SOLUCIÓN DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (Rufino Moya C.)
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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
PROBLEMAS 4 – 1 PROBLEMAS 4 – 2 PROBLEMAS 4 – 4 1. Una compañía importadora tiene 9 empleados cuyos ingresos (x i) mensuales en dólares son: 100, 100, 100, 100, 200, 200, 400, 800 y 1600. Se pide a. Dibujar la curva de Lorenz o curva de concentración. b. Calcular índice de Gini.
Solución: Ingresos (xi)
$
100 200 400 800 1600
Nº de trab. ni
Fi *100%
xini
p =∑ *100% q =∑ ∑]*100% ∑*100% [
i
i
4 2 1 1 1
44,5 22,2 11,1 11,1 11,1
400 400 400 800 1600
11,1 11,1 11,1 22 45
9
100
3600
100
44,5 66,7 77,8 88,9 100
11,1 22,2 33,3 55,5 100
La curva de Lorenz. Fig. 4.1 Curva de Lorenz: ingresos mensuales 100 ) i 90 q ( s 80 o s 70 e r g n 60 i e d 50 o d 40 a l u 30 m u c 20 a % 10 0 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % acumulado de trabajadores (pi)
El índice de Gini. ESTADÍSTICA GENERAL
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pi - qi
pi
44,5 – 11,1
= 33,4
44,5
66,7 – 22,2
= 44,5
66,7
77,8 – 33,2
= 44,6
77,8
88,9 – 55,5
= 33,4
88,9
∑ ∑ = = 0,5609 ∑ 2.
∑ 277,9
Una empresa aduanera emplea 8 trabajadores cuyos ingresos (x i) en dólares son: 100, 100, 100, 100, 400, 800, 1600 y 3200 mensuales. Determinar
a. b.
La curva de Lorenz. El índice de Gini.
Solución:
∑]*100%
Fi *100%
xini
(xi) $
Nº de trab. ni
100 400 800 1600 3200
4 1 1 1 1
50 12,5 12,5 12,5 12,5
400 400 800 1600 3200
6,25 6,25 12,5 25 50
n=8
100
6400
100
Ingresos
[
pi=
∑*100% 50 62,5 75 87,5 100
∑ ∑*100% qi=
6,25 12,5 25 50 100
La curva de Lorenz.
ESTADÍSTICA GENERAL
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Fig. 4.2 Curva de Lorenz: ingresos 100 ) i q ( s o s e r g n i e d o d a l u m u c a %
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
% acumulado de trabajadores (pi)
El índice de Gini. pi - qi 50 – 6,25
pi
= 43,75
50,0
62,5 – 12,5 = 50
62,5
75 – 25
= 50
75,0
87,5 – 50
= 37,5
87,5
∑ ∑ 275 ∑∑ = = 0,659 3. Para el cuadro estadístico que se da a continuación se pide: a. Dibujar en una misma figura la curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural. b. Calcular el índice de Gini en cada caso.
PERÚ: DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO POR ÁREA URBANA Y RURAL SEGÚN DECILES DE HOGARES (PERIODO JUL.85 – JUL.86) HOGARES
ESTADÍSTICA GENERAL
INGRESO TOTAL DEL HOGAR (% )
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TOTAL ENNIV % % Acum. 0.45 0.45 2.63 3.09
ÁREA URBANA
ÁREA RURAL
% 0.62 3.21
% Acum. 0.62 3.82
% 1.32 3.05
% Acum. 1.32 4.35
% 10 10
% Acum. 10 20
10 10
30 40
3.68 4.90
6.77 11.67
4.22 5.22
8.04 13.26
4.05 5.58
8.40 13.98
10 10
50 60
5.96 7.31
17.62 24.93
6.40 7.90
19.66 27.56
6.34 7.72
20.32 28.04
10 10
70 80
9.15 11.88
34.08 45.96
9.76 12.45
37.32 49.78
10.02 12.05
38.06 50.11
10 10
90 100
16.78 37.27
62.73 100.00
16.14 34.08
65.92 100.00
13.81 36.08
63.92 100.00
5 5
95 100
12.99 24.28
75.72 100.00
14.09 19.99
80.01 100.00
12.51 23.57
76.43 100.00
FUENTE: INTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA - Encuesta Nacional sobre Medición de Niveles de Vida (ENNIV).
Solución: a. Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.
