CODIGOS BCD (Decimal Codificado en Binario) 1.-
Introducción.
Se entiende por código un conjunto estandarizado de símbolos para representar información en forma biunívoca de tal forma que cada valor de la información tiene una representación única, y cada representación tiene un valor único. Es decir, no puede existir ambigüedad. De ésta definición se deduce que los sistemas numéricos estudiados, constituyen códigos de representación de las cantidades. En la vida cotidiana aparecen varias formas sencillas de códigos por ejemplo un semáforo, las indicaciones manuales de un árbitro de baloncesto o de fútbol, etc. Las computadoras y otros sistemas digitales utilizan códigos más complejos para el procesamiento, almacenamiento e intercambio de la información de diversos tipos. 2.-
Códigos decimales codificados en binario (BCD).
La razón principal de la existencia de los códigos BCD, es que la información procesada por cualquier sistema digital ha de convertirse finalmente al sistema decimal para su fácil interpretación. En los códigos BCD cada número decimal se codifica directamente en un código binario. Para representar los diez dígitos del 0 al 9 se necesitan 4 bits, y por tanto de las 16 combinaciones posibles (24) con 4 bits en los códigos BCD, solamente se utilizan 10. El BCD es un sistema que permite expresar, cada uno de los dígitos decimales con un código binario, Puesto que en el sistema BCD, solo existen diez grupos de códigos, es muy fácil convertir entre decimal y BCD y viceversa. Así como se lee y escribe en decimal, el grupo BCD, nos proporciona un excelente interfaz para los sistemas binarios. Por ejemplo las entradas por teclado y las salidas digitales. Es importante entender que los números BCD son números decimales y no números binarios. La única diferencia entre un número decimal y uno BCD, es que los decimales se escriben con los símbolos 0, 1, 2, ...., 9. Y los números BCD, utilizan los códigos 0000, 0001, 0010,...., 1001. Pero el valor del número es exactamente el mismo. Los códigos BCD ponderados son aquellos en los que a cada posición o cifra binaria se le asigna un peso y el número decimal equivalente a una combinación binaria, se obtiene sumando los pesos de las posiciones que poseen el valor (1). Así pues:
Un número decimal (N) de (0) a (9) se representa por
Ν =
ι =
Ρ Χ
donde (Xi),
puede tomar el valor (0) ó (1) y (P i) es el peso de la posición (i).
3.-
Código BCD Natural.
También llamado código 8421, es un tipo de código decimal binario, donde cada dígito decimal de (0) a (9), se representa, por un código binario de cuatro bits. La designación 8421, indica los pesos binarios de los cuatro bits 2 3, 22, 21, 20. La principal ventaja de este código, es la facilidad de conversión entre 8421 y decimal. Con cuatro dígitos se podrían representar 16 combinaciones de números, pero en el sistema BCD Natural, solo se usan diez combinaciones, las otras seis combinaciones no son válidas. (Ver figura No. 1). DIGITO DECIMAL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BCD NATURAL P3 P2 P1 P0 8
4
2
1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Figura No. 1. Tabla para el Código BCD natural.
Las combinaciones, a las que no se le asignan ningún número en BCD son: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111. 4.-
Conversión de decimal a BCD Natural.
Para expresar en BCD, reemplace cada dígito en decimal, por el apropiado código de cuatro bits. Ejemplo 1.
Expresar el número 35 en código BCD Natural. Como el número 3 en BCD Natural, equivale a 0011 y el 5 a 0101, reemplazamos todo el número en BCD Natural y nos queda: (35) 10
(00110101) BCD
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo 2.
Expresar el número 970 en código BCD Natural. Se tiene que (970) 10
9 = 1001
7 = 0111
0 = 0000, entonces:
(100101110000) BCD.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.-
Conversión de BCD Natural a decimal.
Es igualmente sencillo pasar de código BCD Natural a decimal. Se divide él número en grupos de a cuatro de derecha a izquierda y se busca el equivalente en decimal. Si por algún caso, quedan menos de cuatro dígitos a la izquierda, entonces se debe llenar con ceros hasta completar los otros cuatro dígitos. Ejemplo 3.
Convertir el número (100100011000) BCD a decimal. Separando en grupos de cuatro de derecha a izquierda, queda: 1001 = 9 0001=1 1000=8 Por lo tanto: (100100011000) BCD (918) 10. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 4.
