15_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Il Plv

INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Meccanica delle strutture 15 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali

Corso di Laurea: Insegnamento: n° Lezione: Titolo:

F ACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 15 – Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Princip io dei Lavori Virtuali. Nucleo tematico

Lez.

Contenuto

5

15

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali.

Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nella sessione 3 della precedente lezione. Soluzione d ell’esempio 14.6 14.6

Per far compiere lavoro alla componente verticale yE della reazione della cerniera E è necessario consentire lo spostamento verticale del punto E. Si sostituisce quindi la cerniera E con un carrello disposto in modo da consentire lo spostamento verticale di E e con la componente di reazione yE incognita. Lo spostamento orizzontale di E resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.1b. 15.1b. F

2

L

F

C 3

2

3

(b)

(a) B L

C

B

D

D

1

1 A

E

A

E yE

L/2

L/2

L/2

L/2

Figura 15.1.

Si osserva che punti B, C e D del sistema non possono avere spostamenti relativi senza che le aste 2 e 3 e il tratto BD dell’asta 1 si deformino. Pensando tutti gli elementi indeformabili il sistema costituito dai tre elementi si sposta quindi come un unico corpo rigido il cui centro di rotazione deve giacere sulla retta r, verticale per A e sulla retta s, orizzontale per E. Si conclude che il centro di rotazione C1 del sistema è il punto A, intersezione di r ed s (figura 15.2). 15.2). Assunta la rotazione ϕ1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura di figura 15.2.

© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] [email protected]

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




y

C δC

F

F

C

uC

C1

2

3

r

L

B B 1

vC

C0

D

δC

L

uC A

D

vE

δE

ϕ1

A ≡ C1

E

s

yE

L/2

L/2

yC1

E

v(x) L/2

u(y)

L/2 vE

xC1

x

ϕ1

Figura 15.2.

Relativamente a questa configurazione spostata la forza F compie il lavoro δLF = F × δC = −F ⋅ uC = −2FL ϕ1

(e.6.1)

e la forza yE compie il lavoro δL yE = yE × δE = yE ⋅ vE = 2 yE L ϕ1

(e.6.2)

essendo δC e δE gli spostamenti dei punti D ed E relativamente al passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1 ed uC e vE i moduli della componente orizzontale dello spostamento di C e della componente verticale dello spostamento di E, rispettivamente (figura 15.2). Il sistema è in equilibrio per il valore di yE che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto δL = δLF + δL yE = −2FL ϕ1 + 2 y E L ϕ1 = 0

(e.6.3)

dividendo ambo i membri per ϕ1 e per L si ottiene l’equazione − 2F + 2 yE = 0

(e.6.4)

e quindi

yE = F

(e.6.5)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.3). Soluzione d ell’esempio 14.7

Per far compiere lavoro alla componente verticale y A della reazione della cerniera A è necessario consentire lo spostamento verticale del punto A. Si sostituisce quindi la cerniera A con un carrello © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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disposto in modo da consentire lo spostamento verticale di A e con la componente di reazione y A incognita. Lo spostamento orizzontale di A resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.3b. (a)

(b)

F

F

E L/3

G

3

B

π/4

C

π/4

C

2

2 D

1

G

3

B

2L/3

E

1

D

L/3 A L/3

A L/3

L/3

y A

L/3

Figura 15.3.

Il centro di rotazione relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 è il punto B; il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è sulla retta r orizzontale per A; il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 è a distanza infinita su una retta verticale; per la proprietà di allineamento dei centri di rotazione (C1, C 12 e C2 devono giacere sulla stessa retta) si conclude che il centro C 1 è il punto intersezione tra la retta s, verticale per B, e la retta r. Il centro di rotazione relativo C23 tra gli elementi 2 e 3 è il punto C; il centro di rotazione assoluto C 3 dell’elemento 3 è sulla retta u passante per A ed inclinata di π/4; il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 è a distanza infinita su una retta verticale; per la proprietà di allineamento dei centri di rotazione (C2, C23 e C 3 devono giacere sulla stessa retta) si conclude che il centro C3 è il punto intersezione tra la retta t, verticale per C e la retta u (figura 15.4). Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.4. Si determinano preliminarmente la distanza a indicata in figura 15.4

a=

L 2 + L =L 3 3

(e.7.1)

ed il modulo ϕ3 della rotazione dell’elemento 3 in funzione di ϕ1 ϕ3 ⋅ a = ϕ1 ⋅L

da cui

ϕ3 = ϕ1

(e.7.2)

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∞ →

y C3

2

C

yC3 u

F

π/4

F

π/4

t

G

δG

uG

vG

δG

3

E

L/3

B

yC12 ≡ yC23

C ≡ C23

2

C1

C0

G

B ≡ C12

C

2L/3

0 =

2

1

1

a

ϕ3

E

3

3

ϕ

s D

A δ A

D

v A

L/3 A

C1

ϕ1

r

yC1

u(y)

y A

y A

L/3

L/3

L/3

v(x)

vG

ϕ1

v A

L/3

ϕ3 = 0

x ϕ3

xC1 ≡ xC12

xC3 ≡ xC23

Figura 15.4.

