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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN ENTERA PROBLEMA 12
Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles, Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta a una región se señalan en la Tabla 11. Se desea cumplir con las demandas semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes: 1. 2. 3.
Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega de Los Ángeles. Es posible abrir a lo más dos bodegas. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta Atlant a o la de los Ángeles.
Forme un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas. TABLA 11
Desde Nueva York Los Ángeles Chicago Atlanta
Hasta(dólares) Región 1 Región 2 Región 3 20 40 50 48 15 26 26 35 18 24 50 35
VARIABLES DECISIÓN
Si Yij es la cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1, 2, 3, 4) hasta la región j (j=1, 2, 3) FUNCIÓN OBJETIVO
Minimizar Z=400X1+500X2+300X3+150X4+20Y11+40Y12+50Y13+48Y21+15Y22+26Y23+35Y33+18Y33+24Y41+50Y42+ 35Y43 SA:
Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1 Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2 Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3 Y11+Y12+ Y13 ≤ 100 Y21+Y22+ Y23 ≤ 100 Y31+Y32+ Y33 ≤ 100 Y41+Y42+ Y43 ≤ 100
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X1 ≤ MY11 X1 ≤ MY12 X1 ≤ MY13
X2 ≤ MY21 X2 ≤ MY22 X2 ≤ MY23
X3 ≤ MY31 X3 ≤ MY32 X3 ≤ MY33
X4 ≤ MY41 X4 ≤ MY42 X4 ≤ MY43
Yij ≥ 0 PROBLEMA 16
El Lotus Point Condo Project tendrá casas y departamentos. En el lugar se pueden construir hasta 10,000 viviendas. El proyecto debe considerar una zona de esparcimiento: un complejo para natación y tenis o una marina para veleros, pero no ambos. Si se construye una marina, entonces la cantidad de casas en el proyecto tiene que ser por lo menos el triple de la de departamentos. Una marina cuesta 1.2 millones de dólares y un complejo para natación y tenis cuesta 2.8 millones. Los urbanizadores opinan que cada departamento generará ingresos con un VNA de 48,000 dólares y cada casa proporcionará ingresos con un VNA de 46,000. El costo de construir cada casa o departamento es de 40,000 dólares. Plantee un PE para ayudar a Lotus Point a maximizar las utilidades. VARIABLES DECISIÓN
C= Número de casas en el proyecto A= Número de apartamentos en el proyecto
{10 .. } FUNCIÓN OBJETIVO
Maximizar Z=48000 C+46000 A -40(C+A)-2800000 Y1+1200000Y2 SA:
Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1 Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2 Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3 C+A ≤ 100 Y1+Y2 = 1 3A+C ≤ M(1-Y2) A, C ≥ 0 Enteros
, {01}
PROBLEMA 23
En una planta de máquinas herramienta se deben terminar 5 trabajos cada día. El tiempo que toma efectuar cada trabajo depende de la máquina usada para ejecutar dicho trabajo. Si se usa en modo alguno una máquina, entonces hay un tiempo de preparación o de puesta a punto necesario. Los tiempos relacionados se proporcionan en la tabla 20. El objetivo de la compañía es minimizar la suma de los tiempos de preparación y de operación necesaria para completar todos los trabajos. Formule y resuelva un PE (con LINDO, LINGO o el solver para Excel) cuya solución lo haga posible.
