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4.2 Torsión y Esfuerzo de Corte 4.2.1 Resistencia a Torsión Pura El análisis de secciones de hormigón sometidas a torsión pura está basado en la respuesta de un tubo de pared delgada previo al agrietamiento, y en la combinación de lo anterior con una analogía de un reticulado espacial una vez agrietado el elemento. a) Torque de Agrietamiento Consideremos una sección sometida a torsión: T
Sabemos que: q = T/(2Ao) (flujo de corte)
t Flujo de corte, q
= T/(2Aot) (tensión de corte)
T
con t = espesor del tubo equivalente Ao = área encerrada por la línea media del tubo equivalente de espesor t Las tensiones de corte , dan origen a tensiones principales de magnitud
El torque de agrietamiento, Tcr , es aquel que produce
T cr = 1,06 f c ' ( 2 Ao t )
1=
1=
y
2=
–
f t’ = 1,06(f c’)0.5, luego:
(1)
Definamos: Acp = área encerrada por el perímetro de la sección de hormigón (bh sección rectangular) Pcp = perímetro de la sección de hormigón (2b + 2h sección rectangular) Las siguientes figuras ilustran los valores de A cp y Pcp
Rectangular Sólida Acp = área achurada
Rectangular Hueca
Doble T
Pcp = perímetro del área achurada
Experimentalmente se ha comprobado que: Espesor tubo equivalente:
t = 0,75 A cp / P cp
Ao = 2 A cp / 3
1
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Reemplazando en la ecuación (1), se obtiene:
Acp2 ( 2) T cr = 1,06 f c ' P cp Diversos resultados experimentales muestran la siguiente correlación:
T cr ensayos = 1,28 x T cr form 2 _
σ
= 0,16
Para secciones sometidas simultáneamente a Torsión y Compresión Axial, P
Acp2 P 1+ T cr = 1,06 f c ' 1,06 A g f c ' P cp
(3)
b) Comportamiento Post-Agrietamiento, Resistencia Ultima Una vez producido el agrietamiento, la resistencia a torsión proviene de los estribos, la armadura longitudinal y el hormigón agrietado del perímetro externo. Seguimos aceptando que,
= T/(2Aot)
Empíricamente, Ao = 0,85Aoh, en que Aoh es el área encerrada por los estribos mas externos t = Aoh/Ph = espesor equivalente Ph = perímetro del eje central de los estribos. Las figuras siguientes ilustran los valores de Aoh y Ph
Rectangular Sólida
Rectangular Hueca
Aoh = área achurada
Doble T
Ph = perímetro del área achurada
2
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La torsión produce grietas inclinadas que se desarrollan en forma de espiral a lo largo del eje del elemento. La Figura 1a, muestra el elemento agrietado y las tensiones de compresión diagonal actuando sobre la sección de hormigón. La Figura 1b muestra la idealización del elemento agrietado mediante un reticulado espacial, cuyo mecanismo de resistencia está compuesto por las barras longitudinales, los estribos, y puntales de hormigón en compresión T T
x0
Grietas Estribos
y0
θ
θ
T Barra Longitudinal
V1 V2
V4
V3
T
Fuerza longitudinal de tracción (a) Analogía de tubo de pared delgada
(b) Analogía de Reticulado Espacial
Figura 1 Tubo de Pared Delgada y Analogía de Reticulado Espacial El ancho y alto del reticulado se designa por xo e yo respectivamente. La inclinación, θ, de las grietas es inicialmente muy cercana a 45° El flujo de corte en la pared de la sección de espesor, t es q = T/(2Ao) luego, la fuerza de corte en las caras verticales se puede evaluar como: V2 = V4 = qyo = Tyo/(2Ao)
(4)
( análogamente V1 = V3 = qxo = Txo/(2Ao) )
La Figura 2, muestra una de las caras verticales, en la que la grieta es atravesada por “ n” estribos espaciados a “s “s”, que pueden aportar resistencia limitada por A Tf y (AT = área del estribo) ATf yv yv ATf yv yv V2
y0
Figura 2 Trozo 2 Trozo de pared vertical del Reticulado Espacial