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.4 la forza F compie il lavoro

1 1 δL F = F × δG = −F ⋅ v G = − F L ϕ3 = − F L ϕ1 3 3

(e.7.3)

e la forza y A compie il lavoro δL yA = y × δ A = y A ⋅ v A = A

1 y A L ϕ1 3

(e.7.4)

essendo δG e δ A gli spostamenti di G ed A nel passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1 e v A e v G i moduli delle componenti verticali di questi spostamenti. Queste componenti si leggono sui diagrammi di figura 15.4. Il sistema è in equilibrio per il valore di y A che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

1 1 δL = δLF + δL yA = − FL ϕ1 + y A L ϕ1 = 0 3 3

(e.7.5)

dividendo ambo i membri per ϕ1 e per L si ottiene l’equazione

1 1 − F + y A = 0 3 3

(e.7.6)


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




e quindi

y A = F

(e.7.7)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.7).


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




LEZIONE 15 – Sessio ne di s tud io 1 Esempi di d eterminazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali.

Si propongono nel seguito quattro esempi. Si consiglia al lettore di risolverli autonomamente e di confrontare successivamente i risultati trovati con la soluzione descritta nella prossima sessione di studio. Esempio 15.1

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.5 si determini il momento esercitato dal doppio pendolo B. q B

L/2

2 D

E L/2 C

1 L/2 q

A L

L

L

Figura 15.5.

Esempio 15.2

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.6 si consideri il punto E sede di un incastro interno e si determini il momento esercitato dall’incastro interno agli estremi delle aste EB ed EC. E

B

L/2

2

M

C

1 L/2 A

3

D

L

Figura 15.6.


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




Esempio 15.3

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.7 si determini la reazione della cerniera interna C. q B

1 L

C

2

4

D

3 E

A L

L/2

L/2

L

Figura 15.7.

Esempio 15.4

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.8 si determinino le reazioni delle cerniere interne B ed E. C

2

L/2 D L/2

F

3

B

4 E

L/2 G

1 L/2 A L/2

L/2

Figura 15.8.


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





Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nella precedente sessione. Soluzione d ell’esempio 15.1

Si indica con B1 il punto B pensato appartenente all’asta 1 e con B2 il punto B pensato appartenente all’asta 2 (figura 15.9a). Per far compiere lavoro alla coppia di momento zB esercitata dal doppio pendolo agli estremi B1 e B2 è necessario consentire la rotazione relativa tra gli elementi 1 e 2. Si sostituisce quindi il doppio pendolo B con un pendolo semplice in modo da consentire la rotazione relativa tra gli elementi 1 e 2 e con la reazione z B incognita. Lo spostamento relativo orizzontale tra B1 e B2 resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.9b. (a)

q B1

L/2

B

B2

2

D

E L/2 C

1

L/2

A

q

L

L

L q

(b)

B1 B2 zB

B

zB

2 E

1 q

D

C

A

Figura 15.9.

Il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 giace sulla retta r, verticale per C e sulla retta s, orizzontale per D, pertanto detto centro di rotazione è il punto E; il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è il punto A; il centro di rotazione relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 è sulla retta t orizzontale per B; per le proprietà di allineamento dei centri di rotazione il centro di rotazione relativo C12, dovendo giacere sulla retta t e sulla retta u passante per i centri di


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




rotazione assoluti A ≡ C1 ed E ≡ C2 (figura 15.10) è il punto intersezione tra le rette t e u. qL B1 δB1

H

δH δB2 B2 δB1

G 3qL/2

C0

2

C1

E

δB2

δG

1

vB1

δB1

vB2

δB2

D

C uB1 = uB2

A y

qL

yC12

2 s

3qL/2

C12

t

H

L/2 L/2

r

zB zB B1 B2 E ≡ C2

D

yC2

G

ϕ2

uG C

u

1

ϕ1

L/2 yC1

A ≡ C1 L

L

u(y)

L

v(x)

vH

ϕ1

x xC1

xC2

ϕ2

xC2

Figura 15.10.

Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.10, nella quale i carichi distribuiti sono stati sostituiti con le r elative risultanti. Con considerazioni geometriche basate sul diagramma degli spostamenti orizzontali si determina il modulo della rotazione ϕ2 dell’elemento 2 in funzione di ϕ1 3 1 ϕ1 ⋅ L = ϕ2 ⋅ L 2 2

da cui

ϕ 2 = 3 ϕ1

(e.1.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.10 la risultante qL applicata a H compie il lavoro δL1 = −qL ⋅ v H = −qL ϕ1

L 1 2 = − qL ϕ1 2 2

(e.1.2)


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




la risultante 3qL/2 applicata a G compie il lavoro 3 3 3 9 2 δL 2 = − qL ⋅ uG = − qL ϕ1 L = − qL ϕ1 2 2 4 8

(e.1.3)

la coppia zB applicata all’elemento 1 compie il lavoro δL 3 = zB ⋅ ϕ1

(e.1.4)

e la coppia zB applicata all’elemento 2 compie il lavoro δL 4 = −zB ⋅ ϕ2 = −3 zB ⋅ ϕ1

(e.1.5)

essendo vH e uG i moduli della componente verticale dello spostamento virtuale di H e della componente orizzontale dello spostamento virtuale di G relativamente al passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1. Queste componenti si leggono sui diagrammi di figura 15.10. Il sistema è in equilibrio per zB che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto: δL = δL1 + δL 2 + δL3 + δL 4 = 1 9 = − qL2 ϕ1 − qL2 ϕ1 + zB ⋅ ϕ1 − 3 zB ⋅ ϕ1 = 0 2 8

(e.1.6)

dividendo ambo i membri per ϕ1 si ottiene l’equazione −

1 2 9 2 qL − qL + zB − 3 zB = 0 2 8

(e.1.7)

e quindi zB = −

13 2 qL 16

(e.1.8)


Per far compiere lavoro alla coppia di momento zE esercitata dall’incastro interno che si pensa posto nel punto E è necessario consentire la rotazione relativa tra l’asta EC e l’asta BE. Si sostituisce quindi l’incastro interno con una cerniera in modo da consentire la rotazione relativa tra le aste concorrenti nel nodo E e con la reazione zE incognita. Lo spostamento relativo tra gli estremi E delle due aste resta impedito in ogni direzione, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.11b. L’elemento 3 è vincolato in modo da non ammettere configurazioni spostate; in particolare gli spostamenti dei punti A, C e D sono nulli. L’introduzione della cerniera in E fa sì che la struttura labile di figura


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




figura 15.11b sia costituita da quattro elementi rigidi invece dei tre della struttura di partenza. (a)

B

L/2

E

2

M

zE

(b)

B

E

2

M

zE 4

C

1

C

1

L/2 A

A

D

3

D

3

L

Figura 15.11.

Si rinumerano quindi gli elementi rigidi identificando come 2 l’asta BE e come 4 l’asta CE (figura 15.11b). Il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è il punto A, il centro di rotazione assoluto C4 dell’elemento 4 è il punto C; il centro di rotazione relativo C12 tra l’elemento 1 e l’elemento 2 è il punto B; il centro di rotazione relativo C24 tra l’elemento 2 e l’elemento 4 è il punto E. Il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 deve giacere sulla retta r passante per A ≡ C1 e B ≡ C12 (per essere allineato con C1 e C12) e sulla retta s passante per C ≡ C4 e E ≡ C24 (per essere allineato con C24 e C4). Si conclude che C2 è l’intersezione tra r ed s e quindi è disposto a distanza infinita in direzione verticale (figura 15.12). Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.12. ∞ →

r

s

y

2

E

B 2

M

C0

B ≡ C12 C1

4

zE

E ≡ C24 yC12 = yC24 ϕ3 zE

2

M

L/2

C

1

C

4 C ≡ C4

1

yC4 ϕ1

L/2 A

3

A ≡ C1

D v(x)

3

D

yC1

u(y)

L ϕ2 ≡ 0

xC1 = xC12

x xC4 = xC24

Figura 15.12.

