Unidad 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática 1. Los enunciados (II) y (V) no son proposiciones lógicas, ya que no se les puede
asignar un valor de verdad (II es una oración desiderativa y V es una oración imperativa).
Los enunciados (I), (III) y (IV) sí son proposiciones, ya que se les puede asignar un valor de verdad.
2. El acusado es culpable si y solo si
p + las huellas son auténticas; q las huellas son auténticas q si y solo si se encuentran en el arma del delito. + r ` (p + q) / (q + r)
También: +r / (p + +s) F F V F
Luego: I. (p & +q) 9 r Clave C (F & +F) 9 V (F & V) 9 V V9V F II. (s / r) 0 p (F / V) 0 F F0F F III. (+s & +q) & r (+F & +F) & V (V & V) & V V&V V
Clave E
3. Las personas te odiarán porque
p % siempre, dices la verdad, si y solo si, q + siempre dices la verdad, pues q % eres persona moral. r ` (q & p) + (r & q)
Resolución de problemas
Razonamiento y demostración
F
II. 7 > 3,5 ó 27,3 = 33 2 F V F F
7.
Entonces: • +(q / s) • [(q + p) 9 s] V V V V V
V
+
III. 4π $ 3 y 3 + 2 > 1 V / V V
[(q + p) 9 s] 0 +(q / s) F F F
F
4. Del enunciado:
V
Clave E
6. I. 32 = 23 + 102 = 100
Clave D
F
De donde: s = F
V
F
F
Clave A
p
q
[p 0 (q
+
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
Consistente
Luego: p = V; q = V; s = V
& +p) + q
Clave B
Clave B
5. Por dato
+p & (+r 0 q) V F F F F
De donde: p = F; r = V, q = F
8.
p
q [+p / (+q + q) T (q
& p)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F Clave D
2
Intelectum 4.°
9.
p V V F F
q +p α (+q α V F V F V F F F V F V V F F F F V F V F
p) V V F F
• (p 0 q) 0 (s & ar)
(F 0 V) 0 (F & F) / (V) 0 (V) / V
• (p & q) T q
(F & V) T V / (V) T (V) / F
Matriz principal
Por lo tanto, los valores de verdad son: FVF Clave D
Clave B
14. (p / + q) & (p & r) / F
10. Simplificamos:
[(+r / s) 0 +(+s 0 +r)] & (p / q / +s)
/ [(+r / s) 0 (s / r)] & (p / q / +s)
/ [s / (+r 0 r)] & (p / q / +s)
/ [s / V] & (p / q / +s)
/ s & (p / q / +s)
/ +s 0 (+s / p / q)
/ +s Clave D
Nivel 2 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática p + no se atienden las demandas laborales, o, aq 0 se suspenden las garantías constitucionales. +r ` p + (+q 0 r)
• p / +q / V
• p & r / F
V/ V
V& F
Tenemos: p / V; q / F; r / F Entonces: I. p 0 q es falsa p0q/V0F/V No se puede afirmar I.
III. + q & p es verdadera + q & p / V & V / V Sí se puede afirmar III. Clave C
12. La teoría de la relatividad no es exacta
y +p / las leyes de la mecánica celeste no son absolutas, +q puesto que % Einstein no está, científicamente equivocado. +r ` +r & (+p / +q)
Clave D
Resolución de problemas 15. p
V V F F
q (p V V F V V F F F
B. (p & q) + q / V . (F & q) + q / V
V
+q/V . V
Luego: • (p 0 q) / (r + s)
(F 0 V) / (V + F) / (V) / (F) / F
& +p) F F V F V V V V Clave D
16. p q (q 9 +p) & + [+p / (q + p)]
V V F F
V F V F
V F V F
V F F V
F F V V
V V V F
V V V F
F F V V
F F F V
V F V F
V F F V
V V F F
Consistente
V F Entonces: p / F; r / V ; s / F
+ (q V V F F F V F F
/ +q) & F F V V V F F F V F V V
Matriz principal
Clave B
Razonamiento y demostración
F
II. r & q es verdadera r&q/ F&F/ V Sí se puede afirmar II.
11. Habrá un caos social, si y solo si,
13. A. ap / a(r & s) / V
V
Clave C
17. p
V V F F
q V F V F
+ [(p * F V F F V V V F V V F V
q) V F V F
* +p] 9 V F V V F F F V F F V V
q V F V F Clave D
18. Simplificamos:
{+[(p X q) / (q X p)] X +p} & p / {+[(+p & q) / (+q & p)] X +p} & p / {+[(p 0 q) / (q 0 p)] X +p} & p
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
3
/ {+(p 0 q) & X+p} & p
Luego:
/ {(p 0 q) & +p} & p
/ {+(p 0 q) 0 +p} & p
I. (V) +q = V; entonces: q = F
/ {(+p / +q) 0 +p} & p
/ {+p} & p
/p0p/p
II. (V) p puede ser V o F III. (F) r puede ser V o F Clave A
19. [p & +(q & p)] & +q
24.
0 +{+[(p / q) & r] / [(p & q) 0 p]} / F F V
[+p 0 +(q & p)] & +q [+p 0 +(+q 0 p)] & +q [+p 0 (q / +p)] & +q
[+p 0 (+p / q)] & +q +p & +q / +(+p) 0 +q p 0 +q
20. I. +p 0 +q / +(p / q)
II. +p & q / +(+p) 0 q / p 0 q III. p 0 q Por lo tanto, II y III son equivalentes.
F ...(1)
• (p & q) 0 p / V ...(2)
Los valores de (1) también verifican en (2). Por lo tanto, los valores de verdad de las variables proposicionales p, q y r son respectivamente VVF. Clave B
Clave C
Nivel 3 (página 9) Unidad 1
Resolución de problemas 25.
Comunicación matemática
p V V V V F F F F
21. Sean las proposiciones:
.
V
Entonces: p / V; q / V Clave E
• (p / q) & r / F
` [p & +(q & p)] & +q / p 0 +q
Clave D
p: Juan Carlos es congresistas Q: Juan Carlos es presidente de la comisión de constitución.
Luego: (p / q) & p Clave B
22. Elena asistirá a la fiesta pues
p % recibió una invitación. q / Si no recibió una invitación, entonces aq & irá a un paseo campestre. r ` (q & p) / (aq & r)
q V V F F V V F F
r [+p & V F V F F V V F V F F V V V F F V V V V V F V V
(r V F V F V F V F
& F V V V F V V V
0 [+(+p 9 r) V F F V V V V F F F V F F V V V V F F F V V V F V V F V V F V V V F V V F V V F
+q)] F F V V F F V V
q] V V F F V V F F
0 V V F V V V V F
Tautología Clave A
26.
p V V F F
Clave E
q [p V V F V V F F F
/ (+q V F F V F F F V
9 V F F V
p)] V V F F
+ V V F F
{+q F V F V
+ V F V V
/ [+p + F F F V F V F V F F V F
(p V V F F
/ q)]} V V F F F V F F
Razonamiento y demostración
Clave C
23. Se tiene:
+t & {[+q & (s + t)] 0 (p / r)} V
V
V F
F
F
F F
F
27.
p
q (q
. +p) + {[(+q
.
V V V
F
F
V
F
V V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V V V
F
V V V
F
V V
F
V V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F F
F
p) 9 F
p] . (+q / p)} F
V
Clave D
4
Intelectum 4.°
28. Simplificamos:
t & {(q 0 p) / a(p 0 q)}
[p & +(p / q)] & {[(q 0 p) / +q] / (+q & +p)}
t & {(p 0 q) / a(p 0 q)} (Complemento)
t & F / at 0 F / at
/ [+p 0 +(p / q)] & {[p / +q] / (q 0 +p)}
Clave C
/ [+p 0 +p 0 +q] & {+[+p 0 q] / (+p 0 q)} F / +[+p 0 +q] 0 F
30. Por dato:
p * q / a(p 0 q) Luego:
/ +[+p 0 +q] / p / q / p α +q Clave C
N / +[(a & b) 0 (a * +b)] 0 [+(+a 0 +b)] N / +[(+a 0 b) 0 (+a / b)] 0 [a / b]
29. t & {[(p & q) & q] / [ap / (q & p)]}
N / +[(+a 0 b)] 0 (a / b)
t & {[a(p & q) 0 q] / [ap / (aq 0 p)]}
N / (a / +b) 0 (a / b)
t & {[a(ap 0 q) 0 q] / [ap / (p 0 aq)]}
N / a / (+b 0 b) V N / a / V ` N/a
t & {[(p / aq) 0 q] / (ap / aq)} t & {[q 0 (aq / p)] / a(p 0 q)}
Clave A
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
5
TEORÍA DE CONJUNTOS & B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} A T B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 10; 12} & n(A T B) = 9 A + B = {6; 7; 8; 9; 11} & n(A + B) = 5 ` n(A T B) + n(A + B) = 14
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 12) Unidad 1 Comunicación matemática 1. Tenemos:
M = {9; 16; 36} y N = {3; 4} a) M # N = {(9;3); (9;4); (16;3); (16;4); (36;3); (36;4)}
b) n(N # M) = 6
2.
I. 6 ! (C - B) , (A - B) II. 9 ! (C - B) , (C + B) III. 5 ! (B + C) - (A + C) IV. 1 ! (A , B) - (B + C) V. 5 ! (B + C) - (A + B)
7. Si se cumple: M - N = Q
Donde: M = {4n; 5} N = {4; m} P = {x es par / m - n < x < 2n + m} Del dato: M - N = Q & m 1 N Se deduce que los elementos de M y N son iguales, entonces: 4n = 4 / 5 = m n=1 Hallamos el conjunto p: P = {x es par / m - n < x < 2n + m} Reemplazando los valores de m y n: & 5 - 1 < x < 2(1) + 5 4
(F) (F) (V) (F) (V)
3. a) 6 x ! A : x + 2 > 4
x 5
b) 7x!A/x-2=4 c) 7x!A/ x !N 5 d) 7 x ! A / x - 10 = 0 Razonamiento y demostración 4.
I. (V)
x = 3; y = 2: 3 + 2 ! Z 5 6 4 !z + x = 6; y = 4: 5 x = 9; y = 6: 9 + 6 ! z 5
Clave B
8. (x2 + 7x; y - 2) = (44; 32); x / y ! Z+
II. (V) x = 3; y = 2: 3 - 2 > 0 x = 6; y = 4: 6 - 4 > 0 x = 9; x = 6: 9 - 6 > 0
x2 + 7x = 44 x(x + 7) = 4(4 + 7) & x = 4 y - 2 = 32 & y = 34 ` x + y = 38
III. (F) Para: x = 2; y = 3: 2 - 3 > 0 (falso)
Clave C
9. Se tiene A y B, tal que:
n[P(A)] = 128 = 27 & n(A) = 7 n[P(B)] = 256 = 28 & n(B) = 8 n[P(A + B)] = 64 = 26 & n(A + B) = 6 Se cumple: n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A + B)
IV. (F) Para: x = 2; y = 6: 2 + 6 = 7 (falso) 5. A - B = Q y tienen la misma cantidad de elementos.
Entonces: A = B {2a; 3} = {2; b} & a = 1 b = 3 C = {x es par/ b - a < x < a + b} 2
x-5 & A = {6; 7; 8; 9; 11} -1 # x # 8 -3 # 3x # 24 -2 # 3x + 1 # 25 -1 # 3x + 1 # 12,5 2
6
Intelectum 4.°
Clave C
Entonces: n(A , B) = 7 + 8 - 6 = 9 & n(A , B) = 9 ` n[P(A , B)] = 29 = 512 Clave D
Clave B
10. Dado el conjunto: A
A = {x2 / x ! N / 5 < x < 9} Hallamos x: x = {6; 7; 8} Para: A = {36; 49; 64} & n(A) = 3 n[P(A)] = 2n(A) = 23 = 8 n.° subconjuntos del conjunto potencia: 2n[P(A)] = 28 = 256 Clave D
a+b=8 b + c = 8 (+) a + c = 8
Nivel 2 (página 13) Unidad 1 Comunicación matemática 11. a) A = {x2/x ! N / 5 # x # 8}
2a + 2b + 2c = 24 a + b + c = 12 & a = 4; b = 4 y c = 4 Piden: a . b . c = 4 # 4 # 4 = 64
B = {x3/x ! N / 1 # x # 4}
b) A + B = {64}
c) n (A T B) = 6
d) n(A) = 4
Clave B
12. I. q ! (A - B) + (C - B)
F
17. Por dato: A / B son unitarios
II. n ! (C + A) - (A + B)
V
A = {2a; 3b} & 2a = 3b
III. t " (C - B) , A
F
IV. p " (A , B) + (C - B)
V
V. r ! (B - A) , C
F
& a = 0 / b = 0
B = {22x; 82} & 22x = 26
&x=3
C = {a + 1, b - 2, b + 4} & C = {1; -2; 4} D = {b + 1, b, x + 2 } & D = {1; 0; 5}
Razonamiento y demostración
13. Halla la representación de la figura sombreada.
` n(C + D) = 1
Clave A
U B
A
18.
C
= 105
U
A = 42
` (A + B) - C
54 = B
9
Clave E
8 13
12
6 28
12
14. A = {23; 60; 121; 212} 3
t1 = 23 = 3 - 4 t2 = 60 = 43 - 4 t3 = 121 = 53 - 4 t4 = 212 = 63 - 4 tx - 2 = x3 - 4 / 3 # x < 7 ` A = {x3 - 4 / x ! Z / 3 # x < 7}
Sea: n[(A , B , C)'] = x Luego: 42 + 34 + 12 + x = 105
Clave A
Resolución de problemas
C = 65
x
` x = 17
Clave C
19. Sean los conjuntos: A y B
Donde: n(A) = 7 / n(B) = 3
15. A = {x / x ! Z; x < 1}
Nos piden el máximo valor de: n(A , B) y n(A + B)
A no es unitario B = {x / x ! N; x2 - 2x - 3 = 0} x -3 1 x x = 3 0 x = -1
Luego: n(A , B)máx. cuando: (A + B) = Q n(A , B)máx. = n(A) + n(B) = 7 + 3 = 10 Para: n(A + B)máx. cuando: B 1 A n(A + B)máx. = n(B) = 3
A = {…; -2; -1; 0}
B = {3} & B es unitario C = {x / x ! Z / 7 < 3x < 11} 7 < x < 11 3 3 ! ! 2, 3 1 x 1 3, 6 & x = 3 C = {3} & C es unitario
Clave D
20. Como:
C + B' = Q & C 1 B x
Clave C
w
A
C
B
16. Si el conjunto A es unitario:
A = {a + b; b + c; a + c; 8} Los elementos de A son iguales.
n(A - B) = 15 (dato)
y
z
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
7
n(A) = 15 + x + y 30 = 15 + x + y & x + y = 15 ...(1) n(B) = x + y + z + w 40 = 15 + z + w & z + w = 25 ...(2) n(C' + B) = x + w & 33 = x + w ...(3)
Fuman y beben o no fuman ni beben 16 + 72 = 88 e) 2n + 2 - 2 . 2n - 2 = 7 # 25 2n(22 - 2-1) = 7 # 25 2n . 7 = 7 # 25 2 7 # 2n - 1 = 7 # 25
Sumando (1) y (2): x + y + z + w = 40 x + w + y + z = 40
33 &y+z=7 Piden: n[C , (A - B)] = 15 + y + z = 15 + 7 = 22
Nivel 3 (página 14) Unidad 1 Comunicación matemática 21.
I. 0 ! (A - C) , (B + C)
F
II. 4 ! (A + B) , (B - A)
V
III. 7 ! (C - A) - (B + A)
V
IV. 6 ! (A , B) - (C + A)
F
V. 3 ! (A + B) - (A + C)
V
22.
&n-1=5
Clave E
` n=6
f) Se observa: A = {0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89} ++++++ + + + + +
& n(A) = 10
g) -7 < 4x + 1 < 21 -2 < x < 5 & M = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} & n.° subconjuntos propios = 2n - 1 ` 26 - 1 = 63 h) Aritmética
26
x
27
26 + x + 22 + 27 = 100 x = 25 ` Llevan solo uno de los cursos: 26 + 22 = 48 alumnos
a) 7 x ! B / x " N 2 b) 6 x ! B; 3x < 49 c) 7 x ! B /
3
x !N
d) 6 x ! B; x + 1 ! Z
i)
+
A
A1B n(A , B) = n(B) = 9 n(B - A) = n(B) - n(A) 6 = 9 - n(A) ` n(A) = 3
b) 2a + 3b = 18 / 9b - 7a = 15 & a=3 b=4 ` a . b = 12 c) 2x - 1 = 7 / 7 = 3y + 1 x = 4 6 = 3y y=2 ` x-y=2 d) F x
24
72 + 32 + x = 120 x = 16
8
x
5
2n(A - B) - 1 = 63 & n(A - B) = 6 n(A , B) = 11 & 6 + x + 5 = 11 & x=0 ` n(A + B) = x = 0 Razonamiento y demostración 24. [(A , C) - B] , [B - (A , C)] Clave B
25. I. Si; A = Q & n[P(A)] = 1 (V)
Demostración: P(A) = {Q} posee un elemento ` n[P(A)] = 1 II. Si A es un conjunto unitario: & n[P(A)] = 1 (F)
B 8
B 6
23. a) Si A y B son comparables y n(B - A) = 6
& &
Álgebra
22
72
Intelectum 4.°
Demostración: n[P(A)] = 2n(A) Si A es un conjunto unitario posee solo un elemento. ` n[P(A)] = 21 = 2
III. Si A = B & n(A , B) = n(A + B)
Demostración: A , B = A , (A) = A A + B = A + (A) = A
29. Del enunciado:
(V)
U T(38)
M(42)
...(1) ...(2)
Luego: (1) es igual a (2). & (A , B) = (A + B) ` n(A , B) = n(A + B)
N(30)
Por lo tanto, en total hay 70 ómnibus. Clave E
30. 170 N
F
Clave C
9m
Resolución de problemas 26. Con los datos del problema se tiene:
30
2 5
12m
60 6m
10
3 26
` n(C’) = 4 + 3 + 2 + 3 = 12
Clave E
T Luego: 9m + 8m + 12m + 30 + 60 + 6m + 10 = 170 35m + 100 = 170 35m = 70 &m=2 Piden: 9m + 8m ` 9m + 8m = 17(2) = 34
Clave E
27.
Tenían reloj
No tenían reloj
Total
Hombres
60
m
70
Mujeres
a
n
30
75
25
100
31. H o M B R E S M U J E R E S
& a + 60 = 75 60 + m = 70 a + n = 30 a = 15 m = 10 15 + n = 30 n = 15
8m
B(12)
6 C
5
El n.° total de ómnibus, será: 42 + 9 + 9 + 5 + 5 = 70
` Son verdaderas: I, III, IV
1
9
Como: A + B = Q & n(A + B) = 0 & n(A , B) = n(A) + n(B)
3 2
9
5
Demostración: Por propiedad: n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A + B)
4
5
11
IV. Si A + B = Q & n(A , B) = n(A) + n(B) (V)
A(10)
15
11
Piden el n.° de mujeres que tenían reloj: a ` a = 15
39
a
n
b
b
m
n
60
▪▪ 22 hombres no tienen 20 años. 22 = a + b & b = 10 12 Piden: n.° de mujeres que no tienen 20 años = (m + n)
6n a
3n
Luego: 5n + a + a + n + 6n + a + 3n = 39 15n + 3a = 39 & 5n + a = 13 Piden: 5n + a = 13
a
Del enunciado: Clave C ▪▪ 18 hombres no tienen 21 años. 18 = a + 6 & a = 12
X
A a
6
28.
5n
Edad 21
Edad 20
G
Clave B
Del gráfico: 6 + a + b + b + m + n = 60 6 + 12 + 10 + 10 + m + n = 60 ` m + n = 22
Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
9
NUMERACIÓN PRACTIQUEMOS II. F Como 0 < x < 2 e y < 2; además x ! y; entonces: x = 1; y = 0
Nivel 1 (página 18) Unidad 1 Comunicación matemática 1. 2. Del enunciado:
Luego: 1100(2) = 1 # 23 + 1 # 22 = 12
A = {4a(2b); 111(2)} = {4a(2b); 7} B = {26; 1b(4)}
Por dato A = B, entonces:
1b(4) = 7
4 + b = 7
&b=3
4a(2b) = 26
Nos piden: a + b = 2 + 3 = 5
= 33 & ab(n) = 3
(a - 1)0a(b) = ab(4)
9[(n + 1)n(n - 1)] = 1110n + 3
= n2 + 2n + 1
Sabemos: an2 + 0n + 0 = a00(n)
Reemplazando: Clave B
Razonamiento y demostración 4. I. V
& (n + 1)2 . 1 + 0(n + 1) + 0
& 100(n + 1)
` 121(n) = 100(n + 1)
1a
1b 1c(d)
= dm(d + a + b + c)
= dm(d + d)
= dm(2d) = d . 2d + m $ 2d Luego: 2d # dm
1a
1b 1c(d)
10 Intelectum 4.°
Si c = 1: ab(5) = 22
()
h Pero: ab(5) < 52 = 25 ab(5) = 22 = 5 # 4 + 2 = 42(5) Por lo tanto: a+b+c=4+2+1=7 II. V Por descomposición polinómica: a1(n) = an + 1 (a - 1)(n - 1)(n) = (a - 1) n + n - 1 = an - 1
Piden: S de cifras = 1 + 0 + 0 = 1 Clave D
Si a + b + c = d; entonces dm
V
Si c = 2: ab5 = 44
& 121(n) = 1 . n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . 1
Razonamiento y demostración ab(5) = 2 # cc ()
a2 + b = 22 + 3 = 7
12. 13. I.
&n=8
& 1 < a < b < 4 . . 2 3 Nos piden:
Comunicación matemática 11.
7. Llevamos a base 10:
`x=6 Clave D
Clave D
Luego:
1 . x3 + 0 . x2 + 0 . x + 0 = 2ab
63 = 216
Resolución de problemas
Clave C
x3 = 2ab El único valor que puede tomar “x” es: 6 Entonces:
6. 1000n + 100n + 10n + 3 = 9[(n + 1)n(n - 1)]
x 2
Piden: x + y = 3 + 4 = 7
Clave E
&x=3/y=4
Nivel 2 (página 18) Unidad 1
Clave C
x
10. 1000(x) = 2ab
III. V De (I).
3. En un cuadrado se cumple:
Pero: yx(7) & y < 7 / x < 7
II. V SI n = 3: 3 = 3 # 1 + 0 = 10(3)
& a=2
x 3 & x = 3 x = 6 = y 4 y = 4 y = 8
I. F Si n = 2 3 = 2 # 1 + 1 = 11(2) ...(I)
24 + a = 26
= (x + 1)3 ab(n)
4 # 6 + a = 26
5. ab^n h
Luego: 4a(2 # 3) = 26
= x3 + 3x2 + 3x + 1
9x + y = 7y + x 8x = 6y 4x = 3y
III. F 1331(x) = 1 # x3 + 3 # x2 + 3 # x + 1
xy(9) = yx(7)
9.
8. Si: N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 45
Sabemos: a . m4 + b . m3 + c . m2 + d . m + e = abcde(m) Reemplazando: N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 45 N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 5 . 8 + 5 N = 25455(8) Clave C
100(an) = (an)2 En la expresión: a1(n) # (a - 1)(n - 1)(n) + 1 = (an + 1) # (an - 1) + 1 = (an)2 - 1 + 1 = (an)2 = 100(an) III. V ab(4) + xy(3) = 23 (42 - 1)máx. (32 - 1)máx.
15 + 8 = 23
1n 1n
14.
n veces
1n
3
= 1x; x > 0
10 + n2 = 10 + x
II. F
III. F
Resolución de problemas
& a puede tomar valores: 1; 2; 3; 4; 5; 6
El valor que cumple es: a = 5
400(5) = bcdc
2000 = bcdc & b = 2; c = 0; d = 0 Piden: a + b + c + d = 5 + 2 + 0 + 0 = 7
Luego: 35 - 28 = xy(3)
a < 2
a < 4
& 18 + 1 = bc & bc = 19
`
&5
&n=6
Además; n > 5 por estar en la base.
24m = 48p + 2n
45m(6) = 341(7)
12m = 24p + n
2
12(m - 2p) = n
174 + m = 176 &m=2
0
III. V
Clave B
aba(4) = (2x)6 Sabemos que un numeral en base par, es par si su cifra de menor orden es par, entonces: 0 < a < 4; a es par . 2
10a + b + 6a = 66 16a + b = 66 . . 4 2
24. En el numeral:
&a=4 / b=2
Piden: a.b=4.2=8
16. Del enunciado:
Clave C
Nivel 3 (página 19) Unidad 1
2(73a) = a(n - 1)2 + 6
Comunicación matemática
146a = a(n - 1)2 + 6 3 13 ` a + n = 16
21.
` x j^x + 2h 5 2 ^6 h . 2 4
1a(a + 2) = 3 . 5 + 1
23. I. F
a + 2 + a = 16 2a = 14 ` a = 7
7a - 28 = xy(3)
Clave E
& c 2 m^2 + 2h 5 = 145(6) = 65 2 (6)
Razonamiento y demostración ab(7) - 4b(7) = xy(3)
17. Por descomposición:
& a > 4
^6 h
Luego:
22. Clave C
x x+m ` m j` m - 1 j^2m + 1h
m ! 0; 1 & m = 2
(2a)82 + (2a)8 + 2a = a(n - 1)2 + 6
Es una cifra
&n=0
20. ab + 6a = 66
a + b + c = 1 + 1 + 9 = 11
II. V 25m + 5n + p = 49p + 7n + m
Reemplazando:
Por lo tanto: a = 5; x = 2; y = 1 & (a + y)x = (5 + 1)2 = 36
mnp(5) = pnm(7)
Clave D
21(3) = xy(3)
Piden: m + n = 2 + 6 = 8
& 201(3) = bc Descomponiendo:
a<3
& a < 2; 3; 4
& 2 . 32 + 0 . 3 + 1 = bc
& n < 7
` a=1 Reemplazando: a = 1
45m > 341
...II
7 = xy(3)
6 (4) + 6(5) + m = 7 (3) + 7(4) + 1
(3)
Clave A
2
& a + 1 < 3 ; a - 1 < 3 ; a < 3
7a < 37 a < 5,28
De (I) y (II): 4 < a < 5,28 & a = 5
15. Analizamos: ^a + 1h^a - 1h a
19. 45m(n) = 341(7)
Clave A
xy(3) + 28 < 37
400a = bcdc
n2 = x . . 12 1 22 4 32 9
Sabemos que: xy(3) < 9
2
7 a + 7 a + 7a + a = bcdc
10 + n2 = 1x (por propiedad)
Luego: I. V
aaaa(7) = bcdc & a < 7
18.
