03-Dinamica_UGDL

Introducció Introducción a la Diná Dinámica de Estructuras y al Diseñ Diseño Sismo Resistente Josef Farbiarz F., M.S.C.E. Profesor Asociado

El curso va en la III.1

Facultad de Minas Universidad Nacional de Colombia Sede Medellí Medellín

III.102

Introducció Introducción a la Diná Dinámica de Estructuras y al Diseñ Diseño Sismo Resistente

III RESPUESTA DINÁMICA DE LAS ESTRUCTURAS III.2

III RESPUESTA DINÁMICA DE LAS ESTRUCTURAS Generalidades Ecuaciones de movimiento Sistemas elásticos de un grado de libertad Cálculo de la respuesta dinámica Espectros de respuesta Espectros de diseño Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas inelásticos

III.3

RESPUESTA DINÁMICA GENERALIDADES Sistema diná dinámico Acciones que varían rápidamente con el tiempo fuerzas inerciales similares en magnitud a las

estáticas

Cargas diná dinámicas Determinista: Variación temporal conocida. Estocástica o aleatoria: Variación temporal sólo

puede definirse estadísticamente.

III.4

RESPUESTA DINÁMICA GENERALIDADES Respuesta estructural

Aceleraciones Velocidades Desplazamientos Tensiones Deformaciones

III.5

RESPUESTA DINÁMICA GENERALIDADES

Comportamiento diná dinámico

ℜ[u (t )] = f (t )

Operador diferencial Respuesta

Identificación de la acción Identificación de sistemas Análisis dinámico

- Conocida

Excitación

ℜ

u(t)

f(t)

- Desconocida III.6


Cálculo del comportamiento diná dinámico Solicitació Solicitación

Está Estática, diná dinámica, sí sísmica

Idealizació Idealización diná dinámica

Discretizació Discretización, elementos finitos, etc..

Modelació Modelación matemá matemática

Equilibrio, compatibilidad de deformaciones, etc..

Solució Solución numé numérica

Métodos continuos o discretos

Respuesta III.7


Excitación Perió Periódica Solicitació Solicitación − Excitació

Armó Armónica simple

Motor sobre la estructura

Hélice

Compleja

III.8


Excitación Aperió Aperiódica Solicitació Solicitación − Excitació

Impulso

Explosió Explosión

Aceleració Aceleración del suelo Larga duració duración

III.9


Discretización Idealizació Idealización − Discretizació

III.10



III.11



UN GRADO DE LIBERTAD

III.12



III.13



III.14



DOS GRADOS DE LIBERTAD III.15



UNO Y DOS GRADOS DE LIBERTAD

III.16


Discretización Idealizació Idealización − Discretizació MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

III.17



III.18



III.19



III.20


Superposición Idealizació Idealización − Superposició

u ( x) b1 sen

πx

Oscilació Oscilación generalizada

L + 2π x b2 sen L + 3π x b3 sen L

··

III.21


Idealizació Idealización Elementos finitos Número finito de segmentos Tamaño y forma independientes Interconexión de segmentos: nodos Nodos: Coordenadas globales Incógnitas: desplazamientos nodales Deformación

continua: interpolación entre nodos

funciones

de

III.22

III RESPUESTA DINÁMICA DE LAS ESTRUCTURAS Generalidades Ecuaciones de movimiento Sistemas elásticos de un grado de libertad Cálculo de la respuesta dinámica Espectros de respuesta Espectros de diseño Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas inelásticos III.23

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO

1a Ley de Newton (1642-1727) ”Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicación de cualquier tipo de fuerzas." Se conoce también como Ley de Inercia. Es válida para cuerpos sin fuerzas aplicadas, o con fuerzas cuya resultante es nula. III.24


2a Ley de Newton (1642-1727) "La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio del momentum del cuerpo."

dQ F = dt

Pero el momentum Q, o cantidad de movimiento, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad:

dx Q = mv = m = mx& dt

III.25


2a Ley de Newton (cont.) Así:

dQ d d dx d F = = ( mv ) = (m )= ( m x& ) dt dt dt dt dt Si la masa del cuerpo permanece constante:

dx& F = m = m&x& dt Es decir

F = ma

III.26


3a Ley de Newton (1642-1727) ”A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud." Permite utilizar el procedimiento de cuerpo libre

III.27


Principio de D’Alambert (1717-1783)

F − ma = 0 fuerza inercial El equilibrio estático debe cumplirse en cada instante de tiempo, es decir, incluso las fuerzas inerciales deben cumplir con el equilibrio estático en cualquier instante dado III.28

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO Energía Potencial Trabajo realizado por una fuerza al recorrer una L distancia EP = Fdl = FL dE P = Fdl

∫ 0

F P

P

inicio

P fin

L

u L

III.29

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO Energía Potencial F P 0

inicio

k P

fin

x

x x

E

P

=

∫ P du

x

=

0

E

∫ 0

P

=

u

x

1  k u du =  k u 2  2 0

1 k x 2

2

III.30

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO Energía cinética

dv dv du dv F = ma = m =m =m v dt du dt du ∴ F du = m v dv x

vt

vt

1  2 E C = ∫ Fi du = ∫ m v dv =  m v  2  0 0 0 1 2 E C = m vt 2 III.31

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO Para todo sistema conservativo la energía total es constante:

EC + E P = r es decir, el cambio de la energía total es nulo:

d (E C + E P ) = 0 dt Algunos sistemas no son conservativos, es decir, tienen pérdida de energía, ya sea por amortiguación u otras fuerzas externas no conservativas. El trabajo de estas fuerzas constituye la energía disipada, Ed.

III.32


Principio de Hamilton (1805-1865) Un sistema está en equilibrio dinámico si

δΠ H = 0

donde: Π H

=

t2 ∫ t1

(E

δ = cambio de tiempo

P

− E C

)dt +

t2 ∫ t1

E d dt

de Π en el intervalo entre t 1 y t 2 III.33


Principio del trabajo virtual El trabajo realizado por todas las fuerzas de un sistema en equilibrio dinámico, incluyendo fuerzas inerciales, debido a un desplazamiento virtual, es nulo. 0

x

k c

m

kx . cx

.. mx

f

fδu − mu&&δu − cu&δu − kuδu = 0 ( f − mu&& − cu& − ku )δu = 0 mu&& + cu& + ku = f III.34


Ejemplo 1

f

x f

P µ

P0

t1

t

f = P0 1 − t  0 < t < t1 t1   f = 0 t ≥ t1 • Calcular el tiempo t2 en el que el bloque se detiene III.35


Ejemplo 1 m&x&

f

m&x& = f − r

r t = 0 ⇒ x = x& = 0 si x& = 0 y f < µP ⇒ r = f si x& > 0 o f ≥ µP ⇒ r = µP

III.36


Ejemplo 1 f

µP

P0

t1

t

P0 ≤ µP

t2 = x2 = 0 III.37


Ejemplo 1

f

Áreas iguales (Cambio en Q es cero)

P0 µP t2 t1

t

t =0⇒v=0 t = t2 ⇒ v = 0

µP < P0 ≤ 2 µP t2 2( P0 − µP ) = t1 P0

 µP  t2 = 21 − t1 P0   III.38


Ejemplo 1

f

Áreas iguales

P0

µP t1

t2

t

P0 > 2 µP

P0t1 = t2 µP 2

P0 t1 t2 = 2 µP III.39


Ejemplo 2

P

x0 = − h

P

x&0 = 0

h x

r

r = 0 si x ≤ 0 r = kx si x > 0

Hallar la máxima deflexión del resorte III.40


Ejemplo 2 La ecuación de movimiento es F=ma (2ª Ley de Newton), es decir: P

P−r =

f

P -h 0

g

&x&

La energía cinética es cero en t=0 y en el momento de máximo desplazamiento del resorte, por lo tanto, el trabajo realizado es cero y el área neta bajo la curva fuerzadesplazamiento debe ser cero

2 kx x 2 =0 ( ) ∴ P h + x − x2 2 2 P 2h   Si δ = ⇒ x2 = δ 1 + 1 +  k δ   III.41

RESPUESTA DINÁMICA ECUACIONES DE MOVIMIENTO 1 1 · 2 2 [ ] E ( t ) = J φ ( t ) EP (t ) = kt [φ (t )] c d 2 2 Por el principio de Hamilton:

x

Para un sistema sin amortiguación, y teniendo en cuenta que:

Φ(t) k

δ [∫ f (t )] = ∫ δ [ f (t )] δ [ f (t )] = n[ f (t )]

δ [ f (t )]

entonces:

t2 ∫t1 (ktφδφ

Ejemplo 3

n −1

n

· ·

− J d φδφ )dt = 0 III.42


Ejemplo 3 x

· · t2 t2 ∫t1 (ktφδφ )dt − ∫t1 ( J dφδφ )dt se integra por partes 

=0 A

f dg = f g − g df   

k

Φ(t)

∫ · ·· t2 t2 ( J d φ )δφ ]t − ∫t [( J d φ )(δφ )]dt B 1

∫

1

0 (por Hamilton) ·· t2

B en A ∫t 1

[(ktφ + J dφ )δφ ]dt = 0 III.43


Ejemplo 3

Entre t1 y t2 δφ puede tomar cualquier valor

··

ktφ + J d φ = 0

x

Ecuación de movimiento del sistema

O también:

k

Φ(t)

1  d 2  dt

d dt

(J d φ· 2 ( t ) +

(E C + E P ) = 0

)

k t φ 2 ( t )  = 0 

· ·· J d φ ( t ) φ ( t ) + k t φ ( t ) φ ( t· ) = 0 ··

J dφ (t ) + ktφ (t ) = 0

III.44


RESPUESTA DINÁMICA SISTEMAS ELÁSTICOS DE UN GRADO DE LIBERTAD (SUGDL) Vibració Vibración libre (no amortiguada− amortiguada−NA) 0

coordenada que describe el x movimiento

k

kx

m

rigidez

Mx¨

masa

m &x& + k x = 0 III.46

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (NA)

k &x& + x = 0 dividiendo por m: m Cuya solución es: k k x = C1 sen t + C 2 cos t m m k ω= Si: m

entonces:

x = C1 sen ωt + C 2 cos ωt x& = C1ω cos ωt − C 2ω sen ωt

Para t=0: x 0 = C1 sen 0 + C 2 cos 0

x& 0 = C1ω cos 0 − C 2ω sen 0

C2 = x 0 x& 0 C1 = ω

III.47

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (NA)

x& 0 x= sen ωt + x 0 cos ωt ω

Ecuación para vibraciones libres no amortiguadas

x vo xo

amplitud t

período T

ω = frecuencia en radianes/segundo (rad/s) f = ω/2π = frecuencia en ciclos/segundo (Hertz) T = 2π/ω = 1/f = período en segundos (s) III.48

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración forzada (NA) Esta ocurre cuando hay una fuerza, P(t), que causa el movimiento. En tal caso, la ecuación que lo define es:

k P (t ) x&& + x = m m

Carga sú súbita constante

k P x&& + x = m m

P x = C1 sen ωt + C 2 cos ωt + k Solución general

Solución particular

x& = C1ω cos ωt − C 2ω sen ωt III.49

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración forzada (NA) Considerando las condiciones iniciales, x=0 y v=0:

P C2 = − y C1 = 0 k P/

P x = (1 − cos ωt ) k

k

2

1

0

t III.50

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración forzada (NA) Pulso Cuando un sistema se somete a una carga P de valor constante por un intervalo de tiempo tp, pequeño con respecto a su período natural, la aceleración puede considerarse constante, igual a P/m. El efecto es como el de una velocidad aplicada al sistema. Dicha velocidad está dada por: Pulso o impulso: Área P i bajo la curva cargax& = &x&t P = t P = m m tiempo Esta ecuación es válida para duraciones de la carga hasta de aproximadamente un décimo del período natural de vibración del sistema. En tales casos, es inconsecuente la forma de la función carga-tiempo.

III.51

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración forzada (NA) Funció Función generalizada de carga Si se tiene una función de carga, un diferencial de tiempo podría tratarse como un pulso, que ocasiona un incremento en la aceleración, cuyo P[f(t)] efecto puede considerarse como una velocidad inicial para el instante siguiente:

P[f ( t )] = m&x& ⇒

dx& P[f ( t )] dt ⇒ dx& = &x& = dt m

τ

dττ

t 0

k

x m P[f(t)] P[f(t)] III.52

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración forzada (NA) Recordando la ecuación para vibración libre no amortiguada, y teniendo en cuenta que el pulso no causa desplazamiento inicial:

dx& 0 dx = sen ωt + dx 0 cos ωt ω

P[f ( t )] dx = senω(t − τ)dt mω

El desplazamiento total en un instante t será el efecto sumado de todos los pulsos debidos a cada diferencial de tiempo entre 0 y t: t

P[f ( t )] x=∫ senω(t − τ)dt 0 mω

Para un sistema con velocidad y desplazamiento iniciales:

t P[f ( t )] x& 0 x = x 0 cos ω(t − τ ) + senω(t − τ) + ∫ senω(t − τ )dt 0 mω ω Ecuación para cualquier carga arbitraria, para SUGDLNA III.53

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Amortiguació Amortiguación Todo movimiento tiende a disminuir con el tiempo debido a la pérdida de la energía presente en el sistema. La energía, ya sea cinética o potencial, se transforma en otras formas de energía como ruido, calor, etc. En los sistemas dinámicos esta pérdida de energía se denomina amortiguamiento

III.54

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Amortiguació Amortiguación Existen diferentes tipos de amortiguamiento: Viscoso Proporcional a la velocidad del movimiento Fa Fa c

c

Viscoso . x

III.55

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Amortiguació Amortiguación Existen diferentes tipos de amortiguamiento: Viscoso Proporcional a la velocidad del movimiento

Coulomb

Fa

Causado por fricción

Coulomb

Fa c

c

N

Viscoso . x

Fa µN

N

III.56

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Amortiguació Amortiguación Existen diferentes tipos de amortiguamiento: Viscoso Proporcional a la velocidad del movimiento

Coulomb

Fa

Causado por fricción

Coulomb

Fa

Histerético

c

c

N

Viscoso

Cuando el material trabaja en el intervalo inelástico o no lineal, y la trayectoria Histerético de carga es diferente a F la de descarga Fy

