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GALICIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO

EXAMAN COMPLETO

El alumno deberá responder sólo a un ejercicio de los tres bloques temáticos. t emáticos. Puntuación máxima de cada ejercicio: Álgebra, 3 puntos; Análisis, 3,5 puntos; Estadística, 3,5 puntos.

Álgebra 1. Tres trabajadores A, B y C, al terminar un determinado mes, presentan a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y km de desplazamientos que hicieron cada uno de ellos. HOR HO RAS DE TR TRAB ABAJ AJO O DIET DIETAS AS KI KIL LÓM ÓME ETR TRO OS A 40 10 150 B 60 15 250 C 30 6 100 Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores t rabajadores la misma retribución: x euros por hora trabajada, y euros por cada dieta y z euros por km de desplazamiento y que paga ese mes un total de 924 euros al trabajador A, 1390 euros a B y 646 euros a C, calcular x, y, z . 2.

• • • a) b)

Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles: uno de gama alta, con el que gana 1000 euros por unidad vendida y otro de gama baja cuyos beneficios por unidad vendida son de 600 euros. Por razones de mercado, la venta anual de estos modelos está sujeta a las siguientes restricciones: El número de modelos de gama alta vendidos no será menor de 50 ni mayor de 150 coches. El número de modelos de gama baja vendidos tiene que ser mayor o igual al de modelos de gama alta vendidos. El concesionario puede vender hasta un máximo de 500 automóviles de los dos modelos al año. Formula las restricciones y representa gráficamente la región factible. ¿Cuántos automóviles de los dos modelos debe vender con el fin fi n de maximizar los beneficios?

Análisis 1. La función de coste total de producción de x unidades de un determinado x 3 + 8 x + 20 . producto es C ( x) = 100

C ( x ) , ¿cuántas x unidades x0 es necesario producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? b) ¿Qué relación existe entre Q( x 0 ) y C ´( x 0 ) ? a)

Se define la función de coste medio por unidad como Q( x) =

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2.

Una enfermedad se propaga de tal forma que, después de t semanas afecta a N(t) cientos de personas, donde ⎧5 − t 2 (t − 6) para 0 ≤ t ≤ 6 ⎪ N (t ) = ⎨ 5 ⎪ − (t − 10) para 6 < t ≤ 10 ⎩ 4

Estudia el crecimiento y decrecimiento de N(t). Calcula el máximo de personas afectadas y la semana en la que se presenta ese máximo. Calcula también la semana en la que se presenta el punto de inflexión y el número de personas afectadas. b) ¿A partir de qué semana la enfermedad afecta a 250 personas como máximo? a)

Estadística. 1.

En una empresa, el 20 % de los trabajadores son mayores de 45 años, el 8 % desempeña algún puesto directivo y el 6 % es mayor de 45 años y desempeña algún puesto directivo. a) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene más de 45 años y no desempeña ningún cargo directivo? b) ¿Que porcentaje de trabajadores no es directivo ni mayor de 45 años? c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, ¿cuántos son directivos y no tienen más de 45 años?

2.

Se sabe que el gasto semanal (en euros) en ocio para los jóvenes de cierta ciudad sigue una distribución normal con desviación conocida. a) Para una muestra aleatoria de 100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio semanal es (27, 33). Calcula la correspondiente media muestral x y el valor de . b) ¿Qué numero de jóvenes tendríamos que seleccionar al azar, como mínimo, para garantizar, con una confianza del 95 %, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 2 euros semanales?

