DIVISIBILIDAD
INDICE INTRODUCCIÓN LOS OBJETIVOS EN LA DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD METODOLÓGICOS ASPECTOS METODOLÓGICOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PRIMOS Y COMPUESTOS NÚMEROS PRIMOS DESCOMPOSICIÓN DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN FACTORES PRIMOS DETERMINACIÓN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO. DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS (mcd). MÚLTIPLOS COMUNES A DIVERSOS NÚMEROS (mcm). PROPIEDADES DEL mcd Y DEL mcm. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS mcd y mcm. GENERAMOS CONFLICTO EN EL AULA BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN Al enfrentarnos a ciertas situaciones problemáticas en la vida cotidiana, utilizamos de modo más o menos explícito los conceptos que forman parte de la Teoría de la divisibilidad. Un ama de casa, en sus variadas ocupaciones, utiliza implícitamente los conceptos de múltiplo o divisor cuando, por ejemplo trata de confeccionar unas cortinas y previamente mide el hueco de la ventana, decide la longitud que deben tener con sus pliegues correspondientes correspondientes y se se dirige al comercio comercio a comprar la tela. De modo más explícito, si encargamos a un marmolista que nos enlose un cuarto de baño de forma rectangular, interesará que al obtener las baldosas mediante despiece no aparezcan trozos que rompan la estética ; entonces lo habitual será encargar baldosas cuadradas que tengan el mayor posible. Si por ejemplo las dimensiones del mismo son 2,80 x 1,80m las baldosas deberán tener 20 cm de lado. Para resolver esta situación , se utilizan los conceptos de múltiplo y de m.c.d. El tema que voy a abordar a lo largo de este trabajo es “LA DIVISIBILIDAD EN SEXTO DE PRIMARIA” y a su vez me he centrado en los siguientes contenidos:
múltiplos y divisores de un número, criterios de divisibilidad, números primos y compuestos, descomposición de un número en factores primos, determinación de todos
los divisores de un número, divisores comunes a varios números (mcd), múltiplos comunes a diversos números (mcm) y propiedades del mcd y del mcm. La divisibilidad se comienza a dar en el tercer ciclo de primaria y en el primer ciclo de la ESO. Me he decidido centrarme en el tercer ciclo, en concreto en sexto de primaria porque es aquí donde se empieza a dar este contenido.
LOS OBJETIVOS EN LA DIVISIBILIDAD -
Adquirir el concepto de múltiplo y divisor y saber reconocer múltiplos y divisores. Reconocer y definir números primos y compuestos. Conocer y memorizar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11. Adquirir el concepto de mcd y mcm. Calcular el mcd y el mcm de dos o tres números. Plantear y resolver problemas de mcd y mcm.
ASPECTOS METODOLÓGICOS Se entiende el aprendizaje de las matemáticas bajo dos aspectos, el formativo y el instrumental. Formativo porque desarrollan la capacidad mental, forman la inteligencia y enseñan a discurrir, lo que ayudará en el desarrollo de otras áreas, y a nivel instrumental, porque capacita al alumno para desenvolverse en la vida, le si rve de ayuda en otras áreas y desde el punto de vista acumulativo de la materia, no se puede aprender un proceso si no se conocen los anteriores. Describe el proceso de aprendizaje a seguir: - Como las matemáticas son fruto de una experiencia , los alumnos han de vivir el proceso de conocimiento. - Construir los conceptos por medio de la experimentación. Señala que el paso de lo concreto a lo abstracto ha de seguir una serie de etapas: - Etapa experimental. - Etapa figurativa. - Etapa simbólica. Los conceptos matemáticos han de ser : comprendidos, interiorizados, expresados y aplicados. Características del proceso de aprendizaje: - Ha de ser cíclico, partiendo del nivel real del alumno. - Ha de adaptarse a una etapa evolutiva del alumno. - Ha de ser una enseñanza activa, de forma que sea el propio alumno quien construya los conceptos, a través de sus vivencias. - Se ha de procurar que el aprendizaje sea motivador. - Se facilitará la interrelación de los distintos conceptos y la interdisciplinariedad. - Ha de ser un proceso creativo iniciado en el medio para volver al medio.