Con considerazioni geometriche basate sul diagramma degli spostamenti orizzontali si determina il modulo della rotazione ϕ4 dell’elemento 4 in funzione di ϕ1 © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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1 ϕ1 ⋅ L = ϕ4 ⋅ L 2

ϕ4 = 2ϕ1

da cui

(e.2.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.12 la coppia di momento M compie il lavoro δLM = −M ⋅ ϕ1

(e.2.2)

la coppia di momento zE applicata all’estremo E dell’asta BE non compie lavoro, essendo nulla la rotazione di detta asta nel passaggio del sistema dalla configurazione iniziale C0 alla configurazione spostata C1; la coppia di momento zE applicata all’estremo E dell’asta CE compie il lavoro δL zE = −zE ⋅ ϕ4 = −2 zE ⋅ ϕ1

(e.2.3)

Il sistema è in equilibrio il valore di per zE che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto: δL = δL M + δL zE = −M ⋅ ϕ1 − 2 zE ⋅ ϕ1 = 0

(e.2.4)

dividendo ambo i membri per ϕ1 si ottiene l’equazione − M − 2 zE = 0

(e.2.5)

e quindi 1 zE = − M 2

(e.2.6)

Soluzione d ell’esempio 15.3

Si osservi che l’asta AC del sistema di figura 15.13a può essere considerata un vincolo esterno che impedisce gli spostamenti del punto C nella direzione dell’asta AC stessa; l’asta AC è quindi a tutti gli effetti un pendolo semplice che consente al punto C solo spostamenti in direzione ortogonale ad AC, esercitando sul punto C dell’asta 2 esclusivamente una reazione vincolare passante per C ed avente retta di azione contenente il segmento AC. Sostituendo dunque l’asta AC con la reazione R C da questa esercitata sull’asta BD si ottiene il sistema labile di figura 15.13b. q B

1 L

C

q

4

2 D

1

B

C

4

RC

3 E

A L

2 D

L/2

L/2

A

L

E RC

yC

xC

Figura 15.13. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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Dovendo R C avere retta di azione contenente il segmento BD le sue componenti orizzontale e verticale devono soddisfare yC xC

L 3 L 2

=

(e.3.1)

Pertanto è possibile considerare come incognita del problema una sola componente di R C . Ad esempio può assumersi xC come incognita esprimendo yC in funzione di xC in accordo con la (e.3.1) yC =

2 xC 3

(e.3.2)

In figura 15.14 sono rappresentati la generica configurazione spostata della struttura ed i corrispondenti diagrammi degli spostamenti ottenuti in modo del tutto analogo a quanto mostrato per i precedenti esempi. In figura 15.14 la componente verticale di R C è espressa in funzione della componente orizzontale e, al solito, i carichi distribuiti sono stati sostituiti dalle relative risultanti. Si assume la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema. B

C1

qL

qL G

C C0

δC 2 D

1

4

δG

uG vG

δG

A

y

E C2 B ≡ C12

2 xC

1

yC2

qL

D ≡ C23

C

qL G

2xC/3

L

uC

ϕ2 yC12 = yC23 ϕ4 = ϕ1

4

v(x) E ≡ C3

A ≡ C1

yC1 u(x) x

xC23 xC1

ϕ1

xC12

xC2 ϕ2

L

L/2

L/2

vG ϕ4 = ϕ1 L

xC3

Figura 15.14.

Con considerazioni geometriche si determinano i moduli delle rotazioni ϕ2 e ϕ4 degli elementi 2 e 4 in funzione di ϕ1


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




1 ϕ1 ⋅ L = ϕ2 ⋅ L 2

da cui

ϕ1 ⋅L = ϕ4 ⋅L

ϕ2 = 2 ϕ1

ϕ4 = ϕ1

(e.3.3)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.14 la risultante qL applicata al punto C compie lavoro nullo in quanto il punto C si sposta solo in direzione orizzontale; la risultante qL applicata al punto G compie il lavoro δL1 = qL ⋅ v G = qL ⋅ ϕ4

L 1 2 = qL ϕ1 2 2

(e.3.4)

la reazione R C compie il lavoro δLRC = RC × δC = − x C ⋅ uC = − x C ⋅ ϕ2

L = − x C ⋅ ϕ1L 2

(e.3.5)

essendo nullo il lavoro compiuto dalla componente verticale, ed essendo vG la componente verticale dello spostamento δG di G ed essendo uC la componente orizzontale dello spostamento δC di C. Il sistema è in equilibrio per xC che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto: δL = δL1 + δLRC =

1 2 qL ⋅ ϕ1 − x C ⋅ ϕ1 L = 0 2

(e.3.6)

dividendo ambo i membri per ϕ1 e per L si ottiene l’equazione 1 qL − x C = 0 2

(e.3.7)

e quindi x C =

1 qL 2

(e.3.8)

