Γεωμετρία Β Γυμνασίου Εκπαιδευτήρια Καίσαρη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄γυμνασίου

Γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΑ ο ο ο 1 ,2 ,3 Περιέχει :

Θεωρία – Εφαρμογές Ασκήσεις – Επαναληπτικές ασκήσεις Ερωτήσεις Θεωρίας

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ Σχολικό έτος: 2011-12

Αντί προλόγου Το βιβλιοτεράδιο των Μαθηματικών απευθύνεται στους μαθητές των «Εκπαιδευτηρίων Καίσαρη» και χρησιμοποιείται αποκλειστικά μέσα στην σχολική αίθουσα. Σκοποί της συγγραφής του είναι: Να παρουσιάσει στους μαθητές την θεωρία κάθε μαθήματος χωρίς να χάνουν χρόνο αντιγράφωντας από τον πίνακα σε κάθε παράδοση. Να λύσουν στην τάξη αρκετές εφαρμογές ώστε να κατανοήσουν την έννοια(ες) του κάθε μαθήματος. Να έχουν υποδείγματα ασκήσεων που θα τους διευκολύνουν στην καθημερινή τους μελέτη και στις εργασίες τους στο σπίτι. Να βρούν πιο οργανωμένη την θεωρία για να την διαβάσουν καθώς και να κατανοήσουν τον τρόπο που θα ερωτηθούν στην τάξη ή στις προαγωγικές εξετάσεις. Για το σκοπό αυτό στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτήσεις θεωρίας. Οι μαθητές πρέπει: Να το φέρνουν όποτε έχουν μαθηματικά. Να μην σημειώνουν από το σπίτι τις ασκήσεις επόμενων μαθημάτων που δεν έχουν διδαχθεί. Να σημειώνουν τις απορίες τους (βάζοντας ένα ερωτηματικό και αφήνωντας χώρο για την εξήγηση ή ένα παράδειγμα). Για την δική σας διευκόλυνση κρατάτε συγκεντρωμένα όλα τα βιβλιοτετράδια για να έχετε την ύλη, ώστε εύκολα να κάνετε την γενική επανάληψη στο τέλος του έτους.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ KEΦΑΛΑΙΟ 1ο

Περιεχόμενα Β.1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας ..........................................................................Σελ:4 Β.1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών..........................................................................Σελ:6 Β.1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων ............................................................................Σελ:7 Β.1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα ........................................................................................Σελ:12 Επανάληψη ................................................................................................................Σελ:17 Ερωτήσεις θεωρίας......................................................................................................Σελ:23

Επιμέλεια: Μακρής Σταμάτης

Μάθημα Β-1.1

ΕΜΒΑΔΟ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Δραστηριότητα Με βάση τα παρακάτω σχήματα να συμπληρώσετε τα κενά: 1.

Mετρήστε πόση επιφάνεια καταλαμβάνει το τετράγωνο ΑΒΓΔ με μονάδα μέτρησης το 1 τετραγωνάκι τ Το τετράγωνο ΑΒΓΔ καταλαμβάνει έκταση ...... Το καθένα απο τα ορθογώνια τρίγωνα καταλαμβάνει έκταση . . . . . . 2.

Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . . . του διπλανού σχήματος. Το . . . . . . . . . . . . . . . . . έκταση. . . . . .

καταλαμβάνει

3.

Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . του διπλανού σχήματος. Το . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση . . . . . . 4.

Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . . . . . του διπλανού σχήματος. Το . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση . . . . . .

5.

Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . . του διπλανού σχήματος. Το . . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση ......

Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι όλα τα παραπάνω σχήματα καταλαμβάνουν την .............. ...................... , οπότε λέμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδό .

Γενικά Το εμβαδό μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ενας θετικός αριθμός , που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται απο την μονάδα εμβαδού που χρησιμοποιούμε. Εφαρμογή

Βάσει του παραπάνω σχήματος να απαντήσετε στα ερωτήματα: Ι) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Α με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Α = ........... , Α = .......... ΙΙ) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Β με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Β = ........... , Β = .......... ΙΙΙ) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Γ με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Γ = ........... , Γ = .......... ΙV) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Δ με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Δ = ........... , Δ = .......... V) Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή και ποια λάθος; Σωστό

Α+Β=Γ Γ–Α=Β Α+Β+Γ=Δ

Λάθος

http://www.kesaris.edu.gr/

Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα B-1.2

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Δραστηριότητα Σύμφωνα με την διπλανή σκάλα να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες με δυνάμεις του 10:

1 m2

. . . . . . . . dm2 1 dm2

. . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . cm2 1 cm2

. . . . . . . . . . . mm2 . . . . . . . . . . . mm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 mm2

. . . . . . . . cm2 1 cm2

. . . . . . . . . . . dm2 . . . . . . . . . . . dm2 1 dm2

. . . . . . . . . . . m2 . . . . . . . . . . . m2 . . . . . . . . . . . m2

Εφαρμογή 1η

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις μετατροπές των μονάδων: m2 2,5

dm2

cm2

mm2

43 75 2340 0,345 12500

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

6




Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά: 1235 mm2 , 12,3 cm2 , 1,3 dm2 , 1,4 m2 Λύση

1. Διαδραστικό TEST Μετατροπές

μονάδων

http://www.kesaris.edu.gr → Γυμνάσιο → e-learning → Β΄γυμνασίου → Μαθηματικά → Διαδραστικές ασκήσεις 1ο Κεφάλαιο Γεωμετρίας


7



Μάθημα B-1.3

ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ Διατύπωση

Τύπος

Σχήμα

1.

Το εμβαδόν ενός τεραγώνου πλευράς α ισούται με α2

Ε = α2

2.

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α , β ισούται με α⋅β

Ε = α⋅β

3.

Το εμβαδόν ενός παραλληλόγραμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος.

