1
10.5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 224 – 225 Ερωτήσεις κατανόησης 1. ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν υβ = υβ΄ και ποιος είναι ο λόγος
( ΑΒΓ) 3 = . ( Α′Β′Γ ′) 2
β β΄
2 3 9 4 Γ 3 Β: ∆: Ε: 5 4 2 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας .
Α:
Λύση 1 βυβ ( ΑΒΓ) = 2 ( Α′Β′Γ ′) 1 β ΄υβ΄ 2
⇔
3 β = 2 β΄
2. ˆ =Α ˆ ΄ και ΑΒ = 4 . ∆ύο ρόµβοι ΑΒΓ∆ και Α΄Β΄Γ΄∆΄ έχουν Α Α΄Β΄ 5 ( ΑΒΓ∆) Να υπολογιστεί λόγος ( Α′Β′Γ ′∆ ′) Λύση ˆ =Α ˆ ΄ οι γωνίες των ρόµβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει Αφού Α
ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α 4 = ΄= = = Α΄Β΄ ´à ô∆΄ ∆΄Α΄ 5 οπότε
3.
οι ρόµβοι είναι όµοιοι µε λόγο οµοιότητας λ =
4 5
( ΑΒΓ∆) 16 = λ2 = ( Α′Β′Γ ′∆ ′) 25
Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι ισοδύναµο µε ένα τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ ˆ +Α ˆ ΄ = 2└ , ποιο είναι το µήκος των ίσων που έχει Α΄Β΄·Α΄Γ΄=36 . Αν είναι Α πλευρών του ισοσκελούς ; Λύση ( ΑΒΓ) ΑΒ ⋅ ΑΓ ΑΒ2 ˆ +Α ˆ ΄ = 2└ ⇔ Α = ⇔ 1= ⇔ ΑΒ = 6 ( Α′Β′Γ′) Α΄Β΄ ⋅ Α΄Γ΄ 36
2
Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν α = α΄ και υα =
3 υ ′ . Αν το εµβαδόν του 2 α
ΑΒΓ είναι 30 m 2 , να βρείτε το εµβαδόν του Α΄Β΄Γ΄. Λύση 1 ′ ′ ′ ( Α Β Γ ) = 2 α′υα′ = υα′ = 2 ⇒ υα 3 ( ΑΒΓ ) 1 αυ α 2 2 2 (Α΄Β΄Γ΄) = (ΑΒΓ) ⇒ (Α΄Β΄Γ΄) = 30 ⇒ (Α΄Β΄Γ΄) =20 m 2 3 3
2. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε εµβαδόν 20 m 2 . Αν Μ σηµείο στην προέκταση της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΒ = 2ΒΜ, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΒΓ. Λύση Β
Α
Μ
Φέρουµε τη διαγώνιο ΑΓ. Τα τρίγωνα ΓΒΜ, ΓΒΑ έχουν ίδιο ύψος. ( ΓΒΜ ) = ΒΜ = ΒΜ = 1 ⇒ Άρα ( ΓΒΑ ) ΒΑ 2ΒΜ 2
∆
Γ
1 (ΓΒΑ) 2 1 1 = (ΑΒΓ∆) 2 2 1 = 20 = 5 m 2 4
(ΓΒΜ) =
3
3.
