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INTERES SIMPLE

TEMA I. INTERES SIMPLE Y COMPUESTO Introducción El estudio de las Matemáticas Financieras es importante para todas aquellas personas personas que que deseamos deseamos saber cuanto cuanto ganamos ganamos o cuanto cuanto perdemos perdemos en una inversión. El propósito primordial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla posible. Básicamente el estudio de las Matemáticas Financieras se basa en dos métodos para realizar realizar operaciones operaciones financieras financieras y determinar determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan facilitan el análisis análisis del rendimiento rendimiento financiero, financiero, estos estos métodos son el !nterés !nterés "imple "imple y el !nterés #ompuesto. #ompuesto. En el primero se parte parte del $ec$o de que solo el capital o principal produce intereses, en tanto que el segundo el principal y los intereses ganan intereses. %os métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. E&iste un uso adecuado de acuerdo a una Interés Simple Simple, si deseamos circuns circunstan tancia cia parti particul cular ar.. 'or e(empl e(emplo, o, usamos usamos el Interés saber los ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de ) a*os a través de un bono que paga intereses mensualmente +cupón a una cierta tasa de interé interés s y no se capita capitaliz lizan an los intereses intereses.. 'or el contrari contrario, o, usamos usamos el Interés Compuesto si deseamos saber el monto que se tendrá al final de - a*os, de una cantidad cantidad de dinero invertida periódicamente periódicamente y consecutivame consecutivamente, nte, cuyos intereses intereses se capitalizan por periodo. #uando dis #uando dispon ponemo emos s de una cantida cantidad d de din dinero ero podemos podemos destina destinarlo rlo,, o bie bien n a gastarlo satisfaciendo alguna necesidad , o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos pró&imo, seg/n se acuerde. 0e la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación prin incip cipio io bá bási sico co de l econó ec onómi mica ca no nos s res resul ulte te at atra ract ctiv iva. a. En es este te se sent ntid ido o el pr pre!erenci de li"uide# establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más le(anos. %a razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es sub(etivo pero el mercado de dinero le asigna un valo va lorr ob ob(e (eti tivo vo fi fi(a (and ndo o un pr prec ecio io por la fi fina nanc ncia iaci ción ón qu que e se llllam ama a in inte teré rés. s. El se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del inter$s se inter$s consumo,, esto es, el precio por el alquiler consumo alquiler o uso del dinero durante un per1odo de tiempo. Esta compensación económica se e&ige, entre otras, por tres razones básicas

1

Matemática Financiera I. Noel Reyes Alvarado .

INTERES SIMPLE

1. 2. 3.

Por el riesgo que se asume. Por la falta falta de de disponibil disponibilidad idad que que supone supone desprenders desprenderse e del dinero dinero o capita capital l durante un tiempo. Por la depreci depreciación ación del valor del dinero dinero en el el tiempo. tiempo.

%a cuant cuantificac ificación ión de esa compensación compensación económ económica, ica, de los intereses, depende de tres variables, a saber

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%a ca cant ntid idad ad de dell ca capi pita tall in inve vert rtid ido, o,

-

El ti tiem empo po qu que e dur dura a la la ope opera raci ción ón,, y

)

%a ta tasa sa de in inte terés rés al que se ac acuer uerda da la op opera eraci ción. ón.

El cpitl !inncie es una cantidad ' de unidades monetarias asociada a un !innciero ro es momento determinado de tiempo n. En un una a op oper erac ació ión n fi fina nanc ncie iera ra no ti tien ene e se sent ntid ido o $a $abl blar ar de cpitl cpitles es i%ules +aque +a quellllos os en lo los s qu que e coi coinc ncid iden en cu cuan ant1 t1as as y ve venc ncim imien iento tos, s, si sino no qu que e si siem empr pre e estaremos estare mos refiriéndonos refiriéndonos a cpit cpitles les e"ui& e"ui&lentes lentes,, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que $ay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta resulta indiferente indiferente cobrar $oy 32,444 a cobrar 32,244 32,244 dentro de un a*o, entonces diremos que ambos capitales 32,444 y 32,244 son equivalentes. 0iremos entonces que, dos capitales cualesquiera, ' 2 con vencim vencimiento iento en n 2 y 'con co n ve venc ncim imie ient nto o en n-, so son n eq equi uiva vale lent ntes es cu cuan ando do se es está tá de ac acue uerd rdo o en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no $aya ganancia o costo en la operación. 5odo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. 'ara efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen, las cantidades cantidades de dinero que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático +"imple o #ompuesto que permita dic$a sustitución una ley financiera. %a le' !inncier se !inncier se define como un modelo matemático +una fórmula para cuantificar los intereses por el aplazamiento y6o anticipación de un capital en el tiempo.

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INTERES SIMPLE

1. 2. 3.

Por el riesgo que se asume. Por la falta falta de de disponibil disponibilidad idad que que supone supone desprenders desprenderse e del dinero dinero o capita capital l durante un tiempo. Por la depreci depreciación ación del valor del dinero dinero en el el tiempo. tiempo.

%a cuant cuantificac ificación ión de esa compensación compensación económ económica, ica, de los intereses, depende de tres variables, a saber

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%a ca cant ntid idad ad de dell ca capi pita tall in inve vert rtid ido, o,

-

El ti tiem empo po qu que e dur dura a la la ope opera raci ción ón,, y

)

%a ta tasa sa de in inte terés rés al que se ac acuer uerda da la op opera eraci ción. ón.

El cpitl !inncie es una cantidad ' de unidades monetarias asociada a un !innciero ro es momento determinado de tiempo n. En un una a op oper erac ació ión n fi fina nanc ncie iera ra no ti tien ene e se sent ntid ido o $a $abl blar ar de cpitl cpitles es i%ules +aque +a quellllos os en lo los s qu que e coi coinc ncid iden en cu cuan ant1 t1as as y ve venc ncim imien iento tos, s, si sino no qu que e si siem empr pre e estaremos estare mos refiriéndonos refiriéndonos a cpit cpitles les e"ui& e"ui&lentes lentes,, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que $ay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta resulta indiferente indiferente cobrar $oy 32,444 a cobrar 32,244 32,244 dentro de un a*o, entonces diremos que ambos capitales 32,444 y 32,244 son equivalentes. 0iremos entonces que, dos capitales cualesquiera, ' 2 con vencim vencimiento iento en n 2 y 'con co n ve venc ncim imie ient nto o en n-, so son n eq equi uiva vale lent ntes es cu cuan ando do se es está tá de ac acue uerd rdo o en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no $aya ganancia o costo en la operación. 5odo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. 'ara efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen, las cantidades cantidades de dinero que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático +"imple o #ompuesto que permita dic$a sustitución una ley financiera. %a le' !inncier se !inncier se define como un modelo matemático +una fórmula para cuantificar los intereses por el aplazamiento y6o anticipación de un capital en el tiempo.

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#onociendo las diferentes leyes financieras que e&isten y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.

A. CONCEPTOS (ASICOS Ob)eti&os 7l finalizar el estudio de los conceptos básicos seremos capaces de a E&plicar E&plicar el ob(eto ob(eto de estudio estudio de de las matemátic matemáticas as financieras financieras.. b 0escribir 0escribir el campo campo de aplicació aplicación n de las matemát matemáticas icas financier financieras. as. c 7nalizar 7nalizar y e&plicar e&plicar el concepto concepto de operació operación n financiera financiera.. d E&plicar E&plicar con con un e(empl e(emplo o el proceso de inversión. inversión. e 7nalizar 7nalizar el concepto concepto de valor valor cronológico cronológico del dinero. dinero. f #onoce #onocerr y e&plicar e&plicar en que consis consiste te un flu(o flu(o de ca(a ca(a y elaborar elaborar el diagra diagrama ma del flu(o de ca(a. g E&plicar E&plicar los conceptos conceptos y establecer establecer la la diferencia diferencia entre tasas tasas de interés interés e interés interés devengado.

*. Ls +te+átics +te+átics !innciers !innciers ' su su plicción plicción %as Matemáticas Financieras son un con(unto de técnicas y procedimientos de carácter carácter cuantitativo cuantitativo que nos sirven para calcular calcular la equivalenci equivalencia a del valor del dinero en cualquier momento. %a medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es decir8 para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital. %as Mate Matemát mática icas s Financi Financieras eras se ven invo involucr lucrada adas s en todas todas las las activid actividade ades s económicas donde pretendamos obtener una ganancia8 particularmente la usamos en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está está en (uego, (uego, es es decir8 decir8 si perdem perdemos os o ganamo ganamos. s. %os campos campos de mayo mayor r aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de 9alores que es donde se ofer ofertta y dema demand nda a diner inero o a un prec precio io que que está está deter eterm minad inado o por por la libr libre e competencia.

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'ara 'ara medi medirr el valo valorr del del dine dinero ro en una una inve invers rsió ión n a part parte e de los los elem elemen ento tos s cuantitativos, es importante que tengamos en cuenta las condiciones pol1ticas, sociales, sociales, micro y macroeconómic macroeconómicas as del escenario donde se invierte invierte para analizar analizar el riesgo. 'or eso, es necesario que e&aminemos algunos elementos relacionados relacionados con el entorno de las empresas o entes e(ecutores de las inversiones.

-. Operción !inncier :na operación financiera es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. financ iera. #ualqu #ualquier ier operación operación financiera financiera se reduce a un con(unto de flu(os flu(os de ca(a +cobros y pagos de signo opuest opuesto o y distin distintas tas cantidades cantidades que se suceden en el tiempo. 7s1, por e(emplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este /ltimo un cobro inicial +el importe del préstamo y unos pagos periódicos +las cuotas durante el tiempo que dure la operación. 'or parte del banco, la operación implica un pago inicial /nico y unos cobros periódicos. %a realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres elementos importantes 2. "ustitu "ustitució ción n de capitales capitales.. 0ebe e&i e&isti stirr un intercam intercambio bio de un o unos capital capital +es por otro otro u otros. -. Equivalenci Equivalencia a. %os capita capitales les $an de ser equivalentes, equivalentes, es decir, debe debe resultar de la aplicación de una ley financiera. ). 7pli 7plicac cació ión n de un una a le ley y fi fina nanc ncie iera. ra. 0e 0ebe be e& e&is isti tirr ac acue uerdo rdo sobre sobre la fo form rma a de determinar determ inar el import importe e de todos y cada uno de los capitales capitales que compong compongan an la operación, resultado de la consideración de los intereses generados.

,. Proceso de in&ersión :na :na inve invers rsió ión n es el apla aplaza zami mien ento to del del consu consumo mo actu actual al de ciert ciertos os recurs recursos os financieros +capitales, con el ob(etivo de obtener un mayor consumo real en el futuro. futuro. %a diferen diferencia cia entre entre el consum consumo o futuro futuro y actual actual divido divido por el consumo consumo actual, actual, es lo que conocemos como el porcenta(e de rentabilid rentabilidad ad del inversionista. inversionista. 'or e(emplo, si $oy tenemos 3244 disponibles se nos presentan dos opciones la primera, es el consumo de los 3244 comprando ; unidades con un costo de 3-4 cada una, una, en este este caso no no $ay rentabi rentabilidad. lidad. %a segunda segunda opción opción es invertir invertir los 3244 a plazo de un a*o con una tasa de interés del -;<, esto indica que al final del plazo tendremos 32-;. "i las unidades de consumo después de un a*o no $an aumentado de precio por que no $ay inflación en el ambiente, se mantendrán en 3-48 entonces podremos comprar =.-; unidades, generando una rentabilidad del -;< de lo invertido. Esto lo podemos apreciar en el siguiente cálculo de la rentabilidad i

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i

=

#onsumo Futuro @ #onsumo 7ctual #onsumo 7ctual

=

=.-; @ ; ;

=

4.-; +244

=

-;<

-. El &lor cronoló%ico del dinero 7 menudo decimos que el dinero produce pro duce dinero. Esta aseveración es realmente verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero $oy, ya sea en un banco o en una corporación de a$orro y préstamo, ma*ana $abremos acumulado más dinero que el que $emos $emos invertid invertido o origin originalm alment ente. e. Este cambio cambio en la cantid cantidad ad de dinero dinero durante un per1odo de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero. Este concepto es el más importante en el estudio de las Matemáticas Financieras. Financieras. 5a 5ambién debemos debemos notar, notar, que si una persona o empresa pide pide $oy dinero prestado, prestado, ma*ana ma*ana tendrá que pagar una cantidad cantidad mayor, mayor, debido al valor valor del dinero en el tiempo. El valor cronológico del dinero podemos verlo desde el punto de vista del valor real, o sea8 poder adquisitivo. 7 como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido al efecto de una tasa de interés, interés, sino también también por efecto de la tasa de variación monetaria monetaria +devaluación +devaluación y la tasa de inflación.