Ε = β1 ⋅υ1 = β2 ⋅υ2

4. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας βάσης

Ε=

β⋅ υ 2

Ε=

β⋅ γ 2

του με το αντίστοιχο ύψος. 5.

Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των δυο κάθετων πλευρών του. 6.

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινομένου του ημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.


Ε=

(B + β) ⋅ υ 2

8



Εφαρμογή 1η Το τετράγωνο και το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος έχουν την ίδια περίμετρο. Να βρείτε Ι) το εμβαδό του ορθογωνίου ΙΙ) το εμβαδό του τετραγώνου Λύση

Εφαρμογή 2η Στο διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχουμε τα ύψη ΒΕ = 4 cm και ΒΖ. Οι πλευρές του παραλληλόγραμμου είναι ΑΔ = 5,5 cm και ΓΔ = 4,4 cm . Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραλληλόγραμμου ΙΙ) το ύψος ΒΖ Λύση


9



Εφαρμογή 3η Ο διπλανός ρόμβος έχει περίμετρο 32 cm και εμβαδό (ΑΒΓΔ) = 0,56 dm2. I) Nα βρείτε την πλευρά του α ΙΙ) Να βρείτε την απόσταση ΔΚ των απέναντι πλευρών του. Λύση

Εφαρμογή 4η Βάσει του διπλανού σχήματος να βρείτε Ι) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΔ) του τριγώνου ΑΒΔ ΙΙΙ) το εμβαδό (ΔΒΓ) του τριγώνου ΔΒΓ Λύση


10



Εφαρμογή 5η Στο διπλανό σχήμα έχουμε ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 5,5 cm και ΒΓ = 4 cm. Aν το ύψος ΑΔ = 5 cm να βρείτε: Ι) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ , ΙΙ) το ύψος ΒΕ

Εφαρμογή 6η Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα ορθογώνιο με πλευρές 4 και 5,5 και ενα τραπέζιο ίσου εμβαδού και ίσου ύψους. Να βρείτε την τιμή του x. Λύση


11



Βασική εφαρμογή Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ τη διάμεσό του ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓ έχουν το ίδιο εμβαδό συμπληρώνοντας τα κενά. Λύση Το τρίγωνο ΜΑΒ έχει βάση ΒΜ και ύψος ΑΔ άρα (ΜΑΒ) = . . . . . . . Το τρίγωνο ΜΑΓ έχει βάση ΜΓ και ύψος ΑΔ άρα (ΜΑΓ) = . . . . . . . . Επειδή όμως το Μ μέσο της ΒΓ, έχουμε ΒΜ = . . .

οπότε

...............

Συμπέρασμα: Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δυο τρίγωνα ίσου εμβαδού. Εφαρμογή 7η Στο διπλανό σχήμα έχουμε ενα τρίγωνο ΑΒΓ με εμβαδό (ΑΒΓ) = 24cm2 και Μ , Ν μέσα. I) Nα βρείτε τα εμβαδά (ΑΒΜ) , (ΑΜΓ) ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΝΜ) . Λύση


12



Aσκήσεις 2. Διαδραστικό TEST Εμβαδά

αντιστοίχιση

3. Διαδραστικό TEST Εμβαδά

ερωτήσεις


1. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι πλευρές ΑΒ = 4 cm , ΑΓ = 4,5 cm , ΓΒ = 7,2 cm και το ύψος ΓΔ = 4 cm . Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΒΕ ΙΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΖ

2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ δίνονται οι πλευρές ΑΒ = 4 cm , ΑΔ = 7 cm και το ύψος ΑΖ = 3 cm . Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) ΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΕ

3. Στο τραπέζιο του διπλανού σχήματος έχουμε ΘΗ = 12cm και ύψος υ=3cm. Το εμβαδό του (ΕΖΗΘ) = 31,5 cm2 I) Nα υπολογίσετε την βάση EZ = β, ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδόν (ΘΖΗ) του τριγώνου ΘΖΗ και αν Μ το μέσο της ΖΗ να βρείτε το εμβαδόν (ΘΖΜ)

4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδό (ΑΒΓ)=5cm2 προεκτείνουμε την βάση ΒΓ κατά ΒΓ=ΓΕ=ΕΖ. Nα υπολογίσετε τα εμβαδά (ΑΓΕ) , (ΑΒΕ) , (ΑΕΖ) , (ΑΒΖ).


13



Μάθημα B-1.4 (α’ μέρος)

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Δραστηριότητα 1η Σε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3 , 4 και 5cm κατασκευάζουμε στο εξωτερικό μέρος του τρια τετράγωνα με πλευρές τις πλευρές του τριγώνου. Αν το κάθε τετραγωνάκι είναι 1cm2 τότε να συμπληρώσετε: Το εμβαδό του τετραγώνου ΑΒΚΖ είναι (ΑΒΚΖ) = . . . . . Το εμβαδό του τετραγώνου ΑΓΘΗ είναι (ΑΓΘΗ) = . . . . . Το εμβαδό του τετραγώνου ΒΓΔΕ είναι (ΒΓΔΕ) = . . . . ..

Παρατηρούμε ότι: (ΑΒΚΖ) + (ΑΓΘΗ) = ........+ ......... = .......

επομένως

ΑΒ 2 + ΑΓ2 = .....

Γενικά ισχύει το Π.Θ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγωνων των δυο καθέτων πλευρών.

Δραστηριότητα 2η Να γράψετε και να μάθετε τα τετράγωνα των παρακάτω αριθμών: 1 =

2

12 =

2

23 =

2 =

2

13 =

2

24 =

3 =

2

14 =

2

25 =

4 =

2

15 =

2

30 =

5 =

2

16 =

2

40 =

6 =

2

17 =

2

50 =

7 =

2

18 =

8 =

2

19 =

2

20 =

9 =

2 2 2 2 2

2 2 2

10 =

2

21 =

2

22 =

11 =

2

2


2

14



Εφαρμογή 1η Ι. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ˆ = 90° διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ με A

α2 = . . . + . . .