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆ και Ζ των προεκτάσεων των ΒΑ και 2 1 ΓΑ, ώστε Α∆ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ. Αν το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 3 2 2 είναι 30 m , να βρείτε το εµβαδόν του Α∆Ζ. Λύση ˆ =Α ˆ ⇒ ∆ Α 1 2 Ζ 2 1 2 ( Α∆Ζ ) Α∆.ΑΖ = 3 ΑΒ. 2 ΑΓ = 1 ⇒ Α 1 ΑΒ.ΑΓ 3 ( ΑΒΓ ) ΑΒ.ΑΓ 1 1 (Α∆Ζ) = (ΑΒΓ) = 30 = 10 m 2 3 3 Β Γ
4. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 75 m 2 . Έστω ∆ σηµείο της πλευράς ΒΓ και Μ σηµείο του Α∆ τέτοιο, ώστε
AM 3 = . Από το Μ φέρουµε παράλληλο προς την M∆ 2
πλευρά ΒΓ, που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου ΒΕΖΓ. Λύση AM 3 AM 3 AM 3 = ⇒ = ⇒ = M∆ 2 ΑΜ + M∆ 3 + 2 Α∆ 5
Α
Ε Β
M
Ζ
και µε Θ. Θαλή Γ
∆
τρ.ΑΕΖ όµοιο του τρ.ΑΒΓ ⇒
AΕ 3 = ΑΒ 5
( ΑΕΖ ) = 3 2 = 9 ( ΑΒΓ ) 5 25
9 (ΑΒΓ) 25 9 (ΑΕΖ) = 75 = 27 m 2 25 Άρα (ΒΕΖΓ) = (ΑΒΓ) – (ΑΕΖ) = 75 – 27 = 48 m 2 . (ΑΕΖ) =
⇒
4
5. ˆ =Α ˆ ′ και Β ˆ + Βˆ ′ = 2∟. Να αποδείξετε ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν Α
ότι α β΄= α΄β. Λύση ˆ =Α ˆ′ ⇒ Α ˆ + Βˆ ′ = 2∟ Β
Άρα
( ΑΒΓ ) = βγ ( Α′Β′Γ′) β′γ′ ( ΑΒΓ ) = αγ ⇒ ( Α′Β′Γ′) α′γ′
βγ αγ β α = ⇒ = β′γ′ α′γ ′ β′ α′
⇒ αβ′ = α′β
5
Αποδεικτικές Ασκήσεις 1.
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εσωτερικό του σηµείο Ρ. Αν οι ΑΡ, ΒΡ και ΓΡ τέµνουν τις ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ στα ∆, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ρ∆ ( ΒΡΓ ) Ρ∆ ΡΕ ΡΖ ΡΑ ΡΒ ΡΓ i) = , ii) + + = 1 και iii) + + =2 Α∆ ( ΑΒΓ ) Α∆ ΒΕ ΓΖ Α∆ ΒΕ ΓΖ Λύση i) Φέρουµε τα ύψη ΡΚ, ΑΛ των τριγώνων ΡΒΓ, ΑΒΓ αντίστοιχα και επειδή έχουν ( ΒΡΓ ) = ΡΚ κοινή βάση ΒΓ, θα είναι ( ΑΒΓ ) ΑΛ Α
Τρ.ΡΚ∆ όµοιο του ΑΛ∆ ⇒
Ρ∆ ΡΚ = Α∆ ΑΛ
( ΒΡΓ ) = Ρ∆ (1) Ε ΑΒΓ ) Α∆ ( Ρ ( ΓΡΑ ) = ΡΕ (2) ii) Οµοίως Γ ( ΑΒΓ ) ΒΕ Β Λ Κ ∆ ( ΑΡΒ ) = ΡΖ (3) και ( ΑΒΓ ) ΓΖ ( ΒΡΓ ) + ( ΓΡΑ ) + ( ΑΡΒ ) = Ρ∆ + ΡΕ + ΡΖ ⇒ (1) + (2) + (3) ⇒ ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) Α∆ ΒΕ ΓΖ ( ΒΡΓ ) + ( ΓΡΑ ) + ( ΑΡΒ ) = Ρ∆ + ΡΕ + ΡΖ Α∆ ΒΕ ΓΖ ( ΑΒΓ ) ( ΑΒΓ ) = Ρ∆ + ΡΕ + ΡΖ ( ΑΒΓ ) Α∆ ΒΕ ΓΖ Άρα
Ζ
1=
Ρ∆ ΡΕ ΡΖ + + Α∆ ΒΕ ΓΖ
iii) ΡΑ Α∆ − Ρ∆ Ρ∆ = = 1− Α∆ Α∆ Α∆ ΡΒ ΡΕ = ………. = 1 − ΒΕ ΒΕ ΡΓ ΡΖ = ……… = 1 − ΓΖ ΓΖ
και
Προσθέτουµε κατά µέλη
ΡΑ ΡΒ ΡΓ Ρ∆ ΡΕ ΡΖ + + =3– + + Α∆ ΒΕ ΓΖ Α∆ ΒΕ ΓΖ
οµοίως
ΡΑ ΡΒ ΡΓ + + =3–1=2 Α∆ ΒΕ ΓΖ
⇒
6
2. ˆ , Γˆ < 1 ∟ και το ύψος του Α∆. Στο ηµιεπίπεδο (ΒΓ,Α) ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Β
φέρουµε Βx ⊥ ΒΓ και Γy ⊥ ΒΓ. Πάνω στις Βx, Γy παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι ΒΕ = ΓΖ = 2Α∆. Αν Μ, Ν είναι τα µέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΒΜ) + (ΖΓΝ) = (ΑΒΓ). Λύση Ζ
Ε
ˆ = Βˆ ⇒ Α 1 1
( ΕΒΜ ) = ΒΜ ⋅ ΒΕ = 1 2 = 1 ( ΑΒ∆ ) ΑΒ ⋅ Α∆ 2
⇒
Α
x
1 Μ 1 Β
Ν
y
Οµοίως Γ
∆
(ΕΒΜ) = (ΑΒ∆) (ΖΓΝ) = (ΑΓ∆)
Προσθέτουµε (ΕΒΜ) + (ΖΓΝ) = (ΑΒΓ).