. x

Fa µN

F Fy

F Fy

u

u

N

u

III.57

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) coordenada que describe el movimiento

rigidez

0

·· mx

x

k m

c

masa

kx cx·

amortiguador viscoso

Aplicando el principio de D’Alambert:

m && x + c x& + k x = 0

III.58

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) Cuya solución es del tipo: x ( t ) = e λt Lo que implica que:

x& ( t ) = λe λt y &x&( t ) = λ2e λt

Reemplazando en la ecuación del sistema

(m λ 2

y sus raíces:

λ1 = λ2 =

La solución es:

)

+ cλ + k e λt = 0 − c + − c −

c 2 − 4 mk 2m c 2 − 4 mk 2m

x ( t ) = A e λ 1t + B e λ 2t

C

Sin embargo, esta solución depende del valor del radical en las raíces, lo que resulta en tres posibilidades: III.59

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) a) El radical es nulo Cuando el radical es igual a cero tenemos:

c 2 − 4m k = 0

c = 2 mk = 2 m ω

− c − 2m ω λ1 = = = −ω = λ2 2m 2m D

en C : x

D

( t ) = Ae − ω t + Bte − ω t III.60

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) Al evaluar A y B para condiciones iniciales, se obtiene: x ( t) = x 0 + t (v 0 + x 0 ω ) e − ω t

[

]

El sistema no vibra! Por esta razón este amortiguamiento se conoce con el nombre de crítico.

x vo xo

Es interesante entonces saber si el amortiguamiento de un sistema es mayor o menor que el crítico. A esta relación se le conoce como: c

c =ξ= cc 2mω

Así:

 λ1 = − ξ + 

ξ

2

  − 1ω y λ 2 = − ξ −  

t

c = 2ξmω

ξ

2

 − 1ω  III.61

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) Amortiguamiento mayor que el crí crítico (ξ (ξ > 1) La solución es:

x(t) = e

− ξω t

 A e 

ξ2−1 ωt

+ B e

−

ξ2−1 ωt

  

x vo xo

t

¡tampoco hay vibración! Sin embargo, el sistema regresa a su posición de equilibrio más lentamente que en el sistema con amortiguamiento crítico III.62

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A)

Amortiguamiento menor que el crí crítico (ξ (ξ < 1) La solución es imaginaria: i 1− ξ 2 ω t − i 1− ξ 2 ω t  − ξω t  x(t) = e + B e A e    pero utilizando las transformaciones de Euler se obtiene:  x ( t ) = e − ξ ω t  C c o s  1 − ξ 2 ω t      + D s e n  1 − ξ 2 ω t      En las ecuaciones anteriores puede verse que sistema subamortiguado tiene una frecuencia equivalente, ωa igual a: 2  ωa = ω 1 − ξ   

III.63


Amortiguamiento menor que el crí crítico (ξ (ξ < 1) Resolviendo para las condiciones iniciales: x(t) = e

− ξωt

x xo

vo

 x 

o

 v o + ξx oω  c o s (ω a t ) +   s e n (ω ω   a

2π Ta = = ωa

 a t ) 

2π 1 − ξ2 ω

t Ta III.64

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) Efectos del amortiguamiento en la vibración libre

ξ=1

ξ=0,8

ξ=0,6 ξ=0,4 ξ=0

III.65

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración libre (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento Decremento Ta logarí logarítmico Recordando la xn ecuación para vibraciones libres subamortiguadas, la relación entre picos sucesivos puede determinarse como:

xn = eξωnTa xn +1

Ta Xn+1

Xn+2

Envolvente exponencial

Al logaritmo natural de la relación se le llama decremento logarítmico, y está dado por:  x  2πξ

δ = ln n  = ξωn Ta = 1 − ξ2  x n +1 

III.66


Decremento logarí logarítmico De la ecuación anterior puede deducirse el valor del cociente de amortiguamiento: Cuando el amortiguamiento es pequeño, el decremento de la vibración es también pequeño y el radical puede aproximarse a uno:

ξ=

δ δ2 2π 1 + 2 4π

δ ξ≈ 2π

III.67


Decremento logarí logarítmico Otra alternativa cuando el decremento es pequeño es considerar la diferencia entre varios períodos:

  1 x n  ln δ= # períodos  x n + #períodos  Existen otros métodos para evaluar el amotiguamiento, como el de la amplificación resonante y el del ancho de banda, que se basan en el estudio del fenómeno de resonancia en oscilaciones armónicas, que se ven más adelante

III.68


Decremento logarí logarítmico Ejemplo De tal manera, se puede calcular el amortiguamiento de una estructura forzándola a vibrar y registrando su vibración libre, cuando la excitación ha cesado. Por ejemplo, si la amplitud del movimiento del centro de un puente de 120m de luz decrece de 20cm a 5 cm en dos ciclos sucesivos:

20 δ = ln = 1,386 5

ξ=

1.386 1,3862 2π 1 + 4π 2

= 0,215 ⇒ 21,5% III.69


Decremento logarí logarítmico Por otra parte, si el movimiento del centro del puente decrece de 20cm a 18 cm en un ciclo: 0,1054 δ 0,1054 20 ξ = = 0 , 0167 = = = 0,0167 δ = ln = 0,1054 y 2π 2π 18 0,1054 2 2π 1 + 4π 2 Cuando el decremento es muy pequeño entre dos picos, su medición se hace difícil, así que puede utilizarse la tercera opción. Por ejemplo, si en 20 ciclos el movimiento se redujo de 20cm a 2,45cm:

1 20 δ= ln = 0,105 ⇒ ξ = 0,0167 20 2,45

III.70

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) La única diferencia entre este caso y el de vibración forzada no amortiguada es que debe incluirse el término del amortiguamiento en la ecuación:

m&x& + cx& + kx = P( t ) ⇒

&x& + 2ξωx& + ω2 x

Carga sú súbita constante

P( t ) = m

&x& + 2ξωx& + ω2 x = P P − ξω t (C1 sen ωa t + C 2 cos ωa t ) + x=e k Solución general

Solución particular

x& = −ξωe − ξωt (C1 sen ωa t + C 2 cos ωa t ) + e − ξωt ωa (− C1 sen ωa t + C 2 cos ωa t ) III.71

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Suponiendo que no hay desplazamiento ni velocidad iniciales:

P P ⇒ C2 = − x 0 = 0 = C2 + k k ξ P x& 0 = 0 = −ξωC 2 + ωa C1 ⇒ C1 = − 1 − ξ2 k Remplazando en la ecuación de solución, se obtiene:

 ξ  P x = 1 − e − ξωt  sen ωa t + cos ωa t   1 − ξ2  k    III.72

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Cuando el pulso termina el sistema oscila alrededor de su posición inicial, de acuerdo con las ecuaciones de vibración libre amortiguada. En este caso, las condiciones iniciales, serán las condiciones en el instante t1 en que terminó el pulso.

x ( t ) = e − ξω ( t − t 1 )   vo + ξx oω  ( ) ω − + x cos t t  o a 1 ωa  

   sen ω a (t − t 1 )  

P k

III.73

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A)

F

0

k c

F(t) F(t)

τ

dτ

x m F(t) F(t)

t Funció Función generalizada de carga

De manera similar al caso no amortiguado, la velocidad al término de un pulso es el impulso dividido por la masa y el desplazamiento es cero. Aplicando estas condiciones a la ecuación de vibración libre amortiguada:

P[f ( t )]dt − ξω(t − τ ) dx = e sen ωa (t − τ ) mωa

Respuesta amortiguada a un impulso

III.74

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Para obtener la respuesta total, basta con integrar la ecuación anterior:

P[f ( t )] −ξω(t − τ ) x=∫ e senωa (t − τ )dt 0 mω a t

Esta ecuación se conoce con el nombre de Integral de Duhamel. Si el sistema tiene condiciones iniciales, la Integral de Duhamel se convierte en: t P[f ( t )] x& 0 + ξωx 0 x = x 0 cos ωa t + senωt + ∫ e −ξω(t − τ )senωa (t − τ)dt 0 mω ωa a

Esta ecuación es sólo válida para el intervalo elástico del comportamiento de las estructuras. Para funciones complicadas que no permitan una solución cerrada de la integral se requiere la utilización de métodos numéricos. Varios métodos numéricos más eficientes se presentan más adelante.

III.75

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante Cuando un motor o una máquina rotan, cualquier desbalance de las partes en movimiento producen una vibración. La excitación que produce el motor es armónica de la forma:

P( t ) = P sen Ωt

donde P es proporcional al peso desbalanceado y Ω es la frecuencia angular de la rotación del motor o de la máquina. Para un sistema amortiguado, la ecuación de movimiento es:

&x& + 2ξωx& + ω2 x

P = sen Ωt m

Interesa sólo la solución particular, pues la general disminuye rápidamente con el tiempo.

x = C1 sen Ωt − C 2 cos Ωt

Derivando dos veces y remplazando la solución y sus dos derivadas en la ecuación de movimiento, se obtiene: III.76

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante

E

[(ω2 − Ω2 )C1 + 2ξωΩC2 ]sen Ωt − [(ω2 − Ω2 )C2 + 2ξωΩC1 ]cos Ωt = mP sen Ωt

Para que esta ecuación sea valida, los coeficientes de los términos de seno deben ser iguales, y el coeficiente del término de coseno debe ser nulo. Así, dividiendo por ω2:   Ω  2   P   Ω 2  Ω Ω 1 −   C1 + 2ξ C 2  = − 2ξ C1 + 1 −   C 2 = 0 y  ω  ω ω  k   ω       Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene: C1 =

Ω 1−   ω

2

P k 2 2 2 Ω  Ω 1 −    + 2ξ    ω    ω 

F

P y C2 =

2ξ

Ω ω

2 2

G

k 2 Ω  Ω 1 −    + 2ξ   ω  III.77   ω  

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante Remplazando las ecuaciones F y G en E se obtiene la solución particular de la ecuación de movimiento. Esta parte corresponde a la respuesta del sistema ante la excitación pulsante. Para obtener la respuesta completa basta añadir la solución encontrada antes para las vibraciones libres. Sin embargo, estas vibraciones libres decaen exponencialmente con el tiempo, fase transitoria, en una tasas que depende de la relación entre Ω y ω. Por esta razón, interesa más la respuesta correspondiente a las vibraciones forzadas, que permanece por más tiempo. Cabe anotar, sin embargo, que la deformación máxima puede ocurrir antes de que las vibraciones libres hayan decaído completamente.

Respuesta total Respuesta sin los términos de las vibraciones libres o estacionaria

ωP Ω = 0,2 ; ξ = 0,05 ; x 0 = 0 ; x& 0 = 0 ω k

t/T III.78

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante Cuando el movimiento se grafica contra el tiempo se obtiene la típica figura sinusoidal, como la anterior. Sin embargo, puede utilizarse una diagramación que se conoce como plano de fase. En esta gráfica, las ordenadas siguen siendo amplitud, pero las abscisas son la relación entre la velocidad de la respuesta y la de la excitación

x C1

φ C1senΩ Ωt

Ωt

C12 + C22

ω/Ω Ω

C2cosΩ Ωt C2

III.79

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante En la figura aparecen dos vectores que representan los términos de la solución particular, en función de las constantes C1 y C2. En la gráfica, las constantes son las longitudes de los vectores que permanecen perpendiculares entre sí, mientras rotan con una velocidad angular constante Ω. El movimiento resultante es la suma de los dos vectores:

x=

C12

donde:

+ C 22

sen (Ωt − φ ) H

y

ω

Ω

Ω 2 ξ   C ω φ = tan −1 2  = 2  C1  1 − Ω ω

( )

= C12 + C22 cos(Ωt − φ ) I

J

Remplazando los valores de C1, C2 y φ en H, se obtiene:

x=

P R d sen (Ωt − φ ) K k

  donde R d =   

2  Ω 1 −    +  2ξ Ω    ω   ω      2 2

−1

III.80

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante El término Rd se conoce con el nombre de factor de respuesta del desplazamiento o factor de amplificación dinámica. φ es el ángulo de desfase entre las velocidades angulares de la excitación y de la respuesta. Derivando la ecuación K una vez se obtiene la velocidad de la respuesta:

x& =

P R v cos(Ωt − φ) km

donde

Rv =

Derivando de nuevo:

&x& = −

P R a sen (Ωt − φ) m

donde R a =

Ω ω

2

  Ω 2   Ω 2 1 −    +  2ξ   ω   ω  

Ω   ω

2

2

  Ω 2   Ω 2  1 −    +  2ξ   ω   ω   III.81

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante 5 Si Ω/ω << 1, la amplificación es muy pequeña y, esencialmente, independiente del amortiguamiento.

x ≈ x est

ξ = 0.0 ξ = 0.1

4

Si Ω/ω >> 1, el factor de amplificación 3 tiende a cero y es independiente del amortiguamiento. La masa del sistema Rd controla la respuesta. ω2 2 x ≈ x est 2

ξ = 0.2

Ω

Por otra parte, si Ω/ω ≈ 1, la respuesta depende del amortiguamiento del sistema. Para valores bajos de x, el factor de amplificación crece hasta valores muchas veces mayores que 1. x P x ≈ est = 0

2ξ

cω

1

ξ = 0.5 ξ = 1.0

0 0

1

2

3

4

5

Ω /ω ω III.82

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento En realidad, la resonancia no ocurre exactamente cuando Ω/ω = 1, sino cuando:

dR d =0 Ω d( ω ) Si se evalúa este diferencial, puede determinarse cuál es la relación de frecuencias para la cual ocurre la resonancia. Para eliminar el radical, se puede derivar la función al cuadrado con respecto a (Ω/ω)²:

d(R d ) d 1 = =0 2 2 2 Ω Ω 2 2 d( ω ) d( ω )   Ω    Ω  1 −    +  2ξ   ω   ω   2

III.83

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento d(R d ) d = 2 2 d(Ω ω ) d(Ω ω ) 2

1  Ω   Ω  1 − 2  +    ω   ω  2

2

2

 2 Ω   + 4ξ   ω 

2

=0

2

d(R d ) 2 d(Ω ω )

2

Ω 0 − 2 + 2  + 4ξ 2 ω = =0 2 2 2 2  Ω   Ω   Ω 1 − 2  +    + 4ξ 2    ω   ω   ω

d(R d ) Ω Ω 2 2 = − 2 + 2 + 4 ξ = − 1 + + 2 ξ =0     2 Ω d( ω ) ω  ω 2

2

2

III.84

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento 2

Ω 2   = 1 − 2ξ ω

Ω 2   = 1 − 2ξ ω

Relación de resonancia

1.2 1 0.8

Ω /ω ω

0.6 0.4 0.2 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

ξ

III.85

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento

2.40 0.2

Relación de resonancia

2.00

1.2

0.3

1

1.60

0.8

Ω /ω ω

0.4

0.6

Rd

0.4

1.20

0.2

0.5

0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.80 ξ = 1.0

ξ

Como puede comprobarse, sólo para amortiguamiento nulo la resonancia ocurre justamente cuando la relación de frecuencias es unitaria. Mientras más crece el amortiguamiento, la realción de resonancia tiende a cero.

