MATEMÁTICA BÁSICA CERO
UNIDAD I: Aritmética SESIÓN 02: Conjuntos
1.
De las siguientes expresiones determine si son verdaderas o falsas: 1. {2; 5; 3} = {3; 5; 2} 2. {4} {{4}; 5} 3. {3} {2; 3; 4} a) VVF b) VVV c) FVF d) FFV e) N.A. Solución 1. {2; 5; 3} = {3; 5; 2}
V: Ambos conjuntos tienen los tres mismos elementos
2. {4} {{4}; 5}
V: {4} es un elemento del conjunto {{4}; 5}
3. {3} {2; 3; 4}
V: El conjunto formado por el elemento {3} está dentro del conjunto {2; 3; 4}
2.
Dado A={2; 4; 6; 8}, hallar el valor de verdad de: I. 2 A III. {6} P( A) II. {4} A IV. {8} P( A) a) VVVF b) FVFV c) FFFV d) FFVF Solución
e) FVVV
I. 2 A
F: 2 pertenece al conjunto A
II. {4} A
F: 4 (sin llaves) es un elemento del conjunto A
III. {6} P( A)
F: {6} pertenece al conjunto potencia de A
IV. {8} P( A)
V: {8} es un elemento del conjunto P(A)
3.
Si A =1; 2; {3}; {1; 3}}. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) 3 A 2) 1{1;3} 3) {3} A 4) {1,3} A 5) {1; 2} A 6) {2} P( A) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. Solución 1) 3 A
V: 3 no es un elemento del conjunto A
2) 1{1;3}
V: 1 es un elemento del subconjunto {1; 3}
3) {3} A
F: {3} es un elemento del conjunto 1; 2; {3}; {1; 3}}
4) {1,3} A
V: {1, 3} es un elemento del conjunto 1; 2; {3}; {1; 3}}
5) {1; 2} A
F: El conjunto {1; 2} está incluido en el conjunto 1; 2; {3}; {1; 3}}
6) {2} P( A) F: {2} es un elemento del conjunto potencia de A
4.
Determine por extensión e indicar el número de elementos del conjunto x 1 B / x Z ,7 x 17 3 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
Solución Podemos tomar los valores: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 para x. x 1 8 10 11 13 14 16 17 Remplazando en , tenemos: ;3; ; ;4; ; ;5; ; Se tienen 10 elementos. 3 3 3 3 3 3 3 3 5.
Determine por extensión el siguiente conjunto: I an / n Z an 2 an 1 2an ; a0 1; a1 2 a) I={1; 2; 4; 8; 16; 32; ....} b) I={1; 3; 5; 8; 16; 32; ....} c) I={1; 2; 4; 10; 18; 32; ....} d) I={1; 2; 8; 16; 32; 64; ....} e) N.A. Solución Tenemos una sucesión, cuyos primeros 6 elementos son: an 2 an 1 2an a0 1 a1 2
a2 a1 2a0 2 21 4
a3 a2 2a1 4 22 8
a4 a3 2a2 8 24 16
a5 a4 2a3 16 28 32 Por lo tanto el conjunto I por extensión es: I={1; 2; 4; 8; 16; 32; ....}
6.
Determine por comprensión el conjunto E = { 9 ; 99 ; 999 ; 9999 ; 99999} a) 10 x 1 / x N x 6 b) 10 x 9 / x N x 5 c) 10 x 1 1 / x N x 5 d) 10 x 1 1 / x Z x 5 e) N.A. Solución Se puede observar que cada elemento es el resultado de restar 1 a una potencia de 10: 9 101 1 100 1 1 99 102 1 1011 1 999 103 1 102 1 1 9999 104 1 1031 1 99999 105 1 104 1 1 Por lo tanto la función generadora es: 10x 1 1 para valores de x desde 0 hasta 4, de donde el conjunto por comprensión queda así: 10 x 1 1 / x N x 5
Sean A y B dos conjuntos diferentes del nulo o vacío, además el n( P( A)) 256 . Si n( B) n ( A) 3 , determine el n( P( B)) . a) 2456 b) 2012 c) 4012 d) 2048 e) 2047 Solución 7.
