TRILCE
Capítulo
1
NUM ERACIÓ RACIÓNN
INT INTRODUCCIÓN RODUC CIÓN PR PRINCIPIOS INC IPIOS S e pued pu ede e decir que qu e la M atem ática to m ó fo fo rm a d e ciencia en la ant a nti igua gu a M esop o tam ia, d o nd e lo s su m eri erio s crearon crearon la escritu ra cun cu n eifo rm e (3,2 (3,2 0 0 a.C a.C .) L a civilizació n d e B ab ilo n ia d esarr esarro llad a en la an tigua gu a C ald ea creó el sistem a sexagesi sexa gesim al, au nq ue no con o cían el cero cero uti utilizaban ab an 2 sím bo lo s = 1 y = 10 . H asta que qu e m ucho uch o tiem po d espués apar ap areci eciero ero n lo s sistem as d e n um eraci eració n q ue u tilizaban zaba n lo s ded de d o s (d ecim al, q uina uinar rio, d u o d ecim al, vigesi ge sim al, etc) etc). . Per Pe ro po d em o s decir q ue recién en elsiglo V d .C .se fragu aron lo s o rígenes gen es de nue n ues stro sistem a d e nu n u m eraci eració n (d (d ecim al). E l p rin cip io d e p o sició n ; o casi ca sio n ó las nu n u eve ev e ci c ifra s y el e l cero apar ap arece ece en la obr o bra a del d el m atem ático ind io B rahm ah m agupt agu pta. a. E s dec d eci ir, lo s hi hin d ú es crearon ron las cifras 0, 0 , 1 , 2 , 3 , ....., 9 ; p ero fuer ue ro n lo s árab árab es lo s que qu e d ifu n d iero ero n esto s sí sím b o lo s po r E uropa. uropa.
1 . D E L O RD RD E N :
Tod To d a cifra en e n u n nu m eral eral, tiene en e o rd en, en , po r conven con venci ció n, se enum en um era era d e der d erecha echa a izqu ierd erd a. Po r ejem plo : 4 3 2 8 1 er. o rd en (u n id ad es) 2 do . orden (de decen cenas) as) 3 er. o rd en (cen ten as) 4 to . o rd en (m illares)
Observación :
Tam bién bién po p o dem de m o s enco ntr ntrar el lugar uga r qu e ocup o cupa a una u na cifra y se to m a d e izqu ierd erd a a d erecha. erecha. 4 3 2 8 4 to.lu gar 3 er.lugar 2 do. lu ga gar r 1 er.lugar
NUMERACIÓN P arte d e la ar a ritm ética q qu ue se encarga en carga de d e la fo fo rm a cor co rrecta d e expr exp resar y rep repr resentar esentar a lo s nú m ero ero s.
NÚMERO E s u n ent e nte e m atem atem áti ático q u e no n o s p erm erm ite cuan cu an tificar a lo s o bjeto s qu e nos no s ro d ean. ean .
NUMERAL E s la repr ep resentació n sim b ó lica d el nú m ero. ero. M ayas :
= 1 ; = 5 ; = 20 R o m ano an o s :I ; V ;X ; L ; C ; D ; M H in d ú es - Á rab es : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
2 . D E L A B A S E :
Tod o S istem a po p o sicio nal na ld e nu m eraci eració n tiene u na bas ba se, que qu e es un n úm ero ero n aturalm ayo r qu e la u n id ad , el cual cual in d ica la can tid ad d e un u n id ad es necesar ne cesari ias par pa ra pasar p asar d e un o rd en al a lo rd en inm edi ed iato super sup eri io r. E n fo rm a sencilla, la b ase no s ind ica la fo fo rm a com co m o d ebem ebe m o s agr ag rup ar. ar.
