درس المعادلات والمتراجحات

‫‪3 coll‬‬

‫‪.I‬‬

‫المعادالت من الدرجة األولى بمجهول واحد ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫‪ ‬كل عبارة رياضية تحتوي على رمز = تسمى متساوية ‪.‬‬ ‫‪ ‬كل متساوية على شكل ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0‬تسمى معادلة من الدرجة األولى بمجهول واحد هو 𝑥 ‪.‬‬ ‫مالحظة ‪:‬‬ ‫‪ ‬حل المعادلة هو البحث عن جميع قيم 𝑥 إن وجدت ‪.‬‬

‫الحالة ‪ : 1‬معادالت من نوع 𝑐 = 𝑏 ‪𝑎𝑥 +‬‬ ‫حـــل المعـــــــــــــــــــــــــادالت التالية ‪:‬‬ ‫‪−3𝑥 + 4 = 0‬‬ ‫‪−3𝑥 = −4‬‬

‫لدينا‬ ‫يعني أن‬

‫لدينا‬

‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=𝑥‬ ‫‪3‬‬

‫=𝑥‬

‫إذن‬ ‫ومنه‬ ‫وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو‬

‫‪4‬‬

‫‪5(𝑥 + 1) = 2𝑥 − 1‬‬ ‫‪5𝑥 + 5 = 2𝑥 − 1‬‬ ‫‪5𝑥 − 2𝑥 = −1 − 5‬‬ ‫‪3𝑥 = −6‬‬ ‫‪−6‬‬

‫=𝑥‬ ‫‪3‬‬ ‫وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو ‪𝑥 = −2‬‬ ‫‪2𝑥 + 5 = 2(𝑥 + 1) + 3‬‬ ‫لدينا‬ ‫‪2𝑥 + 5 = 2𝑥 + 2 + 3‬‬ ‫‪2𝑥 − 2𝑥 = 5 − 5‬‬ ‫‪0𝑥 = 0‬‬ ‫إذن مهما كان 𝑥 فإن ‪0 = 0 :‬‬ ‫وبالتالي جميع األعداد الحقيقية حلول لهذه المعادلة‬

‫‪3‬‬

‫‪3(2𝑥 − 1) = 6𝑥 + 7‬‬ ‫لدينا‬ ‫‪6𝑥 − 3 = 6𝑥 + 7‬‬ ‫‪6𝑥 − 6𝑥 = 7 + 3‬‬ ‫‪0𝑥 = 10‬‬ ‫وهذا غير ممكن ألن ‪0 ≠ 10‬‬ ‫وبالتالي المعادلة ال تقبل حل ‪.‬‬

‫الحالة ‪ : 2‬معادالت من نوع ‪(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 ) = 0‬‬ ‫خاصية‬ ‫𝑎 و 𝑏 عددان حقيقيان ‪ 𝑎 × 𝑏 = 0 :‬يعني ‪ 𝑎 = 0‬أو ‪𝑏 = 0‬‬

‫حـــل المعـــــــــــــــــــــــــادلتين التاليتين ‪:‬‬ ‫لدينا‬ ‫تكافئ‬ ‫إذن‬

‫‪𝑥 2 − 7𝑥 = 0‬‬ ‫لدينا‬ ‫‪𝑥 (𝑥 − 7) = 0‬‬ ‫يعني أن‬ ‫المعادلة تكافئ ‪ 𝑥 − 7 = 0‬أو ‪𝑥 = 0‬‬ ‫‪ 𝑥 = 7‬أو ‪𝑥 = 0‬‬ ‫إذن‬ ‫وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما ‪ 0‬و ‪7‬‬

‫‪(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = 0‬‬ ‫‪ 2𝑥 − 3 = 0‬أو ‪𝑥 + 1 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑥 أو ‪𝑥 = −1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما ‪ − 1‬و‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫الحالة ‪ : 3‬معادالت تحتوي على كســــــــــــــــــور‬ ‫مالحظة ‪ :‬عموما ً لحل هذا النوع من المعادالت نوحد المقام ‪.‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬

‫حل المعـــــادلة ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪2𝑥+1‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪3 × (2𝑥 + 1) = 5 × (𝑥 − 1‬‬ ‫‪6𝑥 + 3 = 5𝑥 − 5‬‬ ‫‪6𝑥 − 5𝑥 = −5 − 3‬‬ ‫‪𝑥 = −8‬‬ ‫إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو ‪−8‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬

‫حل المعـــــادلة ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪−2‬‬

‫‪𝑥−1‬‬ ‫)‪5×(𝑥−1‬‬ ‫‪15‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪15×2‬‬ ‫‪15‬‬

‫=‬ ‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2𝑥+1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪3×(2𝑥+1‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪6𝑥 + 3 − 30 = 5𝑥 − 5‬‬ ‫‪6𝑥 − 5𝑥 = −5 − 3 + 30‬‬ ‫‪𝑥 = 22‬‬ ‫إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو ‪22‬‬

‫‪2𝑥+1‬‬ ‫‪5‬‬

‫الحالة ‪ : 4‬معادالت من نوع 𝑎 = ‪𝑥 2‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬لحل هذا النوع من المعادالت تذكر المتطابقة )𝑏 ‪. 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 −‬‬

‫خاصية‬ ‫إذا كان 𝟎 = 𝒂 المعادلة تقبل حالً وحيداً هو 𝟎 = 𝒙‬ ‫إذا كان 𝟎 > 𝒂 المعادلة تقبل حلين هما 𝒂√ و 𝒂√‪−‬‬ ‫إذا كان 𝟎 < 𝒂 المعادلة ال تقبل حل ‪.‬‬ ‫‪𝑥 2 + 12 = 2‬‬ ‫حل المعـــــادلة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 = 2 − 12‬‬ ‫‪𝑥 2 = −10‬‬ ‫إذن المعادلة ال تقبل حل ألن ‪ 𝑥 2‬يكون‬ ‫دائما ً موجبا ً أو منعدما ً ‪𝑥 2 ≥ 0‬‬ ‫حل المعـــــادلة ‪:‬‬

‫‪(2𝑥 − 1 + 3)(2𝑥 − 1 − 3) = 0‬‬ ‫‪(2𝑥 + 2)(2𝑥 − 4) = 0‬‬ ‫‪ 2𝑥 − 4 = 0‬أو ‪2𝑥 + 2 = 0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= 𝑥 أو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=𝑥‬

‫‪ 𝑥 = 2‬أو ‪𝑥 = −1‬‬ ‫وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما ‪ 2‬و ‪−1‬‬

‫‪(2𝑥 − 1)2 − 9 = 0‬‬ ‫‪(2𝑥 − 1)2 − 32 = 0‬‬

‫الحالة ‪ : 5‬حل معادلة بالتعميل إذا ماوجد عامل مشترك‬ ‫حل المعادلة ‪2𝑥(𝑥 + √2) − √3(𝑥 + √2) = 0 :‬‬

‫‪(𝑥 + 2)(7(𝑥 + 2)) − (𝑥 − 1) = 0‬‬

‫‪(𝑥 + √2)(2𝑥 − √3) = 0‬‬

‫‪(𝑥 + 2)(7𝑥 + 14 − 𝑥 + 1) = 0‬‬

‫‪𝑥 + √2 = 0‬‬

‫‪(𝑥 + 2)(6𝑥 + 15) = 0‬‬

‫‪2𝑥 − √3 = 0‬‬ ‫‪√3‬‬

‫‪2‬‬

‫أو‬

‫= 𝑥 أو‬

‫‪−15‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪𝑥 = −√2‬‬

‫حل المعادلة‪7(𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) :‬‬

‫=𝑥‬

‫أو‬

‫إذن المعادلة تقبل حلين هما ‪ − 2‬و‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥 = −2‬‬ ‫‪−15‬‬ ‫‪6‬‬

‫الحالة ‪ : 6‬حل معادلة بالنشر إذا لم يوجد عامل مشترك‬ ‫حـل ‪−4(2𝑥 + 1) + 𝑥 = 2(−𝑥 + 5) :‬‬ ‫‪𝑥 (𝑥 + 3) = 𝑥 2 − 15‬‬ ‫حل المعادلة ‪:‬‬ ‫‪𝑥 2 + 3𝑥 = 𝑥 2 − 15‬‬

