H i d r o s t á t i c a
L
a Hidrostática Hidrostática estudia el equilibrio de un cuerpo cuerpo en el interior de un líquido en reposo.
FLUIDO: sustancia que no mantiene una forma fija y tiene la capacidad de deformarse fácilmente, es decir no soportan directamente una fuerza (fluir). Son fluidos: los líquidos y los gases.
DENSIDAD Magnitud física escalar que es característica característica de cualquier sustancia pura. Se define como la masa de la sustancia por unidad de volumen, es decir: D=
m V
Unidad (S.I.): Kg /m3 Ejm.:
D(agua) = 103 Kg/m3 = 1 g/cm 3; (a 4 °C)
DHg = 13,6 x 10 3 Kg / m3 = 13,6 g/cm3
Densidad Relativa (D r.r ). o Gravedad Específica Específica (G.E) : En los sólidos y líquidos líquidos la densidad relativa se se comparar respecto al agua, es decir: Dr. = Ejm: (Dhg) r =
13,6 g / cm3 1 g / cm 3
densidad del cuerpo densidad del agua
= 13,6
Observación: En el caso de los gases se toma como referencia el aire. Densidad Aparente (Da):
D=
masa masa del del sist sistem emaa Volu Volume menn total total del sist sistem emaa ®
PESO ESPECÍFICO ( g ) Magnitud física escalar, cuyo módulo se define como la relación del módulo del peso de la sustancia respecto a su volumen v olumen,, y su dirección es la misma que la l a aceleración de la gravedad: g =
Unidad (S.I.) :
P V
=
mg V
N/m3
Peso Específico Relativo : En los sólidos y líquidos el peso específico específ ico relativo también se suele referir al agua, es decir: gr =
peso específico del cuerpo peso específico del agua 110
Relación entre la densidad y el peso específico Ejm:
gHg
3
3
= 13,6 x 10 Kg/m x 9,8 m/s = 1,33 x 105 N/m3
Sistema Unidades
g
2
= Dg
SI
CGS
TÉCNICO
D = m/V
Kg/m3
g/cm3
utm/m3
g = Dg
N/m3
dinas
Magnitud
AGUA:
cm
®
Kg
3
m
3
®
;
g cm 3
ìD = 10 3 Kg / m 3 = 1 g / cm 3 = 102 utm / m 3 ïï ® ® 3 Kg í 10 1 g dinas 3 ï g = 9800 N / m = 980 = = 3 3 ïî cm m cm 3
P R RE E S SI IÓ ÓN N Se define como la fuerza (F) normal o perpendicular que actúa sobre cada unidad de superficie A. p= Unidad (SI): 1 Pascal = 1 Pa = Relación con otras unidades:
F A
1 N m2
1 bar 1 atm ®
1 Kg /cm2 1 Torr 1 atm 1 utm PRESIÓN ATMOSFÉRICA :
= 105 Pa = 1,013 x 105 Pa = 9,8 x 104 Pa = 1 mm Hg = 76 cm Hg = 9,8 Kg
= 1,013 bar = 14,7 psi = 133 Pa = 10,33 m H2O
Presión que soporta un cuerpo por el peso de la atmósfera. A nivel del mar esta presión es Po = 1 atm.
PRESIÓN HIDROSTÁTICA : Presión a cierta profundidad h con relación a la superficie libre del líquido debido solamente al líquido. “
”
P = Dgh P = g h PRESIÓN ABSOLUTA:
Presión total a la profundidad h: Pa = P + Po = Dgh + Po Donde: Po es la presión atmosférica.
111
LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA La diferencia de presiones entre dos puntos de un mismo líquido es igual al peso específico por la diferencia de profundidades . “
”
p2 p1 = Dp = Dg (h2 h1) –
–
Dp = g (h2 – h1)
En un mismo plano horizontal, el valor de la presión en un líquido es igual en cualquier punto.
