LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJE DVIJE PROMJENLJIVE USLOVNI EKSTREMI FUNKCIJE DVIJE PROMJENLJIVE
Lokalni ekstremi funkcije dvije promjenljive Potreban uslov da diferencijabilna funkcija z = f ( x, y) ima lokalni ekstrem u tački T ( x0 , y0 , z0) je da u toj ta čki vrijedi: ∂ z ∂ x
=0
∧
∂ z ∂ y
=0
Ako uvedemo oznake: 2
A =
∂ z ∂ x
2
2
C =
∂ z ∂y
2
2
B =
∂ z ∂ x∂y
D = AC − B 2
Tada je sa D = AC − B 2 > 0 zadat dovoljan uslov za postojanje ekstrema u ta čki T ( x0 , y0 , z0). o o
Ako je u toj ta čki A > 0 (C > 0), tada funkcija u toj ta čki ima minimum; Ako je u toj ta čki A < 0 (C < 0), tada funkcija u toj ta čki ima maksimum.
Naći lokalne ekstreme funkcije z ( x, y) = e 2 x
PRIMJER 1:
2
− 2 x + 2 y + 3
Rješenje:
Prvo ćemo odrediti potreban uslov da funkcija z ( x, y ) = e odredićemo tačku za koju vrijede jednakosti: ∂ z
=0
∂ x ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
(
2 x
= e
(
= e
2 x
)′
2
− 2 x + 2 y + 3
x
′
)
2
− 2 x + 2 y + 3
y
= 2e =
∧
2 x
∂ z ∂ y
e
=0
2x
2x
2
− 2 x + 2 y + 3 ima ekstrem, tj.
=1
y = 0
x = 0
−2
y = 0
4y z (0,0) = e
2e 2 x − 2 = 0
2⋅0
2
− 2⋅0 + 2⋅0 + 3
z (0,0) = 4
4 y = 0 Stacionarna tačka je: T (0, 0, 4) Zatim odredimo dovoljne uslove da tačka T (0, 0, 4) predstavlja ekstrem zadate funkcije. 2
A =
∂ z ∂ x
2
=
( 2e2
2
B =
∂ z ∂ x∂y 2
C=
∂ z ∂ y
2
=
x
−2
( 2e2
x
′
)
= 4e
x
−2
′
)
′ = ( 4 y ) y = 4
y
2x
=0
D = AC − B
2
2
D = 4e x ⋅ 4 − 0
2
D = 16e 2 x > 0
Odakle zaključujemo da funkcija ima ekstrem. Pošto vrijedi A > 0 taj ekstrem je minimum, tj. tačka T (0, 0, 4) predstavlja minimum zadate funkcije.
2
2
PRIMJER 2: Naći lokalne ekstreme funkcije z ( x, y ) = ( x − y ) − ( y − 1) − 4 y .
Rješenje: 2 2 Prvo ćemo odrediti potreban uslov da funkcija z ( x, y ) = ( x − y ) − ( y − 1) − 4 y ima ekstrem, tj. odredi ćemo tačku za koju vrijede jednakosti: ∂ z ∂ x
∂ z
=0
=
∂ x ∂ z ∂ y
=
∂ z
∧
∂ y
(( x − y )
2
( ( x − y )
2
x = y
=0
x = −1 2
− ( y − 1) − 4 y 2
− ( y − 1) − 4 y
′
)
x
= 2 ( x − y)
x = −1 y = −1
′
)
y
2
= −2 ( x − y ) − 2 ( y − 1) − 4
z ( −1, −1) = 0
= −2( x + 1)
2( x − y ) = 0 − 2( x + 1) =
0
Stacionarna tačka je: T (-1, -1, 0) Zatim odredimo dovoljne uslove da ta čka T (-1, -1, 0) predstavlja ekstrem zadate funkcije. 2
A =
∂ z ∂ x
2
′ = ( 2( x − y ) ) x =
2
B =
∂ z ∂ x∂y 2
C=
∂ z ∂ y
2
2
z ( −1, −1) = ( −1 + 1) − ( −1 − 1) − 4( −1)
2
′ = ( 2( x − y )) y = −2
′ = ( −2( x + 1) ) y = 0
D = AC − B 2 D = 2 ⋅ 0 − ( −2 ) D = −4 < 0
Sada mozemo zaključiti da funkcija nema ekstrem.
