Introdução
Sinais elétricos são em geral descritos no domínio domínio do tempo.
Representação no domínio do tempo:
Análise de Fourier para Sinais e Sistemas
medidas de: amplitude, valor máximo, período, potência, ...
em muitas situações a representação no domínio do tempo não é suficiente para descrevê-lo completamente.
Primeira parte:
Representação Representaç ão no domínio da freqüência:
Medidas de: espectro, componentes de freqüência importantes, largura de banda, ...
A série de Fourier
Série de Fourier
(para sinais periódicos).
Transformada de Fourier Espectro
(para sinais aperiódicos).
Densidade de Potência (para sinais de informação -
sinais aleatórios). Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
1
Análise de Fourier
1. Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas
x(t ) = e st
x (t ) = e
st
em que s é um número complexo da forma: s =
Utilizando a integral de convolução calculamos a saída y(t):
y (t ) =
∞
∫ h(τ)e (
s t − τ )
−∞
d τ = e st
∞
∫ h(τ)e
− sτ
−∞
+j
y (t ) = e st H ( s )
→ →
s1t
est
H(s)
Observe também também que a operação de convolução entre a entrada e
é chamada de autofunção autofunção do sistema. sistema. é chamada de autovalor. autovalor.
saída foi substituída pela de multiplicação. 3
Análise de Fourier
+ a 2 e s t + L + a N e s N t 2
e
s N t
y (t ) = a1e H ( s1 ) + a 2 e H ( s 2 ) + L + a N e
4
anteriormente foi apresentado dois tipos de sinais periódicos:
cos (w0 t )
Como o sistema é LTI
s2 t
Marcelo B. Joaquim
2. Representaç Representação ão em série de Fourier de sinais periódicos periódicos
aplicando uma combinação de exponenciais na entrada tem-se:
H[ . ]
ela é modificada por H(s) em amplitude e fase, pois H(s) é um número complexo.
Marcelo B. Joaquim
s1t
saída: exponencial complexa ou senóide
a saída apresenta a mesma forma da entrada,
y (t ) = e st H ( s )
x (t ) = a1e
Observações:
d τ
Assim, a resposta do sistema apresenta a seguinte forma:
Análise de Fourier
entrada: exponencial complexa ou senóide
H ( s )
2
Considere que é aplicado na entrada de um sistema LIT com resposta ao impulso h(t), uma exponencial complexa, x(t), tal que:
Marcelo B. Joaquim
H ( s N )
jw0 t
sinal cossenoidal
= cos(w0t ) + j sen (w0t )
exponencial complexa
E o conjunto de exponenciais e jkwot complexas, relacionadas harmonicamente:
Φ k (t ) = e jkw t , k = 0 , ± 1 , ± 2 , L
N
y (t ) =
∑a e k
0
sk t
H (s k )
k =1
a saída é uma combinação linear de exponenciais complexas.
pista: sinais podem ser representados por uma combinação linear de exponenciais complexas do tipo e sk t .
Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
5
wk
= k w0
T k
=
freqüência de cada harmônico
T 0 k
Análise de Fourier
período de cada harmônico Marcelo B. Joaquim
6
Uma combinação linear do conjunto de exponenciais complexas pode
Exercício 1: Considere a série exponencial abaixo:
ser escrita da seguinte maneira:
3
∑
x (t ) =
a k e
∑a e
x (t ) =
∞
jkw0t
jkw0 t
w0
k
= 2π
= Ak e jφ k
são os coeficientes da série
termo constante ou dc
k = 1 → w0
primeiro harmônico ( freq. fundamental )
k = 2 → 2 w0
segundo harmônico Marcelo B. Joaquim
=
x0
x (t ) =
x (t ) =
7
Exercício 1 (continuação) 2
1 2 1 2
+
1
(e 4 1
+
j 2 πt
+ e − j 2 πt ) +
x1
=
2
2
Análise de Fourier
1
x0
2
2
x0 + x1
2
-2
= cos(4πt )
x (t )e
-2
-2
2
3
2 0
=
3
j 4 πt
2 3
+ e − j 4 πt ) +
1
(e 3
j 6 πt
+ e − j 6πt )
cos (6πt )
8
∑a e
− jnw0t
∞
=
∑a e
∫
x0 + x1 + x2 + x3
0
x (t )e
− jnw0t
dt =
e
− jnw0t
− jnw0 t
0
∞
∫ ∑ a e T 0
0
2
-2
jkw0 t
k
e
integrando em um período: T 0
cos (6πt )
0
jkw0 t
k
k = −∞
x0 + x1 + x2
0
x3
(e 2
Multiplicando ambos os lados da equação acima por
-2
2
1
k = −∞
0
2
= a −3 =
4
∞
x (t ) =
cos (2πt )
0
x2
2
a3
Marcelo B. Joaquim
-2
2
1
cos (2πt ) + cos (4πt ) +
0 1
1
1
2.1. Determinação dos coeficientes da série de Fourier
0 -2
= a− 2 =
= a −1 =
freqüência tem-se:
complexos
k = 0 → a0
Análise de Fourier
a2
2
a1
expandindo a equação acima e agrupando os sinais de mesma
A equação acima é a série de Fourier para sinais periódicos. a k
=
k = −3
k = −∞
1
a0
k
jkw0t
e
− jnw0t
dt
k = −∞
trocando a ordem da integral com a somatória:
-2
Análise de Fourier
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T 0
∫ 0
x (t )e
∑ ∫
− jnw0t
dt =
a k
k = −∞
T 0
e
∫ 0
e
jkw0 t
0 , e j (k − n )w t dt = T 0 , 0
Análise de Fourier
dt
0
k ≠ n
Marcelo B. Joaquim
O intervalo de integração não precisa ser o anterior, basta que seja feito em um período qualquer.
