Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria oria da Conquista/BA
Exerc Exer c´ ıcios ıcio s Resolvido Reso lvidos: s: Taxa Relaciona Rela cionada da Contato: Contato:
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Atualizado em 31/03/2016
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas ´e um processo de seis passos.
1. Verifica-se os dados que o problema nos d´a e o que ´e requerido r equerido;; 2. Encontra Encontra-se -se uma rela¸c˜ cao a˜o geral entre os dados que ap´os os a derivada da rela¸c˜ c˜aaoo forne¸ca ca o valor desejado; 3. Substitu Substi tu´´ımos na rela¸c˜ cao a˜o os valores que s˜ao ao constantes; 4. Derivamos a rela¸c˜ cao a˜o implicitamente; 5. Evidenciam Evidenciamos os o resultado resultado desejado; desejado; 6. Fazemos as substitui¸c˜ c˜oes oes necess´arias arias para obter a resposta.
Tamb´ Tamb´em em ´e acon ac onse selh lh´´avel avel que se fa¸ca ca um desenho ou esquema da situa¸c˜ cao a˜o para p ara que seja poss´ po ss´ıvel ıvel enten entender der melhor o proble problema, ma, em embora bora dependend dependendoo da habili habilidad dadee do aluno aluno isso isso possa possa ser dispens´avel. avel.
Exemplo 1:
Uma pipa esta voando a uma altura de 40 m. Uma crian¸ca ca esta empinado a de tal forma que ela se mova horizon horizontalme talmente nte a uma velocidade velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver estiver esticada, esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Solu¸ c˜ ao: 10 Passo:
Dados: y = 40 m z = 50 m dx/dt = 3 m/s dz/dt = ? Com base no problema problema e nos dados fornecidos fornecidos constru constru´´ımos um triˆ angulo angulo retˆangulo angulo com as seguintes medidas.
1
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50 m
40 m
x = 30 m Onde o valor de x de x foi determinado pelo teorema de Pit´agoras agoras (x (x2 = 50 2 − 402 ). 20 Passo:
O desenho do problema sugere que a rela¸c˜ c˜ao ao entre os dados (x, y, z) ´e o pr´ oprio oprio teorema de Pit´agoras. agoras. z 2 = x 2 + y 2 Note que se derivarmos essa rela¸c˜ cao a˜o obteremos dz/dt. Que ´e o que desejamos saber. 30 Passo:
No problema a pipa se move apenas horizontalmente. horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mant´em em sempre constante. z 2 = x 2 + 402 z 2 = x 2 + 1600 J´a o z (tamanho da linha), e o x (distancia horizontal entre a pipa e o menino), n˜ao ao s˜aaoo constantes. 4 Passo: ◦
Agora deriva-se a rela¸c˜ cao a˜o anterior implicitamente em rela¸c˜ c˜ao ao ao tempo. dz dx = 2x +0 dt dt A derivada ocorre em rela¸c˜ cao a˜o ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer dire¸c˜ c˜aaoo pode ser descrito em fun¸c˜ cao a˜o do tempo. 2z
50 Passo:
Agora que evidenciamos dz/dt. dx 2x dz dt = dt 2z 60 Passo:
E finalmente substitu´ substitu´ımos x, y e dx/dt para obter o valor desejado. 2
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dz 2(30)(3) = dt 2(50) dz 180 = dt 100 dz 9 = m/s dt 5 Exemplo 2:
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura ´e igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que raz˜ao aumenta a ´area da base quando a altura do monte ´e 4 m? Solu¸ c˜ ao: 10 Passo:
Dados: h=4 r=4 dA ´e o que desejamos saber. dt dV = 10 m3 /h dt 20 Passo:
Neste caso a f´ormula capaz de fornecer o que ser´a pedido ´e a da a´rea do circulo. A = πr2 30 Passo:
O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez tamb´em varia a medida que a areia ´e despejada, assim n˜ao existe valores constantes na rela¸ca˜o A = πr2 . Logo podemos pular o passo 3. 40 Passo:
dA dr = 2πr dt dt 50 Passo:
O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto j´a esta feito passamos para o passo 6. 3
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60 Passo:
Como r = 4 ent˜ao: dA dr = 2 · 4π dt dt dA dr = 8π dt dt O fato interessante ´e que o problema n˜ao nos d´a o valor de dr/dt, pelo menos n˜ao diretamente. Sabe-se que o volume de um cone ´e dado por: 1 V = πr 3 3 Derivando a express˜ao implicitamente se tˆem: dV 1 dr = π3r2 dt 3 dt dV dr = πr2 dt dt dr 1 dV = 2 dt πr dt substituindo o valor de r dr 5 = m2 /h dt 8π Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6 passo. ◦
dA = 8π dt
5 8π
m2 /h
dA = 5 m2 /h dt Os pr´oximos exerc´ıcios seguem a mesma l´ogica do passo a passo, mas por quest˜ao de economia ser˜ ao resolvidos de forma menos detalhada. Exemplo 3:
Uma escada de 6 m de comprimento est´a apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada come¸ca a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo? Solu¸ c˜ ao:
Dados:
√
x=2 5m 4
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y=4m z=6m dx/dt= 0.6 m/s dy/dt = ? Com base nos dados constru´ımos um triˆ angulo com as seguintes medidas.
