คณิตศาสตร์ ม.ต้น

ชองทรูปลูกปญญา

โทรทัศนความรูดูสนุก ทางทรูวิชั่นส 6 ทุกรายการสาระ ความรู สาระบันเทิง และการปลูกฝงคุณธรรมจริยธรรมตลอด 24 ชั่วโมง พบกับเรื่องราวสรางแรงบันดาลใจ • รายการสอนศาสตร รายการสอนเสริมแนวใหมครบ 8 วิชา ม.3 ม.6 ติวสดทุกวันโดยติวเตอรชื่อดัง ทรูปลูกปญญา • รายการ I AM แนะนําอาชีพนาสนใจโดยรุนพี่ในวงการ หน ว ยงานเพื่ อ การศึ ก ษา ภายใต ก ลุ  ม บริ ษั ท ทรู • รายการสารสังเคราะห นําขาวสารมาสังเคราะหอัพเดท คอรปอเรชั่น จํากัด (มหาชน) ที่บูรณาการเทคโนโลยีและความ กันแบบไมตกเทรนด เชี่ยวชาญดานคอนเทนต พัฒนาเปนสื่อไลฟสไตลเพื่อสงเสริม การศึกษาและคุณธรรม สามารถเชื่อมโยงทุกมิติการเรียนรูได นิตยสารปลูก plook อยางครบวงจร นิตยสารสงเสริมความรูคูคุณธรรมสําหรับเยาวชนฉบับแรก ในประเทศไทย วางแผงทุกสัปดาหแรกของเดือน หยิบฟรีไดที่ www.trueplookpanya.com True Coffee TrueMove Shop สถานศึกษา แหลงการเรียนรู ทรูปลูกปญญาดอทคอม คลังความรูคูคุณธรรมที่ใหญ หองสมุด และโรงพยาบาล ทั่วประเทศ หรืออานออนไลนใน ทีส่ ดุ ในประเทศไทย อัดแนนดวยสาระความรูใ นรูปแบบมัลติมเี ดีย www.trueplookpanya.com สนุกกับการเรียนรูดวยตัวเอง ทั้งยังเปดโอกาสใหทุกคนสราง เนื้อหา แบงปนความรูรวมกัน โดยไมมีคาใชจาย

แอพพลิเคชั่น Trueplookpanya.com

ตอบโจทย ไ ลฟ ส ไตล ก ารเรี ย นรู  ข องคนรุ  น ใหม ด ว ยฟรี แอพพลิเคชั่น “Trueplookpanya.com” ใหคุณพรอมสําหรับ คลั ง ความรู  รวบรวมเนื้ อ หาการเรี ย นทุ ก ระดั บ ชั้ น ครบ การเรียนรูใ นทุกทีท่ กุ เวลา รองรับการใชงานบน iOS (iPhone, iPod, 8 กลุมสาระการเรียน iPad) และ Android คลั ง ข อ สอบ ข อ สอบออนไลน พ ร อ มเฉลยที่ ใ หญ ที่ สุ ด ในประเทศไทย พรอมการประเมินผลสอบทางสถิติ : www.trueplookpanya.com แนะแนว ขอมูลการศึกษาตอ พรอมเจาะลึกประสบการณ : TruePlookpanya การเรียนและการทํางาน ศู น ย ข  า วสอบตรง/Admissions ข า วการสอบทุ ก สนาม ทุกสถาบัน พรอมระบบแจงเตือนเรียลไทม

พบกับความเปนที่สุดทั้ง 4 ดานแหงการเรียนรู • • • •

หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” สรางสรรคโดย ทรูปลูกปญญา มีเดีย โครงการเพื่อสังคมของบริษัท ทรู คอรปอเรชั่น จํากัด (มหาชน) เลขที่ 46/8 อาคารรุงโรจนธนกุล ตึก B ชั้น 9 ถนนรัชดาภิเษก แขวงหวยขวาง เขตหวยขวาง กรุงเทพฯ 10310 โทร : 02-647-4511, 02-647-4555 โทรสาร : 02-647-4501 อีเมล : [email protected] : www.trueplookpanya.com : TruePlookpanya

หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” ใชสัญลักษณอนุญาตของครีเอทีฟคอมมอนส แบบ แสดงที่มา-ไมใชเพื่อการคา-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ประเทศไทย

คำนำ การสอบ O-NET หรือชื่ออยางเปนทางการวา การจัดการทดสอบทางการศึกษาระดับชาติขั้นพื้นฐาน (Ordinary National Educational Test) โดย สทศ. ถือเปนอีกสนามสอบที่สําคัญสําหรับนองๆ ในระดับ ป.6, ม.3, ม.6 เพื่อเปนการประเมินผลการเรียนรูของนองๆ ในระดับชาติเลยทีเดียว และยังเปนตัวชี้วัดคุณภาพการเรียนการ สอนของแตละโรงเรียนอีกดวย คะแนน O-NET ก็ยังเปนสวนสําคัญในการคิดคะแนนในระบบ Admissions เพื่อ สมัครเขาคณะที่ใจปรารถนา ไดคะแนนดีก็มีชัยไปกวาครึ่ง และเพือ่ เปนอีกตัวชวยหนึง่ ในการเตรียมความพรอมใหนอ งๆ กอนการลงสนามสอบ O-NET ทางทรูปลูก ปญญาจึงไดจัดทําหนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” สุดยอดคูมือเตรียมตัวสอบ O-NET สําหรับนองๆ ในระดับ ม.3 และ ม.6 ทีเ่ จาะลึกเนือ้ หาทีม่ กั ออกสอบบอยๆ โดยเหลารุน พีเ่ ซียนสนามในวงการติว รวบรวมแนวขอสอบตัง้ แต อดีตจนถึงปจจุบัน พรอมเฉลยอยางละเอียด และคําอธิบายที่เขาใจงาย จําไดแมนยํา นํานองๆ Get 100 ทําคะแนน สูเปาหมายในอนาคต หนังสือชุด “ติวเขม O-NET Get 100” โดยทรูปลูกปญญา ประกอบดวยวิชาคณิตศาสตร ภาษาไทย สังคมศึกษา และภาษาอังกฤษ ที่รวบรวมเนื้อหาระดับมัธยมศึกษาตอนตน และมัธยมศึกษาตอนปลาย และวิชา ฟสกิ ส เคมี ชีววิทยาของระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย รวมทัง้ หมด 11 เลม โดยสามารถศึกษาเนือ้ หาหรือทําขอสอบ ออนไลนเพิ่มเติมไดจาก www.trueplookpanya.com ที่มี link ใหในทายบท สามารถดาวนโหลดหนังสือไดฟรี ผานเว็บไซตทรูปลูกปญญา ที่ www.trueplookpanya.com/onet ทีมงานทรูปลูกปญญา

สารบัญ เรื่อง

หนา

สาระที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 1.1 ระบบจํานวนเต็ม 1.2 เศษสวนและทศนิยม 1.3 อัตราสวนและรอยละ 1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ 1.5 จํานวนจริงและรากที่สอง 1.6 แนวขอสอบ O–NET

7 7 8 10 10 16 17

สาระที่ 2 การวัดและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ 2.1 การวัดและหนวยมาตรฐานตางๆ 2.2 พื้นที่รูปทรง 2 มิติ 2.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ 2.4 แนวขอสอบ O–NET

23 23 27 29 30

สาระที่ 3 เรขาคณิต 3.1 การแปลงทางเรขาคณิต 3.2 เสนขนาน 3.3 พีทาโกรัส 3.4 สามเหลี่ยมคลาย 3.5 แนวขอสอบ O–NET

38 38 40 41 42 42

สารบัญ เรื่อง

หนา

สาระที่ 4 พีชคณิต 4.1 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 4.2 ระบบสมการเชิงเสนและระบบสมการ 4.3 แนวขอสอบ O–NET

49 49 50 53

สาระที่ 5 การวิเคราะหขอมูลทางสถิติและความนาจะเปน 5.1 สถิติ 5.2 ความนาจะเปน 5.3 แนวขอสอบ O–NET

61 61 64 64

สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร 6.1 คูอันดับและกราฟ 6.2 แผนภูมิวงกลม 6.3 อสมการ 6.4 แนวขอสอบ O–NET

72 72 74 75 77

คุยกอนอาน หนังสือเลมนี้ จัดทําขึ้นสําหรับนองๆ ที่กําลังศึกษาอยูในระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ม.1-ม.3) ที่ตองการจะเตรียม ความพรอมในการสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตรในระดับชั้น ม.3 นั้น ทางพวกพี่ๆ เขาใจนองๆ ทุกคนเปนอยางดี ซึ่ง นองๆ หลายๆ คนที่กําลังเตรียมตัวในการสอบ O–NET นั้น พี่ๆ เชื่อวานองๆ ทุกคนอาจจะติดปญหาและคิดวาวิชา คณิตศาสตรเปนวิชาทีย่ ากและรูส กึ ทอแททจี่ ะอานและทําความเขาใจ เพราะฉะนัน้ พวกพีๆ่ ทุกคนจึงไดใชประสบการณ และความรูทั้งหมดในการรวบรวมเนื้อหาที่สําคัญ สั้นๆ ไดใจความ รวมถึงเทคนิคการคิดวิเคราะหและเฉลยขอสอบที่ ละเอียดมาชวยนองๆ ทุกคนอีกทางหนึ่งนะ ทั้งนี้พี่ๆ ก็หวังไววาหนังสือติวคณิตศาสตรเพื่อเตรียมตัวในการสอบ O–NET เลมนี้จะชวยขจัดทุกขอสงสัยและ แกปญหาใหกับนองๆ ทุกคนได พี่ๆ ทุกคนอยากใหนองตั้งใจ ขยัน และมุงมั่นหมั่นทบทวนเนื้อหา พี่ๆ ทุกคนจะเปน กําลังใจใหและรับรองวาถานองๆ ทุกคนตั้งใจแลวความฝนและความสําเร็จรออยูไมไกลเกินเอื้อมแนนอนจา

ทีมงานทรูปลูกปญญา

สาระที่ 1

จํานวนและการดําเนินการ

สําหรับในสาระที่ 1 นีน้ อ งๆ ทีเ่ รียนอยูใ นระดับชัน้ ม.3 อาจจะลืมไปบางเพราะวาในสวนของสาระนีจ้ ะอยูใ นระดับชัน้ ม.1 และ ม.2 สวนใหญเปนพื้นฐานที่นองจะเคยเรียนผานมาแลวทั้งหมด ไมวาจะเปนระบบจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยม อัตราสวนและ รอยละ และสุดทายมาประกอบกันเปนจํานวนจริง เอาละเรามาทบทวนและทําความเขาใจไปพรอมๆ กันเลยนะทุกคน เริ่มตนกันที่ หัวขอที่

1.1 ระบบจํานวนเต็ม

…

-3

-2

-1

จํานวนเต็มลบ

0 ศูนย

1

2

3

…

จํานวนเต็มบวก

สรุป!! 1. จํานวนเต็มบวก หมายถึง จํานวนนับ ตั้งแต 1 เปนตนไปไมสิ้นสุด และ 1 คือจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนนับที่นอยที่สุด แตไมสามารถหาจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดได 2. จํานวนเต็มศูนย ไมใชจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบ จะอยูตรงกลางระหวาง -1 กับ 1 3. จํานวนเต็มลบ เปนจํานวนเต็มที่ถัดจากศูนยไปทางซายและ -1 เปนจํานวนเต็มลบทีม่ ีคามากทีส่ ดุ แตไมสามารถหาจํานวน เต็มลบที่นอยที่สุดได

คุณสมบัติการบวกและการคูณจํานวนเต็มบวก สมบัติการสลับที่การบวกและการคูณ สมบัติการเปลี่ยนกลุมการบวกและการคูณ สมบัติการแจกแจง สมบัติของศูนย สมบัติของหนึ่ง

a+b = b+a a×b = b×a (a+b)+c = a+(b+c) (a×b)×c = a×(b×c) a×(b+c) = (a×b)+(a×c) a+0 = 0+a = a a×0 = 0×a = 0 1×a = a×1 = a a 1 = a เมื่อ a แทนจํานวนใด

ติวเขม O-NET Get 100 by TruePlookpanya

7

ขอสรุปสําหรับการบวกจํานวนเต็ม 1. การบวกจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มบวก คือการนําคาสัมบูรณมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก 2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ คือการนําคาสัมบูรณมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ 3. การบวกจํานวนเต็มตางชนิดกัน คือการนําเอาจํานวนทีม่ คี า สัมบูรณมากกวาเปนตัวตัง้ ลบจํานวนทีม่ คี า สัมบูรณนอ ย ผลลัพธ จะเปนบวกหรือลบ ก็ขึ้นกับจํานวนที่มีคาสัมบูรณมาก

ขอสรุปสําหรับการลบจํานวนเต็ม 1. การลบจํานวนเต็มหาไดจาก ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ ขอสรุปสําหรับการคูณจํานวนเต็ม : ใหนําตัวเลขมาคูณกัน สําหรับเครื่องหมายตามดานลางเลย - บวก × บวก = บวก - บวก × ลบ = ลบ - ลบ × บวก = ลบ - ลบ × ลบ = บวก ขอสรุปสําหรับการหารจํานวนเต็ม : ใหนําตัวเลขมาหารกัน สําหรับเครื่องหมายตามดานลางเลย - บวก ÷ บวก = บวก - บวก ÷ ลบ = ลบ - ลบ ÷ บวก = ลบ - ลบ ÷ ลบ = บวก

1.2 เศษสวนและทศนิยม เศษสวน คือ สวนยอยๆ ของจํานวนเต็ม ชนิด

8

ความหมาย

ตัวอยาง

เศษสวนแท

เศษสวนที่มีตัวเศษนอยกวาตัวสวน

4 5 1 5, 8, 2

เศษสวนเกิน

เศษสวนที่มีตัวเศษมากกวาตัวสวน

5 8 24 2, 5, 5

เศษสวนอยางตํ่า

เศษสวนที่ไมสามารถตัดทอนไดอีก

เศษสวนหนวย

เศษสวนที่มีเศษเปน 1 เสมอ

เศษสวนเหมือน

เศษสวนที่มีสวนเปนจํานวนเดียวกัน

1 1 5 2 2, 3, 6, 3 1 1 1 2, 3, 6 15 16 20, 20

จํานวนคละ

เศษสวนที่เขียนในรูปของจํานวนเต็มกับเศษสวนแท 2 1 5 1 3 3 4 4 2, 2, 5, 5,


1. ทศนิยม ทศนิยม หมายถึง การเขียนตัวเลขประเภทเศษสวนเปน 10 หรือ 10 ยกกําลัง ตาง ๆ แตเปลี่ยนรูปจากเศษสวนมาเปนรูป ทศนิยม โดยใชเครื่องหมาย . (จุด) แทน ตัวอยาง

สวนที่แรเงาคือ 7 = 0.7 10

2. การอานทศนิยม เลข ทีอ่ ยูห นาทศนิยมเปนเลขจํานวนเต็ม อานเชนเดียวกับตัวเลขจํานวนเต็มทัว่ ไป สวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมเปนเลขเศษของ เศษสวนซึ่งมีคาไมถึงหนึ่ง อานตามลําดับตัวเลขไปเชน 635.1489 อานวา หกรอยสามสิบหาจุดหนึ่งสี่แปดเกา ถาเลขจํานวนนั้นไมมี จํานวนเต็ม จะเขียน 0 (ศูนย) ไวตําแหนงหลักหนวยหนาจุดได เชน .25 เขียนเปน 0.25 ก็ได

3. การกระจายทศนิยม การกระจายทศนิยมสามารถกระจายได ดังนี้ เชน 457.35 = 400 + 50 + 7 + 0.3 + 0.05

4. การเรียกตําแหนงทศนิยม ถามีตัวเลขหลังจุดทศนิยมกี่ตัว ก็เรียกเทานั้นตําแหนง เชน 0.4, 15.3, 458.6 เรียกวา ทศนิยม 1 ตําแหนง 0.25 , 25.36 , 25.18 เรียกวา ทศนิยม 2 ตําแหนง

5. การปดเศษทศนิยม 5.1 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาตั้งแต 6 ขึ้นไป จะปดทบเขากับตัวเลขหนา เชน 56.38 = 56.4 5.2 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาตั้งแต 4 ลงมา จะปดตัวเลขนั้นทิ้งไป เชน 56.32 = 56.3 5.3 ถาตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีคาเทากับ 5 มีวิธีปดทศนิยม 2 วิธีดังตอไปนี้ - ถาทศนิยมหนาเลข 5 เปนเลขคู ก็ตัดตัวเลข 5 ทิ้ง เชน 4.65 = 4.6 - ถาทศนิยมหนาเลข 5 เปนเลขคี่ ใหปดทศนิยมขึ้น เชน 0.75 = 0.8


9

6. ทศนิยมและเศษสวน 6.1 การเขียนทศนิยมใหเปนเศษสวน ตัวอยาง จงเขียน 2.5 ใหเปนเศษสวน วิธีทํา 2.5 = 2 กับ 5 ใน 10 5 = 21 ดังนั้น 2.5 = 2 10 2 6.2 การเขียนเศษสวนใหเปนทศนิยม - เศษสวนที่มีสวนเปน 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกําลัง สามารถเปลี่ยนเปนทศนิยมไดเลย 75 = 0.75 เชน 100 - เศษสวนที่ไมมีสวนเปน 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกําลัง ใหเปลี่ยนเปนเศษสวนที่มีตัวสวนเปน 10 หรือ 75 100 หรือ 10 ยกกําลังกอน ตัวอยางเชน 34 = 3X25 4X25 = 100 = 0.75

1.3 อัตราสวนและรอยละ อัตราสวน คือ การเปรียบเทียบของสิ่งของสองสิ่งหรือจํานวนสองจํานวน รอยละ คือ การเปรียบเทียบของจํานวนสองจํานวน โดยเทียบจากจํานวนเต็ม 100 เสมอ 1. A ตอ B เขียนแทนดวย A:B หรือ AB 2. ถา AB = CD แลว A×D = B×C 3. ขายไดกําไร (%) = เงินกําไรที่ขายได (บาท) × 100 ตนทุนที่ซื้อมา (บาท) 4. ขายขาดทุน (%) = เงินที่ขายขาดทุน (บาท) × 100 ตนทุนที่ซื้อมา (บาท)

1.4 เลขยกกําลังและคุณสมบัติ ในสวนของเรื่องเลขยกกําลังสิง่ ที่สาํ คัญที่สุดคือ นองจะตองจําคุณสมบัติของเลขยกกําลังใหไดซงึ่ มีอยูทั้งหมด 9 ขอดวยกัน เพื่อจะไดนําไปใชในการหาคาของตัวแปรในขอสอบไดอยางถูกตอง an = a × a × a × a × a … × a n ตัว

10


สมบัติของเลขยกกําลัง

ตัวอยางที่ 1 จงทําใหเปนผลสําเร็จ


11



12


ตัวอยางที่ 4 จงทําใหเปนผลสําเร็จ และใหเลขชี้กําลังเปนบวก


13



14



15

1.5 จํานวนจริงและรากที่สอง จํานวนจริง (Real Numbers)

จํานวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จํานวนเต็ม (Integer Numbers)

จํานวนเต็มลบ (Negative Integers Number)

จํานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

เศษสวนหรือทศนิยม (Fraction & Decimal Numbers)

ศูนย (Zero)

จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่สามารถเขียนแทน ดวยทศนิยมซํ้า หรือ เศษสวนโดยที่สวนตองไม เปนศูนยนะ เชน -7, 3, 0, 1.111… , เปนตน

จํานวนเต็มบวก (Positive Integer Numbers)

จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนที่ไมสามารถเขียน แทนดวยทศนิยมซํ้า หรือ เศษสวน เชน 1.21221…, 2 , 7, π, 3 4 เปนตน

รากที่สอง ถาเราให a เปนจํานวนจริงบวกใดๆ หรือศูนยก็ไดนะ เราจะอธิบายคารากที่สองของ a ไดวา จํานวนจริงที่ยกกําลังสองแลว ไดเทากับ a นองๆ อาจจะงงกันแลว ถาอยางงั้นเราลองมาดูตัวอยางกันเลยดีกวา ตัวอยางเชน 4 เปนรากที่สองของ 16 เนื่องจากวาถานํา 42= 16 และอีกเชนเดียวกัน -4 ก็เปนรากที่สองของ 16 เหมือนกันนะ เพราะวา (-4)2 = 16 ดังนั้นเราสามารถเขียนสัญลักษณแทนคารากที่สองของ 16 ไดวา 16 เพราะฉะนั้นพี่ขอสรุปวา 16 = ± 4

16


แนวขอสอบ O-NET 1. จํานวนใดไมใชรากที่สอง 961 ก. 322

ข. 31 และ -31

ค. - 322

ง. (31)2 และ (-31)2

2

2. 22 = ? ก. 16

ข. 32

ค. 64

ง. 128

ค. 7

ง. 9

3. 1415 × 257 มีคาเปนกี่เทาของ 3514 × 85 ก. 3

ข. 5

4. จงหาผลบวกทั้งหมดที่มีคาระหวาง 7 ถึง 20 และสามารถหารดวย 3 แลวเหลือเศษ 1 วามีคาเทาใด ก. 67

ข. 65

ค. 63

ง.61

5. กําหนดให a = -2, b = 4 และ c = -6 จงหาคาของ (-(a+b)) (a+b-c) ก. 8

ข. -8

6. กําหนดให 125-x = 27 จงหาคาของ 25x ก. 19 ข. - 19 7. ถา x = แลว x2 + 1 มีคาเทาใด ก. 3+ 3

ข. 4+ 3

= ax คาของ x คือขอใด ก. 15 ข. 29 16 16 9. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

ค. 16

ง. -16

ค. 9

ง. -9

ค. 3

ง. 5+2 3

ค. 2

ง. 28 16

8.

