Carlos Carl os Jimé Jiménez nez Huar Huaranga anga
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es un movimiento compuesto por: Un movimiento horizontal rectilíneo uniforme dond do ndee la comp ompon onen ente te ho hori rizo zonntal tal de la velocid velocidad ad perman permanece ece con consta stante nte en todo todo el movimiento. Un movimiento vertical de caída lire! en el cual la componente vertical varía uniformemente.
v"#
H %&'
a; *p *pli lica camo moss la la ecu ecuac aci4 i4n: n: t TOTAL
v"#
g datos:
,eemplazamos
t TOTAL
5<17; sen97:
(uego:
17
t TOTAL
1
s
H MÁX
17 5 sen5 97:
5<17;
( ) *(C*+CE H",-."+/*(
(as componentes de la velocidad inicial son: (a componente horizontal es igual a: vo#) vo cos0 (a componente vertical es igual a: vo$) vo sen0 Características: En cada punto de la tra$ectoria! la velocidad es tang tangen ente te a la misma isma $ pres presen enta ta dos componentes. En el punto ms alto lto la velocida idad es hori horizo zont ntal al22 es deci decirr 3ue 3ue la comp compon onen ente te vertical de la velocidad es cero. (a aceleraci4n es constante $ es igual a la aceleraci4n de la gravedad.
(uego:
H MÁX
1! 5>
c; =ara =ara calcular calcular el alcanc alcancee horizon horizontal tal!! utilizam utilizamos os 5 v o sen5 la ecuaci4n: L g 175 sen5<97: ; ,eemplazamos datos: L 17
(os prolemas del movimiento para4lico pueden ser resueltos utilizando las ecuaciones del MRU $ $ movi vimi mien ento to ve vert rtica icall de ca caíd ída a lib libre re2 sin del mo emargo tamién podemos usar las siguientes: /iempo total: t TOTAL
5vo sen
; =ara calcular la m#ima altura! utilizamos la v 5o sen5 ecuaci4n: H MÁX 5 g ,eemplazamos datos:
v" v"$
6atos: vo ) 17 m8s2 0 ) 97
5vo sen
L L
17 sen @7 : >
9
17 ?
9
A
5
Ejemplo: &e lanza un o.4eto con una velocidad de 50 !s !s "or "oran ando do #6$ #6$ con con la hori horizo zont ntal al%% &i consideraos 'ue la aceleraci(n de la gravedad es 10 !s) , deterinar la altura 'ue alcanza el o.4eto a los dos segundos del lanzaiento%
,esoluci4n: 6atos: vo) >7 m8s2 0)9B2 t ) 5 s
g v 5o sen5 *ltura m#ima: H MÁX 5 g v 5o sen5 *lcance horizontal: L g
: B 9 n e s
t) 5 s
7 >
Ejemplo: Desde un piso horizontal, un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 10 !s "orando #0$ con la horizontal% &i consideraos 'ue la aceleraci(n de la gravedad es 10 !s )% *alcular+ a -l tiep tiepo o 'ue 'ue tarda tarda en en llega llegarr al piso% piso% . La /i /ia a altur altura a 'ue 'ue alcanz alcanza% a% c A 'u2 dista distanc ncia ia del punto punto de lanz lanza aie ient nto o choca con el piso3
>7 m8s
h
9B d =ara calcular la altura utilizamos la componente vertical! es decir: 9
vi >7 sen9B: >7?
