1
2. DEFORMACIJA
2. DEFORMACIJA 2.2. TENZOR DEFORMACIJE 2.2.1. Pomak, duljinska i kutna deformacija Pod nazivom deformiranje tijela podrazumijeva se promjena oblika i dimenzija tijela. Uzrok deformiranju tijela osim vanjskog opterećenja, može biti promjena temperature, vlažnosti, promjene u strukturi tijela itd. Pomak δ je vektor koji spaja početni položaj čestice s položajem u deformiranom stanju tijela. v
z
F3
F2
F1
Na slici je pomak čestice A:
početni oblik
v
δ A
l
δ A
A O FC
y
l+Δl
r
C
z
Fi
A1 B
Fn
FB
v
uA
.
r
x
deformirani oblik
δ A
vA
j
k .
O
wA
v
i
AA1 . vA
uA
A
v
=
. y
. wA
r
δ A x
A1
v
Vektor pomaka δ u pravokutnom x, y, z – koordinatnom sustavu izražava se pomoću svojih komponenti: v
v
δ = u i
v
v
+ v j +
w k .
U općem slučaju komponente pomaka ovise o položaju čestice u tijelu te vrijedi: u = u ( x, y, z ) , v = v( x, y , z ) , w = w( x, y , z ) .
Deformacija je skup geometrijski definiranih veličina koje jednoznačno definiraju deformiranje beskonačno malog elementa tijela. Potrebno je definirati 9 veličina koje tvore simetrični tenzor 2.reda. Te su veličine duljinske i kutne deformacije .
Duljinska deformacija definira se kao relativno produljenje, tj.:
ε = lim l →0
Δl
l
,
gdje su: l - početna duljina dužine, a ∆l – produljenje pri deformiranju. Za ε > 0 – dužina se produljuje, a kod ε < 0 – dužina se skraćuje.
Kutna deformacija definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta.
2
2. DEFORMACIJA
Radi jednostavnosti definiranja tih veličina rabi se ravninski model na slici. Prave deformacije u točki A definiraju se u O xy – koordinatnom sustavu izrazima:
v
F 2
početni oblik
v
F 1
A1B1 − AB
v
F 3
C1
ε AB
=
lim
AB
B→A
C
y
π/2−γ ABC
ε AC
B1
δ A A 1 A
lim
A1C1 − AC AC
C→ A
B
x
O
=
v
F 4
= ε x ,
= ε y
,
⎛ π ⎞ γ ABC = lim⎜ − ∠A1B1C1 ⎟ = γ x y B→A⎝ 2 ⎠ C→A
v
F n
Također vrijede jednakosti:
v
F i
deformirani oblik
x y
=
y x
,
y z
=
z y
,
x z
=
z x
.
Predznak kutne deformacije je pozitivan ako se kut koji čine pozitivne koordinatne osi ili negativne koordinatne osi smanjuje. Kutna deformacija još a deformacija, jer su uz nju vezana posmična se naziva i posmi čn naprezanja.
Tenzorske kutne deformacije definirane su izrazima:
ε x y
=
1 2
γ x y
= ε y x ,
ε y z
=
1 2
γ y z
= ε z y ,
ε z x
=
1 2
γ z x
= ε x z .
Obujamna ili volumenska deformacija definira se kao relativna promjena obujma, tj.: Θ=
lim
V →0
ΔV
V
, gdje je ∆V - promjena početnog obujma V .
U područ ju malih deformacija, reda veličine 10−3, obujmna je deformacija jednaka približno zbroju duljinskih deformacija za tri međusobno okomite osi: Θ ≈ ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 = I 1ε ,
tj., obujamna deformacija jednaka je prvoj invarijanti tenzora malih deformacija. Jedinica za duljinske deformacije je bez ikakve oznake ili npr. kod mjerenja m/m ili češće 10 6 m/m= 1 m/m (engl. microstrain). Jedinica za kutne deformacije je jedinica kuta, tj. radijan, a oznaka je rad ili 10 6 rad = 1 rad.