3 . D E S U S C I F R A S :
L as cifras son n úm ero ero s nat na tu rales que qu e si siem pre pre son son m eno res que qu e la bas b ase. e. E n b ase "n " las cifras pert p ertenece en ecen n al con co n ju n to : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ......; (n - 1)} 1)}
Observación : Valor de sus cifras Ejemplo :
V a :V alo r A b so lu to
"Cinco" se puede representar así : ;
;V
;
;5 ;
; ....etc
V R :V alo r R elativo
S I S TE MA D E N UM E R A C I Ó N C o n ju n to d e regl reglas as y prin cip io s co n ven cio n a les pa ra repr ep resentar esentar un nú m ero. ero. 4 3 2 8
Va Va Va Va
= 4 = 3 = 2 = 8
V R = VR = VR = VR =
8 unidades 2 decen decenas as 3 centenas 4 m illar ares es
11 7
Aritmética
A lgunos lg unos S i stemas Pos i ci onales de N umeraci ón B ase
S is tema tema
C ifr as a utilizar
2 3 4 5 6 7 8 9 10
B in ari ario T ernario C u ater atern n ario Q u in ario S en ario H ept ep tanari an ario O cta na rio N o na rio D ecim a l
0 ,1 0 , 1, 2 0 , 1, 2 , 3 0 , 1, 2 , 3 , 4 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 8, 9
CAMBIO DE BASE 1.
E jemplo jemplo : Expresar 2132(6) en base 10 "E l m éto d o, cons con siste en desc d esco o m po ner po linó m icam ente ente el nú m ero" ero" 2132(6 ) 2 6 3 1 6 2 3 6 2
2132(6 ) 43 2 36 18 2 2132(6 ) 48 8
REPR ESENTACI ESENTACI ÓN LITERAL LITERAL D E UN NÚMERO NÚMERO *
N um eral de 2 cifras base base 10
*
ab {10 ;11 ;12 ;.....;99 } N um eral de 3 cifras base base 5
abc
(5)
D e base base n a base 10
Rpta
O tro m éto d o : (R u ffin i)
2
3
2
6
1 + 12
78
486
2
13
81
488
Rpta
{100 10 0(5) ;101 10 1(5) ;102 10 2(5) ;...;44 4(5)}
N U ME ME R A L C A P I C Ú A :
A q u el cuya cu yas s cifras equ eq u id istan tes d e lo s extr extrem o s d el nu m eral eral so n igual gu ales.
E jemplo jemplo :
2 .
D e base base 10 a bas b ase en
xpr esarr 435 4 35 a base base 7 Ejemplo : E xpresa "E lm éto d o con co n siste en e n d ivid ir sucesivam va m ent en te en e n tre 7 , lo s resid u o s que qu e van va n q u ed an d o, in d ican las cifras del d el o rd en respecti esp ectivo ".
a ; aa ; aba ; abba ; abcba
DESC OMPOSIC OMPOSIC IÓ IÓN N POLINÓMICA POLINÓMIC A C on siste en expres expresar ar un núm nú m ero com o la sum a d e sus sus valores ores relativo s
435 7 1 62
7
6
8
7
1
Ejemplo :
435 1161 7
4326(7 ) V R (4 ) V R (3) V R (2) V R (6) 4326 (7 ) 4 7 3 3 7 2 2 71 6 7 0
3 .
D e base base n a base base m
E jemplo jemplo : En general : n u m eral d e "k" cifras de la N a k 1a k 2 a k 3 ....a 2a1a 0 (n )
41 6(8 ) a bas E xpr xp resar 416 b ase e9
"E l m éto d o, con siste en expr exp resar prim ero ero en b ase 10 y lu ego d icho resultad o a b ase 9" 9 ". 1
4
bas ba se "n"
8
N a
1
n k 1 a k 2 nk 2 ... a1 k1 a 0 k1
6
32
264
4 33
270
Lu ego 270 a base base 9 270 9 0
POR B LOQUES :
C ons on siste en descom descom poner po ner un n um eral to m and an d o con veni ven ient en tem ent en te las cifras de 2 en 2, 3 en e n 3, 3 , etc.
abcabc
(n ) (5 )
3
41 6
Ejemplos : ababab
30
(8)
ab abc
(n ) (5 )
n 5
4
3
ab
(n)
abc
(5 )
n
2
ab
(n )
9 3
330 33 0
O bservación bservación : "A m ayor ayo r num
(9)
eral eralapar apa rente,m eno rbase"
41 6 33 0 8 9
Límite de un numeral N (n ) de "k" cifras n
11 8
k 1
N (n) n k
TRILCE
Ejemplos :
¿Po r q ué se pu ed e ap a p licar elm éto d o d e R u ffin i p ara rea real lizar el cam bio bio d e base b ase di d irecto ?