0.40 0.00 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

Ω /ω ω

III.86

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Fuerza pulsante 180 ξ = 0.0 150

ξ = 1.0

120

φ

90

ξ = 0.5

60

ξ = 0.2

30

ξ = 0.1

0 0

1

2

3

4

5

Ω /ω Si Ω/ω << 1, φ se acerca a 0º y prácticamente no hay desfase entre fuerza y respuesta. Cuando la fuerza se aplica en una dirección, el sistema se mueve en la misma dirección. Si Ω/ω >> 1, φ se acerca a 180º y hay un fuerte desfase entre acción y reacción. Cuando la fuerza se aplica en una dirección, el sistema se mueve en dirección contraria. Por otra parte, si Ω/ω ≈ 1, φ se acerca a 90º para todos los valores de ξ. Los desplazamientos son máximos cuando la fuerza pasa por cero.

III.87

RESPUESTA DINÁMICA Amplitud de la respuesta armónica, ρ

SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento  Rd =   

ρmax

Rdρ0

 Ω 1 −    ω 

2

   

2

  Ω  +  2ξ   ω  

−1

2

Para valores pequeños de ξ, Ω/ω ≈ 1 y, entonces:

R d = (2ξ )

−1

ρmáx = ρ0R dmáx = ρ0

ξ=

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Relación de frecuencias, Ω/ω

ρ0 2ξ

ρ0 2ρmáx

Método de la amplificación resonante

III.88

RESPUESTA DINÁMICA Amplitud de la respuesta armónica, ρ

SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento Rdρ0 ρmáx 2

ρmax

Ancho de banda

Otro método para evaluar el amortiguamiento se basa en que para cualquier valor de la amplitud de la respuesta hay dos valores de la relación de frecuencias. Tómese, por ejemplo:

ρ= ρ0

ρmáx 2

A la diferencia entre las dos relaciones 0.0 correspondientes de Ω/ω 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 se le llama ancho de banda. Relación de frecuencias, Ω/ω

III.89

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento ρmáx ρ0R dmáx ρ= = 2 2

Ω 2   = 1 − 2ξ ω

Ahora, bien, la respuesta máxima, es decir, la resonancia, ocurre, como se probó atrás, para: A su vez, para esta relación de frecuencias:

R dmáx

  =  1 −  

( 1− 2ξ ) 2

(

R dmáx =  1 − 1 + 2ξ 

R dmáx =

[ 4ξ

2

− 4ξ

4

)

2 2

2

2

(

 + 2ξ 1 − 2ξ 2  

+ 2ξ 2 − 8ξ 4  

)

2

  

−1

−1

] = [2ξ 1− ξ ] −1

2

−1

III.90

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento Así, para ρ:

 Ω 1 −    ω 

2

2

  Ω 2  +  2ξ  =   ω 

(

2 2ξ 1 − ξ 2

)

Elevando al cuadrado:

 Ω 1 −    ω 

2

2

  Ω 2  +  2ξ  = 8ξ 2 1 − ξ 2   ω 

(

2

)

2 Ω  Ω   Ω     1 − 2  +    + 4ξ 2   − 8ξ 2 1 − ξ 2 = 0  ω   ω   ω 2

2

(

)

III.91

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento  Ω     ω 

2

2

 2  − 2 1 − 2ξ 

(

2

[

(

)]

[

(

Ω 2 2   + 1 − 8ξ 1 − ξ = 0 ω

)

Resolviendo la ecuación cuadrática: 2

(

)

2

(

)

2

(

)

(

)

2 2

2 1 − 2ξ ± 4 1 − 2ξ Ω   = 2 ω 2

− 4 1 − 8ξ 2 1 − ξ 2

)]

2 1 − 2ξ 2 ± 4 − 16ξ 2 + 16ξ 4 − 4 + 32ξ 2 − 32ξ 4 Ω   = 2 ω 2 1 − 2ξ 2 ± 16ξ 2 − 16ξ 4 Ω = 1 − 2ξ 2 ± 2ξ 1 − ξ 2   = 2 ω

(

)

III.92

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento Para amortiguamientos pequeños se pueden ignorar los términos con ξ², de manera que: 2

Ω Ω   ≈ 1 ± 2ξ ⇒   = 1 ± 2ξ ω ω Y, por series de Taylor, éste radical puede aproximarse a:

Ω Ω Ω ≈ 1 ± ξ ⇒ = 1 + ξ y       = 1− ξ  ω  ω 2  ω 1 Ω Ω   −   = 1 + ξ − 1 + ξ = 2ξ Ancho de banda  ω  2  ω 1 Ω Ω   +   = 1+ ξ + 1− ξ = 2  ω  2  ω 1

III.93

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Evaluació Evaluación del amortiguamiento ´Finalmente, el valor del amortiguamiento se obtiene con la relación:

Ω Ω   -   ω  2  ω 1 = 2ξ = ξ 2 Ω Ω   +   ω  2  ω 1

Método del ancho de banda

III.94

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Generador de vibraciones Existen formas intencionales y no intencionales de generar vibraciones. Las primeras son especializadas y se refieren generalmente a trabajos experimentales. Las segundas son generalmente accidentales, como llantas desbalanceadas, hélices rotas en un ventilador, motores desbalanceados, etc. La modelación de ambas fuentes de vibración es la misma.

m * x&& + cx& + kx = mE r Ω 2senΩt mE x&& = * Ra sen (Ωt − φ ) m m*=m+mg+mE

r senΩ Ωt x

mg

Ωt

m

mE

c

Ks=∑ ∑Kcol

III.95

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Generador de vibraciones

Generador de vibraciones para experimentación III.96

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Aceleració Aceleración en los apoyos X

Si en lugar de una fuerza armónica el sistema vibra debido a un movimiento armónico de los apoyos (A sen Ωt), la ecuación del movimiento es:

Relativo al apoyo

m

mx&& + cx& + kx = −mx&&s = mΩ2 AsenΩt ó

c

x&& + 2ξωx& + ω x = AΩ senΩt 2

2

Ks=∑ ∑Kcol

x = ARasen(Ωt − φ ) Si la excitación es una aceleración arbitraria: x (t) =

−1 ω

t

∫ &x& o ( τ ) e − ξω ( t − τ )

1− ξ2 0

sen

{ 1 − ξ 2 ω ( t − τ ) }d τ

xs

·· + ··x ) m(x s cu·

ku III.97

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas Las máquinas pueden transmitir importantes cantidades de fuerzas a sus apoyos, por medio de su vibración. La fuerza transmitida depende de la acción estática y de la acción del amortiguamiento.

F(t) F(t)=Psen Ωt

f r = f est + f a = kx + cx&

x

Utilizando las ecuaciones del movimiento por fuerza pulsante y la ecuación para el factor de amplificación dinámica de desplazamientos:

0

P f r = R d [k sen (Ωt − φ) + cΩ cos(Ωt − φ )] k

k

m

c

El máximo valor de fr en el tiempo es:

f rmáx =

P R d k 2 + c 2Ω 2 k

fr

III.98

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas fes c t ξ= 2mω 2 f rmáx  Ω = R d 1 +  2ξ  P  ω Remplazando el valor de Rd se obtiene una relación entre la fuerza transmitida al apoyo y la amplitud de la función de fuerza aplicada. Esta relación se conoce con el nombre de Transmisibilidad del sistema

TR =

f rmáx P

=

 Ω 1 +  2ξ   ω

fr fa

2

2

  Ω 2   Ω  2  1 −    +  2ξ   ω   ω   

III.99

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas Similarmente, puede demostrarse que:

 Ω 1 +  2ξ   ω

2

&x& TR = m = 2 &x&s 2   Ω    Ω 2  1 −    +  2ξ   ω   ω    y que:

2

 Ω 1 +  2ξ  x&  ω TR = m = 2 2 x& s   Ω    Ω 2 1 −    +  2ξ   ω   ω   

III.100

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas 100.00 El amortiguamiento reduce la amplitud del movimiento para todas las frecuencias de 10.00 entrada. Sin embargo, el amortiguamiento sólo reduce las fuerzas transmitidas cuando Ω TR 1.00 > 2 ω Para que la fuerza transmitida sea menor que la aplicada, la rigidez, y por lo tanto la frecuencia, debe ser suficientemente baja como para que Ω > 2 ω

ξ = 1.0 ξ = 0.0 ξ = 0.1 ξ = 0.2 ξ = 0.5

0.10

0.01 0.1

1.0

Ω /ω ω

10.0

III.101

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas Es deseable que el apoyo no tenga amortiguamiento, pues aumentaría la fuerza. Esto implica un resorte con baja rigidez, pero debe revisarse que la deformación estática sea aceptable. Además, cuando la máquina es rotatoria o tiene motor, su frecuencia varía cuando se enciende y se apaga. Debe tenerse cuidado en proveer algo de amortiguamiento para reducir la fuerza transmitida cuando pasa por las frecuencias de resonancia, sin que sea mucho como para aumentarla en su nivel de servicio. Puede demostrarse que la transmisividad de fuerzas aplica exactamente a la transmisibilidad de vibraciones. La anterior figura puede utilizarse indistintamente para los dos casos. Puede observarse que para bajas relaciones de frecuencias, la relación de aceleraciones tiende a uno, es decir, la masa se mueve rígidamente con el suelo. En el otro extremo, cuando la relación de frecuencias es alta, la relación de aceleraciones tiende a cero, es decir, que la masa permanece quieta mientras el suelo se mueve. Este es el principio del aislamiento basal.

III.102

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas

Ejemplo 15cm

30m

30m

Un bus de 2 t viaja por el puente de la Avenida del Ferrocarril sobre el Río Medellín. El flujo plástico de los materiales ha causado una deflexión de 15 cm en el medio de cada luz. La rigidez del sistema es de 140 kN/m ¿Cuál es la amplitud del movimiento vertical del bus, si viaja a 60 km/h? ¿Cuál es la velocidad que causará resonancia?

III.103

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Vibració Vibración Forzada (amortiguada− (amortiguada−A) Transmisió Transmisión de fuerzas Si se supone que las llantas no se separan de la vía y que son infinitamente rígidas, el sistema puede idealizarse como se muestra en la figura. Las llantas se desplazan sobre la vía que tiene una forma sinusoidal. Así:

x s ( t ) = A sen Ωt = 7,5 sen Ωt

El período de la carga del sistema es el tiempo que le toma al bus cruzar una luz:

T = L ⇒ Ω = 2π = 2πv v T L 2π × 16,7 m s = 3.5 rad Ω= s 30m

Ejemplo

x 0

k

m c xs

III.104


Ejemplo

La frecuencia angular natural del sistema es:

ω= Entonces,

Ω = 0,42 ω

k 140 = = 8,38 rad s m 2

Suponiendo una alta amortiguación, como 40% de la crítica:

x TR = = xs

1 + (2 × 0,4 × 0,42 )2

(1 − {0,42} ) + (2 × 0,4 × 0,42)2 2 2

= 1,186

x = 1,186 x s = 1,186 × 7,5cm = 8,9cm

III.105


Ejemplo

Ahora bien, para considerar la resonancia, debe recordarse que para amortiguamientos grandes, el pico de la resonancia no ocurre exactamente cuando Ω/ω=1. Sin embargo, si se observa la gráfica de TR vs. Ω/ω, puede verse que en el pico de la resonancia la pendiente de las curvas es cero, es decir, que la resonancia ocurre cuando TR es máxima. TR 2

(

)

( ) 1 + 0,64(Ω ) ω ω = = Ω ) − 1,36(Ω ) + 1 1 − {2 Ω }  + (0,8 × Ω ) ( ω ω ω  ω 

d TR 2 =0 dΩ ω

( )

1 + 0,8 × Ω 2

2

2

2

2

Ω = 0,893 ω

4

2

Ω = 0,893 × 8,38

III.106


Ω = 7,48 rad

Ejemplo

s

ΩL 7,48 × 30 v= = = 35,7 m / s = 128,5km / h 2π 6,283

III.107

III RESPUESTA DINÁMICA DE LAS ESTRUCTURAS Generalidades Ecuaciones de movimiento Sistemas elásticos de un grado de libertad Cálculo numérico de la respuesta dinámica Espectros de respuesta Espectros de diseño Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas inelásticos III.108

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Métodos numéricos

Integrales

En muchos casos, la solución analítica de la ecuación de movimiento implica realizar integrales muy complicadas. Estas integrales pueden solucionarse por medio de métodos numéricos. Por ejemplo, la integral de Duhamel

[

]

t P f ( t ) dt − ξω(t − τ ) e sen ωa (t − τ)dτ 0 mω a

x=∫

puede solucionarse numéricamente utilizando el método numérico de Simpson, sabiendo que:

sen ωa (t − τ ) = sen ωa t cos ωa τ − cos ωa t sen ωa τ

Así, la integral de Duhamel se convierte en: t P[f ( t )]dt e ξωτ t P[f ( t )]dt x ( t ) = sen ωa t ∫ cos ω τ d τ − cos ω t a a ∫0 ξωt 0 mω mωa e a

A

eξωτ sen ωa τdτ ξω t e

B

III.109


Integrales

Las integrales A y B pueden entonces solucionarse por medio de la regla de Simpson. En un instante de tiempo dado, n∆τ, si se definen las funciones

zA n = P [f (t )]senω a n∆τ y zBn = P [f (t )]cos ω a n∆τ

el valor de A o de B será el área bajo la curva de z(τ), que, según Simpson, puede aproximarse a:

An = An −2e

− 2ξω∆τ

Bn = Bn −2e −2ξω∆τ

∆τ + z A n −2e −2ξω∆τ + 4zA n −1e −2ξω∆τ + zA n 3mω a ∆τ + zB n −2e −2ξω∆τ + 4zB n −1e −2ξω∆τ + zB n 3mω a

[

]

[

]

Válidas para n=2,4,6,…

III.110


Integrales Ejemplo

Un SUGDL se somete a una aceleración constante igual a cierto porcentaje de la gravedad, por un tiempo determinado. Averiguar la respuesta del sistema utilizando la integral de Duhamel

