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B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R ado

Día a día en el aula Recursos didácticos y atención a la diversidad

Matemáticas ESO

Día a día en el aula para 1. º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Dionisio Escobar Ana María Gaztelu Augusto González Esther Mayoral Francisco Morillo Andrea Pastor EDICIÓN María de los Ángeles Agudo César de la Prida Laura Sánchez EDICIÓN EJECUTIVA Lola Núñez Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Mercedes Rubio Domingo Sánchez

Índice

¿Por qué SABER HACER? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Claves del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Recursos didácticos y Atención a la diversidad Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Unidad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Unidad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Unidad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Unidad 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 Unidad 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 Unidad 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 Unidad 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006 Unidad 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

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¿Por qué SABER HACER? Todos tenemos una pasión. Desde su fundación, hace más de 50 años, Santillana no ha dejado de trabajar, investigar, realizar productos y servicios y buscar innovaciones que mejoren la educación, como forma de construir un mundo mejor para todos. El fruto de este compromiso ha sido una larga historia de grandes proyectos educativos. Proyectos concebidos desde la realidad social y académica existente en cada momento, nacidos con vocación de acompañar a los alumnos en su aventura de aprender y de dotar a los profesores de todas las herramientas y recursos necesarios para llevar a cabo la tarea de educar. Así, nuestro nuevo proyecto, SABER HACER, surge como respuesta a una nueva ley educativa, la LOMCE, y a los intensos cambios que se están produciendo en todos los aspectos de nuestra vida. Hoy, más que nunca, en la sociedad de la información, en un mundo cada vez más global, regido por un cambio rápido y constante, la educación marca la diferencia. Vivimos un presente de grandes interrogantes que merecen grandes respuestas. Hay que educar hoy a los ciudadanos de un mañana que está por construir. La educación se ha centrado tradicionalmente en la enseñanza de contenidos, se trataba de saber. Hoy, la comunidad educativa es consciente de que hay que dar un paso adelante: además de saber hay que SABER HACER. El aprendizaje por competencias es el modelo elegido para alcanzar con éxito los nuevos objetivos que la sociedad reconoce como necesarios en la educación de niños y adolescentes. Saber comunicar, interpretar, deducir, formular, valorar, seleccionar, elegir, decidir, comprometerse, asumir, etc. es hoy tan importante como conocer los contenidos tradicionales de nuestras materias. Necesitamos trabajar con ideas, ser capaces de resolver problemas y tomar decisiones en contextos cambiantes. Necesitamos ser flexibles, versátiles, creativos… Pero el nombre de la serie tiene un segundo significado. Para superar el reto que tenemos por delante, Santillana va a aportar todo su SABER HACER, va a estar al lado de profesores y alumnos, ofreciendo materiales, servicios, experiencia… para garantizar dicho éxito.

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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Las claves del proyecto SABER HACER EL OBJETIVO: QUE LOS ALUMNOS ADQUIERAN LAS COMPETENCIAS QUE NECESITA UN CIUDADANO DEL SIGLO XXI Todos somos conscientes de que la sociedad actual requiere unas capacidades muy diferentes de las que se demandaban hasta hace poco tiempo. Necesitamos personas capaces de: • Hacerse preguntas pertinentes. • Informarse a través de fuentes diversas, textuales o gráficas, lo que implica: – Buscar información. – Interpretar esa información de forma coherente con el tipo de fuente. • Pensar reflexiva, crítica y creativamente. • Crearse una opinión, un juicio y tomar decisiones adecuadas. • Comunicarse oralmente y por escrito. • Hacer conexiones: conectar lo aprendido con la vida real (próxima o lejana) y conectar los saberes de las distintas materias entre sí. • Participar y comprometerse, dar servicio a la comunidad. • Trabajar cooperativamente con otros. • Tener siempre presente la perspectiva ética, tener inteligencia emocional y ética. • Aprender a lo largo de la vida. Este objetivo se materializa en la estructura de las unidades didácticas del material del alumno y en los distintos proyectos que conforman la Biblioteca del Profesorado.

UNA METODOLOGÍA CENTRADA EN EL ALUMNO, PARA QUE ESTE ALCANCE UNA VERDADERA COMPRENSIÓN Y SE CONVIERTA EN UNA PERSONA COMPETENTE El proyecto SABER HACER combina lo mejor de la tradición escolar y las aportaciones de las nuevas metodologías. La escuela debe ser capaz de desarrollar saberes sólidos, puesto que solo es posible pensar y actuar sobre aquello que conocemos con profundidad, pero también de educar personas que conviertan el conocimiento en acción y con sólidas habilidades sociales y morales. En el proyecto SABER HACER: • El alumno es el centro de su propio aprendizaje: se hace preguntas, busca información y se informa, participa, aprende a controlar su aprendizaje, emprende proyectos… • Se combinan actividades sencillas y tareas de mayor complejidad, excelentes para desarrollar las competencias, enseñar a pensar a los alumnos, resolver problemas y situaciones reales, desarrollar el pensamiento creativo… • Se incorpora el aprendizaje cooperativo como elemento destacado, tanto en actividades dentro del libro del alumno, como en proyectos específicos de la Biblioteca del profesor. • Se desarrolla el aprendizaje por proyectos, tanto en el material del alumno como en proyectos específicos de la Biblioteca del Profesorado. • Se busca una educación que vaya más allá de lo académico, que plantee situaciones que fomenten la participación de los alumnos, el emprendimiento y que el alumno se involucre en su realidad cotidiana, en los problemas y realidades del centro escolar, de su barrio, pero también a escala global y planetaria. En definitiva relacionar aprendizaje y servicio a la comunidad, aprendizaje y compromiso social. Esta variedad de planteamientos del proyecto SABER HACER convierte el aula en un escenario de experiencias diversas y enriquecedoras para el alumno. 6


UNA ESCUELA INCLUSIVA, EN LA QUE TODOS DESARROLLEN SUS CAPACIDADES Y TALENTOS Para ello, los libros del alumno disponen de secciones de ampliación y refuerzo, y la Biblioteca del Profesor de planes de apoyo y refuerzo para los alumnos con dificultades y un programa de profundización para aquellos que pueden ir más allá.

UN POTENTE SISTEMA DE EVALUACIÓN COMO GARANTÍA DE ÉXITO La evaluación siempre ha tenido un papel destacado en la escuela. A lo largo de las últimas décadas se ha ido imponiendo una concepción de la evaluación continua y formativa, cuyo objetivo es detectar las dificultades de los alumnos a fin de decidir mecanismos que les permitan superarlas. El papel de la evaluación se va a ver reforzado con la LOMCE, una de cuyas innovaciones es la introducción de evaluaciones externas que todos los alumnos deben pasar en determinados hitos de su vida escolar. El proyecto SABER HACER incluye: • Pruebas de evaluación de contenidos y pruebas de evaluación por competencias para todas las materias, relacionadas con los estándares de aprendizaje. • Rúbricas de evaluación. • Distintas herramientas informáticas: – Deberes, para el seguimiento diario de los alumnos – Generador de pruebas – Informes y estadísticas – Biblioteca de pruebas externas, nacionales e internacionales

LA ATENCIÓN ESPECIAL A LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN En los libros del alumno y la Biblioteca del Profesorado son recurrentes las actividades y tareas que requieren el uso de las TIC. La enseñanza digital se ve potenciada por nuestros productos digitales, LibroMedia y LibroNet, y por el Aula Virtual, un entorno digital con productos, aplicaciones y servicios para alumnos y profesores.


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En qué se concreta el proyecto SABER HACER NUEVOS LIBROS PARA UNOS NUEVOS TIEMPOS Libros con una secuencia didáctica centrada en el propio alumno, en la adquisición de competencias y en los presupuestos del pensamiento creativo: • El punto de partida de las unidades didácticas lo dedicamos a, por una parte, recordar los contenidos esenciales que el alumno necesita conocer para comprender los nuevos contenidos que va a estudiar en la unidad, y por otra, a plantear una situación motivadora que muestra la utilidad de los contenidos que se van a estudiar. – Claves para empezar. Aparecen los contenidos pertenecientes a cursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para que el alumno comprenda lo que va a estudiar. Además, mediante la realización de las actividades propuestas, se podrá afianzar los contenidos repasados. – Vida cotidiana. Se muestra la historia, las utilidades y curiosidades de algunos inventos cotidianos. En torno a ellos se plantea una situación problemática en la que su resolución requiere de la aplicación de alguno de los contenidos conocidos para el alumno que sirve como introducción a los contenidos que se van a estudiar • A continuación, se desarrollan los contenidos de la unidad didáctica. Junto al contenido conceptual se incluyen una serie de programas innovadores: – SABER HACER recoge el aprendizaje de los procedimientos y destrezas, paso a paso, que se relacionan directamente con los contenidos que se están tratando. Saber y SABER HACER forman, por tanto una unidad de aprendizaje, no se presentan desligados. – Resuelve el reto plantea un problema relacionado con los contenidos expuestos en el que su resolución se basa más en la intuición y el razonamiento que en el conocimiento conceptual. – Al final de cada página de contenidos se proponen actividades clasificadas en tres niveles: ■

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Practica. Son actividades que se resuelven de forma prácticamente exacta el procedimiento que se ha estudiado. Aplica. Son actividades en las que se tendrá que aplicar ese procedimiento. Reflexiona. Una vez que el procedimiento estudiado se ha adquirido y aplicado, se propone una reflexión sobre él.

• En las actividades finales de la unidad el alumno repasa los contenidos principales de la unidad y se verifica, mediante el apartado debes saber hacer, si ha alcanzado los estándares de aprendizaje. En estas páginas se formulan ejercicios y problemas organizados por contenidos y cuyos enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad. • Las páginas finales de la unidad se dedican a la competencia matemática. Estas páginas permiten realizar tareas en las que se integran todos los contenidos estudiados. – En la vida cotidiana. Se analizan situaciones problemáticas reales que ponen a prueba las capacidades matemáticas del alumno. Estos problemas, relacionados con el invento mostrado en el punto de partida de la unidad, muestran la utilidad práctica de todo lo aprendido. – Formas de pensar. Razonamiento matemático. Se formulan actividades de investigación en las hay que descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que se acaban de estudiar. – Proyecto final. Trabajo cooperativo. Se plantean supuestos reales con los que un alumno se puede encontrar en tu vida diaria. Se establecen distintas fases para la resolución en grupo de estos supuestos. – Pruebas PISA. Actividades extraídas de las pruebas internacionales de PISA, o formuladas con los mismos criterios, referentes a los contenidos de la unidad. 8


UNA BIBLIOTECA DEL PROFESORADO, QUE ATIENDE TODAS LAS NECESIDADES DE LOS DOCENTES Para su día a día en el aula: • Programación didáctica. • Recursos didácticos para cada unidad: – Esquema de la unidad. – Curiosidades matemáticas. – Notación matemática. – Estrategias de resolución de problemas. – Proyecto matemático. – Matemáticas con ordenador. – Resumen de la unidad. – Actividades de repaso y apoyo. – Actividades de profundización. – Solucionario del libro del alumno. • Tutoría, 22 sesiones por curso para apoyarle en esta labor. Competencias del siglo XXI. Proyectos y tareas para su desarrollo • Literatura y Matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática. • Proyecto de trabajo cooperativo e interdisciplinar. • Proyecto social. • Inteligencia emocional y ética. • La prensa en el aula (más herramienta digital). Sistema de evaluación • Pruebas de evaluación de contenidos. • Pruebas de evaluación por competencias. • Rúbricas. • Generador de pruebas (herramienta digital). • Biblioteca de pruebas de evaluación externa, nacionales e internacionales (biblioteca digital).

UNA POTENTE OFERTA DIGITAL • Aula Virtual Santillana, un entorno de servicios educativos. • LibroNet, un auténtico libro digital, que permite sacar el máximo partido a las nuevas tecnologías de la información. Tiene un útil complemento en papel, el Cuaderno de estudio, que facilita el estudio de los alumnos. • LibroMedia, el libro en papel enriquecido con recursos digitales y potentes herramientas. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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unidad 1

Programación didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Guion de la Unidad y recursos didácticos . . . . . . . . . . 27 Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Curiosidades matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Notación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Matemáticas con ordenador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Resumen de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Enseñanza individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Repaso y apoyo • Objetivo 1. Conocer la estructura del sistema de numeración decimal . . . 44 • Objetivo 2. Hacer aproximaciones de números naturales . . . . . . . . . . . . 45 • Objetivo 3. Manejar las propiedades de las operaciones con números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 • Objetivo 4. Comprender el concepto de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 • Objetivo 5. Operar con potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 • Objetivo 6. Calcular raíces cuadradas exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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Recursos para la evaluación de contenidos . . . . . . . . 57 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 • Control A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 • Control B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Estándares de aprendizaje y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Recursos para la evaluación por competencias . . . . . 69 Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Estándares de aprendizaje y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Rúbricas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Solucionario del libro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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Programación didáctica

Presentación

El modelo de Programación Didáctica de Aula de Santillana El presente documento ofrece un ejemplo del modelo de Programación Didáctica de Aula (PDA) de Santillana para el área de Matemáticas de 1.º de ESO. La programación pretende ser una herramienta que facilite a los profesores las siguientes tareas: • Planificar su trabajo de forma eficaz. • Reflexionar sobre el proceso de aprendizaje de los alumnos. • Establecer pautas claras para la evaluación. En relación con la PDA se ha desarrollado un riguroso sistema de rúbricas para la evaluación. El conjunto de materiales compuesto por las programaciones didácticas de aula y las rúbricas para la evaluación constituye un apoyo muy valioso para orientar el trabajo docente y facilitar su aplicación en el aula. La Programación Didáctica de Aula que recoge este documento está elaborada sobre el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre de 2014, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. Las competencias educativas del currículo ‹‹En línea con la Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente, este real decreto se basa en la potenciación del aprendizaje por competencias, integradas en los elementos curriculares para propiciar una renovación en la práctica docente y en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Se proponen nuevos enfoques en el aprendizaje y evaluación, que han de suponer un importante cambio en las tareas que han de resolver los alumnos y planteamientos metodológicos innovadores. La competencia supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz. Se contemplan, pues, como conocimiento en la práctica, un conocimiento adquirido a través de la participación activa en prácticas sociales que, como tales, se pueden desarrollar tanto en el contexto educativo formal, a través del currículo, como en los contextos educativos no formales e informales››. ‹‹Se adopta la denominación de las competencias clave definidas por la Unión Europea. Se considera que “las competencias clave son aquellas que todas las personas precisan para su realización y desarrollo personal, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo”. Se identifican siete competencias clave esenciales para el bienestar de las sociedades europeas, el crecimiento económico y la innovación, y se describen los conocimientos, las capacidades y las actitudes esenciales vinculadas a cada una de ellas››. Las competencias clave del currículo son las siguientes: • Comunicación lingüística (CL). • Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT). • Competencia digital (CD). • Aprender a aprender (AA). • Competencias sociales y cívicas (SC). • Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (IE). • Conciencia y expresiones culturales (CEC).

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Objetivos curriculares de la Educación Secundaria a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada. j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural. k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.


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Presentación

Bloques de contenidos En cada una de las áreas curriculares, los contenidos, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje aparecen organizados en bloques. Matemáticas Las Matemáticas constituyen una forma de mirar e interpretar el mundo que nos rodea, reflejan la capacidad creativa, expresan con precisión conceptos y argumentos, favorecen la capacidad para aprender a aprender y contienen elementos de gran belleza. Sin olvidar además el carácter instrumental que las Matemáticas tienen como base fundamental para la adquisición de nuevos conocimientos en otras disciplinas, especialmente en el proceso científico y tecnológico y como fuerza conductora en el desarrollo de la cultura y las civilizaciones. [ ... ] Por tanto, las Matemáticas dentro del currículo favorecen el progreso en la adquisición de la competencia matemática a partir del conocimiento de los contenidos y su amplio conjunto de procedimientos de cálculo, análisis, medida y estimación de los fenómenos de la realidad y de sus relaciones, como instrumento imprescindible en el desarrollo del pensamiento de los individuos y componente esencial de comprensión, modelización y transformación de los fenómenos de la realidad. Por otra parte, las Matemáticas contribuyen a la formación intelectual del alumnado, lo que les permitirá desenvolverse mejor tanto en el ámbito personal como social. La resolución de problemas y los proyectos de investigación constituyen ejes fundamentales en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. La habilidad de formular, plantear, interpretar y resolver problemas es una de las capacidades esenciales de la actividad matemática ya que permite a las personas emplear los procesos cognitivos para abordar y resolver situaciones interdisciplinares reales, lo que resulta de máximo interés para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de resolución e investigación están involucradas muchas otras competencias, además de la matemática. [... ] El currículo básico de Matemáticas no debe verse como un conjunto de bloques independientes. Es necesario que se desarrolle de forma global pensando en las conexiones internas de la asignatura tanto a nivel de curso como entre las distintas etapas. En el desarrollo del currículo básico de la asignatura de Matemáticas se pretende que los conocimientos, las competencias y los valores estén integrados; de esta manera, los estándares de aprendizaje evaluables se han formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos elementos. El bloque de «Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas» es un bloque común a la etapa y transversal que debe desarrollarse simultáneamente al resto de bloques de contenido y que es el eje fundamental de la asignatura. Se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la matematización y modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de medios tecnológicos. Los contenidos del área de Matemáticas se estructuran en los siguientes bloques: • Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. • Bloque 2. Números y Álgebra. • Bloque 3. Geometría. • Bloque 4. Funciones. • Bloque 5. Estadística y probabilidad.

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Modelo de Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. 1.er curso de Educación Secundaria UNIDAD 1. Números naturales OBJETIVOS CURRICULARES a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD •

Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer el sistema de numeración decimal y la numeración romana, estableciendo equivalencias entre ambos sistemas. Deben resolver operaciones de aproximación de números naturales. Los alumnos resolverán, según las reglas, operaciones combinadas con números naturales, con potencias y con raíces, así como con paréntesis; aplicarán los cálculos a la resolución de problemas.

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Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos conocen los números naturales y sus operaciones básicas, así como el cálculo elemental de potencias. Identifican algunos números romanos y saben expresar sus equivalencias con los números naturales.

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Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para aplicar el orden correcto de las operaciones con paréntesis, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Prevenir para que no confundan el orden correcto de resolución, especialmente, cuando hay paréntesis.


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Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.

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Propiedades de las operaciones con números naturales; propiedades de la suma y la multiplicación; propiedades de la resta y la división. Potencias de números naturales. Operaciones con potencias. Potencias de base 10; descomposición polinómica de un número. Producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente. Expresar productos y cocientes de potencias como una sola potencia. Raíz cuadrada; raíz cuadrada exacta; raíz cuadrada entera. Operaciones combinadas con potencias y raíces.

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Potencias de números enteros y fraccionarios con exponente natural. Operaciones.

Potencias de base 10. Utilización de la notación científica para representar números grandes.

Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.

Jerarquía de las operaciones.

Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.

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Aproximación de números. Aproximación de números naturales; aproximación por truncamiento; aproximación por redondeo.

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Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica y operaciones. Operaciones con calculadora.

Sistema de numeración; sistema de numeración decimal; sistema de numeración romano.

B2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

B2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

Potencias de números naturales. Operaciones con potencias. Potencias de base 10; descomposición polinómica de un número. Producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente. Expresar productos y cocientes de potencias como una sola potencia.

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B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Propiedades de las operaciones con números naturales; propiedades de la suma y la multiplicación; propiedades de la resta y la división.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES

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CONTENIDOS DE LA UNIDAD

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BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Planificación del proceso de resolución de problemas.

•

BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

CONTENIDOS CURRICULARES DEL ÁREA

CONTENIDOS

Sugerencia de temporalización: 2 últimas semanas de septiembre y 2 primeras de octubre


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B1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

B1-6.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

B1-6.2. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático: identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.


Comprende la situación planteada en un problema, investiga; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números, datos y tomando decisiones relacionadas con la vida cotidiana.

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números potencias y raíces de números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos relacionados entre sí.

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos relacionados entre sí.

INDICADORES DE LOGRO

BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS Y ACTITUDES EN MATEMÁTICAS

Pág. 26 Act. 149

Pág. 25 Acts.145 a 148

Pág. 25 Acts.137 a 144

Pág. 24 Acts.125 a 136

ACTIVIDADES

IE

CSC

AA

CD

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

COMPETENCIAS

20


B2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.


B2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

B2-1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.


BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Realiza operaciones con números naturales y aproxima números naturales por truncamiento y por redondeo. Resuelve operaciones, aplicando la jerarquía, en las que aplica las propiedades de la suma, la multiplicación, la resta y la división de números naturales. Calcula el valor de potencias de números naturales y utiliza las potencias de base 10 para realizar la descomposición polinómica de un número. Utiliza correctamente la calculadora para resolver potencias sencillas.

•

•

•

Lee y escribe números romanos y sus equivalentes en el sistema de numeración decimal.

•

•

Lee, escribe, compone y descompone números naturales, según sus órdenes de unidades.

•


Pág. 26 Acts. 150 a 153

Pág. 12 Acts.15 a 18

Pág. 11 Acts. 11 a 14

Pág. 10 Acts. 8 a 10

Pág. 9 Acts. 5 a 7

Pág. 8 Acts. 1 a 4

ACTIVIDADES

AA

CD

CMCT

CL

AA

CMCT

CL

COMPETENCIAS


21

B2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con potencias.

B2-3.1. Realiza operaciones combinadas entre números enteros, decimales y fraccionarios, con eficacia, bien mediante el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o medios tecnológicos utilizando la notación más adecuada y respetando la jerarquía de las operaciones.

B2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.


B2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.


BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (CONTINUACIÓN)

Realiza correctamente operaciones combinadas con potencias, raíces sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis. •

Utiliza correctamente la calculadora para resolver raíces cuadradas sencillas.

•

Resuelve correctamente operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis.

Calcula correctamente la raíz cuadrada exacta y la raíz cuadrada entera, expresando el resultado del resto con precisión.

•

•

Realiza correctamente operaciones con producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente, aplicando las reglas básicas y expresando el resultado como una sola potencia.

•


Pág. 19 Acts. 50 a 55

Pág. 18 Acts. 46 a 49

Pág. 17 Acts. 38 a 45

Pág. 16 Acts. 32 a 37

Pág. 15 Acts. 26 a 31

Pág. 14 Acts. 22 a 25

Pág. 13 Acts.19 a 21

ACTIVIDADES

CSC

AA

CMCT

CL

AA

CD

CMCT

CL

COMPETENCIAS

22


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

 Motivación.  Personalización.  Inclusión.  Interacción.  Significatividad.