‫‪−8𝑥 − 4 + 𝑥 = −2𝑥 + 10‬‬

‫‪𝑥 2 − 𝑥 2 + 3𝑥 = −15‬‬

‫‪−8𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 10 + 4‬‬

‫‪−15‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−5𝑥 = 14‬‬

‫=𝑥‬

‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪𝑥 = −5‬‬

‫إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو‬

‫إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو ‪−5‬‬

‫المســـــألة المرتبطة بالمعادلة ‪:‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬

‫=𝑥‬

‫‪−‬‬

‫لحل مسألة نتبع الخطوات التالية ‪:‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪)5‬‬

‫قراءة المسألة بتمعن وتأكد أن المعطيات كافية وفي عالقة في ما بينهم مثل (أحدهم يمثل الضعف‪-‬‬ ‫النصف‪ -‬الربع‪ -‬السدس – نفس ‪ -‬يزيد عن – ينقص عن‪ ) .....‬بالنسبة للمعطى األخر‪.‬‬ ‫اختيار المجهول 𝑥 من السؤال المطروح ‪.‬‬ ‫استغالل معطيات نص المسالة وصياغة معادلة ‪.‬‬ ‫حل المعادلة ‪.‬‬ ‫التحقق من منطقية الحل ‪.‬‬

‫يصرف أستاذ نصف أجرته في الكراء والمأكل والمشرب ‪ ،‬وثلثها يرسله إلى أمه وسبعها في اللباس‬ ‫والتنقل ويوفر بأعجوبة ‪ . 150 𝑑ℎ‬فما هي أجرتــــــه الشهرية ؟‬ ‫اختيار المجهول ‪ :‬ليكن 𝑥 أجرة هذا األستاذ الشهرية ‪.‬‬ ‫صياغة المعادلة ‪:‬‬ ‫‪ ‬بما أن نصف األجرة يصرفه في الكراء والمأكل والمشرب هذا يمثل‬ ‫‪ ‬والثلث يرسله إلى أمه هذا يمثل‬

‫𝑥‬ ‫‪3‬‬

‫‪ ‬والسبع يصرفه في اللباس والتنقل هذا يمثل‬ ‫‪ ‬ويوفر ‪. 150 𝑑ℎ‬‬

‫𝑥‬ ‫‪7‬‬

‫إذن مجموع المصاريف زائد ما يوفر يساوي أجرته الشهرية ‪.‬‬ ‫إذن المعادلة هي ‪+ 150 = 𝑥 :‬‬ ‫حل المعادلة ‪ :‬المعادلة تكافئ‬

‫𝑥‬ ‫‪1‬‬

‫𝑥‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫𝑥‬ ‫‪3‬‬

‫‪150‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪7‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬

‫𝑥‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥 × ‪21 × 𝑥 14 × 𝑥 6 × 𝑥 42 × 150 42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪21 × 2 14 × 3 6 × 7‬‬ ‫‪42 × 1‬‬ ‫‪42 × 1‬‬ ‫𝑥‪21𝑥 14𝑥 6𝑥 6300 42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫‪42 42‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪42‬‬ ‫𝑥‪21𝑥 + 14𝑥 + 6𝑥 + 6300 = 42‬‬ ‫𝑥‪41𝑥 + 6300 = 42‬‬ ‫‪41𝑥 − 42𝑥 = −6300‬‬ ‫‪−𝑥 = −6300‬‬ ‫‪𝑥 = 6300‬‬ ‫الرجوع إلى المسألة والتحقق من الحل ‪ :‬إذا كان ‪ 𝑥 = 6300‬فإن ‪:‬‬ ‫‪+ 150 = 3150 + 2100 + 900 + 150 = 6300‬‬

‫‪6300‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪+‬‬

‫‪6300‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪6300‬‬ ‫‪2‬‬

‫وبالتالي أجرة هذا األستاذ الشهرية هي ‪6300 𝑑ℎ‬‬ ‫مســـــــألة ‪ :‬اإلمتحان الجهوي لجهة مكناس‪-‬تافياللت دورة يونيو ‪. 2014‬‬ ‫حدد عدد تالميذ ثانوية إعدادية إذا علمت أن نصفهم يدرسون بمستوى األولى األعدادي ‪ ،‬وربعهم‬ ‫بمستوى الثانية و‪ 70‬تلميذاً يدرسون بمستوى الثالثة إعدادي ‪.‬‬