Hallando n(A):
nP A 256 2 n A 256 2 n A 28 n A 8
Hallando n(B):
n B n A 3 n B 8 3 nB 11
Finalmente, hallando n(P(B)):
nPB 2 n B nPB 211
nPB 2048 8.
De dos conjuntos A y B se conoce:
Card(A) 4a 3; Card(B) 2b 1; Card(A
Calcule card(A B) . a) 8a b) 7a Solución
c) 4a
d) 6a
B) a b 1
e) 2a
Tenemos la propiedad: Card AB Card A Card B 2Card A B Remplazando: Card AB 4a 3 2b 1 2a b 1
Card AB 4a 2 2b 2a 2b 2 Card AB 2a
9.
A es un conjunto de 8n elementos, B es un conjunto de 5n elementos que tienen 2n-1 elementos comunes. Si card (A B) card (B A) 12 , ¿cuál es el cardinal del conjunto potencia de ( A B) . a) 244 b) 128 c) 401 d) 204 e) 202 Solución Sabemos que:
Card A B Card A Card A B .......... ..1 Card B A Card B Card A B .......... ..2 Luego, restando (1) – (2): Card A B Card B A Card A Card A B Card B Card A B
Card A B Card B A Card A Card A B Card B Card A B Card A B Card B A Card A Card B Remplazando: 12 8n 5n 12 3n 4n La intersección tiene: 2n – 1 elementos, es decir: 2(4) – 1 = 7 elementos. Finalmente: Card P A B 27 Card P A B 128
10. Sombrea la parte que representa cada operación: (B
C)
(A C)
A
A
B
B' C
B
A
B
C
A
B
C
C
Solución a)
b)
A
B
c)
A
B
A
C
C
B
C
11. Considere el conjunto universal U y tres subconjuntos del mismo: A, B y C, de acuerdo a la siguiente figura: A
U
Dibuje: a) (A B) C Solución a)
C
B
b) A (B C ') c) (A C ) B ' d) A ' (B C) b)
c)
d)
12. En un salón de clase, se preguntó a los alumnos sus preferencias por Matemática y Lenguaje. El resultado fue el siguiente: a 25 alumnos le gusta la Matemática, a 30 Lenguaje y a 15 solamente uno de los cursos. Si 5 alumnos no mostraron interés por los cursos, ¿a cuántos alumnos se encuestó? a) 20 b) 12 c) 40 d) 28 e) 29 Solución Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama: 25 = M
L = 30 x
y
U = ¿?
z 5
Y si a 15 alumnos les gusta solamente uno de los cursos, tenemos:
x z 15 Además: x y 25 y z 30
Sumando las tres ecuaciones y simplificando: 2 x 2 y 2 z 70 x y z 35
Finalmente, la cantidad de alumnos encuestados es:
x y z5? 35 5 40 13. De un total de 320 consumidores de pollos a la brasa: 125 no consumen ketchup135 no consumen mostaza. 20 no consumen mostaza ni kétchup. ¿Cuántas personas consumen ambas salsas? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70
e) 80
Solución Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama: 125 = NK
NM = 135 U = 320
x
20
y z = ¿?
Y si en total son 320 consumidores, tenemos: x 20 y z 15
Además, sabemos que: x 125 20 105 y 135 20 115
Finalmente, remplazando en la primera ecuación se tiene: 105 20 y 115 320 240 z 320 z 80
14. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó Física; el 42%, Química; y el 56% uno y solo uno de los dos cursos. Además, 432 aprobaron Física y Química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? a) 2400 b) 2800 c) 2900 d) 3000 e) 3100 Solución
Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama: 50%U = F x
Q = 42%U U = ¿? 432
y
Y si el 56% de los alumnos aprobó uno y solo uno de los dos cursos, tenemos: x y 56%U
Además, sabemos que: x 50 %U 432 y 42 %U 432
Finalmente, remplazando en la primera ecuación se tiene: 50 %U 432 42 %U 432 56 %U 36 %U 864 U 2400
15. En una entidad internacional trabajan 36 personas, de las cuales 6 hablan solo inglés y español; 10 hablan solo francés y español; 8 hablan inglés, francés y español. Si todos hablan español: 1) ¿Cuántas personas solo hablan español? 2) ¿Cuántas personas hablan inglés? 3) ¿Cuántas personas hablan francés? a) 12, 14, 19 b) 15, 14, 12 c) 16, 12, 15 d) 17, 12, 15 e) 12, 14 18 Solución Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama: ¿? = I
F = ¿? 6
8
E = 36
10 x
Y si todos hablan español, tenemos: 6 8 10 x 36 x 36 24 x 12
Finalmente, obtenemos las tres respuestas: 1) 12 2) 6 8 14 3) 8 10 18
16. En las competencias internas de la UPN se ha abierto un campeonato de triatlón, atletismo (A), ciclismo (C) y natación (N). Los participantes pueden inscribirse en una,
dos o en las tres ramas deportivas. Si al cierre de las inscripciones se registraron las siguientes listas: A: 13, C: 15, N: 13, A y C: 5, A y N: 4, N y C: 7, A, N y C: 3, ¿cuántas personas se inscribieron en total? a) 24 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Solución Con los datos A: 13, C: 15, N: 13, A, N y C: 3, completamos el siguiente diagrama: 13 = A
C = 15
U = ¿?