6m
4m
√
x=2 5m Onde x foi obtido atrav´es do teorema de Pit´agoras. A f´ ormula que fornecer´a o valor desejado ser´a o teorema de Pit´agoras. x2 + y 2 = z 2 Como a escada n˜ao pode alterar seu comprimento ent˜ao z ´e constante e igual a 6. x2 + y 2 = 36 Derivando implicitamente. 2x
dx dy + 2y =0 dt dt
√
2(2 5m)0.6m/s + 2(4m)
√
2.4 5m2 /s + 8m
dy =0 dt
dy =0 dt
Evidenciando dy/dt
√ dy = −0.3 5m/s dt Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo). Exemplo 4:
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se a´gua entra no tanque ´a raz˜ao de 0.001 m3 /min calcule a raz˜ao em que o n´ıvel de a´gua est´a subindo quando a altura ´e 1 m? Solu¸ c˜ ao:
Dados: h=4m r=2m
5
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dV = 0.001 m3 /min dt Queremos descobrir
dh quando h = 1 m. dt
A equa¸c˜ao que ir´a relacionar dh/dt aos dados ser´a: V =
1 2 πr h 3
Derivando implicitamente.
dV 1 dr dh = π 2rh + r 2 dt 3 dt dt Pelo problema sabe-se que:
h 4 = ⇒ h = 2r r 2 Da igualdade anterior ainda temos que: dh dr =2 dt dt
dh = ⇒ dr dt 2dt
Substituindo dr/dt = dh/2dt e tamb´ em h = 1r em dv/dt chega-se:
dV 1 = π 2 dt 3 dV 1 = π dt 3
h 2
dh h + 2dt
h 2
2
dh dt
h2 dh h 2 dh + 2 dt 4 dt
dV 1 dh = π dt 3 dt
h2 h 2 + 2 4
dV 1 dh = π dt 3 dt
3 2 h 4
dV dh = π dt dt
h2 4
4 dV dh · = h2 π dt dt dh 4 dV = 2 · dt h π dt Finalmente quando h = 1 m temos: dh 4 = 3 m/min dt 10 π Exemplo 5:
6
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Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diˆametro varia ´a raz˜ao de 0.005 cm/min. Determine a taxa ´a qual a ´area de uma das faces varia quando o diˆametro ´e 30 cm. Solu¸ c˜ ao:
Dados: dD/dt = 0.005 cm/min dA/dt = ? D = 30 cm Tomando a rela¸c˜a o A = π r2 que ´e f´ormula para ´area do c´ırculo. E derivando a implicitamente temos: dA dr = 2πr dt dt Sabe-se que o diˆametro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) ent˜ao: dD dr dD dr = 2 ⇒ 0.5 = dt dt dt dt Assim:
dA dD = 2π(D/2) 0.5 dt dt dA dD = πD 0.5 dt dt
dA = 30π (0.5(0.005)) dt dA = 0.075π (cm2 /min) dt Exemplo 6:
Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a raz˜ao constante 2 cm/min. Qual a varia¸c˜ao do volume quando o raio est´a com 25 cm? Solu¸ c˜ ao:
Dados: dr/dt = -2 cm/min dv/dt = ? r = 25 cm. A f´ ormula do volume da esfera ´e:
7
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4 V = πr 3 3 Derivando implicitamente. dV 4 dr = π3r2 dt 3 dt dr dV = 4πr 2 dt dt Finalmente substituindo os valores dV = 4π(25)2 (−2) cm 3 /min dt dV = −5000π cm3 /min dt Exemplo 7:
A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cˆonica cuja altura sempre ´e igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma raz˜ ao de 15 cm/min. Determine a taxa a qual a areia est´a se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm. Solu¸ c˜ ao:
Dados: h=r dh/dt = 15 cm/min dv/dt = ? h = 25. V =
1 2 πr h 3
Derivando implicitamente. dV 1 dr 1 dh = π2r h + πr 2 dt 3 dt 3 dt Como h = r ent˜ao dr/dt = dh/dt e assim:
dV 1 dr dh = π 2r h + r 2 dt 3 dt dt
8
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dV 1 dh dh = π 2h h + r 2 dt 3 dt dt dV 1 dh = π 2h2 + h2 dt 3 dt
dV 1 dh = π 3h2 dt 3 dt dV = π15(25)2 dt dV = π15(25)2 = 9375π dt dV = 9375π cm3 /min dt Exemplo 8:
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a ´area englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos? Solu¸ c˜ ao:
