100412_36_Trabajo_Fase_2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES Cód. 100412

TRABAJO COLABORATIVO FASE DOS ECUACIONES DIFERENCIALES

JAVIER LEONARDO VARGAS CARLOS CUBIDES JOHN JAIRO VARGAS CARLOS ANDRÉS JAIMES PRESENTADO A: WILLIAM DE JESÚS MONTOYA HENAO TUTOR

GRUPO: 100412_36

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL CEAD JOSÉ ACEVEDO Y GÓMEZ Noviembre 2016 BOGOTÁ D.C.


INTRODUCCIÓN Uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos son las Ecuaciones Diferenciales, estas contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los Ingenieros de cualquier rama. La construcción de BASES matemáticas para tratar los problemas de la vida cotidiana se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de las ingenierías.. Estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Estas son llamadas Ecuaciones Diferencial.

El trabajo que se realizo es básicamente de resolver el problema del valor inicial, determinar el wronskiano de los pares de funciones, las ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes e indeterminados.


OBJETIVOS Solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior con la aplicación de los diferentes métodos teniendo en cuenta el modulo general de ecuaciones diferenciales. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias sus aplicaciones en matemáticas, en física y en ingeniería. Haciendo énfasis en el planteamiento de las ecuaciones e interpretación de sus soluciones. Obtener una herramienta fundamental que le permitirá al estudiante, abordar problemas concretos relacionados con otras ciencias. Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.


Ejercicio 1 Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

     −     ,  −,  ′   −       − ,  −,  ′   − −  4 42 1  4 40  440  2 0  2  2   

Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación Un estudiante propone

− 

1. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da + 2. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da + 3. Hacer las sustituciones la 4. Ecuación homogénea asociada, cuya solución da = + Hacer las sustituciones ecuación homogénea asociada, cuya solución da Solución

Para convertir a ecuación homogénea:

Se caracteriza de la siguiente forma

Se realiza la forma cuadrática

La respuesta resuelta es la numero 1

   =

+

= =

y resolver

y resolver la

=

+


Ahora se resuelve por ecuación o solución particular para la ecuación diferencial no homogénea, con el método de coeficientes indeterminados, se da una solución particular de la siguiente forma

  ´  ´´ 0  4 42  1 0442 1 4442  1 42 1    2  14  2  14        2   Sustituyo el método ecuaciones diferenciales

Entonces

El resultado final es

+


Ejercicio 2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

       − −  ,   ,′  − −

En la intención de resolver la ecuación diferencial propone hacer las sustituciones la ecuación homogénea asociada, cuya solución da El proceso anterior es:

=

+

, un estudiante y resolver .

A. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m 2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1 B. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m 2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1 C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m 2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da = + D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m 2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da = + Solución del ejercicio:

    − −  2   2 0  210 110

Para convertir a ecuación homogénea:

Se caracteriza de la siguiente forma

Se realiza la forma cuadrática


 1 ;  1 R, I

 − − =

+

Respuesta final es Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m 2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da = +

 − −

Ejercicio No 3.

  ,   −, ′′  

Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal manera que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:

−    ,,     ∝( ),         ∞

.

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x 2y’’ + xy’ +y=2x es: Solución Complementaria

  2

Suponemos una solución de la forma:

   − 1−  121 2   

Sustituimos en la ED

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES

− −  2 1 1   2  1 2  112  1 2 Paso 1: Solución complementaria de la ED homogénea asociada. Determinamos la ecuación característica

 10 0±

√ 1 ± forma

La ecuación complementaria tiene la forma de

   lnl n  lnl n  ln  ln      La respuesta es la A: A. B. C. D.

 cos                −

.

Solución Particular Paso 2: Calcular el Wronskiano de la ED homogénea asociada.

1 ln 2 ln ℎ2      l n   l n       l n   1 2 1′ 2′ ln  ln   ln  1

Cód. 100412


     1   0  l n  0 2  ℎ 2′ 2  ln02∗l n    l n  0 1 0  1′ ℎln 22∗ ln     2∗l1⁄ n 2 ∗ ln     2∗l1⁄ n 2 ∗ ln ′ ′ ∫2∗  ln∗2∫ ln∗  ln   ln    3    2∫  ln  3 ln  13 ∫  ln  2∫ ln 3 ln 13 ∫   ln  Paso 3: Encontramos

Integrando

y

de la ED homogénea asociada.