. /lu)os de c) %as personas y empresas tienen ingresos de dinero, +rentas y pagos de dinero +costos que ocurren particularmente en cada per1odo de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y egresos que se producen periódicamente en el tiempo, se denominan flu(os de ca(a. 'ara simplificar, suponemos que todos los flu(os de ca(a ocurren al final de cada per1odo. Esto es lo que se conoce como >convención fin de per1odo? de lo contrario debemos especificar. 'or e(emplo, todos los ingresos y egresos que se producen de forma anual en la activi actividad dad económ económica ica de una empresa empresa para efecto efectos s del análisi análisis s financ financier iero, o, se regis registr tran an al fina finall de cada a*o en el flu(o flu(o de ca(a ca(a o diag diagra rama ma tiempo tiempo valor, valor, independientemente que dic$os flu(os se produzcan en otro momento. %os flu(os de ca(a se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un egreso o desembolso. En cualquier periodo el flu(o de ca(a podremos representarlo como /lu)o de C) Neto 0 In%resos 1 E%resos

. 5

/lu)os de c) positi&os Matemática Financiera I. Noel Reyes Alvarado .

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Estos representan todas las entradas de dinero de la empresa independientemente del origen de donde provengan. En el diagrama tiempo valor, los flu(os positivos los se*alamos con una flec$a $acia arriba. Aráfico 2.2 +escala dada en a*os

b. /lu)os de c) ne%ti&os Estos representan todas las salidas o egresos de dinero de la empresa independientemente del concepto que los origine. En el diagrama tiempo valor, los flu(os positivos los se*alamos con una flec$a $acia aba(o. Aráfico 2.- +escala dada en a*os /lu)o positi&o 344

3C44

3=44

4

2

3=44

-

)

D

7*os

)

D

7*os

Aráfico 2.2 /lu)o ne%ti&o 4

2

-

D44

)44 ;44

;;4 44 Aráfico 2.-

En adelante, la simbolog1a que utilizaremos para representar los flu(os de dinero será +#3 para córdobas y +3 para dólares. 'ara efectos de simplicidad no pondremos en los gráficos o diagramas de tiempo valor, el s1mbolo de la unidad monetaria. "olamente usaremos el s1mbolo cuando abordemos casos espec1ficos. 'ara ilustrar me(or los flu(os de ca(a, supongamos que un ganadero recurre a un banco y le presta 3;4,444 para la inversión en su finca de ganado. El préstamo es a plazo de = meses y al final del mismo el ganadero devolverá al banco un monto de 3;=,-;4 en concepto de pago de capital más intereses. En este caso el banco registra un flu(o negativo en el momento del desembolso del préstamo en el mes cero y la administración de la finca registra un flu(o de dinero positivo. 7l final del plazo en el mes =, el banco registra un flu(o positivo producto del ingreso por el pago que recibe del préstamo. En cambio, la administración de la finca registra un 6


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flu(o negativo dado que desembolsa dinero para la cancelación del crédito. Esto lo podemos apreciar en el gráfico 2.). desde el punto de vista del banco.

;=,-;4

4

2

-

)

D

;

= Meses

Aráfico 2.)

;4,444

2. 3i%r+ de !lu)o de c) El diagrama del flu(o de ca(a es la representación gráfica de un flu(o de dinero en una escala de tiempo +9er gráficos 2.2, 2.- y 2.). El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir8 es un instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando /nicamente el dibu(o del diagrama del flu(o. 'odemos asegurar que el é&ito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la construcción del diagrama de flu(o de ca(a. %os diagramas de flu(os de ca(a 2.D y 2.; representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión. C,444

,444 ,444 =,444 ;,444 4

2

-

)

D

; 7*os

Aráfico 2.D

-4,444

En el diagrama del flu(o de ca(a, la fec$a 4 +cero es el momento actual +$oy. %a fec$a 2, es el final del per1odo 2. %a fec$a -, es el final del per1odo -. %a fec$a ), es el final del per1odo ) y as1 sucesivamente $asta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flu(o de dinero ocurre al final de cada per1odo +salvo cuando se estipule lo contrario,

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solamente debemos considerar las fec$as marcadas con 4, 2, -, ), . . ., n para registrar los flu(os en el diagrama.

C,444 ,444 ,444 =,444 ;,444 4

2

-

)

D

; 7*os

Aráfico 2.;

-4,444

7nalicemos en particular los per1odos - y ; de la escala del gráfico 2.; 2

-

D

'eriodo -

; 'eriodo ;

!nicio per1odo -

Final per1odo -

!nicio per1odo ;

Final per1odo ;

eafirmamos que la dirección de las flec$as en el diagrama de los flu(os de ca(a es importante para la solución del problema. :tilizaremos flec$as $acia arriba para indicar un flu(o positivo +ingreso y flec$a $acia aba(o para indicar un flu(o negativo +egreso

20,000

20,000 /lu)o positi&o

8

/lu)o ne%ti&o


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%os flu(os de ca(as los podemos presentar de dos formas diagrama o gráfico +ver gráficos 2.D y 2.; y tabular +ver tablas 2.- y 2.) A4o Flu(o Geto

5 +-4,444

* ;,444

6 =,444

, ,444

,444

 C,444

, ,444

=,444

 ;,444

5abla 2.2 Muestra el flu(o del diagrama 2.D

A4o Flu(o Geto

5 +-4,444

* C,444

6 ,444 5abla 2.-

Muestra el flu(o del diagrama 2.; E)e+plo *.* :na empresa invierte en una máquina 32-,444 que se estima tendrá una vida /til de = a*os. %os ingresos anuales serán de 3;,444 y los costos de operación y mantenimiento serán de 32,-44 para el primer a*o y se espera que estos costos aumenten en 3)44 por a*o a partir del a*o -. %a máquina al final de la vida /til tendrá un valor de rescate de 3),444. Elaboremos el flu(o de ca(a en forma tabular y en diagrama. Solución 'rimero $agamos una tabla refle(ando los ingresos y egresos de la actividad económica por a*o para deducir el flu(o neto. +9er tabla 2.). Hbserve que en el a*o = el ingreso es de 3,444 esto es debido a la venta de la máquina por 3),444 . A4o 5 * !ngreso 444 ;,444 Egreso 2-,444 2,-44 /lu)o Neto 7*68555 ,8:55 9

6 ;,444 2,;44 ,855

, ;,444 2,44 ,8655

;,444 -,244 68;55

 ;,444 -,D44 68255

2 ,444 -,44 8,55

5abla 2.) En el diagrama 2.= se muestra el flu(o de ca(a neto. ),44 ),;44 -,C44 3,200

;,)44

2,600 4

9

2

-

)

D

;


= 7*os

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2-,444

Aráfico 2.=

<. Ts de inter$s 'ara comprender el concepto e(emplo.

de tasa de interés analizaremos el siguiente

E)e+plo*.6 a. "uponga que usted acude a un banco y solicita un préstamo por el cual le cobra como rédito 3-4 anual, por cada 3244 unidades monetarias prestadas, entonces la tasa de interés i anual es la razón

i

=

-4 244

=

4.-4

anual, o sea 4.-4+244 = -4<

b. "! una cuenta de a$orros devenga un interés de 3) en cada trimestre por cada 3244 a$orrados, entonces la tasa de interés i por trimestre es

i

=

3

244

=

4.03

trimestral, o sea 4.4)+244 = )<

c. 'or un préstamo bancario pagamos 32.; mensual por cada 3244 unidades que tenemos en saldo, entonces la tasa de interés i mensual es

i

=

1.5 244

=

4.015

mensual, o sea 4.415+244 = 1.5<

0el e(emplo anterior, inferimos que >la tasa de interés tanto por ciento la definimos como la razón que se establece entre el n/mero de unidades monetarias pagadas como rédito, en un per1odo de tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma prestada o a$orrada? 1 En este te&to utilizaremos la notación en porcenta(e para referirnos a la tasa de interés, sin multiplicar por cien el n/mero que resulta de la operación, por e(emplo podemos decir el porcenta(e de la siguiente manera.

i=

1

-; 244

=

4.-; o sea -;< anual

Justin More Manual de Matemáticas Financiera

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INTERES SIMPLE

:. Inter$s El interés es la cantidad convenida que pagamos por el uso del dinero en calidad de préstamo o a$orro. %a evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida del incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada. El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, en la actualidad los bancos, las entidades financieras y las personas no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad8 todo esto originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento del valor cronológico del dinero. El Interés acumulado o devengado es la cantidad de dinero generado al final de cierto per1odo de tiempo por efecto del préstamo o a$orro, lo podemos calcular con el método de !nterés "imple o #ompuesto. Este interés depende de los factores siguientes • • • • •

%a cantidad de dinero prestada o a$orrada 0el plazo del préstamo o depósito 0e la tasa de interés pactada o establecida 0e la forma de capitalizar intereses 0e la forma de pagar intereses anticipados o vencidos

Htros conceptos importantes utilizados en matemáticas financieras, son los que vamos a definir a continuación El capital. El capital es la suma de dinero que prestamos o que a$orramos en el

momento de realizar una inversión. 5ambién al capital le podemos llamar principal, por eso, en este te&to usaremos indistintamente la palabra capital o principal. El tiempo . El tiempo es la duración del lapso para el que se calcula el interés y lo

podemos establecer por per1odos tales como anual, semestral, trimestral, bimensual, mensual, y diario. El tiempo medido en ao comercial tiene )=4 d1as y cada mes )4 d1as. #uando el tiempo es medido en ao e!acto éste consta de )=; d1as y )== si es bisiesto.

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INTERES SIMPLE

(. INTERES SIMPLE Ob)eti&os 7l finalizar el estudio de este cap1tulo seremos capaces de a E&plicar los conceptos básicos de interés simple, plazo, capital, valor actual y monto b #onstruir a partir de problemas concretos, e&presiones matemáticas para determinar interés simple c esolver problemas de cálculo de valor presente, valor futuro, tasa de interés y plazo a interés simple d 'lantear y resolver correctamente situaciones de equivalencias financieras para modificar sistemas de pagos a través de las ecuaciones de valor e Establecer y e&plicar la diferencia entre descuento bancario , racional y comercial f %iquidar deudas con interés sobre saldos a través de pagos parciales g 7plicar el descuento bancario para calcular el valor de la inversión en un t1tulo@ valor $ 0eterminar la tasa de rentabilidad anualizada de inversiones con descuento bancario

*. Inter$s si+ple El interés simple es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial en base el tiempo estipulado. El interés simple está dado por la fórmula 2.2. El capital ' al final de cada per1odo es el mismo, los intereses generados en cada per1odo son improductivos. 0e esta forma, la evolución del interés devengado en cada per1odo es el siguiente 'eriodo 2

!2 I ' i

'er1odo -

!- I ' i J ' i I ' +i J i I '-i I ' i -

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INTERES SIMPLE

'er1odo )

!) I ' i J ' i J ' i I ' +i Ji J i I ') i I ' i )

'er1odo D

!D I ' i J ' i J ' i J ' i I ' +i Ji J i J i I ' D i I ' i D

K

K

'er1odo n

K

K

!n I ' i J ' i J ' i J ' i K I ' +i Ji J i J iK I ' n i I ' i n

0e esta manera, el interés simple para n periodos está dado por la fórmula 2.2.