Dados: dr/dt = 3 m/s dA/dt = ? t = 10s A = πr2 dA dr = 2πr dt dt Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m. dA = 2π(3 · 10)(3) = 180π m2 /s dt Exemplo 9:
Um bal˜ ao esf´ erico ´e inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3 /min. Com que rapidez o diˆametro do bal˜ ao estar´a crescendo quando o raio for de 1 m? Solu¸ c˜ ao:
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4 V = πr 3 3 dv dr = 4πr 2 dt dt 3 (m3 /min) = 4π(1 m)2
dr dt
dr 3 = (m/min) dt 4π Como 2r = Diametro ent˜ ao: 2
dr dD = dt dt
e portanto: dD 3 = (m/min) dt 2π Exemplo 10:
Dois carros est˜ao se encaminhando em dire¸c˜ao a um cruzamento, um seguindo a dire¸ca˜o leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a dire¸ca˜o sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro est´a a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km? Solu¸ c˜ ao:
Dados: dx/dt = 90 dy/dt = -60 dz/dt = ? x = 0.2 Km y = 0.15 Km 60 km/h
90 km/h
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Neste caso desejamos saber
dz quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km. dt
Para isso usaremos o teorema de Pit´agoras: x2 + y 2 = z 2 Derivando implicitamente. 2x
dx dy dz + 2y = 2z dt dt dt
E simplificando dx dy dz + y = z dt dt dt substitu´ımos os valores de dx/dt e dy/dt x
2x(90) + 2y(60) = 2z
dz dt
e evidenciamos o dz/dt. dz 0.2(90) + (0.15)(−60) = dt z Quando x = 0.2 e y = 0.15, z ´e igual 0.25 (teorema de Pit´ agoras). E portanto: dz = −108 Km/h dt Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pit´agoras diretamente as velocidades (que s˜ao nada mais que vetores). Vz =
√
602 + 902
≈ 108.167 km/h
Que ´e um resultado bastante pr´oximo do calculado por meio da deriva¸c˜ao impl´ıcita. Exemplo 11:
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamente sendo p o pre¸co por caixa e a equa¸ca˜o de oferta px − 20 p − 3x + 105 = 0 Se o fornecimento di´ario estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os pre¸cos estar˜ao variando quando o fornecimento di´ario for de 5 mil caixas? Solu¸ c˜ ao:
Queremos descobrir
dp quando x = 5. Derivando a express˜ao implicitamente chega-se `a: dt 11
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dp dx x + p dt dt
−
20
dp dx − 3 + 0 = 0 dt dt
dp dx (x − 20) + ( p − 3) = 0 dt dt
Quando x ´e igual 5 p ´e igual a` 6
dx − ( p − 3) dp dt = dt x − 20
p(5) − 20 p − 3(5) + 105 = 0 p(5) = 6 A taxa de fornecimento (dx/dt) est´ a decrescendo em 250, mas como x ´e uma unidade em dx 250 milhares usaremos = − 3. dt 10 Assim: dp 0.25(6 − 3) = = −0.05 dt (5 − 20)
Ou seja o pre¸co est´a decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia. Exemplo 12:
Um avi˜ ao voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra `a esquerda da proje¸ca˜o vertical do avi˜ao em rela¸c˜ao ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote dever´a permanecer iluminado o avi˜ao, qual dever´a ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distˆancia horizontal entre ele e a proje¸c˜ao vertical do avi˜ao for de 610 m? Solu¸ c˜ ao:
1220 m
Queremos encontrar
dθ quando x = 610 m. dt tg θ = sec2 θ
1220 x
dθ 1220 dx =− 2 dt x dt
12
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Substituindo
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dx = −152.4 na equa¸c˜ao anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter dt dθ 185.928 = 2 2 dt x sec θ
Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5. dθ 185.928 = dt 6102 · 5
≈ 101 rad/s Exemplo 13:
Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.
