Estadística EIAE (UPM)
Ejercicio 1
Estadística EIAE (UPM)
La altura, en metros, de los jugadores de baloncesto españoles sigue una distribución N(µ, N(µ, 0.3) con media desconocida. Sabemos que un intervalo de confianza confianza del 95 % para dicha altura media desconocida es (1. (1.9112 9112,, 2.0288). Para la muestra aleatoria simple con la que se obtuvo dicho intervalo, obtener:
(a) La altura altura media de los los jugadores jugadores que componían componían la la muestra. muestra. (b) El tamañ tamaño o de la la m mues uestr tra. a.
Estadística
Ejercicio 1 X
≡ N(µ, σ) =⇒
EIAE (UPM)
√ ≡ −√
X
N µ,σ/ n
=
⇒
X µ Z = σ/ n
−√ ≡ N(0, 1)
a µ b µ 0.95 = P a < X < b = P
1.9112 = x¯
− zα/
2
2.0288 = x¯ + zα/2
σ = 0 3 zα/2 = 1 96 L =
− = P
zα/2 < Z < zα/2
σ σ <µ
− zα/ √ 2
−√
√ ⇒ √ σ n σ n
2.0288
=
√
x ¯=
1.9112 + 2.0288 = 1.97m 2
− 1.9112 =⇒ n =
zα/2
σ
2
= 102 = 100
Ejercicio 2
Estadística EIAE (UPM)
El espesor de las lunas suministradas a una empresa fabricante de coches se distribuye normalmente. Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de 20 lunas, resultando un espesor medio de 4.05mm con desviación típica 0.08mm.
Obtener un intervalo de confianza del 90 % para la media y la varianza del espesor de las lunas suministradas.
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Intervalo de confianza para la media X
≡ N(µ, σ) =⇒
0.90 = P
−tα/
2
<
−
X µ S/ n
tα/2 <
−√ ≡ t n−
X µ < tα/2 S/ n
−√
x ¯ µ < tα/2 = s/ n
−√
1
⇒ − √ sn tα/
s √ µ=x ¯± tα/ n
2
o bien
2
− µ < √ sn tα/ =⇒ 2
s √ x ¯− tα/ n
2
s √ <µ
n = 20, x ¯ = 4.05, s = 0.08, tα/2 = 1.7291 4 050
± 0 032
o bien
4 018 <
< 4 082
2
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
Intervalo de confianza para la varianza X
≡ Espesor, en mm, de una luna ≡ N(µ, σ) X k ≡ Espesor, en mm, de la luna k de una muestra ≡ N(µ, σ) (n − 1)S ≡ χn− X ≡ N(µ, σ) =⇒ σ 2
2
2
0.90 = P χ
1−α/2
<
(n
1
2
− 1)S σ
(n
< χα/
2
− 1)s
2
2
(n 1)s2 <σ < χ −α/ 2
χα/
2
− 1
n = 20, s2 = 0.082 , χ
1−α/2
2
= 10.117, χα/ = 30.144
0 004 < σ2 < 0 012
2
Estadística
o
Ejercicio 3. (2 Parcial 2011-12)
EIAE (UPM)
Queremos encontrar un intervalo de confianza con nivel de significación α = 0.01 para la media de una población N (µ; 2). Si queremos que la precisión (semilongitud del intervalo) sea menor que 0.5 necesitamos una muestra de tamaño mayor que: (a)
107
(b)
87
(c)
54
(d)
44
Estadística
o
Ejercicio 3. (2 Parcial 2011-12)
X
≡ N(µ, σ) =⇒
√ ≡ −√
X
N µ,σ/ n
EIAE (UPM)
=
⇒
X µ Z = σ/ n
−√ ≡ N(0, 1)
a µ b µ 0.99 = P a < X < b = P
−√
Tamaño de la muestra:
σ n= zα/2 L
2
=
2 2.575 L
2
>
2 2.575 0.5
n = 107
2
= 106.09
Estadística
o
Ejercicio 4. (2 Parcial 2011-12)
EIAE (UPM)
De una población normal se ha obtenido una muestra con los valores: 10, 12, 13, 14 y 16. El intervalo de confianza con nivel de significación α = 0.1 para la media µ de la población es: (a)
(10.87, 15.13)
(b)
(10.99, 15.02)
(c)
(11.36, 14.64)
(d)
(12.05, 13.95)
Estadística
o
Ejercicio 4. (2 Parcial 2011-12)
EIAE (UPM)
Intervalo de confianza para la media ( σ desconocido) X
≡ N(µ, σ) =⇒
0.90 = P
−tα/
2
<
−
X µ S/ n
−√ ≡ t n−
tα/2 <
X µ < tα/2 S/ n
−√
x ¯ µ < tα/2 = s/ n
n = 5,
⇒ − √ sn tα/
−√
x ¯=
1 n
1
2
− µ < √ sn tα/
2
n
xk = 13,
s2 =
k=1
µ = 13
± 2.13mm
1 n
−1
=
µ=x ¯
− x¯
⇒
n
k=1
x2k
2
= 5,
o bien 10.87 < µ < 15.13
± √ sn tα/
2
tα/2 = 2.1318
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
Se quiere comparar el tiempo, en segundos, que se tarda en pagar un peaje de forma manual (X ) o con tarjeta (Y ). Para ello se miden los tiempos de 15 pagos de cada tipo, obteniéndose los siguientes resultados
muestra x
muestra y
24.92
28.07
24.15
22.80
23.63
27.57
25.90
23.95
23.90
23.00
27.47
25.32
26.00
21.97
24.79
24.86
25.76
23.02
24.83
24.22
24.27
21.99
23.83
25.02
22.27
21.62
26.63
24.45
24.74
24.48
Obtener un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias de las dos poblaciones. (a) Suponiendo que las poblaciones tienen la misma varianza. (b) Suponiendo que las poblaciones tienen distinta varianza. Obtener un intervalo de confianza del 95 % para el cociente de varianzas las dos poblaciones.