!

=

'in

2. 2

%as variables de la fórmula 2.2 las podemos definir

! ' i n

!nterés acumulado o devengado 'rincipal +cantidad prestada o a$orrada 5asa de interés del periodo +d1a, mes, trimestre, semestre, a*o. 'lazo o n/mero de periodos +d1a, mes, trimestre, semestre, a*o.

'ara el uso correcto de la fórmula +2.2 es necesario que las variables relacionadas con el plazo + n  y la tasa de interés + i  estén definidas en el mismo per1odo de tiempo. En los e(emplos de la tabla 2.; se muestra esta situación. Cso 2 ) D

Pl#o n I 2 trimestre n I ; 7*os n I 24 meses n I = meses

Ts de inter$s i I D < trimestral i I 2< anual i I -< mensual i I -4< anual

Con&ersión D6244 I 4.4D 26244 I 4.2 -6244 I 4.4-46244 I 4.-4

5abla 2.; En el caso D para usar la fórmula +2.2 debemos convertir = meses a 4.; a*os o bien -4< anual a 2.===< mensual. Es decir =62- es 4.; a*os o bien 4.-462- es 4.42=== interés por mes. 9er e(emplos 2.2, 2.- y 2.). "i la tasa de interés + i  está definida en a*o y el plazo +n en d1as, usaremos el factor n6)=48 si + n  está dado en meses usaremos n62-.

13


INTERES SIMPLE

#uando el plazo está determinado de una fec$a a otra, utilizaremos todos los d1as efectivos entre las fec$as respectivas y se dividen por )=4 para convertirlo a a*o comercial, de esta forma anualizamos el plazo. 'or e(emplo, si el plazo de una operación financiera va del d1a 2- de mayo al -= de octubre del mismo a*o, el plazo en a*o comercial lo podemos determinar por.

n

2=B  =    =  )=4 

4.D=)EEE

a*o comercial

Hbservemos que el n/mero de d1as efectivos entre el 2- de mayo y el -= de octubre es de 2=. #onstate el n/mero de d1as consultando la tabla 5ransformemos el plazo en a*o comercial de una operación financiera que inicia el 2= de marzo de -442 y finaliza el -= de mayo de -44-. En este caso, el n/mero de d1as efectivos comprendidos entre las fec$as indicadas es de D)=, por tanto tenemos8

n

D)=  =    =  )=4 

2.-2222

a*os comer ciales

. Inter$s si+ple co+ercil u ordinrio El interés calculado sobre la base del a*o comercial que tiene )=4 d1as, y cada mes )4 d1as, se le llama interés simple comercial u ordinario, es decir

!

=

'i

 n     )=4 

2. -

Este cálculo incide en la variación de la fec$a de vencimiento de un préstamo, ya que no coincide e&actamente con la fec$a formalización. 7s1 por e(emplo, un préstamo que se otorgó el 2; de enero de -442 a plazo de un a*o, no necesariamente vence el 2; de enero de -44-, sino que vence el d1a 24 de enero debido a que se utiliza el a*o comercial compuesto de )=4 d1as. Este es el sistema utilizado com/nmente por las instituciones que traba(an con crédito. El interés calculado sobre la base anual de )=4 d1as se conoce en la práctica comercial como interés bancario.

b. Inter$s si+ple e=cto

14


INTERES SIMPLE

El interés calculado sobre la base de )=; d1as le llamamos interés e&acto. 'or otra parte, el tiempo lo podemos calcular de manera e&acta y de manera apro&imada, por consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas deudor y acreedor deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará.

!

=

'i

 n     )=; 

2. )

E)e+plo *.* #alculemos el interés que devenga un depósito de 3-;,444 en un banco a una tasa de interés simple del -4< a plazo fi(o de 24 meses. Solución 0atos ' I 3-;,444, n I 2462- I 4.)))) a*o, i I -4< I -46244 anual. 'or la fórmula +2.2 resulta



=

Pi

 n  = 25,000( 0.20)  10  =      12   12 

4,166.67

E)e+plo *.6 El "r. 7dán 'ulido planea solicitar un préstamo de 324,444 a 2 meses de plazo a una tasa de interés simple del )4<. #alcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo. Solución 0atos

' I 324,444,



=

Pi

n I 262- a*os,

n     =  12 

i I 4.)4 a*os.

 18   = 81,000  12 

180,000( 0.30) 

El resultado es el mismo si $acemos i I 4.)462- I 4.4-; por mes , n I 2 meses, o sea



=

 0.30   (18) = 81,000  12 

180,000 

E)e+plo *., #alculemos el valor de los intereses que devenga un pagaré de valor nominal 3;4,444 a plazo de -4 d1as, con una tasa de interés del 4.C;< mensual.

15


INTERES SIMPLE

Solución 0atos ' I 3;4,444, n I -46)=4 I 4.; a*os, 'or la fórmula 2.2 tenesmos

!

=

 -B4   =  )=4 

;4,444 ( 4.22D ) 

i I 4.44C;+2- I 4.22D anual,

D,-B;

5ambién resulta lo mismo si $acemos la variante n I -46)4 I C meses , !

=

i I 4.44C; mensual8 nuevamente

;4,444 ( 4.44C; )( C )

= D,-B;

c. Pl#o con inter$s si+ple !e la "#rmula $1.1% &odemos calcular el &la'o de las in(ersiones, se)*n cono'camos el (alor de las otras 3 de la si)uiente "orma. Pl#o en d>s

n

 360 =          P   i 

1.4

Pl#o en 4os co+erciles n

 1 =          P   i 

1.5

E)e+plo *."i una persona invierte el d1a 2- de febrero de -44 la cantidad de 3D,444 al ;< de interés semestral. #alcule la fec$a de vencimiento, si el interés devengado es de 3-44.

16


INTERES SIMPLE

Solución 0atos ' I 3D,444, tenemos

n

n I L,

i I 4.4;+- I 4.24 anual. 'or la fórmula +2.D

   360   200   360  =        =   = 180  P   i   4,000   0.10 

d+as

%a fec$a de vencimiento será 24 d1as después de $incada la operación financiera, o sea, el d1a 22 de agosto siguiente.

d. ?lor del principl o cpitl El valor del principal invertido con interés simple en una fec$a, lo podemos calcular de la siguiente manera El pl#o está ddo en d>s

P

 360 =          i   n 

1.6

El pl#o está ddo en 4os co+erciles

P

 1 =          i   n 

1.7

E)e+plo *. #alculemos el principal el d1a - de enero, si el d1a -; de octubre del mismo a*o gana un interés de 3C44.44 a una interés del )< trimestral simple. Solución 0atos ' I L, n I -4 d1as, obtenemos el principal invertido.

P

i I 4.4)+D I 4.2- anual. 'or la fórmula +2.=

   360   900   360  =      =     =  i   n   0.12   270 

10,000.00

0e esta manera el valor invertido el d1a - de enero es de 324,444.

17


INTERES SIMPLE

e. E"ui&lencis de su+s de dinero En el cálculo financiero, diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor económico" esto quiere decir >el valor del dinero en el tiempo? utilizando con(untamente una tasa de interés. El análisis del e(emplo 2.D nos ayudará a comprender me(or este concepto. E)e+plo *.2 a. "i la tasa de interés es el -;< anual, 244.44 euros de $oy son equivalentes a  244.44 J  -;.44 I  2-;.44 dentro de un a*o y viceversa. b. "i nosotros debemos pagar 32,)44 dólares dentro de un a*o, equivale a que paguemos 32,444 dólares el d1a de $oy, si utilizamos una tasa de interés del )4<. Esto quiere decir, que con interés de 32,444 de $oy son equivalentes a 32,)44 dentro de un a*o y viceversa.

6. Clsi!icción de ls tss de inter$s #omo lo definimos anteriormente, la tasa de interés es la razón del rédito devengado respecto al capital inicial invertido. En otras palabras, es la cantidad porcentual que si la multiplicamos por el capital inicial, obtenemos como resultado el interés generado. %a determinación de la tasa de interés efectiva o verdadera de un préstamo, depende de lo que se $aya convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la efectiva. >%as tasas de interés bancarias presentan tres resultados !nterés #ompuesto Hrdinario, !nterés 0escontado e !nterés a plazo? -. %as tasas de interés se dividen en dos categor1as . Ts de inter$s cti& . %a tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea8 en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y (ur1dicas para el financiamiento de las actividades económicas. %as tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas. b. Ts de inter$s psi& . %a tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los a$orrantes, en la captación de dinero +a$orros en sus diversas formas. %a tasa pasiva constituye una tasa de interés de rendimiento ba(a para los a$orrantes, ya que el a$orro es una inversión de ba(o riesgo. 2

-incoán Portu'. Matemáticas Financieras, Mc/raill, 3ra. d., Mico, 1990.

18


INTERES SIMPLE

'or naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero GicaragNense, las tasas activas y pasivas están determinadas seg/n la oferta y demanda de dinero, as1 como el 1ndice de riesgo pa1s para las inversiones y otros factores como la estabilidad pol1tica y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional +córdobas y para moneda e&tran(era +dólar de los Estados :nidos. En Gicaragua, al cierre del mes de diciembre de -442, seg/n informe del Banco #entral, el 1ndice promedio de las tasas de interés pasivas y activas en el "istema Financiero Gacional, a un a*o de plazo estaba Moned Gacional +#órdoba E&tran(era +0ólar

Ts psi& 2-.D4 < .;;<

Ts cti& 2.24< 2.)<

c. R$dito ' Ts de rentbilidd  inter$s si+ple "e entiende por rédito +r el rendimiento generado por un capital '. "e puede e&presar en tanto por cien +<, y no se toma en cuenta el tiempo "i en el momento 4 disponemos de un capital ' y éste se convierte en un capital F en un determinado momento 2, donde ! es el interés y F I ' J ! entonces, el rédito de la operación será r

=

F

−P

=

P



1. 8

P

%a tasa de rentabilidad + i  o rendimiento es el porcenta(e de utilidad obtenido o que se espera obtener de una determinada inversión durante un periodo de tiempo n. %a tasa de rentabilidad + i  responde a la pregunta de cuánto ganaremos o perderemos en relación a la inversión efectuada. 'or tanto, la tasa de rentabilidad + i  la podemos calcular tomando en cuenta el rédito + r , de la siguiente manera i

r =      n 

1.9

"i el plazo de la operación financiera está dado en d1as +09  d1as vencidos podemos utilizar el factor comercial, y determinar la rentabilidad + i  anual 

19


INTERES SIMPLE

 360  =  360  =        n   !   d+as

  (encidos 

360

7s1, el rendimiento anualizado a interés simple de una inversión cuando el pl#o ddo en d>s i

   360  =       P   n 

1.10

%a tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene aplicación en el mercado bursátil de Gicaragua y facilita seleccionar la me(or alternativa de inversión en la transacción financiera con t1tulos valores, sobre todo aquellos t1tulos que se venden con descuento bancario. E)e+plo *.< Ooy el se*or 'érez, invierte la cantidad de 244,444 euros y dentro de -.; a*os espera obtener 2-,;444 P#uál será el rédito y la tasa de rentabilidad anual esperada del "r. 'érezL Solución %a ganancia o interés lo definimos como ! I F  ' I !ngreso  Egreso. En este caso la ganancia del se*or 'érez es 2-,;44  244,444 I -,;44. 7s1, la inversión generará un rédito de -.;<, como se puede apreciar por 2. r

=

F− P P

=

127,500  100,000 100,000

=

27,500 100,000

=

0.275

o

sea

r

= 27.5

%a rentabilidad anual esperada por 2.24 será i

r  0.275 =  =   =  n  2.5

11

%a operación anterior la podemos visualizar en un diagrama de flu(os de ca(a o de fondos. +gráfico 2.D 244,444 -,;44

4

-.;

Aráfico 2.D

20


7*o

INTERES SIMPLE

244,444

d. Ts de inter$s por +or En los contratos de pago de obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés por mora o simplemente tasa de interés moratoria y se entiende como el porcenta(e de recargo por el incumplimiento de pago en la fec$a programada o establecida. Aeneralmente, el interés por mora se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fec$a de vencimiento del pago de la cuota. "i la cancelación del pago o cuota se retrasa, el interés por mora lo calculamos tomando en cuenta /nicamente el principal de la cuota vencida, durante el tiempo de mora del pago. 'ara calcular el interés por mora a través del método de !nterés "imple, usamos la fórmula +2.22 que se deriva de la fórmula +2.2. 

mo

=

P c(

i

t

m

m

1. 11

El retraso de la cancelación de la cuota, conlleva el a#uste del interés corriente aplicado al /ltimo saldo de la deuda en el per1odo retrasado. Este a(uste puede ser cobrado (unto a la cuota retrasada o bien en la fec$a de la pró&ima cuota, cuyo interés corriente debe ser también a(ustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fec$a programada de la pró&ima. Este cálculo lo realizamos de acuerdo a la fórmula +2.2-



ca

=



a

i

c

t

m

1. 12

0onde !mo I !nterés por mora !ca I !nterés corriente a(ustado 'cv I 'rincipal de la cuota retrasada "aI "aldo anterior a la cuota vencida ic I 5asa de interés corriente pactada im I 5asa de interés moratoria tm I 5iempo de mora de la cuota.