ก. 0.59999... เปนจํานวนตรรกยะ ข. (x-y)2 = x-y ค. มีคา x ที่ทําให x = -2 ง. 4+3 27+5 32 เปนจํานวนอตรรกยะ 10. จํานวนนับที่มีคามากที่สุดที่หารดวย 2, 5 และ 7 แลวเหลือเศษ 1 เทากันทุกจํานวน คือจํานวนใด ก. 11

ข. 15

ค. 70

ง. 71


17

11. พอคาคนหนึ่งซื้อสมมา 10 กิโลกรัม ราคากิโลกรัมละ 40 บาท ถาตองการขายใหไดกําไร 5 % จากตนทุนจะตองขายสม กิโลกรัมละกี่บาท และไดกําไรทั้งหมดกี่บาท ก. กิโลกรัมละ 48 บาท กําไร 80 บาท ข. กิโลกรัมละ 50 บาท กําไร 100 บาท ค. กิโลกรัมละ 45 บาท กําไร 50 บาท ง. กิโลกรัมละ 42 บาท กําไร 20 บาท 12. รถไฟฟาขบวนหนึง่ มีผโู ดยสาร จํานวน 52 คน เมือ่ รถไฟฟาแลนไปถึงสถานีสะพานตากสินมีผโู ดยสารลงจากรถไปจํานวน หนึ่ง และมีผูโดยสารขึ้นมาอีก 4 คน เมื่อถึงสถานีวงเวียนใหญพบวา 13 ของผูโดยสารลงจากรถและผูโดยสารขึ้นมาใหมอีก 4 คน เมื่อไปถึงปลายทางที่สถานีบางหวา ปรากฏวาเหลือผูโดยสารในรถไฟฟา BTS ทั้งหมด 30 คน จงหาวาผูโดยสารลงจากรถที่สถานี สะพานตากสินกี่คน ก. 17

ข. 21

ค. 25

ง. 28

13. นักเรียนหองหนึ่ง เปนนักเรียนชาย 5 ของนักเรียนทั้งหอง มีนักเรียนหญิงที่ชอบเลนคุกกี้รัน อยู 0.5 ของนักเรียนหญิง 9 ทั้งหมด ถานักเรียนหญิงในหองนี้เลนคุกกี้รัน 8 คน ถามวาจะมีนักเรียนชายในหองนี้กี่คน ก. 18

ข. 20

ค. 22

ง. 24 14. พอใหหนังสือเลมหนึง่ กับ ด.ช.ฟลม เพือ่ เอาไวอา นในการเตรียมสอบ O-Net วันแรกเขาอานได 1 ของจํานวนหนาทัง้ หมด 3 วันตอมาอานได 1 ของจํานวนหนาที่เหลือ ถาวันสุดทายกอนสอบเขาอานหนังสือที่เหลือจํานวน 66 หนา จนจบพอดี แลวหนังสือนี้ 2 มีทั้งหมดกี่หนา ก. 160 หนา

ข. 198 หนา

ค. 398 หนา

15. กําหนดให A

18

B หมายถึง A + B - 5.5 จงหาวา 1


2

3

4 เทากับเทาไร

ง. 465 หนา

เฉลยขอสอบ O-NET 1. ตอบ ขอ ง. เนื่องจากคาของรากที่สองของ 961 ก็คือ 31 และ -31เนื่องจาก ขอ ง. นั้นเปนการนํา 31 และ -31 มายก กําลังสองก็จะทําใหมีคา = 961 จึง ไมถูกตอง 2 2. ตอบขอ ก. เพราะ 22 = 24 = 16 3. ตอบขอ ค. เพราะ

4. ตอบขอ ข. เพราะ จากการหารแลวเราจะไดตัวเลขมาทั้งหมด 5 จํานวนที่หาร 3 แลวเหลือเศษ 1 คือ 7, 10, 13, 16 และ 19 เราสามารถสังเกตเห็นไดวาตัวเลขแตละตัวมีระยะหางเทากันเปนลําดับเลขคณิต เพราะฉะนั้นเราจับคูระหวาง 7 กับ 16 และ 10 กับ 13 จะไดเทากับ 23+23+19 = 65 5. ตอบขอ ง. เพราะจากโจทย กําหนดให a = -2, b = 4 และ c = -6 ดังนั้น (-(a+b)) (a+b-c) = (-(-2+4)). ((-2)+(4)-(-6)) = (-2).(8) = -16 6. ตอบขอ ก. เพราะจากโจทยกําหนดให 125-x = 27 จงหาคา 25x จากโจทย 125-x = 27 ดังนั้นจาก 25x = 52x 5-3x = 33 5-x = 3 5x = 3-1 เพราะฉะนั้น 25x = (3-1)2 = 19 7. ตอบขอ ก. เพราะ ถา

เพราะฉะนั้น


19

8. ตอบขอ ก. เพราะจากโจทยกําหนดให

= ax ดังนั้นแปลงเปนเลขยกกําลังจะได

9. ตอบขอ ก. เพราะวา 0.59999… เปนทศนิยมไมรูจบแบบเขียนซํ้า จึงเปนจํานวนตรรกยะ สวน ขอ ข. ผิด เพราะวา (x-y)2 = คาสัมบูรณของ x-y ขอ ค. ผิด เพราะวา x ≥ 0 เสมอ เมื่อ x ≥ 0 จึงไมมีคา x ที่ทําให x = -2 ขอ ง. ผิด เพราะวา 4 + 3 27 +5 32 = 2+3+2 =7 เปนจํานวนตรรกยะ 10. ตอบขอ ง. เพราะวา จากโจทยขอนี้ หาจํานวนมากที่สุด นองจะตองทําการหาอะไรเอย พอทราบไหม คําตอบคือเรา ตองหา ค.ร.น. เราจะตองหา ค.ร.น. ของ 2, 5 ,7 = 2×5×7 = 70 แลวโจทยบอกวาเหลือเศษ 1 เทากันทุกจํานวน ดังนั้น จํานวนที่มาก ที่สุดที่หารดวย 2,5,7 แลวเหลือเศษ 1 = 70+1 =71 11. ตอบขอ ง. เพราะวา จากโจทย ซื้อสมมา 40 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 10 บาท เพราะฉะนั้น ตนทุน = 40×10 = 400 บาท และตองการกําไร 5% เพราะฉะนั้นหมายความวา ซื้อสมมา 100 บาท 5 × 400 = 20 บาท จะตองขายไป 105 บาท = 100 เพราะฉะนั้นเขาจะไดกําไร 20 บาท และตองขายในราคา = (420÷10) = 42 บาท/ กิโลกรัม 12. ตอบขอ ก. ดังวิธีทําตอไปนี้ สมมุติวามีผูโดยสารลงที่สถานีสะพานตากสิน x คน โจทยกําหนดวา รถคันนี้มีผูโดยสารทั้งหมด 52 คน เมื่อถึงสถานีสะพานตากสิน ผูโดยสารลงไป x คน และขึ้นมาอีก 4 คน ดังนั้นจะเหลือผูโดยสารเมื่อออกจากสถานีสะพานตากสิน = (52-x) + 4 = 56 – x คน เมื่อถึงสถานีวงเวียนใหญ พบวา 13 ของผูโดยสารลงจากรถไฟฟา และมีผูโดยสารขึ้นมาใหมอีก 4 คน 2 จะเหลือผูโดยสาร 3 (56-x)+4 เมื่อถึงปลายทางที่สถานีบางหวาเหลือผูโดยสาร 30 คน 2 (56-x) + 4 = 30 จะไดสมการ คือ 3 นํา 3 คูณตลอด 112 - 2x + 12 = 90 2x = 124 - 90 2X = 34 X = 17

20


13. ตอบขอ ข. เพราะวา จากโจทย มีผูหญิงอยูจํานวน 8 คน ชอบเลนคุกกี้รัน ซึ่งเปนจํานวน 0.5 หรือครึ่งหนึ่งของผูหญิงทั้งหมด ดังนั้นผูหญิงในหองนี้จึงมี = 8×2 = 16 คน และคิดเปน 4 9 ดังนั้น ผูชายที่มีอยู 59 ของนักเรียนทั้งหมดจึงมีจํานวน = 14. ตอบขอ ข. ดังวิธีทําตอไปนี้ สมมุติวาหนังสือเตรียมสอบ O-Net ที่ ด.ช. ฟลมอานมี x 1 วันแรกอานได 3 x แสดงวาวันแรก ด.ช. ฟลมอานได 3 จะเหลือ x - 3x = 2x 3 1 วันตอมาอานได 2 2x × 1 = x แสดงวาวันตอมาอานได 3 2 3 x เพราะฉะนั้น เหลือที่ยังไมไดอานอีก 3 แตสวนที่เหลือมี 66 x = 66 แสดงวา 3 จํานวนหนังสือทั้งหมด x หนา 66×3 = 198 15. ตอบ -6.5 ดังวิธีทําตอไปนี้ A B หมายถึง A + B - 5.5 ดังนั้น หา 1 2 = 1+2- 5.5 = หา -2.5 3 = -2.5 + 3 - 5.5 = หา -5 4 = -5 + 4 - 5.5 =

ของนักเรียนทั้งหมด 5 × 16 = 20 คน 4 หนา ของจํานวนหนาทั้งหมด หนา หนา ของจํานวนที่เหลือ หนา หนา หนา หนา หนา -2.5 -5 -6.5


21

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, จํานวนและการดําเนินการ, จํานวนเต็ม, เลขยกกําลัง, เศษสวน, ทศนิยม, จํานวนจริง, ค.ร.น. และ ห.ร.ม., รากที่สอง, อัตราสวนและรอยละ • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 01: จํานวนจริง http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-1 • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 02: เลขยกกําลัง http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-2 • 14 : อัตราสวนและรอยละ http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-3 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : เลขยกกําลังไรเทียมทาน (1) http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-4 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : เลขยกกําลังไรเทียมทาน (2) http://www.trueplookpanya.com/book/ m3/onet-math/ch1-5 • จํานวนและการดําเนินการ http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-6 • จํานวนจริง (Real Number) http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch1-7

22



การวัดและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ

ในบทนี้จะเปนเรื่องรูปทรงตางๆ ที่นองๆ เคยเจอกันมาตั้งแตสมัยประถมไมวาจะเปนรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมชนิดตางๆ และวงกลมที่เปนรูปทรง 2 มิติ และตลอดจนรูปทรง 3 มิติ ไมวาจะเปนปริซึม พีระมิด กรวย ทรงกระบอก และทรงกลม สําหรับในบท นี้ เราจะคุยกันในเรื่องของการหาพื้นที่ในรูปทรงสองมิติ และพื้นที่ผิวและปริมาตรในรูปทรงสามมิติ ตลอดจนหนวยมาตรฐานสากล ตางๆ ที่ใชในการวัด ซึ่งบางทีนองๆ เห็นแลวอาจจะทอบางในเรื่องของการจําสูตรของการหาพื้นที่และปริมาตร และการแปลงหนวย แตไมเปนไรพวกพี่ๆ ไดสรุปยอทั้งหมด เพื่อใหนองๆ ทุกคนไดนําไปใชไดอยางเขาใจ เพราะพวกพี่ๆ เขาใจวามันเปนการยากที่จะนําไป ใช แตพี่คิดวามันคงไมยากจนเกินไปนักถาเราหมั่นทบทวนและเขาใจในที่มาของมันนะ เอาละเดี๋ยวเรามาเริ่มตนดูในสวนของบทเรียน กันเลยนะ

2.1 การวัดและหนวยมาตรฐานตางๆ ในสมัยโบราณบรรพบุรุษของเรายังไมมีเครื่องมือที่เปนมาตรฐานเกี่ยวกับการวัดระยะทาง เวลา พื้นที่ และปริมาตร การสื่อ ความหมายของคนเกี่ยวกับการวัดในสมัยนั้นอาศัยสิ่งแวดลอมตามธรรมชาติ หรือกิจกรรมที่ทํากันเปนกิจวัตรเปนเครื่องมือในการ บอกระยะทาง เวลา พื้นที่ และปริมาตร ซึ่งเปนการสื่อความหมายเกี่ยวกับการวัดที่ไดจากการสังเกตและการคาดคะเนอยางหยาบๆ ทําใหบางครั้งเกิดปญหาสื่อความหมายไมตรงกัน ตอมาจึงมีการพัฒนาหนวยการวัดใหเปนมาตรฐานสากล มาตรฐานที่นิยมใชกันมีดังนี้ - ระบบอังกฤษ กําหนดหนวยความยาวเปน นิ้ว ฟุต หลา และไมล เปนตน - ระบบเมตริก ถือกําเนิดเมื่อป พ.ศ. 2336 ที่ประเทศฝรั่งเศส กําหนดหนวยความยาวเปน เซนติเมตร เมตร และกิโลเมตร เปนตน - สําหรับประเทศไทย เมื่อ พ.ศ. 2466 ไดประกาศพระราชบัญญัติมาตราชั่ง ตวง วัด โดยอางอิงระบบเมตริกรวมกับหนวย การวัดที่เปนประเพณีไทยบางหนวย พระราชบัญญัตินี้ถูกกําหนดไวใชโดยเฉพาะการซื้อขาย เชน 2 ศอก เทากับ 1 เมตร 1 ไร เทากับ 1,600 ตารางเมตร 1 บาท เทากับ 15 กรัม เมื่อป พ.ศ.2503 องคการระหวางประเทศวาดวยการมาตรฐาน (ISO) ไดกําหนดใหมีระบบการวัดทางวิทยาศาสตรและ เทคโนโลยีใหเปนระบบเดียวกันทั่วโลก เรียกวาหนวยระหวางประเทศ และเรียกหนวยการวัดในระบบนี้วา หนวย SI หนวยฐานของระบบ SI มี 7 หนวย ที่ใชวัดปริมาณ ไดแก - เมตร (Meter : m) เปนหนวยใชวัดความยาว - กิโลกรัม (Kilogram : kg) เปนหนวยใชวัดมวล - วินาที (Second : s) เปนหนวยใชวัดเวลา - แอมแปร (Ampere : A) เปนหนวยใชวัดกระแสไฟฟา - เคลวิน (Kelvin : K) เปนหนวยใชวัดอุณหภูมิ - แคนเดลา (Candela : cd) เปนหนวยใชวัดความเขมของการสองสวาง - โมล (Mole : mol) เปนหนวยใชวัดปริมาณสาร


23

นอกจากนี้มีหนวยการวัดที่เปนมาตรฐานสากลแลว เครื่องมือที่ใชวัดก็มีความสําคัญเชนกัน จะตองเปนเครื่องมือวัดที่ได มาตรฐาน คาที่วัดไดทุกครั้งจะตองมีความเที่ยงตรง ถึงแมวาจะมีการพัฒนาหนวยการพัฒนาหนวยการวัดและเครื่องมือที่ใชวัดใหมี ความเที่ยงตรงเปนมาตรฐานเพียงใดก็ตาม คาที่วัดไดเหลานั้นก็เปนเพียงคาประมาณที่ไดจากการวัดที่เหมาะสมเทานั้น อยางไรก็ตามในชีวิตประจําวันเราไมอาจนําเครื่องมือที่ใชวัดไปใชในทุกสถานที่ ทุกเวลา จําเปนตองประมาณสิ่งตางๆ ที่ ตองการทราบ การบอกคาประมาณของปริมาณสิง่ ตางๆ เรียกวา การคาดคะเน คาทีไ่ ดจากการคาดคะเนจะใกลเคียงคาทีแ่ ทจริงมาก นอยเพียงใดขึ้นอยูกับทักษะและประสบการณของผูคาดคะเน 1. การวัดความยาว ที่นิยมใชกันในประเทศไทย ไดแก หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก ระบบอังกฤษ และมาตราไทย หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก 10 มิลลิเมตร เทากับ 1 เซนติเมตร 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร 1,000 เมตร เทากับ 1 กิโลเมตร หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษ 12 นิ้ว เทากับ 1 ฟุต 3 ฟุต เทากับ 1 หลา 1,760 หลา เทากับ 1 ไมล หนวยการวัดความยาวในมาตราไทย 12 นิ้ว เทากับ 1 คืบ 2 คืบ เทากับ 1 ศอก 4 ศอก เทากับ 1 วา 20 วา เทากับ 1 เสน 400 เสน เทากับ 1 โยชน หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ) 1 นิ้ว เทากับ 2.54 เซนติเมตร 1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร 1 ไมล เทากับ 1.6093 กิโลเมตร 2. การวัดพืน้ ที่ ใชพนื้ ทีใ่ นการบอกขนาดเนือ้ ที่ การวัดพืน้ ทีใ่ นระบบเมตริก และมาตราไทย ซึง่ ใชหนวยการวัดพืน้ ทีเ่ ปนตาราง หนวย หรือ หนวย2 หนวยการวัดพื้นที่ที่สําคัญมีดังนี้ หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก 1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 ตารางมิลลิเมตร 1 ตารางเมตร เทากับ 10,000 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 1,000,000 ตารางเมตร หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ 1 ตารางฟุต เทากับ 144 ตารางนิ้ว 1 ตารางหลา เทากับ 9 ตารางฟุต 1 เอเคอร เทากับ 4,840 ตารางหลา 1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร หรือ 1,7602 ตารางหลา

24


หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย 100 ตารางวา เทากับ 1 งาน 4 งาน เทากับ 1 ไร 400 ตารางวา เทากับ 1 ไร หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร 1 ไร เทากับ 1,600 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 625 ไร หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ) 1 ตารางนิ้ว เทากับ 6.4516 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางฟุต เทากับ 0.0929 ตารางเมตร 1 ตารางหลา เทากับ 0.8361 ตารางเมตร 3. การวัดปริมาตรและนํ้าหนัก ในชีวิตประจําวันเราใชพื้นฐานประสบการณเกี่ยวกับความหนาแนนของสิ่งตางๆ ในการคาด คะเนเกี่ยวกับปริมาตรและนํ้าหนักอยูเสมอ หนวยการวัดปริมาตรและหนวยการวัดนํ้าหนักมีดังนี้ หนวยการวัดปริมาตรในระบบเมตริก 1 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกมิลลิเมตร 1 ลูกบาศกเมตร เทากับ 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ 1 มิลลิเมตร 1 ลิตร เทากับ 1,000 มิลลิเมตร 1 ลิตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1,000 ลิตร เทากับ 1 ลูกบาศกเมตร หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ 3 ชอนชา เทากับ 1 ชอนโตะ 16 ชอนโตะ เทากับ 1 ถวยตวง 1 ถวยตวง เทากับ 8 ออนซ หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก (โดยประมาณ) 1 ชอนชา เทากับ 5 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ถวยตวง เทากับ 240 ลูกบาศกเซนติเมตร หนวยการวัดนํ้าหนักในระบบเมตริก 1 กรัม เทากับ 1,000 มิลลิกรัม 1 กิโลกรัม เทากับ 1,000 กรัม 1 เมตริกตัน เทากับ 1,000 กิโลกรัม หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริกเทียบกับระบบอังกฤษ (โดยประมาณ) 1 กิโลกรัม เทากับ 2.2046 ปอนด 1 ปอนด เทากับ 0.4536 กิโลกรัม


