Universidad Federico Santa María Departamento de Obras Civiles
Método de Subestructuración Subestructuración
Análisis Estructural (CIV 234) H. Jensen & M. Valdebenito –
Condensación Estática Motivación •
Al momento de modelar un sistema estructural, es necesario escoger nodos y elementos –
–
–
Número de grados de libertad (GL) requeridos puede ser considerable Eventualmente solo una parte de dichos grados de libertad sea de interés Ejemplo: considere un marco de 3 pisos
Vigas axialmente indeformables Información de interés: desplazamientos horizontales de cada piso GL de interés son rotulados como (, ) a c t i v o s (
Otros GL: i n a c t i v o s ( (, )
Condensación Estática Motivación –
Ejemplo: considere un marco de 3 pisos
Note que en este caso, la matriz de rigidez tiene la siguiente estructura
GL activo
GL inactivo
¿Cómo expresar esta relación en términos de los GL activos?
Condensación Estática Implementación •
Procedimiento
1) Seleccionar GL de interés (GL activos) 2) Expresar el resto de los GL (inactivos) en función de los activos 3) Sustituir en la relación de rigidez •
Ejemplo (continuación) –
Paso 1: selección de GL de interés
Grados de libertad activos
Condensación Estática Implementación •
Ejemplo (continuación) –
Paso 2: expresar GL inactivos en función de GL activos
Considere la relación de rigidez
Es posible formular 2 sistemas de ecuaciones
El segundo sistema de ecuaciones puede ser despejado en términos de
Condensación Estática Implementación •
Ejemplo (continuación) –
Paso 3: sustituir en la relación de rigidez
La última expresión (GL inactivos en función de GL activos) es reemplazada en la ecuación 1 de la diapositiva anterior
Matriz de rigidez asociada a GL activos
GL activos
Vector de cargas asociado a GL activos
Condensación Estática Implementación •
Ejemplo (continuación) –
–
Relación de rigidez referida a grados de libertad activos permite realizar análisis estructural en sistema de interés Caso particular de ejemplo: una posible aplicación de interés es el análisis sísmico Grados de libertad activos
Matriz de rigidez horizontal
Condensación Estática Interpretación del Vector de Cargas •
Ejemplo: considere el marco de la figura –
–
•
•
Viga indeformable axialmente Grado de libertad activo: desplazamiento horizontal
Considere el vector de cargas asociado a condensación estática
En caso que el desplazamiento activo sea nulo (,1 = 0), se obtiene el siguiente vector de cargas Fuerza que debe ser aplicada en dirección del grado de libertad activo ,1 tal que desplazamiento dicho grado de libertad sea nulo dadas las cargas en los grados de libertad inactivos
Condensación Estática Interpretación del Vector de Cargas •
Ejemplo (continuación) –
–
Suponga que sobre el marco actúan 2 momentos de magnitud
La carga que debe ser aplicada en dirección del GL activo para que el desplazamiento asociado al GL activo sea nulo es:
Condensación Estática Aplicación – Generación de Elementos Especiales •
•
•
El método de condensación puede ser aplicado para generar elementos especiales Concepto: utilizando modelos de elementos ya conocidos, es posible generar nuevos modelos de elementos Ejemplo –
–
Considere sistema estructural compuesto por 2 secciones de propiedades geométricas distintas
Objetivo: generar relación de rigidez referida a grados de libertad indicados
Condensación Estática Aplicación – Generación de Elementos Especiales •
Ejemplo –
Solución: sistema es modelado por medio de 2 elementos tipo viga
Sistema estructural –
Modelo
Se seleccionan como GL activos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 y como GL inactivos 7 , 8 , 9
Condensación Estática Aplicación – Generación de Elementos Especiales •
Ejemplo –
Solución: sistema es modelado por medio de 2 elementos tipo viga
Modelo –
Al aplicar condensación estática, es posible determinar la relación de rigidez buscada, i.e. =
Subestructuración Motivación •
•
•
Condensación estática permite analizar estructuras que involucran muchos grados de libertad por medio de s u b e s t r u c t u r a s Concepto: estructura es subdividida, GL activos son G L d e b o r d e (conexión entre subestructuras) y GL inactivos son G L i n t er n o s Ejemplo: enrejado modelado considerando 2 subestructuras
Sistema estructural
Subestructura 2
Subestructura 1
Subestructuración Motivación •
Ejemplo: grados de libertad –
GL de borde: 5 , 6 , 7 , 8
–
GL internos, subestructura 1: 1 , 2 , 3 , 4
–
GL internos, subestructura 2: no hay (todos los GL de la estructura 2 son GL de borde) GL internos GL de borde (subestructura 1)
