PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica ICE 3432 HORMIGÓN PRETENSAD PRETENSADO O INTERROGACION INTERROGAC ION Nº 1
13 de Octubre de 2005
Tiempo: 2 horas
2) (20 pts) Suponga dos casos de trazado de los cables de la viga de la Fig. 2. Calcule dos sistemas de cargas equivalentes de la viga siguiente. La fuerza efectiva en los cables es igual a 230 t. Las dimensiones están en cm S.I.C. Cable equivalente 20 55
10
14 m
C.G.
18 m
Figura 2 i)
Supongo que las excentri excentricidades cidades definen una única parábola:
y = Ax 2 + Bx + C , con x = 0 en el apoyo izquierdo:
y (0 ) = 0,20 , y (14) = A × 14 2 + B × 14 + 0,20 = 196 A + 14 B + 0,20 = −0,55 y (32) = A × 32 2 + B × 32 + 0,20 = 1024 A + 32 B + 0,20 = −0,10
Resolviendo: A =
19,8 8064
= 0,002455 1/m
y ' = 2 Ax + B
B =
− 1,23118 = −0,08794 14
y '' = 2 A
Carga equivalente: weq = y Pe = 2 × 0,002455 × 230 = 1,13 t/m ''
1
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica y ( L / 2) = y (16) = 0,002455 × 16 − 0,08794 × 16 + 0,20 = −0,579 m = −57,9 cm 2
Pendientes: y ' (0) = − 0,08794
y ' (32) = 2 × 0,002455 × 32 − 0,08794 = 0,06918
En ambos casos las pendientes son menores que 1/3. Las aproximaciones siguientes son apropiadas. Otra forma de calcular la carga equivalente: 2
weq L
8
= eeq × Pe
weq × 32 2
8
= 0,579 + weq =
(0,2 − 0,1)
× 230 = 0,629 × 230 = 144,67 t-m
2
8 × 144,67 32
2
= 1,13 t/m
Fuerzas en el apoyo izquierdo izquierdo:: V iz = 0,08794 × 230 = 20,2 ton (hacia abajo) M iz = 0,2 × 230 = 46 t-m (en sentido de punteros del reloj)
Fuerzas en el apoyo derecho: V de = 0,06918 × 230 = 15,9 ton (hacia abajo) M de = 0,1 × 230 = 23 t-m (en sentido de punteros del reloj)
La fuerza normal es 230 t. 1,13 t/m 46 t-m
20,2 t
15,9 t
C.G.
230 t
23 t-m
230 t 14 m
18 m
Verificación: Equilibrio vertical:
F F
↓
v
=20,2 + 15,9 = 36,1 ton
↑ v
= 32 × 1,13 = 36,2 ton
OK
Momentos en apoyo izquierdo:
M =1,13 × 32 / 2 = 578,6 t-m (contra reloj) M =46 + 23 + 15,9 × 32 = 577,8 t-m (favor reloj) 2
OK 2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica ii) Supongo que las excentricidades definen dos parábolas, tangentes en 14,0 m, con la tangente paralela al eje de la viga. Es decir, son dos medias parábolas. Parábola izquierda: 2 y = Ax , con x = 0 e y = 0 en el punto de pendiente cero.
y (− 14 ) = A × (− 14) = 0,55 + 0,2 = 0,75 2
A =
0,75 196
= 0,003827
y ' (− 14) = 2 × 0,003827 × (− 14) = −0,1071 y '' (− 14) = 2 × 0,003827 = 0,007654
Carga equivalente: weq = 0,007654 × 230 = 1,76 t/m Otra forma de calcular la carga equivalente, conociendo laas excentricidades al centro y en los apoyos de la viga de 2x14 m de longitud: weq × (2 × 14 )
8
2
0,20 + 0,20 + 0,55 × 230 = 0,75 × 230 = 172,5 t-m 2
=
weq =
8 × 172,5 28 2
= 1,76 t/m
Fuerzas en apoyo izquierdo: V iz = 0,1071× 230 = 24,6 ton (hacia abajo) M iz = 0,2 × 230 = 46 t-m (en sentido de punteros del reloj)
Parábola derecha: y = Ax 2 , con x = 0 e y = 0 en el punto de pendiente cero. y (18) = A × (18) = 0,55 − 0,10 = 0,45 2
A =
0,45 324
= 0,001389
3
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica y ' (18) = 2 × 0,001389 × (18) = 0,0500
= 0,002778 y '' (− 14) = 2 × 0,001389
Carga equivalente: weq = 0,002778 × 230 = 0,639 t/m Otra forma de calcular la carga equivalente, conociendo laas excentricidades al centro y en los apoyos de la viga de 2x18 m de longitud: weq × (2 × 18)
8
2
− 0,10 − 0,10 + 0,55 × 230 = 0,45 × 230 = 103,5 t-m 2
=
weq =
8 × 103,5 36
2
= 0,639 t/m
Fuerzas en apoyo derecho: V de = 0,05 × 230 = 11,5 ton (hacia abajo) M de = 0,1 × 230 = 23 t-m (en sentido de punteros del reloj)
En ambos casos las pendientes son menores que 1/3. Las aproximaciones son apropiadas. La fuerza normal es 230 t. 1,76 t/m 46 t-m
24,6 t
0,639 t/m 11,5 t
C.G.
230 t
23 t-m
230 t 14 m
18 m
Verificación: Equilibrio vertical:
F F
↓ v
=24,6 + 11,5 = 36,1 ton
↑ v
= 14 × 1,76 + 18 × 0,639 = 36,1 ton
OK
Momentos en apoyo izquierdo:
M =1,76 × 14 / 2 + 0,639 × 18 × (14 + 18 / 2) = 437,0 t-m (contra reloj) M =46 + 23 + 11,5 × 32 = 437,0 t-m (favor reloj) OK 2
4