1m 10m
1.5m
3m
5m
4m
A figura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida a uma taxa de 0.1 m3 /min, qu˜ ao r´apido estar´a subindo o n´ıvel de a´gua quando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m? Solu¸ c˜ ao:
Quando a profundidade da a´gua no ponto mais fundo da piscina for de 1m ent˜ao somente a ´area cuja se¸c˜ao transversal ´e um trap´ezio estar´a sendo usada. Assim vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte ´e representada pelo desenho a seguir. y 4m
x 1.5m 2m 3m 13
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´ Area do trap´ezio: A =
BaseMaior + BaseMenor h 2
(x + 3 + y) + 3 h 2 Como a piscina tˆem 5 m de largura ent˜ao seu volume ´e 5 vezes a ´area do trap´ezio determinado: A =
V = 5A V = 5
(x + 3 + y) + 3 h 2
V = 1.875h2 + 5h2 + 15h Derivando implicitamente dV dh dh dh = 3.75h + 10h + 15 dt dt dt dt dV dh = (13.75h + 15) dt dt Substituindo a taxa e h = 1 m. 0.1 =
dh (13.75(1) + 15) dt dh 2 = m dt 575
Exemplo 13:
´ Agua est´a saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm 3 /min no momento em que a´gua est´a sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diˆ ametro no topo ´e 8 m. Se o n´ıvel da a´gua est´a subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a ´agua est´a sendo bombeada para dentro. Solu¸ c˜ ao:
400 cm
600 cm 2 m = 200 cm
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A varia¸ca˜o do volume de ´agua ´e dada pela f´ormula dv dve = dt dt Onde cm3 /min.
− dvdt
s
dve dvs ´e a taxa de varia¸c˜ao de entrada da ´agua e a taxa de sa´ıda que ´e igual a´ 10.000 dt dt
Sabe-se que a express˜ao para o volume de um cone ´e: 4 V = πr 2 3 h 6m 2 Pelo desenho ´e f´acil verificar que = que resulta em r = h. Assim: 4m 3 r 4 V = π 3
2h 3
2
16πh2 = 27
que derivando implicitamente obtemos dv 32πh dh = dt 27 dt Como
dv dve = dt dt
− dvt ent˜ao: s
dve dt
− dvdt
dve dt
s
=
32π · 2 · 20 27
− 10.000 = 1280π 27 dve dt
≈ 10148, 86
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm ´e de 10148,6 cm3 /min Exemplo 14
Um corredor corre em uma trajet´oria circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indiv´ıduo est´a parado a uma distˆancia de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de varia¸c˜ao da distˆancia entre os dois quando esta distˆancia era 200 m? Solu¸ c˜ ao:
Observe o esquema a seguir 200m y
z θ
x
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O problema ´e que n˜ao sabemos exatamente a posi¸c˜ao dos dois corredores. Ent˜ao n˜ ao podemos usar o teorema de Pit´agoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distˆ ancia entre os dois: z 2 = x 2 + y 2 − xy · cosθ Derivando implicitamente e levando em conta que x e y n˜ao variam no tempo chega-se ´a: 2z
dz dθ = 104 · 2(senθ) dt dt dz 104 dθ = (senθ) dt z dt dz 104 dθ = (senθ) dt 200 dt dz dθ = 50(senθ) dt dt
Da f´ısica sabemos que s = rθ logo
ds dθ = r . Substituindo esse ultimo valor em dz/dt dt dt dz 50 ds = (senθ) dt r dt dz 1 ds = (senθ) dt 2 dt
Sabendo que a distˆancia entre eles era de 200m podemos determinar o ˆangulo θ. 2002 = 1002 + 2002 − 2 · 104 cos(θ) cos(θ) =
1 ⇒ θ = 60 2
◦
Assim:
√
dz 1 7 3 = · sen(60 ) · 7 = m/s dt 2 4 ◦
Exemplo 15
A equa¸c˜ao de demanda de uma determinada camisa ´e 2 px + 65 p − 4950 = 0, onde x centenas de camisas s˜ao demandadas por semana quando p for o pre¸co unit´ ario. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o pre¸co estiver crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de varia¸ca˜o na demanda. Solu¸ c˜ ao:
A equa¸c˜ao ´e a seguinte: 2 px + 65 p − 4950 = 0
