FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE CHARLES COBB_DOUGLAS Para una interpretación económica de las primeras derivadas parciales de una función de 2 variables se
analiza
la
función
, , = − ; 0 < < 1
donde
a
y
b
son
constantes.
En este caso X representa la cantidad de dinero (capital) invertido en la mano de obra, Y es el costo del equipo (edificio, maquinaria y otras herramientas para la producción la función f mide la salida del producto terminado en unidades adecuadas por lo cual se llama función de producción. La primera derivada parcial de
se denomina la productividad marginal de la mano de obra, m ide
la razón de cambio de la producción con respecto de la cantidad de dólares gastada en la mano de
obra manteniendo constante el gasto en capital (k) de manera similar la derivada parcial
llamada
productividad marginal de capital (k) mide la razón de cambio de la producción con respecto de la cantidad
gastada
en
K
manteniendo
constante
el
gasto
en
la
mano
de
obra.
En economía la función de Cobb Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usada para representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos (tecnología, trabajo, k). La producción de cierto país los primeros años posteriores de la segunda guerra mundial se describe
, , = 30
mediante la función de capital (k).
unidades al utilizar X unidades de mano de obra, Y unidades
a) Calcular la derivada parcial con respecto a X y a Y:
= 30 30− = 20− = 20
= 30 ∗ − = 10
b) Cual es la producción marginal de mano de obra y K cuando son gastada 125 y 27 unidades
respectivamente
, = 125 125 ∶ = 27; , = 20 = 12
= 20 20
Son 12 unidades por el incremento unitario del gasto en mano de obra, el gasto en capital (k) se mantiene constante en 27 unidades.
, = 10 , = 10 = 28
Son
28
unidades
por
el
incremento
unitario
del
gasto
en
el
capital
(k)
y
el
gasto en la mano de obra se mantiene en 125. c) cuál debería ser la política de gobierno de dicho país para incrementar la productividad la política e gobierno de dicho país para incrementar la productividad es a traves de una política monetaria para de esa forma incentivar la productividad y la mano de obra Un fabricante estima que la producción mensual está dada por la función
, = 50..
donde x es la producción marginal de mano de obra entre unidades de mil y es la mano de obre la fuerza laboral en años por trabajadores
= 20−.+50.. = 20−.. = 20. = 0..+50..0.6−. = 50..0.6−. = 20. 991 . = 0.371000 = 370 = 20750000 . = 20750000 991 = 425.32
b) calcular la dx dy cuando x es =750000, y=991 por trabajador
Son 370 unidades por incremento unitario en el gasto por mano de obra el gasto en unidad por trabajador se mantiene constante en 991. Son 425.32 unidades por incremento unitario en el gasto por capital el gasto en mano de obra se mantiene constate en 750000
Una empresa de dedica a la fabricación de dos tipos de calzado (AyB) si la producción del costyo para producir x pares de xapatos tipo A y zapatos tipo B
, = 0.06 + 65 +75+1000 Donde esta expresada en dólares, determinar los costos marginales para cada tipo de callzado y evaluar cuando x=100 y y=50
= 0,12 +65+0 = 0,12 +65 ⁄ = 100 = 0,12100+65 = 77 = 50 Los costos semanales para producir pares de zapatos tipo B se incrementa en 75 sobre un nivel de 50 unidades al mantener constante la producción de 100 pares de zapatos de tipo B.
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE DOS VARIBLES
Al igual en el caso de la función de una variable un extremo relativo (máximo o mínimo) puede no ser un extremo absoluto sin embargo para simplificar las cosas supongamos que siempre existe un extremo absoluto este aparecerá en el punto que tiene el extremo relativo así como en la primera y segunda desempeña una importante función al determinar los extremos relativos de una función de una variable las primeras y segundas derivadas parciales son potentes herramientas para localizar y clasificar los extremos relativos de las funciones de mismas variables. La función
= ,
describe una superficie tridimensional.