25

หนวยการตวงระบบประเพณีไทยเทียบกับระบบเมตริก กระทรวงพาณิชยไดกาํ หนดการเทียบหนวยการตวงระบบประเพณีไทยกับระบบเมตริก เพือ่ การซือ้ ขาย คือกําหนดให ขาวสาร 1 ถัง มีนํ้าหนัก 15 กิโลกรัม ขาวสาร 1 กระสอบ มีนํ้าหนัก 100 กิโลกรัม 4. การวัดเวลา ในสมัยโบราณมนุษยเห็นดวงอาทิตยก็รูวาวันใหมเริ่มขึ้นแลว และการบอกเวลาเชา สาย บายหรือเย็นก็ อาจดูความยาวของเงาที่เปลี่ยนไป ทําใหเกิดแนวคิดในการกําหนดเวลา 1 วัน วาเปนเวลาที่โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบพอดี เมื่อ มนุษยไดเรียนรูทางดาราศาสตรมากขึ้น จึงมีแนวคิดในการกําหนดเวลา 1 ปทางสุริยคติ วาเปนเวลาที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตยครบ 1 รอบเปนเวลามากกวา 365 วันเล็กนอย ระบบปฏิทินในสมัยแรกๆ ที่นิยมใชกัน ไดแกระบบปฏิทินจูเลียน ระบบนี้จึงกําหนดวา 1 ปมี 365.25 วัน เมื่อใชไปไดระยะหนึ่ง พบวาการใชปฏิทินนี้ในทุกๆ 400 ป จะนับวันมากเกินความจริงไป3 วันเศษ หลังจากนั้นจึงไดมีการ ปรับปรุงเปนระบบปฏิทินเกรกอเรียน ซึ่งเปนระบบปฏิทินที่ใชกันอยูท่ัวโลกในปจจุบันและมีความคลาดเคลื่อนจากความจริงทาง ดาราศาสตรนอยที่สุด ระบบปฏิทินเกรกอเรียน กําหนดให 1 ป มี 365.2425 วัน โดยกําหนดเงื่อนไขวาในปปกตินั้น 1 ปมี 365 วัน แตในปอธิกสุรทิน ซึ่งเปนปที่เดือนกุมภาพันธมี 29 วันนั้น 1 ปมี 366 วัน การกําหนดปอธิกสุรทินใหเปนไปตามหลักการดังนี้ 1. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ไมลงตัว จะไมเปนปอธิกสุรทิน 2. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 100 ลงตัวแตหารดวย 400 ไมลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะไมเปนปอธิกสุรทิน 3. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 100 ไมลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะเปนปอธิกสุรทิน 4. ถาป ค.ศ. ใดหารดวย 4 ลงตัวและหารดวย 400 ลงตัว ป ค.ศ. นั้นจะไมเปนปอธิกสุรทิน • 1 วัน มี 24 ชั่วโมง • 1 ชั่วโมง มี 60 นาที • 1 นาที มี 60 วินาที

26


2.2 พื้นที่รูปทรง 2 มิติ รูปสามเหลี่ยม ชื่อที่ใชเรียก

รูปแสดงลักษณะ

สามเหลี่ยมทั่วไป

สูตรที่ใชในการหาพื้นที่ 1 x ฐาน x สูง 2

สูง ฐาน

สามเหลี่ยมมุมฉาก

1xaxh 2 หรือ 1 × ผลคูณดานประกอบมุมฉาก 2

b

h a

c

สามเหลี่ยมที่ทราบ ความยาวดานทั้งสาม

s(s-a)x(s-b)x(s-c) s=a+b+c 2

b

h a A x

สามเหลี่ยมดานเทา B

สามเหลี่ยมหนาจั่ว

x C

x

3 x X2 4 หรือ 3 x ดาน2 4

สูง

b

b ฐาน

2 2 a 4 x 4b -a

a


27

รูปสี่เหลี่ยม ชื่อที่ใชเรียก


สูตรที่ใชในการหาพื้นที่ X × X = X2 หรือ ดาน×ดาน

x

สี่เหลี่ยมจัตุรัส x y สี่เหลี่ยมผืนผา

X×Y หรือ กวาง × ยาว

x a a

สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน

a×h หรือ ฐาน × สูง

a b e

a a สี่เหลี่ยมดานขนาน

b

b h o

a b สี่เหลี่ยมคางหมู

d

h

c a A

สี่เหลี่ยมรูปวาว

a×h หรือ ฐาน × สูง

D

B

1 x(a+b)xh 2 หรือ 1 × สูง × ผลบวกของดานคูขนาน 2

1 x ผลคูณของเสนทแยงมุม 2

C สี่เหลี่ยมที่มีเสนทแยงมุม ตัดกันเปนมุมฉาก

28


1 xเสนทะแยงมุมxผลบวกของ 2 เสนกิ่ง 2 เสน

รูปอื่นๆ ชื่อที่ใชเรียก


หกเหลี่ยมดานเทา

วงกลม

วงแหวน

สูตรที่ใชในการหาพื้นที่ 6x 3 x (ดาน) 4

รัศมี R

A

O R r

πr2 เมื่อ π ~ 22 ~ 3.14 7 (ความยาวเสนรอบรูปวงกลม 2πr)

π(R2-r2)

2.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรง 3 มิติ รูปทรงสามมิติมีทั้งหมด 5 รูป คือ 1. ปริซึม 2. ทรงกระบอก 3. พีระมิด 4. ทรงกรวย 5. ทรงกลม


29

สูตรในการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติทั้ง 5 ชนิด ชื่อที่ใชเรียก


สูตรที่ใชในการหาพื้นที่

สูตรที่ใชในการหาปริมาตร

ปริซึม

พื้นที่ผิวขางของปริซึม = เสนรอบรูปฐาน × ความสูง พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวกับทาย

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

ทรงกระบอก

พื้นที่ผิวโคงกรวย = 2πrh ; h (ความสูง) พื้นที่หนาตัด 2 หนา = 2πr2 พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2πrh+ 2πr2 หรือ 2πr(r+h)

ปริมาตรทรงกระบอก = πr2h

พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = 1 × ผลบวกของ 2 ความยาวรอบฐาน×สูงเอียง พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน

ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูงตรง 3

พื้นที่ผิวโคงกรวย = πrl ; l คือ ความสูงเอียง พื้นที่หนาตัด =πr2 พื้นที่ผิวทั้งหมด = πrl+πr2 หรือ πr (l+r)

ปริมาตรกรวยกลม = 1πr2h 3

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4πr2

ปริมาตรทรงกลม = 4 πr3 3

จุดยอดมุม

พีระมิด

สัน สูงเอียง สูงเอียง พื้นที่ผิวขาง ยอด สวนสูงเอียง

ทรงกรวย

แกนหรือสวนสูง ฐาน

ทรงกลม

แนวขอสอบ O-NET 1. ผลตางของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปเทากับ 12 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญสั้นกวา สามเทาของความยาวของดานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กอยู 2 เซนติเมตร สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญมีดานยาวเทาใด ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนติเมตร ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนติเมตร

30


2. เจาของหมูบานณัฐกานตตองการแบงเนื้อที่ 12 ไร เพื่อปลูกบานขายเปนหลังๆ ละ 100 ตารางวา และตองการสรางถนน ภายในหมูบานคิดเปนเนื้อที่ประมาณ 1 ของเนื้อที่ทั้งหมด จงหาวาเจาของหมูบานแหงนี้จะปลูกบานไดประมาณกี่หลัง 4 ก. 33 หลัง ข. 34 หลัง ค. 35 หลัง ง. 36 หลัง C 3. D

A

B

จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถา AD เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลาง และมีรัศมี r หนวยแลว พื้นที่แรเงาเทากับกี่ตารางหนวย ก. π(r2 - 4) ตารางหนวย ข. π (4-r) ตารางหนวย 2 ค. r (4 - π/2) ตารางหนวย ง. r2 (2- π/2) ตารางหนวย

4. สนามแหงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 100 ตารางวา ตองการปกเสาทํารั้วโดยใหเสาประตูตนหนึ่งอยูหางจากมุม จุดที่ใกลที่สุด 1.5 เมตร ประตูกวาง 2.5 เมตร เสาตนอื่นๆ ปกหางกันตนละ 2 เมตร อยากทราบวามีเสารั้วทั้งหมดกี่ตน ก. 38 ตน ข. 39 ตน ค. 40 ตน ง. 41 ตน 5. 12 วา ถามวาพื้นดินรูปสี่เหลี่ยมดังภาพมีพื้นที่กี่งาน ก. 2.72 งาน ค. 4.29 งาน

26 วา

ข. 3.12 งาน ง. 5.90 งาน

21 วา 6. ชางปูกระเบื้องไดคํานวณพื้นชั้นลางของบานหลังหนึ่ง วาถาหากใชกระเบื้องขนาด 20×20 ตารางเซนติเมตร จํานวน 80 กลอง กลองละ 25 แผน จะปูพื้นชั้นลางไดพอดี อยากทราบวาบานหลังนี้มีพื้นที่ชั้นลางกี่ตารางเมตร ก. 120 ตารางเมตร ข. 80 ตารางเมตร ค. 60 ตารางเมตร ง. 40 ตารางเมตร 7. ในการเดินทางจากสนามบินสุวรรณภูมิ ประเทศไทย โดยสายการบิน Air Asia ไปยังสนามบินฉางซา ประเทศจีน ใชเวลา 10,800 วินาที ถาเครื่องบิน Air Asia ขึ้นจากสนามบินสุวรรณภูมิเมื่อเวลา 18.30 น. จะถึงสนามบิน ฉางซา คิดเวลาในประเทศไทย ตรงกับเวลาใด ก. 19.00 น. ข. 20.30 น. ค. 21.00 น. ง. 21.30 น. C

8. P

R

A

B

PQR และ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 2 รูป ซึ่งมีดานยาวดานละ 3 เซนติเมตร เมือ่ นํามาซอนกันทําใหเกิดรูปสามเหลีย่ มดานทีเ่ ทากันทุกประการ 6 รูป พื้นที่สวนที่แรเงามีกี่ตารางเซนติเมตร ก. 3 32 ข. 32 ค. 3

ง. 31

Q


31

9. นําเหล็กแทงรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ยาว 55 เซนติเมตร กวาง 10 เซนติเมตร หนา 6 เซนติเมตร นํามาหลอมเปน แทงเหล็กรูปกรวยกลมตันที่มีรัศมีปากกรวย 3 เซนติเมตร ได 50 แทงพอดี กรวยเหล็กที่หลอใหมมีความสูงกี่เซนติเมตร ก. 5 ซม. ข. 7 ซม. ค. 9 ซม. ง. 11 ซม. 10. ทอระบายนํ้าอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลางภายใน 0.5 เมตร เนื้อวัสดุที่ใชทําทอหนา 2 เซนติเมตร ถาตองการทาสีผิวขาง ทั้งดานนอกและดานในจะตองทาสีทั้งหมดกี่ตารางเมตร ถาหากทอยาว 20 เมตร ก. 20.8π ข. 21.8π ค. 22.8π ง. 23.8π 11. โลหะทรงกลมตันรัศมี 12 ฟุต นํามาหลอมเปนทรงกลมตันสามลูก ลูกที่หนึ่งรัศมี 6 ฟุต ลูกที่สองรัศมี 10 ฟุต ลูกที่สาม จะมีรัศมียาวกี่ฟุต ก. 7 ฟุต ข. 8 ฟุต ค. 9 ฟุต ง. 10 ฟุต 12. ชาวนาหาที่เก็บเมล็ดพืชไดเปนรูปทรงกระบอกมีขนาดเสนผานศูนยกลางภายใน 4 เมตร สูง 8 เมตร เมื่อทําการบรรจุ เมล็ดพืชดวยอัตราเร็ว 4 ลูกบาศกเมตรตอนาที อยากทราบวาตองใชเวลากี่นาที จึงจะบรรจุเขาไปถึง 3 ใน 4 ของทรงกระบอกนั้น ก. 17.84 นาที ข. 18.84 นาที ค. 19.84 นาที ง. 20.84 นาที 1 13. ถวยไอศกรีมทรงกรวยมีความสูง 2 3 เซนติเมตร รัศมีปากกรวย 2 เซนติเมตร ทําดวยกระดาษที่วางเหลื่อมกัน 20 ของกระดาษทั้งหมด ถาตองการทําถวยไอศกรีมรูปกรวย 1,000 ใบ ตองใชกระดาษอยางนอยกี่ตารางเซนติเมตร ก. 24,376 ข. 25,376 ค. 26,376 ง 27,376 14. พีระมิดรูปหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีความสูงเทากับรัศมีของวงกลมที่มีความยาวเสนรอบวงเทากับความยาว รอบฐานของพีระมิด ถาพีระมิดฐานยาวดานละ 11 เซนติเมตร พีระมิดจะมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 847 เซนติเมตร ก. 847 2 เซนติเมตร 3 ง. 847 เซนติเมตร ค. 847 เซนติเมตร 5 15. ดินนํ้ามันทรงกลม 3 กอน มีอัตราสวนของรัศมีเปน 3 : 2 : 1 นํามาปนรวมเปนกอนทรงกลม จะไดรัศมีเปนกี่เทาของรัศมี ดินนํ้ามันกอนเล็กที่สุด ก. 3 36 เทา ข. 3 14 เทา ค. 3 7 เทา ง. 3 6 เทา

เฉลยแนวขอสอบ O-NET 1. ตอบขอ ข. ดังวิธีทําตอไปนี้ ให X แทนความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ ให Y แทนความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ผลตางของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเทากับ 12 ตารางเซนติเมตร เราจะเขียนสมการไดวา X2 - Y2 = 12 ……….. (1) และความยาวของสี่เหลี่ยมใหญสั้นกวาสามเทาของความยาวของดานจัตุรัสรูปเล็กอยู 2 เซนติเมตร เราจะเขียนสมการไดคือ 3Y-X = 2 X = 3Y-2 ………(2) แทน X จาก (2) ลงใน (1) จะได (3Y-2)2 - Y2 = 12 2 2 9Y -12Y + 4 - Y -12 = 0 8Y2- 12Y -8 =0

32


นํา 4 หารตลอดได

2Y2 -3Y -2 =0 (2Y+1)(Y-2) =0 Y = 2 , -12 นําคา Y ไปแทนใน (2) จะได X = 4 , -3 12 ดังนั้นเราก็สรุปไดวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญมีดานยาวยาว 4 ซม. 2. ตอบขอ ง. ดังวิธีทําตอไปนี้ จากเนื้อที่ 12 ไร เทากับ 12×400 = 4,800 ตารางวา 1 × 4,800 = 1,200 ตารางวา เปนเนื้อที่ถนนในหมูบาน 4 เหลือเนื้อที่ที่ใชปลูกบาน 4,800 – 1,200 = 3,600 ตารางวา ดังนั้นจะปลูกบานได 3,600 ÷ 100 = 36 หลัง 3. ตอบขอ ค. ดังวิธีทําตอไปนี้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม = (2r) (2r) = 4r2 ตารางหนวย พื้นที่ครึ่งวงกลม = 12 πr2 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่สวนที่แรเงา = 4r2 - 12 πr2 = r2 (4 - π2 ) 4. ตอบขอ ค. เพราะวา (1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร) โจทยกําหนดวา สนามมีพื้นที่ 100 ตารางวา = 100 × 4 = 400 ตารางเมตร สมมุติใหสนามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ b หนวย จะได b×b = 400 2 b = 400 b = 20 ดังนั้น เราจะไดสนามยาวดานละ 20 เมตร เราจะได สนามมีความยาวรอบรูป 20×4 = 80 เมตร เนื่องจากวาประตูกวาง 2.5 เมตร และจุด b หางจากเสาประตู 1.5 ม. ดังนั้น ระยะที่จะปกเสา = 80 – (2.5+1.5) = 76 เมตร โจทยบอกวาเริ่มปกเสาตอจากเสาประตูรั้วโดยปกหางกันดานละ 2 ม. จะปกเสาได 76 2 = 38 ตน รวมกับเสาประตูอีก 2 ตน ดังนั้นปกเสาทั้งหมด 38 + 2 = 40 ตน 5. ตอบขอ ค. ดังวิธีทําตอไปนี้ จากสูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 12 × ผลบวกของดานคูขนาน × สูง = 12 × (12 + 21) × 26 = 429 ตารางวา 100 ตารางวา เปน 1 งาน 429 ตารางวา เปน 1x429 100 = 4.29 งา


33

6. ตอบขอ ข. (10,000 ตารางเซนติเมตร = 1 ตารางเมตร) กระเบื้องมีขนาด 20× 20 = 400 ตารางเซนติเมตร 400 = 0.04 ตารางเมตร = 10,000 โจทยกําหนดวาจะตองใชกระเบื้องขนาดนี้ 80 กลอง กลองละ 25 แผน เราจะไดวาบานหลังนี้มีพื้นที่ชั้นลาง 0.04×80×25 = 80 ตารางเมตร 7. ตอบขอ ง. ดังวิธีทําตอไปนี้ เวลา 3,600 วินาที = 1 ชั่วโมง 10,800 ถาหากวา 10,800 วินาที = 3,600 = 3 ชั่วโมง ดังนั้นเราจะไปถึงสนามบินฉางซา คิดเปนเวลาไทย 18.30+3 = 21.30 น. 8. ตอบขอ ก. เพราะวา จากรูปสามเหลี่ยม ABC หาความยาวของดาน CD C D = 32-1.52 = 6.75 = 9-2.25 1 × 6.75 × 3 = 32 6.75 พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC = 2 สามเหลี่ยม DER ยาวดานละ 1 ซม. DG = 12-0.52 = 0.75 = 1-0.25 1 พื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปเล็ก = 2 × 0.75 ×1 = 1 × 0.75 × 3 = 32 0.75 2 ดังนั้นพื้นที่ที่แรเงา = 32 6.75 - 3 0.75 2 = 3 6 =3 3 2 2 9. ตอบขอ ข. ดังวิธีทําตอไปนี้

C

สูง 3

A

E

10. ตอบขอ ก. ดังวิธีทําตอไปนี้ เสนผานศูนยกลางภายในคือ 0.5 เมตรดังนั้น r = 0.25 เมตร

34


1.5

B

0.5

R

สูง 1

ดังนั้นความสูงของกรวยที่หลอใหมคือ 7 เซนติเมตร

จากตรงนี้เราจะรูทันทีวารัศมีภายนอก

ฐาน D

D

อันดับแรกเรารูวาปริมาตรกรวย 50 แทง = ปริมาตรแทงเหล็ก 1 πr2h = กวาง×ยาว×สูง 3 50× 13 π(32)h = 55×10×6 150πh = 55×10×6 h = 55×10×6×7 150×22 h = 7

วัสดุที่นํามาทําทอหนา 2 เซนติเมตร

1.5

= 0.02 เมตร R = 0.25+0.02 = 0.27 เมตร

0.5

ฐาน G

พื้นที่ที่จะทาสี

= พื้นที่ผิวขางดานนอก + พื้นที่ผิวขางดานใน = 2πRh + 2πrh = 2π(0.27)(20) + 2π(0.25)(20) = 20.8π ตารางเมตร

11. ตอบขอ ข. ดังวิธีทําตอไปนี้ ปริมาตรทรงกลม ปริมาตรทรงกลมรัศมี 6 ฟุต ปริมาตรทรงกลมรัศมี 10 ฟุต ปริมาตรทรงกลมรัศมี 12 ฟุต ปริมาตรทรงกลมลูกที่สาม = = =

= 43 πr3 = 4 π (6)3 3 = 43 π (10)3 = 4 π (12)3 3 4 π (123 - 63 -103) ลูกบาศกฟุต 3 4 π (512) ลูกบาศกฟุต 3 4 π (83) ลูกบาศกฟุต 3

เราจะไดทรงกลมลูกที่สามมีรัศมี เทากับ 8 ฟุต 12. ตอบขอ ข. เพราะ

= 34 × πr2h = 34 × 3.14 × 22×8 = 75.36 ลูกบาศกเมตร หากเราบรรจุเมล็ดพืชดวยอัตราเร็ว 4 ลูกบาศกเมตรตอนาที จะใชเวลา 75.36 = 18.84 นาที 4 13. ตอบขอ ค. เพราะ ปริมาตรสามในสี่ของทรงกระบอกที่ใสเมล็ดพืช

จากโจทย เราตองหาสูงเอียง (l) จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส l2

= (2 3 )2 + 22

l

=4

พื้นที่ผิวขางถวยไอศกรีม = πrl = π (2)(4) = 8π ตารางเซนติเมตร กรวยทําดวยกระดาษเหลื่อมกัน 1 ของกระดาษทั้งหมด 20 1 × 8π กระดาษที่เหลื่อมกัน = 20 = 0.4π ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น ถวย 1 ใบ ตองใชกระดาษ

ถาทํากรวย 1,000 ใบ ตองใชกระดาษ

= 8π + 0.4π = 8.4π ตร.ซม. = 8.4 × 3.14 = 26.376 ตร.ซม. = 26.376× 1,000 = 26,376 ตารางเซนติเมตร


35

14. ตอบขอ ข. เพราะ จากโจทย ความยาวของเสนรอบวง = ความยาวเสนรอบฐานพีระมิด 2πr

=

44

πr

=

22

r

=

7

ดังนั้น พีระมิดสูง 7 เซนติเมตร ปริมาตรพีระมิด

15. ตอบขอ ก. เพราะ

= 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3 = 13 × 11 × 11 × 7 = 847 3 ลูกบาศกเซนติเมตร

ใหดินนํ้ามันกอนเล็กที่สุดมีรัศมี

r

หนวย

อัตราสวนของรัศมีของดินนํ้ามัน คือ 3 : 2 : 1 ดังนั้นปริมาตรของดินนํ้ามันทั้งหมด คือ 4 π(3r)3 + 4 π(2r)3 + 4 π(r)3 3 3 3 3 3 3 4 = 3 π (27r + 8r + r ) = 43 π (36r3) ; 3 36r3 = (3 36 )r เราจะไดวารัศมีของดินนํ้ามันที่เกิดจาก 3 กอนรวมกันเปน 3 36 เทาของรัศมีกอนที่เล็กที่สุด

36


นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, การวัด, การหาพื้นที่, พื้นที่ผิวและปริมาตร, พีระมิด, ปริซึม, กรวย, ทรงกลม, ทรงกระบอก • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 11: ปริซึม พีระมิด http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch2-1 • สอนศาสตร ม.ตน คณิตศาสตร 02: ทรงกลม กรวยยอดตัด http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch2-2 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (1) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch2-3 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (2) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch2-4 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : เทคนิคพื้นที่และปริมาตร (3) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch2-5