, tenemos

Aplicando el método de integración por partes


Cód. 100412


 ln  ln     3  2∫ ln  3 ln  13 3 ln  13 ∫  ln       2∫  ln  3 l n  9 l n  19 ∫  ln   179 ∫  ln 3 ln 9 ln ∫ ln 171 ln3ln     17 ln3ln ′  ′ ∫2∗  ln∗2∫ ln∗  ln  ln     3 2∫ ln  3 ln  13 ∫  ln     2∫  ln  3 ln  13 ∫   ln   ln   ln    3 Integrando

, tenemos



Cód. 100412


   1   2∫  ln  3 ln  3  3 ln  13 ∫  ln       2∫  ln 3 ln 9 ln 19 ∫  ln  199 ∫  ln 3 ln 9 ln ∫ ln 191 3lnln     19 3ln ln

Cód. 100412

Paso 4: Encontramos la solución particular de la ED homogénea asociada.

1 ln 2 ln     17 ln 3ln   19 3lnln  ∗l n∗3ln 3ln ln   17  17 ln 19  19  ln          l         l n  3 l n  n  3  l n    l n      17  17  19  19ln                        l n  3 l n  l n  3  l n    l n      17  17  19  19ln         l n  3   3 ln 17ln  l lnn17 ln  19  19  Paso 5: Encontramos la solución general de la ED homogénea asociada.

Solución General


Ejercicio 4. Respuesta: c

Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma 2 2 ( )+ 1 ( )+ 0 ( )= ( )

Es

= 1 1 + 2 2

En donde o

  

 ,   

é

 

Para ello, los wronskianos

 ,   |´ ´|,  =|´ ´|

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación ′′ − 5 ′ + 4 = 1 es: A.

B.

C.

− −          

Carlos Cubides RAZON O EXPLICACION


D.

− −   `` 540 5`  40  ±√  2 4 →   5±  5  2∗14∗1∗4 →  5±√ 22516  535±√ 2 9   4  532   2 1

1 4 2 1     

       1     

Cód. 100412

Igualamos la función a cero. En función de la ecuación característica. Tomamos valores a remplazar a=1 b=-5 c=4 nos queda que:

Si se da la solución por fórmula cuadrática se obtienen las siguientes soluciones:

Cuando las raíces son reales y diferentes la solución se escribe de la siguiente forma: Ahora hallamos la solución particular


4    |44 | 4.   4.  4  4  

Cód. 100412

| |  10 1.  0.   4 | |  |4 4 10| 4. 0 44. 1

      ′   −  − −      4 4  ′   3−  3    

Hallamos valores de

Integramos

Integramos

  


   − −  4  12   3   121  43  11612    gx  yx 15 g Ce Ce  12

Aplicamos fórmula para hallar la solución particular

Solución


Ejercicio 5.

Respuesta: 1 , 3

Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA Para encontrar la solución de una

ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma

      −    ( )

( ) +

( ) ( ) +

( ). Se procede sustituir −1 ,

=

(

− 1)

( ) ( ) =

=

,

′=

Para, en

primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma Luego,

con

la

=

+

ayuda

de

los

 ,  |´ ´|,

wronskianos.

=|´ ´|

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de

 ==+   

la ecuación 1. 2. 3.

= 

y’’ + xy’ = x son:

Carlos Cubides RAZON O EXPLICACION


4.

Cód. 100412

=   

 ′ ′  −,′ − , ′1      1− −  ′,′ →(1 )                 0 →0 0        →,1,ln  ∗    ∗ 1     1∗ 0 ∗l n  → 1 , l n      ln   ∫       19 13 1  ∫   3   1       9 3 1 3       Tenemos

Tenemos obtiene

la reemplazamos por

y se

Se obtiene el factor común El polinomio igual que Calculamos

Ahora se calcula nuestro wronskiano

es

y se calcula el

RTA1

Ahora calcularemos y un

y debemos calcular un

Los valores los reemplazamos en obtenemos la expresión:

RTA3

y

se simplifica la ecuación y el resultado es


Ejercicio 6. Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma: esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma . Por lo anterior, de la ecuación diferencial se puede afirmar que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2. El operador diferencial que anula a es

 −    ⋯       −           − − ⋯



                    2 5      5 225 2 5

Carlos Andrés Jaimes RAZON O EXPLICACION Respuesta: C (2 y 4) Es una ecuación diferencial lineal debido a que cada derivada y variable dependiente tiene exponente igual a 1, no se presentan productos entre alguna derivada y la variable dependiente. Es de segundo orden porque la máxima derivada es la segunda. Es de coeficientes constante porque no dependen de la variable independiente.