10 2 abc 10 3 6 3 abcd
(6 )
64
Ejercicios :
PROPIEDADES 1. N um eral de k cifras m áxim as
* *
Expr Expresar 2531(5000) en base 500 2. Expr Expresar 3001 en base 250 3. (2500 )
C A S O S E S P E C I A LE L E S D E C A MB MB I O D E B A S E : ( n 1)(n 1)...(n 1)
777
n
1
I. D e base n a base n k :
(n)
k cifras ras
E jemplo jemplo :
k
S e to m a elnum nu m eralde la b ase ase "n" y se se sepa ra d e d erech erecha a a izq uier uierd d a gr g ru po s de "k" cifras. En E n segui segu id a, a cad a grupo grup o se apl ap lica desco d escom m p o sició n po linó m ica.
83 1
(8 )
2 .
Ejemplo : 11011011101 1a 1
(2)
= a1 + a 2+ a 3+ ....+ a k+ n 1a
2
1a
a bas b ase e8
Resolución : 3
B ase ase 2 a base 8
1a
k(n)
2
k
3
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 (2 ) Luego :
Ejemplo :
11 12
(2)
+
= 2 + 3 + 4 + 8 = 17 13 + 14 + (8)
1 2 1 3
011 01 1
1 2 1 3
101 10 1
1 4 1 5
(2)
(2)
E nto nto nces : 11011011101
(2)
3 . = a kn+ ak-1 b + a k-3 b+ .. ....+ a 2b + a 1 b+ b
ab ab k veces
Ejercicio : *
ab
3335(8 ) Rpta
C onver onvertir 2120110122
(3)
a base b ase 9
ab (n)
II. De ba base n k a base n : S e to m a cad a una u na d e las cifras k
C A M B I O D E B A S E D I R E C TO TO E xpr xp resar 13 3
(1000 )
en la bas b ase e 1001 10 01. .
d e la base b ase n y se convi con viert erte a base b ase n,tratand an d o d e obt o bten ener er grup grup o s de de "k" cifras, si algú n grup grup o n o tien e "k" cifras se com pleta con cero cero s a la izqu ierd erd a.
Ejemplo : *
1 0 0 0 1001 1001 = 1
72416
b ase e2 (8 ) a bas
1
1 1
1
(1000)
111 11 1
(1001)
3
1
2
2
1
1 1
133 13 3
3
1
3
B ase ase 8 2 a bas b ase e2 C ad a u na d e las cifras d de e la base ba se 8, se convi con viert erten a b ase 2.
7 2 1 3 2
2 2 0 1
1 1 111 (2)
4 2 0 2 2 0 1
01 0 (2)
100 (2)
11 9
Aritmética
1 2 1 0
DESC OMPOSICIÓN POLINÓMICA POLINÓMICA PARA NÚMEROS NÚMEROS P OSITIVOS MENORES QUE LA UNIDAD
6 2 0 3 2 1 1
001 (2)
110 (2)
0 ,a a a .....a 1 2 3
n
Luego : 72416
(8 )
111010100001110(2)
Ejercicio : C o n ver ve rtir (15 )3482
(16 )
a a a a 1 2 3 ... n 1
(k)
k
k
2
k
3
k
Ejemplos : *
0,24
*
0 ,371 37 1
(5 )
2 4
a bas b ase e4 (8 )
1
5
5
3 8
1
2
7 8
2
1 83
Curiosidad Matemática
E scoja coja un u n nú m ero ero cual cua lqu iera era d e la tabl ab la; p o r ejem plo el 2 2,
16
8
4
2
1
17
9
5
3
3
18
10
6
6
5
19
11
7
7
7
20
12
12
10
9
21
13
13
11
11
¡N ¡ N o entiende! . . . enton enton ceshagam haga m os ot o tro ejem plo elnúm nú m ero