 Talleres.

 Aprendizaje cooperativo.

 Trabajo por tareas.

 Trabajo por proyectos.

 Otros.

 Otros.

 Evaluación formativa.

 Globalización.

 Funcionalidad.

 Participación.

 Modelo experiencial.

PRINCIPIOS METODOLÓGICOS  Actividad y experimentación.

 Modelo discursivo/expositivo.

MODELOS METODOLÓGICOS

OTROS ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN AGRUPAMIENTO

 Otros.

 Grupo interclase.

 Gran grupo.

 Pequeño grupo.

 Parejas.

 Agrupamiento flexible.

 Tareas individuales.


23

TRABAJO COOPERATIVO

RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN

Comprar un teléfono y contratar una tarifa acorde con tus necesidades (pág. 27).

Proyecto de trabajo cooperativo de primer trimestre: Magos.

•

 Otros.

 Elaboraciones multimedia.

 Representaciones y dramatizaciones.

 Proyectos personales o grupales.

 Debates e intervenciones.

 Otros documentos gráficos o textuales.

 Pruebas de evaluación externa.

 Evaluación por competencias, pruebas correspondientes a la unidad.

 Evaluación de contenidos, pruebas correspondientes a la unidad.

 Elemento de diagnóstico: rúbrica de la unidad.

INSTRUMENTOS PARA LA EVALUACIÓN

•

 Otros.

 Valoración cualitativa del avance colectivo.

 Valoración cuantitativa del avance colectivo.

 Valoración cualitativa del avance individual (anotaciones y puntualizaciones).

 Valoración cuantitativa del avance individual (calificaciones).

 Análisis y valoración de tareas especialmente creadas para la evaluación.

 Observación directa del trabajo diario.

PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN

Pruebas de evaluación de contenidos.

•

•

Observación directa.

Pruebas de evaluación por competencias.

Calificación cualitativa: tendrá como clave para el diagnóstico la rúbrica correspondiente a la unidad.

•

Calificación cuantitativa:

SISTEMA DE CALIFICACIÓN

24


TRANSVERSALES

CONTENIDOS

Valores personales. El cuidado de los objetos de uso personal: la agenda de teléfono (pág. 26).

Educación cívica y constitucional. Saber algunos números de teléfono importantes: emergencias, policía, etc. (pág. 26).

Emprendimiento. Expresar productos y cocientes de potencias con una sola potencia (pág. 15); Calcular la raíz cuadrada de un número (pág. 17); Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces (pág. 19); Calcular el divisor de una división en la que conocemos el dividendo, el cociente y el resto (pág. 21); Calcular el radicando de una raíz conociendo su raíz entera y su resto (pág. 23); Resolver problemas en que los datos están relacionados (pág. 24) y Proyecto final: Comprar un teléfono y contratar una tarifa acorde con tus necesidades (pág. 27).

El tratamiento de las tecnologías de la Información y de la Comunicación. Manejo del teléfono (págs. 7 y 26) y utilizar la calculadora (págs. 11, 17 y 26).

Comunicación audiovisual. El teléfono (págs. 6, 7, 26 y 27); Imágenes de niños explicando diversos conceptos matemáticos (págs. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 y 18); Cuadros explicativos de conceptos matemáticos con ejemplos (págs. 11, 12, 13, 14, 16 y 18).

Expresión oral y escrita. Reflexión y aplicación del uso del teléfono en la vida cotidiana, en función de las cifras posibles de un número incompleto (pág. 26).

Comprensión lectora. Texto inicio de la unidad: El teléfono (págs. 6 y 7).

Guión de la unidad y sugerencias didácticas

1

GUION DE LA UNIDAD Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

NÚMEROS NATURALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD Números naturales

Sistemas de numeración

Decimal

Romano

Aproximación

Trucamiento

Redondeo

Propiedades de las operaciones con números naturales

Suma y multiplicación

Resta y división

Potencias

De números naturales

Operaciones con potencias

De base 10

Descomposición polinómica de un número

Producto y cociente de potencias con igual base

Potencias de exponente 1y0

Potencia de una potencia

Producto y cociente de potencia de distinta base

Raíz cuadrada

Raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada entera

Operaciones combinadas

28


1


NÚMEROS NATURALES

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Sistemas de medida El sistema de medida más extendido en el mundo es el Sistema Métrico Decimal, que sirve para medir las magnitudes que nos rodean, y cuya unidad de longitud, el metro, es apropiada a la altura de nuestro cuerpo. Un sistema de medidas debe ser adecuado a las magnitudes que queremos medir y al entorno que nos rodea. Hagamos ahora un ejercicio de imaginación y supongamos unos seres inteligentes y de un tamaño medio de 2 ? 10-12 metros. ¿Qué unidad de medida de longitud utilizarían y cuáles serían en su unidad nuestras distancias habituales? Parece lógico entonces que utilizaran una unidad, que llamaremos «mini» en lo sucesivo, cuya equivalencia con el metro fuera: 1 mini = 10-12 metros. Con esa unidad, una persona de 1,70 metros de altura mediría 1,7 billones de minis (1,7 ? 1012). Asimismo, una caminata en la que una persona recorriera 4 kilómetros, medida en minis, sería: 4 ? 103 ? 1012 = 4 ? 1015 minis. Y dos ciudades distantes entre sí 300 km, estarían a la distancia de 300 ? 103 ? 1012 = 3 ? 1017 minis. Además, para medir distancias para las que nosotros usamos los múltiplos del metro, ellos tendrían que utilizar una unidad mucho mayor que el mini (como a nosotros nos ocurre con las distancias estelares).

Evolución histórica de la potencia Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x. Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna: x, x 2, x 3…

Los Pitagóricos No se sabe quién descubrió los números irracionales, pero los pitagóricos, a finales del siglo V a.C., conocían la condición de irracionalidad de 2 (números inconmensurables).


29

1


NÚMEROS NATURALES

NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos?

Indica que el número romano bajo la línea está multiplicado por 1 000.

L, M

¿Qué significa?


a+b

Indica la suma de dos números naturales.

a>b

Señala una relación entre dos números naturales. El primero, a, es mayor que el segundo, b.

a
Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es menor que el segundo, b.

¿Qué significa? Señala el producto de dos números.

12 # 7

Se refiere al producto de dos números o las dimensiones de un rectángulo (12 unidades de ancho por 7 unidades de largo).

¿Qué significa?

n

a = a? a?…? a 144424443 n veces

a = a1

30

b

A veces, cuando nos referimos a un número que no conocemos y que queremos hallar, lo designamos por x, y, z...

El producto de dos números se Indica por un punto (?). Aunque también se puede representar por el símbolo #, este se usa para especificar las dimensiones de un rectángulo.


Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

Es la potencia de 1.

Una cifra sin exponente es lo mismo que esa cifra elevada a 1.

¿Qué significa? a=

Los números naturales se representan mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras a, b, c..., aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.


12 ? 7

n an = a ? a ? … ?a

Cuando usamos la notación romana, para escribir números a partir de 4 000 usamos una línea encima de los números para indicar que están multiplicados por 1 000, así L = 50 000 y M = 1 000 000.

¿Cómo lo escribimos? El número a es la raíz cuadrada del número b.

En esta expresión, b es un cuadrado perfecto y, por tanto, a es un número natural.


1


NÚMEROS NATURALES

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Método de ensayo y error Estrategia

E l método de ensayo y error consiste en aplicar las condiciones del enunciado a un posible resultado, operación o propiedad, hasta encontrar el objetivo o comprobar que este no es posible. Aunque en estos problemas se suele empezar eligiendo los valores al azar, después de los primeros ensayos los valores no se eligen así, sino que se tienen en cuenta los ensayos realizados.

PROBLEMA RESUELTO 1

El producto de tres números naturales consecutivos es 2 730. ¿Cuáles son dichos números?

Planteamiento y resolución

Escribimos la serie de números naturales y vamos probando ordenadamente con cada terna de números consecutivos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, … 0 ? 1 ? 2 = 0 1 ? 2 ? 3 = 6 2 ? 3 ? 4 = 24 3 ? 4 ? 5 = 60 … Como los números resultan muy inferiores a 2 730, hacemos pruebas cogiendo números más altos, como por ejemplo 20, 21 y 22. 20 ? 21 ? 22 = 9 240

Como ahora resultan números muy superiores a 2 730, probamos, por ejemplo, con la terna 14, 15 y 16. 14 ? 15 ? 16 = 3 360

Vemos que nos hemos pasado por poco, y probamos con la terna anterior, es decir, con 13, 14 y 15. 13 ? 14 ? 15 = 2 730

Los tres números naturales cuyo producto es igual a 2 730 son 13, 14 y 15.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

El producto de tres números pares consecutivos es 1 680. ¿Cuáles son dichos números?

2

Al multiplicar tres números impares consecutivos, y dividir este resultado por su suma, el cociente obtenido es 15. ¿Cuáles son estos números?

3

Al sumar tres múltiplos consecutivos de 3 y dividir este resultado entre 6, el cociente es 12. ¿Cuáles son los tres múltiplos?

4

Un número, su doble y su triple suman 126. ¿Qué tres números son?

5

Cuatro hermanas suman en total 129 años, la diferencia de edad entre las edades de las tres primeras es de dos años entre ellas y de la tercera a la cuarta distan 9 años. ¿Cuáles son sus edades?

6

Coloca en cada círculo los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, de tal forma que la suma de los números de cada lado del triángulo sea igual al número del centro.

10


31

1


NÚMEROS NATURALES

PROYECTO MATEMÁTICO Códigos numéricos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Utilizar códigos para llamar por teléfono. • Reconocer el ISBN como el código internacional del libro. • Observar la utilización de los códigos en las matrículas de los coches. • Crear códigos numéricos propios.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

Los números de teléfono Una de las utilidades de los números naturales es transmitir información en forma de códigos. Hay códigos numéricos que utilizamos constantemente, como, por ejemplo, los números de teléfono.

En España, desde 1998 todos los números de teléfonos fijos, salvo los números especiales, tienen nueve cifras y empiezan por 8 o por 9. Asimismo, están formados por un prefijo de 2 o 3 cifras y el número de cada abonado.

Si llamamos desde el extranjero tenemos que añadir el número 34 al principio del número del abonado.

b) Sabiendo que el prefijo de Cuenca es 969, ¿cuáles de estos códigos telefónicos no son de Cuenca? 969238769 9691345976 960123444 34969111943 349698842323

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Imagina que quieres llamar desde el extranjero a una persona de Burgos cuyo número de abonado es 11 11 11. ¿Qué código tienes que marcar si el prefijo de Burgos es 947?

2

EL ISBN Observando cualquier libro, vemos que en la cubierta aparecen las letras ISBN seguidas de un grupo de números. El ISBN es el número con el que quedan catalogados los libros. Está formado por 13 dígitos, divididos en cuatro grupos y separados por guiones:

978 – 84 – 294 – 6823 – 6

El primero grupo se añadió de en 2007, para que fuese compatible con el EAN-13, que es el código de otros productos, en este caso 978 indica que el producto es un libro. El segundo grupo es el identificador del país; 84, que corresponde a España. El tercer grupo, 294, es el identificador de la editorial que ha realizado el libro, la Editorial Santillana. El cuarto grupo, de 4 cifras, 6823, es el correspondiente al libro que lleva el código. El quinto grupo, de 1 cifra, es el dígito de control, y sirve para comprobar si el resto de grupos es correcto.

2.º Sumamos los productos anteriores: 9 + 21 + 8 + … + 24 + 2 + 9 = 134

El dígito de control se obtiene de esta forma.

1.º El primer número se multiplica por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3 y así hasta llegar al último número del cuarto grupo.

32

En el ejemplo: 9 ? 1 = 9 7 ? 3 = 21 8 ? 1 = 8 8 ? 3 = 24 4 ? 1 = 4 2 ? 3 = 6 9 ? 1 = 9 4 ? 3 = 12 6 ? 1 = 6 8 ? 3 = 24 2 ? 1 = 2 3 ? 3 = 9

3.º El dígito de control es el valor que se debe añadir a la suma para hacerla divisible por 10. Tras 134 el siguiente número divisible entre 10 es 140: 134 + 6 = 140. Hay que añadir 6 para tener un número divisible entre 10, el dígito de control es 6, que se corresponde con el dígito que teníamos. HAZ LA SIGUIENTE ACTIVIDAD. Comprueba si los siguientes ISBN son correctos o no. Si no lo son, corrige el dígito de control. 978–2–7118–3008–9 978–0–307–71977–5 978–84–15945–09–3 978–84–294–6736–2


1 3


NÚMEROS NATURALES

Las matrículas

Otro de los códigos más comunes son los números que identifican los coches, es decir, la matrícula.

El actual sistema de matrículas utilizado en España es similar al de otros países de la Unión Europea. El tamaño de la matrícula es de 52 # 11 cm e incluye la letra E de España sobre la bandera de la Unión Europea, más una combinación de cuatro números (de 0000 a 9999) y tres letras (comenzaron por BBB y terminarán en ZZZ). Cuando se acaban los números para una combinación de letras, se pasa a la siguiente.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuál fue la primera matrícula del sistema actual? ¿Y la segunda? ¿Y la tercera? ¿Cuáles serán la penúltima y última matrículas con este sistema? b) Observa estas matrículas y señala las que son falsas. E 0008 ABB

E 10001 BTT

E 2345 ZZZ

E 4587 ZÑA

E 11224 CCC

E 0000 CXZ

c) Inventa otro sistema de matriculación.

En este sistema se excluyen las vocales, y Ñ y Q, por confundirse con la N y con la O y el número 0, respectivamente.

4

Otros códigos numéricos Existen códigos numéricos que a veces tenemos que crear nosotros mismos: por ejemplo, el PIN del teléfono móvil, el número secreto de una tarjeta de crédito, etc.

e) Si añadimos al código un nuevo grupo de números a la derecha con los números 0 (si tiene el pelo moreno), 1 (rubio) y 2 (pelirrojo), describe a los alumnos representados por estos códigos.

Para evitar que se nos olviden utilizamos una combinación de números que tengan algún significado para nosotros, aunque hay que tener cuidado de que este no sea muy obvio para evitar que sean usados de manera fraudulenta.

13 – 06 – 2 – 2 13 – 08 – 1 – 1 13 – 07 – 1 – 0 13 – 09 – 2 – 1

Observa el siguiente ejemplo de código numérico para los alumnos de una clase de 1.o ESO:

f ) Crea tú ahora un código que permita saber, a quien lo conozca, el curso en que está un estudiante, si practica deporte, cuántos hermanos tiene y el medio de transporte que usa habitualmente para ir al colegio. Pon algunos ejemplos.

13 – 07 – 1 El primer grupo de cifras por la izquierda indica la edad del alumno, en este caso 13. El siguiente grupo señala la nota media obtenida en Matemáticas en el curso anterior, un 7, y el tercero, el sexo del alumno, 1 si es una chica y 2 si es un chico. Así, el alumno representado por este código es una chica de 13 años que sacó un 7 de nota media el año pasado. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Describe el alumno representado por cada uno de estos códigos, según el modelo del ejemplo. 13 – 05 – 2 14 – 06 – 1 13 – 09 – 2 13 – 07 – 1 b) Indica por qué estos códigos no son correctos. 23 – 05 – 1 13 – 13 – 2 13 – 07 – 3 13 – 4 – 1 c) El método utilizado para representar a los alumnos, ¿asocia a cada alumno un único código? d) ¿Pueden existir dos chicas que tengan el mismo código? ¿Y dos chicos? ¿Y una chica y un chico? DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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1


NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

OpenOffice. CALC es.openoffice.org

1

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

156 : 15 f) 256 : 16 329 : 9 d) 255 : 11 e) 32 173 : 3 b) 267 : 4 c) 1 a) 1

Copiamos los números en las columnas A y B y con Cociente() definimos el cociente en C2.

2

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda D2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2.

4

Lo pegamos en el resto de celdas de su columna.

3

Escribe dos números en A1 y B1. Define después las funciones:

5. Repetimos el proceso con la celda D2 y las celdas de su columna, y obtenemos el resto de todas las divisiones.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES 1

Sigue las indicaciones detalladas en el ejemplo.

2

Copia la tabla en una hoja de cálculo.

• Si conocemos el divisor, el cociente y el resto, define:

Dividendo = divisor ? cociente + resto

• Si conocemos el dividendo y el cociente:

Divisor = COCIENTE(dividendo;cociente)

Resto = RESIDUO(dividendo;cociente) 34

= COCIENTE(A1;B1)

en las celdas siguientes, C1 y D1.

Escribe el doble de los números en A2 y B2, el triple en A3 y B3, y así sucesivamente.

Copia y pega las fórmulas de las celdas C1 y D1 en las celdas siguientes de su columna.

Observa la relación entre los números.

= RESIDUO(A1;B1)


1


NÚMEROS NATURALES


OpenOffice. CALC es.openoffice.org

PASO A PASO 1

1

En la columna A los dividendos y en la columna B los correspondientes divisores.

Para definir el cociente en la celda C2 utilizamos la función Cociente(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =Cociente(A2;B2), que da como resultado 57.

2

2

3

3

4

Para definir el resto en la celda D2 utilizamos la función Residuo(dividendo;divisor). En la celda D2 copiamos la fórmula =Residuo(A2;B2), que da como resultado 2.

Para obtener el resto de cocientes en la columna C, utilizamos los comandos Copiar y Pegar. Con el cursor sobre la celda C2 y tras presionar en la barra superior la opción Editar aparece un menú, en el que seleccionamos la opción Copiar.

4

5

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1.

Para pegar la fórmula copiada en el paso anterior, seleccionamos las celdas de la columna C, desde C3 a C7, y con cursor sobre el área seleccionada presionamos en la barra superior la opción Editar y seleccionamos la opción Pegar en el menú que aparece. Tras realizar esta operación aparecen los cocientes de todas las divisiones indicadas.

5

Repitiendo el proceso indicado en los puntos 3. y 4. para los elementos de la columna D, obtenemos los restos de cada una de las divisiones indicadas.


35

1


NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR 1

Microsoft Office. EXCEL

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 173 : 3 b) 267 : 4 c) 1 329 : 9 d) 255 : 11 e) 32 156 : 15 f) 256 : 16 1

Copiamos los números en las columnas A y B y con Cociente() definimos el cociente en C2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2.

2

4

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda D2.

Lo pegamos en el resto de celdas de su columna.

5. Repetimos el proceso con la celda D2 y las celdas de su columna, y obtenemos el resto de todas las divisiones.

ACTIVIDADES PRACTICA 1

2

36

INVESTIGA 3

Calcula el cociente y el resto. a) 1 233 : 7

c) 5 555 : 22

b) 4 518 : 13

d) 6 542 : 13

Halla los términos que faltan en estas divisiones. a) Divisor = 25

Cociente = 33

b) Dividendo = 256

Cociente = 25

Resto = 2

Pon un ejemplo de dividendo y divisor, y calcula el cociente y el resto. Después, multiplica por 2, 3, 4 y 5 el dividendo y el divisor anteriores. Calcula de nuevo los correspondientes cociente y resto. ¿Qué le pasa al cociente y al resto de una división si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número?


1


NÚMEROS NATURALES



PASO A PASO 1

1

En la columna A los dividendos y en la columna B los correspondientes divisores.

Para definir el cociente en la celda C2 utilizamos la función Cociente(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =Cociente(A2;B2), que da como resultado 57.

2

2

3

3

4

Para definir el resto en la celda D2 utilizamos la función Residuo(dividendo;divisor). En la celda D2 copiamos la fórmula =Residuo(A2;B2), que da como resultado 2.

Para obtener el resto de cocientes en la columna C, utilizamos los comandos Copiar y Pegar. Con el cursor sobre la celda C2 y tras presionar el botón derecho del ratón aparece un menú, en el que seleccionamos la opción Copiar.

4

5

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1.

Para pegar la fórmula copiada en el paso anterior, seleccionamos las celdas de la columna C, desde C3 a C7, y con cursor sobre el área seleccionada presionamos el botón derecho del ratón y seleccionamos la opción Pegar en el menú que aparece. Tras realizar esta operación aparecen los cocientes de todas las divisiones indicadas.

5

Repitiendo el proceso indicado en los puntos 3. y 4. para los elementos de la columna D, obtenemos los restos de cada una de las divisiones indicadas.


37

1


NÚMEROS NATURALES



PRÁCTICA EXCEL Abre un libro de trabajo EXCEL y guárdalo cuando acabes la Práctica en tu carpeta personal con el nombre NUMEROS_1. Nombre de la Hoja

con el botón derecho del ratón y cambia Pulsa sobre la pestaña el nombre de esta Hoja por Unldad01_01 (obsérvalo al margen). 1

Escribe las etiquetas: dividendo, divisor, cociente... de las celdas A1 a D1.

2

Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D, y modifícalas con el ratón en la Intersección de dos de las columnas hasta que veas las etiquetas, por ejemplo, con un ancho de 12.00: .

3

Introduce los números del ejercicio en las celdas: 987, 4.

4

Selecciona con el ratón la celda C2. A partir de las dos ventanas de Diálogo que se ven en el margen, escribe la fórmula siguiente para encontrar el cociente de 987 y 4. Observa que aparece en la celda el cociente entero.

5

Para copiar esta fórmula en las celdas C3 a C5:

Contenido

a) Sitúate en la celda C2 y pulsa las teclas CTRL-C. b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y pulsa las teclas CTRL-V. Sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que ves es A3/B3; y en C4, B4/C4, etc. Fíjate en que se ha copiado la referencia de la celda A2 y no su contenido. 6

Escribe la fórmula siguiente en la celda D2: =A2-B2*C2.

7

Copla esta fórmula en las celdas D3, D4 y D5 para hallar el resto.

Puedes buscar funciones pulsando en . Aparecerán todas las funciones de Excel. Busca y selecciona la que te interese, luego sigue las instrucciones.

Función Cociente

ACTIVIDADES 1

APLICA: Continúa la tabla escribiendo los números siguientes. Columna A

…

40

80

120

160

200

Columna B

…

6

10

15

21

28

3

Investiga si hay alguna función que sirva para decir el resto sin necesidad de escribir la fórmula que hemos usado en el ejemplo.

¿Hay algún resultado que dé resto 0? ¿Qué significa? 2

38

APLICA: Haz una tabla en que los dividendos sean los números del 1 al 100 y usando el procedimiento aprendido para calcular el cociente y el resto con Excel, indica cuáles de los números entre 1 y 100 son divisibles entre 6.

Utiliza la tecla de función para averiguar que otras funciones existen en Excel. Indica cuáles son las que sirven para realizar las operaciones básicas entre números naturales.