3
2. DEFORMACIJA
2.2.2. Tenzor malih deformacija Za definiranje deformacije u točki tijela potrebno je poznavati 9 podataka, tj. tri duljinske deformacije koje se odnose na tri međusobno okomite dužine (npr. u pravcima osi O xyz – koordinatnog sustava ⇒ ε x, ε y, ε z), te šest kutnih deformacija ( γ x y= γ y x, γ z y= γ y z, γ x z= γ z x). Komponente deformacije predstavljaju komponente simetričnog tenzora 2. reda kojima matrica u tenzorskim odnosno tehničkim oznakama glasi:
⎡ε x x [ε ij ] = ⎢⎢ε y x ⎢ε z x ⎣
ε x y ε y y ε z y
ε x z ⎤ ⎡ ε x γ x y / 2 γ x z / 2⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ε y z ⎥ = ⎢γ x y / 2 ε y γ y z / 2⎥ . ε z z ⎥⎦ ⎢⎣γ x z / 2 γ y z / 2 ε z ⎥⎦
2.3. RAVNINSKA DEFORMACIJA Stanje je deformacije ravninsko, ako je ispunjen uvjet: ε x = ε x ( x, y ), ε y = ε y ( x, y ), x y = x y ( x, y ), ε z =
x z =
y z
=
0.
2.3.1. Transformacija komponenata tenzora deformacije Kako je deformacija simetričan tenzor 2. reda kao i naprezanje, svi izrazi izvedeni za naprezanje vrijedit će i za deformaciju, ako se σ x, σ y i τ xy zamijene sa ε x, ε y i γ xy/2. Izrazi za transformaciju komponenata deformacije kod rotacije osnovnog koordinatnog sustava O xy za kut ϕ u zarotirani koordinatni sustav O x y glase: y ε d y y y
ϕ
F1
B1
y
B
ε yd y
π/2− γ xy
d y
d y
A1 M
d x A
π/2− γ xy
F
ε xd x
E M
x x
O
a)osnovni koordinatni sustav
d x
⎧ ε x ⎫ ⎪ ⎪ = [T ] ⎨ ε y ⎬ , ⎪γ ⎪ ⎩ x y ⎭ ε
M
x
M
x
O
b) zarotirani koordinatni sustav
u matričnom obliku, gdje su za kut ϕ rotacije osi: m = cos ϕ , n
⎧ ε x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ε y ⎬ ⎪γ ⎪ ⎩ x y ⎭
ε xd x
ϕ
ϕ
•
E1
a matrica transformacije je:
⎡ m2 n2 mn ⎤ ⎢ ⎥ − mn ⎥ . [T ε ] = ⎢ n 2 m2 ⎢− 2mn 2mn (m 2 − n 2 )⎥ ⎣ ⎦
= sin ϕ :
4
2. DEFORMACIJA
•
u razvijenom obliku:
ε x = ε x cos 2 ϕ + ε y sin 2 ϕ + γ x y sin ϕ cosϕ , ε y = ε x sin 2 ϕ + ε y cos 2 ϕ − γ x y sin ϕ cosϕ , γ x y = −2(ε x − ε y ) sin ϕ cosϕ + γ x y (cos 2 ϕ −sin 2 ϕ ) , •
odnosno, nakon trigonometrijskih transformacija:
ε x ε y
=
ε x
+ ε y
+
ε x
2 =
ε x
2
+ ε y
−
ε x
2
x y
=
y x
− ε y
− ε y
2
cos 2ϕ +
x y
cos 2ϕ −
x y
= −(ε x − ε y ) sin 2ϕ +
2
2 x y
sin 2ϕ , sin 2ϕ , cos 2ϕ .