3. ∆ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές ΑΒ και Γ∆. Να αποδείξετε ότι (ΒΟ∆) = (ΑΟΓ).
Λύση
ˆ = ΑΓ + Β∆ Κ 1 2
∆
Α
O 2 11 Κ Γ
Β
⇒
ΑΓ + Β∆ 2 ΑΓ + Β∆ = 2∟
1∟ =
ˆ +Ο ˆ = 2∟ Ο 1 2
( ΒΟ∆ ) = ΟΒ ⋅ Ο∆ = 1 ( ΑΟΓ ) ΟΑ ⋅ ΟΓ (ΒΟ∆) = (ΑΟΓ).
7
4.
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ τέµνει την ΑΒ στο ∆ και 2 την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ( ΑΒΕ ) = ( Α∆Ε )( ΑΒΓ ) . Λύση Α
Αρκεί να αποδείξουµε ότι
( ABΕ ) = ( ABΓ ) ( Α∆Ε ) ( ΑΒΕ )
Ε
∆
Τα τρίγωνα ΑΒΕ, Α∆Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε, ( ABΕ ) = ΑΒ άρα (1) ( Α∆Ε ) Α∆
Γ
Β
Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΕ έχουν ίδιο ύψος από το Β, άρα Θ.Θαλή ⇒ ⇒
(1), (2), (3)
( ABΕ ) = ( ABΓ ) ( Α∆Ε ) ( ΑΒΕ )
( ABΓ ) = ( ΑΒΕ )
ΑΓ ΑΕ
(2)
ΑΒ ΑΓ = Α∆ ΑΕ
(3)
5. Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ κατασκευάζουµε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΑΒΕΖ, ΒΓΗΘ, Γ∆ΙΚ και Α∆ΛΜ. Να αποδείξετε ότι (ΑΜΖ) + (ΓΗΚ) = (ΒΘΕ) + (∆ΙΛ)
Λύση Φέρουµε τη διαγώνιο Β∆. ˆ +Α ˆ = 2∟ ⇒ Α 1 2
Ε Ζ
( ΑΜΖ ) ( ΑΒ∆ )
Θ Μ 2 Α 1
Β
Η
Λ ∆
=
ΑΜ ⋅ ΑΖ =1 ΑΒ ⋅ Α∆
⇒
(ΑΜΖ) = (ΑΒ∆) και οµοίως (ΓΗΚ) = (ΓΒ∆)
Γ
Άρα
(ΑΜΖ) + (ΓΗΚ) = (ΑΒΓ∆)
Οµοίως (ΒΘΕ) + (∆ΙΛ) = (ΑΒΓ∆) Ι
Κ
Άρα (ΑΜΖ) + (ΓΗΚ) = (ΒΘΕ) + (∆ΙΛ)
8
6. ˆ =1∟) και τρία πολύγωνα Ρ , Ρ Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α 1 2
και Ρ 3 όµοια µεταξύ τους, που έχουν ως οµόλογες πλευρές ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( Ρ 2 ) + ( Ρ 3 ) = ( Ρ1 ), όπου ( Ρ1 ) , ( Ρ 2 ) και ( Ρ 3 ) τα εµβαδά τους. Λύση
( Ρ 2 ) + ( Ρ3 ) = 1 ( Ρ1 ) ( Ρ1 ) (Ρ2 ) = β 2 = Πολύγωνο Ρ 2 όµοιο του Ρ1 ⇒ ( Ρ1 ) α ( Ρ3 ) = γ 2 = Οµοίως …………………… ⇒ ( Ρ1 ) α Αρκεί να αποδείξουµε ότι
2
γ 2 α 2
β γ + 2 = 1, ή β 2 + γ 2 = α 2 που ισχύει. 2 α α 2
Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι
β 2 α
2
9
Σύνθετα Θέµατα 1.