(Ver Duhamel.xls)

III.111

n

t

F(t)

coswat

senwat

z=F coswat

z=F senwat

A

B

xn

0

0.0

-1.96

1.0000

0.0000

-1.9600

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

1

0.1

-1.96

0.9990

0.0443

-1.9581

-0.0868

2

0.2

-1.96

0.9961

0.0885

-1.9523

-0.1735

-0.6576

-0.0322

-0.0261

3

0.3

-1.96

0.9912

0.1326

-1.9427

-0.2598

4

0.4

-1.96

0.9843

0.1763

-1.9293

-0.3456

-1.0052

-0.1076

-0.0714

5

0.5

-1.96

0.9755

0.2198

-1.9121

-0.4308

6

0.6

-1.96

0.9649

0.2628

-1.8911

-0.5151

-1.1813

-0.2054

-0.1122

7

0.7

-1.96

0.9523

0.3053

-1.8664

-0.5983

8

0.8

-1.96

0.9378

0.3472

-1.8381

-0.6804

-1.2602

-0.3141

-0.1429

9

0.9

-1.96

0.9215

0.3884

-1.8061

-0.7612

10

1.0

-1.96

0.9034

0.4288

-1.7707

-0.8405

-1.2821

-0.4271

-0.1639

11

1.1

-1.96

0.8835

0.4684

-1.7317

-0.9181

12

1.2

-1.96

0.8619

0.5071

-1.6893

-0.9939

-1.2686

-0.5404

-0.1775

13

1.3

-1.96

0.8386

0.5448

-1.6436

-1.0678

14

1.4

-1.96

0.8136

0.5814

-1.5947

-1.1395

-1.2315

-0.6513

-0.1861

15

1.5

-1.96

0.7871

0.6169

-1.5426

-1.2091

16

1.6

-1.96

0.7590

0.6511

-1.4876

-1.2762

-1.1775

-0.7582

-0.1913

17

1.7

-1.96

0.7294

0.6841

-1.4296

-1.3409

18

1.8

-1.96

0.6983

0.7158

-1.3687

-1.4029

-1.1103

-0.8597

-0.1943

19

1.9

-1.96

0.6659

0.7460

-1.3053

-1.4622

20

2.0

-1.96

0.6322

0.7748

-1.2392

-1.5186

-1.0322

-0.9547

-0.1962 III.112


Integrales Ejemplo

0.20 0.10 x(t),m

0.00 -0.10 0.0 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50

5.0

10.0

15.0

20.0

ξ=1 ξ=0,05 ξ=0 Tiempo,s

III.113

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Métodos numé numéricos Cuando la función de carga dinámica de un sistema es arbitraria o no es lineal, no es posible aplicar la solución analítica de la ecuación de movimiento, incluso de SUGDL. En estos y otros casos de alta complejidad en el análisis dinámico y, en general, en el campo de la mecánica de los materiales, es necesario utilizar métodos numéricos para realizar la integración de las ecuaciones diferenciales que dominan la modelación de los sistemas dinámicos. Existe un vasto número de métodos numéricos propuestos en la literatura especializada, tanto en el área de las matemáticas como en el de las ingenierías. Aquí se hace un sucinto compendio de los métodos más conocidos y utilizados en el área de la Ingeniería Sísmica.

III.114

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Métodos numé numéricos Clasificació Clasificación

Soluciones en el dominio del tiempo hAproximaciones físicas hAproximaciones matemáticas Soluciones en el dominio de la frecuencia

III.115

RESPUESTA DINÁMICA Dominio del tiempo Series de Taylor

SUGDL Aproximaciones Fí Físicas

Muchos de los métodos numéricos se basan en la metodología expresada por las series de Taylor. Cualquier función que tenga un número finito de discontinuidades, se le puede aproximar tanto como se quiera por medio de superposición de funciones analíticas. Por ejemplo, si el valor de una función x(t), y todas sus derivadas, se conocen para un instante t0, se puede calcular su valor en otro instante cualquiera t=t0+∆t utilizando la serie de Taylor: ∆t 2 ∆t 3 ∆t n ( n ) x (t 0 + ∆t ) = x (t 0 ) + ∆tx& (t 0 ) + x (t 0 ) + LL &x&(t 0 ) + &x&&(t 0 ) + LL + 2 3! n!

III.116

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones Fí Físicas

Dominio del tiempo Series de Taylor Aunque en teoría el factorial domina rápidamente y podría utilizarse un intervalo de tiempo de cualquier tamaño, en la práctica debe utilizarse un intervalo de tiempo pequeño para que la serie converja rápido. En general, la expansión de la serie de Taylor para un tiempo tn cualquiera da:

∆t 2 ∆t 3 ∆t 4 iv x n +1 = x n + ∆tx& n + x n + LL &x& n + &x&&n + 2 6 24 L III.117

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Fí Físicas Método de la aceleració aceleración lineal Derivando, L término a término:

∆t 2 ∆t 3 iv x& n +1 = x& n + ∆t&x& n + x n + LL M &x&&n + 2 6 ∆t 2 iv x n + LL &x& n +1 = &x& n + ∆t&x&&n + 2 …

De N se obtiene xn y se reemplaza en L

N

y M :

∆t 2 ∆t 4 iv (2&x& n + &x& n +1 ) − x n + LL O x n +1 = x n + ∆tx& n + 6 24 ∆t ∆t 3 x iv n + LL P x& n +1 = x& n + (&x& n + &x& n +1 ) − 2 12 III.118

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones F Fíísicas Dominio del tiempo Método de la aceleració aceleración lineal Conociendo el desplazamiento y la velocidad en un momento dado (como las condiciones iniciales) se calcula la aceleración de la ecuación de movimiento. Se toma un intervalo de tiempo ∆t y: 1. Se estima la aceleración ¨x*n+1 al final del intervalo. La primera aceleración x¨n será el más simple primer estimado de ¨x*n+1 2. Se calcula 3. Se calcula 4. Se calcula

∆t 2 (2&x& n + &x& n +1 ) x n +1 = x n + ∆tx& n + 6 ∆t x& n +1 = x& n + (&x& n + &x& n +1 ) 2

&x& n +1 = f (x n +1, x& n +1, t n +1 )

(Se desprecian los términos con grados mayores que la tercera derivada)

III.119

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Fí Físicas Método de la aceleració aceleración lineal 5. a) Si x¨ n+1 ≠ ¨x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimado mejorado para regresar al paso 2. b) Si x¨ n+1 = ¨x*n+1, la iteración ha convergido. Puede avanzarse al próximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1. Este método iterativo es de un sólo paso, pues involucra información del inicio y el final de un sólo intervalo de tiempo. Si la aceleración fuera lineal, la tercera derivada sería constante, y de la cuarta en adelante serían cero y el método sería exacto. Al ignorar del tercer término en adelante, se asume implícitamente que la aceleración es lineal; por eso el método se llama así. Para que converja, ∆t<0,39T. Para que converja rápidamente y con cierto grado de precisión, ∆t debe ser más pequeño.

III.120

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones F Fíísicas Dominio del tiempo Método de la aceleració aceleración lineal Para ilustrar el método, se utilizará la ecuación de vibración libre para un oscilador lineal amortiguado: El oscilador vibra con un período natural de 1 s, tiene un coeficiente de amortiguación crítica del 5 % y las condiciones iniciales son, velocidad nula y desplazamiento de 2,5 cm. El intervalo de tiempo será de 0,125 s

2 x = − 2 ξω x − ω x && & III.121

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones F Fíísicas Dominio del tiempo Método de la aceleració aceleración lineal En la siguiente tabla se consignan los pasos calculados. En el instante t=0, el desplazamiento x es 2,5 cm y la velocidad es cero. Con la ecuación del oscilador se calcula la aceleración inicial, que da -98.69 cm/s². Con éste valor se calcula el desplazamiento y la velocidad, utilizando las series de Taylor, que dan 1.73 cm y -12.34 cm/s, al final del intervalo constante ∆t. Estos valores se utilizan, a su vez, para calcular la aceleración de nuevo con la ecuación del oscilador, lo que da -60.50 cm/s². Evidentemente, el método no ha convergido. Se repite el proceso utilizando el último valor de la aceleración para los cálculos, pero manteniendo constantes los valores de las columnas 2 y 5, porque son los términos que dependen de valores al principio del intervalo. Cuando se converge, puede pasarse al próximo intervalo de tiempo. III.122

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

RESPUESTA DINÁMICA Dominio del tiempo

SUGDL Aproximaciones Fí Físicas

Ver Linear Acceleration.xls

III.123

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones F Fíísicas Dominio del tiempo Método de la aceleració aceleración lineal Una vez obtenida la convergencia para todos los intervalos de tiempo en la duración estudiada del movimiento, éste puede graficarse, como se muestra en la figura. Como puede observarse, se graficó también la respuesta exacta, calculada con la ecuación para vibración libre amortiguada. La respuesta numérica difiere tanto en amplitud como en tiempo, es decir, tiene un desfase con la respuesta exacta. Más adelante se hablará del error, que depende, en parte del intervalo de tiempo escogido.

III.124

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Aproximaciones F Fíísicas Dominio del tiempo Método de la aceleració aceleración lineal

3

x, cm

2 1

Analítica

0

Aceleración lineal

-1 0

1

2

-2 -3 Tiempo, s III.125

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones F Fíísicas Método Especial de la aceleració aceleración lineal Para el caso particular de SUGDL, el método de la aceleración lineal puede formularse de tal manera que se evite la iteración. Por ejemplo, si se tiene un oscilador cuyo movimiento se describe mediante la ecuación:

&x& + 2ξωx& + ω2 x = Al instante t=tn+1:

&x& n +1 =

f (t) m

Q

f ( t n +1 ) − 2ξωx& n +1 − ω2 x n +1 R m

Si se reemplaza en la ecuación R las ecuaciones para el desplazamiento y la velocidad del método de la aceleración lineal, se obtiene:

 f ( t n +1 ) − f ( t n ) ω∆t   2 − ω ∆tx& n + 1 − ω∆t  ξ +  &x& n m 3    x = && n +1 S ω ∆ t   1 + ω∆t  ξ +  6   III.126

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones F Fíísicas Método Especial de la aceleració aceleración lineal Esta ecuación da la aceleración al final del intervalo, en términos de la excitación en ambos extremos del intervalo y de sus condiciones iniciales. Junto con las ecuaciones para desplazamiento y velocidad del método de la aceleración lineal, descritas anteriormente, esta versión especial del método incluye un incremento de tiempo completo sin iteraciones. Este método, sin embargo, es válido sólo para un oscilador de un grado de libertad. III.127

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones F Fíísicas El mé método Beta de Newmark Puede considerarse como una generalización del método de la aceleración lineal. Teniendo los valores para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en el instante t, se escoge un ∆t y: 1. Se calcula x*n+1, cuyo primer estimado es xn 2. Se calcula 3. Se calcula 4. Se calcula

 1   2 * x n +1 = x n + ∆tx& n + ∆t   − β &x& n + β&x& n +1 

(

 2

)

∆t x& n +1 = x& n + &x& n + &x&*n +1 2 &x& n +1 = f (x n +1, x& n +1, t n +1 )





5. a) Si x¨ n+1 ≠ ¨x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimado mejorado para regresar al paso 2. b) Si xn+1 = ¨x*n+1, la iteración ha convergido. Puede avanzarse al próximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1. III.128

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones F Fíísicas El mé método Beta de Newmark β puede tomar valores entre 0 y 0,5. Cuando β=1/6, el método es el mismo que el de la aceleración lineal. Si b=1/4 el método sería exacto si la velocidad variase linealmente en el intervalo. Si 1/6<β<1/4 Si β=1/6

•• x

resultados satisfactorios y precisos. garantiza la estabilidad del método, incluso para sistemas de varios grados de libertad.

∆t

β=1/4

β=1/6

β=1/8

t

III.129

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé método de la Diferencia Central El método se basa en una aproximación de diferencias finitas de las derivadas del desplazamiento en el tiempo, es decir, la velocidad y la aceleración.

x

x•

∆t/2 ∆t/2 • Xn-0,5 • Xn

• Xn+0,5

Xn

Xn-1 ∆t

t

Xn+1 ∆t

t

III.130

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé método de la Diferencia Central Si el intervalo ∆t es constante, la velocidad a la mitad de intervalos sucesivos puede aproximarse como:

x n − x n −1 T x& n − 0,5 = ∆t

y

x − xn x& n + 0,5 = n +1 U ∆t

A su vez, la aceleración en t=n será, aproximadamente:

x& n + 0,5 − x& n − 0,5 &x& n = V ∆t Remplazando T y U en V : x n +1 − x n x n − x n −1 x n +1 − 2 x n + x n −1 − = W &x& n = 2 2 2 ∆t ∆t ∆t

Ahora bien:

x n +1 − x n −1 x& n = 2 ∆t

X III.131

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé método de la Diferencia Central Por otra parte, si:

x − 2 x n + x n −1 x − x n −1 m&x& + cx& + kx = f ( t ) ⇒ m n +1 + c n +1 + kx n = f n 2 2∆t ∆t entonces,  x n +1

m c  c  2m    m + = f − x − − x k −  n  n  n −1 2 2 2 2 ∆t  2∆t  ∆t   ∆t  ∆t  c  2m   m  f n − x n −1 2 −  − xn  k − 2  2∆t  ∆t   ∆t  x n +1 = Y c   m  2+  2 ∆ t  ∆t 

Para t=0 (n=0):

x1 − x −1 x& 0 = ⇒ x1 = 2∆tx& 0 + x −1 Z 2 ∆t

III.132

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé método de la Diferencia Central x1 − 2 x 0 + x −1 2 − x + 2 x AA ⇒ = ∆ x x t &x& 0 = & & − 1 0 1 0 ∆t 2 Z

en AA : x −1 = &x& 0 ∆t 2 − (2∆tx& 0 + x −1 ) + 2x 0 ⇒ &x& 0 ∆t 2 x −1 = − x& 0 ∆t + x 0 2

De la ecuación de movimiento, evaluada en t=0:

f 0 − cx& 0 + kx 0 &x& = m

III.133

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé método de la Diferencia Central En síntesis: 1.

