Geometría En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa. B
SEGMENTOS PROPORCIONALES
En el ABC:
c
Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos,
c
a
m
a
PQ y RT , si: AB CD
=
PQ
A
RT
AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm, como
2
y
PQ RT
1
=
2
D
n
m
Ejemplo:
1
C
n
AB CD
=
TEOREMA DEL INCENTRO En todo triángulo el incentro determina en la bisectriz segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ángulo bisecado y el tercer lado.
, entonces AB y CD son proporcionales a
B
PQ y RT .
TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas, determinan en una recta secante secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas D
A B
BC
A
BC
C
01. A partir del gráfico mostrado se pide calcular x, si PQ es L3
paralelo a BC y AD . B
C
x
2
P
AC AB
EF
DF
2
DE
B
Q
2
4
A
D
A) 2 D) ½
COROLARIO
B) 3
C) 1 E) 2/3
L1
M
N
02. En la figura L 1 // L 2 // L 3 // L 4. Hallar FH – EG, si EH = 27.
L2
A A
L3
C
Si: L1 // L 2 // L3
por Tales:
1
BM MA
BN
E
L1
F
B
L2
1,5
NC
C
en el ABC: si MN // AC se cumple:
G
BM MA
H
BN
NC
A) 4 D) 9
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa.
B) 6
C) 8
03. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4. Halla MO, si MP = 45 y L 1 // L 2 // L 3
A m
D
a
a
N
m
P
n A) 10 D) 16
C n
L1
M O
En el ABC:
c
L4
E) 12
A B
L3
2 D
c
b
PRÁCTICA DIRIGIDA
DE
DF
n
b
EF
AC
También:
ac
n
Si: L1 // L 2 // L3 Entonces:
m
I
L2 F
AB
En el ABC “I”: incentro a
L1
E
C
m
c
B
L2 C
L3
B) 12 E) 18
04. En la figura se cumple que:
C) 14
AO
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR MO, si MP = 15 y : L 1 // L 2 // L 3.
93
OB
2
BC
3
4
. Hallar
Geometría D) 32 A N
M O B
14. Grafique al triángulo ABC y AD bisectriz interior. En los triángulos ADB y ADC, DE y DF son también bisectrices interiores en ese orden. Si AE = 30; EB = 10 y FA = 24, hallar FC. A) 5 B) 4 C) 6 D) 12 E) 8
L2 C
P
A) 3,3 D) 6.6
L1
E) 36
L3
B) 1,6 E) 7
C) 5
PROBLEMAS PROPUESTOS
05. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden respectivamente 18 m y 30 m. Por un cierto punto M del
15. En la figura se tiene que AB // CD // EF . Calcular DF – BD. A
lado AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN = 5m, ¿a qué distancia está M de A? A) 3 m C) 6 m E) 9 m B) 15 m D) 2,50 m
4
C
7
D
5x –5
E
06. En un triángulo ABC, la bisectriz del A corta a BC B
en M. Por M se traza una paralela al lado AB , la que cota a AC en el punto N. Si MN = 3 m, MB = 1 m y MC = 6 m; el lado AC mide: A) 18 m C) 10 m B) 9 m D) 21 m
E) 19 m
2x+1
A) 8,5 D) 7,6
F
B) 7,5 E) 7
C) 8,6
16. Del gráfico calcular y – x si L 1 // L 2 // L 3.
07. En un triángulo ABC: AB – AC = 2, BC – AB = 2 y BC + AC = 20. Calcular el mayor segmento que determina la bisectriz en el lado de mayor longitud. A) 5,33 C) 4,25 E) 6,70 B) 6,67 D) 5,50
L1 10
x
y+4 L2
x –3
8
y L3
08. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8; AB = 4 respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado BC . Hallar la longitud de AM de modo que el triángulo MAN y el trapecio BMNC tengan igual perímetro. A) 3,5 B) 2,0 C) 1,5 D) 2,5 E) 3,0
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
17. Hallar AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7. B
09. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y la ceviana BP que se cortan perpendicularmente. Si AP
PC
1 3
A
y BC = 25, hallar BD.
