เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 โครงสร้างรายวิชา รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค32102 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 จานวน 40 ชั่วโมง จานวน 1.0 หน่วยกิต ภาคเรียนที่ 2 ลาดับที่ ชื่อหน่วยการเรียนรู้ สาระสาคัญ เวลา(ชั่วโมง) 1 สถิติและข้อมูล - ความหมายของสถิติและสถิติกับการตัดสินใจ 1 - ข้อมูลและการเก็บรวบรวมข้อมูล 1 รวม 2 2 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น การแจกแจงความถี่ของข้อมูล - การแจกแจงความถี่สะสม 3 - การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ 1 - การแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ 1 การแจกแจงความถี่โดยใช้กราฟ - ฮีสโทแกรม 1 - แผนภาพต้น – ใบ 1 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ - ควอร์ไทล์ 2 - เดไซล์ 2 - เปอร์เซ็นไทล์ 2 การวัดค่ากลางของข้อมูล - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 8 - มัธยฐาน - ฐานนิยม 8 การวัดการกระจายของข้อมูล - พิสัย - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 รวม 33 3 สอบกลางภาค 1 4 การสารวจความคิดเห็น 1 - ขอบเขตของการสารวจและวิธีเลือกตัวอย่าง 1 - การสร้างแบบสารวจความคิดเห็น 2 - การประมวลผลและวิเคราะห์ความคิดเห็น 1 - การนาผลการสารวจความคิดเห็นไปใช้ประโยชน์ 5 รวม 5
สอบปลายภาค รวมตลอดภาคเรียน
1 40 1
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
สถิติและข้อมูล ความหมายของคาว่า สถิติ ความหมายของคาว่า สถิติ มี 2 ประการ คือ - สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนข้อเท็จจริง หรือข้อมูลที่เกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง ที่มีการเปลี่ยนแปลงใน ลักษณะที่พยากรณ์ล่วงหน้าได้หรือไม่ได้ เช่น รายได้เฉลี่ยของคนไทยต่อคนต่อปี ประจาปี 2542 สถิติการเกิด อุบัติเหตุในช่วงสงกรานต์ ตั้งแต่วันที่ 10 – 15 เมษายน 2550 เป็นต้น - สถิติ หมายถึง ศาสตร์ที่เป็นทั้งวิทยาศาสตร์และศิลปะที่เกี่ยวข้องกับหลักการและระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบด้วยการรวบรวมข้อมูล (Data Collection) การนาเสนอข้อมูล (Data Presentation) การวิเคราะห์ ข้อมูล (Data Analysis) และการตีความหมายข้อมูล (Data Interpretation) วิชาสถิติศาสตร์แบ่งออกได้เป็น 2 สาขาใหญ่ๆ คือ 1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) คือ สถิติที่บรรยายให้เห็นคุณลักษณะของสิ่งที่ต้องการ ศึกษาจากกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งโดยเฉพาะ ซึ่งอาจเป็นกลุ่มใหญ่หรือกลุ่มเล็กก็ได้ ผลของการศึกษาไม่สามารถนาไป อ้างอิงกลุ่มอื่นได้ เช่น ครูคนหนึ่งหาน้าหนักเฉลี่ยของนักเรียนชายห้อง ม.2/1 ได้ 35 กิโลกรัม ครูคนนี้จะจะสรุป อ้างอิงว่านักเรียนชาย ม.2 ห้องอื่นๆ มีน้าหนัก 35 กิโลกรัมด้วยไม่ได้ เป็นต้น 2. สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) คือ สถิติที่ศึกษากับกลุ่มตัวอย่าง แล้วสรุปผลที่ได้จากกลุ่ม ตัวอย่างนั้นอ้างอิงไปถึงกลุ่มของประชากรได้ โดยอาศัยทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติแบบนี้จะให้ความสาคัญอยู่ที่ กลุ่มตัวอย่าง ซึ่งจะต้องเป็นกลุ่มตัวแทนที่ดีของประชากร จึงจะทาให้การสรุปอ้างอิงจากกลุ่มตัวอย่างไปสู่กลุ่ม ประชากรถูกต้อง และเชื่อถือได้ เช่น โรงเรียนแห่งหนึ่ง มีนักเรียนชั้น ม. 3 ทั้งหมดจานวน 300 คน ถ้า ครูคนหนึ่ง ต้องการทราบน้าหนักเฉลี่ยของนักเรียนทั้ง 300 คน แต่ถ้าครูคนนี้ใช้สถิติมาอ้างอิงก็ไม่จาเป็นที่จะต้องชั่งน้าหนัก ของนักเรียนทั้ง 300 คน ก็ได้ เพียงแค่สุ่มกลุ่มตัวอย่างของนักเรียนมาจานวนหนึ่ง เช่น สุ่มนักเรียนมา 90 คน ชั่ง น้าหนักของนักเรียนทั้ง 90 คนนี้ แล้วหาค่าเฉลี่ย สมมติว่าได้ 35 กิโลกรัม ครูก็สามารถสรุปผลอ้างอิงไปถึง นักเรียนทั้ง 300 คน
สถิติกับการตัดสินใจและวางแผน การดาเนินชีวิตในแต่ละวันของคนทุกคน ล้วนแต่ต้องมีการตัดสินใจเกี่ยวกับเรื่องต่างๆอยู่ตลอดเวลา ไม่ว่าจะเป็นการตัดสินในเรื่องส่วนตัว หรือเรื่องของครอบครัว หรือเรื่องของหน่วยงานที่รับผิดชอบ เช่น การ ตัดสินใจเกี่ยวกับการลงทุนการทาธุรกิจ การเลือกทาเลที่อยู่อาศัย ทาเลค้าขาย การแต่งกาย การเดินทาง การ เลือกซื้อสินค้าอุปโภคบริโภค การเลือกสถานศึกษาให้กับบุตรหลาน การเลือกเข้ารับการรักษากับโรงพยาบาล ต่างๆ เป็นต้น ส่วนการตัดสินใจในการเลือกต่างๆนั้น ก็ขึ้นอยู่กับวิธีการตัดสินใจของแต่ละคนที่มีวิธีการที่แตกต่าง กันออกไป เช่น บางคนอาจใช้สามัญสานึก บางคนอาจใช้ประสบการณ์ส่วนตัว หรือบางคนอาจใช้ข้อมูลข่าวสาร
2
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งการตัดสินใจด้วยวิธีการต่างๆของแต่ละคนดังวิธีที่กล่าวข้างต้น มักจะเกี่ยวข้องกับข้อมูลข่าวสาร ทั้งสิ้นโดยอาจจะเกี่ยวข้องโดยตรงหรือเกี่ยวข้องในทางอ้อม ในการตัดสินใจในบางเรื่อง อาจต้องนาข้อมูลมาวิเคราะห์เบื้องต้น เพื่อให้ทราบลักษณะโดยทั่วไป เช่น หา ร้อยละ การหาค่าเฉลี่ยและการหาการกระจายของข้อมูล หรือบางครั้งอาจใช้การวิเคราะห์ข้อมูลขั้นสูง เช่น การ วิเคราะห์ความสัมพันธ์ของข้อมูล การคาดการณ์หรือการทานายข้อมูลในอนาคต เรียกข้อมูลที่ผ่านการวิเคราะห์ เบื้องต้นหรือวิเคราะห์ขั้นสูงว่า สารสนเทศ หรือข่าวสาร (Information) สารสนเทศหรือข่าวสาร เป็นสิ่งที่มีประโยชน์มากสาหรับผู้บริหารและสาธารณชนที่จะใช้ในการตัดสินใจ และวางแผนเรื่องต่างๆ ซึ่งในยุคปัจจุบันนี้ เป็นยุคของสารสนเทศ ประเทศใด บริษัทใด หน่วยงานใด บุคคลใดมี สารสนเทศหรือข่าวสารที่ดีกว่าทันสมัยกว่า ย่อมที่จะได้เปรียบและมีการพัฒนาที่รวดเร็วกว่านั่นเอง
คาสาคัญที่ใช้ในวิชาสถิติ - ข้อมูล (Data) หมายถึง ข้อความจริงที่อาจเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้ แต่โดยทั่วๆไปแล้ว ข้อมูล มักจะอยู่ในรูปของตัวเลขที่มีหลายๆจานวน และสามารถนามาเปรียบเทียบกันได้ เช่น คนไทยส่วนใหญ่นับถือ ศาสนาพุทธ เด็กชายต้นสูง 186 เซนติเมตร ซึ่งเป็นเด็กที่สูงที่สุดในห้องเรียน โดยเฉลี่ยแล้วเด็กวัยรุ่นไทยมี น้าหนัก 48 กิโลกรัม จานวนนักเรียน ที่ต้องการศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษาลดลงร้อยละ 13 เป็นต้น ประเภทของข้อมูล ประเภทของข้อมูลในทางสถิติ ถ้าจาแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม สามารถจาแนกได้เป็น 2 ประเภท คือ 1. ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data) หมายถึง ข้อมูลที่ผู้ใช้จะต้องเก็บรวบรวมมาจากผู้ให้ข้อมูล หรือ แหล่งที่มาของข้อมูลโดยตรง ซึ่งอาจทาได้โดยการนับ วัด สัมภาษณ์ สังเกต เป็นต้น การเก็บรวบรวมข้อมูล ประเภทนี้ทาได้ 2 วิธี คือ การทาสามะโน (Census) และการสารวจจากกลุ่มตัวอย่าง (Sample survey) การทาสามะโน หมายถึง การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกๆหน่วยของประชากร จึงเป็นการเสียเวลาและ ค่าใช้จ่ายมาก จึงไม่ค่อยนิยมในทางปฏิบัติ เช่น การทาสามะโนประชากร การทาสามะโนเคหะสถานของ ประเทศไทย เป็นต้น การสารวจจากกลุ่มตัวอย่าง หมายถึง การเก็บรวบรวมข้อมูลจากบางหน่วย ที่เลือกมาเป็นตัวแทนจาก ทุกๆหน่วยของประชากร ทั้งนี้เพราะว่าในบางครั้ง ประชากรจะมีจานวนมากๆ เราจะไม่สามารถหาข้อมูลจาก ประชากรทั้งหมดได้ หรือถ้าหาได้ก็จะเสียเวลาและค่าใช้จ่ายมาก ดังนั้นจึงต้องเลือกมาเพียงส่วนหนึ่ง เพราะ ข้อมูลในบางหน่วยหรือบางกลุ่มที่เลือกมาจะมีลักษณะที่ต้องการศึกษาเหมือนๆกัน หรือใกล้เคียงกันมาก 2. ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ไม่ต้องเก็บรวบรวมข้อมูลจากผู้ให้ข้อมูลโดยตรง แต่ได้จากข้อมูลที่มีการเก็บรวบรวมไว้แล้ว ข้อมูลที่เก็บรวบรวมไว้แล้ว มักอยู่ในรูปของ รายงานต่างๆของ หน่วยงานราชการหรือรายงานและบทความจากหนังสือ หรือรายงานของหน่วยงานเอกชนต่างๆ การรายงาน มักจะพิมพ์ออกมาเผยแพร่ อาจเป็นรายงานรายวัน รายเดือน หรือรายปี
3
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ** นอกจากนี้การจาแนกข้อมูลยังสามารถจาแนกตามคุณลักษณะของข้อมูลได้ดังนี้ 1. ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quanlitive Data) หมายถึง ข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณ ซึ่งวัดออกมา เป็นเป็นค่าของตัวเลขที่สามารถนามาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง เช่น คะแนนสอบ ความสูง น้าหนัก อายุ รายได้ เป็นต้น 2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) หมายถึง ข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นจานวนได้ โดยตรง แต่จะอธิบายคุณสมบัติในเชิงคุณภาพได้ เช่น เพศชาย เพศหญิง ศาสนา อ้วน ผอม ดา ขาว เป็นต้น การ วิเคราะห์ข้อมูล สามารถทาได้โดยการนับจานวนที่จาแนกคุณลักษณะ เช่น นับจานวนนักเรียนที่เป็นเพศหญิง เพศชายว่ามีอย่างละกี่คน ข้อมูลเชิงคุณภาพบางลักษณะสามารถวัดเป็นลาดับที่ได้ เช่น ความพึงพอใจ อาจวัดได้ ในรูปมากที่สุด มาก ปานกลาง น้อย น้อยที่สุด ความคิดเห็นอาจวัดได้ในรูป เห็นด้วยอย่างยิ่ง เห็นด้วย ไม่มี ความเห็น ไม่เห็นด้วยอย่างยิ่ง ประสิทธิภาพในการทางานวัดในรูป ดีขึ้น คงเดิม แย่ลง เป็นต้น การกาหนดลาดับ ที่ของข้อมูลเชิงคุณภาพในลักษณะนี้ เมื่อนาข้อมูลไปวิเคราะห์ จะต้องแทนลาดับที่ด้วยตัวเลข เช่น มากที่สุด แทนด้วย 5 มาก แทนด้วย 4 ปานกลาง แทนด้วย 3 น้อย แทนด้วย 2 และ น้อยที่สุด แทนด้วย 1 ประชากร (Population) หมายถึง กลุ่มทั้งหมดของคน สัตว์หรือสิ่งของ ซึ่งมีคุณลักษณะร่วมกัน ตรงกับที่ต้องการจะศึกษา เช่น ถ้าต้องการศึกษาความคิดเห็นของนิสิตหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ที่มีต่อการ ปกครองแบบสังคมนิยม นิสิตทุกคนในมหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ก็จะเป็นประชากร กลุ่มตัวอย่าง (Sample) ส่วนหนึ่งของกลุ่มประชากร ค่าพารามิเตอร์ (Parameter) หมายถึง ค่าที่ใช้บอกคุณลักษณะใดๆของกลุ่มประชากร เช่น รายได้ เฉลี่ยต่อวันของเด็กขายพวงมาลัยตามสี่แยกต่างๆในกรุงเทพมหานคร และอายุเฉลี่ยของนิสิตระดับปริญญาโท ของมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง เป็นต้น ค่าสถิติ (Statistic) หมายถึง ค่าที่คานวณได้จากข้อมูลที่เก็บรวบรวมจากกลุ่มตัวอย่าง ค่าสถิตินี้จะ ใช้ประมาณค่าพารามิเตอร์
การเก็บรวบรวมข้อมูล การเก็บรวบรวมข้อมูลภาคสนามต้องคานึงถึงลักษณะของข้อมูลที่ต้องการและลักษณะของแหล่งข้อมูล เช่น กลุ่มผู้ให้ข้อมูลที่อ่านหนังสือออกกับอ่านหนังสือไม่ออก ก็ต้องเก็บข้อมูลด้วยวิธีที่ต่างกันหรือข้อมูลเชิง ประจักษ์กับข้อมูลความคิดเห็น ก็ใช้วิธีเก็บข้อมูลที่ต่างกัน โดยทั่วไปวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลภาคสนามที่นิยมใช้ ดังนี้ 1) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสัมภาษณ์ 2) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยใช้แบบสอบถาม 3) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสังเกต 4) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสอบ
4
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 รายละเอียดของแต่ละวิธีมีดังนี้ 1) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสัมภาษณ์ (INTERVIEW) การสัมภาษณ์เป็นการสนทนาซักถามระหว่างผู้ สัมภาษณ์ กับผู้ให้สัมภาษณ์ซึ่งเป็นการสื่อสารแบบสองทางที่สามารถได้ยินเสียงและซักถามกันได้อย่างใกล้ชิด การสัมภาษณ์ แบ่งเป็น 2 ลักษณะ คือ การสัมภาษณ์ แบบมี โครงสร้าง (structured interview) และการ สัมภาษณ์แบบไม่มีโครงสร้าง (unstructured interview) 2) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยใช้แบบสอบถาม (QUESTIONNAIRE) ข้อมูลที่จะเก็บด้วยการใช้แบบสอบถามควร เป็นข้อมูลข้อเท็จจริงที่ไม่ซับซ้อนไม่มีคาศัพท์หรือคาจากัดความที่ต้องการคาอธิบายอ่านเข้าใจง่ายจานวนข้อ คาถามไม่มากเกินไป ซึ่งอาจเก็บด้วยการส่งไปและส่งกลับทางไปรษณีย์ก็ได้ ในบางกรณีข้อดีของการเก็บข้อมูล ด้วยวิธีนี้ คือ เสียค่าใช้จ่ายน้อย แต่มีข้อจากัดคือใช้ได้กับกลุ่มตัวอย่างที่เขียนอ่านหนังสือได้คล่องเท่านั้น 3) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสังเกต (OBSERVATION) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสังเกตเป็นเทคนิคการ เก็บรวบรวมข้อมูลที่มีศักยภาพสูงเพราะสามารถขจัดปัญหาความเชื่อถือได้ของแหล่งข้อมูลไปได้ส่วนหนึ่ง การ สังเกตที่ดีต้องทาให้ผู้ถูกสังเกตหรือสถานการณ์ที่สังเกตดาเนินไปตามความเป็นจริงแต่มักพบว่าผู้ร่วมโครงการ หรือผู้ดาเนินโครงการมักไม่ค่อยเปิดโอกาสให้ผู้ประเมินเข้าสังเกตพฤติกรรมโดยตรงตามความต้องการของผู้ ประเมิน นักประเมินจึงควรหาโอกาสไปเยี่ยมโครงการอย่างสม่าเสมอและคอยสังเกตพฤติกรรมของผู้ร่วม โครงการผู้ที่เกี่ยวข้องกับโครงการตลอดจนชุมชนในพื้นที่ที่โครงการกาลังดาเนินงานอยู่ซึ่งวิธีการสังเกตอาจแบ่ง ได้เป็น 2 ประเภท คือ การสังเกตแบบมีส่วนร่วมและการสังเกตแบบไม่มีส่วนร่วม 4) การเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสอบ (Test) การประเมินโครงการที่เกี่ยวกับโครงการทางการศึกษาที่เกี่ยวข้อง กับผลสัมฤทธิ์ทางความรู้และสติปัญญา เช่น โครงการฝึกอบรมพัฒนาความรู้ หรือทักษะต่าง ๆ ส่วนใหญ่ จะใช้ วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลด้วยการสอบ ซึ่งผู้ประเมินต้องใช้แบบสอบที่มีคุณภาพและถ้าเป็นไปได้ควรใช้แบบสอบ ที่สร้างขึ้นสาหรับการประเมินโครงการนั้น ๆ โดยเฉพาะ ทัง้ นี้ นักประเมินอาจขอความร่วมมือกับวิทยากรผู้ให้ การอบรมให้ช่วยออกข้อสอบ เพื่อตรวจสอบว่า หลังเสร็จสิ้นโครงการแล้วผู้เข้าร่วมโครงการมีความรู้ ความสามารถตามจุดประสงค์ของโครงการหรือไม่ สรุป การออกแบบการเก็บรวบรวมข้อมูลที่ดีต้องคานึงถึงธรรมชาติของข้อมูลที่จะเก็บรวบรวมแหล่งของข้อมูลการ ประเมิน ซึ่งมี 6 แหล่งใหญ่ ๆ คือ ข้อมูลบันทึกของโครงการ ผู้ร่วมโครงการบุคลากรที่ปฏิบัติงานในโครงการ บุคคลอื่นที่เกี่ยวข้องกับโครงการวิทยากรในโครงการและดัชนีทางสังคมจากนั้นจึงเลือกวิธีการในการเก็บรวบรวม ข้อมูลให้เหมาะสมซึ่งก็มีหลายวิธี อาทิ การสัมภาษณ์ การใช้แบบสอบถาม การสังเกต และการสอบ เป็นต้น
5
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน จงพิจาณาข้อความต่อไปนี้ว่าข้อใดถูกหรือข้อใดผิด ..........1. ข้อมูลสถิติ หรือเรียกสั้นๆว่าข้อมูล หมายถึง ตัวเลขหรือข้อความที่แสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงเกี่ยวกับ เรื่องราวที่ศึกษา ..........2. ประชากร หมายถึง เซตของสิ่งต่างๆที่เราต้องการจะศึกษาทั้งหมด ..........3. ตัวอย่าง หมายถึง ข้อมูลส่วนหนึ่งของประชากรและเป็นส่วนที่เรานามาหาข้อมูล หรือเป็นข้อมูลที่ ถูกสุ่มมาจากประชากร ..........4. พารามิเตอร์ หมายถึง ค่าต่างๆที่แสดงลักษณะของประชากร เช่น ค่าเฉลี่ย อัตราส่วน ร้อยละ เป็นต้น ..........5. ค่าสถิติ หมายถึง ค่าต่างๆที่แสดงลักษณะของตัวอย่างที่สุ่มมา ..........6. นักเรียนชั้น ม. 6ทั้งหมดของโรงเรียนศึกษาวิทยา สอบวิชาสถิติได้คะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 60 คะแนน จาก คะแนนเต็ม 100 คะแนน แต่ถ้าคิดเฉพาะชั้น ม.6/1จะได้เท่ากับ 65 คะแนน ดังนั้น ประชากร คือ นักเรียนชั้น ม.6 ทุกคน ..........7. นายไก่ชั่งน้าหนักเมื่อตอนเช้าได้เท่ากับ 60 กิโลกรัม เป็นข้อมูลสถิติ ..........8. ในการโยนเหรียญบาท 1 อัน จานวน 6 ครั้ง เกิดหัว 5 ครั้ง และเกิดก้อย 1 ครั้ง ได้อัตราส่วนที่เกิดหัว 5 คือ เป็นข้อมูลสถิติ 6 .........9. ข้อมูลที่จาแนกตามปริมาณ คือ ข้อมูลที่มีลักษณะที่เป็นตัวเลขที่บอกปริมาณได้ เช่น สถิติของครูแยก ตามเงินเดือน .......10. โรงพิมพ์แห่งหนึ่งมีพนักงานชาย 80 คน และมีพนักงานหญิง 50 คน เป็นข้อมูลที่จาแนกตามคุณภาพ .......11. ข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้โดยตรงจากแหล่งข้อมูลนั้นๆเป็นข้อมูลปฐมภูมิ .......12. ข้อมูลที่แสดงถึงสถิติของคนงานแยกตามเงินเดือน หรือสถิติของคนไข้แยกตามอายุ เป็นข้อมูลที่ จาแนกตามปริมาณ จงเติมคาตอบที่ถูกต้องลงในช่องว่าง 1. ในการโยนเหรียญบาท 1 อัน 50 ครั้ง แล้วจดจานวนหัวหรือก้อยที่เกิดขึ้นเป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลโดยวิธี ..................................................................................................................................... 2. แผนภูมิแสดงสัดส่วนของจานวนอาจารย์ในมหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ตามคุณวุฒิปีการศึกษา 2530 เป็นการ ดาเนินงานทางสถิตทิ ี่เรียกว่า........................................................................................... 3. แผ่นพับที่แสดงรายการอาหารตามร้านอาหารต่างๆ เป็นเรื่องของ............................................... 4. ระเบียบวิธีทางสถิติประกอบด้วย.............................................................................................. 5. ระเบียบวิธีทางสถิติขั้นตอนที่สาคัญที่สุด คือ............................................................................. 6
