Moisés Villena Muñoz
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Definición de Espacio Vectorial Propiedades Subespacios Subespacio Subespacio generado Dependencia e Independencia Lineal Bases Bases y Dimensión Espacios asociados a matrices Cambio de base Bases ortonormales
OBJETIVOS: Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o no Espacio Vectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales. Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases emplenado Matrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.
125
Moisés Villena Muñoz
El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en los cuales se d efinen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos ” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de realizar un estudio más riguroso.
5.1 Definición de Espacio Vectorial
Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones "Suma " y "Multiplicación por Escalar ", ", denotadas como y respect re spectivamente, ivamente, constituyen constituyen un Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10 axiomas axiomas siguient si guientes: es: 1. Si sumamos dos elementos de V , el resultante debe ser elemento de V . Es decir, si v1 V v2 V , entonces v1 v2 V . La Suma debe ser Cerrada C errada 2. v1 , v2 V ; v1 v2 v 2 v1 . La Suma debe ser Conmutativa . 3. v1 , v2 , v3 V ; v1 v 2 v3 La Suma debe ser v1 v 2 v3 . Asociativa. 4. Debe existir un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con cualquier elemento de V el resultante sea el mismo elemento. Es decir, 0 V, v V , tal que v 0 0 v v . Aquí 0 es llamado “Nulo”, “Idéntico”, o “N eutro ” 5. Para cada elemento de V debe existir un elemento, denotémoslo como v , de
modo que al sumarlos resulte el Neutro. Es decir,
v
V,
v , tal que
v es llamado “ Inverso Aditivo de v ” Donde 6. La Multiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si v V , entonces v V . Multiplicando a cualquier elemento de V por un número real el resul resulttado debe ser elemento de V . 7. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma . Es decir, v1 v 2 v1 v 2 . Donde 8. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números v v v . Donde , reales. Es decir, . 9. La Mult Mul tiplicación por Escalar Escalar debe ser se r Asociativa. Es decir, v v . Donde , 10. El número 1 debe ser el “ Idéntico Multiplicativo” . Es decir, 1 v v v
v
0.
A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina Vectores. De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían s erían Espacios Vectoriales Vectoriales..
126
Moisés Villena Muñoz
El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en los cuales se d efinen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos ” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de realizar un estudio más riguroso.
5.1 Definición de Espacio Vectorial
Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones "Suma " y "Multiplicación por Escalar ", ", denotadas como y respect re spectivamente, ivamente, constituyen constituyen un Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10 axiomas axiomas siguient si guientes: es: 1. Si sumamos dos elementos de V , el resultante debe ser elemento de V . Es decir, si v1 V v2 V , entonces v1 v2 V . La Suma debe ser Cerrada C errada 2. v1 , v2 V ; v1 v2 v 2 v1 . La Suma debe ser Conmutativa . 3. v1 , v2 , v3 V ; v1 v 2 v3 La Suma debe ser v1 v 2 v3 . Asociativa. 4. Debe existir un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con cualquier elemento de V el resultante sea el mismo elemento. Es decir, 0 V, v V , tal que v 0 0 v v . Aquí 0 es llamado “Nulo”, “Idéntico”, o “N eutro ” 5. Para cada elemento de V debe existir un elemento, denotémoslo como v , de
modo que al sumarlos resulte el Neutro. Es decir,
v
V,
v , tal que
v es llamado “ Inverso Aditivo de v ” Donde 6. La Multiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si v V , entonces v V . Multiplicando a cualquier elemento de V por un número real el resul resulttado debe ser elemento de V . 7. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma . Es decir, v1 v 2 v1 v 2 . Donde 8. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números v v v . Donde , reales. Es decir, . 9. La Mult Mul tiplicación por Escalar Escalar debe ser se r Asociativa. Es decir, v v . Donde , 10. El número 1 debe ser el “ Idéntico Multiplicativo” . Es decir, 1 v v v
v
0.
A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina Vectores. De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían s erían Espacios Vectoriales Vectoriales..
126
Moisés Villena Muñoz
(El conjunto de los Números Reales) V Con las operaciones operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplir ían ían los 10 axiomas.
V
x
2
y
/ x
(El conjunto de pares ordenados ordenados )
y
Con las operaciones usuales de suma entre pares ordenados y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
x V
3
y / x
y
(El conjunto de ternas ordenadas)
z
z Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
x1 V
4
x2 x3
/ x1
x2
x3
x4
(El
conjunto
ordenado
de
4
x4 componentes. Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
x1 V
n
x2
/ xi
,i
1, 2, 3,
, n (El conjunto ordenado de " n" componentes)
xn Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
V
C a, b
f / f es una función continua en a, b
Con las las operacione operacioness usuales de suma entre entre funcione funcioness y multiplica multiplicación ción p or números reales reales se cumplirían los 10 axiomas..
127
Moisés Villena Muñoz
V P2
p / p es un polinomio de grado menor o igual a 2 O también at 2
P2
bt
c/ a
b
c
.
Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
V P3
p / p es un polinomio degrado menor o igual a 3 O también
V P3
at 3
bt 2
ct
d / a, b, c, d
Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
V Pn
ant n an1t n1 an2 tn2 , a1t a0 / ai
El conjunto de los polinomios de
grado menor o igual a " n ". Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
V M 2
2
a
b
c
d
/ a, b, c, d
. El conjunto de las matrices 2 2 .
Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
V M m n
a11
a12
a13 13
a1n
a21
a22
a23 23
a2 n
am1
am 2
am3
amn
/ aij
El conjunto de las matrices de dimensión m n Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.
Como ejemplos de conjuntos que no son Espacios Vectoriales, también con las operaciones convencionales, tenemos:
128
Moisés Villena Muñoz
V
El conjunto de los números reales positivo no es espacio vectorial porque no cumple el axioma de la existencia del elemento nulo, es decir, 0 PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?.
x
V
1
1
/ x
1
,
2 1
,
3 1
,
El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es siempre igual a 1; no cumple con el axioma de cerradura para la suma, veamos: Sean v1
x 1 y 1
v2
x 2 entonces 1
v1 v2
Por tanto, este conjunto no es espacio vectorial.
V at 2
x x 1 2 V 2
bt c / a, b, c a 0
El conjunto de los Polinomio de grado exactamente igual a 2 , no es espacio vectorial porque al sumar dos polinomios de grado 2 no necesariamente resulta un polinomio de grado 2 ; por ejemplo (contraejemplo): Sean v1 2t 2 3t 2 y v 2 2t 2 5t 3 Entonces v1 v2 8t 1 V PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?
V
A
M n n / A es no singular
El conjunto de las Matrices no singulares (inversibles), no es espacio vectorial porque la matriz cero no pertenece a este conjunto ya que no tiene inversa PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?
Ahora veamos, cómo proceder en el caso de que haya que comprobar todos los axiomas.
V
x y
/ y
3x
x
1 3
,
2 6
,
4 12
,
El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es 3 veces la primera componente; es decir, los puntos puntos que pertenecen a la recta con ecuació ecuaciónn y 3 x . Veamos Veamos que se satisfacen los 10 axiomas.
x x x x 1 y v 2 2 entonces v1 v2 1 2 V 3 x1 3 x2 3( x1 x2 ) x x x x 2. 1 2 2 1 3 x1 3 x2 3 x2 3x1 x x x x x x 3. 1 2 3 1 2 3 3 x1 3 x2 3 x3 3 x1 3 x2 3x3 1. Si
v1
129
Moisés Villena Muñoz
0 V 0 x x 5. Si v entonces su inverso adi tivo sería v V 3 x 3 x x x 6. Si v entonces v V 3 x 3 x x x x x 7. 1 2 1 2 3 x1 3 x2 3 x1 3x2 x x x 8. ( ) 3 x 3 x 3 x x x 9. 3 x 3 x x x 10. .1 3 x 3 x 4.
0
Determine si los siguientes conjuntos son Espacios Vectoriales o No.
x 1. V / y y
3x 1
x 2. V y / x y z 0 z x 3. V y / x 5t, y 3t, z 3t t z
Todos los ejemplos anteriores fueron considerados con las operaciones convencionales, pero los resultados pueden ser diferentes si las operaciones de "Suma" y "Multiplicación por escalar" se definen de manera diferente. De aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se empleará las operaciones usuales.
130
Moisés Villena Muñoz
5.2 Propiedades de los Espacios Vectoriales Sea V un Espacio Vectorial. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad 1
El vector neutro
es único.
0
Demostración. Suponga que existen dos neutros 01 y 0 2 . Entonces: v 01 = 01 v 01 Como también: v
02 = 02 v v . En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y supongamos que 0 2 es el neutro, en tonces: -v
v
01 = -v
02
v 02
02
01
02
01
01
02
Propiedad 2.
Cada vector
v tiene
un único inverso aditivo
v
.
Demostración. Suponga que v tiene dos inversos aditivos Entonces: v
v1=
Como también: v
v1
v 1 y
v 2=
v
2
v 2
v
1
0
0 v
v
1
=
.
v =0.
=
v
v
v
2
:
0
2 v
v
2
v=0
En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros v
v
2
2
1
1
=
v
2
Propiedad 3 0 0,para
Demostración. En la ecuación: 0 0 0 Multiplicamos a ambos miembros por el escalar y aplicamos propiedades distributivas:
131
Moisés Villena Muñoz
0
0
0
0
0
0
Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de
0 y consideramos la propiedad del
inverso aditivo y la del neutro:
0
0
0
0
0
0
0
0
0=0
0
0= 0
Propiedad 4. 0
v
0, para v
V
Demostración. En la ecuación: 0 0 0 Multiplicamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:
0
0
0
v
v
0 v 0 v=0 v Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 inverso aditivo y la del neutro: 0
0
v
0
v
v
= 0
0
v , y consideramos la propiedad del
0
v
v
0
0
v
0=0
0
v =0
Propiedad 5 ( 1)
v
( v), para
V
v
Demostración. En la ecuación 1
1
0
Multiplicamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas: 1
1
1
v
0
1
v
v v
0
v
v
1
v
0
Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y consideramos la propiedad del inverso aditivo y la del neutro: 1 v v v v 0 0
v
1
132
v
v
Moisés Villena Muñoz
5.3 SUBESPACIOS
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V . H es un subespacio de V si es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de Suma y Multiplicación por Escalar definidas en V . Es decir, un subespacio es un espacio vectorial contenido en otro Espacio Vectorial.