A) 4,5 D) 7,5
B) 5 E) 10
C) 6
A) 1/4 D) 2/7
DM AC
B) 1/5 E) 1/9
B) 9 E) 24
C) 1
B, AD = 8, DC = 10, entonces el lado BC mide:
, si
AB
C
3
BC
2x+3
5 D
C) 1/8
11. El perímetro de un triángulo ABC es 36 cm. Hallar AC si el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo a AC . A) 8 D) 18
B) 2 E) 1,5
18. En el triángulo rectángulo ABC, BD es bisectriz del
10. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM . Hallar:
C
R
A) 3 D) 3,5
A
A) 10 D) 16
2x –3
B
B) 8 E) 30
C) 12
C) 12 19. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8 y AC = 6, se traza la bisectriz exterior BE (E en la prolongación de CA ). Calcular EA. A) 5 B) 4 C) 8 D) 2 E) 6
12. Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcular la longitud del tercer lado sabiendo que, en este triángulo el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al tercer lado. A) 7 B) 3 C) 11 D) 8 E) 10 13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD y por D la paralela DE a AC (E en AB ) si BD = 12, DC = 2 y DE = 6, hallar BE. A) 16 B) 18 C) 24
94
Geometría
El ABC ~
PQR
2.3 Tercer caso.- Dos triángulos serán semejantes si tienen sus DEFINICIÓN.- Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres
tres lados respectivamente proporcionales. Q
ángulos interiores de igual medida y los lados homólogos respectivamente proporcionales. Q B
c
A
C
b
Notación
P
l ABC ~
A
R
bk
ak
ck
a
c
ak
ck
a
B
C
b
P
R
bk
PQR
El ABC ~
El símbolo “ ” se lee: “es semejante a” Dados dos triángulos semejantes llamaremos lados homólogos, uno en cada triángulo, a aquellos opuestos a ángulos congruentes.
* OBSERVACIÓN
* OBSERVACIÓN
1) Si: MN // AC
En dos triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales así como sus elementos homólogos (altura, bisectriz, mediana, etc.) Se llama elementos homólogos a los elementos de uno y otro triángulo semejante que se encuentra en relación directa.
PQR
B
M
N
Q
B
A
C
M S
El ABC ~
P
N
C
A
El ABC ~
MBN
R
T
2) Si: MN // AC
M
N
PQR
B
K: Razón de semejanza.
C
A
2. CRITERIOS DE SEMEJANZA
Son:
2.1 Primer caso.- Dos triángulos serán semejantes si tienen por lo menos dos ángulos de igual medida
El ABC ~
MBN
3) En todo triángulo Oblicuángulo, al trazar las alturas de dos de sus vértices, los pies de dichas alturas y el tercer vértice son vértices de un triángulo semejante al triángulo dado.
Q
B
a.- Si a < 90º
B
A
C
El ABC ~
R
P
Q
PQR
P
2.2 Segundo caso.- Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y comprendido entre dichos lados de igual medida.
el
ángulo
C
A
Q
Si
B
AQ y CP son alturas del
ck c
A
b
C
P
bk
R
95
El QBP ~
ABC
y
ABC
Geometría PRÁCTICA DIRIGIDA
b.- Si a > 90º
P Q
01. Hallar PQ, si PQ
B
//
AC
C
A
Si
AQ y CP son alturas del El QBP ~
ABC
ABC
y A) 1 D) 4
4) Si en un triángulo trazamos una ceviana interior BM, tal que m MBC = m entre AC y MC.
B) 2 E) 6
C) 3
02. En la figura, hallar “x” si el perímetro del Δ PQR es 147.
BAC, entonces BC es media proporcional B
A
En el =
A) 35 D) 56
C
D
B) 42 E) 70
C) 49
ABC, si BM es ceviana interior y m MBC = m BAC 03. En la figura se pide el lado del rombo ADEF si: AB = 15 y AC = 10.
