10.TURBOMAQUINAS

10. TURBOMÁQUINAS

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U NIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón 3er curso Ingeniería Industrial Curso 2005-06

Mecánica de Fluidos

10. TURBOMÁQUINAS.

José González Pérez Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón enero 2006

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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10. TURBOMÁQUINAS. 10.1. Definición y clasificación general. 10.2 Ecuación fundamental de turbomáquinas: Ec. de Euler. 10.3. Turbomáquinas hidráulicas. 10.4. Turbomáquinas térmicas. 10.5 Curvas características. 10.6 Problemas resueltos.

10.1.- Definición y clasificación general. 10.1.1.- Definición de Turbomáquinas. Las turbomáquinas son equipos diseñados para conseguir un intercambio energético entre un fluido (que pasa a su través de forma continua) y un eje de rotación, por medio del efecto dinámico de una o varias coronas de álabes (fijos y/o móviles). Los nombres que reciben las coronas fijas y móviles son, respectivamente, rotor (rodete, impulsor o hélice, según el tipo de máquina) y estator (voluta o carcasa, según el caso). Se diferencian de las máquinas de desplazamiento positivo en que existe continuidad entre el fluido que entra y, por tanto, el intercambio energético se produce de forma continua. El estudio de las turbomáquinas ha progresado mucho en las últimas décadas, pasando a ser un campo tecnológico multidisciplinar y de grandes innovaciones debido al creciente interés por la investigación del flujo en el interior de los distintos equipos. En la figura 10.1 se muestra un panorama cualitativo de los campos científico-técnico que intervienen en el estudio de las turbomáquinas.

MECÁNICA DE FLUIDOS

Termodinámica y transferencia de calor

Ciencia de los materiales

Turbomáquinas: a) Investigación b) Desarrollo c) Diseño d) Construcción e) Mantenimiento

Acústica

Mecanización industrial

Control eléctrico

Matemáticas aplicadas

Mecánica del sólido y análisis de vibraciones Desarrollos informáticos

Figura 10.1.- Campos científico-técnicos y etapas en el estudio de las turbomáquinas.

Las variables básicas que intervienen en el estudio de turbomáquinas son también numerosas y se pueden agrupar en las siguientes categorías: Variables geométricas (diámetros, ángulos, espesores, huelgos,...). Variables mecánicas (par, velocidad de giro, potencia en el eje, esfuerzos,...). Variables fluidodinámicas (presión, velocidad, caudal, temperatura, densidad, viscosidad,…) La definición general presentada se matizará para cada tipo de turbomáquina al presentarse la clasificación de las mismas en el próximo apartado. En cualquier caso, se debe señalar aquí que las turbomáquinas más comunes son las bombas, los compresores, los ventiladores y las turbinas.


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10.1.2.- Clasificación general de las turbomáquinas. En la figura 10.2 se muestra la clasificación general de las turbomáquinas. A continuación se detallan y especifican cada uno de los criterios y diferencias existentes. Para ello se debe tener presente el proceso global de intercambio de energía en el rodete de una turbomáquina, descrito en el apartado anterior.

⎧ ⎧ ⇒ Bombas. ⎧Aumento de presión ⎪ ⎪Generadoras ⎪ Aumento de energía potencial ⇒ Tornillo deArquímedes. ⎨ ⎪ ⎪ ⎪Generación de energía cinética ⇒ Hélices (marinas). ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Hidráulicas (Flujo incompresible) ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ Turbinas Pelton (Acción). ⎧Disminución de energía cinética ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧Turbinas Kaplan (Axiales). ⎪ ⎪ ⎪Receptoras ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Disminución de presión ⎨Turbinas Francis (Centrífugas y mixtas). ⎪ ⎪Turbinas de flujo cruzado (Ossberger). ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎪ Turbomáquinas ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⇒ Ventiladores (∆P ≤ 7 kPa). ⎧ Aumento de energía cinética ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Generadoras ⎪⎨ Aumento de presión ⎧⎨Soplantes (∆P < 300 kPa). ⎪ ⎪ ⎪ ⎩Compresores (∆P ≥ 300 kPa). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ Aumento de energía cinética ⇒ Hélices (Aeronáutica). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Térmicas (Flujo compresible) ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎧Turbinas de vapor. ⎪ Disminución de entalpía ⎨ ⎪ ⎪ ⎪Receptoras ⎨ ⎩Turbinas de gas. ⎪ ⎪ ⎪Disminución de energía cinética ⎪ ⇒ Aeroturbinas. ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩

Figura 10.2.- Clasificación de las turbomáquinas

10.1.3.- Clasificación según la geometría. Las turbomáquinas se basan en una variación del momento cinético del fluido1 como consecuencia de la deflexión producida en el interior del rodete (que se expondrá en la segunda parte de esta lección), desde su entrada siempre axial a su salida. El intercambio energético será mayor cuanto mayor sea la deflexión de la corriente, a igualdad de otras condiciones. Existen dos tipos básicos de geometrías de turbomáquinas en función de la dirección del flujo de salida:

• Radiales (o Centrífugas): el flujo de salida es en dirección radial. • Axiales: el flujo llega y sale axialmente. Habitualmente, se distinguen otros dos tipos de geometrías de turbomáquinas:

• Mixtas: o de flujo mixto. El flujo de salida, tiene tanto componente axial como radial. • De flujo cruzado: el flujo de salida atraviesa dos veces el rodete de la máquina. En la figura 10.3, se representan los cuatro tipos, para la aplicación específica de ventiladores; y en la figura 10.4, se representa una típica bomba centrífuga:

1

→

⎛ ⎝

→ ⎞

Momento cinético, o momento de cantidad de movimiento: r × ⎜⎜ m v ⎟⎟

⎠


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De flujo radial o centrífugo

De flujo axial

De flujo cruzado

De flujo mixto

Figura 10.3.- Distintas geometrías de turbomáquinas (ventiladores).

Figura 10.4.- Geometría de una bomba centrífuga.

10.1.4.- Clasificación según el sentido de la transferencia de energía. El intercambio energético entre fluido y rotor, puede ser en dos sentido: MÁQUINAS GENERADORAS: en donde parte de la potencia transmitida por el eje al rotor, se utiliza en aumentar la energía específica de un determinado caudal de fluido; son máquinas que consumen potencia, y generan un aumento de la energía específica del fluido. De este tipo son las bombas, ventiladores, hélices marinas, etc. (ver figuras 10.5 y 10.6). •

•

∆e =

−ηW •

m

m = caudal másico ∆e = aumento de energía específica del fluido p v 2 + gz e = energía específica = uˆ + + ρ 2 η = ren dim iento •

W = potencia consumida (< 0)


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Figura 10.5.- Bomba centrifuga

Figura 10.6.- Hélice marina.

Figura 10.7.- Turbina Kaplan

MÁQUINAS RECEPTORAS: en donde el caudal de fluido cede parte de su energía especifica al rotor, lo que provoca una salida de potencia a través del eje; son máquinas que desarrollan potencia, y son receptoras de la energía del fluido. De este tipo son las turbinas, tanto hidráulicas como eólicas (figuras 10.7 y 10.9). •

m = caudal másico − ∆e = disminución energía específica del fluido •

•

W = −η m ∆e

p v 2 e = energía específica = uˆ + + + gz ρ 2 η = rendimiento •

W = potencia desarrollada (> 0)

10.1.5.- Clasificación según la componente de energía fluidodinámica modificada. La energía especifica, es la energía por unidad de masa, y tiene cuatro componentes (específicas, por unidad de masa): p v 2 + gz e = uˆ + + ρ 2 energía especifica = energía interna (û) + trabajo de flujo (p/ ρ ) + energía cinética (v2 /2) + energía potencial (gz) Variación de energía potencial.

Un ejemplo es el tornillo de Arquímedes: se trata de un tornillo dentro de una carcasa; cuando se gira en el sentido adecuado, arrastra el fluido en dirección axial. Si se inclina, lo único que varía es la cota geodésica. La presión es la atmosférica y no hay variación de velocidad. Se usaba para elevar aguas; actualmente sólo para aguas residuales y otras emulsiones (figura 10.8).