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น ในการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น จะต้องทราบความหมายของคาว่า ตัวแปร ดังนี้ ตัวแปร คือ ลักษณะของประชากรที่สนใจจะศึกษาวิเคราะห์ ซึ่งลักษณะนั้นๆ สามารถเปลี่ยนค่าได้ ไม่ว่า จะเป็นตัวแปรเชิงคุณภาพหรือตัวแปรเชิงปริมาณ ตัวอย่างของตัวแปรเชิงคุณภาพ เข่น ศาสนา เพศ ประเทศ โรคประจาตัว สีผิว เป็นต้น ตัวอย่างของตัวแปรเชิงปริมาณ เช่น อายุ น้าหนัก ส่วนสูง คะแนนสอบ รายได้ รายจ่าย จานวนนักเรียน จานวนวัน ราคาสินค้า เป็นต้น ถ้าในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ มีคะแนนเต็ม 5 คะแนน ปรากฏว่ามีเด็ก 3 คนสอบวิชานี้ได้ 1, 3 และ 4 คะแนนตามลาดับ คะแนน 1, 3 และ 4 คะแนนนี้ เรียกว่า ค่าจากการสังเกต และเรียกคะแนนที่เป็นไปได้ ทั้งหมด ซึ่งมี 6 ค่า นั่นคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ว่า ค่าที่เป็นไปได้
การแจกแจงความถี่ของข้อมูล หลังจากที่กาหนดตัวแปรที่ต้องการศึกษา และมีการเก็บรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับตัวแปรที่ต้องการศึกษา แล้ว ข้อมูลที่เก็บได้เรียกว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) เช่น ต้องการศึกษาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาสถิติ ก็จะมี การสร้างแบบทดสอบวิชาสถิติขึ้นมา นาไปสอบกับกลุ่มนักเรียนที่ต้องการวัด แล้วตรวจคะแนน คะแนนที่ได้ เรียกว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) หรือคะแนนดิบ ซึ่งข้อมูลดิบนี้ยังไม่มีความหมายอะไร วิธีเบื้องต้นที่จะทาให้ ข้อมูลดิบนั้นมีความหมายคือการแจกแจงความถี่ ซึ่งจะสามารถทาให้ข้อมูลนั้นสามารถเอาไปใช้ได้ง่ายขึ้น และ สังเกตการเปลี่ยนแปลงต่างๆได้ง่ายขึ้นด้วย ความหมายของการแจกแจงความถี่คือการนาข้อมูลที่รวบรวมมาได้มาจัดใหม่ให้เป็นระเบียบ เป็นหมวดหมู่ เรียงจากมากไปน้อยหรือเรียงจากน้อยไปมากเพื่อแสดงให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละค่าหรือข้อมูลแต่ละกลุ่มเกดขึ้น ซ้าๆกันกี่ครั้งซึ่งเป็นการย่อข้อมูลเพื่อให้แปลความหมายได้มากขึ้นโดยต้องสร้างตาตารางแจกแจงความถี่ขึ้น ตัวอย่างที่ 1 ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจานวน 50 คน เป็นดังนี้ 70 51 80 63 84 64 85 53 62 74 42 62 73 76 52 51 64 88 65 78 77 48 81 42 65 77 54 65 56 68 64 58 61 74 43 44 66 55 59 78 60 47 63 48 68 73 50 69 54 89 ถ้านาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มากาหนดเป็นช่วงๆ แล้วนับจานวนนักเรียนที่สอบได้ในแต่ละช่วงซึ่ง เรียกว่า ความถี่ จะได้ตารางที่เรียกว่า ตารางแจกแจงความถี่ ดังนี้
7
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตารางแจกแจงความถี่ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น แสดงว่า มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 41 ถึง มีนกั เรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 51 ถึง มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 61 ถึง มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 71 ถึง มีนักเรียนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 81 ถึง
50 60 70 80 90
ความถี่ 8 11 16 10 5 จานวน จานวน จานวน จานวน จานวน
8 คน 11 คน 16 คน 10 คน 5 คน
ตารางแจกแจงความถี่ มีส่วนประกอบต่างๆ ดังนี้ 1. อันตรภาคชั้น (Class Interval) หมายถึง ช่วงคะแนนที่แบ่งออกเป็นช่วงๆ ในแต่ละช่วงคือค่าที่ เป็นไปได้ของข้อมูล จากตะรางแจกแจงความถี่ข้างต้น แสดงว่า ช่วงคะแนน 41 - 50 คือ อันตรภาคชั้นที่ 1 ช่วงคะแนน 51 - 60 คือ อันตรภาคชั้นที่ 2 ช่วงคะแนน 61 - 70 คือ อันตรภาคชั้นที่ 3 ช่วงคะแนน 71 - 80 คือ อันตรภาคชั้นที่ 4 ช่วงคะแนน 81 - 90 คือ อันตรภาคชั้นที่ 5 2. ขอบบน ขอบล่าง (Upper - Lower Boundary) ขอบบน ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่เป็นไปได้สูงสุดของอันตรภาคชั้นนั้น กับค่าที่ เป็นไปได้ต่าสุดของอันตรภาคชั้นติดกันถัดไป 50 51 50.5 เช่น ขอบบนของอันตรภาคชั้น 41 - 50 คือ 2 60 61 60.5 เป็นต้น ขอบบนของอันตรภาคชั้น 51 - 60 คือ 2 ขอบล่าง ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง ค่ากึ่งกลางระหว่างค่าที่เป็นไปได้ต่าสุดของอันตรภาคชั้นนั้น กับค่าที่ เป็นไปได้สูงสุดของอันตรภาคชั้นที่อยู่ติดกันก่อนหน้านั้น
8
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 51 50 50.5 2 60 61 ขอบล่างของอันตรภาคชั้น 61 - 70 คือ 60.5 เป็นต้น 2
เช่น ขอบล่างของอันตรภาคชั้น 51 - 60 คือ
ข้อสังเกต 1. ขอบบนของแต่ละอันตรภาคชั้น เท่ากับ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่า 1 ชั้น 2. การหาขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้น ทาได้โดย ลบค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.5 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นจานวนเต็ม ลบค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.05 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง ลบค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.005 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 2 ตาแหน่ง เป็นต้น 3. ในทานองเดี่ยวกัน การหาขอบบนของแต่ละอันตรภาคชั้น ทาได้โดย บวกค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.5 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นจานวนเต็ม บวกค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.05 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง บวกค่าต่าสุดของชั้นด้วย 0.005 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 2 ตาแหน่ง เป็นต้น จากตารางแจกแจงความถี่ขางต้น สามารถนามาแสดงขอบบน ขอบล่างได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90
ขอบบน 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5
ขอบล่าง 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5
ตัวอย่างที่ 2 ตารางแจกแจงความถี่ที่อันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม อันตรภาคชั้น 10.5 - 11.7 11.8 - 13.0 13.1 - 14.3 14.4 - 15.6 15.7 - 15.9
ความถี่ 6 12 7 11 4
9
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น สามารถนามาแสดงขอบบน ขอบล่าง ได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น ขอบบน ขอบล่าง 10.5 - 11.7 11.7 + 0.05 = 11.75 10.5 - 0.05 = 10.45 11.8 - 13.0 13.0 + 0.05 = 13.05 11.8 - 0.05 = 11.75 13.1 - 14.3 14.3 + 0.05 = 14.35 13.1 - 0.05 = 13.05 14.4 - 15.6 15.6 + 0.05 = 15.65 14.4 - 0.05 = 14.35 15.7 - 15.9 15.9 + 0.05 = 15.95 15.7 - 0.05 = 15.65 ข้อสังเกต ขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากับขอบบนของอันตรภาคชั้นที่อยู่ติดกันเป็นช่วงคะแนนน้อยกว่า 3. ความกว้างของอันตรภาคชั้น (Class Interval) คือ ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของอันตร ภาคชั้นนั้น นิยมเขียนแทนด้วย I เช่น อันตรภาคชั้น 41 - 50 มีความกว้าง = 40.5 - 50.5 = 10 อันตรภาคชั้น 51 - 60 มีความกว้าง = 50.5 - 60.5 = 10 เป็นต้น ข้อสังเกต 1. ความกว้างของอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นไม่จาเป็นต้องเท่ากันทุกชั้น แต่ถ้าความกว้างเท่ากันทุกชั้นจะทาให้ สะดวกในการวิเคราะห์ 2. ในกรณีทีมีข้อมูลบางข้อมูลมีค่าน้อยกว่าข้อมูลอื่นๆมาก หรือมีค่ามากกว่าข้อมูลอื่นๆมาก หรือมีทั้งค่าน้อยกว่า และมากกว่าข้อมูลอื่นๆมากๆ จะใช้อันตรภาคชั้นที่เรียกว่า อันตรภาคชั้นเปิด (Open end class interval) วิธีหาความกว้างของอันตรภาคชั้นข้างต้นใช้ได้ โดยไม่จากัดว่าความกว้างของอันตรภาคชั้นจะเท่ากันหรือไม่ ตัวอย่างที่ 3 ตารางแจกแจงความถี่ที่ความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน อันตรภาคชั้น ความถี่ 31 - 40 8 41 - 60 6 61 - 90 9 91 - 100 10 ตัวอย่างที่ 4 ตารางแจกแจงความถี่ที่มีอันตรภาคชั้นเป็นอันตรภาคชั้นเปิด อันตรภาคชั้น ความถี่ น้อยกว่า 30 40 30 - 39 18 40 - 49 22 50 - 59 13 มากกว่า 59 7
10
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 4. จุดกึ่งกลาง (Mid point) จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด คือ ค่าเฉลี่ยของช่วงคะแนนในอันตรภาคชั้นนั้นๆ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด = (ขอบบน + ขอบล่าง) / 2 (ของอันตรภาคชั้นนั้นๆ) เช่น จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น 41 50 จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น 51 60
50.5 40.5
2 60.5 50.5
2
45.5 หรือ
55.5 หรือ
41 50
2 51 60
2
45.5
55.5 เป็นต้น
5. ความถี่ (Frequency) ความถี่ของอันตรภาคชั้นใด หมายถึง จานวนข้อมูล (ค่าจากการสังเกต) ที่ ปรากฏอยู่ในช่วงคะแนนหรืออันตรภาคชั้นนี้
การสร้างตารางแจกแจงความถี่ กรณีที่ 1 เมื่อโจทย์กาหนดข้อมูลมาให้ มีขั้นตอนในการสร้างดังนี้ 1. พิจารณาจานวนอันตรภาคชั้นตามที่ต้องการ ซึ่งโดยทั่วๆไปจะนิยมสร้างตั้งแต่ 7 ถึง 15 อันตรภาค ชั้น หรือไม่ควรต่ากว่า 5 อันตรภาคชั้น และไม่นิยมให้บางอันตรภาคชั้นมีความถี่เป็น 0 ความกว้างของอันตรภาคชั้น = พิสัย / จานวนชั้น เมื่อ พิสัย คือ ผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสู งสุ ดกับข้อมูลที่มีค่าต่าสุ ด (เศษปัดเป็ นจานวนเต็ม) 2. หาช่วงคะแนนของแต่ละอันตรภาคชั้น โดยให้ข้อมูลค่าต่าสุดเป็นค่าต่าสุดของอันตรภาคชั้นชั้นแรก แล้วหาความถี่ 3. หาจานวนคะแนนแล้วบันทึกเป็นรอยขีด (ควรทาในกระดาษบันทึกคะแนน) แล้วนับรอยขีดในแต่ละ อันตรภาคชั้น เป็นความถี่ในอันตรภาคชั้นนั้นๆ กรณีที่ 2 เมื่อโจทย์กาหนดข้อมูลและจุดกึ่งกลางมาให้ มีขั้นตอนการสร้างดังนี้ 1. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น (ได้จากผลต่างของจุดกึ่งกลางชั้นติดกัน) 2. หาขอบบน ขอบล่าง ของแต่ละอันตรภาคชั้น
1 ของความกว้างของอันตรภาคชั้น 2 1 ขอบล่าง = จุดกึ่งกลาง ของความกว้างของอันตรภาคชั้น 2
จาก
ขอบบน = จุดกึ่งกลาง
จาก
3. หาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดในแต่ละอันตรภาคชั้น ค่าสูงสุด = ขอบบน - 0.5 (เมื่อข้อมูลเป็นจานวนเต็ม) ค่าต่าสุด = ขอบล่าง + 0.5 (เมื่อข้อมูลเป็นจานวนเต็ม)
11
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 4. หารอยขีด และนับรอยขีดในแต่ละอันตรภาคชั้น เป็นความถี่ของอันตรภาคชั้นนั้นๆ หมายเหตุ ถ้าตารางแจกแจงความถี่มีอันตรภาคชั้นเป็นทศนิยมการกาหนดอันตรภาคชั้นอาจกาหนดให้อยู่ใน รูปช่วงได้ ตัวอย่างที่ 5 ตารางแจกแจงความถี่ที่มีอันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม อันตรภาคชั้น 10.0 - 19.9 20.0 - 29.9 30.0 - 39.9 40.0 - 49.9 50.0 - 59.9
ความถี่ 2 5 8 12 3
จากตารางแจกแจงความถี่ที่มีอันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม อาจกาหนดอันตรภาคชั้นให้อยู่ในรูปช่วงได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ 2 10 x 20 5 20 x 30 8 30 x 40 12 40 x 50 3 50 x 60 ตัวอย่างที่ 6 กาหนดข้อมูลต่อไปนี้ เป็นคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคะแนนเต็ม 50 คะแนนของนักเรียน 40 คน 39 37 19 35 45 33 30 49 28 37 40 39 34 42 18 22 32 28 39 24 26 34 15 40 46 41 32 26 44 31 32 38 39 33 33 34 42 29 33 31 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนทั้งหมด เมื่อกาหนดให้ ก. ให้มี 7 อันตรภาคชั้น ข. ให้มีจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นเป็น 17.5, 23.5, 29.5, ... วิธีทา
ก. ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น
49 15
7
5
บันทึกคะแนนเป็นรอยขีดในกระดาษบันทึกคะแนน ดังนี้
12
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 กระดาษบันทึกคะแนน
จากกระดาษบันทึกคะแนน นามาสร้างตารางแจกแจงความถี่ จะได้ดังนี้ ตารางแจกแจงความถี่ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ความถี่ 15 - 19 3 20 - 24 2 25 - 29 6 30 - 34 12 35 - 39 8 40 - 44 6 45 - 49 3 ข. จุดกึ่งกลางคือ 17.5, 23.5, 29.5, ... ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น = 23.5 - 17.5 = 6 ขอบบนของอันตรภาคชั้นแรก คือ 17.5 + 6/2 = 20.5 ค่าสูงสุด 20.5 - 0.5 = 20 ขอบล่างของอันตรภาคชั้นแรก คือ 17.5 - 6/2 = 14.5 ค่าต่าสุด 14.5 + 0.5 = 15 บันทึกคะแนนเป็นรอยขีดในกระดาษบันทึกคะแนน ดังนี้ กระดาษบันทึกคะแนน
13
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 จากกระดาษบันทึกคะแนน นามาสร้างตารางแจกแจงความถี่ ดังนี้ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ความถี่ 15 - 20 3 21 - 26 4 27 - 32 9 33 - 38 11 39 - 44 10 45 - 50 3
การแจกแจงความถี่สะสมของข้อมูล ความถี่สะสม (Cumulative Frequency) ของอันตรภาคชั้นใด คือ ผลรวมความถี่ตั้งแต่อันตรภาค ชั้นช่วงคะแนนต่าสุดถึงอันตรภาคชั้นนั้น ตัวอย่างที่ 7 จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาความถี่สะสม อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม 50 - 54 3 3 55 - 59 5 8 60 - 64 12 20 65 - 69 10 30 70 - 74 6 36 75 - 80 4 40 จากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น อันตรภาคชั้นที่ 3 มีความถี่สะสม 20 แสดงว่า ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 64.5 มีอยู่ 20 จานวน อันตรภาคชั้นที่ 4 มีความถี่สะสม 30 แสดงว่า ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 69.5 มีอยู่ 30 จานวน อันตรภาคชั้นที่ 5 มีความถี่สะสม 36 แสดงว่า ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 74.5 มีอยู่ 36 จานวน อันตรภาคชั้นที่ 6 มีความถี่สะสม 40 แสดงว่า ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 80.5 มีอยู่ 40 จานวน ข้อสังเกต 1. ค่าความถี่สะสมหาได้จากการบอกความถี่จากอันตรภาคชั้นที่คะแนนมีค่าน้อยไปสู่ชั้นที่มีค่ามาก 2. ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นสุดท้าย คือ จานวนข้อมูลทั้งหมดนั่นเอง 3. ค่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดบอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าน้อยกว่าขอบบนของชั้นนั้น 4. ค่าความถี่ของอันตรภาคชั้นใด บอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นนั้น 14
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ เมื่อเราหาความถี่ได้แล้ว สามารถหาความถี่สัมพัทธ์ในแต่ละอันตรภาคชั้นได้ โดยที่ ความถี่สัมพัทธ์ในแต่ละอันตรภาคชั้น = ความถี่ของอันตรภาคชั้นนั้น / จานวนข้อมูลทั้งหมด ความถี่สัมพัทธ์ที่ได้นิยมเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยม หรือ ร้อยละ ตัวอย่างที่ 8 จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ หาค่าความถี่สัมพัทธ์ได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละความถี่สัมพัทธ์ 3 3 10 - 14 3 0.1000 100 10.00 15 - 19