5) Si: AB // MT // PC Entonces:
B
A) 6 D) 4
P
B) 8 E) 7
C) 5
M
04. En la figura se pide EF si ABCD es un cuadrado de lado 12 y BM = MC. A
C
T
6) En el gráfico, si BC // MN // AD. B
C
Entonces: M
N
A) 7 B) 8 D) 10 A
D
C) 9 E) 8,5
05. Hallar el lado del cuadrado PQRS si AP=4 y SC=9.
PROBLEMAS PROPUESTOS A) 4
96
B) 5
C) 6
Geometría D) 7
E) 8
06. Hallar “BC” si AF = 16 y FB = 2.
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
A) 4 D) 5,2
C) 7
B) 4,8 E) 2,4
C) 5
15. En el gráfico: PQ = 6; QM = 2 y R = 5. Hallar la mayor 07. Sobre el cateto AB de un triángulo rectángulo ABC,
flecha correspondiente a la cuerda AB .
recto en B, se ubica un punto “P” y sobre la hipotenusa el punto medio “M” tal que m PMB=90º. Si: AP=2 y PB=4; calcule la longitud de la hipotenusa “AC”. A) 4 3
B) 2 3
D) 6
E) 6 3
C) 4
08. En un triángulo ABC, AB = 8; BC = 12 y AC = 10. Por un punto “P” de AB se traza PQ
//
AC (“Q” en BC ).
Calcular “BP” para que el perímetro del triángulo BPQ sea igual al perímetro del trapecio APQC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 7
A) 1,6 D) 7,1
09. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 9 u. Hallar la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares entre si. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E)8
B) 2,8 E) 7,8
C) 8,4
10. En la figura, hallar “x” si a=12 y b=4.
PRÁCTICA DIRIGIDA 01. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12m. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. A) 1 D) 2,5
B) 2 E) 3,5
C) 3
A) 4 D) 60/13
11. En un triángulo ABC, la prolongación de la bisectriz interior BD , corta a la circunferencia circunscrita en el
02. En la figura:
B) 5 E) 25/13
C) 15/13
m 4 a = ; hallar: . n 25 b
punto E. Hallar la longitud de AE , si BD = 16 y DE = 9. A) 12,5 D) 12
B) 7 E) 15
C) 10
12. En un paralelogramo ABCD, 3BC = 2CD, sobre AC ubica un punto “Q” tal que la distancia de “Q” en 3u. Calcular la distancia de “Q” a A) 3,5 u D) 4
B) 2 E) 4,5
se
AB es
AD .
A) 4/25 D) 2/5
C) 3
13. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden 8 y
lado BC . B) 15 E) 17
C) 4/5
03. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 y CF=2. Hallar “DE”.
10u; si la distancia del incentro al vértice A es de 5u. Calcular la distancia del incentro al excentro relativo al A) 18 u D) 11
B) 2/25 E) 3/5
C) 11,5
14. Calcular el lado del cuadrado PQRS sabiendo que: b = 6 y h = 4.
97
Geometría 09. Si ABCD es un cuadrado, BE = 1 y EC = 9. Calcular “EF”. A) 3 D) 8/3
B) 4 E) 10/3
C) 5
04. En la figura, se pide la proyección de AB sobre la recta “L”.
A) 1 D) 7 A) 12 D) 16
B) 10 E) 17
C) 15
05. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200m 2. Calcular la hipotenusa.
B) 3 E) 8
C) 6
10. Las diagonales de un rombo miden 6 y 8. Calcular el radio de la circunferencia inscrita a dicho rombo. A) 2 B) 3 C) 2,4 D) 3,2 E) 3,6 11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” se traza la
A) 5 D) 10 3 06.
B) 10 E) 5 2
C) 10 2
altura BH
AQ
las cuales se
cortan en “P”. Calcular “BP”, si AP = 7 y PQ = 2. A) 3 B) 4 C) 5
PQ 1 AB y BC son diámetros. Si = y HB=8. QH 2
D) 6
Calcular el valor de BC
A) 8 D) 12
y la bisectriz interior
E) 2 3
12. Hallar “r”, si el lado del cuadrado ABCD es 8.
B) 9 E) 16
C) 10 A) 2 D) 2,5
07. La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9 cm. Calcular el radio de la rueda.
B) 3 E) 3,5
C) 4
13. Hallar el radio del círculo menor si: R = 36 y r = 9. PQ es tangente.
A) 15 D) 18
B) 16 E) 20
A) 2 D) 5
C) 17
B) 3 E) 6
C) 4
14. Si: AO = OB = 16. Hallar “r”.
08. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 16, siendo “M” punto
medio
de
AD
.