5.3.1 Criterio de Subespacio Teorema H es
un subespacio de V , si se cumplen en él los dos axiomas de cerradura, es decir: 1.- Si x H y H , entonces x y H 2.- Si x H , entonces x H . Cuando se cumple lo segundo existirá el vector nulo ( 0 ) en H y también existirán los vectores inversos aditivos para cada vector de H . ¿Porqué?. El resto de propiedades se cumplirían debido a que ya estamos dentro de un espacio vectorial.
Sea el espacio vectorial V 1.- Si x
y
2.- Si
y sea el subconjun to H1 (x
y)
, cuando
( x)
x
Por tanto H1 NO es subespacio de V
entonces:
0
.
Para el mismo Espacio Vectorial anterior, tómenos el subcon junto H2 1. 0 0 2. 0
0 0
0 .
H2 H2 ,
Por tanto H 2 si es subespacio V . Además, es llamado SUBESPACIO TRIVIAl.
133
Moisés Villena Muñoz
En un Espacio Vectorial V , al Subespacio Trivial H 0 y a V se los llaman SUBESPACIO NO PROPIOS, al resto son llamados
SUBESPACIOS PROPIOS.
2
Sea V
. Determine si el subconjunto
x
H
/ y
y
mx, donde "m " es fijo
es un
subespacio de V . SOLUCIÓN : x1
1. Sean x
2. x
x2
y
mx1
mx2
x1
x1
mx1
m( x1 )
entonces x
x1
y
x2
m x1
H
x2
H
Por tanto H Si es un subespacio de
2
x 3
Sea V
. Determine si el subconjunto H
y / x
at
y
a(t1
t 2 )
b(t1
t 2 )
c(t1
t 2 )
bt
z
ct
t
es
z
un subespacio de V . SOLUCIÓN: 1.
Sean x
at 1
at 2
bt 1 y y
bt 2 entonces x
ct 1
ct 2
y
H
a( t 1 ) x
2.
b( t 1 )
H
c( t 1 ) Por tanto H es un subespacio de
3
x 3
Sea V
. Determine si el subconjunto H
y / ax by
cz 0
es un subespacio
z
de V . SOLUCIÓN: x1 1. Sean x
y1 tal que ax1
by1
cz 1
0
y
z 1 x2 y
y2 tal que ax2
by2
cz 2
0
z 2 Al sumar las ecuaciones resulta:
134
a( x1 x2 ) b( y1 y2 ) c( z1 z2 ) 0
Moisés Villena Muñoz x1 x2 Entonces, se observa que x y y1 y2 H (porque satisface la condición de H ) z z 1 2 2. Multiplicando la primera ecuación por el escalar tenemos: a( x1) b( y1 ) c( z1 ) 0
x1 Entonces se observa que x y1 H (porque satisface la condición de H ) z 1 3
Por lo tanto H es un subespacio de
.
Sea V M 22 . Determine si el subconjunto
a b / a, b, d (Matrices 0 d
H
triangulares S uperior) es un subespacio de V . SOLUCIÓN:
a1 b1 a2 b2 y y entonces 0 d 1 0 d 2 a1 b1 2. x H 0 d 1 Por tanto H es un subespacio de V . 1. Sean x
a1 a2 b1 b2 H d1 d 2 0
xy
Sea V M 22 . Determine si el subconjunto
2 1 4 3 1 2 a b / a, b, c , , , b c 1 3 3 6 2 0 es un subespacio de V . H
SOLUCIÓN:
a1 b1 b1 c1
1. Sean x
y y
a b2 2 entonces b2 c2
a1 a2 b1 b2 H (b1 b2 ) c1 c2
xy
a1 b1 H (b1 ) c1 Por tanto H es un subespacio de V . 2. x
Sea V M 22 . Determine si el subconjunto
a b a 1 a / b 1 a c 0 d 0 /a 0 0 c d Es un subespacio de V . H
1 2 2 3 , , 0 0 0 0
SOLUCIÓN:
a1 1 a1 0 0
1. Sean x
a2 1 a2 0 0
y y
entonces x y
a a 2 a1 a2 1 2 H 0 0
Por tanto H NO es un subespacio de V .
135
Moisés Villena Muñoz
Sea V C 0,1 . Determine si el subconjunto H f C 0,1 / f (0) 0 f (1) 0 es un subespacio de V . SOLUCIÓN: 1.- Sean x f tal que f (0) 0 f (1) 0
y
y g tal que g (0) 0 g (1) 0 f (0) g (0) 0 0
Como 2.- Si
( f g )(0) 0
y
f (1) g (1) 0 0 ( f g )(1) 0
x H es decir Como
entonces ( f
g )( x) H
x f tal que f (0) 0 f (1) 0
f (0) 0 f (1) 0 y entonces f H ( f )(1) 0 ( f )(0) 0
Por tanto H es un subespacio de V .
Sea V P2 at 2 bt c / a, b, c
H at 2 at a / a
. Determine si el sub conjunto
es un subespacio de V .
SOLUCIÓN: 1. Sean x a1t 2
a1t a
x y a1 a2 t 2 2. x a1 t
2
y y a2 t2
a2 t a2 entonces
a1 a2 t a1 a2 H
a1 t a1 H
Por tanto H es un subespacio de V .
. Determine si el subconjunto H at 2 bt c tal que a b c 0 2t 2 4t 6 , 3t 2 2t 1 ,
Sea V P2 at 2 bt c / a, b, c
es un subespacio de V . SOLUCIÓN:
c a b
Note que a b
entonces el subconjunto puede ser expresado también de esta otra forma
Independiente
H at 2 bt a b / a b
1.- Sean x a1t
2
b1t a1 b1 y
y a2t
2
b2t a 2 b2
Entonces
x y a1 a2 t 2 b1 b2 t a1 a2 b1 b2 H 2.- x a1 t
2
b1 t a1 b1 H
Por tanto H es un subespacio de V .
136
Moisés Villena Muñoz
Sea V P2 at 2 bt c / a, b, c
.
Determine si el subconjunto H p P2 / p(1) 1 es un subespacio de V . SOLUCIÓN: Note que:
at 2 bt c entonces el subconjunto puede ser expresado de esta otra forma p(1) a b c p(t )
at 2 bt c / c 1 a b
H at 2 bt c tal que a b c 1 Ahora bien. 1. Sean x
a1t 2 b1t 1 a1 b1
y a2t 2
y
b2t 1 a2 b2
Entonces
x y a1 a2 t
2
b1 b2 t 2 a1 a2 b1 b2 H
Por tanto H no es subespacio de V .
Sea V P2 at 2 bt c / a, b, c
Determine si el subconjunto H p P2 / p(1) p´(1) es un subespacio de V . SOLUCIÓN: p(1) p´(1)
p(t ) at
bt c p´( t ) 2at b entonces p(1) a b c p´(1) 2a b 2
Observe que
abc 2a a a
2a b
c
c
El subespacio puede ser expresado de esta otra forma
H= at 2
bt c / c a 2t 2 3t 2, 4t 2 5t 4,
Bien, veamos si se cumplen los axiomas de cerradura
a1t 2 b1t a1
1. Sean x
y a2t Entonces
2
b2t a2
x y a1 a2 t 2 2.
y
b1 b2 t a1 a2 H
x a1 t 2 b1 t a1 H
Por tanto H es un subespacio de V .
Determine si los siguientes subconjuntos
1. V
H son subespacios de V o no.
2
x / y 0 y x H3 / x 2 y 2 0 y
x / x y y x H 4 / x y 0 y
a) H1
b) H 2
c)
d)
137
Moisés Villena Muñoz 3
V
2.
x a) H1 y / z 0 z x b) H 2 y / x y z z x c) H3 = y / x 1 z V M 22
3.
a c a c) H3 c a e) H5 c a g) H7 c
a 0 a d b) H 2 = / a, c, d / d 0 d b a b d) H 4 / a 0 / a b d a a b a b f) H 6 / a 1 / a b c d d c d b a b h) H8 / a 2b 3c 4d 0 / c d ; a , b , d d c d a b H9 A M 22 / A At / , , a b d b d 0
a) H1
i)
j) H10 = A
4.
a
b
b
d
/ Tr A
a2
V M 33 a)
H1 A M33 / A es triangular Superior
D M33 / D es Diagonal c) H3 A M 33 / A es inversible d) H4 A M 33 / A es Simétrica b)
H2
e) H5
5.
A M 33 / A 1
V P 2
bt c / b 0 at bt c / a 2b 3c 0
a) H1 = at b) H2
2
2
c) H3 = p P2 / p (0) p (1) d) H 4
p P2 / p (0) p (1) 1
e) H5
p P2 / p 1 p(0) 0
f) H6
p P2 / p´1 0
g) H7 = p P2 / p´(0) p´(1)
138
k) H11 = A
a
0
c
d
/ Tr A
0
Moisés Villena Muñoz
5.3.2 Intersección de Subespacios Definición
Sean
H1
y
dos subespacios de V . Entonces:
H2
H1 H2
h V tal queh H1 h H2
Es decir, el conjunto intersección agrupa elementos de los subespacios que tengan las características de ambos. Note que nunca será el conjunto vacío.
Teorema
Sean
y H 2 dos subespacios de H1 H2 es un subespacio de V . H1
V
. Entonces
Demostración. Para que H1 H2 sea un Subespacio de V , se deben satisfacer los dos axiomas de cerraduras.