& ab(4) = 33(3); xy(3) = 22(3) Luego: a + x = b + y . . . . 3 2 3 2
7a = xy(3) + 28 ...(I)
& ab(n) = 65 I. V n # ab(n) < n2
n # 65 < n2 & 8,06 < n # 65
9 # n # 65
El menor valor de n es 9.
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
11
II. F ab(11) = 5 # 11 + 10
Dato: 4.° orden = 5.° lugar Orden: __ __ __ __ __ 4 __ 3 __ 2 __ 1 __ 0 er er o o Lugar: 1. 2.° 3. 4. 5.
ab(11) = 5(10)(11)
ab(11) = 65 = 5x
27. N = 7 # 86 + 11 # 83 + 35 + 17 # 82 - 84
N = 7 # 86 + (8 + 3) # 83 + 8 # 4 + 3
10(n) = 65
+ (8 # 2 + 1) # 82 - 84
n = 65
N = 7 # 86 + 84 + 3 # 83 + 8 # 4 + 3 + 2 # 83 + 82 - 84
Resolución de problemas 25. Si los siguientes numerales están bien escritos;
entonces:
am4(b); m31(a); ccc(7); 2baa(c)
a < b 3 < a
m
3
& a = 4; b = 5; c = 6
` a + b + c = 15
N = 7 # 86 + 0 # 85 + 0 # 84 + 5 # 83 + 1 # 82
+8#4+3
` 7 + 0 + 0 + 5 + 1 + 4 + 3 = 20
28.
Clave B
26. Sabemos:
4
3
2
1
0
e
d
c
b
a
4.°
5.°
12 Intelectum 4.°
Orden
318 = aabb(n)
318 = an3 + an2 + bn + b
318 = an2(n + 1) + b(n + 1)
6 # 53 = (n + 1)(an2 + b) . 5
Clave C
29. abc(7): a ! b ! c
a b c (7) 135 153 315 351 531 513 & Hay 6 numerales.
N = 7005143(8)
c<7 a
2.° 3.er
` a + b + n = 10
Clave D
III. F Si: a + b = 1 & a = 1 y b = 0
Lugar 1.er
` El número de cifras es 9.
& a + b = 5 + 10 = 15
n = 5; a = 2; b = 3
Clave A
a
30.
b c
1 0 0 Clave A (x - 1)(x - 1)(x - 2) (x - 1)(x - 1)(x - 2) (x - 1)2(x - 2) = 448 = 64 . 7
x-1=8 &x=9
` El sistema es el nonario.
Clave B
OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO Z+ PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 22) Unidad 1 Comunicación matemática 1. 2. cba +
▪▪ a + 2 + 1 + 1 = 9 & a = 5 ▪▪ b + 2 + 1 + 5 = ...5 & b = 7 ▪▪ c + 2 + 1 = 7 & c = 4
222 111 a1 _____
ba9
II. 15 # 17 # 14 = 3570
I. 57 – 54 = 3
3. Como N tiene 3 cifras, entonces:
C.A.(N) = 103 – N = 3 & N = 997 Luego: I. 997 + 27 = 1024 = 32
II.
III. 997 - 25 + 625 = 1597
997 - 36 + 18 = 31 + 18 = 49
Razonamiento y demostración 4. I. V
abc – cba = xy x = 9 = y II. F III. V abc - cba = xyz
210 # orden y=9
5. I. F
a3 # bc = de3 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 × × × × × × × × × II. F mn(4) – nm(4) = pq(4) &p+q=3 1 2 2 1 III. F 1 + 2 + 3 + ... + n = a5 n (n + 1) = a5 2 n(n + 1) = 2 # a0 + 10 . . 10 5 5 1 Resolución de problemas 6. a74b + c7a + 5ba2 = bba68
Ordenando los sumandos:
a74b+ c7a 5ba2 bba68
abc - mnp = cba
& abc - cba = mnp
Comunicación matemática
Por lo tanto: La cifra de las decenas es 9.
I. 71 - 17 = 54 II. 1 + 2 + 3 + ... + 71 = 2556
III. 12 + 22 + 32 + ... + 172 = 1785
12.
4 5 3# 3 1 4 5 3 1 3 5 9 1 4 0 4 3
I. 3 + 1 = 4 II. 1 + 4 + 0 + 4 + 3 = 12 III. 453 + 31 = 484
mnp+ npm pmn 1998
mnp + npm + pmn Ordenando los sumandos y utilizando (1):
ab # ba = 71 # 17; (del gráfico a > b)
Luego:
Piden:
Clave C
11. ab # ba = 1207
Entonces: m + p = 9 / n = 9 & m + p + n = 18 ...(1)
Razonamiento y demostración 13. I. V
C. A. (mn(5)) = 10(25) - mn(5) = 25 - mn(5)
Además: 5 # mn(5) < 52
Clave A
8.
abc #
cba
-20 # mn(5) - 25 < 0 0 < 25 - mn(5) # 20
1916 3353 4311
ab # (ab + 1) # 5 = 5mn & ab # (ab + 1) # 5 = 5m0
Clave B
9. C. A.(C. A.(abcd)) = 64
36 C. A.(abcd) = 36 10 000 - abcd = 36
C. A. (mn(5)) # 20
II. V
466546
tn - t1 + 1 = 14 + 1 = 15 r
Nivel 2 (página 22) Unidad 1
7. Como:
` n.° términos =
Clave C
III. 5 + 7 + 4 = 16
&b=1/ a=5 5 7 4 1 + c75 5152 11568 1 + 7 + c + 1 = 15 c + 9 = 15 &c=6
.
par
0
ab # (ab + 1) = 2 # 5m ab # (ab + 1) = 5m & 2 . 5 & (ab = 10) m+n=5+0=5
& abcd = 9964
III. V + C.A. (nm) = C.A. (10m (n) ); n > 2, m, n ! Z
` a + b + c + d = 28
Clave B
Sabemos que: m + 1 cifras
t1 t2 t 3 tn 10. 147n; 160n; 175n; ...; 305n
10m (n) = 1000 ... 0(n)
n2 + 4n + 7; n2 + 6n; n2 + 7n + 5 2n - 7 n+5 2n - 7 = n + 5 & n = 12 r = n + 5 = 17 Luego: t1 = 147(12) = 199 / tn = 305(12) = 437
m ceros
Luego: m+1 C.A. (10m - 10m (n) ) = 10(n) (n)
= 10m (n) # [10(n) - 1)
= nm # (n - 1)
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave E
13
14. I. V
17. abc # 19 151 39 ...541
Si d = d' y r = r', entonces: D = dq + r D = dq' + r 0 = d(q - q')
. (–)
D = dq + r D = dq + d + r'
▪▪ abc de 25 11
0 = r – d - r' r' = r - d
Como: a + b + c = 12 a + 9 = 12 & a = 3
Piden:
Clave E
& m + 3 = 9; n = 9 / a - c = m + 1 ...(1)
De (1): m = 6 / a - c = 7
1 2
& k + 2 = 39 - 9 + 1 & k = 30 - 1 ...(I) r r
4 términos 8 términos n = 15 términos
S = c
tn + t1 m n = c 93 + 9 m 15 = 765 2 2
Clave A
` a2 + b2 + c2 = 82 + 92 + 12 = 146
14 Intelectum 4.°
Clave E
7
7
1
5
3
5
3
1
4 # 1 # 3 = 12
II. 2 + 2 + 1 + 5 + 3 + 1 + 6 + 2 = 22
III. 22 + 125 = 147
23. ab(4) + 1c(4) + d = ba(4)
1c(4) + d = ba(4) - ab(4) xy(4); donde x + y =3
& 1c(4) + d = xy(4) 12 21 I. V Si c = d, entonces: 1c(4) + c = xy(4) . . .. 1 1 12(4) 2 2 20(4) 3 3 22(4) Luego: b-a=x+1 b - a = 2 & b - a = 2c b = 2c + a
1c(4) + d = xy(4)
d = 1 y c = 2: 12(4) + 1 =13(4)
d = 2 y c = 2: 12(4) + 2 = 20(4)
15N = (a00b0 + 27206 - a00b0 - 7226) 15N = 27 206 - 7226 15N = 19 980 N = 1332 ` Scifras de N es 9.
b=a+c=9 b = 11 (no cumple)
9 6
II. F Si 0 < d < 3, entonces:
20. 43N - 28N = (a + 2)72b6 - a72(b + 2)6
8 9
k términos 2k términos
` S = 765
16. abc - cba = mn3
Clave D
7
3
Razonamiento y demostración
Piden:
a2 + b2 + c2 = 32 + 42 + 52 = 50
& de = 64
7
3
5
4 1 3(7) 2 2 2(7)
I.
& 2k + 2 = 93 -39 + 1 & 2k = 54 - 1 ...(II) r r Resolviendo (I) y (II): k = 4 / r = 6 : 9 ; … ; 39 ; ... ; 93
Además: a + b = 7 3 + b = 7 &b=4 c = 5
7
3
1 2 5 3 1 6 (7)
19. : 9 ; … ; 39 ; ... ; 93
79 &b+c=9
4
6
1 1 2 6(7) 1 1 2 6(7) 1 1 2 6(7)
Reemplazando en (1): abc = 11(64) + 25 = 729 ` Scifras = 10 + 18 = 28
b c
4
256 = 4de
r' < 0
15. a b +
22.
...(2)
1000 = 700 + 4de + 44
Resolución de problemas
...(1)
abc = 11de + 25
1
- I. 5 + 1 + 4 + 6 + 3 = 19 II. 9 # 7 # 1 = 63 III. 5 + 3 = 8
1000 - abc = 7(100 - de) + 19 (+)
Sabemos que: r
▪▪ 1000 - abc 100 - de 19 7 De (1) y (2):
D = dq + r D = dq + d + r'
. (–)
Clave B
18. Del enunciado:
0 = r - r' - d d = r - r'
5
3
III. V Si d = d' y q' = q + 1
Comunicación matemática 21.
c = 9 b = 3 a = 2 269 # 24 = 5736 ` 7 + 3 + 6 = 16
Como d > 0, entonces: q - q' = 0 q = q' II. F Si d = d' y q' = q + 1, entonces:
. (–)
Nivel 3 (página 23) Unidad 1
abc # 13 717 239 ...107
III. V
Si 0 < d < 3, entonces:
1c(4) + d = xy(4)
d = 1 y c = 0: 10(4) + 1 =11(4) d = 2 y c = 0: 10(4) + 2 = 12(4) Clave B
c
puede ser igual a cero.
a = 2 & b = 0; 1; 2 & 3 números a = 3 & b = 0; 1 & 2 números a = 4 & b = 0 & 1 número 1 + 2 + 3 + 4 = 10 números n-1 De lo anterior se deduce: a (a + b) b
24. jos = ue # 6d + du
Si u = 2; entonces: (2e # 6d)mín. = 1200 (no cumple) Entonces: u = 1 Como du < ue, entonces: d = 1 / e > 1 Luego: jos = 1e # 61 + 11 . 743 2 804 3 865 4 926 5 987 6
Por lo tanto:
I. F
(n)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) = 66 ^n - 1h . n = 66 2 (n - 1) . n = 132 11 . 12 = 132 ` n = 12
28. ab6 #
II. V Si j = 9; entonces: 1e ; 15; 16
Luego:
15 + 16 = 31
III. V
C. A. (8916) = 1084 $ Scifras = 13 C. A. (10452) = 89548 $ Scifras = 34 C. A. (12110) = 87890 $ Scifras = 32 C. A. (13890) = 86110 $ Scifras = 16 C. A. (15792) = 84208 $ Scifras = 22 Clave D
Resolución de problemas 25. NUI + NIU + NU = UNI
Clave A
26. Ordenando convenientemente a N:
N = 5 # 10 + 0 # 10 N = 5027300...00
n+1
Clave C
& D = 45q + 12
27. a (a + b) b
(n)
& 4 números
Clave C
Por descomposición polinómica: 6 . 82 + 6 . 8 + 6 = 3(n + 1)2 + 6 432 = 3(n +1)2 144 = (n + 1)2 ` n = 11
Clave D
10 ... 99 90
& abc = 175 ` a + b + c = 13
4. abc = bc . 11 + 80 (bc > 80)
100a + 10b + c = 11(10b + c) + 80 100a + 10b + c = 110b + 11c + 80 100a = 100b + 10c + 80 10a = 10b + c + 8 10(a - b) = c + 8
.
2 a-b=1 8 7 (No) 9 8; (bc > 80) (Sí)
Por lo tanto: abc = 982
100 ... abc abc - 99
Clave E
5. xyxyxy = 13 . x . y . (xy)2
417 = 189 + 3(abc - 99)
Clave D
n.° cifras = 9(1) + 90(2) + (abc - 99)3
...(1)
Reemplazando en (1): 666(8) = 306(n + 1)
9
(2k) veces & N = par
De (1): a > 2 / 2a < 8 & a = 3
` El menor número será 148.
Donde: a1; a2; ...; a2k: son cifras impares.
a > 2 y (2a)(2a)(2a)(8) = a06(n + 1) ...(1)
& x ! {148; 149; 150; ...; 191}
30. 1 ... 9
` Scifras = 29
Si: n = 5 a = 1 & b = 0; 1; 2; 3
12
= bc...yx(2p) r cifras
3. Por dato:
Sabemos: d > r 45 > 192 - x x > 147
+ 2 # 10 + 7 # 10n - 1 + 3 # 10n - 2
(n + 3) términos
q
n
& C. A.(N) = 4972700...00 (n + 3) términos
(n)
Clave C
45
N = (a1) (a2) ... (a2k)
De (1) y (2): par = par + x ` x es par.
...ab6 6b + 3 + 6b = ...b 12b + 3 = ...b 11b + 3 = ...0 7 (6a + 4) + 3 + (6a) = ...a 12a + 7 = ...a 11a + 7 = ...0 3 ` a + b = 10
D - x 45 & D - x = 45(q - 4) + r r q - 4 (45q + 12) - x = 45q - 180 + r 192 - x = r
n+2
ab6 56 32 ______
29. D
2. Del enunciado:
Luego: N = b(2p)r - 1 + c(2p)r - 2 + ... + y(2p) + x N = par + par + ... + par + x & N = par + x ...(2)
210N + 12U + 11I = 100U + 10N + I 200N + 10I = 88U 100N + 5I = 44U 5(20N + I) = 44U & U = 5 / 20N + I = 44 . . 2 4 ` U + N + I = 11
1.
Además: n es impar. Por descomposición polinómica: N = a1(n)2k - 1 + a2(n)2k - 2 + ... + a2k N = impar + impar + ... + impar Clave C
987 - 743 = 244 & Scifras = 10
MARATÓN MATEMÁTICA (página 25)
10 000(xy) + 100(xy) + xy = 13 . x . y . (xy)2
76 = abc - 99
Clave E
10 101(xy) = 13 . x . y . (xy)2 10 101 = 13 . x . y . xy
777 = x . y . xy
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
15
3 . 7 . 37 = x . y . xy
&x = 3 / y = 7
Piden: x + y = 3 + 7 = 10 Clave B
(9 - a)(9 - b)(10 - c) = (b + 2)(c + 3)(a + 5) & 9 - a = b + 2 & a + b = 7 ...(1) 9 - b = c + 3 & b + c = 6 ...(2) 10 - c = a + 5 & a + c = 5 ...(3)
Londres está en Francia. F
Clave A
Reemplazamos (1) en (4): 7 + c = 9 &c = 2 `a + b - c = 7 - 2 = 5
p / +q / V Entonces: p / V ; q / F
•
(m T r) 0 +r / F
F F Entonces: m / V; r = V
.
Clave C
Por lo tanto la suma del 2.° y 3.° es: 6 + 9 = 15
Por lo tanto, los valores de verdad de p, q, m y r son: VFVV.
abc - mnp = cba
& abc - cba = mnp
Entonces: m + p = 9 /n = 9 & m + p + n = 18 ...(1) Piden: mnp + npm + pmn
Clave B
9. I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8
F
&
F
+
Luego: a(F + F) / a(V) / F
16 Intelectum 4.°
V
Luego: F & V / V II. No es verdad que: 2 + 2 = 5, si y solo si, 4 + 4 = 10.
Clave A
1; 2; 3 & A = {3; 6; 9} 3.er elemento 2.° elemento
F
•
10. A = {3x / x ! N / x2 >16}
8. (p / +q) & [(m T r) 0 +r] / F
V
Luego: V 0 F / V
Por lo tanto: la cifra de las decenas es 9.
Sumamos (1), (2) y (3): 2(a + b + c) = 18 & a + b + c = 9 ...(4)
7. Como:
m n p + n p m p m n 1 9 9 8
CA(abc) = (b + 2)(c + 3)(a + 5)
6.
III. Madrid está en España o V 0
Ordenamos los sumandos y utilizamos (1):
F
Clave E
11. A = {7x / 4x ! Z+, x < 5}
x<5 4x < 20 {1; 2; 3; 4; 5; ...; 19} & x ! ' 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; ... ; 19 1 4 4 4 4 4 A = ' 7 ; 14 ; 21 ; 35 ; ... ; 133 1 4 4 4 4 4 & n(A) = 19 / máx. elemento de A es: 133 4
Clave E
Unidad 2
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD º
II. F z = 0, entonces:
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 30) Unidad 2
10. 15a76 = 9
1 + 5 + a + 7 + 6 = 9º a + 19 = 9º
N + xy0(a) + _a 2 i b_n i = abca (n) N + a° + a2 . n + b = ab
Comunicación matemática 1.
(cn + a)
N + a° + b = a(cn + a) + b N + a° + b = a° + b
2.
° +1 11
III. V c = a; y + z = 0 entonces y = z = 0; luego: N + x00(a) + _a 2 i b_n i = abaa(n)
° + 6 11 ° + 2 11 ° +6 11 ° + 2 11 ° + 3 11 ° + 8 11 ° +9 11 & a = 6; b = 2; c = 1
N + a2x + a2n + b = ab(an + a)
` a2 + b2 + c2 = 36 + 4 + 1 = 41
N + a2x + a2n + b = a2n + a2 + b
N+ a = a
Clave A
º 2
° 3° - 1 8° + 2 = 24 + 2
ab # 1 _a + 7 i = c(c + d) d 2
º
ab # 1(a +7) = 2(110c + 11d) ab # 1(a + 7) = 22cd
Resolución de problemas ° ° °
° ° 11 ! 11 &a=b
5° + 3 . -3 . 7 5° - 63
° -3 ° + 9 8° - 3 = 24 12
Luego: aa # 1(a + 7) = 22cd
5° - (5° + 3) 5° - 3 = 5° + 2
3° - 1 8° + 2 + 6° - 3 8° + 3
Clave B
Razonamiento matemático 4. I. V
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 9° 11a + 11b = 9°
a # 1(a + 7) = 2cd
° +2 ° + 9 8° - 3 = 24 + 12
Clave D
°
° ° 4 = 13 B) (13) ° # 7 = 13 ° C) (12)
...(V)
D) 19 = 8° + 1 E) 23 = 4° + 3
...(F)
Por lo tanto: a + b + c + d = 2 + 2 + 1 + 9 = 14 Clave D
...(V) Razonamiento y demostración °
13. abcde = 11
...(V)
Por descomposición polinómica:
20
Luego: ab = 9°
Clave D
8. 13 # 5 = 65
II. V Recordar: (# impar)(# par) = 8° + 1 II. F Recuerda: Todo número Z+ es múltiplo de sus divisores Z+. Entonces: Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Luego: n ! {1; 2; 3; 4; 6; 12} 5. I. V
x = 1 y y = z = 0; entonces: N + 100(a) + _a 2 i b_n i = abca
(n)
N + a2 + n° + b = ab(n° + a)
N + n° + a2 + b = n° + a2 + b N = n°
Clave B
1231 - +
° ` a + c + e - b - d = 11
c + 3c + 8 - 2 = 7º 4c + 6 = 7º
14. I. V
2c + 3 = 7º 2c + 3 - 7 = 7º
Si n = 3 y m = 5
N = xyzw(3) = 5° + 3 = 5k + 3; k ! Z+
2c - 4 = 7º 2(c - 2) = 7º
35 # N # 34 - 1 27 # 5k + 3 # 80
c - 2 = 7º
24 # 5k # 77
&c = 2 0 c = 9
4,8 # k # 15,4
Por lo tanto, un valor de c es 9.
° - 1) + e = 11 ° + d(11 ° + (-1)3) + c(11 ° + (-1)2) ° + (-1)4) + b(11 a(11 ° - d + e = 11 ° + 1) + b(11 ° - 1) + c (11 ° + 1) - d + e = 11 ° a(11 ° a - b + c - d + e = 11
º
9. 2 4 cc = 7
° a # 104 + b # 103 + c # 102 + d # 10 + e = 11 ° - 1)3 + c (11 ° - 1)2 ° - 1)4 + b # (11 a(11
` 6 + 5 = 11
Si a = 1: 1 # 18 = 2 # 9 (no cumple) Entonces: a = 2 & 2 # 19 = 2cd
°
7. A) (17) # 0 = 0 =17 ...(V)
11(a + b) = 9° & a + b = 9°
Comunicación matemática 11. 12. Por dato:
6. (5 + 3)(5 - 3)(5 + 7)
° 6° - 3 8° + 3 = 24 + 3
Clave B
Nivel 2 (página 30) Unidad 2
º 2
N = a2
3.
8 ` a=8
N = a°
° + 1 11 ° +1 11
a + 1 = 9º
.
Clave E
5; 6; ...; 15 11 valores
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
17
II. F
Si b = 6, reemplazando en (2):
a + 12 = 3°
Si: x = y = z = 2 y n = m - 1 > 5:
° +3 N = 222w(m - 1) = m
y = 7° + 1
.
& w = 5 (w 1 m - 1)
3 6 9
y0 = 1 7x + 12 = 236
& (a + b)máx. = 15 ...(4)
III. F
N = xyzw(10) = 9° + 3 N = 9° + x + y + z + w = 9° + 3
Clave D
º
18. 3 4 x 6 7 = 11 + 3
º 3 4 x 6 4 = 11
Clave A
Resolución de problemas ° 15. 5(x + 4) + 72014 = 7
º + 4 - 6 + x - 4 + 3 = 11 º 11 º x - 3 = 11 º & x = 11 + 3 `x = 3 Clave E
`x=3
°
(10 + x) + (20 + x) + (30 + x) + ... + (100 + x) = 9° 10(1 + 2 + 3 + ... + 10) + 10x = 9°
20
8
8
15
10 . 10 . 11 + (9° + 1)x = 9° 2 550 + x = 9°
Clave D
°
20. 17 # 54 = (7 + 3)( 7 + 5)
Clave E
Clave B
4° °3 &b = 2 0 b = 6
...(1)
(por ejemplo)
Recordar: (n.º impar)(n.º par) = 8° + 1
II. 7429 = 17 # 19 # 23 ° ° ó 23) ° 7429 = 17 (un caso puede ser 19 III. (7° + r)3 = 7° + r3 = 7° + 6 r3 = 7° + 6
ab3b = 3°
& a + b + 3 + b = 3°
a + 2b = 3°
Comunicación matemática 2 ° 21. I. 2 791 749 = 8 + 1
...(2)
De (1): Si b = 2, reemplazando en (2): a + 4 = 3° & a + 1 = 3°
& (a + b)máx. = 10 ...(3)
18 Intelectum 4.°
III. F A = {n ! Z+ / n . k = 30; k ! Z} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 15; 30}
Para n = 30
° ! 12 31
Clave D
24. A = {x/x = 10n + 5; n ! Z+}
I. V
6 x ! A. x2 = 8° + 1, ya que x siempre
(7° + 5 )3 = 7° + 6 ° 9
+ 4
V. (ccabba(11) + 1) # 1111222334(13) ° + 1) # (12 ° + 8) = (12
II. F Para n = 0 no existe un k ! Z+ tal que k 1 n.
Luego:
.
2 5 8
° & 2y - x = 35
A = {5; 15; 25; 35; 45; ...}
53 = 7° + 6
IV. abc7(9) # xyz21(3) =
& 25y + 5x = 7° # 5
° 25y + 5x = 35 (-) ° 21y + 7x = 35 ° - 35 ° 4y - 2x = 35
Nivel 3 (página 31) Unidad 2
&x=8
° & 5y + x = 7° 20y + 4x = 28
° 4y - 2x = 35 ° 2(2y - x) = 35
= 7° + 15 = 7° + 7° + 1 = 7° + 1 ` Residuo = 1
9° + 1 + x = 9° 1 + x = 9°
& 21y + 7x = 5° # 7
Luego:
` Residuo = 3 °
16. 1x + 2x + 3x + ... + 10x = 9
1 2
° & 3y + x = 5° 9y + 3x = 15
N = 20 # 21 & N = 210 2 210 = 207 + 3 = 9° + 3
Clave B
y 1
Razonamiento y demostración
19. N = 1 + 2 + 3 + ... + 20
. 3 (menor valor positivo)
3b = 4º
x 32
23. I. V
7°
Como: 5(x + 4) = 7° & x + 4 = 7°
t 0
+-+-+
x = 3 (x 1 10)
° 17. ab3b = 12 º & ab3b = 4
x0 = 32
Por lo tanto, de (3) y (4): (a + b)máx. = 15
x + 9° = 9° + 3 & x = 9° + 3
° 7
7° + 5y = 7° + 5 5y = 7° + 5
a = 3°
° +w-2+2-2= m ° +3 m
° +5 w = m
22. 7x + 12y = 236
° 12
+ 8
es impar, se cumple: (impar)par = 8° + 1 II. F Sea B = {5; 15; 25}
5 + 15 + 25 + 1 = 46 ! 4°
° & b + b - 6 - a - a = 11
III. V Si x; p ! A; entonces ° +5 x = 10
° 2b - 2a - 6 = 11
° +5 p = 10
° b - a - 3 = 11
° + 10 = 10 ° Entonces: x + p = 10
° +3 b - a = 11
Luego: (x + y + z)máx. = 20
°
29. 300 (U + N + I) = 9 + r
6
& b - a = 3 ...(1) Resolución de problemas ° 25. a4a4a = 8 100a + 40 + a = 8° 101a + 40 = 8°
°
&b=8
` a + b = 13
Como: 3000 < 3bcd < 4000
° & 9 + n + 7 + 8 - 1 - 3 = 11 ° 90n1738 = 11 ° n + 20 = 11 ° n + 9 = 11
. . .
bcd
° a b a (b - 6) = 11
...(1)
g=3 ...(2)
° 43 = 9° + 1 $ 43 = 9° + 1
Reemplazando (2) en (1): ° 1024 ° =9+x 9° + 4(3 + 2)
° 1024 = 9 + x 9° + 43 + 2
...(3)
...(3)
Analizando las potencias de 2 respecto al módulo 3, tenemos: g=2
& x = 7n; n ! Z Reemplazando en (3):
21 = 3° + 2 22 = 3° + 1
2par = 3° + 2 &
2impar = 3° + 1
Reemplazando en (3): ° ° 9° + 43 + 3 + 2 = 9° + x ° 9° + 43 + 2 = 9° + x
3(7n) + 7k + 7m = 42
&x=7 (y = 10 / z = 3) 0 (y = 5 / z = 6)
° 42 = 9° + 7 $ 43 + 2 = 9° + 7
227 = 3° + 2 ...(2)
3x = 7º x = 7º
3n + k + m = 6 . . . 1 2 1 1 1 2
...(1)
° 41 = 9° + 4 $ 43 + 1 = 9° + 4
& z = 3m; m ! Z
3x + 7k + 7m = 42 3x + 7º + 7º = 7º
1024
Analizando las potencias de 4, con respecto al módulo 9.