21


INTERES SIMPLE

Comentario en la práctica bancaria, el cálculo de los intereses por mora, se

efect/an en base a una situación contractual +acreedor  deudor, por eso es importante que el prestatario se entere al momento de contraer una obligación financiera, el procedimiento que utiliza el prestamista para calcular dic$os intereses. E)e+plo *.: :na empresa está amortizando o pagando una deuda a un banco y paga al final de cada mes una cuota de valor #32,===.= la cual está vencida y tiene -4 d1as de mora. El principal de la cuota es de #32;,444 y los intereses corrientes del mes son de #3-,===.=. El /ltimo saldo es de #3D;,444. %a tasa de interés corriente sobre el préstamo es del )-< anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 2;< anual. PQué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al corrienteL 3tos 'cv I #32;,444 ic I )-< im I 2;< tm I -4 "aI #3D;,444

principal de la cuota tasa de interés corriente tasa de interés por mora d1as de mora de la cuota /ltimo saldo de la deuda

Solución 7plicando la fórmula 2.22 calculamos el interés por mora durante -4 d1as.



=

mo

15,000 ( 0.15 )

 20  =    360 

125.00

El a(uste del interés corriente lo calculamos mediante la fórmula 2.2-, esto es



ca

=

45,000 ( 0.32 )

 20  =    360 

800.00

0e esta manera, el total a pagar con mora se detalla a continuación

22

#32;,444.44 #3 -,===.= #3 2-;.44 #3 44.44

principal de la cuota intereses corrientes de la cuota en mora intereses por mora durante -4 d1as a(uste de intereses corrientes por -4 d1as

#@*:8;*.2<

P%o totl


INTERES SIMPLE

E)e+plo *.; :n préstamo de 3;,444 con interés corriente del -4< y por mora de 2< fue otorgado el d1a 24 de enero, con vencimiento $asta el d1a 2- de septiembre del mismo a*o. El compromiso del crédito era cancelar principal e intereses en la fec$a de vencimiento. "i el deudor pagó la obligación $asta el d1a C de octubre del mes siguiente al vencimiento, determinemos el valor total que pagó. 3tos 'cv I 3;,444 ic I -4< n I -D; d1as

principal del préstamo y de la cuota tasa de interés corriente  plazo del préstamo

Solución #on los datos anteriores, calculemos el valor del pago /nico en la fec$a de vencimiento, o sea, el valor futuro. 7plicando la fórmula +2.2 determinamos los intereses corrientes, los cuales son8



=

5,000 ( 0.2 )

245     =  360 

680.56

7s1, el monto de la deuda en la fec$a de vencimiento del d1a 2- de septiembre es8 3 ;,444.44 3 =4.;=

principal del préstamo y de la cuota intereses corrientes

@ 82:5.2

Monto de l deud o cuot  p%r

0ado que la deuda se liquida $asta el d1a C de octubre $ay un tiempo moratorio de - d1as +2- septiembre al C de octubre. En este caso el valor total a pagar lo calculamos 3tos 'cv I 3;,444 ic I -4< im I 2< tm I - "aI 3;,444

principal de la cuota tasa de interés corriente tasa de interés por mora d1as de mora de la cuota /ltimo saldo de la deuda

Solución 7plicando la fórmula +2.22 calculamos el interés por mora durante - d1as.



23

mo

=

5,000 ( 0.18 )

 27  =    360 

67.50


INTERES SIMPLE

El a(uste del interés corriente por - d1as sobre /ltimo saldo lo $acemos conforme la fórmula +2.2-, esto es



ca

=

5,000 ( 0.20 )

 27  =    360 

75.0 0

0e esta manera, el total a pagar con mora el d1a C de octubre lo detallamos a continuación 3 ;,444.44 3 =4.;= 3 =.;4 3 ;.44

principal de la cuota intereses corrientes de la cuota en mora intereses por mora durante - d1as a(uste de intereses corrientes por - d1as

@ 8:6,.52

Totl  p%r

e. Ts de &rición +onetri %a tasa de variación monetaria +devaluación es aquella que $ace cambiar el valor de una moneda respecto a otra que se utiliza como patrón. Aeneralmente se $ace con el ob(etivo de garantizar el valor de las inversiones en moneda de valor constante, +en nuestro caso las inversiones están dolarizadas respecto al dólar de los Estados :nidos 0e esta manera por ley, +en Gicaragua todos los préstamos o financiamientos que se otorgan en córdobas), están dolarizados ya que se les aplica el concepto de mantenimiento de valor respecto al dólar. En estos casos, los usuarios de financiamientos necesitan conocer las tasas infladas o nominales anuales teniendo en cuenta dos factores o componentes que inciden directamente en las tasas de interés reales a pagar. Estos factores son iv  tasa de variación monetaria ic  tasa de interés corriente

En lo que respecta al 1ndice de variación monetaria i v es un porcenta(e o tasa de >interés? que constantemente $ace cambiar la unidad monetaria nacional. 'or e(emplo, >en el caso de Gicaragua esta tasa de variación oficial +Banco #entral de Gicaragua pasó en el mes de (ulio de 2CCC del 2-< al C< anual y en el mes de abril del a*o -444 se redu(o al =< de devaluación del córdoba respecto al dólar?D 3 4

om:re de la moneda de curso le)al en icara)ua ndicadores con#micos. ;anco
24


INTERES SIMPLE

"i queremos calcular la tasa de variación iv entre dos fec$as cualesquiera, podemos tomar dos valores representativos del tipo de cambio oficial +5#H, financiero y no oficial en dependencia del sector en que nos ubiquemos. E)e+plo *.*5 0eterminemos la tasa de variación del córdoba respecto al dólar de los Estados :nidos en el periodo de (unio 2CC a diciembre de -444, tomando como fuente los indicadores del Banco #entral de Gicaragua donde se se*ala que el 5#H en las fec$as indicadas son las siguientes 5#H I #3C.DD por dólar, finales del mes de (unio de 2CC 5#H I #32).4; por dólar, finales del mes de diciembre de -444 Solución 7signamos B I #3C.DD 9alor anterior 7signamos 7 I #32).4; 9alor actual Entonces, la tasa de variación monetaria i v comprendida en estas fec$as, la determinamos mediante la fórmula +2.2)

i

i

v

(

=

=

alor actual 

alor anterior

alor anterior

2).4; @ C.DD C.DD

=

).=2 C.DD

=

=

=

 ;

4.)E-D2;

;

F#rmula

o sea i

v

=

1. 13

)E.-D2<

0e esta manera el porcenta(e de devaluación oficial o de variación del córdoba respecto al dólar el per1odo de (unio 2CC a diciembre del -444 fue de ).-D2;< En el mercado financiero +venta de dólares de los bancos la devaluación promedio en el mismo per1odo fue la siguiente B I #3 C.D=, 7 I #3 2).-;

i

25

v

=

2).-; @ C.D= C.D=

=

).BC C.D=

=

4.D44=)D

o sea i

v

=


D4.4=)D<

INTERES SIMPLE

#on la fórmula +2.2) podemos calcular la devaluación de forma diaria, mensual, trimestral, semestral o entre dos fec$as de interés para nuestros análisis8 solamente debemos conocer el valor representativo anterior y actual del tipo de cambio.

,. ?lor !uturo de un su+ de dinero 7+onto9 El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto per1odo de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fec$a antes o en la fec$a de vencimiento. Aráfico 2.;. F

4

n

Aráfico 2.; ' "i el tiempo n es medido en a*os, meses o d1as el valor presente +principal de una cantidad de dinero es denominado ', su valor después de cierto per1odo de tiempo y a una tasa de interés i está dado por F

=

P

+

P i n

=

P 1

+ i ( n)

1.14

%o anterior indica que el valor presente ' más los intereses ! que devenga en un periodo determinado se llama valor futuro F. Esta e&presión es aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los per1odos. 7 partir de la e&presión anterior +denominada fórmula fundamental de la capitalización simple no solamente podemos calcular montos +valor futuro sino que, conocidos tres datos cualesquiera, podr1amos despe(ar el cuarto restante. Guevamente, $ay que tener en cuenta que la +n indica el n/mero de veces que se $an generado +y acumulado intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa de interés. E)e+plo *.** El "r. "antos, deposita en un banco 32)4,444 en certificados de depósito a término +#05 a un interés del 2;< y = meses de plazo. 0eterminar

26


INTERES SIMPLE

a %os intereses acumulados b El valor futuro de los certificados. +Aráfico 2.= 3tos ' I 32)4,444,

n I = meses,

i I 2;<,

! I L,

FIL

Solución



=

F

=

P i n

 6  =   12 

= 130,000 ( 0.15 ) 

 

130,000  1

  =   12  

+ 0.15  

6

9,750.00

139,750.00

FIL

4

= Meses

Aráfico 2.= ' I 2)4,444 E)e+plo *.*6 0eterminemos el valor final que una persona debe pagar para saldar una deuda de 32-,;44 a plazo de 4 d1as a un interés del -2< 3tos ' I 2-,;44,

n I 46)=4 a*o, i I -2<

Solución 7plicando la fórmula 2.2D tenemos8

F 27

=

2-,;44

  E4    2 + 4.-2  )=4   = 2),4E).))  Financiera    Matemática I. Noel Reyes Alvarado .

INTERES SIMPLE

-. ?lor presente o ctul de un su+ de dinero El valor presente o principal ' de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio de cierto per1odo de tiempo, no contiene intereses. Este valor ' lo podemos calcular en cualquier fec$a después o en la fec$a de inicio de la operación financiera. Aráfico 2.. 0e acuerdo a la fórmula +2.2D donde F I 'R 2 J i+nS , despe(ando ' obtenemos el valor presente el cual está dado por

P

=

F

[1 +

i( n

1. 15

)]

F

n

4

Aráfico 2. ' E)e+plo *.*, 0eterminemos el valor inicial que recibió el "r. 'edro ivas en concepto de un préstamo, si al final del plazo de C4 d1as pagó principal e intereses por una cantidad de 3;),2-; a una tasa el de interés -;
n I C4 d1as,

i I -;<,

'IL

'IL

C4 d1as Aráfico 2. F I ;),2-; 7plicando la fórmula 2.2; obtenemos la solución de la siguiente forma

28


INTERES SIMPLE

Solución

P

=

53,125

1 + 

 90 0.25   360

     

= 53,125 $0.941176% = 50,000

Entonces, el "r. ivas recibió la cantidad de 3;4,444 por el préstamo. 7 este valor le llamamos principal prestado y a la cantidad pagada al final del plazo de 3;),2-; se le denomina monto del préstamo.