บันทึกชวยจํา


37

สาระที่ 3 เรขาคณิต

ในสวนของสาระที่ 3 นี้นะนองๆ จะเปนเรื่องสั้นๆ ที่เกี่ยวกับการกระทํากับรูปทรงเรขาคณิตในรูปแบบตางๆ ไมวาจะเปนการ เลื่อนแกน, การสะทอน และการหมุน ซึ่งเราไดถูกเรียนกันมาสมัย ม.2 และพระเอกสําหรับในสาระนี้ก็จะเปนเรื่องทฤษฏีบท พีทาโกรัส ซึ่งอาจจะเปนยาขมสําหรับนองๆ บางคนที่จะตองจําสูตรและนําสูตรไปใชไดอยางเขาใจและถูกตอง รวมถึงเรื่องของ เสนขนานและสามเหลี่ยมคลายเปนเรื่องที่นองๆ จะตองเขาใจทฤษฏีและหาความสัมพันธของดานและมุมของรูปเรขาคณิตตางๆ ได นะ แตสาํ หรับความตัง้ ใจแลวพวกๆ พีค่ ดิ วาไมยากเกินไปสําหรับนองๆ ทุกคน ถาอยางนัน้ เรามาเริ่มในสวนของเรื่องแรกในสาระนีก้ นั เลยดีกวา

3.1 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต เปนสิ่งที่เรานํามาใชเรียกในการดําเนินการใดๆ ทางเรขาคณิตทั้งในสองมิติและสามมิติ ซึ่งการ แปลงทางเรขาคณิตจะมีทั้งหมด 3 ชนิด ดังตอไปนี้ 1. การเลื่อนแกนทางขนาน 2. การสะทอน 3. การหมุน ภาพที่ไดจากการแปลงลักษณะเหลานี้จะไดภาพและขนาดที่เหมือนกับรูปตนแบบทุกประการ

การเลื่อนขนาน (Translation)



การเลื่อนขนานตองมีรูปตนแบบ ทิศทางและระยะทางที่ตองการเลื่อนรูป การเลื่อนขนานเปนการแปลงที่จับคูจุดแตละจุด ของรูปทีไ่ ดจากการเลือ่ นรูปตนแบบไปในทิศทางใดทิศทางหนึง่ ดวยระยะทางทีก่ าํ หนด จุดแตละจุดบนรูปทีไ่ ดจากการเลือ่ นขนานระยะ หางจากจุดสมนัยกันบนรูปตนแบบเปนระยะทางที่เทากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอยางหนึ่งวา “สไลด (slide)” การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกัน และเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนดในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใชเวกเตอรเปนตัวกําหนด B

B' C'

C

P'

P A

A' O

38


P

การสะทอน (Reflection) เปนการแปลงที่มีการจับคูกันระหวางจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดแตละจุดบนรูปสะทอน โดยที่รูปเกิดจากการสะทอน มี ขนาดและรูปรางเชนเดิม หรือรูปที่เกิดจากการสะทอนเทากันทุกประการกับรูปเดิม เสนสะทอนจะแบงครึ่งและตั้งฉากกับสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดแตละจุดบนรูปสะทอนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะ ระหวางจุดตนแบบและเสนสะทอนเทากับระยะระหวางเสนสะทอนและจุดสะทอน สมบัติการสะทอนมีดังนี้ 1. รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนเทากันทุกประการ 2. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพทีไ่ ดจากการสะทอนของสวนของเสนตรงนัน้ ไมจาํ เปนตองขนานกันทุกคู 3. สวนของเสนตรงทีเ่ ชือ่ มจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดทีส่ มนัยกันบนภาพที่ไดจากการสะทอนจะขนานกัน และ ไมจําเปนตองยาวเทากัน

 A

A'

D E

C

B

F

สรุปวา ภาพสะทอนมีรูปรางและขนาดเดียวกัน แตตรงขามกับ วัตถุตน แบบ และระยะทางของแตละดานของเสนสะทอน จะยาวเทากัน

C' B'

การหมุน (Rotation) สมบัติของการหมุนมีดังนี้ 1. รูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการหมุนเทากันทุกประการ 2. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการ หมุนสวนของเสนตรงนั้นไมจําเปนตองขนานกันทุกคู 3. จุดบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการหมุนแตละคู จะอยูบนวงกลมที่มีจุดหมุนเปนจุดศูนยกลางเดียวกัน แตวงกลมเหลานี้ ไมจําเปนตองมีรัศมียาวเทากัน

A'

C' B

B'

วัตถุจะเกิดการหมุนไปแตละจุดบนภาพที่เกิดขึ้น ยังคงมีทิศทางเดียวกันจากจุดคงที่จุดหนึ่ง

A

K

C

O


39

3.2 เสนขนาน เสนขนานจะเกิดขึน้ จากเสนตรงสองเสนทีอ่ ยูบ นระนาบเดียวกันขนานกันและเสนตรงทัง้ สองไมตดั กัน เมือ่ AB ขนานกับ CD จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ AB // CD e

A

B

12

D

3 4 f

C

สมบัติตางๆของเสนขนาน 1. สมบัติของเสนขนานกับมุมภายใน ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา 1^ + 3^ = 180o และ 2^ + 4^ = 180o 2. สมบัติของเสนขนานกับมุมแยง ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา 1^ = 4^ และ 2^ = 3^ 3. จากรูปสมบัติของเสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน ถาหาก AB // CD มี PQ เปนเสนตัด จะสรุปไดวา ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 = 5 , 2 = 6 , 4 = 8 และ 3^ = 7^ P 1 2 3 4

A

B

D

5 6 7 8 Q

C

ตัวอยางที่ 1 1)

X

A 56o

C

40

2)

B

A

124o

D

Y


C

X

94o

Y

B

D

วิธีทํา = 184o = 180o

1. AB // CD เพราะวาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันรวมกันได = 124o+56o= 180o 2. AB ไมขนานกับ CD เพราะวาขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันรวมกันได = 94o+90o

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให AB // CD จงหาคา x F

A

B

เนื่องจาก AB // CD จะได (x+10o)+72o = 180o x+ 82o = 180o x = 180o-82o x = 98o

72o

c

(x+10)2 E

D

3.3 พีทาโกรัส ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉากใดๆ พืน้ ทีร่ ปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั บนดานตรงขามมุมฉาก จะมีคา เทากับผลบวกของพืน้ ทีร่ ปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั บนดานประกอบมุมฉากรวมกัน เราสามารถนํามาเขียนเปนสมการไดดังนี้ c 2 = a2 + b 2 ถาเมื่อไหรที่ c2 = a2 + b2 แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

นี้เลยนะ

รูปแบบมาตรฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เรานํามาใชบอยๆ 1. 3, 4, 5 6. 11, 60, 61 2. 5, 12, 13 7. 12, 35, 37 3. 7, 24, 25 8. 20, 21, 29 4. 8, 15, 17 9. 1, 3 , 2 5. 9, 40, 41 10. 1, 1, 2 ถาหากวาเราอยากรูว า รูปสามเหลีย่ มนัน้ ๆ เปนชนิดของรูปสามเหลีย่ มมุมอะไร เรามีหลักเกณฑในการพิจารณา ตามดานลาง เมื่อ c เปนความยาวของดานที่ยาวที่สุด 1. ถา c2 = a2 + b2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมฉาก 2. ถา c2 > a2 + b2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมปาน 3. ถา c2 < a2 + b2 แลว รูปนั้นจะเปน มุมแหลม 4. ถา c = a+b แลวจะเปนเสนตรง สรางเปนรูป ไมได เชน 5, 5, 10 เปนตน c

C

b a

b

a


41

3.4 สามเหลี่ยมคลาย

A D

สามเหลี่ยมคลาย ก็คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู b และอัตราสวนของความยาวดานเดียวกัน หรือที่เรียกวา ความยาวของ ดานคูที่สมนัยกันในทุกๆ คู จะมีอัตราสวนที่เทากัน สรุปคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คลายกัน มีดังนี้ C ถา ABC ~ DEF แลว 1. มุมที่สมนัยกันจะมีขนาดเทากัน จากรูป A^ = D^ , B^ = E^ , C^ = F^ 2. ดานที่สมนัยกันจะเปนสัดสวนกัน จากรูป da = be = cf

c

a

e B

F

f

d

E

เกร็ดความรู สามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการจะเปนสามเหลี่ยมที่คลายกันเสมอ แตสามเหลี่ยมที่คลายกัน จะไมเปน สามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ

แนวขอสอบ O-NET 1. ขอใดไมเกี่ยวของกับการสะทอน ก. ภาพเสมือนที่ปรากฏในกระจกเงา ข. ภาพเงาของตนไมในนํ้า ค. ภาพตัวหนังสือกลับดานเมื่ออานผานกระจกมองหลัง ง. ภาพนกหลายๆตัวบินดวยกันบนทองฟา 2. ลูกเสือออกเดินทางไปยังที่พักแรมแหงหนึ่ง ตามแผนผังการเดินทางจะตองเดินตรงไปทางทิศเหนือของโรงเรียน 11 กิโลเมตร เลี้ยวขวาตรงไปทางทิศตะวันออก 12 กิโลเมตร แลวตรงขึ้นไปทางทิศเหนืออีก 5 กิโลเมตร จึงจะถึงที่พัก ระยะทางที่สั้น ที่สุดจากโรงเรียนไปถึงที่พักแรมยาวกี่กิโลเมตร ก. 16 กิโลเมตร ข. 17 กิโลเมตร ค. 20 กิโลเมตร ง. 23 กิโลเมตร 3. ถา AB // CD คาของ 2x + 1 เทากับเทาไร B 4x+30o D ก. 50 ข. 51 ค. 52 7x-45o ง. 53 A C 4. เสาโทรทัศนตน หนึง่ ตัง้ ฉากกับพืน้ ราบ มีความสูง 7.2 เมตร ขึงลวดยึดเสาโทรทัศนตรงกึง่ กลางของเสา โดยขึงลวด 4 เสน ระยะหางจากโคนเสาถึงปลายลวดที่พื้นคือ 2.7 เมตร จะตองใชลวดทั้งหมดยาวกี่เมตร (ไมรวมลวดที่ใชผูก) ก. 16 เมตร ข. 18 เมตร ค. 20 เมตร ง. 22 เมตร

42


A 5. จากรูป CD= 25 ซม. และ BC = 9 ซม. แลว (AB)2+(AC)2+(AD)2 มีคาเทาใด ก. 1,381 ซม. ข. 1,251 ซม. B C D ค. 1,151 ซม. ง. 891 ซม. 6. เงาของตึกหลังหนึ่งทอดยาว 24 เมตร ขณะที่เสาไฟฟาตนหนึ่งสูง 2 เมตร เงาทอดยาว 3 เมตร ซึ่งไปทับเงาของปลาย ยอดตึกพอดี อยากทราบวาตึกสูงกี่เมตร ก. 16 เมตร ข. 17 เมตร ค. 18 เมตร ง. 19 เมตร 7. ชางไฟฟาไดนําบันไดซึ่งยาว 15 เมตร วางพาดกับเสาไฟฟาตนหนึ่งซึ่งสูง 18 เมตรปรากฏวาปลายบันไดพาดติดเสาซึ่ง อยูสูงจากพื้น เปนระยะ 23 ของความสูงของเสา ถาชางไฟฟาคนนี้ปนขึ้นไปได 35 ของความยาวบันได ชางไฟฟาคนนี้จะอยูสูงจาก พื้นดินเทาไร ก. 2.4 เมตร ข. 3.6 เมตร ค. 7.2 เมตร ง. 8.4 เมตร 8. “….. บนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกันและ เปนระยะทางที่เทากันตามกําหนด” ควรเติมขอความใดเพื่อใหสอดคลองกับขอความที่กําหนดให ก. การเคลื่อนที่ ข. การหมุน ค. การเลื่อนขนาน ง. การสะทอน 9. เด็กคนหนึ่งยืนหางจากตึก 45 เมตร มองเห็นยอดตึก 10 ชั้นเปนมุมเงย 60o เมื่อเขาเดินเขาหาตึกเปนระยะทาง 15 เมตร แลวแหงนหนามองตึกชั้นที่หาเปนมุมเงย 30o ถาตึกชั้นที่ 5 สูงจากพื้นดิน 11.5 เมตร จงหาความสูงของตึกสิบชั้น ก. 7.25 เมตร ข. 17.25 เมตร ค. 27.25 เมตร ง. 37.25 เมตร H ^ ^ = 5y-8 จงหาคา x+y 10. จากรูปกําหนดให AB // CD มี CFE = (2x+2y) และ DGE 48o E ก. 20 A B ข. 40 32o ค. 60 (2x+2y)o (5y-8)o ง. 80 C F G D 11. ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี AB = 5 นิ้ว, BC = 9 นิ้ว และ CA = 7 นิ้ว จากจุด A ลาก AD ตั้งฉากกับ BC ที่จุด D แลว AD ยาวเทาไร ข. 6 11 นิ้ว ก. 7 11 นิ้ว 6 6 ง. 6 7 นิ้ว ค. 11 7 นิ้ว 6 11 12. เสาอากาศทีวีสูง 24 ฟุต ถาใชลวดโยงจากยอดเสามายังหลักที่ปกอยูที่พื้นสามจุด ซึ่งหลักอยูหางจากโคนเสา 45 ฟุต, 18 ฟุต และ 32 ฟุต ตามลําดับ จะตองใชลวดยาวทั้งหมดกี่ฟุต ก. 99 ฟุต ข. 116 ฟุต ค. 121 ฟุต ง. 126 ฟุต 13. สมศรีสูง 160 ซม. ยืนอยูหางจากเสาไฟฟา 8 เมตร ที่ปลายเสาไฟฟามีโคมไฟอยูทําใหเห็นเงาของสมศรีทอดยาวไป 4 เมตร ถาปลายของยอดเสา ศีรษะและปลายเงาของสมศรีอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน จงหาความสูงของเสาไฟฟา ก. 4.0 เมตร ข. 4.8 เมตร ค. 4.5 เมตร ง. 4.2 เมตร


43

C 14. จากรูปกําหนด BC ขนานกับ XY และ AX ยาว 6 หนวย, XB ยาว 3 หนวย, Y YX ยาว 4 หนวย จงหาความยาวของ BC ก. 4 หนวย ข. 6 หนวย A X B ค. 8 หนวย ง. 10 หนวย 15. ขอใดกลาวไมถูกตองเกี่ยวกับสมบัติของการเลื่อนขนาน ก. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของสวนของเสนตรงนั้นจะขนานกัน ข. รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานมีขนาดเทากันทุกประการ ค. สามารถพลิกรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานไดสนิท ง. จุดทุกจุดบนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานจะมีระยะหางจากรูปตนแบบเปนระยะทางเทากัน

เฉลยแนวขอสอบ O-NET 1. ตอบขอ ง. “ภาพนกหลาย ๆ ตัวบินดวยกันบนทองฟา” ไมเกี่ยวของกับการสะทอน 2. ตอบขอ ค. จากโจทยสรางแบบจําลอง ไดตามดานลางนี้ ให AB แทนระยะทางที่สั้นที่สุดจากโรงเรียนถึงที่พักแรม จาก ทฤษฏีบทพีทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 12 กม. = (12)2 + (11 + 5)2 = 256 + 144 11 กม. = 400 A = 20 ดังนั้น AB = 400 เราจะได ระยะทางที่สั้นที่สุดจากโรงเรียนถึงที่พักแรมยาว 20 กิโลเมตร 3. ตอบขอ ข จากรูป จะเห็นวามุมแยงทั้งสองมุมนี้จะมีคาเทากัน B 4x+30o D ดังนั้นเราจะได 4x+30 = 7x-45 7x-4x = 30+45 3x = 75 7x-45o X = 75 = 25 A 3 C จากโจทยตองการหาคา 2x+1 = 25(2) +1 = 51 4. ตอบขอ ข ใหลวด x ที่ใชแตละเสนยาว x เมตร จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส c2 = a2 + b 2 c2 = (3.6)2 + (2.7)2 c2 = 12.96+7.29 = 20.25 C = 4.5 = x ดังนั้นตองใชลวดยาวทั้งหมดเทากับ 4.5×4 = 18 เมตร

44


B 5 กม.

C

5. ตอบขอ ก ใหความยาว AC = x ซม. ความยาว AB = y ซม. ความยาว AD = z ซม. ACD ; x2 = z2 – (25)2 = z2 – 625 .......(1) 2 2 2 2 ACB ; x = y – (9) = y – 81 …….(2) 2 2 2 ใหนํา (1) + (2); x = y + z – 706 …….(3) พิจารณา ABD; y2+ z2 = (25+9)2 = 1,156 นําไปแทนใน (3) จะได 2x2 = 1,156 – 706 =450 x2 = 450 = 225 2 ดังนั้น x2+ y2+ z2 = 225+1,156 = 1,381 นั่นคือ (AB)2+ (AC)2+(AD)2 = 1,381 ตึก 6. ตอบขอ ก ใหตึกสูง x เมตร เสา จากทฤษฏีของสามเหลี่ยมคลายจะได 24 = x 2 ม. 3 2 3 ม. 48 คูณไขว ดังนั้น x = = 16 เมตร 24 ม. 3 7. ตอบขอ ค จากรูปให PQ เปนความสูงของเสาไฟฟา ซึ่ง PQ = 18 เมตร P AB เปนความยาวของบันได ซึ่ง AB = 15 เมตร B ดังนั้น BQ = 2 PQ = 2 × 18 = 12 เมตร 3 3 XY เปนความสูงของชางที่ขึ้นบันไดไปได 3 ของความยาวบันได 5 x เราจะได AX = 3 × 15 = 9 เมตร 5 ABQ ~ AXY จะได XY = AX BQ AB XY = 9 12 15 y A Q คูณไขวกัน XY = 9x12 = 7.2 เมตร 15 ดังนั้น ชางไฟฟาจะอยูสูงจากพื้นดิน 7.2 เมตร 8. ตอบขอ ค เพราะวา การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนว เสนตรงในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามกําหนด ตึก 9. ตอบขอ ข x ม. x+11.5 45 = 11.5 30 x+ 11.5 = 17.25 11.5 ม. ดังนั้น x = 5.75 เมตร 30o 60o เนื่องจากวา x ที่เราหาไดนั้นเปนความยาวตั้งแตชั้น 5 ถึงชั้น 10 5 ม. เพราะฉะนั้นตึกมีความสูง 11.5 + 5.75 = 17.25 เมตร 45 ม.