9x + 21k + 7 . 3m = 126
Clave D
+
9x + 21k + 7z = 126 3º + 3º + (3º + 1)z = 3º
Clave A
= 9° + x °9 + 42271024 = 9° + x
Reemplazando en (2):
3285 Por lo tanto: La suma de todos los números bcd es 3285. 4° ° 11
°
30. (9 + 4)227
45x + 21 . 5k + 35z = 630
3300 300 3465 465 3630 630 3795 795 3960 960
° 27. aba(b - 6) = 44
Clave A
Reemplazando en (1):
& 3bcd = 3135 & 135 +
& n = 2
& y = 5k; k ! Z
3000 < 165k < 4000 18,18... < k < 24,24... 19 # k # 24
28. 45x + 21y + 35z = 630
5° + (5° + 1)y + 5° = 5° y = 5°
26. 3bcd = 165
-+-
Clave C
Además:
5
a = 8°
`a=8
9° & r = 0
a(a - 3) = 4° a(a - 3) = 4°
101a + 8° = 8° 101a = 8°
1800 = 9° + r
° aba(b - 6) = 4° & a(b - 6) = 4 ...(2) Reemplazando (1) en (2): a(a + 3 - 6) = 4°
& a4a = 8°
Clave A
9° + 7 & 9° + 7 = 9° + x & x = 7
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave E
19
ESTUDIO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE UN NÚMERO PRACTIQUEMOS
4 2 ° SD(18) = 18 d 2 - 1 . 5 - 1 n = 18 . 24 . 15 2-1 5-1 4
Nivel 1 (página 35) Unidad 2 Comunicación matemática
° = 1620 SD(18)
1.
Clave A
2.
9. Por dato:
° = 40 N = 2 . 3a . 7b; CD(9) ° = 30 CD(2)
3.
Luego:
Razonamiento y demostración
N = (2 . 3a - 2 . 7b) . 32
4. I. F
A! Ç (A + 1) Ç (A + 2) Ç ... Ç (A + B) = (A + B)! ° & (A + B)! = A!
` MCD [A!; (A + B)!] = A!
...(1)
& (a + 1) . (b + 1) = 30
...(2)
N = (3a . 7b) . 2
Dividiendo (1) y (2): a - 1 = 20 & 3a - 3 = 2a + 2 a+1 30 &a = 5
II. V MCD (A + B; A + B - 1) = 1 III. F MCM(217; 27) = 217
Reemplazando a = 5 en (2): (5 + 1)(b + 1) = 30 & b = 4
5. I. F
& 2 . (a - 1) . (b + 1) = 40
` 2a + 3b = 2(5) + 3(4) = 22
3 y 5 son primos absolutos, pero 3 # 5 = 15 no lo es.
Clave E
10. MCD(15A; 20B) = 30
II. F 5 y 7 son primos absolutos, pero 5 + 7 = 12 no lo es.
MCD(3A; 4B) = 6 ` MCD(12A; 16B) = 24 Clave E
III. F 5 y 7 son primos absolutos, pero 5 y 35 no son PESÍ.
11.
SD(A - B) = 93 n
SD(9 Ç 5 - 7 Ç 5n) = 93
Clave B
SD(2 Ç 5n) = 93
Resolución de problemas
2 n+1 - 1 n = 93 d 2 - 1 nd 5 2-1 5-1
6. N = 2020 = 520 . 240
CD(N) = (20 + 1)(40 + 1) = 861
& 5n + 1 = 125 = 53
CDSimples = 3
&n=2
` CDcompuestos = 861 - 3 = 858
2
` A + B = 16 Ç 5 = 400
Clave C
° (22 . 5 = 20) 20
12.
7. N = 24 . 5a
Clave B
CD(27N) = (4)(5)(a + 1)
abc 8° (22 . 2 = 8) ° & abc = 40
& CD(27N) = CD(N) + 90
CD(N) = (5)(a + 1) 3
4
27N = 3 . 2 . 5
a
(4)(5)(a + 1) = (5)(a + 1) + 90
abc
20(a + 1) - 5(a + 1) = 90
15 . (a + 1) = 90
a+1=6
` a = 5 Clave C
8. N = 720 = 32 . 24 . 5 2
3
N = 3 . 2(2 . 5) = 18(2 . 5)
20 Intelectum 4.°
40 . 3 40 . 4 40 . 5 40 . 6 h
40 . 24
(24 - 3) + 1 = 22
3
40 . 3 # abc # 40 . 24
` Tiene 22 múltiplos comunes.
Clave C
19. Sea E = 10 . 102 . 103 . 104 … 10n
13. Del enunciado:
a + b = 112 ...(1) MCM(a; b) = 192 ...(2) Sea: a = dm / b = dn(m y n son PESÍ)
E = 101 + 2 + 3 + ... + n = 10
De (1) y (2):
E = _2.5 i
d(m + n) = 112 ...(3)
CD (E) = f
d.m.n. = 26 . 3 ...(4) De (3) y (4):
1369 = f
d = 16, m = 4 / n = 3 & a = dm = 64 / b = dn = 48 ` a - b = 16
n_n + 1 i 2
Clave B
37 =
=2
n_n + 1 i 2
n_n + 1 i . 2
5
n_n + 1 i 2
n _n + 1 i n _n + 1 i + 1 pf + 1p 2 2
n _n + 1 i + 1p 2
2
n _n + 1 i +1 2
72 = n(n + 1) `n=8
Nivel 2 (página 35) Unidad 2
Comunicación matemática 14.
Clave A
20. Sea N el número:
N = 7! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 N = 24 # 32 # 5 # 7 Se cumple: CD(N) = CDC + CDP + 1 (5)(3)(2)(2) = CDC + 4 + 1 60 = CDC + 5 ` CDC = 55
15.
Razonamiento y demostración 16. I. F
Por propiedad: MCM (A, B) = A
Clave E
II. F ° entonces Si A = 6 y B = 3 ( 6 = 3); MCD (6; 3) = 3 Luego: CD[MCD (6; 3)] = CD(3) ! CD(6) 2 ! 4
21. Sean: N1 y N2 los números.
N1 - N2 = 2300 = 22 # 52 # 23
Donde: CD(N1) = 12 y CD(N2) = 15
III. V
Si:
A = B° & A + B = B°
N1 = p11 / N2 = p14 & N1 - N2 = p11 # ( )
Entonces: MCD (A + B; B) = B
No cumple en (b).
Clave C
17. I. V
Si: MCD (A; B) = 14 ° Luego: A + B = 14
Sí cumple en (b). Entonces:
N2 - N1 = p2 # q2(p2 - q)
Si A y B son PESÍ, entonces
MCM (A; B) = A Ç B
Como A 2 1 y B 2 1; entonces: A Ç B 2 1
3
18. 45 = (5 # 3 ) = 5 # 3
.
2
N1 = 23 # 52 = 200 / N2 = 22 . 54 = 2500 ` N1 + N2 = 2700
6
Para obtener los divisores de 15; separamos los factores primos 5 y 3: 2
.
5
Entonces:
Resolución de problemas
3
N1 = p2q3 / N2 = p2q4 & N1 - N2 = p2q3 ( ) N1 = p2q3 / N2 = p4 . q2 & N1 - N2 = p2 . q2 ( )
III. F
23
Si:
No cumple en (b).
° / B = 14 ° A = 14
II. V Por propiedad.
3
...(b)
5
45 = 15(5 # 3 ) ° = (2 + 1)(5 + 1) = 18 CD(15)
22. A = 66 ... 66(7) = 78 - 1
Clave D
Clave E
8 cifras
B = 66 ... 66(7) = 712 - 1 12 cifras
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
21
78 - 1 = (74 + 1)(74 - 1) 12
4
8
& 198 = 66(k1 - k2) & k1 - k2 = 3 . .
4
7 - 1 = (7 - 1)(7 + 7 + 1) MCD(A; B) = 74 - 1 = 2400 `2 + 4 + 0 + 0 = 6
Clave D
23. Por dato:
MCD(A; B) = d; (A 2 B) MCM(A; B) = m / m . d = 3024 2
Luego:
2
2
Clave A
& abc = 66 . 4 = 264
CD(aabb) = 21 = 3 . 7
` a + b + c = 12
Luego: aabb = 11a . nb Clave E
& aabb = 112 . 26 = 7744
B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 49; 84; 98; 147; 196; 294; 598} Luego:
d) n(A) = 12 y n(8) = 18
3
& N = 49k1 / 7 - N = 49k2 ...(1)
Donde: k1 y k2 son PESÍ.
28. I. V
73 - (49k1) = 49k2
Como A es PESÍ con A + 1 y con A - 1; entonces A es PESÍ con (A + 1) (A - 1) = A2 - 1
& 73 = 49(k1 + k2)
Entonces: k1 + k2 = 7 .
.
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
Clave E
25. Piden: abcmín.
Por dato:
...(1)
& abc - cba = 1xy ...(2)
De (1): MCD(abc; cba) = 66 & abc = 66k1 / cba = 66k2 Donde: k1 y k2 son PESÍ.
& abc - cba = 66k1 - 66k2
Reemplazando (2) en (3): 1xy = 66(k1 - k2) ..
9 8 (por propiedad)
22 Intelectum 4.°
MCD (A, A2 - 1) = 1
II. F Como A 2 B 2 1 entonces: A! = B! Ç (B + 1) Ç (B + 2) Ç ... Ç A k A! = B! Ç k ° A! = B!
Por lo tanto, existen 6 números que cumplen dicha condición.
MCD(abc; cba) = MCD(330; 462)
& n(A) + n(B) = 30
Razonamiento y demostración
De (1):
Luego: MCD(A!; B!) = B! ! 1
` A! y B! no son PESÍ
III. V Sea d = MCD(A, B) y m = MCM(A; B), entonces: m = dpq; p y q son PESÍ m = d°
Luego: MCD (m; d) = d = MCD (A; B)
29. I. V
...(3)
Entonces:
27. A = {1; 2; 3; 6; 7; 9; 14; 18; 21; 42; 63; 126}
c) n(A + B) = CD(MCD (126; 598)] = 8
MCD(N; 73 - N) = 49
Si: (a = 6 / b = 2) no se cumple (1). &a=2 / b=6 aabb = 112 . n6 ...(2)
b) MCD (126; 598) = 42
Por dato:
...(1)
26. 18 552 170 = 2 Ç 5 Ç 7 Ç 13 Ç 19 Ç 29 Ç 37
a) A + B = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
24. Sea: N = abc(7)
Resolución de problemas 30. aabb = a0b . 11
Comunicación matemática
Entonces: k1 = 7 / k2 = 3 & B = (12)(3) = 2 . 3 ` CD(B) = (2 + 1)(2 + 1) = 9
Clave C
Nivel 3 (página 36) Unidad 2
& k1 y k2 son mínimos y PESÍ.
= 1 = MCD (A; B)
Como:
Del enunciado: d es máximo
1 2 4 5
= MCD [1; C; D; E]
abc = 66k1 es mínimo si k1 es mínimo.
A = dk1; B = dk2 & 3024 = d k1k2
Luego: 3024 = 3 . 7 . (22 . 3)2 & d = 12 Como: B ! d & k2 ! 1 con lo cual k1 ! 21
4 5 7 8
II. F Para B = 3, C = 4 y A = 2 Como A y B son PESÍ y B y C son PESÍ, Entonces A y C no son PESÍ. III. V
MCD (A; B; C; D; D; E)
= MCD{MCD (A; B); C; D; E]
De (2): n = 2
`a-b=7-4=3 Clave C
31. 7920 = 11 # 42 # 5 # 9
7920 = 24 # 32 # 5 # 11 C.D. = 5 . 3 . 2 . 2 = 60 ¿Cuántos de sus divisores son pares? C.D.2° = 2(23 # 32 # 5 # 11)
= 4 # 3 # 2 # 2 = 48
¿Cuántos divisores son impares? C.D.imp = C.D. - C.D.2°
C.D.imp = 60 - 48 = 12 ° ¿Cuántos de sus divisores son 33?
C.D.33° = 3 # 11 # (24 # 5 # 3) (5)(2)(2) = 20 ` ! de soluciones = 48 + 12 + 20 = 80 Clave A
32. 80! = 2a . 5b . P
Observación: Descomposición canónica del factorial de un número. Ejemplo: 11! = 11 # 10 # 9 # 8 # ... 2 # 1
11! = 2a # 3b # 52 # 71 # 11 1 hallando a y b: 11 3 3 3 + 1 11 2 5 2 2 + 2 1 +
a = 5 + 2 + 1
b= 3+1
a = 8
b=4
a = 393 + 196 + 98 + 49 + 24 + 12 + 6 + 3 + 1 a = 782
Luego:
786 5 157 5 31 5 6 5 1 b = 157 + 31 + 6 + 1
11! = 28 # 34 # 52 # 71 # 111 Hallando el exponente de 2 y 5: 80 2 40 2 20 2 10 2 5 2 2 2 1
80 5 16 5 3
Clave D
33. N = ((2!)! . 3!)! = (2 . 3 . 2 . 1)!
N = 12! = 1 . 2 . 3 . 22 . 5 . 3 . 2 . 7 . 23 . 32. 2
M = 2782 . 5195 . P = 2587 . (10)195 . P
Entonces:
` M = mnp! termina en 195 ceros.
an = 20; 31; 42; 53; 64; 75; 86; 97
5 . 2 . 11 . 22 . 3
N = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 CDcompuestos = CDN - CDSimples (...1) CDN = (11)(6)(3)(2)(2) = 792 CDSimples = 6 En (1): CDcompuestos = 792 - 6 = 786 = mnp m = mnp! = 786! / M = 2a . 5b . P Hallamos los exponentes de 2 y 5: 786 2 393 2 196 2 98 2 49 2 24 2 12 2 6 2 3 2 1
.
. . .
.
.
.
.
S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 Donde: S es la suma de todos los valores de (a + n). & S = 2(1 + 2 + 3 + ... + 8)
S = 2 d 8 . 9 n = 72 2
30 - 50 . aaa 2
El exponente de 10 nos indica el número de ceros a la derecha: 19
5
° +9 & an = 11
60 - 100 . aaa 2
& 80! = 278 . 519 . P = 259 . (10)19 . P
10
b = 195
34. MCD(60; aaa00)
b = 16 + 3 = 19
MCM(anan - 7; B) = MCM(anan - 7; 11B) ...(1) De (1), se deduce: ° anan - 7 = 11 ° +7 101(an) = 11 ° +7 ° + 2)(an) = 11 (11 ° 2(an - 9) = 11
Clave E
a = 40 + 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 78
36. Por dato:
` S = 72 Clave C
15 - 25 . aaa 5 37. Del enunciado:
3 - 5 . aaa 3
A = MCM(75!; 76!; 77!; ...) = (75 + 9)! = 84!
& MCD(60; aaa00) = 22 . 3 . 5 2+1 - 1 nd 31 + 1 - 1 nd 51 + 1 - 1 n SD = d 2 2-1 3-1 5-1 SD = 7 . 4 . 6
` SD = 168
Clave A
35. A = a(a +2)(a + 3)
10 números B = MCD(83!; 84!; 85!; ...) = 83! 16 números Luego: Para A: 84 5 80 16 5 4 15 3 1
MCM(A; B) = MCM(A; 13B) ...(1) De (1), se tiene: Z134 ] ] 245 ] 356 A[ ] 467 ] 578 ° ] 689 = 13 \
A termina en: 16 + 3 = 19 ceros. Para B: 83 5 80 16 5 3 15 3 1
&a = 6
B termina en: 16 + 3 = 19 ceros.
Se cumple:
& A = ...00...0 / B = ...00...0
° A = 689 = 13
` Scifras = 6 + 8 + 9 = 23 Clave B
19 ceros
19 ceros
& A # B = ...00...0
38 ceros Por lo tanto, A # B termina en 38 ceros. Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
23
RAZONES Y PROPORCIONES
& 100 = a & a = 20 2 10
Clave A
2. Si: a = b = c = k
2 3 5 & a = 2k, b = 3k / c = 5k
`
= 6k + 24k 10k - 5k
3a + 8b = 30k = 6 2c - a - b 5k
Clave E
3. a + 1 = b + 2 = c + 4 = 10 b 5 a
b = 2 c = 46 9
` a . b . c = 1 . 2 . 46 = 92 81 9 9
Clave B
4. 3 = P = E = R = U = K
R
U
96
De (1) y (3): a . b = k2 & k2 = a = 4 b.c c &k = 2
De (1): a = bk / e = fk
Reemplazando en (1): b = 2c; a = 4c
bk + fk = 12
Reemplazando en (3) y tomando en cuenta (4): k(b + 5b) = 12 & 6kb = 12 & kb = 2 Piden: e - a = fk - bk = 5bk - bk & e - a = 4bk ` e - a = 4(2) = 8
16c4 = 1296
c4 = 81
Clave A
c=3 & a = 4c = 12; b = 2c = 6 ` a + c = 15
11. Si: a = 8 = c = d = k Clave E
Sea n la cuarta proporcional de 10; 15 y 15. 9 = m & 9 . 16 = m2 & 144 = m2 & m = 12 m 16 10 = 9 & 10n = 135 & n = 13,5 15 n Piden la tercera proporcional entre 12 y 13,5. 2 12 = 13, 5 & z = _13, 5 i 13, 5 z 12
8. Por dato: A = 3 & A = 3k / M = 7k
M 7 A 10 + Además: = 5 M + 10 9
2 & 3 . P = K2 & 3 = c 1 m E 2 P.E 3 =1 E 4
...(1) ...(2)
Clave B
5. Sean: a y b los números
...(1)
Además: 2 (a)(b) = 1152 ...(2) 3 Reemplazando (1) en (2): 2 (3k)(4k) = 1152 3 8k2 = 1152 2
k = 144
k = 12
& a = 3k = 36 / b = 4k = 48 ` El mayor número es 48. Clave B
e
a . b . c = 42(c . e + d) 7k . 8 . 3k = 42(3k . e + ek) k c + e = 7 (dato) c + 1 = 7 &c = 6 Reemplazando c = 6 en (1): c = 3k / 6 = 3k & k = 2 a = 7(2) = 14 / b = 8 = 4 2 ` a + b = 14 + 4 = 18 Clave E
12. Sean a y b las edades actuales de los jóvenes.
a = 3k / b = 4k -n 3k - n 3k 4k - n 4k
27k + 90 = 35k + 50 & 40 = 8k & k = 5 ` M = 7k = 7(5) = 35 años
+3n 3k + 3n 4k + 3n
3k - n = 5 (dato) 4k - n 7 21k – 7n = 20k – 5n & k = 2n ...(1)
9. Mujeres: 3k
3k + 3n + 4k + 3n = 60 (dato)
Hombres: 7k
60 = 7k + 6n = 7(2n) + 6n 60 = 20n & n = 3
H – M = 28 7k – 3k = 28 4k = 28
Reemplazando el valor de n en (1): k = 2(3) = 6
k = 7
El mayor tiene: 4k = 24 años
M = 21 H = 49 21 - 14 = 7 = 1 49 - 14 35 5
3
a = 7k; b = 8 ; c = 3k; d = ek ...(1) k
Clave C
a = 3 & a = 3k / b = 4k b 4
b
Del enunciado:
Reemplazando (1) en (2): 3k + 10 = 5 7k + 10 9
` E = 12
7
168k = 42 . 4ek & e = 1
Clave A
1 = K5 & K = 5 1 & K = 1 2 32 32
24 Intelectum 4.°
...(4)
` z = 15,1875
3 . P . E . R . U = K5 P . E . R . U . 96
Reemplazando (1) en (2): 5 . bk . d = dk . f & 5b = f
7. Sea m la media proporcional de 9 y 16.
& a + 1 = 10a / b + 2 = 10b / c + 4 = 50
E
Además: a = 4 ...(3) c 1
(4c) . (2c)2 . c = 1296
3a + 8b = 2c - a - b 2 _5k i - 2k - 3k
P
...(3)
Luego, en (2):
3 _2k i + 8 _3k i
a= 1 9
...(2)
a + e = 12
...(1)
a . b2 . c = 1296 ...(2)
Usando las propiedades de la S. R. G. E. a+b+c = a 2+3+5 2
b d f 5 . a . d = c . f
a = b = k b c
(página 38) Unidad 2 1. a = b = c / a + b + c = 100 2 3 5
&
10. Por dato: a = c = e = k ...(1)
6. Del enunciado:
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
El menor tiene: 3k = 18 años Piden: 24 – x = 2(18 – x)
` 1: 5 Clave E
24 – x = 36 – 2x & x = 12 Clave D
a2 + b = b = a2 = k a+b+c b c2
13.
PRACTIQUEMOS
...(1)
1.
a2 + b = b + a2 = k a+b+c c2 + b
a) 8 - 5 = 5 - 2
& c2 = a + c
...(3)
Además: a + b = 60
...(4)
b)
Reemplazando a y b de (2) y (3) en función de c, en (4) tenemos:
6
=
6
3
y 10. x = 4 = = k
b) 10 = 4 = 8 = 6 = 2 15 6 12 14 3
& y = 4k / x = 3k
...(1)
Además: xy = 48
...(2)
7
28
12
Razonamiento y demostración
` a # c = 48
xy 14. a = = k ! Z ...(1) b
a + b = x(2y) (z + 1) z<9
` b = 2
Comunicación matemática
III. V
& MCD (xy; b) = 1
Resolución de problemas
bMCD (k; 1) = 1 & b = 1
5
Reemplazando (3) en (2): xy2 + 1 = x(2y)(z + 1)
$ 400 (no cumple)
3
$ 900
7
Sea x el número de cuadrados que se aumenta: 5+x = 2 = 8 & x = 3 3 12 12
8
Clave C
12.
Razonamiento y demostración
xy2 = 1(2y)z ...(4) 2
n.º círculos: 12
Además : a + 2b + 3c = 430 5k + 14k + 24k = 430 43k = 430 & k = 10 ` b = 7(10) = 70
a = xy2 ...(3)
$ 100
11. n.º cuadrados: 5
6. a = b = c = k & a = 5k; b = 7k; c = 8k
Reemplazando en (1); tenemos:
1
Clave A
Nivel 2 (página 40) Unidad 2
II. F
& MCD (a; xy) ! 1
Como: 4 = k = 2 b
5. I. V
MCD (a; xy) = MCD(xyk; xy) = xy
MCD(bk; b) = 1
k = 2
Clave B
Además, como:
12k2 = 48
II. F Por ejemplo: 3 ! 3+2 = 5 4 4+2 6 III. F
...(2)
4
Reemplazando (1) en (2):
4. I. V Clave E
b
3
3.
Luego: a = 12 / b = 48
Clave D
21
35
c2 - c + c3 - c2 = 60 (c - 1) c (c + 1) = 60 & c = 4
12
2. a) 15 = 3 = 12 = 8 = 9
(c2 - c) + (c2 - c) c = 60
Clave E
7. Sean a y b los números.
3k = 174
Reemplazando x = 1 en (4):
2
1y = 1(2y)z
& k = 58
8. Patricia : 19
Zulema : 25 19 + x = 4 25 + x 5
x+y+z=1+1+1=3 0 x+y+z=1+2+4=7
2 m.p = d 4 n = 16 n.q 3 9
Si: a = b = c = 2 b c d 3 3
a.b.c = 2 & a = 8 d n b.c.d 3 d 27
14. a) a = c = k ...(1)
` x = 5 años Clave C
Por propiedad:
c) F
95 + 5x = 100 + 4x
Nos piden: 3 + 7 = 10
Por propiedad: a + c = 1 b+d 2
p Si: m = = 4 n q 3
Clave B
Luego:
Si: a = c = 1 b d 2
b) F
` El número mayor es: 7 . 58 = 406
11 24 3 9 (no cumple z < 9)
13. a) V
b - a = 174 / a = 4k b 7k 7k - 4k = 174
&x=1
1 2 3
b#c#d 60 = k3 20 580 1 = k3 343 3 1 =k 343 ` k= 1 7
Comunicación matemática
De (1): b2 = a2 . c2 & b = a . c ...(2)
xy
9. 3 # 4 # 5 = k3
Nivel 1 (página 40) Unidad 2
Clave D
b d & a = bk / c = dk a + c = bk + dk = (b + d)k
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
25
d2k(k4 + k2 + 1) = 70
& a+c =k b+d
Reemplazando en (1): a = c = a + c (l.q.q.d.) b+d b d
2 3
2
3(ab + bc + cd) = 3(d k + d k + d k) 2
5
Clave E
18. a + 2 = b + 3 = c + 5
a +1 = c +1 b d
a + b = c + d (l.q.q.d.) b d
a-2 b-3 c-5 Por propiedad: a+2+a-2 = b+3+b-3 = c+5+c-5 a+2-a+2 b+3-b+3 c+5-c+5 a =b = c 2 3 5 a = 2k
Resolución de problemas 15. a + b + c = 650
a + b + c = 50 & 650 = 50 a-c 9 a-c 9
a - c = 117
...(1)
a + b + c = 650 (dato)
...(3)
Despejamos a y b de (1) y (2); y reemplazamos en (3): 143 + 2c + c = 650 3c = 507 & c = 169
c = 5k
4k2 + 9k2 = 52
13k2 = 52
k = 2 ` a + b + c = 10k = 10(2) = 20 Clave B
19. Sea a la media proporcional de 5 y 45, y b la
& a = 117 + 169 = 286
Clave D
2
2
2
2
12
27
48
75
16. a = b = c = d = k 2
tercera proporcional de 12 y 30. 5 = a a 45
b = 75 15 = 75 75 x
c=4 3k d=5 3k
20.