Figura 10.8.- Ejemplo de tornillo de Arquímedes. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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Variación de energía cinética.

Un ejemplo es una turbina eólica, en la que se aprovecha parte de la energía cinética del viento, y no varía la presión (presión atmosférica) (ver figuras 10.9 y 10.10). A este tipo de máquinas se les llama máquinas de acción pura. Otro ejemplo es un ventilador de mesa: aspira aire en reposo y lo impulsa a una determinada velocidad sin variación de presión. En una turbina Pelton el chorro de agua a presión atmosférica incide sobre las cucharas (álabes), pudiendo conseguir que la velocidad absoluta de salida sea nula. Otro ejemplo de este tipo de máquinas son las hélices de aviación y las marinas.

Figura 10.9.- Turbina eólica o aeroturbina.

Figura 10.10.- Diámetro en función de la potencia de una aeroturbina

(entalpía si no hay variación de energía interna). En estas máquinas únicamente varía el término de presión, o bien las otras variaciones son despreciables frente a la de presión. Es lo que ocurre en bombas centrífugas: las variaciones de cota geodésica son muy pequeñas, y aunque suele ocurrir que el diámetro en el conducto de impulsión es diferente del de aspiración y. por tanto, la energía cinética varía, esta variación es despreciable frente a una altura de elevación que puede ser de varios metros. A este tipo de máquinas se les llama máquinas de reacción. Otro ejemplo de este tipo de máquinas sería una turbina Francis: el fluido llega a la turbina con una gran presión, incide sobre el rodete y disminuye la presión (ver figura 10.11). Variación de presión

Figura 10.11.- Rodete de turbina Francis.

Para cuantificar la proporción entre acción y reacción, se define el grado de reacción como el cociente entre la variación de entalpía y el de energía total. Su valor esta habitualmente comprendido entre 0 y 1 (aunque existen máquinas con un grado de reacción mayor de la unidad). Si es 0, será una máquina de acción pura. Si es 1, se tiene una máquina de reacción pura.

χ =

∆h ∆e

⎛ MÁQUINAS ⎞ ⎟ ⇐ χ = 0 ⎜⎜ ⎟ ⎝ DE ACCIÓN ⎠ ⎛ MÁQUINAS ⎞ ⎟ ⇐ χ = 1 ⎜⎜ ⎟ ⎝ DE REACCIÓN ⎠

∆h = 0 ∆e = ∆(v 2 / 2)+ ∆(gz )

∆v ∆z

∆h = ∆e 0 = ∆(v 2 / 2)+ ∆(gz )


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R P

ur Mr

R 1

vr1 Mz

z

v1

Mt

uz

R C

vz1

vt1

vt

ut dA Figura 10.15. Momentos sobre la turbomáquinas Figura 10.16. Flujo elemental de entrada a través de un elemento de área.

Dado que el momento en el eje sólo tiene componente en la dirección del propio eje (Mz en dirección axial), será esa la única dirección considerada en el intercambio energético del rodete. Desde luego, existirán esfuerzos y momentos en las otras dos direcciones (radial y tangencial), pero serán mucho menores que los correspondiente a la dirección z (figura 10.15). Aunque el efecto de dichos esfuerzos en las otras direcciones pudiera constituir fuente de problemas en los apoyos, no deberían tener valores comparables a los del par en la dirección axial.

En la entrada, la sección de paso, es la corona circular entre el cubo (R C) y la punta (R P) (figura 10.16). En coordenadas cilíndricas, la integral de variación temporal del momento cinético en la sección de entrada es:

⎛ → → ⎞ ⎛ → → ⎞ ρ⎜⎜ r 1 × v1 ⎟⎟ ⎜⎜ v1 ⋅ dA 1 ⎟⎟ = ⎠ axial ⎝ ⎠ E ⎝

∫∫

∫∫

•

ρ(R 1 v t1 )(− dQ) = − m(R 1 v t1 )

E

En flujo estacionario, el caudal másico, debe ser igual en la entrada y en la salida: •

m=−

⎛ → → ⎞ ρ⎜⎜ v1 ⋅ dA ⎟⎟ = ⎠ E ⎝

∫∫

⎛ → → ⎞ ρ⎜⎜ v 2 ⋅ dA ⎟⎟ = ⎠ S ⎝

∫∫ ∫∫ ρdQ =

E

∫∫ ρdQ S

El radio medio de entrada por la velocidad tangencial media de entrada es:

R 1 v t1

ρ(R v )(dQ) ∫∫ = 1 t1

E

•

m En cilíndricas, el producto vectorial del vector de posición radial y la velocidad de entrada es: → → → → v1 = v r 1 u r + v t1 u t + v z1 u z → → r 1 = R 1 u r

Con lo que la componente axial es:

→

→

→

u r u t u z → → → → → ⇒ r 1 × v1 = R 1 0 0 = 0 u r + R 1 v z1 u t + R 1 v t1 u z v r 1 v t1 v z1

⎛ → → ⎞ ⎜⎜ r 1 × v1 ⎟⎟ = R 1 v t1 ⎝ ⎠ axial


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El producto escalar del vector velocidad por el vector área elemental, es menos el caudal elemental: → → → → ⎞ ⎛ → ⎞ ⎛ → v 1 ·dA = ⎜⎜ v r 1 u r + v t1 u t + v z1 k ⎟⎟·⎜⎜ − dA u z ⎟⎟ = − v z1dA = −dQ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

De forma totalmente análoga, se obtienen expresiones para la sección de salida:

⎛ → → ⎞ ⎛ → → ⎞ ρ⎜⎜ r 2 × v 2 ⎟⎟ ⎜⎜ v 2 ⋅ dA 2 ⎟⎟ = ⎠ axial ⎝ ⎠ S ⎝

∫∫

•

∫∫

ρ(R 2 v t 2 )(− dQ) = m(R 2 v t 2 )

S

El radio medio de salida por la velocidad tangencial media de salida es:

R 2 v t 2

ρ(R 2 v ∫∫ = S

t 2 )(dQ )

•

m Con todo el momento provocado por el paso del flujo por el rodete es: •

− M eje = m(R 2 v t 2 − R 1 v t1 )

.

Por simplificar la expresión anterior, habitualmente se encuentra sin los símbolos del promedio, y el caudal másico se expresa por la densidad media y el caudal volumétrico:

−M eje = ρQ (R 2 v t 2 − R 1 v t1 ) La potencia en el eje será el producto de la velocidad de giro por el momento sobre el eje: •

− W = −ω ⋅ M = ω ⋅ ρQ(R 2 ·v t 2 − R 1 ·v t1 ) = ρQ(ωR 2 ·v t 2 − ωR 1 ·v t1 ) = ρQ(u 2 ·v t 2 − u 1 ·v t1 ) Quedando, la denominada ecuación de Euler de las turbomáquinas: •

− W = ρ Q(u 2 v t 2 − u1v t1 ) En donde:

− w = u 2 v t 2 − u 1 v t1

≡

u1 es la velocidad tangencial del radio medio del borde de ataque o de entrada del álabe. u2 es la velocidad tangencial del radio medio del borde de estela o de salida del álabe. vt1 es la velocidad tangencial del flujo en el radio medio del borde de ataque. vt2 es la velocidad tangencial del flujo en el radio medio del borde de estela.