Θεωρούµε τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και έστω Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Αν Ε1 , Ε 2 , Ε 3 και Ε 4 είναι τα εµβαδά των τριγώνων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟ∆ και ∆ΟΑ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε1 Ε 3 = Ε 2 Ε 4 . Αν υποθέσουµε ότι η Α∆ είναι παράλληλη προς τη ΒΓ, τότε να αποδείξετε ότι 1 2 ii) Ε1 = Ε 2 Ε 4 , iii) Ε1 ≤ E, όπου Ε = (ΑΒΓ∆) i) Ε1 = Ε 3 , 4 Λύση Ε1 Ε Α ∆ Αρκεί να αποδείξουµε ότι = 4 Ε2 Ε3 E4 Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ έχουν κοινό ύψος από το Β E1 E3 O Ε1 ΟΑ Ε 4 ΟΑ άρα = και οµοίως = E2 Γ Ε 2 ΟΓ Ε 3 ΟΓ Β Άρα
Ε1 Ε = 4 Ε2 Ε3
i) Αρκεί να αποδείξουµε ότι Ε1 + Ε 2 = Ε 3 + Ε 2 , δηλαδή ότι (ΑΒΓ) = (∆ΒΓ), το οποίο συµβαίνει αφού Α∆ ΒΓ. ii) Αφού Ε1 = Ε 3 , η ισότητα Ε1 Ε 3 = Ε 2 Ε 4 γίνεται Ε1 Ε1 = Ε 2 Ε 4
⇒
Ε12 = Ε 2 Ε 4
iii) Ε1 ≤
1 E 4
⇔ 4 Ε1 ≤ E 4 Ε1 ≤ Ε1 + Ε 2 + Ε 3 + Ε 4 2 Ε1 ≤ Ε 2 + Ε 4 (αφού Ε1 = Ε 3 ) 2 E 2 E 4 ≤ Ε 2 + Ε 4 (αφού Ε1 = Ε 2 Ε 4 ) 2
4 Ε2 Ε4 ≤ ( E 2 + E 4 )
2
4 Ε2 Ε4 ≤ E 2 + 2 Ε2 Ε4 + E 4 2
2
0 ≤ E 2 – 2 Ε2 Ε4 + E 4 2
2
0 ≤ ( E 2 − E 4 ) , που ισχύει. 2
10
2. Από εσωτερικό σηµείο Σ τριγώνου ΑΒΓ φέρουµε παράλληλες προς τις πλευρές του. Αν Ε1 , Ε 2 , Ε 3 είναι τα εµβαδά των τριών τριγώνων που σχηµατίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εµβαδών Ε1 , Ε 2 , Ε 3 είναι όµοιο µε το ΑΒΓ ii)
E1 + E 2 + E 3 =
E , όπου Ε = (ΑΒΓ)
Λύση i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες µε το τρίγωνο ΑΒΓ ii) Α
Αρκεί να δειχθεί ότι Θ
Ι Κ
Ε3
Β
Οµοίως Άρα
Η
Ε1
E2 E E1 E
Γ
Ζ
= +
E
+
E2 E
+
E3
=1
E
2
Τρ.Σ∆Ζ όµοιο ΑΒΓ
Σ Ε2
∆
E1
ΣΗ ΖΓ = ΒΓ ΒΓ
E2 E
+
E3 E
και =
E3 E
=
⇒
E1 ∆Ζ = E ΒΓ E1 ∆Ζ = ΒΓ E
ΚΣ Β∆ = ΒΓ ΒΓ
∆Ζ ΖΓ Β∆ ∆Ζ + ΖΓ + Β∆ ΒΓ + + = = =1 ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ
⇒
11