PROPUESTA DE EDITORIALES
CONTENIDOS
DE
LAS
DISTINTAS
Según la editorial "Anaya" la DIVISIBILIDAD no se da en 6º de educación primaria sino que se comienza a trabajarse en 1º de ESO. CONTENIDOS TRABAJADOS EN 1º DE ESO - Números que caben en otros una cantidad exacta de veces. - DIVISIBILIDAD = múltiplos y divisores. - Divisores comunes a varios números. - Múltiplos comunes a varios números. Según la editorial "Casals". Esta editorial comienza a trabajar la divisibilidad en 6º de primaria. CONTENIDOS TRABAJADOS EN 6º DE PRIMARIA: - Operaciones con números naturales. - Composición y descomposición de números. - Propiedades de los múltiplos. - Múltiplo de un número. - Propiedades de los divisores. - Divisibilidad. - Números naturales : múltiplo y divisores. - MCD y MCM. CONTENIDOS TRABAJADOS EDITORIAL CASALS: Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad. Descomposición factorial. MCD y MCM.
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EN
1º
DE
ESO
SEGÚN
LA
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO Contenidos: - Definición de múltiplo y divisor - Propiedades de los múltiplos y los divisores - Dificultades que presentan estos conceptos. - Actividades
Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Para indicar abreviadamente que un número es múltiplo de otro escribiremos: _ 18 = 9 , se lee 18 es múltiplo de 9. Cuando dividimos 9, 18, 27, 36 y 45 entre 9, el resto es 0. Son divisiones exactas. Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0.
Para indicar que un número es divisor de otro, escribiremos: 9 = D(18) se lee 9 es divisor de 18
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES PROPI EDADES DE L OS M ÚLTI PLOS
a) El cero es múltiplo de cualquier número. b) Un número siempre es múltiplo de el mismo. c) la suma de múltiplos de un número también es un múltiplo de este número. d) El producto de múltiplos de un número también es múltiplo de este número. PROPIED ADE S DE LOS DI VI SORES
a) El número 1 es divisor de cualquier número. b) Un número siempre es divisor de él mismo. c) Si un número es divisor de otro y es te lo es de un tercero, el primero es divisible del tercero.
DIFICULTADES QUE PRESENTAN ESTOS CONCEPTOS. - Los alumnos que no han asimilado bien los conceptos y propiedades de la multiplicación y división tienen dificultades en el aprendizaje de esta parte de la Aritmética. - Los automatismos, a veces, no se han adquirido con seguridad y precisión y esto dificulta calcular con cierta fluidez los múltiplos y divisores de un número. - Cuando no han captado que la expresión a x b = c es equivalente a c: b = a y c : a = b, no identifican que si c es múltiplo de a y b, entonces éstos son divisores de c. Al tratar de resolver problemas sobre divisores su consecución, para muchos, no es fácil cuando el enunciado se fundamenta sobre aspectos relacionados con la idea de múltiplos y viceversa. - Más dificultad tiene el divisor que el múltiplo, por el proceso de reversibilidad que lleva involucrado. - La búsqueda de múltiplos le es sencilla, ya que al multiplicar por cualquier número obtiene un múltiplo. En el caso de divisor, a pesar de ser finito el número de ellos, no siempre se obtiene directamente , dado que al dividir un número por otro hay veces que no da exacto el resultado. - Otro concepto que confunde a los alumnos es la aparente contradicción entre mínimo y múltiplo, y máximo y divisor. Cuando es un problema se habla de máximo o mayor los alumnos automáticamente lo relacionan con múltiplo; por el contrario, cuando se habla de mínimo o menor , lo relacionan con divisor. - La terminología empleada también es fuente de dificultades, así por ejemplo puede llevar a equívocos el doble sentido de la palabra " divisor", como un término de la división (dividendo , divisor ,cociente ,resto) o como " divisor de" en el sentido de la divisibilidad. - En cuanto a la notación, si se usa la barra I, en aIb se debe leer " a divide a b ", asegurándose que el alumno no la confunde con la fracción a/b.