(d + b) - (c + a) = 143
8 3 k - 6 3 k = 2 3
5k = 4 # (Aritmética)
2 3 k = 143
` a + b + c + d = 14 3 . 143 = 1001 2 3
Clave C
17. a = b = c = k & a = dk3; c = dk / b = dk b c d
(a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900
(d2k6 + d2k4 + d2k2)(d2k4 + d2k2 + d2) = 4900
a 2 - 32 3 = b 2 - 98 3 16 49
a2 - 2 3 = b2 - 2 3 & a2 = b2 16 49 16 49
Luego: a = b =k 4 7 Además:
II. V 2 = P = U = R = E =k P U R E 2.35 & 2 5 = k5 & k = 1 3 2.3 Luego: 2+P+U+R+E = 1 P + U + R + E + 486 3 x 2 + x = 1 & 6 + 3x = x + 486 x + 486 3 2x = 480
5k = 40 & k = 8
2 3 k + 3 3 k + 4 3 k + 5 3 k = 14 3 k
26 Intelectum 4.°
Preguntas de otros cursos 9k
10
k = 143 2 3 a+b+c+d=
d4k2(k4 + k2 + 1)2 = 4900
b = 7k = 7(5) = 35 ! 3°
Clave A
Preguntas de matemática 5k
Piden el total de preguntas: 5k + 9k = 14k = 14(8) = 112 preguntas
Nivel 3 (página 41) Unidad 2
III. V sen30° = cot 45° tan37° x
Comunicación matemática 21. Del enunciado:
4 = 5x - 8 & 24x - 12 = 35x - 56 6x - 3 7 44 = 11x &x=4
x = 240
& P + E + R + U = 240 Clave C
Clave D
3k = 15 & k = 5
` x = 375
Además: (d + b) - (c + a) = 143
Luego:
7k - 4k = 15
a = 15 12 = 30 30 b
b=3 3k
16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30}
b - a = 15
& a = 5 . 45
&a = 2 3 k
Números compuestos: {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15;
23. I. V
(2k)2 + (3k)2 = 52
De (1): a - c = 117
29; 31}
Razonamiento y demostración
a2 + b2 = 52 ...(2)
Clave E
22. Números primos: {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;
Cantidad números compuestos = 19 Nos piden: 11 19
Por dato:
b - c = 26
Área = d 21 + 12 n 6 = 99 m2 2
Cantidad números primos = 11
b = 3k
a + b + c & 650 = 25 b-c 1 b-c
Luego:
3
3d (k + k + k) = 70 . 3 = 210
b) a = c b d
Además: h = 12(4) = 6 2 5
1 2 =1 & 4 =1 6 x x 3 4
x= 3 2
Clave E
24. a) V
7(4a + b) = 13(4b + a)
160 + x = 7 . 25 = 175 100 4 25 100
& c = 35 d 3 n = 15 7
28a + 7b = 52b + 13a
160 + x = 175
Piden: c + d = 15 + 35 = 25 2 2
15a = 45b & a = 3b . . 3 1
26. a = b = c = k
b
a3 - b2 = 33 - 12 = 26
13 - 3 = x x 13 + 3 2
& x2 = _ 13 - 3 i_ 13 + 3 i = 13 - 3 2
x2 = 13 - 9 = 4
a + b = 7k
...(1)
a - b = 3k
...(2)
a . b = 40k
...(3)
Sumando (1) y (2):
2a = 10k
& a = 5k / b = 2k Reemplazando en (3):
(5k) (2k) = 40k
10k2 = 40k & k = 4
Luego: a = 20 / b = 8 ` MCM(a; b) = MCM(20; 8) = 40
Resolución de problemas 25. Sea x: la cantidad de agua que se agrega.
Del enunciado: Vino Agua
5k 8k
Luego: 13k = 260 & k = 20
Se tiene: Vino: 100 L Agua: 160 L
7
260 L
Del enunciado: 3k = 9 2 &k = 3 2
a = 7b & a = 7 c 8 12 c2 + a - b = 3595
d d 27 - 1 n = 57 8
c2 + 7 c - 8 c = 3595 12 12
& d = 24
c2 - c = 3595 12
Piden: c
` c = dk = 24 . 3 = 36
12c2 - c = 12 . 3595
2
Clave C
27. n.º extranjeros
2 . 15x
n.º peruanos
7 . 15x
& a . b . c = 84 000
30. a = b = c = 3
Mujer: 4 . 7x & 15.7x = 7(15x)
A
Niños: 3 . 7x n.° extranjeros 30x = = 30x = 30 n.° M - n.°N 28x - 21x 7x 7
Clave D
28. Sea la proporción geométrica:
a = c & ad = bc b d Además: a = 3 & a = c = 3 b 7 b d 7 abcd = 1225 a2 (ad)2 = (35a)2
& b = 40 / a = 35
Clave C
Homb.: 8 . 7x
(ad)(bc) = 1225 a
& c = 60
` 8 + 4 + 0 + 0 + 0 = 12
Peruanos:
d = 35
c 2 + 144 = k 12
Igualando (II) y (III): 12b = 8c b= 8 c 12
d(k3 - 1) = 57
ad = 35a
8
Clave B
a 2 + 49 = b 2 + 64 = c 2 + 144 = k2 49 64 144 l ll lll Igualando (I) y (II): 8a = 7b
a - d = 57
c) F
2 2 29. a + 49 = b + 64 =
d
Además:
&x=2
c
dk 3 = dk 2 = dk dk d dk 2
b) V
Clave A
Luego:
` x = 15 L
2
B
C
2
Se cumple: suma de antecedentes = k suma de consecuentes a + b + c + 3 # 11 = 3 2 A + B + C + 2 # 11 a2 + b2 + c2 + 5 # 32 = 32 A2 + B2 + C2 + 5 # 22 22
(+)
a3 + b3 + c3 + 5 # 33 = 33 3 3 3 3 23 A + B + C + 5 # 2 2 3 E = 3 + 32 + 33 2 2 2 57 E= 8
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave D
27
FRACCIONES APLIQUEMOS LO APRENDIDO
7.
Gastó 1.er día: x 5
(página 43) Unidad 2 1. M = d 3 nd 4 nd 5 n ... d 47 nd 48 n 46 47 2 3 4
M = 48 & M = 24 2 2. Sea el número: x
Clave C
Queda 1 x + 40 3
Luego: 3 x + 40 = 42 & x + 40 = 70 b l 5 3 3
` x = 90 L
Clave B
7x - x = 11 x 30 10 3
Clave C
9 + x = 1000(5)
25 x = 1500 150
` x = 4991
972a + 162b + 27c = 648c + 72b + 8a - 8
8. 37a + 3b = 711 999 3 _37 i
964a + 90b + 8 = 621c . . . 1 3 2 Reemplazando los valores en (1):
37a + 3b = 711 . 111 = 79 & 37a + 3b = 79 999 . . 1 14 ` b - a = 13
N = 0,132(6) = !
5. Del enunciado:
Clave D
13. Del problema:
14 + 54 = c ! Z y además 54 es una 17 mn mn
fracción irreductible, entonces por propiedad:
...(2)
mn = 17 & m = 1 / n = 7 Luego: 14 + 54 = c & c = 14 + 54 = 68 = 4 17 17 17 17
xy ! {10; 11; 13; 14; 16} Por lo tanto, existen 5 fracciones impropias.
0, 1 =1 0, 4 + x 6
` m + n + c = 1 + 7 + 4 = 12
Clave E
10. 2 < a < 41 13 b 52
0,1 . 6 = 1(0,4 + x) 0,6 = 0,4 + x ` x = 0,2 m3 Clave A
6. Del enunciado:
r = 41 - a ...(1) 52 b 2r = a - 2 ...(2) b 13
a ! {7; 8; 9}
c^a - 7h a.n abca - ab ; n ! N = 9900 ca^a - 2h .n
45 = 3a 26 b
72 = 7n - 11m . . 37 17 (m y n son PESÍ)
Clave C
...(2)
En el denominador:
` a = 15 b 26
` m + n = 54
Como la fracción es irreductible, a ! 8
Luego:
41 + 2 = a + 2a 26 13 b b
121 + 11m = 49 + 7n
! = 0, abca = abca - ab ...(1) 9900 ca _a - 2 i
c _a - 7 i a
De (1) se tiene:
2 d 41 - a n = a - 2 52 b b 13
11(11 + m) = 7(7 + n)
Clave D
14.
Reemplazando (1) en (2):
11 + m = 7 7+n 11
! 132^ 6 h = 56 <> 7 = 0, 259 27 1000^ 6 h 216
` N = 0, 259
De (1) y (2), tenemos: Clave A
cb _a - 1 i_ 9 i abc_ 6 i = 1000_ 6 i 1000_ 9 i
Efectuando:
Clave E
Además: ° xy ! 3
...(1)
& 36a + 6b + c = 81c + 9b + a - 1 216 729
17 > 1 & 17 > xy ...(1) xy
x = 5000 - 9
28 Intelectum 4.°
12. N = 0,abc(6) = 0,cb(a - 1)(9)
9. Del enunciado:
Del enunciado: 1 = 1 - 4 + x 1000 9+x 1 = 9+x-4-x 1000 9+x
`a + b = 7
11 x - x 30 5
Clave B
4. Sea x el número que se agrega.
a2 + b2 = 10a + b – 18 . . 4 3
37a + 3b = 711 111 999
x = 30 3
7 4x = 7x d n 8 5 10
` x = S/.9000
3 x + 40 b l 5 3
99
2
a + b = 10(a – 2) + b + 2
55x - 30x = 1500 150
3. Sea x el contenido inicial del recipiente.
99
2
Del enunciado: 11 x - x = 1500 30 5
& x = 10
Se saca 1.ª operación: 2 x - 40 3 2.ª operación: 2 b x + 40 l 5 3
3.er día: 5 b x l = x 3 3 5
4.° día: 2 b x l 10
Del enunciado: 2 + x = 4 & 2 + x = 12 15 5
2.° día: 1 d 4x n = x 8 5 10 Clave D
2 2 _a - 2 i_b + 2 i 11. a + b =
Queda 4x 5
ca (a - 2) . n = 9900 Clave C
...(3)
Si a = 9, entonces 7 n ! N en (3) & a = 7
c75 # n = 9900 (4c + 3)n = 396 . . 2 36
13x - 13 = x 12 & 13x - x = 13 12
207 # 36 = 7b27 - 7b & 7b27 7b 7452
7D = 5N . . 5 7
3x + 7 + 1 x - 20 = x n d n 4 3
Reemplazando: a = 7; c = 2 y n = 36 en el numerador en (2):
` x = 156 L
N =7 D 5
Comunicación matemática
Petroleo = 3 _156 i + 7 = 124 4
D
Clave C
& N y D son PESÍ.
N+5 = N D+9 D
Nivel 1 (página 45) Unidad 2
DN + 5D = DN = 9N
!
0, 43 (6) =
2. 3.
Clave A
Si MCD (N; D) ! 1 & 7 ! Z+, tal que:
N = dk1
Pero da: 7 15
k N dk & = 1 = 1 , luego la fracción inicial D dk k 2 2
Lo que da: 21 # 120 = S/.42 60
D = dk2
es reductible.
MCM _a; ci a c MCM a ; k = b d MCD_b; di
III. (F)
5.
! 0, ab = ab a 90
S/.50 " 50 120
` Le falta: 7 12
Clave D
& n < 40
III. (V)
n ! {25; 29; 31; 35; 37} ` n toma 5 valores. 3x + 7 4
Petróleo
1 x - 20 3
Agua
Petróleo = 3x + 7 4 1 Agua = x - 20 3
Clave D
10. N es irreductible; N y D son PESÍ. D
N+7 = N D+5 D ND + 7D = ND + 5N
Por propiedad: b = d & b + d = 2d = 2 ! Z d d
MCM _3; 5; 7 i MCMd 3 ; 5 ; 7 n = = 105 1 a1 a3 a2 MCD _a1; a3; a2 i
Uniendo: 24 < n < 40
6.
Razonamiento y demostración
II. (V)
24 2 3 n 5
Resolución de problemas
d = 22 = 11 14 28
13. 1. (V)
24 y n son PESÍ.
Clave E
7
Los números que van en los recuadros vacíos son 5 y 2.
n
Es verdad solo III.
7
= 35 = 5 14 2
9. 24 & 24 < n (fracción propia)
I. (F) II. (F) III. (V)
113_ 6 i = 45 = 9 & =9 35 7 55_ 6 i 7
= 1 + 3d = 1 + 3 d 11 n = 1 + 33 7 14 7 7 14
S/.120
S/.70 " 70 120
55_ 6 i
Luego:
& S/.42 + S/.8 = S/.50
113_ 6 i
3 de lo que debe. 4
II. (F)
d)
7
Piensa dar: 7 de lo que debe. 15 #
43^ 6 h 27 27 > & = 55^ 6 h 35 36
12. 1 + 4d = 23 & 4d = 22
8. Debe: S/.120
Razonamiento y demostración
= 27 36
0,43(6) 1 0, 43 (6)
` N + D = 14
4. I. (F)
43_ 6 i
100_ 6 i
!
5D = 9N . . 9 5
Comunicación matemática
m52
c) 0,43(6) =
PRACTIQUEMOS
1.
11. a) Como m14 1 m52 & m14 < 1
MCD^3; 5; 7h b) MCD c 3 ; 5 ; 7 m = = 1 > 1 2 9 5 MCM^2; 9; 5h 90 91
7. N " Irreductible
` a + b + c = 7 + 5 + 2 = 14
Clave D
Nivel 2 (página 46) Unidad 2
Clave A
&b=5
d
(100c + 75)n = 9900
!
0, 231_ 5 i =
231_ 5 i - 23_ 5 i 400_ 5 i
= 53 = 0,53 100
14. I. (V)
3 + a = k & mn = 17 17 mn
& m = 1 / n = 7 & m + n = 8 ` m + n = 2°
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
29
II. (V)
MCD _a; c i
...(1) MCD b a ; c l = b d MCM _b; d i
! ! 17. 0, 3 < x < 0, 8
Multiplicando (1) y (2); y teniendo en cuenta que: x . y = MCD(x; y) MCM(x; y), tenemos:
& x ! {8; 9; 10; 11; ...; 19}
& MCD b a ; c l MCM b a ; c l = a. c b. d b d b d
MCM _b; d i MCD _b; d i
Si a = 4, b = 1; c = 2 / n = 3 & 4 + 12 + 23 = 1 + 1 + 12 + 23 3 3 3 3 3 3 = 1(3) + 0,112(3) = 1,112(3)
& 4 + 12 + 23 = 1,112(3) ! 0,412(3) 3 3 3 ` Son verdaderas I y II.
x 6
3.° 3 # b x - 500 l + 800 5 2
0,21(4) =
9a + 4b = 217 1 52 5 43 9 34 13 25 17 16 21 7
!
0, 23 (4) = !
Queda x - b x + 500 l 3 2x - 500 3 x - b x + 500 + x l 3 6 x - 500 2
S/.2000
Clave D
!
45x = 109a + 7
Clave B
! ! ! 20. 0, mn + 0, nm = 1, 4
30 Intelectum 4.°
Comunicación matemática MCM _1; 7 i
MCM d 1 ; 7 n = =7 3 6 3 MCD _3; 6 i !
0, 12_ 3 i = Clave B
12_ 3 i
22_ 3 i
= 11 15 = 11 16
3 + m 2 3 & 6 + 2m 2 6 + 3m 2+m 2
Además:
= 9 =3 12 4
Si a = 3 / b = 2, sea m ! Z+
11(m + n) = 143
21. Del gráfico tenemos:
11a + 5b = 43 . . 3 2 `a = 3 /b = 2
23_ 4 i
100_ 4 i
12
III. (V)
Nivel 3 (página 46) Unidad 2
11
33_ 4 i
21_ 4 i
0 2 m " Z+
Clave A
11a + 5b = 781 - 7 55 990
23_ 4 i
=
& 5 1 a 1 7 a=6
11m + 11n = 143
x = 5 . 3000
! 16. a + b = 0, 781
30_ 4 i
II. (F)
` m + n = 13
Clave B
23_ 4 i - 2_ 4 i
0,5mn(a) = 0,6b6b...(7)
.
5 2 `x + a = 7
10m + n + 10n + m = 143
` x = S/.15 000
= 9 16
23. I. (V)
mn + nm = 13 # 11 = 143
Entonces: x + 500 + x + 3x + 500 + 2000 = x 3 6 10 3000 + 4x = x 5 & 3000 = x - 4x 5
100_ 4 i
Razonamiento y demostración
45x = aa7 - a = 110a + 7 - a .
0,23(4) =
21_ 4 i
La palabra encontrada es AREQUIPA.
x = aa7 - a 22 990
mn + nm = 14 - 1 99 99 9
3x + 500 10
5
0, 23 (4) =
19. x = 0,a a7 22
Resolución de problemas
9a + 4b = 217 36 36
! 0, 3 = 3 = 1 9 3
! 0, 021 = 21 - 2 = 19 900 900
` 6 pares de números. Clave E
4
! 0, 32 = 32 - 3 = 29 90 90
9a + 4b = 6027 - 602 = 5425 36 900 900
2.° 1 # d 2x - 500 n + 125 4 3
100
a + b = 6, 02! 7 4 9
18.
III. (F)
1.° x + 500 3
22. 0,25 = 25 = 1 Clave B
MCD _a; c i MCM _a; c i
=
Clave E
` x toma 12 valores.
Da
& A = 71 u2
7,33... < x < 19,55...
MCD b a ; c l MCM b a ; c l b d b d
15. El padre tiene x soles.
5 7 d + n .48 8 3 A= = 71 .48 2 48
3 < x <8 9 22 9 22 < x < 176 9 3
MCM _a; c i MCM b a ; c l = ...(2) b d MCD _b; d i
Luego:
22
=5 8
13 + pq = m + q mn 17
& mn = 17 m = 1 / n = 7 13 + pq = 17(1 + q) 13 + 10p + q = 17 + 17q 10p = 4 + 16q 5p = 2 + 8q . . 2 1 & m + n + p = 1 + 7 + 2 = 10
28. Del problema: ! 1
24. a 1 1 & a 1 b
b
am 1 bm, m ! Z+
am + ab 1 bm + ab
Resolución de problemas
! 25. 0, nm5 = nm5 = a
b
Clave A
2.
° 13xy45z = 792
° nm5 tiene que ser necesariamente 37. & nm5 = 37k .
0,285714 = 0,ARITME
13xy456 = 9º 1 + 3 + x + y + 4 + 5 + 6 = 9º
& R = 8; I = 5; M = 1 y E = 4
` MARI + TERE = 1285 + 7484 = 8769
º • 1 3 x y 4 5 6 = 11 + - + - + - + º 1 - 3 + x - y + 4 - 5 + 6 = 11 º x - y + 3 = 11 º -3 x - y = 11 º + 11 - 3 x - y = 11 º +8 x - y = 11
•
Clave B
5
Luego: verifican la nm5 = 185 = 5 2 999 999 27 condición del problema
defg 29. mn = = abc
9999
defg ...(1) 9 # 11 # 101
Luego: abc ! {101; 303; 909}
`n + m = 9 Clave B
125
Reemplazando en (1):
N = a _a + 1 i_a + 2 i 125 1000
8N = a(a + 1)(a + 2) ...(I) 8° = a(a + 1)(a + 2)
8° = 100a + 10a + 10 + a + 2 = 111a + 12 8° = (8° - 1)a + 8° + 4
defg 91 = 909 9 # 11 # 101
2y = 9° y = 9° & y = 0 / x = 8
1001 = defg & d = 1; e = 0; f = 0 / g = 1
` x+y-z=8+0-6=2
+ 1 + 1 + 1 = 30
8° = 8° + 4 - a & 8° = 4 - a
Clave A
Reemplazando en (I): 8N = 456 & N = 57 ` a + N = 61 Clave B
256
3.
256
aba = 33
.
2 = abcdef ...(1) x 999999
Además:
5 = defabc ...(2) x 999999
+-+
3 = 999.429 = 429 & x = 7 x 999999 1001
1 64 + 16b + 4c + d = 127 16b + 4c + d = 63 . . . 3 3 3
º
11
Como: aba = 3º & 2a + b = 3º ...(1) º a b a = 11 º & 2a - b = 11 . . 1 2 2 4 3 6 4 8 6 1 7 3 8 5 9 7
3 = 999 _def - abc i 999999 x
64a + 16b + 4c + d = 127
º
3
º
Restamos (1) de (2):
27. 64a + 16b + 4c + d = 127
Clave C
30. Del problema:
`a+b+c+m+n+d+g=9+0+9+9
&a=4
x + y + 1 = 9º ...(1)
&x - y = 8 x = 8 + y ...(2) Reemplazando (2) en (1): (8 + y) + y + 1 = 9° (y < 2)
Además, como: abc + mn = 1000 & abc = 909 / mn = 91
26. N = 0,a(a + 1)(a + 2)
° 11
2 + z = 8º & z = 6
2 = 0,ARITME 7
Luego:
8° 9°
450 + z = 8º 8º + 2 + z = 8º
Luego:
Del enunciado se sigue: b < 32
• 45z = 8º
Como A/T es un decimal periódico puro, tenemos: T = 7 & A = 2
nm5 = nm5 999 33 . 37
185
x = 36 x = 36 . 2 = 72 & x1 = 72 x = 36 . 3 = 108 & x2 = 108 ` x1 + x2 = 180
& A 1T 1 8 2 7 3 6 4 5
` a 1 a+m b b+m
..
1. 50 # x # 120
A es una fracción propia. T
a(m + b) 1 b(a + m)
999
MARATÓN MATEMÁTICA (página 48)
= 0, 1 = 1 & A + T = 9 A+T 9
Clave D
(no cumple (1)) (no cumple (1)) (sí cumple (1)) (no cumple (1)) (no cumple (1)) (no cumple (1)) (sí cumple (1)) (no cumple (1))
Por lo tanto: Hay 2 valores que toma a.
` a + b + c + d = 10 Clave C
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave B
31
7. MCD(A; B) = 4k
4. N = 9 . 10k = 32 . 2k . 5k
CD360 = (3)(4)(2) = 24
CDN = (2 + 1)(k + 1)(k + 1) = 24 + 3
3(k + 1)2 = 27 &k = 2 K 2 ` N = 9 . 10 = 9 . 10 = 900
Clave B
a
5. N = 3 . 7
b
a+1
- 1 . 7b + 1 - 1 = 104 SDN = 3 3-1 7-1
& a = 2
8. Sean a y b los números.
Del enunciado: a . b = 3402
...(1)
MCD(a; b) = 9
...(2)
b=1
2 21 3 14
6. M = 44000 … 000(6)
6 7
n ceros
Existen 4 pares de números que cumplen estas condiciones.
M = 44(6) . 100…00(6) = 28 . 6n n ceros
n
2+n
n
M=7.2 .3 .2 =2
.3 .7
n+1
& SD°4 = 4 c 2
1
n+1
-1 . 3
2
9. A = 66 ... 66(7) = 7 - 1 2
-1 . 7 -1m 6
15
80
B = 66 ... 66(7) = 712 - 1
712 - 1 = (74 - 1)(78 + 74 + 1)
MCD(A; B) = 74 - 1 = 2400 ` 2+4+0+0=6
Por lo tanto; M termina en 3 ceros. Clave A
32 Intelectum 4.°
De vino
2x + 7x - 2 = x 8 8
9x - x = 2 8
x =2 8
` x = 16 L
b
78 - 1 = (74 + 1)(74 - 1)
& n=3
7 x - 11 8
Clave E
4
a = 3k / b = 4k
12 cifras
(2n + 1 - 1)(3n + 1 - 1) = 1200
De agua
12. a = 3
8 cifras
Como: SD°4 = 19 200 &
Clave C 8
M = 4 . (2n . 3n . 7)
x +9 4
x + 9 + 7x - 11 = x 4 8
1 42
Clave A
n
. .
` Suma de cifras de N = 6 + 3 = 9
Clave D
11.
m . n = 42
& N = 32 . 7 = 63
2
& n < 40 Uniendo: 24 < n < 40 n ! {25; 29; 31; 35; 37} ` n toma 5 valores
Clave D
Reemplazando en (1): 9m . 9n = 3402
48
/
n 24 y n son PESÍ 24 > 3 n 5
De (2): a = 9m / b = 9n (m y n son PESÍ)
& (3a + 1 - 1)(7b + 1 - 1) = 1248 26
10. 24 & 24 < n (fracción propia)
MCD(C; D) = 6k MCD(A; B; C; D) = 24 = d d = MCD[MCD(A; B); MCD(C; D)] 24 = MCD(4k; 6k) = 2kMCD(2; 3) 24 = 2k ` k = 12
360 = 32 . 23 . 5
Clave D
Por dato: 3k . 4k = 48 12k2 = 48 k2 = 4 & k = 2 a = 3(2) = 6 b = 4(2) = 8 ` El número mayor: b = 8
Clave D
Unidad 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
APLICAMOS LO APRENDIDO
6.
10.
(página 51) unidad 3 1. Del enunciado:
A $ 3 C = k _cte i B
Luego:
(1)
14. 3 64 = x. 3 2.4 4 64
14 . 4 = x . 2 & 56 = x 8 2 8 ` x = 7 Clave A
2. A3 IP B3 & A3 . B3 = k (cte)
23 . 33 = x3 . 43
3.
3 23 .33 = 3 x 3 .43 2.3=x.4 ` x = 3 2
Partes 738 A B
n.° dientes n.° dientes 27 12 Se cumple: (n.° d1) (n.° V1) = (n.° d2)(n.° V2) 27 # 836 = 12 # n.° V2
1k + 2k + 22k + 23k + ... + 2nk = 6141 k(1 + 2 + 22 + ... + 2n) = 6141 & k(2n + 1 - 1) = 6141 Además: k . 2n = 3072 ...(2)
& n.° V2 = 1881 vueltas por minuto ` n.° vueltas por hora = 1881 Ç 60 = 112 860
2n + 1 - 1 = 6141 3072 2n
7. Clave A
DP 32 & 32k 9 & 9k
P = k (cte) w2 Dato: se divide en partes iguales. w / w 2 2 100 000 = P1 w 2 w2 b l 2
d
11. Por dato:
Luego en (1): a . c = 12 (a ! Z+, a < c) / 6 > c . . 3 4 &a=3 / c=4
Clave D
8. P.V = P = P = k (cte)
W
2 & 2k 7 & 7k 9 & 9k
W V
De (2): 62 = (3) . d & d = 12
D
300 = x 1, 5 1600 d 400 n 300 = x 1, 5 4
Luego: 2k + 7k + 9k = 360 18k = 360 k = 20 & A = 2k = 40 B = 7k = 140 C = 9k = 180
...(1)
Del gráfico se puede observar: b>c&6>c
` Pérdida = $ 50 000
Partes DP
3a . c = 36; (a < c) a . c = 12
Analizando el tramo donde A IP B: ...(2) b2 = a . d = 3a . c = 36 62 = b2 & b = 6
25 000 = P1
Clave E
360
Clave C
& Pérdida = 100 000 - 2P1
` ! cifras de B es: 9
A 18 = 2 . 9 B 63 = 7 . 9 C 81 = 9. 9
Resolviendo: (2n . 2 - 1)3072 = 6141 . 2n 6144 . 2n - 3072 = 6141 . 2n 3 . 2n = 3072 2n = 1024 = 210 ` n = 10
100 000 w 2 = P n 4 1 w2
Analizando el tramo donde A DP B: b = 3a = a = 3 = 1 m n d 12 4 & m = 24 / n = 36 ` a + b + c + d + m + n = 85
` x = S/.800
Clave A Clave C
9.