22
14
14
14
13
13 , se en cuen cu ent tra en e n la segu n d a, tercer ercera a y q uin uin ta co lu m na
23
15
15
15
15
ent en to n ces :
24
24
20
18
17
25
25
21
19
19
26
26
22
22
21
27
27
23
23
23
28
28
28
26
25
29
29
29
27
27
30
30
30
30
29
31
31
31
31
31
¿D ó n d e se en e n cuen cu ent tra? ... en la p rim era, era, en la tercer ercera a y cuart cu arta col co lu m n a, ent en to n ces co co n sid era era n d o sólo la p rim era fila se cum ple : 22 = 16 + 4 + 2
13 = 8 + 4 + 1 E xpl xp liqu e co m o se fo rm a esta tabl ab la uti utilizand an d o
12 0
Numeración
n
TRILCE
E J E R C I C I O S P R O P U E S TO TO S 0 1 . S i lo s nu m eral erales est están correctam ent en te escrito s. D ar : (a + b . c) 3a a) 7 3 d ) 82
; 55 (a) ; b3
(b)
b) 6 2 e) 6 4
(c)
; 2c
09. D ar "x" en : 43 x
(5 )
xx 6
(9 )
a) 0 d) 3
c) 5 6
b) 1 e) 4
c) 2
10 . C alcular : (x + n) en : 0 2 . S i lo s sigui gu ient en tes núm nú m ero ero s so n d iferen erent tes de cero: 10 a
(4 )
; 2bc
(a )
; bb
xxx (c)
D eterm erm inar na r : a c b a) 6 d) 3
a) 1 2 d ) 10
b) 5 e) 7
(n)
b ) 11 e) 1 4
27 x c) 1 3
c) 4 11. Si: 1564(n 1) 1172(n ) H allar : n
03. Si: 15425 (a) a1
(b )
b3
(8)
a) 6 d) 8
H allar : ab a) 6 7 d ) 26
b) 6 5 e) 1 3
d) 1688(9 )
1 2 . S i 354 35 4
b) 1500(9 ) e) 1661 (9)
c) 1616(9)
a) 122 12 2
b) 14 4
d) 14 0
e) 124 12 4
(5)
(5 )
c) 143 14 3
(5)
(5 )
06 . E xpresar el m eno r nú m ero ero de 3 cifras diferent erentes es d el sistem a q u in ario al sistem a ternar erna rio. D ar la sum a d e sus cifras. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) 6 e) 9
c) 7
08 . ¿E n qu é si sistem a de n um eración , el núm ero 1 76 (de (de b ase 10) 1 0) se escribe 1 28 ? In d iq u e la base. b ase. a) 1 1 d ) 13
b) 9 e) 1 4
45 5
(n )
.
D eterm erm in ar el val va lo r d e "n "n " a) 9 d) 6
b) 8 e) 1 0
c) 7
S i: 20 a 5 a) 7 d ) 10
(b)
701 70 1(8 ) b) 8 e) 1 2
c) 9
1 4 . H allar la sum a de d e las bases en las cua cual les lo s nú m ero ero s 444 44 4 y 12 4 son igual gua les. es. a) 1 8 d ) 16
b ) 12 e) 2 0
c) 1 7
c) 3
0 7 . E l m ayo r nú m ero ero d e tres ci cifras que qu e está en bas ba se "x" "x" se escribe en e n el e l sistem a hep h ept tanari an ario com o 42 5. H allar el val va lo r d e "x". a) 5 d) 8
(n 1)
13 . H allar : a b
05 . ¿C óm o se escr escribe e n el sistem a q uinar uinari io el m eno r n úm ero ero d e 3 cifras del d el sistem a h ept ep tanar an ari io ?