Fig. 4.3 Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural. 100 90 ) i q ( s o s e r g n i e d o d a l u m u c a %
80 70 60 50
TOTAL ENNIV
40
ÁREA URBANA
30 ÁREA RURAL
20 10 0 0
10
20
30 40 50 60 70 % acumulado de hogaress (pi)
80
90
100
b. El índice de Gini Para total ENNIV ESTADÍSTICA GENERAL
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pi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545
qi 0,45 3,09 6,77 11,67 17,62 24,93 34,08 45,96 62,73 75,72
qi
10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545
0,4807
∑∑ = =
0,4385
pi -qi
0,62 3,82 8,04 13,26 19,66 27,56 37,32 49,78 65,92 80,01
∑∑ = =
Pata área urbana
pi
9,38 16,18 21,96 26,74 30,34 32,44 32,68 30,22 24,08 14,99 =239,01
Para área rural
pi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 =545
pi -qi 9,55 16,91 23,23 28,33 32,38 35,07 35,92 34,04 27,27 19,28 =261,98
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qi 0,45 3,09 6,77 11,67 17,62 24,93 34,08 45,96 62,73 75,72
pi -qi 9,55 16,91 23,23 28,33 32,38 35,07 35,92 34,04 27,27 19,28 =240.07
∑ = = 0,4405 ∑
4. Para los datos del ejemplo 4.28, determinar el índice de Gini y su curva de Lorenz.
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Solución: Salarios
(xi) $ 100 200 300 400 500 600
∑]*100%
Nº de trab. ni
Fi *100%
xini
[
3 7 8 4 2 1
12 28 32 16 8 4
300 1400 2400 1600 1000 600
4,1 19,2 32,9 21,9 13,7 8,2
n=25
100
7300
100
∑*100%
pi=
12 40 72 88 96 100
∑ ∑*100% qi=
4,1 23,3 56,2 78,1 91,8 100
El índice de Gini pi
qi
pi - qi
12
4,1
7,9
40
23,3
16,7
72
56,2
15,8
88
78,1
9,9
96
91,8
4,2 =54,5
=308
∑ = = 0,177 ∑
Curva de Lorenz
Fig. 4.4 Curva de Lorenz: salarios 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
) i q ( s o i r a l a s e d o d a l u m u c a %
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % acumulado de trabajadores (pi)
5. Los salarios mensuales (en soles) de los obreros de una compañía se distribuye como sigue:
Salario mensual Nº de
140 - 160 7
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160 - 180 20
180 - 200 200 - 220 33 25
220 - 240 11
240 - 260 4 Página 7
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trabajadores Hallar el índice de Gini
Solución: Salarios
(xi) S/. 150 170 190 210 230 250
∑]*100%
Nº de obr. ni
Fi *100%
xini
[
7 20 33 25 11 4
7 20 33 25 11 4
1050 3400 6270 5250 2530 1000
5,38 17,44 32,15 26,93 12,97 5,13
n=100
100
19500
100
pi=
∑*100%
∑ ∑*100% qi=
7 27 60 85 96 100
5,38 22,82 54,97 81,90 94,87 100
El índice de Gini pi
qi
pi - qi
7
5,38
1,62
27
22,82
4,18
60
54,97
5,03
85
81,90
3,1
96
94,87
1,13
∑ = = 0,0548 ∑
=15,06
=275
PROBLEMAS 5 – 1 1. Se han obtenido los siguientes puntajes en matemáticas y lenguaje de 80 alumnos en un colegio.
Alumno P. matemática
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
43
50
83
90
53
59
71
59
31
50
72
65
75
79
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P. lenguaje
36
42
63
86
44
61
72
63
35
51
54
52
67
62
Alumno P. matemática
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
58
83
72
67
35
61
52
76
93
49
72
60
82
57
P. lenguaje
56
72
76
42
33 53
55
65
96
55
55
56
66
45
Alumno P. matemática
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
62
41
39
32
55
61
58
72
66
81
73
50
45
72
P. lenguaje
58
35
50
32
56 54
56
71
69
84
60
52
43
69
Alumno P. matemática
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
62
59
41
93
65
71
78
64
45
56
55
52
66
82
P. lenguaje
71
78
34
91
63 64
67
72
42
45
43
60
65
86
Alumno P. matemática
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
46
52
62
68
42
51
66
72
36
56
52
66
68
61
P. lenguaje
42
54
66
75
44 56
59
69
40
45
39
65
71
67
Alumno P. matemática
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
65
67
51
36
63
35
39
71
81
36
64
70
55
41
61 34
35
73
76
42
P. lenguaje
a) Construya la tabla bidimensional de frecuencias absolutas y relativas, eligiendo clases de amplitud constante c=10.
Tabla 5.1 tabla bidimensional de frecuencias absolutas Leng. [32-42>
[42-52>
[52-62>
[62-72>
[72-82>
[82-92>
[92-102>
Total = ni.
7
2
0
0
0
0
0
9
Mat. [31-41>
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[41-51>
3
6
2
0
0
0
0
11
[51-61>
1
6
10
1
0
0
0
18
[61-71>
0
1
6
10
2
0
0
19
[71-81>
0
0
3
8
3
0
0
14
[81-91>
0
0
0
2
2
3
0
7
[91-101>
0
0
0
0
0
1
1
2
Total= n.j
11
15
21
21
7
4
1
80
Tabla 5.2 tabla bidimensional de frecuencias relativas Leng. [32-42>
[42-52>
[52-62>
[62-72>
[72-82>
[82-92>
[92-102>
Total = ni.