4

FINAL Guarda el libro con los datos Introducidos en la hoja de cálculo con " y nómbralo NUMEROS 1.


1


NÚMEROS NATURALES

RESUMEN DE LA UNIDAD Sistemas de numeración

Aproximación

Sistema romano

Sistema decimal

– Aditivo. – Cifras: I, V, X, L, C, D, M.

– Posicional. – Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. – Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

Truncamiento: Sustituir por cero las cifras de órdenes inferiores al seleccionado

Redondeo: 1.º Observar la cifra de orden siguiente al que se quiere redondear: – Mayor o igual que 5 " sumar una unidad a la cifra del orden del redondeo. – Menor que 5 " mantener la cifra como está. 2.º Después, truncar el número obtenido.

Propiedades:

Operaciones con números naturales

Suma y multiplicación

– Conmutativa: a + b = b + a

a ?b=b?a

– Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (a ? b) ? c = a ? (b ? c) – Distributiva: a ? (b + c) = a ? b + a ? c

Resta

El sustraendo más la diferencia es igual al minuendo

Dividendo = divisor ? cociente + resto División

• Exacta: El resto es cero. • Entera: El resto es distinto de cero.

Producto: a n ? a m = a n+m

División: a n : a m = a n-m n m

Potencia de una potencia: (a ) = a a 0 = 1 (a ! 0) Potencias Base

a n

Exponente

n?m

a1 = a

Producto y cociente de potencias de distinta base: (a ? b)n = an ? bn (a : b)n = an : bn Potencias de base 10 de exponente un número natural: es igual a la unidad seguida de tanto ceros como indica el exponente. Descomposición polinómica: producto de las cifras de un número multiplicadas por la potencia de base 10 correspondiente a su orden: 1 977 = 1 ? 103 + 9 ? 102 + 7 ? 101 + 7 ? 100

Raíz exacta: Si Raíz cuadrada


a = b, entonces b2 = a .

Raíz entera: Ejemplo: La raíz entera de 34 es 5. 52 < 34 < 62. El resto es 34 - 52 = 34 - 25 = 9

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes. 2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.


39

Enseñanza individualizada Repaso y apoyo Profundización

Presentación

Enseñanza individualizada Los alumnos y las alumnas son muy diversos, tanto por su nivel académico como por sus intereses y grado de motivación. Las fichas de esta sección tienen como objetivo proporcionar recursos para atender a la diversidad del alumnado. Las fichas de repaso y apoyo proponen trabajar los conceptos fundamentales de cada unidad didáctica atendiendo a los distintos tipos de dificultades que obstaculizan el aprendizaje. • Objetivo de aprendizaje. Cada ficha trabaja un objetivo concreto. Estos objetivos son los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deberían alcanzar. • Síntesis teórica. Cada ficha se inicia con una explicación teórica, relativa al objetivo de aprendizaje que se pretende trabajar. Esta síntesis es muy concreta y está escrita en un lenguaje sencillo. • Ejemplo resuelto. La mayoría de las fichas proponen un ejercicio de ejemplo mediante el que el alumno o la alumna pueden comprobar el funcionamiento del concepto o del procedimiento trabajado y encontrar un modelo en el que basarse para realizar las siguientes actividades propuestas. • Actividades propuestas. Con estas actividades los alumnos podrán aplicar y practicar los contenidos y técnicas expuestas, ejemplificadas y que necesitan reforzar. Las fichas de profundización están dirigidas a los alumnos y alumnas que pueden ir más allá del nivel medio del aula o bien a aquellos alumnos que manifiestan un interés especial por determinados aspectos de las Matemáticas. Presentan una metodología indagatoria y plantean sencillas investigaciones.


43

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

CONOCER LA ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Nombre:

Curso:

Fecha:

El sistema de numeración decimal tiene dos características: 1.a Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente. 2.a Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número. MILLONES (MM)

MILLARES (M)

Centena Decena Unidad Centena de millón de millón de millón de millar CMM

DMM

? 10

UMM

? 10

Decena de millar

Unidad de millar

Centena

Decena

Unidad

DM

UM

C

D

U

CM

? 10

UNIDADES (U)

? 10

? 10

? 10

? 10

? 10

ACTIVIDADES 1

Observa el siguiente número y completa. UMM

CM

DM

UM

C

D

U

8

7

0

6

2

6

5 F

.................. unidades

F

.................. unidades

Se lee ...................................................................................................

2

Expresa con cifras los números y colócalos en orden. a) Tres millones cuatrocientos cinco mil ciento veinte. b) Cincuenta mil ochocientos treinta y nueve.

UMM

CM

DM

UM

C

D

U

c) Mil seis. d) Doscientos ocho mil quinientos setenta y siete. e) Diecisiete mil novecientos cincuenta y dos. f ) Tres mil quinientos cincuenta y siete. g) Doce. h) Setecientos treinta y dos.

44

dÍA A dÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

HACER APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

Truncar un número a un cierto orden consiste en sustituir por ceros las cifras de los órdenes inferiores a él. Para redondear un número a un cierto orden nos fijamos en la cifra del orden siguiente: • Si es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando. • Si es menor que 5, mantenemos la cifra como está. Después, se trunca el número obtenido.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Truncamiento a las unidades de millar

Redondeo a las unidades de millar

Truncamiento a las centenas

Redondeo a las centenas

148 521 49 050 121 814 31 990 7 552

2

3

Indica si se produce un truncamiento o un redondeo y a qué orden de unidades. a) 111 077 " 100 000

c) 27 107 " 30 000

e) 55 548 " 56 000

b) 115 " 110

d) 98 765 " 98 000

f ) 64 981 " 64 900

Se realizó una encuesta sobre los hábitos de los alumnos de varios centros de una zona, con estos resultados:

Estudiantes en total en los centros de la encuesta: 1 008

Estudiantes encuestados: 798

Estudiantes encuestados que reciclan habitualmente: 543

Estudiantes encuestados que participan en las tareas del hogar: 701

Estudiantes encuestados que duermen de media 6 horas o menos: 99

Con esta información una revista local publicó el siguiente texto: «Se encuestaron casi 800 alumnos de los 1 000 de los centros escolares de la zona. Alrededor de 700 afirman participar en las tareas del hogar. La cifra desciende cuando se trata de hábitos de reciclaje, ya que no llega a 550 el número de alumnos con este hábito. Sobre los hábitos de descanso podemos afirmar que son bastante saludables, ya que solo 100 de los alumnos duermen de media 6 horas o menos.»

Compara las cifras de la encuesta y las del texto e indica qué tipo de aproximación se hizo en cada caso.


45

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

MANEJAR LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

La suma y multiplicación de dos o más números se puede realizar de distintas maneras sin que el resultado varíe. Son las propiedades conmutativa y asociativa.

EJEMPLO Alberto y Martín juntaron en una cesta las manzanas que habían recolectado. Alberto recolectó 8 manzanas y Martín, 11. ¿Cuántas manzanas hay en la cesta? Conmutativa: 8 + 11 = 19 = 11 + 8 El resultado no varía, no importa que el primer sumando sean las manzanas recolectadas por Alberto o las recolectadas por Martín, el total de manzanas en la cesta es el mismo. Ana tiene un bar y las botellas vacías las mete en cajas, en cada caja caben 12 botellas vacías, estas cajas las apila en montones de 4 y cuando tiene 3 montones llama al distribuidor para que se las lleve. ¿Cuántas botellas se lleva? Asociativa: 3 · (4 · 12) = (3 · 4) ? 12 = 504 El resultado no varía independientemente de cómo agrupemos los números, no importa si calculamos primero cuántas botellas hay por montón (4 · 12) y luego calculamos las botellas según los montones que hay o si primero calculamos las cajas que hay (3 · 4) y luego vemos cuántas botellas en total en función de las cajas.

ACTIVIDADES 1

Completa. a) 8 + 9 = 9 + ......... ......... = ......... b) ........ ? 15 = 15 ? .........

45 = .........

c) 9 + ......... = ......... + .........

10 = .........

d) ......... ? 6 = ......... ? ......... ......... = 48 2

Completa. a) 12 ? 4 ? 2 = 12 ? (4 ? 2) = 12 ? 8 = 96 12 ? 4 ? 2 = (12 ? 4) ? 2 = ......... ? 2 = ......... b) 7 + 10 + 3 = 7 + (10 + 3) = ......... + ........ = ......... 7 + 10 + 3 = (7 + 10) + 3 = ......... + ........ = ......... c) 11 ? 5 ? 6 = 11 ? 5 ? 6 = d) 3 + 5 + 10 + 12 3 + 5 + 10 + 12 3 + 5 + 10 + 12 = (3 + 5) + (10 + 12) = 8 + ........ = ........

46


1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

MANEJAR LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

En una resta: el sustraendo más la diferencia es igual al minuendo. En toda división se cumple que: D = d ? c + r (propiedad fundamental de la división) La división puede ser: • Exacta. Su resto es cero: r = 0. • No exacta o entera. Su resto no es cero: r ! 0 y r < d.

EJEMPLO Comprobación de la resta: 456 - 123 = 333 Sustraendo: 123, diferencia: 333 " 123 + 333 = 456 ! Minuendo Comprobación de la división: División exacta

3

4

5

División no exacta

288 24

96 25

48 12 0

21 3

288 = 24 ? 12

96 = 25 ? 3 + 21

r=0

r = 21 y 21 < 25

Comprueba si estas restas están bien realizando una suma a) 1 501 - 556 = 945

c) 832 - 47 = 795

e) 1 211 - 1 110 = 101

b) 987 - 789 = 198

d) 234 - 54 = 190

f ) 429 933 - 365 888 = 54 045

Indica cuáles de estas divisiones están bien, sin realizar la división. a) 835 : 255 = 3 con resto 70

c) 1 497 : 499 = 3 con resto 0

b) 701 : 9 = 77 con resto 1

d) 31 974 : 2 004 = 16 con resto 1 914

Completa estas tablas: Dividendo

Divisor

350

5

54

Cociente

30

Divisor

41

4

105

9 4

Dividendo


2

Cociente

Resto

10

5

7

1

47

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

Nombre:

Curso:

Fecha:

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

EJEMPLO En el gimnasio del colegio hay 4 cajas de cartón, cada una de las cuales contiene 4 redes con 4 pelotas en cada red. ¿Cuántas pelotas hay en total? 4 cajas, 4 redes y 4 pelotas 4 ? 4 ? 4 = 64 pelotas Esta operación la podemos expresar de la siguiente manera. 43 = 4 ? 4 ? 4 43 es una potencia.

Una potencia está formada por una base y un exponente. Base: factor que se repite. F

4 3 F

Exponente: número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma. F Se lee: «Cuatro elevado al cubo».

3

Por tanto: 4 = 4 ? 4 ? 4.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Potencia

Base

Exponente

35

Se lee Tres (elevado) a la quinta

4

6

10

3 Cinco (elevado) a la sexta

2

3

4

48

Resuelve con la calculadora. ¿Qué observas en los ejercicios a) y b), y en las actividades c) y d)? a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 54

c) 20 ? 20 ? 20 ? 20 ? 20 ? 20 =

e) 4 ? 4 ? 4 =

b) 7 ? 7 ? 7 =

d) 6 ? 6 =

f ) 3 ? 3 ? 3 =

Escribe como producto de factores iguales. a) 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 2

c) 82 =

e) 74 =

b) 63 =

d) 105 =

f ) 55 =

Halla el valor de las siguientes potencias. a) 32 = 3 ? 3 = 9

d) 24 =

g) 92 =

b) 43 =

e) 103 =

h) 53 =

c) 94 =

f ) 108 =

i ) 63 =


1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Escribe con números. a) Seis elevado al cuadrado =

b) Diez elevado a la cuarta =

Potencias de base 10 • Las potencias de base 10 y cualquier número natural como exponente son un caso especial de potencias. • Se utilizan para expresar números muy grandes: distancias espaciales, habitantes de un país, etc. Potencia

Expresión

Número

Se lee

102

10 ? 10

100

Cien

10 ? 10 ? 10

1 000

Mil

10 ? 10 ? 10 ? 10

10 000

Diez mil

10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

100 000

Cien mil

10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

1 000 000

Un millón

10

3

104 10

5

106

6

7

Expresa en forma de potencia de base 10 los siguientes productos. a) 10 ? 10 ? 10 =

c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

b) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

d) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

Completa. Número

Producto de dos números

Con potencia de base 10

15 ? 100 4 ? 106 13 000 000

La descomposición polinómica de un número es igual a la suma de los productos de sus cifras multiplicadas por la potencia de base 10 correspondiente a su orden

EJEMPLO Escribe la descomposición de 5 612. 5 612 = 5 ? 103 + 6 ? 102 + 1 ? 101 + 2

8

Escribe la descomposición polinómica de 43 931 y 902 274.

9

Indica de que número es la descomposición polinómica 4 ? 104 + 2 ? 103 + 102 + 101 + 2.


49

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

OPERAR CON POTENCIAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base. Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1.

ACTIVIDADES 1

Calcula estas potencias a) 50 = b) 51 = c) 52 = d) 53 = e) 54 =

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: a) 35 ? 32 = 35 + 2 = 37

2

b) 1033 ? 10321 ? 10312 = 1033 + 21 + 12 = 10336

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) 57 ? 53 =

c) 714 ? 721 =

e) 45 ? 44 ? 49 =

b) 174 ? 172 =

d) 113 ? 11 = f ) 2615 ? 26 ? 263 =

Para dividir dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: a) 35 : 32 = 35 - 2 = 33

3

b) 2313 : 232 : 2310 = 2313 - 2 - 10 = 231 = 23

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) 57 : 53 =

c) 721 : 714 =

e) 413 : 44 : 49 =

b) 174 : 172 =

d) 113 : 11 = f ) 2615 : 269 : 265 =

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: (35)2 = 35 ? 2 = 310

4

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) (57)8 =

50

b) (721)3 = c) ((4 15) 3) 2 dÍA A dÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6

CALCULAR RAÍCES CUADRADAS EXACTAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Se dice que un número es un cuadrado perfecto si existe otro número tal que al elevarlo al cuadrado nos da el primero. 9 es un cuadrado perfecto porque 32 = 9

16 es un cuadrado perfecto porque 42 = 16

ACTIVIDADES 1

Calcula los siguientes cuadrados. 12 = 62 = 112 = 22 = 72 = 122 = 32 = 82 = 132 = 42 = 92 = 142 = 52 = 102 = 152 =

2

Identifica los números que son cuadrados perfectos. 18, 25, 39, 44, 56, 64, 76, 81, 99, 111, 122, 136, 144, 152, 169, 174, 186, 195, 207, 218, 225 • Cuadrados perfectos: • No son cuadrados perfectos:

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número tal que al elevarlo a cuadrado obtenemos el primero. 9 = 3 porque 32 = 9 F

a=bF

Raíz

F

Símbolo de raíz

16 = 4 porque 42 = 16 Solo existe raíz cuadrada exacta si el radicando es un cuadrado perfecto.

Radicando

3

Determina el radicando y la raíz. a)

64 = 8 b) 1=1 100 = 10 c)

Raíz = Raíz = Raíz = Radicando = Radicando = Radicando = 4

Determina la raíz exacta y completa. a)

36 =

porque

b) 121 = 5

porque

2

= 36

2

c) 49 =

= 121

d) 196 =

porque porque

= =

Determina la raíz exacta y completa. a) Como

2

= 25 entonces

b) Como

2

= 144 entonces

25 = 144 =

c) Como 8 2 = entonces

=8

d) Como 13 2 = entonces

=


51

1

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Completa. a) b) 5

2

3

3

? 25 : 2 2 = 2

:3 = 3

8

: 53 ? 52 =

4

d) 78 ? 7 2 : 7 =

Expresa en una sola potencia. a) 95 : 32 =

c) 367 : 63 =

b) 78 : 492 =

d) 2510 : 1253 =

Completa a) 7 4 ? 4

4

2

5

c) 95 : 35 ? =6

: 24 =

b) 8 2 ? 3 2 : 4

c) 36 : 3

3

= 4 d) : 5 3 ? 2 3 = 10

Calcula el resultado.

a) _ 49 i - 3 2 ? _2 3 - 25 i 3

b) 12 - `18 : 3 4 j + 4 ? 144 2

c)

32 ?

24 - 42

d) 4 3 : 2 4 + 64 : 2 3

5

Un tambor cuesta 68 € y dos equipos de música cuestan lo mismo que 9 tambores. ¿Cuánto cuestan 5 equipos de música?

6

Se quieren repartir 31 alumnos en grupos. Cada grupo debe tener al menos 3 alumnos y como máximo 5. ¿Cuántos grupos se pueden formar como mínimo?

52


1

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

7

Curso:

Fecha:

En una pastelería han fabricado 257 kg de mantecados. Los mantecados se ponen a la venta en cajas de 2, 3 o 5 kg. Las cajas de 2 kg se venden a 14 €, las de 3 kg a 20 € y las de 5 kg a 32 €. a) ¿Cuántas cajas como mínimo tendrán que utilizar? b) ¿Cuántas pueden usar como máximo? c) ¿Con cuál de las dos opciones tendrán mayor ganancia?

8

Para repartir 27 caramelos en bolsas de 4, 5 o 6 caramelos sin que sobre ninguno, ¿cuántas bolsas necesitamos como mínimo?

9

Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan como mínimo?

10

¿Cuánto hay que aumentar el lado de un cuadrado de lado 5 cm para que su área aumente en 24 cm2? ¿Y en 96 cm2?

11

Una fotografía cuadrada de 16 cm2 la queremos ampliar en cuatro veces su tamaño. ¿Cuál será la longitud de un lado de la foto?


53

1 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN

Completa.

6

a)

3

b) 5

: 53 ? 52 =

5

? 2 : 2 = 2 c) 36 : 3 : 3 = 3

2

5

3

2

a) 2 ? 2 : 2 = 2

8

4

d) 78 ? 7 2 : 7 =

Si hacemos grupos de 5 alumnos tendremos 6 grupos y sobra 1 alumno. No nos vale esta distribución porque, como mínimo, debe haber 3 alumnos por grupo.

6

b) 4 4 : 5 3 ? 5 7 = 58

2

c) 36 : 3 4 : 3 = 3

Tomamos 5 grupos de 5 alumnos y sobran 6 alumnos, que repartimos en 2 grupos de 3.

d) 78 ? 7 2 : 7 6 = 7 4

En total, 5 + 2 = 7 grupos como mínimo.

Expresa en una sola potencia 5

a) 9 : 3

2

7 7

3

c) 36 : 6

b) 78 : 492

d) 2510 : 1253

a) 95 : 32 = 38

c) 367 : 63 = 611

8

2

4

10

b) 7 : 49 = 7 3

3

d) 25 : 125 = 5

b) ¿Cuántas pueden usar como máximo? c) ¿Con cuál de las dos opciones tendrán mayor ganancia?

4

c) 95 : 35 ?

: 24 =

b) 82 ? 32 :

2

5

=6

a) Para usar las menos cajas posibles, hacemos cajas grandes. Si hacemos cajas de 5 kg tendremos 51 cajas y sobrarían 2 kg, con los que hacemos otra caja, siendo 52 cajas en total.

3

= 4 d) : 5 3 ? 2 3 = 10

Respuestas abiertas. Por ejemplo:

b) Haciendo cajas lo más pequeñas posible: 127 cajas de 2 kg y 1 caja de 3 kg; serán 128 cajas en total.

a) 7 4 ? 4 2 : 2 4 = 7 4 b) 8 2 ? 3 2 : 6 2 = 4 2

c) En el primer caso: 51 ? 32 + 1 ? 14 = 1 646 €. En el segundo: 127 ? 14 + 1 ? 20 = 1 798 €. Tendrían más ganancia con la segunda opción.

c) 95 : 35 ? 25 = 65 d) 25 3 : 5 3 ? 2 3 = 10 3 Calcula el resultado

8

a) _ 49 i - 32 ? _2 3 - 25 i 3

b) 12 - `18 : 34 j + 4 ? 144 2

c)

a) _ 49 i - 3 2 ? _2 3 - 25 i = 7 3 - 9 ? 3 = 343 - 27 = 316 3

b) 12 - `18 : 3 4 j + 4 ? 144 = 12 - 4 + 4 ? 12 = = 8 + 48 = 56 2

32 ? 3

4

24 - 42 = 6 - 4 = 2

Un tambor cuesta 68 € y dos equipos de música cuestan lo mismo que 9 tambores. ¿Cuánto cuestan 5 equipos de música? Como 2 equipos de música son lo mismo que 9 tambores, 9 ? 68 = 612 €, entonces 1 equipo de música será la mitad, 612 : 2 = 306 €. Sabiendo cuánto vale un equipo de música, para saber cuánto valen 5 hay que multiplicar 306 ? 5 = 1 530 €

54

Si usamos 4 bolsas de 6 caramelos, sobran 3. Como no tenemos bolsas de 3 caramelos no nos vale esta opción. Veamos la siguiente posibilidad usando la mayor cantidad de bolsas grandes posible. Utilizaremos 3 bolsas de 6 caramelos, 3 ? 6 = 18, y nos quedan por envasar 27 - 18 = 9.

3

d) 4 : 2 + 64 : 2 = 4 + 1 = 5 5

Para repartir 27 caramelos en bolsas de 4, 5 o 6 caramelos sin que sobre ninguno, ¿cuántas bolsas necesitamos como mínimo? Calculamos cuántos caramelos podríamos meter en las bolsas mayores, las bolsas de 6 caramelos: 27 6 3 4

32 ? 24 - 42

d) 4 3 : 24 + 64 : 2 3

c)

En una pastelería han fabricado 257 kg de mantecados. Los mantecados se ponen a la venta en cajas de 2, 3 o 5 kg. Las cajas de 2 kg se venden a 14 €, las de 3 kg a 20 € y las de 5 kg a 32 €. a) ¿Cuántas cajas como mínimo tendrán que utilizar?

11

Completa a) 74 ? 4

4

Se quieren repartir 31 alumnos en grupos. Cada grupo debe tener al menos 3 alumnos y como máximo 5. ¿Cuántos grupos se pueden formar como mínimo?

Ahora calculamos cuántos caramelos de los que nos sobran, 9, podríamos meter en la siguiente bolsa mayor, la de 5 caramelos. 9 5 4 1 Usamos una bolsa de 5 caramelos y nos sobran 4. Como tenemos bolsas de 4 caramelos, utilizaremos una bolsa de este tamaño. Por tanto, necesitaríamos como mínimo 5 bolsas: tres de 6 caramelos, una de 5 caramelos y otra de 4 caramelos.


1 9

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN

Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan como mínimo?