E)e+plo *.*:n inversionista tendrá que pagar dentro de  meses la cantidad de 3)44,444. "i el banco acreedor aplicó una tasa de descuento simple racional del 2;<, calculemos el valor l1quido que recibió del bancoL 3tos F I 3)44,444,

n I  meses,

Solución El valor l1quido es ', donde 0 I descuento ! I interés

i I 2;<

'IL

'I F! I F0

+0 I !

por la fórmula +2.2; tenemos

'

=

)44,444

 2 + 

 E 4.2;   2-

     

= -B-,B-B.-B

0el cálculo anterior deducimos que el descuento simple racional es la diferencia entre el valor futuro 3)44,444 y el valor presente 3--,-.-, o sea8 3-,--.)

. 3escuentos 7nalizaremos los tipos de descuento racional y bancario.

. 3escuento bncrio

29


INTERES SIMPLE

El descuento simple bancario es un procedimiento que utilizan los bancos para invertir en t1tulos  valores, es la diferencia entre el valor futuro o final a pagar y el valor presente de la inversión. Esencialmente consiste en cobrar intereses de forma anticipada o por adelantado y se calcula con base al valor final del documento en la fec$a de vencimiento. En algunos casos el valor final es el valor facial de los documentos que se descuentan, as1 0IFdn 0 I F'

2.2= pero ! I F  '

entonces

0I!

donde 0 0escuento bancario F 9alor final o facial • d tasa de descuento • • n plazo del descuento + 4 T n T - a*os El descuento bancario es una práctica de los bancos y también se emplea en las transacciones bursátiles con documento o t1tulos @ valores que se negocian en el mercado de valores, los cuales se colocan por un valor más ba(o que el se*alado en el t1tulo @ valor. :na caracter1stica de este cálculo es el tiempo de descuento, que a lo sumo es un a*o de plazo. •

En otras palabras, lo que se $ace es un descuento sobre el valor nominal del documento +pagaré, letra de cambio, certificado etc.. %a tasa de descuento es menor que la tasa de rentabilidad de la inversión. Esto ocurre debido al $ec$o de anticipar el pago de intereses E)e+plo *.* El se*or 7quilino 'onderado invierte en un #ertificado Gegociable de !nversión que emite el Banco #entral de Gicaragua8 el valor facial es de 324,444.44, tasa de descuento 2-.;4< a plazo de -4 d1as. #alculemos a El valor del descuento b El valor de la inversión c %a tasa de rentabilidad del se*or 'onderado 3tos F I 324,444,

d I 2-.;4<,

n I -4 d1as, a 0 I L,

b ' I L, c i I L

Solución a 'or la fórmula 2.2= podemos calcular el descuento

!

30

=

F d n

 270  =   360 

= 10,000 ( 0.125 ) 

937.50


INTERES SIMPLE

b El valor de la inversión ' es el valor facial F menos el descuento 0, esto es8

'

c

i

=

=

F

−

0

=

24,444

−

C)B.;4

=

C,4=-.;4

0ado que el plazo es en d1as, la tasa de rentabilidad a interés simple es8 937.50   360   !   360  =          =  P   !   9,062.50   270 

13.7931

renta:ilidad anual

0e esta manera, el se*or 'onderado obtiene una tasa de rendimiento del 2).C)2< anualizada, ligeramente superior a la tasa de descuento aplicada en la colocación del certificado. El esquema de la inversión la presentamos en el gráfico 2.C F I24,444

-4 d1as Aráfico 2.C ' I C,4=-.;4

E)e+plo *.*2 El Banco 7lcazar le descuenta una letra de cambio a la firma de #ontadores '/blica :riza8 el valor nominal es de 3;4,444 a plazo de 2D4 d1as, con tasa de descuento de 2< . 0eterminemos a El valor del descuento b El valor Que. recibe la firma de contadores c %a rentabilidad del banco. 3tos F I 3;4,444,

d I 2<,

n I 2;4 d1as,

a 0 I L,

b ' I L,

Solución a Guevamente, por la fórmula 2.2= calculamos el descuento

31


c i I L

INTERES SIMPLE

!

=

F d n

 150  =   360 

= 50,000 ( 0.17 ) 

3,541.67

b El valor de la inversión en este caso es8

'

=

F

−

0

=

;4,444

−

),;D2.=B

=

D=,D;E.))

c %a tasa de rentabilidad del banco8 i

!   360   3,541.67   360  =        =   =  P   !   46,458.33   150 

18.2960 renta:ilidad anual

b. descuento si+ple rcionl El descuento simple racional es de muc$o menor uso que el bancario, posiblemente porque la cantidad que se descuenta es menor. "e considera que el interés que se gana con el descuento racional se paga al vencimiento. 0ebido a esto, el descuento simple se define como la diferencia entre el valor futuro F de una cantidad 'resente ', es decir8 0 I F  '. 0onde el valor ' a diferencia del descuento bancario se calcula mediante la fórmula +2.2; reemplazando la tasa de interés i por la tasa de descuento d. El cálculo de descuento simple racional lo realizamos en el e(emplo 2.2D, el cual lo sintetizamos en la fórmula +2.2

!

=F−P =

F−

F

1. 17

[1 + d ( n ) ]

E)e+plo *.*< esolvamos nuevamente el problema del e(emplo 2.2; utilizando el descuento simple racional. 3tos F I 324,444,

d I 2-.;4<,

n I -4 d1as, a 0 I L,

b ' I L, c i I L

Solución En este caso primero calculamos, el valor presente ' mediante la fórmula +2.2;, o sea 32


INTERES SIMPLE

'

=

24,444

 2 + 

4.2-;

 -B4   )=4

     

= C,2D-.E=

El valor del descuento 0 es8 0

=

F

−

'

=

24,444

−

C,2D-.E=

=

E;B.2D

%a rentabilidad en este caso coincide con la tasa de descuento i

857.14   360  =      =  9,142.86   270 

12.50 renta:ilidad anual

5ambién el descuento 0 lo podemos calcular directamente $aciendo uso de la fórmula 2.2 de la siguiente manera 0 = 24,444

−

24,444

 2 + 

 -B4   4.2-;     )=4  

=

24,444

−

C,2D-.E=

=

E;B.2D

"i comparamos ambos sistemas de descuentos, notaremos que no es el mismo resultado. 'or tanto, el descuento bancario no es lo mismo que el descuento simple8 lo que equivale a decir, que en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor actual ' con descuento racional es siempre mayor, que el valor actual ' con descuento bancario. %a diferencia se fundamenta en que en el descuento bancario, el interés se paga por anticipado y en el descuento simple racional, el interés se paga de forma vencida.

2. P%os prciles En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones financieras en las que se aceptan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fec$a de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, contin/a en el proceso financiero dentro de un mismo (uego de intereses, $asta la e&tinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas, el análisis y cálculo de los valores en (uego deberán $acerse de acuerdo con las condiciones del 33


INTERES SIMPLE

comercio y la banca local seg/n el pa1s. 'ara cancelación de obligaciones con pagos parciales utilizaremos dos métodos muy usuales, tales como la egla 7mericana y egla #omercial.

. Re%l +ericn Esta regla conocida como :nited "tate ule o regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efect/a un pago parcial. "i el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés $asta que se $agan otros pagos parciales cuyo monto e&ceda el interés vencido a la fec$a del /ltimo de dic$os pagos parciales. %a regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se $ace un pago debe calcularse el monto de la deuda $asta la fec$a del pago y restar a ese monto el valor del pago8 as1, se obtiene el valor del saldo insoluto en esa fec$a. Este proceso se repite $asta calcular el saldo en la fec$a de vencimiento, que será igual al /ltimo pago parcial y que saldará totalmente la deuda.

Al%orit+o de l Re%l A+ericn I "aldo inicial de la deuda J !nterés devengado a la fec$a de pago I Monto de la deuda a la fec$a de pago @ 9alor del pago parcial I "aldo insoluto

Este procedimiento se repite $asta concluir con el saldo igual a cero. %a incógnita del procedimiento es $allar el valor del /ltimo pago parcial en la fec$a de vencimiento y que liquida totalmente la deuda o la obligación. E)e+plo *.*: %a empresa 7#B debe pagar una deuda que tiene pendiente con el Banco Geptuno, a continuación detallamos las condiciones de la deuda en la tabla 2.24 Concepto 0euda 0euda !nterés corriente 'rimer pago parcial "egundo pago parcial 5ercer pago parcial

34

?lor 3-;,444 3-;,444 -D< 3,444 3,244 3,)44

/ec !nicio 4- de agosto de -442 Finaliza - de (unio de -44-

3>s 4 )-C

2; de octubre de -442 2- de diciembre de -442 -4 de marzo de -44-

D ; C


INTERES SIMPLE

#uarto pago parcial !nterés por mora

3 L -4<

- de (unio de -44-

CC

5abla 2.24 Solución 'ara que podamos $allar el valor del cuarto pago parcial es necesario seguir el algoritmo que establece la regla americana, teniendo en cuenta que los intereses a calcular en la fec$a de cada pago, los realizaremos con la fórmula +2.2 de cálculo de interés simple con el factor de a*o comercial. En el gráfico 2.24 ilustramos la forma en se cancela la deuda especificando los pagos parciales y la fec$a de los mismo. En la tabla 2.22 presentamos el algoritmo de la regla americana. Si%no I J I @ I J I @ I J I @ I J I @ I

Concepto 9alor inicial de la deuda !ntereses del primer pago Monto de la deuda primer pago 'rimer pago parcial "aldo después del pago !ntereses del segundo pago Monto de la deuda segundo pago "egundo pago parcial "aldo después del pago !ntereses del tercer pago Monto de la deuda tercer pago 5ercer pago parcial "aldo después del pago !ntereses del cuarto pago Monto de la deuda cuarto pago #uarto pago parcial "aldo en la fec$a de vencimiento

/ec 4-  4  42 2;  24  42 2;  24  42 2;  24  42 2;  24  42 2-  2-  42 2-  2-  42 2-  2-  42 2-  2-  42 -4  4)  4-4  4)  4-4  4)  4-4  4)  4-  4=  4-  4=  4-  4=  4-  4=  4-

?lor 3-;,444.44 3 2,-)).)) 3-=,-)).)) 3 ,444.44 32C,-)).)) 3 D).=C 3 2C,C.43 ,244.44 3 2-,.43 D2.)4 3 2),2.)3 ,)44.44 3 =,D2.)3 D-).=2 3 =,D2.C) @ 28:-*.;, 3 4444.44

5abla 2.22 El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses sobre los intereses capitalizados, en cada fec$a de los pagos parciales. 'or e(emplo, si un deudor de una obligación con intereses del -D< a un a*o de plazo, $ace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el -< mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. ' I -;,444

Aráfico 2.24 35


INTERES SIMPLE

4-@4@42

2;@24@42

2-@2-@42

,444

-4@4)@4-

,244

-@4=@4-

,)44

& IL

b. Tbl de p%o :na forma diferente de e&presar los resultados del pago de una obligación financiera es, a través de la construcción de la tabla de amortización +no periódica de la deuda, considerando que todo pago o cuota # U contiene dos elementos importantes tales como los intereses devengados o vencidos !U y la amorti$ación al principal 7U el cual disminuye el saldo insoluto, donde U es un contador y representa el U @ ésimo pago parcial con 2 ≤ U ≤ G8 as1, la cuota y la amortización se e&presan en las fórmulas +2.2 y +2.2C. <

=

>

>

=

=

=

<

+



−



>

>

1. 18

>

1. 1 C

>

%a amortización de una obligación financiera generalmente se presenta en una tabla de pago, siendo ésta la forma más práctica ya que facilita tanto al deudor como al acreedor observar la disminución de la deuda periodo a periodo. %a tabla contiene seis columnas básicas y suministra la información necesaria para los análisis pertinentes. %a tabla 2.2- tiene seis columnas básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda en cada periodo de pago del e(emplo +2.2=. No. p%o No. 4 2 ) D Totl