[31-41>
0,0875
0,025
0
0
0
0
0
0,1125
[41-51>
0,0375
0,075
0,025
0
0
0
0
0,1375
[51-61>
0,0125
0,075
0,125
0,0125
0
0
0
0,225
[61-71>
0
0,0125
0,075
0,125
0,025
0
0
0,2375
[71-81>
0
0
0,0375
0,1
0,0375
0
0
0,175
[81-91>
0
0
0
0,025
0,025
0,0375
0
0,0875
[91-101>
0
0
0
0
0
0,0125
0,0125
0,025
Total= n.j
0,1375
0,1875
0,2625
0,2625
0,0875
0,05
0,0125
1
Mat.
b) Confeccione una lista de las: i.
Marcas de clases (Xi) y (Yi)
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ii.
Frecuencias absolutas acumuladas.(Nij)
Leng. [32-42>
[42-52>
[52-62>
[62-72>
[72-82>
[82-92>
[92-102>
[31-41>
7
9
9
9
9
9
9
[41-51>
10
18
20
20
20
20
20
[51-61>
11
25
37
38
38
38
38
[61-71>
11
26
44
55
57
57
57
[71-81>
11
26
47
66
71
71
71
[81-91>
11
26
47
68
75
78
78
[91-101>
11
26
47
68
75
79
80
Mat.
Calcule: c) Las frecuencias absolutas marginales.
Frecuencias absolutas marginales de X Xi
ni.
Ni.
6
9
9
46
11
20
56
18
38
66
19
57
76
14
71
86
7
78
96
2
80
ESTADÍSTICA GENERAL
Frecuencias absolutas marginales de Y
Página 11
Xi
ni.
Ni.
36
11
11
INGENIERÍA QUÍMICA 46FACULTAD DE15 26
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
80
56
21
47
66
21
68
76
7
75
86
4
79
96
1
80
d) Las frecuencias condicionales.
80
Leng.
nx/y=[32-42>=nij Mat.
Fx/y=[32-42>=
[31-41>
7
7/11
[41-51>
3
3/11
[51-61>
1
1/11
[61-71>
0
0/11
[71-81>
0
0/11
[81-91>
0
0/11
[91-101>
0
0/11
Total
11
1
e)
̅ ∑ ̅ ∑ ∑ ̅
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∑ f) Cov(x, y); V(x + y); V(x - y).
̅
2. En un estudio para conocer la relación entre el sexo y delincuencia, se toma una muestra de 522 personas, los resultados se presenta en la tabla siguiente:
Delincuente No delincuente Total
Hombre 122 210 332
Mujer 112 78 190
Total 234 288 522
a. Represente gráficamente la distribución de frecuencias absolutas y relativas.
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tab. 5.2 Distribución de frecuencias absolutas 250 200 150 100 50
Hombre
0
Mujer Delincuente
Mujer Hombre
tab. 5.3 Distribución de frecuencias relativas 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
Hombre Mujer Delincuente
No delincuente
Delincuente 112
No delincuente 78
122
210
Mujer
No delincuente
Delincuente 0.21
No delincuente 0.15
0.23
0.40
Hombre
b. Represente la gráfica del sexo respecto de la delincuencia.
tab.5.4 Sexo respecto a la delincuencia 350 300 250 200 Hombre 150
Mujer
100 50 0 Delincuente
No delincuente
3. La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo.
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Padre
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Menos de 1.60 m
De 1.60 a 1.80 m
Más de 1.80 m
Menos de 1.60 m
50
400
10
De 1.60 a 1.80 m
150
2000
200
Más de 1.80 m
5
300
60
Hijo
Hallar: a. La distribución marginal
Distribución marginal para el hijo
Distribución marginal para el padre
Hijo
ni.
fi.
Padre
ni.
fi.
150
460
0,145
150
205
0,065
170
2350
0,740
170
2700
0,850
180
365
0,115
180
270
0,085
total
3175
1,00
total
3175
1,00
b.
L
a tabla de distribución absoluta acumulada.
Padre Hijo 150 m 170 m 190 m
c.
̅
150 m
170 m
190 m
50 200 205
450 2600 2905
460 3115 3175
y Cov(x, y) si es posible.
∑ ̅ ∑ ∑ ̅ √ =
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=
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∑
=
=
4. Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables: V(x + y) = 8.3
y
V(x - y) = 10.1
Hallar la covarianza de ambas variables.
Sabemos que :
… …
.(1)
.(2)
Resolviendo el sistema tenemos :
Reemplazando datos del problema:
….(3)
Reemplazando (3) en (1)
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