Convertir el número (1101010010) BCD a decimal. Separando en grupos de a cuatro, tenemos: 11 = 3 0101=5 0010=2 En el primer bloque quedaron solamente 2 dígitos, añadimos ceros a la izquierda, hasta completar los cuatro dígitos con los que siempre trabaja el código BCD natural. Al realizar esto, el número nos queda 0011=3; por consiguiente: 352. (1101010010) BCD
(352) 10.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.-
Suma en código BCD Natural.
De las operaciones aritméticas, la suma es la más importante, dado que las otras tres se pueden llevar a acabo utilizando la suma. Para sumar dos números en código BCD Natural, utilizamos los siguientes pasos: a)
Sumar los dos números BCD natural, utilizando las reglas de la suma binaria.
b)
Si el resultado de una suma de 4 bits es menor o igual a (1001) (9 en binario), el resultado es un número BCD Natural válido.
c)
Si el resultado de una suma de 4 bits es mayor que 9 (1001), es decir si aparece un número que no existe en BCD Natural, o si se genera un acarreo en el grupo de 4 bits, el resultado no es correcto. En este caso y para corregir se suma (0110) para saltar así los 6 estados no validos y pasar así al código BCD Natural. Si se genera un acarreo al sumar 6, éste se suma al grupo de 4 bits siguientes.
Ejemplo 5.
Sumar 5 y 2 en código BCD Natural 5 2 7
+
0 0
1 0
0 1
1 0
0
1
1
1
Existe en un BCD Natural, también se puede decir que es menor que 9, o sea, que el resultado es correcto.
Ejemplo 6.
Sumar 9 y 4 en código BCD Natural 9 4
13
+ +
1
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 0 1
1 0 1 0
0
0
1
1
Resultado no existe en BCD Natural, se debe corregir sumándole 0110 Resultado correcto
Ejemplo 7.
Sumar 597 y 493 en código BCD Natural 597 463
+ +
1060
+
1
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0
0
0
0
0
0
0
1
1
0 0 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 0
1 1 0 0 0
0
0
0
0
Corrección Corrección Resultado correcto
Ejemplo 8.
Sumar 8 y 9 en código BCD Natural 8 9
17
1 1 + 1 0 0 +
0 0 0 1
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 1 1
Aparece acarreo de un bloque de 4 bits al otro, se corrige sumándole 0110 Resultado correcto
Obsérvese que la suma de dos dígitos en código BCD Natural, produce un acarreo de la siguiente posición de dígito siempre que la suma binaria inicial o la suma del factor de corrección produzcan un acarreo. 7.-
Resta en código BCD Natural.
Para la resta en el código BCD Natural, se utiliza el convenio del complemento a nueve porque permite reducir la complejidad del sistema. La operación de la resta de (a - b) se representa por: a – b = a + 10 n – 1 – b = 10 n – 1 + (a - b) = 10 n + ( a – b – 1). Donde n es el número de cifras decimales de los números (a) y (b). De la ecuación anterior se deduce que si el resultado de (a – b) es negativo o cero, no se produce acarreo y el número obtenido queda representado mediante su complemento a nueve. Si el resultado de (a – b) es positivo, se produce un acarreo que a de sumarse a aquel para obtener la suma correcta. Ejemplo 9.
Sean los números 78 y 32 y su representación en código BCD natural es 78 32
01111000 00110010
Los números negativos correspondientes representados en el convenio de complemento a nueve son: - 78 - 32
99 – 78 = 21 99 – 32 = 67
Y en la representación en BCD natural será: -78 -32
00100001 01100111
Ahora vamos a realizar la resta de (78 - 32), en el sistema decimal: 7 - 3
8 2
7 6 4
+
1
8 7 5 1 6
+
4
6
4
Aparece un acarreo que se le suma al resultado Corrección Resultado correcto
Realizando la resta de (78 - 32), en el código BCD Natural: -
7 3
8 2
+
+
4
1
0 0 1 0 0
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 0
+
6
0
1
0
0
0
1
1
0 1 1 0 1 1 0
Números no BCD Corrección Corrección Resultado correcto
El resultado obtenido es (+ 46), porque hubo acarreo. Realizando la resta de (32 – 78), en el sistema decimal: -
3 2 7 8 4 6
3 2 2 1 5 3
+
Complemento a nueve de 46
Realizando la resta de (32 - 78), en el código BCD Natural: -
3 7 4
2 8 6
+
0 0
0 0
1 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0
1
0
1
0
0
1
1
Complemento a nueve de 46
El resultado obtenido es el complemento a nueve de 46, o sea, que el resultado es (- 46), porque no hubo acarreo. 8.-
Generador de complemento a nueve.