ή

ΒΓ2 = . . . + . . .

β2 = . . . − . . .

ή

ΑΓ2 = . . . − . . .

γ2 = . . . − . . .

ή

ΑΒ2 = . . . − . . .

ΙΙ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ˆ = 90° διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ με A

κ2 = . . . . . .

ή

. . .2 = . . . . . .

λ2 = . . . . . .

ή

...2=... ...

μ2 = . . . . . .

ή

. . .2 = . . . . . .

Εφαρμογή 2η Ι. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο:

Απο Π.Θ έχουμε: α2 =

ΙΙ. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο:

Απο Π.Θ έχουμε: γ2 =


15



ΙΙΙ. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο:

Απο Π.Θ έχουμε: ΑΓ2 =

Εφαρμογή 3η Στο διπλανό σχήμα έχουμε δυο ορθογώνια τρίγωνα και ένα τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα του δεύτερου. Να βρείτε Ι) το μήκος x II) το μήκος y ΙΙΙ) τo εμβαδόν Ε του τετραγώνου. Λύση


16



Μάθημα 1.4 (β’ μέρος)

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Δραστηριότητα Σε τρίγωνο με πλευρές α =10 , β =6 και γ = 8 έχουμε: Το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς 2

είναι: α = . . . = . . . Το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών 2

2

είναι: β + γ = . . .+ . . . = . . . + . . . = Παρατηρούμε ότι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Επομένως συμπεραίνουμε ότι η γωνία. . . . . . είναι ορθή. Γενικά ισχύει το αντίστροφο του Π.Θ

Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών , τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. Εφαρμογή 1η Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που αφορούν στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ

  Άρα . . . = . . . + . . . β 2 + γ 2 = .... + .... = .... + .... = ... α 2 = ....... = .......

Επομένως απο αντίστροφο Π.Θ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι . . . . . . . . . . . . . με . . . . = 90°.

Εφαρμογή 2η Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει α=2 cm , β =

10 8 cm και γ = cm . 3 3

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

   Άρα . . . = . . . + . . . 2 2 ... + ... = .... + .... = .... + .... = ... ...2 = ....... = .......

Επομένως απο . . . . . . . . . . . . . .το τρίγωνο ΑΒΓ είναι . . . . . . . . . . . . . με . . . . = 90°.


17



Εφαρμογή 3η Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο. Αν είναι ορθογώνιο να προσδιορίσετε ποια γωνία του είναι η ορθή. Λύση

Εφαρμογή 4η Στο διπλανό τρίγωνο ΕΖΘ δίνονται οι πλευρές του ΕΘ=3(x+1) , ΖΘ = 4x+1 και ΕΖ = x+4 . Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 40cm , τότε: Ι) να δείξετε ότι x = 4 II) να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αν είναι ορθογώνιο να προσδιορίσετε ποια γωνία του είναι η ορθή. Λύση


18



Επανάληψη εμβαδά και Πυθαγόρειο Θεώρημα Εφαρμογή 1η Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχει βάση ΒΓ = 3m και περίμετρο 8m. Να υπολογίσετε το ύψος του AΔ και το εμβαδό του (ΑΒΓ). Λύση


19




ˆ = Δ ˆ = 90°. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με A Αν ΑΒ = 6 cm , BΓ = 13 cm και ΓΔ = 18 cm , τότε να υπολογίσετε Ι) το ύψος υ = ΒΖ και ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου. Λύση:


20



Εφαρμογή 3η Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα ορθογώνια τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 4m και ΒΓ = 3m και ΑΓΔ με ΓΔ = 12m . Να βρείτε I) τα μήκη x και y , II) τα εμβαδά (ΑΒΓ) , (ΑΓΔ) και το εμβαδόν (ΑΒΓΔ) του τεραπλεύρου ΑΒΓΔ. Λύση:


21




ˆ =90°) του Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A διπλανού σχήματος έχουμε την κάθετη ΑΓ = 8m και την υποτείνουσα BΓ=10m. I) Nα υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΑΒ , ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ABΓ) του τριγώνου ΑΒΓ , ΙΙΙ) Να βρείτε το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ. Λύση


22



Aσκήσεις 5. 6. 7. Διαδραστικά TEST Πυθαγόρειο

Θεώρημα


1. Στο ορθογώνιο του διπλανού σχήματος έχουμε ΒΓ = 12cm και διαγώνιο BΔ=13cm. I) Nα υπολογίσετε την πλευρά ΔΓ , ΙΙ) Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του (ΑΒΓΔ) του ορθογωνίου

2. Σε ένα ρόμβο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοί του έχουν μήκη ΑΓ = 12 m και ΒΔ = 0,016Km. Nα υπολογίσετε Ι) την πλευρά του ΙΙ) το εμβαδό του (ΑΒΓΔ) του ρόμβου.

3. Σε ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ//ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ δίνονται ΑΔ=24cm , ΒΓ=8cm και ΓΔ=10cm. Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου.

ˆ = 90° δίνονται ΒΓ= 0,17m και ΑΒ=1,5dm. Nα βρείτε: 4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A Ι) το μήκος της κάθετης πλευράς ΑΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου σε cm2 , dm2 και m2 ΙΙ) το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ˆ = Δ ˆ = 90° 5. Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με A δίνονται AB=AΔ=x και ΒΓ = 15cm. Aν η βάση ΓΔ είναι κατά 9cm μεγαλύτερη απο την ΑΒ να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) και την περίμετρο του τραπεζίου.