Piden: C - A = 140 Clave B
5. Partes IP <> DP <> DP
Z ]A 1 3 3 . 4 = 12 & 12k 3 ]] 1380 [ B 1 2 2 . 4 = 8 & 8k 2 ] 4 3 3 .4 = 3 & 3k ]] C 3 4 4 23k \ Luego: 23k = 1380 k = 60 Parte mayor: 12 Ç 60 = 720 Clave D
...(1)
Dividiendo (1) y (2):
Clave D
Luego: 32k + 9k = 738 41k = 738 k = 18 Entonces: A = 32k = 576 B = 9k = 162
4.
(2)
Z ] 1k ] 2k ]] 4k 6141 [ 8 ] k ] h ] 2n k \
Partes DP Z 3 686 = 7 3 2 & 7k ]] A 3 650 [ B 1024 = 8 3 2 & 8k 3 ]C 2662 = 11 3 2 & 11k \ Luego: 7k + 8k + 11k = 650 26k = 650 k = 25 Entonces: A = 7k = 175 (menor parte) B = 8k = 200 C = 11k = 275
12.
S/h = cte h/d $ P ▪▪ Cuando producen 800 calzados. h/d = 3k & 3k + 5k = 24 & k = 3 / h/d = 9 ▪▪ Cuando trabajan los 2/3 del día. h/d = 2/3(24) & h/d = 16 Luego: 30 = 60 9 .800 16 .x 3 = 60 3 . 80 4.x 4x = 4800 ` x = 1200
Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave E
33
13. Sea N la cantidad a repartir.
Z k ]A ]B 2k N[ 3k ]C ]D 4k \ k + 2k + 3k + 4k = N
Piden: (x - 2a)k + (x - a)k + xk = 3xk - 3ak ` (x - 2a)k + (x - a)k + xk = 21ak = 42
Comunicación matemática 12 = 21 & 12x = 84 4 x x=7 Del 2.° gráfico: 18 . 2 = y . 6 36 = 6y & y = 6 ` x + y = 7 + 6 = 13
Clave B
Resolución de problemas Clave B
15m = N & m = N 15
6. A . B = k
24 Ç 8 = A . 16 & A = 24 # 8 16 A = 12
IP
2.
Luego: A = 2N ; B = N ; C = 4N y D = 2N 15 5 15 5
n.° dientes n.° # vueltas = cte aumenta disminuye
Una de las partes disminuye en 180. Analizando, se deduce que se trata de C.
n.° vueltas A
3N - 4N = 180 10 15
Clave B
disminuye aumenta <
A =k B4
7.
4 A4 = 484 & A = 48 #4 3 3 2 2
n.° vueltas B
5N = 180 & N = 5400 150
n.° vueltas B
Clave C
DP x - 2a & (x - 2a)k x - a & (x - a)k b0 x & xk x + a & (x + a)k x + 2a & (x + 2a)k
n.° vueltas A n.°dientes A
>
n.° vueltas C
=
n.° vueltas C n.°dientes C
8.
A . B = cte Luego: 2 . 24 = 16 . a = 8 . b = 3c . c & 48 = 16a a=3
Resolviendo:
48 = 8b b=6
` a + b - c = 3 + 6 - 4 = 5
Además: (x + 2a)k - (x - 2a)k = b 4ak = b (b > 4) De (1) y (2): xk = 2(4ak) & x = 8a Luego: IP DP 7a 1 (63a) & 9m 7a b0 9a 1 (63a) & 7m 9a & 9m + 7m = b0 16m = b0 & m = 5 / b = 8
34 Intelectum 4.°
a = b = c =k 2 3 5 a + b + c = 120 2k + 3k + 5k = 120 10k = 120 k = 12 La parte menor es: a = 2k = S/.24. Clave B
48 = 3c2 16 = c2 c=4
DP Z ]n ] 2n 8n = 160 A[ . ]] 3n 3 160 5n 20 \ ` A = 11n = 220
9.
Clave D
Razonamiento y demostración
...(1)
A = 243 Clave E
3. Si A es IP a B, entonces:
(x - 2a)k + (x - a)k + xk + (x + a)k + (x + 2a)k = b0 5xk = b0 5xk = 10b xk = 2b
V II. V Por propiedad: Si A IP B & A2 IP B2 0 B2 IP A2 III. V Por propiedad: Si A DP B & B DP A
1. Del 1.er gráfico:
Z 2m ]A 2 ]B 3 3m N[ 4m ]C 4 ]D 6 6m \ 2m + 3m + 4m + 6m = N
14.
5. I.
Nivel 1 (página 53) Unidad 3
DP & & & &
` D = 2N = S/.2160 5
Clave C Clave C
Practiquemos
10k = N & k = N 10 Luego: A = N ; B = N ; C = 3N y D = 2N 10 5 10 5
IV. IP n.° obreros n.° días
Reemplazando b = 8 en (2):
& ak = 2
DP 1 & 2 & 3 & 4 &
4. De la relación entre magnitudes, ¿cuántas son
Clave B
DP?
...(2)
I. DP n.° obreros
obra
II. IP rapidez
tiempo
III. DP n.° lápices
costo
10.
ZIP 12 DP ] ]1 7n ]7 ] 2800 [ 1 3n ]3 & 14n = 2800 ] n = 200 ]] 1 4n ` 3n = 600 \4 Clave A
Nivel 2 (página 53) Unidad 3 Comunicación matemática 11. a) A3 IP 1/B2 , A3 DP 1/(1/B2)
, A3 DP B2 , A6 DP B4
b) A2 DP B , A4 DP B2 c) A3 IP B5 , B5 IP A3 d) 1/ A DP 1/B , 1/(1/A) IP 1/(1/B) , A IP B 12. Del cuadro: By IP Cz cuando A es cte. (5) y
▪▪ 64y . 18z = ay . 8z & 64y . 18z = ay . 8z (26)2z . (2 . 32)z = a2z . (23)z 212z . 2z . 32z = a2z . 23z 210z . 32z = a2z 25 . 3 = a & a = 96
DP DP 2a " 14k n " 9k N *3a " 21k 2n " 18k 4a " 28k 4n " 36k
10 780a = 5390b = 4312c = M 10a = 5b = 4c = M 20 20 20
/ N = 63k Del enunciado: 36k - 28k = 800; k = 100 ` N = 63k = 6300
& 2M = 80 ! cifras: 8 + 0 = 8
16.
DP Z ]] 5 2 & 5a 7200 2 [ 7 2 & 7a ]] \12 2 & 12a 24a = 7200 2 a = 300 2 ` 12a - 5a = 7a = 2100 2
13. I. V
Si A DP B & A = k & cte. B Luego: + A B A B = + = k + 1 & cte B B B
Comunicación matemática 21.
E
Sea 7k el peso del diamante, se parte en dos pedazos, uno de 3k y otro de 4k.
II. V
1 1 = g (x + y) = m = 1 + 1 x+y x + y g (x) g (y) m m
A
B
40 dientes 15 dientes C D
1 g (x) + g (y) g (x) g (y)
f (xn) g (xn) = f (x) g (x) IV. V f(1) = 4 k(1) = 4 & k = 4 19.
45 N
& E Y = cte V
M = 175
k = 3k & a = 21 7 a
k = 2k & c = 2b b c c = 2 (63) c = 126
x vueltas ––––– 5 minutos 216 vueltas ––––– 3 minutos
Como: a + b + c + x = 215
` x = 360 vueltas
21 + 63 + 126 + x = 215
s s1
Clave B
M 50
Hallando N: 9 . N = 1 . 18 45 5 N = 18 & M + N = 175 + 18 = 193
▪▪
Clave B
Luego: f(7) + f(13) = 7k + 13k = 20k . 4 f(7) + f(13) = 80
5 18
▪▪ 3k . a = k . b 3(21) = b & b = 63
Luego: nA . 40 = 576 . 15 nA = 216 en 3 minutos.
= kx ` m j x
▪▪
En 3 minutos: nC . 50 = 360 . 80 nC = 576 = nB
f (xn) g (xn) = kxn . c mn m = km x
2
22. Del gráfico:
n.° dientes IP n.° vueltas
III. F
20
2
9
Clave E
50 dientes 80 dientes
g (x) g (y) g (x + y) = g (x) + g (y)
5
Y
21
21 . 5 2 = 1 . 3 2 M 5 Clave D
18.
V
1
21 . 50 = 1 . 18 M 5
150 ` Pierde 294 - 150 = S/.144
f(x + y) = k(x + y) = kx + ky f(x + y) = f(x) + f(y)
12
E2 IP Y
P = 54 294 = P1 = P2 3 1 49k2 9k2 16k2 P2 = 96
14. I. V
3
E DP V
17. Precio DP (Peso)2
Clave C
Clave A
Nivel 3 (página 54) Unidad 3
Clave B
Entonces: (A + B) DP B II. F III. F En un MRU se cumple: d = v . t & d/t = v cte. Luego, tiempo es DP a la distancia.
=
a = 2M 11M = 440 b = 4M 4 M = 40 c = 5M
Clave B
Razonamiento y demostración
Clave B
20. Comisión: $440
a = 7k, n = 9k
Clave E
25 m2 $ x ` x = 200 soles
& 9a = 7n
z
Luego: B . C = cte. Entonces: ▪▪ 64y . 18z = 24y . 128z & 26y . 2z . 32z = 3y . 23y . 27z 23y - 6z = 3y - 2z & y - 2z = 0 y = 2z
9 m2 $ 18 soles 4
Resolución de problemas 15.
4 27 m
5m
2
S = ^4 27 h
3 = 9 m2 4 4
S1= 52 = 25 m2
210 + x = 215 & x=5 Luego: 5a + b - 4x - c = 5(21) + 63 - 4(5) - 126 = 105 + 63 - 20 - 126 = 168 - 146 = 22
Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
35
Razonamiento y demostración 23. I. F
A9 = p . R2 &
A9 R2
Resolución de problemas 18 m 25. M
= p & cte.
L
Área DP (radio)2 II. F Si: A IP B & A . B = k ... (1) Si: B IP C & B . C = m ... (2)
CL = 3000
26.
Zk ] ]] 2k N [ 3k ] 4k ] \ 5k
" " " " "
8a 3n 16a 6n 24a 8n 32a 11n 40a 12n
" " " " "
9a 18a 24a 33a 36a
Clave A
30. Del enunciado:
Clave A
cte. cte. cte. 27. Ciego + Cojo + Manco = 519 Clave C
24. I. V
Si (A + B) DP C & A + B = k & cte. C Si D DP C & D = m & cte. C Luego: (A + B) c 1 m = Ck = k & cte. D+C mC + C m + 1 & (A + B) IP (D + C) ... (1) ... (2)
A5 B10 = cte. & A5 = cte. B10 C4 C4
Ciego = 8 # 9 = 72k Manco 5 # 9 45k
Clave B
28. Sea N el peso del objeto: y
` n = 5
Luego: 1369.x = Ny ... (1) Nx = 1296y ... (2)
Clave B
x2 = 1296 y2 1369 & x = 36 ... (3) y 37
Veamos: A = Bk = K (no es cte.) B .C B C C
Reemplazando (3) en (1): 1369 . x = N & 1369 c 36 m = N y 37
` A no es DP a BC. Clave D
378 = 26 838 10 n (n + 1) (51) n (n + 1) (2n + 1) 2 6 n (n + 1) (76 - n) = 710 & 3
n(n + 1)(76 - n) = 5 # 6 # 71
Sabemos: Peso DP distancia
1369x2.N = 1296y2.N
III. F Si A DP B & A = Bk: Si A DP C & A = Cm: & Bk = Cm
Luego
30 240 = 30 240 - 3402 w2 (50 # 1 + 49 # 2 + ... + (51 - n) n) 800w2
72M + 56M + 45M = 519 173M = 519 & M = 3 Ciego: 72 Ç 3 = 216
MultiIplicando (1) y (2):
A5 DP C4
Precio = cte. Peso2
P1 P2 30 240 = = = ... 2 2 (w 50 # 1 ) (w 49 # 2 ) 2 ^10 8 wh Pn = (w ^51 - nh n ) 2
Ciego 9 # 8 72k = = Cojo 7 # 8 56k
x
bc = abc 1 13 13bc = 100a + bc 12bc = 100a 3bc = 25a & a = 3, b = 2 / c=5 ` a + b + c = 3 + 2 + 5 = 10
N = 15k = 40n & 15k = 40n 3k = 8n . . 8a 3a & 40a - 36a = 44 & a = 11 ` 36a = 396
Luego: (A + C)(B + D) = (A + C)(Dk + D) = (A + C)D(k + 1) = (AD + CD)(k + 1)
36 Intelectum 4.°
Menor Clave A
IV. V • Si: D DP B, entonces: B DP D & B = k & cte. D • D IP A & AD = cte. • D IP C & DC = cte.
II. V Si A IP B2 & (A . B2)5 = (cte.)5 B5 IP C2 & (B5 . C2)2 = (cte.)2 De (1) y (2):
A =B = C 2 8 16 A = B = C = A+B+C 1 4 8 1+4+8
& 2k + 2k + 3k = 2100 & k = 300 ` 3k = 900
Entonces: (A + B) DP (A - B)
C
Luego:
Simplificando: GM GL GG = = =k 2 2 3
Si A DP B & A = k & cte. B Luego: A + B = BK + B = K + 1 & cte. A - B BK - B K - 1
A
*B
A = B = C 2m1 2m3 2m4 A = B = C 210m .21 210m .23 210m .24
CG = 6000 GG GM GL = = 18 # 2000 12 # 3000 9 # 6000
III. V
9m
CM = 2000
G
Dividiendo (1 ' 2): A = cte. & A DP C C
Entonces: (A + C) IP (B + D)
12 m
29. abc
` N = 1332 g Clave C
REGLA DE TRES PRACTIQUEMOS
Resolución de problemas
Nivel 1 (página 58) Unidad 3 Comunicación matemática
6.
1. Las magnitudes precio y área son DP
12 = 17 11 520 x x = 16 320
DP Área Precio (36)2 81 (64)2 x
2 x = 64 .281 36
n.° obreros 8 5 1
Clave E
IP
▪▪
Clave B
7.
` x = 256
2. Del gráfico:
` Podrán colocar 16 320 ladrillos.
8.
▪▪ Análogamente: 8 15 y 20
12 = x 182 272 ` x = 27 días Clave D
4
8.15 = y . 20 & y = 6
9. Sea x el n.° h/d que trabajó el albañil.
Nos piden: x + y = 24 + 6 = 30
Clave E
3. Sabemos que la longitud de la sombra es DP a la longitud de la estaca, luego:
DP Longitud estaca 2 3,5
Entonces: 2(x + 12) = 3,5(x + 3) 2x + 24 = 3,5x + 10,5 13,5 = 1,5x & x = 9 m
Con la información II: Sombra Poste 2x + 4 7 m
15x = 20x - 60 60 = 5x & x = 12
Clave C
10. 7 días
11 días (x - 4) h/d
x h/d
IP
7x = 11(x - 4) Clave A
& x = 11 Piden: x - 4 = 11 - 4 = 7 h/d
4. Analizando las informaciones brindadas.
Con la información I: Sombra Poste x m 3 m
15 . x = 20(x - 3)
Piden: x - 3 = 12 - 3 = 9
Longitud sombra x+3 x + 12
Razonamiento y demostración
Clave B
Nivel 2 (página 58) Unidad 3
... (1)
Comunicación matemática 11. Longitud trayectoria 1: 32 km
... (2)
Longitud trayectoria 2: 24 km
El tamaño del poste y la longitud de la sombra son DP. De (1) y (2): DP Sombra x 2x + 4
Luego: n.° días 10 x
Poste 3 7
Luego: 7x = 3(2x + 4) 7x = 6x + 12 & x = 12
Entonces: 1 1 3
Por lo tanto, es necesario utilizar ambas informaciones. 5.
n.° días 12 4
Clave E
5x = 8 . 15 & x = 24
3
n.° hombres 3 3 + x
3 . 12 = 4(3 + x) 9=3+x & x=6
n.° días 15 x
3
IP
Clave C
2
h/d 4 6
Obra 32 24
1 4
10 . 4 . 24 = x . 6 . 32 10 = 2x & x = 5 días Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
37
12.
Volumen 2 8 . 3 3n d 4
Tiempo
x = 80 Lo comerá en 80 horas.
6
3
x=
Resolución de problemas 15. 5 2 = x 2 π (2) π (8)
DP
Clave B
x
_2 3 i
6. _23 .3 3 i & x = 8 horas 18 3
16.
Personas
Días
Vol.
75
20
p .8 .12
60
2
Razonamiento y demostración
50
13. Analizando las informaciones brindadas.
n.° minutos 3 4
75.20 = 60.50 π . 82 .12 π . x2 .6
n.° plátanos x 8
` x = 16 m Clave C
Luego: 9 . 3 . 8 = 6. 4 . x & x = 9
17. n.°op.
48 96
Con la información II: n.° monos 9 3
n.° minutos 3 3
n.° plátanos x 3
IP n.° obreros x + 15 x
x = 15 . 5 & x = 75
18.
n.° días 3 12
(n.° cocinas) (n.° días) =k n.° galones Luego: 5 . 5 = 1. 5 5 x ` x = 1
4
(x + 15) . 3 = x . 12 x + 15 = 4x 15 = 3x & x = 5 I. V
IP
h/d n.°días 8 90 12 x IP DP
Clave A
14. Del enunciado:
n.°ternos 235 1175
48 . 90 . 8 . 1 = 96 . x . 12 . 2 235 1175
Clave D
1
Efic. 1 2
IP
Luego: 9.3.3=3.3.x & x=9 Por lo tanto, cada una de las afirmaciones por separado es suficiente.
Luego:
p.x . 6
Luego:
Con la información I: n.° monos 9 6
2
Clave B
19. Sea:
n.° obreros 20 4
Luego: 20 . 3 = 4 . x & x = 15 días II. F
n.° obreros 20 3 20 . 3 . 2 = 3 . y . 1 & y = 40 días III. F
x: n.° hombres que se quedan en América. Del enunciado, tenemos:
n.° días 3 x
IP n.° hombres 240 240 - x
n.° días 3 y
n.° obreros Eficiencia 20 1 10 2 20 . 1 . 3 . 1 = 10 . 2 . z . 1 60 = 20z & z = 3 días
Dificultad 1 2
Luego: 240 . 2 = (240 - x) . 4 120 = 240 - x x = 120 Clave C
n.° días Obra 3 1 z 1
Nivel 3 (página 59) Unidad 3 Comunicación matemática 20. Del gráfico, se obtiene:
Área 1.a obra = 52 m2
Clave E
38 Intelectum 4.°
tiempo 2 4
Área 2.a obra = 20 m2
Luego:
1
n.° obreros 13 4 5
1
n.° días 8 x
Obra 52 m2 20 m2
& 5 . 42 = 35 . w ` w = 6 días
23. Sean: Eficiencia de un hombre: A = 4C
4
13 . 8 . 20 = 4 . x . 52 & x = 10 días
I. F
Clave B
21. Del cuadro, analizando la 1.a y 2.a fila:
n.° obreros
n.° días
h/d
Eficiencia
18
24
8
60%
x
32
9
48%
2
1
1
4
1
II. V
18 . 24 . 8 . 60% = x . 32 . 9 . 48% 120 = 8x & x = 15 Análogamente, resolviendo la 3.a y 4.a fila, se obtiene: y = 54 / z = 6 ` x + y + z = 15 + 54 + 6 = 75 Clave C
IP
III. V n.° días x2 + 5x + 6 5 (x + 3)
5(x2 + 5x + 6) = 6 . 5 . (x + 3) x2 + 5x + 6 = 6x + 18 x2 - x - 12 = 0 -4 x x 3 & x=4 Además, de (I) y (II): 0
Resolución de problemas 3 mesas <> 5 sillas 1 mesa <> 5 sillas 3 n.° días 42 y
& 5 . 42 = 7 . y ` y = 30 días
300 6 = = 300 5 120 5 + x 200 + x c m 3 6x = 300
n.° ovejas 5 mn(3) = 3
n.° días 42 z
& 5 . 42 = 3 . z ` z = 70 días
III. F
Luego: 30 . 6 = 20 . 15 150 sillas 120 mesas + x sillas
1200 + 6x = 1500
II. V nn(m) = 11(2) = 3
n.° personas n.° h/d n.° días obra dificultad 7(4C) 8 21 1 1 1(4C) 8 1(2C) 6 z 1 1/2 3(C) 4
24. 90 mesas <> 150 sillas
I. F mn(3) = 21(3) = 7
n.° h/d n.° días obra 8 21 1 7 4 y 1 2
7(4C)8 . 21 . 1/2 = (1(4C)8 + 1(2C)6 + 3(C)4)z . 1 . 1 2352 = 56 . z & z = 42 días
2
n.° ovejas 5 mn(3) = 7
n.° personas 7(4C) 2(4C) 3(2C) 2(C)
Luego: 7(4C) . 8 . 21 . 1 = (2(4C)7 + 3(2C)4 + 2(C)2)y . 1
Luego:
1
n.° h/d n.° días obra 8 21 1 6 5 x 1 2
4704 = 84 . y & y = 56 días
Razonamiento y demostración
n.° ovejas 5 6
n.° personas 7(4C) 3(4C) 2(2C) 3(C)
Luego. 7(4C) . 8 . 21 . 1 = (3(4C)6 + 2(2C)5 + 3(C)2)x . 1 4704C = 98C . x & x = 48 días
2
22. Del enunciado:
Eficiencia de una mujer: B = 2C Eficiencia de un niño: C
n.° ovejas 5 CA(65) = 35
n.° días 42 w
` x = 50 Clave A
25.
8d
22d
8k
22k
Del enunciado, se debe entregar 12 días antes.
10d
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
39
29. Sean: a: eficiencia de Lalo
(15 + x) . 10 . 11 & 15 . 30 . 10 = 30k 22k 15 + x = 30
` x = 15 Clave B
26. Ac. de Pescado
1 8 5
1 5 8 = 5 120 + x
Mezcla
(120 + x) L
Clave C
Obreros 30 18
Obra 250p 110p
Días 30 x
Tiempo
Obra
a
5
(m + 6)c
b
3
m.c
a+b
3
10 . c
Luego: ▪▪ a . 5 . mc = b . 3 . (m + 6)c a = 3 (m + 6) ...(1) b 5m
10b = am + mb b(10 - m) = am 10 - m = a m b
` x = 22 días Clave A
Eficiencia
▪▪ b . 10c = (a + b)mc
30 . 30 = x . 18 250 110
28.
Del enunciado:
5L
120 + x = 200 ` x = 80 L 27.
b: eficiencia de Aldo c: longitud de la base
Igualando (1) y (2): 3 (m + 6) = 10 - m m 5m 3m + 18 = 50 - 5m 8m = 32 m = 4
1,2 m3 x 25 fam. 40 fam. 150 días 200 días
150 . 25 . 1,2 = x . 40 . 200
Reemplazando m = 4 en (2):
9 =x 16 3 1,2 - 9 = 51m 80 16 51 m3 . 1000 l = 637,5 l 80 1 m3
10 - 4 = a 4 b 6 =a &a =3 4 b b 2
Clave D
40 Intelectum 4.°
...(2)
Clave C
TANTO POR CIENTO PRACTIQUEMOS
Resolución de problemas x 6. . 7200 = 360 100 S
Nivel 1 (página 63) Unidad 3 Comunicación matemática
n.° bolitas verdes = 2 n.° bolitas rojas = 3
72x = 360 x% = 5%
total de bolitas = 8
Clave D
A) Porcentaje = c 3 m 100% = 37,5% 8
7. 99% . 2400 + 15% . 400
Clave B
8. Por dato:
& x = 4 bolitas
Pc = S/.34 Ganancia = 10% Pc + 15% Pv
3. El porcentaje de suministro es:
Sabemos: Pv = Pc + ganancia Pv = Pc + 10% Pc + 15 % Pv 85% Pv = 110% Pc Pv = 22 # Pc = 22 # (34) 17 17 ` Pv = S/.44
26% gasto total = 312 gasto total = S/.1200 I. Luz = 5,6%(1200) = S/.67,2 II. Porcentaje de gastos en suministros es 26%
9. x . 15% = 750
4. I. F
▪▪
3 = 3 100% = 300% = 75% ! 25% ( F ) 4 4 4
Clave E
28%7 + 28%18 = 28%25 = 7
(V)
= 28 Ç 25%
= 25%28 ▪▪ 20%80%25 = c 20 mc 80 m 25 = 4 100 100
Clave A
(V)
= M & M = 4c 4
M = 4n Reemplazando (2) y (3) en (1): 5m + 4n = 36 (4 + 1)m + 4° = 4°
m = 4° . 0 4 & V = 20 / M = 16 8 h Varones que no usan lentes = 80%20 = 16 Por lo tanto, 16 varones no usan lentes.
15. Para que su efectividad aumente, ya no debe
seguir fallando, entonces:
Tiros fallados: 9 Anotaciones: 1 + x c 9 m .100% = 75% 10 + x 12 = 10 + x ` x = 2
Pf descuento La parte sombreada es 1 = 50% del total. 2
III. F Descuento único = c20 + 10 - 20 # 10 m % 100 = (30 - 2)% = 28% ! 30% Clave C
...(3)
Resolución de problemas
11.
& ganancia = descuento
...(2)
Clave C
Comunicación matemática
Pv
Nivel 2 (página 63) Unidad 3
Si existe pérdida: Pv = Pc - perdida < Pc & Pv < Pc
ganancia
` a + b = 1200
(V)
5. I. F
II. V Pc
I. 20% . a = 180 20 . a = 180 & a = 900 100
II. 24% . b = 72 24 . b = 72 & b = 300 100
▪▪ 28%25 = 28 Ç 25 = 28 Ç 25 100 100
V=5m
Mujeres usan falda = 25%M = 25 M 100
10.
▪▪ 7%13 + 7%15 + 28%18 7%28 + 28%18
V + M = 36 ...(1) Del dato I: Varones usan lentes = 20%V = 20 V 100 = V & V = 5c 5 Del dato II:
x . 15 = 750 100 ` x = 5000
Razonamiento y demostración
I. V II. F III. V 120 + x%120 = 160 x%120 = 40 x% = 1 = 1 (100%) 3 3 & x% = 33, 3| %
14. Del enunciado:
Clave A
III. El gasto mensual es S/.1200
En la tienda B: Pv2 = PF - 20%PF = 80%(200)
Clave A
100% - (60 + 2,4 + 5,6 + 6)% = 26%
Descuento único = c25 + 20 - 25.20 m % = 40% 100 Pv1= PF - 40%PF = 60%(200) Pv1 = S/.120
Pv2 = S/.160
99 . 2400 + 15 . 400 100 100 99 . 24 + 60 2376 + 60 = 2436
B) Porcentaje = c 2 m 100% = 25% 8 C) 2 + x = 50%(8 + x) 2 + x = 1 (8 + x) 2 4 + 2x = 8 + x
13. En la tienda A:
Tanto por rciento
1. 2. n.° bolitas azules = 3
Razonamiento y demostración
Clave D
12.
