MATEMÁTICA BÁSICA CERO
UNIDAD I: ARITMÉTICA SESIÓN 3: Magnitudes proporcionales 1. José y Juan tienen S/. 700 entre ambos. Lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José? Solución: José 4k ; Luego: 4k + 3k = 700 Juan 3k
k = 100
José tiene 4(100) = 400 2. Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A=90, B=30, halle B cuando A=21. Solución: 90 A k k 3 k , luego: 30 B
Ahora:
21 3 x 7 x
3. Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, entonces si A=40, B=30, halle A cuando B=15. Solución:
A.B k , luego: 40.30 k k 1200 Ahora: x.15 1200 x 80 4. Si “A” varía a razón directa a “B” e inversamente al cuadrado de “C”. Cuando A=10, entonces B=4 y C=14. Halle A cuando B=16 y C=7. Solución: A 2 10 2 .C k , luego: .14 k k 490 B 4
x 2 .7 490 x 160 16
5. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 2 m de lado en 3 días. ¿Cuántos días se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 4 m de lado? Solución: Área sembrada = (2m)2 = 4m2 # Días = 3 días A más área, más días (son D.P.), luego:
Área por sembrar = (4m)2 = 16m2
4 16 x 12 3 x
6. La razón geométrica entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menor es 14, halle la suma de los cuadrados de los números. Solución: a b 5k , luego: a b 3k
a b 5k a 4k ; b k a b 3k
Ahora: 4k 3(k) 14 k 2 . De donde: a = 8 y b = 2 Piden: 82+22 = 68 7. A una fiesta asistieron 140 personas, entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? Solución: M 3k , luego: 3k 4k 140 k 20 H 4k
De donde: M = 60 y H = 80 Piden:
M 60 20 40 2 H 80 20 60 3
8. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4, 1 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? Solución:
a b 4k....(1) a b 4k 5k 3k a ;b a b k....(2) , tomamos 1 y 2: 2 2 a b k ab 15k....(3) 5k 3k Luego reemplazamos en 3: 15k k 4 2 2 5(4) Nos piden: a 10 2 9. El gasto de una persona es D. P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/. 1200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1300? Solución: G k , si ahorra S/.200, entonces su gasto es = S/.1200-S/.200 = S/.1000 S
1000 1300 x 1560 1200 x 10. A es D. P a B e I. P a C2, cuando A=10, B=25 y C=4. Halle A cuando B=64 y C=8. Solución:
Por lo tanto si gasta S/. 1300, su sueldo será:
10 2 A 2 .4 k k 32 .C k , luego: 25 B x .8 2 32 x 4 64 11. Una rueda de 80 dientes engrana con otra de 15 dientes, la que está montada sobre el mismo eje que una tercera rueda. ¿Cuántas vueltas dará esta última rueda cuando la primera ha dado 60 vueltas? Solución: A D=80 V=60
B
C
D=15 V= ?
V=?
. # V k Para toda rueda o engranaje: A más dientes, da menos vueltas. (I.P.), # D . 60 15.V , de donde V = 320. Dado que C está fija al eje de B, entonces dará Luego: 80 el mismo número de vueltas; es decir, 320. 12. Una rueda “A” de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fija el eje “B”, hay otra rueda C de 15 dientes que en engrana con una rueda “D” de 40 dientes. Si “A” da 150 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda “D”? Solución: A D=80 V=150
B D=50 V=x
C
D D=15 V=x
D=40 V=y
Aplicando la propiedad anterior, tenemos: 80.150 = 50.x, de donde x= 240. Luego 15.240 = 40y, de donde y= 90, por lo tanto la rueda D, dará 90 vueltas. 13. En 15 días, 16 obreros han hecho la mitad de una obra que les fue encomendado. Si entonces se retiran 4 obreros, ¿en cuántos días terminarán lo que falta de la obra los obreros restantes? Solución: Utilizaremos el método Causa – Efecto
# días
# obreros
obra
15 X
16 12
1/2 1/2
X.12.1/2 = 15.16.1/2 X = 20 14. Se sabe que un obrero A es 30 % más eficiente que B y B se demora 46 días en hacer una obra. ¿En cuántos días harán juntos dicha obra? Solución: Supongamos que: Eficiencia de B = 100% Eficiencia de A = 130% Eficiencia de los dos = 230% Además, a mayor eficiencia se trabaja menos días, luego son I.P. Eficiencia
días
100% 230%
46 X
100%.46 = 230%.X X = 20 15. Un depósito tiene 5 conductos de desagüe de igual diámetro. Abiertos tres de ellos, se vacía el depósito en 5 horas y 20 minutos. Abiertos los cinco, ¿en cuánto tiempo se vaciará? Solución: A más caudal (conductos) el depósito se vacía en menos tiempo, son I.P. Conductos 3 5
Tiempo (min) 320 x
3.320 = 5x X = 192 min = 3h12min
16. 5 trabajadores demoran 14 días trabajando 10 h/d en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado trabajando 7 h/d durante 20 días? Solución: Utilizando el método causa – efecto # obreros
# días
5
14
X
h/d 10
20
área (m2) 400
7
1600
X.20.7.400 = 5.14.10.1600 X = 20 17. Quince obreros pueden hacer 30 carpetas en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 10 obreros de doble eficiencia en hacer 40 carpetas si la dificultad es la tercera parte de la anterior? Solución: Utilizando el método causa – efecto, donde la dificultad es considerada como un efecto, pues forma parte de las condiciones de la obra y no de las condiciones del trabajo en sí, luego: Obreros días
eficiencia
carpetas
dificultad
15
18
1
30
3
10
x
2
40
1
10.X.2.30.3 = 15.18.1.40.1 X =6 18. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El servicio de la primera excede a la segunda en 4 14 años y las pensiones están en la relación de 9 a 8. ¿Cuánto tiempo ha servido la segunda? Solución:
P k , luego: A 9 x
17 4
8 x
17 9 x 8 x 4 17 81x 64 x 2 x 16
2
2
19. Un muchacho da 100 pasos en un minuto, y un hombre 3 pasos en 2 segundos. El primero avanza en cada paso 70 cm, y el segundo 90 cm. ¿Cuánto tardará el hombre en hacer un recorrido de 5670 m? Solución: Encontramos cuántos metros avanza el hombre por minuto:
3 pasos segundos m m x 60 x 0,9 81 2 segundo min paso min Luego, hallamos el tiempo que tardará en recorrer los 5670 m: 1560mx
1 min 70 min 1h10 min 81 m
20. Para la construcción de una cerca de 84 m de longitud, 3 m de altura y 0,60 m. de espesor se hizo un presupuesto de 10 854 soles. Al ejecutar la obra, se rebajó la altura en un metro; se disminuyó el espesor en 10 cm y la longitud en 2 m. ¿Qué ahorro se obtuvo? Solución: La cerca original tiene un volumen de = 84m.3m.0,6m = 151,2m3 La cerca actual tiene un volumen de = 82m.2m.0,5m = 82m3 A mayor volumen, mayor precio, son D.P., luego: Volumen
Precio
151,2
10854
82
x
10854 x 151,2 82 X = 5886,43 Por lo tanto se ahorro: 10854 – 5886,43 = 4967,57
