10_PROBABILIDAD_2

P r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a l :

Sean dos d os eventos eventos A y B, tal que p(B) > 0. La probabilid probabilidad ad de qu quee ocu ocurrra el even evento to A dado que el evento B ha ocurrido (probabilidad condicional de A dado B), denotada por p( A A\ B), está dado por:


Sean dos eventos A y B, tal que p(B) > 0. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido (probabilidad condicional de A dado B), denotada por p( A\ B), está dado por: p( A\ B) =

p( A 3 B) (B)


Sean dos eventos A y B, tal que p(B) > 0. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido (probabilidad condicional de A dado B), denotada por p( A\ B), está dado por: p( A\ B) =

p( A 3 B) (B)

Ejemplo: Se lanza un par de dados equilibrados. Encuentre la probabilidad de que uno de los dados sea 2 si la suma es 6 (Sale 2 en uno de los dados dado que la suma es 6).

Sean los eventos A y B, tales que; : aparece un 2 en uno de los dados y B: la suma sale 6.

p( A\ B) = ?

S = {(1, 2) ; (1, 3); (1, 4);...(6, 5); (6, 6)} (36 elementos) B = {(2, 4) ; (1, 5); (5, 1); (4,2 ); (3,3 )}; = {(2, 1) ; (2, 2); (2, 3); (2,4 ); (2,5 ); (2, 6) ; (1, 2); (3, 2); (4,2 ); (5,2 ); (6, 2) } 3B =

{(2,4 ); (4, 2) }

2 p( A y B) = 36 5 p(B) = 36

S = {(1, 2) ; (1, 3); (1, 4);...(6, 5); (6, 6)} (36 elementos) B = {(2, 4) ; (1, 5); (5, 1); (4,2 ); (3,3 )}; = {(2, 1) ; (2, 2); (2, 3); (2,4 ); (2,5 ); (2, 6) ; (1, 2); (3, 2); (4,2 ); (5,2 ); (6, 2) } 3B =

{(2,4 ); (4, 2) }

2 p( A y B) = 36 5 p(B) = 36 Por lo tanto, p( A\ B) =

p( A 3 B) p( B)

2 p( A\ B) = 36 5 36 p( A\ B) = 2 5

2. Considere una pareja que tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niños dado que: (a) al menos uno de los hijos es un niño. (b) El hijo mayor es un niño. 3. Se saca una bola de billar al azar de una caja que contiene 15 bolas de billar numeradas del 1 al 15 y se registra el número n . (a) Encuentre la probabilidad de que n exceda 10. (b) Si n es par, encuentre la probabilidad de que n exceda 10. 3. La probabilidad de que un vuelo programado en forma regular salga a tiempo es 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.92; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: (a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo, y (b) haya salido a tiempo dado que llegó a tiempo. 4. Sean los adultos de un pueblo que han terminado los requisitos para obtener un grado universitario. Se les divide en categorías de acuerdo a su sexo y a su condición de empleo: Masculino Femenino Total

Empleado 460 140 600

Desempleado 40 260 300

Total 500 400 900

Se va a elegir a una de estas personas al azar para que realice un viaje en todo el país, con la intención de que haga publicidad a cerca de las ventajas de establecer nuevas industrias en la localidad. Calcule la probabilidad de que la persona elegida sea un hombre dado que tiene empleo.

5. Un grupo de estudiantes becados está compuesto por 10 de primer ciclo, 30 del penúltimo ciclo y 10 del último ciclo. Las calificaciones finales mostraron que 3 de los estudiantes de primer ciclo, 10 de los del penúltimo ciclo y 5 de los del último ciclo recibieron una A de promedio. Si se elige al azar un estudiante de este grupo y se encuentra que obtuvo un promedio de A, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante del último ciclo? 6. En la siguiente tabla se clasifica una muestra aleatoria de 200 adultos, de acuerdo a su sexo y nivel de educación. Educación Primaria Secundaria Universidad

Masculino 38 28 22

Femenino 45 50 17

Si se elige al azar una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que: (a) la persona sea hombre, dado que tiene educación secundaria; (b) que la persona no tenga un grado universitario, dado que es mujer. 7. En un experimento para estudiar la dependencia de la hipertensión de los hábitos de fumar, se recopilaron los siguientes datos de 180 personas: Con hipertensión Sin hipe rtensión

No fumadores 21 48

Fumadores moderados 36 26

Fumadores fuertes 30 19

Si se elige al azar a una de estas personas, encuentre la probabilidad de que la persona; (a) experimente hipertensión, dado que es un fumador fuerte; (b) sea no fumador, dado que no experimenta hipertensión.