>
97 8 s
1
Utilizamos la ecuaci4n: h vit gt 5
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1
h 97<5; <17;<5; 5 A
h
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D7
5
En el eemplo anterior si 3ueremos determinar la dist distan anci ciaa hori horizo zont ntal al dG! dG! dee deemo moss util utiliz izar ar la componente horizontal: v 0
D >7?cos9B: >7? >
D7 8 s
>7 m8s 9B >7 cos9B d (uego utilizamos la ecuaci4n del %,U: d ) v#t Entonces: d )
Ejemplo: Desde una altura de 5 , se lanza una es"era es"era con una veloci velocidad dad horizonta horizontall de 7 !s% *alcular+ a el tiep tiepo o 'ue 'ue tard tarda a en lleg llegar ar al piso% piso% . La dis dista tanc ncia ia hor horizo izont ntal al 8d9 8d9
>m
d
a; =ara cal calcula cularr el tie tiempo mpo util utiliz izam amos os los siguientes datos: *ltura: h ) > m Ielocidad inicial vertical: vi ) 7 1
Usemos la ecuaci4n: h vit gt 5 5
> <7;t
1 5
los
datos:
<17;t
5
(uego: > ) > t5 A
t
1
s
; =ara calcular la distancia horizontal utilizamos los siguientes datos: El tiempo 3ue tarda en llegar al piso: t ) 1 s (a velocidad horizontal: v ) @ m8s Utilizamos la ecuaci4n: d ) vt ,eemplazamos datos: d ) <@ m8s;<1 s; Finalmente: d @
71. Un pro$ectil es lanzado con una velocidad 97 m8s de manera 3ue forma @7 con la horizontal. Calcular la velocidad del pro$ectil en su punto ms alto *; 5> m8s ; 1> m8s C; > m8s 6; 1 m8s E; 7 75. Ki lanzamos desde el piso una piedra con una velocidad de >7 m8s $ formando 9B con la horizontal. Calcular: El tiempo de vuelo El alcance horizontal (a m#ima altura alcanzada. m C; @ s2 15 157 m2 m2 97 97 m E; @ s2 @7 m2 157 m
79. 79. 6esde esde una una torr torree de altu altura ra h se disp dispar araa ho hori rizo zonntalm talmen ente te un pro$ ro$ecti ectill con con un unaa velocidad velocidad de 97 m8s $ llega a la superficie superficie en D segundos. segundos. Hallar Hallar la altura de la torre torre MhM $ la distancia desde la ase de la torre $ el punto de impacto 7 m C; 17 1777 m2 m2 15> 15> m 6; 97 97 m2 m2 D7 D7 m E; >7 m2 D7 m
@ m8s
,eemplazamos
PROBLEMAS PROPUESTOS
7D. Ke dispara un pro$ectil con una velocidad de D7 m8s $ un ngulo de elevaci4n de 9BN. O* 3ué altura se encuentra el oeto en el instante t ) 5 s. @ m 6; D5 m E; > m 7>. Un pro$ectil se dispara desde la superficie con un ngulo de >9N respecto de la horizontal. Ki el pro$ectil hace impacto a 5D m del punto de lanz lanzam amie ient nto. o. Ha Halla llarr la altu altura ra m#i m#ima ma alcanzada *; m ; 1@ m C; L m 6; 1 m E; 5> m 7@. Ke dispara un pro$ectil con una velocidad de >7 m8s con un ngulo de 9BN respecto de la horizontal. Calcular después de 3ue tiempo se enco encont ntra rar r a 5> m de la sup superf erficie icie po por r 5 segunda vez s ; D s C; 9 s 6; 1 s E; @ s
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7B.. 6esd 7B esde lo alto alto de un edi edific ficio se lanza anza horizontalmente un cuerpo con una rapidez de 1> m8s. Ki impacta a @7 m del pie del edificio! hallar la altura del edificio.
; 97 m E; 177 m
C; D7 m
7. Un cuerpo es lanzado desde la parte superior de un edificio de 577 m de altura con velo veloci cida dadd horiz horizon ontal tal de D 17 m8s. m8s. OP OPué ué distancia horizontal recorri4 el cuerpo hasta el instante 3ue choca con el sueloQ 7 m E; D7 m 7L. OCon 3ué inclinaci4n inclinaci4n respecto respecto a la horizontal se dee dee disp dispar arar ar un pro$ pro$ec ecti til! l! para para 3ue 3ue alcance una altura de >77 m si su velocidad inicial es 577 m8sQ N ; 97N C; >9N 6; @7N E; 9BN 17. 6esde el piso se lanza una pelota con una velo veloci cida dadd inic inicia iall 3ue 3ue form formaa D> D> con con la hori ho rizo zont ntal al.. Ki en el pu punnto ms ms alto lto su velocidad es 97 m8s! calcular su velocidad inicial. *; 97 m8s ; 97 5 m8s m8s C; 9> 9> m8s 6; @7 5 m8 m8s E; 9> 5 m8s 11. 6esde cierta altura lanzamos una piedra con una veloci velocidad dad horizo horizonta ntall de D7 m8s. m8s. OPu OPuéé valor lor tiene su velocida idad a los 9 s del lanzamientoQ 7 m8s 6; @7 @7 m8s m8s E; B7 B7 m8s m8s 15. Una pelota es lanzada desde el piso con una velocidad de >7 m8s de tal manera 3ue forma >9 con la horizontal. OPué ngulo forma la velocidad al cao de 1 s del lanzamientoQ 6; >9 E; @7 19. 19. Una Una part partíc ícul ulaa se lanz lanzaa con con una una veloc velocid idad ad inicial de 57 m8s! haciendo un ngulo de >9N con con la hori horizo zont ntal al.. Ha Hall llar ar al cao cao de 3ué 3ué tiempo su velocidad formar un ngulo de 9BN con la horizontal. s 6; 7!9 s E; 7!L s 1D. Ke lanza un oeto! sore la superficie terrestre descriiendo un movimiento para4lico! de tal for forma 3ue alcan lcance ce un desp esplaz lazamie amient ntoo