La componente tangencial, que hemos denotado por vt; se suele denotar también, en componente de la velocidad tangencial de un punto del álabe (u= ωr); es decir por vu. Esta notación es muy útil, en la representación de los triángulos de velocidades (tanto en la entrada como en la salida): velocidad absoluta = velocidad tangencial + velocidad relativa (figura 10.17):

→

→ →

v = u+ w

Las componentes tangenciales de la velocidad absoluta, de entrada y de salida: v u1 y vu2 son las que aparecen en la Ec. de Euler. Las componentes normales, v n1 y v n2, son las que determinan el caudal volumétrico que atraviesa un determinado elemento de área.

vn

v α

vt u

w β

Figura 10.17.- Triángulo de velocidades _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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La justificación del signo negativo en la Ec. de Euler, viene dada por el criterio de signos termodinámico: potencia aportada a la turbomáquina negativa, y potencia desarrollada por la turbomáquina positiva. En las turbomáquinas generadoras, se aporta potencia al eje, con la que se genera un aumento de la energía específica del fluido; en las turbomáquinas receptoras, el eje es el receptor de la disminución de la energía específica del fluido:

e2

e2

m

e1

m

e1

m

m W(<0)

W(>0) •

GENERADORA: e2 > e1 : e 2 = e1 +

•

−W

•

RECEPTORA: e1 > e2 : W = m(e1 − e 2 )

•

m La potencia específica viene dada por la variación de la energía específica del fluido: •

•

•

− W = m(e 2 − e1 )

⇒

− w eje =

−W •

= (e 2 − e1 )

⇒ − w eje = (e 2 − e1 )

m p v 2 + gz Recordamos que la energía específica es: e = uˆ + + ρ 2 Si en la energía especifica, no consideramos la variación de energía potencial, expresamos la suma de la energía interna y del trabajo de flujo, como la entalpía específica: h = û+p/ρ; y se define entalpía de estancamiento, como suma de la entalpía y de la energía interna (específicas); h = uˆ +

p v 2 h 0 = uˆ + + ρ 2

p ρ

Queda como potencia específica:

⎛ p v 2 ⎞ ⎛ p v 2 ⎞ − w eje = (e 2 − e1 ) = ⎜⎜ uˆ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ uˆ 1 + 1 + 1 ⎟⎟ = h 02 − h 01 ρ 2 2 ⎠ ⎝ ρ1 2 ⎠ ⎝

− w eje = (h 02 − h 01 ) = ∆h 0

Es decir, la potencia específica viene determinada por la variación de la entalpía de estancamiento del fluido al atravesar la turbomáquina. La potencia específica, también se puede obtener a partir de la Ec. de Euler de turbomáquinas: •

− w eje =

−W •

m

=

ρ Q(u 2 v t 2 − u 1 v t1 ) = u 2 v t 2 − u 1 v t1 ρQ

Con lo que la variación de entalpía específica de estancamiento, viene dada por la variación del producto de la velocidad tangencial del álabe y de la componente tangencial de la velocidad absoluta del fluido:

∆h 0 = u 2 v t 2 − u 1 v t1 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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10.3.- Turbomáquinas hidráulicas. La variación de energía del fluido por unidad de peso, tiene dimensiones de longitud y se denomina altura o carga; su expresión para una turbomáquina hidráulica, en donde se puede despreciar la variación de energía interna, y considerar la densidad constante, viene dada por:

⎞ ∆ p ∆(v 2 ) p v 2 ∆E m∆e ∆e 1 ⎛ ⎜ = = = ∆ uˆ + + + gz ⎟⎟ = + + ∆z H= mg mg g g ⎜⎝ ρ 2 2g ⎠ ρg Si se despreciar las variaciones de energía cinética y potencial, frente al trabajo de flujo, se tiene que la altura viene determinada por la variación de presión: ∆ p H≅ ρg La variación de energía especifica ( ∆e) viene dada por la potencia transmitida entre la turbomáquina hidráulica y el fluido (Ph): −P −Ph = ρgQ H ∆e = h = gH ≡ ρQ La altura, también se puede expresar a partir de la Ec. de Euler: H=

− Ph (ρQ )(u 2 v t 2 − u 1 v t1 ) u 2 v t 2 − u 1 v t1 = = ρgQ ρgQ g

Esta última expresión, se puede expresar en función de la velocidad absoluta y relativa; a partir del triángulo de velocidades:

vt v α

vn v

2

− v 2t

w

2

= w − (u − v t )

2

β

u ≡

v 2 − v 2t = w 2 − (u − v t )2 = w 2 − u 2 − v 2t + 2u v t

u vt =

v2 + u 2 − w 2 2

La altura H, se puede expresar por las siguientes ecuaciones:

Igualándolas:

H=

u 2 v t 2 − u 1 v t1 (v 22 + u 22 − w 22 )− (v12 + u 12 − w 12 ) = g 2g

H=

p − p v 2 − v 2 ∆ p ∆(v 2 ) + + ∆z = 2 1 + 2 1 + (z 2 − z 1 ) ρg ρg 2g 2g

(v 22 + u 22 − w 22 )− (v12 + u 12 − w 12 ) = p 2 − p1 + v 22 − v12 + (z ρg

2g

p 2 w 22 u 22 p 1 w 12 u 12 + + gz 2 − = + + gz 1 − ρ ρ 2 2 2 2

⇒

2g

2

− z1 )

p w 2 u2 + + gz − = cte ρ 2 2

Al expresar la velocidad tangencial u = ωr, se obtiene la Ec. de Bernoulli en campo centrífugo: 1 1 p + ρ w 2 + ρgz − ρ ω 2 r 2 = cte 2 2 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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10.3.1. BOMBA CENTRÍFUGA : TURBOMÁQUINA GENERADORA DE FLUJO RADIAL Consideremos una bomba centrífuga, en donde el flujo en el rodete no tiene componente axial, ni en la entrada del flujo por el borde de ataque de los álabes, ni en la salida por el borde de estela: vz1 = vz2; además es habitual que el flujo entre con dirección exclusivamente radial sin componente tangencial: vt1 = 0 . En la figura 10.18., se representa un rodete de una bomba centrífuga, de envergadura constante: en la perspectiva se visualizan dos de los ocho álabes; y en la vista del corte con un plano perpendicular al eje de giro a envergadura media, se tiene los perfiles hidrodinámicos de cada uno de los ocho álabes, y sus correspondientes triángulos de velocidades:

Figura 10.18.- Rodete de una bomba centrífuga, con 8 álabes curvadas hacía atrás.

En el triángulo de entrada, la velocidad absoluta tiene componente exclusivamente radial (= normal), con lo que la componente tangencial es nula. vt2 v1 vn1

w1

α1=90º u1

v2

β1

α2

w2

vn2

β2 u2

Figura 10.19.- Triángulos de velocidades de entrada (1) y de salida (2) en un álabe de bomba centrifuga

El caudal viene determinado por el ángulo de entrada del álabe (β1=ángulo de la velocidad relativa con la dirección tangencial) y su velocidad tangencial (u1 = ωR 1): Q = (2πR 1 b1 )v n1 = (2πR 1 b1 )(u 1 tgβ1 ) La potencia específica, viene determinada por el producto de las velocidades tangenciales de salida: del rodete y del fluido: − w = u 2 v t 2 − u 1 v t1 = u 2 v t 2 Q v n2 v 2πR 2 b 2 ⇒ tgβ 2 = v t2 = u 2 − n2 ⇒ v t2 = u 2 − u 2 − v t2 tgβ 2 tgβ 2 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

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Expresando la energía intercambiada, por unidad de peso, se tiene la altura de elevación:

H=

− W − W / m − w u 2 v t2 = = = mg g g g

⎛ ⎞ Q ⎟⎟ u 2 ⎜⎜ u 2 − π β 2 R b tg 2 2 2 ⎠ = ⎝ g

⇒

H=

u 22 u2 1 − Q g g 2πR 2 b 2 tgβ 2

La altura de elevación es proporcional al caudal, su valor a caudal nulo es u 22/g, y la pendiente es positiva, nula o negativa en función del valor del ángulo de salida del álabe β2. Cuando β2 = 90º, se tiene un álabe radial, con β2 > 90º, el álabe esta curvada adelante, y con β2 < 90º, el álabe esta curvado atrás.

w2

H (m) H=

β2 > 90º

u 22 g

w2

β2=90º

β2>90º

β2<90º

β2 = 90º

radial

curvado átras

β2 < 90º

curvado adelante

w2

Q (m3/s)

Figura 10.20.- Efecto del ángulo de salida del ála be, sobre la curva característica H vs Q.