2.

f 0 − cx& 0 + kx 0 &x& = m

&x& 0 ∆t 2 x −1 = − x& 0 ∆t + x 0 2

c  2m   m  f n − x n −1 2 −  − xn  k − 2  2∆t  ∆t   ∆t  x = 3. n +1 c   m +  2  ∆ 2 t  ∆t 

III.134

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé Ejemplo método de la Diferencia Central Fuerza, t

12 Un oscilador de UGDL tiene las siguientes 10 propiedades: 8 6 m=44,4kg La función 4 k=1750N/m 2 de carga es 0 ξ=0,05 0 0.2 El sistema parte del reposo. t fn xn-1 xn xn+1 0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.000000 0.1 5.0000 0.0000 0.0000 0.001092 0.2 8.6602 0.0000 0.0011 0.003592 0.3 10.0000 0.0011 0.0036 0.006753 0.4 8.6603 0.0036 0.0068 0.009033 0.5 5.0000 0.0068 0.0090 0.008816 0.6 0.0000 0.0090 0.0088 0.005243 0.7 0.0000 0.0088 0.0052 -0.000119 0.8 0.0000 0.0052 -0.0001 -0.005112 0.9 0.0000 -0.0001 -0.0051 -0.007851 1.0 0.0000 -0.0051 -0.0079 -0.007424

0.4

0.6

0.8

T ie mp o , s

III.135

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemá Matemáticas El mé Ejemplo método de la Diferencia Central

0.01

x

0.005 0

t 0.0

2.0

4.0

6.0

-0.005 -0.01

III.136

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemáticas Método de Runge-Kutta Antes que un método, es una familia de métodos. Se basan en la selección de varios valores de velocidad, dentro de un mismo intervalo de tiempo, que se promedian ponderadamente para vaticinar el desplazamiento y la velocidad al final del intervalo. Estos métodos son de un sólo paso y no son iterativos. Hay varias variantes, cuyo grado depende del número de valores que se proponen para la aceleración. Aquí se presenta un método de cuarto grado. En este caso, el primer valor de la velocidad se calcula con el dato de la aceleración que sale de la ecuación de movimiento, o de otro método, considerada constante en el intervalo. Luego se toman otros tres valores, cada uno basado en el anterior, para luego promediarlos en el cálculo del desplazamiento y la velocidad al final del intervalo. III.137

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemáticas Método de Runge-Kutta Los pasos se resumen a continuación: 1. k1 = ∆t f (x n , x& n , t n ) 2. 3. 4. 5. 6.

x& n k1 k1 ∆t   k 2 = ∆t f  x n + ∆t + ∆t , x& n + , t n +  2 8 2 2  x& n k1 k2 ∆t   k 3 = ∆t f  x n + ∆t + ∆t , x& n + , tn +  2 8 2 2  k   k 4 = ∆t f  x n + ∆tx& n + ∆t 3 , x& n + k 3 , t n + ∆t  2   k1 + k 2 + k 3   x n +1 = x n + ∆t  x& n +  6   k1 + 2(k 2 + k 3 ) + k 4 x& n +1 = x& n + 6

.. x − 2ξωx& − ω 2 x

III.138

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemáticas Método de Runge-Kutta Ejemplo Se calculará la respuesta del oscilador del ejemplo de la aceleración lineal, es decir, ξ=0,05; T=1s; x0=2,5cm. t 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 1.375 1.500 1.625 1.750 1.875 2.000

u1 2.500 1.840 0.300 -1.280 -2.101 -1.806 -0.622 0.790 1.702 1.692 0.830 -0.388 -1.323 -1.524 -0.943 0.071 0.976

v1 0.000 -9.626 -13.711 -10.597 -2.369 6.459 11.400 10.243 4.011 -3.793 -9.125 -9.478 -5.032 1.629 6.990 8.445 5.542

a1 -98.696 -66.579 -3.239 57.175 84.447 67.225 17.384 -37.627 -69.730 -64.404 -27.024 21.278 55.389 59.149 32.848 -8.105 -42.030

k1 -12.337 -8.322 -0.405 7.147 10.556 8.403 2.173 -4.703 -8.716 -8.051 -3.378 2.660 6.924 7.394 4.106 -1.013 -5.254

u2 2.307 1.108 -0.563 -1.830 -2.085 -1.271 0.125 1.357 1.817 1.329 0.207 -0.939 -1.529 -1.307 -0.442 0.583 1.241

v2 -6.169 -13.787 -13.913 -7.023 2.908 10.661 12.486 7.891 -0.347 -7.818 -10.814 -8.148 -1.570 5.326 9.043 7.938 2.915

a2 -77.037 -30.595 27.915 68.157 71.177 38.131 -11.743 -52.114 -63.334 -41.848 -0.831 37.654 54.406 42.551 10.118 -25.078 -45.111

k2 -9.630 -3.824 3.489 8.520 8.897 4.766 -1.468 -6.514 -7.917 -5.231 -0.104 4.707 6.801 5.319 1.265 -3.135 -5.639

III.139

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemáticas Método de Runge-Kutta Ejemplo u3 v3 2.307 -4.815 1.108 -11.538 -0.563 -11.966 -1.830 -6.337 -2.085 2.079 -1.271 8.842 0.125 10.666 1.357 6.986 1.817 0.052 1.329 -6.409 0.207 -9.177 -0.939 -7.125 -1.529 -1.631 -1.307 4.289 -0.442 7.622 0.583 6.878 1.241 2.722

a3 -77.838 -31.925 26.764 67.751 71.667 39.206 -10.666 -51.579 -63.570 -42.682 -1.799 37.049 54.442 43.165 10.958 -24.451 -44.997

k3 -9.730 -3.991 3.345 8.469 8.958 4.901 -1.333 -6.447 -7.946 -5.335 -0.225 4.631 6.805 5.396 1.370 -3.056 -5.625

u4 v4 1.892 -9.730 0.387 -13.616 -1.204 -10.365 -2.075 -2.128 -1.838 6.589 -0.692 11.360 0.720 10.066 1.668 3.796 1.707 -3.935 0.884 -9.128 -0.325 -9.350 -1.283 -4.847 -1.527 1.774 -0.983 7.025 0.016 8.360 0.935 5.389 1.318 -0.083

a4 -53.579 -4.468 43.360 65.910 53.641 15.239 -28.076 -54.134 -51.053 -22.481 15.359 42.741 46.627 26.749 -5.171 -32.190 -41.053

k4 -6.697 -0.559 5.420 8.239 6.705 1.905 -3.509 -6.767 -6.382 -2.810 1.920 5.343 5.828 3.344 -0.646 -4.024 -5.132

u v 1.840 -9.626 0.300 -13.711 -1.280 -10.597 -2.101 -2.369 -1.806 6.459 -0.622 11.400 0.790 10.243 1.702 4.011 1.692 -3.793 0.830 -9.125 -0.388 -9.478 -1.323 -5.032 -1.524 1.629 -0.943 6.990 0.071 8.445 0.976 5.542 1.325 0.056

III.140

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio del tiempo Aproximaciones Matemáticas Método de Runge-Kutta Ejemplo 3 2 1

Runge-Kutta

0 -1

Analítica

0

1

2

Aceleración lineal

-2 -3

III.141 III.141

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Como ya se vio, una función periódica es aquella en la que la forma de variación en un período se repite indefinidamente. Muchos tipo de funciones de carga son aproximadamente periódicas, bajo ciertas condiciones, como las fuerzas en de la hélice en los barcos, oleaje en plataformas marinas, cierto tipo de cargas de viento en rascacielos, etc. Aunque las cargas sísmicas nunca cargas arbitrarias, su solución puede superposición de muchas funciones presentado el caso de las series de Duhamel.

son periódicas pues son aproximarse por medio de sinusoidales. Ya se ha Taylor y de la Integral de

Otra aproximación al problema puede hacerse utilizando las series de Fourier.

III.142

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Cualquier función periódica puede separarse en sus componentes armónicas usando las series de Fourier, así: ∞

∞

f ( t ) = a 0 + ∑ a j cos( jω0 t ) + ∑ b j sen ( jω0 t ) j=1

j = 1,2,3, K AB

j=1

El armónico fundamental de la función de carga tiene una frecuencia de: 2π

ω0 =

T0

Los coeficientes de las series pueden expresarse en función de f(t), puesto que las funciones de seno y coseno son ortogonales (cuando una vale 0, la otra vale uno, y viceversa) III.143

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia a0 =

1 T0 f ( t )dt ∫ 0 T0

aj =

2 T0 f ( t ) cos( jω0 t )dt ∫ 0 T0

bj =

2 T0 f ( t ) sen ( jω0 t )dt ∫ 0 T0

donde K j = 1,2,3, K El coeficiente a0 es el promedio de f(t), mientras que los coeficientes aj y bj son las amplitudes del j-ésimo armónico de frecuencia jω0. Las condiciones matemáticas para que AB converja son en extremo generales y cubren prácticamente cualquier situación de ingeniería concebible, aunque estrictamente hablando sólo se aplica a sistemas lineales.

III.144

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia La única restricción importante es que cuando la función de carga es discontinua, la serie de Fourier da su valor promedio en la discontinuidad. Si el eje de la gráfica de la función periódica fuera tal que la suma de las áreas positivas es igual a la suma de las áreas negativas, se obtendría que el valor promedio de la función sería nulo, es decir, que la integral bajo la curva de la función de carga sería igual a cero, o, que a0=0. Los otros dos coeficientes constantes son, en general, diferentes entre sí. III.145

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Si se sustituyen los valores de los coeficientes de Fourier en la función de carga, se obtiene: ∞  2 T f ( t ) = ∑  ∫ 0 f ( t ) cos( jω0 t )dt  cos( jω0 t ) + 0  j=1 T0 ∞

 2 T0  ∑  T ∫0 f ( t ) sen ( jω0 t )dt  sen ( jω0 t )  j=1 0 Cuando el período tiende a infinito, la frecuencia fundamental tiende a ser un diferencial.

dω0  ∞ ∞  cos( jω t ) + ( ) f (t ) = ∫ f ( t ) cos j ω t dt 0 0 ω0 = 0 π  ∫0  dω0  ∞ ∞  sen ( jω t ) f ( t ) sen ( j ω t ) dt 0 0 ∫ω0 = 0 π ∫0 

III.146

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Si se definen:

1 ∞ f ( t ) cos( jω0 t )dt 2π ∫0 1 ∞ B(ω) = f ( t ) sen ( jω0 t )dt ∫ 0 2π

A (ω) =

y ∞ ∞ A(ω) cos( jω0 t )dω + 2 B(ω) sen ( jω0 t )dω 0 0

f ( t ) = 2∫

∫

AC

Los coeficientes A(ω) y B(ω) son las componentes de la transformada de Fourier y la función de carga está expresada por la Integral de Fourier o la Transformada Inversa de Fourier. Mediante un artificio matemático, la ecuación AC puede expresarse como: ∞ ∞ f ( t ) = ∫ A(ω) cos( jω0 t )dω + ∫ B(ω) sen ( jω0 t )dω −∞

−∞

III.147

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Ahora bien, puede demostrarse, a través de las propiedades de las funciones trigonométricas (paridad), que: ∞

∞

−∞

−∞

i ∫ A(ω )sen ( jω 0t )dω = 0 y i∫ B(ω ) cos( jω 0t )dω = 0 De tal manera, si estas integrales son cero, pueden sumarse a la función de carga sin alterarla. ∞

f (t ) =

∞

∫ A(ω) cos( jω t )dω + ∫ B(ω) sen( jω t )dω + i ∫ A(ω) sen( jω t )dω − i∫ B(ω) cos( jω t )dω −∞ ∞

0

−∞

0

−∞

∫ f ( t ) = F(ω)e ∫

∞

−∞

∞

f (t) =

0

0

[A(ω) − iB(ω)][cos( jω0 t ) + i sen ( jω0 t )]dω

−∞ ∞

−∞

iωt dω

AD

F(ω) = A(ω) − iB(ω)

III.148

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Como:

F(ω) = A(ω) − iB(ω) remplazando los valores de las componentes de Fourier da: 1 ∞ F(ω) = f ( t )[cos( jω0 t ) − i sen ( jω0 t )]dt ∫ − ∞ 2π 1 ∞ F(ω) = f ( t )e −ijω0 t dt AE ∫ 2π − ∞ AE se conoce como la Transformada de Fourier, mientras que AD es la Transformada Inversa de Fourier Estas expresiones estan dadas en el campo complejo de la frecuencia. Las señales de excitación y de respuesta, en ambos campos de la sismología y la ingeniería sísmica, son finitas, acotadas y continuas; por lo tanto, sus transformadas de Fourier siempre existen y pueden evaluarse.

III.149

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Como:

f = ma ⇒ f ( t ) = ma ( t )

1 ∞ − ijω0 t dt = m ∞ a ( t )e −ijω0 t dt f ( t ) e 2π ∫− ∞ 2π ∫− ∞ ⇒ F(ω) = mA(ω) Transformada de Fourier de

∴ F(ω) =

la aceleración

A la relación entre la transformada de la respuesta y la transformada de la excitación se le llama Función de Transferencia

X (ω) H(ω) = F(ω)

Para cada ω,

m&x& + cx& + kx = F(ω)eiωt AF III.150

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia La solución es del tipo:

x = Αeiωt ⇒ x& = iωΑeiωt

Remplazando en AF :

&x& = -ω2 Αeiωt

(k − mω2 + iωc)Α = F(ω) F(ω) ∴Α = k − mω2 + iωc

La función de transferencia será la relación entre la respuesta y la excitación:

F(ω) 2 + iωc 1 Αeiωt k − m ω = = i ω t F(ω) F(ω)e k − mω2 + iωc

Amplitud de la respuesta de un sistema bajo carga de la forma eiwt

III.151

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Resumiendo: 1 ∞ f ( t )e −ijω0 t dt ∫ 2π − ∞

f(t)

Transformada de Fourier

×

x(t)

F(ω ω)

1 H(ω ω) k − mω2 + iωc Función de transferencia

Transformada Inversa

X(ω ω)

∞ X(ω)eiωt dω −∞

∫

III.152

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Cuando no se conoce la función continua que describe la señal con la que se requiere trabajar generalmente se tienen valores de la función a intervalos constantes. Estos valores pueden representarse por un vector o serie discreta xr, donde r = 0,1,2,...n-1, como se aprecia en la figura.

x(t) x0

x3 x4 x x x 2 5 1

t ∆∆ ∆ ∆

r∆ ∆ III.153

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia La transformada de Fourier, en forma de integral no puede calcularse. El procedimiento tiene que realizarse en forma discreta mediante método numérico. Retomando los coeficientes constantes de la serie de Fourier, 2 T0 aj = f ( t ) cos( jω0 t )dt T0 ∫0

bj =

2 T0 f ( t ) sen ( jω0 t )dt ∫ 0 T0

pueden combinarse definiendo X=aj-ibj y expresándolos en forma N −1 compleja, así: 1 T0 1 Xj = x ( t )e − jω0 t dt = x r e − jω0 ∆r ∆ ∑ ∫ T0 0 T0 r = 0 N −1

i 2 πjr

− 1 Xj = x re N ∑ N r =0

(T = N∆)

AG III.154

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia Esta ecuación no permite conocer la función continua, pero la ecuación puede reversarse para conocer todos los valores discretos.