Solución de una de las posibles opciones Álgebra, ejercicio 1 Con los datos anteriores se tiene el sistema:

⎧ 40 x + 10 y + 150 z = 924 ⎪ ⎨60 x + 15 y + 250 z = 1390 ⎪ 30 x + 6 y + 100 z = 646 ⎩ Lo resolvemos por Gauss:

⇔ ⎧ 40 x + 10 y + 150 z = 924 ⎪ ⎨60 x + 15 y + 250 z = 1390 10 E 2 − 15E 1 ⎪ 30 x + 6 y + 100 z = 646 10 E 3 − 6 E 1 ⎩


⎧40 x + 10 y + 150 z = 924 ⎪ 250 z = 40 ⎨ ⎪ 60 x + 100 z = 916 ⎩


De la segunda ecuación se obtiene: z =

40 250

= 0,16 euros

Sustituyendo en la tercera ecuación: 60 x = 916 − 100 z ⇒ 60x = 916 − 16 ⇒ 60x = 900 ⇒ x = 15 euros Sustituyendo los valores hallados en E1: 10 y = 924 − 40 x − 150 z ⇒ 10y = 924 − 600 − 24 ⇒ 10y = 300 ⇒ y = 30 €.

Análisis, ejercicio 1 C ( x) x 2 20 a) Q( x ) = ⇒ Q ( x ) = +8+ x x 100 El mínimo de Q(x) se da en las soluciones de Q´(x) = 0 que hacen positiva a Q´´(x).

Q´( x) =

2 x

−

20

+

40

100 x

Como Q´´( x) =

2

2

= 0 ⇒ 2 x 3 − 2000 = 0 ⇒ x = 10

, para x = 10 se tiene que Q´´(10) > 0. En consecuencia, el 100 x 3 coste mínimo unitario se da cuando x 0 = 10. b) C ´( x) =

3 x 2 100

+ 8 ⇒ C´(10) = 3 + 8 = 11.

El valor de Q(10) =

10

2

100

+8+

20 10

= 11

• C´(x) da el coste marginal, que es aproximadamente lo que costaría fabricar una unidad mas: C´(x) ≈ C(x + 1) − C(x) (esto es, el coste extra al pasar de fabricar x unidades a fabricar la unidad siguiente, la x + 1.) En este caso, C´(10) = 11 ≈ C(11) − C(10): fabricar la unidad 11ª supone un coste de 11 unidades monetarias más, aproximadamente. (El coste adicional real es C(11) − C(10) = 121,31 − 110 = 11,31.)

• Q(x) da el coste medio unitario en el punto x. Por tanto, Q(10) = 11 indica que el coste medio por unidad, cuando se fabrican 10 unidades del producto, es de 11 unidades monetarias. Que ambos costes sean iguales, pues C´(10) = Q(10) = 11, indica que la f abricación de una unidad más, la 11ª, no encarece el producto. (Aunque realmente sí lo hace, pero en una cantidad poco significativa.)



Estadística, ejercicio 1 Se tienen (o se deducen de manera inmediata) las siguientes probabilidades: P(mayor de 45 años) = P(+45) = 0,20 P(−45) = 0,80 ⇒ P(ser directivo) = P(D) = 0,08 P(ser directivo y mayor de 45 años) = P(D ∩+45) = 0,06 ⇒ P(D∩−45) = 0,02 a) Por la probabilidad condicionada se tiene: P(Directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P( D ∩ +45) 0,06 = = 0,30 = P ( D / + 45) = P(+45) 0,20 En consecuencia, P(no ser directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P(No D/+45) = = 1 − P(D/+45) = 1 − 0,30 = 0,70 Por otra parte, P(+45∩No D) = P(+45) · P(No D/+45) = 0,20 · 0,70 = 0,14 El 14 % de los trabajadores de esa empresa tiene más de 45 años y no es directivo. b) Como antes, P(Directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = P( D ∩ −45) 0,02 = P ( D / − 45) = = = 0,025 P(−45) 0,80 Luego, P(No ser directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = = P(No D/ −45) = 1 − 0,025 = 0,975 Por tanto: P(No D∩−45) = P(−45∩No D) = P(−45) · P(No D/ −45) = 0,80 · 0,975 = 0,78 El 78 % de los trabajadores de esa empresa tiene menos de 45 años y no es directivo. c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, como P(D∩−45) = 0,02, habría 150 · 0,02 = 3 directivos con no más de 45 años.


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