Clave B
16. • Pv1 = Pc + 8%Pc
G1 = 8%Pc
Pv1 = 108%Pc • Pv2 = Pc + 8%Pv1 G2 = 8%Pv1 108%Pc
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
41
Dato: G2 - G1 = 8 108% . Pc . 8% - 8% . Pc = 8 ` Pc = 1250
Luego: 15 - x + x + 20 - x = 28 35 - x = 28 & x=7 Porcentaje = c 7 m 100% = 25% 28
Clave A
17. Sea 5N el salario del obrero:
20%(5N) = N 50%(4N) = 2N
22.
Restante = 2N = S/. 300 & N = S/. 150 Aumento = 12% N + 15% 2N + 20% 2N = 82% N = 82% (150) = S/. 123
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Nuevo sueldo = 5N + 123 = 5(150) +123 Nuevo sueldo = S/. 873 Clave A
18. Total = 10N
4N.6%
3N.2%
Pv1 & G1 = -24%k Pv2 & G2 = 6%N -24%N + 6%N + G3 = 9%10N . 108%N 3N(36%)
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Razonamiento y demostración
Pc
español (120)
Del enunciado: Pérdida = P = 60%(Pv2 - Pc) Pc – Pv1 = 3 (90% pF - Pc) 5 Pc – 60%PF = 54% PF - 3 Pc 5 8 Pc = 114% P ` Pc = 71,25% P F F 5
francés (45)
PF
Pv2 Ganancia
23. Sea x el n.° personas que no hablan francés ni español.
Del enunciado:
Descuento 40% PF
Pérdida
20.
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
Clave B
Clave C
Pv1
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
Hay 24 números primos en la tabla que contiene en total 100 números. Porcentaje = c 24 m 100% = 24% 100
` Debe ganar el 36%.
19.
Clave C
x
Descuento 10% PF
150
Dato I: 96 solo hablan es pañol. español (120)
francés (45)
96
Clave C
x
PF = 190%Pc
150
Pv = 75%80%PF Pc + G = 3 $ 4 190%Pc = 114% Pc 4 5 & G = 14% Pc
Luego: 96 + 45 + x = 150 141 + x = 150 & x = 9
` Gana el 14%.
Por lo tanto, el dato I es suficiente. Clave A
Nivel 3 (página 64) Unidad 3
Dato II: 20%(120) = 24 español (120)
Comunicación matemática 21. 2014 no es año bisiesto, entonces febrero tiene 28 días.
96
francés (45)
24
21
x
Febrero 2014 R (20)
J (15)
15 - x
x
150
20 - x 28
Luego: 96 + 24 + 21 + x = 150 149 + x = 150 & x = 9 Por lo tanto, el dato II es suficiente. Clave D
42 Intelectum 4.°
24. Se tiene.
I. V
PvA = 130%PcA = 26 & PcA = S/.20
A = cte. B C
Reemplazando PcA = S/.20 en (1): PcB = S/.40
A = A' B C 60%B 121%C
Para el artículo B: PvB = PcB + 40%PcB PvB = 140%PcB & PvB = 140%(40) = S/.56
A = A' B C B C 60% 11 10 66%A = A' Por lo tanto, A disminuye en 34%. II. V
Luego: (2k)26 + (3k)56 = 3520 220k = 3520 k = 16 ` n.° A = 32 / n.° B = 48
bc abc = 90%90 C 50%1 C + 300%C abc = bc 1 4C 81 C 2
27. V1 = 1000 u3 ...A1
V2 = 51,2%1000 = 512 u3 ...A2 2 3 1000 = A1 = 100 36 & 2 3 A2 64 512
abc = bc 81 C C abc = 81 . bc 100a + bc = 81 . bc 100a = 80 . bc 5a = 4 . bc & a = 4c . 4 8 Luego: a = 8; b = 1 / c = 0 Entonces: bc%ac = 10%80 =8 III. V
& 36 . 100% = 36% 100
Del enunciado: Primero: n + 10%n = 110%n Luego: 110%n - 80%(110%n) = 22%n Finalmente: 22%n - 70%(22%n) = 6,6%n = 66 & n = S/.1000 Entonces perdió: n - 6,6%n = 93,4%n = 93,4%(1000) = S/.934 Clave A
5 = A 1 B 4 B 2 5 10 = A & A = 8 4 5
29. Sea:
Clave C
Resolución de problemas 25.
P: precio de la camisa. D: dinero que tengo. DU = c20 + 25 - 20 . 25 m % & DU = 40% 100 Luego: D = P . n = (n + 6)(P - 40%P) P . n = (n + 6)60%P 5n = n + 6 & n = 9 3
...
D = P . n = x(P - 10%P) P . 9 = x . 90%P ` x = 10
b círculos
...
Clave A
a círculos
n.° círculos = ab & Área = p . r2 . ab A = = (2ra)(2rb) = 4r2ab
30. PF: precio de fábrica
Para el mayorista: Pv1 = PF + 20%PF Pv1 = 120%PF
2 & πr2 ab # 100% = 25π% 4r ab
Clave A
26. n.° A = 2k
n.° B
3k
;
Clave D
28. Sea n la cantidad inicial de dinero.
20%25 = A B. 25%B B 64%B
Clave B
Pc A 1 = PcB 2
Sabemos: Pv = Pc + G Para el artículo A: PvA = PcA + 30%PcA
...(1)
Para el distribuidor: Pv2 = 120%PF + 15%(120%PF) precio al por mayor Pv2 = 138%PF Para la tienda: Pv3 = 138%PF - 10%(138%PF) Pv3 = 124,2%PF ` El precio de fábrica se elevó en 24,2%. Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
43
MEZCLA PRACTIQUEMOS
x (0, 6) + 15 . (0, 84) & x = 21 x + 15
10. 0, 7 =
Nivel 1 (página 68) Unidad 3
Será necesario 21 kg de un lingote con ley 0,6.
Comunicación matemática 1.
Clave A
2. Del gráfico:
Ctotal = 1 + 4 + 5 + 2 + 6 + m 26 = 18 + m & m = 8 Además: 1 # 6 + 4 # 3, 5 + 5 # 2, 4 + 2 # 4 + 6 # 3 + 8 # 2, 5 Pm = 26 n = 78 & n = 3 26 Nos piden: m + n = 8 + 3 = 11
Nivel 2 (página 68) Unidad 3 Comunicación matemática 11. 12. Pm = 1 # 1 + 2 # 4 + 3 # 9 + 4 # 16 + ... + 8 # 64
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 8
3
Clave B
3.
24 & a = 5; b = 8 / c = 3 I. V II. F CA (ca) = CA(35) = 65 III. V 0, 583| .W + 1.W = 0, 7916| 2W
Razonamiento y demostración 13. I. V
18 K.72 + 24 K.36 = 20 K 72 + 36 II. V
Ley = 18 = 0, 75 24
Resolución de problemas Cant. 5 x 5+x
Leyaleación =
Grado 80 0 25
Clave B
7. Alcohol = x(mezcla)
80 . 60° = x(80 + 40) 40° = x & 100y + 120 . 40 = 60(y + 120) y = 60 Se debe agregar 60 L. Clave B
2 kg 2 kg 0,9 0,875 0,95 ^x + 2h 0, 95 + ^0, 9h 2 + 2^0, 875h = 0, 925 x+6
8. x+2 kg
` x = 4 kg
5a + 3a + n.a 80%
14. ab + c = 1
17 mn & mn = 17 m = 1 / n = 7 ab + c = 17 & a = 1 b + c = 7 I. V II. V III. F
Como c es una fracción irreductible, entonces: 0 < c 17 17 c 7 b 7 8 = Liga = # < 17 17 17 17 ` 0 < Liga < 8 17 Resolución de problemas
Clave D
48%
0, 75 # 72 + 0 # 3 = 0, 720 72 + 3
III. V 0,2 # Ley # 0,3 0,2 # 1 - Liga # 0,3 Luego: 0,2 # 1 - Liga / 1 - Liga # 0,3 Liga # 0,8 0,7 # Liga & 0,7 # Liga # 0,8
25 = 5 . 80 + 0 . x 5+x 5 + x = 16 x = 11 ` Se necesitan 11 L de agua.
9.
3 3 Pm = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 8 8.9 2
8.9 2 m 2 = 8.9 & Pm = S/.36 Pm = 8.9 2 2
Razonamiento y demostración
Alcohol Agua Mezcla
3
c
4. F, F, V, F ! ! 5. 0, abc = 14 = 0, 583
6.
3
0%
y = Pm = N = 5x + 40 # 4 ...(1) x + 40
(n + 8) a 48%
Como se extraen 20 litros y se reemplazan por 20 litros de vino de S/.3,6 el litro, entonces:
5a.48 + 3a.80 + n.a.0 = (n + 8)a.48 5. 48 + 3 .80 + n(0) = (n + 8) . 48 `n=2 Clave B
44 Intelectum 4.°
15. En la primera mezcla se tiene:
4,4 =
^x + 20h y + 20 # 3, 6
x + 40
Despejando y: y=
4, 4x + 104 x + 20
Luego: 15 = 1 5 60 + x
...(2)
Reemplazando (2) en (1): 4, 4x + 104 5x + 160 = x + 20 x + 40 4,4x 2 + 104x + 176x + 4160 = 5x 2 + 160x + 100x + 3200 0 = 0,6x2 – 20x – 960 0 = 6x2 – 200x – 9600 – 60 x 6x +160 & x = 60
60 + x = 75 ` x = 15 Clave B
Nivel 3 (página 69) Unidad 3 Comunicación matemática 21. V1: volumen de cilindro
V2: volumen del cono pequeño h R
Clave C
16.
Mezcla 6V
1.°
2.°
5V 66°
1V
h R R
Del gráfico: 2 V = πR .h / V1 = pR2 . h 3 2 3V2 Entonces: 77°.V2 + 57°.V1 Gm = V1 + V2
56°
% % G = 56 . V + 66 . 5V = 64° (Aprox.) 6V Clave D
17.
20° S/.18 a
Precio / Litro Volumen
15° S/.13 b
2R
Gm =
19° Pm a+b
77°.V2 + 57°.3V2 248°V2 = 4V2 3V2 + V2
Gm = 62°
20a + 15b = 19 a+b
Clave C
22. Sean:
V1: volumen del cono V2: volumen del cilindro menos el cono
20a + 15b = 19a + 19b a = 4b Pm = 18a + 13b = 85b = 17 5b a+b
3m
Pv = Pc + g = Pm + 50%Pm Pv = 150%Pm = 150%(17)
6m
` Pv = S/.25,5
2r
Clave A
r
r
Luego: 2 V1 = π.r .6 & V1 = 2pr2 3 V2 = p(2r)2 . 9 - 2pr2 = 34pr2
18. Sea el volumen inicial: V.
V = 12k 84° . 5k + 72° . k + 48° . 2k + 60° . 4k = 69° 12k Luego: 69%180 .100% = 60% c m x + 180
Entonces: 48° (34πr2) + 84° (2πr2) Gm = 34πr2 + 2πr2 2 Gm = 1800°π2r & Gm = 50° 36πr
` x = 27 L Clave D
19. Del primero se ha de añadir 40 L ya que del segundo solo se toma 10 L.
x=
40 . 3 + 10 . (2, 1) = 2, 82 . 50 Clave A
H2O
V1 60 L 15 L
4 (a3) + 7 (ab) = 6m 4+7 Como: 6m está entre a3 y ab & a = 6 Reemplazando a = 6: 4(63) + 7(6b) = 11 . 6m
20. Se preparó:
Vino
Razonamiento y demostración 23.
El precio del litro de la mezcla será S/.2,82.
Clave D
# x L de vino
12 + 7b = 11m . . 3 3 & ab = 63
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
45
27. Pv = Pc + G
I. V II. V III. V CD(36) = 9 . 22 . 32 IV. F 24.
10 = Pm + 10%(10) Pm = 9 Luego: 91 # 7 + 10x = 9 ` x = 182 kg 91 + x
28.
(b + 2) n + (b - 2) m b. n + 500 800 100 = n 600 b + (b + 2) + (b - 2) 1 bn + bn + n + bm - 2m = n.3b c m 100 5 8 4 600
I. F Si n = 2 / b = 3 2 (7 # 3 - 10) 2 # 11 = m = 40 40 (3 - 2) m = 0,55 " z
c 29.
II. V Si n = 5m, reemplazando en (1): 5m (7b - 10) m= 40 (b - 2)
15%
88 - 6n
Gm = 16 =
Clave A
15n Gm
204a
276a
160a
96a
24a
+
N
x L = H2O H 20
36 L
OH
Clave D
8°
+ 480 L & 2N +480 L
60°
100°
50°
Clave C
& n = 1 / Ley2 = 2 5 5
1 g de plata = $6 1 g de metal = $P 3+ P = 4 2 P = $2 Se tiene la nueva aleación: 4 $ 30 = 8 g plata 15 11 $ 30 = 22 g metal 15
10°
Luego: & 8 g + 22 g = 30 g
15 # 18n + 10^88 - 6nh 88 + 9n
46 Intelectum 4.°
88 L
` x = 20
140a
240a
18°
&n=8 ` 88 - 4n = 56 L
OH
OH
& 20. 1 + 10. 2 = 30.Lm & Lm = 4 5 5 15
Gm = 10 # 6 + 15 # 4 + 30 # 5 = 18% 15 # 100 15n
H2O
6L
OH
0, 910x + 0, 82 # 250 x + 250
30%
28 L
+
Ley2 + liga2 = 1 2n + 3n = 1 5n = 1
=
6n + 4n + 5n
H2O
Ley1 = 20% = 1 Ley2 = 2n 5
500 g + 450 g Ley = 1 Ley = n Ley = n + 0,02 50 + 450.n = n + 0,02 & n = 0,8 500
10%
60 L
30.
Resolución de problemas
26.
OH
8°(N) + 60°(N) + 100° . 480 = 50°(2N + 480) & N = 750 El volumen final será: 2(750) + 480 = 1980 L
15b - 30 = 14b - 20 b = 10
0,850x + 212,5 = 205 + 0,910x ` x = 125 g
H 2O
12 L
H2O 60a
8°
III. V Si m = 3 / n = 16, reemplazando en (1): 16 (7b - 10) 2 (7b - 10) = 3= 40 (b - 2) 5 (b - 2)
0,850 =
28 L
OH
36 m 100% = 25% x + 124
N
8(b - 2) = 7b - 10 8b - 16 = 7b - 10 b=6
Luego:
H2 O
40 L
Luego:
25. 50 g
60 L
30 L
13bn + n + m (b - 2) = bn 40 4 2 n (7b - 10) ...(1) m= 40 (b - 2)
Clave E
Clave D
$6 $2 x 8 Ç 6 + 22 Ç 2 = 30x ` x = $3,06
Clave B
INTERÉS
Nivel 1 (página 73) Unidad 3 Comunicación matemática 1.
2. ▪ I = C # r # t
100
Clave C
8. r = x% anual
t = 9 meses C = S/.20 000
C1 # r1 # 1 & C1 . r1 = 5400 100 ▪▪ Además: I2(t = 1) = I1(t = 3) C # r # 3 5400 # 3 = abc = 1 1 100 100 abc = 162 & a = 1; b = 6 y c = 2 ▪▪ Para t = 2: C #r #2 mnp = 2 2 = 162 # 2 = 324 100 & m = 3; n = 2 y p = 4 54 =
13. x2 - 9x + 20 = 0
x -5 x -4 & r = 5; t = 4 0 r = 4; t = 5 I= C#r#t 100
I+C=M 20 000 . x . 9 + 20 000 = 21 200 1200 x = 8 ` La tasa es 8% anual.
Clave D
9. M = 125 # I
100
r = 25%
& C+I = 5 #I & C = 1 #I 4 4 4C = C # t # 25 & t = 16 años 100
C = 60 000 t = 2 años, 3 meses y 6 días = 816 días
I. F II. F III. V
11. ▪ En el banco A:
II. V r% semestral <> 2r% anual I = C # 2r # t = C # r # t 100 50
r% = 20% anual <> 10% semestral M = 10 000(1 + 10%)4
M = 10 000(1,1)4 & M = S/.14 641
III. F r% bimestral <> 6r% anual I = C # 6r # t = C # r # t 36 000 1000
▪▪ En el banco B: r% = 20% anual M = 9000(1 + 20%)2 & M = S/.12 960
Resolución de problemas & t = 70 días r = 16% cuatrimestral 12 48% anual I = 240 000 # 48 # 70 ` I = S/.22 400 36 000
Clave D
II. V CD(ab) = CD(10) = 4 . 21 # 51
I. F M = (1 + r%)n C n M = 1 + r% & r% = C
& n=
Resolución de problemas
M = 3600(1 + 25%)6 M = S/.13 732 12. En la 1.a fila:
I = 300 # 10 # 2 & I = S/.60 100 M = 300 + 60 & M = S/.360
M -1 C
log c M m C log (1 + r%)
r% = 75% anual <> 25% cuatrimestral 2 años <> 6 cuatrimestres
n
II. F M = (1 + r%)n C log c M m = nlog(1 + r%) C
III. V M = C(1 + r%)n = C + I C[(1 + r%)n - 1] = I
▪▪ En el banco C:
6. C = 240 000; t = 2 meses y 10 días
r = 48% anual M = 2C
Clave B
Comunicación matemática
5. I. V
5(2a) = ab5 100 + 5a = 100a + 10b + 5 95 = 95a + 10b . . 1 0 I. F a + b = 1
14. M = C(1 + r%)n
Nivel 2 (página 73) Unidad 3
M=C+I & I=M-C
2a = ab5 # 4 # 5 100
III. F M = C + I = 105 + 21 = S/.126
r = 6% anual I+C=M 60 000 # 6 # 816 + 60 000 = M 36 000 ` M = $68 160
Razonamiento y demostración
7. I = ?
Clave D
10. M = ?
Clave B
En la 3.a fila: C = M - I = 200 - 40 & C = S/.160 I = 160 # 5 # t 100 40 = 800 # t & t = 5 100 Razonamiento y demostración
M = S/.21 200
3. ▪ Para t = 1:
4.
I = M - C = 100 - 80 & I = S/.20 I = 80 # r # 4 100 20 = 320r & r = 6,25% 100
t = 25 meses ` t = 2 años y 1 mes
90 = 100 # r # 3 & r = 30 100 ▪▪ I1 = 100 # 30 # 1 & I1 = S/.30 100 100 30 # t # ▪▪ I3 = 100 180 = 30t & t = 6 ▪▪ M = C + I1 + I2 + I3 M = 100 + 30 + 90 + 180 M = S/.400
Nos piden: a+b+c = 1+6+2 = 9 = 3 p+n-m 4+2-3 3
En la 2.º fila:
Hallamos el tiempo: I+C=M C # 48 # t + C = 2C 1200 t +1=2 25
PRACTIQUEMOS
15. M1 = C(1 + r%8) = 4650
M2 = C(1 + r%20) = 4875 & 1 + r%8 = 62 1 + r%20 65 ` r% = 300 % mensual <> 5% anual 720
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave B
47
16. Capital: 6k
C1 = 3k r1 = 6% anual t = 1 año
Comunicación matemática
C2 = 2k r2 = 5% anual t = 1 año
21. r% = 80% anual <> 40% semestral
S/.80
6 meses C = S/.200
I1 + I2 + I3 = 320 3k . 6 . 1 + 2k . 5 . 1 + k . 4 . 1 = 320 100 100 100
` C = 6(1000) = S/.6000
8 . k = 320 25 k = 1000 Clave C
17. Sea C: 500k
2.º año: C2 = 600k / I2 = 240k
3.er año: C3 = 720k / I3 = 288k
Por dato: C3 + I3 = 100 800
S/.156,8
6 meses
6 meses
S/.280
S/.392
S/.548,8
Del gráfico: I = 100.r.1 = 144 - 100 & 44 = r 100 100.44. (y - 1) ▪▪ 1x8 - 144 = 100 ▪▪
108 + 10x - 144 = 44(y - 1)
10x + 8 = 44y
5x + 4 = 22y . . 8 2 100.44. (z - y) 100
Clave E
18. I1 = C1 .3% 6
Clave C
Razonamiento y demostración Sabemos: I = C.r.t 100 3
Clave D
19. C = 160 000
M = (1 + 5%)4 . C + (1 + 5%)2 . C + C ` M = S/.530 881
20. I1 = C. 5% . 4
I2 = (1 + r%)4 . C - C
Luego: [(1 + r%) C - C] - (20%C) = 546 C 625 4 1296 (1 + r%) = 625 ` r = 20
I. Si r = 2, entonces k = 5. Luego: C = r . k3 = 2 . 53 & C = S/.250 II. Si k = 5, entonces r = 2. Luego: C = 2 . 53 & C = S/.250 Cada uno de los datos por separado es suficiente.
C
- 4000
C
+ 800
M1 = C1 + C1(7,3%)11 = 1,803C1 M1 = 1803(abc) M2 = C2 + C2(8,2%)11 = 1,902C2 M2 = 1902(xyz) Por dato: M1 = M2 1803(abc) = 1902(xyz) abc = 634 xyz 601
24. Sabemos:
I = C.r.t ... (I) 36 000
Se deduce:
Del enunciado:
abc = 634 / xyz = 601
b0(a) & b < a aC2(6) & a < 6
Clave B
& C2 - 3200C - 3 200 000 = 0
26. C1 = abc . 103 / C2 = xyz . 103
Piden: a + b + c + x + y + z
c02(b) & c < b
4
(C + 1000)3200 = C2
Clave E 2 2
Clave D Clave E
I = 40(5) = 20 r% = 302(4) = 50% M = 532(6) = 200
... (2)
` C = S/.4000
r k = 100 rk2 = rk .r.rk & 100 rk = 10
Por dato: 13n = 26 000 & n = 2000 ` 6n = S/.12 000
= 5 C 16
... (1)
Reemplazando t de (1) en (2): ^C + 1000h 20 000 = 5 C . 16 20 C
23. r; t = rk, I = rk2, C = rk3
I2 = C2 .12% 2 Iguales anualmente I3 = C3 .1% 12 C1 = 4n 18C1 = 24C2 = 12C3 C2 = 3n C3 = 6n
Resolución de problemas 25. Sea C el capital inicial.
20
22m = 44z . . 0 5 Nos piden: x + y + z = 8 + 2 + 5 = 15
Entonces: C = 500(100) ` C = S/.50 000
I. F m + n = 8 + 0 = 8 = 2c II. F CD(ab) = CD(54) = 2 . 4 = 8 . 21 # 33 III. V MCD(580; 43; 2014) = 1
^C + 1000h . t
32m - 100 = 44z
k = 100
& mn = 80 & m = 8 / n = 0
C . 5 . t = 1000 & C.t = 20 000 100 I2 = 5 C (dato) 16 ^C + I1h . 5 . t = 5 C 100 16
32m - 188 = 44(z - 2)
1008k = 100 800
20 = 180.50.mn 36 000
I1 = S/.1000 (dato)
10x - 36 = 44y - 44
▪▪ 32m - 1x8 =
M3 = 100 800
S/.112
22. C = S/.100
1.er año: C1 = 500k / I1 = 200k
48 Intelectum 4.°
Reemplazando en (I).
Completando, se obtiene:
C3 = 1k r3 = 4% anual t = 1 año ITotal = 320
Luego: C = 200 - 20 = 180
Nivel 3 (página 74) Unidad 3
0 < 3c = c < b < a < 6 . . . 3 4 5
6 + 3 + 4 + 6 + 0 + 1 = 20 Clave A
27. C = 5x & Pguitarra = 10x
PF = 120%(10x) = 12x
PF = M1 + M2
12x = C + C(2,5%)10 + (115 + 115 . 15% . 1)
24a = 7200 2
12x = 125%5x + 115%115
a = 300 2 ` 12a - 5a = 7a = 2100 2
& x = 23 ` PF = 12(23) = S/.276 Clave A
28. C = 175 200
Clave B
2.
A 4n
Icomún = 175 200 . 30% . t 365 Icomer. = 175 200 . 30% (7) 12
N B 14n
C 21n
21n = 189
Icomún - Icomer. = 300
n = 9
175 200 . 30% c t - 7 m = 300 365 12
& 39n= 351
Resolviendo: t = 215 días
Por lo tanto, se repartió: S/. 351 Clave E
Luego: E 31
F 28
M 31
A 30
My 30 31
150 días
... ...
3. C1 = 43n
D 31
C1 = 56n
215
G1 G = 2 =k 43 56
Entonces debe imponerse en mayo. Clave A
56k - 43k = 13k = 390 . k = 30
29. 5% mensual 12 10% bimestral
Sea la cantidad del préstamo: C
` 99k = 2970
En el primer bimestre: M = 110%C Paga = 1430
Queda: 110%C - 1430
4.
En el siguiente bimestre:
(110%C - 1430)(1 + 10%)1 = 363 110%C = 1760
` x = 18
` C = S/.1600
Clave B
12 5 I2 = C2 . % . 5 12
(n.° obreros) (n.° horas) =k obra 15 . 24 . 1 = 30. x . 2 1 3 4 4
110%C - 1430 = 330
30. I1 = C1 . 8% . 9
5.
12 días
36 días
N
3N
200 pers.
C1 + C1 . 8% . 9 + C2 + C2 . 5% . 5 = 1800 12 12
` 36 - 30 = 6 días
Clave A
MARATÓN Matemática (página 75) 1. Se va a repartir 7200 2 .
5 2 & 5a
7200 2
7 2 & 7a
12 2 & 12a
t días 240 pers.
200.12 = 240.t & t = 30 N 3N
Resolvemos: ` C1 = S/.450
Clave E
Son iguales por dato
& 72C1 = 25C2
Clave B
Clave C
6.
20 días cte 6 h/d 24 costureras 6 eficiencia 300 pantalones 2 costuras
20 días 9 h/d x 8 200 3
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
49
300.2 = 200.3 6.24.6 9.x.8
Luego: c 80 - 4a m .100% = 60% 100 a=5
` x = 12 costureras
Entonces se extrae: 5a = 5(5) = 25 L
Clave A
Clave D
7.
Descuento 40% Pf
10.
H2O Pv1
Pc Pérdida
Pv2 Ganancia
OH
PF Descuento 10% PF
N
Pm = 300a . 15 + 200a . 20 = 17 300a + 200a ` Pm = S/.17 Clave C
11.