10

Área de cuadrado de lado 5 cm = 25 cm2

Para usar la menor cantidad de bolsas posibles, usamos el mayor número de bolsas posible del tamaño grande.

25 + 24 = 49 = 72 " hay que aumentarlo en 7 - 5 = 2 cm cada lado.

Primero usamos 320 : 12 = 26 bolsas y sobran 8 kg, luego usamos 8 : 5 =1 bolsa y sobran 3 kg, y finalmente usamos 3 : 3 = 1 bolsa. Para empaquetar 320 kg de naranjas en el mínimo de bolsas posibles usaremos 26 bolsas de 12 kg, 1 bolsa de 5 kg y 1 bolsa de 3 kg. En total, se necesitan 28 bolsas como mínimo para empaquetar los 320 kg de naranjas.

¿Cuánto hay que aumentar el lado de un cuadrado de lado 5 cm para que su área aumente en 24 cm2? ¿Y en 96 cm2?

25 + 96 = 121 = 112 " hay que aumentarlo en 11 - 5 = 6 cm cada lado. 11

Una fotografía cuadrada de 16 cm2 la queremos ampliar en cuatro veces su tamaño. ¿Cuál será la longitud de un lado de la foto? Como 16 ? 4 = 64 cm2, entonces la longitud del lado de la foto.


64 = 8 cm será

55

Recursos para la evaluación de contenidos

Presentación

La evaluación en la LOMCE La evaluación constituye una fase fundamental del proceso educativo: • Nos informa del grado de adquisición de los contenidos y del desarrollo de las competencias por parte del alumnado. • Es un instrumento fundamental para orientar la labor docente, pues, a raíz de sus resultados, es posible elaborar planes específicos para que cada alumno o alumna desarrolle mejor sus capacidades o habilidades, reforzando y mejorando en determinados campos en unos casos o profundizando y abarcando nuevos contenidos en otros. Evaluaciones externas La Ley Orgáhica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) plantea importantes innovaciones relacionadas con el proceso de evaluación, la principal de las cuales es, sin duda, el establecimiento de cuatro evaluaciones externas: • Al finalizar los cursos de 3.º y 6.º de Primaria. • Tras 4.º de Educación Secundaria Obligatoria. • Al terminar 2.º de Bachillerato. Las pruebas de Primaria son evaluaciones de diagnóstico que tienen como objetivo comprobar la adquisición de destrezas y de competencias por parte de los alumnos, de modo que, si se detectase alguna carencia, se puedan establecer planes específicos de mejora. Sin embargo, las pruebas de 4.° de ESO y 2.° de Bachillerato tienen importantes efectos académicos: si no se superan, los alumnos no obtendrán los títulos de Graduado en ESO y de Bachillerato, respectivamente.

EVALUACIONES EXTERNAS EN LA LOMCE

58

3.o Primaria

6.o Primaria

Diagnóstico

Diagnóstico

4.o ESO

Obtención del título de Graduado en ESO

2.o Bachillerato

Obtención del título de Bachillerato


Un completo sistema de evaluación El proyecto SABER HACER ofrece un amplio conjunto de recursos para facilitar la labor del profesorado y responder a sus necesidades, atendiendo a todos los aspectos de la evaluación: • Evaluación de contenidos. Pruebas de control para cada unidad didáctica para comprobar el nivel de adquisición de los principales conceptos y procedimientos. • Evaluación por competencias. Pruebas que evalúan el gradó de adquisición de las competencias. • Rúbricas de evaluación. Documento en el que se proporcionan, para cada unidad didáctica, criterios para la observación y el registró del grado de avance de los alumnos, de acuerdo con los estándares de aprendizaje. • Generador de pruebas de evaluación. Herramienta informática que permite elaborar pruebas de evaluación personalizadas mediante la selección de actividades a través de un sistema de filtros. También permite editar y modificar las actividades o que el profesorado Incluya otras de elaboración propia. • Evaluaciones externas: nacionales e internacionales. Análisis de las principales evaluaciones externas de ámbito autonómico, nacional e internacional, destinadas a los alumnos. Recursos para la evaluación de contenidos La evaluación de contenidos permite controlar el proceso de enseñanza y aprendizaje, efectuando una comprobación permanente del nivel de adquisición de contenidos. Como apoyo para facilitar esta labor, se proporcionan en todas las unidades didácticas: • Pruebas de control. Se ofrecen dos pruebas: – Prueba B. Prueba de nivel básico en la que se evalúan los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deben adquirir. – Prueba A. Prueba de nivel avanzado. • Estándares de aprendizaje y soluciones. En una tabla se relacionan los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje del currículo de cada unidad con las actividades de las pruebas. Se incluyen, además, las soluciones de todas las actividades.


59

1

PRUEBA B

EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

Nombre:

1

2

Curso:

Fecha:

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 =

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 =

b) 512 - 276 =

f)

c) 7 ? 98 =

g) 16 + 9 =

d) 657 : 9 =

h) 4 2 + 49 + 5 =

49 + 3 2 =

Completa con los números correspondientes. = 19 806

a) 8 765 +

- 3 870 = 8 702

b) c) 99 ?

= 1 881 = 11

d) 1 001 : e)

: 23 = 1 794

3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.

4

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cocIente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora. División

Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

732 : 15

No

48

12

732 = 48 ? 15 + 12

7 021 : 37 4 004 : 26

60


5

Haz estas las operaciones. a) 17 + 4 ? (108 - 65) : 4 = b) 375 + (79 - 36) ? (121 : 11) - 575 = c) 225 - (19 + 5) : 8 = d) 182 + (107 - 44) : (66 - 63)2 =

6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b · a. a) Un producto de la forma: a · a · a · … a ·b b) Un producto de la forma: b · b · b · …

c) El producto de a por b. 7

La raíz cuadrada de 16 es: a) 8, porque 8 · 2 es 16. b) 4, porque 4 · 4 es 16. c) 32, porque 16 · 2 es 32.

8

María ha decidido repartir su colección de cromos en sobres. SI tiene 437 cromos y 30 sobres, ¿cuántos cromos tendrá que poner en cada sobre?

9

En un grupo de seis amigos cada uno pone 5 € para merendar y les devuelven 6 €. Calcula cuánto cuesta la merienda de cada amigo.


61

1

PRUEBA A

EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

Nombre:

1

2

Curso:

Fecha:

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 =

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 =

b) 512 - 276 =

f)

64 + 5 2 =

c) 9 ? 98 =

g)

36 + 25 =

d) 657 : 73 =

h) 4 2 + 49 + 5 =

Completa con los números correspondientes. - 3 200 = 16 606

a) 8 765 +

- 3 870 = 8 702

b) c) 99 ?

= 1 881 = 11

d) 1 001 : e)

: 23 = 1 794

3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.

4


Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

6 578 : 15 7 021 : 307 41 002 : 26

62


5

Haz estas las operaciones. a) 2 618 + 303 ? (75 - 20) : 5 = b) 793 + (230 - 108) ? (95 : 5) - 2 673 = c)

324 - (38 + 37) : 5 =

d) 282 + (7 854 - 3 354) : (650 - 645)2 = 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b · a. a) Un producto de la forma: a · a · a · … a ·b b) Un producto de la forma: b · b · b · …

c) El producto de a por b. 7

La raíz cuadrada entera de 86 es: a) 43, porque 43 · 2 es 86. b) 9, porque 9 · 9 = 81 < 86. c) 172, porque 86 · 2 es 172.

8

María ha decidido repartir su colección de cromos entre sus 23 compañeros. Si tiene 189 cromos, ¿cuántos cromos dará a cada uno? ¿Le sobrará algún cromo?

9



63

1

PRESENTACIÓN PRUEBA A Y SUGERENCIAS

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES Estándares de aprendizaje

Criterios de evaluación*

1

2

Actividades

B.1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

9 y 10

B.2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de números enteros y exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

1, 2, 3 y 4

B.2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de números enteros y exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con calculadora.

7y8

B.2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

B.2-3.1. Realiza operaciones combinadas entre números enteros, decimales y fraccionarios, con eficacia, bien mediante el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o medios tecnológicos utilizando la notación más adecuada y respetando la jerarquía de las operaciones.

5y6

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 = 1104

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 = 400

b) 512 - 276 = 236

f)

49 + 32 = 16

c) 7 ? 98 = 686

g)

16 + 9 = 7

d) 657 : 9 = 73

h) 42 + 49 + 5 = 28

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + 11 041 = 19 806 b) 12 572 - 3 870 = 8 702 c) 99 :

= 1 881

19

d) 1 001 :

91

= 11

e) 41 262 : 23 = 1 794 3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una Igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división. Diviendo

Divisor

Diviendo

135 11

= Divisor ? Cociente + Resto

135 =

11

?

12

+

3

25 12 Cociente Resto 25

64


4

5


Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

732 : 15

No

48

12

732 = 48 ? 15 + 12

7 021 : 37

No

189

28

7 021 = 37 ? 189 + 28

4 004 : 26

Sí

154

0

4 004 = 26 ? 154

Haz estas operaciones. a) 17 + 4 ? (108 - 65) : 4 = 60 b) 375 + (79 - 36) ? (121 : 11) - 575 = 273 c)

225 - (19 + 5) : 8 = 12

d) 182 + (107 - 44) : (66 - 63)2 = 331 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a ·b b) Un producto de la forma: b · b · b · …

e) El producto de a por b. La respuesta correcta es a). 7

La raíz cuadrada de 16 es: a) 8, porque 8 ? 2 es 16. b) 4, porque 4 ? 4 es 16. e) 32, porque 16 ? 2 es 32. La respuesta correcta es b).

8

María ha decidido repartir su colección de cromos en sobres. SI tiene 437 cromos y 30 sobres, ¿cuántos cromos tendrá que poner en cada sobre?

437 dividido entre 30 da 14 sobre con 30 cromos y quedan 17. 9


Les han devuelto 6 € a los seis amigos, es decir, 1 € para cada uno. Por tanto, la merienda de cada amigo cuesta 5 - 1 = 4 €.

* Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje del currículo oficial del Ministerio.


65

1

PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES Criterios de evaluación*

1

2

Estándares de aprendizaje

Actividades

B.1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

8y9

B.2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de números enteros y exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

1, 2, 3 y 4


B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de números enteros y exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con calculadora.

6y7

B.2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

B.2-3.1. Realiza operaciones combinadas entre números enteros, decimales y fraccionarios, con eficacia, bien mediante el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o medios tecnológicos utilizando la notación más adecuada y respetando la jerarquía de las operaciones.

5

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 = 1104

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 = 400

b) 512 - 276 = 236

f)

64 + 52 = 33

c) 9 ? 98 = 882

g)

36 + 25 = 11

d) 657 : 73 = 9

h) 42 + 49 + 5 = 28

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + 11 041 - 3 200 = 16 606 b) 12 572 - 3 870 = 8 702 c) 99 :

= 1 881

19

d) 1 001 :

91

= 11

e) 41 262 : 23 = 1 794 3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una Igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división. Diviendo

Divisor

Diviendo

135 11

= Divisor ? Cociente + Resto

135 =

11

?

12

+

3

25 12 Cociente Resto 25

66


4

5


Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

6 578 : 15

No

438

8

6 578 = 438 ? 15 + 8

7 021 : 307

No

22

267

7 021 = 22 ? 307 + 267

41 002 : 26

Sí

1 577

0

41 002 = 1 577 ? 26

Haz estas operaciones. a) 2 618 + 303 ? (75 - 20) : 5 = 5 951 b) 793 + (230 - 108) ? (95 : 5) - 2 673 = 438 c)

324 - (38 + 37) : 5 = 3

d) 282 + (7 854 - 3 354) : (650 - 645)2 = 964 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a ·b b) Un producto de la forma: b · b · b · …

e) El producto de a por b. La respuesta correcta es a). 7

La raíz cuadrada entera de 86 es: a) 43, porque 43 ? 2 es 86. b) 9, porque 9 ? 9 = 81 < 86. e) 172, porque 86 ? 2 = 172. La respuesta correcta es b).

8

María ha decidido repartir su colección de cromos entre sus 23 compañeros. Si tiene 189 cromos, ¿cuántos cromos dará a cada uno? ¿Le sobrará algún cromo?

189 dividido entre 23 da 8 cromos y sobran 5. 9


Les han devuelto 6 € a los seis amigos, es decir, 1 € para cada uno. Por tanto, la merienda de cada amigo cuesta 5 - 1 = 4 €.



67

Recursos para la evaluación por competencias

Presentación

LAS COMPETENCIAS EN LA LOMCE Las competencias son un conjunto integrado de capacidades (conocimientos, estrategias, destrezas, habilidades, motivaciones, actitudes…) que los alumnos han de poner en juego para dar respuesta a problemas cotidianos, aunque complejos, de la vida ordinaria. La nueva ley de educación, basándose en el Marco de Referencia Europeo para las competencias clave en el aprendizaje permanente, ha definido siete competencias que los alumnos deben haber adquirido al finalizar su trayectoria académica. Estas competencias son las siguientes: Competencias

Comunicación lingüística

Es la habilidad para expresar e interpretar conceptos, pensamientos, sentimientos, hechos y opiniones de forma oral o escrita (escuchar, hablar, leer y escribir), y de interactuar lingüísticamente de una manera adecuada y creativa en todos los contextos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología

Integra la habilidad de aplicar los conceptos matemáticos, con el fin de resolver problemas en situaciones cotidianas, junto con la capacidad de aplicar el conocimiento y el método científico para explicar la naturaleza.

Competencia digital

Implica el uso seguro y crítico de las tecnologías de la información y la comunicación en la formación, el trabajo y el ocio.

Aprender a aprender

Engloba las habilidades necesarias para aprender, organizar el propio aprendizaje y gestionar el tiempo y la información eficazmente, ya sea de forma individual o en grupo.

Competencia social y cívica

Recoge los comportamientos que preparan a las personas para participar de una manera eficaz y constructiva en la vida social, profesional y cívica, en una sociedad cada vez más diversificada y plural.

Sentido de iniciativa y emprendimiento

Hace referencia a la habilidad de cada persona para transformar las ideas en actos, poniendo en práctica su creatividad, a la capacidad de innovación y de asunción de riesgos, y a las aptitudes necesarias para la planificación y la gestión de proyectos.

Conciencia y expresión cultural

Implica apreciar la importancia de la expresión creativa de ideas, experiencias y emociones a través de distintos medios (música, literatura, artes escénicas, artes plásticas…).

La incorporación de las competencias al currículo hace necesario integrarlas en las tareas y actividades didácticas que se desarrollan en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, por tanto, tienen una relación directa con la evaluación del alumnado. Esto requiere que los estándares de aprendizaje evaluables hagan referencia no solo a los contenidos propios de las distintas áreas, sino también a la contribución de dichas áreas al logro de las competencias.

70


RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Entre los recursos para la evaluación que se incluyen en el proyecto SABER HACER, se proporcionan pruebas diseñadas para evaluar el desarrollo y la adquisición de las competencias educativas por parte de los alumnos. Estas pruebas de evaluación por competencias son complementarias a las que se proponen para la evaluación de contenidos. Tanto unas como otras evalúan los procesos cognitivos y el progreso en el aprendizaje, aunque las segundas están más guiadas por el currículo de las áreas y las primeras, por la contribución de tales áreas al logro de las competencias educativas. En el área de Matemáticas, nuestro proyecto editorial ofrece los siguientes elementos: • Pruebas de evaluación por competencias. Para cada unidad se ofrece una prueba referida fundamentalmente a las competencias más ligadas con el área: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, sentido de iniciativa y emprendimiento, comunicación lingüística y competencia social y cívica. • Estándares de aprendizaje. Los estándares de aprendizaje del perfil de la competencia se ponen en relación con las actividades. • Soluciones. Se incluyen las respuestas a todas las actividades planteadas en cada prueba .


71

1

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

A Sofía le ha llegado este mensaje telefónico.

No rompas la cadena deA. la FORTUN Reenvía este mensaje a . tres amigos

Sofía no se lo ha creído, pero le ha dado una idea: en su grupo ecologista quieren hacer una campaña para concienciar a la gente del deterioro de los fondos marinos. Sofía va a enviar este mensaje a tres amigos. Cada uno de ellos, al día siguiente, enviará el mensaje a otros tres amigos. Así, la cadena no se rompe.

Ch 13:0arla, vie Env 0 h. rnes, mañ íalo ami ana a tres go SA s. LOSLVEMO MA S RES

a) ¿Cuántos mensajes enviará Sofía? ¿Y cada uno de sus amigos?

b) Si Sofía envía hoy los mensajes, ¿cuándo se enviarán el resto de mensajes?

c) ¿Cuántos mensajes se enviarán el tercer día?

d) Si falta una semana para el acto y todas las personas envían sus mensajes, ¿a cuántas personas, como máximo, llegará el mensaje?

e) ¿Qué ocurriría si Sofía hubiera enviado solo 2 mensajes? ¿Y si hubieran sido 4? ¿Y 5?

72


2

El consejo directivo del polideportivo Nuevo Centro ha decidido incluir publicidad en su campo de hockey. La pista de hockey tiene una superficie de 800 m2, y los bordes de la pista están rodeados por vallas publicitarias. Se propone cobrar una cuota mensual de 400 €/m. Los miembros del consejo directivo quieren calcular el dinero anual que recibirían por la publicidad, pero desconocen las dimensiones exactas de los lados del campo. A un miembro del consejo se le ha ocurrido una forma de calcularlo, pues el campo de hockey está formado por dos cuadrados iguales.

a) ¿Dónde se va a colocar la publicidad? Haz un gráfico en tu cuaderno y señala la parte del campo de hockey que ocupará la publicidad.

b) ¿Cuál es la superficie del campo? ¿Cuáles serán los ingresos del polideportivo anualmente por cada metro de publicidad?

c) Dibuja en tu cuaderno un campo de hockey con las características que indica el enunciado.

d) Si alquilan todas las vallas publicitarias del campo, ¿cuánto dinero recibirán anualmente?

e) Si el presupuesto para unas obras de reforma que necesitan hacer es de 54 000 €, ¿a cuánto tienen que cobrar el metro de publicidad para cubrir los gastos?


73

1

PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS

estándares de aprendizaje y soluciones

Competencias que se evalúan Competencia matemática

Sociales y cívicas

Sentido de la iniciativa y emprendimiento

1

Criterios de evaluación*


Actividades


B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con potencias.

1

B.3-2. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución.

B.3-2.1. Resuelve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies y ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

2, apartados b) y c)

B.1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

B.1-6.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

1

B.1-6.2. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático: identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios.

1

B.1-8. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.

B.1-8.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación.

2, apartados a), b), d) y e)

B.1-8.4. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas, tanto en el estudio de los conceptos como en la resolución de problemas.

1, apartado e)

A Sofía le ha llegado este mensaje…

a) Sofía enviará 3 mensajes. Cada uno de sus amigos enviará también 3 mensajes. b) Los tres amigos a los que Sofía envía los mensajes mandarán sus mensajes al día siguiente. c) El primer día se enviarán: 3 mensajes

74

El segundo día:

32 = 9 mensajes

El tercer día:

33 = 27 mensajes


d) El mensaje llegará a: 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2 187 = 3 279 personas e) • Si Sofía manda 2 mensajes: 2 + 2 ? 3 + 2 ? 32 + 2 ? 33 + 2 ? 34 + 2 ? 35 + 2 ? 36 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1 458 = 3 158 personas

• Si Sofía manda 4 mensajes: 4 + 4 ? 3 + 4 ? 32 + 4 ? 33 + 4 ? 34 + 4 ? 35 + 4 ? 36 =2 ? (2 + 2 ? 3 + 2 ? 32 + 2 ? 33 + 2 ? 34 + 2 ? 35 + 2 ? 36) = = 2 ? 3 158 = 6 316 personas

• Si Sofía manda 5 mensajes: 5 + 5 ? 3 + 5 ? 32 + 5 ? 33 + 5 ? 34 + 5 ? 35 + 5 ? 36 = 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1 215 + 3 645 = 5 465 personas

2

El consejo directivo del Polideportivo…

a) En las vallas que delimitan los lados del campo de hockey. b) La superficie del campo es de 800 m2. Los ingresos anuales serán de 400 €/m. c) El campo de hockey que se dibuje tendrá que tener el doble de longitud de largo que de ancho. d) Si el campo está compuesto por dos cuadrados iguales, cada cuadrado tiene una superficie de 800 : 2 = 400 m2. Por tanto, cada cuadrado tiene de lado: 400 = 20 m

Lado del cuadrado =

Dimensiones del campo:

20 m de ancho 40 m de largo

Longitud de valla publicitaria = Perímetro del campo = 20 ? 2 + 40 ? 2 = 120 m

Ingresos anuales = 120 ? 400 = 48 000 €

e) 54 000 : 120 = 450 €/m



75

Rúbricas de evaluación

Presentación

El sistema de evaluación educativa mediante rúbricas Una rúbrica es, básicamente, una herramienta que permite objetivar la evaluación de un proceso, cualquiera que sea el campo en el que se desarrolla. En el contexto educativo, la rúbrica proporciona referencias para valorar todos los aspectos del proceso educativo, ofrece información para la toma de decisiones y muestra con claridad la relación entre los elementos del currículo. Las rúbricas constituyen la concreción de dichos elementos y se obtienen mediante los siguientes procesos de elaboración: 1. Análisis de los objetivos. 2. Relación entre los objetivos, los criterios de evaluación y las competencias. 3. Definición de los estándares de aprendizaje. 4. Descripción de los niveles de adquisición de dichos estándares, que deben recoger las conductas observables y los niveles de logro de cada grado. El sistema de rúbricas de Santillana El sistema de rúbricas de Santillana es un instrumento útil y preciso para la evaluación educativa, que pone en relación los elementos de la Programación Didáctica de Aula (PDA) con los niveles de adquisición de los estándares de aprendizaje. Este sistema está estrechamente vinculado al proyecto Saber Hacer de Santillana. Las rúbricas se presentan como matrices sencillas donde se detallan, para cada uno de los estándares de aprendizaje, las conductas observables y los niveles de ejecución que el profesor debe tener en cuenta para la evaluación de sus alumnos. Los campos que recogen estas matrices son: • Estándares de aprendizaje. Parten del currículo oficial y constituyen el mayor nivel de concreción de los aspectos relevantes para la evaluación. Están relacionados con los objetivos de aprendizaje, los criterios de evaluación y los contenidos y las competencias. Los estándares de aprendizaje incluyen referencias a conocimientos (conocer los conceptos) y a habilidades y destrezas (relacionarlos, reelaborarlos y aplicarlos en contextos diferentes). • Indicadores de logro. Son concreciones de los estándares de aprendizaje para una unidad de un curso determinado. Es decir, especifican, paso a paso, cómo los alumnos avanzan en el proceso de adquisición de un estándar de aprendizaje curricular a lo largo del curso y de la etapa. • Niveles de adquisición. Indican los grados de adquisición de un determinado logro mediante una escala cualitativa de cuatro niveles: desde logro en vías de adquisición hasta el nivel de excelente. Además, junto a cada nivel, se ofrece el valor numérico que le corresponde. El valor numérico tiene una doble función para el profesor: le permite cuantificar el avance de cada alumno y facilita el cálculo de los percentiles que ponen en relación el avance de un alumno concreto con respecto al grupo de clase.


