Hidráulica 1
05/10/2007
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Hidráulica de tuberías Redes ramificadas Métodos numéricos aplicados al cálculo del coeficiente de fricción Holger Benavides Muñoz
1.
Diseño de redes ramificadas o abiertas
1.2
Modelos matemáticos para redes ramificadas. Conferencia 03:
“Métodos numéricos aplicados al cálculo del coeficiente de fricción”
Contenidos: Punto fijo. Newton - Raphson. Raphson Ejercicios de aplicación. Apoyo ofimático al cálculo (Excel – solver).
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Bibliografía
SALDARRIAGA, J. 2000. Hidráulica de tuberías. Bogotá, Col., McGraw – Hill. 592 p.
SOTELO, G. 1987. Hidráulica General, vol. I, fundamentos. México, Limusa. 561 p.
MATAIX, C. 1982. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2ª de. México, HARLA.660 P.
PEREZ, R. 1993. Dimensionado óptimo de redes de distribución de agua ramificadas. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral.
Reconocimiento y agradecimiento: Dr. Ing. Rafael Pérez García. GMMF.
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Modelos matemáticos
Darcy - Weisbach
La expresión para el cálculo de pérdidas en sistemas de tuberías a presión es: hf = f f L D Q
L V2 8 f L 2 = Q D 2 g π 2 g D5
= factor de fricción = longitud de tubería = diámetro interno = caudal
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Modelos matemáticos Cálculo del factor de fricción.
Para tubos lisos o rugosos en la zona de transición o turbulenta (para Re > 4000), se utiliza la ecuación de Colebrook Colebrook-White White para determinar el factor de fricción f de forma implícita de la ecuación de Darcy-Weisbach. Mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo o por el método de Newton - Raphson, cuya convergencia está asegurada para los valores de Re y habitualmente empleados p en redes de distribución. ε 1 2.51 = −2 log10 + f 3.7 D Re f
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Velocidad en función de pérdidas
− 2 2 ⋅ g ⋅ D ⋅ hf V = L
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⋅ log ε + 2.51 ⋅ v ⋅ L 10 3.7 D D 2 ⋅ g ⋅ D ⋅ h f
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CÁLCULO DE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
Re
ε
D
300000
(m) 0.0002
(m) 0.7
fi 0.0010000 0.0208077 0.0167014 0.0168853 0.0168758 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762
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ε 1 2.51 = −2 log10 + f 3.7 D Re f
POR TANTEOS
x 31.6227766 6.9324627 7.7379073 7.6956645 7.6978297 7.6977186 7.6977243 7.6977240 7.6977240 7.6977240 7.6977240
g(x) 6.9324627 7.7379073 7.6956645 7.6978297 7.6977186 7.6977243 7.6977240 7.6977240 7.6977240 7.6977240 7.6977240
f i+1 0.0208077 0.0167014 0.0168853 0.0168758 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762 0.0168762
x=
1 f
ε 2.51 g ( x ) = −2 log 10 + 3.7 D Re f
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Modelos matemáticos
CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSON
xi +1 = xi − x=
1 f
ε 1 2.51 = −2 log10 + f 3.7 D Re f
ε 2.51 g ( x) = −2 log10 + 3.7 D Re f
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g ( xi ) − xi g ' (xi ) − 1
2.51 2 Re g ' ( x) = − ⋅ ε 2.51 ( ) ln 10 3 .7 D + Re f
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CÁLCULO DE
f
Re 308405 fi 0.00100000 0.01636553 0.01449949 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0 01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Modelos matemáticos POR NEWTON RAPHSON
ε
D
(m)
(m)
0.000001522
0.1522
x 31.62277660 7.81690675 8.30469522 8.30605513 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8 30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514
g(x) 7.16982156 8.35668789 8.30619189 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8 30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514
g'(x) -0.02718175 -0.10658855 -0.10056864 -0.10055280 -0.10055280 -0.10055280 -0.10055280 -0.10055280 0 10055280 -0.10055280 -0.10055280 -0.10055280
Xi+1 7.81690675 8.30469522 8.30605513 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8 30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514 8.30605514
f i+1 0.01636553 0.01449949 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0 01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474 0.01449474
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Modelos matemáticos
Ejemplo de cálculo
Calcular el Q de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC de 293 mm de diámetro. Longitud: 730 m,, y con una carga g gravitacional g de: 43.5 m. Se asume que la rugosidad absoluta (ε) en m es: 0.0000015. Por coefc. global de pérdidas menores se espera un Kfm: 11.8. La densidad del agua: 998.2 kg/m³. Viscosidad dinámica (µ): 0.001005 Kg/(m.s).
Viscosidad cinemática ((ν): ) 0 0.001005 001005 / 998 998.2 2= Viscocidad cinemática:
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1.00681E-06 m2/s
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− 2 2 ⋅ g ⋅ D ⋅ hf V = L
⋅ log ε + 2.51⋅ v ⋅ L 10 3.7 D D 2 ⋅ g ⋅ D ⋅ h f
Modelos matemáticos
V 2 h f i +1 = H − K fm 2g
Q =
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0.31250
m3/s
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Deber
Practicar cálculos computadora) para (Colebrook – White)
(a el
mano y en cálculo de f
Al menos 2 ejc. por los métodos de punto fijo Al menos 2 ejc. por el método de N-R.
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