(5)
c) 9
c) 3 9
04 . C o nvertir el m ayo r nú m ero ero d e 4 cifras del sistem a senar sena rio al sistem a n o n ario. a) 1881(9 )
b) 7 e) 4
c) 1 2
15 . Expres Expresar ar 2531 en b ase ase 5002 . 5000 D ar co co m o respuest espu esta u na d e las cifras obt o bten eni id as. a) 5 d) 8
b) 4 e) 9
c) 6
16 . Expres Expresar ar 35423 en base 150 0. 1498 D ar la sum a d e sus cifras (en b ase 10). 1 0). a) 3 0 0 0 d ) 2 34 34 1
b ) 3 00 2 c) 3 0 0 1 e) Im p o sib le
12 1
Aritmética
17 . Si un núm ero se esc escribe en base base 10 com o xxx y en base base 6 com o aba , ento ento nces : a) 6 d) 5
b) 2 e) 4
a + b + x es igual gua la :
c) 3
18 . aa , bb , cc y abc , so n n u m erales tales ales qu q u e letr etras d iferen eren tes son so n cifras d iferent erentes y n in gu n a es cer ce ro. S i: aa bb cc abc , elvalo r d e : a + b + c es : a) 1 9 d ) 15
b ) 18 e) 2 0
b) 3 e) 6
(6 )
b1b , el valo r d e a + b es : c) 4
2 0 . A l respon d er un a encuest en cuesta, un ganad gan ad ero ero escribe en e n la ficha ch a lo sigu ien te : N º d e to ro s N º de vacas vacas Toda Tod a de cabezas cabezas L a b ase d el sistem ganader gana dero o es :
a) 8 d) 6
b) 9 e) 7
b) 640 64 0(9 ) e) 768 76 8
(9 )
d) 758 75 8(9)
c) 68 1
(9 )
(9)
24 . S ia un núm ero entero de 6 cifras que em pieza eza con u no (1 ), se le traslad a est e ste un u n o a la d erecha erech a d e la ú ltim a cifra,se ob o b tien e ot o tro n ú m ero q u e es e s eltrip le del d elp rim ero. E l n ú m ero in icial es : a ) 1 42 42 8 67 67 d) 155497 155497
b ) 1 42 42 85 85 7 e) 134575 134575
c) 1 14 14 9 57 57
c) 1 7
19 . Si se cum cum ple que aab a) 7 d) 5
a) 573 57 3
: 24 : 32 : 1 00 a d e n um eraci eració n qu e u tiliza el
2 5 . E lm ayo r nú m ero ero d e 3 cifras en bas ba se "b" es llevad o a la base "b + 1". 1". ¿C u ál será la cifra co rrespo n d ient en te a la s uni un id ad es de de o rd en 1, d el nú m ero ero escr escrito en la b ase "b "b + 1"? a) 1 d) n
b) 2 e) b 1
c) 3
2 6 . S i a, n so n solucio nes ne s d e la ecuaci ecu ació n : (2 a)(2 a)(2 a)
(8 )
a 06
(n 1)
E nto nto nces a + n es e s igual gua la : a) 1 1 d ) 15
b) 1 3 e) 1 6
c) 1 4
c) 5 27. Si : (2a)(2a)(2 a) a 06 8
(bc)
H allar : (m + n) en : 2 1 . "A " es elconj con jun to d e lo s núm nú m ero ero s de 2 cifras en base b ase 7; "B " es elconj co nju nto nto d e lo s núm ero ero s de 3 cifras en bas ba se 4. 4. E l n úm ero de d e elem ent en to s que ti tiene en e la in ters ersecció n d e "A " y "B" "B " es : a) 2 1 d ) 35
b ) 33 c) 2 5 e) M ay a yo r q u e 3 5
2 2 . ¿C uánt uá ntas as cifras tiene el nú m ero ero :
A 77 7......77
10 0 cifras ras (8 )
a) 87 d) 90
al ser expr exp resad esad o en bas ba se 10? 1 0?
b) 88 e) 91
c) 89
23. Un granjero vende huevos huevos en cajas de 12 unidade unidades s. De la pro producció ducción n de una semana se tiene ti ene 4 gruesas, 3 docenas docenas y 8 huevos. huevos. ¿Cuál es es este núme número ro si le hacen un pedido pedido que debe entregar en cajas de 9 unidades unidades? ?