N −1

1 xr = ∑ N j= 0

ij2 πr − X je N

AH

AG es la Transformada Discreta de Fourier y

es AH

la

Transformada Inversa

III.155

RESPUESTA DINÁMICA

x(t)

SUGDL Dominio de la frecuencia 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Ejemplo

x(t)=e-0.25t

0

5

10

15

20

Tiempo,s Calcular las funciones A(ω) y B(ω) para la función mostrada

III.156

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia

Ejemplo

1 ∞ − 0,25t e cos( jω0 t )dt AI 2π ∫0 1 ∞ − 0,25t B(ω) = e sen ( jω0 t )dt AJ ∫ 2π 0 Integrando por partes: ∞ ∞ − 0, 25t  1 − 0,25t  cos( jω0 t )dt = − e cos( jω0 t ) ∫0 e  0,25 0 A (ω) =

∞ ω − 0,25 t −∫ e sen ( jω0 t )dt 0 0,25

1 ω ∞ − 0, 25t ∞ − 0, 25 t e cos ( j ω t ) dt = − − e sen ( jω0 t )dt 0 ∫0 ∫ 0 0,25 0,25

AK III.157

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia A su vez:

Ejemplo

∞ − 0, 25t  1 − 0,25t  ( ) ( ) ω = − e sen j ω t e sen j t 0 0  ∫0  0,25



∞

0

ω ∞ − 0,25 t e cos( jω0 t ) ∫ 0 0,25 ω ∞ − 0,25 t ∞ − 0, 25t e sen ( j ω t ) = e cos( jω0 t ) AL 0 ∫0 ∫ 0 0,25 0,25 ∞ − 0,25 t ∞ − 0, 25 t ( ) e sen j ω t = e cos( jω0 t ) AM 0 ∫ ∫ 0 0 ω +

De donde:

AL

en

AK

 ω2  ∞ − 0, 25t 1 1 +  ∫ e cos( jω0 t ) = AN 2 0 0,25  0,25 

AK

 ω2  ∞ − 0, 25t ω 1 +  ∫ e ( ) sen j ω t = 0 2 0 2 AO 0 , 25 0 , 25   III.158

y:

AM en

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Dominio de la frecuencia AN

en

AO en

Ejemplo

AI

A(ω) =

1  0,25    2 2 2π  0,25 + ω 

AJ

B(ω) =

 ω 1    2 2 2π  0,25 + ω 

La integral de Fourier queda entonces:

1 ∞ 0,25 1 ∞ ω ( ) x(t) = cos jω0 t dω + sen ( jω0 t )dω 2 2 2 2 π 0 0,25 + ω π 0 0,25 + ω

∫

En t=0: 1 ∞ 0,25 1 ∞ x ( 0) = ∫ d ω = π 0 0,252 + ω2 π ∫0

∫

∞

1  −1 ω  dω 1 tan = = 0,25  0 2 π  ω2 1+ 0,252 que es el valor promedio en la discontinuidad

III.159


Ejemplo

7

A( )

5 3 1 -1

2

7

12

ω

7 5 B( )

-3

3 1 -3

-1

2

7 ω

12

III.160


Ejemplo

En el campo complejo de la frecuencia: 1 ∞ −ijω0 t dt = 1 ∞ e − 0, 25t e − ijω0 t dt F(ω) = f ( t ) e 2π ∫− ∞ 2π ∫− ∞ 1 ∞ − (0,25+ iω)t F(ω) = e dt 2π ∫0 ∞

1  1 − (0,25 + iω)t  F(ω) = e −  2π  0,25 + iω 0 F(ω) =

1  1    2π  0,25 + iω 

F(ω) =

1  0,25 − iω    2 2 2π  0,25 + ω 

F(ω) =

 1  0,25  1  ω i −       2 2 2 2 2π  0,25 + ω  2π  0,25 + ω 

A(ω ω)

B(ω ω)

III.161

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Estabilidad y error de cómputo Los procedimientos numéricos pueden ser estables o inestables. En este sentido se clasifican como: 1. Procedimientos condicionalmente estables: Aquellos que llegan soluciones siempre y cuando el intervalo de tiempo escogido es menor que cierto límite de estabilidad. 2. Procedimientos incondicionalmente estables: Aquellos que llegan a soluciones cerradas, independientemente del tamaño del intervalo utilizado. 3. Incondicionalmente inestable: El procedimiento que no converge bajo ninguna condición. En SUGDL el intervalo de tiempo debe escogerse muy pequeño (≈0,1T), por lo que el criterio de estabilidad pierde importancia. Sin embargo, es muy importante en sistemas con varios GDL.

III.162


RESPUESTA DINÁMICA SUGDL

Acelerogramas Centro" - Mayo 18/40 - Comp. S00E 0.4g Temblor del Imperial Valley, Cal. - Registro "ElAcel. máx. del terreno = 0.348g -0.4g Old Ridge"- Febrero 9/71 - Comp. N21E 0.4g Temblor de San Fernando, Cal. - Registro "Castaic Acel. máx. del terreno = 0.316g -0.4g Temblor de Loma Prieta, Cal. - Registro "Corralitos" - Octubre 17/89 - Comp. N-S 0.4g Acel. máx. del terreno = 0.629g -0.4g Temblor de Chile - Registro "Viña del Mar" - Marzo 3/85 - Comp. N-S 0.4g Acel. máx. del terreno = 0.363g -0.4g Temblor de Miyagi-Ken-Oki, Japón - Registro "Tohoku University, Sendai" - Junio 12/78 - Comp. N-S 0.4g Acel. máx. del terreno = 0.263g -0.4g Temblor de México - Registro "SCT1 - Secretaria de Transporte" - Sep. 19/85 - Comp. E-W 0.4g Acel. máx. del terreno = 0.171g -0.4g

0

5

10

15

20

25

Tiempo (s) 30 35 40 45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95 100

III.164

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Temblor de “El Centro”, 1940 400

Aceleración del terreno (cm/seg2)

Aceleración

200 0 -200

max = 0.348g

-400 0

10

20

30

40

50

40

50

40

50

tiempo (seg)

Movimientos máximos del terreno

Velocidad

40

Velocidad del terreno (cm/seg)

20 0 -20

max = 33.4 cm/seg

-40 0

10

20

30

tiempo (seg)

Desplazamiento

15 10 Desplazamiento 5 0 del terreno -5 (cm) -10 -15

max = 10.9 cm

0

10

20

30

tiempo (seg)

III.165

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Movimientos máximos del terreno De acuerdo con estudios de B. Mohraz, publicados por la Sociedad Sismológica de los Estados Unidos en 1976, las relaciones ente desplazamiento, velocidad y aceleración máximas del terreno, guardan, en promedio, las siguientes proporciones:

x& s &x&s

&x&s x s x& s2

xs &x&s2

Roca

0,61

5,30

0,20

>9m aluvión sobre roca

0,76

4,50

0,28

9m< aluvión sobre roca<60m

0,76

5,10

0,30

60m
1,22

3,90

0,58

Estratigrafía

III.166

EFECTO DE LAS CONDICIONES LOCALES Presa San Rafael, La Calera, Cundinamarca

Acelerógrafo en roca a 134km del epicentro

El Rosal, Cundinamarca

Acelerógrafo en roca a 156km del epicentro

Sismo de Tauramena Enero 19 de 1995 mb=6,5; 15km de profundidad 5,01º N 74,08º O

Sede INGEOMINAS, Santafé de Bogotá, D.C.

Acelerógrafo en 180m de arcillas

III.167

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Leyes de atenuación Con base en los registros acelerográficos en diferentes puntos del planeta, diferentes investigadores han modelado matemáticamente la forma en que la intensidad de un sismo disminuye a medida que la onda se aleja del foco. A estos modelos matemáticos se les conoce con el nombre de Leyes de Atenuación. En general, las leyes atenuación tienen la forma :

Donde:

de

&x& h máx =

AeBm

(r + C)

D

..

•xh máx = Aceleración máxima horizontal •m = Magnitud Ms •r = Distancia más cercana a la falla que produce el sismo

III.168

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Leyes de atenuación Donovan

&x& h máx =

Aceleración, g

10 1

1320 e 0 , 58 m

(r + 25 )1, 52

0.1

Ms=3

0.01

Ms=4

0.001

Ms=5

0.0001

Ms=6

1

10

100

Distancia, km

1000

Ms=7 Ms=8

III.169

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Respuesta ante movimiento del suelo Para un movimiento dado del terreno (xs), la respuesta de deformación x(t) de un SUGDL depende sólamente del período natural de vibración del sistema y su tasa de amortiguamiento Sistemas con diferente período o diferente amortiguamiento tendrán diferente respuesta ante un mismo movimiento del terreno Mientras mayor sea el amortiguamiento menor será la respuesta III.170

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Análisis de fuerzas

Con base en la deformación u(t) del sistema bajo excitación por el movimiento del terreno se hallan fácilmente las fuerzas en los elementos del sistema. Para realizar este análisis se puede asociar la deformación máxima de la estructura con una fuerza equivalente fe: fe(t) = k u(t) que en términos de la masa del sistema da: fe(t) = mωn2 u(t) III.171

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Análisis de fuerzas Así, la fuerza equivalente en el sistema no es exactamente la masa por su aceleración total ut(t), sino la masa por un término con unidades de aceleración, pero que es la frecuencia circular natural del sistema por su deformación. Este término se conoce con el nombre de seudo-aceleración, A(t). fe(t) = m A(t) de tal manera, conociendo la deformación en un instante dado puede calcularse las fuerzas internas debido a la fuerza equivalente fe. III.172

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Análisis de fuerzas fe(t) a Vb(t) Mb(t) Vb(t) = fe(t) Mb(t) = fe(t) a ó Vb(t) = m A(t) Mb(t) = Vb(t) a

Nota: En el caso del modelo de la masa conectada con un resorte, la fuerza equivalente es superflua, pues la fuerza en el resorte es ku(t)

III.173

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta El concepto de espectro fue introducido por H. Benioff en 1934, y desarrollado por M. A. Biot a finales de esa década; pero fue el investigador G.W. Housner quien en la década de los 40 difundió su utilización como un método práctico para caracterizar los movimientos del suelo y sus efectos en las estructuras. Se llama espectro de respuesta a un gráfico del valor máximo del tipo de respuesta estudiado ante un movimiento sísmico, en función del período natural de vibración* del SUGDL, para un coeficiente de amortiguamiento (ξ) determinado. Espectro de desplazamiento: desplazamiento máximo vs. período Espectro de velocidad: velocidad máxima vs. período Espectro de aceleración: aceleración máxima vs. período * Puede graficarse también en función de frecuencia(cíclica o circular)

III.174

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta Al resolver el sistema por medio de las integrales de Duhamel se obtienen la siguiente ecuación para el desplazamiento:

1 t − ξω(t − τ ) sen ω (t − τ )dτ x(t) = − x ( τ ) e & & s a ∫ 0 ωa Derivandot sucesivamente, se obtienen:

∫

x& ( t ) = − &x&s (τ)e − ξω(t − τ ) cos ωa (t − τ )dτ −ξωx ( t ) 0

t 2 &x&( t ) + &x&s ( t ) = ωa 0 &x&s (τ)e − ξω(t − τ ) sen ωa (t − τ)dτ − 2ξωx& ( t ) + (ξω) x ( t )

∫

ξ es generalmente muy pequeño (<0.2) ⇒ ω(1-ξ²)½ ≈ ω. Además, en 1962, D.E. Hudson demostró que si se cambia la función coseno por la función seno, los valores máximos de respuesta no varían significativamente.

III.175

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta Con estas simplificaciones se obtienen:

1 t x ( t ) = − ∫ &x& s (τ)e − ξω(t − τ ) sen ω(t − τ )dτ ω 0 t x&s (τ)e − ξω(t − τ ) sen ω(t − τ)dτ & 0

x& ( t ) = − ∫

x&&(t ) + x&&s (t ) = ω ∫ x&&s (τ )e −ξω (t −τ )senω (t − τ )dτ t

0

Esto implica que:

. x(t) = ωx(t) = V ⇒ unidades de velocidad ⇒ seudo-velocidad .. x(t) = ω²x(t) = A ⇒ unidades de aceleración ⇒ seudo-aceleración III.176

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta para DESPLAZAMIENTO

La solución para x(t) se calcula para un T determinado. Repitiendo el proceso para una serie de valores del período se obtienen diferentes respuestas de las cuales se toma la respuesta máxima. El período de cada sistema y su respuesta de desplazamiento máximo correspondiente son las coordenadas de un punto en el espectro III.177

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta para VELOCIDAD Con base en x(t) se calcula ωx(t) (seudo-velocidad) para cada T. Repitiendo el proceso para una serie de valores del período se obtienen diferentes respuestas de las cuales se toma la respuesta máxima. El período de cada sistema y su respuesta de seudovelocidad máxima correspondiente son las coordenadas de un punto en el espectro La seudo-velocidad es una medida de la energía máxima de deformación (Ed) almacenada en el sistema: Ed = kx²max/2 = k(V/ω)²/2 = mV²/2 III.178

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro de respuesta para ACELERACIÓN Con base en X(t) se calcula ω²X(t) (seudo-aceleración) para cada T. Repitiendo el proceso para una serie de valores del período se obtienen diferentes respuestas de las cuales se toma la respuesta máxima de cada una. El período de cada sistema y su respuesta de seudoaceleración máxima correspondiente son las coordenadas de un punto en el espectro La seudo-aceleración puede asociarse a una fuerza equivalente que es una fuerza inercial aplicada al sistema: A fe = mA ó fe = g P donde P es el peso del sistema III.179

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Respuesta de un SUGDL con T = 1s Temblor de “El Centro”, 1940