,
=
Si existen todas las derivadas parciales de entonces la superficie desciende por debe tener en un punto un plano tangente a la superficie horizontal para tener un máximo o mínimo relativo en ese punto. Pero si el plano tangente a la superficie en ese punto es horizontal entonces todas las líneas tangentes a la superficie en ese punto también son horizontales puesto que caen en el plano tangente, la línea tangente en la dirección de la eje
,
= 0 en ese punto; y la línea tangente en la dirección del eje de las Y será horizontal, de modo que = 0. de la x será horizontal por lo que
Por consiguiente, es posible determinar los puntos críticos de una superficie encontrando los puntos en los que tanto la derivada parcial de
= 0
z
x
como de z y
0
= 0
Como
Si dice que z f ( x, y ) tiene un máximo relativo en el punto
y
x0 si
para todo punto
se tiene f x0, y 0
Máximo relativo:
x, y en
f ( x, y )
x 0 , y 0 esto
cuando
x
0
y
el punto que este suficientemente cercano al punto x 0, y 0
Mínimo relativo:
REGLA 1 x y Si z f ( x, y) tiene un máximo o mínimo relativo en el punto 0, 0 y si la derivada parcial
con respecto a
y y fx
están definidas para todo punto cercano a f x ( x0, y0 ) 0 ( x y ) punto 0, 0 sea un solución del sistema f y ( x0 , y0 ) 0
( x 0, y 0 )
es necesario que el
( x y ) f ( x, y ) f y ( x, y ) 0 Un punto 0, 0 para el cual x .Se llama punto crítico igual que sucedía con las funciones de una variable, los puntos críticos no son siempre extremos relativos ni mínimos relativos, sino puntos de silla
Criterio de la segunda derivada parcial f f f Supongamos que z f ( x, y ) tiene derivadas parciales continuas xx yy xy en todo punto ,
,
( x, y ) , cercano al punto crítico ( x0 , y 0 ) . Sea de la función definida por:
D( x, y)
f xx ( x, y) * f yy ( x, y)
f x, y
2
xy
f f xx xy f * f f xx yy xy f f yy xy
2
Entonces: a. Sí la función D x0 , y 0 0 , y f xx ( x0 , y 0 ) 0 , f tiene un máximo relativo en el 2
z
P ( x0 , y 0 )
2
. En este caso también la segunda derivada parcial
y
0
b. Sí la función D x0 , y0 0 , y f xx ( x0 , y0 ) 0 , f tiene un mínimo relativo en el 2
z
P ( x0 , y 0 )
2
. En este caso también la segunda derivada parcial
0
y
c. Sí D x0 , y 0 0 ; f no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo en él P ( x0 , y 0 )
, es un punto silla.
d. Si la función D x0 , y0
0
, ninguna conclusión puede sacarse con respecto a
P ( x0 , y0 ) extremos en él y requiere que se haga un análisis adicional, es necesario investigar la función cerca del punto
EJERCICIO 1 IDENTIFICAR LOS EXTREMOS RELATIVOS
f ( x, y ) x 3 fx 3 x 2 fy
4 x
fx
0
3 x 2
4 x
3 x
4 y 2 y 2
4 y
4 y
4y 0
2
4 y
4 x
0
0
1
x(3x 4) 0
x
x
1
1
x
0
3 x
x
0
4
0
x
1
4
4 2
x
3
2
4 x
3
en 1
2
4 3 4 y 0 3
16 20 4 y 0 9 16
3
4y
0
16 y
y
3
4
3(0) 2
4 3
4 4 PC . ; 3 3
4y 0
0 y
y
4
0
PC (0.0)
fx x 6 x
fyy
4
fxy
y
f y x
(3 x 2
4 y )
0
3
4
f xx ( x0 , y0 ) f xx ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 )
2
D( x0 , y0 )
D( x0 , y 0 )
D( x 0 , y 0 )
( 6x)( 4)
6(0)( 4)
D( x0 , y 0 ) 16 0 D( x0 , y 0 )
42 42
No tiene ningún extremo relativo
( 6 X )( 4)
42
4 4 2 6 (4) 4 3 3
D
4 (8)(4) 16 3
D
4 16 0 3
D
4 4 , 0 3 3
D
fxx 8 0
4 4 , La función tiene un máximo relativo en el P 3 3
Recuerde que
2
f
y
2
4 0
4 4 f , Ahora 3 3 3
2
4 4 4 4 4 2 1 3 3 3 3 59
27
4 4 59 PC , , 3 3 27
EJERCICIO 2 Maximice las ganancias de una empresa de focos, si las funciones de demanda son: , para los focos de 20 pulgadas y precio p2 60 2 y para focos de 31 pulgadas y si la función de costo conjunto es C 2 xy , recuerde que “x” y “y” serán en miles de focos, p1
50
x
el precio 1 y precio 2 en dólares y “c” en miles de dólares. p1 p2
C
50
x
60
2 y
2 xy
U p|1 x p 2 y C x
U
50 x
x 2
60 y 2 y
2
2 xy
U x50 x y 60 2 y C x
U x
50 2 x 2 y
U y
60
4 y
2 x
2 x 2 y 50( 1)
2 x
4y
2 x 2 y
2 x
4 y
2 y
60
50
60
10
10 y
y
2 5
2x
2(5)
50
2 x 50 10
2x x
40
f xx
f yy
2 4
f y x
f xy
y
20
(50 2 x 2 y )
2
U | x
20 y 5
U | x
20 y 5
50(20) (20) 2
60(5) 2(5) 2
2(20)(5)
650
PC (20,5,650)
D( x0 , y 0 )
f xs ( x0 , y 0 ) * f yy ( x0 , y0 )
D( 20,5)
( 2)(4) ( 2)
D( 20,5)
84
D( 20,5)
40
f ( x , y )
2
xy
0
o
2
Tiene máximo relativo en él PC (20,5,650) , por consiguiente cuando él
p2
p1
50
20
30
y
60 2(5) 50 , es decir la ganancia máxima de la empresa de focos es $650 mil dólares
y se obtiene cuando la empresa vende 20 mil focos de 20 pulgadas, a 30 dólares cada uno y 5 mil focos de 31 pulgadas a 50 dólares cada uno.