θ s
y0cotgθ 3
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Por equilibrio vertical se tiene:
V 2 = nAT f yv =
AT f yv y o cot θ
(5 )
s
Igualando (4) con (5) y despejando T,
2 Ao AT f yv cot θ
T s = T n =
=
s
1,7 Aoh AT f yv cot θ s
( Form . 11 − 21 ACI 318 )
El análisis que sigue permite determinar el refuerzo longitudinal requerido. La Figura 3 muestra la fuerza V2 que se ha descompuesto en D2 (fuerza tomada por los puntales de hormigón) y una fuerza de tracción N2 resistida por la armadura longitudinal. N2 /2 D2 y0
c
V2
N2
θ
y0cosθ
N2 /2
Figura 3 Descomposición 3 Descomposición del Esfuerzo V2 del Reticulado
Se tiene:
D 2 =
V 2
N 2 = V 2 cot g θ =
sin θ
T s y o cot θ 2 Ao
( 6)
Reconociendo que el flujo de corte que da origen a V 2 es constante, D2 y N2, actúan en el punto medio del lado de longitud yo, por lo tanto la fuerza N2 es resistida por partes iguales por la armadura longitudinal en cada extremo. Componentes similares, N1, N3 y N4 se producen en los 3 lados restantes (obviamente N 2 = N4 y N1= N3). Se tiene, en forma análoga:
N 1 = V 1 cot g θ =
T s x o cot θ 2 Ao
(7 )
La fuerza total de tracción resulta entonces:
N = 2( N 1 + N 2 ) =
2T s ( x o + y o ) cot θ 2 Ao
=
T s P h cot θ 2 Ao
(8)
4
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La máxima tracción que puede resistir la armadura longitudinal es:
N = A L f y
(9)
Igualando (8) con (9) se obtiene la cantidad necesaria de acero longitudinal de tracción:
A L =
T s P h cot θ 2 Ao f y
ecuación que por conveniencia para diseño la expresamos en función de la armadura transversal:
A L =
AT f yv s f y
P h cot 2 θ
( Form . 11 − 22, ACI 18)
Notas : • El ACI 318 permite usar cualquier valor de entre 30° y 60° en las ecuaciones 11-21 y 11-22.
• La cantidad total de armadura longitudinal AL, no necesariamente debe disponerse en las esquinas; es conveniente distribuirla uniformemente en el perímetro (x perímetro (xo, yo).
4.2.2 Torsión y Esfuerzo de Corte Simultáneo, Resistencia Ultima El ACI supone que la contribución del hormigón ( Vc ) a Esfuerzo de Corte no se ve influenciada por la presencia de torsión. Para diseño a Esfuerzo de Corte (V ( Vn = Vc + Vs), con el fin de prevenir una falla por compresión diagonal en el hormigón y limitar el espesor de las grietas de corte, la contribución del acero se limita a un máximo dado por:
V s max = 2,12 f c ' bw d El mismo criterio, en términos de tensiones, se aplica al caso de torsión y corte simultaneo, limitando la tensión media de corte a:
vmax ≤ vc + 2,12
f c '
(10 )
con
vc =
V c b w d
En la sección hueca de la Figura 4, las tensiones debidas a Tu son
vT =
T u 2 Ao t
=
T u 2(0,85 Aoh )( Aoh / P h )
=
T u P h
v torsión
2 1,7 Aoh
y las debidas a Vu son,
vV =
V u
v corte
b w d
Fig 4 Sección 4 Sección Hueca
5
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Reemplazando en (10) se tiene:
V u b w d
+
T u P h 2 oh
1,7 A
≤
V c b w d
+ 2,12 f c '
( Form . 11 − 19 ACI 318 )
Secció Secciónn Hueca Hueca
Nota : • Si el espesor real de la sección, tREAL , es inferior a Aoh/Ph, el término de torsión debe reemplazarse por Tu/(1,7AohtREAL)
En la sección llena de la Figura 5, notamos que las tensiones de torsión “actúan” sólo en el espesor equivalente, en cambio, las de esfuerzo de corte se distribuyen en todo el espesor. Por esta razón la suma directa de las tensiones resulta demasiado conservadora, usamos como criterio de superposición la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados:
v torsión
2
v corte
2
T P V u V + u h2 ≤ c + 2,12 f c ' bw d bw d 1,7 Aoh
( Form . 11 − 18 ACI 318 )
Sección Sección Llena Llena
6