Primero , sean x y y elementos de H1 H2 ,entonces x H1 x H2 como también y H1 y H2 , entonces x y H1 , por ser H1 subespacio; y también x y H2 , por ser H 2 subespacio. Entonces x y H1 H2 . Segundo, sea y sea x H1 H2 , entonces x H1 x H2 , y se cumple que x H2 por ser H1 y H 2 subespacios. Entonces Por lo tanto, H1 H2 es un Subespacio de V .
x H1
Sea el espacio vectorial V
3
x H1 H2 .
y los subespacios
x x H1 y / x y z 0 y H 2 y / 3x 2 y z 0 z z Hallar el subespacio H1 H 2
SOLUCIÓN . El subespacio inters ección tendría la forma: x
H1 H 2 y / x y z 0 3x 2 y z 0 z
Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolviendo el sistema simultáneo
x y z 0 3 x 2 y z 0
1 1 1 0 F 3 F 1 1 1 0 3 2 1 0 0 1 2 0 2
1
Reemplazando en la primera ecuación: Por tanto:
x y z 0 y 2 z 0 y 2 z x 2 z z 0 x z
139
Moisés Villena Muñoz
x H1 H 2 y / x z y 2 z z z z 1 0 1 H1 H 2 2 z / z 2 , 0 , 2 , z 1 0 1
Sea el espacio vectorial H1
V P 2 y los subespacios
at 2 bt c / a b c 0 y H2 at 2 bt c / c a
Hallar el subespacio SOLUCIÓN .
H1 H 2
El subespacio intersección tendría la forma:
at 2 bt c / a b c 0 c a
H1 H2
Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolviendo el sistema simultáneo
a b c 0 ac 0
1 1 1 0 F F 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2
1
Reemplazando en la primera ecuación: Por tanto:
1.
2.
a b c 0 b 2c 0 b 2c a 2c c 0 a c
H1 H2
at 2 bt c / b 2c a c c
H1 H2
ct 2 2ct c / c
2t 2 4t 2,
x x Sea V y sean H1 y / x 2 y y H 2 y / y x z x, z z z Determine H1 H 2 3
Sea V
3
y sean los subconjuntos
x x H1 y / x y z 0 , H 2 1 / x, z z z
y
x H 3 2 x / x 3 x
a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores son subespacios de b) Determine la intersección de los subespacios encontrados. 3.
Considere los subespacios de M 2 x 2
a c
a / d 0 W2 y d c a) Determine W1 W2 b) Demuestre que W1 W2 es un subespacio de M 2 x 2 W1
4.
140
b
Sea V M 2 x 2 y los subespacios
/ a 0 d b
3
Moisés Villena Muñoz a b /a bcd 0 c d Determine H1 H 2 H1
a b / a ,b, d b d
y
H 2 =
y
H2
Sea V M 2 x 2 y los subespacios
5.
H1
a
0
c
d
/a
c
d
0
a
b
b
d
/ 2a
b
2c
5c
0
Determine H1 H 2 Considere V P 2 y los subconjuntos:
6.
H1 p P2 / p ' 1 2 p 1
a) b)
H2
at 2 at 1 / a
H3
at 2 2at 3a / a
Determine cuál de los subconjuntos anteriores es subespacio de P 2. Determine la intersección de los subespacios encontrados.
5.4 SUBESPACIO GENERADO 5.4.1 Combinación Lineal Definición
Una combinación lineal de los vectores es una expresión de la forma: c1v1 c2 v2
donde
c1, c2 ,
, cn
v1, v2 ,
, vn
cn vn
.
Note que el resultado de poner en combinación lineal un conjunto de vectores es otro vector.
1 3 1 3 Una combinación lineal de los vectores 2 y 2 podría ser 2 2 3 2 . Al realizar la 1 1 1 1 7 operación se tendría como resultado el vector 2 5
141
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2 1 1 3 3 Otra combinación lineal de los vectores 2 y 2 podría ser 3 2 1 2 . Al realizar la 1 1 1 1 0 operación tenemos el vector 4 4
Los vectores resultantes de las combinaciones lineales conforman otro conjunto cuyas características nos proponemos estudiar.
5.4.2 Conjunto de Combinaciones Lineales. Definición Sea S v1, v2 , , vn un
conjunto de vectores de un espacio vectorial V . Al conjunto H v V / v c1v1 c2 v2
c3 v3
cn vn para ci
se lo llama Conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S Teorema Sea S v1, v2 , , vn un
conjunto de vectores de un espacio vectorial V . El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S es un subespacio de V .
Demostración. Primero , sea H v V / v c1v1 c2 v2 c3 v3 x a1v1 a2 v2
entonces
a3 v3 an vn
y
cn vn para ci y sean x, y H , y b1v1 b2v 2 b 3v 3 bn v n . Si sumamos
tenemos: x + y a1 b1 v1 a2 b2 v 2 a 3 b3 v 3 c1
c2
c3
Entonces x y H .
Segundo. Multipliquemos a x por un escalar , tenemos: x a1 v1 a2 v 2 a3 v3 an v n c1
c2
c3
cn
Entonces x H . Por lo tan to H es un subespacio de V .
142
a n bn vn cn
Moisés Villena Muñoz
En tal caso se dice que H está generado por S . Se lo llamará de aquí en adelante el Subespacio Generado por S y se lo denotará como:
H gen(S)
A S se le llama Conjunto Generador de H .
1 3 Sea S 2 , 2 . Hallar el subespacio generado por S . 1 1 SOLUCIÓN : La combinación lineal de los vectores de S , generan vectores de determinar.
3
cuya característica debemos
1 3 x c1 2 c 2 2 y 1 1 z c1 3c 2 x El sistema 2c1 2c 2 y debe ser consistente c c z 1 2 x x 1 3 x F 2 F 1 3 1 3 F F 2 2 y 0 4 y 2 x 0 4 y 2x F F 1 1 z 0 4 x z 0 0 x y z x y z 0 2
3
1
3
1
1
El último renglón permite establecer la condición (característica) buscada de los vectores de
x H gen(S) y / x y z y, z z
1 3 4 7 2 , 2 , 4 , 2 , 1 1 0 5
H
Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que determinar las características de los vectores del conjunto S .
3 1 2 Sea S 2 , 1 , 3 . Hallar el subespacio generado por S . 1 1 0 SOLUCIÓN : Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consistencia del sistema que se da a lugar.
3 1 2 x c1 2 c2 1 c3 3 y 1 1 0 z
3c1 c2 2c3 x 2c1 c2 3c3 y c c 0 z 1 2
143
Moisés Villena Muñoz 3 1 2 1 1 1 1 F 3 0 0
2 x F F 1 1 0 z F 2 F 1 1 0 z 3 y 2 1 3 y 0 3 3 y 2z F 3 F 3 1 2 x 0 2 2 x 3z 0 z 1 0 z z 1 1 0 F 2 F 3 3 y 2 z 0 3 3 y 2 z 0 0 0 3x 2 y 5z 3x 2 y 5z 0 6 6 3 x 9 z 3
3
1
3
2
1
3
1
2
Por tanto:
x y x y z H gen(S) / 3 2 5 0 z
3 1 2 Sea S 2 , 1 , 0 . Hallar el subespacio generado por S . 1 1 1 SOLUCIÓN : Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consistencia del sistema que se da a lugar.
3 1 2 x c1 2 c2 1 c3 0 y 1 1 1 z z 3 1 2 x F F 1 1 1 z F 2 F 1 1 1 2 1 0 y 2 1 0 y 0 1 2 y 2 z 1 1 1 z 3 1 2 x F 3 F 0 2 5 x 3z z 1 1 1 F 2 F 0 1 2 y 2 z 0 0 1 x 2 y z 1
3
3
2
1
3
1
2
Observe el último renglón, se concluye que para cualquier valor de x, y z es sistema tendría solución única, es decir:
x H y / x y z z
3
Por tanto, el conjunto S genera a todo el espacio vectorial V
Sea S t 2 t 1, 2t 2 3t 1 . Hallar el subespacio generado por S . SOLUCIÓN : Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan c1 t 2 t 1 c2 2t 2 3t 1 at 2 bt c Destruyendo paréntesis y agrupando, resulta: c1t 2 c1t c1 2c2t 2 3c2t c2
at 2 bt c
c1 2c2 t 2 c1 3c2 t c1 c2 at 2 bt c Entonces:
144
Moisés Villena Muñoz c1 2c2 a c1 3c2 b c c c 1 2 Analizando la consistencia del sistema:
1 2 1 3 1 1 1 5 F 0 0
a
a 1 2 F F b 0 5 b a F F 0 3 c a c 2 a a F 3 F 1 2 b a 5 b a 0 5 0 0 2a 3b 5c 2a 3b 5c 0 15 5c 5a
3
2
1
3
1
3
1
Por tanto :
H at 2
bt c / 2a 3b 5c 0
2 1 3 2 1 1 Sea S , , . Hallar el subespacio generado por S . 1 1 1 0 1 1 SOLUCIÓN : Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan. 2 1 3 2 1 1 a b c2 c3 c1 1 1 1 0 1 1 c d Realizando las operaciones de las matrices
2c1 c1 3c2 2c2 c3 c3 a b c1 c1 c2 0 c3 c3 c d 2c1 3c2 c3 c1 2c2 c3 a b c c c c c c d 1 2 3 1 3 Entonces:
2c1 3c2 c3 a c 2c c b 1 2 3 c1 c2 c3 c c1 c3 d Analizando la consistencia del sistema resulta:
2 3 1 2 1 1 1 0 1 F F 0 0 0 1 F F 0 0 0 2
3
4
4
1 a 1 1 1 0
1 2 3
1 0 1 F F b F F 2 3 1 F F 1 2 1 c d 1 1 1 1 d 1 F 2 F 0 cd 0 2 b d F 3 F 0 1 a 2d 0 4
1
1
2
2
d
a 1 0 1 a F 2 F 0 3 1 a 2d 2 2 bd b FF F F 0 c 0 1 0 c d 0 1 d 1 0 cd 0 2 b d 2c 0 1 a 3c 5d 2
3
3
2
3
2
3
3
1
4
1
d 1 0 1 F 2 F 1 0 cd cd 0 1 0 0 0 1 0 1 a 3c 5d a 3c 5d 0 2 b 2c d 0 0 0 2a b 8c 11d 0
1
d
2
3
Por tanto:
a b / 2a b 8c 11d 0 c d
H
145
Moisés Villena Muñoz
1 2 1 1 Sea S , 1 1 . Hallar el subespacio generado por S . 3 4 SOLUCIÓN :
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los v ectores que se generan.