Prva i druga invarijanta ravninske deformacije su:
I 1ε = ε x + ε y = ε x + ε y = ε 1 + ε 2 = const. , 2
2
I 2ε = ε x ⋅ ε y − ε x y = ε x ⋅ ε y − ε x y = ε 1⋅ ε 2 = const. . 2.3.2. Glavne deformacije Glavne deformacije
1
ε 1, 2 =
i
2
određene su izrazom:
[ε + ε 2
1
x
y
±
(ε x − ε y ) 2
2
+ γ x y
]
.
Glavni pravci deformacija 1 i 2 određeni su kutom ϕo za koji vrijedi izraz:
tan 2ϕ o =
x y
ε x − ε y
.
U primjeni, izrazi za glavne deformacije ε1 i ε2 te za kut ϕo koji određuje glavne pravce deformacija, rabe se kod obrade podataka duljinskih deformacija u nekoj točki na površini opterećene konstrukcije, određenih pomoću tzv. mjernih rozeta (elektrootpornih tenzometara) kod uporabe metode tenzometrije.
5
2. DEFORMACIJA
2.3.3. Mohrova kružnica deformacije Mohrova kružnica deformacije konstruira se analogno Mohrovoj kružnici naprezanja. Na osi apscisa nanose se duljinske deformacije, a na osi ordinata polovične kutne deformacije. Ako je γ xy > 0 , γ yx < 0 crtaju se ispod osi ε, dok se γ xy < 0 i γ yx > 0 crtaju iznad vodoravne osi ε. Koordinate točaka komponenti deformacije u točki tijela kod crtanja Mohrove kružnice deformacija su: y
Mjerilo: 1 cm = λ ε
γ x y /2 γ y x /2
G
y
M
E
x y max
ϕ N
ϕ
A F
F
E
ε x ϕ
2
ε2
ε1
D
C
d) n1
ε S
Sve točke deformacija u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.
G ε S
H
F (ε y, γ y x/2)
ϕo C (ε1, 0) x
π /2 − γ x y max
1
E (ε x, γ x y/2)
1
M x
γ x y= γ y x < 0
x
M
x
B (ε y, γ y x/2)
x
H
y
x
γ x y)
ε y
γ x y/2
ϕ o
A (ε x, γ x y/2)
( π/2−
ε
C
S
P y
y
1
D
A
/2
x y/2
2
2
γ x y)
ε x
B
O
( π/2−
B
x
n
S
y
γ x y /2 γ y x /2
ε y
x
γ
x y = y x > 0
n
D (ε2, 0) γ x y max < 0
ϕ N G (ε S, γ x y max /2)
M
x
H (ε S, γ x y max /2)
2.4. PROSTORNA DEFORMACIJA Komponente tenzora deformacije transformiraju se prema zakonima za transformaciju komponenata tenzora 2. reda, analogno kao i kod tenzora naprezanja.
Glavne deformacije ε 1
≥ ε 2 ≥ ε 3
određuju se rješavanjem kubne jednadžbe:
ε 3 − I 1ε ε 2 + I 2ε ε − I 3ε = 0 ,
6
2. DEFORMACIJA
gdje su invarijante tenzora deformacije:
I 1ε = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 = const. , 2
2
2
I 2ε = ε x ⋅ ε y + ε y ⋅ ε z + ε z ⋅ ε x − ε x y − ε y z − ε z x = ε 1 ⋅ ε 2 + ε 2 ⋅ ε 3 + ε 3 ⋅ ε 1 = const. I 3ε = ε x ε y ε z + 2ε x y ε y z ε z x − ε x ε y2 z − ε y ε z2 x − ε z ε x2 y = ε 1 ⋅ ε 2 ⋅ ε 3 = const.
Kod izotropnih materijala glavni pravci deformacija ε 1, ε 2 podudaraju se s glavnim pravcima naprezanja σ 1, σ 2. Kod anizotropnih materijala to nije slučaj te se pravci glavnih deformacija moraju odrediti prema izrazima tenzorskog računa. Primjeri: deformacije kod ravninskog stanja naprezanja tijela.