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Algunos alumnos no se dan cuenta que la propiedad reflexiva de la relación "ser múltiplo de " y la propiedad que tiene el cero de ser múltiplo de cualquier número les proporcionan los dos primeros elementos de la serie de los múltiplos de un número, por lo que al escribir dicha serie los omiten. Lo mismo ocurre con los divisores respecto del número dado y el 1.
ACTIVIDADES:
Acti vidad 1:
Escribe cuatro múltiplos de tres y cuatro múltiplos de siete .
Acti vidad 2
Escribe cuatro múltiplos de nueve más grande que 54.
Acti vidad 3
Escribe de forma abreviada: a) 40 es múltiplo de 8. b) 49 es múltiplo de 7. c) 4 es divisor de 32.
Acti vidad 4
Un número está comprendido entre 150 y 220. Si es divisible por 70 ¿qué número es?
Acti vidad 5
Comprueba con otros ejemplos que se cumplen las propiedades de los múltiplos y divisores.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Antes hemos visto que un número es divisible por otro si cuando dividimos el primero entre el segundo, el resto es cero. Cuando los números son grandes hay reglas que permiten reconocer directamente que un número es divisible por otro; se llaman criterios de divisibilidad. Veremos algunos de estos criterios: DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par. DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de tres. DIVISIBILIDAD POR 4: fíjate en las dos últimas cifras. Tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4. DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco. DIVISIBILIDAD POR 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3. DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve. DIVISIBILIDAD POR 10: tiene que terminar en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000. DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.
AMPLIACIÓN: existen otras reglas para saber si un número es divisible por 13, 17, 19. Si quieres conocer los criterios ACTIVIDADES
Actividad 1 Indica cuales de estos números son divisibles por dos y cuales lo son por cinco: 3925, 492, 305, 690, 884 y 9998. Actividad 2 Indica cuales de estos números son múltiplos de tres: 354, 975, 9560, 3789, 973 y 1026. Actividad 3 Escribe cinco números de seis cifras que sean múltiplos de once. Actividad 4 Completa la cifra que falta para que el número resultante sea múltiplo de nueve. Escribe todas las posibilidades para cada caso : 1_4 , 27_ , 6_ , 2_0 y 70_1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Los criterios de divisibilidad nos permiten encontrar con rapidez divisores de un número. Algunos números como el siete, trece, diecinueve, ... solo tienen dos divisores: la unidad y el mismo. Estos números se llaman números primos. Los números que no son primos se llaman números compuestos.
IDENTIFICACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS Haremos lo siguiente. a) Dividimos este número por los números primos 2, 3, 5, 7, ... hasta que lleguemos a una división exacta o a una división en el que el cociente del cual sea igual o más pequeño que el divisor. b) Si alumna de las divisiones es exacta, el número es COMPUESTO. c) Si todas las divisiones son enteras, el número es PRIMO. DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN FACTORES PRIMOS Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos. En la practica, para descomponer un número en factores primos lo dividimos sucesivamente por los números primos comenzando por el primer número primo mayor que uno hasta que encontremos un cociente que sea igual a uno. ACTIVI DAD 1
Descomponer en factores primos los siguientes números: 288, 298, 360, 540 y 2520. ACTIVI DAD 2
La descomposición de un número es 23 . 32 . 7 ¿Qué número es? Si fuese el número cinco veces más grande ¿cual sería su descomposición factorial? ACTIVI DAD 3
¿Es posible que la descomposición en factores primos de un número sea 22 . 9 . 11? ¿Porqué? Escribe su descomposición correcta. DETERMINACIÓN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para calcular todos los divisores de un número, lo dividimos entre la serie de números naturales (1, 2, 3, 4, 5,...) hasta que el cociente obtenido sea igual o más pequeño que el divisor. EJEMPLO Vamos a calcular todos los divisores de 60. 1.- Realizamos la descomposición factorial del número: 60 = 22 . 3 . 5 2.- Determinamos los divisores de cada uno de los factores: D(22) = D(4) = {1, 2, 4} D(3) = {1, 3} D(5) = {1, 5} 3.- Construimos un esquema con los divisores obtenidos y resolvemos todas las multiplicaciones que se pueden formar. Divisores de 60 ------ 1 1.1.1=1 ------ 1 ------ 5 1.1.5=5 1 ------ 1 1.3.1=3 ----- 3 ------ 5 1 . 3 . 5 = 15 ------ 1
2.1.1=2
------ 5
2 . 1 . 5 = 10
------ 1
2.3.1=6
------ 5
2 . 3 . 5 = 30
------ 1
4.1.1=4
------ 5
4 . 1 . 5 = 20
------ 1
4 . 3 . 1 = 12
------ 5
4 . 3 . 5 = 60
----- 1 2 ----- 3
----- 1 4 ---- 3
ACTIVIDADES
1) Encuentra los divisores de 32, 120, 96, 378, 85 y 310. 2) En una clase hay 37 alumnos. El profesor quiere hacer grupos de manera que sean del mismo número de alumnos y sin que sobre ninguno. ¿Lo podría hacer? ¿Porqué?
DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS Al descomponer dos o más números en factores primos podemos encontrar que coinciden varios divisores, los llamaremos DIVISORES COMUNES. M ÁXI M O COM ÚN DI VISOR
El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el divisor común más grande que tienen estos números. EJEMPLO Calcular el mcd de 120 y 252: a.- Descomponemos los dos números en factores primos: 120 = 23 . 3 . 5 252 = 22 . 32 . 7 b.- Los factores comunes de 120 y 252 son 2 y 3: el factor 2 aparece en 23 y en 22. Cogemos el 22 porque tiene el exponente más pequeño y por tanto es divisor de los dos. El factor 3 aparece en 3 y en 32, por el mismo motivo cogemos el 3. El máximo común divisor de 120 y 252 será: mcd(120, 252) = 22 . 3 = 12 ACTIVIDADES
1.- Calcula el mcd de 480 y 100 ; de 675 y 336 ; 450 y 180. 2.- Indica cuales de las siguientes parejas de números son primos entre ellos: 24 y 25: 9 y 36; 27 y 10; 16 y 54; 35 y 26
MÚLTIPLOS COMUNES A DIVERSOS NÚMEROS Para calcularlos descompondremos los números en factores primos, cogeremos los múltiplos comunes de los números y escribiremos el más pequeño. M ÍNI M O COM ÚN M ÚLTI PLO
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño que tienen dos números. Para su cálculo utilizaremos la siguiente regla práctica: a) Descomponemos los números en factores primos. b) Cogemos los factores comunes y no comunes dotados de mayor exponente y calculamos su producto. EJEMPLO Calcula el mcm de 12 y 30: 12 = 22 . 3 30 = 2 . 3 . 5 Cogeremos los factores primos comunes y no comunes: factores del 12: 2 y 3. factores del 30: 2, 3 y 5. En el mcm han de aparecer los factores 2, 3 y 5. Además para que el número que busquemos sea múltiplo de los números, hemos de coger los factores elevados al exponente más grande y calculamos su producto: El mcm(12, 30) = 22 . 3 . 5 = 60 ACTIVIDADES
1.- Calcula el mcm de los siguientes números: a) 14 y 18 b) 25, 35 y 45 c) 6, 10 y 24. 2.- En una autopista de 700 km de longitud encontraremos: una gasolinera cada 40 km, un área de descanso cada 30 km y un puesto de socorro cada 45 km. Calcula en que punto kilométrico encontraremos juntos:
a) Una gasolinera y un área de descanso. b) Una gasolinera y un puesto de socorro. c) Los tres servicios a la vez.