1 2 1 1 a b c 2 3 4 1 1 c d
c1
Realizando las operaciones de las matrices
c1 c 2 2c1 c 2 a b 3c1 c 2 4c1 c 2 c d Entonces:
c1 c 2 a 2c c b 1 2 3c1 c 2 c 4c1 c 2 d Analizando la consis tencia del sistema resulta: 1 1 a 1
1 a 2 1 b F 2 F 0 1 b 2a 3 1 c F F 34F F 0 2 c 3a 4 1 d 0 3 d 4a a a 1 1 1 1 1 F 0 1 2a b F 2 F 0 1 2a b 0 2 c 3a F 3 F 0 0 a 2b c 0 3 d 4a 0 0 2a 3b d 2
1
3
1
4
1
2
3
2
4
1
Aquí hay dos condiciones. Por tanto:
a b a b c a b d / 2 0 2 3 0 c d a b O también, H / c 2b a d 3b 2a a, b c d H
1. Determine el subespacio generado por:
1 2 5 1 2 5
1. S , ,
1 1 1 1 2 5
4. S , ,
1 0 7. S 2 , 0 3 0 10. S t 2 2t 1 1 1 1 14. S 1
12. S
146
1 1 1 3. S 1 1 2 2 5 1 2 5 5. S 1 , 3 6. S 1 , 3 , 1 3 2 1 3 2 1 0 1 8. S 2 , 0 , 1 9. S t 2 2t 1, t 2 t 5 3 0 1 11. S t 2 2t 1, t 2 t 5, t 2 t 1
1 1 , 1 0 0 1 1 1
2. S ,
1 1 1 15. S 1
13. S
1 , 1 0 1 1 , 1 0 1
1 1 2 , 0 3 4 1 1 2 4 3 , , 0 3 4 2 1
Moisés Villena Muñoz
1 2 2 1 2 4 , , 1 1 0 1 1 1
2. Sea V M 2 2 y sea S
a) Determine si S genera a V . b) En caso de no generarlo encuentre H=gen(S)
1 1 1 1 H a d) Considerando el subespacio W= c 1 1 e) Determine si H W 1 1 c) Determine si la matriz
/ b c halle H W . d b
5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 3 1 2 Observe los vectores del conjunto S 2 , 1 , 3 . Note que el tercer 1 1 0 vector es el resultante de sumar los dos primeros. Por lo anterior se dice que el conjunto S es linealmente dependiente. Este es el concepto que vamos a desarrollar ahora. Además, ocurre generalmente que determinar esta característica por inspección no es tan sencillo, por tanto debemos tener argumentos matemáticos que nos permitan realizar este trabajo.
Definición
Sean v1, v2 , , vn , "n" vectores de un espacio vectorial V . Se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen " n" escalares C , C ,, C , no todos ceros, tales que: 1
2
n
C1v1 C 2 v2
C n vn 0
Caso contrario, se dice que son linealmente independientes . Es decir, si: C 1
0 C 0 C 0 2
n
3 1 2 Determine si el conjunto S= 2 , 1 , 3 es linealmente independiente o dependiente 1 1 0 SOLUCIÓN: Aplicando la definición, ponemos los v ectores en combinación lineal e igualando al v ector c ero se obtiene el sistema lineal que nos permite resolver el problema:
147
Moisés Villena Muñoz
3 1 2 0 C 1 2 C 2 1 C 3 3 0 1 1 0 0 3 1 2 1 1 1 1 3 F 0 0
3C 1 C 2 2C 3 0 2C 1 C 2 3C 3 0 C C 0 1 2
2 0 F F 1 1 0 0 F 2 F 1 1 0 0 3 0 2 1 3 0 0 3 3 0 F 3 F 3 1 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 F 1 1 0 0 F 2 F 3 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 0 El sistema homogéneo tiene Infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente. 1
3
2
1
3
1
2
3
3
2
1 2 0 Determine si el conjunto S 2 , 2 , 1 es linealmente independiente o dependiente 3 0 7 SOLUCIÓN: 0 1 2 0 0 C1 2C 2 c1 2 c2 2 c3 1 0 2C1 2C2 C 3 0 3C 3 0 7 0 7C 3 0 1 1 2 0 0 F 2 F 1 2 0 0 F 3 F 1 2 0 0 2 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 3 0 7 0 F 3F 0 6 7 0 0 0 10 0 2
1
3
1
3
1
C 3 0 0 C1 2C 2 C 2 0 2C2 C 3 0 10C 0 C 1 0 3 El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente, es decir
ningún vector se forma por combinación lineal de los restantes.
1 2 Determine si el conjunto S 2 , 5 es linealmente independiente o dependiente 4 3 SOLUCIÓN:
1 2 0 c1 2 c 2 5 0 4 3 0
C 1 2C 2 0 C C 2 1 5 2 0 4C 3C 0 3 1
1 2 0 F 2 F 1 2 0 F 11F 1 2 0 C 0 C 1 2C 2 0 2 5 0 0 1 0 0 1 0 1 F 4 F C 2 0 C 2 0 4 3 0 0 11 0 0 0 0 El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente.
148
2
1
3
1
3
1
Moisés Villena Muñoz
Determine si el conjunto
1 3 S= 2 , 6 es linealmente independiente o dependiente 3 9
SOLUCIÓN: 1 3 0 c1 2 c2 6 0 3 9 0 1 3 2 6 3 9 C1 3C 2 0
C1 3C 2 0 2C1 6C 2 0 3C 9C 0 3 1 0 1 3 0 F 2 F 0 0 0 0 F 3 F 0 0 0 0 2
1
3
1
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.
Teorema
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes, si y sólo sí uno es múltiplo escalar del otro.
Primero, demostremos que si dos vectores son múltiplo escalar entonces son linealmente independientes. Sean v1 y
v 2 , suponga que v2 cv1 ; c 0 , entonces tenemos que cv1 - v2 0 ,
entonces v1 y v 2 son linealmente independientes. Segundo, demostremos ahora que si dos vectores son linealmente independientes entonces son múltiplo escalar. Sean v1 y v 2 vectores linealmente independientes, entonces existen escales c1 y c2 no todos ceros tales que c1v1 - c2 v2 0 . Suponga c2 0 , entonces dividamos la ecuación anterior para c2 y despejemos v1 : c1
c v1 - 2 v 2 c2 c2 c1
0 c1v1 v 2 0
v2
c1v1
1
Lo cual demuestra que los vectores son múltiplos.
Determine si el conjunto
S t2
t 1, 2t 2 t 3, t 2 2t 2
es linealmente
independiente o dependiente SOLUCIÓN:
Poniendo los polinomios en combinación lineal e igualando al polinomio cero
C 1 (t 2
t 1) C 2 (2t 2 t 3) C 3 (t 2 2t 2) 0t 2 0t 0
149
Moisés Villena Muñoz 1 2 1 0 F F 1 2 1 0 F F 1 1 1 2 0 0 3 3 0 0 1 3 2 0 F F 0 1 3 0 0 C1 2C2 C 3 C2 3C 3 12C 3 2
1
3
1
2
3
1 2 1 0 F 3 F 1 3 0 0 1 3 0 0 0 12 0 3 3 0 0 C 3 0 0 C 2 0 C 0 0 1 2
0
1
3
1
El sistema homogéneo tiene solución trivial por tanto el conjunto es linealmente independiente
Determine si el conjunto
2t 1, 5t 2 t 2 es linealmente independiente o
S t2
dependiente SOLUCIÓN: Por inspección, se observ a que los polinomios no son múltiplo por tanto son linealmente independi ente.
1 1 2 1 1 3 Determine si el conjunto S= , , 1 1 0 1 1 0 o dependiente
es linealmente independient e
SOLUCIÓN:
Poniendo las matrices en combinación lineal e igualando a la matriz cero 1 1 2 1 1 3 0 0 c2 c3 c1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 2 1 1 1 0 1 1 1 F F 0 0 0 C1 2
3
1 2 0 3 F F 3 0 1 0 F F FF 0 2 0 0 0 1 2 1 0 1 1 1 0 F 3F 0 3 4 0 F F 0 1 1 0 0 2C2 C 3 0 C2 C 3 0 C 3 0 1
0
2
1
3
1
4
1
3
4
2
2
1 2 1 0 F 4 0 0 3 4 0 2 0 1 F 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 C 3 0 C 2 0 C 0 1 1
0
1 2
3
4
El conjunto es linealmente independiente
Teorema
Sea A una matriz cuadrada n n . Sus filas o Columnas son Linealmente Independiente si y sólo sí A 0 Cuando lo anterior ocurre, al realizar eliminación de renglones (Método de Gauss) no va a existir un reglón de ceros en la matriz resultante.
150
Moisés Villena Muñoz
2 1 4 Sea la matriz A 3 5 1 1 0 0 Hallando su determinante tenemos: 2 1
4
3 5 1 1
A
1 1
4
5
1
0
0
1
4
5
1
A
1
A
1(1)(1) (4)(5) 21
0
2
4
3
1
0
2 1 3 5
00
Por tanto sus renglones y filas son linealmente independientes.
2 1 4 Sea la matriz A 3 5 1 5 6 3 Hallando su determinante tenemos:
2 1 A
3 5 1 5 1
A
4
0
0
1
4
5
1
6
2
4
3
1
3
2 1 3 5
5(21) 6(14) 3(7) 0
Por tanto sus renglones y filas son linealmente dependientes. Note la tercera fila es la suma de las dos primeras.
Determine si los conjuntos son linealmen te independiente o dependiente.
1 1 , 1 2
2. S
3. S
1 2 5 , , 1 2 5
5.
6.