45

10. ตอบขอ ข จากรูป จะเห็นวา มุม AEF = 180o - (48o + 32o) = 180o - 80o = 100o และ มุม BEG = 180o – (32o + 100o) = 180o - 132o = 48o จากทฤษฏีเสนขนาน จะไดมุม BEG + มุม DGE = 180o 48o + (5y – 8)o = 180o (5y + 40)o = 180o 5y = 140o y = 28o และจากทฤษฏีเสนขนาน จะไดมุม CFE + มุม AEF = 180o (2x+2y)o + 100o = 180o (2x+2y)o = 80o แทนคา y = 28o จะได (2x + 2(28))o = 80o 2x = 24o x = 12o ดังนั้น คา x+y = 28o + 12o = 40o 11. ตอบขอ ก กําหนดให BC = 9 นิ้ว ให BD = x นิ้ว จะไดวา CD = 9-x นิ้ว พิจารณาจาก ADB; (AD)2 = (5)2 – (x)2 (AD)2 = 25 – (x)2 ……. (1) พิจารณาจาก ADC; (AD)2 = (7)2 – (9-x)2 (AD)2 = 49 – 81 + 18x - x2 (AD)2 = -32 + 18x - x2 ….. (2) (1)=(2); 25 – (x)2 = -32 + 18x - x2 18x = 57 X = 57 , 19 18 6 แทนคา x = 19 ใน (1) ; 6 (AD)2 = 25 – ( 19 )2 6 = 25 - 361 = 900-361 = 539 36 36 36 539 7 11 AD = 36 = นิ้ว 6 12. ตอบขอ ค จากรูป เราพบวา AB, BC และ BD เปนความยาวของเสนลวด = AO2 + OB2 พิจารณา AOB จะได AB2 = 452 + 242 = 2,025 + 576 = 2,601

46


H A

48o

E 32o

(2x+2y)o C F

B (5y-8)o G D

ดังนั้น พิจารณา

AB COB จะได BC2

= 2,601 = 51 B = BO2 + OC2 = 242 + 182 24 ฟุต = 576 + 324 O D 32 ฟุต = 900 18 ฟุต A 45 ฟุต ดังนั้น BC = 900 = 30 C = BO2 + OD2 พิจารณา DOB จะได BD2 = 242 + 322 = 576 + 1,024 = 1,600 ดังนั้น BD = 1,600 = 40 เพราะฉะนั้น เราใชลวดยาวทั้งหมด 51+30+40 = 121 ฟุต 13. ตอบขอ ข ABE ~ ACD ฉะนั้น D DC = CA EB BA E DC = 12 1.6 4 1.6 ม. A 12 DC = × 1.6 4 4 ม. B 8 ม. C DC = 4.8 ม. ดังนั้น DC ยาว 4.8 เมตร 14. ตอบขอ ข เนื่องจาก ABC ~ AXY BC = AB จะได XY AX BC = 9 4 6 BC = 9 × 4 6 ดังนั้น BC = 6 หนวย 15. ตอบขอ ค สมบัติของการเลื่อนขนาน มีดังนี้ 1. การเลือ่ นขนานบนระนาบ เปนการแปลงทางเรขาคณิตทีม่ กี ารเลือ่ นจุดทุกจุดบนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทาง เดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนด 2. สามารถเลือ่ นรูป ตนแบบทับภาพทีไ่ ดจากการเลือ่ นขนานไดสนิทโดยไมตอ งพลิกรูป หรือกลาววารูปตนแบบและ ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานจะเทากันทุกประการ 3. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของสวนของเสนตรงนั้นจะขนานกัน ดังนั้น ขอความในขอ ค. กลาวไมถูกตอง


47

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, เรขาคณิต, การแปลงทางเรขาคณิต, การเลื่อนขนาน, การสะทอน, การหมุน, เสนขนาน, ความคลาย, ทฤษฏีบทพีทาโกรัส

• 15 : ความคลาย http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch3-1

• คลังความรู ทฤษฏีบทพีทาโกรัส http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch3-7

• 16 : เรขาคณิต 1 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch3-2

• การแปลงทางเรขาคณิต – การสะทอน http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch3-8

• 17 : เรขาคณิต 2 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch3-4

• เรขาคณิต http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch3-9

• 20 : อัตราสวนตรีโกณมิติ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch3-5

• ทฤษฎีบทของปทาโกรัส (The Pythagorean Theorem) http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch3-10

• ตอน12 ตรีโกณมิติ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch3-6

48


สาระที่ 4 พีชคณิต

นองๆ ทุกคนในสาระที่ 4 นีจ้ ะเปนสาระทีค่ อ นขางยากอีกสาระหนึง่ ทีเ่ ราจะตองอาศัยความเขาใจและตีความโจทยปญ  หาเพือ่ ที่จะสรางเปนตัวเลขและหาคําตอบออกมาใหได ใชแลวนองๆ ทุกคนคงพอจะเดาออกแลวนะวา คําวา ‘พีชคณิต’ นี้เราจะพูดในเรื่อง ของสมการเปนหลักเพียงอยางเดียว ทัง้ สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและระบบสมการทีจ่ ะประกอบดวย 2 ตัวแปร พวกพีๆ่ จะเปนหวง นองๆ ในเรื่องของการตีความโจทยปญหาของสมการ ซึ่งบางคนยังมีปญหาเรื่องของการวิเคราะหโจทยปญหาซึ่งแนนอนถาเรา วิเคราะหโจทยผิดปบ จบแนนอนละสําหรับเรื่องนี้ เอาละที่พี่พูดมาอาจจะดูนากลัวไปนิดนึงแตปญหาทุกอยางมีทางแกไข วันนี้พี่ๆ ทุก คนไดรวบรวมเนื้อหาและโจทยปญหาที่เปนแนวทางในการเตรียมตัวสอบ O-NET มาชวยเพิ่มความมั่นใจใหนองๆ ทุกคน ถา อยางนั้นเราลองมาดูในเรื่องแรกสําหรับสาระที่ 4 นี้กันเลยดีกวา

4.1 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว สมการ คือ ประโยคสัญลักษณที่บอกถึงความสัมพันธของจํานวนโดยใชสัญลักษณ = (เทากับ) ซึ่งสิ่งที่เกิดขึ้นนั้น อาจจะเปน จริงหรือเท็จก็ได สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เราจะพูดถึงสมการที่มีตัวแปรเดียวและมีดีกรีเปนหนึ่ง รูปทั่วไปของสมการคือ ax + b = 0 เมื่อ a 0 และ a, b เปนคาคงตัวที่มี x เปนตัวแปร ตัวอยาง สมการทั้งหมดตามดานลางนี้เปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว x + 7 = 11 3 (x-5) = 8 -8 + a = -2 การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ทําได 2 วิธี ดังนี้ 1. โดยการแทนคาตัวแปร คือ การนําจํานวนไปแทนในสมการเพื่อใหคาที่ไดเปนจริง เชน 2x + 3 = 9 ถาเราแทนคา x = 3 ก็จะทําใหสมการเปนจริงเราจึงไดคําตอบของสมการนี้วา x = 3 2. โดยใชสมบัติของการเทากัน ซึ่งไดแก สมบัติสมมาตร, สมบัติการถายทอด, สมบัติการบวกและการคูณ 2.1 สมบัติสมมาตร ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว b = a 2.2 สมบัติการถายทอด ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว a = c และ b = c 2.3 สมบัติของการบวก ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว a+c = b+c 2.4 สมบัติของการคูณ ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ถา a = b แลว ac = bc


49

ตัวอยาง จงแกสมการ 3-2x - 5+x = 1 6 3 2 วิธีทํา นํา ค.ร.น. 6 ไปคูณทั้งสองขางของสมการ 6( 3-2x ) – 6( 5+x ) = 6( 1 ) 6 3 2 3 – 2x – 2(5 + x) = 3 3 – 2x -10 – 2x = 3 -4x – 7 = 3 -4x = 10 x = -10 = -5 4 2 หลักในการแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 1. อานโจทยปญหาใหเขาใจแลววิเคราะหโจทยเพื่อหาวา โจทยกําหนดอะไรมาให และโจทยตองการทราบอะไร 2. กําหนดตัวแปรหนึ่งตัวแทนสิ่งที่โจทยใหหาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวของกับที่โจทยตองการทราบ 3. สรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวตามความสัมพันธที่โจทยกําหนดให 4. แกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 5. วิเคราะหคําตอบของสมการ เพื่อหาคําตอบของโจทยปญหา 6. ตรวจคําตอบ 7. ในกรณีที่โจทยปญหามีความซับซอนใหใชรูปภาพเพื่อชวยในการหาคําตอบไดงายขึ้น เทาใด

ตัวอยาง ฟลมมีเงินเปนครึ่งหนึ่งของอู และอูมีเงินเปน 3 เทาของแมน ทั้งสามคนมีเงินรวมกัน 110 บาท แตละคนมีเงิน วิธีทํา

ใหฟลมมีเงิน x อูมีเงินเปน 2x แมนมีเงินเปน 2x( 1 ) = 2x 3 3 ดังนั้น จะได x + 2x + 2x 3 3x + 6X + 2X 11X X ดังนั้น ฟลมมีเงิน 30 บาท อูมีเงิน 2(10) = 60 บาท แมนมีเงิน 110 – 90 = 20 บาท

บาท บาท บาท = 110 = 330 = 330 = 330 = 30 11

4.2 ระบบสมการเชิงเสนและระบบสมการ สมการเชิงเสนสองตัวแปร คือ สมการที่มีตัวไมทราบคาหรือตัวแปรสองตัว และมีดีกรีเปนหนึ่ง รูปทั่วไปของสมการ คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A,B,C เปนคาคงตัว โดยที่ A และ B ไมเปนศูนยพรอมกัน การแกสมการเชิงเสนสองตัวแปร ทําได 3 วิธี ดังนี้ 1. โดยใชกราฟ วิธีนี้จะไมคอยเปนที่นิยมเนื่องจากมีความยุงยาก

50


2. โดยการแทนคา มีวิธีการดังนี้คือ x + y = 5 …….(1) x – y = 1 …….(2) 2.1 เขียนตัวแปรหนึ่งใหอยูในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง เชน x + y = 5 …….(1) เขียนแทนดวย x = 5 - y ….. (3) 2.2 แทนคาตัวแปรของสมการที่ 2.1 ลงในอีกสมการหนึ่งที่ไมใชสมการเดิม จากโจทย ก็คือแทน (3) ลงใน (2) x – y = 1 …….(2) แทนคาเปน (5-y)-y = 1 หลังจากนั้นก็แกสมการจะไดคา y = 2 2.3 หลังจากนั้นนําคา y ที่ไดไปแทนในสมการที่ (1) หรือ (2) ก็ได ในที่นี้จะแทนคา y = 2 ลงในสมการที่ (2) จะได x – y = 1 …….(2) x–2=1 x =3 ดังนั้นคําตอบของระบบสมการคือ x = 3 และ y= 2 3. วิธกี าํ จัดตัวแปรใดตัวแปรหนึง่ ใหหมดไป (Eliminating)วิธนี ใี้ ชกาํ จัดตัวแปรใดตัวแปรหนึง่ ออกกอนโดยทีส่ มั ประสิทธิ์ ดานหนาจะตองเทากัน เชน X + Y = 5 …(1) X –Y = 1 …(2) (1)-(2) (X – X) + (Y – (-Y)) = 5–1 2Y = 4 Y = 2 นําผลลัพธที่ได Y = 2 แทนคาลงไปในสมการใดก็ได ในที่นี่แทนคาลงไปในสมการที่ (1) X+Y = 5 …(1) ไดวา X + 2 = 5 X = 5–2 = 3 ดังนั้นคําตอบของระบบสมการนี้ คือ X = 3, Y = 2 หลักในการแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนสองตัวแปร 1. ใหอักษรภาษาอังกฤษบางตัว เชน x แทนตัวที่ไมทราบคา 2. ใหอักษรตัวที่ไมไดใชใน (1) เชน y แทนตัวที่ไมทราบคาอีกตัวหนึ่ง 3. เขียนสมการเชิงเสนสองตัวแปร สองสมการ ที่เปนอิสระตอกัน 4. หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน 2 ตัวแปร 5. ตรวจคําตอบ


51

ตัวอยาง นําแปงสองชนิดราคากิโลกรัมละ 30 บาทและ 36 บาท ตองนําแปงมาผสมกันในอัตราสวนเทาไร จึงจะทําให แปงผสมราคากิโลกรัมละ 34 บาท วิธีทํา กําหนดแปงชนิดราคากิโลกรัมละ 30 บาท มี x กิโลกรัม กําหนดแปงชนิดราคากิโลกรัมละ 36 บาท มี y กิโลกรัม แปงผสมแลวมี 30x + 36y บาท และจํานวนแปงที่ผสมแลวมี x+y กิโลกรัม ดังนั้นราคาแปงที่ผสมราคากิโลกรัมละ 30x+36y บาท x+y แตโจทยกําหนดวาใหแปงผสมราคากิโลกรัมละ 34 บาท ไดสมการ คือ 30x+36y = 34 x+y 30x+36y = 34x+ 34y 2y = 4x x = 1 y 2 ดังนั้นจะตองนําแปงชนิด 30 กิโลกรัมและ 36 กิโลกรัมผสมกัน ในอัตราสวน 1:2 สมการกําลังสอง เปนสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัวยกกําลังสอง รูปทั่วไปของสมการกําลังสองคือ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a 0 ถา a = 0 จะเปนสมการเชิงเสน ซึ่ง a และ b เปนสัมประสิทธิ์ของ x2 และ x ตามลําดับ สวน c คือ สัมประสิทธิ์คงตัว และ กราฟของสมการกําลังสองสามารถวาดไดเปนรูปพาราโบลา การแกสมการกําลังสอง ทําได 2 วิธี ดังนี้ 2 1. โดยใชสูตร x = -b+- 2ab-4ac จะมีรากคําตอบของสมการ 2 คําตอบเสมอ 2. การแยกตัวประกอบ ตัวอยาง 3x-y = 12 ……(1) xy = 63 ……(2) จาก (1); y = 3x-12 ……(3) แทนคาจาก (3) ลงใน (2) จะไดวา x(3x-12) = 63 = 0 3x2-12x-63 2 x -4x-21 = 0 (x-7) (x+3) =0 X = -3, 7 แทนคา x= -3 ลงใน (3) จะได y = -21 แทนคา x = 7 ลงใน (3) จะได y = 9 คําตอบของระบบสมการ คือ (-3,-21) และ (7,9)

52


แนวขอสอบ O-NET 1. เลขสองหลักจํานวนหนึ่งมีผลตางของตัวเลขหลักสิบและหลักหนวยเปน 1 ของผลบวกของตัวเลขสองหลักนั้น แลวผล 2 รวมของกําลังสองของเลขในหลักสิบและหลักหนวยตรงกับขอใด ก. 28 ข. 38 ค. 48 ง. 58 2. เสนตรงที่มีสมการ 2x+3y = 12 ตัดแกน x และ แกน y ที่ (a,0) และ (0,b) ตามลําดับ แลวคาของ a – 2b เปนเทาไร ก. -2 ข. -6 ค. -8 ง. -14 3. กราฟของสมการในขอใดที่ตัดแกน x และแกน y แลวไดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ก. 2x + 2y = -6 ข. 2x – y = 6 ค. 5x+10y = 30 ง. 5+2x+y = 0 4. ผูใหญ 3 คนกับเด็ก 4 คน ซอมรถบรรทุกคันหนึ่งเสร็จใน 14 วัน และผูใหญ 10 คนกับเด็ก 15 คน ซอมรถคันเดียวกันนั้น เสร็จใน 4 วัน ถาผูใหญ 7 คนกับเด็ก 6 คน จะซอมรถคันนั้นเสร็จในกี่วัน ก. 7 วัน ข. 9 วัน ค. 11 วัน ง. 13 วัน 5. รานขายเครื่องพิมพดีด ซื้อเครื่องพิมพดีดมาราคาเครื่องละ 3,360 บาท ขายไป 2 ของจํานวนเครื่องพิมพดีดที่ซื้อมา 3 ราคาเครื่องละ 4,620 บาท และขายอีก 2 เครื่องราคาเครื่องละ 5,000 บาท สวนที่เหลือขายไปในราคาเครื่องละ 3,840 บาท ตรวจสอบแลวไดกําไร 12,320 บาท รานขายเครื่องพิมพดีด ซื้อเครื่องพิมพดีดมาขายทั้งหมดกี่เครื่อง ก. 8 เครื่อง ข. 10 เครื่อง ค. 12 เครื่อง ง. 14 เครื่อง 6. ปราณีเลี้ยงสัตว 3 ชนิด มีนกกระทา 1 ของสัตวทั้งหมด ไก 1 ของที่เหลือ นอกนั้นเปนนกขุนทองจํานวน 18 ตัว ปราณี 4 5 เลี้ยงสัตวทั้งหมดกี่ตัว ก. 20 ตัว ข. 25 ตัว ค. 30 ตัว ง. 35 ตัว 7. เมื่อนับขากระตาย และขานกรวมกันได 164 ขา แตนับหาง นกกับหางกระตาย จะได 44 หาง จงหาวากระตายมีกี่ตัว ก. 42 ตัว ข. 40 ตัว ค. 38 ตัว ง. 36 ตัว 8. กระเปาใบหนึ่ง บรรจุเหรียญบาทและเหรียญ 50 สตางค ไวจํานวนหนึ่ง ถาครึ่งหนึ่งของจํานวนเหรียญบาทเทากับหนึ่ง ในสามของจํานวนเหรียญหาสิบสตางค และสองเทาของจํานวนเหรียญทั้งหมดมากกวาสามเทาของจํานวนเหรียญ 50 สตางคอยู 4 เหรียญ แลวในกระเปาใบนี้มีเงินทั้งหมดกี่บาท ก. 20 บาท ข. 18 บาท ค. 16 บาท ง. 14 บาท 9. พาราโบลา y = -2(x-1)2 + 14 ตัดกับพาราโบลา y = (x-1)2 + 2 ที่จุด A และ B ถา C เปนจุดกึ่งกลางของ AB ขอใดเปน สมการพาราโบลาที่มี C เปนจุดยอดและผานจุด (0,0) ก. 6x2 + 12x + 2y = 0 ข. 6x2 - 12x + y = 0 ค. 6x2 + 12x + y = 0 ง. 6x2 - 12x + 2y = 0


53

10. โรงละครแหงหนึ่งตั้งราคาตั๋วสําหรับผูที่ตองการซื้อเพื่อชมการแสดงไว 3 ราคา คือ 300 บาท 500 บาท และ 1,000 บาท จากการจําหนายตัว๋ พบวามียอดเงินรวมทีจ่ าํ หนายตัว๋ ทัง้ หมดได 11,865,000 บาท โดยจําหนายตัว๋ ราคา 500 บาท มียอดจําหนาย เปน 5 ของยอดจําหนายตั๋วราคา 1,000 บาท และตั๋วราคา 1,000 บาท มียอดจําหนายเปน 1 ของยอดจําหนายตั๋วราคา 300 บาท 4 4 จงหาวาจํานวนตั๋วที่โรงละครขายไดทั้งหมดเปนเทาไร ก. 26,000 ใบ ข. 26,250 ใบ ค. 26,500 ใบ ง. 27,000 ใบ 11. ถาเราเฝาดูนกกระจาบบินเพื่อจับดอกบัวในสระนํ้าแหงหนึ่ง พบวาถานกกระจาบจับดอกบัว ดอกละตัว จะเหลือนกหนึ่ง ตัวที่ไมมีบัวจับ แตถานกกระจาบบินจับดอกบัว ดอกละ 2 ตัว จะเหลือบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ ถามวาในสระนี้มีนกกี่ตัว มีดอกบัวกี่ดอก ก. นก 3 ตัว บัว 5 ดอก ข. นก 5 ตัว บัว 7 ดอก ค. นก 4 ตัว บัว 3 ดอก ง. นก 6 ตัว บัว 4 ดอก 12. เด็กคนหนึ่งขี่จักรยานได 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง และชวงตอไป 16 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง ถาเขาใชเวลาตลอดทางรวม 4 ชั่วโมง จงหาระยะทางที่ขี่จักรยาน ของแตละชวง ตามลําดับ ก. 20 กม. และ 35 กม. ข. 21 กม. และ 36 กม. ค. 22 กม. และ 37 กม. ง. 23 กม. และ 38 กม. 13. ปราณีพายเรือในนํ้านิ่งไดทาง 3 กม. ในเวลา 16 นาที หากพายเรือทวนนํ้าในระยะทางเทาเดิมจะใชเวลา 20 นาที หาก เธอพายเรือตามนํ้าในระยะทางเทาเดิมจะใชเวลานานกี่นาที ก. 12 นาที ข. 13 1 นาที 3 ค. 14 1 นาที ง. 15 นาที 3 14. พี่นองสองคนชวยกันเก็บสมในสวนไดสมรวมกัน 252 ผล คนพี่กองสมของตนไวกองละ 9 ผล คนนองกองไวกองละ 6 ผล นับกองสมทั้งหมดได 34 กอง จงหาจํานวนสมที่แตละคนเก็บได ก. 112 ผล, 140 ผล ข. 130 ผล, 122 ผล ค. 144 ผล, 108 ผล ง. 100 ผล, 152 ผล 15. ขาวสารกระสอบที่ 1 มีขา วเจาปนขาวเหนียวในอัตราสวน 8:3 ขาวสารกระสอบที่ 2 มีขา วเจาปนกับขาวเหนียวในอัตราสวน 5:1 ถานําขาวจากกระสอบทัง้ สองไปบรรจุใหเต็มถุงขนาด 35 ลิตร โดยตองการใหมขี า วเจาปนขาวเหนียวในอัตราสวน 4:1 อยากทราบ วาตองตักขาวมาจากกระสอบที่ 1 กี่ลิตร ก. 8 ลิตร ข. 9 ลิตร ค. 10 ลิตร ง. 11 ลิตร

เฉลยขอสอบทาย O-NET 1. ตอบขอ ข ใหตัวเลขในหลักสิบแทนดวย x และตัวเลขในหลักหนวยคือ y จะได x-y = 1 (x+y) …….(1) 2 xy = 12 ……..(2) จาก(1)x2 ; 2(x-y) = (x+y) 2x – 2y –x-y = 0 x – 3y =0 ดังนั้น x = 3y ……..(3)

54


แทนคา x = 3y ใน (2) จะได (3y)(y) = 12 2 3y – 12 = 0 3 (y2 – 4) =0 (y-2)(y+2) =0 y = -2, 2 (แต -2 ใชไมได) แทนคา y=2 ใน(3); จะได x = 3(2) = 6 จะไดวา เลขหลักสิบคือ 6 และเลขหลักหนวยคือ 2 ดังนั้น x2 +y = (6)2 + 2 = 36+2 = 38 2. ตอบขอ ก จากโจทย 2x + 3y = 12 3y = -2x + 12 y = -2 x + 4 3 x y = -2 x + 4 3

-1

0

6

42 3

4

0

กราฟตัดแกน x ที่ (6,0) และตัดแกน y ที่ (0,4) แสดงวา a=6, b=4 ดังนั้นเราจะได a-2b = 6-8 = -2