El utilizar un determinado ángulo de salida del álabe, depende de los efectos disipativos generados por la estela turbulenta que se inicia en el punto de desprendimiento localizado en la cara de succión, y la resistencia al giro provocada por el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión: En un álabe curvado adelante, la velocidad tangencial del álabe va en sentido contrario al crecimiento de la estela, con lo que ésta ocupa gran parte del volumen entre álabes; además el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión, genera una sustentación en sentido contrario al de giro, con lo que el momento resistente del giro de los álabes es alto. En un álabe curvado atrás, la velocidad tangencial del álabe va en el mismo sentido que al crecimiento de la estela, con lo que ésta queda “comprimida” en la cara de succión y ocupa muy poco volumen entre álabes; además el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión, genera una sustentación en el mismo al de giro, con lo que el momento resistente del giro de los álabes es bajo.

β2>90º β2<90º

ωR w1

ÁLABE CURVADO ATRAS

w1

ωR ÁLABE CURVADO ADELANTE

Figura 10.21.- Efectos disipativos en función del ángulo de salida del álabe.


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Otra consideración importante, es que solo para un determinado valor del caudal, que se denomina caudal nominal, el flujo sobre el borde de ataque entra según la dirección de la cuerda (prácticamente a ángulo de ataque nulo). Si el caudal es mayor que el nominal, el ángulo de ataque es positivo y aumentando con el caudal: el flujo relativo no entra tangencial al álabe, con lo que el punto de separación de la capa límite (álabe curvado atrás) se va aproximando al borde de ataque, y la estela turbulenta es muy amplia. Además, las velocidades aumentan, y con ello puede haber disminuciones locales de presión, con lo que se pueden tener efectos de cavitación. Si el caudal es menor que el nominal, el ángulo de ataque es negativo y aumentando (en modulo) con la disminución de caudal: el flujo relativo no entra tangencial al álabe, con lo que el punto de estancamiento se sitúa en la cara de succión, lo que provoca una sustentación negativa del perfil, y con ello un aumento de la resistencia a su giro. Se genera una amplia estela en la cara de presión, con una alta verticidad en sentido contrario al giro de la turbomáquina: es el denominad desprendimiento rotativo.

Q > Qnominal

Q = Qnominal Q < Qnominal w1 v1 u1

v1

α < 0º

w1

α = 0º

v1

u1

α > 0º w1 u1

Figura 10.22.- Efectos disipativos en función del caudal ( ángulo de ángulo de ataque) .

Las consideraciones anteriores, hacen que tanto a altos como a bajos caudales, la altura de elevación sea menor que la correspondiente a la evolución teórica lineal, con lo que se tienen curvas características, con un rendimiento máximo en el caudal nominal, y una dependencia cuadrática de la altura con el caudal.

H m

ηmáximo

Hmáxima (%)

P (kW) Q=0

Qnominal

Qmáximo

Q (m3/s)

Figura 10.23.- Curvas características de una bomba centrífuga


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10.3.2. TURBINA CENTRIFUGA FRANCIS : TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE FLUJO RADIAL. En una turbina centrífuga tipo Francis2,de flujo totalmente radial, los álabes están situados de tal forma, que el borde de ataque esta a un radio constante (R 1) y a menor radio (R 2) se sitúa el borde de estela. Para que el flujo entre tangencialmente a la curvatura del álabe en el borde de ataque, es necesario disponer, aguas arriba, un directriz; que además para que se cumpla la condición de entrada sin choque, puede variar su calado (ángulo respecto a la dirección tangencial) para cada caudal: es lo que se denomina turbomáquina de geometría variable. En la figura 10.24. se representa el corte del rotor con un plano perpendicular al eje a envergadura media, en donde el álabe directriz guía el flujo hacia el borde de ataque del álabe del rotor:

β1 α1

u1

v1

α1

w1 u2

β2 w 2

v2

α2

R 2 R 1

R D Figura 10.24.- directriz y móvil, de una turbina radial

La potencia desarrollada viene dada por la Ec. de Euler para turbomáquinas, en donde las componentes tangenciales se expresan en función de las velocidades absolutas y sus correspondientes ángulos Pturbina = ρQ(u 1 v1t − u 2 v 2 t ) = ρQ(u 1 v1 cos α1 − u 2 v 2 cos α 2 ) vt2 vt1

vn1

w1

v2

vn2

v1

w2

β1

β2

α1

α2 u2

u1 Las velocidades absolutas, vienen determinadas por el caudal y sus ángulos:

v n1 Q /(2πR 1 b1 ) v Q /(2πR 2 b 2 ) = v 2 = n2 = senα 1 senα 1 senα 2 senα 2 Finalmente, se puede obtener la siguiente expresión para la potencia desarrollada por la turbina: v1 =

Pturbina = 2

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ρωQ 2 ⎜⎜ − α α 2π b tg b tg 2 2 ⎠ ⎝ 1 1

Primera turbina centrifuga eficiente, construida en 1849 por James B. Francis.


10. TURBOMÁQUINAS

16

10.3.3. TURBINA KAPLAN : TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE FLUJO AXIAL. En una turbina Kaplan, el flujo en el rodete no tiene componente radial, ni en la entrada del flujo por el borde de ataque de los álabes, ni en la salida por el borde de estela: vr1 = v r2. Los s se sitúan sobre “el cubo”, concéntrico con el eje de giro: el álabe se extiende desde la raíz (unión con el cubo) hasta un radio máximo de la propia punta del . Consideraremos la intersección de todos los álabes con un cilindro concéntrico con el eje de giro, de radio igual a un radio medio R, entra la raíz y la punta; lo que da lugar a una cascada de perfiles hidrodinámicos, sobre la que se representan los triángulos de velocidades:

vt1

vn1

u1

w1 w2

R

u2

Q

vn2 1

2

1

vt2

2

Figura 10.25.- Corona de álabes móviles en una turbina axial.

La potencia isentrópica desarrollada por la turbina Kaplan es: PKaplan = ρQ(u 1 v t1 − u 2 v t 2 ) = ρQu(v t1 − v t 2 )

Las velocidades tangenciales, se expresan en función de las velocidades normales: v t1 =

vn tgα 1

v t2 = u −

vn tgβ 2

(v t1 − v t 2 ) =

⎛ 1 vn v 1 ⎞⎟ − u + n = ⎜⎜ + v −u tgα1 tgβ 2 ⎝ tgα 1 tgβ 2 ⎠⎟ n

Estamos considerando una posición radial media, y que el área de paso tanto en la entrada como en la salida, es la corona perpendicular al eje, que se extiende desde el radio del cubo (o de la raíz del álabe) hasta el radio de la punta del álabe: Q Las velocidades normales, son iguales, al serlo las secciones de paso: v n = 2 π(R punta − R 2raiz ) Finalmente, la potencia desarrollada es:

PKaplan

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ u ⎟ − ρQu 2 2⎜ = ρQ ⎜ tgα 1 tgβ 2 ⎟ ⎜⎜ π(R p2 − R 2R ) ⎟⎟ α + β tg tg 1 2 ⎠ ⎝

Para que la velocidad relativa en la entrada siga la dirección de la cuerda del álabe de rotor, para diferentes caudales, se pueden tener dos sistemas: -

turbomáquinas de geometría variable, en donde se dispone aguas arriba, una corona de álabes directrices, que en función del caudal, modifican su ángulo de salida, al pivotar cada uno de los álabes directrices, para guiar el flujo de entrada en dirección a la cuerda del correspondiente álabe del rotor.

-

rotor con álabes de paso controlable, en donde el calado o ángulo de paso de los álabes del rotor, se modifica en función del caudal, al pivotar sobre el anclaje de la raíz en el cubo, para recibir el flujo de entrada, en dirección a su correspondiente cuerda.


10. TURBOMÁQUINAS

17

Q
<

1N

Q=Q NOMINAL

u1 v1

w1 1

v1

Q>Q NOMINAL

=

u1

1N

1

>

v1

1N

u1

w1

w1

u1

w1 1

=

v1

v1

u1

1N

u1

w1

CORONA ÁLABES FIJOS DISMINUCIÓN CALADO

CORONA DE S MOVILES

w1

CORONA DE S MOVILES

CORONA ÁLABES FIJOS CALADO NOMINAL

CORONA ÁLABES FIJOS AUMENTO CALADO

CORONA DE S MOVILES

Figura 10.26.- Calado de los álabes fijos de la corona directriz, en función del caudal.