1. S
4. S
1 1 2 5 S 1 , 3 3 2
1 0 1 7. S= 2 , 0 , 1 3 0 1
2 9. S= t
1, t 2, t 2 t 1
2 8. S t
1 1 1 , , 1 2 5 2 5 1 S= 1 , 3 , 1 3 2 1
2t 1, t 2 t 5
1 1 1 1 , 1 1 0 0
10. S=
1 1 1 1 1 2 , , 1 1 0 0 3 4
11. S=
151
Moisés Villena Muñoz
5.6 BASES Y DIMENSIÓN
Un conjunto finito de vectores v1, v2 , , vn es una base para un espacio vectorial, si: 1.- Son linealmente independientes, 2.- Generan al espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial es el número de vectores de cualquier base.
3
Sea V
1 0 0 . Determine si S 0 , 1 , 0 es una base para V 0 0 1
SOLUCIÓN: 3
Para que S sea una base para vectorial. 1.
2.
, debe ser linealmente independiente y deben generar a todo el espacio
1 0 0 0 C 1 0 C 2 1 C 3 0 0 Si es independiente 0 0 1 0 x 1 0 0 y x 0 y 1 z 0 Si genera a todo vector de z 0 0 1
Por tanto, este conjunto si es una basa para
Estándar. La dim
3
3
3
. Además este conjunto es llamado Base Canónica o
3
1 2 0 Determine si S 2 , 2 , 1 es otra base para 3 0 7 SOLUCIÓN:
3
Primero determinemos si S genera a 3 1 2 0 x C1 2 C2 2 C3 1 y 3 0 7 z x x 1 2 0 x F 2 F 1 2 0 1 2 0 3 F 2 2 1 y 0 2 1 y 2x F 0 2 1 y 2x F 3F 3 0 7 z 0 6 7 z 3x 0 0 10 z 3 y 3x 2
1
3
1
3
1
El último renglón indica que para cualquier valor de x , y y z existirán soluciones única por tanto el conjunto S sí genera a
152
3
.
Moisés Villena Muñoz Segundo, Para determinar si son linealmente independiente bastará con referirnos a la última matriz reducida con la columna aumentada de ceros.
1 2 0 0 0 2 1 0 0 0 10 0 O también, como el sistema tiene solución única, cuando x , y y z toman el valor de 0 se forma un sistema homogéneo con solución trivial. Entonces, S es linealmente independiente. Por tanto, S si es otra base para
3
Teorema
Sea V un espacio vectorial con base S . Todo vector de V puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Sea S= v1 , v2 ,
, vn una base del espacio V y sea v ∈ V .
Supongamos que existen dos combinaciones lineales para v en términos de S ; es decir: v = 1v1 2 v2 n vn v = 1v1 2 v2
Igualamos las ecuaciones: 1v1 2 v2
n vn
n vn 1v1 2 v2 n vn
De aquí ob tenemos: 1 - 1 v1 2 - 2 v2
n n v n 0
Y como S es una base, entonces: 1 - 1
0 2 - 2 0
n 0 2 2 n
Es decir: 1
1
n n
Lo cual demuestra que la combinación lineal es única.
1 2 0 En el ejemplo anterior se demostró que el conjunto S 2 , 2 , 1 es otra base para 3 0 7 tanto todo vector de
3
3
, por
puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Por ejemplo, al
1 expresar el vector 2 en término de los vectores de S se obtendrá solución única. Compruebe que el 3 1 2 0 1 sistema C1 2 C2 2 C 3 1 2 tiene solución única 3 0 7 3
153
Moisés Villena Muñoz
Bien, continuemos con otros espacios vectoriales.
Sea V P 2 . Determine si S t 2 , t , 1 es una base para V SOLUCIÓN: Se puede observar que S es linealmente independiente y además todo polinomio puede ser escrito en combinación lineal de los vectores de S
at 2
bt c a(t 2 ) b(t ) c(1)
Por tanto S si es una base para P 2 . Esta sería la base canónica La dim P 2
3
Determine si S t 2 2t 1, 2t 2 t 2, t 2 t 1 es otra base para V P 2 SOLUCIÓN: Primero determinemos si S genera a P 2 1 2 1 a C 1 2 C 2 1 C 3 1 b 1 2 1 c a 1 2 1 a F 2 F 1 2 0 2 1 1 b 0 3 1 b 2a 1 2 1 c F F 0 4 1 c a 2
3
1
1
Hasta allí, como los dos últimos renglones no son múltiplos, existirán soluciones única; por tanto, el conjunto S sí genera a P 2 .
Segundo. Es fácil comprobar que el conjunto el linealmente independiente. Por tanto, S es otra base para P 2 .
1 0 0 1 0 0 0 0 es una base para Sea V M 22 . Determine si S V , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 SOLUCIÓN: Se puede observar que S es linealmente independiente y además toda Matriz puede ser escrita en combinación lineal de los vectores de S
a b 1 0 0 1 0 0 0 0 a b c d c d 0 0 0 0 1 0 0 1 Por tanto S si es una base para M 2 2 . Esta sería la base canónica La dim M 22
4
Para el caso de subespacios tenemos:
x Hallar una base para el subespacio H y / x y z 0 z SOLUCIÓN: Despejando una variable, le damos otra forma H que nos permita resolver el problema
154
Moisés Villena Muñoz
x H y / x y x y Por tanto, una b ase para
1 0 0 1 / x y x y 1 1 1 0 H sería S 0 , 1 1 1
Además dim H 2
Teorema
Sea H un subespacio del espacio vectorial Entonces:
V
.
dimH dimV Además si dimH dimV entonces H V .
Hallar una base para el subespacio H at 2 bt c / c 2a 3b SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal
H a(t 2 2) b(t 3) / a b 2 Por tanto una base para H sería S t 2, t 3 , entonces dim H 2 H at 2 bt 2a 3b / a b
a b b c Hallar una base para H / c d SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal
a b / a b d b d 1 0 0 1 0 0 H a b d / a d b 0 0 1 0 0 1 H
1 0 0 1 0 0 , , , entonces dim H 3 0 0 1 0 0 1
Por tanto una base para H sería S
155
Moisés Villena Muñoz
Hallar una base para H gen t 2 t 1, 2t 2 3t 1, 3t 2 2t 2 S OLUCIÓN: Primero hallamos el subespacio generado por el conjunto de vectores dados:
C1 t 2
t 1 C2 2t 2 3t 1 C3 3t 2 2t 2 at 2 bt c
La matriz aumentada sería:
1 2 3 a 1 3 2 b 1 1 2 c Aplicando el método de Gauss:
1 2 1 3 1 1 1 5 F F 0 0 2
3
3 a
1 2 3 a F F 1 2 3 a F F 2 b 0 5 5 b a 0 1 1 c a F F 0 1 1 c a 0 5 5 b a 2 c 2 3 a 1 1 c a 0 0 4a b 5c 1
2
1
3
2
3
El subespacio generado sería:
H at 2
O también H at
2
bt c / 4a b 5c 0
bt c / b 5c 4a
Reemplazando la condición y agrupando:
H at 2
5c 4a t c / a, c
H at 2 4ct 4at c / a, c
H a t
2
4t c 4t 1 / a, c
Por tanto una base sería:
S t 2
4t , 4t 1 y di m H 2
x 2 y 3z 0 Hallar una base para el espacio solución del sistema x y z 0 S OLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución. La matriz aumentada sería:
1 2 3 0 1 1 1 0 Aplicando Gauss
1 2 3 0 F F 1 2 3 0 1 1 1 0 0 1 2 0 1
2
El sistema equivalente sería:
De donde
x 2 y 3z 0 y 2 z 0 y 2 z , y por sustitución regresiva: x 2 2 z 3z 0 x z
Por tanto su conjunto solución, denotémoslo por H, s ería:
156
Moisés Villena Muñoz
x H y / x z y 2 z z z
Reemplazando
z 1 H 2 z / z z 2 / z z 1 1 Se observa que una base sería: S 2 y dim H 1 1
H 0 , el subespacio trivial, entonces dim H 0 . Por tanto su base sería S (El conjunto vacío) Si
x y z 0 Hallar una base para el Espacio Solución del sistema 2 x y 3z 0 3 x 2 y z 0 SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución del sistema:
1 1 1 2 F F 1 1 1 2 1 3 0 3 1 3 2 1 3 F F 0 1 2 1
2
1
3
Hasta aquí se observa que tiene solución trivial (¿Por qué?) Por tanto su conjunto solución, H, sería:
0 H 0 0 Entonces dim H 0 y no hay base.
Analice ahora los siguientes teoremas.
Teorema
Sea V un Espacio Vectorial de dimensión n . Entonces: 1. Si n vectores generan a V entonces son linealmente independientes. 2. Si n vectores son linealmente independientes entonces estos vectores generan a V . 157
Moisés Villena Muñoz
Teorema
Un conjunto de vectores linealmente independiente en un Espacio Vectorial de dimensión n , contiene a lo más n vectores. Por ejemplo, en un Espacio Vectorial de dimensión 3 a lo mucho habrá 3 vectores Linealmente Independiente, 4 vectores o más serán dependientes.
1.
Sea
V
3
1 1 3 y S= 1 , 2 , 2 1 3 1
a) Determine si S es una base para b) En caso de no ser base halle
3
H=gen S
c) Determine una base y la dimensión de
2.
H
1 0 1 1 1 1 1 1 , , , es 0 0 0 0 1 0 1 1
Determine si el conjunto S
una base del espacio
M 2 x 2
3.
Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema
x y z 0 x 2 y 3 z 0 4.
Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema
x1 x2 x3 2 x4 0 5 x 4 x 2 x 2 x 0 1 2 3 4 2 x1 x2 x3 8 x4 0 5 x1 x2 x3 14 x4 0 5.
P 3 y el conjunto S= x3 2 x 1, x 2 x 3 1, x 3 2x 2 5x, 3x 2 5x 1
Considere V
a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S
6.
Considere
1 2 1 1 , 3 4 1 1
V M 22 y el conjunto S
a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S
158
Moisés Villena Muñoz
5.7 ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES 5.7.1 ESPACIO FILA Podría presentarse la necesidad de determinar la característica de los vectores filas o la característica de los vectores columnas de una matriz.