12 2
m n3
a) 8 d) 6
(c 2 )
b) 5 e) 7
28. Si : ab 00
(5 )
2(n 1)m
c) 1 1
c0 c
(8 )
H allar : a + b + c a) 9 d ) 11
b) 8 e) 1 0
c) 7
29. H allar : a + b + c S i: 6 aa
a) 1 5 d ) 17
(c)
4 bb
(8 )
b) 1 4 e) 1 8
c) 1 6
(2 a 1)
TRILCE
30 . Si se cum cum ple que : aba
36 . n 01 y n 32 son n ú m ero ero s de tres cifras y n1 es un n ú m ero d e do d o s cifras,to d o s ello s escrito s en el sistem a de base base n + 1.
ccb d8 b ccb (7 ) (9 )
S i: n 01 n1 n 32 C alcular : (a + b + c + d) a) 7 d ) 11
b) 8 e) 1 3
¿C uál es el núm nú m ero ero n 01 escri escrito en el sistem a d ecim al? c) 1 0
a) 4 0 d ) 50
31 . Si elnum eral : (a 3)(a 2)(a 3)(a 2)....(a 3)(a 2)
(8 )
E s co co nvertid o a la b ase 17, 17 , se o bserva que qu e la sum a d e sus cifras es un u n a can ca n tid ad p ar. H allar :"a" a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
37 . L a edad de u n abuel ab uelo es un n úm ero d e do s cifras y la edad ed ad d e su hij hijo tiene en e lo s m ism o s dígito s,per pe ro en o rd en invert nv ertid o. L as edad eda d es de d o s n ieto s coi co incid en con cada cad a u n a d e las cifras de d e la ed e d ad d el ab u elo. S e sab sabe, e, ad em ás, qu e la ed ad d el hijo es a la ed ad d el nieto m ayor com o 5 es a uno. H allar la su m a d e las cifras d de e la edad ed ad d e la esposa espo sa d del el hijo, sabi ab iend en d o qu e di d icha edad ed ad es la m itad d e la ed e d ad d el abu ab u elo. a) 7 d ) 10
b) 6 e) 9
c) 7
33 . Si se sabe sabe que :
9
3
C alcule la cifra d el m eno en o r o rd en al expr exp resar N en el sistem a o ctan ario. b) 0 e) 7
c) 3
C alcular : a + b + c + d + e + m a) 1 0 d ) 13
b) 1 1 e) 1 4
c) 1 2
c) 1 4
b) 2 e) 5
c) 3
39 . M arcar arcar con "V " o "F " según lo expuesto sea V erd ader ad ero o o Falso : * E l m enor eno r sistem a de n um eración es el unar una rio. * H ay infinitos sistem as de num n um eraci eración . * *
34. Si: (ab )(cd )(ce ) m em em m m 0 4 6 5 3 9
b) 8 e) 4
3 8 . C iert erta can tid ad d e di d in ero ero qu e fluctúa uctúa ent en tre S /. 12 0 y S /. 15 0 es rep repart artid a ent en tre 6 per pe rsonas, son as, d e tal m an era era q u e las can can tid ad es q u e ellas recib en so n to to d as d iferent erentes, es,m ayo res o igual gua les a 10 y m eno res que qu e 100 1 00 . S ilas cant can tid ad es recib id as po p o r cad a u n a d e las per p erson son as, se p u eden ed en exp resar u san d o las cifras a, b y 0 (a y b d iferent eren tes d e cero) cero). H allar : a + b a) 1 d) 4
N (a b )8 (4 a 1) p q m b 21
a) 4 d) 2
c) 4 9
c) 6
32 . S i el núm ero a = 200 3400 110 0010 003 (escr escrito en b ase n) se se conv co nvi iert erte al sistem a d e num n um eraci eració n d e base b ase 4 n ; o bten btenem em o s un nú m ero ero cuya cu ya tercer ercera cifra, leíd a de de d erecha a izqui zqu ierd erd a, es 6. E nto nto nces el valo r d e n es : a) 5 d) 8
b ) 42 e) 5 2
E n el sistem a de nu m eraci eración de base "b" hay n (b 1) b nú m ero ero s de "n" cifras. L a cifra de vigési gésim o or o rden d e un núm nú m ero es la decen cen a d e trilló n .
a) V V F V d ) V FF FF F
b) F V V F e) F V FF FF
c) F V F V
4 0 . S e di d ispone spo ne d e un a bal b alanz an za d e 2 plati atillo s y d e la sigui gu ient en te col co lecció n d e pesas : 1 g ; 3 2 g ; 3 4 g ; 36 g ; ....