Q
v1

<

Q=Q NOMINAL

1N

u1

1

=

1N

v1

w1

u1 w1

v1

u1

1

1N

v1 u1

v1 u1

w1

CORONA DE ÁLABES MOVILES CALADO CONTROLABLE DISMINUCION DEL CALADO

>

w1

v1

w1

Q>Q NOMINAL

CORONA DE ÁLABES MOVILES CALADO NOMINAL

u1 w1

CORONA DE ÁLABES MOVILES CALADO CONTROLABLE AUMENTO DEL CALADO

Figura 10.27.- Calado de los álabes móviles del rotor, en función del caudal.


10. TURBOMÁQUINAS

18

En cuanto al ángulo de calado o de paso del álabe, se define como el ángulo de la cuerda del perfil con la dirección tangencial: así el ángulo de calado de la raíz es relativamente alto, y prácticamente nulo en la punta. La disminución del ángulo de calado desde la raíz a la punta, viene determinado para conseguir que desde la raíz a la punta, el flujo de entrada lo haga en haga por la dirección marcada por la cuerda del álabe del rotor. Consideraremos que en un álabe del rotor, la velocidad normal de entrada del flujo es prácticamente constante desde la raíz a la punta (para un determinado caudal); en cambio la velocidad tangencial del flujo va aumentando desde la raíz a la punta, siguiendo el aumento de la propia velocidad de arrastre del álabe, que va aumentando desde la raíz (menor radio) a la punta (mayor radio). Con lo que para que en cada en cada posición radial, el flujo de entrada relativo entre según la dirección del borde de ataque, éste tiene que ir disminuyendo su ángulo de calado: v1

v1 w1

u1

u1

v1

w1

u1 w1

1 Radio Medio

1RAÍZ

CORONA DE ÁLABES MOVILES ALTO CALADO EN LA RAÍZ

CORONA DE ÁLABES MOVILES CALADO MEDIO

1PUNTA

CORONA DE ÁLABESS MOVILES BAJO CALADO EN LA PUNTA

Figura 10.28.- Calado de las secciones radiales de los álabes móviles del rotor.

10.3.4. TURBINA DE ACCIÓN PELTON : TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE ACCIÓN PURA. El grado de reacción de una turbomáquina viene definido por la relación entre la variación de entalpía específica y la variación de energía específica del flujo al atravesar la máquinas:

χ=

∆uˆ + ∆( p / ρ) ∆h = ∆e ∆uˆ + ∆( p / ρ) + ∆(v 2 / 2)+ g∆z

En el caso de turbomáquinas hidráulicas, es despreciable la variación de energía interna, quedando:

χ hidráulica =

∆( p / ρ) ∆h = ∆e ∆uˆ + ∆( p / ρ) + ∆ (v 2 / 2)+ g∆z

En el caso de las turbinas Pelton3, los álabes reciben un chorro de alta velocidad y a presión atmosférica; con lo que el flujo esta a presión constante, y por tanto su grado de reacción es nulo, denominándose turbinas de acción. El modulo de la velocidad relativa de entrada del chorro al álabe (w1 = v 1-u), se mantiene constante en su interacción con el chorro (proceso isentrópico sin efectos disipativos), con lo que el modulo de la velocidad 3

Primera turbina de acción eficiente, diseñada en 1869 por Lester A. Pelton.


10. TURBOMÁQUINAS

19

relativa de salida será igual. El triángulo de velocidades en la entrada queda reducido a tres vectores tangenciales, y en el triángulo de velocidades en la salida, el modulo de la velocidad relativa es igual al de la entrada, y su dirección viene marcada por el ángulo de salida del álabe. El álabe se diseña de tal forma que el chorro incidente se divide en dos chorros simétricos horizontales, con lo que se compensan los esfuerzos en el álabe en dirección axial.

R

w2

β2

v1 u

v1

u w2

Figura 10.29.- Rueda de álabes de una turbina Pelton.

v2

w2

vt2

u

v1 w1

u1

v2

w2

β2 β2

Se tienen dos triángulos de velocidades de salida simétricos, uno por cada uno de los lados por los que salen los chorros, cada uno con la mitad del caudal de entrada. El trabajo específico viene dado por la Ec. de Euler de turbomáquinas: Q ⎡ Q ⎤ Pturbina = ρQ(v1t u 1 ) − ⎢ρ (v 2 t u 2 ) + ρ (v 2 t u 2 )⎥ = ρQu(v 1t − v 2 t ) 2 ⎣ 2 ⎦ velocidad tangencial absoluta del chorro en la entrada: “jet”) v t1 = v1 = v j (velocidad del chorro: v j velocidad tangencial absoluta de cada chorro de salida: v t 2 = u − w 2 cos(180º −β 2 ) = u + w 2 cos β 2 = u + v j − u cos β 2

Con lo que la potencia isentrópica desarrollada por la turbina Pelton es: Pturbina = ρQu v j − u + v j − u cos β 2 = ρQu v j − u (1 − cos β 2 )

Si se considera un solo , el caudal que le llega es: Q = A j(v j-u), con lo que la potencia será: Pálabe = ρA j (v j − u )u (v j − u )(1 − cos β 2 ) = ρA j (1 − cos β 2 )u (v j − u )2


10. TURBOMÁQUINAS

20

Que tiene un máximo, para u = v j /3; es decir, cuando la velocidad tangencial del es un tercio de la del chorro. No obstante, en una turbina Pelton real, con un determinado número de s, prácticamente todo el caudal del chorro (Q = A jv j) es recogido por los álabes; con lo que la potencia será: Pálabe = ρA j v j u (v j − u )(1 − cos β 2 ) = ρA j (1 − cos β 2 )uv j (v j − u )2 Que tiene un máximo, para u = v j/2; es decir, cuando la velocidad tangencial de cada es la mitad que la del chorro. En cuanto al ángulo de salida del , se tiene potencia máxima, con β2 = 180º, es decir, cuando los chorros de salida, saliendo en dirección del chorro de entrada y sentido contrario; no obstante, las posibles interferencias de los chorros de salida con el chorro de entrada, obliga a trabajar con ángulos menores, del orden de β2 = 165º; lo que lleva a potencias ligeramente inferiores, del orden de (1-cos165º)/(1-con180º) = 0,983.

10.3.5. VELOCIDAD ESPECÍFICA : PARÁMETROS ADIMENSIONALES DE LAS TURBOMÁQUINAS: Los tres tipos de turbinas hidráulicas anteriores: Pelton, Francis y Kaplan y Pelton, se distinguen en la relación caudal / altura: así las turbinas de acción pura (Pelton) mueven poco caudal con mucha altura, en cambio las turbinas de reacción de flujo axial (Kaplan) mueven mucho caudal con poca altura. Algo parecido ocurre en cuanto a las bombas: en las centrífuga, el caudal es bajo y la altura de elevación alta; en cambio en las bombas axiales, el caudal es alto y la altura de elevación es baja. La morfología de las turbomáquinas (axiales, radiales o mixtas), viene determinada por un parámetro adimensional que es independiente del tamaño de la máquina: es la denominada velocidad específica; y viene definido a partir de los parámetros adimensionales característicos de las turbomáquinas4. El parámetro adimensional del aumento de energía especifica del fluido, se denomina coeficiente de altura, y determina que para una misma turbomáquina generadora, si la velocidad de giro se duplica, la altura de elevación se cuadruplica; y que la altura depende del cuadrado del tamaño del rodete. CH =

gH ω2 D 2

El parámetro adimensional de la potencia consumida, se denomina coeficiente de potencia, y determina que la potencia depende del cubo de la velocidad de giro y de la quinta potencia del tamaño del rodete. P CP = ρω 3 D 5 El parámetro adimensional del caudal, se denomina coeficiente de caudal, y determina que el caudal aumenta linealmente con la velocidad, y cúbicamente con el tamaño. CQ =

Q ωD 3

La velocidad específica Ns es un parámetro adimensional, que se obtiene de los anteriores, que no depende del tamaño de la máquina, sino de su morfología. Para bombas y en general para turbomáquinas generadoras, se define velocidad especifica por la relación entre los parámetros adimensionales (C Q)1/2 / (CH)3/4. Para turbinas hidráulicas y en general para turbomáquinas receptoras, se define velocidad específica por la relación entre los parámetros adimensionales (CP)1/2 / (CH)5/4: N SB =

4

ωQ 1 / 2 (gH) 3 / 4

N ST =

ω(P / ρ)1 / 2 (gH) 3 / 4

Análisis dimensional a partir del teorema de Buckingham.