5
20 - 24
12
25 - 29
10
รวม
30
30 5 0.1667 30 12 0.4000 30 10 0.3333 30
1.0000
30 5 100 16.67 30 12 100 40.00 30 10 100 33.33 30
100
ความหมายจากตาราง ความถี่สัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นใด เป็นการบอกให้ทราบว่าอันตรภาคชั้นนั้น มีจานวนมากน้อยเพียงใด เมื่อเทียบกับผลรวมของความถี่ทั้งหมด แต่เพื่อความเข้าใจได้ง่ายๆ จึงนิยมเขียนเป็นร้อยละ เรียกว่า “ร้อยละ ของความถี่สัมพัทธ์” เช่น อันตรภาคชั้น 10 - 14 มีร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 10.00 แสดงว่า อันตรภาคชั้น 10 14 มีจานวนคิดเป็นร้อยละ 10.00 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด อันตรภาคชั้น 20 - 24 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้มากที่สุด คิดเป็นร้อยละ 40.00 ส่วน อันตรภาคชั้น 10 - 14 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้น้อยที่สุด คิดเป็นร้อยละ 10.00 หมายเหตุ 1. การปัดเศษในวิชาสถิติ แตกต่างกับการปัดเศษโดยทั่วๆไป กล่าวคือ ถ้าตัวที่จะปัดเป็น 5 โดยทั่วไปจะปัดขึ้น แต่สาหรับวิชาสถิติ ต้องดูตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า ถ้าเป็นเลขคู่ คือ 0, 2, 4, 6, 8 จะปัด 5 ทิ้ง แต่ถ้าตัวเลขที่อยู่ ข้างหน้าเป็นเลขคี่ คือ 1, 3, 5, 7, 9 จะปัดขึ้นเป็นหนึ่ง เช่น
12345 0.12345 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.1234 100,000 12375 0.12375 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.1238 100,000
2. ผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ส่วนผลรวมของร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 100 เสมอ 15
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 การแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ เราสามารถหาความถี่สะสมสัมพัทธ์(Relative Cumulative Frequency)ของแต่ละอันตรภาคชั้นโดยที่ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ของแต่ละอันตรภาคชั้น = ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นนั้น / จานวนข้อมูลทั้งหมด ตัวอย่างที่ 9 จากตัวอย่างที่ 8 จะได้ตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ์ ดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่สะสมสัมพัทธ์ 3 10 - 14 3 3
0.1000
15 - 19
5
8
20 - 24
12
20
25 - 29
10
30
30 8 0.2667 30 20 0.6667 30 30 1.0000 30
ร้อยละความถี่สัมพัทธ์
3 100 10.00 30 8 100 26.67 30 20 100 66.67 30 30 100 10.00 30
ความหมาย ความถี่สะสมสัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นใด เป็นการบอกให้ทราบว่า อัตราส่วนของความถี่สะสมของอันตร ภาคชั้นนั้น กับผลรวมของความถี่ทั้งหมด ซึ่งนิยมคิดเป็นร้อยละ เรียกว่า ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ เช่น อันตรภาคชั้น 15 - 19 มีร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ 26.67 แสดงว่า มีข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 19.5 คิดเป็นร้อยละ 26.67 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด อันตรภาคชั้น 20 - 24 มีร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ 66.67 แสดงว่า มีข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 24.5 คิดเป็นร้อยละ 66.67 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด
16
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 การแจกแจงความถี่โดยใช้กราฟ กราฟที่ใช้แสดงการแจกแจงความถี่ มีดังนี้ ฮิสโทแกรม (Histogram) ฮิสโทแกรม มีวิธีการสร้างตามลาดับขั้น ดังนี้ ขั้นที่ 1 หาขอบล่างของทุกๆอันตรภาคชั้น และขอบบนของอันตรภาคชั้นที่มีค่าสูงสุด ขั้นที่ 2 กาหนดแกนพิกัดฉาก แนวนอนเป็นแกนของข้อมูล ซึ่งอาจแทนด้วยขอบเขตชั้น หรือจุดกึ่งกลางชั้น แนวตั้งเป็นแกนของความถี่ ขั้นที่ 3 เขียนแท่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยให้ความกว้างเท่ากับ ความกว้างของอันตรภาคชั้น ขั้นที่ 4 หาความสูงของแท่งสี่เหลี่ยม แบ่งเป็น 2 กรณี กรณีที่ 1 ในกรณีที่ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากันหมด ความสูงของแต่ละแท่งจะเท่ากับ ความถี่ของอันตรภาคชั้นนั้น กรณีที่ 2 ถ้าความกว้างของละอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมมุมฉาก หาได้จาก ความถี่ของชั้นนั้น หารด้วย ความกว้างของอันตรภาคชั้นนั้นๆ ตัวอย่างที่ 10 จากตารางแจกแจงความถี่ของน้าหนักของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ น้าหนัก (กิโลกรัม) จานวนนักเรียน 35 - 39 5 40 - 44 12 45 - 49 7 50 - 54 11 55 - 59 3 รวม 38 จงเขียนฮิสโทแกรมของข้อมูลชุดนี้ วิธีทา ตารางแจกแจงความถี่ที่โจทย์กาหนดให้มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากันสามารถทาได้2วิธีดังนี้ วิธีที่ 1 หาขอบล่างของแต่ละอันตรภาคชั้นตามลาดับ คือ 34.5, 39.5, 44.5, 49.5, 54.5 และ 59.5 และหา ขอบบนของอันตรภาคชั้นสูงสุด คือ 59.5 นาขอบล่างและขอบบนกาหนดในแนวนอน วิธีที่ 2 หาจุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นได้ 37, 42, 47, 52, 57 นาจุดกึ่งกลางชั้นกาหนดในแนวนอน
17
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 11 จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงเขียนฮิสโทแกรม อันตรภาคชั้น 20 - 29 30 - 49 50 - 79 80 - 99
ความถี่ 11 22 19 18
วิธีทา จากตารางแจกแจงความถี่ที่โจทย์กาหนดให้ มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน สร้างตาราง ใหม่เป็น ดังนี้ อันตรภาคชั้น จุดกึ่งกลางชั้น ความถี่ ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมมุมฉาก 11 20 - 29 24.5 11
1.1
30 - 49
39.5
22
50 - 79
64.5
19
80 - 99
89.5
18
10 22 1.1 20 19 0.63 30 18 0.9 20
นามาสร้างฮิสโทแกรมได้ ดังนี้
18
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 แผนภาพต้น - ใบ (Stem and Leaf plot) แผนภาพต้น ใบ เป็นแผนภาพที่จัดข้อมูลเป็นกลุ่มที่แสดงการแจกแจงความถี่ และวิเคราะห์ข้อมูล เบื้องต้นไปพร้อมๆกัน เนื่องจาก การสร้างตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรมเป็นการจัดข้อมูลที่มีอยู่เป็น ช่วงๆ จึงทาให้ไม่สามารถบอกได้ว่า ข้อมูลที่มีอยู่มีค่าใดบ้าง แผนภาพต้น ใบ สามารถทาได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 12 ผลการทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง จานวน 30 คน เป็นดังนี้ 22 37 18 43 56 42 41 50 24 44 39 12 44 23 55 48 47 21 52 20 14 37 46 23 45 14 40 41 41 48 จงแจกแจงความถี่ข้อมูลชุดนี้ด้วยแผนภาพต้น ใบ วิธีทา แบ่งกลุ่มคะแนนออกเป็น 5 กลุ่มดังนี้ กลุ่มที่ 1 คะแนนสอบตั้งแต่ 10 ถึง 19 คะแนน กลุม่ ที่ 2 คะแนนสอบตั้งแต่ 20 ถึง 29 คะแนน กลุ่มที่ 3 คะแนนสอบตั้งแต่ 30 ถึง 39 คะแนน กลุ่มที่ 4 คะแนนสอบตั้งแต่ 40 ถึง 49 คะแนน กลุ่มที่ 5 คะแนนสอบตั้งแต่ 50 ถึง 59 คะแนน นาเลขโดดจากหลักสิบของแต่ละกลุ่มนาไปสร้างลาต้น ดังนี้ ช่วง 10 - 19 เลขโดดจากหลักสิบคือ 1 ช่วง 20 - 29 เลขโดดจากหลักสิบคือ 2 ช่วง 30 - 39 เลขโดดจากหลักสิบคือ 3 ช่วง 40 - 49 เลขโดดจากหลักสิบคือ 4 ช่วง 50 - 59 เลขโดดจากหลักสิบคือ 5 จะได้ลาต้น ดังนี้ 1 2 3 4 5 สาหรับใบ ในแผนภาพต้นไม้ใช้เลขโดดในหลักหน่วยของข้อมูลในแต่ละกลุ่ม เช่น คะแนนสอบตั้งแต่ 10 ถึง 19 มีอยู่ทั้งหมด 4 จานวน ได้แก่ 18, 12, 14, 14 เลขโดดในหลักหน่วยที่จะใช้แทนใบ คือ 8, 2, 4, 4 ตามลาดับ คะแนนสอบตั้งแต่ 20 ถึง 29 มีอยู่ทั้งหมด 6 จานวน ได้แก่ 22, 24, 23, 21, 20, 23 เลขโดดใน หลักหน่วยที่จะใช้แทนใบ คือ 2, 4, 3, 1, 0, 3 ตามลาดับ เป็นต้น 19
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 นาคะแนนสอบทั้งหมดดังกล่าวมาเขียนแผนภาพต้น ใบ ดังนี้ 1 8 2 4 4 2 2 4 1 0 3 3 3 7 9 7 4 3 2 1 4 4 8 7 6 5 9 1 1 8 5 6 0 5 2 แต่ควรเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก จึงได้แผนภาพต้น ใบ ดังนี้ 1 2 4 4 8 2 0 1 2 3 3 4 3 7 7 9 4 0 1 1 1 2 3 4 4 5 6 7 8 8 5 0 2 5 6 จากแผนภาพต้น ใบ จะได้ว่า 1. คะแนนในช่วง 40 - 49 จะมีจานวนข้อมูลมากที่สุด 2. คะแนนในช่วง 30 - 39 จะมีจานวนข้อมูลน้อยที่สุด 3. คะแนนสูงสุดของข้อมูลชุดนี้ คือ 56 4. คะแนนต่าสุดของข้อมูลชุดนี้ คือ 12 5. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า 20 คะแนน มี 4 คน 6. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ 50 คะแนน มี 4 คน
20
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 13 จากการชั่งน้าหนักของนักเรียนชายจานวน 24 คน และนักเรียนหญิงจานวน 24 คน ได้ผลดังนี้ นักเรียน 60 49 81 84 65 86 66 49 ชาย 41 33 80 54 65 53 68 35 69 80 61 57 56 38 47 53 นักเรียน 34 68 51 71 66 76 81 65 หญิง 54 63 70 55 84 32 32 69 69 71 66 72 30 81 63 64 1. จงใช้แผนภาพต้น ใบ ในการแจกแจงข้อมูลชุดนี้ 2. จงหาน้าหนักสูงสุดและน้าหนักต่าสุดของนักเรียนชายและนักเรียนหญิง 3. น้าหนักสูงสุดของนักเรียนชายมากกว่าน้าหนักสูงสุดของนักเรียนหญิงอยู่เท่าใด 4. ส่วนใหญ่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงมีน้าหนักอยู่ในช่วงใด 5. จงหาร้อยละของจานวนนักเรียนหญิงที่มีน้าหนักอยู่ในช่วง 60 - 69 กิโลกรัม วิธีทา 1. นาข้อมูลทั้งหมดมาเขียนแผนภาพต้น ใบ ได้ดังนี้ ใบ (นักเรียนชาย)
ต้น 8 5 3 3 0 9 9 7 1 4 7 6 4 3 35 1 9 8 6 5 5 1 06 3 7 0 6 4 1 0 08 1
ใบ (นักเรียนหญิง) 2 2 4 4 5 3 4 5 6 6 8 9 9 1 1 2 6 1 4
2. นักเรียนชายมีน้าหนักสูงสุด 86 กิโลกรัม และน้าหนักต่าสุด 33 กิโลกรัม นักเรียนหญิงมีน้าหนักสูงสุด 84 กิโลกรัม และน้าหนักต่าสุด 30 กิโลกรัม 3. น้าหนักสูงสุดของนักเรียนชายมากกว่าน้าหนักสูงสุดของนักเรียนหญิงเท่ากับ 88 - 84 = 4 กิโลกรัม 4. ส่วนใหญ่นักเรียนชายจะมีน้าหนกอยู่ในช่วง 60 - 69 กิโลกรัม 5. ช่วง 60 - 69 มีจานวนนักเรียนหญิงเท่ากับ 9 คน คิดเป็นร้อยละ หญิงทั้งหมด
9 100 37.5 ของจานวนนักเรียน 24
21
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน 1.) ข้อมูลต่อไปนี้เป็นน้าหนักของนักเรียน 40 คน 40 45 46 46 50 51 49 52 42 41 50 55 51 53 54 40 43 48 55 53 58 62 64 61 50 48 48 56 58 58 59 64 63 68 59 65 61 67 66 64 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ขนาด 6 ชั้น พร้อมทัง้ หาความถี่สะสมด้วย จานวนข้อมูลทั้งหมด......................... พิสัย............................................ จานวนชั้น....................................... อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม
จากตาราง จงเติมคาตอบลงในช่องว่าง 1. อันตรภาคชั้นของชั้นที่ 3 คือ............................................................................................................................... 2. ความถี่แต่ละชั้นคือ ............................................................................................................................................. 3. ขอบบนของชั้นที่ 4 คือ...................................................................................................................................... ขอบล่างของชั้นที่ 3 คือ...................................................................................................................................... 4. ความกว้างของอันตรภาคชั้น............................................................................................................................. 5. จุดกึ่งกลางชั้นของชั้นที่ 2 คือ............................................................................................................................. 2.) น้าหนักของนักเรียนชั้นม. 4ของนักเรียนโรงเรียนหนึ่ง จานวน 30 คน เป็นดังนี้ (หน่วยเป็นกิโลกรัม) เป็นดังนี้ 55 43 46 50 37 42 43 50 39 32 75 64 39 44 48 46 52 53 78 54 49 47 40 51 50 39 72 56 62 60 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ที่มีอันตรภาคชั้นแรกเป็น 30 - 39 และหาความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ์ ความถี่ สะสมสัมพัทธ์ และ ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ จานวนข้อมูลทั้งหมด............................................................................................................. พิสัย................................................................................................................................... จานวนชั้น.................................................................................................................... ........ ความถี่สัมพัทธ์ของชั้นที่ 3 คือ................................................................................................................ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นที่ 2 คือ........................................................................................................ ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นที่ 1 คือ......................................................................................... 22
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 น้าหนัก (กิโลกรัม)
จานวน(คน) ความถี่สะสม
ความถี่ สัมพัทธ์
ความถี่สะสม สัมพัทธ์
ร้อยละของความถี่ สะสมสัมพัทธ์
จากตารางจะได้ว่า (ตอบทุกชั้นของอันตรภาคชั้น) 1. อันตรภาคชั้น.................................................................................................................................................... 2. ความถี่แต่ละชั้น................................................................................................................................................ 3. ขอบบน คือ................................................................................................................. ................................... ขอบล่าง คือ.................................................................................................................. .................................. 4. ความกว้างของอันตรภาคชั้น........................................................................................................................... 5. จุดกึ่งกลางชั้น คือ............................................................................................................................................ 6. ความถี่สะสม คือ.............................................................................................................................................. 3.) กาหนดข้อมูล ดังนี้ น้าหนัก(กิโลกรัม) 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 รวม จงสร้างฮิสโทแกรม
ความถี่ 5 7 9 8 7 4 40
ความถี่สะสม 5 12 21 29 36 40
23
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 4.) น้าหนักเด็กกลุ่มหนึ่งจานวน 30 คน เป็นดังนี้ 69 50 46 36 28 28 33 29 65 54 43 36 41 31 42 62 57 52 41 43 61 52 58 64 67 52 50 43 63 57 4.1 จงสร้างแผนภาพต้น ใบ ของน้าหนักของเด็กกลุ่มนี้
4.2 เด็กส่วนใหญ่ มีน้าหนักอยู่ในช่วงใด 4.3 จงหาน้าหนักที่น้อยที่สุด และน้าหนักที่มากที่สุดของเด็กกลุ่มนี้
ตอบ............................................. ตอบ.............................................