23



ˆ =90°) του διπλανού 6. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A σχήματος έχουμε τις κάθετες πλευρές ΑΒ = 15m και την ΑΓ=20m. I) Nα υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ABΓ) του τριγώνου ΑΒΓ , και το ύψος ΑΔ = υ , ΙΙΙ) Να βρείτε τα μήκη των ΒΔ και ΔΓ 7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 15cm , ΔΒ = 9cm και ΔΓ = 16cm. I) Nα βρείτε το ύψος ΑΔ , ΙΙ) Να βρείτε την πλευρά ΑΓ , ΙΙΙ) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι oρθογώνιο τρίγωνο.

8. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει βάση ΒΓ = 10dm και περίμετρο 36dm. Aν γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ΑΓ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ , τότε: I) Nα βρείτε την πλευρά ΑΒ ΙΙ) Να βρείτε τη διαγώνιο ΑΓ ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραλ/γράμμου. 9. Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 2x+1 έχει περίμετρο 48 cm και βάση ΒΓ =

5x + 1 2

I) Nα βρείτε το x και τις πλευρές του τριγώνου. ΙΙ) Να βρείτε τo ύψος ΑΔ ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ

ˆ = Δ ˆ = 90° 10. Στο διπλανό τραπέζιο έχουμε με A δίνονται AB= 16 , ΒΓ = 15 και ΑΔ = 12. Να υπολογίσετε: Ι) το μήκος ΒΔ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου ΑΒΓΔ ˆΓ ΙΙΙ) τη γωνία ΔΒ


24



ˆ = 90° 11. Στο διπλανό τρίγωνο έχουμε με A δίνονται AB= 6 και ΒΓ = 10. Να υπολογίσετε: Ι) το μήκος της κάθετης ΑΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ ΙΙΙ) Αν Μ το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ και Ν το μέσο του ΒΜ να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΝ) του τριγώνου ΑΒΝ


25



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Γεωμετρίας ΕΜΒΑΔΑ - ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ 1 α) Τι ονομάζουμε εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 1 m2

. . . . . . . . dm2 1 dm2

. . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . cm2 1 cm2

. . . . . . . . . . . mm2 . . . . . . . . . . . mm2 . . . . . . . . . . . mm2

2 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

α) Το εμβαδόν ενός τεραγώνου πλευράς α ισούται με . . . β) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α , β ισούται με . . . γ) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ............................ ............................. δ) Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ............................ ............................. ε) Το εμβαδόν ενός ορθγωνίου τριγώνου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ............................ ............................. ζ) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ............................ ............................. 3 A) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα Απάντηση:

Β) Για το διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ˆ = 90° να συμπληρώσετε τις σχέσεις: με A 2

2

2

2

2

2

α −β =...

2

2

α −γ =...

1. ΑΒ + ΑΓ = . . . ή γ + β = . . . 2. ΒΓ − ΑΓ = . . . ή 3. ΒΓ − ΑΒ = . . . ή


2

2

2

2

26



4 Να χαρακτηρίσετε Σωστές ή Λάθος τις

προτάσεις που αναφαίρονται στο διπλανό ˆ = 90° με ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A ύψος ΑΔ . Σωστό 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1. ΑΒ + ΒΔ = ΑΔ

Λάθος

2

2

2. ΑΔ + ΓΔ = ΑΓ

3. ΑΒ + ΑΔ = ΒΔ 4. ΑΒ − ΑΔ = ΒΓ 2

2

2

5. ΒΓ + ΑΓ = ΒΑ

5 Α. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος Απάντηση:

2 2 2 Β. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γ = β − α , τότε ποιά είναι η ορθή γωνία; Απάντηση:

2

2

2

Γ. Αν σε τρίγωνο ΔΕΖ ισχύει ΔΕ > ΔΖ + ΕΖ , τότε τι συμεραίνετε για το τρίγωνο; Απάντηση:

Δ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε α=4cm , β=5cm και γ=3cm τότε ποιά είναι η ορθή γωνία και ποιά πλευρά είναι η υποτείνουσα; Απάντηση:


27



6 Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σωστό

Λάθος

1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Aˆ =90° ισχύει β = α + γ 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Aˆ =90° ισχύει β2 = α2 − γ2 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Aˆ =90° ισχύει α2= γ2 + γ2 4. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γ2= α2 − β2 τότε Aˆ =90° 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β2= α2 + γ2 τότε Bˆ =90° 6. Το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας 2

2

2

βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. 7. Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος. 8. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των δυο καθέτων πλευρών του. 9. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της υποτείνουσα με το αντίστοιχο ύψος. 10. Το εμβαδό ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.


28




Περιεχόμενα Β.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας ...............................................................................Σελ:27 Β.2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας ..............................................................Σελ:31 Β.2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30° , 45° , 60° ................................................Σελ:35

Ερωτήσεις θεωρίας....................................................................................................Σελ:38



29



Μάθημα Β-2.1

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Δραστηριότητa Στα διπλανό σχήμα να βρείτε τους λόγους:

ΒΓ = ....=.... ΑΒ KΛ = ....=.... ΑΛ ΔΕ = ....=.... ΑΕ ΒΓ KΛ ΔΕ Παρατηρούμε ότι .... ... ΑΒ ΑΛ ΑΕ Ορίζουμε : Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με εφω) εφω =

.................... .................... ........ .......... .......... .................... .........

Εφαρμογή 1η Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Ι) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο δίνονται οι κάθετες πλευρές μήκους 5 και 7 και οι οξείες γωνίες ω , θ.

• Η γωνία θ έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... και προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ......, οπότε εφθ = . . . • Η γωνία ω έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... και προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ......, οπότε εφω = . . . ∧

ΙΙ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α =90°) έχουμε: • Η πλευρά ΑΒ = γ είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . . • Η πλευρά ΑΓ = β είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . . • εφΒ = . . .

εφΓ = . . .