El diseño del circuito generador de complemento a nueve, puede ser de dos formas: a)
Circuito combinacional a partir de una tabla de verdad como se muestra en la figura No. 2. COMPLEMENTO A9
DIGITO
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * *
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 * * * * * *
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 * * * * * *
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 * * * * * *
Figura No. 2. Tabla de código BCD Natural con su complemento a nueve.
b)
9.-
El complemento nueve de un dígito (a) se puede calcular invirtiendo el número y sumándole 1010 y despreciando el acarreo (carry) si lo hay, lo cual se puede realizar fácilmente con la ayuda de un sumador completo de 4 bits que se estudiará más adelante.
Código BCD Aiken.
Es un código ponderado (2421) y autocomplementario. Un código es autocomplementario cuando la combinación correspondiente al complemento a 9 de N es decir (9 – N) se obtiene invirtiendo la combinación correspondiente a N, o sea, cambiando los unos por ceros y viceversa.
En efecto el número 3 se codifica mediante la combinación 0011 y el 6 (9-3) mediante 1100. Esta propiedad es importante cuando en las computadoras se hacen operaciones matemáticas internas con números decimales (en código binario) y la resta se hace por medio de complemento a 9. En la tabla de la figura No. 3, aparece el código BCD Aiken comparado con el BCD Natural. DIGITO DECIMAL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
CODIGO BCD Natural
CODIGO BCD Aiken
P3 P2 P1 P0 P3 P2 P1 P0 8 4 2 1 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1
Figura No. 3. Tabla de comparación entre códigos BCD natural y BCD Aiken.
Para construir la tabla BCD Aiken, basta notar que del 0 al 4 las palabras código, son iguales a las del BCD Natural. A partir de ahí se debe aplicar la propiedad de autocomplementariedad ya expuesta. Entre más bits hayan por cada representación es más fácil detectar un error. Esto hace ventajoso al código Aiken para detectar y corregir errores debido a sus cuatro posiciones. 10.-
Suma en el código BCD Aiken.
Como se va a efectuar una operación aritmética con números en código BCD, se manejan en bloques de 4 bits. Si al hacer la suma de cada bloque, el resultado es un número que no existe en código BCD Aiken, se debe corregir así: a) b)
Si aparece acarreo, se debe corregir el resultado restándole (0110), lo que es lo mismo que sumarle (1010). Si el acarreo es cero, se debe corregir el resultado sumándole (0110).
Al hacer la suma de la corrección, ya no se tienen en cuenta los acarreos que puedan aparecer. Ejemplo 10.
Sumar 3 y 4 en código BCD Aiken 3 4
7
+
+
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 0
1
1
0
1
No existe en Aiken y no hubo acarreo, se debe corregir sumándole 0110 Resultado correcto
Ejemplo 11.
Sumar 1 y 2 en código BCD Aiken 1 2 3
+
0 0
0 0
0 1
1 0
0
0
1
1
Si existe en Aiken por lo cual es el resultado correcto
Ejemplo 12.
Sumar 6 y 8 en código BCD Aiken 6 8
+
1 14
1
1 1 1 0
1 1 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
0
1
0
0
Resultado del primer bloque no existe en Aiken y generó acarreo, se debe corregir restando 0110 Resultado correcto
Ejemplo 13.
Sumar 378 y 851 en código BCD Aiken 378 851 1229
0 0 1 1 1 1 0 + 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 + 1
0
0
1
0
0
0
1
1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0
0
1
1
1
1
Corrección Resultado correcto
Ejemplo 14.
Sumar 91 y 99 en código BCD Aiken 91 1 1 1 1 99 1 1 1 1 + 190 1 1 1 1 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0
0
0
0
11.-
Resultado correcto
Resta en el código BCD Aiken.
La resta se convierte en una suma, al aplicar el complemento a nueve del sustraendo o numero negativo. Se aplican los mismos criterios que se aplican en la suma, o sea, si al hacer la suma de cada bloque de 4 bits aparece un número que no existe en BCD Aiken y su acarreo es un cero se debe corregir el resultado sumándole (0110), y si el acarreo es un uno (1), se le debe restar (0110), lo que equivale a sumar (1010). Si el acarreo es cero indica resultado negativo y estará complementado a nueve, y si es uno indica resultado positivo y se le suma el acarreo al resultado. Ejemplo 15.