3.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε τις διχοτόµους Α∆, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι 2αβγ i) (∆ΕΖ) = (ΑΒΓ) ( α + β )( β + γ )( γ + α ) 1 ii) (∆ΕΖ) ≤ (ΑΒΓ) 4 Λύση i) Α ˆ κοινή ⇒ Τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΑΒΓ έχουν Α ( ΑΖΕ) ΑΖ.ΑΕ Ε = ⇒ Ζ ( ΑΒΓ) γβ 1 γβ βγ (ΑΖΕ) = (ΑΒΓ) ⇒ Β γβ α + β α + γ Γ ∆ βγ (ΑΖΕ) = (ΑΒΓ) και κυκλικά (α + β)(α + γ ) γα (Β∆Ζ) = (ΑΒΓ) (β + γ )(β + α) αβ (ΓΕ∆) = (ΑΒΓ) ( γ + α )( γ + β) (∆ΕΖ) = (ΑΒΓ) – (ΑΖΕ) – (Β∆Ζ) – (ΓΕ∆) = βγ γα αβ = (ΑΒΓ) – (ΑΒΓ) – (ΑΒΓ) – (ΑΒΓ) (α + β)(α + γ ) (β + γ )(β + α) ( γ + α )( γ + β) βγ γα αβ = (1 – – – ) (ΑΒΓ) (α + β)(α + γ ) (β + γ )(β + α) ( γ + α )( γ + β) =
( α + β )( β + γ )( γ + α ) − βγ ( β + γ ) − γα ( γ + α ) − αβ ( α + β ) ( α + β )( β + γ )( γ + α )
= πράξεις στον αριθµητή……………………….. =
(ΑΒΓ)
2αβγ (ΑΒΓ) ( α + β )( β + γ )( γ + α )
ii) 1 (ΑΒΓ) ⇔ 4 2αβγ 1 (ΑΒΓ) ≤ (ΑΒΓ) 4 ( α + β )( β + γ )( γ + α )
(∆ΕΖ) ≤
8αβγ ≤ ( α + β )( β + γ )( γ + α ) 8αβγ ≤ αβγ + α 2β + αγ 2 + α 2 γ + β 2 γ + β 2 α + βγ 2 + βγα 0 ≤ α 2β + αγ 2 + α 2 γ + β 2 γ + β 2 α + βγ 2 − 6βγα 0 ≤ (αγ 2 + αβ 2 − 2αβγ ) + (βγ 2 + βα 2 − 2βγα) + ( γα 2 + γβ 2 − 2αβγ ) 0 ≤ α (β 2 + γ 2 − 2βγ ) 2 + β( γ 2 + α 2 − 2αγ ) + γ (α 2 + β 2 − 2αβ) 0 ≤ α (β − γ ) 2 + β( γ − α) 2 + γ (α − β) 2 που ισχύει.
12
4. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµεία Κ, Λ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Από τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναµα µέρη. Λύση Α Ζ Λ
K
Β
Η
Γ
Ανάλυση Έστω ΚΖ η µία από τις ζητούµενες ευθείες. 1 Τότε (ΑΚΖ) = (ΑΒΓ) ⇒ 3 ( ΑΚΖ ) = 1 (1) ( ΑΒΓ ) 3
Αρκεί να υπολογίσουµε το τµήµα ΑΖ συναρτήσει γνωστών τµηµάτων. ˆ ⇒ ( ΑΚΖ ) = ΑΚ ⋅ ΑΖ Τα τρίγωνα ΑΚΖ, ΑΒΓ έχουν κοινή τη γωνία Α ( ΑΒΓ ) ΑΒ ⋅ ΑΓ (1), (2)
⇒
ΑΚ ⋅ ΑΖ 1 = ΑΒ ⋅ ΑΓ 3
⇒ 3ΑΚ⋅ΑΖ = ΑΒ⋅ΑΓ
⇒
ΑΖ =
(2)
ΑΒ ⋅ ΑΓ 3ΑΚ
Σύνθεση Πάνω στην ΑΓ τοποθετούµε σηµείο Ζ τέτοιο, ώστε ΑΖ =
ΑΒ ⋅ ΑΓ και φέρουµε 3ΑΚ
την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουµε και τη δεύτερη ζητούµενη ευθεία ΛΗ.