60°
5N
10 L ...(2)
9. Se extrae (5a) y se reemplaza por H2O:
# (5a) de H2O
20 - a
&
P2
30 L S/.80
P. (6 + 6) = 80(30)
... (3)
50 Intelectum 4.°
P = 200
Tomando como base un litro en cada mezcla: P1 = 60%1 . (200) = 120
P2 = 30%1 . (200) = 60 Entonces: Pm = 120V + 60V 2V Clave E
H2O
20 L
P. VOH = 80(30)
` PF = 130%50 . 5 = S/.325
80 - 4a
+
P1
Reemplazando (3) en (2): 50N + 6N = 280 56N = 280 N = 5 & Pc = S/.250 Reemplazando en (1):
OH
30°
El precio por litro de alcohol será: P
30%Pc = 15N Pc = 50N
55°
2m = 3k
... (1)
Pv = Pc + GN = 280 PF = Pv + 9N Pc + GB
55k
& k = 2a / m = 3a
GB = GN + gasto & Descuento = 9N 6N
OH
30m 30°
V2 45k
10m = 15k
Clave C
H2O
100m + 100k = 5 2 30m + 55k
Del enunciado: Pérdida = P = 60%(Pv2 - Pc) Pc – Pv1 = 3 (90% PF - Pc) 5 Pc – 60%PF = 54% PF - 3 Pc 5 8 Pc = 114% P F 5 ` Pc = 71,25% PF
8. PF = 130%Pc
V1 70m
` Pm = S/.90
Clave D
Unidad 4
Descuento
APLICAMOS LO APRENDIDO
3 600 000 = Vn . r … (2)
(página 78) Unidad 4 1. Dc = Vn . t . r 1200
Va = Vn - Dc
Reemplazando (2) en (1):
Va = 12 000 - 12 000 . 40 . 6 = 9600 1200
3 600 000 . 60 = Vn - 40 000 36 000 6000 = Vn - 40 000
Dc = 6200 . 4 . 9 1200
Del enunciado: Va1 = Vn2 - Dc1
` Vn = S/.46 000
Dc = S/.186 Clave C
7. Dr =
2. Dc = Vn . t . r
100
9600 = 2x - c x . 40.2 + x . 40 . 8 m 1200 1200 x 5 x 9600 = 2x - = 3 3 ` x = S/.5760
Vn . t . r 36 000 + t . r
Dr = 1 305 850 . 400 = 1 305 850 36 400 91
Dc = S/.6720
` Dr = S/.14 350
Clave A
3. Dc = Vn . t . r
Clave B Clave B
12. t VC = 15k. 3 + 10k . 8 + 14k . 5
Va
& tVC = 195k 39k
3
` tVC = 5 meses
& Vn = 7k / Va = 3k Va = Vn - Dc 3k = 7k - 580 & k = 145
Dc = 19 200 . 45 . 11 36 000 Dc = 264
Clave C
13. Va = Vn1 - Dc1
Piden: 2Vn - 3Va & 2Vn - 3Va = 2(7k) - 3(3k) = 5k ` 2Vn - 3Va = S/.725
Luego: Va = Vn - Dc & Va = 19 200 - 264 ` Va = S/.18 936
Va = 1500 - 1500 . 80 . 5 36 000 50 Va = 1500 = 4450 3 3
Clave B Clave B
4. Sabemos:
Si se paga en efectivo S/.1000 Dc2 = Vn2 - Va
9. t = 84 días r = 12% anual
Vn = Dc . Dr = 120 . 80 Dc - Dr 120 - 80
Vn2 . 30 . 5 = Vn2 - c 4450 - 1000 m 3 36 000
Vn = S/.72 000 20 de junio
` Vn = S/.240
Comisiones: 1%(72 000) = 720 Cambio de plazo: 2,5%(72 000) = 1800 Va = Vn - (Dc + comisiones + cambio de plazo) Va = 72 000 - (2016 + 720 + 1800) ` Va = S/.67 464
5. Por dato:
Vn = S/.1800; r% = 2% mensual Var = S/.1500 Como: Dr = Vn - Var & Var . r% . t = Vn - Var 1500 . 2% . t = 1800 - 1500 3000 t = 300 100 ` t = 10 meses
1450 = Vn - Vn2 2 3 240
12 sept.
Dc = 72 000 # 12% # 84 = 2016 360
Clave B
15k + 10k + 14k
8. Como: Vn = 7
36 000
Clave C
1450 = 239Vn2 3 240
` Vn2 = S/.485,35
Clave D
14. 60 días 6% Va1
10.
Va2 Va2 Va1
Clave E
Dc1 = S/.4500 Datos: Dc = Vn - Va Vn . r . 60 = Vn - 40 000 … (1) 36 000
36 días
Vn1 = S/.2000 Vn2 = S/.3000
6% 3 meses
37 600
2 meses
37 600
Va1 = 37 600 - 37 600 # 12% # 3 12 Va1 = 36 472 Va2 = 37 600 - 37 600 # 12% # 5 12 Va2 = 35 720 Lo que pagará al contado será: Va1 + Va2 = 36 472 + 35 720 = S/.72 192
6. Va = S/.40 000
Clave D
Luego:
4500 = Vn . r . 45 36 000
Va1 + Va2 = 2Vn2 - (Dc1 + Dc2)
Dr = 1 305 850 . 20 . 20 36 000 + 20 . 20
Dc = 42 000 . 2 . 8 100
Dc1 = Vn . r . 45 36 000
Va2 = Vn2 - Dc2
Clave C
11.
Va1 = Vn1 - Dc1 = 2000 - 2000 . 6 . 60 36 000 Va1 = 1980 Va2 = Vn1 - Dc2 = 3000 - 3000 . 6 . 36 36 000 Va2 = 2982 Comisión = 1% . 2000 + 1% 3000 = 50 Piden: Va1 + Va2 - comisión = 1980 + 2982 - 50 = S/.4912 Clave E
6 meses Va
Vn = S/.12 000
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
51
Dr = Var . r% . t Luego: 18 200 = Var . 52% . 5 12 & Var = S/.84 000 ` Vn = Var + Dr = S/.102 200
Nivel 1 (página 80) Unidad 4 Comunicación matemática 1. 2. El vencimiento contando 60 días a partir del 2
de febrero, será el 11 de abril. Pero al pagarse el 15 de febrero, hay un plazo de descuento de 47 días. La tasa de descuento es de 5% Dc = Vn . t . r = 500 # 47 # 5 = 3,26 36 000 36 000
16. Del enunciado: Clave D
10. 11. a) Dc = S/.9,33; Va = S/.1190,66
Razonamiento y demostración
Razonamiento y demostración
Podemos decir: Cada 100 descuenta r al año Vn . t descuenta Dc Formando la proporción: 100 Dc = Vn . t . r Dc = Vn . t . r 100 4. Aplicamos la fórmula:
Dc = Vn . t . r 100 950 . 2 . 8, 5 = 161.5 Dc = 100
12. El descuento racional es el interés del valor
efectivo, durante el tiempo, que falta para el vencimiento, a la tasa de descuento r. Decimos: Para 100 descuentan r al año Va . t descuentan Dr Formando la proporción:
Resolución de problemas
100 Dr = Va . t . r Dr = Va . t . r 100 (Vn - Dr) t . r Dr = 100
Dr =
Vn = S/.800; t = 3 meses 20% anual = 20 % mensual 12 Sabemos: Dc = Vn . r% . t Dc = 800 c 20% m . 3 12 ` Dc = S/.40
Vn . t . r (l. q. q. d.) (100 + t . r)
Vn = S/.1200; r = 5% mensual Var = S/.1000 Dr = Vn - Var = 1200 - 1000 Var . r% . t = 200 1000 . 5% . t = 200 ` t = 4 meses Clave D
8. Por dato:
Var = S/.840
Dc = 3 Vn 7
7k . r% . t = 3k & r% . t = 3 7 Como: Dr = Vn . r% . t 1 + r% . t Vn . 3 7 = 3Vn 900 = 10 3 1+ 7
15. Sabemos: Clave E
Va = Vn - Vn . 12% . 3 ...(I) Va + 960 = Vn - Vn . 12% . 2 ...(II)
Como: Dr = Vn - Var = 11k - 10k 10k . r%t = k & r% . t = 0,1 ... (1) Como: Dc = Vn . r%t = 11k . r%t ... (2)
Por lo tanto: El valor actual comercial es el 90% del valor nominal.
& Dc = 3k / Vn = 7k
Clave A
18. D1 + D2 = 810
Vn1 . 4%.50 Vn2 . 4%.70 + = 810 360 360
Clave A
Vn - Vac = 4%Vn 96%Vn = Vac = 3000 ` Vn = S/.3125
` Vn = S/.8730
Entonces: Vac = x%Vn 9,9k = x%11k & x% = 90%
` Vn = $3000
Vac = S/.3000 Dc = 4%Vn
Vn . 49 . 90 = 49 8100 . 97
Reemplazando (1) en (2): & Dc = 11k . 0,1 = 1,1k Luego: Vac = Vn - Dc = 11k - 1,1k Vac = 9,9k
14. Por dato:
7. Por dato:
& Var = 10k / Vn = 11k
Resolución de problemas
Clave A
Vn . 49 8100 = 49 97 90
Var = 10 Vn 11
Var = 998 - 158
` Vn = S/.3600
17. Por dato:
Dr = Vn . t . r = 998 . 5 . 4 = S/.158 100 + t . r 100 + 5 . 4
Vn = Dc . Dr = 400 . 360 Dc - Dr 400 - 360
Vn . c 35% . 80 m 360 = 49 35 1 + % . 80 360
Clave D
13. Utilizando la fórmula deducida:
Clave C
Vn (r%t) 2 = 49 1 + r%t
Dr = Vn . t . r - Dr . t . r 100 100 (100 + t . r) Vn . t . r Dr = 100 100
5. Por dato:
2
b) Dc = S/.8,25; Va = S/.1491,75 c) Dc = S/.15,50; Va = S/.2984,50
nominal durante el tiempo que falta para el vencimiento.
Dc - Dr = 49 Vn . r% . t - Vn . r% . t = 49 1 + r% . t
Nivel 2 (página 80) Unidad 4
El valor efectivo: Va = Vn - Dc Va = 500 - 3,26 = S/.496,74
52 Intelectum 4.°
Clave C
Comunicación matemática
3. El descuento comercial es el interés del valor
6.
Restando (II) - (I): 960 = Vn . 12% . 1 ` Vn = S/.8000
9. Sabemos:
PRACTIQUEMOS
Reduciendo: 5Vn1 + 7Vn2 = 729 000 …(I) Luego: D1' + D2' = 680 Vn1 . 4% . 40 Vn2 . 4% . 60 + = 680 360 360 Reduciendo: 2Vn1 + 3Vn2 = 306 000
…(II)
Resolviendo (I) / (II): Vn1 = S/.45 000 Vn2 = S/.72 000 Clave A
Vn . t . r (100 + t . r) - Vn . t . r (100) 100 . (100 + t . r)
d=
Vn . t . r (t.r) 100 + t . r 100
d = Dr . t . r equivalente a aplicarle interés al 100 descuento racional.
19. Dc = x + 1
Dr
d=
x
Por propiedad: Dc = (x + 1)m / Dr = xm Vn = Dc . Dr Dc - Dr
100
Dr = Vn . t . r = 900 . 1/6 . 6 = S/.8, 91 100 + t . r 100 + 1/6 . 6
Vn = (x + 1)xm ...(I)
d = Dc - Dr = S/.0, 09 = Dr . t . r = S/.0, 09 100
Por dato: Vac 126 ^x + 1h xm - ^x + 1h m = = Var 128 ^x + 1h xm - xm
(3k) 30 + (5k) 42 + (4k) 60 3k + 5k + 4k
Clave C
28. Por vencimiento común y tomando como base
tVC = 540 12
el 20 de julio.
` tVC = 45 días
Clave C
Clave E
Nivel 3 (página 81) Unidad 4 Comunicación matemática 20. A) Dr = S/.9,00 , Va = S/.7200,00
25.
3 meses
21. El descuento comercial se llama abusivo porque
Vn: k 2k 3k nk t1: 1 3 5 (2n - 1)
Clave A t = 84 días
22. Sea d la diferencia entre los descuentos:
r = 12% anual Vn = S/.72 000 20 de junio
Clave A
29. Por vencimiento común:
Entonces, el traspaso costará: 75 000 - (D1 + D2) 75 000 - (562,5 + 937,5) = S/.73 500
26.
12 000 . 0 + x . 15 + ^36 000 - xh 60 48 000
37 500
D2 = 37 500. c 6% m # 5 = 937,5 12
Lo justo sería que cobrara el interés sobre la cantidad que él desembolsa, es decir, sobre el valor efectivo. La razón de que se emplee más el descuento comercial, es que su cálculo es muy sencillo y a un corto plazo es insignificante la diferencia entre los descuentos.
d = Dc - Dr d = Vn . t. r - Vn . t . r 100 100 + t . r
2 meses
D1 = 37 500. c 6% m # 3 = 562,5 12
en él, el banquero cobra el % de interés sobre una cantidad mayor que la que él desembolsa.
Razonamiento y demostración
37 500
30 =
x = 16 000 Nos piden: Vn3 - Vn2 = 20 000 - 16 000 = S/.4000
D2 D1
B) Dr = S/.90,00 , Va = S/.18 000,00 C) Dr = S/.75,00 , Va = S/.4500,00
En un mes: Va1 = 60k - 60k(5%)(1) Va1 = 57k
El beneficio será: 57k - 54k = 3k Por dato: 3k = n%(100k) ` n = 3
Luego: Vn3 = 4k tVC =
Inicial: 40%(100k) = 40k Valor de la letra: 60k
En el mes siguiente: Va2 = 60k - 60k(5%)(2) Va2 = 54k
Resolución de problemas Vn 24. 1 = 3 & Vn1 = 3k, Vn2 = 5k Vn2 5
126 = x2 - 1 & 64 - 1 = x2 - 1 128 64 x2 x2 x=8 En (I): Vn = 72m = 14 400 (dato) m = 200 Piden: Dc - Dr = m ` Dc - Dr = S/.200
Clave C
27. Sea el valor del auto: 100k
23. Dc = Vn . t . r = 900 . 1/6 . 6 = S/.9, 00
100
Comisiones: 1%(72 000) = 720 Cambio de plazo: 2,5%(72 000) = 1800 Va = Vn - (Dc + comisiones + cambio de plazo) Va = 72 000 - (2016 + 720 + 1800) ` Va = S/.67 464
12 de sept.
Dc = 72 000 # 12% # 84 = 2016 360
Luego: k . 1 + 2k . 3 + 3k . 5 + ... + nk^2n - 1h tvc = n^n + 1h k 2 Reduciendo: tvc = 2 ^2n + 1h - 1 = 4n - 1 3 3 Por dato: 9 < 4n - 1 < 11 3 7 < n < 8,5 `n=8
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
Clave C
53
Estadística 5. Del gráfico se observa:
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 82) Unidad 4 intervalo y lo multiplicaremos por su frecuencia correspondiente. Finalmente para hallar el promedio dividiremos entre la suma de frecuencias:
Ii
xi
fi
[10; 20H
15
4
60
23 # 8 + 27 # 18 + 31 # 13 + 35 # 11 18 + 13 + 11 + 8
[20; 30H
25
8
200
[30; 40H
35
12
420
[40; 50H
45
6
270
[50; 60]
55
2
110
1. Debemos hallar la suma de edades, para esto usaremos un promedio en cada
= 1458 = 29, 16 50
32
Clave A
2. Del dato:
5
10 + 120 + a0 = 55 10 + 30 + (a - 4) 0 + a0 + 100 + 120 100
Ahora:
X=
a0 + 130 = 11 (a - 4) 0 + a0 + 260 20
x i fi
/ fi xi
i=1
n
X = 60 + 200 + 420 + 270 + 110 32 X = 1060 32
200a + 2600 = 220a + 2860 - 440 a=9
(50 + 10) # 100% = 15% 400
` X = 33,125 Clave D
Clave A
3. De los datos tenemos que R es el 15% y que M es el 102 # 100% = 28, 3| %
6.
Ii
Xi
fi
Fi
[20; 26H
23
6
6
Entonces A es el (100 -15 - 28, 3| )% = 56, 6| %
[26; 32H
c = 29
8
14
& 56, 6| % # 300 = 170 es la cantidad de personas que prefieren A.
[a; 38H
35
n = 12
26
[38; 44H
d = 41
10
m = 36
[44; bH
47
8
44
[50; 56H
53
6
50
360
Clave B
4.
Ii
xi
fi
Fi
[6; 16H
11
10
10
[16; 26H
21
16
26
[26; 36H
31
20
46
[36; 46H
41
9
55
[46; 56]
51
5
60
n=
Sea w el ancho de clase, como se tiene 6 filas, entonces: 6w = 56 - 20 = 36 &w=6 Analizando: a = 32 / b = 50 ` a + b + c + d + n + m = 32 + 50 + 29 + 41 + 12 + 36 = 200 Clave B
60
7. 3w = 30 - 12 = 18
&w=6 Completando el cuadro:
Clase mediana es I3, puesto que 46 $ 60 = 30 . 2 Sabemos: n -F (m - 1) H Me = Lm + wm > 2 fm
Ii
60 - 26 H Me = 26 + (36 - 26) > 2 20 Me = 26 + 10 ; 4 E = 26 + 2 20 Clave D
X=
Fi
x i fi
[6; 12H
9
5
5
45
15
10
15
150
[18; 24H
21
17
32
357
[24; 30H
27
11
43
297
[30; 36H
33
7
50
231
/ fi xi
i=1
fi
[12; 18H
5
` Me = 28
54 Intelectum 4.°
xi
n + 150 + 357 + 297 + 231 45 X= 50
X = 1080 50
Piden: x . 100% = 10 . 100% n 20
` X = 21,6 Clave A
` x . 100% = 50% n
8. Completando la tabla:
Ii
fi
Fi
hi
Hi
[30; 50H
18
18
0,20
0,20
[50; 70H
a
0,10
0,30
[70; 90H
27
0,30
0,60
0,40
1
[90; 110H
Clave C
K
12. X =
X=
n
/ xi fi
i=1
N
(12, 5) 3 + (17, 5) 5 + (22, 5) 7 + (27, 5) 4 + (32, 5) 2 21
X = 21,79
h3 = 27 n
Clave B
f 0,30 = 27 & n = 90 & h1 = 1 = 18 = 0,20 n 90 n
K
Luego:
13. S2 =
h2 = 0,10 & a = 0,10 & a = 9 90 ` f2 + h1 = 9 + 0,20 = 9,2
/^xi - Xh2 fi
i=1
N
(12, 5 - 21, 79) 2 3 + ... + (31, 5 - 21, 79) 2 2 21 S2 = 157, 88 S2 =
Clave A
S = 12,57
9. Sean a, b, c las cantidades de personas que prefieren A, B y C,
respectivamente.
Clave E
144° $ a
14.
& a = 144°.300 = 120 360°
+8
100% $ 300 25% $ b
+8 +8
& b = 25%.300 = 75 100% Luego: a + b + c = 300 120 + 75 + c = 300 & c = 105
fi
xi
x i fi
28
25
700
[30; 40H
56
35
1960
[40; 50H
84
45
3780
[50; 60H
42
55
2310
[60; 70H
14
65
910
X = 700 + 1960 + 3780 + 2310 + 910 224
X = 9660 = 43, 125 224
11. n.° hijos
hi
12
a = 30
0,25
d = 20
45
0,375
28
b = 30
0,25
e = 36
c = 15
0,125
Total
120
1
h4 = 0,125 a = h & a = 0, 25 1 n 120 a = 30 b = 0,25 & b = 30 120
10.
Ii
fi
h2 = 45 = 0,375 120
Clave C
[20; 30H
xi
c = 0,125 & c = 15 120 4
X=
/ fi xi
i=1
n
X = 12 . 30 + 20 . 45 + 28 . 30 + 36 . 15 120 ` X = 22
Clave D
Clave D
familias
0 $ 2 1 $ 3 2 $ 4 x = 10 familias 3 $ 6 4 $ 4 5 $ 1 n = 20 familias
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 84) Unidad 4 Comunicación matemática 1. 2.
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
55
10. Los ordenamos
Razonamiento y demostración
4,
4, 5, Q1 (4 + 5) = 4, 5 2
3. Sabemos que la fórmula es:
N/2 - Fm - 1 Me = Lm + wm = G fm La mitad de términos 21 = 10,5 y este se encuentra en el intervalo 3, 2 entonces reemplazando: 10, 5 - 3 Me = 60 + 20 ; E 10 Me = 75 4. La fórmula es: Mo = Lo + wo =
d1 G, d1 + d2
8,
10, 11, 11, 13, 14 Q2 Q3 9 + 10 = 9, 5 11 + 11 = 11 2 2
& Q1 = 4,5 Q2 = 9,5 Q3 = 11 Nivel 2 (página 84) Unidad 4 Comunicación matemática 11.
el intervalo con mayor frecuencia es el 3. Reemplazando:
Mo = 60 + 20 ; 8 E = 72,3 8+5 Resolución de problemas 5. Del dato:
Ii
xi
fi
hi
Hi
[30; 50H
40
20
0,2
0,2
[50; 70H
60
40
0,4
0,6
[70; 90H
80
30
0,3
0,9
[90; 110H
100
10
0,1
1
4n + 3n = 35 4n + 3n + 3n + x + 4x 100
Total
100
Si: f2 = 40 / N = 100 & h2 = 0,4
7n = 7 10n + 5x 20
La mediana se encuentra en el intervalo 2 ya que H2 $ 0,5 Me = 50 + 20 ; 50 - 20 E = 65 40
4n = 2n + x x = 2n 3 (4n) + x + 4x + (3n) 1 3n + 2n + 8n + 3n 2 = 2 = 72, 5% Nos piden: 4 10n + 5x 20n
Clave E
12.
Razonamiento y demostración 13. Partimos de la fórmula para datos no tabulados:
6. n.° tardanzas = 20 + 25 + 30 + 30 + 40 = 145
K
Clave A
7. Sea x el porcentaje del total de tardanzas del día martes.
X=
/ di
i=1
N
,
siendo di cada dato del grupo estudiado.
n.° tardanzas día martes = 40 = 0, 276 145 n.° tardanzas totales
En una tabla ya no usamos cada dato sino el promedio de cada intervalo, es decir, la marca de clase y a este lo multiplicamos por la frecuencia. Quedaría:
x = 0,276 . 100% x = 27,6%
k
Clave B
8. n.° tardanzas del martes $ 100%
X=
/ xi fi
i=1
N
queda: X =
n.° tardanzas de miércoles $ y% Entonces: 40 $ 100% 25 $ y% y = 62,5 Piden: 100% - 62,5% = 37,5%
, como
fi = hi N
k
/ xi hi
i=1
! 14. X = 30.1 + 50.2 + 70.10 + 90.5 + 110.3 & X = 76, 6
21
Resolución de problemas Clave D
9. n.° tardanzas del jueves $ 100%
15. Del enunciado:
f4 = f5 Completando el cuadro. Ii [5; 15H [15; 20H [20; 25H [25; 30H [30; 40H [40; 45H
n.° tardanzas del miércoles $ y% Entonces: 30 $ 100% 25 $ y% y = 25 . 100 & y = 83,3 30 Piden: 100% - 83,3% = 16,7% Clave B
56 Intelectum 4.°
9,
fi 3k 2k 5k n n k 15k
Fi 3k 5k 10k 10k + n 14k 15k
10k + n + n = 14k 2n = 4k & n = 2k Tienen por lo menos 20 años: 10k Piden: 10k . 100% = 66, 6| % 15k
k + 3k + k + 3k + k = k 25 50 50 100 20 5 k 20
27
& y = 10
` z% = 70%
Clave D
y
x 20
2y = 20
Sea z% el tanto por ciento del total que tienen edades desde 20 hasta 33 años. x + 40 + y m .100% z% = c 100 z% = c 20 + 40 + 10 m .100% 100
Clave B
16. n.° total de personas: k
3k 50
x = 4 30 6 & x = 20
50
30 3
54
18. Completando el cuadro:
60
4
10
Ii
10
y = 4 k 10 20
x = 3 3k 10 50 x = 3 c 3k m = 9k 10 50 500 y = 4 c k m = 2k 10 20 100
Como:
Sea z: frecuencia relativa entre S/.27 y S/.54. z = 9k + k + 3k + 2k = 44k 500 50 100 100 500 Piden: 44k z .100% = 500 .100% = 5.44k .100% n k 500k 5 ` z . 100% = 44% n
h3 =
fi
Hi
[12; 18H
a = 10
0,10
0,10
[18; 24H
b = 30
0,30
0,40
[24; 30H
40
[30; 36H
20
40 n 20 n 1
20.
20 y
24
30
hi
0,1
Hi
[20; 30H [30; 40H [40; 50H [50; 60H
b=6 24 30 12 n = 80
14 38 68 80
0,075 0,3 0,375 0,15 1
0,175 0,475 0,85 1
f3 n
` f1 + f3 + F4 = 100
Clave D
(1, 4) 2 + (0, 6) 2 + (1, 4) 2 + ... + (3, 4) 2 = 2, 11 10
2, 11 CV = S # 100% = # 100% = 39, 1% 5, 44 X
y
33
Clave D
X = 4 + 5 + 4 + 9 + 3 + 6 + 7 + 6 + 8 + 2 = 54 = 5, 4 10 10 S=
30
20
0,1
D1 = 4 D3 = 8 " D1 + D3 + D5 = 21 D5 = 9
b = 0,30 & b = 0,30 & b = 30 n 100
18
8
D1 = la décima parte, D3 = 3 partes 10 D5 = 5 = 1 parte 10 2 4, 4 , 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 14 D1 D3 D5
h2 = 0,30
x
Fi
19. Los ordenamos:
0,10 + 0,30 + 40 + 20 = 1 n n 0,40 + 60 = 1 n 60 = 0,6 & n = 100 n Como: h1 = 0,10 a = 0,10 & a = 0,10 & a = 10 n 100
Luego:
fi
h4 = 30 & h4 = 0,375 80 h1 = a 80 0,1 = a & a = 8 80 h2 = b 80 0,075 = b & b = 6 80 Piden: f1 + f3 + F4 = 8 + 24 + 68
Clave E
hi
n = 100
a=8
0,3 = 24 & n = 80 n
17. Completamos el cuadro:
Edades
[10; 20H
36
Clave C
4 6
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
57
24.
Nivel 3 (página 85) Unidad 4
fi
Comunicación matemática 21.
fm
xi
fi
Fi
x i fi
20
10
10
h1
f(m + 1)
40
16
26
0,26 - h1
f(m - 1)
60
19
45
h1 + 0,09
80
26
71
0,26
100
19
90
h1 + 0,09
120
10
100
h1
6
/ hi = 1 & h1 + 0,26 - h1 + h1 + 0,09 + 0,26 + h1 + 0,09 + h1 = 1
I. V
II. F
M0 L0 + W0
xi
Hacemos: d1 = fm - f(m -1) / d2 = fm - f(m + 1)
i=1
Queda: d1 d2 = Mo - Lo Lo + Wo - Mo
3h1 + 0,7 = 1 & h1 = 0,1
h3 + x1 + F3 = 65,14
L0
Por semejanza: fm - f(m - 1) fm - f(m + 1) = Mo - Lo Lo + Wo - Mo
III. F
d1Lo+d1Wo - d1Mo = d2Mo - Lod2 Lo(d1 + d2) + d1Wo = (d1 + d2)Mo
22.