3. El operador diferencial que anula a es 4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes Remplazamos el operador diferencial:


Para anular a

 1

usamos el operador:

 12 5 0

Cód. 100412

 11   0 Porque:

Por lo tanto, el anulador se expresa como el producto de los dos anuladores.


Ejercicio 7. Ejercicio 7. realiza el

Nombre estudiante que ejercicio: PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 7. Para encontrar la solución de una ecuación

Carlos Andrés Jaimes RAZON O EXPLICACION Respuesta c (2 y 4)

diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma

−  −   ;  ; 1        |0 0 |  | |           2  1   − −  1   10−− −− 0  − 00 11 0 1 0 20  2 0  0  20 se procede sustituir

para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y luego, con la ayuda de los wronskianos:

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos y de la ecuación diferencial: son: 1. 2. 3. 4.

Hacemos la sustitución Derivamos dos veces con respecto a x Remplazamos en la ecuación diferencial. Propiedad de potencia Factor común Simplificamos y resolvemos la ecuación algebraica Factor común


0  2    |00  |  02  2    0   |1 00|  100 0   

Cód. 100412

Dos raíces reales distintas Solución homogénea Remplazamos las raíces Remplazamos en las ecuaciones de los wronskianos: Hallamos el determinante Reducimos

Hallamos el determinante Reducimos


Ejercicio No 8

   √   √  

La solución particular de la ecuación PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias.

es

Paso 1: Solución complementaria de la ED homogénea asociada.

        ±     ∗∗  ∗  ±√    ± √   √ .  √ . Suponemos una solución de la forma:

Como tiene dos raíces reales y diferentes, la ecuación complementaria tiene la forma de

 √   √       Solución Particular

Paso 2: Calcular el Wronskiano de la ED homogénea asociada.

   √   1 

   √   2 

ℎ0


   √     1 2 1 211√ 6 61√  

 √  √    11√ 6 1     6 

            √ √ √ √ 11 6 1 11 6 1 √ √             6 ∗ ∗  6  ∗   √   ∗√   116√ 61116√ 61 6 1  √  ∗√  11√ 6 111√ 6   √   √   √   √    2∗ 6 1 6 1 √             ∗  6  3 ∗     √      0  0 2  ℎ 2 0 116√ 61√ 0 √    0 1 0  1′ ℎ11√ 6 61√  00     √ ∗0√ √  0     √ ∗0√ √  0 Paso 3: Encontramos

y

de la ED homogénea asociada.


′ ′ ∫0∗0 ′ ′ ∫0∗0 Integrando

, tenemos

Integrando

, tenemos

Cód. 100412

Paso 4: Encontramos la solución particular de la ED homogénea asociada.

1√  2√   0   0   ∗√  ∗ √     0∗    0∗  0 Paso 5: Encontramos la solución general de la ED homogénea asociada.

      √ √       0    Solución General

√  √     

Respuesta: Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.


Primera Actividad Colaborativa. Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

70 0 8 0 30 350 ∑       0    0   35070 0  50  5 0 50  5 ±√ 5 ±√ 5

RAZON O EXPLICACION Datos conocidos en el enunciado

Aplicamos la segunda ley de Newton

La fuerza resultante está dada por la ley de Hooke:

Obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Remplazamos los valores conocidos:

Usamos el operador diferencial: Usamos la ecuación algebraica asociada:

Las raíces son complejas conjugadas


    [(√ 5)(√ 5)]  (√ 5)(√ 5) 80 0 8 0  8  8[(√ 5)∗√ 5 ][(√ 5)∗√ 5]  8√ 5(√ 5)√ 5(√ 5) 0 30 308√ 50√ 50 30√ 5 0   √ 305  8(√ 5) √ 305 (√ 5)

Cód. 100412

La solución homogénea

Aplicamos la primera condición inicial:

0 8

Derivamos a X y evaluamos la segunda condición inicial

Ahora remplazamos la segunda condición inicial:

Finalmente obtenemos el desplazamiento


Segunda Actividad colaborativa EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

Enunciado:

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Enunciado:

Un sistema vibratorio que consiste en una masa Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura: unida a un resorte como se muestra en la figura



 2 .