5.) แผนภาพต้น ใบแสดงจานวนเวลา(นาที) ที่นักเรียนหญิงใช้ในการทากิจกรรมครั้งหนึ่ง 1 4 2 0 1 2 3 3 6 3 1 1 4 5 7 7 8 9 4 2 5 8 5 0 2 5.1 จานวนนักเรียนหญิงมีทั้งหมดกี่คน ตอบ............................................. 5.2 จงหาเวลาที่น้อยที่สุดและมากที่สุดในการทากิจกรรมครั้งนี้ ตอบ............................................. 5.3 จงหาช่วงเวลาที่นักเรียนส่วนใหญ่ใช้ในการทากิจกรรมในครั้งนี้ ตอบ.............................................
24
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
การวัดตาแหน่งของข้อมูล (Measures of Position) ในการกล่าวถึงตาแหน่งหรือลาดับที่ของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งโดยไม่มีข้อมูลอื่นๆประกอบ ทาให้ไม่ทราบ ว่าตาแหน่งหรือลาดับที่ที่กล่าวถึงนั้นอยู่ตรงส่วนไหนของข้อมูล และไม่สามารถสรุปได้ว่าอยู่ในตาแหน่งหรือ ลาดับที่ดีหรือไม่ เช่น ในการสอบแข่งขันตอบปัญหาคณิตศาสตร์ นายปฐมสอบได้ตาแหน่งที่ 13 การสอบได้ ตาแหน่งที่ 13 ของนายปฐมจะไม่ทราบว่าเป็นตาแหน่งที่ดีหรือไม่ แต่ถ้าทราบข้อมูลอื่นๆเพิ่มเติมว่า การแข่งขัน การตอบปัญหาครั้งนี้ มีผู้เข้าแข่งขันกี่คน เช่น มี 90 คนจึงสามารถสรุปได้ว่า นายปฐมสอบได้ตาแหน่งที่ที่อยู่ใน กลุ่มหนึ่งในสี่อันดับแรก เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก ดังนั้นในทางสถิติจึงใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นต์ไทล์ ในการวัดตาแหน่ง และสามารถบอกได้ว่า ตาแหน่งหรือลาดับที่นั้นดีหรือไม่เพียงไรในกลุ่ม แต่ การวัดตาแหน่งที่นิยมใช้และคนส่วนใหญ่สื่อสารแล้วเข้าใจง่ายและรวดเร็ว คือ เปอร์เซนต์ไทล์ เพราะเปอร์เซ็นต์ ไทล์เป็นการแบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน แต่เปอร์เซ็นต์ไทล์มีข้อเสียตรงที่ว่า ในกรณที่ข้อมูลที่ต้องการ วัดตาแหน่งนั้นมีจานวนน้อย จะไม่มีความละเอียด ดังนั้นจึงใช้การวัดตาแหน่งด้วย ควอไทล์และเดไซล์แทน
ความหมายของควอไทล์ เดไซล์และเปอร์เซ็นต์ไทล์(Quartiles Deciles and Percentiles) ควอไทล์ (Quartiles) เป็นการวัดตาแหน่งของข้อมูลที่แบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน มี 3 ค่า คือควอไทล์ที่ 1 (Q1 ) ควอ ไทล์ที่ 2 (Q 2 ) ควอไทล์ที่ 3 (Q3 ) ตามลาดับ
1 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 4 2 Q 2 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 4 3 Q 3 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 4
Q1 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ
เดไซล์ (Deciles) เป็นการวัดตาแหน่งของข้อมูลที่แบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อ เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกัน มี 9 ค่า คือเดไซล์ที่ 1 (D1 ) เดไซล์ที่ 2 (D2 ) ควอไทล์ที่ 3 (D3 ) จนถึง เดไซล์ที่ 9 (D9 )ตามลาดับ
1 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 10 2 D2 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 10 3 D3 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 10 D1 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ
M
D9 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ
9 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 10 25
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 เปอร์เซ็นต์ไทล์ (Percentiles) เป็นการวัดตาแหน่งของข้อมูลที่แบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 100 ส่วน เท่าๆกัน เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก ค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มี 99 ค่า คือเปอร์เซ็นต์ ไทล์ที่ 1 (P1 ) เปอร์เซนต์ไทล์ที่ 2 (P2 ) เปอร์เซนต์ไทล์ที่ 3 (P3 ) จนถึง เปอร์เซนต์ไทล์ที่ 99 (P99 )ตามลาดับ
1 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 100 2 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด P2 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 100 3 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด P3 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 100
P1 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ
M
P99 เป็นค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ
99 ของจานวนข้อมูลทั้งหมด 100
ข้อสังเกต ความสัมพันธ์ระหว่าง ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซนต์ไทล์ เป็นดังนี้ ที่ตาแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก มัธยฐาน Q2 D5 P50 และ Q1 P25 และ Q3 P75 เป็นต้น
การหาค่าควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นต์ไทล์ เมือ่ ข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ สามารถดาเนินการตามขั้นตอนดังนี้ 1. เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก 2. หาตาแหน่งของข้อมูลที่ต้องการ โดย Qk
k ( N 1) 4
,
Dk
k ( N 1) 10
และ
Pk
k ( N 1) 100
3. นาค่าของตาแหน่งที่ได้ไปเปรียบเทียบกับข้อมูลว่าตรงกับข้อมูลค่าใด
26
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 1 เด็กกลุ่มหนึ่งจานวน 7 คน มีอายุดังนี้ 14, 13, 19, 12, 17, 14 และ 16 ปี จงหา Q1, Q 3 ,D5 วิธีทา ดาเนินตามขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 เรียงลาดับข้อมูลจากน้อยไปหามากได้ดังนี้ 12 13 14 14 16 17 19 ขั้นที่ 2 หาตาแหน่งที่ต้องการ
1 4 3 ตาแหน่ง Q 3 คือ (7 1) 6 4 1 ตาแหน่ง D5 คือ (7 1) 4 10 ตาแหน่ง Q1 คือ (7 1) 2
ขั้นที่ 3 คานวณค่าในตาแหน่งที่ต้องการ ค่าที่อยู่ในตาแหน่งที่ 2 ตรงกับ 13 พอดี ดังนั้น Q1 13 ปี
ค่าที่อยู่ในตาแหน่งที่ 6 ตรงกับ 17 พอดี ดังนั้น Q3 17 ปี ค่าที่อยู่ในตาแหน่งที่ 4 ตรงกับ 14 พอดี ดังนั้น D5 14 ปี
ตัวอย่างที่ 2 ผลการชั่งการน้าหนัก (หน่วยเป็นกิโลกรัม) ของนักเรียนชั้น ม. 5 ห้องหนึ่งจานวน 31 คน เป็นดังนี้ 42 53 68 49 68 56 44 38 60 51 48 45 44 58 62 45 50 66 54 62 43 57 65 70 52 57 69 65 64 48 62 1. จงหาว่าน้าหนักจะต้องตรงกับกี่กิโลกรัมจึงจะทาให้นักเรียนประมาณสามในสี่ของห้องมีน้าหนักมากกว่า 2. จงหาว่าน้าหนักจะต้องตรงกับกี่กิโลกรัมจึงจะทาให้นักเรียนประมาณหกในสิบของห้องมีน้าหนักมากกว่า วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อน ดังนี้ 38 42 43 44 44 45 45 48 48 49 50 51 52 53 54 56 57 57 58 60 62 62 62 64 65 65 66 68 68 69 70 1. น้าหนักที่มีนักเรียนประมาณสามในสี่ของห้องที่มีน้าหนักมากกว่า แสดงว่าต้องการหาน้าหนักที่มีนักเรียน ประมาณหนึ่งในสี่ของห้องที่มีน้าหนักน้อยกว่า นั่นคือ ต้องการหาน้าหนักที่ตรงกับ P25 นั่นเอง k ( N 1) 100
ตาแหน่ง
Pk
ดังนั้น
P25
25(31 1) 8 100
น้าหนักที่ตรงกับตาแหน่งที่ 8 คือ 48 กิโลกรัม 27
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 2. น้าหนักที่มีนักเรียนประมาณหกในสิบของห้องที่มีน้าหนักน้อยกว่า มีความหมายเช่นเดียวกับ น้าหนักที่มีนักเรียนประมาณ 60 ใน 100 ของห้องที่มีน้าหนักน้อยกว่า ซึ่งตรงกับน้าหนักที่ P60 ตาแหน่ง ดังนั้น
Pk
k ( N 1) 100
P60
60(31 1) 19.2 100
น้าหนักในลาดับที่ 19 และ 20 คือ 58 และ 60 ตามลาดับ ตาแหน่งต่างกัน 20 - 19 = 1 น้าหนักต่างกัน 60 - 58 = 2 กิโลกรัม ตาแหน่งต่างกัน 19.2 - 19 = 0.2 น้าหนักต่างกัน 2 0.2 0.4 กิโลกรัม ดังนั้น P60 = 58 +0.4 = 58.4 กิโลกรัม ตัวอย่างที่ 3 ผลการสอบแข่งขันตอบปัญหาคณิตศาสตร์ของเด็กกลุ่มหนึ่ง จานวน 24 คน เป็นดังนี้ 43 50 61 44 51 58 74 88 95 68 37 92 70 44 50 66 76 91 45 72 90 86 54 46 จงหา 1. เด็กคนที่ได้ 70 คะแนน ตรงกับเดไซล์ที่เท่าไร 2. เด็กคนที่ได้ 66 คะแนน ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่เท่าไร 3. เด็กคนที่ได้ 90 คะแนน ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่เท่าไร วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อน ดังนี้ 37 43 44 44 45 46 50 50 51 54 58 61 66 68 70 72 76 91 45 72 90 86 54 46 1. คะแนน 70 คะแนน ตรงกบตาแหน่งที่ 15 ของข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก จากสูตรตาแหน่ง
Dk
k ( N 1) 10
15
25k 10
k 15
แทนค่า
15
k(24 1) 10
10 6 25
ดังนั้น คะแนน 70 คะแนน ตรงกับ เดไซล์ที่ 6
2. คะแนน 60 คะแนน ตรงกับตาแหน่งที่ 13 ของข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก จากสูตรตาแหน่ง
Pk
k ( N 1) 100
13
25k 100
k 13
แทนค่า
13
k(24 1) 100
100 52 25
ดังนั้น คะแนน 60 คะแนน ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 52
28
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 3. คะแนน 90 คะแนน ตรงกับตาแหน่งที่ 21 ของข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก จากสูตรตาแหน่ง
Pk
k ( N 1) 100
21
แทนค่า 21
k(24 1) 100
25k 100 , k 21 84 100 25
ดังนั้น คะแนน 90 คะแนน ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 84
EX4ข้อมูลที่กาหนดให้เป็นข้อมูลของค่าจ้างรายวันของบริษัทแห่งหนึ่งจงหาค่าจ้างรายวันที่ตรงกับ Q3 ,D9 ,P25 ค่าจ้างรายวัน(บาท) จานวน(คน) 160 38 180 22 200 29 220 32 240 48 260 30 วิธีทา นามาสร้างตาราง เพื่อหาความถี่สะสมดังนี้ ค่าจ้างรายวัน(บาท) จานวน(คน) 160 38 180 22 200 29 220 32 240 48 260 30 \ จากสูตรตาแหน่ง Qk
k(N 1) 4
Q3
แทนค่า
ดังนั้น ค่าจ้างแรงงานรายวันที่ตรงกับควอไทล์ที่ 3 คือ 150 บาท \ จากสูตรตาแหน่ง Dk
3(199 1) 150 4
k(N 1) 10
แทนค่า D9
k(N 1) 100
แทนค่า
ดังนั้น ค่าจ้างแรงงานรายวันที่ตรงกับเดไซล์ที่ 9 คือ 180 บาท \ จากสูตรตาแหน่ง Pk
ดังนั้น ค่าจ้างแรงงานรายวันที่ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 25 คือ 50 บาท
ความถี่สะสม 38 60 89 121 169 199
P25
9(199 1) 180 10 25(199 1) 50 100 29
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 เมื่อข้อมูลแจกแจงความถีแ่ ล้ว
สามารถดาเนินการตามขั้นตอนดังนี้
1. หาความถี่สะสม 2. หาตาแหน่งของข้อมูล โดยใช้สูตร Qk
kN 4
Dk
kN 10
และ
Pk
kN 100
3. หาคาตอบโดยใช้สูตร kN fL 4 Qk L I f me
kN fL , D k L I 10 f me
และ
kN fL 100 Pk L I f me
เมื่อ L คือ ขอบล่างของชั ้นควอไทล์ เดไซล์ เปอร์ เซนต์ไทล์ I คือ ความกว้ างของอันตรภาคชั ้น f L คือ ความถี่สะสมของชั ้นที่ต่ากว่าชั ้นควอไทล์ เดไซล์ เปอร์ เซนต์ไทล์ f me คือ ความถี่ของชั ้นชั ้นควอไทล์ เดไซล์ เปอร์ เซนต์ไทล์
ตัวอย่างที่ 5 ตารางแจกแจงความถี่แสดงค่าขนมที่นักเรียนกลุ่มหนึ่งได้รับต่อวัน เป็นดังนี้ ค่าขนมต่อวัน(บาท) จานวนนักเรียน 30 - 39 4 40 - 49 5 50 - 59 16 60 - 69 8 70 - 79 10 80 - 89 4 90 - 99 3 จงหา Q3 , D9 ,P25 วิธีทา หาความถี่สะสมได้ดังนี้ ค่าขนมต่อวัน(บาท) จานวนนักเรียน ความถี่สะสม 30 - 39 4 8 40 - 49 5 18 50 - 59 16 50 60 - 69 8 66 70 - 79 10 86 80 - 89 4 94 90 - 99 3 100 30
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 หา Q 3
\ จากสูตร ตาแหน่ง Qk จากสูตร
kN fL 4 Q k L I f me
kN 4
แทนค่า Q3
3(100) 75 4
จากการที่ ตาแหน่งของ Q 3 = 75 ดังนั้น ค่าของ Q 3 จึงอยู่ในอันตรภาคชั้น 70 - 79 จะได้ L 69.5 I 10 , fL 66 , fme
20
75 66 20 69.5 4.5 74 ดังนั้น ค่าขนมต่อวันที่ตรงกับ Q 3 คือ 74 บาท kN 9(100) จากสูตร ตาแหน่ง Dk แทนค่า Q9 90 10 10 kN f L 10 จากสูตร Dk L I f me จากการที่ ตาแหน่งของ D9 = 90 ดังนั้น ค่าของ Q 3 จึงอยู่ในอันตรภาคชั้น 80 - 89 จะได้ L 79.5 I 10 , fL 86 , fme 8 90 86 แทนค่าจะได้ว่า D9 79.5 10 8 79.5 5 84.5 ดังนั้น ค่าขนมต่อวันที่ตรงกับ D9 คือ 84.5 บาท kN 25(100) จากสูตร ตาแหน่ง Pk แทนค่า P25 25 100 100 kN f L 100 จากสูตร Pk L I จากการที่ ตาแหน่งของ P25 = 25 f me
แทนค่าจะได้ว่า Q3 69.5 10
หา D9
หา P25
31
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ดังนั้น ค่าของ P25 จึงอยู่ในอันตรภาคชั้น 50 - 59 จะได้ L 49.5 I 10 , fL 18 , fme
32
25 18 49.5 2.19 51.69 32
แทนค่าจะได้ว่า P25 49.5 10
ดังนั้น ค่าขนมต่อวันที่ตรงกับ P25 คือ 51.69 บาท ตัวอย่างที่ 6 น้าหนักของเด็กกลุ่มหนึ่งเป็นดังตารางต่อไปนี้ น้าหนัก (กิโลกรัม) 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64
จานวนเด็ก (คน) 2 6 9 25 7 10 7
ถ้านิภาและภาลัยเป็นเด็กในกลุ่มนี้ จงหาว่า 1. น้าหนักของนิภาเท่ากับ 49.5 กิโลกรัม ตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่เท่าไร 2. ถ้าน้าหนักของภาลัยตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 75 แสดงว่า ภาลัยหนักกี่กิโลกรัม วิธีทา สร้างตารางเพื่อหาความถี่สะสม ดังนี้ น้าหนัก (กิโลกรัม) 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64
จานวนเด็ก (คน) 2 6 9 25 7 10 7
ความถี่สะสม 2 8 17 42 45 54 60
32
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 1.