R e g l a d e l a m u l t i p l i ca c i ó n p a r a l a p r o b a b i l i d a d co n d i c i o n a l

Dado que p( A\ B) =

p( A 3 B) , entonces es fácil probar que p(B)

p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta

expresión se la conoce como regla de la multiplicación de la probabilidad condicional. En general si se tienen n eventos, E 1 , E 2 , E 3,...E n, la regla será: $ (E n \ p( E 1 3 E 2 3 E 3 3 ... 3 E n ) = p( E 1 ) $ p (E 2 \ E 1 ) $ p( E 3 \ E 1 3 E 2 ) $ p (E 4 \ E 1 3 E 2 3 E 3 ) $ $ p E 1 3 E 2 3 E 3 3 ... 3 E n− 1 )


Dado que p( A\ B) =


p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta


1. Un lote de mercancía contiene 12 artículos, de los cales 4 están defectuosos. Se sacan al azar 3 artículos de ese lote, uno después del otro. Encuentre la probabilidad de que los tres artículos no sean defectuosos.


Dado que p( A\ B) =


p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta



8 Sea A el evento, el artículo no es defectuoso; la probabilidad es p( A) = 12


Dado que p( A\ B) =


p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta



8 Sea A el evento, el artículo no es defectuoso; la probabilidad es p( A) = 12 La probabilidad de que el segundo artículo no sea defectuoso dado que el primero no es 7 defectuoso es p(B\ A) = 11


Dado que p( A\ B) =


p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta



8 Sea A el evento, el artículo no es defectuoso; la probabilidad es p( A) = 12 La probabilidad de que el segundo artículo no sea defectuoso dado que el primero no es 7 defectuoso es p(B\ A) = 11 La probabilidad de que el tercer artículo no tenga defecto, sabiendo que los anteriores no fueron defectuoso es p(C \ A 3 B) = 6 .

10


Dado que p( A\ B) =


p( A 3 B ) = p( B) $ p( A\ B) a esta



8 Sea A el evento, el artículo no es defectuoso; la probabilidad es p( A) = 12 La probabilidad de que el segundo artículo no sea defectuoso dado que el primero no es 7 defectuoso es p(B\ A) = 11 La probabilidad de que el tercer artículo no tenga defecto, sabiendo que los anteriores no fueron defectuoso es p(C \ A 3 B) = 6 .

10 Por lo tanto, la probabilidad de que los tres artículos no sean defectuosos es: p (A 3 B 3 C ) = p( A ) $ p(B \ A ) $ p(C \ A 3 B)

8 $ 7 $ 6 p (A 3 B 3 C ) = 12 11 10 p (A 3 B 3 C ) = 14 55

2. Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se seleccionan al azar 3 estudiantes de esta clase, ¿cuál es la probabilidad de que todos sean niños? 3. Los estudiantes de una clase se seleccionan al azar, uno tras otro, para un examen. Encuentre la probabilidad de que los hombres y mujeres alternen si: (a) la clase consta de 4 hombres y tres mujeres; (b) la clase consta 3 hombres y tres mujeres.

P r o ce s o s Es t o c ás t i c o s f in i t o s y D i a g r a m a d e Ár b o l p r o b a b i l ís t i co

Una sucesión finita de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico finito. Una forma de describir dicho proceso y calcular la probabilidad de cualquier evento es el diagrama de árbol probabilístico , que es una gráfica de todos los posibles resultados que se pueden obtener en un experimento, donde se señala la probabilidad de cada evento a considerar en el experimento.