3. ตอบขอ ก กราฟของสมการที่ตัดกับแกน x และ y แลวเกิดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วนั้น จะเปนกราฟของสมการที่ตัดแกน x ที่จุด (0, +- a) และตัดแกน y ที่จุด ( +- a,0) ถาหากเราพิจารณาตัวเลือกพบวา 2x+2y = -6 ตัดแกน x ที่จุด (0,-3) และตัดแกน y ที่จุด (-3,0) 4. ตอบขอ ก ในเวลา 1 วัน ใหผูใหญ 1 คน ซอมรถได x หนวย ในเวลา 1 วัน ใหเด็ก 1 คน ซอมรถได y หนวย ในเวลา 14 วัน ผูใหญ 3 คน กับเด็ก 4 คน ซอมรถได (14×3×x) + (14×4×y) = 42x + 56y …..(1) ในเวลา 4 วัน ผูใหญ 10 คน กับเด็ก 15 คน ซอมรถได (4×10×x) + (4×15×y) = 40x + 60y …..(2) (1) = (2) จะได 42x + 56y = 40x + 60y 2x = 4y x = 2y แทนคา x ใน (2) ; 40(2y) + 60y = 140y ในเวลา 1 วัน ผูใหญ 7 คน กับเด็ก 6 คน ซอมรถได (1×7×x) + (1×6×y) = 7x + 6y …..(3) แทน x ใน(3); 7(2y) + 6y = 20y ผูใหญ 7 คน กับเด็ก 6 คน ซอมรถได 20y หนวย ในเวลา 1วัน ดังนั้น ซอมรถได 140y หนวย ในเวลา 140y = 7 วัน 20y


55

5. ตอบขอ ข อันดับแรกเราสมมติวาซื้อเครื่องพิมพดีดมา x เครื่อง ซื้อเครื่องพิมพดีดมาราคาเครื่องละ 3,360 บาท ดังนั้น ลงทุนซื้อเครื่องพิมพดีด 3,360x บาท ขายเครื่องพิมพดีดไป 2 ของจํานวนที่ซื้อมา 3 2 x เครื่อง จะไดวา ขายเครื่องพิมพดีดไป 3 ขายเครื่องพิมพดีดไปราคาเครื่องละ 4,620 บาท บาท ดังนั้น ขายไปเปนเงิน 2 x × 4,620 = 3,080x 3 ขายอีกสองเครื่องเครื่องละ 5,000 บาท เปนเงิน 10,000 บาท เหลือเครื่องพิมพดีด x-( 2 x + 2) เครื่อง 3 เครื่องพิมพดีดที่เหลือขายไปราคาเครื่องละ 3,840 บาท เครื่องพิมพดีดที่เหลือขายไปเปนเงิน 3,840[x-( 2 x + 2)] บาท 3 เมื่อตรวจสอบแลวขายเครื่องพิมพดีดไดกําไร 12,320 บาท 2 สมการ 3,080x + 10,000+ 3,840[x-( x + 2)]- 3,360x = 12,320 3 3,080x + 10,000+ 1,280x -7,680-3,360x = 12,320 1,000x = 10,000 x = 10 ดังนั้น จึงซื้อเครื่องพิมพดีดมาทั้งหมด 10 เครื่อง 6. ตอบขอ ค เราสมมติใหสัตวเลี้ยงของปราณีมีทั้งหมด x ตัว 1 มีนกกระทา ของสัตวทั้งหมด 4 x ดังนั้น จะเปนนกกระทา ตัว 4 สวนที่เหลือเปนสัตวอื่น คือ x - x = 3x ตัว 4 4 1 ไกมีอยู ของสัตวที่เหลือ 5 1 × ( 3 x) ดังนั้นจะเปนไก = 3 x ตัว 5 4 20 3 ดังนั้น จะเปนนกขุนทอง = x- 3 x 4 20 = 15-3 x = 12 x = 3 x 20 20 5 แตโจทยบอกวาปราณีเลี้ยงนกขุนทอง 18 ตัว ดังนั้นจะได 3 x = 18 5 x = 30 ดังนั้น ปราณีจึงเลี้ยงสัตวไวทั้งหมด 30 ตัว 7. ตอบขอ ค ใหกระตายมีทั้งหมด x ตัว และนกมีทั้งหมด y ตัว จะไดวากระตายทั้งหมดมี 4x ขา

56


นกทั้งหมดจะมี 2y ขา เนื่องจากขากระตายและขานกรวมกัน 164 ขา จะไดวา 4x + 2y = 164 ….. (1) และหางกระตายและหางนกรวมกัน 44 หาง จะไดวา x + y = 44 ……(2) (2)×2 2x+2y = 88 ……(3) (1)-(3) 2x = 76 x = 38 เพราะฉะนั้น จะมีกระตาย 38 ตัว และมีนก 6 ตัว 8. ตอบขอ ง ให x เปนเหรียญบาท, y เปนเหรียญ 50 สตางค 1 x = 1 y ……(1) จากโจทย 2 3 2(x+y) – 3y = 4 ……(2) 2x + 2y -3y =4 2x – y =4 y = 2x – 4 ……(3) แทนคา y ใน (1) เพื่อหา x 1x = 1 (2x – 4) 2 3 3x = 2(2x-4) 3x = 4x-8 X =8 ดังนั้น y = 2(8) – 4 = 12 นั่นคือ กระเปาใบนี้มีเงินทั้งหมด 8 + 12 = 14 บาท 2 9. ตอบขอ ข จาก y = -2(x-1)2 + 14 …… (1) y = (x-1)2 + 2 …… (2) (1)=(2); -2(x-1)2 + 14 = (x-1)2 + 2 -3 (x-1)2 = -12 2 (x-1) = 4 (x-1) = +- 2 x = 3,-1 แทนคา x = 3 และ -1 ใน (2) จะได y = 6 ดังนั้น A(3,6) และ B(-1,6) เนื่องจาก C(x,y) เปนจุดกึ่งกลางของ AB ดังนั้นC(x,y) = C( 3+(-1) , 6+6 ) = C(1,6) 2 2 ดังนั้นสมการพาราโบลาที่มี C (1,6) เปนจุดยอดและผานจุด (0,0) คือ 0 = a (0-1)2 + 6 ดังนั้น a = -6


57

จะไดสมการคือ

y 6x2-12x+y

= -6(x-1)2 + 6 = -6 (x2-2x+1) +6 = -6x2+12x = 0

10. ตอบขอ ข ตั๋วราคา 1,000 บาท ขายได x ใบ เปนเงิน 1,000x บาท ตั๋วราคา 300 บาท ขายได 4x ใบ เปนเงิน 300(4x) บาท =1,200x บาท ตั๋วราคา 500 บาท ขายได 5 x ใบ เปนเงิน 500( 5 x) บาท = 625x บาท 4 4 จะได 1,000x + 1,200x + 625x = 11,865,000 2,825x = 11,865,000 X = 11,865,000 2,825 X = 4,200 ดังนั้น โรงละครขายตั๋วไดทั้งหมด = x + 4x+ 5 x = 25x 4 4 = 25(4,200) = 26,250 ใบ 4 11. ตอบขอ ค ใหสระนี้มีนก x ตัว มีดอกบัว y ดอก ถานกจับบัวดอกละตัวจะเหลือนก 1 ตัว ที่ไมมีบัวจับ สมการคือ x-y = 1 …..(1) ถานกจับดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะเหลือบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ แบงนก x ตัวเปนกลุม กลุมละ 2 ตัว ได x กลุม 2 สมการ คือ y- x = 1 ….. (2) 2 (1)+(2); x =2 2 x =4 แทนคา x = 4 ใน (2) เพื่อหาคา y y-2 =1 y =3 ดังนั้น จะมีนก 4 ตัว ดอกบัว 3 ดอก 12. ตอบขอ ข ใหชวงแรกเด็กคนหนึ่งขี่จักรยานใชเวลา x ชั่วโมง ดังนั้น ชวงสองเขาขี่จักรยานใชเวลา 4-x ชั่วโมง ดังนั้น 12x + 16(4-x) = 57 12x + 64 -16x = 57 -4x = 57-64 7 X = =13 4 4 เพราะฉะนั้น ชวงสองใชเวลา 4 - 1 3 = 2 1 ชั่วโมง 4 4 ดังนั้น ชวงแรกขี่ไดระยะทาง 1 3 × 12 = 21 กิโลเมตร 4

58


ชวงสองขี่ไดระยะทาง 2 1 × 16 = 36 กิโลเมตร 4 13. ตอบขอ ข สมมติวาปราณีพายเรือตามนํ้าในระยะทาง 3 กม. ใชเวลา x นาที เวลา 16 นาที พายเรือในนํ้านิ่งไดทาง 3 กม. 3x เวลา x นาที พายเรือในนํ้านิ่งไดทาง กม. 16 เวลา 20 นาที พายเรือทวนนํ้าไดทาง 3 กม. 3x เวลา x นาที พายเรือทวนนํ้าไดทาง กม. 20 จากสูตร ความเร็วเรือตามนํ้า = ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง + ความเร็วกระแสนํ้า ความเร็วเรือทวนนํ้า = ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง - ความเร็วกระแสนํ้า ดังนั้น ความเร็วตามนํ้า + ความเร็วทวนนํ้า = 2×ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง ความเร็วเรือตามนํ้า = 2×ความเร็วเรือในนํ้านิ่ง – ความเร็วเรือทวนนํ้า = 2 × 3x - 3x 16 20 3x = - 3x 8 20 = 9x 40 9x ระยะทาง กิโลเมตร 40 พายเรือตามนํ้าใชเวลา x นาทีระยะทาง 3 กิโลเมตร พายเรือตามนํ้าใชเวลา 3x×40 = 13 1 นาที 9x 3 ดังนั้น พายเรือตามนํ้าจะใชเวลา 13 1 นาที 3 14. ตอบขอ ค ใหคนพี่เก็บผลไมได x กลอง คิดเปนผลไม 9x ผล ดังนั้น คนนองเก็บผลไมได 34-x กอง คิดเปนผลไม 6(34-x) ผล ดังนั้น 9x + 6(34-x) = 252 ผล 9x + 204 -6x = 252 3x = 252-204 x = 48 = 16 กอง 3 ดังนั้น คนพี่เก็บสมได 9×16 = 144 ผล คนนองเก็บสมได 6(34-16) = 108 ผล 15. ตอบขอ ง ตักขาวสารจากกระสอบทั้งสองปนกันเต็มถุงได 35 ลิตร อัตราสวนของขาวสารกระสอบที่ 1 : กระสอบที่ 2 = 4:1 หรือวามีขาวสารกระสอบที่ 1 = 4 ของขาวสารที่ปนกัน 5 = 4 × 35 = 28 ลิตร 5 และเปนขาวสารกระสอบที่ 2 = 35-28 = 7 ลิตร


59

ดังนั้น มีขาวขาวเจาปนกับขาวเหนียวเปนอัตราสวนดังนี้ ขาวสารกระสอบที่ 1 อัตราสวน = 8:3 = 8x:3x กระสอบที่ 1 เปนขาวเจา 8x ลิตร และขาวเหนียว 3x ลิตร ขาวสารกระสอบที่ 2 อัตราสวน = 5:1 = 5y:y กระสอบที่ 2 เปนขาวเจา 5y ลิตร และขาวเหนียว y ลิตร ไดสมการดังนี้ 8x+5y = 28 …..(1) 3x +y = 7 …….(2) นํา(2) × 5 15x+15y = 35 ……(3) นํา (3) – (1) 7x =7 x =1 กระสอบที่ 1 มีขาวเจาปนกับขาวเหนียวรวมกัน 8x+3x=11x แทน x =1 ดังนั้น กระสอบที่ 1 มีขาวสารคิดเปน 11 ลิตร

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, พีชคณิต, สมการ, สมการเชิงเสน, ระบบสมการ

• 03 : ระบบสมการเชิงเสน 1 http://www.trueplookpanya.com/ book/m3/onet-math/ch4-1 • 04 : ระบบสมการเชิงเสน 2 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch4-2 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : ระบบสมการ (1) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch4-3

60


• สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : ระบบสมการ (2) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch4-4 • บทนําเรื่องสมการเชิงเสน (Linear Equations) http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch4-5


การวิเคราะหขอมูลทางสถิติและความนาจะเปน

เราก็เขามาสูในสาระที่ 5 กันแลวนะนองๆ ทุกคนซึ่งในสาระนี้สวน ใหญจะเราจะเนนในเรื่องของการจําสูตรและการนําสูตร ในทางสถิตินี้นําไปใชใหถูกตองและเราอาจจะตองนําวิทยายุทธในเรื่องของสมการที่เราไดศึกษากันไปในสาระที่แลวมาชวยในสาระนี้ ดวย เพราะวาเราจะตองใชมันในการหาตัวไมทราบคา ซึ่งในสาระนี้จะเปนพื้นฐานทางสถิติและความนาจะเปนซึ่งเปนสิ่งที่เกี่ยวของ และใกลเคียงกับชีวิตประจําวันของเราโดยที่เราไมรูตัว อยางเชนวาเวลาที่เราไปซื้อของเราก็จะมีการเปรียบเทียบราคาหลายๆ ยี่หอ เพือ่ เก็บเปนขอมูล แลวเราก็นาํ ขอมูลนัน้ มาวิเคราะหประกอบในการตัดสินใจวาเราจะซือ้ ยีห่ อ ไหนถึงจะดีและคุม คากับเงินทีเ่ ราเสียไป มากที่สุด สาระนี้จึงมีความสําคัญเราะวามันเปนอะไรที่ใกลตัวเรามากนั่นเอง เพราะฉะนั้นสูตรทางสถิติและความนาจะเปนจะเปน ประโยชนกับนองๆ ทุกคนตอไปในอนาคต เอาละเรามาเริ่มเนื้อหาของสาระที่ 5 นี้ กันเลยดีกวานะ

5.1 สถิติ สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนขอมูล ขอเท็จจริง หรือขอมูลตางๆ ที่มีการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่อาจจะพยากรณหรือคาด เดาลวงหนาได การหาคาตารางแจกแจงความถี่ จะมีสูตรตางๆ ตามขางลางนี้ พิสัย คือ ความแตกตางของขอมูลที่มีคามากที่สุดกับขอมูลที่มีคานอยที่สุด พิสัย = Max – Min จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น ถาหากหารแลวเหลือเศษใหปดขึ้นเปนจํานวนเต็ม ถาหารแลวลงตัวใหบวกเพิ่มไปหนึ่ง ขอบลาง = คานอยที่สุดในชั้นนั้น+คามากที่สุดในชั้นที่ตํ่ากวา 2 ขอบบน = คามากที่สุดในชั้นนั้น+คานอยที่สุดในชั้นที่ตํ่ากวา 2 ความกวางของอันตรภาคชั้น = ขอบบน – ขอบลาง จุดกึ่งกลางชั้น = คะแนนตํ่าสุดในชั้นนั้น+คะแนนสูงสุดในชั้นนั้น 2

การหาคากลางของขอมูล การหาคากลางของขอมูล (Central Tendency) เปนการคํานวณคากลางของขอมูลเพือ่ ใชเปนตัวแทนแสดงขนาดและลักษณะ ของขอมูลแตละชุด สามารถทําไดหลายวิธีดังนี้


61

คาเฉลี่ยเลขคณิต เปนคาเฉลี่ยที่นิยมใชกันมากที่สุด คาเฉลี่ยเลขคณิต กรณีขอมูลไมมีการจัดหมวดหมู ขอมูลตัวอยาง ถามีขอมูล x1…… xn

คาเฉลี่ยเลขคณิต กรณีขอมูลมีการจัดหมวดหมู

ดังนั้นคาจางรายวันโดยเฉลี่ยทั้ง 4 กลุม เทากับ 165.48 บาท คุณสมบัติของคาเฉลี่ย 1. เปนตัวแทนของขอมูลที่ใชขอมูลทุกคามาทําการคํานวณหาขนาดของคาเฉลี่ย 2. เราสามารถนําคาเฉลี่ยมาวิเคราะหขอมูลทางสถิติขั้นสูงได 3. เนือ่ งจากมีการใชขอ มูลทุกคามาคํานวณ ถาหากวามีขอ มูลบางตัวทีม่ ขี นาดเล็กหรือมีขนาดใหญมากจะ กระทบกับการคํานวณขนาดของคาเฉลี่ย มัธยฐาน (Median) เปนคาที่บอกภาพรวมของขอมูล โดยพิจารณาจากตําแหนงกึ่งกลางที่เรียงลําดับจากนอยไปหามาก แทนดวย Me ก. กรณีที่ขอมูลไมแจกแจงความถี่ - ขอมูลเปนเลขคี่ มัธยฐาน = คาของขอมูลลําดับที่ ( n+1 ) 2 - ขอมูลเปนเลขคู มัธยฐาน = [ คาของขอมูลลําดับที่(n)/2 + คาของขอมูลลาดับที่(n+1)/2 ] / 2 ข. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่

L = ขอบลางของชั้นมัธยฐาน I = ความกวางของชั้น n = จํานวนขอมูลทั้งหมด fl = ความถี่ของชั้นที่มัธยฐานอยู F = ความถี่สะสมของชั้นที่มีคาสังเกตตํ่ากวาชั้นมัธยฐาน คุณสมบัติของมัธยฐาน 1. เปนการใชคาของขอมูลที่ตําแหนงตรงกลางมาเปนตัวแทน ดังนั้นขอมูลที่มีคามากหรือนอยผิดปกติจึง ไมมีผลกระทบ หรือถาหากมีการเปลี่ยนแปลงของขอมูลบางตัวจะมีผลกระทบตอมัธยฐานนอยมาก 2. มัธยฐาน จะเปนตัวแทนของขอมูลไดใกลเคียงกับประชากรสวนใหญมากกวาคาเฉลีย่ เลขคณิต หากการ แจกแจงขอมูลเบไปทางใดทางหนึ่ง 3. ถาขอมูลมากระจุกที่คามากหรือนอยมากเกินไป จะไมสามารถหาคามัธยฐานได

62


ฐานนิยม (Mode) เปนคาที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดหนึ่งอาจจะมีคาเดียวหรือหลายคาก็ไดในขอมูลชุดนั้นๆ กรณีที่ขอมูลมีการแจกแจงความถี่

โดยที่

ฐานนิยม

L = ขอบลางของชั้นที่มีความถี่สูงสุด I = ความกวางของชั้น d1 = ความตางระหวางชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับชั้นตํ่ากวา d2 = ความตางระหวางชั้นที่มีความถี่สูงสุดกับชั้นสูงกวา คุณสมบัติของฐานนิยม 1. สามารถคํานวณไดงาย รวดเร็ว 2. ขอมูลที่มีคามากหรือนอยผิดปกติหรือถามีการเปลี่ยนแปลงของขอมูลบางตัวก็จะไมมีผลกระทบตอ ความสัมพันธระหวาง Mean, Median, Mode 1. ขอมูลที่มีการกระจายอยางสมมาตร จะทําใหคา Mean, Median, Mode จะเทากันหรืออยูใกลเคียงกัน

Mean, Median, Mode 2. ขอมูลที่มีการกระจายไมเทากัน ทําใหคา Mean, Median, Mode แตกตางกัน

คาเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม


63

2 ความนาจะเปน ความนาจะเปน หมายถึง จํานวนที่แสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอยเพียงใด ความนาจะเปนของเหตุการณ = จํานวนเหตุการณที่เราสนใจ จํานวนเหตุการณทั้งหมด n(E) หรือ P(E) = n(S) เมื่อ P(E) = ความนาจะเปนของเหตุการณ n(E) = จํานวนเหตุการณที่เราสนใจ n(S) = จํานวนเหตุการณทั้งหมด ทฤษฏีความนาจะเปน ถาเราให S แทนแซมเปลสเปซ และ E แทนเหตุการณ ใดๆ ในแซมเปลสเปซ เราสามารถบอกไดวา 0 ≤ P(E) ≤1 P(E) = 1 เมื่อ n(E) = n(S) P(E) = 0 แสดงวาเหตุการณนั้นไมเกิดขึ้น ขอควรจํา - เหตุการณที่มีการกระทําตอเนื่องกันใหนําความนาจะเปนแตละเหตุการณมาคูณกัน P(E) = P(E1)× P(E2)× P(E3)×…× P(En) - เหตุการณที่มีการกระทําไมตอเนื่องกัน ใหนําความนาจะเปนแตละเหตุการณมาบวกกัน P(E) = P(E1)+ P(E2)+ P(E3)+…+ P(En) - ถามีสิ่งของ n สิ่ง แตเลือกมาทีละ r สิ่ง จํานวนวิธี C(n,r) = n! /(n-r)!