นา้ หนักของนิภา 49.5 กิโลกรัม ตรงกับขอบบนของอันตรภาคชั้น 45
kN 42 100 k (60) 42 100
-49
ซึ่งมีความถี่สะสม 42
แสดงว่า
จะได้
42
k
100 60
70
แสดงว่า น้าหนักของนิภาตรงกับเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 70 2. ตาแหน่งของ P75
75(60) 45 100
ปรากฏว่า ตาแหน่งที่ 45 ตรงกับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้น 50 - 54 ดังนั้น P75 ขอบบนของอันตรภาคชั้น 50 - 54 = 54.5 นั่นคือ น้าหนักของภาลัยเท่ากับ 54.5 กิโลกรัม หรือ คานวณโดยใช้สูตร ดังนี้ kN fL 100 Pk L I f me
จากสูตร
L 49.5
kN 75(60) 45 100 100 fL 42 fme 3 I
5
แทนค่าในสูตร จะได้ว่า
45 42 P75 49.5 5 3 49.5 5 54.5 นั่นคือ น้าหนักของภาลัยเท่ากับ 54.5 กิโลกรัม เท่ากับวิธีแรก
33
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน 1. ในการสอบครั้งหนึ่ง คะแนนสอบของนิภาเท่ากับ 82 คะแนน ปรากฏว่าตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 75 จงหาว่ามี ผู้เข้าสอบครั้งนี้กี่คนที่มีคะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 82 คะแนน ถ้าในการสอบครั้งนี้มีจานวนผู้เข้าสอบทั้งสิ้น 60 คน
2. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมี 40 คน ปรากฏว่าคะแนนสอบ 7 คะแนนตรงกับ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 5 จงหาว่านักเรียนในห้องนี้มีกี่คนที่ได้คะแนนมากกว่า 7 คะแนน
3. ถ้ามีนักเรียน 36 คน จากนักเรียนทั้งหมด 40 คน ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 77 คะแนน จงหาว่าคะแนน 77 คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
4. เด็ก 7 คน อายุดังนี้ 14 13 19 12 17 14 และ 16 ปี จงหา
Q 2 , D5 , P50 , D9 , P90
5. ผลการสอบแข่งขันตอบปัญหาของเด็ก 24 คน เป็นดังนี้ 37 43 44 44 45 46 50 50 51 54 58 61 66 68 70 72 74 76 86 88 90 91 92 95 1. เด็กคนที่ได้ 70 คะแนน ตรงกับเดไซล์ที่เท่าไร 2. เด็กคนที่ได้ 66 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
34
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 6. ผลการชั่งน้าหนักของนักเรียนม. 6 จานวน 30 คน เป็นดังนี้ 42 56 48 45 62 70 65 68 53 44 45 50 43 52 64 51 68 38 44 66 57 57 48 49 60 58 54 65 69 62 1. จงหาว่าน้าหนักกี่กิโลกรัม จึงทาให้นักเรียน 3 ใน 4 ของห้องมีน้าหนักมากกว่า 2. จงหาว่าน้าหนักกี่กิโลกรัม จึงทาให้นักเรียน 8 ใน 10 ของห้องมีน้าหนักน้อยกว่า
7. ข้อมูลเป็นตารางแจกแจงความถี่ของค่าจ้างแรงงานรายวันของบริษัท ยงยุทธ์ จากัด จงหาค่าจ้างแรงงานราย วันที่ตรงกับ Q3 , D9 , P25 ค่าจ้างแรงงานรายวัน (บาท) จานวน(คน) 160 38 180 22 200 29 220 32 240 48 260 30 8. ตารางแสดงน้าหนักของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ น้าหนัก (กิโลกรัม) จานวนนักเรียน(คน) 30 - 34 2 35 - 39 6 40 - 44 9 45 - 49 25 50 - 54 7 55 - 59 10 60 - 64 7 จงหาว่าถ้าก้านกล้วยกับก้านบัวเป็นเด็กในกลุ่มนี้ น้าหนักของก้านกล้วย 49.5 กิโลกรัม ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
35
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
การวัดค่ากลางของข้อมูล (Measures of central tendency) ในบทก่อนหน้าได้กล่าวถึงการแจกแจงความถี่ ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งที่ช่วยทาให้ข้อมูลดิบที่รวบรวมได้มี ความหมายมากขึ้น โดยต้องมีการนาเสนอข้อมูลด้วย การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ช่วยบรรยาย ลักษณะข้อมูลแต่ละชุดที่รวบรวมได้ โดยใช้ตัวเลขเพียงตัวเดียวหรือใช้ค่าใดค่าหนึ่ง การวัดแนวโน้มเข้าสู่ ส่วนกลางเป็นระเบียบวิธีทางสถิติที่ใช้ค่าค่าหนึ่ง ซึ่งเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุด เพื่อสะดวกในการจดจาและสรุป เรื่องราวที่สาคัญของข้อมูลชุดนั้น ค่าที่ได้จะช่วยให้ทราบลักษณะของข้อมูลทั้งชุดว่ามีลักษณะเป็นอย่างไร เช่น ช่วยให้ครูทราบระดับผลการเรียนของนักเรียนทั้งชั้น ทราบอายุเฉลี่ยของนักเรียนทั้งชั้น เป็นต้น การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางมีวิธีการหาได้หลายวิธี ได้แก่ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) 4. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric mean) 2. มัธยฐาน (Median) 5. ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic mean) 3. ฐานนิยม (Mode) 6. ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid - range) แต่ละวิธีมีทั้งข้อดีและข้อเสีย และความถูกต้องเหมาะสมในการนาไปใช้ไม่เหมือนกันขึ้นอยู่กับ ลักษณะของข้อมูล และวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลชนิดนั้นๆ แต่ก่อนที่จะศึกษาค่ากลางชนิดต่างๆนั้น ต้องทา ความเข้าใจเกี่ยวกับการใช้เครื่องหมาย (Summation) ก่อนดังนี้ เครือ่ งหมายแสดงการบวก n
x i x1 x 2 x 3 ... x n i1
ถ้า x1 6, x 2 1, x 3 4, x 4 2, x 5 5
ตัวอย่างที่ 1
จะได้ว่า
5
x i x1 x 2 x 3 x 4 x 5 i1
6 1 4 2 5 18 5
ตัวอย่างที่ 2 จากตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ (x i 4) i1
วิธีทา 5
(x i 4) (x 1 4) (x 2 4) (x 3 4) (x 4 4) (x 5 4) i1
(x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) (4 4 4 4 4) (6 1 4 2 5) 5(4) 18 20 38 36
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 สาหรับเครื่องหมาย
(Summation) มีทฤษฎีบท ดังนี้ ให้ c และ d เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า n
n
1. cx i
c x i
2. c
i1 n
i1
i1 n
Nc n
3. (x i d)
x i Nd
i1 n
i1
n
4. (cx i d)
c x i Nd
5. (x i yi )
x i yi
i1 n
i1
ตัวอย่างที่ 3 จงใช้ทฤษฎีบทของสัญลักษณ์
i1 n
n
i1
i1
(Summation) หาผลบวกต่อไปนี้
5
3
2. (x i 2)2
1. (2x i 6) i1 4
i1
3. (x i y i ) i1
กาหนดให้ x1 2, x 2 4, x 3 1, x 4 5, x 5 8 และ y1 3, y 2 8, y3 4, y 4 2, y5 6 วิธีทา
5
5
5
i1
i1
1. (2x i 6) 2x i 6 5
i1
2 x i 5(6) i1
2(x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) 30 2(2 4 1 5 8) 30 2(20) 30 70 3
2.
(x i 2) i1
2
(x1 2)2 (x 2 2)2 (x 3 2)2 (2 2)2 (4 2) 2 (1 2) 2 0 4 1 5
37
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 4
3. (x i y i ) i1
4
4
i1
i1
x i yi
(x 1 x 2 x 3 x 4 ) (y1 y 2 y 3 y 4 ) (2 4 1 5) (3 8 4 2) 12 17 29
ลองทาดู
กาหนดให้
X1 = 5, X2 = 8, X 3 = 6
Y1 = 4, Y2 = 6, Y3 = 8 4
1.
å
Xi
6.
7.
8.
2
(X i + Yi )
9.
å
(2X i + 3Yi )
i= 1
4
å
å
4
Yi2
i= 1
5.
(X i - Yi )
i= 1
4
å
å
4
X 2i
i= 1
4.
(X i + Yi )
i= 1
4
å
å
4
Yi
i= 1
3.
4
i= 1
4
å
4
4
i= 1
2.
และ X = 9 และ Y = 9 จงหาค่าของ
X i Yi
ทดจ้ า....
i= 1
38
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 กาหนดให้
X1 = 1, X2 = 3, X 3 = 4, X 4 = 7
และ
X5 = 0
และ
f1 = 10, f2 = 15, f3 = 5, f4 = 10, f5 = 8 10
1.
å
å
4.
c
5
å
5
å
5.
(X i + 2)
i= 1
å
5
å
6.
fi X i
i= 1
(X i + 2)(X i - 2)
i= 1
5
กาหนด
å
5
X i = 10
และ å
i= 1
5
X 2i = 30
จงหาค่าของ å
i= 1
5
(5X i - 50)
และ å
i= 1
5
å
2
(X i - 2)
i= 1
5
3.
(fi X i + 3)
i= 1
i= 1
2.
จงหาค่าของ
c= 2
5
5
å
(5X i - 50)
i= 1
2
(X i - 3)
i= 1 2
(X i - 3)
i= 1
4
กาหนด
å
i= 1
4
Xi = 5 ,
å
4
Yi = - 2
และ å
i= 1
4
X i Yi = 4
i= 1
จงเขียนผลบวกของจานวนต่อไปนี้โดยใช้ เครื่องหมาย
จงหาค่าของ å
(X i + 1)(4Yi - 3)
i= 1
å
1. 2X1 + 2X2 + 2X3 + 2 + X4 + 2X5
ตอบ ....................................
2 2. 3X12 + 3X22 + 3X23 + ... + 3X10
ตอบ ......................................
3. f1 (X1 + M) + f2 (X2 + M) + f3 (X 3 + M) + ... + fk (X i + M)ตอบ ......................................