• Παρατηρούμε ότι εφΒ⋅εφΓ = άρα οι αριθμοί εφΒ και εφΓ είναι αριθμοί ........................... ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

30



Εφαρμογή 2η Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΒΓ = α και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του. Λύση:

ΣΧΟΛΙΟ Για τις τιμές των εφαπτομένων των γωνιών απο 0° εως 90° χρησιμοποιούμε ⋅ τον τριγωνομετρικό πίνακα στην τελευταία σελίδα του σχολικού μας βιβλίου ⋅ ή επιστημονικό κομπιουτεράκι εφx → tanx Εφαρμογή 3η Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΖ να υπολογίσετε την άγνωστη κάθετη πλευρά x κάνοντας χρήση της εφαπτομένης της οξείας γωνίας των 36°. Λύση


31



Εφαρμογή 4η: Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε εμβαδό Ε= 180cm2 , βάση ΒΓ=30cm και εφΓ=

4 . 7

Να βρείτε Ι) το ύψος ΑΔ=υ ΙΙ) τα τμήματα ΔΓ και ΒΔ ΙΙΙ) την εφΒ και την πλευρά ΑΒ Λύση


32



Εφαρμογή 5η Να κατασκευάσετε μια γωνία ω , ώστε η εφαπτομένη της να είναι 2,4. Λύση

Aσκήσεις ∧

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α =90°) έχουμε εφΒ =

5 και ΑΓ = 10dm. 12

I) Nα βρείτε την κάθετη πλευρά ΑΒ IΙ) Nα βρείτε την υποτείνουσα ΒΓ ∧

2. Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α =90°) έχει εμβαδό 28cm2 και κάθετη πλευρά ΑΒ = 7cm. Nα βρείτε την πλευρά ΑΓ και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του τριγώνου. 3. Να κατασκευάσετε οξεία γωνία ω ώστε εφω = 1,2. 4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα ορθογώνια ΑΒΓ ∧

∧

( Α =90°) και ΒΔΓ( Β =90°) έχουν ΑΓ = 4cm, ΑΒ = 3cm και ΔΓ = 6cm, ∧

∧

Aν ΑΓΒ = φ και ΒΓΔ = ω , τότε: I) Nα βρείτε πλευρά ΓΒ και την εφφ , ΙΙ) Nα βρείτε πλευρά ΔΒ και την εφω ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΔΓ)


33



Μάθημα Β-2.2

ΗMITONO - ΣYNHMITONO OΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Ορίζουμε : ♦ Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με ημω) ημω =

....................................... .................... ..................

♦ Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με συνω) συνω =

....................................... .................... ..................

Εφαρμογή 1η Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Ι) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο δίνονται οι κάθετες πλευρές μήκους 4 , 3 και η υποτείνουσα 5 και οι οξείες γωνίες ω , θ.

• Η γωνία θ έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ...... και η υποτείνουσα είναι μήκους . . . Άρα

ημθ = . . . ,

συνθ = . . .

• Η γωνία ω έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ...... και η υποτείνουσα είναι μήκους . . . Άρα ημω = . . . ,

συνω = . . . ∧

ΙΙ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α =90°) έχουμε: • Η πλευρά ΑΒ = γ είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . . • Η πλευρά ΑΓ = β είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . . • ημΒ = . . .

,

συνΒ = . . .

• ημΓ = . . .

,

συνΓ = . . .


34



Εφαρμογή 2η Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΓΒ = α και τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών του. Λύση

ΣΧΟΛΙΟ

Για τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων οξειών γωνιών ισχύει ότι: 0 < ημω < 1 και

0 < συνω < 1

Εφαρμογή 3η Για μια οξεία γωνία θ να αποδείξετε ότι 3 + 2ημθ < 5

και

3 – 2συνθ > 1

Λύση


35




Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε την ΒΓ=15cm και ημΓ = 0,6. Να βρείτε α) την πλευρά ΑΒ β) την πλευρά ΑΓ ∧ γ) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β . Λύση

Εφαρμογή 5η Να κατασκευάσετε γωνία ω, για την οποία ημω = 0,8. Κατόπιν να υπολογίσετε τα συνω και εφω. Λύση


36



Aσκήσεις ˆ =90°) έχουμε AB = 12cm και ΒΓ = 13cm. 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A I) Nα βρείτε την κάθετη πλευρά ΑΓ , ˆ, ΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημΒ , συνΒ , εφΒ της γωνίας B ΙΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημΓ , συνΓ , εφΓ της γωνίας Γˆ . ˆ =90°) έχουμε 2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A ημΒ=

4 και ΒΓ = 10cm. 5

I) Nα βρείτε τις κάθετες πλευρές ΑΓ και ΑΒ , ΙΙ)Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς ˆ. αριθμούς της γωνίας Γ

ˆ =90°) έχουμε 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A συνΓ = 0,6 και ΑΒ = 9dm. I) Nα βρείτε τις πλευρές BΓ και ΑΓ , ΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς ˆ. αριθμούς της γωνίας B 4. Ι) Να κατασκευάσετε γωνία ω με συνω =

5 . 13

ΙΙ) Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω , εφω της γωνίας ω. 5. Ι) Να κατασκευάσετε γωνία φ με ημφ =

8 . 17

ΙΙ) Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνφ , εφφ της γωνίας φ. 6. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημΒ = 0,8. Αν το ύψος ΑΔ = 8cm και ΒΓ = 21cm, τότε να υπολογίσετε: Ι) την πλευρά ΑΒ και το τμήμα ΒΔ ΙΙ) την πλευρά ΑΓ ΙΙΙ) την περίμετρο Π και το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ. 7. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα τρίγωνα ˆ =90°) και ΑΒΔ( Bˆ =90°). ΑΒΓ( A Δίνεται ότι ΒΓ = 20cm , ΔΒ = 5cm και ημφ = 0,6. Ι) Nα βρεθούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ και οι αριθμοί συνφ , εφφ. ΙΙ) Να βρείτε την ΑΔ και τους αριθμούς ημω , συνω , εφω.