Calcular
el
radio
de
la
circunferencia
A) 3 D) 6
A) 8
B) 10
D) 14
E) 4 2
C) 12
B) 4 E) 8
C) 5
15. Calcular “MN”, si: a2 + b2 = 36 siendo “M” y “N” puntos medios de DE y AC .
98
Geometría
A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5
EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A) 2 6
B)
D)
E) N. A.
105
57
C)
95
07. Calcular el lado del rombo ABCD, si: AM = MB; MD = 9 y MC = 13.
PRÁCTICA DIRIGIDA 01. Hallar “AH”, si: AB = 5; BC = 7 y AC = 10.
A) 10 D) 8 A) 2,8 D) 2
B) 3 E) 3,5
C) 1,5
02. Hallar “PA”, si AB = 3; BC = 4 y AC = 2.
B) 12
C) 9
E) 13
08. Las bases de un trapecio miden 10 y 24. Los lados no paralelos miden 13 y 15. C alcular la altura del trapecio. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15 09. Las bases de un trapecio miden 4 y 10; los lados no paralelos miden 5 y 7. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. A) 7 D) 3 5
B) 2 7 E) 3 7
C) 6
10. En el gráfico: AD = 14; DC = 6 y AC = 10. Hallar “EC”.
A) 1/2 D) 3/4
B) 1/4 E) 3/5
C) 2/3
03. Calcular la longitud de la menor mediana de un triángulo cuyos lados miden 7; 9 y 14 cm. A) 3 cm B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 04. Calcular la mayor altura de un triángulo cuyos lados miden 5; 6 y 7 cm.
05.
A) 2 6cm
B) 12 6/5
D) 12 6/7
E) 6
C) 6 6/5
Hallar “BD”, si: AB = 6; BC = 8 y AC = 7.
A) 6 D) 6
B) 2 6 E) 4
A) 29 D) 30
C) 3 15
11. En la figura se pide “BT” si: AB=5; BC=7 y AC=6 además “T” es punto de tangencia.
C) 3
06. Hallar “BE”, si: AB = 14; BC = 6 y AC = 12.
B) 2 5 E) 2 15
A) 5
B) 6
D) 4 3
E)
C) 2 3 15
12. Calcular la menor altura de un triángulo cuyos lados miden:
99
5; 6 y
7.
Geometría A)
23 7
B)
26 7
D)
29 7
E) N. A.
C)
32 7
02. En la figura: AB = 8; BC = 10 y AF = 16. Calcular el valor de “AE”.
13. En la figura, calcular “BP”, si: AB. BC=32 y BP=PQ.
A) 6 D) 12
B) 8 E) 10
C) 9
03. Calcular “AT”, si: AB = 4 y BC = 12.
A) 3 D) 3,5
B) 4 E) 4,5
C) 5
14. Hallar “PC”, si: r = 5.
A) 8 D) 6
B) 9 E) 12
C) 10
04. En la figura ABC es un triángulo equilátero. Si: FA = 4; FB = 9, calcular “FC”.
A) 5 2
B) 5 3
D) 4 5
E) 2 10
C) 2 5
15. Hallar “AE”, si: R = 2 5 y r = 3.
A) 9 D) 12
A) 7
B) 8
D) 2 7
E) N. A.
B) 10 E) 13
C) 11
C) 9
EN LA CIRCUNFERENCIA 01. En la figura: AM = 12; MB = 9 y MC = 4. Calcular “DM”.
01. Los lados de un triángulo ABC miden 13 dm, 14dm y 15 dm. Calcular el área de la región triangular ABC. A) 74 dm2 D) 84
B) 80 E) N.A.