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
x ¯ = 24.43
y¯ = 24.59
s2x = 3.35 sx = 1.83
s2y = 2.2 sy = 1.49
(a) Misma varianza. Estadístico:
(X
− Y ) − (µx − µy ) ≡ t n 1 1
S p
n
1
+
n+m
S p =
(n
1)S x2 + (m n+m
m
− α = P
−
µx
−
+m−2
−
tα/2 <
(X
− Y ) − (µx − µy ) < t S p
1 1 + n m
− µy = (¯x − y¯) ± tα/
2 S p
α/2
2
− 1)S y
−2
=
⇒
1 1 + n m
2 = 28
α = 0.05 tα/2 = 2.0484 S p
1
+
1
= 0.610
=
⇒ µx − µy = −0.162 ± 1.249 =⇒ −1.411 < µx − µy < 1.087
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
x ¯ = 24.43
y¯ = 24.59
s2x = 3.35 sx = 1.83
s2y = 2.2 sy = 1.49
(b) Distinta varianza. Estadístico:
(X
− Y ) − (µx − µy ) ∼= t γ
S y2 S x2 + n m
γ = 26.9 α = 0.05
(A + B)2 γ = A2 B2 + n 1 m 1
−
s2y s2x A= , B= n m
−
≃ 27
tα/2 = 2.0518 S y2 S x2 + = 0.610 n m
=
⇒ µx − µy = −0.162 ± 1.251 =⇒ −1.413 < µx − µy < 1.089
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
s2x = 3.35 s2y = 2.2 Estadístico:
S x2 /σx2 S y2 /σy2 1
− α = P
f 1−α/2 (n
s2y f 1−α/2 (n s2x
s2x 1 s2y f α/2 (n 1, m
1
2
2
2
2
y
−
1
2
y
σy2 s2y 1) < 2 < 2 f α/2 (n σx sx
− 1, m − 1)
σx2 s2x 1 < 2 < 2 1) σy sy f 1−α/2 (n 1, m
s2x 1 s2y f α/2 (n 1, m
−
1
x − 1, m − 1) < S S x /σ < f −α/ (n − 1, m /σ
− 1, m −
−
≡ Fn− ,m−
−
−
− 1)
σx2 s2x 1 < 2 < 2 1) σy sy f 1−α/2 (n 1, m
−
− ⇒ 1)
=
⇒
=
− 1)
⇒
=
Estadística
Ejercicio 5 Dadas las v.a. U
EIAE (UPM)
≡
α 2
1 F(n, m) y V = U
= P U < f −α/ (n 1
= P V >
2
− 1, m 1
f −α/ (n 1
2
≡ F(m, n)
−
1 1 > U f −α/ (n 1, m
1) = P
1
f α/
2
2
1 (n 1, m
−
f α/2 (n
− 1, m − 1) = f
α/2
−
(m
2
2
=
⇒
− 1, n
− 1, n − 1)
s2x σx2 < 2 < f α/ (m 2 1) sy σy
− 1, m − 1) ≈ 3
2
= P V > f α/ (m
− 1, m − 1) 1
f −α/ (n
1
−
− 1, n −
0.508 <
σx2 2
s2x 1) 2 sy
< 4.568
− 1)
=
− ⇒ 1) =
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
Se quiere comparar el tiempo, en segundos, que se tarda en pagar un peaje de forma manual (X ) o con tarjeta (Y ). Para ello se miden los tiempos de 15 y 20 pagos de cada tipo, respectivamente, obteniéndose los siguientes resultados
muestra y
muestra x 26.39
24.46
23.73
32.29
24.59
19.86
24.85
25.73
22.76
27.33
27.33
24.19
24.43
24.78
25.62
28.78
30.27
30.54
26.31
24.25
27.89
26.74
24.18
22.66
27.75
23.86
13.23
40.02
32.00
29.85
23.82
29.07
31.39
18.02
26.34
Obtener un intervalo de confianza del 95 % para el cociente de varianzas de las dos poblaciones.