79

80


B1-6.1.

B1-2.1.

Etapa

•

•

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números potencias y raíces de números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos y relacionados entre sí.

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números naturales; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos relacionados entre sí.

Indicadores de logro


Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando potencias y raíces de números naturales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números naturales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

En vías de adquisición (1)

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando potencias y raíces de números naturales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos y elige la estrategia para solucionarlo; organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando los números naturales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos y elige la estrategia para solucionarlo; organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Adquirido (2)

Entiende el enunciado de un problema, utilizando potencias y raíces de números naturales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Entiende el enunciado de un problema, utilizando los números naturales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Avanzado (3)

Niveles de adquisición

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando potencias y raíces de números naturales; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números naturales; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Excelente (4)

Modelo de Rúbrica de Matemáticas. 1.er curso de Educación Secundaria. UNIDAD 1. Números naturales Calificación (máximo 4)


81

B1-6.2.

Etapa

•

Comprende la situación planteada en un problema, investiga; y responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos y tomando decisiones relacionadas con la vida cotidiana.



Resuelve problemas con modelos de resolución y conociendo los datos, pero encuentra obstáculos si no dispone de ellos.

En vías de adquisición (1) Comprende e interpreta el problema y el proceso de resolución; toma datos de situaciones reales; estructura el problema en partes secuenciadas y trata de simplificarlo relacionándolo con conocimientos previos.

Adquirido (2) Se familiariza con el problema y establece analogías con otras situaciones similares resueltas, haciendo conjeturas, investigando y tomando diferentes datos reales de la vida cotidiana; estructura, secuencia, simplifica y busca soluciones, comprobando los resultados.

Avanzado (3)


Resuelve problemas más o menos complejos realizando analogías con otros problemas más sencillos; investiga y selecciona datos de la vida cotidiana; planifica la resolución, secuencia el problema, lo simplifica y combina operaciones; evalúa los resultados y plantea otras posibilidades de resolución; aplica los resultados a la toma de decisiones.

Excelente (4)

Calificación (máximo 4)

82


B2-1.1.

Etapa

Lee, escribe, compone y descompone números naturales, según sus órdenes de unidades.

Lee y escribe números romanos y sus equivalentes en el sistema de numeración decimal.

•

•



Lee y escribe números naturales en orden creciente y decreciente, pero necesita apoyo para hacer su descomposición. Lee números romanos sencillos con valores literales decrecientes, pero muestra dificultad en los demás casos de lectura y en la escritura.

En vías de adquisición (1) Lee y escribe números naturales en orden creciente y decreciente. Lee números romanos con valores literales crecientes y decrecientes, en miles y millones; establece equivalencias entre ellos. Lee, escribe y ordena series de números naturales y de números romanos.

Adquirido (2) Lee y escribe números naturales en orden creciente y decreciente. Lee números romanos con valores literales crecientes y decrecientes, en miles y millones; establece equivalencias entre ellos. Realiza recuentos de forma autónoma, compara los resultados, escribe y ordena series de números naturales y de números romanos.

Avanzado (3)


Lee, escribe y ordena números naturales y números romanos en textos numéricos y de la vida cotidiana, utilizando razonamientos apropiados e interpretando el valor de posición de cada una de sus cifras. Aplica sus conocimientos a la búsqueda de información sobre el uso histórico de ambos tipos de números y a sus aplicaciones actuales, interpretando correctamente los datos y reflejando de forma ordenada sus conclusiones.

Excelente (4)



83

B2-1.2.

Etapa

Realiza operaciones con números naturales y aproxima números naturales por truncamiento y por redondeo.

Resuelve operaciones, aplicando la jerarquía, en las que aplica las propiedades de la suma, la multiplicación, la resta y la división de números naturales.

Calcula el valor de potencias de números naturales y utiliza las potencias de base 10 para realizar la descomposición polinómica de un número.

Utiliza correctamente la calculadora para resolver potencias sencillas.

•

•

•

•



Resuelve sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales, pero necesita apoyo para resolver potencias y para realizar la descomposición polinómica de un número.

En vías de adquisición (1) Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números naturales; realiza cálculos cada vez más complejos explicando el proceso y expresando el resultado por aproximación cuando se le requiere. Aplica la jerarquía de operaciones a la comprobación de las propiedades de las operaciones de números naturales, al cálculo de potencias y a la descomposición polinómica de un número.

Adquirido (2) Realiza operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales; realiza cálculos cada vez más complejos explicando el proceso y expresando el resultado por aproximación cuando se le requiere. Aplica la jerarquía de operaciones a la comprobación de las propiedades de las operaciones de números naturales, al cálculo de potencias y a la descomposición polinómica de un número. Generaliza el modo de cálculo para planteamientos similares.

Avanzado (3)


Opera de manera autónoma realizando operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales; realiza cálculos cada vez más complejos explicando el proceso y expresando el resultado por aproximación cuando se le requiere. Aplica la jerarquía de operaciones a la comprobación de las propiedades de las operaciones de números naturales, al cálculo de potencias y a la descomposición polinómica de un número. Generaliza el modo de cálculo para planteamientos similares, afianzando la automatización de los procesos. Utiliza correctamente la calculadora para resolver potencias.

Excelente (4)


84


B2-2.4.

Etapa

Realiza correctamente operaciones con producto y cociente de potencias de la misma base; potencias de exponente 1 y 0; potencia de una potencia; potencia de un producto y de un cociente, aplicando las reglas básicas y expresando el resultado como una sola potencia.

Calcula correctamente la raíz cuadrada exacta y la raíz cuadrada entera, expresando el resultado del resto con precisión.

Utiliza correctamente la calculadora para resolver raíces cuadradas sencillas.

•

•

•



Resuelve operaciones, con la presencia de un modelo, que incluyen productos y cocientes de potencias de la misma base, potencias de exponente 1 y 0, y potencia de una potencia.

En vías de adquisición (1) Realiza operaciones con productos y cocientes de potencias de la misma base y potencias de exponente 1 y 0; resuelve la potencia de una potencia, la potencia de un producto y la potencia de un cociente, aplicando las reglas básicas. Calcula raíces cuadradas sencillas y utiliza correctamente la calculadora para resolverlas.

Adquirido (2) Resuelve productos y cocientes de potencias de la misma base y potencias de exponente 1 y 0; resuelve la potencia de una potencia, la potencia de un producto y la potencia de un cociente, aplicando las reglas básicas. Calcula raíces cuadradas y expresa el resultado, diferenciando el significado entre raíz y resto; utiliza correctamente la calculadora para resolver raíces.

Avanzado (3)


Opera de manera autónoma, realizando productos y cocientes de potencias de la misma base y potencias de exponente 1 y 0; resuelve la potencia de una potencia, la potencia de un producto y la potencia de un cociente, aplicando las reglas básicas. Calcula raíces cuadradas y expresa el resultado, diferenciando el significado entre raíz y resto; utiliza correctamente la calculadora para resolver raíces. Generaliza el modo de cálculo para planteamientos similares, afianzando la automatización de los procesos.

Excelente (4)



85

Resuelve correctamente operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis.

Realiza correctamente operaciones combinadas con potencias, raíces sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, y con paréntesis.

•

•

Indicadores de logro Utiliza los algoritmos estándares para el cálculo y la resolución de potencias, raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, pero necesita apoyo para resolver operaciones combinadas.

En vías de adquisición (1) Utiliza los algoritmos estándares para el cálculo y la resolución de potencias, raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales. Resuelve operaciones combinadas sencillas.

Adquirido (2)

Automatiza algoritmos y los utiliza para resolver cálculos y problemas con operaciones de potencias, raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales. Combina operaciones cuando es necesario. Comprueba los resultados, en contextos de resolución de problemas y en situaciones de la vida cotidiana.

Excelente (4)

CALIFICACIÓN GLOBAL (MÁXIMO 28)

Automatiza algoritmos de y los utiliza para resolver cálculos y problemas con operaciones de potencias, raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales. Combina operaciones cuando es necesario.

Avanzado (3)


CLAVE DE INTERPRETACIÓN: 7 A 11 PUNTOS: Insuficiente; 12 A 17 PUNTOS: Suficiente; 18 A 24 PUNTOS: Notable; 25 A 28 PUNTOS: Excelente

B2-3.1.

Etapa



Solucionario del libro del alumno

1

SOLUCIÓN DE LAS SOLUCIONARIO DEL ACTIVIDADES LIBRO DEL ALUMNO RETOS

CLAVES PARA EMPEZAR 1

Determina el valor de la cifra 3 en estos niñeros. a) 1 256 003 b) 237 215 c) 4 231

2

a) 1 256 003

3 unidades

b) 237 215

3 DM = 30 000 unidades

c) 4 231

3 D = 30 unidades

Resuelve el reto Por qué razón Bart Simpson dice: ¡MULTIPLÍCATE POR CERO!

Resuelve las siguientes operaciones. a) 87 - 13 + 42 - 4 + 98

Si multiplicas por cero el resultado es cero, es decir, nada, es un modo de decir que desaparezcas.

b) 34 - 23 + 11 - (8 - 6) + 21 c) 27 + 34 + 6 - 41 - 5 - 17 d) (26 - 14) + 45 - (27 - 9) + 14 e) 18 + [(26 - 14) - 5] + 26 - (26 - 19 + 12) - 9 a) 87 - 13 + 42 - 4 + 98 = 74 = + 42 - 4 + 98 = 116 = - 4 + 98 = 112 = + 98 = 210 =

Resuelve el reto ¿Cuál sería la descomposición polinómica de MCXLIII? En numeración romana no existen las potencias de 10 ni es posicional, para que el orden dependa de una potencia de 10, de modo que pasamos el número al sistema de numeración decimal tenemos: 1 142 = 103 + 102 + 4 ? 10 + 2

b) 34 - 23 + 11 - (8 - 6) + 21 = 11 2 = + 11 + 21 = 22 2 = + 21 = 20 = + 21 = 41 =

Resuelve el reto

c) 27 + 34 + 6 - 41 - 5 - 17 = 61 = + 6 - 41 + 5 - 17 = 67 = - 41 - 5 - 17 = 26 = - 5 - 17 = 21 = - 17 = 4 =

¿Cuál es el número más grande que se puede escribir con tres cifras?

d) (26 - 14) + 45 - (27 - 9) + 14 = 12 18 = + 45 + 14 = 57 18 = + 14 = 39 = + 14 = 53 =

(99)9

Resuelve el reto

e) 18 + [(26 - 14) - 5] + 26 - (26 - 19 + 12) - 9 = = 18 + (12 - 5) + 26 (7 + 12) -9= 7 19 = 18 + + 26 -9= 25 19 = + 26 -9= 51 19 = -9= 32 = -9= 23 =

¿Se puede formar un cuadrado con 42 monedas? ¿Y con 49?

INTERPRETA LA IMAGEN Las líneas de la red fija tienen nueve dígitos y los primeros indican a qué provincia pertenecen. Si el 925 indica que el teléfono es de Toledo, ¿cuántas líneas puede haber en esta provincia? Puede haber 999 999 líneas diferentes que empezarán por 925. 88

Se puede formar uno con 49 = 72 monedas, 7 filas y 7 columnas. Sin embargo no se puede formar uno con 42 monedas ya que 42 no es un cuadrado perfecto.


1

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO

ACTIVIDADES 1

c) 25 465 Truncamiento: Decenas: 25 460 Centenas: 25 400 Redondeo:

PRACTICA. Descompón en órdenes de unidades. a) 342 531 b) 7 100 203 c) 7 345 000 a) 342 531 = 3 CM +4 DM + 2 UM + 5 C + 3 D + 1 U

b) 7 100 203 = 7 U. de millón + 1 CM + 2 C + 3 U

c) 7 345 000 = 7 U. de millón + 3 CM + 4 DM + 5 UM 2

c) DCLXIII

e) XXIX

g) CMX

b) CXVI

d) IV

f ) XCII

h) XLIX

a) XXII = 22

3

e) XXIX = 29

b) CXVI = 116

f ) XCII = 92

c) DCLXIII = 663

g) CMX = 910

d) IV = 4

h) XLIX = 49

6

APLICA. Escribe cinco números que tengan 9 decenas de millar, 4 unidades de millar, 1 centena, 6 decenas y 7 unidades.

5

a) 11

c) 74

e) 115

g) 987

d) 93

f ) 646

h) 1 899

a) XI

e) CXV

b) XXII

f ) DCXLVI

c) LXXIV

g) CMLXXXVII

d) XCIII

h) MDCCCXCIX

c) 25 465

b) 653 497

d) 1 324 532

a) 3 729 Truncamiento: Decenas: 3 720 Centenas: 3 700 Redondeo:

Centenas: 1 324 532

3<5

" 3 + 0 = 3 " 1 324 530 " 5 + 0 = 5 " 1 324 500

c) 18 462 " 18 000

b) 497 " 500

d) 986 492 " 986 500

Es un truncamiento a las centenas, si fuese redondeo, como 5 $ 5 sería 3 300.

b) 497 " 500

Es un redondeo, bien puede ser a las decenas y como 7 > 5, al sumar a 9 + 1, tenemos 10 y se redondearía a 500. O bien, es un redondeo a las centenas y como 9 > 5, sumamos 4 + 1 y obtenemos 500.

c) 18 462 " 18 000

Puede ser truncamiento o redondeo a las unidades de millar, porque en este caso como 4 < 5, el truncamiento y el redondeo darían el mismo resultado.

d) 986 492 " 986 500

7

Es un redondeo a las centenas, como 9 > 5, se hace 4 + 1 y se obtiene 986 500.

REFLEXIONA. Escribe todos los números cuya aproximación sea 25 560 al realizar: a) Un redondeo a las decenas. b) Un truncamiento a las decenas.

Decenas: 3 729

9>5

Centenas: 3 729

2<5

" 2 + 1 = 3 " 3 730 " 7 + 0 = 7 " 3 700

b) 653 497 Truncamiento: Decenas: 653 490 Centenas: 653 400 Redondeo:

2<5

a) 3 256 " 3 200

PRACTICA. Trunca y redondea estos números a las centenas y a las decenas. a) 3 729

Decenas: 1 324 532

APLICA. Di si es truncamiento o redondeo.

REFLEXIONA. Escribe como números romanos. b) 22

Centenas: 25 465

" 6 + 1 = 7 " 25 470 " 4 + 1 = 5 " 25 500

6>5

a) 3 256 " 3 200

Respuesta abierta. Por ejemplo: 94 167, 194 167, 294 167, 394 167, 494 167. 4

5$5

d) 1 324 532 Truncamiento: Decenas: 1 324 530 Centenas: 1 324 500 Redondeo:

PRACTICA. Escribe estos números romanos en el sistema de numeración decimal. a) XXII

Decenas: 25 465

¿Cuál crees que es mejor aproximación, la que se hace por redondeo o la que se hace por truncamiento? a) 25 555, 25 556, 25 557, 25 558, 25 559, 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564 b) 25 560, 25 561, 25 562, 25 563, 25 564, 25 565, 25 566, 25 567, 25 568, 25 569

Decenas: 653 497

7>5

Centenas: 653 497

9>5

" 9 + 1 = 10 " 653 500 " 4 + 1 = 5 " 653 500

El redondeo es mejor aproximación que el truncamiento, porque en este caso como mucho el error entre el número y su aproximación es de 5 unidades en la cifra que es redondeada.Si se trunca, en el peor caso el error puede ser de 9 unidades en la cifra truncada.


89

1 8


PRACTICA. Completa en tu cuaderno e indica las propiedades que se aplican en cada igualdad.

14

a) 14 + 35 = 4 + 14 b) 7 ? (4 ? 5) = (4 ? 4) ? 5 a) 14 + 35 = 35 + 14 " Propiedad conmutativa de la suma.

15

a) 7

d) 52 ? 32

b) 52 ? 4

e) 1 ? 42 f ) 92

PRACTICA. Expresa en forma de potencia y calcula su valor.

REFLEXIONA. Da valores a d hasta que calcules el divisor de estas divisiones.

b) 108= 100 000 000

b) 89 d

a) 103 = 1 000

16

c) 102 d

a) 7 854 = 7 ? 1 000 + 8 ? 100 + 5 ? 10 + 4

Para ello, ayúdate de la prueba de la división.

b) 11 111 = 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1 c) 123 456 = 100 000 + 2 ? 10 000 + 3 ? 1 000 + + 4 ? 100 + 5 ? 10 + 6 17

b) 105 + 6 ? 103 + 5 ? 102 + 9 ? 102 + 2 ? 105 a) 104 + 7 ? 103 - 4 ? 102 + 8 ? 102 + 2 = = 10 000 + 7 000 - 400 + 800 + 2 =17 402 La descomposición polinómica de 17 402 es la suma de los productos que consisten en multiplicar sus cifras por la potencia de base 10 correspondiente a su orden, es decir, en este caso sería: 104 + 7 ? 103 + 4 ? 102 + 2 Por tanto la indicada en el enunciado no es una descomposición correcta.

c) Dos a la octava

b) Tres a la sexta

d) Seis a la quinta

a) Cuatro al cubo = 4 Base: 4 Exponente: 3

3

b) Tres a la sexta = 36 Base: 3 Exponente: 6

b) 105 + 6 ? 103 + 5 ? 102 + 9 ? 102 + 2 ? 105 = = 100 000 + 6 000 + 500 + 900 + 200 000 = = 307 400 La descomposición polinómica de 307 400 es la suma de los productos que consisten en multiplicar sus cifras por la potencia de base 10 correspondiente a su orden, es decir, en este caso sería: 3 ? 105 + 7 ? 103 + 4 ? 102 Por tanto la indicada en el enunciado no es una descomposición correcta.

c) Dos a la octava = 28 Base: 2 Exponente: 8 d) Seis a la quinta = 65 Base: 6 Exponente: 5 APLICA. Calcula: a) 24

b) 33

c) 54

d) 72

e) 44

f ) 210

a) 16

c) 625

e) 556

b) 27

d) 49

f ) 1 024

APLICA. ¿Son correctas las descomposiciones? a) 104 + 7 ? 10 3 - 4 ? 102 + 8 ? 102 + 2

PRACTICA. Expresa en forma de potencia indicando la base y el exponente. a) Cuatro al cubo

PRACTICA. Obtén la descomposición polinómica. a) 7 854 b) 11 111 c) 123 456

"d=2 b) 89 = 22 ? 4 + 1 " d = 4 c) 102 = 20 ? 5 + 2 " d = 5

90

f ) 9 ? 9

b) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto

13

c) 11 ? 11 ? 11 ? 11

a) 10 ? 10 ? 10

a) 34 = 17 ? 2 + 0

12

e) 1 ? 4 ? 4

c) 11

0 17 1 22 2 20

11

b) 5 ? 5 ? 4

Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto Dividendo = 14 ? 23 + 2 = 322 + 2 = 324

a) 34 d

d) 5 ? 5 ? 3 ? 3

4

APLICA. Calcula el dividendo de una división en la que el divisor es 14, el cociente es 23 y el resto 2.

10

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7

4

b) 7 ? (4 ? 3) = (7 ? 4) ? 3 " Propiedad asociativa de la multiplicación. 9

REFLEXIONA. Escribe, si se puede, como potencia.