6.0

RESPUESTA EN ACELERACION ABSOLUTA (m/s²) 0.0 máxima aceleración 5.075 m/s²

-6.0 1.0

RESPUESTA EN VELOCIDAD RELATIVA (m/s) 0.0 máxima velocidad 0.904 m/s

-1.0 0.2

máximo desplazamiento 0.128 m RESPUESTA EN DESPLAZAMIENTO RELATIVO (m)

0.0

Amortiguamiento, ξ = 5%

-0.2 4.0

ACELERACION EN LA BASE (m/s²) Registro "El Centro" N-S

0.0 -4.0 0

5

10 Tiempo (s)

15

20

25

III.180

0.3

PERIODO 3.0 segundos máximo 0.255 m

0 -0.3 0.3


PERIODO 2.5 segundos

0 -0.3 0.3 0 -0.3 0.3

máximo 0.274 m

PERIODO 2.0 segundos máximo 0.176 m

ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOS TEMBLOR DE EL CENTRO Amortiguamiento 5% PERIODO 1.5 segundos

Cálculo del espectro de respuesta

máximo 0.106 m

0 -0.3 0.3 0 -0.3 0.3 0 -0.3 4 2 0 -2 -4 0

DESPLAZAMIENTO (m) 0.30 0.25 PERIODO 1.0 segundos 0.20 máximo 0.128 m 0.15 0.10 0.05 0.00 PERIODO 0.5 segundos 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 PERIODO (s) máximo 0.051 m

ACELEROGRAMA DE EL CENTRO Aceleraciones en (m/s²)

5

10

15

20

25 TIEMPO (s)

III.181

Espectro de desplazamientos 0.6 efecto del amortiguamiento 0

0.5

ξ

0.4

Sd

(m)

Amortiguamiento,

ξ 0% 2% 5% 10% 20%

0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1.0

1.5 Período T (s)

2.0

2.5

3.0

Espectro de velocidades 3.0

efecto del amortiguamiento 0

2.5

ξ

2.0

Sv (m/s)

Amortiguamiento,

1.5

ξ

0% 5%2% 10% 20%

1.0 0.5 0.0 0

0.5

1.0

1.5

Período, T (s)

2.0

2.5

3.0

III.182 Temblor de “El Centro”, 1940

Espectro de aceleraciones 35

efecto del amortiguamiento

30

0

ξ

25

Amortiguamiento,

ξ

20

Sa

0%

(m/s²) 15

10

2% 5% 10% 20%

5

0 0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Período, T (s)

Temblor de “El Centro”, 1940

III.183

2.0 Sa (g) 1.6 1.2 0.8 0.4

Aceleración (cm/s 2)

600

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

T (s)

120.0 Sv (cm/s) 100.0

0

80.0 60.0 40.0

-600 0

20

40

Tiempo (s)

60

80

20.0 0.0 0.0

Sismo del 25 de Enero de 1999 Componente Este-Oeste Armenia (Quindio) Ms=6.2, Imax = X MSK)

0.5

1.0

1.5

2.0

1.5

2.0

T (s)

14.0 Sd (m)

12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0.0

0.5

1.0 T (s)

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro combinado de respuesta Aunque se requiere un gran esfuerzo de cómputo para obtener el espectro de respuesta, su aplicación en la práctica es enorme. En las próximas figuras se explica su utilidad práctica. Debe recordarse que aunque este desarrollo se basa en SUGDL los sistmeas de múltiples GDL pueden expresarse como superposición de SUGDL. Los tres espectros presentados contienen realmente la misma información escalada y pueden graficarse simultáneamente. En 1960 Veletsos y Newmark propusieron este tipo de espectro combinado utilizando papel con escala logarítmica para ordenadas y abscisas.

III.185

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro combinado de respuesta 10

V, m/s

1

0.1

0.01 0.01

0.1

1

10

T, s

Si se grafica la pseudo-velocidad, V, contra el período, T en un papel doblemente logarítmico, la pendiente de una recta entre dos puntos a y b en dicho papel está dada por:

log[V (a )] − log[V (b)] m= log[T (a )] − log[T (b)]

III.186

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro combinado de respuesta Pero,

T=

2π

ω

y V=

A

ω

[ ] [ ] m= log[2π ω (a )] − log[2π ω (b)] log A ω (a ) − log A ω (b)

log[ A(a )ω (b) A(b)ω (a )] m= log[ω (b) ω (a )]

Si m = 1 ⇒ log[ A(a )ω (b) A(b)ω ( a )] = log[ω (b) ω ( a )]

∴ A(a ) = A(b) Es decir, que una línea con inclinación de 45º corresponde a una recta con aceleración constante. De manera similar se demuestra que una línea con inclinación de -45º corresponde a una recta con desplazamiento constante III.187

m ,c to ie n za m la es p D

,g ón ci ra le ce -a do eu Ps

Pseudo-velocidad, cm/s

Espectro combinado de respuesta

Período natural de vibración, s

III.188

m ,c to ie n za m la es p D

,g ón ci ra le ce -a do eu Ps

Pseudo-velocidad, cm/s


Período natural de vibración, s

III.189

V, cm/s


Tn, s

III.190

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro combinado de respuesta Pequeños períodos evidencian sistemas rígidos, con poco desplazamiento. Su masa sufrirá una aceleración similar a la del terreno Grandes períodos evidencian sistemas flexibles. Su masa permanece casi estática con respecto al tereno, sufriendo pequeñas aceleraciones. El desplazamiento será prácticamente igual al del terreno. Para el extremo inferior de los períodos intermedios, la pseudoaceleración excede la aceleración del terreno en función de T y ξ, hasta llegar a un intervalo en que tiende a ser constante; la amplificación allí depende sólo de ξ. Para el extremo superior de los períodos intermedios, desplazamiento excede el del terreno en función de T y ξ, hasta llegar a un intervalo en que tiende a ser constante; la amplificación allí depende sólo de ξ. Para intervalos medios de T (0,5s a 3 s), la pseudo-velocidad puede considerarse constante, amplificada con respecto a la del terreno en función de ξ.

III.191


V/Vs

Regiones espectrales Sensible a la Sensible al Sensible a la aceleración desplazamiento velocidad

Tn, s

III.192

V/Vs


Tn, s

III.193


RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro elástico de diseño Se basa en el análisis estadístico del espectro de respuesta para grupos de movimiento del suelo. Se construyen espectros de respuesta con diferentes registros del mismo sitio. Se calcula la distribución probabilística, el promedio y la desviación estándar, para cada período. El espectro de los promedios, o el de los promedios más una desviación estándar, es mucho más suave que cada espectro individualmente y es más fácil idealizar la curva resultante. Existen muchas propuestas para la construcción de los espectros de diseño.

III.195

Espectro elástico de diseño

Media + 1σ σ

V/Vs

Media

Tn, s

III.196


Pseudo-Velocidad(escala logarítmica)


Aceleración, velocidad y desplazamiento pico del suelo

Período natural de vibración(escala logarítmica)

III.197


Pseudo-Aceleración A, g

Sismo moderado a pequeña distancia del sitio

Espectro de diseño para el sitio

Sismo severo a gran distancia del sitio

Período natural de vibración Tn, s

III.198

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Espectro elástico de diseño de la NSR-98

III.199

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Acelerogramas históricos Es posible utilizar registros pasados de sismos con magnitudes y ambientes sismotectónicos similares Usualmente no existe calibración de los equipos a posteriori El mecanismo de ruptura influye en la respuesta Modificación de registros históricos: – Intensidad de los picos de aceleración – Contenido frecuencial – Duración

Se requiere información sobre magnitud máxima

probable, distancia epicentral, y registros existentes de la fuente III.200

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Acelerogramas sintéticos Señal aleatoria con cierta

ciclicidad Representación con series de Fourier Calibración del resultado? Procedimiento – Desacoplamiento mediante un ángulo de fase aleatorio – Intensidad de los pulsos de acuerdo con un espectro de diseño – Comparar con el espectro de diseño

III.201

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Respuesta de sitio

Modelación teórica: – Estudios geotécnicos – Métodos sofisticados de cómputo Modelación empírica: – Registro de movimiento en sitios de diferente geología local – Diferencia entre suelos y roca III.202

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Registros de ruido sísmico ambiental Microtemblor

(T≤ 2s)

– Ondas Rayleigh excitadas por el tráfico local cerca del instrumento.

Microsismo

(T> 2s)

– Debidos a perturbaciones ambientales sobre los océanos. Se propagan con sorprendente eficiencia.

Permiten la estimación aproximada de los efectos de

sitio: – Período dominante de amplificación por sedimentos [0,3-5Hz] – Nivel aproximado de amplificación – Buen complemento de otros estudios de efecto de sitio

III.203



Varios grados de libertad como SUGDL m2

m1

c

EI(x), m(x)

k z(t) z(t) x

x u(x,t)=x z(t)

u(x,t)=ψ ψ(x) z(t)

En ambos sistemas, el desplazamiento en cualquier x se define a través de un grado de libertad, z(t), y de la función ψ(x). La ecuación dinámica será:

m&z& + cz& + kz = f (t )

Los símbolos testados se refieren a propiedades generalizadas del sistema .

III.205


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas de cuerpos rígidos m f 0,75a m z(t) c k a

a

• Barras sin masa • Masas puntuales, es decir, se ignora su rotación

0,6a 0,6a f

1,25a&z&m

1,25a

a&z&m

2,2azk

caz&

Por equilibrio, alrededor del apoyo:

m1,25a&z&1,25a + c az& a + m a&z&a + k 2,2az 2,2a =1,6af III.206


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas compuestos de cuerpos rígidos

2,563ma&z&+ caz& + 4,84kaz =1,6f

m = 2,563ma c = ca k = 4,84ka f = 1,6f k k ω= = 1,374 m m c c ξ= = 2 km 7,044a km

De manera que:

Conociendo la función de carga, puede resolverse el problema por lo métodos ya vistos

III.207


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas compuestos de cuerpos rígidos a f

m0 m1 z(t)

k

c

0,5a 0,5a

a m0

a 4 .. &z& 6

 a ..  m1a  &z&  2 

f

m1

.. m 0a 2 (0,707a&z&) kaz

a. c z& 2

a 3 .. &z& 12

III.208


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas compuestos de cuerpos rígidos Suponiendo un desplazamiento virtual δz, el trabajo realizado debe ser nulo:   fa a δz  − m0a 2 0,707a&z&0,707aδz − m0a 4&z& δz − kazaδz 6  2  3 − c a z& a δz − m1a  a&z& a δz − m1 a &z&δz = 0 12  2 2  2  2

Dividiendo por a2δz:      

 a2 a 3  c 1 2m +m z&& + z& + kz = f 0 3 1 12  4 2 

m

c

k

f

III.209


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas con masa distribuida

L

z δz u δu

x

EI(x) m(x)

A diferencia del caso de cuerpos rígidos, aquí no se conoce la función de forma ψ(x), por lo que es necesario suponerla. Un estimado inicial razonable sería la deflexión de la torre bajo carga puntual estática en la parte superior. Así:

2 3 3 u(x) = 3Lx − x y u(L) = L 6EI 3EI

Pero, u(x,t)=ψ ψ(x) z(t), por lo tanto:

us

2 3 ψ(x) = 3x − x 2L2 2L3

Esta forma cumple con las condiciones de borde Otras posibilidades son:

ψ(0) = 0 y ψ´(0) = 0

x2 πx ψ( x ) = y ψ(x) =1− cos 2L L2

III.210


Varios grados de libertad como SUGDL Sistemas con masa distribuida De acuerdo con el principio de D’alambert:

f + ma = 0 ⇒ f (x, t) = −m(x)ü t (x, t) donde üt(x,t) = ü(x,t) + üs(t) De acuerdo con el principio del trabajo virtual sobre el trabajo externo y el interno:

δWE = ∫0Lf (x, t)δu(x)dx δWE = −∫0L m(x)ü(x, t)δu(x)dx − üs(t)∫0L m(x)δu(x)dx AP

AQ δWI = ∫0LM(x, t)δρ(x)dx

El trabajo interno es el resultado de la acción del momento sobre la curvatura

donde:

M(x, t) = EI(x)u′′(x, t) y δρ(x) = δu′′(x) 



III.211


Varios grados de libertad como SUGDL

Sistemas con masa distribuida

u′′(x, t) = ψ′′(x)z(t) y ü(x, t) = ψ(x)&z&(t) AR AS

u(x, t) = ψ(x)z(t)

δu′′(x) = ψ′′(x)δz AU  

δu(x) = ψ(x)δz AT

AS y AT en AP    

 L L 2 δWE = −δz &z&∫0 m(x)ψ (x)dx + üs (t)∫0 m(x)ψ(x)dx  

AR y AU en AQ    

 L 2 δWI = δz z∫0 EI(x)ψ′′ (x)dx  AV 

III.212


Varios grados de libertad como SUGDL δz[m&z& + kz + Pü s ( t )] = 0

δWI = δWE

m&z& + kz = −Pü s ( t ) donde:

m = ∫0L m( x )ψ 2 ( x )dx AX k = ∫0L EI( x )ψ′′2 ( x )dx AY P = ∫0L m( x )ψ ( x )dx

Dividiendo por m:

AZ

P 2 &z& + ω z = − ü s ( t ) BA m

donde:

ω=

k BB m

III.213


Varios grados de libertad como SUGDL De manera similar, si en lugar de la aceleración del suelo, la vibración fuese causada por fuerzas externas, BA se convertiría en:

&z& + ω2 z = P( t ) donde:

P( t ) =

∫

BC

L

P( x , t )ψ ( x )dx

0

En ambos casos, como se trata de un SUGDL, los esfuerzos en el sistema pueden hallarse mediante su fuerza equivalente. Sin embargo, en el caso de masa distribuida no puede asociarse las fuerzas equivalentes simplemente con mA, pues la masa está distribuida y depende tanto de x como de t.