10. TURBOMÁQUINAS

21

Es práctica habitual, no incluir la gravedad en los cálculos de la velocidad específica, y expresar la velocidad en rpm; así para bombas, se trabaja con las siguientes expresiones de la velocidad específica, según se utilice el sistema técnico europeo o inglés: 1/ 2

N SB

N( rpm)(Q(m 3 / s ) = (H(m)) 3 / 4

CENTRÍFUGAS

N SB =

FLUJO MIXTO

N( rpm)(Q(galones/minuto )1 / 2 (H( pies)) 3 / 4

AXIALES 1/ 2

NSB = 10

20

40

80

100

NSB = 500

1000

2000

4000

5000

300

(rpm)(m 3 /s ) (m)3 / 4

1/ 2 15000 (rpm )(gal / min ) (ft )3 / 4

Figura 10.30.- Clasificación de las bombas, en función de su velocidad característica.

10.4.- Turbomáquinas térmicas. ANÁLISIS ENERGÉTICO: en el análisis energético de una turbomáquina, se ha obtenido que la potencia específica (por unidad de caudal másico), viene determinada por la variación de entalpía de estancamiento:

− w = (h 02 − h 01 ) = ∆h 0 En donde la entalpía específica de estancamiento, viene determinada por la suma de la entalpía específica y la energía cinética específica: h 0 = h + 12 v 2 Utilizaremos el diagrama h vs s, entalpía-entropía, para la representación de los cambios de estado del fluido en un determinado proceso. En concreto, se utilizan los diagramas h-s para estudiar los procesos de compresión (ver figura 10.31) y expansión (ver figura 10.32):

h (J/kgK)

h (J/kgK) isobara

h2 h2s

p2

isobara

p1

2 isobara

2s

p1

h1

isobara

1

h2 h2s

h1 1

s (J/kgK) s1

s2

Figura 10.31.- Proceso de COMPRESIÓN

p2

2

2s

s (J/kgK) s1

s2

Figura 10.32.- Proceso de EXPANSIÓN


10. TURBOMÁQUINAS

22

En ambos diagramas se muestra la comparación del proceso real (evolución de 1 a 2) con el equivalente proceso isentrópico (evolución de 1 a 2s). Utilizando estas figuras se definen los rendimientos isentrópicos: de un proceso de compresión y de un proceso de expansión: η SC

=

h 1 − h 2s h1 − h 2

η SE

=

h1 − h 2 h 1 − h 2s

En el intercambio energético en una turbomáquina, se debe considerar la entalpía de estancamiento; para lo que se modifican los diagramas mostrados las isobaras de las presiones de estancamiento.

h (J/kgK)

p02

h (J/kgK)

p2

02

h02 h2 h02s h2s

p01

2

∆h0=h02-h01 02s

p1

h01 h1

01 1

p02

1

∆h0=h02-h01

p2

02s 2s

02 2

s (J/kgK) s1

p1

01

h01 h1 h02s h2s h02 h2

2s

p01

s2

s (J/kgK) s1

Figura 10.33.- Proceso de COMPRESIÓN con entalpías de estancamiento h0 >0

s2

Figura 10.34.- Proceso de EXPANSIÓN con entalpías de estancamiento h0 <0

A continuación se va a expresar el trabajo específico en el eje en función de los rendimientos isentrópicos, para procesos de compresión y de expansión: η SC

=

h 02s − h 01 h 2s − h 1 = h 02 − h 01 h 2 − h 1

(w eje )COMPRESIÓN = h 01 − h 02s η SC

η SE

=

w eje

h 01 − h 02 h 1 − h 2 = h 01 − h 02s h 1 − h 2s EXPANSIÓN

= (h 01 − h 02s) η SE

Lógicamente, según el criterio de signos termodinámico, el trabajo en el eje resulta negativo en el caso de la compresión y positivo en el de la expansión. En relación con los diagramas entálpicos, una definición alternativa del grado de reacción sería el cociente entre la variación de entalpía y la variación de entalpía de estancamiento, es decir: h1 − h 2 χ = h 02 − h 01

10.5.- Curvas características. Es práctica común en turbomáquinas trabajar con la variable altura de elevación, derivada de la variación de entalpía entre la entrada y la salida, que se calcula según la expresión:

( − ) H = h 01 h 02 g Que tiene dimensiones de longitud. Precisamente el tener dimensiones de longitud (longitud de columna del fluido que atraviesa la máquina) le hace ser especialmente idónea para el estudio cuando se tiene flujo incompresible.


10. TURBOMÁQUINAS

23

Por otro lado, esta altura se corresponde con un cambio en la energía interna, cinética y de presión del fluido. En ausencia de las dos primeras o si éstas tienen un bajo valor relativo, se puede hablar de variación de la presión del fluido, que es una variable fácilmente medible en secciones aguas arriba y aguas debajo de cualquier máquina. La altura que proporciona una turbomáquina depende del flujo másico que atraviesa la máquina. En la figura 10.35 se muestra un ejemplo típico de curva de altura de elevación frente al flujo másico, para una determinada velocidad de rotación.

H (m)

m· Figura 10.35.- Curva característica de una turbomáquina: altura elevación vs caudal másico

En particular, la respuesta funcional de una turbomáquina de flujo incompresible viene caracterizada por la energía que se intercambia por unidad de peso del fluido, que tiene dimensiones de longitud, y que ya hemos definido como carga o altura de elevación H. Dicha altura es función del caudal circulante y de la velocidad de giro, y viene representa en la curva característica y que, normalmente, se expresa mediante un gráfico en el que se representa la energía (por unidad de peso) en metros de columna del fluido en función del caudal volumétrico impulsado, semejante en forma a la de la figura 10.35, pero en función del caudal volumétrico (Q) en vez del flujo & ). másico o caudal másico ( m Otros ejemplos de curvas características, obtenidos de catálogos de productos comerciales se pueden ver en las figuras 10.36 y 10.37, para ventiladores Cuando el flujo es incompresible, habitualmente, se utiliza el caudal (en vez del flujo másico) como variable independiente (figuras 10.23 y 10.24) y a veces se utiliza la presión, cociente o incremento de presión en vez de la altura de elevación (figuras 10.23, 10.24 y 10.25).

Figura 10.36.- Curvas características de un ventilador centrífugo con velocidad de accionamiento variable.

Figura 10.37. Curvas características de un ventilador Axial con distintos ángulos de los álabes

El rendimiento, definido para máquinas generadoras como cociente entre potencia hidráulica y potencia absorbida, también puede ser representado frente al caudal. Esta curva pasa por el origen (la potencia útil es nula), su valor aumenta hasta un máximo (condiciones de diseño) y luego vuelve a disminuir. En el caso de máquinas receptoras, se define como el cociente entre la potencia absorbida y la potencia útil. El rendimiento presentan la misma tendencia (crecimiento, máximo y disminución), excepto a bajos caudales para los que aparece un rendimiento negativo. Al igual que para el resto de las curvas, si se trata de máquinas de flujo incompresible, se habla habitualmente de curvas rendimiento-caudal. Habitualmente se representan todas juntas (al menos altura y rendimiento, como en la figura 10.23. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

