MATRIKS DAN DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Sub Pok Pokok ok Matri triks Oper Operas asii Oper Operas asii Matr Matrik iks s • • • •
Baha Bahasa san n dan Jenisnya Matr Matrik iks s Bari Baris s Elem Elemen ente terr Inve Invers rs (Bal (Balik ikan an))
Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel /Frequency assignment Operation Research dan lain-lain
MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Sub Pok Pokok ok Matri triks Oper Operas asii Oper Operas asii Matr Matrik iks s • • • •
Baha Bahasa san n dan Jenisnya Matr Matrik iks s Bari Baris s Elem Elemen ente terr Inve Invers rs (Bal (Balik ikan an))
Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel /Frequency assignment Operation Research dan lain-lain
1. PENG PENGER ERTI TIAN AN MATR MATRIK IKS S
Definisi Sebuah matriks adalah sebuah susunan bilangan berbentuk persegi panjang . Bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam entr ri dari matriks. Entri di baris i susunan tersebut disebut ent dan kolom j dinotasikan dengan aij
Ukuran dari matriks ditentukan oleh banyaknya ba b a ris dan kolom yang terkandung didalamnya. didalamnya. Seca ec ara umum umum,, ma matriks iks m x n ditulis
a11 a12 a 21 a22 am1 am 2
a1n
amn a2 n
Notasi Matriks
a11 a21 A a m1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n amn
Baris pertama
Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n )
Kolom kedua
Matriks A berukuran (Ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama. A dan B dikatakan sama (notasi A = B ) jika a ij = b ij untuk setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks •
Matriks persegi panjang Sebua h
matriks deng an ukuran horizontal dan vertikal tidak sama( yakni matriks mxn de ng an m≠n). Example :
0 8 1 3 B 1 7 9 8 7 9 7 0
Matriks bujur sangkar (persegi)
Matriks yang jumlah baris kolomnya adalah sama (n x n )
Contoh : Ordo 2
Ordo 3
1 3 A 2 4
1 2 5 B 2 1 4 3 3 3
dan
jumla
Matriks segitiga Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah. Matriks segitiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagon pada kolom yang bersesuaian adalah nol. •
Contoh:
•
5 E 0 0
9
3
1
7
0
8
Matriks segitiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagon pada kolom yang bersesuaian adalah nol. Contoh:
2
0
0
Matriks Diagonal
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur yan bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
3 D 0 0
0 2 0
0
1 0
Matriks satuan (Identitas)
Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalny adalah satu. 0 0 1 I
0
1
0
Matriks Nol
Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
OPERASI MATRIK Penjumlahan/pengurangan matrix Perkalian skalar
Perkalian matriks Transpos Matriks
Trace Matriks
Operasi Baris Elementer
•
Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebalikny Notasi At (hasil transpos matriks A) Contoh :
2 A 3 -1
1
2 3 t - 2 maka A 1 -2 0
- 1
0
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan matriks Simetri. Contoh : 2 1 A
2. Operasi Matriks Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui : 1.
Penjumlahan Matriks
2.
Perkalian Matriks
3.
•
Perkalian skalar dengan matriks
•
Perkalian matriks dengan matriks Operasi Baris Elementer (OBE)
•
Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh a.
a e b f h c g d h
a c
b
e + d g
f
1
2 + 5
6
b.
6
8
Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : •
p q k r s •
=
k p k q k r k s
Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo p x q dan B berordo m x n Syarat : A X B haruslah q = m hasil perkalian AB berordo p x n B X A haruslah n = p hasil perkalian BA berordo m x q Contoh : Diketahui
a b c A
dan
p B q
s
t
Maka hasil kali A dan B adalah :
p s a b c ap+bq+cr as+bt +cu q t AB d e f 2 x3 r u dp+eq+ fr ds+et + fu 2x2 3 x2 Misalkan A , B , C adalah matriks berukuran sama dan , merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut : 1. A + B = B + A 2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. ( A + B ) = A + B 4. ( + ) ( A ) = A + A
Contoh : Diketahui matriks :
2 A 3 -1 Tentukan a. A At b. At A
1
-2 0
Jawab : maka
2 3 A 1 - 2
2 t AA 3 -1
t
1
- 1
0
2 3 -2 1 -2 0
- 1
2 2 3 - 1 t 3 A A 1 - 2 0 - 1
1
0
5 4 -2 4 13 -3 -2 -3 1
sedangkan
14 -4 -2 0 -4 5
•
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 -3 A 1 0
-2 2 2
1 b b ~ -3 3 2 1 4 0
-1
2 -2 2
Baris pertama (b ) ditukar
3
4
-1
OBE ke-2 4 -4 A 0 2 2 - 1
-4
0
3
1
7
1
1 -1 0 2 ¼ b1 ~ 2 - 1
0
-1
1
7
1
3
Perkalian Baris pertama (b 1) dengan bilangan ¼
OBE ke-3 1 -1
A 0 2
0
2
1
-1
1
-1
7 3
1 -1 2b1 b3 ~ 0 2 0 1
Perkalian (–2) dengan b 1 lalu
0
-1
1
7
1
5
•
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
1 1 1 3 B 0 0 3 1 0 0 0 0 •
•
•
•
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pa kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masi Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada b ke-3 adalah nol.
Sifat matriks hasil OBE : 1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). 2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika (Proses Eliminasi Gau dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jorda
Contoh :
Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari 1 - 1 A 0 2 2 -1
Jawab : A
~
~
0 1 1
- 1
7 3
1 2b1 b3 0 0
-1
1 0
-1
0
1
1
b2 b3
0
2
1
1
1
- 1
7 5 - 1
5
A ~
2b2 b3
1 0 0
- 1
-1
0
1
1
0
-1
5 -3
0
- 1
1 - 1 b3 ~ 0 1 0 0
1
1
5 3
1 b3 b2 ~ 0 0
-1
0
- 1
1
0
0
1
2 3
1 b2 b1 0
0
0
1
1
0
2
Perhatikan hasil OBE tadi :
1 0 0
0
0
1
0
0
1
1
2 3
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena juml baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
Invers Matriks Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. B dinamakan invers dari A jika dipenuhi AB=I
dan B A = I
Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B. Notasi A = B-1 Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
A | I
OBE ~
I | A 1
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas, maka A dikatakan tidak memiliki invers.
Contoh :
2 3 Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari : A 1 1 2 2