MEDICIÓN DE LA PRESIÓN MANÓMETRO DE TUBO ABIERTO: Es un tubo en forma de U parcialmente lleno de un líquido, utilizado para medir la presión. La presión P que se mide se relaciona con la diferencia de alturas de los dos meniscos del líquido mediante la ecuación:
PA = Po + Dgh
Donde:
Po = presión atmosférica PA = presión absoluta D = densidad del líquido pM = Dgh, es la presión manométrica (P Po)
Manómetro de tubo en U
–
112
EL BARÓMETRO: Inventando por Evangelista Torricelli. Un tubo de vidrio lleno de mercurio, se invierte dentro de una cubeta de mercurio, el nivel del mercurio asciende, dejando un espacio vacío en la parte superior del tubo, resultando que una columna de mercurio de 76 cm de altura ejerce la misma presión que la de la atmósfera. De acuerdo con la fórmula: P = Dgh PA = PB P = Po P = 13,6x103 Kgm-3x9, 8 ms-2x 0, 76 m P = 1,013 x 105 N m-2 P = 1 atm
En 1643 Evangelista Torricelli inventa el Barómetro de mercurio
Se acostumbra también utilizar la longitud de la columna de mercurio como valor representativo de la presión atmosférica, así: Po = 76 cmHg = 1 atm
Un barómetro de mercurio es un sistema preciso y relativamente sencillo para medir los cambios de la presión atmosférica. Al nivel del mar, y en condiciones atmosféricas normales, el peso de la atmósfera hace subir al mercurio 760 mm por un tubo de vidrio calibrado. A mayor altitud, el mercurio sube menos porque la columna de aire situada sobre el barómetro es menor.
Diagrama esquemático de la presión atmosférica
PRINCIPIO DE PASCAL La presión aplicada a un fluido incompresible encerrado es transmitida con igual valor a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente . “
”
Para un líquido incompresible, el cambio de presión es transmitido instantáneamente. Para un gas, el cambio de presión es transmitido a través del fluido y una vez restablecido el equilibrio (después de los cambios en volumen y/o temperatura) el principio de Pascal es válido.
113
Aplicaciones:
1) Sistemas de frenos hidráulicos que utilizan los automóviles. 2) Los elevadores y los gatos hidráulicos que se usan para levantar automóviles y otros objetos pesados.
P1 = P2 F1 A1
=
F2 A2
F L LO O T TA A C C I IÓ ÓN N Y P R RI IN NC CI I P PI IO O D E E A R RQ Q U UÍ Í M ME ED DE E S S La fuerza resultante hacia arriba que actúa sobre un objeto total o parcialmente sumergido en un líquido, ®
se denomina fuerza de flotación o empuje ( E ). Un cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza igual en magnitud al peso del volumen del fluido que desaloja . “
”
E = D g Vs E D Vs g
= = = =
Fuerza de empuje Densidad del fluido Volumen sumergido del cuerpo o volumen desalojado Aceleración de la gravedad
La línea de acción del empuje pasa por el centro de flotación del cuerpo.
PESO APARENTE Es el peso del cuerpo medido dentro de un fluido. WA = WR – E
WR = WA = E =
Peso verdadero (medida en el vacío y/o aproximadamente en el aire) Peso aparente Fuerza de empuje ó pérdida aparente de peso
114
CASOS: 1.
Un objeto flota en un fluido si la densidad del objeto es menor que la densidad del fluido.
2.
Un objeto se hunde si la densidad del objeto es mayor que la densidad del fluido.
3. Un objeto está en equilibrio sumergido a cualquier profundidad en un fluido si las densidades del objeto y del fluido son iguales. Ecuación de equilibrio para el primer caso: W = mg =
E D g Vs
Simplificando: m =
Dc V
Donde: m Dc V D Vs
= = = = =
masa del objeto Densidad de objeto Volumen de objeto Densidad del fluido Volumen sumergido o volumen desalojado
Arquímedes Arquímedes realizó grandes contribuciones a la matemática teórica. Además, es famoso por aplicar la ciencia a la vida diaria. Por ejemplo, descubrió el principio que lleva su nombre mientras se bañaba. También desarrolló máquinas sencillas como la palanca o el tornillo, y las aplicó a usos militares y de irrigación.
Blaise Pascal (1623-1662) Blaise Pascal, conocido como matemático, científico y autor, abrazó la religión hacia el final de su corta vida. De las contribuciones científicas importantes de Pascal son la deducción del llamado ‘principio de Pascal ’, que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones, y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales.
115
Ejemplos Ilustrativos:
1.