10. TURBOMÁQUINAS

24

P.10.1. Ecuación de Euler para una bomba centrífuga. En una bomba centrífuga, el flujo sobre los álabes no tiene prácticamente componente axial, y además es habitual que el flujo de entrada hacia el borde de ataque sea prácticamente radial (α=90º). Con lo que el caudal de paso se puede determinar a partir de la geometría de los álabes: ángulos, radios y envergaduras. A partir de los datos: DETERMINE: 1. Caudal volumétrico. 2. Potencia hidráulica. 3. Altura de bombeo. DATOS: Fluido: densidad: ρ = 1000 Kg./m3 Álabes: borde de ataque: radio medio: R 1 = 60 mm; envergadura: b1 = 38 mm; ángulo: β1 = 43º borde de estela: radio medio: R 2 =115 mm; envergadura: b2 = 38 mm; ángulo: β2 = 32º RESOLUCIÓN:

v 2 β2 u 2 v1

β1 vt2

w1

v1

v2

vn2

α1

u1

β1 u1

w2

β2

α2 u2

1) CAUDAL VOLUMÉTRICO: la sección de entrada, correspondiente al radio medio del borde de ataque, tiene un área: A1 = 2πR 1 b1; la componente normal de la velocidad, es la que atraviesa perpendicularmente la citada área, con lo que el caudal de paso será: Q = (2πR 1 b1 ) v n1 En el caso de las bombas centrífuga, es habitual que el ángulo de la velocidad absoluta de entrada (respecto a la dirección tangencial) sea de 90º, es decir, que el flujo de entrada tenga exclusivamente componente normal, siendo la tangencial nula; es decir: vn1 = v1; vt1 = 0. El cálculo de la velocidad absoluta de entrada, se hace a partir del triángulo de velocidades: v1 = u 1 tgβ1 La velocidad tangencial correspondiente al radio medio del borde de ataque es:

⎛ 2π rad / s ⎞ ⎟⎟ 0,060 = 9,048 m/s u 1 = ω R 1 = ⎜⎜1440 rpm 60 rpm ⎝ ⎠ Con lo que las velocidades absoluta y normal de entrada son: Finalmente es caudal queda:

v1 = v n1 = u 1 tgβ1 = 9,048 tg 43º = 8,437 m/s

Q = (2πR 1 b1 ) v n1 = (2π 0,06 0,038) 8,437 = 0,121 m3 /s

2) POTENCIA HIDRÁULICA: se determina a partir de la Ec. de Euler para turbomáquinas: Ph = (ρQ)(u 1 v t1 − u 2 v t 2 ) En esta caso, la velocidad tangencial del flujo de entrada es nula, y la velocidad tangencial del flujo de salida, se determina a partir del triángulo de velocidades en la salida. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

10. TURBOMÁQUINAS

25

La velocidad tangencial correspondiente al radio medio del borde de estela es:

⎛ 2π rad / s ⎞ ⎟⎟ 0,115 = 17,342 m/s u 2 = ω R 2 = ⎜⎜1440 rpm 60 rpm ⎝ ⎠ La componente normal de la velocidad de salida, viene dada por el caudal de salida, igual al de entrada: Q = Q1 = Q 2

⇒

2πR 1 b1 v n1 = 2πR 2 b 2 v n 2

⇒ v n 2 = v n1

R 1 b1 0,060 ⋅ 0,038 = 8,437 = 4,402 m/s R 2 b 2 0.115 ⋅ 0,038

La componente tangencial de la velocidad de salida, viene dada por: (ver triángulo de velocidades): v t2 = u t2 −

v n2 4,402 = 17,342 − = 10,297 m/s tgβ 2 tg32º

Finalmente, la potencia hidráulica que se transmite al fluido es:

⎛ kg m 3 ⎞⎟ m2 ⋅ − ⋅ = -21,61 kW Ph = (ρQ)(u 1 v t1 − u 2 v t 2 ) = ⎜⎜1000 3 0,121 9 , 048 0 17 , 342 10 , 297 ( ) 2 ⎟ s m s ⎝ ⎠

3) ALTURA DE BOMBA: el trabajo específico que se transmite al fluido es igual a su aumento de entalpía específica de estancamiento: − w = ∆h 0 En el caso de las bombas, se pueden despreciar, las variaciones de energías cinética e interna, con lo que el aumento de entalpía de estancamiento, viene dado por el aumento de trabajo de flujo:

⎛ p ⎞ ⎛ v 2 ⎞ ∆ p p 2 − p1 ∆h 0 = ∆uˆ + ∆⎜⎜ ⎟⎟ + ∆⎜⎜ ⎟⎟ ≅ = ρ ⎝ ρ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ρ La entalpía de estancamiento por unidad de peso, tiene dimensiones de longitud y se denomina altura o carga: H=

m∆h 0 ∆h 0 ∆ p / ρ ∆ p = ≅ = ρg mg g g

La entalpía específica de estancamiento, viene dada por el trabajo específico, con lo que se obtiene la siguiente expresión entre la potencia hidráulico transmitida al fluido y la altura de bombeo:

H=

∆h 0 − w −Ph / (ρQ) − Ph = = = ρgQ g g g

≡

−Ph = ρgQ H

La altura de bombeo, también se puede expresar a partir de la Ec. de Euler:

H=

Numéricamente:

H=

− Ph (ρQ )(u 2 v t 2 − u 1 v t1 ) u 2 v t 2 − u 1 v t1 = = ρgQ ρgQ g

u 2 v t 2 − u 1 v t1 17,342·10,297 − 9,048·0 = = 18,22 m g 9,8


10. TURBOMÁQUINAS

26

P.10.2. Ecuación de Euler para un ventilador axial. En un ventilador axial, el flujo sobre los álabes no tiene prácticamente componente radial, con lo que la velocidad solo tendrá componentes axial y tangencial: la componente axial (vz) es la que determina el caudal en cualquier sección recta (perpendicular al eje) y se denomina habitualmente componente normal (vn); la componente tangencial (vt) es la que determina la potencia específica. A partir de la geometría de los álabes ( envergaduras y ángulos), se puede obtener el caudal y la potencia consumida. DETERMINE: 1. Caudal volumétrico. 2. Potencia consumida. 3. Incremento de presión. DATOS: Fluido: densidad: ρ = 1,3 Kg./m3 Álabes: borde de ataque: ángulos: α1 = 55º β1 = 30º borde de estela: ángulo:β2 = 60º envergadura : b1 =b2 = 100 mm Cubo: diámetro: DC = 800 mm Velocidad de giro: N = 1200 rpm

vn1 vt1 w1

u1

vn1

RESOLUCIÓN:

w2

R

u2

vt2

Q vn2

2 1 2 1 1) CAUDAL VOLUMÉTRICO: la sección de entrada, es una corona circular desde la raíz del álabe hasta la punta en el borde de ataque, de área A 1 = π(R P2-R C2). Consideraremos como velocidad media, la correspondiente a la mitad de la envergadura del borde de entrada, es decir a un radio R = (R P+R C)/2 = (500+400)/2 = 450 mm El triángulo de velocidades en la sección de entrada a una distancia radial R, será: w1 vn1

v1

α1

β1 u1

2π 0,450 = 56,548 m/s 60 v v Del triángulo de velocidades en la entrada: u 1 = n1 + n1 tgβ1 tgα 1 u1 56,548 = = 23,249 m/s Con lo que la velocidad normal (axial) de entrada es: v n1 = 1 1 1 1 + + tgβ1 tgα 1 tg30º tg55º v 23,249 = 16,279 m/s La componente tangencial en la entrada será: v t1 = n1 = tgα 1 tg55º Velocidad tangencial de álabe: u = u 1 = u 2 = ωR = 1200

El caudal volumétrico que atraviesa la corona de entrada es: Q = π(R 2P − R 2C ) v n1 = π(0,500 2 − 0,400 2 ) 23,249 = 6,573 m3 /s


10. TURBOMÁQUINAS

27

2) POTENCIA: se determina a partir de la Ec. de Euler para turbomáquinas, con la velocidad tangencial del borde de ataque igual a la del borde de estela (u 1 = u2 = u) P = (ρQ)(u 1 v t1 − u 2 v t 2 ) = ρQu(v t1 − v t 2 ) El triángulo de velocidades en la sección de salida a una distancia radial R, será: w2

v2

vn2

β2

α2 u2

2π 0,450 = 56,548 m/s 60 La velocidad normal de salida, coincide con la de entrada al ser el caudal constante: vn2 = 23,249 m/s v v Del triángulo de velocidades en la salida: u 2 = n2 + n2 tgβ 2 tgα 2 Velocidad tangencial de álabe: u = u 1 = u 2 = ωR = 1200