Una sucesión finita de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico finito. Una forma de describir dicho proceso y calcular la probabilidad de cualquier evento es el diagrama de árbol probabilístico , que es una gráfica de todos los posibles resultados que se pueden obtener en un experimento, donde se señala la probabilidad de cada evento a considerar en el experimento. Ejemplo 1: En el experimento, lanzar una moneda no cargada y los eventos sale cara y sale sello; el diagrama de árbol probabilístico será:


Una sucesión finita de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico finito. Una forma de describir dicho proceso y calcular la probabilidad de cualquier evento es el diagrama de árbol probabilístico , que es una gráfica de todos los posibles resultados que se pueden obtener en un experimento, donde se señala la probabilidad de cada evento a considerar en el experimento. Ejemplo 1: En el experimento, lanzar una moneda no cargada y los eventos sale cara y sale sello; el diagrama de árbol probabilístico será: sale cara 1/2

1/2 sale sello

La probabilidad de obtener cara es 1/2 La probabilidad de obtener sello es 1/2

Ejemplo 2: En el experimento, lanzar un dado no cargado; el diagrama de árbol probabilístico será:

1 1/6

1/6

2

1/6 3 1/6 1/6 1/6

4 5 6

La probabilidad de obtener 3 es 1/6 La probabilidad de obtener 3 o 5 es 1/6 + 1/6 = 1/3 La probabilidad de obtener un número menor que 5 es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3

Ejemplo 3: En el experimnto, lanzar un dado no cargado y luego una moneda no cargada; el diagrama de árbol probabilístico será: 1/2

1

1/2

c s c

1/2

1/6

2

1/2 1/6

s

1/2

1/6

3

1/2

c s

1/6

c

1/2

4

s

1/2

1/6

c

1/2

1/6

5

s

1/2

6

1/2 1/2

c s

La probabilidad de obtener 2 y sello es:

1 1 p(2, s) = 1 6 $ 2 = 12 La probabilidad de obtener uno y cara es: 1 $ 1 = 1 . 6 2 12 La probabilidad de tener cara en el experimento es:

1 1 p(1, c ) + p(2, c ) + p( 3, c ) + p(4, c ) + p(5, c ) + p(6, c ) = 6 $ 1 6$ 2= 2

Ejemplo 4: Una familia tiene la opción de elegir pasar sus vacaciones de carnaval entre las ciudades de Manta y Ambato; y elegir entre tres hoteles A, B y C . Las probabilidades de elegir una ciudad son; P (Mt ) = 0.57 y p( Am) = 0.43, las probabilidades de elegir un hotel son; P ( A ) = 0.29, p(B) = 0.33 y p(C ) = 0.38. (a) Dibuje un diagrama de árbol. b) la probabilidad de elegir la ciudad de Manta y el hotel B. (c) la probabilidad de elegir el hotel B.

Ejemplo 4: Una familia tiene la opción de elegir pasar sus vacaciones de carnaval entre las ciudades de Manta y Ambato; y elegir entre tres hoteles A, B y C . Las probabilidades de elegir una ciudad son; P (Mt ) = 0.57 y p( Am) = 0.43, las probabilidades de elegir un hotel son; P ( A ) = 0.29, p(B) = 0.33 y p(C ) = 0.38. (a) Dibuje un diagrama de árbol. A 0.29

Mt 0.57

0.33

B

0.38

C

A 0.29

0.43

Am

0.33

B

0.38

C

Ejemplo 4: Una familia tiene la opción de elegir pasar sus vacaciones de carnaval entre las ciudades de Manta y Ambato; y elegir entre tres hoteles A, B y C . Las probabilidades de elegir una ciudad son; P (Mt ) = 0.57 y p( Am) = 0.43, las probabilidades de elegir un hotel son; P ( A ) = 0.29, p(B) = 0.33 y p(C ) = 0.38. b) la probabilidad de elegir la ciudad de Manta y el hotel B. A 0.29

Mt 0.57

0.33

p(MtyB ) = 0.19 B

0.38

C

A 0.29

0.43

Am

0.33

p(MtyB ) = 0.57 $ 0.33

B

0.38

C

Ejemplo 4: Una familia tiene la opción de elegir pasar sus vacaciones de carnaval entre las ciudades de Manta y Ambato; y elegir entre tres hoteles A, B y C . Las probabilidades de elegir una ciudad son; P (Mt ) = 0.57 y p( Am) = 0.43, las probabilidades de elegir un hotel son; P ( A ) = 0.29, p(B) = 0.33 y p(C ) = 0.38. (c) la probabilidad de elegir el hotel B. A 0.29