18

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno. a) (2 ? d)d = 10 000

Escribe en forma de potencia y calcula su valor.

b) (2 + 5+d)d = 1 000

a) 10 ? 10 ? 10

b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6

a) (2 ? 5)4 = 104 = 10 000

a) 103 = 1 000

b) 65 = 7 776

b) (2 + 5 + 3)3 = 103 = 1 000 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 19


PRACTICA. Resuelve estas operaciones y escribe el resultado con una sola potencia. 7

4

d) 5 : 5

5

2

6

25

a) (2 4 ) 3 ? (3 3)d = d 6 b) 3 4 ? d4 : 27 4 = 1

6

a) 2 ? 2 b) 3 : 3

e) 4 ? 4

c) 125 3 : 25 3 ? dd = 5 6

c) 104 ? 10

f ) 73 : 7

a) (2 4) 3 ? (3 3) 2 = (2 2) 6 ? 36 = 126

4

a) 27 ? 24 = 27 + 4 = 211 = 2 048 5

2

5-2

4

c) 10 ? 10 = 10 6

d) 5 : 5 = 5

6-1

b) 3 4 ? 9 4 : 27 4 = 1

3

b) 3 : 3 = 3

= 3 = 27

4+1

c) 125 3 : 25 3 ? 5 3 = 56

5

= 10 = 100 000

26

= 55 = 3 125

e) 46 ? 44 = 46+4 = 410 = 1 048 576 f ) 73 : 7 = 73-1 = 72 = 49 20

22

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno. a) 83 ? 8d = 87

b) 86 : 8d = 8

a) 83 ? 84 = 87

b) 86 : 85 = 8

c) 146 ? 23

e) 183 : 36

b) 74 ? 73

d) 214 ? 24

f ) 12311 : 1235

c) 146 ? 2 3 =26 ? 76 ? 2 3 = 29 ? 76 " No se puede expresar como una sola potencia. d) 214 · 24 = (21 · 2)4 = 424 e) 18 3 : 3 6 = (2 ? 3 2) 3 : 36 = 2 3 ? 36 : 36 = 2 3 f ) 12311 : 1236 = 1235 27

Expresa con una sola potencia, si se puede, y calcula. a) 82 : 22

c) 74 ? 54

e) 43 ? 73

g) 156 ? 26

b) 95 : 35

d) 108 : 58

f ) 122 : 42

h) 57 ? 77

PRACTICA. Escribe como una sola potencia.

a) 8 2 : 2 2 = (2 3 ) 2 : 2 2 = 26 : 2 2 = 2 4

a) (2 2 ) 3

d) (76 ) 4

b) 95 : 35 = (3 2) 5: 35 = 310 : 35 = 35

b) (3 4 ) 5

e) (9 2 ) 4

c) 7 4 ? 5 4 = 35 4

c) (5 3 ) 3

f ) (10 10 ) 5

d) 108 : 58 = (2 ? 5) 8 : 58 = (28·58 ): 58 = 28 e) 4 3 ? 7 3 = 28 3 f ) 12 2 : 4 2 = (3 ? 4) 2 : 4 2 = (3 2 ? 4 2) : 4 2 = 3 2

b) (3 4) 5 = 3 4 ? 5 = 3 20

g) 156 ? 26 = (15 ? 2) 6 = 306

c) (5 3) 3 = 5 3 ? 3 = 59

h) 5 7 ? 7 7 = (5 ? 7) 7 = 35 7

d) (76) 4 = 76 ? 4 = 7 24 e) (9 2) 4 = 9 2 ? 4 = 98

28

Expresa con una sola potencia.

f ) (1010 ) 5 = 1010 ? 5 = 1050

a) (45 ? 43) ? (44 ? 42)

c) (78 : 72) ? (74 : 73)

APLICA. Expresa como una sola potencia.

b) (52 ? 54) : (53 ? 5)

d) (39 : 3) : (35 : 33)

a) (8 ? 5) 2 ? (8 ? 5) 7

c) (9 : 2) 6 ? (9 : 2) 3

a) (45 ? 4 3 ) ? (4 4 ? 4 2) = 4(5+3)+(4+2) = 414

b) (5 ? 3) 8 : (5 ? 3) 4

d) (15 : 4) 9 : (15 : 4) 6

b) (5 2 ? 5 4) : (5 3 ? 5) = 5_2+4i-_3+1i = 5 2

c) (78 : 7 2) ? (7 4 : 7 3) = 7(8-2)+(4-3) = 7 7

a) (8 ? 5) 2 ? (8 ? 5) 7 = (8 ? 5) 9 = 409

d) (39 : 3) : (35 : 3 3 ) = 3(9-1)-(5-3) = 36

b) (5 ? 3) 8 : (5 ? 3) 4 = (5 ? 3) 4 = 15 4 c) _9 : 2i ? _9 : 2i = _9 : 2i = e 6

3

9

9

9 o 2

d) (15 : 4) 9 : (15 : 4) 6 = (15 : 4) 3 = e 24

a) 85 : 45

b) 7 4 ? 7 3 = 7 4+3 = 7 7

a) (2 2) 3 = 2 2 ? 3 = 26

23

Expresa, si se puede, con una sola potencia.

a) 85 : 45 = (8 : 4) 5 = 25

APLICA. ¿Cuántos bolígrafos hay en 36 estuches con 6 bolígrafos en cada uno? Escríbelo en forma de potencia. 36 estuches = 62 estuches, y en cada estuche hay 6 bolígrafos. Por tanto habrá en total 62 ? 6 = 63 = = 216 bolígrafos

21

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno:

29 3

15 o 4

Escribe el resultado en forma de potencia. a) (2 3 ) 4 ? 2 5

c) (7 4)2 ? (73 )4

e) 48 : (43 )2

b) 35 ? (32 )4

d) (64 )5 : (610 ) 0

f ) (35 ) 2 : (32 )4

a) (2 3 ) 4 ? 25 = 2(3 ? 4)+5 = 217

REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno.

b) 35 ? (3 2) 4 = 35+(2 ? 4) = 313

a) 18 5 : d5 = 6d

c) 5 3 ? d3 = 20d

c) (7 4) 2 ? (7 3) 4 = 7(4 ? 2)+(3 ? 4) = 7 20

b) d ? 5 = 15

d) d : 4 = 4

d) (6 4) 5 : (610 ) 0 = (6 4) 5 : 6 0 = (6 4) 5 : 1 = 6 20

6

d

6

2

2

2

a) 185 : 35 = 65 c) 5 3 ? 4 3 = 20 3 6

6

6

2

2

2

b) 3 ? 5 = 15 d) 16 : 4 = 4

e) 48 : (4 3 ) 2 = 48 : 46 = 48-6 = 4 2 f ) (35) 2 : (3 2) 4 = 310 : 38 = 310-8 = 3 2


91

1 30


Calcula el resultado indicando la base y el exponente. 5 3

3

36

2

a) (3 ) : (6 ? 6 )

No existe ningún cuadrado perfecto que acabe en 2, 3 o 7. Siempre que se multiplica un número por sí mismo, para saber en qué número acaba basta multiplicar la última cifra por sí misma, y no hay ningún número de 1 cifra que al multiplicarlo por sí mismo acabe en 2, 3 o 7.

b) (3 5 : 3 2 ) ? 34 ? (3 3 )2 c) (7 ) : (7 ? 7 ) 4 3

3

5

a) (35) 2 : (6 3 ? 6 2) = 310 : (65) = 310 : (2 ? 3) 5 = Base " 5

2

3 Exponente " 5 2 4

3 2

3

4

35 3 =e o 2 25

37

6

b) (3 : 3 ) ? 3 ? (3 ) = 3 ? 3 ? 3 = 3

13

Base " 3 Exponente " 13 Base " 7 Exponente " 8 38

Expresa como una sola potencia y calcula.

a) 125

b) (14 : 7) 4 : (18 : 9) 3

b) 96

3

3

4

4

5

3

3

5

4-3

=2

39

c) (8 : 2 ) ? (2 ? 2) : 2 = 4 ? 2 : 2 = 4 3

5

b) 144

40

c) 243 = 15 2 + 18

f ) 355 = 18 2 + 31

Completa en tu cuaderno.

85 =

92 + 4

e)

a . 8 y el resto es 5

a)

44 . 6 y resto 8

d)

a) a = 5 + 7 = 32

f )

2347 =

48 2 + 43

Halla el radicando y escríbelo en tu cuaderno.

c)

2

11 2 + 17

9 2 + 12

93 =

b) a . 7 y el resto es 3 c)

d) 138 =

c)

b)

a . 5 y el resto es 7

2 347 = 42 + 4

8 2 + 13 e) 154 = 12 2 + 10

4 . 6 y resto 8 4 . 9 y resto 9 4 . 8 y resto 6 4 . 13 y resto 15 4 . 30 y resto 26

APLICA. Halla el valor de a en estas raíces cuadradas no exactas.

f )

b) 77 =

a)

d) 14 400 = 120

b) 90 . 9 y resto 9

b) a = 7 2 + 3 = 52

c)

c) a = 8 2 + 5 = 69

70 . 8 y resto 6

d) 184 . 13 y resto 15

APLICA. ¿De qué número es raíz cuadrada el número 15?

e) 41

De 225, 225 = 15, porque 15 2 = 225 APLICA. ¿Cuánto mide de lado un cuadrado cuyo área es 196 cm2? No, porque 42 = 62 + 6 no es una raíz cuadrada exacta. 92

e) 160 = 12 2 + 16

a)

d) 14 400

c) 10 000 = 100

35

b) 96 = 9 + 15

c) 93 = 42 + 4

a) 121 = 11

a)

d) 72 = 8 2 + 8

b) 77 = 42 + 4 e) 154 = 42 + 4

PRACTICA. Calcula estas raíces cuadradas exactas. a) 121 c) 10 000

34

f ) 355

a) 85 = 42 + 4 d) 138 = 42 + 4

d) (3 3 ? 3 2) : (18 4 : 6 4) = 35 : (18 : 6) 4 = 35 : 3 4 = 3

b) 144 = 12

d) 72 2

b) (14 : 7) : (18 : 9) = 2 : 2 = 2 3

e) 160

a) 125 = 11 + 4

a) 3 2 ? (18 : 6) 4 = 3 2 ? 3 4 = 3 2+4 = 36 4

c) 243 2

d) (3 3 ? 32 ) : (184 : 64 )

33

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de estos números.

a) 32 ? (18 : 6) 4 c) (8 3 : 2 3) ? (24 ? 2) : 25

32

REFLEXIONA. ¿Existe algún número cuya raíz entera sea 6? ¿Cuántos números cumplen esta condición? Como 62 = 36 y 72 = 49, todos los números entre ambos, el 6 incluído, tendrán por raíz entera el 6. Es decir, lo cumplen el 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48.

c) (7 4) 3 : (7 ? 7 3 ) = 712 : 7 4 = 712-4 = 78

31

REFLEXIONA. ¿Existe algún cuadrado perfecto que acabe en 2? ¿Y en 3? ¿Y en 7?

926 . 30 y resto 26

Luis ha calculado 292 y afirma que el resto es 36. ¿Ha realizado correctamente los cálculos? Se ha equivocado, porque lo ha descompuesto como 292 = 16 2 + 36, pero se descompone como 292 = 17 2 + 3, lo que implica

292 . 17 y resto 3.


1 42


Entre todas estas raíces hay una que tiene distinto resto que las demás. ¿Cuál es?

47

a) 17 + (4 ? 2 - 7) ? 3 b) (22 - 5 ? 3) ? 2

403 a) 52 d)

c) (4 + 4 ? 5) ? 5 - 4

b) 124 e) 173 c) 228

d) (29 - 3 ? 5) : 7 + 5

f ) 199

e) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2

Todas las raíces tienen resto 3, salvo la de 173. Tenemos que: 52 = 72 + 3, 124 = 112 + 3, 228 = = 152 + 3,403 = 202 + 3 y 199 = 142 + 3.

43

f ) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2) g) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2

Y que: 173 = 132 + 4

a) 17 + 1 ? 3 = 20

¿Cuál es el número de monedas que hay en el lado de un cuadrado formado por las siguientes monedas?

c) 24 ? 5 - 4 = 120 - 4 = 116

b) (22 - 15) ? 2 = 7 ? 2 = 14 d) 14 : 7 + 5 = 2 + 5 = 7

a) 64 b) 121 c) 144 d) 324

e) 28 - 12 + 18 - 2 = 16 + 16 = 32

a) 64 = 82 " 8 monedas en el lado del cuadrado

f ) 4 ? 4 + 2 ? 10 = 16 + 20 = 36

b) 121 = 112 " 11 monedas en el lado del cuadrado

g) 3 ? 6 : 9 + 2 = 2 + 2 = 4

c) 144 = 122 " 12 monedas en el lado del cuadrado d) 324 = 182 " 18 monedas en el lado del cuadrado 44

45

48

APLICA. Calcula el valor de estas expresiones.

Encuentra un número natural comprendido entre 100 y 121, cuya raíz cuadrada entera tenga por resto:

a) 3 ? (100 - 90) - 12 ? (5 + 2)

a) 8 b) 10 c) 12 d) 15

c) 66 : (15 - 9) - 7 ? (6 : 2) - 12 : 2

¿Cuál es el mayor resto que se puede tener en este caso?

d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1)

La raíz de 100 es 10 y la de 121 es 11, de modo que el número las posibilidades estarán elevando 10 al cuadrado y sumándole el resto indicado.

f ) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7

a) 108 = 102 + 8

c) 112 = 102 + 12

b) 110 = 102 + 10

d) 115 = 102 +15

c) 66 : 6 + 7 ? 3 - 6 = 11 + 21 - 6 = 26

b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4

e) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31) a) 3 ? 10 + 12 ? 7 = 30 + 84 = 114 b) 7 ? 13 - 2 ? 6 + 4 = 91 - 12 + 4 = 83 d) 7 ? 7 : 7 + 7 ? 3 = 49 : 7 + 21 = 7 + 21 = 28

En este caso, el mayor resto puede ser 20, en el número 120, porque ya el siguiente es 121 = 112, con resto 0.

e) 8 ? (28 - 2 ? 4) : (22 + 25 - 31) = 8 ? (28 - 8) : 16 = = 8 ? 20 : 16 = 160 : 16 = 10

Escribe todos los números que tengan como raíz entera 5. ¿Cuántos números hay? ¿Cuántos números tendrán como raíz entera 6? ¿Y 7?

f ) [200 - 3 ? (3 - 3)] - 6 + 37 - 5 = = [200 - 3 ? 0] - 6 + 37 - 5 = = 200 - 6 +37 - 5 = 226

Tienen como raíz entera 5 todos los números comprendidos entre 25 y 36.

49

REFLEXIONA. Realiza estas operaciones. 3 ? 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 3 ? (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 ¿Por qué no obtienes el mismo resultado si los números y los signos de las dos operaciones son los mismos?

Tienen como raíz entera 6 todos los números comprendidos entre 36 y 49, y tienen como raíz entera 7 todos los números comprendidos entre 49 y 64. 46

APLICA. Resuelve estas operaciones.

3 ? 4 - 2 + 12 : 6 - 4 - 8 = 12 - 2 + 2 - 4 - 8 = = 10 + 2 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 8 - 8 = 0

PRACTICA. Calcula. a) 9 : 3 + 5 ? 7

d) 12 ? 8 - 5 ? 10

b) 7 + 8 ? 6 - 19

e) 7 ? 9 + 4 + 6 : 3

c) 35 - 2 ? 4 - 3 ? 5

f ) 26 + 9 : 3 - 4 ? 5

3 ? (4 - 2) + 12 : (6 - 4) - 8 = 3 ? 2 + 12 : 2 - 8 = = 6 + 6 - 8 = 12 - 8 = 4 No se obtiene el mismo resultado porque cambia el orden de realización de las operaciones al haber paréntesis, influyendo en el resultado final.

a) 3 + 35 = 38 b) 7 + 48 - 19 = 55 - 19 = 36 c) 35 - 8 - 15 = 27 - 15 = 12

50

Halla el resultado de estas operaciones.

d) 96 - 50 = 46

a) 4 ? 9 - 23 ? 3

d) 8 - (24 - 3 ? 4) ? 2

e) 63 + 4 + 2 = 69

b) 5 ? (6 + 22) - 33

e) 13 + 6 : (22 - 2) ? 32

f ) 26 + 3 - 20 = 29 - 20 = 9

2

c) 25 : (6 - 11) + 18


f ) (22 ? 7 - 3) ? 4 93

1


a) 36 - 24 = 12

a) (12 + 3) : 5 = 15 : 5 = 3

b) 5 ? 10 - 27 = 50 - 27 = 23

b) (3 - 2) ? ( 3 + 2 )= 1 ? 5 = 5

c) 25 : 25 + 18 = 1 + 18 = 19

c) 24 : 12 = 2

d) 8 - 4 ? 2 = 8 - 8 = 0

d) 4 ? ( 8 - 1 ) = 4 ? 7 = 28

e) 13 + 3 ? 9 = 13 + 27 = 40

e) 25 + 3 = 28

f ) 25 ? 4 = 100

f ) 16 - 1 = 15 g) 9 : 9 = 1

51 Calcula.

h) 14 : ( 4 + 3) = 14 : 7 = 2

a) (15 - 32) ? 2 3 + 9 : 3 b) _ 25 + 36 - 32i ? 4 + 8

i) (9 - 3 ) : 5 + 1 = 6 : 6 = 1

c) _4 - 169 i : (2 + 1) d) 16 + 25 : (2 3 - 3) 3

j) (7 - 4) + (1 + 5) ? 2 = 3 + 6 ? 2 = 3 + 12 = 15

4

55

a) 6 ? 8 + 3 : 3 = 48 + 1 = 49

a) 25 + 32 ? 2 - 24 : 4

b) 2 ? 2 +8 = 4 + 8 = 12

b) 162 : 16 ? 8 3 - 26

c) (64 - 13 ) : 17 = 51 : 17 = 3

c) ` 52 + 2 3 ? 3 + 2 3 j : 3

d) 4 + 5 : 5 = 4 + 1 = 5 52

d) 36 : 3 ? (32 - 5) + 42 ? _ 16 - 2i : 2

Resuelve estas operaciones. ¿Por qué obtienes resultados distintos?

a) 5 + 9 ? 2 - 16 : 4 = 5 + 18 - 4 = 23 - 4 = 19

8 ? _ 144 : 22i - 2 a) 8 ? 144 : 22 - 2 c)

b) 256 : 4 ? 512 - 64 = 32 768 - 64 = 32 704

b) 8 ? 144 : (22 - 2) d) 8 ? _ 144 : 22 - 2i a) 8 ? 12 : 4 - 2 = 24 - 2 = 22

c) 8 ? 3 - 2 = 22

b) 8 ? 12 : 2 = 48

d) 8 ? 1 = 8

Se obtienen resultados distintos porque el añadir o eliminar paréntesis modifica el orden de las operaciones, y por tanto, el resultado de la operación. 53

c) (7 + 8) : 3 = 15 : 3 = 5 d) 6 : 3 ? (9 - 5) + 16 ? (4 - 2) : 2 = 2 ? 4 + 16 ? 2 : 2 = = 8 + 16 = 24 56

Determina los errores que se han cometido.

_5 + 16 i ? 81 + 3 ? 4 = (5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 = = 9 ? 12 ? 2 = 9 ? 12 + 9 ? 2 = 108 + 18 = 126 Los errores en el enunciado son que en el paso (5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 ha efectuado la suma 9 + 3, cuando es prioritaria la multiplicación 3 ? 2.

57

b) 12 463

d) 3 532 001

a) 5 396

3 C = 300 U

b) 12 463

3U

Indica el valor posicional de todas las cifras. a) 4 596

c) 17 890

b) 35 702

d) 252 525

b) 3 DM, 5 UM, 7 C, 2 U

a) _12 + 9 i : 25

c) 1 DM, 7 UM, 8 C, 9 D

b) _ 9 - 4 i ? _ 9 + 4 i

d) 2 CM, 5 DM, 2 UM, 5 C, 2 D 5 U

c) (52 - 1) : 144

58

d) 16 ? (2 3 - 1) e) 52 + 81 : 3

Escribe, en cada caso, números que cumplan las siguientes condiciones. a) Tiene ocho unidades, nueve centenas y dos unidades de millar.

f ) 42 - 25 : 5

g) 81 : _ 16 + 5i

b) Tiene siete decenas, cinco unidades de millar y es capicúa de cuatro cifras.

h) 196 : (22 + 3)

94

c) 303 030

a) 4 UM, 5 C, 9 D, 6 U

Resuelve estas operaciones.

j ) _ 49 - 4i + _1 + 25 i ?

a) 5 396

d) 3 532 001 3 U. de millón y 3 DM = 30 000 U

Luego una vez cometido ese fallo, aplica la propiedad distributiva de la suma cuando no hay suma, lo cual es otro error.

i ) _ 81 - 3i : _ 25 + 1i

Indica el valor posicional de la cifra 3.

c) 303 030 3 CM = 300 000 U, 3 UM = 3 000 U y 3 D = 30 U

(5 + 4) ? 9 + 3 ? 2 = 9 ? 9 + 3 ? 2 = 81 + 6 = 87

54

Obtén el resultado.

a) 2 908, 2 918, … , 2 998, 12 908,… 4

b) 5 775 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 59


¿Cuántos números comprendidos entre 200 y 300 cumplen que la cifra de las decenas es igual o mayor que la cifra de las unidades?

62

Los números entre 200 y 300, es decir de 201 a 299. Para el 0 como decenas, todas las unidades que podemos escribir son mayores. Para el 1 como decenas, podemos tener de unidades el 0 y el 1, es decir dos números (210 y 211). Para el 2 como decenas, podemos tener de unidades 0, 1 y 2, es decir, tres números (220, 221, 222).

63

Para el 3 como decenas tendríamos cuatro números, para el 4 de decenas tendríamos cinco números y así sucesivamente hasta llegar al 9 como decenas que tendríamos 10 números (290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298 y 299). Tenemos un total de 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + + 9 + 10 = 54 números que cumplen la condición. 60

Transforma al sistema de numeración decimal.

64

a) XVIII b) LXXI c) XCVII d) MDCXXVIII a) 18

b) 71

c) 97

a) 511 b) 49 c) 827 d) 65 306

d) 614 e) 57

c) 462

f ) 9 999

a) CXLVIII

d) DCXIV

b) XCIX

e) LVII

c) CDLXII

f ) IXCMXCIX

Expresa en el sistema de numeración decimal estos números romanos. a) XXVII

d) XLVIII

b) DCXLVI

e) CMXXIV

c) DXXX

f ) MXXIX

a) 27

c) 530

e) 924

b) 646

d) 48

f ) 1029

¿Qué números en el sistema decimal son estos números romanos? b) CDXL e) MMCIII

Escribir números romanos Expresa en números romanos.

a) 148 b) 99

a) XIX d) IVCDXX

d) 1 628

SABER HACER

61

Escribe en números romanos.

65

• Si el número es menor que 4 000. primero. Se descompone el número. a) 511 = 500 + 10 + 1 b) 49 = 40 + 9

c) MMCIV

f ) MMMDLXXX

a) 19 000

d) 4 420

b) 400 040

e) 2 000 103

c) 1 001 104

f ) 1 002 580

Aproxima estos números truncándolos a las unidades de millar y a las centenas. a) 24 536

d) 19 864

b) 656 419

e) 456 283

c) 200 664

f ) 6 332

a) UM: 24 000, C: 24 500

c) 827 = 800 + 20 + 7

b) UM: 656 000, C: 656 400

segundo.

Se transforma cada sumando de la descomposición en números romanos.

c) UM: 200 000, C: 200 600

– Si la cifra es 1 o 5, existe una letra. a) 511 " D + X + I " DXI

d) UM: 19 000, C: 19 800

– Si la cifra es 4 o 9, se aplica la regla de la sustracción. b) 49 " XL + IX " XLIX

f ) UM: 6 000, C: 6 300

– Si es otra cifra, se aplica la regla de la suma. c) 827 " DCCC + XX + VII " DCCCXXVII

e) UM: 456 000, C: 456 200

66

Aproxima estos números redondeándolos a las decenas de millar y a las decenas. a) 33 675

d) 87 554

primero. Se escribe el número en dos partes: unidades, decenas y centenas por un lado, y el resto por otro.

b) 674 323

e) 105 538

c) 34 544

f ) 220 551

d) 65 306 = 65 306

a) DM: 30 000, D: 33 680

• Si el número es mayor o igual que 4 000.