Carlos Carl os Jimé Jiménez nez Huar Huaranga anga hori horizo zont ntal al m#i m#imo mo de D7 m. Calc Calcul ular ar la 5 velocidad de lanzamiento. 7 m8s 6; 177 177 m8s m8s E; D7 D7 5 m8s 1>. 6esde el piso se lanza un oeto con una velocidad MIM formando un ngulo de 9BN. Ki la m#ima altura 3ue alcanza es 17 m! hallar el valor de MIM 7 m8s ; 7 m8s C; 1>7 m8s 6; 157 157 m8s E; 177 177 m8s 1@. Una oma es soltada desde un avi4n 3ue se mueve a una velocidad constante de >7 m8s en forma horizontal $ a una altura de 5 777 m. OPué distancia horizontal recorri4 la oma hasta llegar al pisoQ 77 m ; 1 777 m C; 1 577 m 6; 1 >77 >77 m E; B77 B77 m 1B. Una esferita se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 97 m8s! desde lo alto de una torre de D> m de altura. OPué ngulo forma el vector velocidad de la esferita con respecto a la vertical luego de 9 segundosQ 9N 6; @7N E; D>N 1. Ki al disparar una ala de caR4n con un ngulo M0M medimos 3ue su altura m#ima es 1> m $ su alcance horizontal es de D> m! entonces: *; 0 )9BN ; 0 )>9N C; 0 )D>N 6; 0 )@7N )@7N E; 0 )97N )97N 1L. En la grfica mostrada vemos el lanzamiento de una piedra! determinar la magnitud de la velocidad MIM horizontal con 3ue fue lanzada la piedra.
D> m
57. OCon 3ué ngulo de elevaci4n dee dispararse un pro$ectil para 3ue su alcance horizontal sea igual al triple de su altura m#imaQ *; 97N ; >9N C; D>N 6; 9BN E; @7N 51. 6esde el orde de un edificio! se dispara un pro$ectil con >7 m8s $ 9BN con la horizontal $
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llega a la superficie en B segundos. Calcular con con 3ue 3ue velo velocid cidad ad impa impacta cta $ 3ue 3ue ngu ngulo lo 5 forma con la horizontal. g ) 17 m8s *; >7 m8s2 9BN ; D7 C; D7 m8s2 97N 6; D7 E; 57 5 m8s2 D>N
m8s2 D>N 5 m8s2 B>N
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Carlos Carl os Jimé Jiménez nez Huar Huaranga anga 6; 1>7 m E; 577 m
5@. Una esfera es lanzada horizontalmente desde cierta altura $ al pasar por los puntos * $ sus velocidades son como se muestra en la figura. Calcular la altura hG! si g)17 m8s5
55. En el grfico mostrado determine la rapidez de lanzami lanzamient ento! o! si el pro$ec pro$ectil til lanzad lanzadoo logra logra ingresar al canal horizontalmente. 6esprecie la resistencia del aire
* D>N h
59. Ke suelta una canica sore un plano inclinado tal como se muestra. 6etermine MM! si la canica demor4 5 s en ir desde el orde del plano hasta el piso.
; B> m E; > m
>9N
C; 5> m
5B. Una esfera rueda por el plano horizontal con una velocidad de 57 m8s. O* 3ué distancia de M*M chocar la esfera sore la pendienteQ
I7)7 9BN
*; @7 m ; B7 m 6; 177 m E; 15> m
C; B> m
97 m
17 m
*; D>N 6; 9BN
; 97N E; >9N
C; @7N
5D. Ke lanza un pro$ectil sore la tierra con una velocidad de >7 m8s formando >9 con el piso horizo horizonta ntal. l. O6espu O6espués és de cunto cunto tiempo tiempo se encuentra a una altura de 9> m por segunda vezQ s C; @ s 6; B s E; s 5>. Calcular el valor de MhM si la velocidad de lanzamiento es >7 m8s $ el tiempo emplea en llegar al piso es 17 s.
9BN
; 177 m
5L. 5L. Un oe oeto to es lanza lanzado do con con una una velo velocid cidad ad vo 97i D7 4 9N respecto a la vertical! $ dea caer una oma desde una altura de 97> m. Ki la oma impacta en el suelo luego de > s después de soltarlo! Ocul es la velocidad del
h *; 7 m
5. Ke dispara un pro$ectil con un ngulo de elevaci4n de 97N m E; 97 m
C; 157 m
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>
omardero en el instante en 3ue suelta la omaQ Considere g ) 17 m8s5 *; D m8s ; @7 m8s C; >7 m8s 6; >5 >5 m8s m8s E; 9@ 9@ m8s m8s
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