Ricordando poi la (e.3.2) si trova la componente verticale di R C yC =

2 1 x C = qL 3 3

(e.3.9)


Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.15a si osservi che l’asta BE può essere considerata un vincolo interno che impedisce la componente orizzontale dello spostamento relativo tra il punto B ed il punto E; in questo senso quest’asta è un pendolo semplice interno che consente al punto ai punti B ed E solo spostamenti relativi in direzione verticale. Sostituendo quindi l’asta BE con la reazione da essa esercitata sui punti B ed E (questa reazione ha solo componente orizzontale) si ottiene il sistema una volta l abile di figura 15.15b. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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2

C

(a)

L/2

(b) D

L/2

2

D

F

3

B

C

3

B xBE

4

F

xBE

E

E

L/2 G

1

G

1

L/2 A

A L/2

L/2

Figura 15.15.

In figura 15.16 sono rappresentati la generica configurazione spostata della struttura ed i corrispondenti diagrammi degli spostamenti ottenuti in modo del tutto analogo a quanto mostrato per i precedenti esempi. y yC2

C2

ϕ2

C

C1

C0

C ≡ C12

2

yC12 L/2

D

δD

F

3 B

2 D ≡ C23

F

yC23

uD

L/2

δB δE

L/2

1

xBE

B

E

xBE

E

uB ϕ3

uE

3

1

G

G ≡ C3

yC3 ϕ1

L/2 A ≡ C1

A v(x)

L/2 ϕ1

yC1 u(y)

L/2 ϕ2 x

xC1

xC2 = xC23 = xC3


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




Si assume la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema. I moduli delle rotazioni ϕ2 e ϕ3 degli elementi 2 e 3 in funzione di ϕ1 sono ϕ2 = ϕ1

ϕ3 =

(e.4.1)

5 ϕ1 2

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.16 la forza F compie il lavoro δLF = F × δD = F ⋅ uD =

5 5 F ϕ2 L = F ϕ1 L 2 2

(e.4.2)

la reazione x BE applicata al punto B compie il lavoro δL XB = xBE ⋅ uB = xBE ⋅ ϕ1 L

(e.4.3)

la reazione x BE applicata al punto E compie il lavoro 1 5 δL XE = − x BE ⋅uE = − xBE ⋅ ϕ3 L = − x BE ⋅ ϕ1L 2 4

(e.4.4)

essendo uD la componente orizzontale dello spostamento δD di D ed essendo uB ed uE le componenti orizzontali degli spostamenti δB e δE di B ed E, rispettivamente. Il sistema è in equilibrio per il valore di xBE che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto: 5 5 δL = δLF + δL XB + δL XE = F ϕ1L + x BE ⋅ ϕ1L − x BE ⋅ ϕ1L = 0 2 4

(e.4.5)

dividendo ambo i membri per ϕ1 e per L si ottiene l’equazione 5 5 F + x BE − xBE = 0 2 4

(e.4.6)

e quindi xBE = 10F

(e.4.7)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.35).


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Si propongono nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione è lasciata al lettore. In questi esercizi è richiesto di determinare tutte le reazioni vincolari interne ed esterne con il Principio dei Lavori Virtuali. È evidente che per ogni componente di reazione cercata è necessaria la rimozione di un vincolo e la determinazione degli spostamenti virtuali dei punti ai quali sono applicate le forze. Per ogni schema sarà quindi necessario identificare un configurazione spostata per ogni reazione vincolare cercata. Gli schemi seguenti sono gli stessi proposti nella sessione 3 della lezione 12 e risolti dal lettore con le Equazioni Cardinali della Statica. Si controlli la coincidenza dei risultati trovati applicando le Equazioni Cardinali della Statica con quelli trovati applicando il Principio dei Lavori Virtuali. Esercizio 15.1

Relativamente alla struttura di figura 15.17 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali. q

L/2

L/2

L

L

Figura 15.17. Esercizio 15.2

Relativamente alla struttura di figura 15.18 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali. q L/2 L/2 L

L

L

Figura 15.18.


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Esercizio 15.3

Relativamente alla struttura di figura 15.19 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali. L/2 F L/2 L

L

L


Relativamente alla struttura di figura 15.20 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali.

L F L

L

L


Relativamente alla struttura di figura 15.21 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali. q

L

L

L


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15_Esempi Di Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Il Plv

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