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
x ¯ = 25.22 s2x = 7.19
y¯ = 26.85 s2y = 30.48
Estadístico:
S x2 /σx2 S y2 /σy2 1
− α = P
f −α/ (n 1
2
f −α/ (n 1
− 1, m −
f α/
1 (n 1, m
f α/
1 (n 1, m
2
2
2
− −
− −
≡ Fn− ,m− 1
1
2
2
2
2
x − 1, m − 1) < S S x /σ < f /σ y
s2y σy2 1) 2 < 2 < f α/ (n sx σx 2
y
α/2
− 1, m −
(n
s2y 1) 2 = sx
⇒
s2x σx2 1 < < 1) s2y σy2 f −α/ (n 1, m
−
s2x σx2 < 2 < f α/ (m 1) s2y σy
s2x 1) 2 sy
1
2
2
−
− 1, n −
− 1, m
s2x = 1) s2y
⇒
− ⇒ 1)
=
Estadística
Ejercicio 6 f α/
2
1 (n 1, m
−
f α/ (12, 19) = 2.72 2
f α/ (15, 19) = 2.62 2
EIAE (UPM)
−
s2x σx2 < 2 < f α/ (m 1) s2y σy 2
=
⇒ f
α/2
(14, 19) =
− 1, n −
s2x 1) 2 sy
2.72 + 2.62 = 2.67 2 =
f α/ (15, 14) = 2.95 2
f α/ (20, 14) = 2.84 2
⇒
=
⇒ f
α/2
(19, 14) =
2.95 + 2.84 = 2.90 2
σx2 0.088 < 2 < 0.684 σy
Ejercicio 7
Estadística EIAE (UPM)
En los últimos dos años la proporción de botellas de vino producidas por una bodega de La Rioja con un porcentaje de alcohol mayor que el 12 % está aumentando de forma considerable. Un control sobre 40 botellas ha concluido que el 30 % de ellas supera la cota del 12 %.
(a) Obtener un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de botellas producidas en la bodega con un porcentaje de alcohol mayor que 12 %. (b) ¿Cuántas botellas se deberían estudiar para que, manteniendo la misma confianza, la semi-amplitud del intervalo no sea mayor que 0.10?
Estadística
Ejercicio 7
≡
EIAE (UPM)
∼N
P
Proporción de botellas con alcohol mayor que 12 % de una muestra =
0.95 = P
− − −
P p
zα/2 <
p(1
p)
< zα/2
n
Usamos la estimación
pˆ
− zα/
− p(1
2
p)
n
p
< p < pˆ
− p,
zα/2 = 1 96
n
=
≃ pˆ − zα/
− p(1
2
= p = 0.30
⇒
p)
⇒
n
p)
= p = pˆ
⇒
± zα/
− p(1 ˆ
2
pˆ = 0.30 n = 40
p(1
± 0.14 =⇒
0.16 < p < 0.44
n
p) ˆ
Estadística
Ejercicio 7
≡ P
EIAE (UPM)
∼N
Proporción de botellas con alcohol mayor que 12 % de una muestra =
− p,
Para una confianza dada, el intervalo más grande viene dado por
p = pˆ 1
√
2 n
zα/2
1 1 ± 2√ zα/ =⇒ L = √ zα/ n 2 n 2
√ zα/ ⇐⇒ n ≥ < L p ⇐⇒ n ≥ 2L
2
p
L p = 0.10 zα/2 = 1.96
=
zα/2 2L p
⇒ n ≥ 96.04 =⇒
2
2
n = 97 botellas
p(1
p)
n
Ejercicio 8
Estadística EIAE (UPM)
En unas elecciones a rector de la UPM se presentan varios candidatos. Dos de ellos, A y B , han hecho sendas encuestas entre los estudiantes sobre su intención de voto con los siguientes resultados. Candidato A Número de alumnos encuestados: 60 Número de alumnos con intención de votarle: 20 Candidato B Número de alumnos encuestados: 50 Número de alumnos con intención de votarle: 14
Obtener un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de la proporción de voto de los alumnos a los candidatos A y B .
Estadística
Ejercicio 8
EIAE (UPM)
∼ ≡ ∼ ≡ − ∼ − − − − − − − − − − − − − ± ⇒ − ± ⇒ − P1
Proporción de alumnos de una muestra que votan a A
= N p1 ,
P2
Proporción de alumnos de una muestra que votan a B
= N p2 ,
P1
P2 = N p1
0.95 = P
p2 ,
p1 (1
p1 )
+
n
zα/2 <
p2 = pˆ1
pˆ2
(P1
P2 )
p1 (1
p1 )
zα/2
− p ) 1
n
p2 (1 p2 ) m
−
p2 (1 p2 ) m
n
p1
p1 (1
( p1
p2 )
p2 (1 p2 ) + m
p1 (1
p1 )
n
+
< zα/2
⇒ =
p2 (1 p2 ) m
n = 60 pˆ1 = 0.33
m = 50 pˆ2 = 0.28 = p1
p2 = 0.05
0.17 =
0.12 < p1
− p
2
< 0.22