C) 82
02. En un triángulo los lados miden 5 dm, 6 dm y 7 dm. Calcular el valor del inradio. A) D) A) 16 D) 27
B) 18 E) 30
C) 20
3 5 dm 2 6
B)
2 6 3
C)
2 2 3
E) 6 6
03. ABC es un triángulo equilátero si: FC = EB + 1, AC = 5(EB) = 10. Calcular el área del triángulo sombreado EBF.
100
Geometría A) 1/2 D) 1
B) 2 E) 2/3
C) 3
11. Grafique al triángulo ABC de incentro “O” y excentro “E” relativo al lado BC . Sea EQ un exradio (Q pertenece a la prolongación de AC ) y sea de 20 dm 2 el área de la región triangular ABC. Calcular el área de la región triangular AOQ. 5 6 3 7 D) 6 9 A)
4 2 9 7 E) 7 2
B)
7 C) 3 2
A) 10 dm2 D) 15
B) 20 E) 8
C) 5
12. Grafique una circunferencia de centro “O” y ubique un
04. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, determina sobre la hipotenusa dos segmentos que miden 4 dm y 6 dm. Calcular el área de dicho triángulo rectángulo.
punto exterior tal como “A”. Trace las tangentes
AT y
AB , luego la secante ACD de modo que: m
=
_ , AT=4 dm y AC= 2 dm BD Calcular el área de la región triangular ABC. m
A) 12 dm2 D) 24
B) 16 E) 26
C) 20
3 13 2 4 D) 15 3 A)
05. Calcular el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio. A) 52 dm2 D) 108
B) 60 E) 120
C) 80
06. Si: AB=6, BC=8 y R=4 dm. Calcular el área del triángulo.
3 15 4 3 E) 15 2 B)
C)
5 15 4
13. En un triángulo ABC la altura h a mide 4 dm y el inradio mide 1 dm. Calcular la longitud del exradio relativo al lado BC A) 4 dm D) 1
B) 3 E) N.A.
C) 2
14. Grafique el pentágono convexo ABCDE de modo que: AC = 10 dm, AB = AE, BC = CD y mA = m C = 90º. Calcular el área de dicho pentágono ABCDE. A) 18 D) 36
B) 26 E) 38
C) 28
07. Las bases de un trapecio miden 4 dm y 8 dm, su altura es de 2 dm. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medio de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos. A) 1 dm2 D) 4
B) 2 E) 5
A) 100 dm2 D) 40
B) 25 E) 75
C) 50
15. Para dos vértices opuestos de un cuadrado de lado igual a 6 dm, se trazan dos paralelas distantes 2dm. Calcular el área del paralelogramo que se forma.
c) 3
08. Los lados de un triángulo miden 3 2 dm, 26 dm y 2 5 dm. Calcular el área el triángulo mencionado. A) 4,5 dm 2 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 09. Los exradios de un triángulo rectángulo miden 6 dm y 9 dm (relativos a los catetos). Calcular el área de la región de dicho triángulo. A) 27 dm2 D) 54
B) 36 E) 60
A) 45 3 D) ( 153 - 3) 2
C) 45
10. E y F son puntos de tangencia. Si “O” es el centro. Calcular la relación de las áreas sombreadas.
101
B) 18 2 E) ( 153 - 3) 3
C) 9 153
Geometría 06. Calcular el área de un rombo cuyo lado mide 13 y una de sus diagonales mide 24. A) 100 B) 140 C) 120 D) 60 E) 160 07 Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 y 12. Calcular el área de dicho trapecio si el segmento que une los puntos medios de las bases mide 6. 01. En la figura BC // AD
y AD = 2BC
Hallar la relación entre el área sombreada y el área del cuadrilátero ABCD.
A) 20
B) 40
D) 40 2
E) 50 2
C) 20 2
08. Calcular el área del triángulo AMN si ABCD es un rombo de 16m2 de área, además “M” y “N” son los puntos medios de DC y BC .
A) 2/3 D) 2/5
B) 1/4 E) ½
C) 1/3
02. En un trapecio rectángulo ABCD ( BC // AD ) se sabe que: BC=6; AD=8 y el área del trapecio es 28 m 2. Calcular CD. A) 5 D) 4 5
B) 2 5 E) 8
03. Los cuadrados ABCD y DEFH cm2 respectivamente. Hallar sombreada.
A) 12 m2 D) 4
C) 3 5
tienen áreas 45 y 20 el área de la región
B) 8 E) 10
C) 6
09. Cuánto vale la suma de las diagonales de un rombo si su área es 600 m 2 y su perímetro 100m. A) 60 m B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 10. En la figura, hallar el menor valor de “x” para que el área del rectángulo sombreado sea 30m 2.