39
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง คือ ผลที่ได้จากการหาร ผลบวกของค่าสังเกตของข้อมูล ทั้งหมดด้วยจานวนข้อมูลทั้งหมด นิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x จะได้ว่า N
x
xi i 1
N
เมื่อ
xi
= ข้ อมูลตัวที่ i ,
N
= จานวนข้ อมูลทังหมด ้
ตัวอย่างที่ 4 คะแนนสอบของนักเรียน 8 คนเป็นดังนี้ 19, 16, 11, 18, 10, 12, 7, 11 จงหาค่าเฉลี่ยเลข คณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 8 คนนี้ N
วิธีทา
xi
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ x i 1 N 19 16 11 18 10 12 7 11 แทนค่า 8 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 13 คะแนน
13
ตัวอย่างที่ 5 อายุของพนักงานขายของร้านค้าแห่งหนึ่งจานวน 10 คน เป็นดังนี้ 24, 16, 19, 22, 18, 24, 16, 20, 17, 16 ปี จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานขายของร้านค้าแห่งนี้ N
วิธีทา
xi
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงาน x i 1 N 24 16 19 22 18 24 16 20 17 16 แทนค่า 10 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานเท่ากับ 19.2 ปี
19.2
ตัวอย่างที่ 6 ตารางข้างล่างนี้แสดงคะแนนสะสมในการเล่นเกมของเด็ก 2 คน คือ เอ้กับออยเป็นดังนี้ เกมที่ คะแนนของเอ้ คะแนนของออย 1 175 180 2 150 130 3 160 161 4 180 185 5 160 163 6 183 185 7 287 186 40
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 1. จงหาคะแนนเฉลี่ยของเอ้กับออย 2. ถ้าพิจารณาจากคะแนนเฉลี่ยใครคือผู้ชนะ เมื่อผู้ชนะคือผู้ที่มีคะแนนเฉลี่ยมากกว่า 3. ถ้าพิจารณาในแต่ละเกมแล้ว จงหาจานวนเกมที่เอ้เป็นผู้ชนะ N
วิธีทา 1. คะแนนเฉลี่ยของเอ้
x
xi i 1
N
175 150 160 180 160 183 287 7 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของเอ้ เท่ากับ 185 คะแนน แทนค่า
1297 185 5
N
คะแนนเฉลี่ยของออย
x
xi i 1
N
1190 180 130 161 185 163 185 186 170 7 7 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของออย เท่ากับ 170 คะแนน 2. เมื่อพิจารณาจากคะแนนเฉลี่ย ผู้ชนะ คือ เอ้ เพราะมีคะแนนเฉลี่ยมากกว่า 3. เมื่อพิจารณาในแต่ละเกมแล้ว จานวนเกมที่เอ้ชนะมี 2 เกม และ จานวนเกมที่ออยชนะมี 5 เกม จากการพิจารณาหาผู้ชนะจากคะแนนเฉลี่ย และจากการพิจารณาในแต่ละเกม จะเห็นว่า ค่าเฉลี่ยไม่ได้บ่งบอก สถานการณ์ทั้งหมด แทนค่า
ตัวอย่างที่ 7 ถ้าคะแนนสอบของเด็กกลุ่มหนึ่งซึ่งมี 7 คน คือ 34, 24, 32, 18, 22, 33, 26 คะแนน จงหาว่า 1. ถ้าเพิ่มเด็กคนหนึ่ง ซึ่งสอบได้ 34 คะแนนให้มาเป็นสมาชิกในกลุ่มนี้ จะทาให้คะแนนเฉลี่ยของกลุ่มเพิ่มขึ้น หรือลดลงเพราะเหตุใด 2. ถ้าเพิ่มเด็กคนหนึ่ง ซึ่งสอบได้ 11 คะแนน ให้มาเป็นสมาชิกในกลุ่มนี้ จะทาให้คะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม เพิ่มขึ้น หรือลดลงเพราะเหตุใด N
xi
หาคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม x i 1 N 34 24 32 18 22 33 26 แทนค่า 7 27 ดังนั้นคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม เท่ากับ 27 คะแนน วิธีทา
41
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 1. ถ้าเพิ่มเด็กมา
1 คน ซึ่งสอบได้ 34 คะแนน 8
จะได้
x
xi i1
N 34 24 32 18 22 33 26 34 29 แทนค่า x 8 ดังนั้น จะได้ว่าคะแนนเฉลี่ยเพิ่มขึ้น เพราะว่าเด็กที่มาเพิ่มมีคะแนน 34 คะแนน ซึ่งเป็นคะแนนที่มากกว่า คะแนนเฉลี่ยเดิม 27 คะแนน 2. เมื่อเพิ่มเด็กมา 1 คน ซึ่งสอบได้ 11 คะแนน 8
จะได้
x
xi i1
N 34 24 32 18 22 33 26 11 25 แทนค่า x 8 ดังนั้นจะได้ว่า คะแนนเฉลี่ยลดลง เพราะว่าเด็กที่มาเพิ่มมีคะแนน 11 คะแนน ซึ่งเป็นคะแนนที่น้อยกว่า คะแนนเฉลี่ยเดิม 27 คะแนน ตัวอย่างที่ 8 ในการทดสอบเก็บคะแนน ผึ้งสอบได้คะแนน 76, 84 และ 73 คะแนน ตามลาดับ จงหาว่า ในการ สอบครั้งที่ 4 ผึ้งจะต้องทาคะแนนสอบให้ได้กี่คะแนน จึงจะทาให้คะแนนเฉลี่ยของคะแนนสอบทั้ง 4 ครั้งเป็น 80 คะแนน n
xi
x1 x 2 x 3 x 4 N 4 76 84 73 x 4 80 แทนค่า 4 233 x 4 80 4 80 4 233 x 4 230 233 x 4 x 4 320 233 x 4 87 ดังนั้น ครั้งที่ 4 ต้องทาคะแนนให้ได้ 87 คะแนน วิธีทา
จาก
x
i1
42
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก (Weighted arithmetic mean) ในบางครั้งการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลต่างๆ อาจจะให้ความสาคัญหรือน้าหนักของข้อมูลแต่ ละตัวไม่เท่ากัน เช่น ในการทดสอบกลางภาคและปลายภาค คะแนนสอบครั้งละ 100 คะแนนเท่ากัน แต่การ สอบปลายภาคให้น้าหนักเป็น 2 เท่าของการสอบกลางภาค ถ้ากลางภาคสอบได้ 93 คะแนน และปลายภาคได้ 84 คะแนน จะได้คะแนนเฉลี่ย ดังนี้ 93 2(84) x 1 2 87 เรียกการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบนี้ว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงนา้ หนัก n
x
w1x1 w 2 x 2 w 3 x 3 ...w n x n w1 w 2 w 3 ... w n
x i wi i1 n
wi i1
xi
= ข้ อมูลตัวที่ i , w i = ค่านา้ หนักของข้ อมูลตัวที่ i , n คือ จานวนข้ อมูลทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 9 นายเกรียงไกร ได้รับคะแนนในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ ภาษาอังกฤษ และ สุขศึกษาเป็น B, B, A และ C ตามลาดับ ถ้าหน่วยกิจของวิชาเหล่านี้เท่ากับ 3, 5, 3 และ 1 ตามลาดับ จงหาระดับคะแนนเฉลี่ยของ 4 วิชาของนายเกรียงไกร ถ้าให้ระดับคะแนน A มีค่าเท่ากับ 4 และ B มีค่าเท่ากับ 3 และ C มีค่าเท่ากับ 2 วิธีทา ระดับคะแนนของนายเกรียงไกร มาสร้างตารางได้ดังนี้ วิชา ระดับคะแนน ค่าของระดับคะแนน หน่วยกิต คณิตศาสตร์ B 3 3 ฟิสิกส์ B 3 5 ภาษาอังกฤษ A 4 3 สุขศึกษา A 2 1 จะได้ระดับคะแนนเฉลี่ยเป็น แทนค่า
x
w1x1 w 2 x 2 w 3 x 3 w 4 x 4 w1 w 2 w 3 w 4
3(3) 3(5) 4(3) 2(1) 3 5 3 1
43
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 9 15 12 2 12 38 12 3.17 ดังนั้น จะได้ว่าระดับคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 3.17 คะแนน
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combined arithmetic mean) ในบางครั้งเราต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลหลายๆชุด ซึ่งแต่ละชุดหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตไว้ แล้ว อาทิเช่น ต้องการค่าเฉลี่ยเลขคณิตคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.5 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ซึ่งมีจานวน 3 ห้อง โดยที่แต่ละห้อง ทราบค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนชั้น ม.5 ทั้งหมดของโรงเรียนแห่งนี้ เรียกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม จะได้ว่า k
ค่าเฉลี่ยเลขคณิ ตรวม
x รวม
N1x1 N 2 x 2 N3 x ... N k x k N1 N 2 N3 ... N k
Ni x i
i 1 k
N
i 1
= x ของข้อมูลตัวที่ i , k = จานวนข้อมูลทั้งหมด
xi
Ni
= จานวนข้อมูลทั้งหมดของข้อมูลชุดที่ i
ตัวอย่างที่ 10 นักเรียนชั้น ม.5 จานวน 3 ห้องมีความสูงเฉลี่ยดังนี้ ม.5/1 จานวนนักเรียน 44 คน ความสูงเฉลี่ย 164 เซนติเมตร ม.5/2 จานวนนักเรียน 39 คน ความสูงเฉลี่ย 158 เซนติเมตร ม.5/3 จานวนนักเรียน 42 คน ความสูงเฉลี่ย 172 เซนติเมตร จงหาความสูงเฉลี่ของนักเรียนทั้งหมด k
วิธีทา แทนค่า
จาก
x รวม
N1x1 N 2 x 2 N3 x ... N k x k N1 N 2 N3 ... N k
44(164) 39(158) 42(172) 44 39 42 7216 6162 7224 125 164.48
Ni x i
i 1 k
N
i 1
นั่นคือ ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหมดเท่ากับ 164.48 เซนติเมตร 44
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 11 ตารางข้างล่างนี้เป็นคะนนในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 3 ห้อง ซึ่งได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของนักเรียนทั้งหมดเป็น 71 คะแนน จงหาคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนในห้องเรียนที่ 3 ห้องเรียนที่ คะแนนเฉลี่ย จานวนนักเรียน
1 64 12
2 70 18
3 x 20
k
วิธีทา จาก แทนค่า จะได้
x รวม
N1x1 N 2 x 2 N3 x ... N k x k N1 N 2 N3 ... N k
Ni x i
i 1 k
N
i 1
12(64) 18(70) 20(x ) 12 18 20 2028 20x 71 50 71 50 2028 20x 20x 3550 2028 20x 1522 1522 x 76.10 20 71
ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องที่ 3 เท่ากับ 76.10 คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกรณีข้อมูลมีการแจกแจงความถี่
k
f x f x f x ... f k x k x 1 1 2 2 3 3 f1 f 2 f 3 ... f k
fi xi i 1 k
fi
k
fi xi i 1
N
i 1
fi
คือ ความถี่ของชันที ้ ่i,
้ ่i x i คือ จุดกึ่งกลางชันที
, k คือ จานวนอันตรภาคชัน้
45
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 12 จากการสารวจกลุ่มคนที่เข้าชมนิทรรศการวิชาการ โดยแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ตามอายุ ดังนี้ อายุ(ปี) จานวน(คน) 18 6 20 11 21 14 22 12 25 3 30 2 จงหาอายุเฉลี่ยของคนที่เข้าชมนิทรรศการวิชาการ วิธีทา
สร้างตารางเพื่อคานวณอายุเฉลี่ย ดังนี้ อายุ(ปี) 18 20 21 22 25 30 รวม
จานวน (f) 6 11 14 12 3 2 48
f x 18 6 108 20 11 220 2114 294 22 12 264 25 3 75 30 2 60 1,021
k
จากสูตร
x
แทนค่า จากตาราง
fi x i i1 6
N
fi x i i 1
ดังนั้น
x
1, 021
,N
48
1021 21.27 48
นั่นคือ อายุเฉลี่ยเท่ากับ 21.27 ปี
46
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 13 ค่าใช้จ่ายต่อวันของนักเรียนชั้น ม.5 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นดังนี้ ค่าใช้จ่าย (บาท) 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 รวม
จานวน (คน) 9 8 12 4 4 4 40
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าใช้จ่ายของนักเรียนห้องนี้ วิธีทา
นาข้อมูลจากโจทย์มาสร้างตาราง ดังนี้ อันตรภาคชั้น จุดกึ่งกลาง ( x i ) 51 - 55 53 56 - 60 58 61 - 65 63 66 - 70 68 71 - 75 73 76 - 80 78 รวม k
จากสูตร แทนค่า
x
ความถี่ ( fi ) 9 8 12 4 4 4 6
fi 40 i1
fxi i
477 464 756 272 292 234 6
fxi i 2, 495 i1
fi x i i1
N 2495 x 62.375 40
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าใช้จ่ายต่อวัน เท่ากับ 62.375 บาท นอกจากนี้ ในการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อข้อมูลมีค่ามากๆ และความกว้างของ อันตรภาคชั้นเท่ากันทุกชั้นสามารถใช้สูตรลดทอนได้ ดังนี้
47
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ข้ อมูลแจกแจงความถี่แล้ ว (สูตรลัด สูตรลดทอน ใช้ ได้ ในกรณีที่ความกว้ างของทุกชันเท่ ้ ากัน) N fidi x A I i 1N f i i 1
เมื่อ
A I
fi
คือ จุดกึ่งกลางของชันที ้ ่มคี วามถี่มากที่สดุ คือ ความกว้ างของอันตรภาคชัน้ คือ ความถี่ของชันที ้ ่i
การหาค่า d ใช้ สตู ร di
xi a I
หรื อ เลือกชันที ้ ่ความถี่สงู สุด ให้ d = 0 อันตรภาคชันที ้ ่มีคะแนนสูงขึ ้นไป d = 1,2,3,... อันตรภาคชันที ้ ่มีคะแนนต่าลงมา d = -1,-2,-3,...
ตัวอย่างที่ 14 พนักงานของบริษัทธนูชัย จากัด มีรายได้ต่อเดือนดังนี้ รายได้ต่อเดือน (บาท) จานวน (คน) 2,001 - 3,000 36 3,001 - 4,000 45 4,001 - 5,000 54 5,001 - 6,000 22 6,001 - 7,000 17 7,001 - 8,000 12 8,001 - 9,000 8 9,001 - 10,000 6 รวม 200 จงหารายได้เฉลี่ยต่อเดือนของพนักงาน วิธีทา จากตารางที่กาหนดให้ นามาหาจุดกึ่งกลางชั้น ได้ดังนี้
48
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
รายได้ต่อเดือน (บาท) 2,001 - 3,000 3,001 - 4,000 4,001 - 5,000 5,001 - 6,000 6,001 - 7,000 7,001 - 8,000 8,001 - 9,000 9,001 - 10,000 รวม
fi
di
fi di
36 45 54 22 17 12 8 6
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-72 -45 0 22 34 36 32 30
8
fi 200
i 1
จะได้ว่า
N fidi x A I i 1N f i i 1
8
fi di 37
i 1
37 4,500.5 1,000 100 4,685.50 ดังนั้น รายได้เฉลี่ยต่อเดือนของพนักงาน เท่ากับ 4,685.50 บาท แทนค่า
49
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 15 ตารางข้างล่างนี้เป็นตารางแสดงค่าจ้างรายเดือนของลูกจ้าง ที่ทางานให้กับร้านค้าแห่งหนึ่ง ดังนี้ ค่าจ้างรายเดือน (บาท) จานวนลูกจ้าง (คน) 2,501 - 3,000 10 3,001 - 4,000 20 4,001 - 4,500 18 4,501 - 6,500 12 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าจ้างรายเดือนของลูกจ้างในร้านค้าแห่งนี้ วิธีทา จากตารางแจกแจงความถี่ที่โจทย์ให้มา ปรากฏว่าความกว้างไมได้เท่ากันทุกชั้น ดังนั้นสามารถคานวณ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้โดยสร้างตารางดังนี้ ค่าจ้างรายเดือน (บาท) 2,501 - 3,000 3,001 - 4,000 4,001 - 4,500 4,501 - 6,500
จานวนลูกจ้าง ( fi ) 10 20 18 12
จุดกึ่งกลางชั้น ( x i ) 2,750.5 3,500.5 4,250.5 5,500.5
4
fi x i 27,505 70,010 76,509 66,006 4
fi 60
fxi i 240,030
i1
i1
k
จากสูตร
x
fi x i
แทนค่า
i1
N
x
240,030 4,000.50 60
ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าจ้างเท่ากับ 4,000.50 บาท
มัธยฐาน (Median) มัธยฐานของข้อมูลชุดใด คือค่าที่อยู่ในตาแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไป หามาก หรือมากหาน้อยก็ได้ (แต่ส่วนใหญ่นิยมเรียงจากน้อยไปหามาก) ดังนั้นในการหาค่ามัธยฐาน ต้องหาตาแหน่งของมัธยฐานที่อยู่ตรงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อเรียง ข้อมูลแล้ว ค่าที่อยู่ตรงตาแหน่งกึ่งกลาง คือค่าของมัธยฐาน แบ่งเป็น 2 กรณี ได้แก่ 1 เมื่อข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ - ถ้า N เป็นจานวนคี่ ข้อมูลตัวที่ N 1 จะอยู่ตรงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นมัธยฐานคือข้อมูลตัวที่ N 1 2
- ถ้า N เป็นจานวนคู่ จะไม่มีข้อมูลที่อยู่ตรงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด แต่ข้อมูลคู่กลาง คือ ข้อมูลตัวที่ ข้อมูลตัวที่ N 1 ในกรณีนี้จะให้ มัธยฐานคือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลตัวที่ 2
N 2
กับ
N 1 2
N 2
50
กับ
2
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 16 ถ้าข้อมูลคือ 12, 10, 8, 14, 9 จงหามัธยฐาน วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อน ดังนี้ 8, 9, 10, 12, 14 N1 5 1 ตาแหน่งกึ่งกลาง คือ 3 2 2 ซึง่ ตาแหน่งที่ 3 ตรงกับข้อมูลคือ 10 ดังนั้น มัธยฐาน คือ 10 ตัวอย่างที่ 17 ถ้าข้อมูลคือ 12, 10, 8, 14 จงหามัธยฐาน วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากก่อน ดังนี้ 8, 10, 12, 14 ตาแหน่งกึ่งกลาง คือ ข้อมูลคู่กลางของตาแหน่งที่ 4 2 กับ 4 1 3 2
2