35. Si : (a 5 )a(a 5 )
(36 )
152433 (b) ; b < 10 < a
H allar : (a b) a) 6 d) 9
b) 7 e) 1 0
c) 8
¿C uántas uántas pesas pesas com com o m ínim o se deb en u sar para para p esar esar 10 27 gram gram o s d e arr arro z si hay só lo 5 pesas d e cada cad a val va lo r? a) 9 d ) 12
b) 6 e) 5
c) 1 1
12 3
Aritmética
41 . ¿C uánt uán tos núm eros ent enteros x tienen com o pr p rod ucto de 2 cifras ras x 11 x 10 ?
a) 0 d) 6
b) 1 e) 5
48 . S e tiene : (a 3)1caa D o nd e "a" "a" es im par. par.
(b)
aba 3
(8)
D eter eterm m inar na r en cuá nto nto s sistem as de nu m eraci eració n el
c) 1 0
num nu m eral abc, se e exp xpr resa con co n 4 cifras.
4 2 . H allar la sum a d e las cifras de la sum a d e to d o s lo s
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
nú m ero ero s enter entero o s "x" cuyo cuy o prod ucto ucto d e cifras sea sea : x 2 11 x 10 ? 49. Si : aaaa a) 1 d ) 12
b) 3 e) 2 4
c) 6
b) 3 e) 6
c) 4
a) 1 d) 5
4 4 . U n nu m eral eral escr escrito en elsistem a bina binar rio tiene en e 12 cifras. ¿C u án tas cifras pu p u ed e tener en er en el sistem a no n o n ario ? b) 4 e) 5
c) 8
b ) 22 e) 2 7
(d )
(4 )
dc
c) 4
bc 0
(a b )
(a )
H allar : E + a+ b + c+ d + e a) 1 0 d ) 14
4 5 . S i 2 91 se co nvi nv iert erte a la bas ba se o nce, ¿cuánt ¿cuá ntas as cifras tiene en e en esa bas ba se? a) 2 0 d ) 26
b) 3 e) 7
50. Si : a 0(a 1)a y : eee
a) 1 0 d) 6
aa (n k)
H allar "n" m ínim o, siend o "k" el m eno r nú m ero ero cuyas d o s cifras de m eno en o r o rd en son son cifras no signi gn ificat cativas. va s. D ar co co m o respu espu est esta la sum a d e cifras.
4 3 . E ncont nco ntr rar to d o s lo s núm ero ero s naturales x, tales que el p ro d u cto d e sus su s cifras en el sistem a d ecim al sea igual gu al a 2 x 10 x 22 . D ar la sum a d e sus cifras. a) 2 d) 5
(n )
b) 1 1 e) 1 3
c) 1 2
5 1 . S i:
xxyz xx yz = 12 (7) 16 1(12) 1(20)
c) 2 4
"w " veces 1n (k6)
4 6 . C alcule el valo r d e : ab ab ab(a b) S abiend o que qu e : (a 3 )a(a 4 ) (a 3)(a 4 )a b
a) 1 0 2 1 d ) 13 3
b ) 4 00 e) 2 7 5
11
c) 1 6 0 0
(k 3 )
(k 3 1)1(d 6 )
D eterm erm inar na r la sum a d e to d o s lo s núm nú m ero ero s de 3 cifras que qu e se se pued en fo fo rm ar con a; b y c. a) 6 4 3 8 d ) 3 92 4
12 4
a) 1 0 d ) 13
b) 1 1 e) 9
c) 1 2
5 2 . S i:
47 . Si se cum cum ple que :
abcd
D ond e "n" es m áxim o. H allar : "x + y + z + w + k + n" y dar com o res respuest puesta la sum su m a d e sus su s cifras.
b ) 8 92 6 e) 3 8 6 4
c) 8 3 4 6
m np q0 q003 03
= (15 15) )(15 15) )(15 15) )0( 0(yy-2) 30 ac ab ac "2m " ac num nu m er eral ales z ab
TRILCE
56 . S abiend o que qu e el conjunt un to A tiene "n" elem entos entos y en to tal tien e abcd su su b con co n ju n to s, d o n d e : a, b , c, d son cifras pa p ares.