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N˜ao h´ a constantes no problema, pois tanto x como p variam com o tempo. Deste modo n˜ao h´ a substitui¸co˜es a fazer. Derivando a equa¸c˜ao implicitamente chega-se `a: 2 Como p = 30 e
dp dx dp x + 2 p + 65 =0 dt dt dt
dp = 0.2 ent˜ ao: dt 2(0.20)x + 2(30)
dx + 65(0.20) = 0 dt
dx 65(0.20) + 2(0.20)x =− dt 2 · 30 Para descobrir o valor de x usamos a equa¸c˜ao inicial. 2 px + 65 p − 4950 = 0 2(30)x + 65(30) − 4950 = 0 ⇒ x = 50 Portanto dx 65(0.20) + 2(0.20)(50) =− = −0.55 dt 2 · 30 Decresce a taxa de 55 camisas por semana. ampada est´ a pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem Exemplo 16: Uma lˆ com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de 1,5m/s:
a) Qual a velocidade de crescimento da sombra? b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem est´ a se movendo?
Solu¸ c˜ ao:
Vamos imaginar a situa¸c˜ao descrita como na imagem abaixo.
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Lˆ ampada
w
k
O problema envolve uma semelhan¸ca de triˆangulos. Onde: w ´e a distˆ ancia horizontal do homem a lˆampada; k ´e o comprimento da sombra; dw/dt ´e a taxa de varia¸ca˜o com que o homem se afasta da lampada horizontalmente; dk/dt a taxa de crescimento da sombra. Por semelhan¸ca de triˆangulos (w + k) k = 4, 5 1, 80 w = 1, 5 k w = 1, 5k Derivamos em ambos os lados em rela¸c˜ao ao tempo(t): 0,6(dw/dt) = 0,4(dk/dt) dk/dt = 0,6
(dw/dt) 0, 4
Como dw/dt = 1.5 m/s ent˜ ao dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta). A velocidade com que a ponta da sombra do homem est´a se movendo ´e a soma da taxa de varia¸ca˜o com que o homem se move somada a taxa de varia¸c˜ao de crescimento da sombra. d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt d(w + k)/dt = 1,5 + 1
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d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) Respostas: (a) 1,0 m/s (b) 2,5 m/s a colocado atr´as de uma ´arvore que fica a Exemplo 17: Um radar da pol´ıcia rodovi´aria est´ 12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais pr´oximo do radar da pol´ıcia, est´a um telefone de emergˆ encia. O policial mira o canh˜ ao do radar no telefone de emergˆ encia. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distˆancia entre o policial e o carro est´a aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia ´e de 80km/h. O policial deve ou n˜ao multar o motorista? Solu¸ c˜ ao:
O problema acima ´e esquematizado na figura abaixo:
Radar
12m 16m Telefone
z 2 = x 2 + y 2 Como a distˆ ancia horizontal entre a rodovia e o radar se mantˆ em constante. z 2 = 12 2 + y 2
z 2 = 144 + y 2 Derivando implicitamente. 2z
dz dy = 0 + 2y dt dt
e evidenciando dy/dt dy 2z(dz/dt) = dt 2y dy z(dz/dt) = dt y 19
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e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
√
dy 122 + 162 · 70 = = 87.5 dt 16 Como o limite ´e de 80 Km/h e a velocidade do carro ´e de 87.5 km/h a n˜ao ser que o motorista tenha uma boa desculpa ele deve ser multado. ao meteorol´ogico a ser lan¸cado de um ponto a 100 metros Exemplo 18: Considere um bal˜ ` medida em que o bal˜ao de distˆ ancia de uma cˆamera de televis˜ao montada no n´ıvel do ch˜ ao. A sobe, aumenta a distˆancia entre a cˆamera e o bal˜a o e o ˆangulo que a cˆamera faz com o ch˜ao. Se o bal˜ao est´a subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o bal˜ao estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o bal˜ao se afasta da cˆ amera? (b) Decorridos 5 segundos ap´os o lan¸camento, para filmar a subida do bal˜ ao, com que velocidade a cˆamera est´a girando?