PROPIEDADES DEL mcd Y DEL mcm 1.- Si un número es múltiplo de otro, el más grande será el mcm de los dos y el más pequeño será su mcd. EJEMPLO 12 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12. mcm (6, 12) = 12 mcd (6, 12) = 6 2.- Los divisores comunes de dos o más números son divisores del mcd de estos números. EJEMPLO El 2 es divisor de 12 y 18 mcd (12, 18) = 6 El 2 también es divisor de 6. 3.- El mcm de dos números primos entre sí es igual al producto de estos números. EJEMPLO 7 y 12 son primos entre ellos mcm (7, 12) = 7 .12 = 84 4.- Los múltiplos comunes de dos o más números son múltiplos del mcm de estos números. EJEMPLO 12 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12. El mcm (15, 18) = 90. Cualquier múltiplo común de 15 y 18, por ejemplo 360, también lo es de 90. 5.- El producto del mcm por el mcd de dos números cualesquiera es igual al producto de estos números. EJEMPLO mcm (12, 15) = 60 mcd (12, 15) = 3 mcm . mcd = 60 . 3 = 180 (12 . 15 = 180) 6.- Si dividimos dos números por su mcd, los cocientes que se obtienen son primos entre ellos. EJEMPLO El mcd (25, 80) = 5. Si dividimos 25 y 80 entre 5, obtenemos, respectivamente 5 y 16. Estos números son primos entre ellos. ACTIVIDADES
1.- Los números 8 y 15 son primos entre sí. Calcula rápidamente su mcm y mcd. 2.- El mcd de 12 y 18 es 6. Comprueba si los divisores de 6 lo son de 12 y 18. 3.- El mcm de dos números es 130 y su mcd es 2. Uno de los números es 26. ¿Cuál es el otro?
4.- ¿Se puede encontrar un número que sea divisor de 25 y que no lo sea ni de 50 ni de 75?
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE mcm Y mcd Los contenidos que hemos visto hasta ahora nos sirven para resolver problemas de la vida cotidiana. Para enfrentarnos a ellos debemos tener en cuenta cuatro pasos fundamentales. 1.- Comprensión del enunciado. 2.- Planificación de la resolución. 3.- Ejecución del plan de resolución. 4.- Revisión del resultado y del proceso seguido. EJEMPLO La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo? 1.- Comprensión del enunciado: Lee atentamente el enunciado y completa número de alumnos de 1º A = ..... número de alumnos de 1º B = ...... Dato desconocido = ...... 2.- Planificación de la resolución: Para resolver el problema, hemos de buscar el número más grande que divide a 32 y 36. Calcularemos por lo tanto el ...... 3.- Ejecución del plan de resolución: Descomponer en factores primos los números 32 y 36 y calcularemos el mcd. 4.- Revisión del resultado y el proceso seguido: Calcula el número de equipos que se pueden formar encada clase. Para hacerlo divide 32 y 36 entre el mcd. Las divisiones han de ser exactas. El resultado obtenido, ¿te parece razonable? ACTIVIDADES
1.- Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez? 2.- Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su superficie.
GENERAMOS CONFLICTO EN EL AULA 1.- Sabemos que cierto número de teléfono tiene siete cifras, todas diferentes y formando grupo de tres cifras seguidas, siempre resulta un número divisible por 17. Vamos a intentar calcular ese número:
1. Escribe las cifras del número con las siete primeras letras del abecedario. Te quedará: abcdefg. 2. Escribe todos los múltiplos de 17 de dos y tres cifras. Debes obtener 58 números: Comprueba que son los siguientes: 017 034 051 068 085
102 119 136 153 170 187
204 221 238 255 272 289
306 323 340 357 374 391
408 425 442 459 476 493
510 527 544 561 578 595
612 629 646 663 680 697
714 731 748 765 782 799
816 833 850 867 884
901 918 935 952 969 986
3. De éstos se eliminan los que tienen dos cifras iguales. Habrás eliminado: 119-221-255-272-323-442--544-595-646-663-799-833-884-969. 4. Empezamos buscando las tres primeras cifras siguiendo la serie anterior. No se consideran los múltiplos que tienen dos cifras porque no hay ningún teléfono que empiece por 0. 102 se elimina porque las cifras bcd no pueden ser de la forma 02d por no haber ningún múltiplo de 17 de esta forma. Lo mismo ocurre, si el número empezara por 136,153,170,187,204,238 y 289. Cuando llegamos al número 306, podemos utilizar como cifra "d" el 8, porque 068 aparece en la lista anterior de múltiplos de 17. Podemos seguir utilizando como cifra " e" el 0, porque 680 es múltiplo de 17, pero entonces tendríamos las cifras 30680 en las que se repite el 0 dos veces por lo tanto no sirve. De esta forma se sigue hasta encontrar el número en cuestión El número obtenido es 4935782.