‫‪.II‬‬

‫المتراجحات من الدرجة األولى بمجهول واحد ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫‪ ‬المتراجحة أو المتباينة هي جملة رياضية تضم > ; ≥ ; < ; ≤ ; ≠‪.‬‬ ‫‪ ‬المتراجحة ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0‬تسمى متراجحة من الدرجة األولى بمجهول واحد ‪.‬‬ ‫مالحظة ‪:‬‬ ‫‪ ‬حل المتراجحة هو أي قيمة ل 𝑥 تجعل المتراجحة صحيحة ‪.‬‬ ‫على سبيل المثال ‪ − 2 :‬و ‪ − 1‬و ‪0‬‬ ‫على سبيل المثال ‪ − 1 :‬و ‪0‬‬

‫و ‪ 1‬و ‪ 70 000‬هي حلول للمتراجحة ‪𝑥 ≥ −2‬‬

‫و ‪ 1‬و ‪ 70 000‬هي حلول للمتراجحة ‪𝑥 > −2‬‬

‫تمثيل حلول متراجحة على مستقيم مدرج ‪:‬‬ ‫‪𝑥 ≥ −2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪𝑥 ≤ −2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪𝑥 < −2‬‬

‫‪𝑥 > −2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪x -6‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪x -6‬‬

‫الحالة ‪ : 1‬إذا كان ‪ 𝑎 > 0‬فإن حلول المتراجحة ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0‬هي‬ ‫‪4𝑥 − 5 ≤ 2𝑥 + 3‬‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫‪3(𝑥 − 1) > 𝑥 + 5‬‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫‪4𝑥 − 2𝑥 ≤ 3 + 5‬‬

‫‪3𝑥 − 3 > 𝑥 + 5‬‬

‫‪2𝑥 ≤ 8‬‬

‫‪3𝑥 − 𝑥 > 5 + 3‬‬

‫≤𝑥‬

‫‪2𝑥 > 8‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥>4‬‬

‫‪𝑥≤4‬‬

‫إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األكبر‬ ‫قطعا ً من ‪4‬‬

‫إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األكبر‬ ‫أو تساوي ‪4‬‬

‫الحالة ‪ : 2‬إذا كان ‪ 𝑎 < 0‬فإن حلول المتراجحة ‪ 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0‬هي‬ ‫‪2𝑥 − 6 ≥ 7𝑥 − 1‬‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫𝑏‪−‬‬ ‫𝑎‬

‫<𝑥‬

‫إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر‬ ‫قطعا ً من ‪−6‬‬

‫‪2𝑥 − 7𝑥 ≥ −1 + 6‬‬

‫نزل ‪ − 5‬وأقلب الرمز‬

‫‪>1‬‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫‪−5𝑥 ≥ 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−5‬‬

‫𝑏‪−‬‬ ‫𝑎‬

‫> 𝑥 نقلب الرمز‬

‫≤𝑥‬

‫نوحد المقام‬

‫‪𝑥 ≤ −1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫>‬

‫𝑥‪3−4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)𝑥‪2(3−4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3𝑥 + 6 − 4𝑥 > 6‬‬

‫إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر‬ ‫أو تساوي ‪−1‬‬

‫‪3𝑥 − 4𝑥 > 6 − 6‬‬

‫𝑥‬

‫بما أن‬

‫‪−𝑥 > 0‬‬

‫فإن‬

‫‪𝑥<0‬‬

‫‪>2‬‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫𝑥‬ ‫‪< −3 × 2‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪−3‬‬

‫× ‪−3‬‬

‫إذن الحلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر‬ ‫قطعا ً من ‪0‬‬

‫‪𝑥 < −6‬‬

‫الحالة ‪ : 3‬متراجحات التقبل حل‬ ‫𝑥‬

‫حل المتراجحة ‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪6‬‬

‫≥‬

‫≥‬

‫‪𝑥+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪3(𝑥+1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪6‬‬

‫≥‬

‫الحالة ‪ : 4‬متراجحات لها ما النهاية من الحلول‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫حل المتراجحة ‪5(2𝑥 − 1) − 7𝑥 < 3(𝑥 + 1) :‬‬