A( mn )
C 1
C 2
C 3
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a m1 a m 2 a m 3
C n
a1n F 1 , R1 a 2n F 2 , R2 a 3n F 3 , R3 a mn mn F m , Rm
Definición
Sea Amn una matriz. El Espacio Fila o Espacio Renglón, denotado por R A , se define como: R A gen F1, F2 , F3 ,
a11 a21 a31 am1 a m2 a12 a22 a32 a , a , a , , a , F m gen 13 23 33 m3 a a1n a2n a3n mn
Note que los vectores del espacio fila perte necen a un subespacio de ¿Por qué?
n
Ejemplo 2 1 1 . Hallar el Espacio Fila R 1 2 3
Sea A
A
SOLUCIÓN:
2 1 Por definición R A gen 1 , 2 1 3
x x 2 1 Es decir: R A y / y c1 1 c2 2 donde c1 c2 z z 1 3
2 1 x Entonces c1 1 c2 2 y 1 3 z z 1 3 z 2 1 x 1 3 z 1 3 1 2 y 1 2 y 0 5 y z 0 5 y z 1 3 z 2 1 x 0 5 x 2 z 0 0 x z y Por tanto:
159
Moisés Villena Muñoz x R A y / x y z 0 z Compruebe que los vectores filas satisfacen la condición.
1 0 Además, una base para R A sería S 0 , 1 y d i m R A 2 1 1
5.7.2 ESPACIO COLUMNA Definición
Sea A una matriz m n . El Espacio Columna, denotado por C , se define como: A
C A
gen C1, C2 , C3 ,
a11 a12 a32 a1n a21 a22 a23 an 2 , Cn gen a31 , a32 , a33 , , a3n am1 am 2 a m3 amn
Note que los vectores del Espacio Columna pertenecen a un subespacio de m
¿Por qué?
Ejemplo 2 1 1 . Hallar el Espacio Columna C 1 2 3
Sea A
A
SOLUCIÓN:
2 1 1 gen , , 1 2 3 x x 2 1 1 C A / c1 c2 c3 donde c1 c2 c3 y y 1 2 3
Por definición C A
Es decir
y 2 1 1 x 1 2 3 y 1 2 3 1 2 3 y 2 1 1 x 0 5 5 x 2 y
Por tanto:
C A
x / x y y
Las columnas no cumplen condición alguna. Además dimC A 2
160
2
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 1 0 Sea A 3 1 4 . Hallar R A , C A , Bases y dimensiones. 1 0 1 SOLUCIÓN: 1 1 0 Por definición C A gen 3 , 1 , 4 , entonces: 1 0 1 x x (3) 1 1 0 x 1 1 0 1 1 0 3 1 4 y 0 4 4 y 3 x (4) 0 1 1 z x 1 0 1 z 0 1 1 z x 0 4 4 y 3 x x 1 1 0 0 1 1 z x 0 0 0 x y 4 z x 1 4 Por tanto C A y / x y 4 z 0 Una base para C A 1 , 0 y d i mC A 2 z 0 1
1 3 1 En cambio R A gen 1 , 1 , 0 entonces: 0 4 1 x 1 3 1 x 1 3 1 x 1 3 1 1 1 0 y 0 4 1 y x 0 4 1 y x 0 4 1 z 0 4 1 z 0 0 0 z y x x 1 0 Por tanto R A y / z x y , Una base para R A 0 , 1 y dim R A 2 z 1 1
Teorema
Sea A una matriz
mn
dim R A
. Entonces:
dim C A
Ejemplo 1 1 2 3 Sea A 0 1 4 3 . Hallar R A , C A , Bases y dimensiones. 1 0 6 6 34 SOLUCIÓN:
1 1 2 3 C A gen 0 , 1 , 4 , 3 1 0 6 6
161
Moisés Villena Muñoz 1 1 2 3 x 1 1 2 3 x 1 1 0 1 4 3 y 0 1 4 3 y 0 1 1 0 6 6 z 0 1 4 3 z x 0 0 x 1 0 C A y / x y z Una base para C A 0 , 1 z 1 1
y 4 3 0 0 z x y 2 3
dimC A
x
2
1 0 1 1 1 0 , , En cambio R A gen 2 4 6 3 3 6 1 1 2 3
x 1 1 0 1 1 0 y 0 1 1 y x 0 4 6 z 0 4 4 z 2 x 0 3 6 w 0 3 3 w 3 x 0 x 1 0 1 1 0 1 y x 0 1 1 0 1 1 0 4 4 z 2 x 0 0 0 0 0 0 w 6 x 3 y 0 0 0 0
1 x
1 1 y x 4 4 z 2 x 3 3 w 3 x x y x 6 x 4 y z w 6 x 3 y 0
1
x y R A / z 6 x 4 y, w 6 x 3 y x, y z w
x
y
1 0 0 1 Una base par a R A , y dim R A 2 6 3 6 4
5.7.3 Núcleo y Nulidad de una matriz Definición
Sea A una matriz m n . El Núcleo de denotado por nuc( A) , se define como: nuc A x
n
/ Ax 0
Teorema
El núcleo de la matriz subespacio de n
162
Amn
es un
A ,
Moisés Villena Muñoz
Además, la dimensión del núcleo es llamada y se la denota como: ( A)
nulidad de
la matriz A
Ejemplo 1 1 2 . Hallar núcleo ( nuc( A) ) y nulidad ( ( A) ) Sea A 3 1 0 SOLUCIÓN: x x 1 1 2 0 Por definición: nuc( A) y / y 0 3 1 0 z z x y 2 z 0 Entonces, el núcleo es el conjunto solución del sistema 3 x y 0 x 1 0 Es decir nuc( A) y / x R y 3x z 2 x 3 , 0 , z 2 0 1 Una base para nuc( A) 3 y ( A) 1 2
5.7.4 IMAGEN Y RANGO DE UNA MATRIZ Definición
Sea A una matriz m n . La Imagen o recorrido de A , denotada por Im( A) o rec( A) , se define como: Im A rec( A ) y / y Ax para cualquierx m
n
Teorema
La imagen de la matriz subespacio de m Además, la dimensión de la Imagen es llamada denota como: ( A)
Amn
r a n g o de
es un
la matriz A y se la
El rango de una matriz indica la cantidad de filas o columnas linealmente independientes.
163
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1 1 2 . Hallar Imagen ( Im( A) ) y rango ( ( A) ) Sea A 3 1 0 SOLUCIÓN: x y1 y1 1 1 2 Por definición: rec( A) / y para x y z y2 y2 3 1 0 z
2 Por tanto será cuestión de determinar los vectores de que se generan o lo que es lo mismo, determinar la condición (si es que existe) que deben reunir y 1 y y 2 para que el sistema
x 1 1 2 y 3 1 0 23 z 31
y 1 sea consistente. y 2 21
Entonces:
x y 2 z y1 y 2 3 x y y1 1 1 2 y1 1 1 2 3 1 0 0 4 6 3 y y y 2 2 1 El último renglón nos indica que no hay condición, por tanto:
y1 / y1 y2 2 y2 1 0 Una base para Im( A) , y ( A) 2 0 1 rec( A)
Teorema
Para cualquier matriz Amn , se cumple que: 1. C Im( A) 2. dim R A dimCA dim rec(A ) (A ) 3. ( A) ( A) n A
Ejemplo 1 1 2 3 Sea la matriz A 0 1 4 3 1 0 6 6 a) Hallar Espacio Fila R A , una base y dimensión. 1 0 1 1 1 0 R A gen , , 2 4 6 3 3 6
164
Moisés Villena Muñoz
x x 1 0 1 y y 1 c2 1 c3 0 donde c1 , c2 , c3 Es decir R A / c1 2 4 6 z z w w 3 3 6 32 1
0 1 x 1 1 1 0 y 3 4 0 2 4 6 z 0 3 3 6 w 0
1 0 0 4 4 z 2 x 3 3 w 3 x 0
0 0 z 6 x 4 y 0 0 w 6 x 3 y
0 1
x
0 1
x
1 1
y x
1 1
y x
x y R A / z 6x 4 y w 6x 3y x y z w x 1 0 y 0 1 R A / x y x y / x y 6 x 4 y 6 4 6 x 3 y 6 3 1 0 0 1 Una base para R A , y dim R A 2 6 4 6 3
b) Hallar Espacio Columna C A , una base y dimensión.
1 1 2 3 C A gen 0 , 1 , 4 , 3 Es decir: 1 0 6 6 x x 1 1 2 3 C A y / y c1 0 c2 1 c3 4 c4 3 donde c1 , c2 , c3 , c4 z z 1 0 6 6 1 1 1 0 1 1 0
1 1 2 3 4 3 y 1 0 1 4 3 0 1 4 3 6 6 z 2 3 x
1 1 2 3 y 0 1 4 3 z x 0 0 0 0 x
x C A y / z x y x z x C A y / x y x y
y 1 0 x y x 0 1 / y 1 1 1 0 Una base para C A 0 , 1 y dim C A 2 1 1
y z x y x
c) Hallar Imagen Im( A) , una base y dimensión ( A) . Por el teorema Im( A)
C A
y por tanto
( A) dim C A 2
d) Hallar núcleo nuc( A) , una base y ( A)
165
Moisés Villena Muñoz
x x y 1 1 2 3 y 0 nuc( A) / 0 1 4 3 0 z 1 0 6 6 z 0 w w 1 1 1 0 1
1 0
1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 4 3 0 1 0 1 4 3 0 0 1 4 3 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 0 6 6 0 2 3 0
El núcleo sería el conjunto solución del sistema
x y 2 z 3w 0 . Es decir: y 4 z 3w 0
x y nuc( A) / x 6w 6 z y 4 z 3w z w z w 6w 6 z 6 6 z w 4 3 z w 4 z 3 w z w nuc( A) / / z 1 0 0 1 w 6 6 4 3 Una base para nuc( A) , dimnuc( A) 2 1 0 0 1
Note que se cumple que:
( A) ( A) n 2 2 4
Teorema
Si A es equivalente por renglones a entonces: R A RB , ( A) ( B), y ( A) ( B) . Ejemplo 1 1 3 Sea A 2 0 4 1 3 1 Haciendo eliminación de renglones tenemos:
(1)(2) 1
1 3 1 1 3 1 1 3 2 0 4 0 2 2 0 1 1 1 3 1 0 4 4 0 0 0 1 1 3 Entonces una matriz equivalente por renglones a la matriz A sería: B 0 1 1 0 0 0 Veamos ahora:
166
B
,
Moisés Villena Muñoz
1 2 1 x x 1 2 1 R A gen 1 , 0 , 3 y / y C1 1 C 2 0 C 3 3 3 4 1 z z 3 4 1 x 1 2 1 x 1 2 1 x 1 2 1 1 0 3 y 0 2 4 x y 0 2 4 x y 3 4 1 z 0 2 4 z 3x 0 0 0 2 x y z x Por tanto R A y / 2 x y z 0 z 1 0 x x 1 0 Por otro lado R B gen 1 , 1 y / y C1 1 C 2 1 3 1 z z 3 1
Por tanto
x 1 0 x 1 0 x 1 0 x y 1 1 y 0 1 x y 0 1 3 1 z 0 1 z 3 x 0 0 2 x y z x R B y / 2 x y z 0 z
Lo cual muestra que R A
R B
Además se concluye que las tres filas de A son linealmente dependiente, que sólo 2 son independiente de acuerdo a lo que se observa en la matriz B (2 filas diferentes de cero). Por tanto ( A) ( B) 2 .