3 N = 13 Luego, con los datos A y C: 5, A y N: 4, N y C: 7, restando 3 en cada intersección: 13 = A
C = 15
U = ¿?
2 1 3 4 N = 13 Restando en el resto de regiones se tiene: 13 = A
C = 15 7
2
U = ¿?
6
1 3 4 5 N = 13 Finalmente:
U 7 2 6 1 3 4 5 U 28 17. De 90 artistas, se sabe que 12 bailan, cantan y declaman; hay 56 que bailan, 49 que declaman y 25 que cantan. Además, todos los que cantan saben bailar y 8 no bailan, no cantan y no declaman. ¿Cuántos bailan y declaman pero no cantan? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Solución
Con los datos de la primera parte completamos el siguiente diagrama: 56 = B
C = 25
U = 90
12 D = 49 Luego, con los datos de la segunda parte completamos: 56 = B
C = 25
U = 90
56 – 25 = 31 49 – 12 = 37
31 – x 13
0
x 12 0 37 – x D = 49 Finalmente:
31 x 13 12 x 37 x 90 11 x 18. De un grupo de 200 personas, se determina que 80 eran mudos, 70 cantantes y 90 ciegos. De estos últimos, los mudos eran tantos como los cantantes. Si los que no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20, ¿cuántos solo cantan? a) 40 b) 28 c) 29 d) 30 e) 39 Solución Con los datos completamos el siguiente diagrama: 80 = M
Ca = 70
U = 200
0 x 0 x 20 Ci = 90 Luego, completando las demás regiones: 80 = M
Ca = 70
80 – x 0 70 – x x 0 x 20
90 – 2x Ci = 90
U = 200
Como en total hay 200 personas: 80 x x x 70 x 90 2 x 20 200 60 2 x 30 x
Finalmente los que solo cantan:
70 x ¿? 70 30 40 19. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética y 6 Literatura; 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso. Hay 16 hombres en total; 5 aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Literatura? a) 2 b)3 c) 1 d) 5 e) 6 Solución Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama: 7=A
L=6
16 = H
U = 35 5
11
5
M
x
8
Si hay 16 hombres, 5 de los cuales no aprobaron ningún curso y 7 aprobaron Aritmética, podemos concluir en que 4 aprobaron solo Literatura, entonces tenemos: 7=A
L=6
16 = H 11
U = 35
4
5
x
8
5
M Por lo tanto:
11 5 4 x 5 8 35 x2 20. En una reunión se observa que 40 mujeres son inglesas; 37 hombres son franceses; 28 ingleses son casados; 45 franceses son solteros. Hay, además, 42 hombres casados. Si 18 mujeres inglesas son solteras; entonces el número de mujeres francesas solteras es: a) 64 b) 57 c) 52 d) 49 e) 44 Solución Con los datos del problema, completamos el siguiente diagrama de doble entrada: M S
H
18
I
40
28 42
F
C x
37 45
Donde el cuadro exterior representa a los solteros y el cuadro interior representa a los casados. Empleamos variables auxiliares: M S
H
18
I
40
a
28
b 42
F
C x
c
37
45
d
Finalmente, restando entre regiones tenemos:
a 40 18 22 b 28 a 28 22 6 c 42 b 42 6 36 d 37 c 37 36 1 x 45 d 45 1 44