/ec

4-  4  42 2;  24  42 2-  2-  42 -4  4)  4-  4=  4

dp

D ;  CC

drp

@@ @@ @@ @@ @@

Principl AB 34444444 3;,==.= 3=,);=.)2 3=,D;.4 3=,D2.)@68555.55

Intereses IB 34444444 32,-)).)) 3 D).=C 3 D2.)4 3 D-).=2 @ ,86-*.;,

Cuot p%o CB 34444444 3,444.44 3,244.44 3,)44.44 3=,D2.C) @6:86-*.;,

o

Sldo SB 3-;,444.44 32C,-)).)) 32-,.43 =,D2.)3 4444444 P%do

5abla 2.2En la tabla 2.2- podemos observar que el cuarto pago es la suma del tercer saldo más los intereses que genera dic$o saldo durante el /ltimo periodo. E)e+plo *.*; 36


INTERES SIMPLE

"upongamos en el e(emplo 2.2 que el deudor se retrasó -) d1as en cancelar el tercer pago parcial de 3,)448 los intereses por mora se cobran al -4< anual. PQué valor deberá pagar la empresa para ponerse al corrienteL Solución 5odo pago o cuota por lo general está compuesto seg/n la fórmula +2.2 por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del pago ), por tanto tenemos #U I 7U J !U I ,)44,

o sea

#) I 7) J !) I =,D;.4 J D2.)4

En los e(emplos anteriores sobre cálculo de interés por mora, pudimos entender que los intereses por mora se cobran con base al principal vencido +7 U I=,D;.4 del pago retrasado, por la fórmula +2.22 los intereses moratorios son



=

mo

6,458.70 ( 0.20 )

 23  =    360 

82.53

0ebido que el pago tres se retrasa consecuentemente el saldo dos de 32-,.4también se retrasa8 por eso, este /ltimo saldo lo tomamos en cuenta para el a(uste de interés corriente. 7s1, por la fórmula +2.- tenemos



ca

=

12,877.02 ( 0.24 )

 23  =    360 

197.45

El total a pagar con mora lo detallamos a continuación 3=,D;.4 3 D2.)4 3 -.;) 3 2C.D; @<8<;.;:

principal de la cuota tres intereses corrientes de la cuota tres intereses por mora durante -) d1as a(uste de intereses corrientes por -) d1as P%o totl

c. Re%l co+ercil #uando las obligaciones financieras son cumplidas a través de la regla comercial , >el interés se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fec$a de vencimiento?; El valor del /ltimo pago parcial en la fec$a de vencimiento lo determinamos a través de la diferencia entre el monto de la deuda y suma de todos los demás pagos parciales con sus intereses. %a estrategia de solución de este método es la construcción de una ecuación de valor, $aciendo que la fec$a focal sea la fec$a de vencimiento. 5

Fran> =res Jr. Matemáticas Financieras, Mico, Mc/raill, 1991, && 55

37


INTERES SIMPLE

E)e+plo *.65 :na de deuda de 3)4,444 a 2- meses comerciales de plazo y con interés del --<, se liquidará a través de los pagos parciales 324,444 en D meses, 32-,444 en  meses. Oallemos el saldo en la fec$a de vencimiento el cual constituye el tercer pago parcial. Solución %a representación gráfica de la solución es el gráfico 2.22. 'or la fórmula +2.2D calcularemos el monto a interés simple de 3)4,444 a 2- meses de plazo esto es,

F

=

 

)4,444  2

2-   + 4.--     =  2-  

)=,=44

#alculemos el interés simple que genera cada pago parcial a la fec$a de vencimiento. 'ara el pago de 324,444 el tiempo es 2-  D I  meses y para el pago de 32-,444 es 2- @  I ;. 7s1, el interés de cada pago es



10,000 ( 0.22 )

=



=

8   =    12 

12,000 ( 0.22 )

1,466.67

5   =    12 

1,100.00

'ara $allar la diferencia establecemos lo siguiente 0euda original !ntereses Monto

3)4,444.44 3=,=44.44 VVVVVVVVVV @,28255.55

'rimer pago parcial !ntereses "egundo pago parcial !ntereses "uma de los pagos

324,444.44 3 2,D==.= 32-,444.44 3 2,244.44 VVVVVVVVVVV @ 6-822.2<

El saldo en la fec$a de vencimiento y tercer pago parcial será entonces W I 3)=,444.44  3-D,;==.= I 32-,4)).))

38


INTERES SIMPLE

)4,444 Fec$a de vencimiento

4

2

-

)

D

;

=

24,444





C

24

22

2-

2-,444

meses

WIL

Aráfico 2.22 E)e+plo *.6* :n deudor debe pagar una deuda 32;,444 a = meses comerciales de plazo y con interés del -;<. %a deuda se liquidará a través de dos pagos parciales uno 3C,444 en D meses y el saldo en el vencimiento. 'or la regla comercial $allemos el saldo en la fec$a de vencimiento. Solución 'ara obtener el monto, calculemos el interés simple de 32;,444 a = meses de plazo,



=

15,000 ( 0.25 )

 6  =    12 

1,875.00

El interés simple que gana el pago parcial de 3C,444 a la fec$a de vencimiento, con el tiempo de =  D I - meses es,



=

9,000 ( 0.25 )

 2  =    12 

375.00

%a diferencia entre el monto y la suma de los pagos es la siguiente 0euda original

39

32;,444.44

'rimer pago parcial


3 C,444.44

INTERES SIMPLE

!ntereses

32,;.44 VVVVVVVVVV @*28:<.55

Monto

!ntereses "uma de los pagos

3 );.44 VVVVVVVVVVV @ ;8,<.55

El saldo en la fec$a de vencimiento que constituye el segundo pago parcial es8 W I 32=,;.44  3C,);.44 I 3,;44.44

<. Ecuciones de &lor En las operaciones financieras a menudo se nos presentan problemas relacionados con las inversiones equivalentes, es decir8 que en tiempo y valor tienen el mismo significado económico8 esta situación la podemos e&presar a través de las ecuaciones de valor o financieras. >:na ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fec$a que se escoge para la equivalencia?=. 7 esta fec$a se le llama fec%a focal que en el diagrama del perfil de flu(os de ca(a lo denotaremos mediante una l1nea punteada vertical. 5odas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fec$a focal con una tasa de interés que se denomina tasa de rendimiento.

#uando utilizamos el método de interés simple para formar la ecuación, la fec$a focal debe ser un dato del problema, debido a que el valor de las cantidades var1an si las fec$as son diferentes. #on el método de interés compuesto +esto lo veremos más adelante, la fec$a focal puede ser cualquier fec$a y los resultados no cambian. %as ecuaciones de valor tienen su importancia para el cálculo de pagos equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer8 donde el proceso o modalidad de pago inicialmente establecido entre el prestamista y prestatario, se $a visto o se verá interrumpido por la incidencia de variables e&ternas al proceso de repago de la deuda. 7 menudo se nos presentan dificultades en la formulación de la ecuación de valor8 la siguiente metodolog&a nos podr1a ser /til para el planteamiento de dic$a ecuación. 'ara desarrollar los pasos - y ) de la metodolog1a se*alada, podemos emplear las fórmulas +2.2D de valor futuro y +2.2; de valor presente. "i observamos el gráfico 2.2- vemos que la cantidad A está a la izquierda de la fec$a focal, el traslado de dic$a cantidad a la fec$a focal es con la fórmula +2.2D.

6

/uillermo ;aca
40


INTERES SIMPLE

%a cantidad Q está a la derec$a de la fec$a focal, entonces el traslado a la fec$a focal es con la fórmula +2.2;.

*. 3ibu)e+os el di%r+ del per!il de !lu)os ' clcule+os los +ontos de ls deuds si no están ddos. 6. Trslde+os los +ontos  l !ec !ocl con l ts de rendi+iento ' e!ectue+os l su+. Ubi"ue+os este procedi+iento sobre l l>ne del di%r+ del per!il de !lu)os. ,. Trslde+os los p%os  l !ec !ocl con l ts de rendi+iento8 ' clcule+os l su+. Ubi"ue+os este procedi+iento deb)o de l l>ne del di%r+ del per!il de !lu)os. -. I%ule+os los resultdos de l su+ en 769 con l en 7,9 ' despe)e+os l incó%nit D "ue solucion el proble+ de e"ui&lenci !inncier.

#antidad A

Fórmula 2.C

Fec$a focal

4

2

-

)

Aráfico 2.2-

D

;

=





C

F#rmula 1.10

24

meses

E)e+plo *.66 %a empresa de "oldadores de Estructuras Metálicas ".7. >"EM"7? tiene tres deudas con el banco de !nversiones del 'ac1fico las cuales se detallan a 3-;,444 a plazo de D meses, al 2< de interés y que venció $ace ) meses. b 3-,;44 a plazo de = meses, al 2C< de interés y que vence dentro de D meses.

41


INTERES SIMPLE

c 3--,D;4.4 es un monto que vence dentro de  meses. 0ebido a problemas de iliquidez de la empresa, ésta $a acordado con la gerencia del banco, el siguiente plan de pagos equivalentes los cuales reestructuran las deudas anteriores. Acuerdo la empresa se compromete a lo siguiente a Efectuar un pago el d1a de $oy por 324,444. b El saldo lo pagará en ) cuotas iguales a efectuarse dentro de =, 2- y 2; meses respectivamente. 'or su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del -4< para el cálculo de los pagos y se acuerda como fec$a focal dentro de C meses. Solución "iguiendo la metodolog1a descrita procedemos 2. #alculemos los montos de cada una de las deudas a su fec$a de vencimiento, gráfico 2.2)

  D    2 + 4.2E  2-   =    

-=,;44.44 venció $ace tres meses

 

)2,-4B.;4 vene dentro de D meses

a F

=

-;,444

b F

=

-E,;44  2

c F

=

=   + 4.2C     =  2-  

--,D;4.E4 vene dentro de E meses

-=,;44.44

)2,-4.;4

--,D;4.4

Ooy

@)

@-

@2

4

2

-

)

D

;

=





meses

Aráfico 2.2) -. 5raslademos los montos a la fec$a focal dentro de C meses, con la tasa de rendimiento. %a suma de los montos +,D)).22 la se*alamos sobre gráfico 2.2D 42


INTERES SIMPLE

   2-    ;    2   + 4.-4     + )2,-4B.;4 2 + 4.-4    + --,D;4.E4 2 + 4.-4    =  2-    2-    2-      + )),E4E.2) + --,E-D.CE = EE,D)).22

-=,;44 2 )2,E44

,D)).22 -=,;44

)2,-4.;4

--,D;4.4

Fec$a focal

Ooy

@)

@-

@2

4

2

-

)

D

24,444

;

=





C

24

22

W

2-

2)

W

2D

2;

W

22,;44 J W+-.C22D2

Aráfico 2.2D ). 5raslademos los pagos a la fec$a focal dentro de C meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad deba(o del gráfico 2.2D. 







D. !gualando los resultados de y despe(ando la en c1rculos     - y ) +valores C   )   2 2     = 24,444 2 4.-4 W 2 4.-4 W W + + + + +         incógnita W, obtenemos    )    =    2-   2-  

22,;44







2 + 4.-4  2-  2 + 4.-4  2-        I22,;44 W+-.C22D2 + W( 2.4;,D)).22 ) + W( 4.C;-)E2 ) + WJ( 4.C4C4C4 ) = 22,;44 + W( -.C22DB2)

EE,D)).22 − 22,;44 B=,C)).22 = = = -=,D-D.2D 7s1, cada pago será de-.C22DB2 3-=,D-D.2D dentro de =, 2y 2; meses con los cuales se -.C22DB2 W

cancelan todas las deudas con el banco.