ตาแหน่งที่ 2 ตรงกับข้อมูลคือ 10 ตาแหน่งที่ 3 ตรงกับข้อมูลคือ 12 แสดงว่า มัธยฐานคือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลตาแหน่งที่ 2 กับตาแหน่งที่ 3 10 12 ดังนั้น มัธยฐาน คือ 11 2 ตัวอย่างที่ 18 จงหามัธยฐานของค่าใช้จ่ายต่อวันของนักเรียนโรงเรียนสดใสวิทยาคม เป็นดังนี้ ค่าใช้จ่าย (บาท) จานวน (คน) 26 4 27 4 28 5 29 4 30 7 31 4 32 3 33 2 34 2 35 2 36 0 37 1 38 1 39 1 รวม 40
51
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 วิธีทา สร้างตารางใหม่เพื่อเพิ่มช่องของความถี่สะสม ค่าใช้จ่าย (บาท) จานวน (คน) ความถี่สะสม 26 4 4 27 4 8 28 5 13 29 4 17 30 7 24 31 4 28 32 3 31 33 2 33 34 2 35 35 2 37 36 0 37 37 1 38 38 1 39 39 1 40 รวม 40 จานวนข้อมูลทั้งหมด 40 จานวนซึ่งเป็นจานวนคู่ N N มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลลาดับที่ 20 และตัวที่ 1 21 2 2 จากตารางพบว่า ข้อมูลที่ตรงกับลาดับที่ 20 และ 21 ทั้งสองตาแหน่งคือ ค่าใช้จ่าย 30 บาท ดังนั้นมัธยฐาน เท่ากับ 30 บาท 2 เมื่อข้อมูลมีการแจกแจงความถี่แล้ว ข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้วเป็นอันตรภาคชั้น มักจะใช้กับข้อมูลที่มีจานวนมาก ในการหามัธย N N N1 ฐาน จึงกาหนดให้ มัธยฐานอยู่ในตาแหน่งที่ ทั้งนี้เพราะเมื่อ N มีค่ามาก ค่าของ และ จะมีค่า 2 2 2 N ใกล้เคียงกัน (ในทางสถิติถือว่าแตกต่างอย่างไม่มีนัยสาคัญ) และถ้า ตรงกับค่าความถี่สะสมของอันตรภาค 2 ชั้นใด มัธยฐานคือ ขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น
52
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ขั้นตอนการหามัธยฐาน ทาได้ดังนี้ 1. หาตาแหน่งของมัธยฐาน
N 2
N fL 2. หามัธยฐานโดยใช้สูตร M ed L I 2 f me
เมื่อ L คือ ขอบล่างของชั้นที่มมี ธั ยฐานอยู่ I คือ ความกว้ างของอันตรภาคชั้น f L คือ ความถี่สะสมของชั้นที่ต่ากว่าชั้นมัธยฐานและติดกัน f me คือ ความถี่ของชั้นมัธยฐาน
ตัวอย่างที่ 19 จงหามัธยฐานของความสูงของนักเรียน จากตารางแจกแจงความถี่ข้างล่างนี้
วิธีทา
ความสูง (เซนติเมตร) 118 - 126 127 - 135 136 - 144 145 - 153 154 - 162 163 - 171 172 - 180 รวม สร้างตารางใหม่ เป็นดังนี้ ความสูง (เซนติเมตร) 118 - 126 127 - 135 136 - 144 145 - 153 154 - 162 163 - 171 172 - 180 รวม
จานวน 3 5 9 12 5 4 2 40 จานวน 3 5 9 12 fme 5 4 2 40
ความถี่สะสม 3 8 17 29 34 38 40
53
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 จากสูตรมัธยฐาน
N fL M ed L I 2 f me
L 144.5 N 40 20 2 2 fL 17 f me 12
จากตารางจะได้
153.5 144.5 9 20 17 มัธยฐาน 144.5 9 12 144.5 2.25 146.75 I
ดังนั้น
นั่นคือ มัธยฐาน เท่ากับ 146.75 เซนติเมตร ตัวอย่างที่ 20 กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน ดังนี้ คะแนน 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99 100 - 109 110 - 119 120 - 129 130 - 139 140 - 149 รวม
จานวน (คน) 4 10 18 24 14 10 9 7 4 100
จงหามัธยฐาน
54
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 วิธีทา คะแนน 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99 100 - 109 110 - 119 120 - 129 130 - 139 140 - 149 รวม จากตารางจะได้
ความถี่ 4 10 18
24 fme 14 10 9 7 4 100
ความถี่สะสม 4 14
32 fL 56 * 70 80 89 96 100
L 89.5 N 100 50 2 2 fL 32
f me 24 I 10 ดังนั้น
50 32 24 89.5 7.5 97
มัธยฐาน 89.5 10
นั่นคือ มัธยฐาน เท่ากับ 97 คะแนน
55
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 21
จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหามัธยฐานของอายุการใช้งานของหลอดไฟ อายุการใช้งาน(ชั่วโมง) ความถี่ 100 - 104 10 105 - 109 24 110 - 114 112 115 - 119 86 120 - 124 18 125 - 129 220 130 - 134 18 135 - 139 12 รวม 500
ยี่ห้อหนึ่ง
วิธีทา อายุการใช้งาน(ชั่วโมง) 100 - 104 105 - 109 110 - 114 115 - 119
ความถี่ 10 24 112 86
120 - 124 125 - 129 130 - 134 135 - 139 รวม
18 fme
จากตารางจะได้
232 fL 250* 470 488 500
L 119.5 N 2 fL f me I
ดังนั้น
220 18 12 500
ความถี่สะสม 10 34 146
500 250 2 232 18 5
250 232 18
มัธยฐาน 119.5 5
119.5 5 124.5 นั่นคือ มัธยฐาน เท่ากับ 124.5 ชั่วโมง
56
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ข้อสังเกต
124.5 คือ ขอบบนของอันตรภาคชั้น 120 - 124 2. ถ้าตาแหน่งของมัธยฐานตรงกับความถี่สะสมของชั้นใด แสดงว่า ขอบบนของ อันตร ภาคชั้นนั้น คือค่ามัธยฐานของข้อมูล
ฐานนิยม (Mode) ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด การหาฐานนิยม แบ่งเป็น 2 กรณี คือ 1 เมื่อข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ ตัวอย่างที่ 22 ร้านสามัคคี จากัด ขายรองเท้าในชั่วโมงหนึ่งมีขนาดต่างๆ ดังนี้ 40, 38, 40, 42, 44, 42, 42, 38, 42 จงหาฐานนิยม วิธีทา เนื่องจากขนาดรองเท้า 42 ปรากฏบ่อยที่สุด ดังนั้น ฐานนิยม คือ 42 ตัวอย่างที่ 23 ข้อมูลซึ่งประกอบด้วย 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 จงหาฐานนิยม วิธีทา ไม่มีฐานนิยม เนื่องจากข้อมูลทุกตัวมีความถี่เท่ากันทั้งหมด ตัวอย่างที่ 24 ข้อมูลซึ่งประกอบด้วย 5, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9 จงหาฐานนิยม วิธีทา ฐานนิยม คือ 6 และ 9 เนื่องจากมีความถี่เท่ากัน ตัวอย่างที่ 25 นักเรียนทั้งหมด 50 คน สอบย่อยครั้งหนึ่งได้คะแนนดังนี้ คะแนน ความถี่ 10 6 8 8 7 20 6 7 5 3 2 6 รวม 50 จงหาฐานนิยม วิธีทา เนื่องจากคะแนน 7 คะแนนมีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมคือ 7 คะแนน
57
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 26 จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ จากการสอบถามคนกลุ่มหนึ่งเกี่ยวกับการ ชอบรับประทานผลไม้ ดังนี้ ผลไม้ จานวน เงาะ 10 ส้ม 14 มังคุด 7 ทุเรียน 6 ลิ้นจี่ 3 น้อยหน่า 4 สับปะรด 8 แตงโม 5 ฝรั่ง 3 วิธีทา ผลไม้ที่คนกลุ่มนี้ชอบรับประทานมากที่สุด คือ ส้ม ดังนั้นฐานนิยมคือ ส้ม 2 เมื่อข้อมูลแจกแจงความถี่แล้ว สาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น ซึ่งแต่ละชั้นมีความกว้างเท่ากันทุกชั้น จะเรียกอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดว่า ชั้นฐานนิยม การคานวณหาค่าฐานนิยม สามารถทาได้ ดงั นี ้ 1. พิจารณาชันที ้ ่มีความถี่สงู สุด 2.ใช้ สตู ร เมื่อ
d1 Mode L I d d 2 1
คือ ขอบล่างของชันที ้ ่มีฐานนิยมอยู่ I คือ ความกว้ างของอันตรภาคชัน้ ้ ยมกับความถี่ของอันตรภาคชันที ้ ่คะแนนต่ากว่าและ d 1 คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของชันฐานนิ ติดกัน d 2 คือ ผลต่างระหว่างความถี่ของชันฐานนิ ้ ยมกับความถี่ของอันตรภาคชันที ้ ่คะแนนสูงกว่าและ ติดกัน L
58
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 27 ค่าจ้างรายวันของลูกจ้างของบริษัท ไพรศิริ จากัด เป็นดังนี้ ค่าจ้าง (บาท) 120 - 129 130 - 139 140 - 149 150 - 159 160 - 169 170 - 179 180 - 189
จานวน (คน) 7 10 16 14 12 3 3
จงหาฐานนิยม วิธีทา จากตารางแจกแจงความถี่ จะได้ว่า ชั้นฐานนิยมคือ อันตรภาคชั้น 140 -149 จากสูตร ฐานนิยม
d1 Mode L I d1 d 2
จะได้ว่า L 139.5
d1 16 10 6 d2 16 14 2 I 10 6 139.5 10 62 139.5 7.5 147
แทนค่า
ฐานนิยม
ดังนั้น
ฐานนิยมเท่ากับ 147 บาท
ตัวอย่างที่ 28 จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ คะแนน 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99
ความถี่สะสม 4 9 17 25 32 59
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 วิธีทา
จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ นามาหาความถี่ได้ดังนี้ คะแนน ความถี่สะสม 50 - 59 4 60 - 69 9 70 - 79 17 80 - 89 25 90 - 99 32 ชั้นฐานนิยม คือ อันตรภาคชั้น 70 -79 หรือ 80 – 89 ก็ได้ จากสูตร ฐานนิยม
ความถี่ 4 5 8 8 7
d1 Mode L I d1 d 2
จากตารางจะได้ว่า L 69.5
d1 8 5 3 d2 8 8 0 I แทนค่า
ฐานนิยม
10 3 69.5 10 30 69.5 10
79.5 ดังนั้น ฐานนิยมเท่ากับ 79.5 คะแนน
ข้อสังเกตเกี่ยวกับค่าเฉลีย่ เลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม 1. ในการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้ข้อมูลทุกๆค่า แต่มัธยฐานและฐานนิยม ใช้ตาแหน่งของข้อมูลบางค่าเท่านั้น 2. ถ้ามีข้อมูลบางค่ามีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลอื่นมากๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็นค่ากลางที่ไม่เหมาะจะเป็นตัวแทนของข้อมูล 3. ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูลเป็นแบบอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งอาจเป็นชั้นต่าสุดหรือสูงสุด จะไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลข คณิต แต่อาจสามารถหามัธยฐานและฐานนิยม 4. ในกรณีที่ข้อมูลเป็นแบบเชิงคุณภาพ จะหาได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานจะหาไม่ได้ 5. ฐานนิยมของข้อมูลบางชุดอาจมีมากกว่า 1 ค่า และบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม
60
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 สมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่ากลาง 1. ถ้า
x
เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
x1 , x 2 ,..., x N N
x i x 0
จะได้ว่า
i 1
N
2. x i k 2 จะน้อยสุด เมื่อ
kx
i 1
3. ถ้าค่าสังเกตแต่ละค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยจานวนที่คงที่ ค่ากลางจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่ากับจานวน ที่คงที่นั้นๆ ค่ากลางใหม่ = ค่ากลางเดิม ค่าคงที่นั้นๆ 4. ถ้าค่าสังเกตแต่ละค่าคูณหรือหารด้วยค่าคงที่ใดๆ ค่ากลางตัวใหม่จะคูณหรือหารด้วยค่าคงที่นั้นๆ ค่ากลางใหม่ = ค่ากลางเดิม ค่าคงที่นั้นๆ N
5. x i k จะน้อยสุด เมื่อ
k Med
i 1
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean) ถ้า x 1, x 2 ,...,x N เป็นค่าสังเกตของข้อมูลชุดหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean) ใช้ตัวย่อว่า G.M โดยที่
GM .
N
x1x 2 ...x N
เมื่อ N คือ จานวนข้ อมูลทังหมด ้ ตัวอย่างที่ 29 จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูล 3, 5, 6, 6, 7, 10 และ 12 วิธีทา จากสูตร ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต GM . N x1x 2 ...x N แทนค่าจะได้ว่า
GM .
3 5 6 6 7 10 12 7 453,600 7
6.43 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเท่ากับ 6.43 ข้อสังเกต 1. ข้อมูลที่อยู่ในรูปเศษส่วนหรือ ทศนิยมจะนิยมใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต 2. ข้อมูลที่มีบางค่าสูงหรือต่าเกินไปใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะเหมาะสมกว่าใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3. ข้อมูลที่น้อยกว่า 0 ใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตไม่ได้ 61
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic Mean) ถ้า x 1, x 2 ,...,x N เป็นค่าสังเกตของข้อมูลชุดหนึ่ง ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic Mean) ใช้ตัวย่อ H.M โดยที่ ถ้าข้อมูลยังไม่ได้แจกแจงความถี่
N N 1 i1 x i เมื่อ N คือ จานวนข้อมูลทั้งหมด x i คือ ข้อมูลตัวที่ i HM .
ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงความถี่แล้ว
N k f i i1 x i เมื่อ f i คือ ความถี่ของชั้นที่ i , x i คือ จุดกึ่งกลางชั้นที่ i , k คือ จานวนอันตรภาคชั้น HM .
ตัวอย่างที่ 30 ถ้ารถคันหนึ่งวิ่งจากเมืองหนึ่งไปยังอีกเมืองหนึ่ง โดยครึ่งทางแรกด้วยความเร็วเฉลี่ย 20 กิโลเมตร ต่อชั่วโมง และวิ่งด้วยความเร็วเฉลี่ย 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในครึ่งทางหลัง จงหาความเร็วเฉลี่ยตลอดเส้นทาง ด้วยค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก วิธีทา
จากสูตร
แทนค่า
N N 1 i1 x i 2 HM . 1 1 20 30
HM .
=
24 ดังนั้น ความเร็วเฉลี่ยเท่ากับ 24 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตัวอย่างที่ 31 นายสายชลขับรถชั่วโมงแรกด้วยความเร็วเฉลี่ย 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และชั่วโมงที่ด้วยความเร็ว เฉลี่ย 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ต้องการหาว่าตลอดสองชั่วโมงนี้นายสายชลขับรถด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร วิธีทา ความเร็วเฉลี่ย
60 90 75 กิโลเมตรต่อชั่วโมง 2
62
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid - range) ค่ากลางค่านี้เป็นค่ากลางที่นิยมใช้น้อยที่สุด เพราะใช้ค่าสังเกตที่มีค่ามากสุด น้อยสุดเท่านั้น ไม่ได้ คานึงค่าสังเกตอื่นๆเลย ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid - range) คือ ค่าเฉลี่ยของค่าสังเกตที่มีค่าสูงสุดกับค่าสังเกตที่มีค่าต่าสุดให้ x max และ x min แทนค่าสังเกตสูงสุด และค่าสังเกตต่าสุดตามลาดับ จะได้ว่า (Mid - range)
x max x min 2
ตัวอย่างที่ 32 จงหาค่ากึ่งกลางพิสัยของข้อมูล 14, 23, 16, 5, 18 x max x min วิธีทา ค่ากึ่งกลางพิสัย 2 23 5 แทนค่า
24
2
ค่ากึ่งกลางพิสัย 24 ตัวอย่างที่ 33 จากข้อมูลในตารางข้างล่างนี้ จงหาค่ากึ่งกลางพิสัย อายุ (ปี) 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 - 19 วิธีทา
ค่าสูงสุด x max ค่าต่าสุด x min ค่ากึ่งกลางพิสัย แทนค่า
จานวน (คน) 13 22 15 14 6
= 19.5 = 4.5
x max x min
2 19.5 4.5 12
2
ดังนั้น ค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ 12 63
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
สมบัตเิ พิ่มเติมเกี่ยวกับค่ ากลาง 1. ถ้ า x เป็ นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
x1 , x 2 ,..., x N
N
x i x 0
จะได้ วา่
i 1
N
2. x i k 2 จะน้ อยสุด เมื่อ
kx
i 1
3. ถ้ าค่าสังเกตแต่ละค่าเพิ่มขึ ้นหรื อลดลงด้ วยจานวนที่คงที่ ค่ากลางจะเพิ่มขึ ้นหรื อลดลงเท่ากับ จานวนที่คงที่นนๆ ั ้ ค่ากลางใหม่ = ค่ากลางเดิม ค่าคงที่นนๆ ั้ 4. ถ้ าค่าสังเกตแต่ละค่าคูณหรื อหารด้ วยค่าคงที่ใดๆ ค่ากลางตัวใหม่จะคูณหรื อหารด้ วยค่าคงที่ นันๆ ้ ค่ากลางใหม่ = ค่ากลางเดิม ค่าคงที่นนๆ ั้ N
5. x i k จะน้ อยสุด เมื่อ
k Med
i 1
แบบฝึกหัด 1. กาหนด X1 = 1, X2 = 3, X 3 = 5, X 4 = 7, X5 = 9, Y1 = 2, Y2 = 4, Y3 = 6, Y4 = 8 Y5 = 10
จงหาค่าของ
5
1.
å
5
3.
(X i + 5)
i= 1 5
2.
å
3. กาหนด 4. กาหนด 5. กาหนด
å
5
2
5.
(X i - 2)
i= 1 5
4.