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PROBLEMA 26
El gobernador Blue del estado Berry pretende conseguir la legislatura del estado para dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de Berry. El estado consiste en diez ciudades, y el número de republicanos y demócratas (en miles) en cada ciudad es el que se presenta en la tabla 23. Berry tiene 5 representantes electorales. Para formar los distritos electorales, las ciudades se tienen que agrupar según las restricciones siguientes: 1. Todos los electores en una ciudad deben estar en el mismo distrito. 2. Cada distrito debe tener entre 150,000 y 250,000 electores (no hay electores independientes). El gobernador Blue es demócrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos los candidatos de un partido. Formule un PE para ayudar al gobernador Blue a maximizar el número de demócratas que ganarán curules en el Congreso. TABLA 23
Ciudad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Republicanos 80 60 40 20 40 40 70 50 70 70
Demócratas 34 44 44 24 114 64 14 44 54 64
VARIABLES DECISIÓN
} {10 .. Yij es la cantidad de votantes tipo j (1=Demócrata, 0=Republicano)
{10 .. } FUNCIÓN OBJETIVO
Maximizar Z=X1+X2+X3+X4+X5 SA:
Y11+Y12 ≥ 150000 Y21+Y22 ≥ 150000 Y31+Y32 ≥ 150000 Y41+Y42 ≥ 150000 Y51+Y52 ≥ 150000 Y11+Y12 ≥ 250000 Y21+Y22 ≥ 250000 Y31+Y32 ≥ 250000 Y41+Y42 ≥ 250000 Y51+Y52 ≥ 250000
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Y12 = 80W11 + 60W12 +40W13 + Y22 = 80W21 + 60W22 +40W23 + Y32 = 80W31 + 60W32 +40W33 + Y42 = 80W41 + 60W42 +40W43 + Y52 = 80W51 + 60W52 +40W53 +
20W14 +40W15 +40W16 +70W17 +50W18 +70W19 +70W1 10 20W24 +40W25 +40W26 +70W27 +50W28 +70W29 +70W2 10 20W34 +40W35 +40W36 +70W37 +50W38 +70W39 +70W3 10 20W44 +40W45 +40W46 +70W47 +50W48 +70W49 +70W4 10 20W54 +40W55 +40W56 +70W57 +50W58 +70W59 +70W5 10
Y12 = 34W11 + 44W12 +44W13 + Y22 = 34W21 + 44W22 +44W23 + Y32 = 34W31 + 44W32 +44W33 + Y42 = 34W41 + 44W42 +44W43 + Y52 = 34W51 + 44W52 +44W53 +
24W14 +114W15 +64W16 +14W17 +44W18 +54W19 +64W1 10 24W24 +114W25 +64W26 +14W27 +44W28 +54W29 +64W2 10 24W34 +114W35 +64W36 +14W37 +44W38 +54W39 +64W3 10 24W44 +114W45 +64W46 +14W47 +44W48 +54W49 +64W4 10 24W54 +114W55 +64W56 +14W57 +44W58 +54W59 +64W5 10
W11+W21+W31+W41+W51=1 W12+W22+W32+W42+W52=1 W13+W23+W33+W43+W53=1 W14+W24+W34+W44+W54=1 W15+W25+W35+W45+W55=1 W16+W26+W36+W46+W56=1 W17+W27+W37+W47+W57=1 W18+W28+W38+W48+W58=1 W19+W29+W39+W49+W59=1 W1 10+W2 10+W3 10+W4 10+W5 10=1 Y11 - Y12 = a11 Y21 – Y22 = a21 Y31 – Y32 = a31 Y41 – Y42 = a41 Y51 – Y52 = a51 a11 ≥ a21 ≥ a31 ≥ a41 ≥ a51 ≥
a12 a22 a32 a42 a52
X1 X2 X3 X4 X5
PROBLEMA 28
Tailandia admite reclutas navales en tres centros de reclutamiento. Luego, los reclutas tienen que ser enviados a una de tres bases navales para capacitarlos. El costo del transporte de un recluta desde un centro de reclutamiento a una base se presenta en la tabla 26. Todos los años se admiten 1,000 hombres en el centro 1; 600 en el centro 2 y 700 en el centro 3. La base 1 puede entrenar 1,000 hombres al año; la base 2, 800 hombres y la base 3, 700 hombres. Después que los reclutas son capacitados se envían a la base naval principal de Tailandia (B). Se les puede transportar en un barco pequeño o en uno grande. Cuesta 5,000 más 2 dólares por milla usar un barco pequeño. Un barco pequeño es capaz de llevar hasta 200 hombres a la base principal y podría visitar hasta 2 bases en su camino a la base principal. Están a disposición 7 barcos pequeños y 5 grandes. Cuesta 10,000 más 3 dólares por milla utilizar un barco grande. Un barco grande podría visitar hasta tres bases en su camino a la base principal y podría t ransportar hasta 500 hombres. Los “tours” posibles para cada tipo de embarcación se proporcionan en la tabla 27.