    

Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la Se suelta desde el reposo a unidades debajo de posición de equilibrio. La masa es de

 

y la la posición de equilibrio. La masa es de

. 2 1,2 1,2    0. 0.  5cos4  5cos4

y la

El movimiento es El movimiento es constante elástica es y está siendo impulsado amortiguado ( y está siendo impulsado amortiguado ( , por una fuerza periódica externa , por una fuerza periódica externa Dicha fuerza está definida comenzando en Dicha fuerza está definida comenzando en . Para esta situación, como . Para esta situación, como procedemos a encontrar la ecuación diferencial procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento que describe el movimiento constante elástica es

En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:

∑

En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:

∑

De acuerdo al problema planteado se tiene un De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior: concordancia con la ley anterior:

    

    


         15  1,2  25cos4 0  12 ´0 0  4  525cos4  0  4  50  450

                 0  12 ´0 0  61⁄⁄55  12⁄551⁄54   6   10 25 4 0  6  10 0  6100  ±√  2 4 1;6;10  6± 6  24110

Donde la aceleración y la velocidad están dadas Donde la aceleración y la velocidad están dadas por

y

Transponiendo términos en la ecuación:

por:

Transponiendo términos en la ecuación:

Y reemplazando los valores dados en esta se tiene: Dividimos entre m a todos los miembros de la ecuación.

Equivalente a:

Se hace homogénea:

para convertir la ecuación a una

Se escribe la ecuación característica y se resuelve:

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:

Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:

Se hace una homogénea:

para convertir la ecuación a

Se escribe la ecuación característica y se resuelve:

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:


 2  2  − cos sin  cos4sin4  ´´16cos416si 4sin44cos4n4   4  50 16cos416si n 4  45 cos4s 4sin44cos4 i n 4 25cos4 16cos416si n 416si n 4 16cos45cos4 5sin425cos4 11cos411si n 416si n 4 16cos425cos4 ,

Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:

Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:

Sustituyendo en la ED

Operando:

Reuniendo términos semejantes:

Factorizando:

 6±√ 23640  6±√ 2 4  6±√ 24√ 1  6±22  62 ± 22  3±  3 ,  3 

Cód. 100412



Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:

 −   44 ′′′ 4444  164164  6  100 164164 610 44  44  44 254 164164  24  4 24410  4 104254

Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:

Se deriva dos veces seguidas

Sustituyendo en la ED:

Operando:


1116cos4  1611si n 4 25cos4 : 6 46424  4 244254 111625 6  24254 424  64 16110 624  2425 1 60 2 24∗1 2460 2496100 0102100  100 10250  51 14∗2 62425 96240 102025   10225   5051   10225  cos4si n 4 25 50 25 50       102 cos4 51 sin4 102 51 25  44 − cos50  sin  102 cos4   25 4 50 4 102 51    51 sin4

Cód. 100412

Reuniendo términos semejantes:

El sistema de ecuaciones resultante

Factorizando:

El sistema de ecuaciones resultante:

Se cumple que:

Reescribiendo:

Se cumple que:

La solución sería:

Reescribiendo:

La solución sería:


25 0 −        4   102 −   0  25cos0  sin500 50  4 51 cos40 si n 40 102 51 12 − cos0 sin0   10225 cos40 5051 sin40 0−(25 4 005004 ) 0 102 51 12 −(00)  10225 40 5051 40 1 25 1 25      0    2  102  102 0 2 12   10225   3851 1 25 0     2 102 86   51   3851 25 −50  102 4  4 51  3−   −  3851  100102 4 20051 4   03−−cos0  0     3851 0 2000 100102 40  51 40

Cód. 100412

Haciendo

Haciendo =0

Derivando la expresión y haciendo

Derivando la expresión y haciendo =0


030 20051 03138511 20051 0 3817   20051   3817  20051   114200 51 86 38 86 25 −    51 50 51  102 4  51  51 4 − 3851 50 8651  10225 4  51 4

Cód. 100412

Por lo tanto la ecuación de movimiento es:

Por lo tanto la ecuación de movimiento es:


CONCLUSIONES

100412_36_Trabajo_Fase_2

Recommend Documents