Ii
xi
fi
hi
d1Wo = (d1 + d2)(Mo - Lo) d1 Wo e o = Mo - Lo d1 + d2
Hi
[8; 20H
14
10
0,10
0,10
[20; 32H
26
15
0,15
0,25
[32; 44H
38
20
0,20
0,45
[44; 56H
50
25
0,25
0,70
[56; 68H
62
30
0,30
1
100
Mo = Lo + Wo = Resolución de problemas 25.
Razonamiento y demostración Fi Wm
N/2 Fm - 1 Lm Me
Me = Lm +
wm (N/2 - F(m - 1)) fm
N/2 - F(m - 1) Me = Lm + wm = G fm
58 Intelectum 4.°
Fi
Hi
[30; 40H
a = 30
0,3
[40; 50H
25
0,25
n = 80
0,8
[50; 60H
20
0,2
100
1
0,25 0,55
h5 = 0,2 20 = 0,2 & m = 100 m h4 = 25 = 0,25 100 h3 = 0,3 a = 0,3 & a = 30 100 F4 + f5 = 100 n + 20 = 100 & n = 80 Además: f1 + f2 + 30 + 25 + 20 = 100 f1 + f2 = 25 ` f1 + f2 + n = 105
23.
wm (N/2 - F(m - 1)) Me - Lm = Fm - F(m - 1)
hi
m = 100
III. F, f1 # h1 # f5 # h5 = 10(0,1)30(0,3) = 9 = 32 ° & 62 + (3 . 2) = 68 ! 37
Por semejanza de triángulos: Fm - F(m - 1) N/2 - F(m - 1) = Wm Me - Lm
fi
[20; 30H
II. F, CD (x4) = CD (50) = (1 + 1)(2 + 1) = 6
Fm
Intervalos [10; 20H
I. V, x5 + f4 = ab 62 + 25 = ab 87 = ab & a + b = 15 = 3c
Fm + 1
d1 G d1 + d2
xi
Clave C
26.
Intervalos fi [24; 34H a=8 [34; 44H b = 32 [44; 54H 42 [54; 64H 18 Total n = 100
Fi 8 40 82 100
hi 0,08 0,32
hi # 100% 8% 32%
Hi # 100% 8% 40% 100%
h1 + h2 + h3 + h4 = 1
f2 f h h2 f = n = 2 & 2 = 2 = 5 (dato) f3 h3 h3 f3 f3 n
0,08 + 0,32 + 42 + 18 = 1 & 0,40 + 60 = 1 n n n 60 = 0,6 & n = 100 n
h1 = 0,08
h2 = 0,32
a = 0,08 100
b = 0,32 100
f1 - f2 = 80 & a - 5b = 80 f1 - f3 = 160 & a - b = 160 a = 160 + b
Clave B
Reemplazando el valor de b en (2): a = 180 / n = 300 h3 = b = 20 = 1 n 300 15
27. h1 + h2 + h3 + h4 = 1
2k + k + 0,02 + 0,08 + 1,5k = 1 4,5k = 0,9 & k = 0,2
Porcentaje que aprueba al presidente: x% = c 180 m 100% = 60% & x = 60 300 & n + x + 60h3 = 300 + 60 + 60 c 1 m 15 ` n + x + 60h3 = 364
Reemplazando el valor de k en el cuadro. Ii hi
[5; 7H 0,4
[7; 9H 0,22
[9; 12H 0,08
[12; 15H 0,3
h2 = 0,22 5
7 h1 = 0,4
8
X = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 21 = 4, 2 5 5
h1 + x 0, 51 m 100% o .100% = c 1 h1 + h2 + h3 + h 4
S=
= 51%
S= 40
1, 9 = 45% 4, 2
CV(b) = 1.85 = 8, 56% 21, 6 La dispersión de b es mayor a a.
y - 45
Clave B
5
25
31.
10 7
12
Se observa: y - 45 15 (por semejanza) = 1 5 y - 45 = 3 & y = 48
17 18 1
22 23 1
Ii [20; 30H [30; 40H [40; 50H [50; 60H [60; 70H
27 Edad
fi 12 9 18 9 12
Fi 12 21 39 48 60
hi 0,2 0,15 0,3 0,15 0,2
W = 60 - 20 = 10 4 n = 60 / fi = hi(n) & f2 = 9
x - 60 = 40 (por semejanza) 1 5 x - 60 = 8 & x = 68 Piden: x% - y% = 20%
Por simetría: f5 = 12, f4 = 9 Como: h1 + h2 + h3 + h5 = 1 Clave C
aprueban desaprueban no sabe no opina
(1, 6) 2 + (3, 4) 2 + (1, 6) 2 + (0, 4) 2 + (0, 6) 2 = 1, 85 5
CV(a) =
x - 60
15
29.
18 = 1, 9 5
X = 20 + 25 + 20 + 22 + 21 = 108 = 21, 6 5 5
% 100 x 60
32 + 22 + 12 + 0 + 22 = 5
B) 20, 25, 20, 22, 21
Clave B
28.
y 45
Clave E
30. A) 2, 3, 4, 5, 7
9
x = 0,11
Piden:
e
...(2)
Reemplazando (2) en (1): (160 + b) - 5b = 80 160 - 4b = 80 & 4b = 80 & b = 20
&a=8 & b = 32 ` f1 + f3 + F3 = 8 + 42 + 82 = 132
...(1)
fi a = 180 5b = 100 b = 20 n = 300
hi 5d d
h3 = 0,3 Mo = Lo + Wo ;
d1 9 E & Mo = 40 + 10 ; E d1 + d2 18
Mo = 45
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
Clave D
59
Análisis combinatorio escoger el pantalón de tres maneras distintas. por lo tanto hay 5 # 3 = 15 maneras de escoger un pantalón y una camisa.
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 89) Unidad 4 Comunicación matemática 1. 2. Para completar la expresión, necesitamos todos
Clave C
queremos formar tenemos cuatro que podemos escoger. Por lo tanto, hay 43 = 64 palabras. Clave B
9. P3
Razonamiento y demostración
P4
m! m! = = Cm m-n n! (m - n) ! (m - n) !n!
Clave E
orden de los elementos, es decir, buscamos todos los arreglos posibles. En el caso Vnm , se encuentran todos los grupos de tamaño n que se presenta en el conjunto, esto se puede realizar de Cm n formas, y posteriormente se realiza todas las ordenaciones posibles de cada grupo, esto es Pn. Luego por el principio de multiplicación tenemos: m Cm n # Pn = Vn
Resolución de problemas 5. Obtendremos todos los ordenamientos posibles
usando el diagrama de árbol. C C S C S S er
o
C
$ CCC
S
$ CCS
C
$ CSC
S
$ CSS
C
$ SCC
S
$ SCS
C
$ SSC
S
$ SSS
Clave A x 3 A
x
+
B
2
3 E
x 2
D
2
x
Hay 3 # 2 # 3 + 3 # 2 + 3 # 2 # 2 = 36 formas posibles de llegar de A a E. Clave B
7. La camisa la podemos elegir de cinco maneras
distintas, para cada una de ellas podemos
60 Intelectum 4.°
1
1
15.
4 líneas de ómnibus
Wilson
6 líneas de coaster
San Felipe
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
x
6
13
1
4
10
20
20
26
39
1
5
15
35
55
81
120
B Se puede ir de A hasta B de 120 maneras diferentes.
Por lo tanto, se pueden realizar de 4 + 6 + 5 = 15 maneras. Clave B
16. 5 faldas y 3 blusas & 15 maneras
9 pantalones y 6 polos & 54 maneras Por lo tanto: Se podrá vestir de 69 maneras distintas. Clave D
17. Se pueden coger de:
C15 . C17 = 5 . 7 = 35 maneras Clave A
blanco:
De todos los casos posibles los que cumplen son: (CCS, CSC, SCC) hay 3 ordenamientos.
2
1
Clave B
11. Analicemos las posibilidades de movimiento del
2. 3. 1. lanzamiento lanzamiento lanzamiento
C
Comunicación matemática A
Resolución de problemas 5! = 5! 14. V55 = (5 - 5) !
5 líneas de microbus
Clave E
er
6.
Nivel 2 (página 89) Unidad 4 10.
n (n - 1) . 2
` V55 = 120
y queda demostrada la igualdad. 4. Sabemos que en una variación nos importa el
La fórmula será:
1
Además, como los tomos de cada obra deben estar juntos se pueden considerar como un bloque. Luego: ^P3 . P4 . 1h P3 = 864
3. Tenemos:
Cm n =
combinanción, puesto que necesitamos escoger subconjuntos de 2 personas de las n que n! asistieron, esto es: Cn2 = (n - 2) !2!
8. Para cada una de las letras de la palabra que
los arreglos posibles de 3 elementos tomados de los 5 que tenemos. Por tanto tendremos: V35 = 5! = 60 resultados. 2!
13. Podemos plantear el problema como una
T
C
A
R
R
A
C
T
P
P
P
P
P
P
P
P
Cada peón tiene 2 posibilidades de movimiento, una casilla adelante o dos casillas adelante. Como son 8 peones ya tenemos 16 posibles movimientos, además cada caballo tiene 2 posibles movimientos, al ser 2 caballos tenemos 4 movimientos posibles. Es decir, un total de 20 posibles movimientos el jugador blanco, un análisis recíproco de las fichas negras nos da 20 posibilidades. En total se tienen 20 # 20 = 400 posibles jugadas. Razonamiento y demostración 12. Escogemos una casilla negra cualquiera si
eliminamos su fila y columna, nos queda 12 casillas blancas para escoger. Como este procedimiento se puede repetir para cada una de las 18 casillas negras entonces tenemos 12 # 18 = 216 maneras diferentes de escoger dos casillas, una blanca y una negra.
18. zapatos pantalones blusas
2 # 3 # 4 = 24 días Por lo tanto: Como noviembre tiene 30 días, deberá repetir su forma de vestir 6 días. Clave C
Nivel 3 (página 90) Unidad 4 Comunicación matemática 19. El recorrido más largo es:
20, 19, 17, 15, 11, 9, 4, 3, 2, 1 ó 20, 19, 17, 15, 11, 6, 4, 3, 2, 1 ambos con tamaño 10. Notar que cada altura tiene un recorrido máximo, por tanto al calcular el recorrido máximo de una altura dada, usaremos el recorrido máximo de alguna altura anterior, es decir un proceso recursivo. 20. Se pueden presentar 4 casos:
Regala los 4 coches a un solo hermano, esto lo puede hacer de 3 formas.
Regala 3 a uno y 1 a otro, esto se puede hacer de C32 # C34 # 2! formas. Regala 2 a uno y 2 a otro, esto se puede hacer de C32 # C24 formas. Regala 2 a uno, 1 a otro y 1 a otro, esto se puede realizar de 3! # C24 formas. Es decir se puede hacer la repartición de: 3 + C32 # C34 # 2! + C32 # C24 + 3! # C24 = 81 formas posibles. Ahora analicemos de manera distinta, el problema también podría plantearse, sin cambio en el resultado, del modo siguiente: A cada coche asignaremos uno de los cuatro posibles dueños.
dueños
L F
auto:
azul
F L
g
T
T
F L g T
blanco
verde
Sea C1 ! C un elemento de C, contamos en primer lugar los subconjuntos de C de n elementos que tienen a C1. Esto es equivalente a contar los subconjuntos de n -1 elementos del -1 conjunto C – {C1}, que son Cm n - 1 . En segundo lugar contamos los subconjuntos de C de n elementos que no tienen al elemento C1. Como C1 no puede estar en el subconjunto, tenemos que elegir a partir de los m - 1 elementos -1 subconjunto. restantes de C. Esto de Cm n Aplicando ahora el principio de suma: m-1 m-1 Cm n = Cn - 1 + Cn 22. La idea para resolver el problema es calcular el
total de permutaciones de los n elementos que es n! y restarle aquellas permutaciones cuando a y b están juntos. Si asumimos a y b como un sólo elemento habrá (n -1)! permutaciones con a y b juntos, pero a y b pueden permutarse de 2! formas. Entonces la solución será: n! - 2(n - 1)! n(n - 1)! - 2 (n - 1)! (n - 2)(n - 1)!
rojo
Es decir el problema se convierte en una variación con repartición cuya solución es 34 = 81 formas posibles. 21. Tenemos un conjunto C de n elementos y
queremos contar el número de subconjuntos de n elementos que tiene. Ya sabemos que este número es Cm n , pero vamos a calcularlo de otra manera.
Resolución de problemas 23. Cuatro cartas diferentes se pueden alinear de V44 = 4! formas, esto para cada una de las 9 cartas que pueden acompañar a las figuras. Por lo tanto tenemos 9 # 4! = 216 maneras. 24. Necesitamos ordenamientos específicos de 3
decir: V35 = 5! = 5 # 4 # 3 = 60 formas de 2! estacionar los coches. 25. Se debe elegir tres elementos de un conjunto de
cinco, sin importar el orden de elección, esto es: C53 = 5! = 5 # 4 = 10 3! # 2! 2 maneras de elegir a los tres alumnos.
26. Esquematizada:
H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 H5 Respetando esas posiciones los hombres pueden sentarse de 5 ! formas y las mujeres de 4 ! formas. Pueden sentarse de 5! # 4! = 2880 formas. Clave B
27. Se puede formar las señales usando 1, 2, 3, 4, ó
5 banderas. Para cualquiera de estas opciones, la que se busca son arreglos específicos sin repetición, es decir, variaciones, por la que la solución será: V15 + V25 + V35 + V45 + V55 5 + 5! + 5! + 5! + 5! 3! 2! 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325
en 3 del total de 5 espacios en la cochera, es
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
Clave A
61
Probabilidad PRACTIQUEMOS
P(par 2.° dado)
= 3 = 6 = 3 = 6
P(par 3.er dado)
= 3 =1 6 2
P(par 1.er dado)
Nivel 1 (página 93) Unidad 4 Comunicación matemática 1. 2. 3.
1 2 1 2
& P(3 sean pares) = 1 # 1 # 1 = 1 2 2 2 8 Razonamiento y demostración
4. P(A' , B') = P(A + B)' = 1 - P(A + B) = 0,9
& P(A + B) = 0,1 P(A') = 1 - P(A) = 0,6 & P(A) = 0,4 P(A) . P(B) = 0,4 # 0,3 = 0,12 son diferentes P(A + B) = 0,1 Luego: Si P(A) . P(B) ! P(A + B) & No son independientes. 5. Debemos comprobar que: P(A + B) = P(A) . P(B)
Sabemos: P(A + B) = 1 - P(A + B)' P(A + B) = 1 - P[A' , B'] P(A + B) = 1 - 0,58 = 0,42 Hacemos: P(A) . P(B) = 0,7 # 0,6 = 0,42 Observamos: P(A + B) = P(A) . P(B) Luego A y B son independientes.
formas. El espacio muestral está formado por C93 elementos. C93
= 10 . 21
7. El espacio muestral son todas las monedas, es
decir 14. El evento consta de 5 elementos. La probabilidad es: 5/14.
Clave D
8. Supongamos que el primero ya ha elegido un
número, entonces la probabilidad de que el segundo elija el mismo número es: P = 1 = 0,1 10 Por tanto la probabilidad de que no elijan el mismo número será: 1 - 1 = 9 = 0, 9 10 10 Clave C
P(sea par) = P(B)
L = (0,8)
Clave D
Nivel 2 (página 93) Unidad 4 Comunicación matemática 11. A) Del total de 8 números, 2 cumplen con la
condición, entonces la probabilidad es: 2 =1 8 4
B) Por propiedad: P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B) A: número par: {2; 4; 6, 8} B: mayor a 5: {2; 7; 8} P(A , B) = 4 + 3 - 2 = 5 8 8 8 8
Pero M y L son eventos independientes, luego P(M + L) = P(M) . P(L) Finalmente tendríamos: P(M) + P(L) - 2P(M) . P(L) = 0,6 + 0,8 - 2(0,6)(0,8) = 0,44
16. Hacemos un diagrama que refleja la situación.
total de cuadrados
P= 4 = 2 14 7
Nos piden: P(M , L) - P(M + L) = P(M) + P(L) - P(M + L) - P(M + L) = P(M) + P(L) - 2P(M + L)
Clave B
2 12. P = cuadrados de 4 cm
Clave B
13. I. Como A y B son independientes
& P(A + B) = P(A) . P(B). Esta última expresión solamente es igual a P(B) si P(A) = 1. II. P(B , A) = P(B) + P(A) - P(B + A). Si fuera cierto la información entonces: P(A) + P(B) = P(B) + P(A) - P(B + A) & P(B + A) = 0 & B + A = Q y esto es imposible, pues A y B no son mutuamente excluyentes. Luego la afirmación no es cierta. P (A' + B) & De la afirmación, se P (B) P (A' + B) = P (A') tendría que cumplir P (B)
III. P(A'/B) =
9. Nos piden: P(obtener 6) = P(A)
& P(A' + B) = P(A') . P(B)
Llamamos a los sobres A; B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. Sobre A Sobre B b a c a b c a c b
Sobre C c b c a b a
Coincidencia Coincidencia Coincidencia
Coincidencia
Observamos que hay 6 posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto la probabilidad pedida será: P= 4 = 2 6 3 Clave C
17. Si: A = aprobar el primer examen.
B = aprobar el segundo examen. & P(A) = 0,6 P(B) = 0,8 P(A) = 0,6
P(B) = 0,8
Luego A' y B deben ser independientes, y como A y B son independientes A' y B también lo son. Luego la afirmación es cierta. Clave C Clave B
10. Se observa que el resultado en cada dado no
influye en el resultado del otro. Cada resultado es independiente. Luego:
62 Intelectum 4.°
M = (0,6)
Razonamiento y demostración Clave A
1 P (B + A) & P(A/B) = = 6 =1 P (B) 3 3 6
P(Leng.) = 0,8
Clave C
6. Se puede elegir dos fichas verdes de C52 # 4
C52 # 4
15. P(Mat.) = 0,6
La respuesta es: 1 + 5 = 7 . 4 8 8
Resolución de problemas
La probabilidad es:
Resolución de problemas
14. Se observa que A = {2; 3; 5; 7}
B = {1; 4; 9} & A+B=Q Luego los eventos son mutuamente excluyentes.
Nos piden: P[(A , B)'] P(A , B)' = 1 - P(A , B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A + B)] & P(A , B)' = 1 - (0,6 + 0,8 - 0,5) = 0,1 Clave D
18.
0,9
I
0,1
F
0,3
Alumnos
0,7
Alumnas
B) Con dos cerraduras el número de casos posibles es: V23 = 3! = 6 (3 - 2) !
0,4
Alumnos
0,6
Alumnas
P(chica) = 0,9 # 0,7 + 0,1 # 0,6 = 0,69
Clave D
Clave C
19. El evento posible de que una pareja dada sean
esposos se cumplirá de 8 maneras, puesto que hay 8 parejas de casados. El espacio muestral son todas las parejas posibles. Entonces la probabilidad es: 8 = 8 # 14! # 2! = 1 16! 15 C16 2 Clave C
C52 # C17
20.
C12 3
= 5! # 7 # 3! # 9! = 7 3! # 2! # 12! 22 Clave A
Nivel 3 (página 94) Unidad 4
Área de la mesa Hallamos el área del círculo:
En cualquier otro día, por ejemplo, el martes, sucede que: P(Roberto vaya el martes) = 4 5 2 P(Karina vaya el martes) = 5 La probabilidad de que vayan ambos es la probabilidad de la intersección, y como los dos sucesos son independientes, es el producto: P(R + K) = P(R) . P(K) = 4 . 2 = 8 5 5 25
Clave C
x + 2x + 2x + x + 2x + x = 1 x= 1 9 P(2) = 2 ; P(4) = 1 ; P(6) = 1 9 9 9
+r
32
` P(par) = P(2) + P(4) + P(6) = 2 + 1 + 1 = 4 9 9 9 9
64 - r
Se observa: (64 + r)2 = 322 + (64 - r)2 r=4 Área del círculo = p . 42 = 16p Luego la probabilidad será: P = 16π2 = 16π = π 4096 256 64
Clave C
27. Los únicos números con tres divisores son los
primos al cuadrado, en este caso solo 4 y 9. 4 se podría formar por la suma de (2, 1; 1) & 3 formas
Clave A
22.
P(D) < P(B) < P(A) < P(C) Razonamiento y demostración 23. Debemos demostrar que P(A' + B') = P(A') . P(B')
sabiendo que P(A + B) = P(A) . P(B)
Luego: P(A' + B') = P(A , B)' = 1 - P(A , B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A + B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A) . P(B) = [1 - P(A)] . [1 - P(B)] & P(A' + B') = P(A') . P(B')
9 $
= 3! & P(acertar) = 1 6
$ 6 formas $ 6 formas $ 3 formas $ 6 formas $ 3 formas $ 1 forma $ 3 formas
espacio muestral
F = llevar filosofía P(P') = 0,49 $ P(P) = 0,51 P(F') = 0,53 $ P(F) = 0,47 P(P' + F') = 0,27 P
F a
b
Ω
c 0,27
P(W) = P(P' + F') + P(P , F) Donde: P(F) = b + c = 0,47 y P(P) = a + b = 0,51 P(P , F) = a + b + c = 0,73 & a = 0,26; b = 0,25; c = 0,22 Nos piden: a + c = 0,48. 30. A = hay un pequeño sismo en Perú
B = hay un fuerte sismo en el Océano Pacífico P(A) = 0,8 P(A/B) = 0,4 Por probabilidad condicional: P (B + A) P(A/B) = P (B) P(B + A) = 0,8 # 0,4 P(B + A) = 0,32
Clave D
31. Hay 2 posibilidades de que el producto sea 24:
6 # 4 y 4 # 6.
El espacio muestral está formado por todos los productos mayores a 10, que son un total de 17. Entonces la probabilidad es 2 . 17
Clave B
Clave B
= n(W) = C15 5
= n(W) = 3003
29. P = llevar psicología
8 + 28 + 56 + ... + 56 + 28 + 8 + 1 = 255
= 15 # 14 # 13 # 12 # 11 # 10 5#4#3#2#1
Clave C
C18 + C82 + C83 + ... + C88
Clave C
28. Número de elementos del
= 450 450 150 ` P (E) = = 3003 1001
32. La solución es una adición de combinaciones:
En total 31 formas de las 6 # 6 # 6 = 216 posibles ` La probabilidad es: 31 . 216
24. A) El número de casos posibles es:
V33
(6; 2; 1) (5; 3; 1) (5; 2; 2) (4; 2; 3) (4; 4; 1) (3; 3; 3) (7; 1; 1)
Clave B
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
r
+r
cero probabilidades de encontrarse, pues en esos días ninguno de los dos va a la tienda.
P(2) = P(3) = P(5) = 2x Estos sucesos son mutuamente excluyentes, y como:
21. Probabilidad = Área del círculo
64
Resolución de problemas 25. Se observa que los viernes y domingo tienen
26. Sea: P(1) = P(4) = P(6) = x
Comunicación matemática
64
Luego la probabilidad de acertar a la primera es igual en ambos casos = 1 . 6
Número de eventos = n(E) = C24 # C62 # C15 exitosos = 6 # 15 # 5
33. Cada dado nos da 6 probabilidades, en total si
son d dados nos dará 6d.
Cada moneda nos da 2 posibilidades, en total si son m monedas nos dará 2m.
El total de posibilidades es 6d . 2m = 2d + m . 3d
Clave C
34. Se trata de una permutación con elementos
repetidos, la solución es: P28, 2 = 8! = 10 080 2!2!
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
Clave C
63
MARATÓN MATEMÁTICA
8
6.
(página 96) Unidad 4
2 C10 8 # ^C1 h
C820
1.
Ii
[6, 16H
fi
8
Fi
[16, 26H
20
28
[26, 36H
25
53
[36, 46H
10
63
5
68
[46, 56]
8
7.
! Q1 ! Me, Q2, y Mo
Clave C
2. n = 17
Vn . r . 40 = Vn - 3775 1200
Dividiendo (1) entre (2):
Luego: A = {MMM}; B{MMM; MMH; MHM; HMM}; A + B = {MMM}
9Vn - 33 975 = 4Vn - 14 800
Por lo tanto:
El valor actual es: S/.3835
4. d1 = 5
Clave B
& P(A + B) = P(A) # P(B / A) = 3 # 2 = 2 5 3 5 Clave E
10. Sea r% la tasa anual.
d2 = 15 d1 5 Mo = 26 + 10 e o = 26 + 10 c m 20 d1 + d2
Mo = 28,5 Clave D
5. Sea el evento:
Datos: Vn = S/.9000 Va = S/.8635
45 P(A ) = 1 - P(A) = 1 - c 35 m 36 c
Clave E
5Vn = 19 175
& Vn = S/.3835 Clave D
12. 2 meses = 60 días t días 14 de septiembre
Dc = S/.210 Vn = S/.45 000 6 de octubre
Dc = Vn . r . t 36 000 210 = 45 000 . 4 . t & t = 42 días 36 000 25 días 6 oct. 7 oct.
Sabemos: Dc = Vn - Va 9000 . r . 73 = 9000 - 8635 36 000 73r = 365 & r = 20 4 ` r% = 20%
A: no aparecen dos 6.
A: Roberto se matricula en el curso de Física II. B: Roberto aprueba el curso de Física II. Clave E
...(2)
9 = Vn - 3700 4 Vn - 3775
9. Sean los eventos:
4
...(1)
Dc2 = Vn - Va2
Clave A
8. W = {MMM; MMH; MHM; HMM; MHH; HMH;
Clave A
3. 3n = 51
64 Intelectum 4.°
Dc1 = Vn - Va1 Vn . r . 90 = Vn - 3700 1200
= 1792 4199
1 P (A + B) P(A/B) = = 8 =1 P (B) 4 4 8
4
Q3 = 26 + 10 c 51 - 28 m 25 Q3 = 35,2
Clave C
Sean los eventos: A: la familia tiene 3 hijos. B: la familia tiene por lo menos dos hijas.
n = 34 2
Q1 = 16 + 10 c 17 - 8 m 20 Q1 = 20,5
9 2 6 C10 1 # C6 # (C1 ) 20 C8
Va1 = S/.3700
Va2 = S/.3775
HHM; HHH}
n = 68
& Me = 26 + 10 c 34 - 28 m 25 Me = 28,4
11. Dato:
= 384 4199
fecha que se cobró
17 días 31 oct. 1 nov.
17 nov.
42 días
` El documento vence el 17 nov. Clave A
Clave A