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Suponga que la asignación de reclutas a las bases de entrenamiento se efectúa aplicando el método de transporte. Luego formule un PE con la que se minimice el costo total en que se incurre por enviar a los hombres desde las bases de entrenamiento hasta la base principal. (Sugerencia: sea Y ij=hombres enviados al tour i desde la base j a la base principal (B) en un barco pequeño, sea X ij=hombres enviados al tour i desde la base j a B en un barco grande, Si=veces que el tour i es usado por un barco pequeño y Li=ocasiones que el tour i es usado por un barco grande). TABLA 20
De Centro 1 Centro 2 Centro 3
Hasta(dólares) Base 1 Base 2 Base 3 200 200 300 300 400 220 300 400 250
TABLA 21
Ruta Número 1 2 3 4 5 6 7
Lugares Visitados B-1-B B-1-2-B B-2-3-B
B-2-B B-3-B B-1-3-B B-1-2-3-B
Millas Viajadas 370 515 665 460 600 640 720
TRANSPORTE DE LOS CONSCRIPTOS ENTRE LOS CENTROS Y LAS BASES: VARIABLES DECISIÓN
Sea Zij el número de hombres que van desde el centro i a la base j. FUNCIÓN OBJETIVO
Minimizar 200Z11 +200Z12 +300Z13 +300Z21 + 400Z22 +220Z23 +300Z31 +400Z32 +250Z33 SA:
El número de hombres que salen de cada centro: Z11+ Z12+ Z13 = 1000 Z21+ Z22+ Z23 = 600 Z31+ Z32+ Z33 = 700 El número de hombres pueden llegar a cada base: Z11+ Z21+ Z31 1000 Z12+ Z22+ Z32 800 Z13+ Z23+ Z33 700 Zij 0, ZijEnteros,
para i, j=1, 2, 3. para i, j=1, 2, 3.
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TRANSPORTE DE LOS CONSCRIPTOS ENTRE LAS BASES Y LA BASE PRINCIPAL (B)): VARIABLES DECISIÓN
X jk = número de hombres enviados desde la base j hacia la base principal (B) en un barco pequeño usando la ruta k con la limitación de arcos (j,k) dada por: (j, k) = (1,1), (1,2), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,5), (3,6). Y jk = número de hombres enviados desde la base j hacia la base principal (B) en un barco grande usando la ruta k con la limitación de arcos (j, k) dada por: (j, k) = (1,1), (1,2), (1,6), (1,7), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,5), (3,6). Sk = número de barcos pequeños que utilizan la ruta k, con i=1,....,6. Lk = número de barcos grandes que utilizan la ruta k, con i=1,....,7. Parámetros: Mk = millas viajadas en la ruta k. FUNCIÓN OBJETIVO
Minimizar
6
=
=
(5000+2 ) + (10000+3 ) SA:
6= Número de barcos pequeños: Número de barcos grandes: =
∑ ≤ 7 ∑ ≤5
Número de hombres salen de cada base: X11 + X12 + X16 + Y11 + Y12 + Y16 + Y17 = 1000 X22 + X23 + X24 + Y22 + Y23 + Y24 + Y27 = 600 X33 + X35 + X36 + Y33 + Y35 + Y36 + Y37= 700
(base 1) (base 2) (base 3)
Número de hombres que van en barco pequeño: X11 200 S1 ; X12 + X22 200 S2 ; Y23 + Y33 200 S3 Y24 200 S4 ; Y35 200 S5 ; Y16 + Y36 200 S6 Número de hombres que van en barco grande: X11 500 L1 ; X12 + X22 500 L2 ; X23 + X33 500 L3 X24 500 L4 ; X35 500 L5 ; X16 + X36 500 L6 X17 + X27 + X37 500 L7. X jk, Y jk, Sk, Lk
0 para j=1, 2, 3, k=1,…., 7.
X jk, Y jk, Sk, Lk Z
para j=1, 2, 3, k=1,…., 7.
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PROBLEMA 33
La firma financiera Boris Milkem posee seis bienes. El precio de venta esperado (en millones de dólares) por cada bien se presenta en la tabla 32. Si el bien 1 se vende en el año 2, la firma recibe 20 millones de dólares. Para conservar un flujo de efectivo regular, Milkem debe vender por lo menos 20 millones en el año 1, por lo menos 35 millones de dólares en el año 2 y por lo menos 30 millones en el año 3. Prepare un PE que Milkem pueda usar para determinar cómo maximizar el rendimiento total de los bienes vendidos durante los tres años siguientes. Al poner en marcha este modelo, ¿cómo se podría aplicar el concepto de horizonte de planeación rodante?