2
PRIMJER 3. Zadana je funkcija ukupnih troškova proizvodnje C ( Q1 , Q2 ) = ( 3Q1 + Q2
2
) (Q1 + Q2 ) + 27
koja zavisi od količina Q1 i Q2 proizvodnje.
Odrediti nivo proizvodnje pri kojem će prosječni troškovi biti minimalni. Koliko iznose ti troškovi? Rješenje:
Odredimo funkciju prosje čnih troškova: 2 C ( Q1 , Q2 ) ( 3Q1 + Q2 ) ( Q1 + Q2 ) + 27 = AC ( Q1 , Q2 ) = Q1 + Q2
2
= 3Q1 + Q2 +
Q1 + Q2
27 Q1 + Q2
Izračunajmo prve parcijalne izvode funkcije prosje čnih troškova:
2
ACQ′ 1 ( Q1 , Q2 ) = 3Q1 + Q2 +
′ Q1 + Q2 Q
= 3−
′ Q1 + Q2 Q
= 2Q2 −
27
1
ACQ′ 2 ( Q1 , Q2 ) = 3Q1 + Q22 +
27
27
( Q1 + Q2 )
2
Izjedna čimo prve parcijalne izvode sa 0. 27 3− 2Q2 − =0 2
( Q1 + Q2 )
27
( Q1 + Q2 )
2
2
Uvrstimo stacionarnu ta čku u ove izvode:
27
( Q1 + Q2 )
2
= 0.
Rješavanjem ovog sistema jednačina dobijamo Q1 =
3 i Q2 2
=
3 . 2
Izračunajmo druge parcijalne izvode funkcije prosje čnih troškova:
ACQ′′1Q1 ( Q1 , Q2 ) = 3 −
ACQ′′ Q
1 2
′ 2 ( Q1 + Q2 ) Q 27
54
=
(Q1 + Q2 )
1
′ 27 ( Q1 , Q2 ) = 3 − 2 ( Q1 + Q2 ) Q
=
2
= 2+
2
2
2
=
3 jedinica prvog proizvoda i 2
3 jedinica drugog proizvoda. 2 Minimalni jedinični troškovi iznose: Q2 =
( Q1 + Q2 )
′ 27 ( Q1 , Q2 ) = 2Q2 − 2 ( Q1 + Q2 ) Q
1
nivou proizvodnje Q1
54
2
ACQ′′2Q 2
3
54 3 3 , = =2 3 2 2 3 3 + 2 2 54 3 3 B = AC Q′′ Q , = =2 3 2 2 3 3 + 2 2 54 3 3 C = AC Q′′ Q , = 2 + =4 3 2 2 3 3 + 2 2 2 Obzirom da vrijedi AC − B = 4 > 0 i A > 0 zaključujemo da funkcija prosje čnih troškova doseže svoj minimum na A = AC Q′′1Q1
3
54
( Q1 + Q2 )
3
AC ( Q1 , Q2 ) =
9 9 27 63 nov čanih jedinica. + + = 2 4 3 4
PRIMJER 4. Kompanija proizvodi dva konkurentna proizvoda A i B po cijenama p i q
n.j. redom. Procjenjena je potražnja D A za proizvodom A i D B za proizvodom B sa: D A = 50 − 4 p + q D B = 60 + p − 2q .
Odrediti cijene p i q koje maksimiziraju ukupan prihod od ova dva proizvoda. ješenje: R ( p, q ) = p ⋅ D A + q ⋅ DB R ( p, q ) = −4 p 2 + 2 pq − 2q 2 + 50 p + 60q ∂ R ∂ p ∂ R ∂q
( p, q ) = −8 p + 2q + 50 ( p, q ) = 2 p − 4q + 60
−8 p + 2q + 50 =
0
2 p − 4q + 60 = 0 p ≈ 11.43n. j. q ≈ 20.71n. j.
Izvodi drugog reda: 2
∂ R ∂ p
2
2
= −8
∂ R ∂ p∂q
2
=
2
∂ R ∂q
2
= −4
Obzirom da je D = 28 > 0 i A = - 8 < 0, R ima lokalni maximum za p ≈ 11.43 n. j , q ≈ 20.71 n. j . što znaći da kompanija možemaksimizirati profit prodajom proizvoda A po cijeni p ≈ 11.43$ i proizvoda B za q ≈ 20.71$ .