แนวขอสอบ O-NET ขอใด

1. ขอมูลชุดหนึ่งมี 4 จํานวน ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 30 มีมัธยฐานเปน 28 และมีฐานนิยมเปน 24 แลวพิสัยของขอมูลนี้คือ

ก. 10 ข. 12 ค. 14 ง. 16 2. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ตารางหนึ่งมี 7 อันตรภาคชั้น โดยมีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเทากัน ถาชั้นแรก และชั้นสุดทายมีจุดกึ่งกลางชั้นเปน 45 และ 87 ตามลําดับ อยากทราบวาขอบบนของอันตรภาคชั้นในชั้นที่ 5 ตรงกับขอใด ก. 63.5 ข. 70.5 ค. 76.5 ง. 83.5 3. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึง่ คาเฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนีเ้ ทากับ 53 คะแนน แตจากการตรวจสอบพบวา มีขอสอบของนักเรียนอีก 2 คน ที่ยังไมไดตรวจ เมื่อตรวจเสร็จแลวปรากฏวา คาเฉลี่ยของคะแนนสอบ ของนักเรียนหองนี้ เทากับ 55 คะแนน และผลรวมคะแนนสอบเพิ่มขึ้นอีก 180 คะแนน จํานวนนักเรียนในหองนี้เทากับเทาใด ก. 37 ข. 35 ค. 33 ง. 31

64


4. คาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน เปน 72 ถาคะแนนของนักเรียน 8 คน เปนดังนี้ 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93, 99 สวนคะแนนของนักเรียนอีก 2 คน คุณครูทําคะแนนสอบหายไป แตพอจะทราบวา 2 คนนี้มีคะแนนตางกัน 4 คะแนน แลวมัธยฐาน ของคะแนนสอบตรงกับขอใด ก. 69 ข. 71 ค. 73 ง. 75 2 5. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูล a, 2a , a +2 , 10 โดยที่ a > 0 คือ 4 แลว คามัธยฐานมีคาเทาใด ก. 2 ข. 2.5 ค. 3 ง. 3.5 6. ในการคิดคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง เมื่อคิดเสร็จแลวภายหลังจึงพบวาทําคะแนนผิดไป 2 คน คือ คนแรกเปน ผู ที่ไดคะแนนตํ่าสุดนั้นตองเพิ่มคะแนนใหเคาอีก 10 คะแนน สวนคนที่ 2 เปนผูที่ไดคะแนนสูงสุดตองลดลง 5 คะแนน แตอยางไรก็ตาม เมื่อเพิ่มลดคะแนนเรียบรอยแลว ลําดับของแตละคนไมเปลี่ยนแปลง จงพิจารณาวา (1) คาเฉลี่ยเลขคณิตเดิมที่คิดไวใชไมได ตองคิดใหม (2) คามัธยฐานที่หาไวเดิมใชไมได ตองหาใหม ก. (1) ถูกขอเดียว ข. (2) ถูกขอเดียว ค. ถูก 2 ขอ ง. ผิด 2 ขอ 7. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของขอมูล x,y,z ใดๆ เปน m1 และ m2 ตามลําดับ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ก. คาเฉลี่ยเลขคณิตของ x2, y2, z2 คือ m12 ข. มัธยฐานของ 3x,3y,3z คือ 3 m2 ค. คาเฉลี่ยเลขคณิตของ 1 , 1 , 1 คือ 1 x y z m ง. มัธยฐานของ x+y, y+z, z+x คือ 2 m2 1 8. จากการสํารวจนักเรียนชายที่มาสมัครสอบเขาชั้น ม.4 ของโรงเรียนรัฐบาลชื่อดังแหงหนึ่ง พบวา มีนักเรียน 9 คน ที่สวม แวนสายตา มี 7 คนที่ไวผมทรงนักเรียน ถานักเรียนที่สวมแวนสายตาหรือไวผมทรงนักเรียนรวมกันเปน 12 คน ความนาจะเปนถาหาก สุมเลือกนักเรียนมา 1 คน แลวจะไดนักเรียนชายที่ไวผมทรงนักเรียนและสายตาปกติเปนเทาใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 4 5 7 9 9. รถกระบะคันหนึ่งเรขายของภายในหมูบาน ขายนํ้าพริก 3 ชนิด คือ นํ้าพริกปลาแหง, นํ้าพริกตาแดง และ นํ้าพริกกะป วางรวมๆกันอยูทายรถ ขณะที่จัดเตรียมของเพื่อนําไปขาย พบวาสลากปายชื่อนํ้าพริกแตละชนิดหลุดหายไป 50 ขวด แตคนขายทราบ วาความนาจะเปนที่จะหยิบมา 1 ขวด จะเปนนํ้าพริกตาแดง เทากับ 1 หรือเปนนํ้าพริกปลาแหงเทากับ 0.4 อยากทราบวามีนํ้าพริก 5 เผาวางขายอยูทายรถกระบะกี่ขวด ก. 10 ขวด ข. 15 ขวด ค. 20 ขวด ง. 25 ขวด 10. สํารวจเครื่องดื่มที่เด็กวัยรุนกลุมหนึ่งดื่มในชวงอากาศรอน เด็ก 6 คน ดื่มนํ้าอัดลม เด็ก 9 คนดื่มนํ้าชาเขียว ถาเด็กที่ สํารวจแลวมี 12 คน เลือกเด็กมา 1 คน จงหาความนาจะเปน ที่เด็กวัยรุนคนนี้จะดื่มนํ้าอัดลมเทานั้น ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 4 5 7 9 11. ภายในถุงใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีขาวจํานวน 7 ลูก มีลูกแกวสีแดงจํานวน a ลูก และมีลูกแกวสีเขียวจํานวน b ลูก ถาสุม หยิบลูกแกวขึ้นมา 1 ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีแดงเทากับ 3 และความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีเขียวเทากับ 1 5 5 ถุงใบนี้มีลูกแกวสีแดงและสีเขียวรวมกันทั้งหมดกี่ลูก ก. 18 ลูก ข. 25 ลูก ค. 28 ลูก ง. 35 ลูก


65

12. มีคนงานกอสรางทั้งหมด 5 คน คํานวณอายุเฉลี่ยไดเทากับ 19 ป, คาฐานนิยมได 12 และ 13 ป ผลตางของอายุ ของ คนที่มีอายุมากที่สุดและนอยที่สุดเปนเทาใด ก. 11 ป ข. 22 ป ค. 33 ป ง. 44 ป 13. ในงานฉลองวันขึ้นปใหมของนักเรียนชั้น ม.3 ของโรงเรียนแหงหนึ่งซึ่งมีอยูทั้งหมด 40 คน ทุกคนตางนําของขวัญมาจับ สลากกัน ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะจับสลากไดของขวัญซึ่งเปนของตนเองเทากับขอใด ก. 1 ข. 1 ค. 1 ง. 1 2 4 20 40 14. ผลการสอบปลายภาคของนักเรียนชั้น ม.3 ของโรงเรียนแหงหนึ่งซึ่งมีนักเรียนจํานวน 200 คน มีอยู 20 คน ไดเกรด 4 มีอยู 40 คน ไดเกรด 3 จํานวน 90 คน ไดเกรด 2 จํานวน 30 คน ไดเกรด 1 และมีอีก 20 คน ไดเกรด 0 เลือกนักเรียน มา 1 คน ความ นาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่เกรดไมตํ่ากวา 3 มีคาเทาใด ก. 0.4 ข. 0.2 ค. 0.3 ง. 0.6 15. แมน ฟลม และ อู ไดทากันแขงวายนํ้าที่สระวายนํ้าแหงหนึ่ง ปรากฏวา แมนและฟลม วายนํ้าเร็วพอๆ กัน และทั้งสอง คนวายนํ้าเร็วเปนสองเทาของอู ดังนั้นโอกาสที่ฟลมหรืออูจะชนะเทากับเทาไร ก. 1 ข. 3 ค. 4 ง. 1 5 5 5

เฉลยขอสอบ O - NET 1. ตอบขอ ง พิจารณาขอมูล 24, 24, X3, X4 จะได Me = 24+X3 2 28 = 24+X3 2 56 = 24+X3 ดังนั้น X3 = 32 จากโจทย X = 24+24+32+X4 4 30(4) = 80+X4 X4 = 120–80 = 40 เรียงขอมูลจากนอยไปมาก 24, 24, 32, 40 ดังนั้น คาพิสัย = คามากที่สุด – คานอยที่สุด = 40 – 24 = 16 2. ตอบขอ ค เนื่องจากวาชั้นแรกและชั้นสุดทายมีจุดกึ่งกลางชั้นเปน 45 และ 87 ตามลําดับ เราจึงสามารถหาความกวางของ จุดกึ่งกลางระหวางชั้นที่ติดกัน ไดจาก = 7

66


ชั้น 1 ชั้น 2 ชั้น 3 ชั้น 4 ชั้น 5 ชั้น 6 ชั้น 7

อันตรภาคชั้น

จุดกึ่งกลางชั้น

42-48 49-55 56-62 63-69 70-76 77-83 84-90

45 52 59 66 73 80 87

ดังนั้นขอบบนของอันตรภาคชั้นที่ 5 คือ 76.5

3. ตอบขอ ก จากสูตร การหาคาเฉลี่ยเลขคณิต 53 = ดังนั้น

= 53N

มีขอสอบของนักเรียนอีก 2 คน ยังไมไดตรวจ ซึ่งทําให Xใหม = 55 n

Xใหม

=

∑ x + 180 i =1

i

n+2

55 = 53N+180 N+2 55N +110 = 53N + 180 2N = 70 N = 35 นั่นคือ นักเรียนในหองนี้จะมีทั้งหมด 35+2 = 37 คน 4. ตอบขอ ง X10 คน

=

72

=

ดังนั้น = 72(10) = 720 (เปนคะแนนรวม 10 คน) = 39+46+54+70+83+86+93+99 = 570 เนื่องจาก ผลรวมของคะแนน 2 คนที่หายไป คือ 720-570 = 150 ให x1, x2 เปนคะแนนของคนทั้งสองคนที่หายไป นั่นคือ เราจะได x1 + x2 = 150 ……(1) x1 - x2 = 4 ……(2) นํา (1)+(2) ; 2 x1 = 154 x1 = 77


67

คะแนนของคนที่ 2 = 150-77 = 73 คะแนนของคนทั้งสอง คือ 73,77 นําคะแนนมาเรียงจากนอยไปมากจะได 39,46,54,70,73,77,83,86,93,99 ; N = 10 ตําแหนงของมัธยฐาน = 10+1 = 11 = 5.5 2 2 มัธยฐาน คือ 73+77 = 75 2 5. ตอบขอ ข เนื่องจาก X = 4 2 ดังนั้น เราจะได a+2a+a+2+10 = 4 4 2 a +3a+12 = 16 2 a +3a-4 = 0 (a+4)(a-1) =0 a = -4, 1 แตโจทยกําหนดวา a > 0 ดังนั้น a = 1 เรียงขอมูลจากนอยไปมากไดดังนี้ 1, 2, 3, 10 ; N = 4 ตําแหนงมัธยฐาน คือ N+1 = 5 = 2.5 2 2 มัธยฐาน คือ 2+3 = 2.5 2 6. ตอบขอ ก พิจารณาขอ (1) เนือ่ งจากผลรวมของคะแนนใหมจะมีการเปลีย่ นแปลง ดังนัน้ แนนอน X เกาใชไมได ตองหา X ใหม ขอ (2) เนือ่ งจากคามัธยฐานเปนขอมูลทีอ่ ยูต รงกลางเมือ่ มีการเปลีย่ นแปลงขอมูลทีม่ ากทีส่ ดุ และขอมูลทีน่ อ ยทีส่ ดุ ซึ่งไมทําใหลําดับเปลี่ยนแปลง ดังนั้นคามัธยฐานเดิมที่คิดไวจึงยังใชได 7. ตอบขอ ข เนื่องจากวา x,y,z มีมัธยฐาน คือ m2 เมื่อนํา 3 คูณขอมูลทุกตัว จะได 3x, 3y, 3z มัธยฐานใหม คือ 3 m2 8. ตอบขอ ก มีนักเรียนที่สวมแวนสายตา 9 คน นักเรียนที่ไวผมทรงนักเรียน 7 คน ดังนั้นมีนักเรียนที่สวมแวนสายตาและไวผมทรงนักเรียน = 9+7 = 16 คน เนื่องจากวา มีนักเรียนที่สวมแวนสายตาหรือไวผมทรงนักเรียนรวม 12 คน พบวา จะไดคา n(S) = 12 ดังนั้นนักเรียนที่สวมแวนสายตาและไวผมทรงนักเรียน 16-12 = 4 คน จะมีนักเรียนที่ไวผมทรงนักเรียนและไมสวมแวนสายตา 7-4 = 3 คน จะไดคา n(E) = 3 ดังนั้น เปนนักเรียนชายและมีสายตาปกติ (ไมสวมแวน) P(E) = n(E) = 3 = 1 n(S) 12 4 9. ตอบขอ ค เนื่องจากโจทยบอกวา มีนํ้าพริกทั้งหมด 50 ขวด ให นํ้าพริกกะป P(E1) = x นํ้าพริกตาแดง P(E2) = 1 5 นํ้าพริกปลาแหง P(E3) = 0.4 = 2 5

68


นํ้าพริกทั้งหมด P(E) 1 5 x มีนํ้าพริกกะป

= P(E1) + P(E2) + P(E3) =x+ 1 + 2 5 5 = 5x + 3 = 2 5 = 2 x 50 = 20 ขวด 5

10. ตอบขอ ก ใหมีเด็กวัยรุนดื่มนํ้าอัดลมและนํ้าชาเขียวในชวงอากาศรอน x คน เด็กที่ดื่มนํ้าอัดลมอยางเดียว 6 – x คน เด็กที่ดื่มนํ้าชาเขียวอยางเดียว 9 – x คน เนื่องจากเราไดทําการสํารวจเด็กวัยรุนแลวมี 12 คน ดังนั้น (6 – x) + (9 – x) + x = 12 15 – x = 12 x = 15 -12 =3 จะไดวาเด็กที่ดื่มนํ้าอัดลมอยางเดียว = 6-3 = 3 คน ดังนั้น จากสูตร P(E) = n(E) = 3 = 1 n(S) 12 4 11. ตอบขอ ค เนื่องจากมีลูกแกวสีขาว 7 ลูก สีแดง a ลูก และสีเขียว b ลูก มีลูกแกวรวม 7 + a + b ลูก ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีแดง P(E1) = a 7+a+b 3 = a …(1) 5 7+a+b ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกแกวสีเขียว P(E1) = b 7+a+b 1 = b …(2) 5 7+a+b (1) (2); ( 3 )( 5 ) = ( a )( 7+a+b ) 5 1 7+a+b b 3 = a b a = 3b แทนคาใน (2) 1 จะได = b 5 7+3b+b 5b = 7+4b b =7 a = 3(7) = 21 ดังนั้น a+b = 21+7 = 28 ลูก 12. ตอบขอ ค พิจารณาจากโจทยแสดงวามีคาฐานนิยม 2 คา คือ 12 และ 13 ป ดังนั้น จะไดขอมูลคือ 12, 12, 13, 13, X5 จากโจทย คํานวณอายุเฉลี่ยไดเทากับ 19 ป


69

จากสูตร = 12+12+13+13+X5 5 12+12+13+13+X 19 = 5 5 95 = 12+ 12+ 13+ 13+ X5 95 = 50 + X5 X5 = 45 ดังนั้นผลตางของคนที่มีอายุมากที่สุดและนอยที่สุด = 45-12 = 33 ป 13. ตอบขอ ง n(S) = 40 n(E) = 1 ดังนั้น จากสูตร P(E) = n(E) = 1 n(S) 40 14. ตอบขอ ค จํานวนผลลัพธทั้งหมดที่จะสุมนักเรียน 1 คน เปน 200 หรือ n(S) = 200 เหตุการณที่จะสุมนักเรียนเกรดไมตํ่ากวา 3 (คือไดเกรด 3 หรือ 4) = 20 + 40 = 60 ดังนั้น จากสูตร P(E) = n(E) = 60 = 0.3 n(S) 200 15. ตอบขอ ข ใหโอกาสที่อูจะเปนผูชนะเปน 1 ดังนั้นโอกาสที่ฟลมและแมนจะเปนผูชนะเปน 2 n(S) = 2+2+1 = 5 n(E) = 2+1 = 3 ดังนั้น จากสูตร P(E) = n(E) = 3 n(S) 5 X

70


นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, สถิติเบื้องตน, การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน, คากลางของขอมูล, คาเฉลี่ยเลขคณิต, มัธยฐาน, ฐานนิยมความนาจะเปน

• 18 : สถิติ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch5-1 • 19 : ความนาจะเปน http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch5-2 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : ความนาจะเปน http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch5-3 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : สถิติ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch5-4 • คามัธยฐาน http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch5-5



71


ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร มาถึงสาระสุดทายกันแลวนะ นองๆทุกคน สาระนี้พี่ไดใหชื่อวา ‘ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร’ ซึ่งพี่ๆ ไดรวบรวม เนื้อหา 3 เรื่องสุดทายไวภายในสาระนี้ ซึ่งสาระนี้ก็จะประกอบดวยเรื่อง คูอันดับและกราฟและอสมการ ทั้ง 2 เรื่องนี้เปนเนื้อหาที่เรา เรียนในชวง ม.3 และอีกเรื่องหนึ่งคือ แผนภูมิวงกลม เปนเรื่องที่เราเรียนในชวง ม.2 และพวกพี่ๆ ไดสรุปเนื้อหาและนําตัวอยางของ แบบฝกหัดใหนองๆ ไดฝกฝนทํากัน และพี่ก็หวังวาทั้งหมดนี้จะชวยนองๆ ทุกคนไดไมมากก็นอยในการเตรียมตัวสอบ O-NET ม.ตนนี้ สุดทายนี้พี่ก็ขออวยพรใหนองๆ ทุกคนโชคดีนะครับ เอาละคราวนี้เรามาดูเนื้อหาและแบบฝกหัดในสาระนี้กันดีกวา

6.1 คูอันดับและกราฟ คูอันดับ คือ การแสดงถึงความสัมพันธของการจับคูระหวางสมาชิกของกลุมสองกลุม - ถาให a เปนสมาชิกกลุมแรก และ b เปนสมาชิกกลุมหลัง เขียนแทนสัญลักษณ (a, b) อานวา คูอันดับ (a, b) ตัวอยางเชน คูอันดับ (2, 4), (3, 9), (-2, 3) และ (-5,-1) พิจารณาไดวา 2, 3, -2, -5 เปนสมาชิกตัวหนากลุมแรก และ 4, 9, 3, -1 เปน สมาชิกตัวหนากลุมหลัง - ถาเรากําหนดใหคูอันดับ (a1, b1) และ (a2, b2) เปนคูอันดับใดๆ แลว คุณสมบัติของคูอันดับคือ (a1, b1) = (a2, b2) ก็ตอเมื่อ a1 = a2 และ b1 = b2 โดยทั่วไปในชีวิตประจําวันเราจะเห็นเหตุการณมากมาย ซึ่งเหตุการณตางๆ ก็จะแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณตางๆ ระหวางสองปริมาณอยูเ สมอ เชนการเสียคาไฟฟากับระยะเวลาในการใชไฟฟา, ระยะทางในการเดินทางกับระยะเวลาในการเดินทาง รวมถึงระยะเวลาในการใชโทรศัพทมือถือกับคาใชจาย ทั้งหมดนี้สามารถแสดงในรูปของคูอันดับ และนอกจากนี้เราก็ยังสามารถดู ความสัมพันธในรูปของกราฟไดดวย ซึ่งจะทําใหเราเห็นแนวโนมของสิง่ ตางๆที่เราใชในชีวิตประจําวัน ซึ่งกราฟและองคประกอบของ กราฟจะแบงออกไดตามดานลางนี้ กราฟ คือ การแสดงความสัมพันธในระบบพิกัดฉาก โดยการเขียนเสนแนวนอนและแนวตั้งใหตัดกันเปนมุมฉาก จุดกําเนิด คือ จุดที่เสนจํานวนทั้งสองตัดกัน แกนนอน คือ เสนจํานวนในแนวนอน เรียกวา แกน x แกนตั้ง คือ เสนจํานวนในแนวตั้ง เรียกวา แกน y แกน x และแกน y จะอยูบนระนาบเดียวกันและจะแบงระนาบออกเปนสี่สวน เรียกวา จตุภาค กราฟของคูอันดับ คือ จุดบนระนาบที่แทนมาจากคูอันดับ โดยการลากเสนตรงใหตัดกับแกน x แลวไปตัดกับเสนตรงที่ลาก ตั้งฉากกับแกน y โดยที่คูอันดับคูหนึ่งจะมีกราฟเพียงจุดเดียวบนระนาบ ชนิดของกราฟ จริงๆ แลวชนิดของกราฟมีมากมาย แตที่เราเรียนในชวง ม.ตนนี้ มีแค 2 ชนิด คือ 1. กราฟเสนตรง รูปทั่วไปของกราฟเสนตรง คือ y = mx+c



72


สมการ

รูปภาพตามสมการ

คําอธิบาย

y m

y = mx +c



0

C

y = mx+c

x

ถา m (ความชัน) เปนลบ หรือ m<0 จะได กราฟเส น ตรงทํ า มุ ม ป า นกั บ แกน x ใน ทิศทางทวนเข็มนาฬกา

x

ถา m (ความชัน) หาคาไมได จะไดกราฟเสน ตรงขนานกับแกน y

slope=m

y

0

k

y

y1 = mx1+c y2 = mx2+c

ถา m (ความชัน) เปนบวก หรือ m>0 จะได กราฟเสนตรงทํามุมแหลมกับแกน x ใน ทิศทางตามเข็มนาฬกา

y

y = -mx +c

x=k

x

-10 -8 -6 -4 -2 0

10 8 6 4 2

x 2 4 6 8 10

-2 -4 -6 -8 -10

เสนตรงสองเสนขนานกันคือ m ของทั้ง สองเสนเทากัน

y

y1 = mx1+c y2 = - 1 x2+c m

3 2.5 2 1.5 1 0.5 -1.5 -1 -0.5 0

0.5 -1 1.5 -0.5 -1

เสนตรงสองเสนตั้งฉากกันคือ m ของทั้ง สองเสนคูณกันแลวเทากับ -1 x


73

2. กราฟพาราโบลา รูปทัว่ ไปของกราฟพาราโบลาคือ y = ax2+ bx+c โดยที่ a 0 ถาหากวา a = 0 จะกลายเปนสมการเสนตรง สมการ