Con lo que el ángulo α2 que forma la velocidad absoluta con la dirección tangencial es:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v n2 ⎟ 23,249 ⎜ ⎜ ⎟ = 28,33º α 2 = arctg⎜ = arctg⎜ ⎟ v 23,249 ⎟ ⎜⎜ u 2 − n 2 ⎟⎟ ⎜ 56,548 − ⎟ tg 60º ⎠ tgβ 2 ⎠ ⎝ ⎝ v 23,249 = 43,124 m/s La componente tangencial en la salida será: v t 2 = n 2 = tgα 2 tg 28,33º Finalmente, la potencia que se transmite al aire es:

⎛ kg m 3 ⎞⎟ m2 ⎜ P = ρQu (v t1 − v t 2 ) = ⎜1,3 3 6,573 56,548(16,279 − 43,124) 2 = -12,97 kW s ⎠⎟ s ⎝ m 3) INCREMENTOS DE VELOCIDAD Y DE PRESIÓN: En el caso de ventiladores, en donde el número de Mach5 sea menor de 0,3, se puede considerar que la densidad prácticamente no varía, y además se puede despreciar la variaciones de energías interna; con lo que el aumento de presión viene dado por:

⎛ p ⎞ ⎛ v 2 ⎞⎟ ∆ p ⎛ v 2 ⎞⎟ ⎜ ⎜ ∆h 0 = ∆uˆ + ∆⎜⎜ ⎟⎟ + ∆⎜ ⎟ ≅ + ∆⎜ ⎟ ⎝ ρ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ρ ⎝ 2 ⎠

∆ p = ρ(∆h 0 − 12 ∆v 2 ) = ρ(− w − 12 ∆v 2 )

⇒

w = u 1 v t1 − u 2 v t 2 = u (v t1 − v t 2 )

La potencia específica, viene dada por la Ec. de Euler:

w = u (v t1 − v t 2 ) = 56,548(16,279 − 43,124) = -1518,03 J/kg Las velocidades absolutas son:

v1 =

v n1 23,249 = = 28,382 m/s senα1 sen55º

El incremento de energía cinética específica es:

Con lo que el aumento de presión es: 5

1 2

∆v 2 =

1 2

v2 =

v n2 23,249 = = 48,992 m/s senα 2 sen 28,33º

(v 22 − v12 ) = 12 (48,992 2 − 28,382 2 ) = 797,34 J/kg

∆ p = ρ(− w − 12 ∆v 2 ) = 1,3(1518,03 − 797,34) = 936,9 Pa = 0,937 kPa

La velocidad máxima del fluido sería la correspondiente a la punta del , que es igual a ωR punta=1200(2π/60)(0,500)=62,83 m/s, que corresponde a un Ma = 0,185 (con a = 340 m/s) _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

10. TURBOMÁQUINAS

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P.10.3. Ángulo de paso (calado) en turbomáquinas axiales. Para cada posición radial de los alabes de una turbomáquina axial, la velocidad de arrastre (tangencial de la posición radial) va aumentando desde la raíz a la punta; para adecuar el flujo de entrada (velocidad relativa) a la dirección del álabe, es necesario ir modificando el calado a cada posición radial. En cada sección radial, la velocidad normal es prácticamente constante (v n(r) = cte.) y la velocidad tangencial del flujo, es siempre inferior a la de arrastre en la misma proporción (v t1(r)/u(r) = cte.). Otra consideració importante, es que en función del caudal, el álabe debe ir pivotando, para adaptar su ámngulo de entrada, a la nueva velocidad normal. Para los datos de una bomba axial: DETERMINE: 1. Velocidades normal y tangencial de entrada en la sección radial media. 2. Ángulo de entrada de la velocidad relativa (β1) para la sección radial media. 3. Ángulos de entrada (β1) en la raíz y la punta. 4. Para un caudal 50% del nominal, los nuevos ángulos de entrada. 5. Para un caudal 150% del nominal, los nuevos ángulos de entrada DATOS:

Álabes: Radios: R RAÍZ = 200 mm; R PUNTA = 600 mm Turbobomba: caudal nominal: Q = 4,85 m3/s; velocidad giro: N = 476 rpm Factor de resbalamiento del flujo de entrada: relación entre la velocidad tangencial del flujo y la velocidad tangencial del alabe: FR = vt1(r)/u(r) = 0,43

RESOLUCIÓN: 1) FLUJO DE ENTRADA EN LA POSICIÓN RADIAL MEDIA: R = 400 mm: La velocidad normal, viene determina por el caudal y la sección de paso: v n1 =

π(

R 2P

Q 4,85 = = 4,824 m/s 2 − R R ) π(0,600 2 − 0,200 2 )

La velocidad de arrastre (tangencial del alabe en la posición radial media) es: u = ωR = 476

2π 0,400 =19,939 m/s 60

La velocidad tangencial, viene determinada por el factor de resbalamiento: v t1 = FR u = 0,43·19,939 = 8,574 m/s 2) TRIÁNGULO DE VELOCIDADES EN LA SECCIÓN RADIAL MEDIA: una vez conocidas, las componentes normal y tangencial del flujo de entrada, y la velocidad de arrastre, el triángulo de velocidades en la entrada es:

El ángulo de la velocidad relativa de entrada (con la dirección tangencial de la velocidad de arrastre) es:

β1 = arctg

v n1 4,824 = arctg = 23º u − v t1 19,939 − 8,574

El borde de ataque, debe situarse de tal forma que el flujo le entre práctricamente a ángulo de ataque nulo, es decir con el mismo ángulo que la velocidad relativa de entrada. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

10. TURBOMÁQUINAS

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3) ÁNGULOS DE ENTRADA DE LA VELOCIDAD RELATIVA EN LARAÍZ Y LA PUNTA: De forma análoga al apartado anterior, para cualquier posición raidal, el ángulo β2, viene dado por: v n1 ( r ) v n1 169,784(mm) 4,824 = arctg = arctg = arctg 2π (1 − FR )ωr u (r ) − v t1 (r ) r ( mm) (1 − 0,43)476 r 60 Para distintas posiciones radiales, desde la raíz a la punta se tiene:

β 2 (r ) = arctg

r (mm) β2

raíz 200 40,00º

300 29,22º

radio medio 400 23,00º

punta 600 15,80º

500 18,76º

v1

u1

w1 u1 w1

1 =16º

1 =40º

4) CAUDAL INFERIOR AL NOMINAL: Q = 0,5 Q NOMINAL; la nueva velocidad normal del flujo de entrada, se reduce a la mitad, y consideraremos que se mantiene el factor de resbalamiento, con lo que la ecuación de cálculo del ángulo de entrada de la velocidad relativa es: 50 4 , 824 ( ) v n1 (r ) v n1 100 = arctg 84,892(mm) β 2 (r ) = arctg = arctg = arctg 2π (1 − FR )ωr u (r ) − v t1 (r ) r ( mm) (1 − 0,43)476 r 60 5) CAUDAL SUPERIOR AL NOMINAL: Q = 1,5 Q NOMINAL; la nueva velocidad normal del flujo de entrada, aumenta un 50%, y consideraremos que se mantiene el factor de resbalamiento, con lo que la ecuación de cálculo del ángulo de entrada de la velocidad relativa es: 150 4 , 824 ( ) v n1 (r ) v n1 100 = arctg 254,676(mm) β 2 (r ) = arctg = arctg = arctg 2π (1 − FR )ωr u (r ) − v t1 (r ) r (mm) (1 − 0,43)476 r 60

50 % 100 % 150 %

r (mm) β2 β2 β2

raíz 200 23,00º 40,00º 51,86º

300 15,80º 29,22º 40,33º

radio medio 400 11,98º 23,00º 32,48º

500 9,64º 18,76º 27,00º

punta 600 8,053º 15,80º 23,00º

Es decir, al 50% del caudal nominal, el alabe debe disminuir su calado (respecto al valor del radio medio) un ángulo 11.02º (pivotar 11,02º hacia paso nulo); y al 150% del caudal nominal, el alabe debe aumentar su calado (respecto al valor del radio medio) un ángulo 10.48º (pivotar 10,48º en sentido contrario de paso nulo). _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

10.TURBOMAQUINAS

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