¿Cuál es la densidad relativa de un cuerpo de 14,5 Kg de masa, si el peso aparente, al estar sumergido en agua, corresponde a una masa de 12,0 Kg. a) 3,6 b) 4,7 c) 5,8 d) 6,9 e) 7,0 Solución:
Datos del problema: m m Dr ’
= 14,5 Kg = 12,0 Kg = Do/D
masa del cuerpo masa aparente (correspondiente al peso aparente) Densidad relativa del cuerpo
Aplicamos las siguientes relaciones:
WR W A = E = D g VS WR = Do g V –
Donde:
(1) (2)
’
VS = V
Dividimos miembro a miembro (2) ¸ (1)
Do g V WR m = = DgVS W R - W'A m - m'A
Do = 14,5 = 14,5 = 5,8 D 14,5 - 12 2,5 Þ
Dr. = 5,8 Rpta c
2. Un balón de vóley de 2.104 cm3 de volumen y 400 g de masa se ha sumergido completamente en agua con ayuda de una fuerza vertical F. Se desea averiguar el mínimo valor de la fuerza necesaria que la mantendría completamente sumergida (g = 10m/s 2). a) 160 N b) 164 N c) 190 N d) 196 N e) 210 N Solución:
Datos del problema: V = 2.104 cm3 = 2.10-2 m3 m = 400 g = 0,4 Kg Por las condiciones del problema se establece que la fuerza exterior F y el peso P de la pelota son equilibradas por el empuje del agua. F + P = E ® F = d g V mg –
F = 103
Kg m
F = 196 N Rpta. d
116
3
x 10
m s
2
. 2 x 10-2 m3 0, 4 Kg x 10 m/s2 –
3. En el sistema mostrado, cuando el ascensor baja a velocidad constante el empuje que actúa sobre el cuerpo parcialmente sumergido es E = 20N. Determinar la magnitud del empuje, cuando el sistema baja con una aceleración a = 5m/s2 (g = 10 m/s2). a) b) c) d) e)
10 N 15 N 20 N 25 N 30 N
Solución:
Cuando el sistema baja con velocidad constante (a = 0) E = Dliq. V. g 20 N = 1000 Kg/m 3. V. 10 m/s 2 V = 2.10-3 m3 Cuando el sistema baja con aceleración constante a
“ ”
E1 = 1000 Kg/m 3. 2.10-3 m3 (10 5) m/s2 –
E1 = 10 N Rpta. a
4. Si el sistema se encuentra en equilibrio, determine el módulo de F. Considere despreciable la masa de los émbolos y las masas de la palanca (DH2O = 1000 Kg/m 3, g = 10 m/s 2). a) b) c) d) e)
5N 6N 7N 9N 12 N
Por estar en equilibrio el sistema, la palanca debe recibir del punto del émbolo una fuerza idéntica a la que ejerce éste sobre el agua. Así mismo por el equilibrio de las presiones entre los niveles iguales en ambos pistones. Tenemos: P1 = P2
Equilibrio de la palanca
D H 2 O . GH =
F' A
F = D H O . g . H. A. F = 103. 10. 0,1. 10-2 F = 10 N ’
2
S Mo = 0
’ ’
Mhorario = Mantihorario F. 10L = F 9L ’
F = 9N Rpta D
117
HIDROSTÁTICA PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Los fluidos transmiten presiones. II. Los fluidos son compresibles. III. Los líquidos son incompresibles. IV. Los gases son compresibles. a) VVVV
b) VFVV
c) VFFV
d) VFVV
e) VFVF
2. Con respecto a los siguientes instrumentos, I. Los Barómetros miden presiones atmosféricas. II. Los Manómetros miden presiones de los fluidos. III. Los Vacuómetros miden presiones de vacío. Son verdaderas: a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) II
e) Todas
3. Con respecto a la presión hidrostática, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Depende de las propiedades del líquido. II. Depende de la profundidad a la cual se encuentra el cuerpo o punto. III. Es constante. a) VVF
b) VFV
c) VVV
d) VFF
e) FFF
4. Con respecto a la prensa hidráulica: I. Es un sistema formado por dos cilindros, con sus respectivos pistones, de diferente diámetro. II. Su funcionamiento se basa en el principio de Pascal. III. Su objetivo es multiplicar la fuerza. Son verdaderas: a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) II
5. En el sistema que se muestra, ¿Cuánto es la presión del gas, en kPa? ;
;
118
e) Todas
;
gas gas
20 cm
aceite
10 cm
a) 240
agua
b) 101,
3 7 °
m c 0 5
c) 1,4
d) 0,14
e) 105,4
6.
Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (Draceite =0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (DrHg=13.6) Para las alturas de columna. Para las alturas de columna h1 =36cm, h2 = 6cm, h3=9cm, determine la lectura de presión en el manómetro (en KPa).
Dato:
a) 108,46
b) 105,47
c) 100
d) 110,00
e) 109,36
8. Al retirar el recipiente con el aceite la indicación del dinamómetro ideal se incrementa en 24 N. Si el bloque se introduce en otro recipiente que contiene un líquido de densidad 2,5 g/cm3, ¿Cuánto indica el dinamómetro?, en N. Considere 2,9 g/cm3 y g =10 m/s2.