รูปภาพตามสมการ

คําอธิบาย

y

y = ax2 c=0 , b=0

-4 -3 -2 -1 0

3 2 1 -1 -2 -3

1 2 3 4

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย ถา a<0 จะไดกราฟควํ่า จุดยอดคือ (0,0) แกนสมมาตร x=0

x

y

y = ax +C b=0 2

-4 -3 -2 -1 0

3 2 1 -1 -2 -3

1 2 3 4

x

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย ใหคาตํ่าสุด y= c ถา a<0 จะได กราฟควํ่าใหคาสูงสุด y=c จุดยอดคือ(0,c)

y

y = a(x-h) +k 2

h, k x

ถา a>0 จะไดกราฟหงาย ใหคาตํ่าสุด y= k ถา a<0 จะได กราฟควํ่าใหคาสูงสุด y=k จุดยอดคือ(h,k) แกนสมมาตร x=h

y

y = ax2+ bx+c

h, k x

-b หาคา h ไดจากสูตร h = 2a 2 หาคา k ไดจากสูตร k = 4ac-b 4a

6.2 แผนภูมิวงกลม แผนภูมิวงกลม เปนแผนภูมิที่แสดงความถี่ของการแจกแจงดวยขนาดของมุม (หรือพื้นที่) ของสวนที่แบงของวงกลม ชื่อ เรื่องของแผนภูมิรูปวงกลม จะบอกวาแผนภูมินี้แสดงอะไร และชื่อที่เขียนอธิบายไวภายในรูปจะบอกวาแสดงเกี่ยวกับอะไร การหาขนาดของมุมจะแสดงความถี่แตละความถี่ ใชสูตรตอไปนี้ คือ ขนาดของมุม = f x เมื่อ f เปนความถี่

74


คาอาหาร 30% คาพาหนะ 10%

เสื้อผา 15%

คารักษาพยาบาล 5% ใชเบ็ดเตล็ด แผนภูมิรูปวงกลมคาใชจายทั้งหมดภายใน 1 เดือน 10% ขอมูล 1% จะมีคาเทากับ 3.6o นะ

30% ผอนสงบาน

หลักการเขียนแผนภูมิรูปวงกลม มีขั้นตอนดังนี้ 1. หาปริมาณของขอมูลทั้งหมด และใหปริมาณทั้งหมดแทนมุมรอบจุดศูนยกลางของวงกลม ที่มีขนาด 360o 2. นําปริมาณของขอมูลแตละประเภท มาเทียบหาขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม 3. เขียนรูปวงกลม แลวลากรัศมีของวงกลมเพือ่ แบงพืน้ ทีข่ องรูปวงกลมเปนสวนๆ ตามขนาดของมุมทีจ่ ดุ ศูนยกลาง ของวงกลมที่หาได

6.3 อสมการ อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณที่พูดถึงความสัมพันธของจํานวน โดยมีสัญลักษณ <, >, <, < หรือ ที่นํามาใชบอกความ สัมพันธของจํานวน อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและมีดีกรีเปนหนึ่ง ตัวอยางที่ 1 จงแกอสมการ 5(x-4)< 30 วิธีทํา 5x – 20 < 30 < 50 5x < 10 x ตัวอยางที่ 2 จงแกอสมการ 5< 2x+1< x+2 2x+1 < x+2 วิธีทํา 5 < 2x + 1 5-1 < 2x 2x < x+2-1 4 < 2x 2x-x < 1 2< x x<1 คําตอบของอสมการ คือ 2 < x< 1 โจทยปญหาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว นองๆ ทุกคนจําไดไหมวาที่เราไดเรียนในเรื่องการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวกันมาแลวในสาระที่ 4 เรื่อง พีชคณิต ใน ทํานองเดียวกันการแกโจทยปญหาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวก็จะมีขั้นตอนคลายๆ กัน โดยมีขั้นตอนดังนี้ 1. วิเคราะหโจทยเพื่อหาวาโจทยกําหนดอะไรมาให และโจทยตองการอะไร 2. กําหนดตัวแปรแทนในสิ่งที่โจทยใหมาหรือสิ่งที่โจทยใหหา


75

3. เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย 4. แกอสมการเพื่อหาคําตอบที่โจทยตองการ 5. ตรวจสอบคําตอบที่ได ตัวอยาง เอกซื้อนํ้าดื่มขวดมาขายที่สถาบันกวดวิชาจํานวน 200 ขวด เปนเงิน 1,200 บาท ขายนํ้าขวดเล็กในราคาขวดละ 5 บาท ขายนํ้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท หลังจากขายใหเด็กๆ และผูปกครองที่มาเรียน ปรากฏวาไดกําไร 250 บาท อยากทราบวา เอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมากกี่ขวด วิธีทํา ใหเอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขาย x ขวด จะไดวา เอกซื้อนํ้าขวดกลางมาขาย 200- x ขวด ขายนํ้าขวดเล็ก ไดเงิน 5x บาท ขายนํ้าขวดกลาง ไดเงิน 8(200-x) บาท ขายนํ้าทั้งหมดไดกําไรมากกวา 250 บาท จะไดอสมการดังนี้ 5x + 8(200-x) – 1,200 > 250 5x + 1,600 – 8x – 1,200 > 250 -3x + 400 > 250 -3x > 250 – 400 -3x > -150 x < 50 ดังนั้น เอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมาก 49 ขวด ตรวจคําตอบ ถาเอกซื้อนํ้าขวดเล็กมาขายอยางมาก 49 ขวด จะตองซื้อนํ้าขวดกลางมาขายอยางนอย 200-49 = 151 ขวด ขายนํ้าขวดเล็ก 49 ขวด เปนเงิน 5×49 = 245 บาท ขายนํ้าขวดกลาง 151 ขวด เปนเงิน 8×151 = 1,208 บาท ขายนํ้าทั้งหมดไดเงิน 245+1,208 = 1,453 บาท คิดเปนกําไร 1,453-1,200 = 253 บาท กําไร 253 บาท มากกวา 250 บาท ซึ่งเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ดังนั้น จึงสรุปไดวาเอกขายนํ้าขวดเล็กไปทั้งหมด 49 ขวด ตอบ 49 ขวด คุณสมบัติของความไมเทากัน สมบัติการถายทอด ถา a < b และ b < c แลว a < c

76

สมบัติการบวกดวยจํานวนไมเทากัน ถา a < b แลว a+c < b+c


สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน เมื่อ c < 0 ถา a < b แลว ac < bc

แนวขอสอบ O-NET

กับขอใด

1. กราฟของ y = 4 และ 3x + 2y = 5 ตัดกันที่จุดใด ก. (-1,4) ข. (5,-5) ค. (1,-1) ง. (4,2) 2. กราฟของสมการในขอใดมีแกนสมมาตรเชนเดียวกับกราฟของสมการ y = 2 + 2x – x2 ก. y = x2 – 2x + 3 ข. y = x2 – 4x + 4 ค. y = -4x2 – 4x + 3 ง. y = -x2 + 4x – 4 3. กราฟของสมการคูใดตั้งฉากกัน ข. 2x – y -3 = 0 และ 3x -2y +1 = 0 ก. 4x + 5y + 6 = 0 และ y = 45 x ค. 3x + 2y = 5 และ 3x – 2y = 5 ง. y + x = 3 และ 2y + 1 = 2x 4. ถาจุด A, B, C, D และ E มีคูอันดับตามลําดับดังนี้ (-4,5), (6,5), (10,2), (6,-4) และ (-4,-8) พื้นที่ของรูป ABCDE มีคาตรง ก. 126 ตารางหนวย ข. 128 ตารางหนวย ค. 130 ตารางหนวย ง. 132 ตารางหนวย 5. b มีคาเทาไร ถาจุด (11, 3b) อยูบนกราฟของสมการ x -y = 5 ก. 4 ข. 3 ค. 2 ง. 1 ใชแผนภูมิรูปวงกลมตอไปนี้ตอบคําถามขอ 6 – 8 แผนภูมิแสดงการเดินทางมาโรงเรียนของนักเรียนโรงเรียนแหงหนึ่งในแบบตางๆ

100 คน 200 คน

รถสวนตัว 300 คน

600 คน

รถมอเตอรไซค รถแท็กซี่ รถประจําทาง

6. นักเรียนทีเ่ ดินทางมาโรงเรียนโดยรถประจําทางและรถมอเตอรไซดรวมกันคิดเปนรอยละเทาไรของจํานวนนักเรียนทัง้ หมด ก. 53.3% ข. 43.3% ค. 33.3% ง. 23.3% 7. ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่ คิดเปนกี่องศา ก. 60 องศา ข. 70 องศา ค. 80 องศา ง. 90 องศา 8. ถามีจํานวนนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่เปน x คน จะมีจํานวนนักเรียนที่เดินทางโดยรถประจําทางกี่คน ข. 2x คน ก. X2 คน ค. 3x คน ง. 3X 2 คน


77

จงใชแผนภูมิตอไปนี้ตอบคําถามขอ 9-10 แผนภูมิแสดงปริมาณสวนผสมในการทําอาหารจานดวนชนิดหนึ่ง

xo

ไขไก 144o

2xo

เนื้อหมู แครอท

9xo

ซีอิ๊วขาว

9. สวนผสมที่เปนเนื้อหมูในอาหารจานดวนชนิดนี้ มีขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางกี่องศา ก. 132 องศา ข. 142 องศา ค. 152 องศา ง. 162 องศา 10. ถาสวนผสมที่เปนไขไกของอาหารชนิดนี้มีนํ้าหนัก 120 กรัม อยากทราบวาอาหารจานดวนชนิดนี้มีนํ้าหนักทั้งหมดกี่กรัม ก. 400 กรัม ข. 300 กรัม ค. 200 กรัม ง. 100 กรัม 5+8X 11. ถา p เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่สอดคลองกับอสมการ x + 3X+1 2 < 3 แลว p มีคาเทาใด ก. -6 ข. -7 ค. -8 ง. -9 3 1 12. ถา 2 เทาของจํานวนเต็มบวกจํานวนหนึ่ง รวมกับ 4 เทาของจํานวนนั้น แตไมเกิน 105 จํานวน จํานวนนั้นคือขอใด ก. 12 < x < 60 ข. 12 < x < 60 ค. 12 < x < 60 ง. 12 < x < 60 13. ในหองเรียนหองหนึ่งอัตราสวนของนํ้าหนักรวมของนักเรียนชายทุกคนตอนํ้าหนักรวมของนักเรียนหญิงทุกคนเปน 3:4 ถานํา้ หนักรวมของนักเรียนชายทุกคนเปน 907.5 กิโลกรัม แลวนํา้ หนักเฉลีย่ ของนักเรียนหญิง แตละคนจะนอยกวา 55 กิโลกรัม อยาก ทราบวานักเรียนหญิงในหองนี้มีจํานวนกี่คน ก. 21 คน ข. 23 คน ค. 25 คน ง. 27 คน 14. ฟลมมีเหรียญหาบาทและสิบบาทในกระปุกออมสิน พอจะนําไปฝากไดนําออกมานับ พบวามีเหรียญหาบาทมากกวา เหรียญสิบบาทอยู 8 เหรียญ นับไดจํานวนเงินทั้งหมดไมนอยกวา 175 บาท จงหาวาจะมีเหรียญสิบบาทอยางนอยกี่เหรียญ ก. 9 เหรียญ ข. 11 เหรียญ ค. 6 เหรียญ ง. 4 เหรียญ 15. สมชาย เลี้ยงเปด ไก และนก เปนอัตราสวน 2:1:3 หลังจากขายเปดไปจํานวน 300 ตัว และขายไกไป 200 ตัว แลวพบ วา สัตวทั้งสามชนิดที่เหลือเหลืออยูไมถึงครึ่งหนึ่งของจํานวนเดิม จงหาวา สมชาย เลี้ยงไกอยางมากที่สุดกี่ตัว ก. 165 ตัว ข. 166 ตัว ค. 167 ตัว ง. 168 ตัว

78


เฉลยขอสอบทาย O-NET 1. ตอบขอ ก แทนคา y = 4 ลงใน 3x + 2y = 5 จะได 3x + 2(4) = 5 3x + 8 = 5 3x = -3 x = -1 ดังนั้น กราฟของ y = 4 และ 3x + 2y = 5 ตัดกันที่จุด (-1,4) 2. ตอบขอ ก สมการ y = 2 + 2x – x2 = - x2 + 2x + 2 = - (x2 - 2x – 2) ทําใหเปนกําลังสองสมบูรณได ดังนี้ = -[(x2 - 2x + 1)+(-1-2)] = - (x-1)2 + 3 สมการที่เราไดคือสมการพาราโบลาที่มีจุดยอด (h,k) = (1,3) จะไดคาของแกนสมมาตรคือ x =1 ตอมาลองพิจารณาที่ตัวเลือก ก จากสมการ y = (x2 - 2x -3) y = (x2 - 2x + 1)+ (-1-3) y = (x-1)2 – 4 ดังนั้น จุดยอด คือ (1, -4) และแกนสมมาตร คือ x =1 เหมือนกัน 3. ตอบขอ ง สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวจะตั้งฉากกันเมื่อความชันของทั้งสองเสนคูณกันแลวมีคาเทากับ -1 จัดรูปสมการในแตละขอใหอยูในรูป y = mx+c เมื่อ (m = ความชัน) ไดดังนี้ 4 ก. y = -4X-6 5 และ y = 5 x ความชัน = (- 45 )( 45 ) = -16 25 ข. y = 2x–3 และ y = 3X+1 2 ความชัน = (2)( 32 ) = 3 -3X+5 ค. y = -3X+5 2 และ y = 2 ความชัน = (- 32 )(- 32 ) = ( 94 ) ง. y = -x +3 และ y = x- 12 ความชัน = 1(-1) = -1


79

4. ตอบขอ ข เขียนคูอันดับของจุด A, B, C, D และ E ลงในตารางกราฟแลวจะไดตามแบบจําลองดานบน ลาก BD และ CF ตั้งฉากกับ BD ที่จุด F A(-4, 5) B(6, 5) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABDE = 12 × (9+13) × 10 C(10, 2) = 110 ตารางหนวย พื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD = 12 × 9 × 4 D(6, -4) = 18 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่รูป ABCDE = 110 + 18 E(-4, -8) = 128 ตารางหนวย 5. ตอบขอ ค เนื่องจาก (11,3b) อยูบนกราฟของสมการ x-y = 5 จะไดวาคา x = 11 และ y = 3b แทนคา x และ y ลงในสมการ จะได 11 – 3b = 5 11 – 5 = 3b 6 = 3b b = 2 ดังนั้น จะได b = 2 6. ตอบขอ ค คิดเปนนักเรียนที่เดินทางมาโดยรถประจําทางและรถมอเตอรไซด รวมกัน จะได (300+100)x100 = รอยละ 33.3 1,200 7. ตอบขอ ก ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนโดยรถแท็กซี่ คิดเปน = 200x360 1,200 = 60 องศา 8. ตอบขอ ง นักเรียนที่เดินทางโดยรถแท็กซี่ 200 คน คิดเปนนักเรียน x คน นักเรียนที่เดินทางโดยรถประจําทาง 300 คน จะคิดเปนนักเรียน 3x = 300x 200 = 2 คน 9. ตอบขอ ง เนื่องจากมุมของสวนผสมทุกประเภท เทากับ 144 + xo + 2xo + 9xo = 144 + 12xo และในแผนภูมิรูปวงกลมขนาดของมุมรอบจุดศูนยกลางเทากับ 360o 144o + 12xo = 360o 12xo = 216o xo = 18o ดังนั้นสวนผสมที่เปนเนื้อหมูคิดเปน 9xo = 9(18) = 162o

80


10. ตอบขอ ข ถาสวนผสมที่เปนไขไกของอาหารชนิดนี้มีนํ้าหนัก 120 กรัม เนื่องจากสวนผสมไขไกมีขนาดมุม 144 องศา คิดเปน 120 กรัม สวนผสมทั้งหมดมีขนาดมุม 360 องศา คิดเปน 120x360 144 = 300 กรัม 11. ตอบขอ ค 5+8x x + 3x+1 < 2 3 2x+3x+1 5+8x < 2 3 5x+1 5+8x < 2 3 3(5x + 1) < 2(8x + 5) 15x + 3 < 16x + 10 -7 < x ดังนั้น P = -8 12. ตอบขอ ก ใหจํานวนนั้นเปน x จากโจทย จะได 21< 32 x+ 14 x < 105 แยกคิดออกเปนสองกรณี > 21 กรณีที่ 1 32 x+ 14 x 7x > 21 4 x > 12 < กรณีที่ 2 32 x+ 14 x 105 7x < 105 4 < x 60 ดังนั้น จะได 12 < x < 60 13. ตอบขอ ข ใหนํ้าหนักรวมของนักเรียนหญิงเปน x กิโลกรัม นํ้าหนักรวมของนักเรียนชายเปน 907.5 กิโลกรัม จากอัตราสวน 3 : 4 จะได x 4 907.5 = 3 x = 1,210 กิโลกรัม ใหจํานวนนักเรียนหญิงในหองมี y คน 1,210 < ดังนั้น จะได 55 (y < 0) y 1,210 < y 55 y > 22 ดังนั้น นักเรียนหญิงในหองนี้มีอยางนอย 23 คน


81

14. ตอบขอ ก ใหฟลมมีเหรียญสิบบาท ฟลมมีเหรียญหาบาทอยู คิดเปนเงิน เขียนอสมการ ไดดังนี้

x x+8 10x + 5(x+8)

เหรียญ เหรียญ < 175

10x + 5(x + 8) < 175 10x + 5x + 40 < 175 < 135 15x < 9 x ดังนั้น ฟลมมีเหรียญสิบบาทอยางนอย 9 เหรียญ 15. ตอบขอ ข ใหสมชาย เลี้ยงไกทั้งหมด x ตัว เนื่องจากอัตราสวนของเปด : ไก : นก เปน 2 : 1 : 3 นั่นคือ จํานวนสัตวทั้งหมด 2x + x + 3x = 6x ตัว หลังจากขายเปดไป 300 ตัว จะเหลือเปด 2x-300 ตัว หลังจากขายไกไป 200 ตัว จะเหลือไก x-200 ตัว เขียนอสมการไดดังนี้ 3x + (2x – 300) + (x – 200) 6x – 500 3x x x ดังนั้น จึงสรุปไดวา สมชายเลี้ยงไกไว

166

ตัว

< < < < <

1 6x 2 3x 500 500 3 166.66

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, คูอันดับและกราฟ, กราฟเสนตรง, กราฟพาราโบลาแผนภูมิวงกลม, อสมการ, อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว • 07: สมการกําลังสองและพาราโบลา http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch6-1 • 08 : อสมการ http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch6-2

82


•

• 09 : กราฟเสนตรง http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch6-3 • 10 : พาราโบลา http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-4 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : อสมการ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-5 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 1 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-6 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 2 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-7 • คูอันดับและกราฟ ตอนที่ 3 http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-8 • คณิตศาสตร ม.ตน เรื่อง อสมการ http://www.trueplookpanya.com /book/m3/onet-math/ch6-9



83

นองๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมไดที่ Tag : สอนศาสตร, คณิตศาสตร, ตะลุยโจทย, แนวขอสอบสอบเขาม.4 O-Net • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.ตน : ตะลุยโจทยสอบเขา ม.4 1 http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch7-1 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.ตน : ตะลุยโจทยสอบเขา ม.4 2 http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch7-2 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.ตน : ตะลุยโจทยสอบเขาม.4 3 http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch7-3 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.ตน : ตะลุยโจทยสอบเขาม.4 4 ม.3 : เลขยกกําลังไรเทียมทาน (1) http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch7-4 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : ตะลุยโจทย O Net (1) http://www.trueplookpanya.com/book/ m3/onet-math/ch7-5 • สอนศาสตร คณิตศาสตร ม.3 : ตะลุยโจทย O Net (2) http://www.trueplookpanya.com/book /m3/onet-math/ch7-6

84





บรรณานุกรม ปรินทร จิระภัทรศิลปะ และคณะ. (2556). สรุปเขม ม.3 พิชิตสอบเขา ม.4. (พิมพครั้งที่ 1). นนทบุรี : ไอดีซี. เทพฤทธิ์ ยอดใส และ อุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2551). ตะลุยโจทย คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2. กรุงเทพมหานคร : พ.ศ. พัฒนา. เทพฤทธิ์ ยอดใส และ อุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2550). ตะลุยโจทย คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3. กรุงเทพมหานคร : พ.ศ. พัฒนา.

คณิตศาสตร์ ม.ต้น

Recommend Documents