43


INTERES SIMPLE

:. Tbl de d>s No ENE /E(

MAR A(R

MAY

UN. UL AFO SEP

OCT

NO?

3IC

No.

* 6 , 

* 6 , 

,6 ,, ,, ,2

25 2* 26 2, 2-

;* ;6 ;, ;;

*6* *66 *6, *6*6

*6 *, ** *2

*:6 *:, *:*: *:2

6*, 6*6* 6*2 6*<

6-6- 6-2 6-< 6-:

6<6< 6<2 6<< 6<:

,5 ,52 ,5< ,5: ,5;

,, ,,2 ,,< ,,: ,,;

* 6 , 

2 < : ; *5

2 < : ; *5

,< ,: ,; -5 -*

2 22 2< 2: 2;

;2 ;< ;: ;; *55

*62 *6< *6: *6; *,5

*< *: *; *25 *2*

*:< *:: *:; *;5 *;*

6*: 6*; 665 66* 666

6-; 65 6* 66 6,

6<; 6:5 6:* 6:6 6:,

,*5 ,** ,*6 ,*, ,*-

,-5 ,-* ,-6 ,-, ,--

2 < : ; *5

** *6 *, **

** *6 *, **

-6 -, -- -2

<5 <* <6 <, <-

*5* *56 *5, *5*5

*,* *,6 *,, *,*,

*26 *2, *2*2 *22

*;6 *;, *;*; *;2

66, 6666 662 66<

66 62 6< 6:

6:6: 6:2 6:< 6::

,* ,*2 ,*< ,*: ,*;

,- ,-2 ,-< ,-: ,-;

** *6 *, **

*2 *< *: *; 65

*2 *< *: *; 65

-< -: -; 5 *

< <2 << <: <;

*52 *5< *5: *5; **5

*,2 *,< *,: *,; *-5

*2< *2: *2; *<5 *<*

*;< *;: *;; 655 65*

66: 66; 6,5 6,* 6,6

6; 625 62* 626 62,

6:; 6;5 6;* 6;6 6;,

,65 ,6* ,66 ,6, ,6-

,5 ,* ,6 ,, ,-

*2 *< *: *; 65

6* 66 6, 66

6* 66 6, 66

6 ,  2

:5 :* :6 :, :-

*** **6 **, ****

*-* *-6 *-, *-*-

*<6 *<, *<*< *<2

656 65, 6565 652

6,, 6,6, 6,2 6,<

6262 622 62< 62:

6;6; 6;2 6;< 6;:

,6 ,62 ,6< ,6: ,6;

, ,2 ,< ,: ,;

6* 66 6, 66

62 6< 6: 6; ,5 ,*

62 6< 6: 6; ,5 ,*

< : ;   

: :2 :< :: :; ;5

**2 **< **: **; *65 

*-2 *-< *-: *-; *5 **

*<< *<: *<; *:5 *:* 

65< 6,: 65: 6,; 65; 6-5 6*5 6-* 6** 6-6 6*6 6-,

62; 6<5 6<* 6<6 6<, 

6;; ,55 ,5* ,56 ,5, ,5-

,,5 ,,* ,,6 ,,, ,,

,25 ,2* ,26 ,2, ,2,2

62 6< 6: 6; ,5 ,*

5abla 2.)

Re%ls pr usr l tbl *.,

44


INTERES SIMPLE

'ara obtener el n/mero e&acto de d1as comprendidos entre cualquier fec$a de un mes y de cualquier otro mes, $állese el n/mero de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y restar el n/mero de d1as en la columna correspondiente del mes inicial.

a #alcular los d1as efectivos del -) de febrero al 2- de noviembre siguiente 2- de noviembre I )2= -) de (ulio I -4D VVVVVV 22E&actamente 22- d1as b #alcular el n/mero de d1as entre el -4 de octubre de -44D y 2 de marzo del a*o -44; 01as efectivos del -4 de octubre al )2 de diciembre de -44D I 01as efectivos desde el 42 de enero al 2 de marzo de -44; I 

C. E)ercicios propuestos pr el uto estudio Inter$s8 +onto8 &lor presente8 ts de inter$s ' pl#o 2. #alcular el monto y el interés simple comercial de a %a cantidad de 3-,)44 durante 2-4 d1as al =< semestral. espuestas 3-)C-, 3C-.44 b %a cantidad de 3)44 desde el 22 de abril al 22 de diciembre del mismo a*o al )< trimestral. espuestas 3)-D.D4, 3-D.D4 c %a cantidad de 3;44 durante 24 meses y -; d1a al )< bimensual. espuestas 3;2.-;, 32.-; d %a cantidad de 32,444 desde el ) de febrero al -; de octubre del mismo a*o, al 4.C< mensual. espuestas 324C.-4, 3C.-4 e %a cantidad de 324,444 durante  meses y 2 d1as al 4.< mensual. espuestas 324,;=.4, 3;=.4 f %a cantidad de 3D,444 desde el 2- de enero al 2 de septiembre del mismo a*o al D< trimestral. espuesta 3D,DD4.C 3DD4.C g %a cantidad de 3-,;44 al 2.=< bimensual desde el  de enero -44= al - de (unio del -44. espuestas. 3-,D4.44 3 )D4.44 $ %a cantidad de 32-,444 a plazo durante el mes de agosto al <. espuestas. 32-,4-.= 3-.=

45


INTERES SIMPLE

-. :na inversión de 3 2;,444 genera intereses pagaderos al final de cada seis meses comerciales por la cantidad de 3 2,2D.;4 durante 2 meses. #alcule la tasa de rendimiento sobre la inversión. espuesta 2;.)4< ). Oalle el monto y la fec$a de vencimiento de un depósito de 3),444 que inicia el d1a 2- de septiembre a plazo de 24 d1as e interés del -.< simple anual. espuesta. 3),4D-, vence el d1a 22 de marzo siguiente. D. :n agiotista $izo un préstamo de 3244 pagaderos con 32-4 dentro en un mes P#uál es la tasa de interés anualL espuesta -D4< ;. #alcule la tasa de rendimiento y la fec$a de vencimiento de una inversión de 3;,444 que inicia el -4 de noviembre a plazo de  meses y que genera una ganancia de 3-==.=. respuesta. <, vence 2 de (ulio. =. P#uánto tardarán 32,444 a en ganar 3244 a 2;< menos a 32,-44 a 2).;<. espuestas a  meses

b en aumentar cuando b ;)D d1as

. En qué tiempo un capital de 3 -4,444. a 'roduce 3D,;4 al 2< de interés simpleL espuesta 2 a*o, D meses, ; d1as b 7lcanza un monto de 3-,4=.= al 22< semestral de interés simpleL espuesta 2 a*o,  meses, C d1as c 'roduce 32,;=D.DD al D< trimestral de interés simpleL espuesta ; meses y -= d1as. d 7lcanza un monto de 3--,===.= al -4< de interés simple. espuesta -D4 d1as. e 7lcanza un monto de 3-,D44 al )< bimestral de interés simple. espuesta a*os y D meses . "i el monto de un préstamo es de 32;,444 que vence dentro de  meses, a una tasa de interés de -;<. #alcule su valor a El d1a de $oy. espuesta. 32-,;.2D b 0entro de un a*o y -- d1as. espuesta. 32=,DC.2 c 0entro de ) meses. espuesta. 32),;D.C2 d 0entro 2 meses y -; d1as. espuesta. 32),-C-.)2 e 0entro de -=4 d1as. espuesta. 32;,-4.)) C. #alcular la tasa de interés anual a la cual el monto de 324,444 es 322,D).)) en 24 meses. espuesta 2.4< 24. El "r. 5. %ópez compra un pagaré de valor nominal 32,444 en el mercado de valores a plazo de C meses comerciales con interés del 2.;<. 0etermine a %a ganancia del se*or %ópez 46


INTERES SIMPLE

b "uponga que el se*or %ópez decide vender el documento a los 2D4 d1as después, Pcuánto recibirá si la tasa en el mercado var1a a -4< para esta clase de t1tulosL c PQué tasa de rendimiento obtendr1a sobre la inversión durante los 2D4 d1asL espuestas a 3-,DC.;4 b2C,22=.D c 2;.C;D< 22. %a se*ora Aonzález debe tomar una decisión al momento de formar un contrato relacionada a la comprar una casa en la cual se le presentan dos opciones 2 324,444 en la firma del contrato y 3,444 a los C meses después, - 3,444 en la firma del contrato y 324,444 después de un a*o. "i la tasa de interés es de -4< PQué oferta deberá seleccionar mal menor costo anualL espuesta. %a n/mero -, 32=,))).)) 2-. El "r. Mart1nez compra un bono al C< de su valor nominal de periodicidad -, +semestral que produce en cada per1odo 3=,;;4. "i el valor nominal del bono es de 3=;,444. P#uál es la tasa de rentabilidad anual del se*or Mart1nezL espuesta -4.< 2).P#uánto debe invertir un padre de familia el 2- de septiembre en una cuenta bancaria que paga el 2C.<, para disponer de 32=,444 el 2; de diciembre siguienteL espuesta 32;,-2).D=. 2D.0etermine el tama*o de un depósito que debe efectuar una empresa el d1a 24 de febrero en un banco para que sea agotado mediante dos retiros, el primero el d1a 2 de mayo por 32;,-44 y el segundo el d1a 2- de septiembre por 3-4,;44 todas la fec$as corresponden al mismo a*o y el interés que devenga el depósito es del 2.D< a interés simple. espuesta 3 )-,C=4.D. 2;.

P#uánto paga por intereses un distribuidor de abarrotes si el 24 de (unio compra mercanc1as por 32=,;44, $ace un anticipo del )4< y paga el resto el -; de septiembre con recargos del )4.;< de interés simpleL espuesta 32,4D.4D

2=.:na persona obtiene el d1a -; de agosto un préstamo por 32;,4 para pagarlo el d1a 24 de marzo del a*o siguiente (unto con los intereses corriente del -;<. El préstamo no fue liquidado en el vencimiento del plazo, sino $asta el d1a ; del mes siguiente con el -4< de recargo por mora, más comisión del 2< sobre principal vencido . PQué cantidad pagóL espuesta 32,=4C.DD. 2.:na empresa debió pagar $ace = meses la suma de 3-4,)-.=; y dentro de 24 meses deberá pagar 32,-;=.C;. "i por la deuda no pagada le cobran intereses corrientes del -)< !" y moratorio de 2< y por la deuda por pagar le cobran intereses corrientes del -4<, determine el valor de las dos deudas en un pago /nico que efectuará la empresa dentro de ) meses. espuesta 3D-,C=.; P%os prciles8 tbl de p%o e inter$s por +or 47


INTERES SIMPLE

2. Oaga uso de la regla americana y $alle el valor del /ltimo pago parcial y elabore la tabla de pago de la deuda siguiente con interés corriente del )4< !nicio de la deuda el d1a -; de enero de -44 'rimer pago el d1a - de mayo de -44 "egundo pago el d1a 24 de septiembre de -44 5ercer pago y final del plazo el d1a -4 de enero de -44 espuesta 3,-=-.