Teorema
Sea A una matriz cuadrada. Entonces inversible sí y sólo si ( A) n . nn
A
es
Ejemplo 1 1 3 0 4 Para la matriz anterior A 2 1 3 1 Se determinó que ( A) 2 por tanto no es invertible. Además su determinante será cero.
167
Moisés Villena Muñoz
Determinar R A , C A ,
nuc( A) , Im( A) , bases y dimensiones para:
1 4 2) A 2 5 3 6 1 2 3 4) A 4 5 6 7 8 9 1 2 3 6) A 5 6 7 9 0 1 1 2 5 6 8) A 3 4
1 2 3 1) A 4 5 6 1 2 3 2 4 6
3) A
1 5) A 4 2 1 7) A 1 2
2 3
5 6 4 6 2
3
4
1 1 1 3 4 5
4
8
2 3
4
7
8
6 8
5.8 CAMBIO DE BASE 5.8.1 VECTORES DE COORDENADAS. Definición
Sea S v , v , , v una base de un espacio Vectorial V . Entonces: 1
2
n
v = 1 v1 + 2 v 2
n vn
; v
V
Se define el vector de coordenadas de v con respecto a S , denotado por v S , como: 1
v
2 S
n
Ejemplo 1 En x=
2
considerando la base canónica S1
5 -4
con respecto S1 .
SOLUCIÓN: Empezamos expresando el vector en términos de S1
5 -4
168
5
1 0
4
0 1
1 0
,
0 1
hallar el vector de coordenadas de
Moisés Villena Muñoz
Entonces: x
S1
5
=
-4
Note que es el mismo vector.
Ejemplo 2 Halle el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta otra base S2
1 1
,
1
2
de
2
.
Solución: Para determinar el vector de coordenadas del vector con respecto a esta base debemos poner el vector en combinación lineal de los vectores de S2 , es decir:
5
1
4
1 1
1
2
2
y luego resolver el sistema que se forma:
1
2
5
1
2 2
4
De aquí se obtiene 1
3 , entonces:
2 y 2
x
S2
=
2 -3
Observe que la representación matricial del sistema a nterior es: 1
1
1
5
1
2
2
4
Tiene la forma:
A x
S2
= x
S1
Observe además que las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la base S2 con respecto a la base S1 , es decir:
A
1 1
1 S1
2
S1
Esta matriz permite determinar las coordenadas del vector a la base S1 .
169
Moisés Villena Muñoz
5.8.2 MATRIZ DE CAMBIO DE BASE. MATRIZ DE TRANSICIÓN. Definición
Sean S v , v , , v y S u ,u , ,u dos bases de un Espacio vectorial V . La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base S a la base S , denotada como AS S , se define como: 1
1
2
n
2
1
2
n
2
1
1
AS1
v1
S2
2
v2
S2
vn
S2
S2
La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base S a la base S , denotada como AS S , se define como: 2
1
AS2
2
u1
S1
u2
S1
1
un
S1
S1
Ejemplo Obtenga el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta base S3
1 1
,
2
2
de
1
, directamente y luego resuelva el problema empleando la
Matriz de Transición de la base S2 a S3
Solución: PRIMERO, directamente, pone mos al vector en combina ción lineal con re specto a esta base, es decir: 5 4 Al resolver el sis tema: 1
2 2
5
1
2
4
Se ob tiene 1
3 y 2
1
1
2
1
2 1
1 , entonces: x
S3
=
3 -1
SEGUNDO, empleando la Matriz de Transición de la base S2 a S3 . 1
Tenemos S2
1 v1
Entonces AS2
S3
1
,
2
1
v2
v1
u1
S3
la base S2 con respecto a S3 )
170
1
y S3
v2
S3
,
2 1
,
u2
(las columnas de A son las coordenadas de los vectores de
Moisés Villena Muñoz Las coordenadas del pr imer vector serían: 1
1
1
1
1
1
2 2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
3
3
Entonces v1
S3
2
Las coordenadas del pr imer vector serían: 1 2
Entonces v 2
1
1
1
2 2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
3
1
1
3 S3
1
La Matriz de transición sería: AS2
Ahora, hallemos x
S3
3
2
1
5 S2
4
S2
5
1
4 1
2
5
1
2 2
4
Entonces x
3
5 S2
1
1
2
2
3
2
2
1
1
2
4
3
S2
Finalmente: x
S3
= AS2
x
S3
S2
3
3
2
3
2
1
3
1
Que es el mismo resultado anterior.
1. En
hallar
2
x
, sea
B2
x
4 B1
si B2 =
1 2 1
,
donde B1
3 2
2 5
,
7 3
. Empleando Matriz de Transición
.
171
Moisés Villena Muñoz
2. En
3
, sea
Transición hallar
x
x
B1
B2
2
1
0
1 donde B1
1 ,
1 , 0
4
0
1
si B2
3
1
0 ,
2 , 1
0
1
1 . Empleando Matriz de
1
0 .
5
5.9 BASES ORTONORMALES 5.9.1
Producto Interno vectores de n
Estándar
para
Sean v1 x1 , x2 , x3 , xn y v2 y1 , y2 , y3 , yn vectores de . El Producto Interno Estándar se define como: n
v1 v 2
x1 y1 x2 y2
xn yn
Note que se trata del Producto Punto o Producto Escalar que definimos en el capítulo 3. En este caso se dice que Vectorial con Producto Interno.
n
es un Espacio
Aunque ya se estudió en el capítulo 3 a los vectores de embargo puntualicemos nociones que nos serán útiles.
5.9.2 Longitud o Norma
Sea v un vector de . La Norma de v , denotada como v , está dada por: n
v
vv
5.9.3 Vectores Ortogonales
172
Sean v1 y
v1 y v 2 vectores
v1 v 2
0
v2
de . Entonces son ortogonales si y sólo si n
n
, sin
Moisés Villena Muñoz
Teorema
Todo conjunto ortogonal de vectores, diferentes del vector nulo, es linealmente independiente. Demostración Sea
S v1 , v2 ,
, vn un conjunto ortogonal de vectores no nulos.
En la combinación lineal
c1v1 c2 v2
cn vn 0 , hallemos las constantes.
Realizamos el producto interno con v1 ,
c1 v1 v1 c2 v2 v1
cn v n v1 0 v1
0
Entonces: c1 v1 v1
0
Como v1 es diferente del vector nulo, entonces
c1
0.
Ahora realizamos el produc to interno con v 2
c1 v1 v2 c2 v 2 v 2
cn v n v2 0 v 2
0
Entonces: c2 v2
v2 0
Y así, realizamos el producto interno con
c1 v1 v n c2 v 2 v n 0
Entonces: cn vn Como
0
0
Como v 2 es diferente del vector nulo, entonces
0
0
c2
0.
vn
cn v n v n 0 v n 0
0
vn 0
v n es diferente del vector nulo, entonces c n
0.
Lo cual demuestra que S es Linealmente Independiente.
De acuerdo al teorema si tuviésemos un conjunto ortogonal vectores sería linealmente independiente, entonces surge interrogante ¿es posible obtener vectores ortogonales a partir de conjunto linealmente independiente?. Esta interrogante resolveremos luego.