(2X i - 3)
i= 1
2. กาหนด
และ
å
å
(X i + 1)(X i + 2)
i= 1
(Yi X i + 1)
i= 1 5
å
5
x i = 15
i= 1 4
å
i= 1
จงหา å
i= 1
x i = 10 ,
å
i= 1
y i = 20
และ å
และ å
i= 1 4
x 2i = 30
5
x i y i = 60
จงหาค่าของ å
i= 1
5
x i = 15
2
(x i - 5)
4
i= 1
i= 1 4
å
5
x 12 = 55
4
i= 1 5
å
และ å
และ å
i= 1
2
(x i - 5) = 30 2
(x i + 2) = 86
(x i + 5)(y i + 3)
i= 1
5
จงหาค่าของ å
x 2i
i= 1 5
จงหาค่าของ å
xi
i= 1
64
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 3 1. จงหาค่าของต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ x1 x 2 x 3 x 4 และ และ f1 f 2 f 3 f 4 และ f 5 มีค่าเท่ากับ 2 3 4 5 และ 6
x5
มีค่าเท่ากับ 1 2 3 4และ 5 ตามลาดับ
5
1. x i i 1
5
2. f i i 1
4
3. (f i x i ) i 1
5
4. x i 8 i 1
3
5. (2x i f i ) i 1
10
2. กาหนด x i
10
i 1
10
x i 2 40 จงหาค่า i 1
3
1. (3x i 2 4x i 8) i 1
10
2. (x i 2)
2
i 1
3. ข้อมูลต่อไปนี้ เป็นคะแนนสอบของนักเรียนชั้นป. 4 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง 18 20 19 22 20 18 19 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 65
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 4. กาหนดข้อมูลต่อไปนี้ 7 8 6 8 9 9 10 6 11 12 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 5. กาหนดข้อมูลซึ่งเป็นคะแนนสอบย่อยของนักเรียนในภาคเรียนหนึ่ง ของวิชาต่างๆ มีดังนี้ วิชา ชั่วโมงเรียน คะแนนสอบ
ภาษาไทย 4 3
ภาษอังกฤษ 5 2
คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ 6 6 3 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 6. ในการสารวจค่า
I.Q
ของนักเรียนในโรงเรียนแห่งเป็นดังนี้
I.Q (%)
จานวนนักเรียน
60-62 1
63-65 4
66-68 10
69-71 3
72-74 2
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 7. คะแนน ความถี่ 30-26 8 25-21 10 20-16 15 f 15-11 10-6 6 จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนด ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 18.3 แล้ว f มีค่าเท่าไร
8. ปัจจุบันครอบครัวหนึ่งพ่อมีอายุ 45 ปี แม่มีอายุ 40 ปี ส่วนลูก 3 คนมีอายุ 18 ปี 14 ปี และ 12 ปี จงหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 9. ดาบันทึกการชั่งน้าหนักของเขา 8 ครั้ง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เป็น 53 กิโลกรัม โดยบันทึกน้าหนักทั้ง 7 ครั้ง ได้ดังนี้ 57 55 45 60 55 45 62 ส่วนน้าหนักครั้งที่ 8 หายไป จงหาน้าหนักครั้งที่ 8 66
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 10. ข้อมูล 4 ตัวเรียงจากน้อยไปหามากดังนี้ x1 x 2 เลขคณิตเท่ากับ 20 จงหา (x 3 x 4 ) (x1 x 2 )
x3 x4
มีฐานนิยมเท่ากับ 18 มัธยฐานเท่ากับ 19 ค่าเฉลี่ย
11. นายบวรได้ระดับคะแนนในวิชาคณิตศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ และสังคมศึกษาเป็น B B A และ C ตามลาดับ ถ้าหน่วยกิตของรายวิชาเหล่านี้เท่ากับ 3, 2, 3 และ 1 ตามลาดับ จงหาระดับคะแนนเฉลี่ยของนาย บวรทั้ง 4 วิชา ถ้าให้ระดับคะแนน A เท่ากับ 4 ส่วน ระดับคะแนน B เท่ากับ 3 ส่วน และระดับคะแนน C เท่ากับ 2 ส่วน 12. ค่าแรงขั้นต่าแบ่งออกเป็น 4 อัตรา กล่าวคือ ในเขตกรุงเทพฯ รอบปริมณฑล และภูเก็ตวันละ 180 บาท เขต ระนอง และพังงาวันละ 165 บาท สระบุรี ชลบุรี และนครราชสีมา วันละ 145 บาท ส่วนจังหวัดที่เหลืออีกวันละ 135 บาท ถ้าบริษัทผ้าไทยตั้งอยู่ในเขตกรุงเทพฯ พังงา ชลบุรี และจันทบุรี โดยที่มีคนงาน 480, 120, 200 และ 100 คนตามลาดับแล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าแรงของคนงานเท่ากับเท่าไร
67
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
การแจกแจงปกติ(Normal Distribution) ค่ามาตรฐาน (Standard Score) ในการเปรียบเทียบข้อมูลที่มีที่มาต่างกันนั้น มีความจาเป้นอย่างยิ่งที่จะต้องปรับข้อมูลให้อยู่ใน มาตรฐานเดียวกันเสียก่อน เพราะไม่เช่นนั้น จะไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ การปรับข้อมูลให้อยู่ในมาตรฐาน เดียวกันนั้น ทาได้โดยอาศัยค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าที่ปรับแล้วจะเรียกว่า ค่ามาตรฐาน (Standard Score) ค่ามาตรฐานที่นิยมใช้ คือ ค่าซึ่งเมื่อเปลี่ยนค่าในข้อมูลเดิมทุกตัวเป็นค่ามาตรฐานแล้ว ข้อมูลใหม่ (ซึ่งประกอบด้วยค่ามาตรฐาน) จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 สมมติให้ ข้อมูลเดิม คือ x1, x 2 , x 3 , ...,x n โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ x และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเท่ากับ s ถ้าเปลี่ยนค่าทุกค่าในข้อมูลนี้เป็นค่าใหม่ z i โดยที่
สูตร
zi
xi x , i 1, 2, 3,..., N s
หรือ x i x zis เมื่อ x i คือ ข้อมูลตัวที่ i และ z i คือ ค่ามาตรฐานของข้อมูลตัวที่ i ข้อสังเกต 1. ค่า Z ไม่มีหน่วย 2. ค่า Z ของข้ อมูลที่มีคา่ มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะมีเครื่ องหมายบวก ถ้ าน้ อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีเครื่ องหมายลบ ถ้ าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต พอดีจะเท่ากับ 0
68
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่ามาตรฐานของค่าทุกค่าของข้อมูล ดังนี้ 1, 2, 3, 4, 5 N
วิธีทา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x
xi i1
N
1 2 3 4 5 3 5
N
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S
xi x i1
N
จากสูตร ค่ามาตรฐาน จะได้ค่ามาตรฐาน ดังนี้
zi
2
4 1 0 1 4 5
2 1.41
xi x , i 1, 2, 3,..., N s
x 1 2 3 4 5
z
1 3 1.42 1.41 23 0.71 1.41 33 0 1.41 43 0.71 1.41 53 1.42 1.41
69
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 2 กล้าและเก่งเป็นพนักงานขายของของบริษัทแห่งหนึ่ง แต่อยู่คนละแผนก กล้าอยู่ในแผนก เครื่องใช้ไฟฟ้า และเก่งอยู่ในแผนกอุปกรณ์กีฬา ทั้ง 2 แผนกเมื่อคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของราคาขายของพนักงานเป็นดังนี้ แผนกเครื่องใช้ไฟฟ้า แผนกอุปกรณ์กีฬา x
13,000
5,000
2,000 500 ถ้าในวันนั้นกล้าขายสินค้าได้ 15,000 บาท และเก่งขายสิค้าได้ 6,250 บาท จงเปรียบเทียบ ความสามารถในการขายสินค้าของทั้ง 2 คน วิธีทา แผนกเครื่องใช้ไฟฟ้า x = 13,000 , S.D = 2,000 15,000 13,000 ดังนั้น ค่ามาตรฐานของ 15,000 = 1 2,000 แผนกอุปกรณ์กีฬา x = 5,000 , S.D = 500 6,250 5,000 ดังนั้น ค่ามาตรฐานของ 6,250 = 2.5 500 สรุปว่าเก่งมีความสามารถในการขายมากกว่ากล้า ทั้งๆที่ กล้าขายได้มากกว่า S.D
ตัวอย่างที่ 3 ข้อมูลชุดหนึ่งมี x 60 และ s 5 1. จงหาค่าที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับ 2 2. จงหาค่าที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับ 0 3. จงหาค่าที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับ -3 วิธีทา กาหนดให้ x 60 และ s 5 1. z 2 x sz x ดังนั้น 5(2) 60 70 2. z 0 x sz x ดังนั้น 5(0) 60 60
สมบัตขิ องค่ ามาตรฐาน N
1. z i 0 i 1
2.
z 0, s z 0
3. z 3 x sz x ดังนั้น 5(3) 60 45
70
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 4 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุของนักเรียน 30 คน เท่ากับ 12.3 ปี และ 1.2 ปี ตามลาดับ เมื่อหาผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุนักเรียนเพียง 29 คน ปรากฏว่าเท่ากับ 0.25 จง หาอายุของคนที่ 30 วิธีทา กาหนดให้ x 12.3 ปี และ s 1.2 จากคุณสมบัติของค่ามาตรฐานที่กล่าวว่า ผลรวมของค่ามาตรฐานทั้งหมดจะ เท่ากับ 0 เสมอ ดังนั้น ผลรวมของค่ามาตรฐานของคน 29 คน + ค่ามาตรฐานของคนที่ 30 = 0 นั่นคือ 0.25 + ค่ามาตรฐานของคนที่ 30 = 0 ดังนั้น ค่ามาตรฐานของคนที่ 30 = -0.25 x sz x จากสูตร จะได้ว่า อายุของนักเรียนคนที่ 30 = (1.2)(-.025) + 12.3 = (-0.3) + 12.3 = 12 ปี
การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ (Normal Distribution and Normal curve) ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่ (ลักษณะของการแจกแจง) มี 3 แบบ 1. เส้นโค้งปกติ (Normal curve) หรือโค้งรูประฆังคว่า เป็นโค้งของข้อมูลที่พบบ่อยที่สุดในข้อมูลในธรรมชาติ 2. โค้งเบ้ซ้าย (Negatively Skewed Curve) 3. โค้งเบ้ขวา (Positively Skewed Curve) โค้งแต่ละแบบจะบอกความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ดังนี้
ค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะบอกความสูงต่าของเส้นโค้ง ในหัวขัอนี้ จะศึกษาเกี่ยวกับข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นลักษณะพิเศษ นั่นคือมี การแจกแจงแบบ ปกติ (Normal Distribution) ในทางปฏิบัตินั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างตารางหลายตารางเพื่อใช้แทนข้อมูลที่มี ค่ากลางและค่าการกระจายต่างๆ กัน ดังนั้นจึงต้องใช้วิธีเปลี่ยนค่า x ให้เป็นค่ามาตรฐาน z ก่อน (ค่าเฉลี่ยจะเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลชุดใด)
71
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 เรียกโค้งปกติที่ปรับค่าข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานแล้วนี้ว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน(Standard Normal curve) ซึ่งเป็นรูปโค้งระฆังคว่า
สมบัตขิ องเส้ นโค้ งปกติ มีดังนี ้ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของข้ อมูล จะมีคา่ เท่ากัน และอยู่ ณ จุดที่แกนตัง้ ตัดกับแกนนอน 2. เส้ นโค้ งปกติ จะสมมาตรกันโดยมีแกนแนวตังเป็ ้ นแกนสมมาตร พื ้นที่ทางด้ านซ้ ายและขวา จะเท่ากันด้ านละ 0.5 โดยทางซ้ ายจะมีคา่ ลบ ทางขวาจะมีค่าบวก 3. เส้ นโค้ งปกติจะลดลงเรื่ อยๆ ทัง้ 2 ข้ างของแกนแนวตัง้ และจะเข้ าใกล้ แกนแนวนอนเข้ าไป ทุกขณะ แต่จะไม่ตดั กับแกนนอน 4. พื ้นที่ใต้ เส้ นโค้ งปกติเท่ากับ 1 เสมอ 5. ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพื ้นที่ที่วดั ระหว่าง z = 0 ไปถึง z ใดๆ โดยมีเพียงค่า z เป็ นบวก เท่านัน้ (ซีกขวาของโค้ ง)เราสามารถหาพื ้นที่ซีกซ้ ายได้ โดยอาศัยความสมมาตรของรูปกราฟ
1. ลักษณะของเส้นโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน
72
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 2. ลักษณะของเส้นโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน
3. ลักษณะของเส้นโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ถ้ากาหนดเส้นโค้งปกติของข้อมูลชุดหนึ่ง จากสมบัติของเส้นโค้งปกติ จะได้ว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้ง เท่ากับ 1 ในทางสถิติการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกตินี้สามารถทาได้โดย หาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ย เลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน และสามารถหาพื้นที่ ได้จากตารางพื้นที่ ดังนั้น ถ้ากาหนดข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติ และต้องการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง x x1 และ x x 2 จะมีวิธีการหาดังนี้ 1. เปลี่ยนค่า x 1 และ x 2 ให้เป็นค่ามาตรฐาน z1 และ z 2 ก่อน โดย ใช้สูตร
zi
xi x , i 1, 2, 3,..., N s
2. นาค่า z1 และ z 2 ที่ได้ไปหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน จากตารางพื้นที่ พื ้นที่ใต้ เส้ นโค้ งปกติมาตรฐานระหว่าง x 1 และ x 2 คือ พื ้นที่ใต้ เส้ นโค้ งปกติมาตรฐานระหว่าง z1 และ z 2
73
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
74
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
ตัวอย่างที่ 1 จากเส้นโค้งปกติมาตรฐานที่กาหนดให้ จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z 0 ถึง z 1.29 ได้จากการเปิดตารางที่ค่า z 1.29 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.4015
75
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z 0 ถึง z 1.29 ได้จากการเปิดตารางที่ค่า z 1.29 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.4015
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z 1.5 ถึง z 2.50 ได้จากการเปิดตารางที่ค่า z 1.5 รวมกับ z 2.50 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.4332 + 0.4938 = 0.927
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z 1.7 ถึง z 2.2 ได้จากการเปิดตารางที่ค่า z 2.2 ลบด้วย z 1.7 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.4861 – 0.4554 = 0.0307
76
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z 1.5 ถึง z 1.2 ได้จากการเปิดตารางที่ค่า z 1.5 ลบด้วย z 1.2 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.4332 – 0.3849 = 0.0483
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่น้อยกว่า z = -1.2 ได้จากการนา 0.5 ลบด้วยค่าจากการเปิดตารางที่ค่า z 1.2 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.5 – 0.3849 = 0.1151
วิธีทา
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่มากกว่า z = 2.59 ได้จากการนา 0.5 ลบด้วยค่าจากการเปิดตารางที่ค่า z 2.59 นั่นคือ ส่วนที่แรเงามีพื้นที่เท่ากับ 0.5 – 0.4952 = 0.0048 77
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 ตัวอย่างที่ 2 กาหนดข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติและมี x 60 และ s 5 จงหา P30 วิธีทา สมมติให้ P30 x และ z เป็นค่ามาตรฐานของ x ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ z เท่ากับ 0.3000 แสดงว่า z<0 พื้นที่ระหว่าง 0 และ z = 0.5 – 0.3000 = 0.2000 จากตารางจะได้ว่า z = -0.52 ดังนั้น x sz x 5(0.52) 60 2.6 60 57.4 ตัวอย่างที่ 3 กาหนดข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติและมี x 25 และ s 5 จงหาว่า x 32 อยู่ใน ตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร วิธีทา
เปลี่ยนค่า x เป็นค่ามาตรฐาน z โดย zi x i x , i 1, 2, 3,..., N s 32 25 แทนค่าจะได้ z 1.4 5 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ทางซ้ายของ z = 1.4 เท่ากับ 0.5 + พื้นที่ระหว่าง 0 กับ 1.4 นั่นคือ 0.5 + 0.4192 = 0.9191 = 91.92% ของข้อมูลทั้งหมด แสดงว่า x 32 อยู่ในตาแหน่ง P91.92
ตัวอย่างที่ 4 บริษัทจาหน่ายรถยี่ห้อหนึ่ง สารวจอายุการใช้งานของเครื่องยนต์ก่อนที่จะชารุด พบว่า อายุการใช้ งานมีการแจกแจงแบบปกติ และมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 4 ปี และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1.2 ปี จงหาว่า ถ้า บริษัทต้องการกาหนดระยะเวลาประกันเครื่องยนต์ โดยต้องการให้มีรถยนต์เครื่องที่ชารุดในระยะเวลาประกัน ไม่เกิน 6% บริษัทจะกาหนดระยะเวลาประกันกี่ปี วิธีทา กาหนดให้ x 4 ปี
s 1.2 ปี และ x กาหนดเวลาประกันเครื่องยนต์ ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ทางซ้ายมือของ x = 6% = 0.0600 ให้ z = ค่ามาตรฐานของ x ดังนั้น พื้นที่ทางซ้ายมือของ z = 0.0600 หรือ พื้นที่ระหว่าง 0 และ z = 0.4400 จากตาราง จะได้ z = -1.56 ดังนั้น x = sz = x = (1.2)(-1.56)+4 = 2.13 ดังนั้น บริษัทควรกาหนดระยะเวลาประกันเครื่องยนต์ 2 ปี
78
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2
แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน จากตารางต่อไปนี้แสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ระหว่าง z = 0 ถึง z = z z A z A z A 0.00 0.0000 0.72 0.2642 1.20 0.3849 0.44 0.1700 0.84 0.3000 1.25 0.3944 0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.29 0.4000 0.67 0.2500 1.12 0.3686 1.50 0.4330 0.71 0.2612 1.19 0.3830 1.56 0.4400
z 1.96 2.00 2.03 2.50 3.00
A 0.4750 0.4773 0.4788 0.4938 0.4987
1. จงหาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ในช่วงค่า z ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1.1 z = 0 ถึง 1.12 1.2 z = 2 ถึง 3 1.3 z = 0 ถึง -2.03 1.4 z < -1.19 1.5 z = -1.19 ถึง 2 2. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานต่อไปนี้ 2.1 อยู่ทางซ้ายของ z = -2.33 หรืออยู่ทางขวาของ z = 2.33 2.2 อยู่ทางซ้ายของ z = -0.47 หรืออยู่ทางขวาของ z = 0.23 2.3 อยู่ทางซ้ายของ z = -1.50 หรืออยู่ทางขวาของ z = 2.50 2.4 อยู่ทางซ้ายของ z = 1.85 หรืออยู่ทางขวาของ z = 2.30 3.กาหนดข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่ x 10 และ 3.1 จงหา P40 3.2 จงหา P25 3.3 จงหาว่า x 15 อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าใด 3.4 จงหาว่า x 6 อยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าใด
s2
4. จากการวัดระดับสติปัญญา (I.Q)ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ระดับสติปัญญาเท่ากับ 100 และ 10 ตามลาดับ ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติแล้ว จงหาว่า 4.1 นักเรียนที่มีสติปัญญาอยู่ที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 60 จะมีระดับสติปัญญาเท่าใด 4.2 นักเรียนที่มีระดับสติปัญญา 110 จะอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
79
เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5 ประจาภาคเรียนที่ 2 5. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวน เทากับ 60 และ 25 ตามลาดับ และผูสอบผานตองไดคะแนนไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตินาย ก, นาย ข,และนาย ค ทราบวา ตนเองไดคะแนนอยู่ในตาแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 10, 15, และ 33 ตามลาดับ กาหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติ ตั้งแตคามาตรฐาน 0 ถึง z ดังนี้ z 0.35 0.40 0.44 1.20 A 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849 จงหาว่า นาย ค. สอบได้กี่คะแนน
80