32;,444.44 3 ;,444.44 3 =,444.44 3 PL

2C. En el e(ercicio 2, suponga que el primer pago se liquida con -4 d1as de mora, si el interés por mora es del D4< calcule el valor del pago 2 y el rea(uste del pago en la fec$a que está programado. espuestas pago 2 3;,)-.--, pago 3;,4.C-4. 'ara comprar una casa que cuesta 3;4,444 se acuerda el siguiente sistema de pagos parciales en un plazo total de 2; meses con el -;< Oalle el valor del pago ; por el método de la regla americana y elabore la tabla de pago 'ago 2  324,444 mes 4 'ago - 32-,444 mes 'ago ) 32;,444 mes  'ago D 32;,444 mes2'ago ; 3 PL mes 2; espuesta 3D,CD.;D -2. En el problema -4 suponga que el deudor se atrasa - d1as para liquidar el pago -, si la tasa de interés por mora es de ;;< calcule el valor a pagar , además calcule el a(uste del pago ) en su fec$a programada. espuestas pago 2 32),-2C.2 , pago 32D,D-).2; --. :na persona adquiere una propiedad valorada en 3-44,444 a través un pago de inicial de 3=4,444 cinco meses después 3;4,444, seis meses más tarde 34,444. P#uál será el importe del pago que tendrá que $acer 2.; a*o después de iniciada la operación financiera para liquidar totalmente el saldo con interés del )4
48


INTERES SIMPLE

-;. En el e(ercicio anterior suponga que la casa no se canceló al finalizar el a*o, sino que se canceló D= d1as después. "i la tasa de interés moratoria es del 24<, $alle el valor del pago que liquida totalmente la casa y $aga nuevamente la tabla de pago. espuesta. 3D,4-2.)C -=. El d1a  de febrero la "ra. Xuana Auerrero obtuvo un préstamo del Banco 'laza de Gicaragua por la cantidad de 3)4,444 córdobas con mantenimiento de valor y que venció el  de febrero siguiente. 7cordó pagar 324,444 córdobas el d1a ; de mayo, 32-,444 córdobas el d1a -4 de septiembre. "i el interés corriente es de -;< sobre saldo, el interés por mora de )4< y mantenimiento de valor =<, calcule usando la regla americana. a El saldo al d1a  de febrero siguiente b El saldo al d1a 2= de mayo a*o siguiente

espuesta 32D,DD;.)= espuesta 32=,;=.4-

-. :n préstamo de 3D,444 +córdobas con mantenimiento de valor es concedido el d1a ) de enero de -44. "e liquida en ) pagos el primero el ) de febrero por 32,44 el segundo el ) de marzo por 32,;44. "i los intereses corrientes son del -;< sobre saldo, por mora de )-< y mantenimiento de valor =<. #alcule +use la regla americana a El saldo al d1a ) de abril siguiente. espuesta 3 ;.D2 b El saldo al d1a - de abril siguiente. espuesta 3 C-).2D -.Oace ; meses obtuve un préstamo por 3;,444 al 2<. 'agué 32,;44 $ace ) meses, $oy pagaré 3C;4, quiero saber cuanto pagaré dentro de -.; meses para saldar la deuda. :se la regla americana. espuesta 3-,C2.== -C.

:na empresa debe en la actualidad una deuda 3-;,444 a una institución bancaria, conviene en pagarla en un plazo de - a*os a través de los siguientes pagos parciales a lo inmediato paga 3;,444 a los = meses paga 3C,444, a los 2 meses paga 32-,444 y el saldo a los -D meses. #on interés del 2=< $alle el valor del /ltimo pago utilizando el método de la egla americana. espuesta 3-,-;.-

)4.#alcule el quinto pago parcial en la fec$a de vencimiento para liquidar una deuda con el Banco 'ac1fico por 32=-,;44 a 2.; a*os de plazo al -<, si es reducido mediante un pago a lo inmediato por 3-4,444 seguido de tres pagos parciales el primero por 3D4,;44, el segundo por 3D;,444 y el tercero por 3;4,444, efectuados D,  y 2- meses antes de la fec$a de vencimiento. :se el método de la egla 7mericana. espuesta 3;4,4.)4. )2. El ; de enero se compra un equipo de cómputo que se paga con una prima de 3=,444, un pago de 3,444 el -4 de febrero y el otro el 2C de marzo para liquidar el resto Ppor cuánto será este pago si el precio del equipo fue de 3-4,=44 y se cargan intereses del -=< simple anualL espuesta 3,--).-4.

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INTERES SIMPLE

)-.5$omas pidió prestado <;,444 el 2 de enero -44;. 'agó 3-,444 el )4 de abril de -44; y 3-,444 el )2 de agosto de -44;. El pago final lo $izo el 2; de diciembre de -44;. #alcule la magnitud del pago final si la fec$a focal es el 2; de diciembre de -44;. espuesta 32,-4.4; 3escuento bncrio ' rcionl )). El monto de una deuda de la empresa 77 dentro ; a*os será de 32;),;=.4 a favor del Banco 7nglo. Este monto será vendido al Banco 'ac1fico mediante un descuento en el cual la rentabilidad en la compra será del --.;< aparte del 2.-< por comisiones de venta del agente o corredor de bolsa y el 2< del 'uesto de Bolsa. 0eterminar a la cantidad que pagará el banco 'ac1fico b las comisiones del agente c las comisiones al puesto de bolsa d valor l1quido del banco 7nglo. espuestas a 3-,);=.2D b 3=.- c 3-).;= d 34,=D.)2 )D. :n certificado de inversión negociable de valor facial de 32;,444 a plazo de )44 d1as, se vende al p/blico a través de una tasa de descuento del 2-.-<. "i usted compra el certificado, determine a 9alor de la inversión b la tasa de rentabilidad. espuestas a 32),D; b 2).;4< );. En el e(ercicio anterior suponga que el documento usted lo vende a los 2D; d1as después y se lo descuentan al 2-.D< y además paga comisiones de 4.;< tanto al puesto de bolsa como al agente de bolsa. 0etermine a el valor l1quido que usted recibe b la tasa de rentabilidad. espuestas a 32D,4;.2 b 24.--=< )=. %a empresa 797% emite un certificado de inversión por 324,444 dólares el cual se oferta al p/blico, mediante una tasa de descuento del 2-< a un plazo de -4 d1as. a "i el "r. 5orres lo compra, determine el precio que paga por el certificado y la tasa de rendimiento que obtiene. epuestas 3C,244, 2).2=< b "uponga que transcurrido 2DD d1as el "r. 5orres decide venderlo a una "ociedad Financiera la cual desea ganar el 2)< anual sobre el valor facial. 0etermine el valor que recibe por la venta y la tasa de rentabilidad por los 2DD d1as de la inversión. espuestas 3C,;=D.4, 2-.=C-<. ).%a empresa OA' emite un certificado de valor facial +final de 3244,444 a plazo de un a*o comercial. Oace 2D; d1as fue adquirido por una #1a de !nversiones a través de un descuento de 2)<. En este momento la #1a tiene en venta el certificado y tiene dos opciones de compra. a El comprador ofrece un descuento del 2).C4<. b "e paga un valor neto que garantice una rentabilidad del 2D.)4<. 7nalice que opción le conviene a la #1a, calculando a El valor que recibe por la venta en cada caso. b %a rentabilidad que obtiene en cada caso. 50

espuestas Matemática Financiera I. Noel Reyes Alvarado .

INTERES SIMPLE

Hpción 2 Hpción -

%a #1a recibe 3C2,=C.=2, %a #1a recibe 3C-,2)2.4,

rentabilidad rentabilidad

2).D4=< 2D.=DD=<

).:n certificado negociable de inversión de valor facial de 3-;,444 a plazo de -4 d1as, es comprado por el inversionista 7 con una tasa de descuento del 2-<. 0etermine el valor de la inversión y la rentabilidad de 7. espuestas 3--,;4, 2).2=< )C.En el e(ercicio anterior suponga que el documento se vende 2-4 d1as antes de su vencimiento y es adquirido por el inversionista B con el descuento del 2).<. 0etermine, el valor de la inversión y la rentabilidad de B a espuestas 3-),;.)), 2D.);;=< b %a rentabilidad de 7 . espuesta 22.=C-)< D4. %a "ociedad Financiera G7 compra un #EG!Ys emitido por el B#G a una tasa de descuento del 2).4< a plazo de )44 d1as. "i el valor facial del certificado es de 3)4,444 determine a el valor de la inversión y la tasa de rendimiento de la "ociedad. b "uponga que la "ociedad vende el certificado a los 2=4 d1as al Arupo 0elta con un rendimiento del 2).-4< . 0etermine la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad de la "ociedad G7. espuestas a 3-=,;;.44 2;.D=;< b 3-,;);.2C 2=.;C=-< D2.El "r. #ampos compra un #ertificado de !nversión emitido por el 0GB a una tasa de descuento del 2D.24< a plazo de )44 d1as y con valor facial de 3;4,444, determine a El valor de la inversión y la tasa de rendimiento del "r. #ampos. b "uponga que los 2;4 d1as el "r. #ampos vende el certificado a la Financiera "ur con descuento del 2).4<. 0etermine la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad del "r. #ampos. espuestas a 3DD,2-;.44 2;.C)< b 3D,2-;.44 2=.)2-< D-.!nversiones #ontinental compra un t1tulo valor de valor nominal 32,444 en el mercado de valores pactado a C meses comerciales y un interés del 2.;< sobre valor nominal. 0etermine a %a ganancia en la inversión b "uponga que !nversiones #ontinental decide vender el documento a los 2D4 d1as, cuánto recibirá si la tasa en el mercado var1a al -4< 'ara esta clase de t1tulosL c PQué tasa de rendimiento obtendr1a sobre la inversión durante los 2D4 d1asL espuestas a3-,DC.;4 b2C,22=.D c 2;.C;D< Ecuciones de &lor con inter$s si+ple D). :na persona realiza una transacción con un Banco y le queda debiendo 32-,444 con vencimiento en = meses y 3C,D44 con vencimiento en  meses. #alcule el valor de los pagos para saldar las deudas, si la nueva transacción gana intereses del -4< a "e cancelan en un pago /nico inmediato. espuesta. 32C,-4).-2

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INTERES SIMPLE

b "e cancelan en dos pagos iguales, el primero dentro de = meses y el segundo dentro de un a*o. Fec$a focal dentro un a*o. espuesta 322,4=4.)c "e cancelan en ) pagos iguales, el primero dentro de = meses, el segundo dentro de C meses y el tercero dentro de un a*o. Fec$a focal dentro de un a*o. espuesta 3,)).;;. DD.%a empresa 7gropecuaria "an Bernardino ubicada en el municipio de >"an Bartolomé de 7guas? tiene tres deudas pendientes con una institución financiera local de la siguiente manera 2. 324,444 a plazo de 2 a*o con el -4< de interés y vence dentro de ; meses -. 3,;44 a plazo de 2.; a*os con interés de --< y vence dentro de C meses ). 32-,444 a plazo de  meses con interés de 2C.;< y vence el d1a de $oy %a empresa no puede asumir el pago de las deudas de la forma programada, debido a esto el banco le concede una e&tensión de 2.; a*os de plazo a partir de $oy para que cancela las ) deudas con tasa de rendimiento del -=< debiendo escoger uno de los siguientes sistemas de pagos a :n pago de 3;,444 el d1a de $oy y ) pagos iguales en los meses =, 2- y 2, con fec$a focal en ; meses. espuesta 32-,2).4; b 5res pagos en los meses =, 2- y 2 en la siguiente forma, el segundo es mayor que primero en 3),444 y el tercero es mayor que el segundo en 3-,444, fec$a focal en el mes =. espuestas 322,.) 32D,.) 32=,.) c :n pago dentro de = meses por 3D,=44 y D pagos iguales en los meses C, 2-, 2; y 2, fec$a focal en C meses. espuesta 3C,).;d #uatro pagos iguales, en los meses 4, =, 2- y 2 fec$a focal en el d1a de $oy. espuesta 3C,C=4.= e #inco pagos crecientes en 3-,;44 cada uno, en los meses =, C, 2-, 2; y 2 fec$a focal en el mes 2-. espuestas 3),=).=4 3=,)=).=4, 3,=).=4 322,)=).=4 32),=).=4 f :n pago de 3=,444 en el mes = y dos pagos iguales en mes C y 2, fec$a focal en el mes C. espuesta 32,;C=.Cg :n pago de 32;,444 en el mes 2- y el saldo en el mes 2, fec$a focal mes 2. espuesta 3)4,. $ :n pago de 3;,444 en el mes D, otro de 324,444 en el mes 24 y dos pagos iguales en los meses 2; y 2, fec$a focal en el mes 24. espuesta 32D,=D=.=D

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