de la un la
5.9.4 Conjunto Ortonormal
El conjunto si y sólo si:
S u1 , u2 ,
, un es
Ortonormal
ui u j 0 para i j ui u j 1 para i j
173
Moisés Villena Muñoz
Es decir, S
es un conjunto constituido por vectores unitarios y
ortogonales. Un ejemplo típico es la base canónica para
3
1 0 0 S 0 , 1 , 0 0 0 1 Bien, ahora definiremos el procedimiento para obtener un conjunto no sólo ortogonal, sino también ortonormal, a partir de un conjunto linealmente independiente
5.9.5 Proceso de Gram-Schmidt para construir Bases Ortonormales A
partir
de
un
conjunto
S v1 , v2 ,
, v n linealmente
independiente,
S ´ u1 , u2 , Paso 1:
se puede hallar un conjunto , un siguiendo los siguientes pasos:
Hallar el vector
u1 de la siguiente forma:
u1
ortonormal
v1 v1
Paso 2: Hallar el vector v2´ v2 v2 u1 u1 . Luego el vector u2
v2´ v2´
Paso 3: Hallar u3
el
vector
v3´ v3 v3 u1 u1 v3 u2 u2 ,
luego
el
vector
v 3´ v 3´
Y así sucesivamente. Es decir:
Paso n: Hallar el vector vn ´ vn vn u1 u1 vn u2 u2 el vector u n
174
vn ´ vn ´
vn un1 un1 , luego
Moisés Villena Muñoz
1 2 Hallar una base ortonormal para V 2 a partir de la base S , 1 1 v v 1
2
SOLUCIÓN: En este caso debemos hallar S u1 , u2 . Entonces:
Paso 1: u1
v1
v1
1 1 , 2 2 2
(1,1)
Paso 2: v 2 ´ v 2
2 2 1 1 v 2 u1 u1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 12 3 2 1 2 2 3 2 3 1 v 2´ 2 1 32
Luego: 3 u2
v 2´ v 2´
2
1,1 3 2
u2
Por tanto:
S
1
2
1 1 , 2 2
1 2 , 1 2 2
2 1
1 0 1 Hallar una base ortonormal para V 3 a partir de la base S 1 , 1 , 0 0 1 1 v v v 1
2
3
SOLUCIÓN: En este caso debemos hallar S u1 , u2 , u3 . Entonces:
Paso 1:
u1
v1 v1
1 1 , ,0 2 2 2
(1,1, 0)
175
Moisés Villena Muñoz Paso 2:
0 0 1 2 1 2 v 2´ v 2 v 2 u1 u1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 2 1 2 0 0 12 1 1 2 1 0 12 1 1 1 v 2´ 2 1 1 2 2
Luego: u2
v 2´ v 2´
Paso 3:
1 1,1, 2 2 1 6 2
1 1 2 , , 6 6 6
v 3´ v 3 v 3 u1 u1 v 3 u 2 u 2
1 1 1 2 1 2 1 1 6 1 6 0 0 1 2 1 2 0 1 6 1 6 1 1 0 0 1 2 2 6 6 1 6 1 1 2 1 1 1 1 0 2 6 1 2 0 6 2 6 1 1 1 2 6 0 1 2 1 6 1 0 13 23 1 v 3´ 2 3 2 3 1 23 1 Luego: u3
v 3´ v 3´
2 1, 1,1 3 2 3 3
1 1 1 , , 3 3 3
1 1 1 2 6 3 Por tanto S 12 , 16 , 13 2 1 0 6 3
x Hallar una base orton ormal para el subespacio H y / z x y z SOLUCIÓN: 1 0 Una base para H sería S= 0 , 1 1 1 Ortonormalizandola, tenemos:
176
Moisés Villena Muñoz
Paso 1:
u1
v1 v1
1 1 ,0, 2 2 2
(1,0,1)
Paso 2:
0 0 1 2 1 2 v 2 ´ v 2 v 2 u1 u1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 2 0 1 1 0 1 2 1 2 0 12 1 0 1 12 12 v 2´ 1 12
Luego: u2
v 2´ v 2´
1 1,2,1 2 1 6 2
1 2 1 , , 6 6 6
1 Por lo tanto una base ortonormal para H sería: S´ 0 1
1.
4.
3.
6 6 6
Hallar un conjunto ortonormal, a partir de:
1 1 1. S , 0 1
2.
1 2 , 1 2 2
1 1 1 S 1 , 0 , 2 0 1 3
Sea
V
para
H.
3
1 1 2. S , 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 5. S , , , 0 1 1 0 1 1 1 1
y el subespacio
1 1 1 3. S 1 , 0 , 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 6. S , , , 0 1 1 0 0 1 1 1
x H y / x 2 y 3z 0 . Encuentre una base ortonormal z
Construya una base ortonormal para el subespacio
x y x y z H / 2 0 z
177
Moisés Villena Muñoz
5.9.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL
Sea S u1 , u2 , u3 , , uk una base ortonormal de H , un subespacio del espacio vectorial V . Sea v V . La proyección ortogonal de v sobre H , denotada por proy H v , se define como: proy H v v u1 u1 v u1 u2
v uk u k
Note que lo que se trata de definir es no otra cosa que un procedimiento diferente y muy sencillo que permite expresar un vector en combinación lineal de una base ortonormal de un subespacio.
1 Sea V 3 . Exprese el vector v 2 en términos de los vectores de la base 3 1 2 ortonormal S 1 , 2 0
1 6
1 , 6 2 6
1 3
1 3 1 3
SOLUCIÓN: Por definición proy 3 v v u1 u1 v u2 u2 v u3 u3
proy
3
entonces:
1 12 12 1 16 16 1 13 13 1, 2, 3 2 12 12 2 16 16 2 13 13 3 3 2 2 3 1 1 0 0 6 6 3 3
Esto quiere decir que:
1 2 3
178
,
1 2 3 1 2 2 0
7 6
1 6
1 2 6 3 2 6
1 3
1 3 1 3
Moisés Villena Muñoz
1. Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifique. a)
El Conjunto Solución del sistema
b)
La matriz
c)
El conjunto x 2
d)
2 x 3 y 4 z 0 es un subespacio de 3 x y z 0
3
.
1 1 2 1 1 1 2 2 gen 1 1 , 0 3
1, x 1, x 1
Sea el espacio vectorial
genera a P2.
x V 3 y el subconjunto H y / x y z . Entonces H es un z
subespacio de dimensión 2.
f)
x / y 0 . V es un espacio Vectorial. y Sea V v1 , v 2 . Si v 2 2 v1 Entonces S es un conjunto linealmente dependiente.
g)
Sea V
h)
El conjunto S
i)
El conjunto S x
j)
El
e)
Sea V
P 2 y H gen x 2 2 x, x 3. El polinomio p( x) x 2 x 3 H 0 3 0 1 2 1 0 2 , , , genera a V M 22 0 1 1 0 1 1 1 1
conjunto
2
1, 2 x 2 x no genera a P 2
1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 S , , , , es 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
una
base
para
V M 2 X 2 k)
Sea V P 3 y sean los polinomios S 2 x
3
x 2 3x 1, x 2 x 3, x 1 entonces
S es
linealmente independiente.
l)
Sea el subespacio
1 1 1 H=gen 2 , 1 entonces el vector v 0 H 0 1 1
m) Si el conjunto S= v1, v2 , v3 genera a un espacio vectorial V y
dimV entonces S es
linealmente independiente. n)
Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales. Si la
o)
Sea V un espacio vectorial. Si la
dimV1
2 y dimV2 3 entonces V1 V2
dimV 3 y el conjunto S v1 , v 2 , v3 , v 4 genera a V
entonces el conjunto S es una base para V . p)
Sea V un espacio vectorial de dimensión
n y sea el conjunto S= v1 , v 2 , v3,
, v n1 de
n 1 vectores de V . Entonces S genera a V . q)
v1 , v2 , v3 es una bas e del espacio vectorial S2 v1 , v1 v2 , v1 v2 v3 es otra base para V .
Si el conjunto
S1
V , entonces el conjunto
179
Moisés Villena Muñoz
2.
Determine una base y la dimensión del espacio solución del sistema:
3.
Sean V
2 x1 x 2 0 x 2 x3 x 4 0 x x 0 1 3
P 2 y los subespacios: H1
p( x) ( a b) x2 ax b / a, b
H2
p( x) P2 / p (1) p(0)
Encuentre H1 H2 , una base y su dimensión. 4.
4 2 1 3 1 2 1 1 1 un subespacio de M 2 x 3 , , , 3 2 1 2 2 2 1 a b
Sea H=gen
Determine los valores de “a” y “b” para que la dimensión de H sea 2.
5.
Sea
V M 2 X 2 y sean los subconjuntos
a b / a , b, c, d c d H 2 A M / A AT H1
H3
a a c / a, c , c 0
a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio y cuál no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados. c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
6.
Sea
V
3
y sean los siguientes subconjuntos:
x x x H1 y / x 2t , y 3t , z t , H 2 y / x y z 0 y H3 y / y 0 2 y z z a) Demuestre cual de los subconjuntos son subespacios y cuales no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios, incluidos la intersección.
7.
Sea V
3
y sean
1 0 x x H1 =gen 1 , 1 , H 2 y / x y 0 , H3 y / y 0 . z 1 0 z a) Demuestre formalmente cual de los subconjuntos es Subespacio. b) Encuentre la intersección de los subespacios encontrados. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y también de la intersección. 8.
Sea
V M 22 y los subconjuntos:
1 H1 =gen 1
2 0 1 , 1 0 2
a b / a d c 1 y c d a b H3 / a, b, c , c a b H2
a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio vectorial b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados c) Determine si la matriz
180
1 2 1 0 pertenece al subespacio intersección encontrado.
Moisés Villena Muñoz d) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
Sea
9.
V P 2 .
Y sean los subconjuntos:
H1
p x P2 / p´ 2 p 1
1 H 2 p x P2 / p 0 p x dx 0 H3 = p x a1 x2 x a2 x 1 1 / a1 , a2
a) b) c)
Determine ¿Cuál de esos subconjuntos son subespacios? Determine las intersecciones entre los subespacios encontrados. Determine la base y dimensión de los subespacios y de las intersecciones entre los subespacios. Sea
10.
V M 2 x 2 , considere: a 0
H1
a / a, d d
1 1 1 0 0 0 , , 1 1 0 0 0 1
H 2 =gen a)
Encuentre H1 H 2
b)
Demuestre que H1 H 2 es un subespacio de V , bajo las operaciones convencionales.
c)
Determine una base y la dimensión para H1 H 2 .
Sea V
11.
3
y los subconjuntos
H1
at 2 bt c / a b c
H2
at 2 bt c / a b
H3
at 2 bt c / 2a b c
a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados
c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
Sea
12.
2 1 1 2 0 2 2 1 S , , , 1 0 1 1 0 1 2 1
a) Demuestre si el conjunto es linealmente independiente 4 b) Determine si S genera a 4 . Si no genera a , encuentre el subespacio generado. d) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado.
13.
V M 22 y los subconjuntos H1
H 2
a c
a) b) c) 14.
a b / a d 0 , c d a b / 2a b c H 3 c d
Sea
/ a b c d b
y
Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. Halle la intersección de los subespacios encontrados Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección. Sea V
3
y los subconjuntos
x H 1 y / x z a) b) c)
y ,
x H 2 y / x y z z
y
x H 3 y / 2 x y z z
Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. Halle la intersección de los subespacios encontrados Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
181