Solu¸ c˜ ao de a:
Considere o esquema Bal˜ ao y
z Lˆ anterna
θ
x
Usando Pit´agoras z 2 + y 2 + 1002 dz dy + y dt dt Quando y = 75 por Pit´agoras conclui-se que z = 125, ent˜ao: z
125
dz + 75(6) dt
dz = 3.6 dt Logo a velocidade com que o bal˜ao se afasta ´e de 3.6 m/s Solu¸ c˜ ao de b:
20
Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
Para resolver o item (b), podemos usar a fun¸c˜ao seno para obter uma equa¸c˜ao que relaciona as var´aveis d (distˆancia horizontal entre a cˆamera e o bal˜ao), h (distˆ ancia vertical entre o bal˜ao e o solo) e θ (angulo da cˆ amera com a horizontal). Assim temos que: sen(θ) = sen(θ) =
y z y
1002 + y 2
Fazendo a derivada da fun¸ca˜o e evidenciando dθ/dt dθ dy/dt = dt cos(θ)(104 + y 2 )
104 + y 2 −
y2
104 + y 2
(1)
Em 5 segundos a 6m/s o bal˜ao percorre 30m (y = 30). Como x ´e sempre igual a 100 pelo √ √ 100 √ = √ 10 . teorema de Pit´agoras z = 104 + 302 = 10 109. De modo que cos(θ) = 10 109 109 Finalmente substituindo estes valores em (1) chegamos a solu¸ca˜o.
√
dθ 6 109 = dt 109 · 103
√
10900 −
9 · 102 √ 10900
dθ 6 54 = 2 − dt 10 109 · 102 dθ 6 = = 0.055 Rad/s dt 109 Exemplo 19: Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s.
Uma lˆ ampada est´ a localizada no ch˜a o a 20m da trajet´oria (distˆ ancia ortogonal) e ´e mantida focalizada na dire¸ca˜o do homem. Qual a velocidade de rota¸c˜a o da lˆ ampada quando o homem est´a a 15m do ponto do caminho mais pr´oximo da lˆampada? Solu¸ c˜ ao de a:
Considere o esquema:
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Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista/BA
x=15m
y
Homem
z=20m
θ Lˆ ampada
tg(θ) =
x y
Derivando implicitamente dθ/dt (dx/dt)y − (dy/dt)x = cos2 (θ) y2 Como y ´e uma constante ent˜ ao dy/dt = 0 e assim: dθ/dt (dx/dt)y (dx/dt) = = (1) cos2 (θ) y2 y Pelo teorema de Pit´agoras 202 = 15 2 + y 2 . Que resulta em y 2 = 175 Substituindo esse valor em (1) e explicitando dθ/dt dθ (dx/dt) = √ · cos2 (θ) dt 175 Como dx/dt = 4 e cos(θ) =
√
√
175 20
2
dθ = dt
√ 4 175
·
175 20
≈ 0.13
Assim a velocidade ´e de aproximadamente 0.13 rad/s
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 22