Al número 3 restarle 5 en código BCD Aiken 3 -5
-2
0 + 0 0 + 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 0
0
1
0
1
1
No existe en Aiken y acarreo = 0, se debe corregir sumándole 0110 Resultado correcto (-2) en complemento a nueve
Ejemplo 16.
Al número 13 restarle 7 en código BCD Aiken. 13 -07
+
1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 0
0 0
1 1
1 0
0
0
0
0
0
1
0
1
1 0
1 1
0 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0 1
0
0
0
0
1
+
1 +
06
Resultado del primer bloque No existe en Aiken y acarreo = 0, se debe corregir sumándole 0110 Resultado positivo. Se le debe sumar el acarreo Resultado correcto (+ 06) en complemento a nueve
12.-
Código BCD 5421.
En la tabla de la figura No 4, aparece un código que aunque poco utilizado, también es BCD ponderado. DIGITO DECIMAL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BCD 5421 5 4 2 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
Figura No. 4. Tabla para el código BCD 5421.
13.-
Código BCD Exceso 3.
Como su nombre lo indica, los códigos no ponderados son aquellos en los que cada posición binaria no tiene asignado un peso. El más utilizado de todos es el código BCD Exceso 3 representado en la tabla de la figura No. 5, donde se compara con el código BCD Natural. El código BCD Exceso 3 se relaciona con el BCD Natural y algunas veces se utiliza en lugar de éste debido a que posee ventajas en ciertas operaciones aritméticas. En éste código cada número decimal (N) se codifica mediante la combinación que le corresponde a (N + 3) en el código binario natural y posee la propiedad de ser autocomplementario también. En la tabla de la figura No. 5, se nota que ambos códigos BCD, el Natural y el Exceso 3 solo emplean 10 de las 16 posibles combinaciones con 4 bits, además el Exceso-3 no usa los mismos grupos del BCD Natural.
DIGITO DECIMAL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BCD Natural
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
BCD Exceso-3
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Figura No. 5. Comparación entre códigos BCD Natural y BCD Exceso 3.
14.-
Suma en código BCD Exceso 3.
a) b)
c)
La suma se realiza bajo las mismas reglas de la suma binaria. Cuando el resultado de la suma es menor que 9, no se produce acarreo pero el número obtenido está expresado en Exceso 6, por lo tanto es necesario restar 3 (0011) al número obtenido lo cual es equivalente a sumar (1101) y despreciar el acarreo que se produzca. En el caso de que la suma sea superior a 9, entonces se produce un acarreo y el número obtenido estará en BCD natural por lo tanto hay que sumarle 3 (0011) para convertirlo a BCD exceso-3
Ejemplo 17.
Sumar 21 y 48 en código BCD Exceso 3 21 48 69
+ +
0 0 1 1
1 1 1 1
0 1 0 0
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1
0
0
1
1
1
0
0
No hay acarreo ni en 1°, ni en 2° bloque Corrección Resultado correcto
Ejemplo 18.
Sumar 78 y 96 en código BCD Exceso 3 78 96 174
1 1 + 1 0 + 0
0 1 1 0
1 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
Hay acarreo en 1° y 2° bloques Corrección Resultado correcto.
Ejemplo 19.
Sumar 7 y 7 en código BCD Exceso 3 7 7 14 15.-
1 1 + 1 0 0 +
0 0 1 0
1 1 0 1
0 0 0 1
1
1
1
1
0
Hay acarreo en 1° bloque Corrección Resultado correcto
Resta en el código BCD Exceso 3.
Por ser este código autocomplementario, el complemento a 9 de los dígitos en código BCD Exceso 3, se obtiene simplemente invirtiendo el número. La resta en código BCD Exceso 3 es muy similar a la de BCD natural, con la única diferencia que el generador de complemento a nueve es más sencillo. Ejemplo 20.
Realizar las restas (53 –18) y (18 –53) en código BCD Exceso 3. Los números 53 y 18 se codifican en BCD Exceso 3 de la siguiente forma: 53 18
a) 53 -18
35 b) 18 -53
10000110 01001011
01111001 10110100
La operación (53-18) en código BCD Exceso 3 será:
1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 + 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 + + 0 0 1 1 1 1 0 1 0
1
1
0
1
0
0
0
Acarreo final indica resultado positivo Suma del acarreo Corrección Resultado correcto
Se realiza ahora la resta (18 – 53) en código BCD Exceso 3:
+ +
-35
- 53 - 18
0
0 0 1 1
1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1
0
0
1
0
1
1
1
Corrección No acarreo al final indica resultado negativo representado en convenio de complemento a nueve
16.-
Bibliografía.
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