A) 15 cm 2 D) 12
04. Si: BC
A) 5 D) 6
//
B) 30 E) 16
C) 18 A) 4 m D) 7
AD y S1 = S2, calcular “x”.
B) 3 E) 7,5
B) 5 E) 9
C) 6
11. Calcular el área de la región sombreada, si: AE = 2u y FB = 1 u.
C) 4
05. Un terreno tiene forma rectangular, su perímetro mide 46 metros y su diagonal 17 metros; entonces el área del terreno es: A) 120 B) 240 C) 60 D) 280 E) 140
A) 6 u2 D) 12
B) 8 E) 10
C) 9
12. En el gráfico, hallar el área de la región sombreada
102
Geometría A) 2π D) 6π
B) 3π E) 9π
C) 4π
03. En un trapecio rectángulo el perímetro es 18u y el lado mayor no paralelo es 7u. El área del círculo inscrito en el trapecio es: A) 2π D) 3 A) 16 D) 19
B) 18 E) 20
C) 17
B) π E) N. A.
C) π/2
04. Halle el área sombreada si: AO=OB=10, además PRQS es un cuadrado.
13. Hallar el área del triángulo OPQ siendo “O”, “P” y “Q” los centros de los círculos tangentes de radios 9; 16 y 4.
A) 75 D) 200
B) 100 E) 300
14. En un cuadrado de 6m de lado se inscribe un rectángulo de 8m de diagonal con la condición de que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado. El área del rectángulo es: A) 2m2 D) 4
B) 2 5 E) 8
A) 5π-8 D) 10(5π-4)
C) 150
B) 10π-80 E) N. A
C) 10(5π-8)
05. Hallar “r”, si: S 1 + S2 = 16π.
C) 4 5
15. Si ABCD es un paralelogramo, halle S x, si: S 1=7u2; S2 = 5u2 y S3 = 3u2. A) 4
B) 8
D) 2 2
E) 4 2
C)
2
06. Hallar el área de la corona circular mostrada si: AB=2 m (T : Punto de tangencia)
A) 10u2 D) 20
B) 12 E) 7,5
C) 15 A) π D) 4 π
B) 2 π E) 6 π
C) 3 π
07. Calcular el área de la corona circular sabiendo que: AB = 12 y CD = 8. 01. Calcular el área de un círculo si su diámetro es igual al lado de un cuadrado de área 36m 2. A) 3π D) 10π
B) 6π E) 12π
C) 9π
02. Halle el área de un círculo inscrito en el sector circular mostrado, si: R = 6.
A) 8π D) 24π
B) 16π E) 25π
08. Si: AO = OB, calcule: x/y
103
C) 20π
Geometría
A) π-2 D) 2(π+2) A) 1/2 D) 3/4
B) 2/3 E) 4/5
B) π+2 E) N. A.
C) 2(π-2)
C) 1 13. Determinar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 4u.
09. Calcular el área de la región sombreada, si: AO=OB y R=2.
A) 16π-9 D) 16-5π A) π( 2 2- 1) D) π(4 2-3)
B) π( 2-1) E) N. A.
C) π(3 2-1)
B) (32-9π)/2 E) N. A.
C) 32-9π
14. Calcular el área de la región sombreada, si: CF=6.
10. Hallar el área S x, si: S 1 + S2 + S3 = 100u 2.
A) 9π D) 6π
B) 18π E) 20π
C) 12π
15. En la figura AM = MC, hallar el área de la región sombreada si el diámetro AB mide 20u.
A) 50 D) 120
B) 100 E) 200
C) 80
11. En la figura, hallar: “S 2 - S1” si el lado del cuadrado ABCD es igual a 4cm.
A) π D) 10π
A) 3π-8 D) 2(3π+4)
B) 2(3π-8) E) N. A.
C) 2(3π-4)
12. Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado ABCD es igual a 4cm.
104
B) 2π E) 20π
C) 5π