Uslovni (vezani) ekstremi funkcije Ekstreme funkcije z = f ( x, y) nazivamo uslovnim (vezanim) ako su x i y vezani ednačinom ϕ ( x, y ) = 0 . Za izračunavanje uslovnih ekstrema koristi se metod eliminacije i Lagrangeov metod. Metod eliminacije
Ako je moguće riješiti jednačinu ϕ ( x, y ) = 0 po jednoj promjenljivoj, na primjer ako možemo y izraziti preko x: y = g( x), onda će se traženje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive svesti na rješavanje lokalnog ekstrema funkcije jedne promjenljive (u ovom slučaju promjenljive x).
1
PRIMJER 5.
2
Količina proizvodnje neke fabrike odre ñena je Cobb-Douglasovom funkcijom proizvodnje Q ( L, K ) = 12 L3 K 3 ,
pri čemu su cijene proizvodnih faktora rada i kapitala jednake 3 i 6. Odredimo minimalan budžet potreban za proizvodnju 1200 jedinica proizvoda. Rješenje:
Formirajmo funkciju budžeta: T ( L, K ) = 3L + 6 K 1
2
Tražimo minimalnu vrijednost ove funkcije ako je zadovoljen uslov 12 L3 K 3 = 1200 . Iz ove jednakosti možemo izraziti rad L kao funkciju kapitala K: 1 1 1200 102 106 3 L3 = L L = 2 . = 2 2 K
12 K 3 K 3 Sada funkciju T ( L, K ) = 3L + 6 K možemo posmatrati kao funkciju jedne promjenljive: T (K ) = 3
106 2
K
+ 6 K .
Odredimo lokalni ekstrem funkcije T ( K ) = 3
106
T ′( K ) = 3
2 K
+ 6 K :
K = 10
K
6
K = 102 = 100
Drugi izvod funkcije T ( K ) = 3
106
K3
T ′′ ( K ) = −6
K 2
′ 10 6 + 6 K = −6 3 + 6 = 0 3
6 K 3 = 6 ⋅10 6
106
106 K 2
+ 6 K :
′ 10 6 + 6 = 18 4
K
T ′′ (100 ) = 18
106 >0. 108
Odavde slijedi da funkcija T (K ) ima lokalni minimum za K = 100. 106 Lokalni minimum funkcije T (K ) iznosi: T (100 ) = 3 4 + 600 = 900 . 10 Minimalan budžet potreban za proizvodnju 1200 jedinica proizvoda iznosi 900.
PRIMJER 6. Količina proizvodnje neke fabrike odre ñena je Cobb-Douglasovom funkcijom 3 4
1 4
proizvodnje Q( L, K ) = 200L K , pri čemu su cijene proizvodnih faktora rada i kapitala ednake 250 i 400. Odrediti maksimalan nivo proizvodnje pri budžetu od 120 000 n.j. ješenje:
1 250 4 5 Prava ekspanzije zadovoljava relaciju: K = L L , tj. K = 24 400 3 4 5 Smjenom K = L u funkciji budžeta T = 250 L + 400 K , dobijamo: 24 5 T = 250 L + 400 L. 24 Koristeći ograničenje T = 120 000, jednostavno možemo izra čunati L: L = 360 , 5 K = ⋅ 360 = 75 . 24 3 4
Q( L, K ) = 200 ⋅ 360 ⋅ 75
1 4
PRIMJER 7. Data je funkcija zadovoljstva u( x, y) = ( x + 2)(2 y + 1) potrošača dobrima x i y čije cijene su redom 3 i 6. Odrediti maksimalni nivo zadovoljstva potroša ča pri budžetu od 36 KM. ješenje: Iz ograničenja 3 x + 6 y = 36 možemo izračunati variablue x: = 12 − 2 y Smjenom x u u( x, y) = ( x + 2)(2 y + 1), funkcija postaje 2 u( y) = (14 – 2 y)(2 y + 1) = -4 y + 26 y + 14 u ′ ( y ) = −8 y + 26 u′ ( y ) = 0 −8 y + 26 = 0
y =
13 11 ; x= 4 2
u ′′ ( y ) = −8 < 0 Funkcija u( y) ima maksimum za y =
13 225 = 4 . 4
Maksimalna vrijednost funkcije je: u
13 . 4