III.214


Varios grados de libertad como SUGDL Fuerzas equivalentes Cualesquiera que sean las fuerzas equivalentes, su trabajo total debe ser igual al trabajo total interno, sea para un desplazamiento real o para uno virtual. Para un desplazamiento virtual, el trabajo de la fuerza aplicada sería aproximadamente igual al trabajo interno, dado por AV :

 L  2 P( x , t )δu ( x )dx =δz z EI( x )[ψ′′( x )] dx  BD  0  0 Pero, según AT : δu(x) = ψ(x)δz, de donde:

∫

L

∫

 L  2 P( x , t )ψ ( x )δzdx =δz z EI( x )[ψ′′( x )] dx  BE  0  0

∫

L

∫

Numerador en ω2 III.215


Varios grados de libertad como SUGDL Fuerzas equivalentes Por lo tanto, en función de ω2, la anterior ecuación se convierte en:

L   2 P( x , t )ψ ( x )δzdx =δz zω2 m( x )[ψ ( x )] dx  BF   0 0 que es lo mismo que:

∫

L

∫

L

[ P( x , t ) − zω2 m( x )ψ ( x )]ψ ( x )dx =0 BG ∫ 0

Como ψ(x) no es nula:

P( x , t ) = zω2 m( x )ψ ( x )

BH III.216

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Sistemas con masa distribuida 0,75m

Torre de hormigón con 5% del amortiguamiento crítico

(

180m

kg

Sección a-a

AX , AY

De tal manera, de acuerdo con

∫

0

)

2 π x 1 − cos 2L dx

Mg

)

Supóngase la función de forma:

us

(

kg

m = 2 400 m 3 × 33,58m 2 = 80 592 m = 80,592 m π I = 7,54 − 6,754 = 854,6m 4 4 EI = 24 500MPa × 854,6m 4 = 20 937 700 000kN - m 2

(

a 15m

m=m

)

A = π 7,52 − 6,752 = 33,58m 2

a

L

Ejemplo

k = EI

∫

L

0

π 16 L4 4

y

ψ ( x ) = 1 − cos 2πLx

AZ

cos 2 2πLx dx

:

( 1 − cos 2πLx )dx ∫ L

P=m

0

III.217

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Sistemas con masa distribuida

Ejemplo

(

)

m = m ∫ (1 − cos 2L ) dx = m ∫ 1 − 2 cos 2πxL + cos2 2πxL dx L

0

πx 2

L

0

L L L  πx m = m ∫ dx − 2∫ cos 2Ldx + ∫ cos2 2πxL dx  0 0  0  Ahora bien, si u = 2πxL entonces du = 2πL dx ∴ L L  πx L 2 m = m x ]0 − π 2 L sen 2L ]0 + ∫ cos2 2πxL dx  0   1 + cos 2u 2 pero cos u = ∴ 2 L 1 + cos πx  L 2  L L m = m x ]0 − sen 2πxL ]0 + ∫ dx  π 0 2 2L  

III.218


Ejemplo

L cos πx L   4 L dx L dx  + + m = m L −   π 2 2 0 0   L 4L L L  π x + + sen L  m = m L − 0 π 2 2π 

∫

∫

]

4L L   m = m L − +  = 0,227mL π 2  Similarmente: L 4 π k = EI 16L4 0

∫ P = m (1 − cos ∫ L

0

cos 2 2πLx dx πx 2L

EI = 3,04 3 L

)dx = 0,363mL III.219


Ejemplo

Por lo tanto: EI 3,04 3 k 3,66 EI L ω= = = m 0,227mL L2 m 3,66 ω= 180 2 m 2

2,093 77 ×1010 kN ⋅ m 2 Mg 80,592 m

rad = 1,821 s

2π 2π T= = = 3,45s ω 1,821 III.220

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Sistemas con masa distribuida Sa = 2,5A a I

Utilizando el espectro de diseño de la NSR-98, con Aa=0,2 e I=1,3:

A I 0,2 × 1,3 Sa = a = = 0,13 2 2 m m A = 0,13 × 9,81 2 = 1,275 2 s S =A I s a a m A 1,275 s 2 D = 2 = 2 2 = 0,39m ω 1,8 rad s 2

Ejemplo

Sa =

1,2A a SI T

Sa = T0 = 0,3s

T0 = 0,48s

Aa I 2

T0 = 2,4s

Pero este desplazamiento es la respuesta máxima bajo la aceleración del terreno, mientras que, según BA , el movimiento de la torre está sometido a una aceleración amplificada. De tal manera, el desplazamiento máximo del sistema es:

z=

P 0,363mL D= D = 1,6 × 0,39m = 0,62m m 0,227mL

III.221


Ejemplo

Así, el desplazamiento u(x,t), en cualquier punto de la torre es:

πx   u ( x ) = ψ ( x ) z = 0,621 − cos  2L   Las fuerzas equivalentes son:

0,62m x

u(x)

P( x ) = zω2 m( x )ψ ( x ) rad Mg × 80,592 ψ( x ) 2 m s πx  kN  x P( x ) = 165,691 − cos  2L  m 

P( x ) = 0,62m ×1,82

P(x)

III.222

RESPUESTA DINÁMICA SUGDL Sistemas con masa distribuida La cortante en la base será:

VBasal VBasal VBasal VBasal

L

Ejemplo

L

πx   = P( x )dx = 165,691 − cos dx 2L   0 0 L 2L πx  = 165,69L − 165,69 sen  π 2L  0 2L = 165,69L − 165,69 π = 10 837,5kN

∫

∫

(7,61% del peso de la torre)

III.223



Sistemas inelásticos

Comportamientos elástico, no lineal

elástico, e inelástico tensión

tensión

tensión

carga

carga

carga

descarga descarga

descarga

deformación permanente

(a) elástico

deformación

(b) deformación elástico no lineal

(c)

deformación

inelástico

III.225

Comportamiento inelástico Historia de carga, descarga, y recarga tensión

D

A carga

C

energía disipada

recarga fa

descarga descarga B 0 deformación permanente G

E

deformación fb

F

III.226

Comportamiento inelástico del hormigón fc

módulo tangente inicial Etan

f ′c

módulo tangente al 20% de la resistencia máxima

1 E 1 Ec 1

resistencia máxima módulo secante al 45% de la resistencia máxima

0.45f c′

0.20fc′

0.0

0.001

0.002 0.003 0.004 0 , deformación unitaria

0.005

III.227

Comportamiento inelástico del acero f s resistencia a la tracción

f u f y

falla resistencia a la fluencia

Es 1 O

δy

máxima elongación deformación de fluencia

deformación unitaria

δ max

δ

III.228

Relaciones entre fuerzas y deformaciones Carga

p(x)

p(x)

V(x) = ∫ p(x) dx

V(x)

Momento

M(x) = ∫ V(x) dx

M(x)

φ(x) φ( )

Curvatura

M(x) φ (x) = EI

Rotación

θ (x) = ∫ φ(x) dx

θ(x) θ( )

Deflexión

δ (x) = ∫ θ(x) dx

Cortante

δ(x) δ( )

III.229

Diagrama momento-curvatura para hormigón reforzado M

M-φ φ

fluye el acero

Mu falla

My

EI

iniciación del trabajo en frío punto de agrietamiento

1

Mcr

φcr

φy

φu

φ

III.230

Comportamiento inelástico de un elemento de hormigón reforzado

P

θp

Mu My

P

δ

sección del elemento

Mcr 0 φu δ φs φy φcr 0

lp

III.231

Elemento bajo cargas alternantes Sección

Programa de deflexiones D

D'

final del ciclo 1 final del ciclo 2

I A E

I'

Deflexión máxima G

G'

(a)

Fuerza

Fuerza

(c)

(d)

ku kg k cr

D

ku

ks

D'

C

ks

C ku

k uI'

I B

H

H'

E A

F

Deflexión

E' F

Deflexión

kr

kr

kr

kr G'

G (g)

B A

Ciclo 1 (b)

(e)

Ciclo 2 (f)

III.232

Régimen Histerético P

P ∆

kg kc

ku kr

ks

P ∆

P

P ∆

ku kr ∆

III.233

Degradación de la resistencia Fuerza

Deflexión falla

Falta de refuerzo transversal adecuado III.234

Degradación de rigidez y de resistencia Fuerza k1

falla

k2

k3

Deflexión

•Fisuración del hormigón •Baja capacidad de endurecimiento del acero •Recubrimientos muy pequeños •Mal confinamiento de los elementos •Baja adherencia entre el hormigón y el refuerzo •Cuantías longitudinal excesivas •Niveles de carga axial excesivamente altos

III.235

Degradación de la rigidez sin falla Fuerza

k1

k2

k3

Deflexión

III.236

Disipación de energía Fuerza

Deflexión

Energía disipada - primer ciclo

III.237

Estrangulamiento de los ciclos de histéresis Fuerza

Estrangulamiento

Deflexión

Energía disipada - 3er ciclo

III.238

Modelos matemáticos de histéresis Fuerza

Fuerza

Fy

Fuerza

Fy 0

Deflexión

(a) Elasto-plástico

Fy 0

0 Deflexión

(b) Ramberg-Osgood

Deflexión

(c) Rigidez degradante

III.239

Modelo Elasto-plástico F Fy k k

uy

k

u

-Fy

III.240

Modelo Elasto-plástico (Continuación...) F

F

F

Fy

Fy

Fy k

k

uy

ciclo de carga

uu u

k

uy

ciclo de descarga

uu u

uy

uu

u

energía disipada

III.241

Modelo Elasto-plástico (Continuación...) F y

A

Fy

ya

k

k 0

ym

k u

uy

-F y punto donde se inicia la descarga

x m x a

x

III.242

Modelo Elasto-plástico (Continuación...) 0.4

Acelerograma de El Centro, 1940

e

0.2

a (g)

Ciclos de histéresis

f

0.0

Tiempo (s) 1

-0.2 -0.4

b c

2

d

3

4

Fuerza (1 / W)

(a) Desplazamiento

100 50

(mm)

a

d

1

2

Tiempo (s)

0

b

-50 -100

(1 / W)

a

0.0 1 -0.2 -0.4

3

f

4

-100

-50

d

b c f (c)

50

100

-0.1

c

e

2

0

Desplazamiento (mm)

c (b) Fuerza

0.4 0.2

a

0.1

e

e

d

0.2

b

-0.2

f (d)

3

Tiempo (s) 4

Período sistema elástico T = 1 s

III.243

Modelo Elasto-plástico (Continuación...)

Ciclos de histéresis Fuerza (1 / W) 0.5

Fy = 0.2 W

-150

-100

-50

Fuerza (1 / W) 0.5

0.4

Fy = 0.4 W 0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0 -0.1

0

50

100 150 -150 Desplazamiento (mm)

-100

-50

0.0 -0.1

-0.2

-0.2

-0.3

-0.3

-0.4

-0.4

-0.5

-0.5


0

50 100 150 Desplazamiento (mm)

Registro de El Centro, 1940

III.244

Modelo Elasto-plástico (Continuación...) Desplazamiento 250 200 150

Elástico Fy = 0.4W Fy = 0.2W

100 50

(mm)

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-50 -100 -150

Tiempo (s)

-200 -250



III.245

Modelo Elasto-plástico (Continuación...) Fuerza 1.0

Elástico

0.8

Fy = 0.4W

0.6

Fy = 0.2W

0.4 0.2

(1 / W) 0.0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-0.2 -0.4 -0.6

Tiempo (s)

-0.8 -1.0



III.246

Modelo Elasto-plástico (Continuación...)

Fluencia 0.4

Fy = 0.4W Fy = 0.2W

0.2

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-0.2

Tiempo (s) -0.4



III.247

Modelo de Ramberg-Osgood F Fy

1

 F u F = + α   u y Fy  Fy 

1 deformación permanente

r

u u y

III.248

Modelo de Ramberg-Osgood (Continuación)... Rigidez curva esqueleto

Rigidez original

F/F y 1 Rigidez en el punto de fluencia Curva esqueleto 0

1

u/u y

III.249

Modelo de Ramberg-Osgood (Continuación)... Acelerograma de El Centro, 1940

0.40

de

0.20

a (g) 0.00

0

b

1

2

(a)

Fuerza (1 / W) 0.3

Desplazamiento e

100

1

2

b

f

3

0.4

Fuerza

-0.4

(s)

-100

-50

0

50

100

Desplazamiento (mm) -0.1 f

(b) g

-0.2

4 tiempo

c g

c

b -0.2 -0.3

(d)

d e

a 1

d a

0.1

-100

(1 / W) 0 0

e

0.2

d

a

-50

0.2

(s) Ciclos de histéresis

-0.40

(mm) 0 0

4 tiempo

c

-0.20

50

f 3 g

b

2

c

3

f (c)

g

4

tiempo (s)


III.250

Modelo de Ramberg-Osgood (Continuación)... Ciclos de histéresis Fuerza (1 / W)

Fuerza (1 / W) 0.4

F y = 0.2 W

-150

-100

0.4

F y = 0.4 W

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-50

0 -0.1

50

100

150

-150

Desplazamiento (mm)

-100

-50

0 -0.1

-0.2

-0.2

-0.3

-0.3

-0.4

-0.4

(a)


50

100

150

Desplazamiento (mm)

(b)


III.251

Modelo de Ramberg-Osgood (Continuación)... Desplazamiento 250 200 150

Elástico Fy = 0.4W Fy = 0.2W

100 50 (mm)

tiempo (s)

0 -50 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-100 -150 -200 -250



III.252

Modelo de Rigidez Degradante F y

x max

C ks x ab α x ab A

ym punto donde se inicia la descarga

β kr

B

Fy u

ku

uy x

xm

III.253

Modelo de Rigidez Degradante (Continuación...)

250 200 150 100

Desplazamiento

Elástica Fy = 0.4W Fy = 0.2W

50 (mm)

tiempo (s)

0 -50 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-100 -150 -200 -250



III.254

Modelo de Rigidez Degradante (Continuación...) Elástico

Elástico Fuerza (1 / W)

Fuerza (1 / W)

-200

-150

-100

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-50 -0.1 0

50

-0.2

100

150

200

-200

-150

Desplazamiento (mm)

-100

-50 -0.1 0

-0.3

-0.4

-0.4

-0.5

-0.5


100

150

200

-0.2

-0.3

Fy = 0.2 W

50

Fy = 0.4 W Temblor de “El Centro”, 1940

III.255


Takeda Modificado


Q-Hyst


Roufaiel y Meyer


Chung

Efecto de la respuesta inelástica sobre el espectro Sistemas elastoplásticos Espectro de desplazamientos totales log Sv Vm = inelástico

µ Ve 2µ − 1

A m= µ A e Ve Dm= D e

elástico

Ae

De

log T

III.260

Efecto de la respuesta inelástica sobre el espectro Sistemas elastoplásticos Espectro de aceleraciones máximas log S v

Ve elástico

Vm =

Ae A m= A e

Ve 2µ − 1

De

inelástico

Dm=

De µ

log T

III.261

Continúa en el archivo Dinámica_VGDL.ppt

03-Dinamica_UGDL

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