TABLA 32
1 2 3 4 5 6
Vendido Año 1 Año 2 Año 3 15 20 24 16 18 21 22 30 36 10 20 30 17 19 22 19 25 29
VARIABLES DECISIÓN
Xij es la estrategia de ventas j en el año i
{01 ñ ..} FUNCIÓN OBJETIVO
Maximizar Z=15X11+16X21+22X31+10X41+17Y51+19X61+20X12+18X22+30X32+20X42+19X52+25X62+24X13+21X23+ 36X33+30X43 +22X53+29X63 SA:
15X11+16X21+22X31+10X41+17Y51+19X61 ≥ 20 20X12+18X22+30X32+20X42+19X52+25X62 ≥ 30 24X13+24X23+36X33+ 30X43 +22X53+29X63 ≥ 35
PROBLEMA 34
El servicio de bomberos de Smalltown tiene en la actualidad siete equipos con escaleras ordinarias y siete cajas de alarma. Los dos equipos más cercanos con escalera a cada caja de alarma se dan en la tabla 33. Los padres de la ciudad desean maximizar el número de equipos con escalera ordinaria que se puedan reemplazar con equipos con escaleras extensibles. Las consideraciones políticas establecen infortunamente que es posible reemplazar un equipo ordinario solo sí, después de reemplazarlo, por lo menos uno de los equipos más cercanos a cada caja de alarma todavía es un equipo ordinario. Formule un PE que se pueda maximizar la cantidad de equipos convencionales que es posible respirar por otros equipos con escaleras extensibles
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TABLA 33
Caja de Alarma 1 2 3 4 5 6 7
Dos equipos más cercanos con escalera ordinaria 2, 3 3, 4 2, 5 2, 6 3, 6 4, 7 5, 7
VARIABLES DECISIÓN
Xij = escalera j que está en caja i que va hacer cambiada
} {10 FUNCIÓN OBJETIVO
Maximizar Z=X12+X13+X23+X24+X31+X35+X42+X46+X53+X56+X64+X67+X75+X77 SA:
Y11+Y21+ Y31+ Y41= Y1 Y12+Y22+ Y32+ Y42= Y2 Y13+Y23+ Y33+ Y43= Y3 X12+X13 ≥ 1 X23+X24 ≥ 1 X31+X35 ≥ 1 X42+X46 ≥ 1 X53+X56 ≥ 1 X64+X67 ≥ 1 X75+X77 ≥ 1 X12 =X42 X13 = X23 =X53 X24=X64 X35=X75 X46=X56 X67 = X77
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PROBLEMA 40
Con el fin de satisfacer las demandas de las telecomunicaciones en los veinte años siguientes, Telstar Corporation estima que la cantidad de circuitos requeridos entre Estados Unidos y Alemania, Francia, Suiza y Reino Unido será como se indica en la tabla 45. Se pueden crear dos tipos de circuitos: cable y satélite. Se dispone de dos tipos de circuitos de cable (TA7 y TA8). El costo fijo de construir cada tipo de cable y la capacidad de circuitos de cada tipo se dan en la tabla 46. Los cables TA7 y TA8 van desde Estados Unidos hasta el Canal de la Mancha. Por lo tanto, hay un costo adicional por prolongar estos circuitos hasta otros países europeos. El costo variable anual por circuito se da en la tabla 47. Para crear y usar un circuito por satélite, Telstar debe lanzar un satélite y cada país que lo utiliza debe tener una estación (o estaciones) terrena(s) para recibir la señal. Cuesta 3,000 millones el lanzamiento de un satélite. Cada satélite lanzado es capaz de manejar hasta 140 mil circuitos. Todas las estaciones terrenas tienen una capacidad máxima de 190 circuitos y cuesta 6,000 dólares anuales operarlas. Formule un modelo de programación entera para ayudar a suministrar los circuitos necesarios y minimizar el costo total en que se incurra durante los veinte años siguientes. Luego, mediante LINDO (ó LINGO) encuentre una solución cercana a la óptima. Después de 300 pivoteos, ¡LINDO opina que no hay una solución óptim a! A propósito no se requiere que la cantidad de circuitos o de cables en un país sea entera, porqu e sino, ¡el modelo nunca encontrará solución! Sin embargo, por lo que se refiere a algunas variables. ¡el requisito de ser enteras es vital!
TABLA 45 País Circuitos necesarios Francia 20,000 Alemania 60,000 Suiza 16,000 Reino Unido 60,000 TABLA 46 Tipo de cable Costos fijos de operación (miles millones de dólares) Capacidad TA 7 2 8,500 TA 8 2.3 37,800 TABLA 47 País Costos variables por circuito (dólares) Francia 0 Alemania 310 Suiza 290 Reino Unido 0