EJERCICIO 3 Hallar los extremos relativos de la siguiente función:
f ( x, y) 3 x 2
f x
f y
4
4 xy 4 y 2
4 x 8 y 4
6 x 4 y 4
x 8 y 8
= 0 ; = 0 6 x 4 y 4 * (4) (4 x 8 y 8) x6 24 x 16 y
24 x 48 y
32 y
y
1
x
6 x x
16
48
32
6 x 4( 1) 4
0
0
0
f (0,1) 3(0) 2
0
PC (0 1,0)
f xx 6 f yy 8 f xy
y
f x
6 x 4 y 4
4(0)(1) 4(1) 2
4(0) 8(1) 4
D( x0 , y 0 )
f xs ( x0 , y 0 ) * f yy ( x0 , y0 )
D(0,1)
(6)(8) 16
D(0,1)
32 o
D(0,1) 32 0, f xx
f ( x , y )
2
xy
0
o
32 0, f yy 32 0 , entonces tiene un mínimo relativo en
0,1,0
EJERCICIO 4
Los ingresos semanales totales (en dólares) de Acrosonic al producir y vender sus sistemas de sonido están dados por:
, = 14 38 14 +300 +240 Donde x denota el número de unidades ensambladas e y indica el número de paquetes producidos y vendidos por semana. El costo total por semana que se puede atribuir a la producción de estos sistemas es: C(x,y) = 180x + 140y +5000
Dólares, donde “x” y “y” tienen el mismo significado anterior. Determinar el número de unidades ensambladas y de paquetes que Acrosonic debe producir cada semana para maximizar la ganancia.
= ,, , = 14 38 14 +300 +240 180 140 5000 , = 14 38 14 +120 +100 5000
= +120
= 120
= +100
= 100
1
= 120
2
+ = 200
+ = 200 + 64 = 200
12 +96 = 200 12 = 104 = 1041 2 = 208 .
= = 64
+ = 200
3 en 2
= 80
3
(-2)
V.C P.C (208, 64)
, = 14 38 14 +120 +100 5000 208,64 = 14 208 38 64 14 20864+120208+100645000
208,64 = 14 43264 38 4096 14 13312+24960 +64005000 208,64 = 10816 15363328 +24960 +6400 5000 208,64 = 10680 P.C (208, 64, 10680)
=
= +120 =
=
= +100 = , = , ∗, [,] 208,64 = 208,64 ∗208,64 [208,64] 1 3 1
208,64 = ( 2) ( 4 ) ( 4) 208,64 = (38)(16 1 ) 208,64 = 165 > 0
∴ 208,64 = > 0, = < 0, = < 0
, tiene un máximo relativo en
el P (208, 64, 10680), es decir, que al producir 208 unidades ensambladas y 64 paquetes por semana, Acrosonic obtiene la máxima ganancia que es de $10680
EJERCICIO 5 Una antena de televisión les da servicio a los pobladores A, B y C cuyas posiciones relativas aparecen en las siguientes figuras. Determinar un sitio para instala la estación, de modo que la suma de los cuadrados de las distancias de cada población a la estación se minimice.
d 2
x
2
x1
2
y
f ( x, y) x 30
y1
2
y 202 x 202 y 102 x 102 y 102
2
2
z x
2 x 60 2 x 40 2 x 20
z
6x
z y
2 y
z y
2 y
x 10
40
x
20
x
2
z
x
x 30
2
2
20
2 y 10 2 y 10
40 2 y
z y 6 y 40
(1)6 x 40 0 ( 2)6 y 40 0
20 2 y
20
6 x
40
6 y
40 x
x
6 6,67
D( x0 , y 0 ) f xs
6
f yy
6
f xs ( x0 , y 0 ) * f yy ( x0 , y0 )
40
40
y
y
6 6,67
f ( x , y )
2
xy
0
o
f y x f xy (6 x 40) f xy
f xy 0
20 20 , 6*6 0 3 3
D
20 20 , 36 3 3
D
2
2
2
2
2
20 20 20 20 20 20 20 20 30 20 20 10 10 10 f , 3 3 3 3 3 3 3 3 2
2
2
2
2
20 20 70 40 80 10 40 50 f , 3 3 3 3 3 3 8 3 20 20 5200 , 3 3 3
f
2
2
20 20 20 20 D , 36 0, f xx , , f yy 6 0 , entonces la función tiene un mínimo relativo en 3 3 3 3 20 20 5200 el P , , 3 3 3