Mt 0.57

p(B ) = 0.19 + 0.14

0.33

B

0.38

C

A 0.29

0.43

Am

p(B ) = 0.57 $ 0.33 + 0.43 $ 0.33

0.33

B

0.38

C

p(B ) = 0.33

Ejemplo 5: Se tienen tres cajas tales que: La caja I contiene 10 bombillas, de las cuales 4 están defectuosas, La caja II contiene 6 bombillas, de las cuales 1 está defectosa y La caja III contiene 8 bombillas, de las cuales 3 están defectuosas. Si se selecciona una caja al azar y luego se saca una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de quela bombilla esté defectuosa?

Ejemplo 5: Se tienen tres cajas tales que: La caja I contiene 10 bombillas, de las cuales 4 están defectuosas, La caja II contiene 6 bombillas, de las cuales 1 está defectosa y La caja III contiene 8 bombillas, de las cuales 3 están defectuosas. Si se selecciona una caja al azar y luego se saca una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de quela bombilla esté defectuosa? 2/5

D

I 3/5

1/3

1/6 1/3

N D

II 5/6

1/3 3/8

N D

III 5/8

N

Ejemplo 5: Se tienen tres cajas tales que: La caja I contiene 10 bombillas, de las cuales 4 están defectuosas, La caja II contiene 6 bombillas, de las cuales 1 está defectosa y La caja III contiene 8 bombillas, de las cuales 3 están defectuosas. Si se selecciona una caja al azar y luego se saca una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de quela bombilla esté defectuosa? 2/5

D

I 3/5

1/3

1/6 1/3

N D

II 5/6

1/3 3/8

N D

III 5/8

N

1$1+1$3 p = 1 $ 2 + 3 5 3 6 3 8 p = 113 360

Ejercicios: 1. Han sido nominados para el puesto de presidente 3 miembros de un club campestre privado. La probabilidad de que el señor Álvarez sea elegido es 0.3; la probabilidad de que el señor Bolivar sea elegido es de 0.5 y la probabilidad de que la señora Chávez sea elegida es de 0.2. Si se elige al señor Álvarez, la probabilidad de que se aumenten las cuotas de membresía es de 0.8. Si se elige al señor Bolivar o a la señora Chávez, las probabilidades correspondientes de un aumento en las cuotas son de 0.1 y 0.4 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un aumento en las cuotas de la membresía? 2. Una caja contiene nueve tarjetas numeradas de 1 a 9, y una caja B contiene 5 tarjetas numeradas de 1 a 5. Se escoge una de las cajas al azar y se saca una tarjeta. Si el número es par, encontrar la probabilidad de que la tarjeta haya salido de la caja A. Dibuje un diagrama de árbol. 3. Una urna contiene 3 fichas rojas y 7 fichas blancas. Se saca una ficha de la urna y se coloca una ficha de otro color en la urna. Se saca una segunda ficha de la urna. (a) encuentre la probabilidad de que la segunda ficha sea roja, (b) si ambas fichas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que fueran ambas blancas?

4. De la población total, 30% no votó para elegir presidente, 20% no votó por un congresista, y 10% no votó por ninguno de los dos. Se elige al azar un ciudadano. (a) Si este ciudadano no votó por el candidato a presidente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya votado por congresista? (c) Si este ciudadano no votó por congresista, ¿cuál es la propbabilidad de que no haya votado por el candidato a presidente? 5. La probabilidad de que Nebot se candidato nuevamente es de 0.8. La probabilidad que sea el candidato y sea reelecto es de 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea reelecto, sabiendo que se sea candidato nuevamente? 6. Se tienen dos urnas, como sigue: La urna A contiene 3 fichas rojas y 2 fichas blancas, La urna B contiene 2 fichas rojas y 5 fichas blancas. Se selecciona una de las urnas al azar; se toma una ficha y se coloca en la otra urna; luego se saca una ficha de la segunda urna. (a) construya un diagrama de árbol probabilístico, (b) encuentre la probabiidad de que ambas fichas sacadas sean del mismo color.

10_PROBABILIDAD_2

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