D
aceite
a) 16
b) 18
c) 20
d) 12
119
e) 15
9. En la figura, e muestra un bloque cúbico de 40 cm de arista. Si se coloca lentamente sobre él otro bloque de 8 kg, una vez que se alcanza el equilibrio nuevamente, ¿En cuánto varía el volumen sumergido del bloque cúbico, en litros? (g =10 m/s2).
agua
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
10. Un cubo de tecknopor descansa en el fondo de un recipiente vacío unido a una cuerda como indica la figura. Si llenamos en forma gradual al recipiente con agua, ¿Qué gráfica tensión (T) vs nivel del agua (h) medido desde el fondo representa mejor lo que sucede?
Cuerda
a)
b)
T
h
0
h
0
T
d)
h
0
T
T
0
T
e)
h
0
120
h
11. Al pesar un bloque por medio de un dinamómetro en el aire, en el agua y en un líquido desconocido se obtienen las indicaciones de 26 N, 18 N y 16 N respectivamente, ¿Qué densidad tiene el líquido desconocido, en g/cm3? (g =10 m/s2). a) 1,25
b) 1,4
c) 1,5
d) 1,75
e) 2
12. En la figura se muestra una barra homogénea en reposo sumergida parcialmente. Si la mitad de la barra está sumergida, ¿Qué relación existe entre la densidad de la barra y la densidad del líquido?
A
a)1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 1/6
e) 3/8
13. Se muestra el instante en que una pequeña esfera de densidad 4 g/cm 3 hace su ingreso al agua que hay en un gran estanque, despreciando la resistencia del agua. ¿Cuál es el alcance horizontal, en m, hasta su primer impacto con el fondo? (g =10 m/s2). 2 m/s
15 m H2 O
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
14. Un submarino emerge 1/9 de su volumen cuando flota parcialmente en la superficie del mar. Para hacerlo sumergir por completo es preciso dejar ingresar en su interior un volumen de 50 00 l de agua de mar cuya densidad es 1,026 g/cm3. ¿Cuál es el peso del submarino, en 10 6 N? (g =10 m/s2). a) 3,1
b) 4,1
c) 5,1
d) 6
e) 7
15. Un cilindro recto, macizo y homogéneo de altura 80 cm tiene una densidad de 0,9 g/cm3. El cilindro se deposita en un líquido cuya densidad es 1,2 g/cm3. ¿Determinar la altura del cilindro, en cm, que sobresale del líquido cuando se encuentra flotando y en equilibrio? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
121
16. Una pelota de vóley de 2.10 4 cm3 de volumen y 400 g de masa se ha sumergido completamente en agua con ayuda de una fuerza vertical F. ¿ Cuál es el mínimo valor de la fuerza F, en N , necesaria que lo mantendrá completamente sumergida? a) 190 b) 192 c) 196 d) 200 e) 220 17. Un bloque cúbico de madera de arista 10 cm y densidad 0,5 g/cm3 flota en un recipiente con agua. Se vierte en el recipiente aceite de densidad 0,8 g/cm3 hasta que la superficie superior de la capa de aceite se encuentre 4 cm por debajo de la cara superior del bloque. ¿Cuál es el espesor de la capa de aceite, en cm?. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 18. Un objeto es soltado desde una altura h respecto al nivel libre de un líquido. Si se observa que dicho objeto se detiene justo en el fondo luego de desacelerar uniformemente su movimiento, calcular en qué relación se encuentran la densidad del cuerpo con la del líquido. Despreciar toda forma de rozamiento. h
h H2 O
a) 1
b) 1/2
c) 3/2
d) 2/3
e) ¾
19. Se tiene dos esferas A y B cuyas densidades son 800 kg/m3 y 1200 kg/m3 en un recipiente que contiene agua. La esfera B se abandona desde la superficie y A desde el fondo del recipiente. Determine que esfera llega primero al otro extremo. (g =10 m/s2). a) B b) A c) Las dos llegan al mismo tiempo. d) Falta conocer sus masas. e) Falta conocer sus volúmenes. 20. Dentro de un ascensor que asciende con una aceleración igual a 5 m/s 2 se tiene un recipiente con agua de 7,5 cm de altura. Si del fondo del recipiente se suelta una esfera, determine el tiempo que demora en llegar a l a superficie, en s. (g =10 m/s2; ) a) 0,05
b) 0,1
c) 0,15
d) 0,2
e) 0,25
122