O par de equações que definem a série exponencial de Fourier é mostrado abaixo:
k = n
∞
x (t ) =
funções ortogonais base para funções periódicas
∑a e
a k
=
1
x (t )e T ∫ 0
Análise de Fourier
=
1
T 0
T 0
∫ 0
x (t )e
jkw0 t
equação de síntese: reescreve o
k
sinal a partir dos coeficientes a k.
k = −∞
portanto:
a k
10
Observações:
j ( k − n )w0 t
como: T 0
∞
9
T 0
− jkw0t
dt
equação de análise: calcula os coeficientes a k.
− jkw0t
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dt 11
Análise de Fourier
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12
Condições de existência da série:
A convergência da série é garantida se as condições de Dirichlet forem satisfeitas:
Exercício 2:
x(t ) =
π + sen (w0t ) + 2 cos (w0t ) + cos 2 w0t + 2 4
1
x(t) é um sinal limitado (absolutamente integrável ou somável em um período),
x(t) apresenta um número finito de máximos e mínimos em um período,
se x(t) apresenta um número finito de descontinuidades em um
|ak|
período.
série convergirá para o ponto médio de x(t) em cada descontinuidade.
fase ímpar
Módulo par -2 -1 0 1 2
Exercícios: -2
Análise de Fourier
ak
Se o sinal satisfizer as condições acima e não for contínuo então a
Marcelo B. Joaquim
-1
T 0
=
14
ak To = 4
-T0 /2 -
τ − jkw t 0 e dt −τ
∫
a k
=
1
k π
T0 /2
sen(kw0 τ ) , k ≠ 0
To = 4
a k
Marcelo B. Joaquim
1
1 , t < τ 0 , τ < t < T 0 / 2
=
kw0
Gráficos dos coeficientes a k
x (t ) =
a k
2
Análise de Fourier
13
Exercício 3: onda quadrada
1
0 1
a k a0
=
2
=
sen(k π / 2 ) , k ≠ 0 k π
a k
=
k
τ
0
T 0 ak
To = 8
sen(k π / 2 ) , k ≠ 0 k π
To = 8
sen(k π / 4 ) , k ≠ 0 k π
a k
=
sen(k π / 4 ) , k ≠ 0 k π
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Análise de Fourier
15
Espectro de amplitude e de fase
1/4
k
0
OBS: Neste caso, e particular os coeficientes são reais Análise de Fourier
kw0
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16
Função sinc
|ak|
sinc( x ) =
Espectro de Amplitude
sen(π x )
π x
w
-2w 0 wo 0 w0 2wo
sinc(x) 1
Lóbulo principal
ak Espectro de Fase
-3 -2 -1
w
0 1 2
2
x
-
Análise de Fourier
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17
Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
18
2.2 Propriedades da série de Fourier
Exercício 4: onda dente de serra
x(t ) = t ,
→
<1
t
= 2 s
t 0
Sejam dois sinais periódicos x(t) e y(t
1
w0
-1
= π rad / s
1
t
3
período T0 e freqüência w 0 = 2 /T0 tais que: SF ak ← →
x(t )
-1
SF bk ← →
y (t )
2.2.1 Linearidade: k
a k
=
(− 1)
j
k π
j
=
k π
cos (k π )
=0
a0
SF ← → ck = Aak + Bbk
z (t ) = Ax(t ) + By(t ) A e B constantes
ou
a k
=
2.2.2 Deslocamento no tempo: 1
k π
e
j (k π + π / 2 )
SF ← →
y (t ) = x (t − t d ) OBS: |bk| = |ak|
Análise de Fourier
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19
2.2.3 Reversão no tempo:
∞
∑
← → y (t ) =
ak e
muda somente a freqüência fundamental (
bk
jk αwot
w0 ) e seus harmônicos.
