División euclídea 2.1 División euclídea con números naturales
En matemáticas, y más precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o euclídea), también llamada algoritmo de la división, es un teorema que asegura que «el proceso habitual de división entre números enteros» puede llevarse a cabo y que se obtiene un cociente y un residuo únicos.
Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, la división euclídea asocia un cociente q y un resto r, ambos números naturales, que verifican:
Un «algoritmo de división entera» es cualquier método • a=bq+r efectivo que produce un cociente y un residuo. Existen numerosos métodos para efectuar estos cálculos, como • r
1
con r < b
2.2 División euclídea con números enteros
División euclídea de números naturales
Dados dos números enteros a y b, con b no nulo, la división euclídea asocia un cociente q y un resto r, ambos números enteros, que verifican:
Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, que debe ser mayor que cero, llamamos cociente, q, al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.
• a=b·q+r • 0 ≤ r < |b| [1]
q = max { x ∈ N | xd ≤ m }
• A q se denomina cociente y a r, resto de la división que siempre es un entero no negativo.[2][3]
Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente y el divisor. r = m − qd
De manera formal:
El resto verifica la inecuación 0 ≤ r < d . De la ecuación anterior, se deduce inmediatamente la si- ∀(a, b) ∈ Z×Z∗ , ∃q, r ∈ Z|a = b·q+r guiente:
con 0 ≤ r < |b|
m = qd + r
3 Propiedades 1.1
Ejemplos
Por el algoritmo de la división se deduce que Z es un dominio euclídeo tomando como norma el valor absoluto. lo que significa que 320 = (21 × 15) + 5 , con 0 ≤ 5 <| Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede usarse el algoritmo de Euclides para calcular 21 | . el máximo común divisor de dos números enteros.
2
Un concepto que generaliza el algoritmo de la división es el de norma euclídea. De este modo cualquier dominio euclídeo cumple con un principio similar al algoritmo de la división, como es el caso, por ejemplo, de un anillo de polinomios K[x] en que K es un cuerpo.
Teorema: Algoritmo de la división 1
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7 BIBLIOGRAFÍA
División de polinomios
7 Bibliografía
La división euclidiana se generaliza a todos los anillos graduados, es decir en los anillos donde existe una función llamada grado que verifique: d o (P·Q) = d o (P) + d o (Q).
• Miguel Alamar Penadés, et al (2005). Matemáticas básicas. UPV. p. 16. ISBN 84-9705-862-3. • Hugo Barrantes, et al (2007). Introducción a la teoría de números. EUNED. p. 9. ISBN 9968-31-003-4.
Los ejemplos más usuales lo constituyen los anillos de polinomios K[X], donde K es un cuerpo, como R o C, y donde d o (Xn ) = n y d o (0) = - ∞. En este contexto, se remplaza la condición 0≤ r < b que a priori no tiene sentido porque el anillo ya no es totalmente ordenado, por d o (R) < d o (B), y claro, se mantiene A = B·Q + R (para los polinomios, la costumbre es utilizar las mayúsculas). Si los polinomios tienen por coeficientes elementos de un cuerpo K, es posible definir una división euclídea sobre los polinomios (llamada división) según el orden decreciente de las potencias. A dos polinomios A y B, la división euclídea asocia un único cociente Q y un único resto R, ambos polinomios, tales que: • A=B·Q+R • grad(R) < grad(B) Formalmente: ∀(A, B) ∈ K[X]×K[X]∗ ,
∃!Q, R ∈ K[X], A = B·Q+R
La unicidad está garantizada, pero es necesario que K sea un cuerpo para que la existencia lo sea también.
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Véase también • División • Divisibilidad • División larga • División por galera • Teoría de números • Dominio euclídeo
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Referencias
[1] A. Adrián Albert. «Álgebra superior», pág. 45, ISBN 96818-4041-0 [2] Hefez: “Curso de álgebra” vol. 1 ISBN 9972-9394-1-3 pp57, 58, 59 [3] Ayres Jr.: “Teoría y problemas de álgebra moderna”, Libros Mc Graw Hill, pág. 50
con
grad(R) < grad(B)
3
8
Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
8.1
Texto
• División euclídea Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdea?oldid=98718235 Colaboradores: Romero Schmidtke, Sabbut, Dodo, GTubio~eswiki, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Superzerocool, Chobot, Caiserbot, Yrbot, Vitamine, Götz, Juan Marquez, Kn, CEM-bot, Laura Fiorucci, Antur, Ingenioso Hidalgo, Alvaro qc, LMLM, Egaida, Alephcero~eswiki, MONIMINO, Brobdingnag, Matdrodes, Muro Bot, Carmin, Jarisleif, Dnu72, Botito777, Raulshc, Osado, AVBOT, Diegusjaimes, Jose eduardo narvay, Andreasmperu, CayoMarcio, Nixón, Jkbw, Rubinbot, Botarel, Zulucho, Jerowiki, Mister Roboto, Corrector1, Gauri, Grillitus, Julio grillo, INIROBO, Invadibot, Sittsam, Acratta, Justincheng12345-bot, Addbot, JacobRodrigues, X2y3, CanaryBot, MomijiRoBot y Anónimos: 44
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