37



Μάθημα Β-2.4

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ 30° , 45° , 60°

Δραστηριότητα 1η Στο διπλανό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΑΒ=ΑΓ=1cm και οι γωνίες Β , Γ είναι 45° Υπολογίζουμε την υποτείνουσα ΒΓ: Απο Π.Θ στο ΑΒΓ: ΒΓ2 =

Οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 45° είναι ημ45° =

..... .....

συν45° =

..... .....

εφ45° =

..... .....

Δραστηριότητα 2η Στο διπλανό ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 2cm έχουμε ΑΔ ύψος , διάμεσος και διχοτόμος. Τότε οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΔΓ είναι 30° , 60°. Υπολογίζουμε το ύψος ΑΔ Απο Π.Θ στο ΑΒΔ: ΑΔ2 =


..... .....

συν30° =

..... .....

εφ30° =

..... .....


..... .....

συν60° =

..... .....

εφ60° =

..... .....

Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

30°

45°

60°

Ημίτονο

ημω Συνημίτονο

συνω Εφαπτομένη

εφω


38



Εφαρμογή 1η Να αποδείξετε ότι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι υ =

α 3 α2 3 και το εμβαδό (ΑΒΓ) = 2 4

Λύση

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Σε ασκήσεις μπορούμε να χρησιμοιούμε τον τύπο της παραπάνω εφαρμογής για το ύψος υ =

α 3 2

και το εμβαδό Ε =

α

2

4

3

ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α.

Εφαρμογή 3η Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α = 4 cm προεκτείνουμε την βάση του ΒΓ κατά ΓΔ = ΒΓ. Ι) Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδό του ΑΒΓ ΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του ΑΒΔ Λύση


39



Εφαρμογή 4η Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ορθογώνια. Ι) Να βρείτε τις πλευρές του ΑΒΓ ΙΙ) Να βρείτε τις πλευρές του ΑΔΓ ΙΙΙ) Το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ Λύση


40



Aσκήσεις 1. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στο σημείο Π και βλέπει την κολόνα ΚΛ υπό γωνία 60°. Αν η απόστασή του απο τη βάση της κολόνας είναι ΚΠ=10m , να υπολογίσετε το ύψος της κολόνας ΚΛ. (Δίνεται:

3 = 1,7 )

ˆ = 45° και Γˆ = 30°. 2. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε B Αν ΑΔ το ύψος και ΒΔ = 2cm, τότε I) Nα βρείτε τις πλευρές ΑB , ΑΓ και ΒΓ , ΙΙ)Να υπολογίσετε το εμβαδόν (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ. (Δίνεται: 3 = 1,7 και 2 = 1,4 ) 3. Στο παραληλλόγραμμο του διπλανού σχήματος γνωρίζουμε τις πλευρές ΑΔ=ΒΓ=6cm , την γωνία ∆ˆ = 60° και το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραληλλόγραμμου είναι 30 3 cm2. Ι) Να βρείτε το ύψος υ1 που αντιστοιχεί στην βάση ΔΓ ΙΙ) Να βρείτε την βάση ΔΓ ΙΙΙ) Να βρείτε το ύψος υ2 που αντιστοιχεί στην βάση ΒΓ 4. Δύο φίλοι, ο Παναγιώτης και ο Βασίλης, στέκονται στα σημεία Π και Β αντίστοιχα και βλέπουν τo διπλανό Κάστρο υπό γωνίες 30° και 60°. Αν έχουν μετρήσει τη μεταξύ τους απόσταση ΠΒ ίση με 10m μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρούνε το ύψος του κάστρου ΑΚ;


41



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Γεωμετρίας ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 α) Για οξεία γωνία ω ορθογωνίου τριγώνου τι ονομάζουμε εφαπτομένη της ω ; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση: Αν α είναι η . . . . . . . της ευθείας με εξίσωση y = αx , τότε αυτή είναι ίση με την εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον . . . . . . . .

....

γ) Με βάση το διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ∧

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 90° έχουμε: BΓ α ..... .... εφΑ = ..... = ..... εφΓ = ..... = .....

2 α) Για οξεία γωνία ω ορθογωνίου τριγώνου τι ονομάζουμε ημίτονο και τι συνημίτονο της ω ; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση: Γνωρίζουμε ότι σε κάθε τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη απο τις δυο κάθετες πλευρές, οπότε ισχύουν οι ανισώσεις


... < ημω < ...

και ... < συνω < ...

42



γ) Με βάση το διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ∧

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90° έχουμε: .... ..... ..... .... ημΒ = ..... = ..... ημΓ = ..... = ..... .... ..... ..... .... συνΒ = ..... = ..... συνΓ = ..... = ..... 3 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

30°

45°

60°

Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη


43




Περιεχόμενα Β.3.1 Εγγεγραμένες γωνίες .......................................................................................Σελ:42 Β.3.2 Κανονικά πολύγωνα .......................................................................................Σελ:49 Β.3.3 Μήκος κύκλου .................................................................................................Σελ:53 Β.3.5 Εμβαδό κυκλικού δίσκου ................................................................................Σελ:55

Ερωτήσεις θεωρίας....................................................................................................Σελ:57



44



Μάθημα Β-3.1

ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ – ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ

ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ

Κάθε γωνία της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο Ο ενός κύκλου (Ο,ρ) λέγεται επίκεντρη γωνία.  Το τόξο Α Γ Β που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας.

Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους , σε ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν ίσα τόξα και αντίστροφα. Εφαρμογή 1η Στον διπλανό κύκλο αν οι ΑΒ, ΓΔ είναι δυο κάθετες διάμετροι , να βρείτε τα τόξα: ∩

AΓ = . . . . . ∩

,

∩

∩

ΒΓ = . . . . . ,

και τα A Γ B = . . . . . .