= ak ∞
SF z (t ) = x (t ) y (t ) ← →
∫ x(τ )d τ
y (t ) =
d
ck
∑a b
=
P m
l k − l
Marcelo B. Joaquim
21
∑ a a = ∑| a
k = −∞
=
2
a− 4
a a −23 − 2 -3f 0 -2f 0
a −21
-f 0
a0
a12
f 0
a
2 2
a k
SF bk = jkw0 ak ← →
x(t ) dt
1
T 0
∫
T 0
∞
| x (t ) | dt = 2
∑a
2
k
k = −∞
Marcelo B. Joaquim
22
2f 0
3f 0
a 42
Marcelo B. Joaquim
os coeficientes a k são reais.
os coeficientes a k são imaginários.
Observação: Para um sinal real qualquer
2
a3
Os coeficientes a k |ak|
f
Fase
Análise de Fourier
jkw0
Função impar
2
1
Função par:
2
k |
k = −∞
2
−∞
Análise de Fourier
∞
* k k
SF ← → bk =
2.2.9 Simetria da função:
Espectro densidade de potência:
=
t
y (t ) =
l = −∞
Análise de Fourier
SF ← → bk = a*− k
2.2.8 Relação de Parseval:
2.2.5 Multiplicação de sinais:
P m
20
2.2.7 Integração e diferenciação:
SF
∞
Marcelo B. Joaquim
y (t ) = x* (t )
k = −∞
0
2.2.6 Conjugado complexo:
2.2.4 Compressão / expansão:
y (t ) = x (αt )
= e − jkw t d a k
somente a fase é alterada.
Análise de Fourier
SF ← → bk = a − k
y (t ) = x (− t )
bk
23
complexos conjugados
função par de a k
função ímpar.
Exercícios:
Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
24
2.3 Série trigonométrica de Fourier
Para sinais reais os coeficientes a k aparecem na forma de
a k
números complexos conjugados tais que:
a k
Considerando os coeficientes a k na forma retangular, isto é,
= Bk +
então:
∞
= Ak e jφ k
x (t ) = a 0
+2
∞
+2
∑
{ Ak cos (kw t + φ k )}
em que:
0
A0
Bk
= a0
=
k cos
(kw t ) − C k sen (kw t )} 0
0
1
x(t ) cos (kw t )dt T ∫
C k
0
T 0
0
k =1
= a0 ;
Ak
=
Análise de Fourier
25
1
T 0
∫ x(t ) sen(kw t )dt 0
T 0
relação com os coeficientes da série exponencial:
A0 Marcelo B. Joaquim
=
k = 1 , 2 ,L
k = 1 , 2 ,L
forma compacta
Análise de Fourier
∑ { B k =1
Portanto x(t) pode ser escrita na seguinte forma:
x(t ) = A0
jC k
Bk 2
C + C k 2 ; φ k = arctan k Bk
Marcelo B. Joaquim
26
2.4 Espectro de amplitude e de fase
Exercício 5: x(t)
(harmônicos).
π x(t ) = cos t 2
-5
−1 a k = (− 1) π (2k − 1)(2k + 1) 2
Gráfico dos coeficientes da série de Fourier em função da freqüência
k
-3
-1 0 1
=
a0
3
t
5
|ak|
espectro de amplitude espectro de fase
k
x(t ) = cos (w0 t ) =
2
π
(e 2
1
jw0t
+ e − jw t ) 0
1
os coeficientes a k são reais como a função é par temos somente termos em cossenos, os coeficientes b k são nulos.
1/2 0
w0
-w0
espectro unilateral Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
27
espectro de amplitude |a k|
x(t ) = sen (w0 t ) = cos w0 t −
π 2
=
1
Análise de Fourier
(e (
j w0t − π / 2 )
0
w0
espectro bilateral Marcelo B. Joaquim
28
Marcelo B. Joaquim
30
Exercícios:
+ e − j ( w t − π / 2) ) 0
2
1 1/2 0
w0
-w0 espectro de fase
/2
0
w0
k
/2 0
Análise de Fourier
w0
-w0
Marcelo B. Joaquim
0
w0
29
Análise de Fourier
Bibliografia complementar
Joaquim M. B. e Sartori, J. C., Analise de Fourier , CD-ROM, EESC-USP, 2003.
Análise de Fourier
Marcelo B. Joaquim
31
