm a1 = a2 = 15 cm u * = 2 ⋅ 15 = 30 cm 56,6 kN τ Sd = = 0,126 = 1,26 MPa 30 ⋅ 15 cm2
•
Verificação: τ Rd 2 ( = 5,09 MPa) ≥ τ Sd ( = 1,26 MPa)
⇒ OK
5.6.2 Verificação do contorno C´ (a 2d da face do pilar) Como o pilar é quadrado (c1 = c2), e os momentos nas duas direções são iguais, a verificação separada para cada uma das bordas será a mesma (figura 37).
Figura 37 - Situações de cálculo para o pilar P1 •
Tensão resistente (Equação 2, item 19.5.3.2):
Com base nas figuras 16 e 31, tem-se: Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento Espaçamento entre as barras: φ 6,3 cd 11 cm 30 + 3 ⋅ 15 q= = 6,8 ≈ 6 barras (a favor da segurança, arredondar para menos) 11
267
ρx =
6 ⋅ 0,32 = 0,001652 15,5 ⋅ ( 45 + 30)
ρy =
6 ⋅ 0,32 = 0,001766 14,5 ⋅ (45 + 30)
ρ = 0,001652 ⋅ 0,001766 = 0,001708 13 20 τ Rd1 = 0,13 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,001708 ⋅ 30 ) = 0,48 MPa 15
§
Tensão solicitante (Equação 7):
Pelas tabelas 8 e 9, respectivamente: u * = 15 + 15 + π ⋅ 15 = 77,1 cm
e* =
30 ⋅ 15 − 15 2 + 15 ⋅ 30 + 4 ⋅ 15 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15 2 + π ⋅ 15 ⋅ 30 = 31,0 cm 2 ⋅ (15 + 15 + π ⋅ 15)
M Sd * = FSd ⋅ e* = 56,6 ⋅ 31,0 = 1755 kN⋅ cm M Sd = (M Sd1 − M Sd *) = (1768 − 1755) = 13 kN⋅ cm > 0 ,
lembrando que M Sd1 = M Sdx na 1a situação, e M Sd1 = MSdy na 2 a situação. Pela tabela 10:
∴ τ Sd =
Wp 1 =
30 2 30 ⋅ 30 π ⋅ 15 ⋅ 30 + + 2 ⋅ 30 ⋅ 15 + 4 ⋅ 15 2 + = 3182 cm2 4 2 2
56,6 0,6 ⋅ 13 kN + = 0,0489 + 0,0002 = 0,0491 = 0,49 MPa 77,1 ⋅ 15 3182 ⋅ 15 cm2
§ Verificação: τ Rd1 (= 0,48 MPa) < τ Sd (= 0,49 MPa) ⇒ Não OK! Como a diferença entre as tensões atuante e resistente é pequena, uma opção é aumentar a taxa de armadura de flexão para esta ligação. Solução adotada: φ 6,3 cd 10 cm.
diminuir
o
espaçamento
da
armadura
de
flexão
negativa
Sendo assim, tem-se que: Quantidade de barras (q) = faixa / espaçamento q=
268
30 + 3 ⋅ 15 = 7,5 ≈ 7 barras (a favor da segurança, arredondar para menos) 10
para
ρx =
ρy =
7 ⋅ 0,32 = 0,001927 15,5 ⋅ ( 45 + 30)
ρ = 0,001927 ⋅ 0,002060 = 0,001992
7 ⋅ 0,32 = 0,002060 14,5 ⋅ (45 + 30)
13 20 τ Rd1 = 0,13 ⋅ 1 + ⋅ (100 ⋅ 0,001992 ⋅ 30) = 0,51 MPa 15
• Verificação: τ Rd1 (= 0,51 MPa) > τ Sd ( = 0,49 MPa) ⇒ OK! 5.6.3
Verificação do Colapso Progressivo
Cada face é atravessada por 3 φ 8 mm (figura 30): As = 6 ⋅ 0,5 = 3,0 cm2 50 As ⋅ f yd = 3,0 ⋅ = 130,4 kN 1,15
As ⋅ f yd ≥ FSd ⇒
130, 4 ≥ 56, 6 ⇒
OK
269
6. Considerações Finais Para as lajes com problema de punção, podem ser sugeridas algumas alternativas, seja reduzindo as tensões solicitantes, seja aumentando as tensões resistentes: • se a verificação no contorno C não for atendida, pode-se aumentar a espessura da laje na região (com capitéis ou drop-panels) ou aumentar as dimensões do pilar; • no caso da verificação no contorno C’, em lajes sem armadura de punção, pode-se aumentar a taxa de armadura longitudinal da laje ou adicionar armadura de punção; • no contorno C’ em lajes armadas, pode-se aumentar a taxa de armadura longitudinal da laje na região, aumentar o diâmetro dos pinos, aumentar o número de conectores por linha ou diminuir o espaçamento entre as linhas; • no caso do contorno C”, pode-se aumentar a taxa de armadura longitudinal da laje ou ainda aumentar o número de linhas de conectores. Outras soluções possíveis são o aumento do fck da laje e o uso de fibras na região da ligação, sendo que esta última vem sendo bastante estudada. Mas, evidentemente, algumas das soluções citadas podem tornar-se inviáveis ou antieconômicas em situações particulares, razão pela qual o estudo da punção requer, além de algumas análises, a própria experiência do projetista. Um outro ponto que merece destaque é que, para que a ligação tenha comportamento compatível com o que foi previsto, é importante que a armadura de flexão esteja devidamente ancorada além do cone de punção.
7.
Referências
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. reinforced concrete. Detroit, 1999.
Committee 318.
Building code requirements for
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro. 170p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1980 - Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro. 76p. DILGER, W.H. Practical shear reinforcement for concrete flat slabs. Concrete Construction, v.35, n.2, p.223-225, Feb. 1990. FÉDÉRATION INTERNATIONALE DE LA PRECONTRAINTE - FIP (1999). Practical design of structural concrete. London, SETO. (FIP recommendations) GOMES, R.B. Punching resistance of reinforced concrete flat slabs with shear reinforcement. London. Ph.D. Thesis, The Polytechnic of Central London. 1991. GUARDA, M.C.; LIMA, J.S.; PINHEIRO, L.M. Novas diretrizes para a análise da punção no projeto de lajes lisas [CD-ROM]. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo, EPUSP, 21-25 agosto 2000. 20p. LIMA, J.S. Verificações da punção e da estabilidade global em edifícios de concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 2001. 270
MELGES, J.L.; PINHEIRO, L. Punção em lajes lisas: a NBR 6118:2003 e sua versão anterior. (CD ROM) In: Congresso Brasileiro do Concreto, 46., trabalho CBC0433, Florianópolis. Produzido pelo Instituto Brasileiro do Concreto - IBRACON. ISBN 85-98576-02-6. 2004. MELO, G.S. Proposição de item de norma com referência ao cálculo de armadura contra colapso progressivo em lajes cogumelo. In: REIBRAC, 36., Porto Alegre. Anais. v.2, p.725734. 1994. MOTA, J.E. Dimensionamento à punção [CD-ROM]. In: ENECE 2004 Encontro Nacional de Engenharia e Consultoria Estrutural, 7., São Paulo, ABECE, 2004. REGAN, P.E. Shear combs, reinforcement against punching. The Structural Engineer, v.63B, n.4, p.76-84, December. 1985. STUCCHI, F.R.; KNAPP, L.M. (1993) Punção em lajes. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 3., São Paulo. Anais. p.209-232.
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