Se transforman los dos números en números romanos, aplicando al primero la regla de la multiplicación.

b) DM: 670 000, D: 674 320

d) 65 306 " LXV CCCVI " LXVCCCVI

e) DM: 110 000, D: 105 540

segundo.

c) DM: 30 000, D: 34 540 d) DM: 90 000, D: 87 550 f ) DM: 220 000, D: 220 550


95

1 67


Completa en tu cuaderno la tabla con las aproximaciones por truncamiento y redondeo a las centenas, y elige la mejor aproximación. Truncamiento

Redondeo

4 356

4 300

4 400

66 724

66 700

66 700

200 443

200 400

200 400

84 351

84 300

84 400

79 884

79 800

79 900

71

a) 4 ? (9 - 6) = 4 ? 9 + 4 ? 6 b) (7 + 8) ? 5 = 7 ? 8 + 7 ? 5 c) (3 + 12) ? 2 = 3 + 12 ? 2 d) 5 ? (10 - 3) = 5 ? 10 - 5 - 3 a) Cambia el signo de la operación entre paréntesis al aplicar la propiedad distributiva. Bien sería: 4 ? (9 - 6 ) = 4 ? 9 - 4 ? 6 b) Aplica erróneamente la propiedad distributiva. Lo correcto sería: (7 + 8 ) ? 5 = 7 ? 5 + 8 ? 5 c) No se puede eliminar paréntesis sin aplicar correctamente la propiedad distributiva. Debería ser: (3 + 12) ? 2 = 3 ? 2 + 12 ? 2

Si la cifra que sigue a las centenas es menor que 5, la aproximación por truncamiento y por redondeo es la misma. Si la cifra de las decenas es mayor o igual que 5, la mejor aproximación viene dada por el redondeo. 68

d) Al aplicar la propiedad distributiva, el número que multiplica, multiplica a los dos que hay entre paréntesis, aquí cambia la operación de multiplicación por una resta. Lo correcto sería: 5 ? (10 - 3) = 5 ? 10 - 5 ? 3

Completa en tu cuaderno la tabla con las aproximaciones por truncamiento de 37 894. 72

37 894

Si D es el dividendo, d, el divisor, c, el cociente y r, el resto, ¿son correctas las siguientes divisiones?

A las unidades

37 894

a) D = 436

d = 7

c = 61

r=9

A las decenas

37 890

b) D = 10 583

d = 28

c = 37

r = 27

A las centenas

37 800

A las unidades de millar

37 000

A las decenas de millar

30 000

Truncamiento

a) El resto es mayor que el divisor, eso no puede pasar. 436 : 7 tiene como cociente 62 y resto 2. b) 28 ? 37 + 27 = 1 063, que no coincide con el dividendo 10 583. 73

69

Escribe tres números cuyo:

d = 19

c = 321

r=?

b) Truncamiento a las centenas sea el mismo.

b) D = 986

d = 17

c = 58

r=?

c) Redondeo y truncamiento a las decenas coincidan.

a) 19 ? 321 = 6 099 " r = 0

Respuesta abierta. Por ejemplo:

b) 17 ? 58 = 986 " r = 0

a) 37 312, 37 401 y 37 403

Ambas divisiones tienen resto igual a 0.

b) 301, 350, 387

74

c) 1 990, 1 992, 1 994

Calcula el dividendo de estas divisiones sabiendo que su resto es igual a 0.

Aplica la propiedad distributiva y calcula.

a) Cociente: 14

Divisor: 8

a) 2 ? (5 - 3)

d) (12 - 7 + 3) ? 8

b) Cociente: 25

Divisor: 12

b) (14 - 6) ? 4

e) 16 ? (5 + 6)

c) Cociente: 363

Divisor: 42

f ) (8 - 6 + 9) ? 6

d) Cociente: 148

Divisor: 17

e) Cociente: 4 020

Divisor: 10

c) 5 ? (9 + 4 - 2) a) 2 ? 2 = 4

96

Sin realizar la división indica cuáles de estas divisiones tienen resto igual a 0. a) D = 6 099

a) Redondeo a las unidades de millar sea el mismo.

70

Detecta el error en cada una de las expresiones.

b) 8 ? 4 = 32

a) D = 14 ? 8 = 112

c) 5 ? 11 = 55

b) D = 25 ? 12 = 300

d) 8 ? 8 = 64

c) D = 363 ? 42 = 15 246

e) 16 ? 11 = 176

d) D = 148 ? 17 = 2 516

f ) 11 ? 6 = 66

e) D = 4 020 ? 10 = 40 200 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1 75


¿Cuántas unidades hay que añadir al dividendo de la división 412 : 26 para que el resto sea igual a 0?

80

Halla el divisor de una división en la que el dividendo es 324, el cociente es 21, y el resto, 9.

Escribe como producto de factores estas potencias y calcula el resultado. b) 65

81

Escribe, si es posible, las siguientes expresiones en forma de potencia: a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5

d) 17

a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5

9

b) 4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 4 ? 7 = (4 ? 7)3 = 283 c) 49 ? 49 ? 50 ? 50 = (49 ? 50)2 = 24502 d) 17 = 17 1

El divisor de la división es 15. 82

Escribe con números. a) Diecisiete a la cuarta

Encuentra el divisor. a) D = 279

c = 23

r=3

b) D = 1320

c = 47

r=4

c) D = 1 160

c = 36

r=8

d) D = 8 035

c = 55

r=5

e) D = 17 310

c = 84

r=6

c) Dos a la quinta

b) Trece al cubo

d) Quince a la sexta

a) Diecisiete a la cuarta = 17

4

b) Trece al cubo = 133 c) Dos a la quinta = 25 d) Quince a la sexta = 156 83

a) d = (279 - 3): 23 = 276 : 23 = 12

Escribe cómo se leen las siguientes potencias.

b) d = (1 320 - 4) : 47 = 1 316 : 47 = 28

a) 32

c) d = (1 160 - 8) : 36 = 1 152 : 36 = 32

a) 32 = Tres al cuadrado

d) d = (8 035 - 5) : 55 = 8 030 : 55 = 146

b) 75 = Siete a la quinta

Completa la tabla en tu cuaderno. Divisor

Cociente

Resto

195

42

4

27

7 582

135

56

22

359

25

14

9

780

5

156

0

Indica la base y el exponente de las siguientes potencias:

c) 43

d) 1417

d) 1417 = Catorce elevado a diecisiete 84

Dividendo

b) 75

c) 43 = Cuatro al cubo

e) d = (17 310 - 6) : 84 = 17 304 : 84 = 206

d) 73

c) 49 ? 49 ? 50 ? 50

b) 4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 4 ? 7

315 : 21 = 15

b) 345

d) 76

d) 76 = 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 117 649

segundo. Se divide el resultado por el cociente y se obtiene el divisor.

c) 54

c) 84

c) 84 = 8 ? 8 ? 8 ? 8 = 4 096

Se resta el resto al dividendo.

a) 233

Exponente = 3

b) 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776

D - r = 324 - 9 = 315

79

Exponente = 5

a) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81

Calcular el divisor de una división en la que conocemos el dividendo, el cociente y el resto

78

Exponente = 4

a) 34

SABER HACER

77

" Base = 34, " Base = 5, 3 d) 7 " Base = 7, 5

c) 54

Si se le suma al dividendo 4 unidades, se obtiene 416, que al dividirlo entre 26 tiene por cociente 16 y por resto 0.

primero.

Exponente = 3

b) 34

412 : 26 = 15 y tiene resto r = 22.

76

a) 233 " Base = 23,

Calcula las siguientes potencias. a) 34

b) 71

a) 34 = 81

d) 50

c) 63 = 216

1

d) 50 = 1

b) 7 = 7 85

c) 63

Completa en tu cuaderno la tabla y calcula. Al cuadrado

Al cubo

A la cuarta

7

49

343

2 401

8

64

512

4 096

10

100

1 000

10 000

11

121

1 331

14 641


97

1 86


Completa en tu cuaderno. a) 2

d d

b) 7

92

= 32

c) d = 81

= 1

d) d = 343

4

a) 52 ? 32

3

7

7

7

g) 210 ? 1010

e) 20 : 10

h) 124 : 44

" 25 = 32 b) 7 = 1 " 70 = 1 c) d4 = 81 " 34 = 81 d) d3 = 343 " 73 = 343

c) 103 ? 103

f ) 38 ? 28

i) 157 : 37

Obtén la expresión polinómica de estos números.

d) 86 : 26 = 46

a) 347 b) 10 286 c) 400 658 d) 5 338 655

e) 207 : 107 = 27

d

7

a) 52 ? 32 = 152 b) 47 ? 27 = 87 c) 103 ? 103 = 106

f ) 38 ? 28 = 68

a) 347 = 3 ? 102 + 4 ? 10 + 7

g) 210 ? 1010 = 2010

b) 10 286 = 104 + 2 ? 102 + 8 ? 10 + 6

h) 124 : 44 = 34

c) 400 658 = 4 ? 105 + 6 ? 102 + 5 ? 10 + 8 d) 5 338 655 = 5 ? 106 + 3 ? 105 + 3 ? 104 + 8 ? 103 + + 6 ? 102 + 5 ? 10 + 5 88

d) 86 : 26

b) 4 ? 2

a) 2d = 32

87

Escribe como una sola potencia.

i) 157 : 37 = 57 93

Detecta el error. a) 23 ? 43 = 86

Averigua, en cada caso, el número cuya descomposición polinómica es:

5

2

c) 54 ? 53 = 512

3

d) 76 : 74 = 710

b) 8 : 2 = 4

a) 23 ? 43 = 86. Lo correcto es: 23 ? 43 = 83 a) 6 · 104 + 7 · 103 + 9 ? 10 + 7

b) 85 : 22 = 43. Lo correcto es: 215 : 22 = 213

b) 3 · 105 + 4 · 102 + 1

c) 54 ? 53 = 512. Lo correcto es: 54 ? 53 = 57

c) 8 · 103 + 102

d) 76 : 74 = 710. Lo correcto es: 76 : 74 = 72

d) 2 · 106

94

4

3

5

2

a) 6 ? 10 + 7 ? 10 + 9 ? 10 + 7 = 67 097

91

b) 204 : 54 ? 24

d) 215 : 75 ? 25

a) 5 ? 2 ? 3 = 30

c) 8 ? 103 + 102 = 8 100

b) 204: 54 ? 24 = 84

7

7

7

d) 2 ? 10 = 2 000 000

c) 163 : 43 : 23 = 23

Realiza estas operaciones con potencias.

d) 215 : 75 ? 25 = 65

a) 53 ? 58

c) 106 ? 103

e) 25 ? 25

b) 36 ? 34

d) 105 ? 10

f ) 74 ? 78

3

8

11

6

4

10

5

95

d) 10 ? 10 = 10 5

5

"d=9 b) 27 = 3 " d = 12 c) 1256 = 5d " d = 18 a) 83 = 2d

10

e) 2 ? 2 = 2

c) 106 ? 103 = 109

f ) 74 ? 78 = 712

4

Calcula. a) 38 : 32

c) 108 : 108

e) 26 : 24

b) 57 : 53

d) 74 : 7

f ) 105 : 102

a) 38 : 32 = 36

d) 74 : 7 = 73

b) 57 : 53 = 54

e) 26 : 24 = 22

c) 108 : 108 = 1

f ) 105 : 102 = 10 3

Escribe en tu cuaderno los exponentes que faltan. a) 83 = 2d b) 274 = 3d c) 1256 = 5d

6

b) 3 ? 3 = 3

96

d

Completa en tu cuaderno. a) d7 : 53 = 54 b) 12

97

Escribe el resultado con una sola potencia.

d

6

c) 95 : 9d = 93 d) 39 : 3d = 32

9

: 12 = 12

a) 57 : 53 = 54

c) 95 : 92 = 93

b) 1215 : 126 = 129

d) 39 : 36 = 32

Completa en tu cuaderno. a) 34 ? d2 ? 37 = 3d

c) (d7 ? 10d) : 10 = 10d

e) 76 : 73 ? 74

b) (58 : 5d) ? 53 = d4

d) 68 (d7 : 6d) = 612

c) 53 ? 56 : 52

f ) 109 : 10 ? 105

a) 34 ? d2 ? 37 = 3d

a) 24 ? 26 : 27 = 23

d) 102 ? 106 : 103 = 105

b) 35 : 33 ? 32 = 34

e) 76 : 73 ? 74 = 77

a) 24 ? 26 : 27

d) 102 ? 106 : 103

b) 35 : 33 ? 32

3

6

2

7

c) 5 ? 5 : 5 = 5 98

c) 163 : 43 : 23

b) 3 ? 10 + 4 ? 10 + 1 = 300 401

a) 5 ? 5 = 5

90

a) 57 ? 27 ? 37 7

6

89

Expresa como una sola potencia.

f ) 109 : 10 ? 105 = 1013

" 34 ? 32 ? 37 = 313 b) (58 : 5d) ? 53 = d4 " (58 : 57) ? 53 = 54 c) (d7 ? 10d) : 10 = 10d " (107 ? 102) : 10 = 108 d) 68 (d7 : 6d) = 612 " 68 ? (67 : 63) = 612


1 98


Completa en tu cuaderno con una potencia.

105

a) 76 = 74 ? 4

e) 118 = 4 ? 115

a) (62)5 : (63)3

c) (108)3 : (104)5

b) 5 3 = 4 : 56

f ) 34 = 37 :4

b) (87)2 : (83)4

d) (29)2 : (23)5

c) 28 3 = 73 ? 4

g) 454 = 4 ? 54

a) 610 : 69 = 61

d) 8 = 4 : 5

h) 36 = 4 : 66

b) 814 : 812 = 82

7

7

c) 1024 : 1020 = 104

" d = 72 b) 5 3 = 4 : 56 " d = 59 c) 28 3 = 7 3 ? 4 " d = 43 d) 8 7 = 4 : 5 7 " d = 407 e) 118 = 4 ? 115 " d = 113 f ) 3 4 = 3 7 :4 " d = 33 g) 45 4 = 4 ? 5 4 " d = 94 h) 36 = 4 : 66 " d = 186 a) 76 = 7 4 ? 4

99

d) 218 : 215 = 23 106

4 3

2 5

b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4 a) 39 : (310 : 37) ? 33 = 39 : 33 ? 33 = 36 ? 33 = 39 b) 76 ? 73 : 78 = 79 : 78 = 7 107 4 6

5 3

a) (2 ) b) (5 ) c) (3 ) d) (7 )

102

d) (524 ? 5221) : 5213

b) (136)8 ? 1330

e) 1018 : (106)2

c) (10 ) : 10

f ) (915 ? 95) : (96 : 93)

b) (5 2) 5 = 510 d) (75)3 = 715

a) 713 + 9 + 20 = 742

d) 524 + 21 - 13 = 5212

b) 136 ? 8 + 30 = 1378

e) 1018 - 6 ? 2 = 106

c) 108 ? 8 - 44 = 1020

f ) 915 + 5 : 96 - 3 = 920 - 3 = 917

Completa en tu cuaderno. a) (32)4 = 36

c) (114)3 = 1112

b) (45)4 = 425

d) (154)2 = 1518

6

4 3

108

a) (3 ) = 3

c) (11 ) = 11

b) (45)5 = 425

d) (159)2 = 1518

44

Calcula estas potencias y completa en tu cuaderno. a) 10 3 ? 208 ? 254 = 104

12

b) 84 ? 162 = 24 c) 276 : 814 = 34

Completa en tu cuaderno con números para que las igualdades sean ciertas.

d) 102 ? 40 ? 52 = 104

a) 9d ? 96 = 911

d) 31d : 314 = 316

b) 125 ? 12d = 129

e) (7d)4 = 716

c) 88 : 8d = 85

f ) (52 )d = 532

e) 255 : 1252 = 54 a) 10 3 ? 208 ? 25 4 = 104 " 103 ? (2 ? 10)8 ? (52)4 = = 10d " d = 19 b) 8 4 ? 16 2 = 24 c) 276 : 81 4 = 34

a) 5

c) 3

e) 4

b) 4

d) 10

f ) 16

d) 10 2 ? 40 ? 5 2 = 104 e) 255 : 125 2 = 54

Expresa como una sola potencia. 109

Reduce estas expresiones.

b) (34)3 : 38 = 34 d) 69 : (62)2 = 65

b) (77 : 74) ? (7 ? 3)5

Calcula.

d) (2 ? 9)12 : (9 ? 2)5 ? 93

5

2

3

a) (3 ? 3 ) : 3 3

7

4

b) 4 ? (4 : 4 ) 7

3

4

3

3

6

a) 3 : 3 = 3

b) 4 ? 4 = 4

5

3

c) (8 : 8 ) ? 8 5

2

c) 45 ? (46 : 44) ? (5 ? 4)5

2

a) 3 ? 33 ? 53 = 34 ? 53

2

d) 7 : (7 ? 7 ) 2

2

5

4

c) 8 ? 8 = 8

b) 73 ? 75 ? 35 = 78 ? 35

4

c) 45 ? 42 ? 55 ? 45 = 412 ? 55

d) 7 : 7 = 7

d) (2 ? 9)7 ? 93 = 27 ? 910

Resuelve. 5 2

110 2 4

a) (3 ) ? (3 )

5 3

c) (9 ) ? (9 )

d) (116)2 ? (113)4

a) 310 ? 38 = 318

c) 915 ? 912 = 927

9

8

b) 7 ? 7 = 7

17

12

12

d) 11 ? 11 = 11

Expresa como una sola potencia. a) 24 ? 83

4 3

b) (73)3 ? (72)4

" d = 20 "d=2 "d=5 "d=4

a) 3 ? (3 ? 5)3

a) (23)2 ? 24 = 210 c) 45 ? (42)3 = 411

104

a) 713 ? 79 ? 720 8 8

a) (23)2 ? 24 b) (34)3 : 38 c) 45 ? (42)3 d) 69 : (62)2

103

Opera y expresa como una potencia.

a) (2 4) 3 = 212 c) (34)6 = 324

2 3

101

Calcula las siguientes expresiones. a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33


100

Indica como una sola potencia.

7

c) 56 ? 1252

4

d) 493 ? 75

b) 3 ? 27 a) 24 ? 83 = 213 24

7

4

19

b) 3 ? 27 = 3


c) 56 ? 1252 = 512 d) 493 ? 75 = 711 99

1 111



a) Raíz entera = 8

Resto = 12 "

a) 225 = 4, ya que d2 = 225

b) Raíz entera = 17

Resto = 5

b) 729 = 4, ya que d = 729

c) Raíz entera = 11,

c) 1296 = 4, ya que d = 1 296

d) Raíz entera = 21,

2

2

d) 2304 = 4, ya que d2 = 2 304

116

a) d = 15 b) d = 27 c) d = 36 d) d = 48 112

Completa.

4 = 13 d) 4 = 25 a) d = 32 c) d = 19 b) d = 169 d) d = 625

c) Raíz entera = 29 Radicando = 852 a) 175 - 132 = 175 - 169 = 6 b) 579 - 242 = 579 - 576 = 3

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los números que ha anotado Ana.

c) 852 - 292 = 852 - 841 = 11 117

a) 10 + 4 ? 8

d) 3 ? 2 + 5 ? 9

b) 32

b) 12 : 3 - 3

e) 9 : 3 - 6 : 2

c) 140

c) 7 + 5 ? 6

f ) 4 ? 9 - 7 ? 5

79 . 8 y resto 15

118

b) 32 . 5 y resto 7 c) 140 . 11 y resto 19 d) 853 . 29 y resto 12

SABER HACER Calcular el radicando de una raíz conociendo su raíz entera y su resto

119

La raíz entera de un número es 5 y su resto es 10. Halla el radicando.

primero. En la fórmula que da el resto de una raíz entera se sustituye cada término por su valor.

RESTO = RADICANDO - (RAÍZ ENTERA)2 10 = RADICANDO - 52 10 = RADICANDO - 25 segundo.

Realiza las siguientes operaciones.

a) 79

d) 853

114

Halla el resto de estas raíces.

b) Raíz entera = 24 Radicando = 579

b)

a)

" 294 Resto = 15 " 136 Resto = 6 " 447

a) Raíz entera = 13 Radicando = 175

361 = 4 a) 1024 = 4 c)

113

76

a) 10 + 4 ? 8 = 42

d) 3 ? 2 + 5 ? 9 = 51

b) 12 : 3 - 3 = 1

e) 9 : 3 - 6 : 2 = 0

c) 7 + 5 ? 6 = 37

f ) 4 ? 9 - 7 ? 5 = 1

Calcula. a) (9 + 13) ? 4

d) 7 - (7 + 2) : 3

b) 26 : (5 - 3)

e) 10 : (6 - 4) + 14

c) (7 + 15) : 2

f ) (6 - 3) ? 5 - 2

a) (9 + 13) ? 4 = 88

e) 7 - (7 + 2) : 3 = 4

b) 26 : (5 - 3) = 13

f ) 10 : (6 - 4) + 14 = 19

c) (7 + 15) : 2 = 11

g) (6 - 3) ? 5 - 2 = 13

Efectúa estas operaciones. a) 28 - 3 ? 2 ? 4

e) (42 - 6) : 6 + 5 ? 3

b) 5 ? 9 : 3 + 7

f ) 15 ? (7 - 3) : (3 - 1)

c) 25 + 4 ? 2 - 7 ? 3

g) 25 - 5 ? (10 - 6) : 10

d) 14 : 2 + 3 ? 9 - 5

h) 15 ? 3 - 2(8 + 4)

a) 28 - 3 ? 2 ? 4 = 4 b) 5 ? 9 : 3 + 7 = 22 c) 25 + 4 ? 2 - 7 ? 3 = 12

Se busca un número tal que, al restarle 25,

d) 14 : 2 + 3 ? 9 - 5 = 29

dé 10. RADICANDO = 10 + 25 = 35

e) (42 - 6) : 6 + 5 ? 3 = 21 f ) 15 ? (7 - 3) : (3 - 1) = 30

El número 35 tiene como raíz entera 5 y su resto es 10.

g) 25 - 5 ? (10 - 6) : 10 = 23 h) 15 ? 3 - 2(8 + 4) = 21

115

100

Calcula el radicando en cada caso.