2.- ¿ Cuántos años tienen ya tus tres hijas? - pregunta el primero. - ! Seguro que lo aciertas! - contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa - Me falta un dato, dice el primero. - !Ah! !Es verdad! - reconoce el segundo-. La mayor toca el piano. ¿ Sabrías decir la edades de las tres hijas? Solución del problema: Se descompone el número 36 en tres factores como sumandos. Mediante una discusión con los alumnos sobre estas descomposiciones, deberán llegar a que, si el número de la casa fuese distinto de 13, sobrará la parte del diálogo en la que cada uno de los interlocutores dice que le falta un dato. 36 = 1 x 1 x 36 1 + 1 + 36 = 38 36 = 1 x 2 x 18 1 + 2 + 18 = 21
36 = 1 x 3 x 12 36 = 1 x 4 x 9 36 = 1 x 6 x 6 36 = 2 x 2 x 9 36 = 2 x 3 x 6 36 = 3 x 3 x 4
1 + 3 + 12 = 16 1 + 4 + 9 = 14 1 + 6 + 6 = 13 2 + 2 + 9 = 13 2 +3 + 6 = 11 3 + 3 + 4 = 10
Ante el resultado 13 de la suma caben dos respuestas: 1, 6 ,6 o bien 2, 2, 9 con el dato de que toca el piano sabemos que hay una hija mayor. Luego el resultado es 2, 2, 9.
3.- Dos personas A y B juegan del siguiente modo: Dado un números de objetos N (de manera que permita hacer varias jugadas a cada jugador), toman alternativamente, a su elección, uno, dos o tres objetos, con la condición de que el que retire el último objeto, pierde en el juego. Se plantean dos cuestiones: 1. ¿Cómo tiene que jugar A para estar seguro de ganar?. 2. ¿Es necesario que A tenga libertad de empezar o no el juego?. Según sea el número N de objetos empleados, al dividirlo por 4 nos dará: a) Un cociente exacto (si N es múltiplo de 4). b) Resto 1 (si N es múltiplo de 4 + 1). c) Resto 2 (si N es múltiplo de 4 + 2). d) Resto 3 (si N es múltiplo de 4 + 3). Para que gane A se procederá así: Si N es múltiplo de 4 + 1: Tiene que empezar a jugar B, retirando sucesivamente A el complemento a 4 del número de objetos que retire B. * Si N es múltiplo de 4: Tiene que empezar a jugar A, retirando 3 objetos en la primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 de los que tome B. * Si N es múltiplo de 4 + 2: Tiene que empezar a jugar A, retirando 1 objeto en la primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 de los que retire B. * Si N es múltiplo de 4 + 3: Tiene que empezar a jugar A, retirando 2 objetos en la primera jugada, y después, sucesivamente, el complemento a 4 de los que tome B.
4.- Juegan dos personas con 17 fichas, piedras o palillos (17 es múltiplo de 4 + 1). . Cada persona, por turno, retira 1, 2 o 3 fichas. . Pierde el que se lleve la última ficha. . Observa las fichas que se lleva tu contrincante. Toma tú las que faltan hasta 4. Ejemplo: 1ª jugada: Sale B y retira 2 fichas; A toma 2 fichas. 2ª jugada: B retira 1 ficha; A retirará 3. 3ª jugada: B retira 3; A tomará 1. 4ª jugada: B retira 2 fichas; A tomará 2. 5ª jugada: B retira la última y pierde.
El jugador A retira en cada jugada un número de fichas que sumadas a las que retira B da 4. Como el resto de las divisiones (17:4), (13:4), (9:4), etc., es siempre 1, la última ficha tiene que ser retirada por el jugador B.
BIBLIOGRAFÍA: - Martinez .B y otros (1994), "6º de educación primaria", Madrid. Editorial Magisterio Casals. - Martinez. B y otros (1994), 1º de ESO, Madrid. Editorial Magisterio Casals. - Alsina, C y otros (1997), “Divisibilidad” Nº 7, Madrid: Editorial Síntesis. - Apuntes de matemáticas básicas de primero de primaria