Subestructura 2
Subestructura 1
Subestructuración Motivación •
Ejemplo: análisis subestructura 1 –
Matriz de rigidez de la subestructura 1
–
Donde: Subestructura 1
GL de borde –
GL internos (subestructura 1)
Al aplicar condensación, es posible deducir matriz de rigidez asociada a GL de borde
Subestructuración Motivación •
Ejemplo: análisis subestructura 1 –
–
Al aplicar condensación, también es posible deducir vector de carga asociado a GL de borde
Note que los vectores de carga son:
Subestructura 1
Subestructuración Motivación •
Ejemplo: análisis subestructura 2 –
Al no haber GL internos, deducción de matriz de rigidez de borde y vector de cargas asociado es directa
–
Matriz de rigidez de la subestructura 2
–
Vector de cargas de la subestructura 2
Subestructura 2
Subestructuración Motivación •
Ejemplo: relación de rigidez y determinación de desplazamientos –
Una vez que ambas estructuras han sido modeladas, es posible plantear relación de rigidez respecto de grados de libertad de borde utilizando concepto de ensamblaje Ensamblaje
–
El vector de desplazamiento asociado a los GL internos de cada subestructura puede ser determinado en base a vector de desplazamientos asociado a los GL de borde
Caso subestructura 1
Caso subestructura 2: en este ejemplo, no hay GL internos
Subestructuración Procedimiento •
Paso 1 –
Selección de subestructuras y definición de GL de borde y GL internos
I
II
GL de borde
IV III
•
Paso 2 –
Definición de matriz de rigidez y grados de libertad por cada subestructura = , , …
()
IV
Subestructuración Procedimiento •
Paso 3a –
•
Generación de matriz de rigidez asociada a GL de borde para cada subestructura = , , …
Paso 3b –
Generación de vector de cargas asociado a GL de borde para cada subestructura = , , …
Subestructuración Procedimiento •
Paso 4 –
Ensamblaje y determinación de desplazamientos asociados a GL de borde
I
II
IV III
Ensamblaje
Subestructuración Procedimiento •
Paso 5 –
Calcular desplazamientos asociados a GL internos por cada subestructura = , , …
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración –
Paso 1: selección de subestructuras y definición de GL de borde y GL internos GL de borde, 3 grupo 3 IV III
GL de borde, 2 grupo 2
II
I
GL de borde, 1 grupo 1
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración –
Pasos 2 y 3: definición de matriz de rigidez y grados de libertad por cada subestructura = , , … y generación de matriz de rigidez y vector de cargas asociados a GL de borde Subestructura I
GL de borde, 3 grupo 3
Matriz de rigidez de borde
IV III
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
GL de borde, 1 grupo 1
Vector de cargas de borde
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración –
Pasos 2 y 3: definición de matriz de rigidez y grados de libertad por cada subestructura = , , … y generación de matriz de rigidez y vector de cargas asociados a GL de borde Subestructura II
GL de borde, 3 grupo 3
Matriz de rigidez de borde
IV III
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
GL de borde, 1 grupo 1
Vector de cargas de borde
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración –
Pasos 2 y 3: definición de matriz de rigidez y grados de libertad por cada subestructura = , , … y generación de matriz de rigidez y vector de cargas asociados a GL de borde Subestructura III
GL de borde, 3 grupo 3
Matriz de rigidez de borde
IV III
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
GL de borde, 1 grupo 1
Vector de cargas de borde
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración –
Pasos 2 y 3: definición de matriz de rigidez y grados de libertad por cada subestructura = , , … y generación de matriz de rigidez y vector de cargas asociados a GL de borde Subestructura IV
GL de borde, 3 grupo 3
Matriz de rigidez de borde
IV III
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
GL de borde, 1 grupo 1
Vector de cargas de borde
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración
GL de borde, 3 grupo 3 IV III
–
Pasos 4: Ensamblaje y determinación de desplazamientos asociados a GL de borde
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
Ensamblaje de la matriz de rigidez
GL de borde, 1 grupo 1
Subestructuración Procedimiento •
Ejemplo de pasos a seguir al aplicar concepto de subestructuración
GL de borde, 3 grupo 3 IV III
–
Pasos 4: Ensamblaje y determinación de desplazamientos asociados a GL de borde
II
I
GL de borde, 2 grupo 2
Ensamblaje del vector de cargas
GL de borde, 1 grupo 1