‫‪2𝑥−5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪10𝑥 − 5 − 7𝑥 < 3𝑥 + 3‬‬

‫)‪2(2𝑥−5‬‬

‫‪10𝑥 − 7𝑥 − 3𝑥 < 3 + 5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0𝑥 < 8‬‬

‫‪4𝑥−10−3𝑥−3‬‬ ‫‪6‬‬

‫وهذا ممكن ألن مهما كان 𝑥 فإن ‪0 < 8‬‬

‫‪4𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 ≥ 10 + 3‬‬ ‫وهذا غير ممكن ألن ‪0 ≤ 13‬‬

‫إذن المتراجحة لها ما ال نهاية من الحلول ‪.‬‬

‫‪0𝑥 ≥ 13‬‬

‫إذن المتراجحة ليس لها حل‬ ‫‪5‬‬

‫المســـــألة المرتبطة بالمتراجحة ‪:‬‬ ‫ممون الحفالت يقترح الصيغتين التاليتين لكراء األواني ‪:‬‬ ‫الصيغة األولى ‪ 100𝑑ℎ :‬إضافة إلى ‪ 30𝑑ℎ‬للساعة الواحدة ‪.‬‬ ‫الصيغة الثانية ‪ 200𝑑ℎ :‬إضافة إلى ‪ 20𝑑ℎ‬للساعة الواحدة ‪.‬‬ ‫‪ )1‬تريد استغالل األواني لمدة ‪ 6‬ساعات أي الصيغتين تختار ؟‬ ‫‪ )2‬حدد عدد الساعات الممكنة بحيث تكون للصيغتين المقترحتين نفس الكلفة ؟‬ ‫‪ )3‬حدد عدد الساعات الممكنة بحيث تكون الصيغة األولى أقل كلفة ؟‬

‫مالحظة ‪:‬‬

‫عندما نستخدم تعبيراً مثل (على األقل – أكثر من – أفضل – أدنى – أقصى ‪ ) ...‬فإننا نتكلم عن متراجحة ‪.‬‬

‫‪ )1‬ليكن 𝑥 عدد الساعات إذن ‪:‬‬ ‫الصيغة ‪ 1‬هي ‪:‬‬

‫‪30𝑥 + 100 = 30 × 6 + 100 = 280 𝑑ℎ‬‬

‫الصيغة ‪ 2‬هي ‪:‬‬

‫‪20𝑥 + 200 = 20 × 6 + 200 = 320 𝑑ℎ‬‬

‫بما أن‬

‫‪ 280𝑑ℎ < 320𝑑ℎ‬إذن سأختار الصيغة ‪1‬‬

‫‪ )2‬تكون للصيغتين نفس الكلفة إذا كان ‪30𝑥 + 100 = 20𝑥 + 200 :‬‬

‫‪30𝑥 − 20𝑥 = 200 − 100‬‬ ‫يعني أن ‪10𝑥 = 100‬‬ ‫إذن‬

‫‪100‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪10‬‬

‫=𝑥‬

‫التحقق من المعادلة ‪ :‬إذا كان ‪ 𝑥 = 10‬فإن تكلفة ‪:‬‬ ‫الصيغة ‪ 1‬هي ‪𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡 = 30 × 10 + 100 = 400 𝑑ℎ :‬‬ ‫الصيغة ‪ 2‬هي ‪𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡 = 20 × 10 + 200 = 400 𝑑ℎ :‬‬

‫وبالتالي عدد الساعات لتكون للصيغتين نفس الكلفة هو ‪. 10‬‬ ‫‪ )3‬تكون الصيغة ‪ 1‬أقل تكلفة من الصيغة ‪ ، 2‬إذا كان‬ ‫يعني أن‬

‫إذن‬ ‫ومنه‬

‫‪30𝑥 + 100 < 20𝑥 + 200‬‬

‫‪30𝑥 − 20𝑥 < 200 − 100‬‬

‫‪10𝑥 < 100‬‬ ‫‪𝑥 < 10‬‬

‫إذن ستصبح الصيغة ‪ 1‬أقل كلفة من الصيغة ‪ 2‬عندما يكون عدد ساعات استغالل األواني أقل من ‪ 10‬ساعات‪.‬‬

‫‪6‬‬