120


a) Raíz entera = 8

Resto = 12

a) 2 ? 32 + 52 - 6

e) 23 + 22 ? (5 - 2)

b) Raíz entera = 17

Resto = 5

b) 42 - (23 + 1)

f ) 10 + 4 ? (32 - 5)

c) Raíz entera = 11

Resto = 15

c) (19 - 22) : 5

g) 52 ? (42 - 32) - 22

d) Raíz entera = 21

Resto = 6

2

d) 3 + 5 ? (8 - 6)

h) 5 ? (1 + 32) - 4 ? (23 - 6)


1


a) 2 ? 32 + 52 - 6 = 37

124

b) 42 - (23 + 1) = 7

a) 24 - 23 + 22 - 2

2

c) (19 - 2 ) : 5 = 3

b) 100 : 5 + 33 : 3

d) 32 + 5 ? (8 - 6) = 19

c) 7 ? (5 + 3) - 52 ?

e) 23 + 22 ? (5 - 2) = 20

e) 72 : _ 36 + 1i - 22

g) 52 ? (42 - 32) - 22 = 171

f ) _32 - 25 i : (42 - 12)

h) 5 ? (1 + 32) - 4 ? (23 - 6) = 42

g) 25 : 6_ 81 - 32i + 42@

Encuentra los errores, corrígelos y resuelve.

h) 5 ? 43 - (102 : 52) + 100

a) (7 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 = 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 74 2

b) (7 ? 7) + 7 = 7 ? (7 + 7) = 7 + 7

2

a) 16 - 8 + 4 - 2 = 10

c) (7 + 7 ? 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 + 7 ? 7 = 3 ? 72

b) 10 : 5 + 27 : 3 = 2 + 9 = 11

d) (7 + 72 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 72 + 7 ? 7 = 72 + 7 3 ? 72

c) 7 ? 8 - 25 ? 2 = 56 - 50 = 6

e) 7 ? (7 + 72 + 73) = 7 ? 76 = 77

d) 12 - 9 + 4 ? 11 = 3 + 44 = 47

f ) 72 ? (7 + 72 ) = 72 ? 7 + 72 ? 7 = 7 3 + 7 3 = 76

e) 49 : (6 + 1) - 4 = 49 : 7 - 4 = 7 - 4 = 3

a) (7 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 ! 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 7 4 7 ? 7 + 7 ? 7 = 2 ? (7 ? 7) = 2 ? 7 2 = 98 b) (7 ? 7) + 7 ! 7 ? (7 + 7) = 7 2 + 7 2 (7 ? 7) + 7 = 49 + 7 = 56 c) (7 + 7 ? 7) ? 7 ! 7 ? 7 + 7 ? 7 + 7 ? 7 = 3 ? 7 2 (7 + 7 ? 7) ? 7 = 7 2 + 7 3 = 7 2 (1 + 7) = 49 ? 8 = 392

f ) (9 - 5) : (16 - 12) = 4 : 4 = 1 g) 32 : (0 + 16) = 2 h) 5 ? 64 - 4 + 10 = 326 125

d) (7 + 7 2 + 7) ? 7 = 7 ? 7 + 7 ? 7 2 + 7 ? 7 ! 7 2 + 7 3 ? 7 2 7 2 + 7 3 + 7 2 = 2 ? 7 2 + 7 3 = 441 e) 7 ? (7 + 7 2 + 7 3) ! 7 ? 76 = 7 7 7 ? (7 + 7 2 + 7 3) = 7 2 ? (1 + 7 + 7 2) = 7 2 ? 57 = 2 793

Un edificio tiene planta baja y cuatro pisos. La planta baja tiene 5 m de altura y cada uno de los pisos 3 m. ¿Cuál es la altura del edificio? La planta baja mide 5 m. Hay 4 plantas que miden cada una 3 m de altura: 4 ? 3

f ) 7 ? (7 + 7 ) ! 7 ? 7 + 7 ? 7 = 7 + 7 = 7 7 2 ? (7 + 7 2) = 7 2 ? 7 + 7 2 ? 7 2 = 7 3 + 7 4 = 2744

La altura del edificio será la suma de todas las alturas:

Calcula el resultado de las operaciones. a) 2 3 ? _ 25 - 2 - 1i c) 64 + 4 ? (11 - 5)

El edificio mide 17 m de altura.

2

122

4

d) 12 - 18 : 2 + 4 ? 121

f ) 10 + 4 ? (32 - 5) = 26

121

Efectúa estas operaciones.

2

2

2

3

3

6

b) _ 81 + 3 ? 2i : 5 + 7 0 d) 9 - 9 ? 2 - 16 : 4 a) 2 3 ? ( 25 - 2 - 1) = 8 ? (5 - 2 - 1) = 8 ? 2 = 16 b) ( 81 + 3 ? 2) : 5 + 7 0 = (9 + 6) : 5 + 1 = 15 : 5 + 1 = = 3+1 = 4 c)

1 ? 5 + 4 ? 3 = 5 + 12 = 17

126

Un barco llevaba 502 pasajeros y ha hecho paradas en tres puertos. En el primero bajan 256 pasajeros, en el segundo suben 162 pasajeros y en el tercero bajan 84 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros quedan a bordo del barco tras las tres paradas?

64 + 4 ? (11 - 5) = 8 + 4 ? 6 = 8 + 24 = 32

d) 9 - 9 ? 2 - 16 : 4 = 9 - 3 ? 2 - 4 : 4 = 9 - 6 -1= 2 123

Calcula. a) 3 3 ?

9 - 32 - 33

b) _12 + 3 ? 25 i : 32 + 49 c) 72 + 64 - 5 3 : 5 d) 81 : e) 180 :

9 - _ 16 - 4 i

4 - 34 + 4 ? 121

a) 3 3 ? 9 - 3 2 - 3 3 = 27 ? 3 - 9 - 27 = 81 - 36 = 45

b) _12 + 3 ? 25 i : 3 2 + 49 = (12 + 15) : 9 + 7 = = 27 : 9 + 7 = 3 + 7 = 10 c) 7 2 + 64 - 5 3 : 5 = 49 + 8 - 125 : 5 = 57 - 25 = 32

d) 81 : 9 - _ 16 - 4 i = 9 : 3 - (4 - 2) = 3 - 2 = 1

e) 180 : 4 - 3 4 + 4 ? 121 = 180 : 2 - 81 + 4 ? 11= = 90 - 81+ 44 = 9 + 44 = 53

Vamos calculando cuántos pasajeros quedan tras cada parada: El barco va con 502 pasajeros. En la primera parada bajan 256 " Quedan entonces 502 - 256 = 246 pasajeros. En la segunda parada suben 162 " Hay en el barco 246 + 162 = 408 pasajeros. En la tercera bajan 84 " Quedan al final a bordo 408 - 84 = 324 pasajeros.


101

1 127


Para hacer una tarta grande de manzana se necesitan 3 manzanas y para hacer una pequeña se necesitan 2 manzanas. ¿Cuántas manzanas son necesarias para hacer cuatro tartas grandes y seis pequeñas? Cuatro tartas de tres manzanas. Seis tartas de dos manzanas.

SABER HACER Resolver problemas en que los datos están relacionados 133

En una tienda de regalos hay tres cuadros. El primero vale 38 €, el segundo cuesta 17 € más que el primero y el último vale 19 € menos que el segundo.

Si se venden los tres cuadros, ¿cuánto dinero se recaudará?

Por tanto: 4 ? 3 + 6 ? 2 = 12 + 12 = 24 Se necesitan en total 24 manzanas. 128

En una hucha hay 246 €, y en otra, 114 €. a) Si todo el dinero está en monedas de 2 €, ¿cuántas monedas hay entre las dos huchas?

primero.

b) ¿Y si estuviera en billetes de 5 €? a) 246 : 2 + 114 : 2 = (246 + 114) : 2 = 360 : 2 = 180 Entre las dos huchas hay 180 monedas de 2 €. b) 246 : 5 + 114 : 5 = (246 + 114) : 5 = 360 : 5 = 72 Entre las dos huchas habría 72 billetes de 5 €. 129

En una sala de cine hay 36 filas con 15 butacas en cada fila. Si hay 146 personas sentadas en la sala, ¿cuántas butacas hay vacías? Número de butacas en total 36 ? 15 = 540 butacas. Como hay 146 personas en la sala, en total habrá 540 - 146 = 394 butacas libres.

130

En el garaje se van a cambiar las ruedas a cuatro motos, cinco camiones de 6 ruedas y seis coches. ¿Cuántas ruedas se cambiarán en total?

segundo.

Se calculan los demás datos a partir del dato conocido. «El segundo, 17 € más que el primero» 38 + 17 = 55 € «El tercero, 19 € menos que el segundo» 55 - 19 = 36 €

tercero.

134

Cinco camiones con seis ruedas. Seis coches con cuatro ruedas.

África: 350 + 157 = 507 Europa: 350 - 98 = 252

4 ? 2 + 5 ? 6 + 6 ? 4 = 8 + 30 + 24 = 62

En total, son 350 + 507 + 252 = 1 109 músicos

¿Cuánto dinero hay en una cartera que contiene 2 billetes de 20 €, 3 de 10 €, 6 de 5 € y 4 monedas de 2 €?

135

2 ? 20 + 3 ? 10 + 6 ? 5 + 4 ? 2 = = 40 + 30 + 30 + 8 = 108

Seis personas tienen 1 000 € para gastos de un viaje. Deben viajar en tren y en avión. El billete de tren cuesta 38 € y el de avión 125 €. ¿Tienen suficiente dinero para realizar el viaje? Cada persona gasta para los dos billetes: 125 + 38 = 163 €, por lo que en total las seis personas gastarán 163 ? 6 = 978 €. Como 1 000 € es más dinero que 978 €, tendrán suficiente.

En la restauración de un edificio trabajan 45 hombres y 37 mujeres. A su lado se restaura otro edificio en el que trabajan 17 hombres menos y 24 mujeres más que en el anterior. ¿En qué edificio trabajan más personas? Los hombres del segundo edificio son 45 - 17 = 28, y las mujeres, 37 + 24 = 61; en total, 28 + 61 = 89. Trabajan más personas en el segundo edificio.

Hay en total en la cartera 108 €.

102

En un festival de música étnica hay músicos de tres continentes. De Asia han llegado 350 músicos, de África 157 músicos más que de Asia y de Europa 98 músicos menos que de Asia. Halla el número total de músicos que hay.

Por tanto: En total se cambiarán 62 ruedas.

132

Se resuelve el problema. 38 + 55 + 36 = 129 €

Se recaudarán 129 €.

Cuatro motos con dos ruedas.

131

Se toma el dato conocido. «El primer cuadro vale 38 €»

136

Para prevenir intoxicaciones alimentarias se han organizado una serie de conferencias en un instituto. A la primera charla han asistido 125 alumnos de 1.º ESO, 100 alumnos de 2.º ESO, 97 de 3.º ESO y el resto de 4.º ESO, hasta un total de 406 alumnos. ¿Cuántos alumnos de 4.º ESO han asistido a la conferencia? Los alumnos de 4.º ESO son el total menos la suma de los otros cursos: 405 - (125 + 100 + 97) = = 405 - 322 = 83 alumnos


1 137

SOLUCIONARIO DEL LIBRO DEL ALUMNO a) Hay 5 ? 24 = 120 lápices.

Luis tiene 6 años, su hermana Ángela tiene 3 años más, y su hermano Enrique tiene el doble de la edad de Luis. Cuando su madre tuvo a Enrique tenía el triple de la edad actual de Ángela. ¿Qué edad tiene ahora mismo la madre? Luis tiene 6 años. Su hermana Ángela 6 + 3 = 9 años, y Enrique 2 ? 6 = 12.

b) Como en total hay 8 colores distintos, y 24 lápices por caja, entonces hay en cada paquete 24 : 8 = 3 lápices de cada color en cada uno de los paquetes. 143

a) ¿Cuántos ramos puedo hacer con 90 €?

La madre tuvo a Ángela con 3 ? 9 = 27, y como ahora Enrique tiene 12 años, entonces la madre tiene 27 + 12 = 39 años. 138

139

Un conductor de autobús ha estado conduciendo desde las 6 de la mañana hasta las 4 de la tarde, descansando 2 horas para comer. Si ha llevado una velocidad de 64 km/h, ¿cuántos kilómetros ha recorrido? Las 4 de la tarde son las 16 horas. De modo que en total ha conducido 16 - 6 - 2 = 8 horas. Y si en cada hora ha recorrido 64 km, en 8 habrá recorrido 8 ? 64 = 512 km.

141

a) En un ramo se pueden separar las 12 flores en 6 parejas de flores, ya que 12 : 2 = 6, y como cada pareja vale 3 €, un ramo entero vale 3 ? 6 = 18 €. Sabiendo esto, si se tienen 90 €, y cada ramo vale 18, para ver cuántos puedo hacer tengo que dividir 90 : 18 = 5. Por lo tanto, puedo hacer 5 ramos. b) Nos hemos gastado 90 €, y queremos ganar 40, así que tenemos que vender 5 ramos a 90 + 40 = 130 €, o lo que es lo mismo, a 130 : 5 = 26 € cada ramo. 144

Doña Raquel tenía 12 €, se gastó la mitad en una entrada de cine y con la otra mitad se compró una participación de lotería que resultó premiada con 15 € por cada euro jugado. ¿Cuánto dinero ganó? Tenía 12 € y se gastó 6 en una entrada de cine, por lo que le quedaron 12 - 6 = 6 €. Con ese dinero se compró una participación de lotería que por cada euro ganaba 15, así que como gastó 6 ganó 6 ? 15 = 90 €.

140

b) Si se quieren ganar 40 €, ¿por cuánto se debe vender cada ramo?

Un naranjo ha producido este año 40 kg de naranjas y el año anterior 27 kg. Si el kilo de naranjas el año pasado estaba a 3 € y este año está a 2 €, ¿han aumentado o disminuido las ganancias respecto del año pasado? El año pasado se ganó 27 ? 3 = 81 € por las naranjas del árbol, y este año 40 ? 2 = 80 €, por lo tanto han disminuido las ganancias en 1 € respecto del año pasado.

Dos flores cuestan 3 € y un ramo tiene 12 flores.

Se han invertido 12 375 € para plantar árboles. Si en cada parcela se han plantado 25 árboles y cada árbol ha costado 3 €, ¿cuántas parcelas se han plantado? En total se han plantado 12 375 : 3 = 4 125 árboles con ese dinero. Teniendo en cuenta que en cada parcela se plantan 25 árboles, en total se habrán plantado 4 125 : 25 = = 165 parcelas.

145

Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar? Tiene que colocar 43 = 64 vasos

146

Se tiene un jardín cuadrado de 36 m2 y se quiere ampliar añadiendo un metro más a cada lado. ¿Qué superficie añadiremos al jardín?

Una caja vacía pesa 2 kg y llena pesa 7 kg. ¿Cuánto pesa el contenido de 26 cajas? El contenido de una caja pesa 7 - 2 = 5 kg, por lo que el contenido de 26 cajas será de 26 ? 5 = 130 kg.

142

En una papelería tienen 5 paquetes de 24 lápices de colores. a) ¿Cuántos lápices de colores hay? b) Si en cada paquete hay el mismo número de lápices de cada color y se sabe que hay 8 colores diferentes, ¿cuántos lápices de cada color hay en los 5 paquetes?

Si el jardín es cuadrado de área 36 m2, eso quiere decir que cada lado mide 36 = 6 m, por lo tanto si queremos añadir 1 m más por lado, el área será de 49 m2, con lo que estaremos añadiendo 49 - 36 = = 13 m2.


103

1 147


Un cuadrado tiene una superficie de 100 m2. ¿Cuánto mide el lado de otro cuadrado que tiene la cuarta parte de la superficie que el anterior?

148 Tengo

100 monedas y quiero formar cuadros con el mismo número de filas y de columnas. Explica de cuántas formas distintas es posible formarlos.

Si el otro cuadrado tiene una superficie de la cuarta parte, será de 100 : 4 = 25 m2, por lo que el lado de ese cuadrado será 25 = 5 m.

El mayor cuadrado tendrá 100 = 10 monedas de lado. Así que podré hacer cuadros de 1 ◊ 1, de 2 ◊ 2 hasta de 10 ◊ 10, lo que me indica que tengo 10 maneras distintas.

DEBES SABER HACER Sistemas de numeración 1

Potencias y raíces

Escribe un número que tenga 6 decenas de millar, la tercera parte son unidades de millar, 3 centenas y el triple de unidades que de centenas.

4

a) 47 = 4 : 57 b) (44) 3 = 212 35 = 97 :4 c) a) d = 207 b) d = 39 c) dd = 24

62 309 2

Escribe en el sistema de numeración decimal estos números romanos.

5

462 . 21 y resto 21

a) XXIV = 24


b) CDXIV = 414

6

c) MCMI = 1 901

Calcula el resultado de las operaciones: a) 6 + 2 ? _ 49 + 5 ?

Operaciones con números naturales

1i

b) 4 2 - 16 + 9 : (4 + 5 0)

¿Cuántas unidades hay que añadir al dividendo de la división 186 : 24 para que el resto sea 0? 186 = 24 ? 7 + 18 Para que el resto sea 0, veamos cuánto valdría el dividendo con el siguiente divisor: 24 ? 8 - 186 = 192 - 186 = 6 Hay que añadir 6 unidades para que el resto sea 0.

104

Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de 462. 462 = 212 + 21

a) XXIV b) CDXIV c) MCMI

3


c) (5 3 - 6 2 - 3 2) : 16 + (2 3 ) 2 a) 6 + 2 ? _ 49 + 5 ? = 6 + 24 = 30

1 i = 6 + 2 ? (12) =

b) 4 2 - 16 + 9 : (4 + 5 0) = 16 - 5 : 5 = = 16 - 1 = 15 c) (5 3 - 6 2 - 3 2) : 16 + (2 3 ) 2 = 80 : 4 + 64 = = 20 + 64 = 84


1


En la vida cotidiana 149

En España los números de teléfono tienen nueve dígitos, excepto los números especiales como el 112, número único para emergencias; el 091, teléfono de la policía... Aunque hay diferencias entre las numeraciones de los teléfonos fijos y los móviles: • Los números de la red fija empiezan por 9, excepto dos operadoras que también ofrecen el 8. • Y los números de telefonía móvil comienzan por 6 o 7.

édico

M Centro 9585

0

43

do Asocia Centro 7 06 9543 ero Carpint 400

6573

En cierta ocasión, la madre de Marta tuvo un accidente doméstico: se le derramó el café sobre la agenda y se le borraron algunas cifras de sus números de teléfono. • Hoy necesita llamar al Centro Médico. ¿Cuáles son los posibles números del Centro Médico? • Si el número del Centro Asociado tenía todas las cifras distintas, ¿cuáles son los posibles números? • El número del carpintero era un móvil que terminaba en 0 o en 1. ¿Cuáles son los posibles números del carpintero?

En total tengo 6 opciones, porque puedo elegir entre tres parejas (1, 2), (1, 8) y (2, 8) con sus permutaciones (2, 1), (8, 1) y (8, 2) ya que generan números distintos.

a) Hay 100 números distintos posibles para el Centro Médico, van desde 958 543 000 hasta 958 543 990. b) El número del Centro Asociado es de la forma 954 37_ 06_, y los únicos números que no aparecen en el número son 1, 2 y 8.

c) En total hay 20 números posibles, que van desde 657 340 000, y 657 340 001 al 657 340 090 y 657 340 091.

Formas de pensar. Razonamiento matemático 150

Completa en tu cuaderno las cifras que faltan para que las siguientes igualdades se cumplan. a) 5439 + 74 = 5 517 b) 3472 - 424 = 2 947 c) 6 453 - 748 = 5465 d) 987 ? 46 = 25 662 e) 244 ? 23 = 5 635 a) 5 439 + 78 = 5 517 b) 3 372 - 425 = 2 947 c) 6 453 - 788 = 5 665

151

Razona si las siguientes igualdades son ciertas o no. a) 32 + 42 = 3 + 4 d) 24 ? 54 = 22 ? 32 b) ` 92 j = 92 e) 16 = 2 2

c) (5 + 1) 2 = 5 + 1 a) Falso, porque

f )

9 - 3 + 1 = 9 - (3 + 1)

32 + 42 =

25 = 5 ! 7.

b) Verdadero, porque el cuadrado anula la raíz. c) Verdadero, porque el cuadrado anula la raíz. d) Verdadero, porque 24 ? 54 = 362.

d) 987 ? 26 = 25 662

e) Verdadero, porque

e) 245 ? 23 = 5 635

f ) Falso, porque


16 =

4 = 2.

9 - 3 +1= 9 - 4 = 3 - 2 =1 105

1 152

SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Pon los 20 primeros números como suma de, a lo más, cuatro números al cuadrado. Por ejemplo: 1 = 1

2 ? 24 + 1 = 49

13 = 32 + 22

14 = 32 + 22 + 12

5 = 22 + 12 2

2

16 = 42

2

7= 2 + 1 + 1 + 1 8 = 22 + 22

18 = 42 + 12 + 12

Respuesta abierta. Por ejemplo: 840

19 = 42 + 12 + 12 + 12

840 + 1 = 841 = 292

20 = 42 + 22

2 ? 840 + 1 = 1 681 = 412

Cubos 154

Dados

En este dibujo puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f ). Hay una regla que cumplen todos los dados:

155 Ahora

se han colocado los dados como en la imagen; los tres dados se han colocado uno encima del otro. Como puedes observar, el dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.

(c) (b) (a)

La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

(f ) (e) (d)

Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número que tiene la cara inferior del dado correspondiente en el dibujo. (Prueba PISA 2003)

106

2 ? 1 599 + 1 = 3 199 562 = 3 136 < 3 199 < 3 249 = 572 El número 3 199 no es un cuadrado perfecto; por tanto, 1 599 no cumple la propiedad que estamos buscando.

17 = 42 + 12

10 = 32 + 12

Ensaya con los números anteriores a los cuadrados perfectos. Por ejemplo, 402 = 1 600; el número anterior a este cuadrado perfecto es 1 599:

15 = 32 + 22 + 12 + 12

6 = 22 + 12+ 12

9 = 32

2

12 = 32 + 12 + 12 + 12

3 = 12 + 12 + 12

2

2

11 = 3 + 1 +1

2 = 12 + 12 4 = 22

• Su doble más 1 es otro cuadrado perfecto:

2

Utiliza la calculadora para encontrar un número que tenga las mismas propiedades que el número 24. • Ser anterior a un cuadrado perfecto (25).

7 = 22 + 12 + 12 + 12 2

153

(a)

(b)

(c)

1

5

4

2

6

5

(d)

(e)

(f )

Dado 1

Dado 2

Dado 3

Recuerda la regla del ejercicio anterior: La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)? (Prueba PISA 2003) La cara horizontal del dado que no se ve es 3, y como las dos caras opuestas de un dado suman siempre 7, eso implica que las que no se ven del dado 2 y del dado 3 suman 7, así que en total, en las 5 caras que no se ven hay 7 + 7 + 3 = 17.


NOTAS

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Dirección de arte: José Crespo González. Proyecto gráfico: Estudio Pep Carrió. Jefa de proyecto: Rosa Marín González. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Sevillano. Ilustración: Eduardo López Uguina. Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda de la Calle. Desarrollo gráfico: Raúl de Andrés González y Jorge Gómez Tobar. Dirección técnica: Jorge Mira Fernández. Subdirección técnica: José Luis Verdasco Romero. Coordinación técnica: Alejandro Retana Montero. Confección y montaje: Victoria Lucas Díaz, Raquel Sánchez Mayo y Marisa Valbuena Rodríguez. Corrección: José Ramón Díaz Gijón, Cristina Durán González y Nuria del Peso Ruiz.

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