3
A dem ás : ayya8 (x )(x 5)(x 1) H allar : a + b + c + z a) 1 6 d ) 22 53. Si: adec
b) 2 0 e) 2 3
7
D ar la cifra d e m ayo r o rd en al con vertir el n um eral eral
c) 2 1
cba a la base "d". a) 2 d) 6
b(3 b)c11
Adem ás :
b) 4 e) 8
c) 5
57 . Si se cum cum ple que : d (a+ b ) =
PPPP
d(a+ d( a+ b)
R
abcd
+ 12
7
dcba
11
A d em ás a a, , b , c, d son d iferentes erentes ent en tre sí. H allar : a + b + c+ d
b veces d(a+ d( a+ b) e (d )
¿C u án tas cifras tien e el n ú m ero ero bebe ......be dada cifras ras
a) 1 0 d ) 13 (2d )
b ) 11 e) 1 5
c) 1 2
5 8 . ¿C uán uá n tas cifras tiene en e FF F F F...F F H d e 500 5 00 0 cifras al ser expr exp resado en el sistem a d e nu m eraci eració n d ecim al?
cuan cua n d o se rep repr resenta esenta en el sistem a d ecim al? a) 1 2 7 0 d ) 1 27 6
b ) 4 24 2 e) 1 2 7 7
c) 2 1 2 1
54 . H allar (a + b + c + d) si: abcdabcd a) 4 d ) 10
b) 3 e) 0
(5)
24664 d
c) 2
55 . Si se sabe sabe que : 12 a b ae d (b (b es par) p ar)
C alcul cu lar : da a) 7 2 d ) 90
8
e e 2 3
b) 7 6 e) 9 1
c) 8 4
a) 6 0 2 1 c) 6 0 2 3 e) M al p ro pu esto
b ) 6 01 9 d ) 6 02 2
5 9 . ¿C uál uá les elm eno r nú m ero ero ent en tero ero "x", x",tal qu e res rest tánd án d o le u n a un u n id ad a su p rim era cifra d e la izqu izqui ierda erd a "n", y aum entánd o le un a uni u nidad da d se ob tenga el pro pro du cto de (n + 2 ) p o r el n ú m ero ero "x" d espu és de d e supr sup rim ir la cifra n?. D ar co co m o respuest espu esta la cifra o rd en cero. cero. a) 3 d) 4
b) 2 e) 8
c) 6
60 . H allar el sistem a d e num n um eració n d e bas ba se 6 tod o s los n ú m ero ero s de cin co cifras, tales que qu e to to d as sus po tenci en cias d e exp o nen te ent en tero ero term erm inen en las m ism as cinco cifras. ras. D ar la sum a d e cifras de un o d e lo s nú m ero ero s qu e cum p len lo an terio r. a) 1 1 d ) 21
b) 7 e) 1 2
c) 4
12 5
Aritmética
Claves l ave ves s
12 6
0 1.
b
31. 3 1.
a
0 2.
a
32. 3 2.
a
0 3.
a
33. 3 3.
c
0 4.
d
34. 3 4.
a
0 5.
b
35. 3 5.
e
0 6.
a
36. 3 6.
c
0 7.
b
37. 3 7.
b
0 8.
c
38. 3 8.
d
0 9.
b
39. 3 9.
c
1 0.
a
4 0.
a
1 1.
d
4 1.
b
1 2.
c
4 2.
b
1 3.
e
4 3.
b
1 4.
a
4 4.
b
1 5.
c
4 5.
e
1 6.
c
4 6.
a
1 7.
e
4 7.
e
1 8.
b
4 8.
c
1 9.
a
4 9.
a
20. 2 0.
d
50. 5 0.
b
21. 2 1.
b
51. 5 1.
a
22. 2 2.
e
52. 5 2.
e
23. 2 3.
d
53. 5 3.
d
24. 2 4.
b
54. 5 4.
d
25. 2 5.
b
55. 5 5.
e
26. 2 6.
e
56. 5 6.
d
27. 2 7.
d
57. 5 7.
c
28. 2 8.
e
58. 5 8.
a
29. 2 9.
a
59. 5 9.
a
30. 3 0.
d
6 0.
a