AΔ = . . . . . , ,

∩

ΔΒ = . . . . .

∩

A ΔB= . . . . . .

Εφαρμογή 2η Στο διπλανό κύκλο οι ΑΒ, ΓΔ είναι δυο διάμετροι που σχηματίζουν ∧

γωνία BOΓ = 56°. Να βρείτε τα παρακάτω: Οι επίκεντρες γωνίες ∧

AOΔ = ∧

ΑOΓ = ∧

BOΔ = Τα τόξα: ∩

AΓ = ∩

ΒΓ = ∩

AΔ = ∩

ΔΒ = ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

45



Εφαρμογή 3η Στο διπλανό κύκλο το σημείο Μ είναι το μέσο του ∩

τόξου AΓ . ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Να βρείτε το x και τα τόξα AM , ΓM , AΓ , ΒΓ και AΒ . Λύση:

Εφαρμογή 4η ∩

∩

Σε κύκλο (Ο , ρ) φέρουμε διάμετρο ΑΒ και παίρνουμε ένα σημείο Γ του κύκλου ώστε BΓ = 5 AΓ . ∩ ∩ Ι) Να υπλογίσετε σε μοίρες τα τόξα AΓ και BΓ , ∧

∧

ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. ΙΙ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑOΓ , ΑOB και τη γωνία A Λύση


46



Η εγγεγραμμένη γωνία και η σχέση της με την επίκεντρη

Εγγεγραμμένη λέγεται κάθε γωνία που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. ∧

Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΓΔΒ = ω είναι εγγεγραμμένη στον ∩ κύκλο(Ο, ρ) και βαίνει στο τόξο BΓ .

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο.

Συνέπειες: • Κάθε εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή • Οι εγγεγραμμένες γωνίες σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο ενός κύκλου είναι ίσες. • Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του αντιστοίχου τόξου της. Εφαρμογή 5η ∧

Στον διπλανό κύκλο γνωρίζουμε την επίκεντρη ΑOB =110° ∩

και το τόξο τόξου BΓ =80° Να βρείτε τις εγγεγραμμένες γωνίες ω , φ. Λύση

Εφαρμογή 6η Στον διπλανό κύκλο να βρείτε τις εγγεγραμμένες γωνίες x , ω , φ. Λύση


47



Εφαρμογή 7η Στο διπλανό κύκλο να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση

Εφαρμογή 8η Στο διπλανό κύκλο να βρείτε τις γωνίες χ, φ και ω , αν γνωρίζουμε ότι το τρίγωνο είναι ΑΟΒ ισόπλευρο. Λύση


∩

Στο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα BΓ =32° και EΔ =56° Να βρείτε τις γωνίες x , ω , φ , θ. Λύση


48



Εφαρμογή 10η Στο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα ∩

∩

∩

BΓ =2x , AB =x , ΓΔ = x - 20° ∩

και AΔ = 3x – 40° Να βρείτε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Λύση


49




∩

Στο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα AΓ =2x , AB =x +69° και η πλευρά ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου. Ι) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΙΙ) Αν ρ = 5cm η ακτίνα του κύκλου και ημ37° = 0,6 να βρείτε το μήκος των πλευρών του τριγώνου και το εμβαδόν του (ΑΒΓ). Λύση


50



Aσκήσεις 1. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

εγγεγραμμένο στον κύκλο και είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. ∩ Αν BΓ = 140° , τότε να υπολογίσετε τις γωνίες Aˆ , Bˆ του τριγώνου και την ω.

∩

∩

2. Σε κύκλο (Ο , ρ) φέρουμε διάμετρο ΒΓ και Α σημείο του κύκλου ώστε AB = 0,8 AΓ . ∧

∧

∧

Να υπολογίσετε τις γωνίες Α , Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

3. Στο διπλανό σχήμα να

βρείτε τις γωνίες x , y και ω

4. Στο διπλανό σχήμα στον κύκλο (Ο, ρ)

φέρουμε ακτίνα ΟΑ = ρ και στο σημείο Α την εφαπτομένη του κύκλου. Αν η χορδή ΑΒ = ρ, να υπολογίσετε τις γωνίες x και y. ∩

∩

∩

5. Σε κύκλο (Ο , ρ) να πάρετε διαδοχικά τόξα AB = 80° , BΓ = 110° και ΓΔ = 140°.

Ι) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ΙΙ) Αν οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ε ∧ ∧ να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΕΒ και ΒΕΓ .

6. Στο διπλανό σχήμα στον κύκλο (Ο, ρ)

έχουμε δυο χορδές του κύκλου που τέμνονται σε σημείο εξωτερικό αυτού. Να υπολογίσετε την γωνία ω.


51



Μάθημα Β-3.2

ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Ως ν – γωνο ορίζεται το πολύγωνο με ν κορυφές. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες του οι πλευρές είναι μεταξύ τους ίσες και όλες του οι γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες. • Το κανονικό τρίγωνο είναι το ……………………. τρίγωνο, αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… • Το κανονικό τετράπλευρο είναι το ……………………. , αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… • Αν χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα τόξα , τότε σχηματίζονται ν ίσες επίκεντρες γωνίες και κάθε μια απο αυτές λέγεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου. • Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με ω=

360° . ν

• Η οποιαδήποτε απο τις ν ίσες γωνίες ενός κανονικού ν – γώνου λέγεται γωνία φ του κανονικού ν – γώνου. • Η γωνία φ του κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου ( φ + ω = 180° ) Εφαρμογή 1η Να κατασκευάσετε κανονικό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο , 4cm) αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και την γωνία φ. Λύση


52



Εφαρμογή 2η Να κατασκευάσετε κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο , 3cm) αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και την γωνία φ. Λύση

Εφαρμογή 3η Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθμός πλευρών

Κεντρική γωνία

Γωνία πολυγώνου

ν 12

ω

φ

24° 162° Λύση


53



Κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο


54



Aσκήσεις 1. Να βρείτε πόσες πλευρές έχει το κανονικό πολύγωνο που έχει κεντρική γωνία:

Ι) 24° , ΙΙ) 36° 2. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών κανονικού ν-γώνου , όταν η κάθε γωνία του

είναι:

Ι) 140° , ΙΙ) 160° .

3. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο που να έχει όλες τις γωνίες του ίσες με 25° ; 4. Αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ενός κανονικού δωδεκαγώνου , να το

κατασκευάσετε εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο , 5cm). ˆ κανονικού πολυγώνου είναι 4-πλάσια της κεντικής του γωνίας ω ˆ . 5. Η γωνία φ Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου. 6. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 1260°.

Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.


55



Μάθημα Β- 3.3

ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ

Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ ή διαμέτρου δ = 2ρ υπολογίζεται απο τον τύπο: L = 2πρ ή L = πδ

• Ο αριθμός π είναι άρρητος αριθμός , δηλαδή δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά ψηφία και σε εφαρμογές τον αντικαθιστούμε με την προσεγγιστική τιμή 3,14 Εφαρμογή 1η Να συμληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Ακτίνα ρ ή διάμετρος δ

I) IΙ) IΙΙ) IV)

Μήκος L

ρ =3 cm 37,68 δ=8 18π

Λύση


56



Εφαρμογή 2η Στον κύκλο (Ο, ρ) του διπλανού σχήματος έχουμε ˆ Γ = 30° . την εγγεγραμμένη γωνία ΒΜ ˆΓ Ι) Να υπολογίσετε την επίκεντρη ΒΟ ΙΙ) Να υπολογίσετε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου Λύση

Aσκήσεις 1. Να βρείτε το μήκος ενός κύκλου Ι) με ακτίνα ρ = 12dm

, II) με διάμετρο δ = 8m

2. To μήκος κύκλου είναι L = 31,4cm. Nα βρείτε την ακτίνα και τη διάμετρό του. 3. To μήκος κύκλου είναι L = 16π. Nα βρείτε την ακτίνα και τη διάμετρό του. 4. Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος 10mm. Να βρείτε σε πόσες ώρες η άκρη του ωροδείκτη θα δυανύσει διάστημα 1256mm. 5. Ο λόγος των ακτίνων δυο κύκλων είναι

ρ1

2

. 3 Να υπολογίσετε το λόγο των διαμέτρων και το λόγο των μηκών των κύκλων αυτών.


ρ2

=

57

http://www.kesaris.edu.gr/ Μάθημα Β-3.5


ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ

Το εμβαδό ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ δίνεται απο τον τύπο E = πρ2

Εφαρμογή 1η Να υπολογίσετε το εμβαδό ενός κυκλικού δίσκου με μήκος κύκλου L = 8π cm. Λύση

Εφαρμογή 2η Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ κυκλικού δίσκου με εμβαδό Ε = 628 cm2. Λύση

Εφαρμογή 3η Στο διπλανό σχήμα έχουμε κύκλο (Ο, 10cm) εγγεγραμμένο σε τετράγωνο πλευράς α. Ι) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου α και το εμβαδόν του. ΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου τμήματος έξω απο τον κύκλο και μέσα στο τετράγωνο.(Εχ) Λύση


58



Εφαρμογή 4η Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο, 10cm) περιγεγραμμένο του τετράγωνου πλευράς α. Ι) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου α και το εμβαδό του ΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου τμήματος έξω απο το τετράγωνο και μέσα στον κύκλο.(Εχ) Λύση

Εφαρμογή 5η Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο, ρ) και τη διάμετρό του ΒΓ. Απο σημείο Α του κύκλου φέρουμε ΑΒ = 16cm και ΑΓ = 12cm. ˆ του τριγώνου ΑΒΓ , I) Nα βρείτε τη γωνία A ΙΙ) Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του κύκλου και το εμβαδόν Εκ του κυκλικού δίσκου (Ο, ρ). ΙΙΙ) Να υπολογίσετε το χρωματισμένο εμβαδόν του επιπέδου που βρίσκεται μέσα στον κύκλο και έξω απ’ το τρίγωνο. Λύση


59



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Γεωμετρίας

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

1 α) Ποιά γωνία ονομάζεται επίκεντρη; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: • Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης . . . . . . . . . . . . . . γωνίας. • Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους , σε ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν . . . . . . τόξα και αντίστροφα. 2 α) Ποιά γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη; Απάντηση:

β) Ποιά σχέση έχουν η εγγεγραμμένη και η επίκεντρη που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο; Απάντηση:

γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: • Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι . . . . . . . . • Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενος κύκλου που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους . . . . . . . . • Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με . . . .

. . . . . . . . του αντιστοίχου

τόξου της. 3 α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Απάντηση:


60



β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: Το κανονικό τρίγωνο είναι το ……………………. τρίγωνο, αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… Το κανονικό τετράπλευρο είναι το ……………………. , αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… 4 α) Ποιά γωνία ονομάζεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου; Απάντηση:

β) Ποιός τύπος δίνει την κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου.; Απάντηση:

γ) Ποιά γωνία ονομάζεται γωνία φ του κανονικού ν-γώνου και ποιά σχέση έχει με την κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου.; Απάντηση:

5 Ποιός τύπος δίνει το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας ρ και ποιός το εμβαδό Ε ενός

κυκλικού δίσκου; Απάντηση:


61

Γεωμετρία Β Γυμνασίου Εκπαιδευτήρια Καίσαρη

Recommend Documents